Solución de Ecuaciones No Lineales - fi.mdp.edu.ar - 2018b - 4 - Sistemas de... · Unidad 4 –Solución de Sistemas de Ecuaciones Métodos Numéricos –2do Cuatrimestre de 2018

Métodos Numéricos - Cap 3: Solución de Ecuaciónes no Lineales 8/10/2018

1

Solución de Sistemas de Ecuaciones

Unidad 4

Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018

Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones

• Un número 𝛼 se dice raíz o cero de la ecuación f(x) si f () = 0 .

• Los métodos numéricos para encontrar una raíz de una ecuación f(x), generarán una sucesión 𝑥𝑛 con𝑛 = 1,2,3, … tal que lim

𝑛→∞𝑥𝑛 = 𝛼.

• El sistema de ecuaciones está formado por un conjunto de ecuaciones del tipo 𝑓𝑖 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 , con𝑖 = 1,2, … ,𝑚.

𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑚

𝑋 = 𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑚

• Un vector 𝐴 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 se dice solución de un sistema de ecuaciones 𝐹 𝑋 si 𝐹 𝐴 = 0.

• Los métodos numéricos para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones 𝐹 𝑋 generarán unasucesión 𝑋𝑛 , 𝑛 = 1,2,3, … tal que lim

𝑛→∞𝑋𝑛 = 𝐴.


Representación matricial para sistemas de ecuaciones


Criterios de aproximación para sistemas de ecuaciones

1er Criterio:

Dado un número 휀1 > 0 y adecuadamente pequeño,que llamaremos tolerancia, podemos escoger comoaproximación a la raíz 𝛼 a un término 𝑥𝑛 de lasucesión mencionada, donde 𝑛 es el menor enteropositivo que satisface:

𝑓 𝑥𝑛 < 휀1

2do Criterio:

Sea lim𝑛→∞

𝑥𝑛 = 𝛼 entonces dado 휀2 > 0 ,

adecuadamente pequeño, ∃𝑛 tal que 𝑥𝑛 − 𝛼 <휀2.

El término 𝑥𝑛 de la sucesión mencionada puede serconsiderado una aproximación a la raíz, donde 𝑛 esel menor entero positivo que cumple la condición:

𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 < 휀2

En sistemas

Para una ecuación


𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑚 𝑋 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑚

𝐹 𝑋 < 휀1 𝑋𝑛 − 𝑋𝑛−1 < 휀2



Normas vectoriales

Una norma vectorial es una función ∙ : ℝ𝑛 → ℝ / 𝑋 → 𝑋 ,

y satisfice que ∀𝑋, 𝑌 ∈ ℝ𝑛, ∀𝛼 ∈ ℝ:

i. 𝑋 ≥ 0, 𝑋 = 0 ⇒ 𝑋 = 0

ii. 𝛼𝑋 = 𝛼 𝑋

iii. 𝑋 + 𝑌 ≤ 𝑋 + 𝑌

• Distancia asociada con la norma euclidiana: 𝑋 − 𝑌 2 = σ𝑖=1𝑛 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖

2

• Distancia asociada con la norma suma: 𝑋 − 𝑌 1 = σ𝑖=1𝑛 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖

• Distancia asociada con la norma del máximo: 𝑋 − 𝑌 ∞ = max1≤𝑖≤𝑛

𝑥𝑖 − 𝑦𝑖

• Norma euclidiana (o norma 2):

𝑋 2 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖2

• Norma suma (o norma 1):

𝑋 1 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖

• Norma del máximo (o norma ∞):𝑋 ∞ = max

1≤𝑖≤𝑛𝑥𝑖


2



Norma matricial inducida por la correspondiente norma vectorial ∙ :

𝐴 = max𝑋≠0

𝐴𝑋

𝑋𝐴 ∈ ℝ𝑚×𝑛

Entonces:

• 𝐴 2 = max𝑋≠0

𝐴𝑋 2

𝑋 2

• 𝐴 1 = max𝑋≠0

𝐴𝑋 1

𝑋 1.

Si 𝑋 1 = 1, 𝐴 1 = max1≤𝑗≤𝑛

σ𝑖=1𝑛 𝑎𝑖𝑗 norm(A,1)

• 𝐴 ∞ = max𝑋≠0

𝐴𝑋 ∞

𝑋 ∞

Si 𝑋 ∞ = 1, 𝐴 ∞ = max1≤𝑖≤𝑛

σ𝑗=1𝑛 𝑎𝑖𝑗 norm(A,inf)

Normas matriciales

Una norma matricial es una función

∙ : ℝ𝑚×𝑛 → ℝ / 𝑋 → 𝑋 , y

satisfice que ∀𝑋, 𝑌 ∈ ℝ𝑚×𝑛, ∀𝛼 ∈ ℝ:

i. 𝑋 ≥ 0, 𝑋 ≥ 0 ⇒ 𝑋 = 0

ii. 𝛼𝑋 = 𝛼 𝑋

iii. 𝑋 + 𝑌 ≤ 𝑋 + 𝑌

Si 𝑚 = 𝑛: 𝑋 𝑌 ≤ 𝑋 𝑌



Para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, se pueden aplicar los métodos abiertos aplicados a la resolución de ecuaciones no lineales:

• Punto fijo

• Newton-Raphson

siendo necesario hacer una transformación a variables vectorizadas.

Sistema de ecuaciones no lineales



Método de punto fijo: Para resolución de ecuaciones teníamos: 𝑓 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝑔 𝑥

Para sistemas de ecuaciones no lineales: Sean 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛 y 𝑋 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 .

𝐺 = 𝑔1, 𝑔2, … , 𝑔𝑛 donde: 𝑥1 = 𝑔1 𝑋 , 𝑥2 = 𝑔2 𝑋 , ..., 𝑥𝑛 = 𝑔𝑛 𝑋

𝐹 𝑋 = 0, 𝑋 = 𝐺 𝑋 ⇒ 𝑋 𝑘+1 = 𝐺 𝑋 𝑘

Condición de convergencia para resolución de ecuaciones: 𝑔′ 𝑥 < 1. Sabemos que: 𝛼 − 𝑥𝑛 ≤𝐾𝑛

1−𝐾𝑥1 − 𝑥0

Para sistemas de ecuaciones no lineales:

𝜕𝑔1

𝜕𝑥1+

𝜕𝑔1

𝜕𝑥2+⋯+

𝜕𝑔1

𝜕𝑥𝑛≤ 𝐾1 < 1

𝜕𝑔2

𝜕𝑥1+

𝜕𝑔2

𝜕𝑥2+⋯+

𝜕𝑔2

𝜕𝑥𝑛≤ 𝐾2 < 1 ….

En general, existe un único punto fijo, si: 𝜕𝑔𝑖

𝜕𝑥𝑗≤

𝐾

𝑛para 0 ≤ 𝐾 < 1, y 𝐴 − 𝑋 𝑛

∞≤

𝐾𝑛

1−𝐾𝑋 1 − 𝑋 0

∞




Para resolución de ecuaciones: Además, si 𝑔′ 𝑥 existe para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 y 𝑔′ 𝑥 ≤ 𝐾 < 1 para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , 𝐾 constante, entonces 𝑔 𝑥 tiene un único punto fijo 𝛼 en 𝑎, 𝑏 .

Para resolución de ecuaciones: Si 𝑔 𝑥 es una función continua en 𝑎, 𝑏 y 𝑔 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 ,entonces 𝑔 𝑥 tiene por lo menos un punto fijo en 𝑎, 𝑏 .

Para resolución de sistemas: Si 𝐷 = 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ ℝ𝑛 ∕ 𝑎𝑖 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑏𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑛 , 𝑔𝑖 𝑋 continuas y𝐺 𝑋 ∈ 𝐷 para todo 𝑋 ∈ 𝐷, entonces 𝐺 𝑋 tiene por lo menos un punto fijo en 𝐷.

Para resolución de sistemas: Además, si existen las derivadas parciales𝜕𝑔𝑖 𝑋

𝜕𝑥𝑗continuas en 𝐷 y para todo 𝑋 ∈ 𝐷

𝜕𝑔𝑖 𝑋

𝜕𝑥𝑗≤

𝐾

𝑛entonces 𝐺 𝑋 tiene un único punto fijo en D .

Teorema del punto fijo para sistemas de ecuaciones


3



Ejemplo 1

൝𝑥2 + 𝑦2 − 1 = 0

𝑥2 − 𝑦2 − 1 = 0

𝑥2 + 𝑦2 − 1 𝑥2 − 𝑦2 − 1



no converge

Ejemplo 1: Punto Fijo

Si 𝐷 = 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ ℝ𝑛 ∕ 𝑎𝑖 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑏𝑖, 𝑖 = 1,… , 𝑛 , 𝑔𝑖 𝑋 continuas y 𝐺 𝑋 ∈ 𝐷 para todo 𝑋 ∈ 𝐷 ,entonces 𝐺 𝑋 tiene por lo menos un punto fijo en 𝐷.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5sqrt(-y2+1)

y

𝑓1 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 1

𝑔1 𝑥, 𝑦 = 𝑥 = −𝑦2 + 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x

sqrt(x2-1)

𝑓2 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2 − 1

𝑔2 𝑥, 𝑦 = 𝑦 = 𝑥2 − 1

𝐺 = −𝑦2 + 1, 𝑥2 − 1

𝑋 = 𝑥, 𝑦 𝐷 = −1.5,1.5𝐺 ∉ ℝ para todo 𝑋 ∈ 𝐷

Opción A:



no converge


Si 𝐷 = 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ ℝ𝑛 ∕ 𝑎𝑖 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑏𝑖, 𝑖 = 1,… , 𝑛 , 𝑔𝑖 𝑋 continuas y 𝐺 𝑋 ∈ 𝐷 para todo 𝑋 ∈ 𝐷 ,entonces 𝐺 𝑋 tiene por lo menos un punto fijo en 𝐷.

𝐺 = −𝑥2 + 1, 𝑦2 + 1

𝑋 = 𝑥, 𝑦 𝐷 = −1.5,1.5𝐺 ∉ ℝ para todo 𝑋 ∈ 𝐷

𝑓1 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 1

𝑔1 𝑥, 𝑦 = 𝑦 = −𝑥2 + 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x

sqrt(-x2+1)

𝑓2 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2 − 1

𝑔2 𝑥, 𝑦 = 𝑥 = 𝑦2 + 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

y

sqrt(y2+1)

Opción B:



dg1/dy = diff('sqrt(-y^2+1)','y')dg1/dy = -1/(-y^2+1)^(1/2)*y

dg1/dx = diff('sqrt(-y^2+1)',‘x')dg1/dx = 0

Analizando en -1.5≤ x,y ≤1.5dg1/dy + dg1/dx n en [-1,1]dg1/dy + dg1/dx < 1 en [-0.7,0.7]

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-15

-10

-5

0

5

10

15

dg2/dx = diff('sqrt(x^2-1)','x')dg2/dx = 1/(x^2-1)^(1/2)*x

dg2/dy = diff('sqrt(x^2-1)',‘y')dg2/dy= 0

Analizando en -1.5≤ x,y ≤1.5dg2/dy + dg2/dx n en [-1,1]dg2/dy + dg2/dx > 1 en [-1.5,-1] y [1,1.5]

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

no converge


Opción A: ൝𝑥2 + 𝑦2 − 1 = 0

𝑥2 − 𝑦2 − 1 = 0⇒

𝑓1 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 1

𝑓2 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2 − 1𝐹 =

𝑥2 + 𝑦2 − 1

𝑥2 − 𝑦2 − 1𝑋 = 𝑥 𝑦

൝𝑓1 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 1 = 0

𝑓2 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2 − 1 = 0⇒ ቐ

𝑔1 𝑥, 𝑦 = 𝑥 = −𝑦2 + 1

𝑔2 𝑥, 𝑦 = 𝑦 = 𝑥2 − 1⇒ 𝐺 = −𝑦2 + 1, 𝑥2 − 1


4



dg1/dx = diff('sqrt(-x^2+1)',‘x')dg1/dx = -1/(-x^2+1)^(1/2)*x

dg1/dy = diff('sqrt(-x^2+1)',‘y')dg1/dy = 0

Analizando en -1.5≤ x,y ≤1.5dg1/dy + dg1/dx n ó >1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-15

-10

-5

0

5

10

15

dg2/dy = diff('sqrt(y^2+1)',‘y')dg2/dy = 1/(y^2+1)^(1/2)*y

dg2/dx = diff('sqrt(y^2+1)',‘x')dg2/dx= 0

Analizando en -1.5≤ x,y ≤1.5dg2/dy + dg2/dx < 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

no converge

Verificar en un intervalo menor, por ej:

[-0.7,0.7]


Opción B: ൝𝑓1 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 1 = 0

𝑓2 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2 − 1 = 0⇒ ቐ

𝑔1 𝑥, 𝑦 = 𝑦 = −𝑥2 + 1

𝑔2 𝑥, 𝑦 = 𝑥 = 𝑦2 + 1⇒ 𝐺 = −𝑥2 + 1, 𝑦2 + 1



Para 0 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ 1.5:

0 ≤𝑥2 + 𝑦2 + 8

10≤ 1.25 ≤ 1.5

0 ≤𝑥𝑦2 + 𝑥 + 8

10≤ 1.287 ≤ 1.5

𝐺 𝑋 ∈ 𝐷 para todo 𝑋 ∈ 𝐷 entonces 𝐺 𝑋tiene por lo menos un punto fijo en 𝐷.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x

y

x y2-10 y+x+8 = 0

x2-10 x+y2+8 = 0

>> ezplot('x^2-10*x+y^2+8',[-10,10])>> ezplot('x*y^2-10*y+x+8',[-10,10])


ቐ𝑓1 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 10𝑥 + 𝑦2 + 8

𝑓2 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦2 + 𝑥 − 10𝑦 + 8⇒ ൝

𝑥2 − 10𝑥 + 𝑦2 + 8 = 0

𝑥𝑦2 + 𝑥 − 10𝑦 + 8 = 0

𝑥 =𝑥2 + 𝑦2 + 8

10= 𝑔1 𝑥, 𝑦

𝑦 =𝑥𝑦2 + 𝑥 + 8

10= 𝑔2 𝑥, 𝑦



dg1/dx=diff('(x^2+y^2+8)/10','x')dg1/dx =1/5*x

dg1/dy=diff('(x^2+y^2+8)/10','y')dg1/dy =1/5*y

dg2/dx=diff('(x*y^2+x+8)/10','x')dg2/dx =1/10*y^2+1/10 =(y^2+1)/10

dg2/dy=diff('(x*y^2+x+8)/10','y')dg2/dy =1/5*x*y

Máx. para 0 ≤ x,y ≤1.5

dg1/dx = x/5 = 0.3

dg1/dy = y/5 = 0.3

dg2/dx = (y^2+1)/10 = 0.325

dg2/dy = x*y/5 = 0.45

converge


𝜕𝑔𝑖

𝜕𝑥𝑗𝑥, 𝑦 ≤

𝐾

𝑛=

0,9

2



>> X=[0.5,0.5]

>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]

X = 0.8500 0.8625

>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]

X = 0.9466 0.9482

>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]

X = 0.9795 0.9798

>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]

X = 0.9919 0.9920

>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]

X = 0.9968 0.9968

>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]

X = 0.9987 0.9987

>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]

X = 0.9995 0.9995

>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]

X = 0.9998 0.9998

>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]

X = 0.9999 0.9999

>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]

X = 1.0000 1.0000


5




Método de Newton: Para resolución de ecuaciones teníamos: 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −𝑓 𝑥

𝑓′ 𝑥

Para sistemas de ecuaciones no lineales: Sean 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛 y 𝑋 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 .

𝐹 𝑋 = 0 ⇒ 𝑋 𝑘+1 = 𝑋 𝑘 − 𝐽−1 𝐹 𝑋 𝑘 , 𝑋 𝑘 ∗ 𝐹 𝑋 𝑘 con: 𝐽 𝐹 𝑋 𝑘 , 𝑋 𝑘 ≠ 0

donde el Jacobiano es:

𝐽 𝐹, 𝑋 =

𝜕𝑓1𝜕𝑥1

𝜕𝑓1𝜕𝑥2

𝜕𝑓2𝜕𝑥1

𝜕𝑓2𝜕𝑥2

En Matlab, el jacobiano se determina de la siguiente manera: (toolbox symbolic)syms var1 var2 .....Jacobian ([f1,f2,...],[var1,var2,.....])



−=

yx

yxJ

22

22

0.0313

1.0000

0.0625

1.0003

1250

0251

0.125

0.225

250

251

0.5

0.625

11

2020

250

251

1250251

1250251

25022512

25022512

250

251

250

251

250

750

50

50

1

50

5050

5050

50

50

1

50

11

11

50

50

15050

15050

502502

502502

50

50

50

50

43

22

221

2

1

22

221

1

0

=

=

=

−

=

=

−−

=

−−

−+

−−

=

=

−−

=

−

−

−−

=

−

−

−−

=

−−

−+

−−

=

=

−

−−

X,X,.

.

.

.

*..

.

.

..

..*

.*.*

.*.*

.

.X

.

.

.

.

.

..*

..

..

.

.

.*

.

.

..

..*

.*.*

.*.*

.

.X

.

.X

syms x yJ=Jacobian ([‘x^2+y^2-1, x^2-y^2-1’],[x,y])

Va convergiendo

Ejemplo 1: Newton

𝑋 𝑘+1 = 𝑋 𝑘 − 𝐽−1 𝐹 𝑋 𝑘 , 𝑋 𝑘 ∗ 𝐹 𝑋 𝑘

𝑋 = 𝑥 𝑦൝𝑥2 + 𝑦2 − 1 = 0

𝑥2 − 𝑦2 − 1 = 0⇒

𝑓1 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 1

𝑓2 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2 − 1

=

−

−−

=

=

−

−−

=

=

−

−−

=

+−+

++−

−+

−−

=

=

−

−−

0001

0001

01030

00720

0058899681

9968100268

99840

99870

99840

99870

37310

38440

2387888201

8783112468

93920

93770

93920

93770

6253

53

59251

19

50

50

85010505050

850501050

1050502150

50210502

50

50

50

50

1

3

2

1

2

221

21

0

.

.

.

.*

..

..

.

.X

.

.

.

.*

..

..

.

.X

.

.

.

.*

...

.

.*..*.

..*.*

.*.*.

.*.*

.

.X

.

.X



=+−+=

=++−=

0810

08102

2

22

1

yxxy)y,x(f

yxx)y,x(f

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x

y

x y2-10 y+x+8 = 0

x2-10 x+y2+8 = 0

−+=

1021y

2y10-2x 2 xy

J

−

=

−

+

+

)y,x(f

)y,x(f

y

x,

)y,x(f

)y,x(fJ

y

x

y

x

kk

kk

k

k

kk

kk

k

k

k

k

2

1

1

2

1

1

1Ejemplo 2: Newton



syms x y>>F=[x^2-10*x+y^2+8;x*y^2-10*y+x+8]F =x^2-10*x+y^2+8x*y^2-10*y+x+8>> X=[x;y]X =xy

>> N=X-jacobian(F)\F % o N=X-F/jacobian(F)‘ con F y X vector filaN =x-(-40+5*y^2+7*x*y-8*y-10*x^2*y+x^3*y+50*x-5*x^2)/(-y^3-y+2*x^2*y-10*x*y-10*x+50)y-1/2*(-88+x^2-20*x*y+100*y+16*x-9*y^2+y^2*x^2-y^4)/(-y^3-y+2*x^2*y-10*x*y-10*x+50)

Ejemplo 2: Newton – Empleando Matlab

>>X=subs(N,[x;y],[0.5;0.5])X =

0.93770.9392

>> X=subs(N,[x;y],X)X =

0.99870.9984

>> X=subs(N,[x;y],X)X =

1.00001.0000


6



=

+

=+=

=

+−+

++−−=

−+

−

+++

+

93920

93770

50

50

43920

43770

43920

43770

85010505050

850501050

1050502150

50210502

111

2

22

12

.

.

.

.

.

.XZX,

.

.Z

.*..*.

..*.Z*

.*.*.

.*.*

kkkk

k

Xk+1 = Xk – J-1 (F(xk), xk) * F(xk) Xk+1 - Xk = – J-1 (F(xk), xk) * F(xk)

J (F(xk), xk) *(Xk+1 - Xk ) = –F(xk)

Si Zk+1 = (Xk+1 - Xk ) J (F(xk), xk) *Zk+1 = –F(xk) con |Zk+1|<

=+−+=

=++−=

0810

08102

2

22

1

yxxy)y,x(f

yxx)y,x(f

−+=

1021y

2y10-2x 2 xy

J

=

50

500

.

.X

Se evita invertir el Jacobiano en cada iteración

Método de Newton Simplificado – Ejemplo 2



• No es fácil encontrar buenos valores iniciales.Conocer el problema.

• No es posible graficar superficies multidimensionales (n>2).Reducción de ecuaciones.Partición del sistema de ecuaciones.

Dificultades en la solución de sistemas de ecuaciones no lineales



Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de 𝑛 ecuaciones, con coeficientes reales en las 𝑛-incógnitas 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 se dice que es un sistemalineal si es de la forma:

𝐹 𝑋 =

𝑓1 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 0

𝑓2 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 0⋮

𝑓𝑛 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 0

con 𝑓𝑖 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑎𝑖1𝑥1 + 𝑎𝑖2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑖𝑛𝑥𝑛 − 𝑏𝑖 donde 𝑎𝑖𝑗 ∈ ℝ y 𝑏𝑖 ∈ ℝ son contantes, ∀𝑖, 𝑗 = 1,… , 𝑛.

Si 𝑋 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 , 𝐹 𝑋 = 0 y 𝑋 ∈ ℝ𝑛 entonces 𝑋 es una solución real del sistema.

Un sistema de 𝑛 ecuaciones lineales puede escribirse de la forma:

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 − 𝑏1 = 0𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 − 𝑏2 = 0

⋮𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 − 𝑏𝑛 = 0

con 𝑎𝑖𝑗 ∈ ℝ y 𝑏𝑖 ∈ ℝ, ∀𝑖, 𝑗 = 1,… , 𝑛.

ó en la forma matricial equivalente 𝐴𝑋 = 𝑏 con:

𝐴 =

𝑎11 𝑎12⋯ 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22⋯ 𝑎2𝑛⋮𝑎𝑛1

⋮𝑎𝑛2⋯

⋮𝑎𝑛𝑛

, 𝑋 =

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

, 𝑏 =

𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑛

𝐴 es la matriz de coeficientes del sistema, el vector columna 𝑋 es el vector de incógnitas y 𝑏 es el vector de términos independientes.



Consideraremos únicamente sistemas de ecuaciones lineales 𝐴𝑋 = 𝑏 con 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 que tengan solución única para cada vector 𝑏 ∈ ℝ𝑛, es decir, con 𝐴 invertible ⇒ 𝑋 = 𝐴−1𝑏.

Matlab introduce una notación particular implementando los operadores \ y /. La solución a un sistema es expresada como:

X=A\b (con b vector columna) equivalente a inv(A)*b.óX=b/A (con b vector fila) equivalente a b*inv(A).

Emplea eliminación Gaussiana

Sistemas con solución única


7



Se anula el determinante, matriz singular, no inversible.En Matlab:det(A)ans = 0

Si det → 0 , no implica que la matriz → singular, puede depender de los coeficientes de la matriz

X=b/AWarning: Matrix is singular toworking precision.X = Inf Inf Inf

Sistemas sin solución única



Métodos directos

Los métodos directos nos proporcionan una solución del sistema en un número finito de pasos.

Si usamos aritmética finita para los cálculos, obtendremos por lo general una solución aproximada,debido únicamente a los errores de redondeo, puesto que no hay errores de truncamiento o de fórmula.

Los métodos directos más usados tienen como base la eliminación de Gauss.



Sustitución

Si la matriz A es triangular (superior o inferior) con todas sus componentes sobre la diagonal principal no-nulas.

Como 𝑎𝑛𝑛 ≠ 0, se puede despejar 𝑥𝑛 de la última ecuación y obtenemos:

Este método se denomina sustitución regresiva o hacia atrás. (Aproximadamente n2+n operaciones)

Si A es triangular inferior, se despeja 𝑥1 de la primera ecuación. En este caso se denomina sustituciónprogresiva o hacia adelante.

𝑎11 𝑎12 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛0 𝑎22 𝑎12 ⋯ 𝑎2𝑛0⋮0

0 𝑎33 ⋯⋮

0 0 ⋯

𝑎3𝑛⋮

𝑎𝑛𝑛

𝑥1𝑥2𝑥3⋮𝑥𝑛

=

𝑏1𝑏2𝑏3⋮𝑏𝑛 𝑥𝑛 =

𝑏𝑛𝑎𝑛𝑛

𝑥𝑚 =𝑏𝑚 −σ𝑘=𝑚+1

𝑛 𝑎𝑚𝑘𝑥𝑘𝑎𝑚𝑚

𝑚 = 𝑛 − 1,… , 1



Transformaciones elementales

Cualquiera de las siguientes operaciones aplicadas a la matriz ampliada produce un sistemas lineal equivalente:

• Intercambio: En el orden de las ecuaciones (filas), no altera el resultado. En el orden de las variables(columnas), altera el orden de las variables en el resultado.

• Escalado: Producto de la ecuación por constante no nula

• Sustitución: Suma de la ecuación más múltiplo de otra ecuación: 𝐸𝑟(1)

= 𝐸𝑟 + 𝑐 ∗ 𝐸𝑞

Matriz ampliada: ȁ𝐴 𝐵 =

𝑎11 𝑎12⋯ 𝑎1𝑛 𝑏1𝑎21 𝑎22⋯ 𝑎2𝑛 𝑏2⋮

𝑎𝑛1

⋮𝑎𝑛2⋯

⋮𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑛


8



Eliminación de Gauss

Si la matriz 𝐴 no es triangular, puede convertirse mediante el método de eliminación Gaussiana. El sistema 𝐴𝑋 = 𝐵 tiene la forma:

𝐸1:𝐸2:𝐸3:⋮𝐸𝑛:

𝑎11 𝑎12 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 𝑎12 ⋯ 𝑎2𝑛𝑎31⋮

𝑎𝑛1

𝑎32 𝑎33 ⋯⋮

𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋯

𝑎3𝑛⋮

𝑎𝑛𝑛


=

𝑏1𝑏2𝑏3⋮𝑏𝑛

Se elimina el coeficiente de 𝑥1 en cada una de las ecuaciones 𝐸2, 𝐸3, … , 𝐸𝑛 para obtener un sistema equivalente

𝐴(1)𝑋 = 𝐵(1), realizando las transformaciones elementales:

𝐸1(1):

𝐸2(1):

𝐸3(1):

⋮

𝐸𝑛(1):

𝑎11 𝑎12 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛0 𝑎22 𝑎12 ⋯ 𝑎2𝑛0⋮0

0 𝑎33 ⋯⋮

0 0 ⋯

𝑎3𝑛⋮

𝑎𝑛𝑛


=

𝑏1𝑏2𝑏3⋮𝑏𝑛

𝐸𝑖 −𝑎𝑖1

𝑎11𝐸1 → 𝐸𝑖

(1)𝑖 = 2,3, … , 𝑛



Pivoteo

Si algún 𝑎𝑗𝑗 = 0 se deben intercambiar filas, si 𝑎𝑗𝑗 → 0 el intercambio de filas disminuye el error.

Operaciones aproximadas: 2

3𝑛3 +

5

2𝑛2 −

1

6𝑛

Ejemplo:

𝐸1: 10𝑥1 − 7𝑥2 = 7𝐸2: −3𝑥1 + 2𝑥2 + 6𝑥3 = 4𝐸3: 5𝑥1 − 𝑥2 + 5𝑥3 = 6

Luego se elimina el coeficiente de 𝑥2 en las ecuaciones 𝐸3, 𝐸4, … , 𝐸𝑛 y así sucesivamente hasta eliminar elcoeficiente de 𝑥𝑛−1. En general:

n,...,ji,EEa

aE j

i

)j(

j)j(

jj

)j(

ijj

i 11

1

1

1 +=→

− −

−

−

−

pivote

multiplicador

Matriz ampliada: ȁ𝐴 𝐵 =10 −7 0 7−35

2 6 4−1 5 6



E1*(5/10)E3E3

E1*3/10)(E2E2

2.5

6.1

7

52.50

60.10

0710

E3

E2

E1

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

−=

−−=

−

−

El coeficiente 10 de 𝑥1 es el pivote –0.3 y 0.5 los multiplicadores

−

−

−

6

4

7

515

623

0710

3E

2E

1E

Ejemplo – Continuación:

Matriz ampliada:n,...,ji,EE

a

aE j

i

)j(

j)j(

jj

)j(

ijj

i 11

1

1

1 +=→

− −

−

−

−

pivote

multiplicador

(1)(1)(2)(2)

(2)

(2)

E2*0.1)(2.5/E3E3155

6.1

7

15500

60.10

0710

E3

E2

E1

−−=

−

−

El propósito de las estrategias de pivoteo parareducir errores es usar como “pivote” elelemento de mayor magnitud y, una vezcolocado en la diagonal principal, usarlo paraeliminar los restantes elementos de su columna(los que están por debajo de él).



E1*(5/10)E3E3

E1*3/10)(E2E2

2.5

6.1

7

52.50

60.10

0710

E3

E2

E1

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

−=

−−=

−

−

El coeficiente 10 de 𝑥1 es el pivote –0.3 y 0.5 los multiplicadores

−

−

−

6

4

7

515

623

0710

3E

2E

1E

Ejemplo – Continuación:

Matriz ampliada:n,...,ji,EE

a

aE j

i

)j(

j)j(

jj

)j(

ijj

i 11

1

1

1 +=→

− −

−

−

−

pivote

multiplicador

6.2*x3 = 6.2 x3 = 1. 2.5*x2 + (5)*(1) = 2.5 x2 = -1. 10*x1 + (-7)*(-1) = 7 x1 = 0.

'3E*)5.2/1.0('2E'2E2.6

5.2

7

2.600

55.20

0710

'2E

'3E

'1E

1.6

5.2

7

61.00

55.20

0710

'2E

'3E

'1E

)1()1()2()2(

)2(

)2(

)1(

)1(

)1(

−−=

−

−

−

Intercambio de filas

Pivote 2.5Multiplicador –0.04

Pivote 6.2


9



Factorización LU

L contiene los multiplicadores utilizados en la eliminación,U la matriz final de coeficientes y P describe las permutaciones.LU = PA

AX = 𝒃𝟏 PAX = P 𝒃𝟏 LUX = P 𝒃𝟏 UX = L- 1 P 𝒃𝟏 = c Lc = P 𝒃𝟏

Los pasos a seguir son:Paso 1. Calcular P 𝒃𝟏 .Paso 2. Resolver c, en Lc = P𝒃𝟏 por sustitución progresiva.Paso 3. Resolver X, en UX = c por sustitución regresiva.

=

−

=

−−

=

010

100

001

2600

5520

0710

104030

0150

001

P,

.

.U,

..

.LMultiplicadores

Pivotes

Siendo 𝒃𝟏 un nuevo término independiente



Ejemplo: LU

=

−

=

−−

=

010

100

001

2600

5520

0710

104030

0150

001

P,

.

.U,

..

.L

1er Ejemplo

−

−

−

6

4

7

515

623

0710

3E

2E

1E

2do Ejemplo con términos independientes cambiados

−

−

−

5

6

9

515

623

0710

3E

2E

1E

Lc=Pb, UX = c

−

−

=

=

−=

−=

=

−

=

++=

−=

=

=

−−

41.1

62.2

93.0

2.6/72.8

5.2/)41.1*55.0(

10/)62.2*79(

,

72.8

50.0

00.9

*

2.600

55.20

0710

72.8

50.0

00.9

5*04.09*3.06c

9*5.05

9

,

6

5

9

*

0.104.03.0

00.15.0

000.1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

*

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

c

c

c

c

c

c

c

c

cXU

cbPcL



Otras posibilidades a partir del método de eliminación de Gauss

• Eliminación de Jordan: Se genera una matriz diagonal para eliminar la sustitución. Se eliminan elementos arribay abajo del pivote.

• Inversión de matrices: A partir de [A|B], con B matriz identidad, aplicando Jordan y escalado, se obtiene [I|B’]con B’ inversa de A.

• Determinante: A partir de la matriz triangulada det 𝐴 = −1 𝑟ς𝑎𝑖𝑖, con 𝑟 = número de intercambios de filas.

• Factorización LU: Permite reservar los parámetros de la eliminación de Gauss, para ser aplicados en la resoluciónde sistemas con igual matriz A.



Funciones MATLAB

[L,U,P] = LU(A) Donde A puede ser una matriz rectangular

L es la matriz triangular inferior de LU con elementos 1 en la diagonalU es la matriz triangular superior de LUP es la matriz de permutaciones tal que P*A = L*U.

X=U\(L\b)


10



En los métodos iterativos o indirectos se parte de una aproximación inicial a la solución del sistema dado y se genera, a partirde dicha aproximación, una sucesión de vectores 𝑋𝑛 que deberían converger a la solución del sistema.

Son métodos que progresivamente van calculando aproximaciones a la solución de un problema.

Se repite un mismo proceso de mejora sobre una solución aproximada.

Se espera que la nueva solución sea más aproximada que la solución inicial.

El proceso se repite sobre esta nueva solución hasta que el resultado más reciente satisfaga ciertos requisitos.

A diferencia de los métodos directos, en los cuales se debe terminar el proceso para tener la respuesta, en los métodositerativos se puede suspender el proceso al término de una iteración y se obtiene una aproximación a la solución.

Además de los errores de redondeo, si se usa aritmética finita, habrá errores de truncamiento o de fórmula.

Los métodos iterativos más simples y conocidos están basados en Iteraciones de Punto Fijo.

Métodos Indirectos

Objetivo: que converja a la solución del sistema de ecuaciones 𝑋 = 𝑋(∞)

Valor Inicial:Fórmulas de Iteración

𝑋(0) 𝑋(1), 𝑋(2), … , 𝑋(𝑛)

Como es imposible hacer un número infinito de iteraciones, se hace un número finito de iteraciones hasta que se cumpla cierta condición



Sea un sistema de ecuaciones 𝐴𝑋 = 𝑏, donde 𝐴 es no-singular. Dicho sistema se puede transformar en unsistema equivalente de la forma 𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝑐 para alguna matriz 𝐵 y algún vector 𝑐.

Método de Jacobi

Matriz de iteración de Jacobi G(X)=BX+C entonces G(X)=X

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2

⋮𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛

𝑥1 =𝑏1 − 𝑎12𝑥2 −⋯− 𝑎1𝑛𝑥𝑛

𝑎11

𝑥2 =𝑏2 − 𝑎21𝑥1 −⋯− 𝑎2𝑛𝑥𝑛

𝑎22

𝑥𝑛 =𝑏𝑛 − 𝑎𝑛1𝑥1 −⋯− 𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1

𝑎𝑛𝑛

𝑥𝑖 =𝑗=1𝑗≠𝑖

𝑛

−𝑎𝑖𝑗𝑎𝑖𝑖

𝑥𝑗 +𝑏𝑖𝑎𝑖𝑖

Sea:

𝐵𝑖𝑗 =

−𝑎𝑖𝑗

𝑎𝑖𝑖𝑖 ≠ 𝑗

0 𝑖 = 𝑗

y 𝑐𝑖 =𝑏𝑖

𝑎𝑖𝑖

𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝑐



Fórmula de iteración del Método de Jacobi

Se construye la sucesión de vectores 𝑋(𝑘)𝑘

a partir de la fórmula de iteración 𝑋(𝑘+1) = 𝐺 𝑋(𝑘) = 𝐵𝑋(𝑘) + 𝑐 y se espera

que converja a la única solución 𝑋 del sistema.

𝑥𝑖(𝑘+1)

=

𝑏𝑖 −σ𝑗=1𝑗≠𝑖

𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗(𝑘)

𝑎𝑖𝑖

Criterios de aproximación:

i) 𝑅(𝑘+1) = 𝐴𝑋(𝑘+1) − 𝑏 < 휀

ii) 𝑋(𝑘+1) − 𝑋(𝑘) < 휀

iii) 𝑋(𝑘+1)−𝑋(𝑘)

𝑋(𝑘)< 휀

Cotas para error de truncamiento:

i) 𝑋 − 𝑋(𝑘) ≤ 𝐵 𝑘 𝑋 − 𝑋 0 , 𝑘 ≥ 1

ii) 𝑋 − 𝑋(𝑘) ≤𝐵 𝑘

1− 𝐵𝑋 1 − 𝑋 0 , 𝑘 ≥ 1, 𝐵 < 1



Convergencia del Método de Jacobi

Definición: Una matriz 𝐴 es Estrictamente Diagonal Dominante (EDD) satisface: 𝑎𝑖𝑖 > σ𝑗=1𝑗≠𝑖

𝑛 𝑎𝑖𝑗

Sea un sistema de ecuaciones 𝐴𝑋 = 𝑏, si 𝐴 es EDD entonces el método de Jacobi CONVERGE a una única solución.

𝑑𝑒𝑡 𝐵 − 𝜆𝐼 = Ecuación Característica de B

𝜌 𝐵 = 𝑚𝑎𝑥 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎

𝜌 𝐵 < 1

𝜌 𝐵 ≥ 1 DIVERGE

CONVERGE

𝑋(𝑘+1) = 𝐵𝑋(𝑘) + 𝑐

𝐵 < 1 CONVERGE

𝐵 ≥ 1 No se puede asegurar la convergencia

Radio Espectral 𝜌 𝐵

Si 𝐴 es EDD entonces 𝐵 < 1 𝐵 depende de la reubicación de las filas


11



Sea el sistema equivalente de la forma 𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝑐:

𝑥1𝑥2𝑥3

=0 −7 32 0 8−5 2 0

𝑥1𝑥2𝑥3

+2−13

𝐵 − 𝜆𝐼 =−𝜆 −7 32 −𝜆 8−5 2 −𝜆

𝑑𝑒𝑡 𝐵 − 𝜆𝐼 = −𝜆 𝜆2 − 16 + 7 −2𝜆 + 40 + 3 4− 5𝜆 = −𝜆3 − 13𝜆 + 292

𝜌 𝐵 = max 5.983430269 , −2,991715 + 6,312771𝑖 , −2,991715 − 6,312771𝑖

El Método de Jacobi NO CONVERGE

ቐ

−𝑥1 − 7𝑥2 + 3𝑥3 = −22𝑥1 − 𝑥2 + 8𝑥3 = 15𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 3

−1 −7 32 −1 85 −2 1

𝑥1𝑥2𝑥3

=−213

𝐴

Forma matricial:

Se analiza si la matriz 𝐴 es EDD:

𝐴 =−1 −7 32 −1 85 −2 1

−1 ≯ −7 + 3

−1 ≯ 2 + 8

1 ≯ 5 + −2

𝐴 NO ES EDDNo se puede asegurar la convergencia. Se debe

analizar el radio espectral

Método de Jacobi - Ejemplo 1

𝜌 𝐵 = max 5.983430269 , 6.985802 = 6,985802 ≥ 1



ቐ

−𝑥1 − 7𝑥2 + 3𝑥3 = −22𝑥1 − 𝑥2 + 8𝑥3 = 15𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 3

𝐴 NO ES EDD𝐴 =−1 −7 32 −1 85 −2 1

Intercambiando las filas obtenemos una matriz EDD:

𝑥1𝑥2𝑥3

=

02

5−1

5

−1

70

3

7

−1

4

1

80

𝑥1𝑥2𝑥3

+

3

52

71

8

𝐵 ∞ = 𝑚𝑎𝑥3

5,4

7,3

8=3

5< 1

De acuerdo al análisis de convergencia, el método iterativo de Jacobi converge a una única solución, cualquiera sea la

aproximación inicial 𝑋(0).

ቐ5𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 3

−𝑥1 − 7𝑥2 + 3𝑥3 = −22𝑥1 − 𝑥2 + 8𝑥3 = 1

𝐴 ES EDD ⇒ CONVERGE5 −2 1−1 −7 32 −1 8

Sea el sistema equivalente de la forma 𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝑐:




Iterando con el método de Jacobi 𝑋(𝑘+1) = 𝐵𝑋(𝑘) + 𝑐, tomando como aproximación inicial 𝑋(0) = 0,0,0 ′ y usando como

criterio de aproximación 𝑋(𝑘) − 𝑋(𝑘−1) < 10−5, obtenemos:

𝑥1(𝑘+1)

𝑥2(𝑘+1)

𝑥3(𝑘+1)

=

02

5−1

5

−1

70

3

7

−1

4

1

80

𝑥1(𝑘)

𝑥2(𝑘)

𝑥3(𝑘)

+

3

52

71

8

𝒌 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 Error

0 0 0 0

1 0.6 0.28571 0.125 0.67621

2 0.68928 0.25357 0.01071 0.14855

3 0.69929 0.19184 -0.01563 0.06786

4 0.67986 0.17912 -0.02584 0.02537

5 0.67682 0.17752 -0.02257 0.00474

6 0.67552 0.17935 -0.02201 0.00231


7 0.67614 0.17978 -0.02146 0.00093

8 0.67620 0.17992 -0.02156 0.00019

9 0.67621 0.17987 -0.02156 0.0001

10 0.67628 0.17986 -0.02159 0.00004

11 0.67626 0.17985 -0.02158 0.00001

12 0.67626 0.17986 -0.02158 < 𝟏𝟎−𝟓

Norma Euclidea:

𝒊=𝟏

𝟑

𝒙𝒊

(𝒌)− 𝒙

𝒊

(𝒌−𝟏) 𝟐





El método Jacobi no converge. Verificar intercambiando filas

=++

=++

−=+−

4533

03

12

321

321

321

xxx

xxx

xxx

No es E.D.D||BJ||=4 >1Radio espectral (BJ) , de la matriz de iteración BJ.r_espec = max(abs(eig(B))) ó r_espec = max(abs(roots(poly(B))))

c

X

3

2

1

BX

3

2

1

5

4

0

2

1

x

x

x

05

3

5

3

301

2

1

2

10

x

x

x

1k

J

k

−

+

−−

−−

−

=

−

05

3

5

8

5

3

5

3

31

2

1

2

1

)I-Bdet( 3

J =++−=

−−−

−−−

−−

=421954

1.42195 1

3

2

1

.−−

11.42195 .421954 -,1.42195,1-max)B( G ==


12




=++

=++

−=+−

0x3xx

4x5x3x3

1xxx2

321

321

321

c

X

B

X k

J

k

x

x

x

x

x

x

−

+

−−

−−

−

=

−

03

42

1

03

1

3

13

501

2

1

2

10

1

3

2

1

3

2

1

09

1

9

23 =++

No es E.D.D||BJ||=8/3 >1 no se puede asegurar la convergencia, por lo tanto debemos encontrar el radio espectral (BJ). La ecuación característica es:

1631096.419595,.631096.Max

i276567.155483.,i276567.315548.-,631096.Max)B(

i276567.155483.

i276567.155483.

631096.

J

3

2

1

=

−−+

−−

+−

cuyas raíces son:




De acuerdo al análisis de convergencia, el método iterativo de Jacobi converge a una única solución, cualquiera sea la aproximación inicial X(0) .

Iterando con el método de Jacobi, tomando como aproximación inicial X(0) = [0,0,0]’ , y usando como criterio de aproximación ||X(k) – X(k-1)|| < 0.001 obtenemos:

X(1) = [-.5, 1.3333, 0]’, X(2) = [.16667, 1.8333, -.27778]’…X(15) = [.99798, 1.9990, -.99842]’ X(16)=[.99873, 1.9994, -.99901]’

Como k = 16 es el primer entero positivo para el cual ||X(k) – X(k-1)|| < 0.001 entonces XX(16) es solución al problema.



Fórmula vectorial de iteración del Método de Jacobi

Sea el sistema de ecuaciones 𝐴𝑋 = 𝑏. La matriz 𝐴 puede descomponerse como:

𝐴 = 𝐷 + 𝐿 + 𝑈

𝐷: matriz diagonal de 𝐴𝐿: matriz triangular

estrictamente inferior de 𝐴𝑈: matriz triangular

estrictamente superior de 𝐴

𝐷 =5 0 00 −7 00 0 8

𝐿 =0 0 0−1 0 02 −1 0

𝑈 =0 −2 10 0 30 0 0

𝐴 =5 −2 1−1 −7 32 −1 8

Entonces: 𝐴𝑋 = 𝑏 ⇔ 𝐷 + 𝐿 + 𝑈 𝑋 = 𝑏𝐷𝑋 + 𝐿 + 𝑈 𝑋 = 𝑏𝐷𝑋 = − 𝐿 + 𝑈 𝑋 + 𝑏𝑋 = −𝐷−1 𝐿 + 𝑈 𝑋 + 𝐷−1𝑏

𝐵 𝑐

𝑋(𝑘) = −𝐷−1 𝐿 + 𝑈 𝑋 𝑘−1 +𝐷−1𝑏 , k = 1,2,…

Matlab:[B|c] = Bc = [ -diag(1./diag(A))*(tril(A,-1)+triu(A,1)) , diag(1./diag(A))*b ]

B*X+c= X= [-diag(1./diag(A))*(tril(A,-1)+triu(A,1))*X+diag(1./diag(A))*b ]

con b y X vectores columna

La fórmula vectorial de iteración es:



Método de Gauss-Seidel

Una mejora del método de Jacobi es obtener 𝑥𝑖(𝑘)

utilizando los 𝑥1(𝑘), 𝑥2

(𝑘), … , 𝑥𝑖−1

(𝑘)ya calculados, dado que son

mejores aproximaciones a la solución exacta.

Sea el valor inicial 𝑥1(0), 𝑥2

(0), … , 𝑥𝑛

(0) , aplicando el método de Jacobi se obtiene:

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2

⋮𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛

𝑥2(1)

=𝑏2 − 𝑎21𝑥1

(0)−⋯− 𝑎2𝑛𝑥𝑛

(0)

𝑎22

𝑥𝑛(1)

=𝑏𝑛 − 𝑎𝑛1𝑥1

(0)−⋯− 𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1

(0)

𝑎𝑛𝑛

Dado el sistema de ecuaciones:

Para la primera iteración se tiene que:

⋮

𝑥1(1)

=𝑏1 − 𝑎12𝑥2

(0)−⋯− 𝑎1𝑛𝑥𝑛

(0)

𝑎11

𝑥𝑖(𝑘+1)

=

𝑏𝑖 −σ𝑗=1𝑗≠𝑖

𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗(𝑘)

𝑎𝑖𝑖

Fórmula de iteración:

VALORES INICIALES

𝑥1(1)

=𝑏1 − 𝑎12𝑥2

(0)−⋯− 𝑎1𝑛𝑥𝑛

(0)

𝑎11

𝑥2(1)

=𝑏2 − 𝑎21𝑥1

(1)−⋯− 𝑎2𝑛𝑥𝑛

(0)

𝑎11

𝑥𝑛(1)


(1)−⋯− 𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1

(1)

𝑎𝑛𝑛

⋮


13



𝑥𝑖(1)

=𝑏𝑖 −σ𝑗=1

𝑖−1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗1 −σ𝑗=𝑖+1

𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗0

𝑎𝑖𝑖

En general para la primera iteración:

𝑥1(1)

=𝑏1 − 𝑎12𝑥2

(0)−⋯− 𝑎1𝑛𝑥𝑛

(0)

𝑎11

𝑥2(1)

=𝑏2 − 𝑎21𝑥1

(1)−⋯− 𝑎2𝑛𝑥𝑛

(0)

𝑎22

𝑥𝑛(1)


(1)−⋯− 𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1

(1)

𝑎𝑛𝑛

⋮

En general para la iteración 𝑘 + 1 :

𝑥𝑖(𝑘+1)


𝑖−1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘+1

−σ𝑗=𝑖+1𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗

𝑘

𝑎𝑖𝑖

El análisis de convergencia coincide con el del método de Jacobi, aunque suele converger más rápido.

Fórmula de iteración



𝑥1(𝑘+1)

=2

5𝑥2(𝑘)

−1

5𝑥3

𝑘+3

5

𝑥2(𝑘+1)

= −1

7𝑥1𝑘+1

+3

7𝑥3

𝑘+2

7

𝑥3(𝑘+1)

= −1

4𝑥1

𝑘+1+1

8𝑥2

𝑘+1+1

8

ቐ5𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 3

−𝑥1 − 7𝑥2 + 3𝑥3 = −22𝑥1 − 𝑥2 + 8𝑥3 = 1

Sea el sistema:

𝑋(𝑘+1) =

02

5−1

5

0 −2

35

16

35

0 −3

28

3

28

𝑋(𝑘) +

3

51

50

Despejando se obtiene:

Tomando como aproximación inicial 𝑋 0 = 0,0,0 ′ y usando como criterio de aproximación 𝑋(𝑘) − 𝑋(𝑘−1) < 10−5, se

obtiene:

𝐵𝐺𝑆 = 𝑚𝑎𝑥3

5,18

35,3

14=3

5< 1 CONVERGE


0 0 0 0

1 0.6 0.2 0 0.63246

2 0.68 0.18857 -0.02143 0.08361

3 0.67971 0.17943 -0.0225 0.00921

4 0.67627 0.17946 -0.02164 0.00355


5 0.67611 0.17985 -0.02155 0.00043

6 0.67625 0.17987 -0.02158 0.00014

7 0.67626 0.17986 -0.02158 0.000014

8 0.67626 0.17986 -0.02158 < 𝟏𝟎−𝟓

Método de Gauss-Seidel - Ejemplo 1




0 0 0 0

1 0.6 0.28571 0.125 0.67621

2 0.68928 0.25357 0.01071 0.14855

3 0.69929 0.19184 -0.01563 0.06786

4 0.67986 0.17912 -0.02584 0.02537

5 0.67682 0.17752 -0.02257 0.00474

6 0.67552 0.17935 -0.02201 0.00231

7 0.67614 0.17978 -0.02146 0.00093

8 0.67620 0.17992 -0.02156 0.00019

9 0.67621 0.17987 -0.02156 0.0001

10 0.67628 0.17986 -0.02159 0.00004

11 0.67626 0.17985 -0.02158 0.00001

12 0.67626 0.17986 -0.02158 < 10−5


0 0 0 0

1 0.6 0.2 0 0.63246

2 0.68 0.18857 -0.02143 0.08361

3 0.67971 0.17943 -0.0225 0.00921

4 0.67627 0.17946 -0.02164 0.00355

5 0.67611 0.17985 -0.02155 0.00043

6 0.67625 0.17987 -0.02158 0.00014

7 0.67626 0.17986 -0.02158 0.000014

8 0.67626 0.17986 -0.02158 < 10−5

Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel

Comparación de los métodos




||BG|| = 3 >1

𝜌 𝐵𝐺 = 𝑚𝑎𝑥 0 , −1

2,9

5=9

5> 1

Entonces el método diverge

En este caso, como la matriz BG es triangular, los autovalores son los elementos de la diagonal.

=++

=++

−=+−

4533

03

12

321

321

321

xxx

xxx

xxx

c

X

3

2

1

B

X

3

2

1

5

42

12

1

x

x

x

5

900

2

5

2

10

2

1

2

10

x

x

x

1k

G

k

−

+

−−

−

=

−

5

x3x34x

,x3xx

,2

xx1x

)k(

2

)k(

1k

3

)1k(

3

)k(

1

k

2

)1k(

3

)1k(

2k

1

−−=

−−=

−+−=

−

−−

5

x94x

,2

x5x1x

,2

xx1x

)1k(

3k

3

)1k(

3

)1k(

2k

2

)1k(

3

)1k(

2k

1

−

−−

−−

+=

−−=

−+−=


14




=++

=++

−=+−

0x3xx

4x5x3x3

1xxx2

321

321

321

Como ||BG|| >1 no podemos asegurar la convergencia, pero (BG) = Max {0,1/2,5/9} <1 entonces el método de Gauss-Seidel converge a la única solución del sistema dado, cualquiera sea la aproximación inicial.

XX(13) = [.99898 ,1.9996 , -.99952] es solución al problema.

c

X

3

2

1

B

X

3

2

1

5

46

112

1

x

x

x

9

500

6

7

2

10

2

1

2

10

x

x

x

1k

G

k

−

+

−−

−

=

−

Intercambiando filas obtenemos:



Fórmula vectorial de iteración del Método de Gauss-Seidel

𝑥𝑖(𝑘+1)


𝑖−1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘+1

−σ𝑗=𝑖+1𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗

𝑘

𝑎𝑖𝑖Partiendo de la fórmula de iteración:

𝑎𝑖𝑖 𝑥𝑖(𝑘+1)

= 𝑏𝑖 −

𝑗=1

𝑖−1

𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘+1

−

𝑗=𝑖+1

𝑛

𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘

𝑎𝑖𝑖 𝑥𝑖(𝑘+1)

+

𝑗=1

𝑖−1

𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘+1 =

𝑗=𝑖+1

𝑛

−𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘 + 𝑏𝑖

𝑗=1

𝑖

𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘+1 =

𝑗=𝑖+1

𝑛

−𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘 + 𝑏𝑖

𝐴 = 𝐷 + 𝐿 + 𝑈

𝐷: matriz diagonal de 𝐴

𝐿: matriz triangular estrictamente inferior de 𝐴

𝑈: matriz triangular estrictamente superior de 𝐴

𝐷 + 𝐿 𝑋(𝑘+1) = −𝑈 𝑋(𝑘) + 𝑏

𝑋(𝑘+1) = 𝐷 + 𝐿 −1 −𝑈 𝑋 𝑘 + 𝐷 + 𝐿 −1𝑏 , k = 1,2,…

Entonces:

Matlab:[B|c] = Bc=[tril(A)^-1*-triu(A,1) , (tril(A))^-1*b ]

B*X+c= X=[tril(A)^-1*-triu(A,1)*X+(tril(A))^-1*b ]



Ventajas:

• Más eficientes que los directos para sistemas de orden muy alto.

• Más simples de programar.

• Pueden encontrarse aproximaciones a la solución.

• Son menos sensibles a los errores de redondeo (importante en sistemas mal condicionados).

Desventajas:

• Si se tienen varios sistemas que comparten la matriz de coeficientes, esto no representará ahorro decalculo, ya que por cada vector a la derecha de A tendrá que aplicarse el método.

• Aunque la convergencia esté asegurada puede ser lenta (En Gauss no es predecible).

• No se obtiene ni det(A) ni A-1

Métodos indirectos o iterativos



Matrices ralas

Las matrices asociadas con los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en densas y ralas.

Las matrices densas tienen pocos elementos nulos y su orden es relativamente pequeño (≤ 100). Pararesolver sistemas con matrices densas pueden ser utilizados los métodos directos.

Las matrices ralas tienen pocos elementos no nulos y surgen, por ejemplo, al resolver ecuacionesdiferenciales por métodos de diferencias finitas; su orden puede ser muy grande. Para resolver sistemascon matrices ralas son recomendados los métodos iterativos.

Matlab, de todos modos, posee funciones para trabajar con matrices ralas (consideradas un tipo de dato)y particularmente para resolver sistemas de ecuaciones con métodos directos. ( luinc, cholinc ).


15



Condicionamiento del sistema

El hecho de que las computadoras pueden representar sólo un número finito de números reales y de forma aproximada, tiene

una consecuencia inmediata en el cálculo numérico. Aún cuando un algoritmo haya sido diseñado teóricamente para producir

la respuesta exacta a un problema, su implementación es una computadora rara vez producirá tal respuesta. La cuestión

entonces radica en saber cuándo se puede confiar en una respuesta obtenida.

Los algoritmos en los que se puede confiar son algoritmos ESTABLES, es decir, son aquellos que producen una respuesta casi

exacta cuando se aplican a datos que son casi exactos.

Otros sistemas de ecuaciones lineales son extremadamente sensibles a los errores de redondeo que puedan producirse en el

proceso de resolución. En algunos casos esto podría arreglarse mediante el uso de estrategias de pivoteo. En otros casos, ni

siquiera el uso de esas técnicas consiguen llevar a una resolución precisa. Estamos frente a los sistemas MAL

CONDICIONADOS.




En el cálculo numérico, los errores están siempre presentes. Hay errores de muy diversas procedencias, principalmente:

• Errores en las mediciones o en las estimaciones previas (posiblemente grandes: a menudo los datos en ingeniería oeconomía son conocidos con pocos dígitos).

• Errores en la forma en que las computadoras almacenan los números (32 o 64 bits, según sea simple o doble precisión, porlo tanto se producen errores de redondeo).

• Errores como resultado de cálculos anteriores si, por ejemplo, los datos proceden de soluciones numéricas a problemasprevios.

Hay problemas que son especialmente sensibles a estos tipos de errores. El estudio de cómo éstos afectan a las respuestascalculadas pertenece a una disciplina denominada “Teoría de la Perturbación”. En ella se pretende estimar cuanto puedecambiar la solución de un problema cuando los datos de partida son modificados ligeramente.

El objetivo del “Análisis Numérico” es diseñar algoritmos que sean lo más insensibles posible a los errores, es decir, generaralgoritmos ESTABLES.



0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

-1/2*x+y=1

-x+2*y=2 ∞ soluciones

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

-1/2*x+y=1

-2.3/5*x+y=1.1

Mal condicionado


0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

-1/2*x+y=1

-1/2*x+y=1/2

Sin solución

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

-1/2*x+y=1

3*x+2*y=18

Solución únicaBien condicionado



Si 𝑋 es solución exacta de un sistema lineal 𝐴𝑋 = 𝑏, 𝐴 invertible, 𝑏 ≠ 0, y ෨𝑋 es una solución aproximada de

dicho sistema, entonces 𝑒 = ෨𝑋 − 𝑋 es el vector error de 𝑋 (desconocido) y 𝑅 = 𝐴 ෨𝑋 − 𝑏 es el vector error

residual, el cual mide hasta dónde la solución aproximada ෨𝑋 satisface el sistema.

Si 𝑅 = 0 entonces ෨𝑋 = 𝑋 . Por lo tanto, 𝑒 = 0.

෨𝑋 tal que 𝐴 ෨𝑋 = 𝑅 + 𝑏 y ෨𝑋 es solución de una perturbación del sistema 𝐴𝑋 = 𝑏.

Si 𝑹 es “pequeño” entonces 𝒆 también es “pequeño”?



16



Ejemplos: Sea 𝑋 =𝑥𝑦

1) ቊ𝑥 + 𝑦 = 2

10,05𝑥 + 10𝑦 = 21𝑋1 =

20−18

Un coeficiente perturbado en aproximadamente 0,5%:

ቊ𝑥 + 𝑦 = 2

10,1𝑥 + 10𝑦 = 21෪𝑋1 =

10−8

Cambio relativo de aproximadamente el 50% en la solución.

𝑅1 = 𝐴෪𝑋1 − 𝑏 =1 1

10,05 1010−8

−221

=2

20,5−

221

=0

−0,5

𝑒1 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 −10 , 10 = 10

𝑅1 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 0 , −0,5 = 0,5

Sistemas mal condicionados

𝑒1 = ෪𝑋1 − 𝑋1 =−1010

El error en la solución es “grande” y el error residual es “pequeño”.




2) ቊ4,1𝑥 + 2,8𝑦 = 4,19,7𝑥 + 6,6𝑦 = 9,7

𝑋2 =10

Una perturbación de aproximadamente 0,2% en el término independiente:

ቊ4,1𝑥 + 2,8𝑦 = 4,119,7𝑥 + 6,6𝑦 = 9,7

෪𝑋2 =0,340,97

Cambio relativo de aproximadamente 66% en la solución.

𝑅2 = 𝐴෪𝑋2 − 𝑏 =4,1 2,89,7 6,6

0,340,97

−4,19,7

=4,119,7

−4,19,7

=0,010

𝑒2 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 0,34 , 0,97 = 0,97

𝑅2 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 0,1 , 0 = 0,01

Sistemas mal condicionados

El error en la solución es “grande” y el error residual es “pequeño”.

𝑒2 = ෪𝑋2 − 𝑋2 =0,660,97

Se puede probar que si 𝑅

𝑏es “pequeño” entonces

𝑒

𝑋es “pequeño” si se satisface la condición 𝐴 𝐴−1 ≈ 1




3) ቊ4𝑥 + 5𝑦 = 1410𝑥 + 6𝑦 = 22

𝑋3 =12

Un coeficiente perturbado en aproximadamente 11%:

ቊ4,5𝑥 + 5𝑦 = 1410𝑥 + 6𝑦 = 22

෪𝑋3 =1,13041,7826

Cambio relativo de aproximadamente el 15% en la solución.

𝑅3 = 𝐴෪𝑋3 − 𝑏 =4 510 6

1,13041,7826

−1422

=13,434621,9996

−1422

=−0,5654−0,0004

𝑒3 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 0,1304 , −0,2174 = 0,2174

𝑅3 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 −0,5654 , −0,0004 = 0,5654

Sistemas bien condicionados

𝑒3 = ෪𝑋3 − 𝑋3 =0,1304−0,2174



Número de condición

El número resultante de 𝐴 𝐴−1 se llama número de condición de la matriz no-singular 𝐴 relativo a unanorma matricial y se denota por 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 .

𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 ≥ 1, cualquiera sea la norma matricial inducida.

𝐼𝑛 = 𝐴𝐴−1, 𝐼𝑛 ≤ 𝐴 𝐴−1 𝑦 𝐼𝑛 = max𝑋≠0

𝐼𝑛𝑋

𝑋= max

𝑋≠0

𝑋

𝑋= 1

Si 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 ≈ 1 entonces 𝐴 está bien condicionada, es decir, el sistema 𝐴𝑋 = 𝑏 está bien condicionado.

Si 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 ≫ 1 entonces 𝐴 está mal condicionada, es posible que 𝐴 tenga un mal comportamiento, en elsentido que un error residual relativo pequeño puede corresponder a una solución aproximada mala. Elsistema 𝐴𝑋 = 𝑏 está mal condicionado.

Por ejemplo, para el ejemplo 1 desarrollado anteriormente se tiene que:

𝐶𝑜𝑛𝑑1 1

10,05 10=

1 110,05 10 ∞

−200 20201 −20 ∞

= 20,05 ∗ 221 = 4431,05 ≫ 1


17



Relación residuo-error solución

La relación entre 𝑅

𝑏y

𝑒

𝑋es:

𝑅

𝑏∗

1

𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴≤

𝑒

𝑋≤

𝑅

𝑏∗ 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴

𝑒1 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 −10 , 10 = 10

𝑅1 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 0 , −0,5 = 0,5

𝐶𝑜𝑛𝑑1 1

10,05 10=

1 110,05 10 ∞

−200 20201 −20 ∞

= 20,05 ∗ 221 = 4431,05

ቊ𝑥 + 𝑦 = 2

10,05𝑥 + 10𝑦 = 21𝑋1 =

20−18

෪𝑋1 =10−8

0,5

21∗

1

4431,05≤

𝑋 − ෨𝑋

𝑋≤0,5

21∗ 4431,05 ⇒ 5,37 ∗ 10−6 ≤

𝑋 − ෨𝑋

𝑋≤ 105,50

Para el ejemplo 1:





𝑏y

𝑒

𝑋es:

𝑅

𝑏∗

1


𝑒

𝑋≤

𝑅


𝐶𝑜𝑛𝑑4,1 2,89,7 6,6

= 2249,4

ቊ4,1𝑥 + 2,8𝑦 = 4,19,7𝑥 + 6,6𝑦 = 9,7

𝑋2 =10

෪𝑋2 =0,340,97

0,01

9,7∗

1

2249,4≤

𝑋 − ෨𝑋

𝑋≤0,01

9,7∗ 2249,4 ⇒ 4,5831 ∗ 10−7 ≤

𝑋 − ෨𝑋

𝑋≤ 2,2494

Para el ejemplo 2:

𝑒2 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 0,34 , 0,97 = 0,97

𝑅2 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 0,1 , 0 = 0,01





𝑏y

𝑒

𝑋es:

𝑅

𝑏∗

1


𝑒

𝑋≤

𝑅


𝐶𝑜𝑛𝑑4 510 6

= 6,6575

ቊ4𝑥 + 5𝑦 = 1410𝑥 + 6𝑦 = 22

𝑋3 =12

෪𝑋3 =1,13041,7826

0,2174

22∗

1

6,6575≤

𝑋 − ෨𝑋

𝑋≤0,2174

22∗ 6,6575 ⇒ 0,0039 ≤

𝑋 − ෨𝑋

𝑋≤ 0,0257

Para el ejemplo 3:

𝑒3 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 0,1304 , −0,2174 = 0,2174

𝑅3 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 −0,5654 , −0,0004 = 0,5654



Cota del error relativoDado un sistema 𝐴𝑋 = 𝑏, si 𝛿𝐴 y 𝛿𝑏 denotan perturbaciones en 𝐴 y 𝑏 respectivamente, se puede establecer unacota para el error relativo en términos de las perturbaciones relativas y el número de condición de 𝐴.

Si 𝑋 es la solución exacta de 𝐴𝑋 = 𝑏 y ෨𝑋 es la solución exacta del sistema perturbado 𝐴 + 𝛿𝐴 ෨𝑋 = 𝑏 + 𝛿𝑏.

Si 𝐴 es no-singular, 𝛿𝐴 <1

𝐴−1, lo que asegura que 𝐴 + 𝛿𝐴 es invertible y que 1 − 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴

𝛿𝐴

𝐴> 0.

Por lo tanto:

𝑋 − ෨𝑋

𝑋≤

𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴

1 − 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴𝛿𝐴𝐴

𝛿𝑏

𝑏+

𝛿𝐴

𝐴

Para el ejemplo 2:

𝛿𝐴 = 0 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 ∗𝛿𝑏

𝑏= 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 ∗

0,01

9,7= 2249,4 ∗ 0,001 = 2,2494 ≥

𝑋 − ෨𝑋

𝑋

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Solución de Ecuaciones No Lineales - fi.mdp.edu.ar - 2018b - 4 - Sistemas de... · Unidad 4 –Solución de Sistemas de Ecuaciones Métodos Numéricos –2do Cuatrimestre de 2018