UNIFESO – NAIPROF. ILYDIO SÁ

Transformações Geométricas no Plano

• Nosso estudo começará de forma simples, adequada a alunos do ensino fundamental e de forma lúdica, apresentando algumas das principais transformações no plano. Mostraremos também alguns exemplos dessas transformações em pinturas e na arte em geral.

• Numa segunda parte, procuraremos relacionar esse conteúdo matemático com a Álgebra Linear e a Computação Gráfica, atendendo a alunos do Ensino Médio e Cursos Superiores.

As translações não alteram as medidas das distâncias entre dois quaisquer pontos, nem alteram as amplitudes dos ângulos das figuras. A figura transformada por translação mantém tamanho e forma, modificando sua localização.

È necessário a definição da direção, sentido e amplitude da translação, o que é feito, normalmente por um vetor ou matriz da transformação.

1. TRANSLAÇÃO

Verifique no quadro ao lado o uso de translações numa obra do importante artista plástico Holandês M.C. Escher (Peixes e barcos – 1948).

2. SIMETRIAS2.1. Simetria Central

Numa simetria em relação a um ponto (simetria central), chamado centro de simetria, a distância entre cada ponto da figura original e o seu transformado é tal que o centro de simetria é o ponto médio do segmento definido por esses dois pontos.

Sendo assim, as simetrias centrais não alteram as medidas das distâncias entre dois quaisquer pontos, nem alteram as amplitudes dos ângulos das figuras. Dessa forma, a figura mantém forma e tamanho, mas fica invertida. Numa simetria central a imagem do centro de simetria é o próprio centro.

2.2. Simetria Axial (ou em relação a um eixo)

Numa simetria em relação a um eixo (simetria axial), chamado eixo de simetria, a distância entre cada ponto da figura original e o seu transformado é tal que qualquer ponto do eixo é eqüidistante dos pontos correspondentes da figura original e da imagem transformada (a sua imagem).

Sendo assim, as simetrias axiais não alteram as medidas das distâncias entre dois quaisquer pontos, nem alteram as amplitudes dos ângulos das figuras. No entanto essas imagens têm sentidos invertidos, em relação ao eixo de simetria, mantendo a forma e o tamanho.

Observe na obra abaixo, também do artista M.C. Escher, uma criativa utilização de simetrias.

3. ROTAÇÃO

Num movimento de rotação cada ponto (com exceção do centro da rotação) gira de um mesmo ângulo, com relação ao centro da rotação.

Sendo assim, as rotações não alteram as medidas das distâncias entre dois quaisquer pontos, nem alteram as amplitudes dos ângulos das figuras. Dessa forma, a figura manterá sua forma e tamanho.

Um movimento de rotação pode ter um de dois sentidos possíveis em torno de um ponto fixo.

Na figura abaixo, a rosa sofreu uma rotação de 90º, no sentido horário, em torno do ponto O.

No exemplo a seguir, verifique uma outra interessante obra de M. C. Escher, onde ele aplicou as rotações em um interessante mosaico composto de borboletas.

OBSERVAÇÃO: As transformações de figuras que estudamos até agora (translação, simetrias e rotação), são denominadas ISOMETRIAS pois conservam todas as medidas lineares e os ângulos da figura original.

Existem transformações, entre elas o Alongamento e a Homotetia, que não são isometrias. No alongamento, uma das dimensões da figura não sofre alteração, sendo que a outra dimensão é alterada através de ampliação ou redução. Veja um exemplo.

No exemplo acima, a figura manteve a sua “largura” mas teve o seu comprimento multiplicado por 2. Fizemos um alongamento de razão 2, no sentido horizontal.

4. HOMOTETIAA noção de homotetia é facilmente entendida se imaginarmos uma lâmpada dentro de uma caixa, e um foco luminoso que passa através de um  orifício  C , este vai refletir-se em [UV]; Se quisermos determinar a imagem de [UV] paralela a [UV], esta seria representada, na figura, por [U'V'] ;  Ou seja :  

• U' é a imagem de U• V' é a imagem de V

• W' é a imagem de W

Vamos supor, em nosso exemplo inicial, que o comprimento de u’v’ seja o dobro do comprimento de uv. Diremos, nesse caso, que a homotetia tem razão igual a 2.Nesse caso, teremos ainda que as distâncias do centro até a figura transformada serão todas iguais ao dobro das distâncias do centro à figura original. Nesse nosso exemplo a homotetia é dita DIRETA. Veja, em seguida, o motivo.

Figura A Figura B

Se a razão da homotetia é positiva ou direta, a figura original e a imagem transformada ficam do mesmo lado em relação ao centro da homotetia (Figura A). Se a razão da homotetia é negativa ou inversa, a figura original e a imagem transformada ficam em lados opostos em relação ao centro da homotetia, ou seja, o centro de homotetia fica entre o original e a imagem (Figura B).

SEMELHANÇA – AMPLIANDO CONCEITOS – A HOMOTETIA

O QUE É HOMOTETIA?

Podemos, de forma resumida, dizer que duas figuras geométricas semelhantes estarão em homotetia, sempre que todos os pares de pontos correspondentes concorrerem num mesmo ponto fixo, chamado de centro da homotetia.

Uma homotetia pode ser direta ou inversa, veja o exemplo abaixo:

As figuras A e B estão em homotetia direta, de centro F.

Os pontos correspondentes estão nas mesmas semi-retas de origem F.

USANDO A HOMOTETIA PARA AMPLIAR OU REDUZIR UMA FIGURAVamos ampliar a figura ABCDE, através de uma homotetia direta, de razão igual a 3.

Marcamos um ponto F (foco) qualquer. Traçamos as retas: FA, FB, FC, FD e FE.

A’

B’

C’

D’

E’

F

Note que:

3 ... FA

FA'

FB

FB'

Observe que, quando a razão (em módulo) é maior do que 1, a homotetia será de ampliação e, quando a razão for menor do que 1, a homoteria será de redução.

Na imagem acima, a homotetia de transformação da figura vermelha na azul é de ampliação (razão maior do que 1) e a homotetia de transformação da figura vermelha na amarela é de redução (razão menor do que 1).

O .

A

B

C

D

Exercício: Obtenha a figura transformada, por homotetia, do quadrilátero ABCD, de centro O e razão igual a 1/3.

SOLUÇÃO

A

A’

D

D’

0C

C’

B

B’

Descobrindo coisas... Obtenha a figura transformada do retângulo ABCD, com centro O e razão 3. Em seguida verifique o que ocorreu com o perímetro e com a área da figura.

O

A B

CD

FIGURA ORIGINAL

Perímetro = 10 u

Área = 6 quadradinhos

FIGURA TRANSFORMADA

Perímetro = 30 u

Área = 54 quadradinhos

Razão

= 3

QUAL A SUA CONCLUSÃO SOBRE O QUE ENVOLVE O PERÍMETRO, A ÁREA E A RAZÃO DE SEMELHANÇA, NUMA HOMOTETIA? ESCREVA UM TEXTO SOBRE ESTE FATO.

SEGUNDA PARTE:

TRANSFORMAÇÕES DE VETORES

Transformação de vetoresSejam V e W dois espaços vetoriais. Uma função que associa cada vetor v V a um só vetor w W, é dita uma transformação do vetor v no vetor (ou imagem) w. Indicamos por T: V → W

Exemplo: Considere a transformação T: → , definida

pela lei: T(x,y) = (2x, 3y, x + y). Obtenha as imagens dos seguintes vetores: v(2, -2); w(1, -3) e O (0,0).Solução: Aplicando a lei que define a função, teremos:

T(v) = T(2,-2) = (4, -6, 0); T(w) = T(1,-3) = (2, -9, -2); T(O) = T (0,0) = (0, 0, 0).

Lembrete: Os vetores no espaço (R3) são representados num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, definido por três eixos perpendiculares. Esses três eixos subdividem o espaço em 8 regiões, denominadas de octantes.

Na figura abaixo, como exemplo, temos a representação do vetor v(3, 5, 6)

2. Transformações linearesDefinição: Sejam V e W espaços vetoriais. Uma função ou aplicação T: V W será denominada transformação linear, se:

a)T (u + v) = T(u) + T(v), u, v Vb)T(ku) = k.T(u), k R e u V

Exemplo: Verifique se a transformação T, de R2 em R2 , definida por T(x,y) = (2x, x – y) é uma transformação linear.

Solução: Verificando a primeira propriedade.Sejam os vetores u (x, y) e v(z, w), vejamos T(u + v) = T(x + z, y + w) = (2(x + z), x + z – (y + w) = (2x + 2z, (x – y) + (z – w)) = (2x, x – y) + (2z, z – w) = T(u) + T(v)

Verificando a segunda propriedade. T(ku) = T(kx, ky) = (2kx, kx – ky) = k. (2x, x – y) = k. T(u).

Conclusão: A transformação T é uma transformação linear.

Teorema:Seja T: V W uma transformação linear. A transformada T(0) = 0. A demonstração é imediata, bastando lembrar que se T é transformação linear, então T (k.u) = k. T(u), k R e u V. Fazendo k = 0, teremos: T (0.u) = 0. T(u) ou T(0) = 0.

Exemplo: Verifique se a transformação T: R3 R2 , definida por T(x, y, z) = (2x, z + y + 3) é uma transformação linear.

Solução: Nesse caso não seria necessário verificar as propriedades que definem uma transformação linear. Basta ver que essa transformação contraria o teorema anterior. T(0,0,0) = (0, 3), logo, não é uma transformação linear.

Caso T(0,0,0) = (0,0), teríamos que verificar se a transformação atende às duas propriedades da transformação linear, já que o teorema dado indica uma condição necessária, mas não suficiente.

Transformações do Plano

1) Transformações de SemelhançaSão transformações T: RR 2 → RR 2 que transformam o vetor v (x,y) no vetor k v = (kx, ky), com k real.

Dependendo do valor de k, a transformação poderá ser de ampliação, redução, o vetor poderá ter o mesmo sentido ou o sentido contrário do original.

Matriz Associada à Semelhança

Considerando que um vetor do plano v (x, y) pode ser associado à uma matriz 2 x 1, teremos que toda matriz do tipo caracteriza uma semelhança de razão k.

k 0

0 k

Exemplo: A matriz S = define uma semelhança no plano.

A matriz S, ao ser multiplicada por qualquer vetor do plano v (x,y), vai gerar um novo vetor, de mesma direção e sentido que o vetor v mas com o dobro do seu módulo. Vejamos o efeito disso sobre o vetor v = (3, 5).

2 0

0 2

10

6

5

3 x

2 0

0 2O que, graficamente, gera a seguinte imagem:

Vejamos, num caso mais completo, o que tal matriz geraria sobre uma figura definida por alguns de seus pontos.

Podemos verificar a semelhança formada através de uma homotetia de razão 2 e centro (0,0).

2) Transformações de Rotação

Considerando que um vetor do plano v (x, y) pode ser associado à uma matriz 2 x 1, teremos que toda matriz do tipo caracteriza uma rotação de ângulo .

cos sen

sen- cos

Exemplo: A matriz define uma rotação de 90º no plano. Vamos verificar através de um exemplo. Seja o vetor v = (3,4). Vejamos o que ocorre quando efetuamos a multiplicação S . v

0 1

1- 0

3

4-

4

3 x

0 1

1- 0

Observe graficamente o que está ocorrendo...

3) Transformações de Reflexão em torno do “eixo x”.

São transformações T: RR 2 → RR 2 que transformam o vetor v (x,y) no vetor v’ = (x, - y). Observe que o eixo horizontal servirá de eixo de simetria para esse caso.

A matriz de uma reflexão horizontal será sempre do tipo: Verifique.

1- 0

0 1

É claro que existem diversas outras transformações no plano, sendo que algumas são lineares. Esse capítulo da Matemática, especificamente da Álgebra Linear, tem sido de grande importância da Computação Gráfica e na Informática em geral.

Matrizes em computação gráfica

Aplicação: Imagem vetorial

A imagem vetorial é criada recorrendo a entidades de desenho como retas, pontos, curvas polígonos simples, etc e transformações geométricas.Uma imagem vetorial é descrita por linhas plotadas num sistema de coordenadas cartesianas. Permite redimensionamento em qualquer escala sem perda de qualidade, pois somente no momento da impressão ela é convertida em um bitmap adequado ao equipamento. A este processo de conversão de vetorial para bitmap chamamos de rasterização, e é executado por um RIP – Raster Image Processor.

O tamanho dos arquivos de desenho vetorial são relativamente menores que os arquivos de desenho de rastreio.