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UNIDAD III

TRIGONOMETRIA

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UNIDAD III

TRIGONOMETRIA

TEMARIO.

1. Relación del par ordenado en un plano bidimensional.

1.1. El plano coordenado

1.2. Localización de puntos en los cuatro cuadrantes

2. Ángulos en el sistema bidimensional

2.1. Definición de angulo

2.2. Ángulos en el plano dimensional. Posición estándar de ángulos.

3. Grados y radianes.

3.1. Ángulos en un círculo cuyos lados son radios y su vértice esta en el centro de un

círculo.

3.2. Definición de un radian.

3.3. Relaciones entre grados y radianes.

4. Relaciones trigonométricas y su relación con los triángulos rectángulos.

4.1. Definición de las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

4.2. Hallar los valores de las funciones trigonométricas de ángulos dados en grados o en

radianes.

4.3. Resolución de ejercicios y problemas usando las funciones trigonométricas.

5. Relaciones trigonométricas y su relación con el círculo trigonométrico-unitario.

5.1. Definición de las funciones trigonométricas en el círculo trigonométrico-unitario.

5.2. Fórmulas para las funciones trigonométricas que tienen ángulos negativos.

6. Identidades trigonométricas.

6.1. Identidades fundamentales.

6.2. Identidades pitagóricas.

6.3. Fórmulas para ángulos dobles

6.4. Fórmulas para reducir potencias.

7. Aplicación de leyes para resolver problemas en donde se usen triángulos oblicuángulos.

7.1. Ley de senos.

7.2. Ley de cosenos.

3

Unidad III

TRIGONOMETRIA

1. Relación del par ordenado en el plano.

1.1 El plano coordenado

Los puntos sobre una recta se les identifican como números reales para formar la

recta coordenada. Los puntos en un plano se identifican como pares ordenados de

números para formar el plano coordenado o plano cartesiano. El sistema de

coordenadas cartesianas (llamadas también coordenadas rectangulares) son dos

rectas reales perpendiculares que se cortan en 0 en cada recta. La recta horizontal

con dirección positiva a la derecha se llama Eje x (eje de las abscisas), la otra recta es

vertical con dirección positiva hacia arriba, se denomina Eje y (eje de la ordenadas). El

punto de intersección del eje x y del eje y es el origen.

4

1.2 Localización de puntos en el plano.

En el plano cartesiano, las abscisas son positivas para los puntos de los cuadrantes I y

IV y negativas para los cuadrantes II y III. Las ordenadas son positivas para los puntos

de los cuadrantes I y II y negativas para los puntos de los cuadrantes III y IV. Como se

muestra en la tabla 1.

Cuadrante I II III IV

Abscisa + - - +

Ordenada + + - -

Localizar los siguientes puntos en el plano cartesiano:

A (4,5), B (3,2), C (0,4), D (-5,3), E (-4,-5), F (0,-2), G (5,3)

2.-Ángulos en el plano.

2.1 Definición de angulo.- En geometría, un ángulo está, formado por dos rayos

(R1, R2) con un vértice común 0.

5

2.2 Ángulos

La unidad de medida para los ángulos es el grado.

Otra manera de medir un ángulo es por medio de radianes (rad).

El ángulo en un sistema bidimensional tiene su vértice en el origen 0 y en su posición

estándar el lado inicial (l1) coinciden con el eje x positivo. Si se rota el lado inicial (l1)

en la dirección contraria a las manecillas del reloj hasta la posición terminal (l2),

entonces se considera el ángulo positivo, mientras que si se rota en el sentido de las

manecillas del reloj, el ángulo es negativo. Esta es la posición estándar para los

ángulos.

Ángulos ejercicios.

2.3 En el plano dibujar los ángulos.

30o 60o 150o 540o

Los ángulos se pueden medir en grados, minutos y segundos para obtener mediciones

más precisas, que es otra forma de expresar dichas unidades de medida.

1 o = 60´, 1´ = 60´´

6

A) Dos ángulos son complementarios si suman 90 o

B) Dos ángulos son suplementarios si juntos suman 180 o

C) Dos ángulos son conjugados si juntos suman 360 o

Ejemplo si b= 24 o 43´36´´, encuentre el angulo complementario de b.

Solución = 90 o - b

89 o 59´60´´

24 o 43´36´´

65 o 16´24´´

3. Grados y radianes.

3.1 Definición de un radián.

El angulo medido en radianes

Definición.- Un angulo tiene una medida de 1 radian si, al colocar su vértice en el centro de un

círculo, la longitud del arco subtendido en la circunferencia es igual al radio.

3.2 Relaciones entre grados y radianes.

Si la longitud de una circunferencia es c= π D, D= 2π r y c en grados es 360 o

Entonces

360 o /2 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑

2

180 o = π radianes

1 o = 𝜋 𝑟𝑎𝑑

180

7

180 o = π radianes

180

𝜋 = 1 radian

1 o = 0.01745 radianes

1 radian = 57.296 o

Conversión de radianes a grados y de grados a radianes.

Para cambiar medidas de radian a grados, se multiplica por 180

𝜋 𝑟𝑎𝑑.

Para cambiar de grado a radianes, se multiplica por 𝜋 𝑟𝑎𝑑

180.

Ejemplos.

A) Encuentre la medida en radianes de β = 150 o y si β = 225 o.

B) Encuentre la medida en grados si β = 7𝜋 𝑟𝑎𝑑

4 y si β =

𝜋 𝑟𝑎𝑑

3 .

Soluciones.

A) 150 o = 150 o (𝜋 𝑟𝑎𝑑

180) =

5𝜋 𝑟𝑎𝑑

6 .

225 o = 225 o (𝜋 𝑟𝑎𝑑

180) =

5𝜋 𝑟𝑎𝑑

4 .

B) 7𝜋 𝑟𝑎𝑑

4= (

7𝜋 𝑟𝑎𝑑

4) (

180

𝜋 𝑟𝑎𝑑) = 315 o.

𝜋 𝑟𝑎𝑑

3= (

𝜋 𝑟𝑎𝑑

3) (

180

𝜋 𝑟𝑎𝑑) = 60 o.

Si la medida de un angulo β es de 3 radianes, encuentre la medida aproximada en términos de

grados, minutos y segundos.

3 radianes = 3(57.3 o) = 171.9 o.

O con mayor precisión.

8

3 radianes = 3(57.296 o) = 171.888 o.

171.888 o = 171 o 53´17´´

(0.888)(60) = 53.28´

(0.28)(60) = 16.8´´.

Ejercicios No. 1

Coloque el ángulo con la medida indicada en posición estándar en un sistema de coordenadas

rectangulares (cartesianas).

a) 120 o

b) 240 o

c) 135 o

d) 315 o

e) 𝜋

4

f) − 𝜋

4

g) 5𝜋

4

h) 7𝜋

3

Ejercicios No. 2

Encuentre la medida en radianes que corresponde a la medida dada en grados.

a) 150 o

b) 72 o

c) 100 o

d) 210 o

e) 630 o

f) 95 o

Ejercicios No. 3

Encuentre la medida en grados que corresponde a la medida dada en radianes.

a) 3𝜋

4=

b) 11𝜋

6=

c) 3𝜋

2=

d) 11𝜋

4=

9

4. Relaciones trigonométricas y su relación con el triángulo rectángulo

4.1 Definición de las funciones trigonométricas.

Considere un triángulo rectángulo con α como uno de sus ángulos agudos.

Al relacionar los lados del triángulo rectángulo con el angulo a como uno de sus ángulos

agudos se definen 6 funciones trigonométricas que son seno, coseno, tangente, cotangente,

secante, cosecante.

Las relaciones trigonometrías se definen de la siguiente manera

Seno A = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 =

𝑎

𝑐

Coseno A = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 =

𝑏

𝑐

Tangente A = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 =

𝑎

𝑏

Cotangente A = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 =

𝑏

𝑎

Secante A = 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 =

𝑐

𝑏

Cosecante A = 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 =

𝑐

𝑎

10

4.2 Valores de las funciones trigonométricas.

Ejemplo 1.- Hallar las funciones trigonométricas del triángulo rectángulo con respecto al

angulo agudo B

Sen B = 4

5

Cos B = 3

5

Tan B = 4

3

Cot B = 3

4

Sec B = 5

3

Csc B = 5

4

Calcular todas las funciones

Ejemplo 2

Hallar las relaciones trigonométricas del ángulo B, si tan B = 2/5

Solución:

X2 = 22 + 52

X2 = 4 + 25

X2 = 29

X = √ 29

Sen B =2

√29 Cos B =

5

√ 29 Tan B

2

5

5

4

3

X=√ 29

5

2

11

Cot B = 5

2 Sec B =

√ 29

5 Csc B =

√ 29

2

Ejercicio 1

Encuentre los valores exactos de las seis relaciones trigonométricas del angulo β en el

triángulo.

a).- b).-

c).- d).-

Ejercicio 2

Trace un triángulo que tenga un ángulo agudo α, y encuentre las otras cinco relaciones de α.

a).- Cos α = 9/40 b).- Tan α = √3

5

3

4

X=√ 58

3

7

8

4

√48

√ 72

6

6

12

4.3 Resolución de ejercicios.

Problemas de aplicación en problemas en las que se establece un triángulo rectángulo.

Resolución de un problema

Una escalera esta inclinada contra un edificio y llega a 3 metros en la pared, de modo que el

ángulo entre el suelo y la escalera es de 51 o, ¿Cuál es el largo de la escalera .

Solución.

Sen A = BC/AC, Sen 51 o = 3 / AC , AC = (3) / (sen 51 o ), BC = 3.86 metros.

13

Ejercicios

a) Encuentre el ángulo de elevación del sol si un niño de 5 pies de estatura produce una

sombra de 4 pies de longitud en el suelo.

b) El cordón de una cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 54 grados 20

minutos con la horizontal. Encuentre la altura aproximada de la cometa, con respecto

al suelo, si el cordón mide 85 metros y el extremo del cordón se sostiene a 1.5 metros

del suelo.

4.4 Funciones reciprocas.

Se observa que

(Sen B )( Csc B) = (3 / 5 )( 5 / 3) = 1

Entonces el seno y el cosecante son recíprocos y

(Cos B)(Sec B) = 1

(Tan B)(Cot B) = 1

α

β 10

6

8

14

Las funciones trigonométricas de los ángulos complementarios en un triángulo rectángulo.

Seno α = 8 / 10 Seno β = 6 / 10

Coseno α = 6 / 10 Coseno β = 8 / 10

Tangente α = 8 / 6 Tangente β = 6 / 8

Cotangente α = 6 / 8 Cotangente β = 8 / 6

Secante α = 10 / 6 Secante β = 10 / 8

Cosecante α = 10 / 8 Cosecante α = 10 / 6

Se observa que:

Sen α = Cos β

Cos α = Sen β

Tan α = Ctg β

Ctg α = Tan β

Sec α = Csc β

Csc α = Sec β

α

β 10

6

8

15

5.- Relaciones trigonométricas y su relación con el círculo unitario.

5.1 Definición de las funciones trigonométricas en el círculo unitario.

Su ecuación es x2 + y2 = 1

Ejercicio 1

Sea α un angulo en posición estándar en un círculo trigonométrico unitario. Si P (x,y) está en el

círculo unitario con centro en el origen y también en el lado terminal de α, entonces.

16

Sen α =

Cos α =

Tan α = (si x es diferente de 0)

Cot α =

Sec α =

Csc α =

5.2 Formula para las funciones trigonométricas que tienen ángulos negativos.

Fórmulas para ángulos negativos

Sen (-α) = -sen α

Cos(-α) = cos α

Tan (-α) = -tan α

17

Utilizar las fórmulas para negativos para encontrar

Sen (-45 o) = - √ 2/2

Cos(-30 o) = cos 30 o = √3/2

Tan (-π/3) = -tan π/3 = -√ 3

5.3 Graficas de las funciones trigonométricas

a) Y = sen x

X 0 π /2 π 3 π /2 2 π

Y

b) y = cos x

X 0 π /2 π 3 π /2 2 π

y

18

c) y = tan x

X 0 π /2 π 3 π /2 2 π

y

19

6.- Identidades trigonométricas

6.1 Identidades fundamentales

Las funciones trigonométricas están relacionadas entre sí por medio de expresiones llamadas

Identidades trigonométricas.

6.2 Identidades pitagóricas

Sen2 x + Cos2 x = 1

Tan2 x + 1 = Sec2 x

1 + Cot2 x = Csc2 x

6.3 Fórmulas para ángulos dobles

Fórmulas para adición y sustracción.

Sen ( x + y ) = Sen x Cos y + Cos x Sen y

Sen ( x – y ) = Sen x Cos y - Cos x Sen y

Cos ( x + y ) = Cos x Cos y – Sen x Sen y

Cos ( x - y ) = Cos x Cos y + Sen x Sen y

20

Fórmulas para ángulos dobles

Sen 2x = 2Sen x Cos x

Cos 2x = Cos2 x – Sen2 x

Tan 2x = 2Tan x / (1 – Tan2 x)

6.4 Fórmulas para reducir potencias.

Sen2 x = 1−𝐶𝑜𝑠 2𝑥

2

Cos2 x = 1+𝐶𝑜𝑠 2𝑥

2

7.- Aplicaciones de leyes para resolver problemas en donde se usen triángulos oblicuángulos.

Triángulos oblicuángulos

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ningún ángulo recto.

Un triángulo está determinado por tres de sus seis partes (ángulos y lados), en donde al menos

una de esas tres partes sea un lado.

Para resolver problemas en donde se establezca un triángulo oblicuángulo se aplican la ley de

senos o la ley de los cosenos.

Se aplica la ley de senos en dos casos.

Caso 1 se tiene un lado y dos ángulos ( ALA o LLA).

Caso 2 se tiene dos lados y el ángulo opuesto a uno de esos lados ( LLA).

21

7.1 Ley de senos

Dice que en cualquier triangulo oblicuángulo las longitudes de los lados son proporcionales a

los senos de los ángulos opuestos correspondientes.

En el triángulo ABC tenemos

𝑆𝑒𝑛 𝐴

𝑎=

𝑆𝑒𝑛 𝐵

𝑏=

𝑆𝑒𝑛 𝐶

𝑐

Ejemplo

Hallar los valores de las partes faltantes en el triángulo oblicuángulo usando la ley de senos.

Elementos conocidos.

Ángulo A = 46 o

Ángulo B = 20 o

Lado c = 65

Elementos desconocidos.

Ángulo C =

Lado a =

Lado b =

Solución:

A + B + C = 180 o

C = 180 o – A – B

C = 180 o – 46 o – 20 o

22

C= 180 o – 66 o

C = 114 o

𝑆𝑒𝑛 114°

65=

𝑆𝑒𝑛 46°

a

a = (65)(𝑆𝑒𝑛 46°)

Sen 114°

a = 51.182

𝑆𝑒𝑛 114°

65=

𝑆𝑒𝑛 20°

b

b = (65)(𝑆𝑒𝑛 20°)

Sen 114°

b = 24.3352

Elementos desconocidos

Ángulo C = 114 o

a = 51.182

b = 24.335

Ejercicios 1

a) Trace un triángulo oblicuángulo y resuelva el triángulo usando la ley de senos.

1) Angulo A = 50 o, Angulo B = 68 o, lado c = 230

2) Angulo B = 29 o, Angulo C= 68 o, lado b = 44

7.2 Ley de Cosenos

La ley de Cosenos se usa para resolver triángulos oblicuángulos en donde se presentan dos

casos.

Caso 3 Dos lados y el ángulo entre ellos (LAL).

Caso 4 Tres lados (LLL).

23

En la aplicación de la ley de cosenos, es conveniente recordar el siguiente enunciado que

considera a cada una de ellas.

¨El cuadrado de la longitud de cualquiera de los lados de un triángulo, es igual a la suma de los

cuadrados de los otros dos lados menos dos veces al producto de estos dos lados y del coseno

del ángulo entre ellos¨.

a2 = b2 + c2 – 2bc Cos A

b2 = a2 + c2 – 2ac Cos B

c2 = a2 + b2 – 2ab Cos C

Aplicación de la ley de cosenos.

Ejemplo 1

Resolver el triángulo ABC

Solucion:

c2 = a2 + b2 – 2abCos C

c2 = (18)2 + (10)2 – 2(18)(10)Cos 120 o

c2 = 324 + 100 – 360(-0.5)

c2 = 424 + 180

c2 = 604

c = √604

c = 24.5

Cos A = (a2 - b2 – c 2 )/ - 2bc

Cos A = (b2 + c 2 - a2 )/ 2bc

24

Cos A = ((10)2 + (24.6)2 – (18) 2 )/ 2(10)(24.6)

Cos A = 381.16 / 492

Cos A = 0.774715

A = Cos-1 (0.774715)

A = 39.22 o

Cos B = a2 - c2 – b 2 / - 2ac

Cos B = (18)2 + (24.6)2 – (10) 2 / 2(18)(24.6)

Cos B = 829.16 / 885.8

Cos B = 0.936058

B = Cos-1 (0.936058)

B = 20.6018 o

Ejercicio de ley de cosenos.

a) Use la ley de cosenos para determinar el valor del lado x.

b) Determinar el valor del ángulo ϴ

1400

x 25

25

25

37.83

68.01

C

A

42.15

B

ϴ

26

Soluciones de los problemas propuestos

Página 8

Ejercicio 2

a) 5𝜋

3

b) 2𝜋

5

c) 5𝜋

9

d) 7𝜋

6

e) 7𝜋

2

f) 19𝜋

36

Ejercicio 3

a) 135 o

b) 330 o

c) 270 o

d) 495 o

Página 9

Ejercicio 1

a) Sen B = 4

5

b) Cos B = 3

5

c) Tan B = 4

3

d) Cot B = 3

4

e) Sec B = 5

3

f) Csc B = 5

4

Ejercicio 2

27

Hallar las seis funciones trigonométricas del ángulo B, si tan B = 2

5

a) Sen B = 2

√29

b) Cos B = 5

√29

c) Tan B = 2

5

d) Cot B = 5

2

e) Sec B = √29

5

f) Csc B = √29

2

Página 11

Ejercicio 1

a) 4

5

3

5

4

3

3

4

5

3

5

4

b) 7

√58

3

√58

7

3

3

7

√58

3

√58

7

c) √48

8

4

8

√48

4

4

√48

8

4

8

√48

d) 6

√72

6

√72

6

6

6

6

√72

6

√72

6

Ejercicio 2

40

a

9

28

Lado a = √ (40)2 – (9)2

= √ (1600-81)

Lado a = 38.91

sen α = 38.97

40

cos α = 9

40

tan α = 38.97

9

cot α = 9

38.97

Sec α = 40

9

csc α = 40

38.97

X2 = (√3)2 + (1)2

X = √ ( 9+1)

X = √10

sen α = √3

√10

x

√3

1

29

cos α = 1

√10

tan α = √3

1

cot α = 1

√3

Sec α = √10

1

csc α = √10

√3

Página 12

Ángulo de elevación 51 o

Página 13

Altura 70.6 metros.

Página 15

sen α = y

1

cos α = 𝑥

1

tan α = y

x

cot α = 𝑥

y

Sec α = 1

x

csc α = 1

y

Página 24

30

Lado x = 47

Página 25

ϴ = 29 o 89´