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7/23/2019 Unidade I-resistencia 2
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Universidade
do
Sul
de
Santa
Catarina –
UNISUL
Curso: Engenharia Civil Disciplina: Resistência dos Materiais II Professor: Rangel Pereira dos Santos,
Engº.
Civil
1
Unidade I – Barras Submetidas a Carregamento Transversal
1.1.
Introdução
Analisaremos as tensões normais, quanto às tensões de cisalhamento, em barras
prismáticas
sujeitas
a
carregamentos
transversais.
Assumindo
que
a
distribuição
de
tensões
normais,
devido
à
flexão,
não
é
afetada
pela
presença
de
cisalhamento,
determinaremos
as
forças
cisalhantes,
atuando
nas
seções
horizontais
em
uma
viga.
Logo, estudaremos o fluxo cisalhante e as tensões de cisalhamento horizontais em vigas.
Analisaremos a intensidade e a distribuição das tensões de cisalhamento, em vigas de seção
transversal
retangular
e
em
vigas
compostas
de
perfis
de
aço
laminado.
Considerando o cisalhamento em um corte longitudinal arbitrário, teremos que
determinar o fluxo de cisalhamento e as tensões de cisalhamento ao longo do corte em
análise.
Isto
nos
permitirá
determinar,
as
tensões
de
cisalhamento
em
um
ponto
qualquer
de
membros simétricos com parede fina ou delgada.
Definiremos e localizaremos o centro de cisalhamento de membro de paredes finas.
Também
serão
determinadas
as
tensões
de
cisalhamento
em
membros
de
paredes
finas,
carregados
assimetricamente.
1.2.
Carregamento
transversal
em
barras
prismáticas
Situação muito comum em estruturas chamadas vigas, as quais são submetidas a um
carregamento
vertical.
Tais
carregamentos
podem
ser
concentrados
ou
distribuídos,
ou
podem
ser pela combinação de ambos.
Consideremos a viga em balanço AB que suporta a força P em sua extremidade livre
(fig. 01). Cortemos a viga por uma seção horizontal A’C’ que passa a uma distância “y 1 ”
acima
da
LN
gerando
a
seção
vertical
de
corte
CC’
que
passa
a
uma
distância
“x”
da
extremidade livre da viga, obtendo ACC’A’.
Fig. 01
Na
fig.
02,
observamos
P’
sendo
uma
fração
da
força
P
aplicada
à
viga
na
seção
de
corte
AA’,
e
a
força
cortante
V’
na
seção
CC’,
e
os
esforços
normais " . " dA x que
agem
nessa
seção e a resultante das forças horizontais “H” provenientes da tensão de cisalhamento na face
inferior
do
corpo
livre.
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2
Fig. 02
dA P
dA x . . .
.
Escrevendo a condição de equilíbrio da estrutura: 0 x F para o corpo livre ACC’A’:
0 x F dA P
H _
. .
Explicitando o valor de H, e sabendo que “x” é constante ao longo da seção
transversal,
temos:
dA P c
_
1
. .
(1)
A
integral
acima
representa
o
momento
estático
“Q”
da
área
que
fica
acima
da
linha
y
= y 1 em relação à linha neutra.
dA Q
c
_
1
. (2)
' . y Q (3)
onde:
A = é a área correspondente a seção transversal em análise;
y'
=
é
a
distância
do
seu
centróide
até
a
LN.
Substituindo
a
Eq.
2
na
Eq.
1,
podemos
escrever:
Q P .
.
Essa equação mostra a força horizontal H que provém das tensões de cisalhamento na
face inferior da porção ACC’A’ é proporcional ao comprimento “x” dessa porção em análise.
Logo
para
um
certo
valor
de
“y 1 ”, o
esforço
cisalhante
horizontal
por
unidade
de
comprimento, H/x, é constante e igual a PQ/I. O esforço horizontal por unidade de
comprimento será denominado Fluxo de cisalhamento “q”.
Q P q
.
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3
No
caso
de
uma
viga
submetida
a
vários
carregamentos
concentrados
ou
distribuídos
(Fig. 3a), podemos substituir a força P pela soma das forças que se exercem na parte da viga
que fica à esquerda da seção que passa pelo ponto C de análise, essa soma é igual à força
cortante
V
que
age
na
seção
(Fig.
3b).
Fig. 03
Q q
.
onde:
Q
=
é
o
momento
estático,
em
relação
à
linha
neutra,
da
área
localizada
acima
ou
abaixo
do
ponto C’ (onde o fluxo de cisalhamento é calculado);
I = é o momento de inércia de toda a área da seção transversal em relação ao eixo
baricêntrico.
O
valor
de
“q”
permanece
constante
entre
dois
carregamentos
sucessivos,
pois
V
também é constante. Comprovamos então que, no caso de uma viga submetida à flexão pura,
produzida apenas por dois conjugados iguais e de sentidos opostos, a força cortante V e a
força
horizontal
por
unidade
de
comprimento,
“q”,
são
nulas.
Exemplo: Uma viga de madeira é constituída por três peças de 20 por 100 mm de seção transversal, que
são
pregadas
umas
às
outras.
O
espaçamento
entre
os
pregos
é
de
25
mm.
Sabendo-se
que
a
viga está submetida a uma força cortante V de 500N, determinar a força de corte em cada
prego.
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Civil.
4
Exercícios: 01) Três tábuas, cada uma com seção transversal retangular de 40 x 90 mm, são pregadas
untas para formar uma viga que é submetida a uma força cortante vertical de 1,1 KN.
Sabendo-se
que
o
espaçamento
entre
cada
um
dos
pares
de
pregos
é
de
60
mm,
determinar
a força cortante em cada prego.
02) Três tábuas, cada uma com 50 mm de espessura, são pregadas juntas para formar uma
viga
que
é
submetida
a
uma
força
cortante
vertical.
Sabendo-se
que
a
força
cisalhante
admissível
em
cada
prego
é
de
670
N,
determinar
a
força
cortante
admissível,
se
o
espaçamento
entre
os
pregos
é
de
s
=
75
mm.
03) Resolver o exercício 02, considerando que o espaçamento entre os pregos é aumentado
para s = 100 mm.
04) Três tábuas são pregadas juntas para formar a viga mostrada, que é submetida a uma força
cortante vertical. Sabendo-se que o espaçamento entre os pregos é s = 75 mm e que a
força
cisalhante
admissível
em
cada
prego
é
de
400
N,
determinar
a
força
cortante
admissível,
quando
w
=
120
mm.
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5
05)
Resolver
o
exercício
04,
considerando
que
a
largura
é
diminuída
para
w
=
100
mm.
06) O perfil de aço laminado S310 x 52 é reforçado com duas placas de 16 x 200 mm e
constitui
a
seção
transversal
de
uma
viga.
Usando
parafusos
de
18
mm
de
diâmetro
e
espaçados longitudinalmente de 120 mm e, sabendo-se que a tensão de cisalhamento
admissível nos parafusos é de 90 MPa, determinar a maior força cisalhante vertical
permissível.
07) Resolver o exercício 06, considerando que duas placas de 12 x 200 mm são usadas para
reforçar
a
viga
mostrada.
08)
A
viga
composta
mostrada
é
constituída
de
dois
perfis
de
aço
laminados
W150
x
29,8,
unidos por parafusos de 16 mm de diâmetro e espaçados longitudinalmente de 150 mm.
Sabendo-se que a tensão de cisalhamento admissível média nos parafusos é de 70 MPa,
determinar
a
maior
força
cortante
permissível.
09) A viga mostrada foi fabricada com dois perfis de aço laminados e duas placas, unidos por
parafusos
de
20
mm
de
diâmetro
e
espaçados
longitudinalmente
de
190
mm.
Determinar
a
tensão de cisalhamento média nos parafusos, causada pela ação de uma força cisalhante
vertical de 110 KN.
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1.3.
Determinação da Tensão de Cisalhamento em uma viga
Consideremos uma viga com plano vertical de simetria, submetida a um carregamento
distribuído
ou
concentrado
que
atua
nesse
plano.
O
item
anterior
mostrou-nos
que,
se
V
é
a
força cortante vertical em qualquer seção transversal, o fluxo de cisalhamento “q” (força
horizontal de cisalhamento por unidade de comprimento), em um ponto C’ dessa seção é:
Q q
.
A força horizontal _ H que se exerce em um comprimento _ x da seção horizontal que passa
por
C´
(Fig.
04)
é:
Q q
. . (4)
Fig.
04
Se dividirmos a Eq. 4 pela área t . , obtemos a tensão média de
cisalhamento xy .
t
Q
méd
.
t
Q
méd .
. (5)
onde:
t
=
é
a
largura
da
seção
horizontal.
Sabemos que as tensões de cisalhamento que se exercem em um plano transversal e
em
um
plano
horizontal
são
iguais
(respectivamente, xy e
x ).
Podemos
afirmar
que
a
expressão obtida para a tensão horizontal em C’ também representa o valor médio xy ao
longo
da
linha
C 1 ’C 2 ’ (Fig. 05).
Fig. 05
Devemos notar que, enquanto Q é máximo para y = 0, não podemos adiantar que a
tensão méd é máxima ao
longo
da
linha
neutra,
pois
a
tensão
média
depende
também
da
largura “t” da seção.
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Na
face
superior
e
inferior
da
viga xy =
0,
uma
vez
que
não
há
forças
atuantes
nessas faces. Daí que xy = 0, na aresta superior e na aresta inferior da seção transversal (Fig.
06).
Fig. 06
Quando a largura “b” da viga se mantém pequena em comparação à altura da seção, as
tensões
de
cisalhamento
variam
muito
pouco
ao
longo
da
linha
C 1 ’C 2 ’
e
a
Eq.
5,
pode
ser
usada para o cálculo de xy em qualquer ponto ao longo de C 1 ’C 2 ’.
Para vigas de seção retangular de largura “ b” e altura “h”, onde a relação: 4
1
h
b , o
valor da tensão de cisalhamento em C 1 ’ e C 2 ’ (Fig. 07) não excede mais de 0,8% de méd
calculado em relação ao baricentro).
Fig. 07
1.4.
Tensão
de
Cisalhamento
para
vigas
de
seções
transversais
usuais
Vimos no item anterior que para uma viga de seção retangular de largura pequena em
relação
à
altura,
onde
h b 4
1 ,
a
variação
da
tensão
de
cisalhamento
ao
longo
da
largura
é
menos
de
0,8
%
da
tensão
média méd . Onde a Eq. 5, poderá ser utilizada para a
determinação da tensão de cisalhamento em qualquer ponto da seção transversal.
Q
xy
.
. (6)
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onde:
t = é a largura da viga;
Q = representa o momento estático, em relação à linha neutra da área sombreada (Fig. 08)
Fig. 08
A distância da linha neutra ao centróide C’ da área A’, usando a Eq. 3, escrevemos:
' . y Q
c b
c
t
Q
xy 3
2 4
. 4
3
.
.
Lembrando:
3 3
. 3
2
12
. c b
h b
ou,
sendo
a
área
da
seção
transversal
igual
a
A
=
2.b.c.
2
2
1 2
3
c xy (7)
A Eq. 7 mostra que a distribuição de tensões de cisalhamento em uma seção
transversal
de
uma
viga
é
parabólica
(Fig.
09).
Fig.
09
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Como
já
foi
observada,
a
tensão
de
cisalhamento
são
nulas
no
topo
e
na
base
da
seção transversal (y = ± c). Fazendo y = 0 na Eq. 7, podemos obter o valor da máxima tensão
de cisalhamento para uma certa seção da viga retangular estreita.
máx
3
A
relação
obtida
indica
que
a
máxima
tensão
de
cisalhamento
em
uma
viga
de
seção
retangular é mais de 50% maior que o valor V/A, que seria obtido se, erroneamente,
adotássemos uma distribuição de tensão uniforme ao longo da seção transversal.
Em
perfis
I
ou
perfis
de
abas
largas,
podemos
calcular
o
valor
médio
da
tensão
de
cisalhamento xy em uma fibra aa’ ou bb’ da seção transversal da viga (Fig. 10 a e b), pela
equação:
Q
méd .
.
onde:
V = é a força cortante;
t = é a largura da seção da fibra calculada;
Q
=
momento
estático
da
área
sombreada
em
relação
à
linha
neutra
cc’;
I = momento de inércia da seção em relação ao centróide.
A
Fig.
10
c
mostra
a
distribuição
de
tensões,
marcando
a méd em
relação
a
“y”.
A
curva obtida é descontínua nos pontos em que ocorre diferença do valor “t”, quando se passa
das
abas
ABGD
e
A’B’C’D’
para
a
alma
EFF’E’
do
perfil.
Fig.
10
No caso da alma, a tensão de cisalhamento varia muito pouco ao longo da seção bb’, e
pode ser adotada igual ao valor médio méd . A tensão de cisalhamento é nula entre DE e FG,
uma que esses dois segmentos fazem parte da superfície livre do perfil.
Na prática considera-se que todo esforço cortante é absorvido pela alma, e que uma
boa
aproximação
do
valor
máximo
da
tensão
de
cisalhamento
se
obtém
pela
equação:
alma da rea méd
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1.5.
Cisalhamento em uma seção longitudinal arbitrária
No item 1.2 estudamos o caso de uma viga em balanço AB submetida à força vertical P
atuando
no
seu
plano
de
simetria.
Determinaremos
para
essa
situação
a
força
H
que
se
exerce
no plano horizontal da parte AC da viga. Consideremos agora um corte longitudinal arbitrário
A’C’C’’ da mesma porção AC da viga (Fig. 11 a). O corpo livre obtido dessa maneira está
sujeito
às
seguintes
forças
horizontais:
a
resultante
H
dos
esforços
horizontais
de
cisalhamento
que
agem
na
seção
longitudinal
e
os
esforços
normais dA x . que
agem
na
seção
transversal
em
C.
dA P
dA x . . .
.
Fig.
11
A condição de equilíbrio 0 x F nos leva à mesma equação vista no item 1.2:
0 . .
_
dA P
H
Encontramos
então
para
o
valor
de
H:
Q P .
.
Nesta expressão, Q representa o momento estático da área sombreada (Fig. 12) em
relação
à
LN
da
seção,
e
I
o
momento
de
inércia
de
toda
a
seção:
Fig. 12
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Afirmamos
que
o
fluxo
cisalhante,
ou
esforço
horizontal
por
unidade
de
comprimento,
é
dado
pela
Equação: Q P .
. .
No caso mais geral de uma viga submetida a várias forças concentradas ou distribuídas,
situadas
no
seu
plano
de
simetria,
temos:
Q q
.
Exemplo:
A
viga
AB
é
constituída
por
três
peças
coladas
umas
às
outras
e
está
submetida
ao
carregamento indicado, que atua em seu plano de simetria. Sabendo-se que a largura de cada
unta colada é de 20 mm, determinar a tensão de cisalhamento média na seção n-n da viga. O
esquema
indica
a
localização
do
centróide
da
seção
transversal,
e
o
momento
de
inércia
da
seção é I = 8,63 x 10 - 6 m 4 . A tensão de cisalhamento deve ser calculada nas juntas caladas.
