UNIDAD 8 FUNCIONES. 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN. · Departamento de Matemáticas 1 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones y =2x 2 1 UNIDAD

IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I

Departamento de Matemáticas 1 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones

xy 2= 2 1

UNIDAD 8 FUNCIONES.

1. CONCEPTO DE FUNCIÓN. Recuerda que hay distintas formas de expresar una “función”.

Enunciado o descripción verbal: A cada número se le hace corresponder su doble.

Tabla de valores: Expresión analítica de la relación Gráfica: o fórmula matemática: xy 2= o bien: xxf 2)( = De este modo, 422)2( =⋅=f , 8)4(2)4( −=−⋅=−f … Esto es un ejemplo de FUNCIÓN.

Son distintas formas de expresar una relación entre dos magnitudes de manera que a cada valor de la variable x le corresponde un ÚNICO valor de la variable y.

Al único valor de y que le corresponde a x se le llama imagen de x. Al valor de x cuya imagen es y, lo llamamos original de y o antiimagen de y.

En el ejemplo anterior: ⎩⎨⎧

⇒=9 es 18 de antiimagen La

18 es 9 deimagen La18)9(f

Una FUNCIÓN entre dos conjuntos numéricos A y B es una correspondencia que asigna a cada elemento x de A, a lo sumo, un único elemento y de B.

x→ Variable independiente. y→Variable dependiente (depende de x). A→Conjunto inicial (donde toma valores la variable independiente). B→Conjunto final (donde toma valores la variable dependiente).

Dominio de una función: Conjunto de valores que toma la variable independiente x. Se denota por Dom(f) y es un subconjunto de A. También se llama campo de existencia de la función. Recorrido o imagen de una función: Conjunto de valores que toma la variable dependiente y. Se denota por Rec(f) o también Im(f). Es un subconjunto del conjunto final B. Si el conjunto inicial y final de una función es ℜ , se llama función real de variable real. Se escribe:

)()(:

xfyxfDomf

=ℜ⎯→⎯

a ( ) ℜ⊂fDom

Nos ocuparemos exclusivamente de este tipo de funciones.

Ejemplo:

2)(

:)xxfx

fa=

ℜ⎯→⎯ℜ

a

[ )xxfx

fb

=

ℜ⎯→⎯∞+

)(

,0:)

a

Notación: ( )∞+=ℜ+ ,0 [ )∞+=ℜ+ ,00 ( )0,∞−=ℜ− ( ]0,0 ∞−=ℜ− ℜ=ℜ∗ \{ }0

Ejercicio: Dada la función ( ) .122 +−= xxxf a) Calcula la imagen de 2x = y 3.x −= b) Calcula la antiimagen de 4 y de 25.

Número (x) Su doble (y) -2 -4 -1 -2 0 0 1 2 2 4 3 6

… … x 2x



TIPOS DE FUNCIONES:

( )

( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=→

+=→

=→

−=→

+

−=→

−+=→

−

4)(

32ln)(

2)(

72)(

12

23)(

272)(

3

3

2

xtgxfRICASTRIGONOMÉT

xxfASLOGARÍTMIC

xfLESEXPONENCIA

TESTRASCENDEN

xxfESIRRACIONAL

x

xxfIASFRACCIONAR

xxxfSPOLINÓMICA

RACIONALESSALGEBRAICA

FUNCIONES

x

A las funciones racionales fraccionarias se les llama simplemente racionales.

Podemos tener funciones como ( )x

exxfx

cos)4ln(

32 +−

= mezcla de varios tipos de trascendentes.

Recuerda: Una gráfica corresponde a una función cuando cada recta paralela al eje de ordenadas corta a la gráfica, a lo sumo, una sola vez. Sí es función No es función Sí es función No es función CÁLCULO DE DOMINIOS: Si la función viene dada por su expresión matemática es conveniente obtener su dominio para así saber dónde está definida. El dominio de una función debe estar formado por los valores de x para los que tiene sentido sustituir en su expresión analítica. En el cálculo de dominios debemos evitar los valores de x que: Anulan denominadores (división por cero).

Dan lugar a raíces de índice par de números negativos. Dan lugar a logaritmos de números no positivos.

Ejemplos: ( ) 2) 2 ++= xxxfa

( )x

xxfb 13) −=

( )732)

+−

=xxxfc

( ) ( )( )53)

−−=

xxxxfd

( )954) 2 −

−=

xxxfe

( )954) 2 +

−=

xxxff

( )127

74) 2 +−−

=xx

xxfg

( )64

125) 23

2

−+++−

=xxx

xxxfh

( )107

23) 24 +−+

=xx

xxfi

( )107

23)24 +−

+=

xxxxfj

( ) xxfk =)

( ) 1) −= xxfl

( )1

1)−

=x

xfm

( ) xxfn 23) −=

( )x

xxfñ2372)

−+

=

( ) 25) 2 −= xxfo

( ) 225) xxfp −=

( ) 25) 2 += xxfq

( ) 4 2 127) +−= xxxfr

( ) 3 2 127) +−= xxxfs

( )127

1)2 +−

=xx

xft

( )32

4)+−

=x

xxfu

( )xx

xxfv53) 2 −

−=

( ) ( )115ln) −= xxfw

( ) 9log) 2 −= xxfx

( )11ln)

−+

=xxxfy



2. MONOTONÍA Y EXTREMOS. ACOTACIÓN. 2.1. MONOTONÍA.

• f es estrictamente creciente en un intervalo abierto ),,( ba si

para cualquier pareja de números reales ( )badc ,, ∈ se cumple que ( ) ( ).dfcfdcsi <⇒<

• f es estrictamente decreciente en un intervalo abierto

),,( ba si para cualquier pareja de números reales ( )badc ,, ∈ se cumple que ( ) ( ).dfcfdcsi >⇒<

• Si f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente

en un intervalo abierto ),,( ba diremos que f es estrictamente monótona en ).,( ba

2.2. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS.

• f tiene un máximo relativo (o local) en a si existe un

entorno de a , ( )rara +− , , en el que:

( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

<⇒><⇒<

afxfaxsiafxfaxsi

• f tiene un mínimo relativo (o local) en a si existe un

entorno de a , ( )rara +− , , en el que:

( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

>⇒>>⇒<

afxfaxsiafxfaxsi

• Si f presenta un máximo o un mínimo relativo en a

diremos que f presenta un extremo relativo en a .

• f tiene su máximo absoluto (o global) en a si: ( ) ( ) ( )fDomxafxf ∈∀≤

• f tiene su minino absoluto(o global) en a si: ( ) ( ) ( )fDomxxfaf ∈∀≤

• Si f presenta un máximo o un mínimo absoluto en a diremos que f presenta un extremo relativo en a .

Fíjate:

Podemos encontrar mínimos relativos con valor mayor que máximos relativos y viceversa. Un extremo absoluto puede alcanzarse en uno o varios puntos distintos o bien no alcanzarse.

Extremos relativos→Concepto local Extremos absolutos→Concepto global

2.3. FUNCIONES ACOTADAS.

• f está acotada superiormente si existe un número real M tal que:

( ) ( )fDomxMxf ∈∀≤



• f está acotada inferiormente si existe un número real

N tal que: ( ) ( )fDomxxfN ∈∀≤

• f está acotada si lo está superior e inferiormente, es

decir, existen dos números reales M y N tales que:

( ) ( )fDomxMxfN ∈∀≤≤

Observa: En las figuras anteriores, la menor de las cotas superiores (llamada supremo) coincide con el máximo absoluto de la función. Del mismo modo, la mayor de las cotas inferiores (llamada ínfimo) coincide con el mínimo absoluto. Sin embargo, puede que una función esté acotada superiormente y/o inferiormente y sin embargo no tener máximo ni mínimo absolutos como en el siguiente ejemplo.

Cota superior: M = 1.8 Cota inferior: N = -1.8 Sin embargo no tiene extremos absolutos ni relativos.

3. SIMETRÍA Y PERIODICIDAD.

3.1. FUNCIONES SIMÉTRICAS.

• f es simétrica respecto del eje de ordenadas (OY) si:

( ) ( ) ( )fDomxxfxf ∈∀=−

Se dice que f es una función par.

• f es simétrica respecto del origen de coordenadas O(0,0) si:

( ) ( ) ( )fDomxxfxf ∈∀−=−

Se dice que f es una función impar.

Ejemplo1: Estudia las simetrías de las siguientes funciones:

a) b) c)

Ejemplo2: Estudia, analíticamente, si estas funciones presentan algún tipo de simetría. ( ) 26) xxxfa −= ( ) xxxfb 2) 3 −= ( ) xxxfc 2) 5 += ( ) 23) xxxfd −=

-x x

f( -x) f( x)

-x x

f( x)

f( -x)



3.2. FUNCIONES PERIÓDICAS. f es periódica de periodo T, si existe un número real T tal que:

( ) ( ) ( )fDomxxfTxf ∈∀=+ Fíjate: 2T, 3T… también son periodos de T. A T se le llama periodo principal.

4. OPERACIONES CON FUNCIONES. Dadas dos funciones f y g, se define: Suma de f y g: ( )( ) ( ) ( )xgxfxgf +=+ ( ) ( ) ( )gDomfDomgfDomx ∩=+∈∀

Diferencia de f y g: ( )( ) ( ) ( )xgxfxgf −=− ( ) ( ) ( )gDomfDomgfDomx ∩=−∈∀ Producto de k ℜ∈ y f: ( )( ) ( )xfkxkf ⋅= ( ) ( )fDomkfDomx =∈∀

Producto de f y g: ( )( ) ( ) ( )xgxfxgf ⋅=⋅ ( ) ( ) ( )gDomfDomgfDomx ∩=⋅∈∀

Cociente de f y g: ( ) ( )( )xgxfx

gf

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ( ) ( )gDomfDom

gfDomx ∩=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈∀ con ( ) 0≠xg

Ejemplo 1: Si ( ) 253 2 +−= xxxf y ( ) ,4+= xxg calcular:

gfa +) gfb −) fc 3) fd −) gfe ⋅) gff ) gfg 32) +

fh 1)

Ejemplo 2: Si ( )41

2 −+

=xxxf y ( ) ,3−= xxg calcular:

gfa +) gfb −) gfc ⋅) fd ⋅3) gfe) gff 35) −

gg 1) gh −)

5. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. Consideremos las funciones ( ) xxf = y ( )

xxg 1= .

16 A 16 le hemos aplicado f : ( ) 41616 ==f .

( ) xxf = A 4 le hemos aplicado g: ( ) .414 =g

4 ( ) xxg /1=

1/4 16 Pretendemos construir una nueva función que transforme 16 en 1/4 directamente:

( ) xxf = ( )( ) ( )x

xgxfg 1==⇒ ( )( )

41

16116 ==⇒ fg ( )( )

xxfg 1=o

Esta nueva función se representa por fg o y se denomina composición de f y g. 1/4 ( )( ) ( )( )xfgxfg =o ( ) ( ) ( ) ( ){ }gDomxffDomxfgDom ∈∈= /o Observación:

→fg o Se lee f compuesta con g. →gf o Se lee g compuesta con f.

En general, fggf oo ≠ , es decir, no cumple la propiedad conmutativa.

( ) ( )( ) ( )4141641616 ==⎯→⎯=⎯→⎯ gfgf gf

fg o

Esta función ( ) xxf cos= es periódica de periodo π2=T



Ejemplo: Si ( ) xxxf 52 −= ( ) .xxg = a) Obtén ( )( )9fg o sin calcular la función .fg o

( )( ) ( )( )( )

( ) 6363699369

=====↑

gfgfgf

o

b) Calcula ( )( )9fg o obteniendo previamente .fg o

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xxxfgxxxxgxfgxfg 555 222 −=⇒−=−== oo

( )( ) 6369599 2 ==⋅−=⇒ fg o c) Calcula .gf o

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) xxxxxfxgfxgf 552

−=−===o Observa: fggf oo ≠

Ejercicio: Obtén gf o , fg o , ff o y gg o en los siguientes casos: a) ( ) 12 += xxf ( ) .3xxg = b) ( ) 14 += xxf ( ) .2xxg =

c) ( ) 12 += xxf ( ) .1

1−

=x

xg

d) ( ) 2+= xxf ( ) .1x

xg =

6. FUNCIÓN INVERSA. Dada la función ( ) 32 −= xxf busco otra función que “actúe al revés”. 4 5 ( ) 32 −= xxf ( ) ?1 =− xf 5 4 Para obtenerla seguimos los siguientes pasos:

1º) Escribo: 32 −= xy f

2º) Despejo x: 2

3+=

yx 1−f

3º) Cambio x por y y viceversa: 2

3+=

xy

4º)Cambio y por ( ):1 xf − ( )2

31 +=− xxf

A 1−f se le llama función inversa (o recíproca) de la función .f No todas las funciones tienen inversa. Únicamente las que son inyectivas.

Propiedad 1: Las gráficas de f y 1−f son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. (Observa la gráfica del ejemplo anterior).

Propiedad 2: ( )( ) ( )( ) xxffxff == −− oo 11 . En este caso la composición es conmutativa.

En el ejemplo anterior:

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xxffxxxxfxffxff

xxffxxxxfxffxff

=⇒=//

=/+/−

=−==

=⇒=−+=−/+

/=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

==

−−−−

−−−

oo

oo

1111

111

22

233232

3332

322

3

Recuerda: f inyectiva si

)()( yfxf = yx =⇒

Inyectiva

No inyectiva

( ) 32 −= xxf

4 5 ?¿ 1−f



Ejemplo 1: Calcula 1−f en los siguientes casos y comprueba que iffff == −− 11 oo . a) ( ) 63 −= xxf

( ) 313

333

66

;666

+=⇒+=

+=⇒+=⇒−=− xxfxy

yxyxxy

Veamos que iffff == −− 11 oo

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) xxx

xfxffxff

xxx

xfxffxff

=/−/+=−+=

=+==

==/+/−=

=−==

−−

−−−

6666

6)(

66

6

33

311

3 33 3

3111

o

o

b) ( ) 52 −= xxf

c) ( )62

1+

=x

xf d) ( )

21

−+

=xxxf

e) ( ) 132 += xxf

Ejemplo 2: Si ( ) 2xxf = obtén, si es posible, 1−f .

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=⇒=

−

−

xxf

xxf

xy

xy

yx

yxxy

1

12 ¿Cuál elegimos?

Esto ocurre porque f no es inyectiva. En este caso podemos descomponer f en dos tramos en los que sí lo es y tendrá su inversa respectiva en uno de ellos:

( ) 2xxf = en [ )+∞,0 ( ) xxf =⇒ −1

( ) 2xxf = en ( ]0,∞− ( ) xxf −=⇒ −1 Observa las gráficas en cada tramo:

Fíjate: ( ) ( ) abfbaf =⇒= −1

7. FUNCIONES ELEMENTALES. 7.1. FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO. Son de la forma:

( ) nmxxf += →m Pendiente. →n Ordenada en el origen.

Gráfica: Recta que pasa por el punto ( ).,0 n Si ⇒> 0m Estrictamente creciente Si ⇒< 0m Estrictamente decreciente

f

f -1

No es una función

f

f -1

f

f

f -1

Recuerda: xxi =)( es la

función identidad.

( )n,0 ( )n,0

f(x) = mx+n

f(x) = mx+n



En ambos casos ( ) ℜ=fDom , ( ) ℜ=fRec . No está acotada ni superior ni inferiormente.

Si ( ) mxxfn =⇒= 0 Función lineal o de proporcionalidad directa. Su gráfica es una recta que pasa por ( ).0,0

Si ( ) nmxxfnm +=⇒≠≠ 0;0 Función afín. Si ( ) nxfm =⇒= 0 Función constante (en este caso no es polinómica de primer grado).

Su gráfica es una recta paralela al eje de abscisas que pasa por ( ).,0 n En este caso: ( ) ℜ=fDom ( ) { }nfRec = .

7.2. FUNCIONES CUADRÁTICAS O POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO. Son de la forma: ( ) cbxaxxf ++= 2 con ℜ∈cba ,, 0≠a ( ) ℜ=fDom Gráfica: Parábola. Mayor valor de →a Más “estilizada” (cerrada) es la parábola. Recuerda:

Si ( )∪⇒> Convexaa 0 Si ( )∩⇒< Cóncavaa 0

Ejemplo: Representa la función ( ) 322 −−= xxxf . Estudia su dominio, recorrido, monotonía, extremos y acotación.

1º) Curvatura: ( )∪⇒>= Convexaa 01 ( ) ℜ=fomD 2º) Puntos de corte con los ejes:

Eje OX: ( )( )⎩

⎨⎧

−⇒−=⇒=

⇒=−−⇒=0,11

0,330320 2

QxPx

xxy

Eje OY: ( ) ( )3,0300 −⇒−=⇒= Rfx 3º) Vértice: (Mínimo absoluto y relativo por ser convexa)

;122

2==

−=

abxv ( ) ⇒−==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 41

2f

abfyv ( )4,1 −V

( ) [ )∞+−= ,4fRec Estr. decreciente en ( );1,∞− Estr. creciente en ( ).,1 ∞+ Acotada inferiormente (N=-4), pero no superiormente.

7.3. FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR. Función polinómica de grado n: ( ) 01

22

11 ... axaxaxaxaxf n

nn

n +++++= −− con ℜ∈ia .0≠na

Propiedades: • ( ) ℜ=fDom , ( )fRec depende de cada función. • Continua en .ℜ • A lo sumo corta n veces al eje de abscisas.

El resto de propiedades son específicas de cada función y se estudiarán en siguientes unidades.

Ejemplos de gráficas: Si 0>na Si 0<na n par n impar n par n impar

( )n,0 f(x) = n

f

f

f

f

f



7.4. FUNCIONES RACIONALES. Son de la forma:

( ) ( )( )xQxPxf = con ( )xP , ( )xQ funciones polinómicas.

( ) ℜ=fDom \ ( ){ }0/ =ℜ∈ xQx . Ejemplos:

a) ( )41

2

3

−−

=xxxf ( ) ℜ=fDom \{ }2,2− b) ( )

11

2 +=

xxg ( ) [ )∞+=ℜ= + ,00gDom

( ) ℜ=fRec ( ) ( )∞+=+ℜ= ,0gRec Sus propiedades son diferentes para cada función.

CASO PARTICULAR: FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA: Son de la forma:

( )xkxf = con ℜ∈k .0≠k

Gráfica: Hipérbola equilátera.

Ejemplos:

a) ( )x

xf 1= b) ( )

xxg 2= c) ( )

xxh 1−=

Observa: Si ⇒> 0k Ramas situadas en el primer y tercer cuadrante. Si ⇒< 0k Ramas situadas en el segundo y cuarto cuadrante.

Propiedades:

• ( ) ℜ=fDom \{ }0 , ( ) ℜ=fRec \{ }0 . • Si ⇒> 0k Estrictamente decreciente en ( ) ( )+∞∪∞− ,00, .

Si ⇒< 0k Estrictamente creciente en ( ) ( )+∞∪∞− ,00, . • No tiene extremos absolutos ni relativos. • No está acotada ni superior ni inferiormente. • Impar (simetría respecto al origen). • 0=y es una asíntota horizontal. • 0=x es una asíntota vertical.

f

g

f

g

h

• Puntos de la gráfica: ( ) ( )kPkf ,11 ⇒= ( ) ( )1,1 kPkf ⇒= ( ) ( )kPkf −−⇒−=− ,11( ) ( )1,1 −−⇒−=− kPkf



También tienen como gráfica una hipérbola las funciones racionales del tipo:

( )dcxbax

xf++

= ( ) ℜ=fDom \{ }cd /− Asíntota vertical: cdx /−=

( ) ℜ=fRec \{ }ca / Asíntota horizontal: cay /= Aunque tendremos que tener en cuenta algunos casos como el ejemplo b).

Ejemplos:

a) ( )253

−−

=xx

xf

( ) ℜ=fDom \{ }2 ( ) ℜ=fRec \{ }3

Asíntota vertical: 2=x Asíntota horizontal: 3=y . Estrictamente decreciente en: ( ) ( )+∞∪∞− ,22, . No acotada ni superior ni inferiormente. No presenta extremos absolutos ni relativos. No es impar.

Fíjate: ( )2

13253

−+=

−−

=xx

xxf ¿Qué observas?

b) Dada la función ( )263

−−

=xx

xg ¿su gráfica es una hipérbola? ¿por qué?

7.5. FUNCIONES IRRACIONALES. Son de la forma: ( ) ( )n xgxf = con ( )xg polinómica o racional.

Si n es par ( ) ( ){ }0/)( ≥∈=⇒ xggDomxfDom Si n es impar ( ) ( )gDomfDom =⇒

Ejemplos:

a) ( ) xxf = ( ) [ )∞+=ℜ= + ,00fDom b) ( ) 3 1+= xxg ( ) ℜ=gDom

( ) [ )∞+=ℜ= + ,00fRec ( ) ℜ=gRec

7.6. FUNCIONES EXPONENCIALES. Son de la forma:

( ) xaxf = con ;ℜ∈a 0>a y 1≠a

Ejemplos:

a) ( ) xxf 2= y ( ) xxg 3= b) ( )x

xf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21

y ( )x

xg ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

31

x 0 1 4 9 16 f(x) 0 1 2 3 4

x -9 -2 -1 0 7 g(x) -2 -1 0 1 2

x -2 -1 0 1 2 3 x -2 -1 0 1 2 3 f(x) 1/4 1/2 1 2 4 8 f(x) 4 2 1 1/2 1/4 1/8 g(x) 1/9 1/3 1 3 9 27 g(x) 9 3 1 1/3 1/9 1/27

f

f g



Fíjate: Las gráficas de ( ) xaxf = y ( )x

axg ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

1 son simétricas respecto al eje OY.

f

Propiedades:

• ( ) ℜ=fDom , ( ) ( )∞+= ,0fRec . • Su gráfica pasa por los puntos:

( )1,0P , es decir, ( ) .10 == oaf ( )aP ,1 , es decir, ( ) .1 1 aaf == ( )aP /1,1− , es decir, ( ) ./11 1 aaf ==− −

• Convexa en .ℜ • No tiene extremos absolutos ni relativos. • Está acotada inferiormente por N=0, pero no está acotada superiormente. • Si 1>a es estrictamente creciente en .ℜ

Si 10 << a es estrictamente decreciente en .ℜ • Su gráfica no presenta simetrías. • Es “continua” en .ℜ • 0=y es una asíntota horizontal.

Una función exponencial muy especial:

( ) xexf = ←Función exponencial de base e

Recuerda que: ...7182818.2=e Pasa por:

( )1,0P ; ( )eP ,1 ; ( )eP /1,1− .

f(x) = 2xg(x) = (1/2)x

f(x)=(1/2)xf(x)=2xg(x)=3x

g(x)=(1/3)x

f(x ) = ex

a > 1 0 < a < 1



7.7. FUNCIONES LOGARÍTMICAS. Son de la forma:

( ) xxf alog= con ;ℜ∈a 0>a y 1≠a Ejemplos: a) ( ) xxf 2log= y ( ) xxg 3log= b) ( ) xxf

21log= y ( ) xxg

31log=

Fíjate: Las gráficas de ( ) xxf alog= y ( ) xxga1log= son simétricas respecto al eje OX.

Propiedades:

• ( ) ( )∞+= ,0fDom , ( ) ℜ=fcRe . • Su gráfica pasa por los puntos:

( )0,1P , es decir, ( ) 01log1 == af ( )1,aP , es decir, ( ) 1log == aaf a ( )1,/1 −aP , es decir, ( ) 1/1log/1 −== aaf a

• No tiene extremos absolutos ni relativos. • No está acotada, ni superior ni inferiormente. • Si 1>a es estrictamente creciente y cóncava en ( )∞+,0 .

Si 10 << a es estrictamente decreciente y convexa en ( )∞+,0 . • Su gráfica no presenta simetrías. • Es “continua” en ( )∞+,0 . • 0=x es una asíntota vertical.

x 1 2 4 8 1/2 1/4 f(x) 0 1 2 3 -1 -2

x 1 2 4 8 1/2 1/4f(x) 0 -1 -2 -3 1 2

x 1 3 9 27 1/3 1/9 g(x) 0 1 2 3 -1 -2

x 1 3 9 27 1/3 1/9 g(x) 0 -1 -2 -3 1 2

g(x)=log3 x

f(x)=log2 x

f(x)=log1/2 x

g(x)=log1/3 x

f(x)=log1/2 x

g(x)=log2 x

0 < a < 1 a > 1



Observación: ( ) xaxf = y ( ) xxg alog= son funciones inversas. Por tanto, sus gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Una función logarítmica muy especial:

( ) xxf ln= ←Función logaritmo neperiano Recuerda que: xx elogln = Pasa por:

( )0,1P ; ( )1,eP ; ( )1,/1 −eP

7.8. FUNCIONES CIRCULARES Y SUS INVERSAS. ( ) xsenxf =

( ) xcosxf =

( ) xtgxf =

x 0 π /4 π /2 3π /4 π 3π /2 2π f(x) 0 2/2

1 2/2 0 -1 0

x 0 π /4 π /2 3π /4 π 3π /2 2π f(x) 1 2/2

0 - 2/2 -1 0 1

x 0 π /4 π /2 3π /4 π 5π /4 3π /2 7π /4 2π f(x) 0 1 ∃/ -1 0 1 ∃/ -1 0

Propiedades f(x) = sen x: • ;)( ℜ=fDom [ ]1,1)(Re −=fc . • Periódica con π2=T rad. • Monotonía en [ )π2,0 . Estr. creciente en:

( ) ( )πππ 2,2/32/,0 ∪ Estr. decreciente en:

( )2/3,2/ ππ

• Curvatura en [ )π2,0 .

Convexa en: ( )ππ 2,

Cóncava en: ( )π,0 • Extremos relativos y absolutos:

Máximo absoluto y relativo en: 2/π=x con valor ( ) 12/ =πf

Mínimo absoluto y relativo en: 2/3π=x con valor ( ) 12/3 −=πf

• Función impar. • Acotada. M=1; N=-1. • Continua

Estudia las propiedades de f(x)=cos x

f f

f(x)=ln x

f(x)=sen x

f(x)=cos x

g = f -1

g = f -1

a > 1 0 < a < 1



Propiedades f(x) =tg x:

• ℜ=)( fDom \⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ Ζ∈+ kk /

2π

π

• ℜ=)( fRec . • Periódica con π=T rad. Estudia el resto de sus propiedades.

Análogamente se pueden obtener las gráficas de la funciones cosecante, secante y cotangente: ( ) xcosecxf = ( ) xsecxf =

( ) xcotgxf =

FUNCIONES ARCO: Son las inversas del seno, coseno y tangente (en el sentido de la composición de funciones) tomando intervalos en los que son inyectivas. Por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. ( ) xarcsenxf = ( ) xarccosxf = ( ) xarctgxf =

( ) [ ];1,1−=fDom ( ) [ ]2

,2

ππ−=fRec ( ) [ ];1,1−=fDom ( ) [ ]π,0=fRec ( ) ;ℜ=fDom ( ) ( )2

,2

ππ−=fRec

f(x)=tg x

f

f

f(x)=arcsen x

f(x)=arccos x

g(x)= sen x

g(x)= tg x

g(x)= cos x

f(x)=arctg x

Observa las gráficas anteriores y estudia sus propiedades.

f



7.9. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Están definidas por varias expresiones algebraicas.

Ejemplos: Representa estas funciones definidas a trozos.

a) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+−<≤−

<=

42412

1

xsixxsi

xsixxf

b) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−<<

≤++=

43401

0122

xsixxsi

xsixxxg

Primer trozo: Arco de parábola 1º) Curvatura: ( )∪⇒>= Convexaa 01 2º) Puntos de corte con los ejes: Eje OX: ( )0,110120 2 −⇒−=⇒=++⇒= Pxxxy ⇒( Coincide con el vértice).

Eje OY: ( ) ( )1,0100 Qgx ⇒=⇒= (Fin arco parábola). 3º) Vértice:

;122

2−=

−=

−=

abxv ( ) ⇒=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 01

2g

abgyv ( )0,1−V

c) ( )[ )[ ]( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

∈∈+−

−∈+=

7,343,012

0,312

xsixsixxxsix

xh

x f(x)=x x f(x)=-2 x f(x)=-x+2 -1 -1 1 -2 4 -2 1 1

4 -2

6 -4

x g(x) = 1 x g(x) = x-3 0 1 4 1 4 1

6 3

xxf =)( 2)( −=xf 2)( +−= xxf

1 4 ℜ=)( fDom

12)( 2 ++= xxxg 1)( =xg 3)( −= xxg

0 4 ℜ=)(gDom

[ )∞+= ,0)(gRec

( )1,)( ∞−=fRec

Comprueba que en el caso c) se obtiene esta gráfica y estudia su dominio y recorrido.

f

g

h



OTRAS FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS: a) Función parte entera. Función parte entera E(x)

b) Función parte decimal. c) Función signo.

Ejercicio: Representa estas funciones expresándolas previamente como una función definida a trozos.

)32() −xSiga

Es inmediato que ⎪⎩

⎪⎨

⎧⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

>

=

<−

=

<⇒<−

=⇒=−

>⇒>−

2/312/302/31

)(2/30322/30322/3032

xsixsixsi

xSigxxxxxx

)128() 2 +− xxSigb Comprueba que obtienes la gráfica del margen.

Dom(E)= ;ℜ Rec(E)= Z

E(x)

D(x) = x-E(x)

Sig(x )

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

<≤

<≤

<≤

<≤

<≤−−

−<≤−−

−<≤−−

=

...433322211100011

122233

...

)(

xsixsixsixsixsixsixsi

xE

Dom(D)= ℜ ; Rec(D)= [ )1,0 Periódica con T = 1

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

<≤−

<≤−

<≤

<≤−+

−<≤−+

=

...32221110011

122

...

)(

xsixxsixxsixxsixxsix

xD

Dom(Sig)= ℜ ; Rec(Sig)= { }1,0,1−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

=

<−

=

010001

)(xsixsixsi

xSig

Sig(2x-3)

Sig(x2-8x+12)



7.10. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO. Se define la función valor absoluto como la función definida a trozos:

( )⎩⎨⎧

≥<−

==00

xsixxsix

xxf

Fíjate: Podemos definir la función signo como: xxxSig =)( si .0≠x

Ejemplo 1: Representa y expresa como función definida a trozos: ( ) 42) −= xxfa

Se representa: 42 −= xy . Corte con eje OX: (si no se ha obtenido en la tabla) ( )0,220420 Pxxy ⇒=⇒=−⇒= Como función a trozos queda:

( )⎩⎨⎧

≥−<+−

=242242

xsixxsix

xf

( ) 45) 2 +−= xxxfb

Se representa 452 +−= xxy 1º) Curvatura: ( )∪⇒>= Convexaa 01 2º) Puntos de corte con los ejes:

Eje OX: ( )( )⎩

⎨⎧

⇒=⇒=

⇒=+−⇒=0,44

0,110450 2

QxPx

xxy

Eje OY: ( )4,00 Rx ⇒= 3º) Vértice:

;5.225

2==

−=

abxv 25.245.255.2 2 −=+⋅−=vy

( )25.2,5.2 −⇒V

Como función a trozos queda: ( )⎩⎨⎧

<<−+−≥≤+−

=4145

41452

2

xsixxxóxsixx

xf

( ) 54) 2 ++−= xxxfc

Comprueba que en el caso c) se obtiene esta gráfica.

x f(x) = |2x-4 | 0 -4 3 2

f(x)=|x| ℜ=)( fDom

[ )∞+= ,0)( fRec

f(x)= |2x-4|

f(x)= |x2-5x+4|

;)( ℜ=fDom [ )∞+= ,0)( fRec

;)( ℜ=fDom [ )∞+= ,0)( fRec

f(x)= |-x2+4x+5|



Ejemplo 2: Representa estas funciones y observa las simetrías que presentan algunos casos: ( ) xsenxfa =) ( ) xsenxfb =) ( ) xxfc cos) −= ( ) xtgxfd =) ( ) xxfe ln) = ( ) xxff ln) =

( ) xxfg ln) −= ( ) xexfh =) ( ) xexfi =) ( ) x

exfj−

=) ( ) xexfk −=) ( ) xexfl−

−=)

c) f(x) = -|cos x| Periódica con T = π

a) f(x) = |sen x| Periódica con T = π

e) f(x) = |ln x|

d ) f(x) = |tg x| Periódica con T = π

f) f(x) = ln|x| g) f(x) = -ln|x|

b) f(x) = sen |x| No periódica

¿Cuál es su dominio?



Ejemplo 3: Expresar como una función definida a trozos y representar: a) ( ) xxxf =

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<−==

0

02

2

xsix

xsixxxxf

Ya que ⎩⎨⎧

≥<−

=00

xsixxsix

x

b) ( ) 33 −++= xxxg

;3333

033033

3⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

−≥+

−<−−=

≥++

<+−−=+

xsixxsix

xsixxsix

x ⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

≥−

<+−=

≥−−

<−+−=−

3333

033033

3xsixxsix

xsixxsix

x

h) f(x) = |ex| ¡Coincide con y = ex!

i) f(x) = e| x |

j) f(x) = e -| x |

k) f(x) = -e x l) f(x) = - e-|x|

f(x)= x|x|



Por tanto:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

<≤−

−<−

=

32336

32

xsixxsi

xsixxg ya que:

c) ( ) 312 +−−++= xxxxh . Comprueba que, en este caso, su gráfica es:

7.11. OTRAS TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES. a) TRASLACIONES VERTICALES.

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒<

⇒>

⇒+

abajo”). (“hacia negativo sentidoen de gráfica laen unidades de verticalTraslación 0

arriba”). (“hacia positivo sentidoen de gráfica laen unidades de verticalTraslación 0

f kk

f kk

kxf

Ejemplos:

a) Observa las gráficas de la derecha obtenidas al trasladar la función f(x) = 2 x.

( ) ( ) ( ) 222 +=⇒+= xxgxfxg Traslación vertical de dos unidades hacia arriba.

( ) ( ) ( ) 121 −=⇒−= xxhxfxh Traslación vertical de una unidad hacia abajo.

3+x 3−x 3+x + 3−x

3−<x 3−− x 3+− x x2− 33 <≤− x 3+x 3+− x 6

3≥x 3+x 3−x x2

g(x) = 2 x + 2

f(x) = 2 x

h(x) = 2x - 1

g(x)= |x+3| + |x-3|

h(x)= |x+2| + |x-1| - |x+3|



b) Observa ahora estas gráficas obtenidas por traslación de la función f(x) = sen x. ( ) ( ) ( ) ⇒+=⇒+= 22 xsenxgxfxg Traslación vertical de dos unidades hacia arriba. ( ) ( ) ( ) ⇒−=⇒−= 33 xsenxhxfxh Traslación vertical de tres unidades hacia abajo.

b) TRASLACIONES HORIZONTALES.

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒<

⇒>

⇒+

derecha”). la (“hacia positivo sentidoen de gráfica laen unidades de horizontal Traslación 0

).izquierda” la (“hacia negativo sentidoen de gráfica laen unidades de horizontal Traslación 0

fkk

f kk

kxf

Ejemplos: a) Presta atención a estas gráficas obtenidas por traslación de f(x) = log2 x. ( ) ( ) ( ) ( )⇒−=⇒−= 1log1

2xxgxfxg Traslación horizontal de una unidad hacia la derecha.

( ) ( ) ( ) ( )⇒+=⇒+= 2log2

2xxhxfxh Traslación horizontal de dos unidades hacia la izquierda.

g(x) = sen x + 2

f(x) = sen x

h(x) = sen x - 3

g(x) = log2 (x - 1)

f(x) = log2 x

h(x) = log2( x+2)



b) Fíjate ahora en estas traslaciones de la función f(x) = sen x.

( ) ( ) ( ) ( )⇒+=⇒+= 2/2/ ππ xsenxgxfxg Traslación horizontal de π/2 unidades hacia la izquierda.

( ) ( ) ( ) ( )⇒−=⇒−= ππ xsenxhxfxh Traslación horizontal de π unidades hacia la derecha.

Observa: ( ) ( ) xxsenxg cos2/ =+= π

c) DILATACIONES Y CONTRACCIONES SOBRE EL EJE OY.

( )⎩⎨⎧

⇒<<

⇒>⇒

OY. eje el sobre de gráfica la den Contracció 10OY. eje el sobre de gráfica la de Dilatación 1

fkSifkSi

xfk

Ejemplo: Presta atención a estas gráficas obtenidas por dilatación y contracción de

f(x) = sen x sobre el eje OY. ( ) ( )⇒= xfxg 2 Dilatación sobre el eje OY (se dilata “el doble”). ( ) ( )⇒= xfxh 3 Dilatación sobre el eje OY (se dilata “el triple”).

( ) ( )⇒= xfxi )2/1( Contracción sobre el eje OY (se contrae “a la mitad”).

Observa: • Los puntos de corte con el eje OX son los únicos que permanecen fijos y el periodo, en

este ejemplo T = 2π, se mantiene. • Si k < 0 se obtiene la función simétrica respecto al eje OX de la obtenida al representar

( )xfk .

x 0 π /2 π 3π /2 2π g(x)=2senx 0 2 0 -2 0 h(x)=3senx 0 3 0 -3 0

i(x)=(1/2)senx 0 1/2 0 -1/2 0

h(x) = sen (x-π) f(x) = sen x g(x) = sen (x + π/2 )

f(x) = sen x g(x) = 2sen x

h(x) = 3sen x

i(x) =(1/2)sen x



d) DILATACIONES Y CONTRACCIONES SOBRE EL EJE OX.

( )⎩⎨⎧

⇒<<

⇒>⇒

OX. eje el sobre de gráfica la de Dilatación 10OX. eje el sobre de gráfica la den Contracció 1

fkSifkSi

kxf

Ejemplo: Fíjate en estas gráficas obtenidas por dilatación y contracción de f(x) = sen x

sobre el eje OX.

( ) ( ) ( ) ( )⇒=⇒= xsenxgxfxg 22 Contracción sobre el eje OX (se contrae “a la mitad”).

( ) ( ) ⇒=⇒= ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

221 xsenxhxfxh Dilatación sobre el eje OX (se dilata “el doble”).

Observa: En este caso los periodos sí han cambiado. Para hacer las representaciones gráficas anteriores hemos tenido en cuenta que:

( ) ( )xsenxg 2= Periodo: πππ =⇒=⇒= Txx 22

( ) 000002 ==⇒=⇒= sengxx

12442

2 ==⇒=⇒= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ππππ

sengxx

022

2 ==⇒=⇒= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ πππ

π sengxx

12

34

34

32

32 −==⇒=⇒= ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ππππ

sengxx

( ) 0222 ==⇒=⇒= ππππ sengxx

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

2xsenxh

Periodo: πππ 4422

=⇒=⇒= Txx

( ) 000002

==⇒=⇒= senhxx

( ) 1222==⇒=⇒=

πππ

πsenhx

x

( ) 0222

==⇒=⇒= ππππ senhxx

( ) 12

333

23

2−==⇒=⇒=

πππ

πsenhx

x

( ) 024422

==⇒=⇒= ππππ senhxx

g(x) = sen2x f(x) = sen x h(x) = sen(x/2)

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UNIDAD 8 FUNCIONES. 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN. · Departamento de Matemáticas 1 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones y =2x 2 1 UNIDAD