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Unidad II: DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES EN FLUJO LAMINAR
Unidad II: DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES EN FLUJO LAMINAR
Prof. Pedro José Tineo Figueroa Prof. Pedro José Tineo Figueroa
Al finalizar esta unidad el estudiante debe ser capaz de: Determinar los perfiles de velocidad de fluidos en
régimen laminar para configuraciones sencillas
Al finalizar esta unidad el estudiante debe ser capaz de: Determinar los perfiles de velocidad de fluidos en
régimen laminar para configuraciones sencillas
Interpretar el principio de balance de cantidad de movimiento.Interpretar el principio de balance de cantidad de movimiento.
Identificar las condiciones límites.Identificar las condiciones límites.
Aplicar el principio de balance de cantidadde movimiento para el cálculo del Perfil de Velocidades, Velocidad Media y Velocidad Máxima de Flujo.
Aplicar el principio de balance de cantidadde movimiento para el cálculo del Perfil de Velocidades, Velocidad Media y Velocidad Máxima de Flujo.
Inferir sobre la importancia de la aplicación del Balance de Cantidad de Movimiento y la ecuación de Hagen-Poiseuille en procesos específicos.
Inferir sobre la importancia de la aplicación del Balance de Cantidad de Movimiento y la ecuación de Hagen-Poiseuille en procesos específicos.
Determinar la ecuación de Hagen-Poiseuille.Determinar la ecuación de Hagen-Poiseuille.
1. Balance de Cantidad de Movimiento1. Balance de Cantidad de Movimiento
2. Condiciones Límites2. Condiciones Límites
3. Perfil de Velocidades3.1 Velocidad Media.3.2 Velocidad Máxima.3.3 Ecuación de Hagen-Poiseuille3.4 Aplicaciones
3. Perfil de Velocidades3.1 Velocidad Media.3.2 Velocidad Máxima.3.3 Ecuación de Hagen-Poiseuille3.4 Aplicaciones
Bibliografía:• Bird, Stewart y Lightfoot. FENÓMENOS DE
TRANSPORTE. Editorial Reverte, 1987.• Streeter V. MECÁNICA DE LOS FLUIDOS. Mc Graw Hill
2002.• Welty, Wicks y Wilson. FUNDAMENTOS DE
TRANSFERENCIA DE MOMENTO CALOR Y MASA. Segunda edición, Limusa Wiley, 2001
Bibliografía:• Bird, Stewart y Lightfoot. FENÓMENOS DE
TRANSPORTE. Editorial Reverte, 1987.• Streeter V. MECÁNICA DE LOS FLUIDOS. Mc Graw Hill
2002.• Welty, Wicks y Wilson. FUNDAMENTOS DE
TRANSFERENCIA DE MOMENTO CALOR Y MASA. Segunda edición, Limusa Wiley, 2001
Consideraciones: Para una delgada envoltura de fluido de un sistema geométricamente sencillo, con:
• Flujo Laminar.• Estado Estacionario.• Líneas de Corriente Rectilíneas.Se puede aplicar el siguiente balance:
Consideraciones: Para una delgada envoltura de fluido de un sistema geométricamente sencillo, con:
• Flujo Laminar.• Estado Estacionario.• Líneas de Corriente Rectilíneas.Se puede aplicar el siguiente balance:
Velocidad de Entrada de Cantidad de Movimiento
Velocidad de Salida de Cantidad de Movimiento
Σfuerzas que Actúan Sobre el Sistema
0- + =
La entrada y/o salida de cantidad de movimiento se debe a:
• Efecto Viscoso ó transporte.• Convección ó movimiento global del fluido.
La entrada y/o salida de cantidad de movimiento se debe a:
• Efecto Viscoso ó transporte.• Convección ó movimiento global del fluido.
Las fuerzas que se consideran son:• La Presión que actúa sobre las superficies• La Fuerza de Gravedad que actúa sobre todo
el volumen.
Las fuerzas que se consideran son:• La Presión que actúa sobre las superficies• La Fuerza de Gravedad que actúa sobre todo
el volumen.
En general debe considerarse el siguiente procedimiento:
En general debe considerarse el siguiente procedimiento:
Se escribe un balance de Cantidad de Movimiento sobre una envoltura de espesor finito.
Se escribe un balance de Cantidad de Movimiento sobre una envoltura de espesor finito.Se hace tender a cero el espesor y se aplica la definición de derivada para obtener una ecuación diferencial respectiva que describe la distribución de esfuerzo cortante.
Se hace tender a cero el espesor y se aplica la definición de derivada para obtener una ecuación diferencial respectiva que describe la distribución de esfuerzo cortante.
Se introduce la definición adecuada para el esfuerzo cortante.
Se introduce la definición adecuada para el esfuerzo cortante.
Por integración y aplicando las condiciones de borde se obtienen las distribuciones respectivas de vx y yx
Por integración y aplicando las condiciones de borde se obtienen las distribuciones respectivas de vx y yx
Condiciones Límites ó de Borde :Condiciones Límites ó de Borde :
Interfase sólido-fluido: La velocidad del fluido se asume igual a la de la superficie (condición de no resbalamiento).
Interfase sólido-fluido: La velocidad del fluido se asume igual a la de la superficie (condición de no resbalamiento).
Interfase líquido-gas: La densidad de flujo de cantidad de movimiento y por tanto el gradiente de velocidad en la fase líquida es muy pequeño y se supone igual a cero en la mayoría de los cálculos.
Interfase líquido-gas: La densidad de flujo de cantidad de movimiento y por tanto el gradiente de velocidad en la fase líquida es muy pequeño y se supone igual a cero en la mayoría de los cálculos.Interfase líquido-líquido: Tanto como
dv/dy son continuas a través de la interfase, es decir, son iguales a ambos lados.
Interfase líquido-líquido: Tanto como dv/dy son continuas a través de la interfase, es decir, son iguales a ambos lados.
Como primer ejemplo se considera el flujo de una película descendente
Como primer ejemplo se considera el flujo de una película descendente
Este caso es aplicable a: torres de pared mojada, evaporación o adsorción de gases, aplicación de capas de pintura a rollos de papel, entre otros.
Este caso es aplicable a: torres de pared mojada, evaporación o adsorción de gases, aplicación de capas de pintura a rollos de papel, entre otros.
Considerando un tramo de longitud L, sin ondulaciones como el mostrado en la figura:
Considerando un tramo de longitud L, sin ondulaciones como el mostrado en la figura:
Suposiciones: y son constantes.• Estado Estacionario.• La región de la longitud L no esta afectada por las
perturbaciones en los extremos (vz f(z))
Suposiciones: y son constantes.• Estado Estacionario.• La región de la longitud L no esta afectada por las
perturbaciones en los extremos (vz f(z))
Balance de Cantidad de Movimiento:• Espesor del sistema: x.• Límites: Plano z=0 y z=L• Ancho: W ( en la dirección y)
Balance de Cantidad de Movimiento:• Espesor del sistema: x.• Límites: Plano z=0 y z=L• Ancho: W ( en la dirección y)
Velocidad de Entrada de Cantidad de Movimiento
Velocidad de Salida de Cantidad de Movimiento
Σfuerzas que Actúan Sobre el Sistema
0- + =
Entrada y salida de cantidad de movimiento por efecto viscoso:
(LW)·xz|x – (LW)·xz|x+x
Entrada Salida
Entrada y salida de cantidad de movimiento por efecto viscoso:
(LW)·xz|x – (LW)·xz|x+x
Entrada Salida
Entrada y salida de cantidad de movimiento por convección:
W·x·vz(vz·)|z=0 – W·x·vz(vz·)|z=L
Entrada Salida
Entrada y salida de cantidad de movimiento por convección:
W·x·vz(vz·)|z=0 – W·x·vz(vz·)|z=L
Entrada Salida
Fuerza de gravedad:L·W·x(·gcos())
Fuerza de gravedad:L·W·x(·gcos())
Sustituyendo en el balance se obtiene:
LW(xz|x – xz|x+x)+ Wx(vz2|z=0 – vz
2|z=L)+LWxgcos = 0
Sustituyendo en el balance se obtiene:
LW(xz|x – xz|x+x)+ Wx(vz2|z=0 – vz
2|z=L)+LWxgcos = 0
Como vz ≠ f(z) se anulan el tercero y cuarto término y dividiendo por LWx y tomando el limite cuando x 0 se obtiene:
Lim ((xz|x+x –xz|x)/x) = gcos x 0
Como vz ≠ f(z) se anulan el tercero y cuarto término y dividiendo por LWx y tomando el limite cuando x 0 se obtiene:
Lim ((xz|x+x –xz|x)/x) = gcos x 0
El primer término es por definición la primera derivada de xz con respecto a x, obteniéndose la ecuación diferencial buscada:
d(xz)/dx = gcos
El primer término es por definición la primera derivada de xz con respecto a x, obteniéndose la ecuación diferencial buscada:
d(xz)/dx = gcos
Al integrarla se obtiene:xz = gcos·x + C1
Al integrarla se obtiene:xz = gcos·x + C1
Al aplicar la condición de borde correspondiente a la interfase líquido-gas: C.B. 1: para x= 0 xz = 0
Se obtiene que C1 = 0, por lo tanto:
xz = gcos·x
Al aplicar la condición de borde correspondiente a la interfase líquido-gas: C.B. 1: para x= 0 xz = 0
Se obtiene que C1 = 0, por lo tanto:
xz = gcos·x
Si el fluido es Newtoniano (xz = -·dvz/dx) al sustituir e integrar de nuevo se obtiene:
vz = -(gcos·x2)/(2) + C2
Si el fluido es Newtoniano (xz = -·dvz/dx) al sustituir e integrar de nuevo se obtiene:
vz = -(gcos·x2)/(2) + C2
Para obtener C2 se aplica la condición:C.B. 2: para x= vz= 0Para obtener C2 se aplica la condición:C.B. 2: para x= vz= 0
Obteniéndose finalmente el perfil de velocidades:
vz = -g2cos/(2)·[1 – (x/)2]
Obteniéndose finalmente el perfil de velocidades:
vz = -g2cos/(2)·[1 – (x/)2]
Velocidad Máxima (vz,max): Evidentemente se obtiene para x=0; por tanto:
vz,max= g2cos/(2)
Velocidad Máxima (vz,max): Evidentemente se obtiene para x=0; por tanto:
vz,max= g2cos/(2)
3cosg
dxv1
dydx
dydxvv
2
0 zW
0 0
W
0 0 zz
Velocidad Volumétrica de Flujo (Q): Se obtiene a partir de la velocidad media, ó por integración de la velocidad:
Velocidad Volumétrica de Flujo (Q): Se obtiene a partir de la velocidad media, ó por integración de la velocidad:
3cosgW
vWdydxvQ3W
0 0 z
Velocidad Media ( ): Se obtiene mediante el siguiente cálculo:
Velocidad Media ( ): Se obtiene mediante el siguiente cálculo:
v
Espesor de la Película (): Se puede expresar en función de la velocidad media o la volumétrica:
Espesor de la Película (): Se puede expresar en función de la velocidad media o la volumétrica:
3cosgWQ3
cosgv3
Componente z de la Fuerza F del fluido sobre la superficie: Se obtiene integrando el esfuerzo cortante sobre la interfase fluido-sólido:
Componente z de la Fuerza F del fluido sobre la superficie: Se obtiene integrando el esfuerzo cortante sobre la interfase fluido-sólido:
cosLWgdxdy
dxdv
dxdyFL
0
W
0x
zL
0
W
0 xxzz
La ecuación de Hagen-Poiseuille: establece la relación que hay entre el flujo volumétrico y las fuerzas que originan dicho flujo en un tubo circular.
La ecuación de Hagen-Poiseuille: establece la relación que hay entre el flujo volumétrico y las fuerzas que originan dicho flujo en un tubo circular.
Suposiciones: y son constantes.• Estado estacionario.• Tubo de longitud muy larga (L>>R)
Suposiciones: y son constantes.• Estado estacionario.• Tubo de longitud muy larga (L>>R)
Balance de Cantidad de Movimiento:• Espesor del sistema: r (coordenadas cilíndricas).• Longitud L
Balance de Cantidad de Movimiento:• Espesor del sistema: r (coordenadas cilíndricas).• Longitud L
Entrada y salida de cantidad de movimiento por efecto viscoso:
(2rLrz)|r – (2rLrz)|r+r
Entrada Salida
Entrada y salida de cantidad de movimiento por efecto viscoso:
(2rLrz)|r – (2rLrz)|r+r
Entrada Salida
Entrada y salida de cantidad de movimiento por convección:
2rrvz(vz )|z=0 – 2rrvz(vz·)|z=L
Entrada Salida
Entrada y salida de cantidad de movimiento por convección:
2rrvz(vz )|z=0 – 2rrvz(vz·)|z=L
Entrada Salida
Fuerza de gravedad:2rrLgz
Fuerza de gravedad:2rrLgz
Sustituyendo en el balance se obtiene: (2rLrz)|r – (2rLrz)|r+r + (2rrvz
2)|z=0 – (2rrvz
2)|z=L + 2rrLgz + 2rr(p0 – pL) = 0
Sustituyendo en el balance se obtiene: (2rLrz)|r – (2rLrz)|r+r + (2rrvz
2)|z=0 – (2rrvz
2)|z=L + 2rrLgz + 2rr(p0 – pL) = 0
Fuerza de presión:2rr(p0 – pL)
Fuerza de presión:2rr(p0 – pL)
Como el flujo es incompresible vz f(z), anulándose el tercer y cuarto término y al dividir por 2rL y aplicando el límite cuando r → 0, se obtiene:
Como el flujo es incompresible vz f(z), anulándose el tercer y cuarto término y al dividir por 2rL y aplicando el límite cuando r → 0, se obtiene:
rgL
ppr
)r()r(Lim z
L0rrzrrrz
0r
Obteniéndose así la ecuación diferencial que describe el flujo en un tubo circular:
Obteniéndose así la ecuación diferencial que describe el flujo en un tubo circular:
rLdr
)r(d L0rz
PP
Donde Pz = p + gz, y al integrar se obtiene:Donde Pz = p + gz, y al integrar se obtiene:
rC
rL2
1L0rz
PP
Como rz no puede ser infinito en el origen, C1 = 0; por tanto:
Como rz no puede ser infinito en el origen, C1 = 0; por tanto:
rL2
L0rz
PP
Esta distribución se indica en la siguiente figura:Esta distribución se indica en la siguiente figura:
En este caso la Ley de Viscosidad de Newton se expresa como:
En este caso la Ley de Viscosidad de Newton se expresa como:
drdv z
rz
Sustituyendo e integrando se obtiene la siguiente ecuación general para la velocidad:
Sustituyendo e integrando se obtiene la siguiente ecuación general para la velocidad:
22L0
z CrL4
v
PP
Con la condición de borde en la pared de la tubería:para r = R vz = 0
Se obtiene la siguiente distibución de velocidades:
Con la condición de borde en la pared de la tubería:para r = R vz = 0
Se obtiene la siguiente distibución de velocidades:
22L0
z Rr
1L4
Rv
PP
Que corresponde a una distribución parabólicaQue corresponde a una distribución parabólica
Velocidad máxima vz,max: tiene lugar para x = 0Velocidad máxima vz,max: tiene lugar para x = 0
L4
Rv
2L0
max,z PP
L8
R
drdr
drdrvv
2L0
2
0
R
0
2
0
R
0 zz
PP
Velocidad Media ( ):Velocidad Media ( ):v
Velocidad Volumétrica de Flujo (Q):Velocidad Volumétrica de Flujo (Q):
L8
RQ
4L0
PP
Este resultado es conocido como la “Ley de Hagen-Poiseuille”
Este resultado es conocido como la “Ley de Hagen-Poiseuille”
Componente z de la fuerza F que actúa sobre la superficie mojada de la tubería:
Componente z de la fuerza F que actúa sobre la superficie mojada de la tubería:
gLR)pp(RRdr
dvR2F 2
L02
L02z2
z
PP
Esto es válido solamente si el flujo es laminar, lo que ocurre para Re < 2000, con Re = D /, con D = 2R
Esto es válido solamente si el flujo es laminar, lo que ocurre para Re < 2000, con Re = D /, con D = 2Rv
“ Cuando vayan mal las cosas como a veces suelen ir… y procure tu camino, muchas
cuestas por subir…descansar acaso debes, pero nunca desistir ya que al final del camino hay un hermoso tesoro por descubrir.”
“ Cuando vayan mal las cosas como a veces suelen ir… y procure tu camino, muchas
cuestas por subir…descansar acaso debes, pero nunca desistir ya que al final del camino hay un hermoso tesoro por descubrir.”
AnónimoAnónimo