Unidad 5 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

7/26/2019 Unidad 5 Solucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales

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UNIDAD 5 SOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

5.1ELIMINACION GAUSSIANA

-DEFINICION

El mtodo de eliminacin Gaussiana paa la solucin de sistemas de ecuacioneslineales consiste en con!eti a ta!s de opeaciones "#sicas llamadas opeaciones deen$ln un sistema en oto e%ui!alente m#s sencillo cu&a espuesta pueda leese demanea diecta' El mtodo de eliminacin Gaussiana es el mismo paa sistemas deecuaciones ()(* +)+* ,), & as sucesi!amente siempe & cuando se espete la elacinde al menos una ecuacin po cada !aia"le'

Antes de ilusta el mtodo con un e.emplo* es necesaio pimeamente conoce lasopeaciones "#sicas de en$ln las cuales son pesentas a continuacin/1' Am"os miem"os de una ecuacin pueden multiplicase po una constante di0eentede ceo'(' Los mltiplos di0eentes de ceo de una ecuacin pueden sumase a ota ecuacin+' El oden de las ecuaciones es intecam"ia"le'Una !e2 conocidas las opeaciones %ue en mi a0#n po esol!e un sistema deecuaciones puedo eali2a pocedo a ilusta el mtodo con un e.emplo/1' 3esol!e el si$uiente sistema de ecuaciones/4 5 (& 5 +2 6 1,4 5 7& 5 826 9(:4 5 ;& 5 1a'Multiplico la ecuacin 1 po 9, & la esto de la ecuacin (* de i$ual 0oma la multiplicopo 9: & la esto de la + o"teniendo'Despus di!ido la ecuacin ( @en$ln ( ente 9+ paa >ace el componente de la

dia$onal pincipal 1 %uedando como si$ue/Multiplico la ecuacin ( @en$ln ( po 8 & lo sumo a la ecuacin + @en$ln +'Una !e2 lo$ada la dia$onal pincipal 0omada po unidades & los datos po de"a.o de ladia$onal pincipal ceos einte$o las !aia"les en cada ecuacin & tam"in el si$no i$ualde las ecuaciones o"teniendo/Donde el !alo de 26 1< & al sustitui este !alo en la ecuacin esultante (* tendamos& 5 (2 6 ( al sustitui el !alo de 2 o"tenemos %ue/


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& 5 (@1ec>o esto* a continuacin se pocede a con!eti dic>a mati2 en unamati2 identidad* es deci una mati2 e%ui!alente a la oi$inal* la cual es de la0oma/
https://sites.google.com/site/pnumericos20112/eliminacion-gaussianahttp://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTEShttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/macroecon/macroecon.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/cambcult/cambcult.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTEShttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/macroecon/macroecon.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/cambcult/cambcult.shtmlhttps://sites.google.com/site/pnumericos20112/eliminacion-gaussiana


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Esto se lo$a aplicando a las distintas 0ilas & columnas de las maticessimples opeacionesde suma* esta* multiplicacin & di!isin teniendo en cuenta%ue una opeacin se aplicaa a todos los elementos de la 0ila o de la columna*sea el caso'O"s!ese %ue en dic>a mati2 identidad no apaecen los tminosindependientes* esto se de"e a %ue cuando nuesta mati2 oi$inal alcance la0oma de la mati2 identidad* dic>os tminos esultaan se la solucin del sistema& !ei0icaan la i$ualdadpaa cada una de las !aia"les* coespondindose de lasi$uiente 0oma/d1 6 4

d( 6 &d+ 6 2

A>oa %ue est#n sentadas las "ases* podemos e4plica paso a paso la esolucinde sistemas de ecuaciones lineales po medio de este mtodo'=aa ilustanos me.o lo anali2aemos con un e.emplo conceto/Sea el sistema de ecuaciones/

=ocedemos al pime paso paa enconta su solucin* anotalo en su 0omamaticial/

Una !e2 >ec>o esto podemos empe2a a opea con las distintas 0ilas & columnasde la mati2 paa tans0omala en su mati2 identidad* teniendo siempe en cuenta

la 0oma de la misma/
http://www.monografias.com/trabajos6/diop/diop.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/histoconcreto/histoconcreto.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/diop/diop.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/histoconcreto/histoconcreto.shtml


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Lo pimeo %ue de"emos >ace es tans0oma el ( de la 1 0ila de la mati2 oi$inalen el 1 de la 1 0ila de la mati2 identidad paa >ace esto de"emos multiplicatoda la 1 0ila po el in!eso de (* es deci '

Lue$o de"emos o"tene los dos ceos de la pimea columna de la mati2identidad* paa lo$a esto* "uscamos el opuesto de los nmeos %ue se u"icaonpo de"a.o del 1 de la pimea columna* en este caso el opuesto de + %ue se# -+ &el opuesto de 7 %ue se# -7'Una !e2 >ec>o esto* se pocede# a multiplica los opuestos de estos nmeos pocada uno de los elemento de la 1 0ila & estos se sumaan a los nmeos de su

especti!a columna' =o e.'/ en el caso de la (H 0ila* se multiplicaa a -+ @opuestode + po cada uno de los elementos de la 1H 0ila & se sumaa su esultado con elnumeo %ue le coesponda en columna de la se$unda 0ila' En el caso de la + 0ilase multiplicaa a -7 @opuesto de 7 po cada uno de los elementos de la 1H 0ila & sesumaa su esultado con el nmeo %ue le coesponda en columna de la tecea0ila'

Nuesto si$uiente paso es o"tene el 1 de la ( 0ila de la mati2 identidad* &pocedemos de i$ual 0oma %ue antes* es deci multiplicamos toda la 0ila po elin!eso del numeo %ue deseamos tans0oma en 1* en este caso -1+(* cu&oin!eso es -(1+

Adem#s si o"se!amos la tecea 0ila* nos damos cuenta %ue todos los elementosposeen el mismo denominado* entonces podemos eliminalos multiplicando todoslos elementos de la +H 0ila po ( @el denominado si "ien este no es un pasonecesaio paa el desaollodel mtodo* es til paa 0acilita c#lculos posteioes'

5.3 METODO DE GAUSS SEIDEL

El mtodo de eliminacin paa esol!e ecuaciones simult#neas suministasoluciones su0icientemente pecisas >asta paa 17 o (< ecuaciones' El nmeoe4acto depende de las ecuaciones de %ue se tate* del nmeo de d$itos %ue seconse!an en el esultado de las opeaciones aitmticas* & del pocedimiento deedondeo' Utili2ando ecuaciones de eo* el nmeo de ecuaciones %ue sepueden mane.a se puede incementa considea"lemente a m#s de 17 o (


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este mtodo tam"in es imp#ctico cuando se pesentan* po e.emplo* cientos deecuaciones %ue se de"en esol!e simult#neamente' El mtodo de in!esin dematices tiene limitaciones similaes cuando se ta"a.a con nmeos mu& $andesde ecuaciones simult#neas'Sin em"a$o* e4isten !aias tcnicas %ue se pueden utili2a* paa esol!e $andes

nmeos de ecuaciones simult#neas' Una de las tcnicas m#s tiles es el mtodode Gauss-Seidel' Nin$uno de los pocedimientos altenos es totalmentesatis0actoio* & el mtodo de Gauss-Seidel tiene la des!enta.a de %ue no siempecon!e$e a una solucin o de %ue a !eces con!e$e mu& lentamente' Sinem"a$o* este mtodo con!e$i# siempe a una solucin cuando la ma$nitud delcoe0iciente de una inc$nita di0eente en cada ecuacin del con.unto* seasu0icientemente dominante con especto a las ma$nitudes de los otos coe0icientesde esa ecuacin'Es di0cil de0ini el ma$en mnimo po el %ue ese coe0iciente de"e domina a losotos paa ase$ua la con!e$encia & es an m#s di0cil pedeci la !elocidad de lacon!e$encia paa al$una com"inacin de !aloes de los coe0icientes cuando esacon!e$encia e4iste' No o"stante* cuando el !alo a"soluto del coe0icientedominante paa una inc$nita di0eente paa cada ecuacin es ma&o %ue la sumade los !aloes a"solutos de los otos coe0icientes de esa ecuacin* lacon!e$encia est# ase$uada' Ese con.unto de ecuaciones simult#neas lineales seconoce como sistema dia$onal'Un sistema dia$onal es condicin su0iciente paa ase$ua la con!e$encia peono es condicin necesaia' A0otunadamente* las ecuaciones simult#neas lineales%ue se dei!an de muc>os po"lemas de in$eniea* son del tipo en el cual e4istensiempe coe0icientes dominantes'La secuencia de pasos %ue constitu&en el mtodo de Gauss-Seidel es la si$uiente/1' Asi$na un !alo inicial a cada inc$nita %ue apae2ca en el con.unto' Si esposi"le >ace una >iptesis a2ona"le de stos !aloes* >acela' Si no* se puedenasi$na !aloes seleccionados a"itaiamente' Los !aloes iniciales utili2ados noa0ecta#n la con!e$encia como tal* peo a0ecta#n el nmeo de iteacionese%ueidas paa dic>a con!e$encia'(' =atiendo de la pimea ecuacin* detemina un nue!o !alo paa la inc$nita%ue tiene el coe0iciente m#s $ande en esa ecuacin* utili2ando paa las otasinc$nitas los !aloes supuestos'+' =asa a la se$unda ecuacin & detemina en ella el !alo de la inc$nita %uetiene el coe0iciente m#s $ande en esa ecuacin* utili2ando el !alo calculado paala inc$nita del paso ( & los !aloes supuestos paa las inc$nitas estantes',' Continua con las ecuaciones estantes* deteminando siempe el !alocalculado de la inc$nita %ue tiene el coe0icniente m#s $ande en cada ecuacinpaticula* & utili2ando siempe los ltimos !aloes calculados paa las otasinc$nitas de la ecuacin' @Duante la pimea iteacin* se de"en utili2a los!aloes supuestos paa las inc$nitas >asta %ue se o"ten$a un !alo calculado'Cuando la ecuacin 0inal >a sido esuelta* popocionando un !alo paa la nicainc$nita* se dice %ue se >a completado una iteacin'7' Continua iteando >asta %ue el !alo de cada inc$nita* deteminado en unaiteacin paticula* di0iea del !alo o"tenido en la iteacin pe!ia* en una cantidad


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meno %ue cieto seleccionado a"itaiamente' El pocedimiento %uedaentonces completo'

3e0iindonos al paso 7* mientas meno sea la ma$nitud del seleccionado*ma&o se# la pecisin de la solucin' Sin em"a$o* la ma$nitud del epsilonnoespeci0ica el eo %ue puede e4isti en los !aloes o"tenidos paa las inc$nitas*

&a %ue sta es una 0uncin de la !elocidad de con!e$encia' Mientas ma&o seala !elocidad de con!e$encia* ma&o se# la pecisin o"tenida en los !aloes de

las inc$nitas paa un dado'EEM=LO3esol!e el si$uiente sistema de ecuacin po el mtodo Gauss-Seidel utili2ando

un 6


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En la se$unda iteacin* se epite el mismo pocedimiento/

Compaando los !aloes calculados ente la pimea & la se$unda iteacin

Como podemos o"se!a* no se cumple la condicin

Entonces tomamos los !aloes calculados en la ltima iteacin & se toman comosupuestos paa la si$uiente iteacin' Se epite entonces el poceso/

Compaando de nue!o los !aloes o"tenidos

Como se o"se!a toda!a no se cumple la condicin


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As %ue >acemos ota iteacin

Compaando los !aloes o"tenidos

Dado %ue se cumple la condicin* el esultado es/

1 6 +'# de la interseccin > a lainterseccin )# etc.

Primero determinamos los /alores posibles de cada xi. *sumiendo que noha$ paradas en el trco# el nmero de carros que llea a una interseccindebe ser iual al nmero de carros que sale de la interseccin. )on base aeste supuesto obtenemos el siuiente sistema.

?@.

?


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?


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E#EMPLO 1% Modelos de =eontief de Entrada , 'alida.

'upona que un sistema econmico tiene n industrias distintas

# cada una de las cuales tiene necesidades de entrada ?materiaprima# instalaciones@ $ una salida ?productos terminados@. El coeciente deentrada dij mide la cantidad de entrada que la industria j,:sima requiere dela industria i,:sima para producir una unidad( =a coleccin de coecientesde entrada esta dada por la siuiente matriz n 4n. =as unidades se midenen Ccantidades de dlarD.

Pro/eedor

Usuario

Esta matriz se denomina matriz de entrada salida. Para comprender como

utilizar esta matriz# imaine que los elementos de estn dados endlares. Por e"emplo# si d12B .%1# entonces debe utilizarse .%1 dlaresdel /alor del producto de la industria 1 para producir un /alor de un dlar del

producto de la industria 2. =a cantidad total astada por la j,:sima industriapara producir un /alor de un dlar de salida esta dada por la suma de loselementos de la j,:sima columna. Por tanto# para que funcione este

modelo# los /alores de dij deben ser tales que $ la suma de loselementos de cualquier columna debe ser menor o iual que 1.


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El modelo de =eontief cerrado puede aplicarse a n industrias $ suspropiedades bsicas son(

1. =a matriz D tiene componentes dij# donde

2. =a suma de los componentes de cualquier columna es 1.

3. Se satisface la condicin de equilibrio, es decir, que los gastos debidos al consumo son

iguales a los ingresos debidos a las ventas.

E#EMPLO 1&

'upona que una econom&a simple tiene tres industrias que sondependientes entre si# pero que no dependen de industrias e4ternas ?secumple el modelo cerrado de =eontief@.

=as industrias son( aricultura# construccin $ /estuario. =a fraccin de cadaproducto que consume cada industria esta dado por(

*ricultura )onstruccin

9estuario

*ricultura

)onsumo )onstruccin

9estuario

Produccin


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=a componente dij denota la fraccin de bienes producidos por la ente quetraba"a en la industria j $ que es consumida por la ente que traba"a en laindustria i.

Por e"emplo sinica que la industria del /estuario consumedel total de la produccin ar&cola.

'uponamos que los inresos de la industria de la aricultura# construccin $

/estuario son $ respecti/amente. 0etermine los inresos de cadasector de la econom&a.

Souci!n"

este sistema es equi/alente al sistema


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Usando eliminacin de +auss,-ordan podemos resol/er este sistema

El sistema correspondiente a esta ltima matriz es


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haciendo # t es un real no neati/o.

*si cualquier solucin es de la forma por tanto ha$innitas soluciones# sin embaro los inresos de la industria de la aricultura#construccin $ /estuario estn en la proporcin %(!(%.

E#EMPLO 1'

Un in/ersionista le arma a su corredor de bolsa que todas sus acciones sonde tres compaF&as 0elta# Gilton $ Mc0onaldHs $ que hace dos d&as su /alorba" I!5 pero que a$er aument I6. El corredor recuerda que hace dosd&as las acciones de 0elta ba" I1 por accin $ las de Gilton I1.5# pero queel precio de las acciones de Mc0onaldHs subi I.5. Jambi:n recuerda quea$er el precio de las acciones de 0elta subi I1.5 por accin# las de Giltonba" otros I.5 por accin $ las de Mc0onaldHs subi I1. por accin.0emuestre que el corredor no tiene suciente informacin para calcular elnmero de acciones que posee el in/ersionista en cada compaF&a# pero que siel dice que tiene 2 acciones en Mc0onaldHs# el corredor puede calcular elnmero de acciones que tiene en 0elta $ en Gilton.

'olucin(

'ea 40 el nmero de acciones en la compaF&a 0elta.

4G el nmero de acciones en la compaF&a Gilton.

4M el nmero de acciones en la compaF&a Mc0onaldHs.


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*plicando el m:todo de +auss,-ordan podemos resol/er el sistema

El corredor de bolsa no tiene informacin suciente para determinar el nmerode acciones que tiene en cada compaF&a el in/ersionista# puesto que elsistema tiene mas incnitas que ecuaciones.

El sistema correspondiente a la ltima matriz es

'i se sabe que el in/ersionista tiene 2 acciones en Mc0onaldHs# es decir#

entonces la solucin del sistema es


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