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Unidad Didáctica 4
Distribuciones de Probabilidad(Parte I)
Departamento de Estadística e Investigación
Operativa Aplicadas y Calidad
DEIOAC – Estadística Fuentet: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9
UD 4 Distribuciones de Probabilidad
Esta presentación corresponde a la Parte I de la Unidad Didáctica 4
de la asignatura, disponible en PoliformaT, y a los capítulos 4 y 5 del
libro Métodos estadísticos para Ingenieros.
La presentación se utilizará en clase durante las clases del 28 de
febrero al 7 de marzo. En la sesión del día 28 se trabajará el apartado
1 de la unidad (Introducción y Conceptos básicos) y en las sesiones
de los días 1 y 7 de marzo se estudiarán las distribuciones Binomial y
Poisson. El contenido de esta unidad se completa con la sesión de
prácticas.
DEIOAC – Estadística Fuentet: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9
UD 4 - Distribuciones de Probabilidad I
� Distribuciones de Probabilidad
� Distribuciones de probabilidad discretas
� Distribuciones de probabilidad continuas
� Esperanza matemática. Media y Varianza
� Pricipales distribuciones discretas
• Distribución Binomial
• Distribución de Poisson
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UD 4 - Distribuciones de Probabilidad (II-III)
� Principales distribuciones continuas
• Distribución Uniforme
• Distribución Exponencial
• Distribución Normal (Parte III, UD4)
Parte II, UD4 (8-14 de marzo)
(15-28 de marzo)
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Distribuciones de Probabilidad
� X, P(X)
� Discreta: P(X=xi)
� Continua: Probabilidad de que la variable X tome
valores comprendidos en un intervalo
� A toda variable le corresponde una forma de
distribuir sus probabilidades en el conjunto de
valores posibles � Caracterización de la distribución
* Función de Probabibilidad P(X)
* Función de densidad f(x)
�
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Distribuciones de probabilidad Discretas
� Una variable aleatoria es discreta cuando el conjunto de valores que puede tomar es discreto
� Caracterización de la distribución de probabilidad:
Función de probabilidad , P(x)(Función de cuantía o masa)
� Proporciona la probabilidad de cada uno de los valores
posibles de la variable X ���� P(X=xi)
� La probabilidad de que la variable X tome todos los
valores menores o iguales a x viene expresado por
P( X ≤≤≤≤ x ) =
i xi
x
P( x )∀ ≤
=∑ X
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Distribuciones de probabilidad Discretas
� AUTOEVALUACIÓN: Sea la población constituida portodos los posibles lanzamientos de dos monedassimétricas. A cada individuo de la población, es decira cada lanzamiento de las dos monedas, se le asociala variable aleatoria "número de caras obtenidas".
* ¿Cuál es el conjunto de valores posibles de lavariable aleatoria?
* ¿Es dicha variable discreta?
* Calcular la función de probabilidad de dichavariable aleatoria.
* Dibujar la función de probabilidad de dichavariable.
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Distribuciones de probabilidad Contínuas
� De manera informal, una variable aleatoria es
contínua si el conjunto de valores que puede tomar
es un conjunto infinito continuo
� Las distribuciones de probabilidad continuas (o devariables aleatorias continuas) vienen caracterizadaspor la función de densidad f(x)
b
af(x)dx P(a X b) P(X b) - P(X a)= < ≤ = ≤ ≤∫
El área comprendida bajo la función
de densidad de una variable X entre
dos valores "a" y "b" coincide con la
probabilidad que la variable aleatoria
tome valores en ese intervalo:
a b
P(a<X≤b)
X
f(x)
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20
Ejemplo: Dureza en nw. de respaldos de poliuretano: X
���� ����
f(x)
Distribuciones de probabilidad Contínuas
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Esperanza Matemática: Media y Varianza
� X
� h(X)
� E(h(X)) : Esperanza matemática (idealización de media)
� Si X es discreta:
� Si X es continua:
i iE(h(X)) h(x )P(X x )= =∑
i iE(X) xP(X x )= =∑
E(h(X)) h(x)f(x)dx+∞
−∞
= ∫
E(X) xf(x)dx+∞
−∞
= ∫
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� Media de la distribución:
Media=m= E(X)
• Ejemplo: Calcular la media del número de puntos
obtenidos al lanzar un dado
� Propiedad de la media:
Esperanza Matemática: Media y Varianza
1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Si Y aX b E Y aE X b
Si Y X X E Y E X E X
= ± ⇒ = ± = ± ⇒ = ±
E(a0+a1X1+...+anXn)= a0+a1E(X1)+...+anE(Xn)
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� Varianza de la distribución:
Varianza= σσσσ2(x)= E(X-m)2
Desviación Típica = σσσσ , raíz cuadrada (+) de la σσσσ2
* Si X es discreta:
* Si X es contínua:
σ = − =∑2 2i i
i
(x) (x m) P(X x )
2 2(x) (x m) f(x)dxσ+∞
−∞
= −∫
Esperanza Matemática: Media y Varianza
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� Ejemplo: Calcular la varianza del número de puntos obtenidos al lanzar un dado.
� Propiedades de la varianza
1.- σσσσ2 (aX)= a2 σσσσ2(X)
2.- Si X , Y son independientes:
� Ejemplos*.- Calcular la media de la suma del número de puntos obtenidos al lanzar dos dados
*.- Calcular la varianza de la suma de puntos obtenidos al lanzar dos dados
Esperanza Matemática: Media y Varianza
2 2 2X Y X Y( ) ( ) ( )σ σ σ± = +
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� Varianza de la suma de dos variables X1, X2
2 21 2 1 2 1 2(x x ) E((x x ) (m m ))σ + = + − + =
21 1 2 2E((x m ) (x m ))= − + − =
2 21 2 1 2(x ) (x ) 2Covx ,xσ σ= + +
Esperanza Matemática: Media y Varianza
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� Varianza de una combinación lineal de variables
(Formulario)
21 ,21222
2122
12
2211
2211
2)()()(
)()()(
XXCovttXtXtY
XEtXEtYE
XtXtY
±+=
±=
±=
σσσ
Esperanza Matemática: Media y Varianza
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Distribución Binomial
� Dado un suceso A de probabilidad p asociado a un
determinado experimento aleatorio. Se llevan a cabo nrepeticiones independientes del experimento, y sea X el
número de veces que se presenta el suceso A
� La variable X así definida sigue una distribución
denominada distribución binomial que depende de
los dos parámetros mencionados n y p
X ∼∼∼∼ B(n,p)
� Los valores posibles de X son: 0, 1, 2,.........., n
� Ejemplo
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Distribución Binomial
� Se demuestra que la función de probabilidad o masa de una variable X que sigue una distribución Binomial (n , p) es:
− = = −
k knnP(X ) p (1 p)k
k
E(X) np= 2(X) np(1 p)σ = −
Nota: = −
n n!
k!(n k)!k
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Distribución Binomial
� Autoevaluación: Interpretar la fórmula de la función de
probabilidad de una distribución binomial.
Calcular directamente (sin aplicar las fórmulas dadas) la
media y la varianza de una distribución binomial de
parámetros n=1 y p.
Constatar que una variable Binomial (n, p) coincide con
la suma de n variables binomiales (1, p)
independientes.
1 1
2 2
1 2 1 2
X B(n ,p)
X B(n ,p)
X X X X B(n n ,p)
= + +⇒ Independientes
∼
∼
∼
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Distribución Binomial
� Cuando el producto np(1-p) es grande (del orden de 9
ó más) las probabilidades correspondientes a una
variable binomial pueden también aproximarse usando
las tablas de la distribución normal
� El SGPlus permite representar la Función de
Probabilidad o Masa de las variables binomiales.
También calcula las probabilidades asociadas a valores
de estas distribuciones.
Describe � Distributions � Probability Distributions
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Distribución Binomial
Event prob.,Trials0,1,100,15,200,3,30
Binomial Distribution
x
prob
abili
ty
0 5 10 15 20 25 300
0,1
0,2
0,3
0,4np(1-p)=0.9
np(1-p)=2.55
np(1-p)=6.3
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Distribución Binomial
Cumulative Distribution-----------------------
Distribution: Binomial
Lower Tail Area (<)Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 50 0,0 0,0 0,0 2 0,736099 0,175558 0,000312331 3 0,929809 0,404897 0,00211318
Probability Mass (=)Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 50 0,348678 0,0387595 0,0000225393 2 0,19371 0,229339 0,00180085 3 0,0573956 0,242829 0,00720339
Upper Tail Area (>)Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 50 0,651322 0,96124 0,999977 2 0,0701906 0,595103 0,997887 3 0,012795 0,352275 0,990683
B(n=10, p= 0.1) B(n=20, p= 0.15) B(n=30, p= 0.3)
P(X=xi)
P(X<xi)
P(X>xi)
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Distribución Binomial
� Ejercicio 1: Calcular la probabilidad de rechazar una
partida con un 5% de piezas defectuosas a partir del
control de 40 piezas, y con el criterio de rechazo
“Rechazar la partida si el número de piezas defectuosas
en la muestra es mayor que 1”.
� Ejercicio 2: Calcular la probabilidad de sacar al menos
un seis en seis lanzamientos de un dado.
� Ejercicio 3: Calcular el número medio de piezas
defectuosas (Ejercicio 1). Calcular el número medio de
seises (Ejercicio 2).
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Distribución de Poisson
� En algunas aplicaciones se manejan variables aleatorias binomiales con un valor muy elevado de n y un valor muy bajo de p. Frecuentemente de estas variables sólo se conoce su valor medio m = λλλλ = np
X ∼∼∼∼ Poisson(λλλλ)
� La distribución de Poisson se describe como el límite al que tiende la distribución Binomial cuando :
� n es grande (n →→→→ ∞∞∞∞) y p es pequeño (p →→→→ 0)
� el producto np es constante (λλλλ = np)
� Ejemplos
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Distribución de Poisson
� Esta distribución viene caracterizada por un único parámetro que es la media y la varianza de la distribución.
� La función de probabilidad o masa de una variable que sigue una distribución de Poisson de parámetro se obtiene a partir de:
2(X)σ λ=
λ
E(X) λ=
λ
− −
→∞→
→
= = − =
n λ
np 0np λ
kk kn λ
Prob(Poisson(λ) ) lim p (1 p) ekkk !
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� Para valores de λλλλ moderadamente elevados (del orden
de 9 o mayores), las probabilidades de una distribución
de Poisson pueden aproximarse utilizando las tablas de
una distribución normal.
� El SGPlus permite representar la Función de Probabilidad
o Massa de las variables de Poisson. También calcula las
probabilidades asociadas a valores de estas
distribuciones:
Describe � Distributions � Probability Distributions
Distribución de Poisson
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Distribución de Poisson
λ
Mean0,83,510
Poisson Distribution
x
prob
abili
ty
0 5 10 15 20 25 300
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5Valors de λ
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Distribución de Poisson
Cumulative Distribution-----------------------
Distribution: Poisson
Lower Tail Area (<)Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 50 0,0 0,0 0,0 1 0,449329 0,0301974 0,0000453999 4 0,99092 0,536633 0,0103361
Probability Mass (=)Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 50 0,449329 0,0301974 0,0000453999 1 0,359463 0,105691 0,000453999 4 0,00766855 0,188812 0,0189166
Upper Tail Area (>)Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 50 0,550671 0,969803 0,999955 1 0,191208 0,864112 0,999501 4 0,00141131 0,274555 0,970747
P(X<xi)
P(X=xi)
P(X>xi)
Poisson(λ = 0,8) Poisson(λ= 3,5) Poisson(λ= 10)
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Distribución de Poisson
� Ejercicio 4: siendo X la variable número de abolladuras
en los capós de los coches una variable de Poisson de
media 0.8,
* ¿qué porcentaje de coches no tendrá ningunaabolladura?
* ¿qué porcentaje tendrá más de una abolladura?
* ¿cuál es la probabilidad de que un coche tenga másde cinco abolladuras?
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Distribución de Poisson
Curvas de probabilidad acumulada de la distrib. de Poisson
Valor de λλλλ
Proporciona la P(X ≤≤≤≤ c) con X ∼∼∼∼ POISSON (λλλλ)
C=50,9998
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Distribución de Poisson
� Ejercicio 5: Sabiendo que en las carreteras españolas
se producen en promedio tres accidentes mortales
diarios (excluyendo fines de semana). ¿Cuál es la
probabilidad de que el próximo martes no se produzca
ningún accidente mortal?
Con los mismos datos anteriores calcular la probabilidad
de que el próximo martes haya más de 7 accidentes
mortales.
DEIOAC – Estadística Fuente: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9
Distribución de Poisson
Curvas de probabilidad acumulada de la distrib. de Poisson
Valor de λλλλ
Proporciona la P(X ≤≤≤≤ c) con X ∼∼∼∼ POISSON (λλλλ)
C=7
0,985
=3λλλλ
DEIOAC – Estadística Fuente: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9
Distribución de Poisson
� Ejercicio 6: Suponiendo que son independientes las
variables asociadas a los diferentes días de las semanas
y que el número medio de accidentes mortales los fines
de semana (sábado+domingo) es igual a 15, calcular la
probabilidad de que a lo largo de la próxima semana se
produzcan menos de 25 accidentes mortales.
Independientes
1 1
2 2
n n
1 2 n Y 1 2 n
X Poisson( )
X Poisson( )
..........
X Poisson( )
Y X X X Y Poisson( ... )
λλ
λλ λ λ λ
= + + ........ + = + + ⇒ +
∼
∼
∼
∼
DEIOAC – Estadística Fuente: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9
Distribución de Poisson
Ábaco de Poisson. Curvas de probabilidad acumulada
Valor de λλλλ
Proporciona la P(X ≤≤≤≤ c) X ∼∼∼∼ POISSON (λλλλ)
C=24
0,16
Ejercicios
DEIOAQ – Estadística Font: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9
Ejercicios de repaso de la
unidad
Una vez estudiada la unidad,
intenta resolver los siguientes
ejercicios. Si tienes dificultad en
su resolución, habla con tu
profesor.
DEIOAC – Estadística Fuente: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9
Ejercicios
� Ejercicio 7: Los responsables de la sección de informáticade un gran centro de documentación desean garantizarque el porcentaje de registros erróneos en sus bases dedatos sea inferior al cinco por mil. Para ello,periódicamente seleccionan al azar n registros de una desus bases de datos, también al azar, comprobando suvalidez. Si la información de alguno de estos registrosfuera incorrecta, se impedirá el acceso de los usuarios adicha base de datos y pasaría a ser actualizada.
Determinar el valor mínimo del número de registros ainspeccionar, si se desea que la probabilidad de aceptarcomo correcta una base de datos que no satisfaga elrequisito exigido, sea inferior al uno por mil.
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� Ejercicio 8: Una industria que utiliza masivamente ensus productos cierto componente electrónico, deseagarantizar que el porcentaje de componentes defectuosos encada partida que compra es inferior al 10%. Por ello pruebaen cada partida N unidades seleccionadas al azar, aceptandoesta sólo si todas las unidades resultan correctas.
A).- Cuánto valdrá N para que la probabilidad de admitir unapartida con un 10% o más de unidades defectuosas nosupere el 5%?
B).- Una partida se considera satisfactoria si el porcentajede unidades defectuosas en la misma es menor o igual al2%. Qué probabilidad tiene el sistema de control establecidoen A) de rechazar una partida con un 2% de unidadesdefectuosas?
Ejercicios
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Ejercicios
� Ejercicio 9 : Un fabricante de circuitos integrados
desea garantizar que la proporción de chips defectuosos
en los lotes que vende no supera el 5 por mil. Para ello
selecciona al azar N chips de un lote, rechazando el lote
en caso de que (dos casos diferentes):
A) Haya algún chip defectuoso.
B) Tres o más de los chips sean defectuosos.
Determinar en ambos casos (A y B) el valor mínimo de
N si se desea que la probabilidad de rechazar un lote
que no satisfaga el requisito exigido sea al menos del
99%.
Ejercicios
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� Ejercicio 10: Una empresa dedicada a la fabricación de
piezas para aviones está interesada en el estudio de la
calidad en producción de una de las piezas que fabrica. La
calidad de este tipo de piezas viene determinada por un
parámetro de longitud de una de sus partes. Para realizar
el estudio de calidad la empresa ha decidido realizar para
dicha pieza un control estadístico de calidad, midiendo,
para ello, dicha característica clave (longitud). Se fija un
límite de tolerancia mínimo y máximo para la
característica a medir y se conoce que, en condiciones
normales de fabricación, el 99% de las piezas fabricadas
están dentro de las tolerancias admitiéndose, por tanto,
como correctas.
Ejercicios
DEIOAC – Estadística Fuente: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9
Se pide:
a) Si se extrae al azar una muestra de 5 piezas, ¿cuál
es la probabilidad de obtener 2 defectuosas?
b) Si se extrae una muestra al azar 50 piezas, calcular
la probabilidad de encontrar al menos 3 piezas
defectuosas (utilizar la aproximación a la distribución
de Poisson).
DEIOAC – Estadística Fuente: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en Ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9
� Fuentes: R. Romero y L. Zúnica: “Métodos Estadísticos en Ingeniería” | A. Webster “Estadística aplicada a los negocios y la economía” | Material docente de los profesores de la asignatura (DEIOAC - UPV)
� Estas transparencias NO son unos apuntes, constituyen un guión de las explicaciones hechas en clase con algunos ejemplos adicionales.
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