UNIDAD 1 FUNCIONES ESCALARES DE VARIAS VARIABLES

Objetivo. En este capítulo se prepara el camino para el cálculo al analizar las ideas básicas referentes a las funciones, sus gráficas y las maneras para transformarlas y combinarlas.

1.1 Definición de función

Definición 1. Una función es un conjunto de pares ordenados con la propiedad de que todo valor x únicamente determina un valor y. (es importante mencionar que una función es una relación, pero una relación puede que no sea una función).

Definición 2. Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto E.

Ejemplo 1. el área “A” de un círculo depende del radio “r” del mismo. La regla que relaciona r con A se expresa mediante la ecuación Con cada número positivo r existe asociado un valor de A, por lo que A es función de r.

Como acabamos de ver, las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra. Consideremos los siguientes ejemplos.

1) El crecimiento de la población P, de una ciudad, depende del tiempo t .

2) El costo C al enviar por mensajería documentos, o sea, que el costo depende del peso de los documentos.

3) La velocidad de caída de un cuerpo depende de la altura a la que se deja caer.

4) El gasto Q de agua que escurre en el cause de un río, es función de la profundidad h del cauce o de la velocidad del agua, o sea, a mayor profundidad mayor será el gasto Q, o bien, a mayor velocidad el gasto Q aumenta. Q = f(h, v)

1.1.1 Formas de representar las funciones

•Verbalmente (mediante una descripción en palabras)

• Numéricamente (con una tabla de valores)

• Visualmente (mediante una gráfica)

•Algebraicamente (por medio de una fórmula explícita)

Ejemplo. El crecimiento poblacional es función del tiempo y se puede

describir usando los cuatro pasos indicados.

1) se ha descrito verbalmente la función: la población P(t) de una ciudad cambia con respecto al tiempo t.

2) La tabla representa numéricamente a la función que determina el cambio de población P con respecto al tiempo t

Año Población(en miles)

Año Población(en miles)

1900 10000 1960 65870

1910 15200 1970 83400

1920 22300 1980 100390

1930 30800 1990 120500

1940 39550 2000 143780

1950 50900

3) Definición algebraica de la función de población de una ciudad.

Para 1900 < t ≤ 1940

Para 1940 < t ≤ 2000 P(t) = mt + b

2) Representación de una función mediante una tabla de valores

Tiempo ( t)

Población ( P)

1900 1910

50 000

1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

100 000

150 000

200 000

P(t) = kx2

P(t) = mt + b

Figura 1

4) Representación del crecimiento poblacional mediante una gráfica.

Ejemplo 2Un recipiente rectangular para almacenamiento, con su parte superior abierta, tiene un volumen de 15 m3 . La longitud de su base es el doble de su ancho. El material de la base cuesta $550/m2 y el material para los lados, cuesta $350/m2 . Expresar el costo del material como función del ancho de la base.

Solución.

Es conveniente dibujar un diagrama como el de la figura 2 e introduciendo la notación w y 2w como el ancho y la longitud de la base, respectivamente, y h como la altura.

w2w

h

Área de la base

de modo que el costo de la base es

Dos lados del depósito tiene un área

A =wh

Y los otros dos tienen

A = 2wh

Entonces el costo para las cuatro paredes es

350[2(wh) + 2(2wh)] .

En consecuencia el costo total es

C = 500(2w2) + 350[2(wh) + 2(2wh)] (1)

22))(2( wwwA

)2(500 2w

Para expresar C como función sólo de w, se necesita eliminar h, lo que sucede al aplicar el hecho de que el volumen es de 15 m3 . De este modo,

w(2w)h = 15

de donde resulta

(2)

Si se sustituye (1) en (2) para encontrar C

Por lo tanto, la ecuación

22

5.7

2

15

wwh

ww

wwwC

157501000

5.721001000 2

22

0 donde 180

1000)( 2 ww

wwC

Queda expresado C como función de w

1.2 Dominio y rango de funciones de varias variables

Para el cálculo del dominio de una función dada por su fórmula, debemos de tener en cuenta que:

1) No es posible la división por 0.

2) No es posible extraer raíces cuadradas, raíces cuartas, sextas. etc., cuando el radicando es negativo (si es posible la raíz de índice impar).

3) No es posible calcular el logaritmo de un número negativo, ni tampoco de 0.

Ejemplo. Hallar el dominio de la función4

1)(

2 x

xfy

f(x) será un número real si no es cero. Resolviendo la ecuación

implica que así que son los valores

que anulan al denominador. Por lo tanto el dominio es D = R - { -2, 2}

42 x

042 x 42 x 42 x

Ejemplo. Hallar el dominio de la función 93)( xxg

La función está definida sólo cuando 3x + 9 es mayor o igual que cero. Resolviendo 3x + 9 ≥ 0 implica 3x ≥ - 9 x ≥ - 3 de donde deducimos que el dominio D = ( -3, ∞ ).

Ejemplo. Hallar el domino de la función xxxh 11)(

Solución h (x) está definida para aquellos x ε R que hagan los dos radicandos no negativos:

x – 1 ≥ 0 y 1 – x ≥ 0 x ≥ 1 y x ≤ 1 x = 1

Por lo tanto el dominio de la función está formado únicamente por D = {1}.

1.2.1 Gráfica de funciones de varias variables

A la vista de la gráfica de una función, el dominio está formado por los puntos del eje x o encima o debajo de los cuales hay gráfica.

Ejemplo. para la función cuya gráfica es la siguiente

-3 -1

1

x

y

Figura 6

El dominio es

D = ( - ∞, - 3) U [ (-1,0) U (0, 1) U (1, ∞) ]

Funciones crecientes y decrecientes

Una función es monótona creciente cuando si a originales mayores corresponden imágenes mayores o iguales.

Es decir, y = f ( x ) es creciente si y sólo si, para cada par x1, x2 del dominio. x1< x2 f ( x1) ≤ f ( x2) Las gráficas de las funciones monótonas crecientes van hacia arriba u horizontalmente, a medida que las recorremos de izquierda a derecha.

La gráfica muestra

una función creciente.

22

1 xy

y

x

Figura 7

22

1 xy

DEFINICION Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) en R³ tal que z = f(x, y, z) y (x, y) está en D

La gráfica de una función f de dos variables es una superficie S cuya ecuación es z = f(x, y).Puede representarse la gráfica S de f directamente encima o debajo de su dominio D en el plano xy como se indica en la figura 1.

Figura 1. Gráfica de una función.

FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES

Ejemplo.

Graficar la función f(x,y) = 6 – 3x – 2y

La gráfica tiene la ecuación: z = 6 – 3x – 2y o3x + 2y + z = 6 que representa una plano

Para graficar el plano, primero se calculan las intersecciones con los ejes.- Al hacer y = z = 0 en la ecuación se obtiene x =

2 como intersección en el eje x- Con el mismo procedimiento se obtiene la

intersección con el eje y que es 3 y la del eje z, que es 6

- Con estos datos se puede graficar la parte de la gráfica que está en el primer octante, ver la figura 2

Figura 2

Ejemplo

Graficar la función gEl domino de g esD = {(x,y)/9 - o bien

D = {(x,y)/Que es un círculo con centro (0, 0) y radio 3

El rango de g es

Puesto que z es una raíz cuadrada positiva z ≥ 0, así también ≤ 3 La ecuación de la gráfica es z o bien Que reconoce como una ecuación de la esfera con centro en el origen y radio 3.Pero como z ≥ 0, la gráfica de g es sólo la parte superior de la esfera, como se indica en figura 4 Figura 4 Gráfica de la función

Figura 3. Gráfica del dominio de la función

Ejemplo

En 1928 Charles Cobb y Paul Douglas publicaron un estudio en el cual modelaban el crecimiento de la economía estadounidense durante el período 1899-1922. Consideraron un punto de vista simplificado de la economía en la cual la producción está determinada por la cantidad de mano de obra relacionada y la cantidad de capital invertido. Si bien hay muchos otros factores que afectan el rendimiento económico, su modelo resultó ser notablemente exacto. La función mediante la cual modelaron la producción era de la forma Donde P = Producción total en un año L = Cantidad de mano de obra (horas-hombre trabajadas en un año K = Cantidad de capital invertido (valor monetario de maquinaria, equipo y edificios)Cobb y Douglas se apoyaron en los datos que publicó el gobierno para obtener la tabla 1.

Tabla 1

Figura 5

En la figura 5 se muestra la gráfica para valores de la mano de obra L y el capital K que está entre 0 y 300.

La computadora dibujó la superficie trazando trazas verticales.

Según estas trazas el valor de la producción P se incrementa cuando L o K se incrementan, como era de esperarse.

Curvas de nivel de la función de Cobb-Douglas

- Tomaron el año 1899 como línea de referencia- a P, L y K para 1899 le asignaron el valor de 100- Los valores de otros años lo expresaron como porcentajes de los valores de 1899

Cobb y Douglas aplicaron el método de los mínimos cuadrados para ajustar los datos de la tabla 1 a la función.

Si se usa este modelo para calcular la producción en los años 1910 y 1920, se obtienen los valores

Estos valores son muy cercanos a los valores reales, 159 y 231

Ejemplo

Determinar el dominio, rango y la gráfica de la función

Dominio: se observa que h(x, y) está definida por todos los pares ordenados posibles de números reales (x, y), de modo que el dominio es , todo el plano xy.

Rango: el rango de h es el conjunto [0, ∞) de todos los números reales no negativos, o sea y , de modo que h(x, y) ≥ 0 para toda x y y.

La gráfica de h tiene la ecuación , la cual es un paraboloide elíptico.Las trazas horizontales son elipses (fig. 6)Las trazas verticales son parábolas(fig. 6)

Figura 6

En las figuras se ilustran gráficas de funciones generadas mediante una computadora. Se observa que se consigue una imagen especialmente buena de una función cuando se usa la rotación para tener vistas desde diferentes puntos. En los incisos (a) y (b) la gráfica de f es muy plana cuando está cercana al plano xy excepto cerca del origen. La razón es que es muy pequeña cuando x y y es grande

1.3 CURVAS DE NIVEL

DEFINICION Las curvas de nivel de una función f de dos variables son las curvas cuyas ecuaciones son f(x, y) = k, donde k es una constante (en el rango de f).

Una curva de nivel f(x, y) = k es el conjunto de todos los puntos en el dominio de f en el cual f toma un valor dado. En otras palabras, señala dónde tiene una altura k la gráfica de f

Figura 11

En la figura 11 se puede ver la relación entre curvas de nivel y trazas horizontales. Las curvas de nivel f(x,y) =k son justamente las trazas de la gráfica f en el plano horizontal z = k proyectadas en el plano xy.Entonces se, se dibuja las curvas de nivel de una función y las representa como elevaciones de la superficie a la altura indicada, entonces se puede formar mentalmente una imagen de la gráfica.

Figura 12

La superficie tiene pendiente abrupta cuando las curvas de nivel están muy cercanas entre sí. Es algo más plana cuando se separan.

Un ejemplo de las curvas de nivel son los mapas topográficos (fig. 12) .

Las curvas de nivel son curvas de elevación constante por arriba del nivel del mar.

Al caminar sobre una curva de nivel, no se asciende o baja.

Figura 13 Isotermas

Otro ejemplo común de las curvas de nivel, consiste en la representación de puntos con igual temperatura y en este caso de denominan Isotermas.Cuando se usan para representar mapas de igual presión atmosférica, se denominan Isobaras.

EjemploUn mapa de curvas de nivel de una función f, se ilustra en la figura 14. Lo usemos para estimar los valores de f(1, 3) y f(4, 5).

El punto (1, 3) queda entre las curvas de nivel con valores de z de 70 y 80. Se puede estimar

f(1,3) ≈ 73

Y para f(4,5) ≈ 56Figura 14

Ejemplo. Graficar las curvas de nivel de la función f(x,y) = 6-3x-2y para los valores k = - 6, 0, 6, 12

Las curvas de nivel son 6 – 3x – 2y o bien 3x + 2y + (k-6) = 0Es una familia de rectas cuya pendiente es - . Las cuatro curvas de nivel particulares son: 3x + 2y -12 = 0, 3x + 2y -6 = 0, 3x + 2y = 03x + 2y + 6 = 0. Se grafican en la figura 15. Entre las curvas hay una separación igual, y dichas curvas son rectas paralelas porque su gráfica es un plano (fig. 15)

Figura 15

Ejemplo

Graficar las curvas de nivel de la funsión para k = 0, 1, 2, 3

Las curvas de nivel son

o bien

Es una familia de círculos concéntricos cuyo centro es (0, 0) y radio

Para k = 0, 1, 2, 3 se ilustran en la figura 16.

Al imaginarnos estas curvas de nivel elevadas desde la superficie, y compararla con la gráfica g(hemisferio) de la figura 11.

Figura 16

Ejemplo. Graficar algunas curvas de nivel de la función Las curvas de nivel son

o bien La cual k > 0 describe una familia de elipses con semiejes y , en la figura 17 (a) se ilustra un mapa de curvas de nivel de h, y las curvas de nivel que corresponden a k = 0.25, 0.50, 0.75,……4. En la figura 17(b) se muestran estas curvas de nivel elevadas para obtener la gráfica de h (un paraboloide elíptico) donde se transforman en trazas horizontales.

Figura 17(a)Mapa de curvas de nivel

Figura 17(b) trazas horizontales, son curvas de nivel elevadas