Unidades y Dimensiones

FACULTAD DE INGENIERIA – Escuela de Ingeniería Ambiental

Balance de Materia y Energía Ing° Javier Antonio Cossa Cabanillas

UNIDADES Y DIMENSIONES Las dimensiones son nuestros conceptos básicos de medición, como longitud, tiempo, masa, temperatura, etc.; las unidades son la forma de expresar las dimensiones, como pies o centímetros para la longitud, u horas o segundos para el tiempo. Al anexar unidades a todos los números que no son fundamentalmente adimensionales, se obtienen los siguientes beneficios: 1) Menor probabilidad de invertir, sin darse cuenta, una parte del cálculo. 2) Reducción en el número de cálculos intermedios y en el tiempo durante la resolución de

problemas. 3) Un enfoque lógico del problema, en lugar de limitarse a recordar una fórmula e insertarle

números. 4) Fácil interpretación del significado físico de los números empleados. Todo estudiante sabe que lo que se obtiene al sumar manzanas y naranjas es ¡ensalada de frutas! Las reglas para manejar las unidades son en esencia muy sencillas:

Suma, resta, igualdad Sólo es posible sumar, restar o igualar cantidades si las unidades de dichas cantidades son las mismas. Así pues, la operación

5 kilogramos + 3 joules

no puede efectuarse porque tanto las dimensiones como las unidades de los dos términos son distintas. La operación numérica:

10 libras + 5 gramos

si puede efectuarse (porque las dimensiones son las mismas, masa) pero sólo después de transformar las unidades de modo que sean iguales, ya sean libras, gramos, onzas, etc. Multiplicación y división Podemos multiplicar o dividir unidades distintas a voluntad, como por ejemplo 50 (kg)(m)/(s) pero no podemos cancelar ni combinar unidades si no son idénticas. Así, 3m2/60cm se puede convertir a 3m2/0.6m y luego a 5 m. Las unidades tienen un contenido de información significativo que no podemos ignorar; también sirven como guías para la resolución eficiente de problemas, como veremos en breve. EJEMPLO 1: Dimensiones y unidades

Sume lo siguiente: a) 1 pie + 3 segundos b) 1 caballo de fuerza + 300 watts Solución



La operación indicada por 1ft + 3s no tiene sentido, ya que las dimensiones de los dos términos no son las mismas. Un pie tiene la dimensión de longitud, en tanto que 3 segundos tiene la dimensión de tiempo. En el caso de 1hp + 300watts las dimensiones son las mismas (energía por tiempo unitario) pero las unidades son diferentes. Es preciso transformar las dos cantidades a unidades iguales, como caballos de fuerza o watts, antes de realizar la suma. Puesto que 1 hp = 746 watts, 746 watts + 300 watts = 1046 watts La Tabla 1 es una lista de las unidades del SI que se emplean a común. La tabla 2 presenta unidades similares en el sistema de ingeniería estadounidense. TABLA 1: Unidades del SI empleadas

Cantidad física Nombre de la unidad Símbolo

de la unidad*

Definición de la unidad

Unidades básicas del SI

Longitud Metro m

Masa Kilogramo kg

Tiempo Segundo s

Temperatura Kelvin K

Cantidad de sustancia Mol mol

Unidades derivadas del SI

Energía Fuerza Joule Newton J N kg * m2 * s-2

kg * m * s-2=>J *m-1

Potencia Densidad Watt

kilogramo por metro cúbico W

kg * m2 * s-3 => J * s-1

kg * m -3

Velocidad Aceleración

metro por segundo metro por segundo al

cuadrado

m * s-1

m * s-2

Presión newton por metro cuadrado N * m-2 ,Pa

Capacidad calorífica pascal

joule por (kilogramo * kelvin) J * kg-1 * K-1

Unidades alternativas



Tiempo Minuto, hora, día, año min, h, d, a

Temperatura – Volumen

Grado Celsius – Litro (dm3) ºC – L

Masa Tonelada (Mg), gramo t, g

* Los símbolos de las unidades no adoptan formas plurales, pero los nombres no abreviados si se utilizan en plural.

TABLA 2: Unidades del sistema estadounidense de ingeniería

Cantidad física Nombre de la unidad Símbolo

Unidades básicas

Longitud Pie ft

Masa Fuerza

Libra (masa) Libra (fuerza)

lbm lbf

Tiempo Segundo, hora s, h

Temperatura Grado Rankine ºR

Unidades derivadas

Energía Unidad térmica británica, pie libra (fuerza) Btu, (ft)(lbf)

Potencia Caballo de fuerza HP

Densidad Libra (masa) por pie cúbico lbm/ft3

Velocidad Pie por segundo ft/s

Aceleración Pie por segundo al cuadrado Ft/s2

Presión Libra (fuerza) por pulgada cuadrada lb/pulg2

Capacidad calorífica Btu por libra (masa) por grado Fahrenheit Btu/(lbm)(ºF)

Es preciso respetar la distinción entre letras mayúsculas y minúsculas, incluso cuando el símbolo aparece en aplicaciones en las que el resto de las letras son mayúsculas. Las abreviaturas de las unidades tienen la misma forma en singular y en plural, y no van seguidas de un punto. Una de las características más valiosas del sistema SI es que (con la excepción del tiempo) las unidades y sus múltiplos y submúltiplos se relacionan mediante factores estándar designados por el prefijo indicado en la taba 3, es preferible no usar prefijos en los denominadores (excepto kg).



TABLA 3: Prefijos del SI

Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo

109 106 103 102 101

Giga Mega Kilo

Hecto Deca

G M K H Da

10-1

10-2

10-3

10-6

10-9

deci centi mili

micro nano

d c m ų n

Cuando se forma una unidad compuesta multiplicando dos o más unidades, su símbolo consiste en los símbolos de las unidades individuales unidos por un punto centrado (por ejemplo: N*m para newton metro). El punto puede omitirse en el caso de unidades muy conocidas como watt- hora (símbolo Wh) si no causa confusión, o si los símbolos están separados por exponentes, como en N*m2kg-2 no se debe usar guiones en los símbolos de unidades compuestas. Es posible usar exponentes posit ivos y negativos para los símbolos de las unidades individuales, ya sea separados por una diagonal o multiplicados empleando potencias negativas (por ejemplo: m/s o m*s-1 para metro por segundo). No obstante, no usaremos el punto centrado para indicar multiplicación en este texto. Es muy fácil confundir el punto centrado con el punto ortográfico, o pasarlo por alto en los cálculos manuscritos. En vez de ello, usaremos paréntesis o líneas verticales, lo que resulte más conveniente, para la multiplicación y la división. Además, se ignorará la convención del SI de dejar un espacio entre grupos de números, como 12 650 en lugar de insertar una coma, como en 12,650, con el fin de evitar confusiones en los números manuscritos. CONVERSIÓN DE UNIDADES Y FACTORES DE CONVERSIÓN Con el fin de ayudar a seguir los cálculos y sub rayar el empleo de unidades, a menudo se utiliza un formato especial para los cálculos el cual se ilustra en el ejemplo 2, que contiene las unidades además de los números. El concepto consiste en multiplicar cualquier número y sus unidades asociadas por razones adimensionales denominadas factores de conversión con el fin de obtener la respuesta deseada y sus unidades correspondientes. Los factores de conversión son expres iones de valores equivalentes de diferentes unidades del mismo sistema o de sistemas distintos. En la segunda de forros (atrás de la portada), el lector encontrará tablas de factores de conversión. Se recomienda memorizar algunos de los más comunes para ahorrar tiempo. Es más rápido usar varios factores de conversión ya conocidos que buscar en un manual un factor de conversión directo.

EJEMPLO 2: Conversión de unidades

Si un avión viaja al doble de la velocidad del sonido (suponga que la velocidad del sonido es de 1100 ft/s), ¿cuál es su velocidad en millas por hora? Solución

2 1100 ft 1 mi 60 s 60 min = 1500

mi

s 5280 ft 10min 1 h h



1 N

(kg)(m)

s 2

1 kg 1 m

s2

f

Observe el formato de los cálculos en el E jemplo 2 se ha dispuesto los cálculos separando cada cociente con líneas verticales, las cuales tienen el mismo significado que un signo de multiplicación (. o x) colocado entre cada una de estas relaciones. Usaremos esta forma con el fin de tener claro la importancia de las unidades en la resolución de problemas. Se recomienda escribir siempre las unidades junto al valor numérico asociado (a menos que el cálculo sea muy simple) hasta que se familiarice perfectamente con el empleo de unidades y dimensiones y luego pueda hacer las transformaciones mentalmente. EJEMPLO 3: Empleo de unidades Convierta 400 pulg3/día a cm3/min Solución

400 pulg3 1 día 16.39 cm3 = 4.56

cm3

día 1440 min 1 pul3 min

La conversión de unidades SI es más sencilla que las conversiones en el sistema estadounidense. Podemos utilizar la ley de Newton para comparar las unidades respectivas:

F = Cma Donde F = fuerza

C = una constante cuyo valor numérico y unidades dependen de las unidades que se hayan escogido para F, m y a

m = masa a = aceleración En el sistema SI, donde la unidad de fuerza se define como el newton (N), si C = 1 N/(kg)(m)/s2, entonces cuando 1 kg se acelera a 1 m/s2

F = = 1 N Se requiere un factor de conversión para obtener el resultado final de Newton, pero el valor asociado al factor de conversión es 1, de modo que dicho factor parece sencillo, incluso inexistente. En el sistema estadounidense también se requiere un factor de conversión, pero hay una restricción. Es necesario que el valor numérico de la fuerza y de la masa sea prácticamente idéntica en la superficie de la Tierra. Así pues, sí una masa de 1 lbm se acelera a g ft/s2, donde g es la aceleración debida a la gravedad (aproximadamente 32.2ft/s2 dependiendo de la ubicación de la masa), podemos hacer que la fuerza sea 1 lb si escogemos el valor numérico y las unidades correctos para C:

En este ejemplo, observe que no sólo los números se elevan a una potencia, sino que

también las unidades se elevan a la misma potencia.



Observe que para que se cumpla esta ecuación, las unidades de C deben ser

Se ha escogido un valor numérico de 1/32.174 para la constante, porque 32.174 es el valor numérico de la aceleración media debida a la gravedad (g) en el nivel del mar a 45º de latitud cuando g se expresa en ft/s3. La aceleración debida a la gravedad, como recordará el lector, varía en unas cuantas décimas de 1% de un lugar a otro sobre la superficie terrestre. El recíproco del valor de conversión con el valor 32.174 incluidos se denota con el símbolo especial gc



La división entre gc produce exactamente el mismo resultado que la multiplicación por C en la ley de Newton. Queda claro que el sistema estadounidense tiene la comodidad de que el valor numérico de una libra masa es el mismo que el de una libra fuerza si el valor numérico de la razón g/gc es igual a 1, como suceda aproximadamente en la mayor parte de los casos. Más aún, se dice que la masa de una libra pesa una libra si la masa está en equilibrio estático sobre la superficie de la Tierra. Podemos definir el peso como el opuesto de la fuerza requerida para sustentar una masa. El concepto de peso en el caso de masas que no se encuentran estacionarias sobre la superficie terrestre o que son afectadas por la rotación de la Tierra (un factor de sólo 0.3%), o están situadas a cierta distancia de la superficie terrestre, como en un cohete o en un satélite, se debe consultar en un texto de física. En síntesis, siempre debemos tener presente que las dos cantidades g y gc no son iguales.

Además, nunca debemos olvidar que la libra (masa) y la libra (fuerza) no son las mismas unidades en el sistema estadounidense de ingeniería, aunque hablemos de libras al expresar fuerza, peso o masa. Casi todos los profesores y escritores de física, ingeniería y campos afines tienen cuidado de usar los términos “masa”, “fuerza” y “peso” correctamente en sus comunicaciones técnicas. Por otro lado, en el lenguaje ordinario, casi todo mundo, incluidos científicos e ingenieros, omite la designación de “fuerza” o “masa” asociada a la libra y toma el significado del contexto del enunciado. Nadie se confunde por el hecho de que un hombre mida 6 pies pero sólo tenga dos pies. No anexaremos al símbolo lb el subíndice m (masa) o f (fuerza) a menos que resulte indispensable para evitar confusiones. Cuando usemos la unidad lb sin subíndice siempre nos estaremos refiriendo a la cantidad libra masa. EJEMPLO 4: Empleo de gc Cien libras de agua fluyen por una tubería a razón de 10.0 ft/s. ¿Cuánta energía tiene el agua en (ft)(lbf)? Solución: Energía cinética = K = ½ mv2 Suponiendo que las 100 lb se refieren a la masa del agua EJEMPLO 5: Empleo de gc ¿Cuánta energía potencial en (ft)(lbf) tiene un tambor de 100 lb suspendido 10 ft sobre la superficie de la Tierra con referencia a dicha superficie?



Solución Energía potencial = P = mgh Supongamos que las 100 lb se refieren a una masa de 100 lb;

g = aceleración debida a la gravedad = 32.2 ft/s2.

Observe que en el cociente g/gc, o 32.2 ft/s2 dividido entre 32.174 (ft/s2)(lbm/lbf), los valores numéricos son casi iguales. Muchas personas resolverían este problema diciendo que 100 lb x 10 ft = 1000 (ft)(lb) sin darse cuenta que con ello están cancelando los números de la razón g/gc. CONSISTENCIA DIMENSIONAL Ahora que hemos visto algunos antecedentes relativos a las unidades y las dimensiones, podemos aprovechar de inmediato está información en una aplicación muy práctica e importante. Un principio básico es que las ecuaciones deben ser dimensionalmente consistentes. Lo que exige este principio es que cada uno de los términos de una ecuación tenga las mismas dimensiones y unidades netas que todos los demás términos con los que se suma, resta o iguala. En consecuencia, las consideraciones dimensionales pueden ayudar a identificar las dimensiones y unidades de los términos de una ecuación. El concepto de consistencia dimensional se puede ilustrar con una ecuación que representa el comportamiento de los gases, conocida como ecuación de Van der Waals

si examinamos la ecuación veremos que la constante “a” debe tener las unidades de [(presión)(volumen)2] para que la expresión encerrada en el primer par de paréntesis sea consistente. Si las unidades de presión son atm y las de volumen son cm3, “a” tendrá específicamente las unidades de [(atm)(cm)6]. De manera similar, “b” deberá tener las mismas unidades que V, que en este caso particular son cm3, si T está en K, ¿qué unidades debe tener R? Todas las ecuaciones deben tener consistencia dimensional. EJEMPLO 6: Consistencia dimensional Un manual indica que el grabado de microchips se ajusta aproximadamente a la relación:

d = 16.2 – 16.2e-0.021 ft

t < 200

donde “d” es la profundidad del grabado en micras (micrómetros; m) y “t” es el tiempo de



grabado en segundos. ¿Qué unidades se asocian a los números 16.2 y 0.021? Convierta la relación de modo que “d” se exprese en pulgadas y “t” en minutos. Solución Ambos valores de 16.2 deben tener las unidades de micras. El exponencial debe ser adimensional, así que el 0.021 debe tener unidades de 1/segundos.

= 6.38 x 10-4

(1 – e-1.26/min) Es posible formar grupos de símbolos, ya sea teóricamente o con base en experimentos, que no tienen unidades netas. Tales conjuntos de variables o parámetros se denominan grupos adimensionales. Un ejemplo es el (grupo de) número de Reynolds que surge en la mecánica de fluidos.

donde “D” es el diámetro del tubo, digamos en cm; “v” es la velocidad del fluido, digamos en cm/s; “p” es la densidad del fluido, digamos en g/cm3; y “ ” es la viscosidad, digamos en centipoise, unidades que se pueden convertir en g/(cm)(s). Si introducimos el conjunto consistente de unidades para “D, v, p y ” en “Dvp/ , encontramos que todas las unidades se cancelan.



TABLAS DE FACTORES DE CONVERSIÓN

EQUIVALENTES DE VOLUMEN

pulg3 ft3 Galón de Estados Unidos

Litros m3

1 5.787 x 10-4 4.329 x 10-3 1.639 x 10-2 1.639 x 10-5

1.728 x 103 1 7.481 28.32 2.832 x 10-2

2.31 x 102 0.1337 1 3.785 3.785 x 10-3

61.03 3.531 x 10-2 0.2642 1 1.000 x 10-3

6.102 x 104 35.31 264.2 1000 1

EQUIVALENTES DE MASA

Onzas avoirdupois

Libras Granos Gramos

1 6.25 x 10-2 4.375 x 102 28.35

16 1 7 x 103 4.536 x 102

2.286 x 10-3 1.429 x 10-4 1 6.48 x 10-2

3.527 x 10-2 2.20 x 10-3 15.432 1

EQUIVALENTES DE MEDIDA LINEAL

metro Pulgada Pie milla

1 39.37 3.2808 6.214 x 10-4

2.54 x 10-2 1 8.333 x 10-2 1.58 x 10-5

0.3048 12 1 1.8939 x 10-4

1.61 x 103 6.336 x 104 5280 1



EQUIVALENTES DE POTENCIA

hp KW (ft)(lb f )/sec Btu/sec J/sec

1 0.7457 550 0.7068 7.457 x 102

1.341 1 737.56 0.9478 1.000 x 103

1.318 x 10-3 1.356 x 10-3 1 1.285 x 10-3 1.356

1.415 1.055 778.16 1 1.055 x 103

1.341 x 10-3 1.000 x 10-3 0.7376 9.478 x 10-4 1

EQUIVALENTES DE CALOR, ENERGÍA O TRABAJO

*La caloría termoquímica = 4.184 J.

EQUIVALENTES DE PRESIÓN

mm Hg pulg Hg bar atm KPa Psia

1 3.937 x 10-2 1.333 x 10-3 1.316 x 10-3 0.1333 1.934 x 10-2

25.40 1 3.386 x 101 3.342 x 10-2 3.386 0.4912

(ft(lb f ) KWh hp-h Btu Caloría* Joule

0.7376 2.773 x 10-7 3.725 x 10-7 9.484 x 10-4 0.2390 1

7.223 2.724 x 10-6 3.653 x 10-5 9.296 x 10-3 2.3438 9.80665

1 3.766 x 10-7 5.0505 x 10-7 1.285 x 10-3 0.3241 1.356

2.655 x 106 1 1.341 3.4128 x 103 8.6057 x 105 3.6 x 106

1.98 x 106 0.7455 1 2.545 x 103 6.4162 x 105

2.6845 x 106

74.73 2.815 x 10-5 3.774 x 10-5

9.604 x 10-2 24.218 1.0133 x 103

3.086 x 103 1.162 x 10-3

1.558 x 10-3 3.9657 1 x 103

4.184 x 103

7.7816 x 102 2.930 x 10-4

3.930 x 10-4 1 2.52 x 102

1.055 x 103

3.086 1.162 x 10-6 1.558 x 10-6

3.97 x 10-3 1 4.184



750.06 29.53 1 0.9869 100.0 1.415 x 10-3

760.0 29.92 1.013 1 101.3 14.696

75.02 0.2954 1.000 x 10-2 9.872 x 10-3 1 0.1451

51.71 2.036 6.893 x 10-2 6.805 x 10-2 6.893 1

CONSTANTE DE LOS GASES IDEALES, R

FACTORES DE CONVERSIÓN DIVERSOS

Para convertir A Multiplique por

Angstrom metro 1.000 x 10-10

barril (de petróleo)

centipoise

galón

(newton)(s)/m2

42

1.0 x 10-3

torr (mm Hg, 0º C)

onza fluida

newton/m2

cm3

1.333 x 102

29.57

UNIDADES SI Y CGS

Unidades básicas

Cantidad Unidades Símbolo

Longitud metro (SI) M

centímetro (CGS) Cm

Masa kilogramo (SI) Kg

gramo (CGS) G

Moles gramo- mol Mol o g-mol

- 1.987 cal/(g mol)(K) 1.987 Btu/(lb mol)(º R)

- 10.73 (psia)(ft3)/(lb mol)(º R)

- 8.314 (kPa)(m3*)/(kg mol)(K) = 8.314 J/(g mol)(K)

- 82.06 (cm3)(atm)/(g mol)(K) 0.08206 (L)(atm)/(g mol)(K)

- 21.9 (pulg Hg)(ft3)/(lb mol)(º R) 0.7302 (ft3)(atm)/(lb mol)(º R)



Tiempo segundo S

Temperatura kelvin K

Corriente eléctrica amperio A

Intensidad luminosa candela Cd

Prefijos de los múltiplos de las unidades

Mega (M) = 106

Kilo (K) = 103

Centi (c) = 10-2

Mili (m) = 10-3

Micro (µ) = 10-6

Nano (n) = 10-9

Unidades derivadas

Cantidad Unidades Símbolo Equivalente en términos de

las unidades básicas

Volumen litro l o L 0.001 m3

1000 cm3

Fuerza newton (SI)

N 1 kg * m/s2

dina (CGS) 1 g * cm/s2

Presión pascal (SI) Pa 1 N/m2

Energía, trabajo

joule (SI)

J

1 N * m = 1 kg * m2/s2

erg (CGS) 1 dina * cm = 1 g * cm2/s2

gramo-caloría 4.184 J = 4.184 kg * m2/s2

Potencia watt cal W 1J/s = 1 kg * m2/s2

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