UNIDAD 5 – Polinomios

FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Unidad 5: Polinomios

UNIDAD 5 – Polinomios....................................................................................................... 96 Introducción ......................................................................................................................... 96

5.1.- Expresiones algebraicas .......................................................................................... 96 5.1.1.- Clasificación de las expresiones algebraicas .................................................... 96

5.2.- Expresiones algebraicas enteras ............................................................................. 97 5.3.- Monomios ................................................................................................................ 97

5.3.1.- Grado de un monomio ...................................................................................... 97 5.3.2.- Monomios semejantes ...................................................................................... 97

5.4.- Polinomios ............................................................................................................... 97 5.4.1.- Funciones polinómicas...................................................................................... 98 5.4.2.- Igualdad de polinomios ..................................................................................... 98 5.4.3.- Valor numérico de un polinomio ........................................................................ 99

5.5.- Operaciones con polinomios.................................................................................... 99 5.5.1.- Suma ................................................................................................................ 99 5.5.2.- Producto de un número real por un polinomio................................................... 99 5.5.3.- Resta .............................................................................................................. 100 5.5.4.- Producto de polinomios................................................................................... 100 5.5.5.- Algunos productos especiales......................................................................... 101 5.5.6.- División de polinomios .................................................................................... 101 5.5.7.- Regla de Ruffini .............................................................................................. 103

5.6.- Teorema del resto.................................................................................................. 104 5.7.- Concepto de raíz de un polinomio.......................................................................... 104 5.8.- Divisibilidad de polinomios ..................................................................................... 104 5.9.- Factorización de polinomios................................................................................... 105

5.9.1.- Factor común.................................................................................................. 105 5.9.2.- Diferencia de cuadrados ................................................................................. 106 5.9.3.- Trinomio cuadrado perfecto ............................................................................ 106

5.10.- Factorización de un polinomio por medio de sus raíces ....................................... 106 5.10.1.- Cálculo de las raíces de un polinomio ........................................................... 107

5.11.- Expresiones algebraicas fraccionarias ................................................................. 108 5.11.1.- Funciones racionales .................................................................................... 108 5.11.2.- Simplificación de fracciones algebraicas ....................................................... 108

5.12.- Operaciones con fracciones algebraicas.............................................................. 109 5.12.1.- Suma y resta de fracciones. .......................................................................... 109 5.12.2.- Producto de fracciones algebraicas............................................................... 110 5.12.3.- División de fracciones algebraicas ................................................................ 110

5.13.- Ecuaciones que involucran fracciones algebraicas ............................................. 110 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5............................................................................ 112

Unidad 5: Polinomios FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ

Curso de Ingreso 96

UNIDAD 5 – Polinomios

Introducción

Con el álgebra se pasa del número al símbolo, de lo particular a lo general. La gran expresividad del lenguaje algebraico facilita la obtención de relaciones, propiedades y la resolución de problemas.

Para trabajar eficazmente en matemática se debe operar convenientemente con expresiones algebraicas de forma tal que se puedan transformar en otras expresiones equivalentes más fáciles de manejar.

Además, en Ingeniería, al realizar el modelado matemático de un problema, es frecuente obtener un polinomio. Para encontrar la solución de la situación planteada es necesario conocer las “raíces” de dicho polinomio.

5.1.- Expresiones algebraicas

Se llama expresión algebraica a cualquier combinación de números representados por letras o por letras y cifras, vinculados entre sí por las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Son ejemplos de expresiones algebraicas:

zxyx ++ 32 3 23 3 yy

y +−yxyx

−+

32

xx 13 +− 25 zyx−

En este curso se considerarán expresiones algebraicas en las que intervengan solamente números reales.

5.1.1.- Clasificación de las expresiones algebraicas

Expresiones algebraicas

RacionalesNo hay letras afectadas por el

signo radical

IrracionalesHay por lo menos una letra afectada por el

signo radical Ejemplo: 23xx +

FraccionariasHay por lo menos una

letra en el divisor.

Ejemplo: 1

32 2 ++x

x

EnterasNo hay letras en el

divisor.

Ejemplo: 72 2 ++ xyzyx

FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ Unidad 5: Polinomios

Curso de Ingreso 97

5.2.- Expresiones algebraicas enteras

Se estudiarán ahora expresiones algebraicas enteras.

5.3.- Monomios

Los monomios son expresiones algebraicas de un solo término.

Ejemplo:

yx35

En el monomio yx35 :

• el número 5 recibe el nombre de coeficiente,

• yx3 constituye la parte literal.

5.3.1.- Grado de un monomio

Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras que aparecen en él.

Ejemplo:

El monomio zyx 242− es de grado 7 .

5.3.2.- Monomios semejantes

Dos o más monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

Ejemplo:

cb23− y cb25 son monomios semejantes.

Los monomios semejantes pueden sumarse o restarse dando por resultado otro monomio semejante a los anteriores.

Ejemplo:

cbcbcbcb 2222 2)53(53 =+−=+−

5.4.- Polinomios

Un polinomio es una suma algebraica de monomios de distinto grado.

Ejemplo:

123 24 ++− yxx

Observación

Durante el desarrollo de este tema nos referiremos a polinomios donde la parte literal está constituida solamente por una variable elevada a cualquier exponente natural.


Curso de Ingreso 98

Los polinomios que se estudiarán en esta Unidad son expresiones algebraicas de la forma

012

21

1)( axaxaxaxaxP nn

nn +++++= −

− K

donde:

• 01 ,,, aaa nn K− son números reales llamados coeficientes.

• na es el coeficiente principal.

• 0a es el término independiente.

• x es la variable, también conocida con el nombre de indeterminada.

• Los exponentes 0,1,2,,1, K−nn , son números naturales.

• n es el grado del polinomio y se indica ( ) nxPgrado =)( .

Ejemplos:

� 1273)( 235 ++−= xxxxQ es un polinomio de grado 5 , que tiene coeficiente principal 35 =a y el término independiente es 10 =a .

� 2)( =xG es un polinomio de grado cero.

� 0)( =xS se llama polinomio nulo y no tiene grado.

5.4.1.- Funciones polinómicas

Cada polinomio 012

21

1)( axaxaxaxaxP nn

nn +++++= −

− K tiene asociada una función polinómica f con dominio y codominio en R , definida por la fórmula

012

21

1)( axaxaxaxaxf nn

nn +++++= −

− K .

En esta Unidad se hablará indistintamente de polinomios o de funciones polinómicas.

En la Unidad 3 se analizaron en particular las funciones polinómicas de grado uno o funciones lineales y las funciones polinómicas de grado dos o funciones cuadráticas.

5.4.2.- Igualdad de polinomios

Los polinomios

012

21

1)( axaxaxaxaxP nn

nn +++++= −

− K y

012

21

1)( bxbxbxbxbxQ mm

mm +++++= −

− K

son iguales si:

• tienen el mismo grado, es decir mn =

• mn ba = , 11 −− = mn ba , ....... , 00 ba =


Curso de Ingreso 99

5.4.3.- Valor numérico de un polinomio

Se llama valor numérico de un polinomio )(xP en kx = , al valor que toma el polinomio cuando se reemplaza x por k .

Si 012

21

1)( axaxaxaxaxP nn

nn +++++= −

− K , entonces el valor de )(xP en kx = es

012

21

1)( akakakakakP nn

nn +++++= −

− K .

Ejemplo:

Sea 1523)( 23 −+−= xxxxQ .

El valor de )(xQ en 2−=x es 431)2(5)2(2)2(3)2( 23 −=−−⋅+−⋅−−⋅=−Q

5.5.- Operaciones con polinomios

5.5.1.- Suma

La suma de dos polinomios )(xP y )(xQ es el polinomio )()( xQxP + que se obtiene sumando los monomios semejantes que se encuentran en )(xP y )(xQ .

Ejemplo:

Dados xxxxP +−= 34 52)( y 92)( 23 +−= xxxQ calcular )()( xQxP + .

Para sumar polinomios resulta conveniente ordenarlos según potencias decrecientes de xy completar los términos que faltan escribiendo dichos términos con coeficiente cero.

902)(

0052)(23

234

++−=

+++−=

xxxxQ

xxxxxP

932)()( 234 ++−−=+ xxxxxQxP

El grado de )()( xQxP + es 4.

5.5.2.- Producto de un número real por un polinomio

Si 012

21

1)( axaxaxaxaxP nn

nn +++++= −

− K y k es un número real, entonces:

)()()()()()( 012

21

1 akxakxakxakxakxPk nn

nn ⋅+⋅+⋅++⋅+⋅=⋅ −

− K .

Ejemplo:

Si 2525)( 23 +−+= xxxxP ,


Curso de Ingreso 100

615615)()3( 23 −+−−=⋅− xxxxP

El grado de )()3( xP⋅− es 3

5.5.3.- Resta

La resta de dos polinomios )(xP y )(xQ , es el polinomio )()1()()()( xQxPxQxP −+=− .

Ejemplo:

Dados 333)( 24 −+−= xxxxP y 1324)( 23 −++−= xxxxQ calcular )()( xQxP − .

Para restar polinomios resulta conveniente ordenarlos según potencias decrecientes de x ycompletar los términos que faltan escribiendo dichos términos con coeficiente cero.

1324)()1(

3303)(23

234

+−−=⋅−

−+−+=

xxxxQ

xxxxxP

22543)()( 234 −−−+=− xxxxxQxP

El grado de )()( xQxP − es 4.

5.5.4.- Producto de polinomios

Para realizar el producto de dos polinomios es necesario aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y las propiedades del producto y de la potenciación.

Ejemplo 1:

53)( 2 +−= xxxP xxQ 2)( =

xxx

xxxxx

xxxxQxP

1062

25232

)2()53()()(

23

2

2

+−=

⋅+⋅−⋅=

⋅+−=⋅

El grado de )()( xQxP ⋅ es 3.

Ejemplo 2:

53)( 2 +−= xxxP 34)( 23 +−= xxxR

15917177

15205912334

)34()53()()(

2345

2334245

232

+−−+−=

+−+−+−+−=

+−⋅+−=⋅

xxxxx

xxxxxxxx

xxxxxRxP

El grado de )()( xRxP ⋅ es 5.



Observación

Dados dos polinomios )(xP y )(xQ , se verifica que:

( ) ( ) ( ))()()()( xQgradoxPgradoxQxPgrado +=⋅

5.5.5.- Algunos productos especiales

Los productos que se muestran en el siguiente cuadro suelen presentarse con frecuencia en cálculos algebraicos.

Producto Nombre

2222)()( axaaxaxxaxax −=−+−=−⋅+

22)()( axaxax −=−⋅+Diferencia de cuadrados

Cuadrado de un binomio 222 )()()( aaxaxxaxaxax +++=+⋅+=+

222 2)( aaxxax ++=+

Trinomio cuadrado perfecto

222 )()()( aaxaxxaxaxax +−−=−⋅−=−

222 2)( aaxxax +−=−Trinomio cuadrado perfecto

Cubo de un binomio

3223

322223

22

3

33

22

)()2(

)()()()(

axaaxx

axaxaaxaxx

axaaxx

axaxaxax

+++=

+++++=

+⋅++=

+⋅+⋅+=+

32233 33)( axaaxxax +++=+

Cuatrinomio cubo perfecto

32233 33)( axaaxxax −+−=− Cuatrinomio cubo perfecto

5.5.6.- División de polinomios

Cuando se realiza una división entre números se procede del siguiente modo:

9 4

1 2Se verifica que 1249 +⋅=



dividendo divisor

…….

resto

cociente Dividendo = divisor × cociente + resto

La división de polinomios se efectúa empleando el mismo procedimiento que se usa para dividir los números reales.

Se recuerda que es necesario ordenar los polinomios según las potencias decrecientes de x y completar los términos que faltan escribiendo dichos términos con coeficiente nulo.

Ejemplo: Dados 54572)( 234 +++−= xxxxxP y 12)( 2 +−= xxxQ , el polinomio cociente entre )(xP y )(xQ es el polinomio )(xC que se obtiene siguiendo el procedimiento que se muestra a continuación.

1) Se divide el primer término del dividendo )(xP por el primer término del divisor )(xQ .

224 2:2 xxx =Se obtiene el primer término del cociente

)(xC .

54572 234 +++− xxxx 122 +− xx

22x

2) El término de )(xC se multiplica por el divisor.

El producto se resta al dividendo (o se cambia de signo y se suma).

54572 234 +++− xxxx 122 +− xx

( )234 242 xxx +−−

5433 23 +++− xxx

22x

3) Con 5433 23 +++− xxx como nuevo dividendo se repiten los pasos 1) y 2).

Así se obtiene otro término del cociente.

xxx 3:3 23 −=−

54572 234 +++− xxxx 122 +− xx

( )234 242 xxx +−−

5433 23 +++− xxx

( )xxx 363 23 −+−−

573 2 ++− xx

xx 32 2 −

4) El proceso continúa hasta que no se puedan obtener más términos del cociente.

Cociente: 332)( 2 −−= xxxC

Resto: 8)( += xxR

54572 234 +++− xxxx 122 +− xx

( )234 242 xxx +−−

5433 23 +++− xxx

( )xxx 363 23 −+−−

573 2 ++− xx

( )363 2 −+−− xx

8+x

332 2 −− xx



Es importante tener en cuenta que:

• La división )(:)( xQxP puede efectuarse siempre que ( ) ( ))()( xQgradoxPgrado ≥ .

• )()()()( xRxCxQxP +⋅= .

• El grado del resto debe ser menor que el grado del divisor, o bien 0)( =xR .

( ) ( ))()( xQgradoxRgrado <

• ( ) ( ) ( ))()()( xQgradoxPgradoxCgrado −= .

5.5.7.- Regla de Ruffini

Cuando el divisor es un polinomio de la forma ax − , la división puede realizarse de un modo más sencillo, empleando un algoritmo conocido como Regla de Ruffini.

Ejemplo: Calcular )(:)( xQxP , siendo 373)( 23 −+= xxxP y 3)( += xxQ .

Obsérvese que el polinomio divisor puede escribirse también como )3()( −−= xxQ ,adoptando la forma ax − con 3−=a .

Para realizar la división se emplea un cuadro.

En el primer renglón del cuadro se escriben los coeficientes del polinomio dividendo )(xP , que debe estar orde-nado y completo.

3073)( 23 −++= xxxxP

En la primera columna sólo se escribe el valor de a , que en este caso es 3− .

Los valores que figuran en el segundo y tercer renglón se obtienen realizando los cálculos auxiliares que se indican en el cuadro que figura a la derecha.

3 7 0 -3

3 7 0 -3

-3 -9 6

)3(3 −• )3(2 −•− )3(6 −• -21

-18 + + +

3 7 0 -3

-3



El último número que figura en el tercer renglón es el resto 21−=R .Los números anteriores son los coeficientes del polinomio cociente

623)( 2 +−= xxxC , cuyo grado es una unidad menor que el grado del polinomio dividendo )(xP .En este caso el grado del resto es igual a cero.

5.6.- Teorema del resto

Si se divide un polinomio )(xP por otro de la forma ax − , se verifica que:

RxCaxxP +⋅−= )()()( .

Si ax = , resulta:

RRaC

RaCaaaP

=+⋅=

+⋅−=)(0

)()()(

El resto R que resulta de dividir un polinomio )(xP por otro de la forma ax − , es igual al valor numérico de )(xP en ax = , es decir RaP =)( .

Ejemplo: Para calcular el resto de la división entre 2753)( 23 −+−= xxxxP y2)( −= xxQ , basta con determinar el valor numérico de )(xP en 2=x .

162272523)2( 23 =−⋅+⋅−⋅=P

El resto es 16=R .

5.7.- Concepto de raíz de un polinomio

Un valor de x es raíz de )(xP , si el polinomio se anula para ese valor.

ax = es raíz de )(xP si y sólo si 0)( =aP .

Ejemplo: 3=x es raíz de 33)( 23 −+−= xxxxP porque

033333)3( 23 =−+⋅−=P

5.8.- Divisibilidad de polinomios

Si al realizar la división entre dos polinomios )(xP y )(xQ , el resto es nulo, se dice que )(xP es divisible por )(xQ , o que )(xQ divide a )(xP , o que )(xP es múltiplo de )(xQ .

En ese caso )(xP puede expresarse como:

3 7 0 -3

-3 -9 6

-21

-18

3 -2 6



)()()( xCxQxP ⋅=

Ejercicio: Comprobar que 33)( 23 −+−= xxxxP es divisible por 3−x .

Observación

Teniendo en cuenta el Teorema del resto y los conceptos de divisibilidad y raíz de un polinomio se puede afirmar que las condiciones que se enuncian a continuación son equivalentes:

• a es raíz del polinomio )(xP .

• 0)( =aP .

• )(xP es divisible por ax − .

• El resto que resulta de dividir )(xP por ax − es igual a cero.

5.9.- Factorización de polinomios

Del mismo modo en que se descompone un número entero en producto de sus factores primos, se puede descomponer un polinomio compuesto en producto de polinomios primos.

Un polinomio )(xP de grado no nulo, es primo o irreducible cuando no puede ser expresado como producto de polinomios de grado positivo menor que )(xP .

Todo polinomio de grado uno es primo o irreducible.

Cuando un polinomio no es primo, es compuesto.

Factorizar un polinomio significa expresarlo como producto de polinomios primos o irreducibles.

Ejemplo:

Polinomio desarrollado: 15123)( 2 ++−= xxxS

Polinomio factorizado: )1()5(3)( +⋅−⋅−= xxxS

A continuación se presentan algunas técnicas que permiten expresar un polinomio como producto de factores.

5.9.1.- Factor común

Cuando en un polinomio )(xP , la variable x figura en todos los términos, se la extrae como factor común elevada al menor exponente. También se extrae como factor común el número que aparezca como factor en todos los términos.

Luego, se divide cada término del polinomio por el factor común.

Ejemplo: Sea 432 8204)( xxxxP −+= .

El factor común que aparece en todos los términos es 24x y el polinomio dado puede expresarse como:

( )22 2514)( xxxxP −+⋅=



5.9.2.- Diferencia de cuadrados

Se recuerda que una diferencia de cuadrados puede expresarse como producto del siguiente modo:

)()(22 axaxax −⋅+=−

Ejemplos:

• )5()5(525 222 −⋅+=−=− xxxx

• ( ) ( ) ( )66636 222224 −⋅+=−=− xxxx

• ( ) ( ) ( )6666222 −⋅+=−=− xxxx

5.9.3.- Trinomio cuadrado perfecto

La expresión factorizada de un trinomio cuadrado perfecto es el cuadrado de un binomio. 222 )(2 axaaxx +=++

222 )(2 axaaxx −=+−

Un trinomio cuadrado perfecto consta de tres términos que cumplen las siguientes condiciones:

• Dos de los términos son cuadrados perfectos.

• El término restante es el duplo del producto de las bases de los cuadrados perfectos. Si este término es negativo, entonces es negativo uno de los términos del binomio.

Ejemplo: 2510)( 2 +−= xxxH es un trinomio cuadrado perfecto porque:

� El primer término es el cuadrado de x .

� El tercer término es el cuadrado de 5 .

� El segundo término es x⋅⋅− 52 .

El trinomio cuadrado perfecto queda factorizado como: 22 )5(2510)( −=+−= xxxxH

5.10.- Factorización de un polinomio por medio de sus raíces

El Teorema Fundamental del Álgebra permite afirmar que:

Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces, considerando las reales y las no reales.

Por lo tanto se puede decir que:

Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales.



Si 012

21

1)( axaxaxaxaxP nn

nn +++++= −

− K con 0≠na , y nxxx ,,, 21 K son sus raíces, entonces )(xP puede escribirse como )()()()( 21 nn xxxxxxaxP −⋅⋅−⋅−⋅= K .

El polinomio ha quedado expresado como producto de polinomios primos, ha sido factorizado.

5.10.1.- Cálculo de las raíces de un polinomio

• Polinomios de grado uno Para determinar la única raíz de un polinomio de grado uno, es decir de un polinomio de

la forma baxxP +=)( , se plantea la ecuación 0=+ bax y se obtiene abx −= .

• Polinomios de grado dos

Para determinar las dos raíces 1x y 2x de un polinomio de grado dos, es decir de un

polinomio de la forma cbxaxxP ++= 2)( se resuelve la ecuación cuadrática

02 =++ cbxax como ya se vio en la Unidad 2.

• Polinomios de grado mayor o igual que tres La determinación de las raíces de polinomios se ha simplificado notablemente en la actualidad, gracias al uso de las computadoras y las calculadoras científicas.

En este curso de trabajará con polinomios cuyas raíces puedan ser calculadas sin mayores dificultades.

Es importante tener en cuenta que:

Una raíz entera de un polinomio de coeficientes enteros es un divisor de su término independiente.

Ejemplo: Determinar las raíces de 672)( 23 +−−= xxxxP .

- Para hallar las posibles raíces enteras de )(xP se debe considerar el conjunto de divisores del término independiente 6 : { }6,6,3,3,2,2,1,1 −−−− .

- Se prueba cuáles de esos divisores son raíces de )(xP .

0106)1(7)1()1(2)1( 23 ≠=+−⋅−−−−⋅=−P , por lo tanto 1− no es raíz de )(xP .

0617112)1( 23 =+⋅−−⋅=P , por lo tanto 11 =x es raíz de )(xP .

- )(xP es divisible por 1−x . Aplicando la Regla de Ruffini se obtiene:

1

2 -1 -7 6

2 1 -6

2 1 -6 0

62)( 2 −+= xxxC

62)1(:)( 2 −+=− xxxxP



( )62)1()( 2 −+⋅−= xxxxP

- Se determinan las raíces de 62)( 2 −+= xxxC .

23

44811

2 =++−=x 24

48113 −=+−−=x

Las raíces de )(xP son: 11 =x ,23

2 =x y 23 −=x .

El polinomio factorizado resulta: )2(23)1(2)( +⋅

−⋅−⋅= xxxxP .

5.11.- Expresiones algebraicas fraccionarias

Reciben el nombre de expresiones algebraicas fraccionarias o simplemente fracciones algebraicas las expresiones de la forma

)()(xQxP

donde )(xP y )(xQ son polinomios de una sola variable x y 0)( ≠xQ .

5.11.1.- Funciones racionales

Se llamarán funciones racionales a las funciones cuya fórmula es una fracción algebraica.

)()()(xQxPxf =

El dominio de una función racional es el conjunto de todos los valores de x que no anulan al denominador.

Cuado se trabaja con funciones racionales es importante tener en cuenta su dominio.

Ejemplos:

• El dominio de la función g definida por 23)(

−+=xxxg es: { }2)( −= Rgdom

• El dominio de la función h definida )2()5(

9)(2

+⋅−−=xx

xxh es: { }5,2)( −−= Rhdom

5.11.2.- Simplificación de fracciones algebraicas

Es posible simplificarlas cuando existen factores comunes en el numerador y en el denominador, de lo contrario la expresión es irreducible.

Ejemplo: Dada la expresión 99

923

2

−−+−

xxxx

, se factoriza numerador y denominador,

resultando:



)3()3()1()3()3(

999

23

2

−⋅+⋅+−⋅+=

−−+−

xxxxx

xxxx

Simplificando los factores comunes, se obtiene:

11

)3()3()1()3()3(

999

23

2

+=

−⋅+⋅+−⋅+=

−−+−

xxxxxx

xxxx

si 3≠x y 3−≠x

Las expresiones anteriores son equivalentes, pero no debe olvidarse que el dominio de la función racional es el que quedó determinado a partir de la expresión original .

La simplificación es válida siempre que 3≠x y 3−≠x .

5.12.- Operaciones con fracciones algebraicas

5.12.1.- Suma y resta de fracciones.

Con igual denominador

)()()(

)()(

)()(

xQxSxP

xQxS

xQxP +=+

)()()(

)()(

)()(

xQxSxP

xQxS

xQxP −=−

Ejemplo:

34

3512

3)5()12(

35

312

+−=

+−−+=

++−+=

++

−++

xx

xxx

xxx

xx

xx

Con distinto denominador Cuando las expresiones que se quieren sumar (o restar) tiene distinto denominador, es necesario calcular el denominador común.

Ejemplo:

445

42

22 ++++

− xxx

x• Se factorizan los denominadores.

)2()2(42 −⋅+=− xxx

22 )2(44 +=++ xxx

• Se calcula el denominador común como el múltiplo común menor de los denominadores. Para ello, se multiplican los factores comunes y no comunes con el mayor exponente con el que figuren.

El denominador común en el ejemplo dado es )2()2( 2 −⋅+ xx

• Se divide el denominador común encontrado por el denominador de cada término y se multiplica este cociente por el numerador correspondiente.

)2()2()2()5()2(2

)2(5

)2()2(2

445

42

2222 −⋅+−⋅+++⋅=

+++

−⋅+=

++++

− xxxxx

xx

xxxxx

x

• Operando en el numerador, queda:



)2()2(65

)2()2(105242

2

2

2

2

−⋅+−+=

−⋅+−+−++

xxxx

xxxxxx

• Se factoriza el numerador, y si corresponde se simplifica la fracción.

)2()2()6()1(

)2()2(65

22

2

−⋅++⋅−=

−⋅+−+

xxxx

xxxx

5.12.2.- Producto de fracciones algebraicas

El producto de dos fracciones algebraicas )()(xQxP

y)()(xTxS

se realiza del siguiente modo:

)()()()(

)()(

)()(

xTxQxSxP

xTxS

xQxP

⋅⋅=⋅

Ejemplo:

( )( )23

2

23

2

2)33(1

21

33 xxxxx

xxx

xx

+⋅+−⋅=

+−

⋅+

Se factoriza numerador y denominador y se simplifica si es posible.

( )( ) 1

)2(31

)2()1(3)1()1(

2)33(1

21

33 223

2

23

2−≠

+⋅−=

+⋅⋅+⋅

−⋅+⋅=+⋅+−⋅=

+−

⋅+

xsixxx

xxxxxx

xxxxx

xxx

xx

5.12.3.- División de fracciones algebraicas

Se llama inversa de una expresión algebraica fraccionaria )()(xTxS

a la expresión )()(xSxT

, si

)(xS es no nulo.

Para realizar la división )()(:

)()(

xTxS

xQxP

se multiplica la primera fracción por la inversa de la

segunda.

)()(

)()(

)()(:

)()(

xSxT

xQxP

xTxS

xQxP

⋅=

Ejemplo:

21)1(3

5)2(3)1()1(

)1()2(5631

1105

163:

1105

22 −≠−≠−

=+⋅−⋅+

+⋅+=++

⋅−

+=++

−

+ xyxsixxxx

xxxx

xx

xx

xx

5.13.- Ecuaciones que involucran fracciones algebraicas

A continuación se mostrará a través de un ejemplo cómo se resuelve una ecuación que involucra fracciones algebraicas.



Ejemplo: Encontrar los valores de x que satisfacen la siguiente ecuación.

15

12

13

2

2

−=

+−

− xx

xx

xx

Se observa en este caso, que la incógnita x no puede tomar los valores 1 y -1, dado que dichos valores anulan los denominadores. La siguiente ecuación es equivalente a la dada.

01

51

21

32

2=

−−

+−

− xx

xx

xx

Se calcula el denominador común y se obtiene:

01

5)1(2)1(32

2=

−−−⋅−+⋅

xxxxxx

Operando en el numerador queda:

01

522332

232=

−−+−+

xxxxxx

01

2522

23=

−−+−

xxxx

Las raíces del polinomio xxx 252 23 −+− que figura en el numerador son soluciones para la ecuación dada.

Ellas son 01 =x ,21

2 =x y 23 =x .

Como puede observarse no es necesario descartar ninguna de las soluciones obtenidas, ya que son distintas de 1 y -1, valores de la incógnita que al comenzar el ejemplo dijimos que anulan el denominador.



ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5

1.- Calcular )(2)( xBxA − , siendo 8942)( 243 +−+= xxxxA y xxxxB 23)( 23 −+−= .

2.- Dados: 4654)( 23 −+−= xxxxP , 54)( 2 +−= xxxQ y 3)( 2 −= xxT

Calcular:

a. )()(3 xQxP +

b. )()()( xTxQxP ⋅−

3.- Sean 2243)( xxxA +−−= y 12)( −= xxB .

Completar el cuadro que sigue con el resultado de las operaciones indicadas.

=⋅ )()( xAxB

( ) =2)(xB

4.- Obtener el cubo del siguiente binomio: y32 − .

5.- En el polinomio 332)( 2345 ++−+−= kxxxxxxA ¿Cuánto vale k , si 2)1( −=−A ?

6.- Efectuar las siguientes divisiones, indicando para cada una de ellas el cociente y el resto. Cuando corresponda emplear la Regla de Ruffini.

a. ( ) ( )132 223 −÷++− xxxx

b. ( ) ( )128168 2325 +−÷+−− xxxxx

c. ( ) ( )2224 +÷++ xxx

d. ( ) ( )2523 34 −÷+−+− xxxx

e. ( ) ( )37105 −÷−− xxx

f. ( )121

43

21 23 −÷

+−+ xxxx



g. ( ) ( )32125 32 +÷+−+− yyyy

7.- En una división de polinomios el cociente es 54)( 2 +−= xxxC y el resto es

73)( −= xxR . ¿Cuál es el dividendo, si el divisor es: 1)( 3 −+= xxxd ?

8.- Dado el polinomio 542)( 23 −−+= xxxxQ , calcular )1(Q . ¿Cuál es el resto de dividir )(xQ por ( )1−x ?

9.- Dado bxxxxP +−−= 1042)( 23 , determinar el valor de b, para que el número real 2−sea raíz de )(xP .

10.- ¿Cuánto debe valer k para que el polinomio 132)( 4 −+−= xkxxQ sea divisible por )2( −x

11.- Sin realizar la división que se da a continuación, determinar el resto de:

1

9899100101

++−+

xxxxx

12.- Completar:

a. )()2(639 3KKKKKKKKKK⋅+=++− xxx

b. 3)1()( 2 −=+÷ xxKKKKKKKKKK

13.- Sea 242242)( 23 +−−= xxxxQ

a. Se sabe que )(xQ es divisible por uno de los siguientes polinomios. Indicar por cuál. Justificar.

( )2−x ( )3+x ( )1+x

b. Encontrar todas las raíces de )(xQ

14.-

a. Si 183123)3()( 23 −++=+⋅ xxxxxT , determinar )(xT .

b. Calcular las raíces de 183123)( 23 −++= xxxxQ

c. Expresar el polinomio )(xQ factorizado

Raíces de )(xQ : …………………



15.- Se sabe que el polinomio )(xP es divisible por )2( −x y el polinomio cociente que

resulta de dividir )(xP por )2( −x es 1222)( 2 −−= xxxC

a. Calcular )(xP

b. Determinar las raíces de )(xP

c. Expresar el polinomio )(xP factorizado

16.- Construir un polinomio que admita las raíces: 521 +=x , 522 −=x y 13 −=x

17.- Determinar un polinomio de grado 3, que tenga como raíces a 11 =x , a 22 =x y tal que 10)0( =P .

18.- Factorizar las siguientes expresiones:

a. 40132 +− xx

b. 36244 2 ++ xx

c. 6254 −x

d. xxx 963 23 −−

19.- Factorizar y simplificar las siguientes expresiones:

a. ( )

xxx

xxxx

332

42

2

2

2

23

++

⋅−

−−

b. 4

10532

1831232

2

2

23

−

−⋅

−+−++

xxx

xxxxx

c. 962

841222

223

23

−

−⋅

−

−+xx

xxxxx

d. xx

xxx

xxx

4

242242

9

932

23

2

2

−

+−−⋅

−

−

e. 305

65

1

63 2

2 −−−

⋅−

+xxx

xx

20.- Operar y simplificar.

a. 123

12

12 −

÷+ xx



b. 2

2

2 )2(

12

4

3

−

−−÷−

+

xxx

xx

c. 2

44

12 2

2

2

3

−+

+÷+−

+

xxx

xxxx

d. ( )232

2334

+−

+−

aaaa

21.- Indicar verdadero(V) o falso(F). Justificar la respuesta.

a. El binomio 1+x es un divisor de 306 23 +++ xxx .

b. 613 −x es divisible por

21+x .

c. 1321

3121

1

+=

−−−

−−

−

aa

aaa si 3≠a

d. ( ) 6

266

361236

22 +=

+−

−++

+yy

yyyy

e. ∀ 1−≠b vale 1

11122

+−−=

+−

bb

bb

f. Si { }3,3−−∈Rx se verifica 2

259

652

2

−+−=

−+− x

xxx

22.- Resolver las siguientes ecuaciones:

a. 15

12

11

2

2

−

−=+

+− x

xxx

b. 12

32

22 =−

−− xxx

c. 111

12 =−

++ x

xx

d. 33

36344

121

22

2

2 −

++−

−−=

− xxx

xx



e. 44

121

441

223 ++=

+−

−++ xxx

xxxx

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UNIDAD 5 – Polinomios