Unidad II - Cálculo Vectorial de Funciones de Varias Variables

Calculo vectorial de funciones de varias variables UAP Matemática III

UNIDAD II: CALCULO VECTORIAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES:

2.1. Funciones de varias variables:

Suponga que un fabricante hace dos productos, X y Y. Entonces el costo total depende de los niveles de producción tanto de X como de Y.

la tabla muestra el costo total para diferentes niveles. Por ejemplo, cuando se producen 5 unidades de X y 6 de Y, el costo total c es de 17.

En esta situación parece natural asociar el número 17 con el par ordenado (5,6):

(5,6 )→17

Número de unidades de X producidas, x

Número de unidades de Y producidas, y

Costo total de producción, c

5 6 17

5 7 19

6 6 18

6 7 20

El primer elemento del par ordenado, 5, representa el número de unidades de X producidas, mientras que el segundo elemento, 6,

representa el número de unidades producidas de Y. Para las otras situaciones de producción tenemos

(5,7 )→19; (6,6 )→18 y (6,7 )→20

Esta correspondencia puede considerarse como una relación entrada-salida donde las entradas son los pares ordenados. Con cada entrada

asociamos exactamente una salida. Así, la correspondencia define una función f en la que el dominio consiste en

(5,6 )→17 ; (5,7 )→19 ; (6,6 )→18 ; (6,7 )→20 y el rango consiste en 17, 19, 18 y 20. En notación funcional,

f (5,6 )=17 ; f (5,7 )=19 ; f (6,6 )=18 ; f (6,7 )=20

Decimos que la lista de costo total puede describirse por c=f (x , y), que es una función de las dos variables independientes x y y .

La letra c es la variable dependiente.

2.2. Esbozo de una superficie:

Veamos otra función de dos variables. La ecuación:

z= 2

x2+ y2

define a z como una función de x y y :

z=f (x , y )= 2

x2+ y2

El dominio de f es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales (x , y ) para los cuales la ecuación tiene sentido, cuando

el primero y segundo elementos de (x , y ) se sustituyen por x y y , respectivamente, en la ecuación. Así, el dominio de f es el conjunto

de todos los pares ordenados excepto (0,0). Por ejemplo, para encontrar f (2,3), sustituimos x=2 y y=3 en la expresión

2/ (x2+ y2 ). Obtenemos,

f (2,3 )= 2

22+32= 2

13

Ejemplo 2.1: Funciones de dos variables

a. f (x , y )= x+3y−2

es una función de dos variables. Como el denominador es cero cuando y=2, el dominio de f son todos los

(x , y ) tales que y ≠2. Algunos de los valores de la función son

f (0,3 )= 0+33−2

=3 , f (3,0 )= 3+30−2

= 6−2

=−3

Note que f (0,3 )≠ f (3,0 )

Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera Página 1


b. h( x , y )=4 x define a h como una función de x y y . El dominio son todos los pares ordenados de números reales. Algunos valores de la función son

h (2,5 )=4 (2 )=8 , h (2,6 )=4(2)=8.

Observe que los valores de la función son independientes del valor de y .

c. Si z2=x2+ y2 y x=3 y y=4, entonces z2=32+42=25. En consecuencia, z=±5. Entonces, con el par ordenado

(3,4 ) no podemos asociar exactamente un solo número de salida. Por tanto, z no es una función de x y y .

2.3. Definición:

Una función de n variables es aquella cuyo dominio consiste en n-adas ordenadas (x1 , x2 , x3 ,…,xn). Por ejemplo,

f (x , y , z)=2 x+3 y+4 z es una función de tres variables con un dominio que consiste en todas las ternas ordenadas. La función

g (x1 , x2, x3 ,… ,xn )=x1 x2 x3 x4 es una función de cuatro variables con un dominio que consiste en todas las 4-adas

ordenadas. Aunque las funciones de varias variables son sumamente importantes y útiles, no podemos representar geométricamente

funciones de más de dos variables.

2.4. Sistema Coordenado Rectangular Tridimensional:

Una función de dos variables z=f (x , y ), su dominio puede representarse geométricamente por una región en el plano.

Una función puede representarse geométricamente en un sistema de coordenado rectangular tridimensional. Tal sistema se forma cuando

tres ejes de números reales mutuamente perpendiculares en el espacio se intersecan en el origen de cada eje. Los tres ejes se llaman eje X,

Y y Z y su punto de intersección recibe el nombre de origen del sistema. A cada punto P en el espacio podemos asignar una terna ordenada

única de números, llamada coordenadas de P. por ejemplo podemos trazar los siguientes puntos P(2; 0; 0), Q(2; 3; 0) y R(2; 3; 4). Nótese

que el origen corresponde a (0; 0; 0). Las porciones negativas de los ejes no se muestran más que en caso necesario. Daremos ahora cómo

esbozar superficies en el espacio. Comencemos con planos que son paralelos a un plano coordenado. Con plano coordenado queremos

decir un plano que contiene dos ejes coordenados. Por ejemplo el plano determinado por los ejes X e Y es el plano XY. Similarmente

hablamos del plano XZ y del plano YZ. Los planos coordenados dividen el espacio en ocho partes llamados octantes. En particular, la parte

que contiene a todos los puntos (x, y, z) donde x, y y z son positivos se llama primer octante.

Podemos representar geométricamente una función de dos variables z=f (x , y ). A

cada par ordenado (x , y ) en el dominio de f le asignamos el punto

(x , y , f (x , y )). El conjunto de todos estos puntos se llama gráfica de f. Se puede

considerar que z=f (x , y ) representa una superficie en el espacio.

Supongamos que S es un plano paralelo al plano XY pasa por el punto (0; 0; 4). El punto

(x , y , z) estará entonces en S si y sólo sí z=4, esto es x e y pueden ser cualquier

número real, pero z debe ser igual a 4. Por esta razón z=4 es una ecuación de S.

Similarmente, una ecuación del plano paralelo al plano XZ y que pasa por el punto (0 ,2 ,0) es y=2. La ecuación x=3 es una

ecuación del plano que pasa por (3;

0; 0) y es paralelo al plano YZ.


f(x, y)

(x, y, f(x, y))

Plano z = 4

Plano y = 2 Plano x = 3


Veamos ahora los planos en general. En el espacio, la gráfica de una ecuación de la forma Ax+By+Cz+D=0, donde D es una

constante y A, B y C son constantes sin que todas sean iguales a cero, en un plano. Como tres puntos distintos (no todos en la misma recta)

determinan un plano, una manera conveniente de esbozar uno es encontrado primero los puntos, en caso de que existan, en que el plano

interseca los ejes x, y o z. Esos puntos son llamados intersecciones.

Ejemplo 4.1: Esbozar el plano 2 x+3 y+z=6Solución:

Las intersecciones con los ejes son (3; 0; 0), (0; 2; 0) y (0; 0; 6). La porción del plano en el primer octante se muestra en la siguiente figura,

sin embargo, debe quedar claro que el plano se extiende indefinidamente en el espacio. Esta superficie puede ser esbozada con ayuda de

sus trazas. La traza en el plano XY se obtiene haciendo z=0, esto da 2 x+3 y=6 que es la ecuación de una línea en el plano XY.

Similarmente se obtiene la traza en el plano YZ, la línea 3 y+z=6, haciendo x=0. La traza en el plano XZ es la línea 2 x+z=6.

Ejemplo 4.2: Esbozar la superficie 2 x+z=4Solución:

Esta ecuación tiene la forma de un plano. Las intersecciones en X y Z son (2; 0; 0), (0; 0; 4) y no hay intersección en Y porque x y z no

pueden ser ambas cero.

Haciendo y = 0 obtenemos la traza 2x + z = 0 que es una línea en el plano XZ. De hecho la intersección de la superficie con cualquier plano

y=k es también 2x + z = 4. El plano se muestra en la siguiente figura.

Ejemplo 4.3: Esbozar la superficie z=x2

Solución:

La traza en el plano XZ es la curva z=x2, que es una parábola. De hecho para cualquier valor

fijo de y obtenemos z=x2. La gráfica se muestra en la siguiente figura


Plano XY: 2x + 3y = 6

Plano YZ: 3y + z = 6Plano XZ: 2x + z = 6

2x + z = 4


Ejemplo 4.4: Esbozar la superficie x2+ y2+z2=25Solución:

Haciendo z = 0 obtenemos la traza en el plano XY x2+ y2=25, lo cual es un círculo de radio 5. Similarmente, las trazas en los planos YZ

y XZ, son los círculos y2+z2=25 y x2+ z2= 25 respectivamente.

EJERCICIOS DE APLICACIONEn los problemas del 1 al 12 determine los valores de las funciones dadas en los puntos indicados.

1. f ( x , y )=4 x− y2+3 ; f (1,2)

2. f ( x , y )=3 x2 y−4 y ; f (2 ,−1)

3. g ( x , y , z)=ex (2 x+3 z ); g(0 ,−4,2)

4. g ( x , y , z)=x2 y+x y2+ y z2; g(6 ,−1,2)

5. h (r , s ,t ,u )= rs

t2−u2;h (−3,3,5,4 )

6. h (r , s ,t ,u )=ln (ru ); h (1 , ,5,3,1 )

7. g ( pA , pb )=2 pA ( pa2−5); g (4,8 )

8. g ( pA , pb )=p A√ pb+10 ; g (8,4 )

9. F ( x , y , z )=3 ; F (2,0 ,−1 )

10. F ( x , y , z )= xyz

; F (0,0,3 )

11. f ( x , y )=2 x−5 y+4 ; f (x0+h , y0 )12. f ( x , y )=x2 y−3 y3; f (r+ t , r )

Problemas.

13. Un método de muestreo ecológico para determinar las poblaciones de animales en un área dada, implica marcar primero todos los animales

obtenidos en una muestra de R animales del área y luego soltarlos de manera que puedan mezclarse con animales no marcados. En fecha

posterior se toma una segunda muestra de M animales y se anota el número de aquellos que ya están marcados, S. con base en R, M y S, una

estimación de la población total N de animales en el área muestreada está dada por

N=f (R ,M ,S )= RMS

.



Encuentre f ( 400,400,80 ). Este método se llama procedimiento de marcaje y recaptura.

14. Bajo ciertas condiciones, si dos padres de ojos cafés tienen exactamente k hijos, la probabilidad P=P (r , k ) de que haya exactamente

entre ellos r de ojos azules está dada por

P (r , k )=k !( 1

4 )r

( 34 )

k−r

r ! (k−r )!,r=0,1,2 ,…,k

Encuentre la probabilidad de que de un total de 4 hijos, exactamente 3 tengan ojos azules.

En los problemas del 15 al 18 encuentre las ecuaciones de los planos que satisfacen las condiciones dadas.

15. Paralelo al plano XZ que pasa por el punto (0; -4; 0)

16. Paralelo al plano YZ que pasa por el punto (8; 0; 0)

17. Paralelo al plano XY que pasa por el punto (2; 7; 6)

18. Paralelo al plano YZ que pasa por el punto (-4;-2;7)

En los problemas del 19 al 28 esboce las superficies dadas.

19. x+ y+z=1

20. 3 x+6 y+2 z=12

21. x+2 y=2

22. z=4−x2

23. x2+ y2+z2=1

24. 2 x+ y+2 z=6

25. x+2 y+3 z=4

26. x+z=1

27. y=x2

28. x2+ y2=1

Esquematice la gráfica en tres dimensiones de la ecuación e identifique la superficie

a¿ x2+ y2=9

b¿ x2

4+ z2

9=1

c ¿ z=x2+ y2

d ¿ x2+ y2+z2=25

e ¿ x2

4+ y2

9+ z2

16=1

f ¿ x2+z2=9

g¿4 y2+9 z2=36

h¿ x2+4 y2=16

i ¿ y=x2+z2

j ¿ x2+ y2+z2=4

k ¿9 x2+4 y2+z2=36

2.5. DERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES

La figura muestra la superficie z=f (x , y ) y un plano paralelo al plano XZ, que pasa por el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0)) sobre la

superficie. Una ecuación de este plano es y= y0. Por tanto cualquier punto de la curva que sea la intersección de la superficie con el

plano debe tener la forma (x0 , y0 , f (x0 , y0)). Así la curva puede ser descrita por z=f (x , y0). Como y0 es constante,

z=f (x , y0) puede considerarse como una función de una variable, x. cuando se evalúa la derivada de una función en x0, se obtiene

la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0)). (Vea figura 1) Esta pendiente se llama derivada

parcial de f con respecto a x en (x0 , y0) y se denota con f x (x0 , y0). En términos de límites,

f x (x0 , y0 )=limh→0

f (x0+h , y0 )−f (x0 , y0)h



Por otra parte, (en la fig. 2) el plano x=x0, es paralelo al plano YZ, y corta la superficie z=f (x , y ) en una curva dada por

z=f (x0 , y ), que es una función de y. Cuando se evalúa la derivada de esta función en y0, se obtiene la pendiente de la recta

tangente a esta curva en el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0)). Esta pendiente se llama derivada parcial de f con respecto a y en (x0 , y0)

y se denota con f y (x0 , y0). En términos de límites,

f y (x0 , y0 )=limh→0

f (x0 , y 0+h )−f (x0 , y0)h

2.6. DEFINICION:

Si z=f (x , y ) la derivada parcial de f con respecto a x denotadas por f x, es la función dada por

f x ( x , y )= limh→0

f (x0+h , y0 )−f (x0 , y 0)h

en caso de que exista este límite.

La derivada parcial de f con respecto a y denotadas por f y, es la función dada por

f y ( x , y )=limh→ 0

f (x0 , y0+h )− f (x0 , y0)h

en caso de que exista este límite.

Al analizar la definición anterior, podemos establecer el siguiente procedimiento para determinar f x y f y:

Para encontrar f x, trate a y como constante y diferencie f con respecto a x de manera usual.

Para encontrar f y, trate a x como constante y diferencie f con respecto a y de manera usual.

Ejemplo 6.1 Obtención de derivadas parciales

Si f (x , y )=x y2+x2 y, encontrar f x (x , y) y f y (x , y ). Encontrar también, f x (3 ;4 ) y f y (3 ;4) .

Solución: para encontrar f x (x , y) tratamos a y como una constante y diferenciamos a f con respecto a x:

f x ( x , y )=(1 ) y2+(2x ) y= y2+2 xy

Para encontrar f y (x , y ) tratamos a x como una constante y diferenciamos a f con respecto a y :

f y ( x , y )=x (2 y )+x2 (1 )=2xy+x2


z =f (x; y0)

(x0; y0; f (x0; y0))

(x; y0; f (x; y0))

z =f (x; y)

(x0; y0; 0)

x0 y0

Recta Tangente

(x0; y0; f (x0; y0))

z =f (x0; y)(x0; y; f (x0; y))

Recta Tangente

x0

y0

Figura 1 Figura 2


Note que f x (x , y) y f y (x , y ) son cada una funciones de las dos variables x y y . Para encontrar f x (3 ;4 ), evaluamos

f x (x , y) cuando x=3 y y=4:

f x (3; 4 )=42+2 (3 ) ( 4 )=40

De manera similar:

f y (3 ; 4 )=2 (3 ) ( 4 )+32=33

Nota:

El símbolo ∂ se usa para denotar una derivada parcial. El símbolo ∂ z /∂ x se lee “derivada parcial de z con respecto a x”.

Así también veamos las notaciones para las derivadas parciales evaluadas en (x0 , y0).

Ejemplo 6.2: Obtención de derivadas parciales

a. Si z=3 x3 y3−9 x2 y+x y2+4 y , encontrar ∂ z∂ x

,∂ z∂ y

,∂ z∂ x

|¿(1 ;0) y ∂ z∂ y

|¿(1;0).

Solución:

b. Si w = x2e2x + 3y, encontrar ∂w∂ x

, ∂w∂ y

,

Solución:

Nota:


Derivada parcial de f (o z) con respecto a x

f x ( x , y )∂∂ x

[ f ( x , y ) ]∂ z∂ x

Derivada parcial de f (o z) con respecto a y

f y ( x , y )∂∂ y

[ f ( x , y ) ]∂ z∂ y


f x (x0 , y0 )

∂∂ x |(x0 , y0 )

∂ z∂ x |x=x0

y= y0


f y (x0 , y0 )

∂∂ y |(x0 , y0 )

∂ z∂ y |x=x0

y= y0


El concepto de derivadas parciales se puede extender a funciones de más de dos variables. Por ejemplo, con w=f (x , y , z) tenemos

tres derivadas parciales:

La parcial con respecto a x , denotada como f x (x , y , z), ∂w /∂ x, etc;

La parcial con respecto a y , denotada como f y (x , y , z), ∂w /∂ y, etc; y

La parcial con respecto a z, denotada como f z(x , y , z ), ∂w /∂ z, etc.

Ejemplo 6.3. Derivadas parciales de una función de tres variables

Si f (x , y , z)=x2+ y2 z+z3, encontrar f x (x , y , z), f y (x , y , z) y f z(x , y , z ).

Solución:

Ejemplo 6.4. Derivadas parciales de una función de cuatro variables

Si

p=g (r , s , t , u )= rsu

r t2+s2 t, encontrar :

∂ p∂s

,∂ p∂ t

y∂ p∂t

|¿(0 ;1 ;1;1)

Solución:

2.7. REGLA DE LA CADENA:

Sea z=f (x , y ) , x , y son funciones de r y s dadas por x=x (r , s ) e y= y (r , s). Si f , x e y tienen derivadas parciales

continuas, entonces z es una función de r y s, luego

∂ z∂ r

= ∂ z∂ x

∂x∂ r

+ ∂ z∂ y

∂ y∂ r

,∂ z∂ s

= ∂z∂ x

∂x∂ s

+ ∂z∂ y

∂ y∂ s

Nota:

En la regla de la cadena, el número, el número de variables intermedias de (dos) es el mismo que el número de términos que componen

cada una de las derivadas parciales ∂ z /∂ r y ∂ z /∂ s.

Ejemplo 7.1. Tasa de cambio del costo

Para un fabricante de cámaras y películas, el costo total c de producir qc cámaras y q f rollos de película está dado por

c=30qc+0,015qcq f+q f+900

Las funciones de demanda para las cámaras y rollos están dadas por



qc=9000pc√ p f

y qf=2000−pc−400 p f

Donde pc es el precio por cámara pf el precio por rollo de película. Encontrar la tasa de cambio del costo total con respecto al precio de

la cámara cuando pc=50 y p f=2

Solución:

EJERCICIOS DE APLICACIONI. En cada una de las funciones de dos o más variables, encuentre la derivada parcial de la función con respecto a cada una de las variables:

1) f ( x , y )=2 x2+3 xy

2) f ( x , y )=ex + y

3) g ( x , y )= (x+1 )2+( y−3 )3+5x y3−2

4) g (w , z )=3√w2+z2

5) h (u ,w )= 8u w2

u2+w2

6) Q (l , k )=3 l0.41k 0.59

7) h ( x , y )= √ x+9x2 y+ y2 x

8) z=(x2+ y )e3x+4 y

9) z=ln (3 x2+4 y4)

10) f (r , s)=√rs e2+r

11) f (r , s)= (5 r2+3 s3 ) (2 r+5 s)

12) g ( x , y , z)=x2 y3 z5−3x2 y4 z3+5 xz

13) g (r , s , t ,u )=sr ln (2 t+5u)

II. Evalúe las derivadas parciales dadas.

1) z=√5 x2+3 xy+2 y ; ∂ z∂ x

|¿(0 ;2)

2) g ( x , y , z)=3 x2+2 yxy+xz

; gy (1 ;1 ;5)

3) h (r , s ,t ,u )=7 r+3 s2u2

s; h y(4 ;3 ;2 ;1)

4) z= x2+ y2

ln x;

∂ z∂ x

|¿(e ;0); ∂ z∂ y

|¿(e ;0)

III. Si z=x ex− y− y e y−x, demuestre que:

∂ z∂ x

+ ∂ z∂ y

=ex− y−e y−x

IV. En un análisis de la teoría de inventarios sobre la demanda de dinero, Swanson considera la función:

F (b ,C ,T ,i )=bTC

+ ¿2

Y determina que ∂F∂C

=−bT

C2+ i

2, verifique esta derivada parcial.

V. Encuentre las derivadas indicadas usando la regla de la cadena



1) z=x2+3 xy+7 y3 , x=r2−2 s y y=5 s2 ,∂ z∂r

,∂ z∂ s

2) w=x2 z2+xyz+ y z2; x=5 t ; y=2t+3 ; z=6−t ;dwdt

3) z=(x2+x y2 )3 ; x=r+s+ t ; y=2 r−3 s+8t ;∂ z∂t

4) w=x2+xyz+ y3 z2 ; x=r−s2; y=rs ; z=2 r−5 s ;∂w∂s

VI. Si z=( 4 x+3 y )3, dondex=r2 s e y=r−2 s, evalúe 𝛛z/ 𝛛r cuando r = 0 y s = 1.

VII. Suponga que el costo c de producir qA unidades del producto A y qB unidades del producto B está dado por

c=(3qA2 +qB

3 +4 )1 /3

Y que las funciones de demanda para los productos están dadas por

q A=10−pA+ pB2 y qB=20+ pA−11 pB

Use la regla de la cadena para evaluar

∂c∂ p A

y∂c∂ pB

Cuando pA = 25 y pB = 4.

2.8. DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR:

Sea z=f (x , y ), no sólo z es una función de x e y , también f x y f y lo son. Por lo que podemos diferenciar f x y f y para obtener

derivadas parciales de segundo orden de f. Simbólicamente,

f xx significa ( f x)x , f xy sigifica (f x )y ,

f yx significa ( f y )x , f yy sigifica ( f y )y .En términos de la notación ,𝛛

∂2 z∂ x2 significa

∂∂x [ ∂ z∂ x ] , ∂2 z

∂ y ∂xsignifica

∂∂ y [ ∂ z∂x ] ,

∂2 z∂ x∂ y

significa∂∂x [ ∂ z∂ y ] , ∂2 z

∂ y2 significa∂∂ y [ ∂ z∂ y ] .

Nota:

Obsérvese que para encontrar f xy , diferenciamos primero f con respecto a x . Para ∂2 z /∂x ∂ y , primero diferenciamos con

respecto a y .

Podemos extender nuestra notación más allá de las derivadas parciales de segundo orden. Por ejemplo f xxy (o ∂3 z /∂ y∂ x2) es

una derivada parcial de tercer orden de f , esto es, la derivada parcial de f xx o (∂2 z /∂x2) con respecto a y .

Una generalización a derivadas parciales de orden superior con funciones de más de dos variables debería ser obvia.

Ejemplo 8.1. Derivadas parciales de segundo orden.

Encontrar las cuatro derivadas parciales de segundo orden de f (x, y) = x2y + x2y2.

Solución: como



f x=2 xy+2 x y2→{f xx=∂∂ x

(2 xy+2x y2 )=2 y+2 y2

f xy=∂∂ y

(2 xy+2 x y2 )=2x+4 xy

También, como

f y=x2+2x2 y→ { f yy=∂∂ y

(x2+2 x2 y )=2x2

f yx=∂∂x

(x2+2 x2 y )=2x+4 xy

Nota:

Las derivadas f xy y f yx se llaman derivadas parciales mixtas. Obsérvese en el ejemplo 8.1. que f xy(x , y)=f xy(x , y ). Bajo ciertas

condiciones, las derivadas parciales mixtas de una función son iguales; esto es, el orden de diferenciación es irrelevante. Puede suponerse

que éste es el caso para todas las funciones que consideremos.

Ejemplo 8.2. Derivada parcial mixta.

Encontrar el valor de

∂3w∂ z∂ y ∂x | ❑

(1 ;2 ;3) siw=(2 x+3 y+4 z )3

Solución:

2.9. DIFERENCIACION PARCIAL IMPLICITA:

Una ecuación en x , y y z no necesariamente define a z como función de x e y , por ejemplo, en la ecuación

z2– x2– y2=0(1)

Si x=1y y=1, entonces z2– 1– 1=0, por lo que z=±√2. Así, la ecuación (1) no expresa de manera explícita a z como

función de x e y . Sin embargo, despejando z de la ecuación (1) se obtiene

z=√ x2+ y2o z=−√x2+ y2

Cada una de las cuales define a z como función de x y de y . Aunque la ecuación (1) no expresa de manera explícita a z como función de

x e y , puede considerarse que expresa a z implícitamente como una de dos funciones diferentes de x e y . Note que la ecuación (1)

tiene la forma F (x , y , z)=0 donde F es una función de tres variables. Además, podemos encontrar ∂ z /∂ x y ∂ z /∂ y

directamente de la forma F (x , y , z)=0.

Para encontrar ∂ z /∂ x de

z2−x2− y2=0 ,(2)

Diferenciamos primero ambos miembros de la ecuación (2) con respecto a x tratando a z como función de x e y , y tratando a y como

constante:

∂∂ x

( z2−x2− y2 )= ∂∂ x

(0 )→ ∂∂ x

( z2 )− ∂∂ x

(x2)− ∂∂x

( y2 )=0→2 z∂ z∂x

−2 x−0=0



Al despejar ∂ z /∂ x, obtenemos

2 z∂ z∂ x

=2 x⇒ ∂ z∂x

= xz

Para encontrar ∂ z /∂ y, diferenciamos ambos miembros de la ecuación (2) con respecto a y considerando a z como función de x e y ,

y manteniendo a x constante

∂∂ y

( z2−x2− y2 )= ∂∂ y

(0 )→ ∂∂ y

( z2)− ∂∂ y

(x2 )− ∂∂ y

( y2 )=0→2 z∂ z∂ y

−0−2 y=0

Al despejar ∂ z /∂ y, obtenemos

2 z∂ z∂ x

=2 y⇒ ∂ z∂x

= yz

Ejemplo 9.1. Diferenciación parcial implícita.

six z2

x+ y+ y2=0evaluar

∂ z∂ x

cuando x=−1 , y=2 y z=2

Solución: tratamos a z como función de x e y , y diferenciamos ambos miembros de la ecuación con respecto a x:

Ejemplo 9.2. Diferenciación parcial implícita.

Si ser2+u2

=ln (t 2+1 )detreminar ∂t∂u

Ejemplo 9.2. Derivada parcial de segundo orden de una

función implícita.

Detreminar∂2 z∂ x2 si z

2=xy

EJERCICIOS DE APLICACION

I. En cada una de las funciones de dos o más variables, encuentre las derivadas parciales indicadas.

1) f ( x , y )=4 x3+5 x2 y3−3 y ; f x , f xx



2) f ( x , y )=(x2+xy+ y2 ) ( x2+xy+1 ) ; f x , f xy

3) f ( x , y )=ln (x2+ y2 )+2 ; f x , f xx , f xy

4) f ( x , y , z )=x y2 z3 ; f x , f xz , f xy

5) z=ln (x2+5 )

y;∂ z∂ x

,∂2 z

∂ y ∂ x

II. Encuentre el valor indicado.

1) Si f ( x , y , z )=z2 (3x2−4 x y3 ); encuentre f xyz (1 ;2;3)

2) Si f ( x , y )=2 x2 y+x y2−x2 y2; encuentre f xxy (5 ;1)

3) Si f ( x , y )=x3−6 x y2+x2− y3; encuentre f xy(1 ;−1)

III. Encuentre las derivadas parciales indicadas por el método de diferenciación implícita.

1) z2−5 x2+ y2=0 ;∂ z /∂x

2) 3 x2+ y2+2 z3=9 ;∂ z /∂ y

3) z3−xz− y=0 ;∂ z /∂x

4) xyz+2 y2 x−z3 ;∂ z /∂x

5) ln x+ln y−ln z=e y ;∂ z /∂ x

IV. Evalúe las derivadas parciales indicadas para los valores dados de las variables.

1) xz+xyz−5=0 ;∂ z /∂x ; x=1 , y=4 , z=1

2) e2x=xyz ;∂ z /∂ y; x=1 , y=−e−1 , z=−1

3) √ xz+ y2−xy=0 ; ∂ z /∂ y ; x=2 , y=2 , z=6

4)rs

s2+r2=t ;∂ r /∂ t ;r=0 , s=1 , t=0

5) ln ( x+z )+xyz=x2 ey +z ;∂ z /∂ x ; x=0 , y=1 , z=1

V. Encuentre las derivadas indicadas.

1) Si2 z2−x2−4 y2=0 ;∂2 z∂ x2



2) Si z2−3 x2+ y2=0 ; ,∂2 z∂ y2

VI. Para z=ln (x2+ y2 ), demuestre que: ∂2 z∂ x2 + ∂2 z

∂ y2 =0

VII. Para f (x , y )=x e y/ x, demuestre que: x f xx ( x , y )+ y f xy (x , y )=0

2.10. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES.

Sabemos que z=f (x , y ), entonces ∂ z /∂ x y ∂ z /∂ y pueden interpretarse geométricamente como las pendientes de las rectas

tangentes a la superficie z=f (x , y ) en las direcciones x e y , respectivamente. Existen otras interpretaciones. Como ∂ z /∂ x es la

derivada de z con respecto a x cuando y permanece constante, y como una derivada es una razón de cambio, tenemos

∂ z∂ x

es larazón decambio de z conrespecto ax cuando y semantiene constante .

De modo similar,

∂ z∂ y

es la razónde cambiode z conrespecto a y cuando x semantiene constante .

Veamos ahora algunas aplicaciones en las que la noción de “razón de cambio” de una derivada parcial resulta muy útil.

Por ejemplo: si un fabricante produce x unidades del producto X e y unidades del producto Y. entonces el costo total c de esas unidades

es una función de x e y ; a esto se le llama función de costos conjuntos. Si una función de este tipo es c=f (x , y), entonces

∂c /∂ x se llama costo marginal (parcial) con respecto a x , y es la razón de cambio de c con respecto a x cuando y se mantiene fija.

Similarmente, ∂c /∂ y se llama costo marginal (parcial) con respecto a y , y es la razón de cambio de c con respecto a y cuando x se

mantiene fija.

Ejemplo 10.1. Costos marginales.

Una empresa fabrica dos tipos de esquíes, los modelos Ligero y Alpino. Supóngase que la función de costos conjuntos de producir x pares

del modelo Ligero e y pares del modelo Alpino por semana es c=f ( x , y )=0,07 x2+75 x+85 y+6000. Donde c está

expresado en dólares. Determinar los costos marginales ∂c /∂ x y ∂c /∂ y cuando x=100e y=50, e interpreta los resultados.

Solución: los costos marginales son:

∂c∂ x

=0,14 x+75 y∂c∂ y

=85

Así,

∂c∂x | ❑

(100;50 )=0,14 (100 )+75=89…….(1)

∂c∂ x | ❑

(100 ;50 )=85………………………(2)

La ecuación (1) implica que al aumentar la producción del modelo Ligero de 100 a 101, mientras se mantiene en 50 la producción la

producción del Alpino, aumentan los costos aproximadamente en $ 89. La ecuación (2) implica que al aumentar la producción del modelo

Alpino de 50 a 51, mientras se mantiene en 100 la producción la producción del Ligero, aumentan los costos aproximadamente en $ 85. De

hecho, como c/ y es una función constante, el costo marginal con respecto a y es de $ 85 en todos los niveles de producción.𝛛 𝛛Ejemplo 10.2. Pérdida de calor en el cuerpo humano.

En un día de frío una persona puede sentir más frío cuando hay viento que cuando no lo hay, por que la razón de pérdida de calor es una

función de la temperatura y de la velocidad del viento. La ecuación H= (10,45+10√w−w ) (33−t )Indica la razón de pérdida de calor H (en kilocalorías por metro cuadrado por hora) cuando la temperatura del aire es t (en grados Celsius) y

la velocidad del viento w (en metros por segundo). Para H =2000, la piel expuesta se congelará en un minuto.



a. Evaluar H cuando t = 0 y w = 4

Solución: cuando t = 0 y w = 4, entonces

H= (10,45+10√4−4 ) (33−0 )=872,75

b. Evaluar H cuando ∂ H /∂w y ∂ H /∂ t cuando t=0 y w=4e interprete los resultados.

Solución:

∂ H∂w

=( 5

√w−1) (33−t ) , ∂ H

∂w | ❑t=0w=4

=49,5

∂ H∂ t

=(10,45+10√w−w ) (−1 ) , ∂ H∂t | ❑

t=0w=4

=−26,45

Estas ecuaciones significan que cuando t = 0 y w = 4, incrementar w por una pequeña cantidad mientras se mantiene fijo t, H

aumentará alrededor de 49,5 veces lo que aumente w. Al incrementar t por una pequeña cantidad mientras se mantiene fijo w. H

disminuirá alrededor de 26,45 veces lo que aumente t.

c. Cuando t = 0 y w = 4 ¿qué tiene más influencia en H: un cambio en la velocidad del viento de 1m/s o un cambio en la temperatura de 1 oC?

Solución: como la derivada parcial de H con respecto a w es mayor en magnitud que la parcial con respecto a t cuando t = 0 y w = 4, un

cambio en la velocidad del viento de 1m/s tendrá más influencia sobre H.

NOTA:

La elaboración de un producto depende de muchos factores en la producción. Entre éstos se encuentran la mano de obra de trabajo, el

capital, el terreno, la maquinaria, etc. Por simplicidad, supongamos que la producción sólo depende del trabajo y del capital. Si la función

P=f (l , k ) da la producción P cuando el productor emplea l unidades de trabajo y k unidades de capital, entonces esta función se

llama función de producción. Definimos la productividad marginal con respecto a l como ∂ P/∂ l. Ésta es la razón de cambio de P con

respecto a l cuando k se mantiene fija. Igualmente la productividad marginal con respecto a k es ∂ P/∂k . Ésta es la razón de cambio de

P con respecto a k cuando l se mantiene fija.

Ejemplo 10.3. Productividad Marginal.

Un fabricante de un juguete popular ha determinado que su función de producción es P=√lk , donde l es el número de horas de

trabajo por semana y k el capital (expresado en cientos de dólares por semana) requerido para la producción semanal de P gruesas del

juguete (una gruesa son 144 unidades). Determinar las funciones de productividad marginal y evaluarlas cuando l = 400 y k = 16.

Interpretar los resultados.

Solución: como P= (lk )1 /2,

∂P∂ l

=12

(lk )−1 /2 (k )= k2√ lk

y∂P∂k

=12

(lk )−1 /2 ( l )= l2√ lk

Si evaluamos estas ecuaciones cuando l = 400 y k = 16, obtenemos

∂P∂ l | ❑

l=400k=16

=16

2√400(16)=

110

∂P∂k | ❑

l=400k=16

= 4002√400(16)

=52

Así, si l = 400 y k = 16, al incrementar la 401 y mantener k en 16, aumentará la producción en aproximadamente en 1/10 de gruesa. Pero si

k se incrementa a 17 y se mantiene l en 400, la producción aumenta en alrededor de 5/2 gruesas.

Productos competitivos y complementarios.

Algunas veces dos productos pueden estar relacionados de modo que cambio en el precio de uno afecten la demanda del otro. Un ejemplo

representativo es el caso de la mantequilla y la margarina. Si tal relación existe entre los productos A y B, la demanda de cada producto



depende del precio de ambos. Suponga que q A y qB son las cantidades demandadas de A y B, respectivamente, y que pA y pB son sus

respectivos precios. Entonces q A y qB son funciones de pA y pB:

q A=f ( pA , pB ) , funcióndedemanda para A ;

qB=g ( p A , pB ) , funciónde demanda para B .

Podemos encontrar cuatro derivadas parciales:

∂q A

∂ p A

, la demandamarginal para Aconrespecto a pA ;∂q A

∂ pB

,la demandamarginal para A conrespecto a pB ;

∂qB

∂ p A

, la demandamarginal para Bconrespecto a p A ;∂qB

∂ pB

, lademandamarginal para Aconrespecto a pB.

En condiciones comunes, si el precio de B está fijo y el de A aumenta, la cantidad demandada de A disminuirá. Así, ∂q A

∂ p A

< 0.

Similarmente, ∂qB

∂ pB

< 0. Sin embargo, ∂qA

∂ pB

y ∂qB

∂ p A

pueden ser positivas o negativas. Si

∂qA

∂ pB

>0 y∂qB

∂ pA

>0 ,

Entonces se dice que A y B son productos competitivos o sustitutos. En esta situación un incremento en el precio de B ocasiona un

incremento en la demanda de A, si se supone que el precio de A no cambia. Similarmente, un incremento en el precio de A ocasiona un

incremento en la demanda de B, cuando el precio de B se mantiene fijo. La mantequilla y la margarina son ejemplos de sustitutos.

Consideremos una situación diferente, decimos que si

∂qA

∂ pB

<0 y∂qB

∂ pA

<0 ,

Entonces A y B son productos complementarios. En este caso, un incremento en el precio de B causa una disminución en la demanda de A,

si el precio de A no cambia. Similarmente, un incremento en el precio de A causa un incremento en la demanda de B, cuando el precio de B

se mantiene fijo. Por ejemplo, las cámaras y las películas fotográficas son productos complementarios. Un incremento en el precio de la

película hará más cara la toma de fotográficas. Por tanto, la demanda de cámaras disminuirá.

Ejemplo 10.4. Determinación si los productos son competitivos o complementarios.

Las funciones de demanda para los productos A y B son cada una función de los precios de A y B y están dadas por

q A=50 3√ pB

√ pA

yqB=75 PA

3√ pB2;

respectivamente. Encontrar las cuatro funciones de demanda marginal y determinar también si A y B son productos competitivos,

productos complementarios o ni uno ni otro.

Solución: si hacemos q A=50 ( pA )−1 /2 ( pB )1/3 y qB=75 pA ( pB )−2 /3, tenemos

∂q A

∂ p A

=50(−12 ) ( pA )−3 /2 ( pB )1 /3=−25 (p A )−3/2 ( pB )1 /3

∂qA

∂ pB

=50 ( pA )−1/2( 13 ) (pB )−2/3=50

3( pA )−1 /2 ( pB )−2/3

∂qB

∂ p A

=75 (1 ) ( pB )−2/3=75 (pB )−2/3

∂qB

∂ pB

=75 pA(−23 ) ( pB )−5 /3=−50 p A (pB )−5/3



Como pA y pB representan precios, ambas son positivas. Por tanto, ∂q A/∂ pB > 0 y ∂qB/∂ pA>0. Concluimos que A y B son

productos competitivos.

EJERCICIOS DE APLICACION

I. Para las funciones de costos conjuntos, encuentre el costo marginal indicado al nivel de producción dado.

1¿c=x √x+ y+5000 ;∂ c∂x

, x=40 , y=60 2¿ c=0,03 ( x+ y )3−0,06 ( x+ y )2+9,5 ( x+ y )+7700;∂ c∂ x

,∂ c∂ y

, x=50 , y=80

I. Encuentre las funciones de producción marginal 𝛛P/𝛛l y 𝛛P/𝛛k, dad la siguiente función de producción.

p=20lk−2 l2−4k2+800

II. Función de producción de Cobb-Douglas. En economía una función de producción Cobb-Douglas tiene la forma P=Alαkβ, donde A, α y β son

constantes y α + β = 1. Para la función, demuestre que

a¿∂ P/∂ l=α P/ lb¿ ∂P/∂k=β P /k c¿ l ∂ P∂ l

+k ∂P∂k

=P

III. Las funciones de demanda qA y qB para los productos A y B, respectivamente. En cada caso encuentre 𝛛qA/𝛛pA , 𝛛qA/𝛛pB , 𝛛qB/𝛛pA y 𝛛qB/𝛛pB y

determine si A y B son competitivos, complementarios o ni uno ni otro.

a¿q A=20−pA−2 pB y qB=50−2 pA−3 pBb¿ qA=100

pA √ pB

y qB=500

pB3√ p A

;

IV. Función de producción. Suponga que una función producción está dada por

P= klk+l

a. Determine las funciones de productividad marginal.

b. Demuestre que cuando k = l la suma de las productividades marginales es una constante.

V. Demanda. Suponga que las ecuaciones de demanda para los productos relacionados A y B son

q A=e−(p A/ pB) yqB=16

pA p2B

Donde qA y qB son los números de unidades demandadas de A y B cuando los precios unitarios (en miles de dólares) son pA y pB,

respectivamente.

a. Clasifique A y B como competitivos, complementarios o ninguno de los dos.

b. Si los precios unitarios de A y B son $ 1000 y $ 2000, respectivamente, estime el cambio en la demanda de A cuando el precio de B

disminuye $ 40 y el precio de A se mantiene constante

VI. Función de costos conjunto. La función de costos conjuntos para producir qA unidades del producto A y qB unidades del producto B está dada

por

c=q2

A (q3B+q A )1 /2

17+q Aq

1 /3B+600

Donde c está en dólares.

a. Encuentre las funciones de costo marginal con respecto a qA y qB.

b. Evalúe la función de costo marginal con respecto a qA cuando qA = 17 y qB = 8.redondee su respuesta a dos decimales.

c. Use su respuesta a la parte (b) para estimar el cambio en el costo si la producción del producto A disminuye de 17 a 16 unidades, mientras

que la producción del producto B se mantiene en 8 unidades.

2.11. MAXIMOS Y MINIMOS PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES.

Ahora extenderemos los conceptos de máximos y mínimos relativos (o extremos relativos) a funciones de dos variables.

Definición:

Se dice que una función z = f (x, y) tiene un máximo relativo en el punto (x0; y0), esto es, cuando x = x0 e y = y0, si para todo punto (x, y) en el

plano que esté lo suficientemente cercano a (x0; y0) se tiene

f (x0 , y0 )≥ f ( x , y ) ,………(1)

Definición:


Punto máximo relativo

Gráfica de f

Punto mínimo relativo

Gráfica de f

Extremos relativos

(x0; y0, z)


Se dice que una función z = f (x, y) tiene un mínimo relativo en el punto (x0; y0), esto es, cuando x = x0 e y = y0, si para todo punto (x, y) en el

plano que esté lo suficientemente cercano a (x0; y0) se tiene

f (x0 , y0 )≤ f ( x , y ) ,………(1)

Decir que z = f (x, y) tiene un máximo relativo (x0; y0) significa, en

forma geométrica, que el punto (x0; y0; z0) sobre la gráfica de f es mayor que (o tan alto como) todos los otros puntos sobre la superficie

“cercanos” a (x0; y0; z0). En la primera figura f tiene un máximo relativo en (x0; y0). En forma similar, la función f en la segunda figura tiene un

mínimo relativo cuando x = y = 0, el cual corresponde un punto bajo en la superficie.

NOTA:

Recuerde que para localizar los extremos de una función y = f (x) de una variable, examinamos aquellos valores de x en el dominio de f para

los cuales f´(x) = 0 o f´(x) no existe. Para funciones de dos (o más) variables, se sigue un procedimiento similar. Sin embargo, para las

funciones que nos interesan, los extremos no se presentaran donde una derivada no exista, y tales situaciones no se considerarán.

NOTA:

Supóngase que z = f (x, y) tiene un máximo relativo en el punto (x0; y0), entonces, la curva donde el plano y = y0 interseca la superficie debe

tener un máximo relativo cuando x = x0. Por tanto, la pendiente de la recta tangente a la superficie en la dirección x debe ser cero en (x 0; y0),

es decir, fx(x, y) = 0 en (x0; y0). En forma análoga, sobre la curva en el plano x = x0 interseca la superficie, debe haber un máximo relativo

cuando y = y0. Así, en la dirección y, la pendiente de la tangente a la superficie debe ser cero en (x0; y0), es decir fy(x, y) = 0 en (x0; y0). Como

puede hacerse un análisis similar para un mínimo relativo, podemos combinar estos resultados de manera siguiente:

REGLA 1

Si z = f (x, y) tiene un máximo o un mínimo relativo en (x0; y0), y si fx y fy están definidos para todo punto cercano a (x0; y0), es necesario que

(x0; y0) sea una solución del sistema

{f x (x , y )=0 ,f y (x , y)=0.

Un punto (x0; y0) para el cual fx(x, y) = fy(x, y) = 0 se llama punto crítico de f. Así de la regla 1 inferimos que, para localizar extremos relativos

de una función debamos examinar sus puntos críticos.

NOTA:

La regla 1 no implica que un extremo deba ser punto crítico. Al igual que en el caso de funciones de una variable, un punto crítico puede

resultar ser un máximo relativo, un mínimo relativo o ninguno de éstos. Un punto crítico sólo es un candidato para ser un extremo relativo.

Ejemplo 7.1. Determinación de puntos críticos.Encontrar los puntos críticos de las funciones siguientes



a. f ( x , y )=2 x2+ y2−2xy+5 x−3 y+1

Solución: como f x ( x , y )=4 x−2 y+5 y f y ( x , y )=2 y−2 x−3 resolvemos el sistema

{4 x−2 y+5=02 y−2x−3=0

Esto nos da x = -1 e y = ½. Así, (-1; 1/2) es el único punto crítico.

b. f ( l , k )=l3+k3−lkSolución:

{f l ( l , k )=3 l2−k=0……….(1)f k (l , k )=3k2−l=0………(2)

De la ecuación (1), k = 3l2. Sustituyendo el valor de k en la ecuación (2) se obtiene

0=27 l4−l=l(27 l3−1)De aquí que, l = 0, o l = 1/3. Si l = 0, entonces k = 0; su l = 1/3, entonces k = 1/3. Por tanto, los puntos críticos son (0; 0) y (1/3; 1/3)

c. f ( x , y , z )=2 x2+ xy+ y2+100−z (x+ y−100)Solución:

REGLA 2

Prueba de la segunda derivada para funciones de dos variables

Supongamos que z = f (x, y) tiene derivadas parciales continuas fxx, fyy y fxy en los puntos (x; y), cercano al punto crítico (x0; y0). Sea D la

función definida por:

Entonces:

a. Si D (x0 , y0 )>0 y f xx (x0 , y0 )<0 , f tiene un máximo relativo en (x0 , y0 ) ;b. Si D (x0 , y0 )>0 y f xx (x0 , y0 )>0 , f tiene un mínimo relativo en (x0 , y0 );c. Si D (x0 , y0 )<0 , f no tiene ni un máximo relativo ni un mínimo relativo en (x0 , y0 );d. Si D (x0 , y0 )=0 , ninguna conclusión puede sacarse con respeto a extremos en (x0 , y0 ) y quiere que se haga un análisis

adicional.

Ejemplo 7.2. Aplicación de la prueba de la segunda derivada

Examinar f ( x , y )=x3+ y3−xy con respecto a máximos y mínimos relativos, usando la prueba de la segunda derivada.

Solución: Encontraremos los puntos críticos:

f x ( x , y )=3 x2− y , f y ( x , y )=3 y2−x

Igualando f x ( x , y )=f y ( x , y )=0 , obtenemos los puntos críticos (0,0 ) y ( 13,13 )

Ahora, f xx ( x , y )=6 x , f yy ( x , y )=6 y , f xy (x , y )=−1Por tanto,

D ( x , y )= (6x ) (6 y )− (−1 )2=36 xy−1, entonces D ( x , y )=36 xy−1

Reemplazamos los puntos críticos (0,0 ) y ( 13,13 ) en D ( x , y )=36 xy−1

D (0,0 )=36 (0 ) (0 )−1=−1<0, no hay ningún extremo relativo en (0,0 )



D( 13,13 )=36( 1

3 )( 13 )−1=3>0 y f xx( 1

3,13 )=6( 1

3 )=2>0, hay un mínimo relativo en ( 13,13 ). En

este punto el valor de la función es:

f ( 13,13 )=( 1

3 )3

+( 13 )

3

−( 13 )( 1

3 )=−127

Ejemplo 7.3. Punto silla

Determine los extremos relativos de f ( x , y )= y2−x2

Solución: f x ( x , y )=−2 x=0→x=0 y f y ( x , y )=2 y=0→ y=0, obtenemos el punto crítico (0,0 )Aplicamos la prueba de la segunda derivada:

f xx ( x , y )=−2 , f yy ( x , y )=2 , f xy ( x , y )=0Por tanto,

D ( x , y )= (−2 ) (2 )−(0 )2=−4D (0,0 )=−4<0, no existe ningún extremo relativo en (0,0 ).

Ejemplo 7.4. Determinación de extremos relativos

Determinar los extremos relativos de f ( x , y )=x4+( x− y )4

Solución:

f x ( x , y )=4 x3+4 ( x− y )3=0

f y ( x , y )=−4 ( x− y )3=0→x= yReemplazando x= y en f x ( x , y ), obtenemos x=0 y y=0, (0,0 ) es el único punto crítico.

Aplicamos la prueba de la segunda derivada en el punto (0,0 )f xx ( x , y )=12 x2+12 ( x− y )2=0 ,

f yy ( x , y )=12 ( x− y )2=0 y

f xy ( x , y )=−12 ( x− y )2=0Por tanto,

D (0,0 )=0, no da información. Sin embargo, para toda ( x , y )≠ (0,0 ) tenemos f ( x , y )>0, mientras que

f (0,0 )=0. Por tanto, (0,0 ) la gráfica de f tiene un punto inferior y concluimos que f tiene un mínimo relativo (y

absoluto) en (0,0 ).

AplicacionesEn muchas situaciones que implican funciones de dos variables, y en especial en sus aplicaciones, la naturaleza del problema dado es un indicador de si un punto crítico es realmente un máximo relativo (o absoluto) o un mínimo relativo (o absoluto). En tales casos, la prueba de la segunda derivada no se necesita. A menudo, en estudios matemáticos de problemas de aplicación se supone que se satisfacen las condiciones apropiadas de segundo orden.

Ejemplo 7.5. Maximización de la producciónSea P una función de producción dada por:

P=f (l , k )=0.54 l2−0.02l3+1.89k2−0.09k3 ,donde l y k son las cantidades de trabajo y capital, respectivamente, y P es la cantidad producida. Encontrar los valores de l y k que maximizan P.

Solución: Al resolver el sistema Pl=0 y Pk=0

Pl=1.08 l−0.06 l2=0.06 l (18−l )=0→l=0 , l=18.

Pk=3.78k−0.27 k2=0.27 k (14−k )=0→k=0 , k=14.



hallamos cuatro puntos críticos (0,0 ) , (0,14 ) , (18,0 ) , (18,14 ).Aplicamos la prueba de la segunda derivada en cada punto crítico

P¿=1.08−0.12l ,Pkk=3.78−0.54 k ,Plk=0

D ( l , k )=P¿Pkk−[Plk ]2= (1.08−0.12 l ) (3.78−0.54 k )D ( l , k )=(1.08−0.12l ) (3.78−0.54k )

(0,0 )D (0,0 )= (1.08 ) (3.78 )=4.08>0, y P¿=1.08>0, tiene un mínimo relativo en (0,0 )

(0,14 )D (0,14 )=(1.08 ) [3.78−0.54 (14 ) ]=−4.08<0, no tiene ningún extremo relativo en (0,14 )

(18,0 )D (18,0 )=[1.08−0.12 (18 ) ] (3.78 )=−4.08<0, no tiene ningún extremo relativo en (18,0 )

(18,14 )D (18,14 )=[1.08−0.12 (18 ) ] [3.78−0.54 (14 ) ]=4.08>0 y P¿=−1.08<0, tiene un máximo

relativo en (18,14 )Por lo que, la producción máxima se obtiene cuando l=18 y k=14

Ejemplo 7.6. Maximización de la utilidadUna empresa produce dos tipos de dulces, A y B, para los cuales los costos promedio de producción son, respectivamente,

constantes de $2 y $3 por libra. Las cantidades q A y qB (en libras) de A y B que pueden venderse cada semana están dadas

por las funciones de demanda conjunta

q A=400 (PB−PA )y

qB=400 (9+PA−2 PB ) ,donde PA y PB son los precios de venta (en dólares por libra) de A y B, respectivamente. Determinar los precios de venta

que maximizan las utilidades de la compañía, P.

Solución: La utilidad total está dada por:

P=( utilidadpor librade A )( libras

vendidasde A )+( ulitidadpor libra

deB )( librasvendidasde B )

Para A y B, la utilidad por libra es PA−2 y PB−3, respectivamente. Así,

P=(P A−2 )q A+(PB−3 )qB=(PA−2 ) [400 (PB−PA ) ]+(PB−3 ) [ 400 (9+PA−2 PB ) ]P está expresada como una función de dos variables, PA y PB .

Para maximizar P, hacemos sus derivadas parciales iguales a cero:

∂P∂P A

=(PA−2 ) [400 (−1 ) ]+[ 400 (PA−PB ) ] (1 )+(PB−3 ) [ 400 (1 ) ]=0

∂ P∂PB

=(PA−2 ) [400 (1 ) ]+(PB−3 ) [ 400 (−2 ) ]+400 (9+PA−2 PB ) (1 )=0

Simplificando, tenemos:

{−2PA+2PB−1=0 ,2 PA−4 PB+13=0 ,

Resolviendo el sistema, obtenemos: PA=5.5 y PB=6

Aplicamos la prueba de la segunda derivada en el punto crítico (5.5,6 )∂2P∂P2

A

=−800 ,∂2P∂P2

B

=−1600 ,∂2P

∂ PA∂ PB

=800

Por tanto,



D (5.5,6 )= (−800 ) (−1600 )−(800 )2=1280000−64000=640000>0 y∂2P∂P2

A

=−800<0 ,

tiene un máximo relativo en (5.5,6 ) .Por lo tanto, la empresa debería vender el dulce A a $5.50 por libra y el B a $6.00 la libra.

Ejemplo 7.7. Maximización de la utilidad de un monopolistaSupóngase que un monopolista practica discriminación del precio al vender el mismo producto en dos mercados separados, a

diferentes precios. Sea q A el número de unidades vendidas en el mercado A, donde la función de demanda es

pA=f (qA ) , y sea qB el número de unidades vendidas en el mercado B, donde la función de demanda es pB=g (qB ). Entonces las funciones de ingreso para los dos mercados son:

r A=q A f (q A ) y r B=qB g (qB )Suponga que todas las unidades se producen en una planta, y que la función de costo por producir (q=q A+qB) unidades

es c=c (q ). Tenga en mente que r A es una función de q A y r B es una función de qB. La utilidad, P del monopolista es:

P=r A+r B−cPara maximizar P con respecto a las producciones q A y qB, igualamos a cero sus derivadas parciales:

∂ P∂qA

=d rAd q A

+0− ∂c∂q A

=drAdq A

−dcdq

∂q∂qA

=0

como

∂q∂qA

= ∂∂q A

(qA+qB )=1 ,

tenemos

∂ P∂qA

=d rAd q A

−dcdq

=0 ,

De modo similar,

∂P∂qB

=d rBdqB

−dcdq

=0

Obteniendo:

dr A

d qA

= dcdq

=d rBdqB

Pero d r A /dq Ay d rB /dqB son ingresos marginales y dc /dq es costo marginal. Por tanto, para maximizar la utilidad,

es necesario establecer los precios (y distribuir la producción) de tal manera que los ingresos marginales en ambos mercados sean los mismos y, hablando en términos no muy estrictos, también sean iguales al costo de la última unidad producida en la planta.

EJERCICIOS 06: Propuestos.I. Encontrar los puntos críticos de las siguientes funciones:

1) f ( x , y )=x2+ y2−5 x+4 y+xy

2) f ( x , y )=2 x3+ y3−3 x2+1.5 y2−12 x−90 y

3) f ( x , y , z )=2 x2+ xy+ y2+100−z (x+ y−200 )

II. Encuentre los puntos críticos de las funciones. Para cada punto, determine, por medio de la prueba de la segunda derivada, si corresponde a un máximo relativo, a un mínimo relativo, a ninguno de los dos, o si la prueba no da información.

1) f ( x , y )=x2+3 y2+4 x−9 y+3

2) f ( x , y )= y− y2−3 x−6 x2

3) f ( x , y )=x2−3 xy+ y2+ y−5

4) f ( x , y )=13

(x3+8 y3 )−2 (x2+ y2 )+1

5) f (l , k )=2lk−l2+264k−10 l−2k2

6) f ( p ,q )=pq− 1p−1q

7) f ( x , y )=( y2−4 ) (ex−1 )

III. A menos que se indique otra cosa, las variables pA y pB denotan los precios de venta de los productos A y B, respectivamente. En forma análoga, qA y qB denotan cantidades de A y B producidas y vendidas durante algún periodo. En todos los casos se supondrá que las variables usadas son unidades

1) Maximización de la producción. Suponga que

P=f (l , k )=1.08 l2−0.03 l3+1.68k2−0.08k 3



Es una función de producción para una empresa. Encuentre las cantidades de entrada, l y k que maximizan la producción P.2) Utilidad. Una empresa produce dos tipos de dulces, A y B, para los cuales los costos promedios de producción son constantes de 60 y 70

(centavos de libra), respectivamente. Las funciones de demanda para A y B están dadas por

q A=5 ( pB−pA ) y qB=500+5( pA−2 pB)Encuentre los precios de venta pA y pB que maximicen la ganancia de la empresa.

3) Discriminación del precio. Suponga que un monopolista practica la discriminación del precio en la venta de un producto, cobrando diferentes precios en dos mercados separados. En el mercado A la función de demanda es

pA=100−qAY en B es

pB=84−qBDonde qA y qB son las cantidades vendidas por semana de A y de B, y pA y pB son los precios respectivos por unidad. Si la función de costo del monopolista es

c=600+4 (qA+qB )¿Cuánto debe venderse en cada mercado para maximizar la utilidad? ¿Qué precios de venta dan la utilidad máxima? Encuentre la utilidad máxima


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Unidad II - Cálculo Vectorial de Funciones de Varias Variables