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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEON FACULTAD DE FILOSOFIA Y LETRAS
FACULTAD DE CIENCIAS FISICO - MATEMATICAS
PROPUESTA DIDACTICA
LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMATICAS A TRAVES DE LA RESOLUCION DE PROBLEMAS
EN EL CONTEXTO
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRIA EN LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
CON ESPECIALIDAD EN MATEMATICAS PRESENTA
MARTIN MARIO MORALES ROCHA
CIUDAD UNIVERSITARIA SAN NICOLAS DE LOS GARZA, N. L
MARZO 2001
TM Z 6 6 5 1 FCFM 2 0 0 1 M6
1 0 2 0 1 4 5 6 3 1
UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEON FACULTAD DE FILOSOFIA Y LSTRAS
FACULTAD DE CIENCIAS FISICO - M A T E M A T I C A S
PROPUESTA DIDACTICA
LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMATICAS A TRAVES DE LA RESOLUCION DE PROBLEMAS
EN EL CONTEXTO
QUE PARA OBTENER EL G R A D O DE:
MAESTRIA EN LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN MATEMATICAS
PRESENTA
MARTIN MARIO MORALES ROCHA
CIUDAD UNIVERSITARIA SAN N I C O L A S DE LOS G A R Z A , N. L
M A R Z O 2001
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PONDO T E S I S
AGRADECIMIENTOS
ADIOS
Por haberme ayudado a superar todos los obstáculos y dificultades que se
presentaron a lo largo de este camino.
A la UANL. Por la perseverancia en la superación de los docentes.
A la preparatoria 20 por el apoyo brindado para fograr la meta trazada.
A mis compañeros maestros por la disposición de compartir con nosotros sus
experiencias y comentarios.
A mi esposa Raquel y a mis hijos, Raquel y Mario por brindarme todo su tiempo y apoyo para el logro de esta.
Y a todos aquellos que de una u otra forma colaboraron, apoyaron, influyeron o intervinieron para la elaboración de este trabajo.
Gracias....
ÍNDICE
RESUMEN 1
INTRODUCCIÓN 2
CAPITULO I
1.1 Aspectos generales 11
1.2 Constatación del problema. 14
1.3 Conclusiones del capitulo 1 1 7
CAPITULO II
2.1 Enseñanza problémica 18
2.2 Fundamentos de la enseñanza problémica 20
2.3 Procedimiento Heurístico 22
2.4 Resolución de problemas en la formación académica 26
2.5 Problemas y planteamientos didácticos 28
2.6 Conclusiones del capitulo 2 32
CAPITULO III
3.1 Consideraciones iniciales 33
3.2 Formulación de la propuesta 35
3.3 Identificación del tema. 39
3.4 Ejemplificación 41
CONCLUSIONES 47
RECOMENDACIONES 49
BIBLIOGRAFÍAS 50
RESUMEN
En la presente investigación se hace un análisis donde se evidencia la carencia
de Habilidad y capacidad que presentan la mayoría de los alumnos para resolver
problemas.
Esto se hizo con el fin de visualizar las carencias y dificultades que presentan los
estudiantes para resolver dichos problemas, ya que se ha verificado que esta
dificultad se presentan en todos los semestres, tanto en alumnos de bachillerato
único, como en bachillerato técnico.
Esta investigación se hizo en la preparatoria número 20 de la UANL. Donde los
maestros extremamos una preocupación debido a este problema que se presenta
en los estudiantes, ya que en todas las asignaturas de matemáticas se presentan
problemas del mundo real y con ello la dificultad en los alumnos para resolverlos.
INTRODUCCIÓN
Vivimos tiempos de cambio en los que las sociedades están sujetas a poderosos
procesos de globalización y acelerado desarrollo tecnológico. En un mundo así, la
educación se vuelve campo de orden prioritario. Sí queremos que nuestro país se
integre con dignidad, éxito y prestancia al nuevo escenario mundial.
Esto será posible si los profesionistas hacemos una evaluación constante y a
fondo de nuestras instituciones de educación, de su estructura y organización, de
su oferta educativa y sus formas de vinculación con la sociedad, anticipándonos
incluso a las nuevas configuraciones del empleo y el trabajo intelectual, de
mercado y la cultura global.
Para iniciar con el nuevo milenio como una institución pertinente y competitiva,
formadora de los profesionales y científicos que requiere el nuevo entorno, la
Universidad Autónoma de Nuevo León ha decidido tomar acciones concretas que
permitan enfrentar con éxito los retos actuales y futuros.
La Visión Universidad Autónoma de Nuevo León 2006 es un esfuerzo que esta
comunidad universitaria ha emprendido para reflexionar colectivamente sobre la
institución que deseamos para el futuro próximo.
En la medida en que dibuja los contornos de un sueño que los universitarios
compartimos, el proyecto Visión Universidad Autónoma de Nuevo León 2006 es
de todos y nos permite vislumbrar los caminos concretos, las acciones y
programas que lleven a su realización y cumplimiento, lo que implicará todavía
otro ingrediente esencial: el compromiso cabal, responsable, de todos nosotros
con sus propósitos y metas.
Las organizaciones que sobreviven a los desafíos y a los retos que le presenta el
entorno, son aquéllas que se anticipan a los acontecimientos y definen su propio
rumbo, establecen el camino que habrán de seguir para llegar a donde sus sueños,
sus expectativas, intuición, experiencia y sabiduría les indiquen.
Saber definir hacia dónde ir y cómo llegar a esa meta es tarea de personas
emprendedoras, visionarias y proactivas.
Así pues, la Visión Universidad Autónoma de Nuevo León 2006 define a la
universidad del siglo XXI y establece los lineamientos necesarios para convertirla
en realidad.
La enseñanza de la matemática (así como la de la lengua: lectura y redacción) ha
sido reconocida oficialmente por la Secretaría de Educación Pública como uno de
los problemas mayores en la educación elemental, media y superior. Los estratos
del problema en la lengua se inician con la alfabetización y terminan con la lectura
comprensiva. En matemáticas el problema de la alfabetización ha sido atendido
por la escuela convencional, pero el asunto de la comprensión ha sido dejado al
libre virtuosismo de los propios estudiantes.
La tradición educativa confunde el rigor propio de la matemática con el rigorismo
en su enseñanza y, en esa medida, no contribuye a la formación real de los
estudiantes; por el contrario, hace redundancia en el fracaso escolar que hoy
padecemos.
Un aspecto fundamental en ta formación de los estudiantes está en el aprendizaje
de la matemática cuando ésta se relaciona con la necesidad de resolver
problemas que aquejan en su contexto social. Es entonces cuando los estudiantes
deben ver en la matemática la herramienta necesaria para buscar la solución a
estas situaciones.
Nuestra presencia como maestros no justifica sólo el aprendizaje de los
estudiantes, sino la mejoría o evolución de su aprendizaje. Así, el maestro tiene la
obligación, entre otras cosas, de mejorar el proceso docente educativo de la
matemática, de tal manera que los estudiantes puedan utilizar eficiente y
eficazmente los conocimientos adquiridos en su contexto escolar para resolver
problemas en contextos diferentes o situaciones novedosas.
Una de las dificultades se encuentra en ta generalización y transferencia de los
conocimientos adquiridos. Es esencial que los estudiantes tengan oportunidad de
desarrollar o reconstruir los conocimientos en el salón de clases para que puedan
hacer oportunamente estas generalizaciones.
El maestro, en vez de proporcionarle fríamente al estudiante el conocimiento, debe
proponerle una situación diseñada de forma tal que este conocimiento sea
necesario para ta solución óptima; si el estudiante se adapta a la situación y llega
a la solución, podemos afirmar que se apropió del conocimiento, es decir, que
aprendió. Como consecuencia, en cualquier variación de la situación él podrá
recuperar sus conocimientos y aplicarlos sin gran dificultad.
Por su parte, un análisis epistemológico provee de historicidad a los conceptos
matemáticos, y ayuda al estudiante, de alguna manera, a comprender cómo se
construyeron algunos conceptos, lo motiva a buscar situaciones en su contexto
social y, más aún, lo invita a iniciar la fase de investigación.
Es evidente que para construir conocimientos es necesario contar con un bagaje
muy amplio de conceptos y tenerlos todos a la mano para utilizarlos cuando sea
necesario. Una forma de facilitar esta recuperación es mediante el uso de
representaciones como mapas conceptuales, diagramas, esquemas, etc. Esto se
aborda desde el modelo de procesamiento de la información, sustentado en la
psicología cognitiva.
La matemática es universal, pero la enseñanza no; la enseñanza es diferente en
cada país como lo es en EUA, en Alemania, en Francia, en México, etc., así como
lo es cada contexto social al que pertenece el estudiante. Por ello cada maestro
debe preocuparse por mejorar su enseñanza, adecuándola a su contexto. Esto no
significa rechazar los métodos de enseñanza utilizados en otros lugares sino, al
contrario, si han dado buenos resultados, ver si se pueden adecuar a nuestro
contexto.
En la Universidad Autónoma de Nuevo León existen preparatorias foráneas que,
sin duda, tienen muchos elementos en común con las preparatorias locales; sin
embargo tienen ciertas características que las diferencian, las cuales hacen que
se presenten diferentes situaciones problémicas, sobre todo en relación con su
contexto social.
La Preparatoria número 20 de la UANL es una escuela foránea que se encuentra
en el municipio de Santiago N.L y no es ajena a este tipo de situaciones en el
proceso docente educativo. Esta preparatoria cuenta con los sistemas de
enseñanza técnica y tradicional. Dentro del sistema técnico se encuentran las
carreras de Técnico en Contabilidad, Técnico en Electricidad y Técnico en
Sistemas Computacionales.
La situación problémica se presenta en la apatía que los alumnos de estas
carreras manifiestan por las materias de tronco común especialmente en las
matemáticas y la física. Esta situación se manifiesta en el aula por los estudiantes
mediante las siguientes preguntas las más comunes son: " ¿Y eso para qué me
sirve? , ¿Dónde lo voy a aplicar? .
La presente investigación es realizada debido a que gran parte de los alumnos en
la asignatura de matemáticas I dei nivel medio superior se les presenta la dificultad
para resolver problemas razonados.
Debido a esta resistencia opositora para resolver dichos problemas, la presente
investigación pretende lograr que los alumnos se familiaricen con dichos
problemas y con ello logren una acertada transformación de los mismos a
ecuaciones matemáticas para encontrar su solución y así contribuir a que los
estudiantes utilicen las matemáticas para solucionar problemas de la vida
cotidiana.
El logro de esto contribuirá a que en asignaturas posteriores a ésta los alumnos
mejoren su rendimiento y habilidad para resolver problemas.
TÍTULO LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA A TRAVES DE LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS EN EL CONTEXTO
Problema
¿Cómo contribuir a que los alumnos desarrollen habilidades para resolver
problemas que vinculen a las matemáticas con la vida cotidiana en el nivel
medio superior?
Objeto de estudio
El proceso enseñanza - aprendizaje de la matemática del nivel medio superior en
la preparatoria número 20 de la UANL.
Campo de acción
El proceso de formación de habilidades de la resolución de problemas de
matemáticas en los estudiantes de la preparatoria número 20.
Objetivo
Contribuir mediante un conjunto de indicaciones metodológicas a incrementar el
desarrollo de las habilidades de los alumnos para resolver problemas de
matemáticas I y relacionarlos con la vida cotidiana.
Hipótesis
Si se aplica un conjunto de indicaciones metodológicas en la enseñanza de la
resolución de problemas relacionado con el contexto en matemáticas I, basada
en la enseñanza problémica, entonces probablemente se incrementará el
desarrollo de las habilidades de los alumnos, su rendimiento y sus posibilidades
de aplicarlas en la asignatura.
Variable independiente
Indicaciones Metodológicas dirigidas a la enseñanza de la resolución de
problemas.
Variable Dependiente
El rendimiento del estudiante y sus posibilidades de su aplicación.
Método de investigación
Los métodos para la investigación de este trabajo fueron tanto empíricos como
teóricos, entre ellos:
Empleamos el de la observación científica para diagnosticar el problema y realizar
encuestas y entrevistas.
Teóricos:
El histórico - lógico en el análisis de resultados obtenidos.
Hipotético - deductivo, para llegar a la posible solución del problema.
Análisis - síntesis, para el análisis de información de la aplicación de encuestas,
así como el deductivo - inductivo para (legar a conclusiones finales.
Para fundamentar y elaborar esta propuesta se realizaron las siguientes tareas:
Tareas científicas
1. El estudio de material bibliográfico que profundicen la enseñanza de las
matemáticas relacionado con problemas de la vida cotidiana.
2. Estudio de métodos que faciliten la enseñanza y el trabajo independiente del
estudiante para incrementar su rendimiento en la solución de estos problemas.
3. Aplicación de un examen con problemas razonados a un grupo de alumnos
para visualizar las dificultades que se les presentan para resolver dichos
problemas. (Anexo 2 )
4. Entrevista a varios maestros que imparten dicha asignatura con la finalidad de
conocer su punto de vista con respecto a las dificultades que presentaron estos
alumnos en la resolución de problemas. (Anexo 4 )
5. Análisis de los resultados de los exámenes indicativos del último semestre para
determinar los porcentajes de alumnos aprobados y reprobados en las asignaturas
de matemáticas en todos sus niveles.
6. Elaboración de la propuesta metodológica para incrementar el rendimiento de
las matemáticas en problemas de la vida cotidiana.
7. Elaboración de un concentrado de calificaciones de los exámenes indicativos
de todas las materias desde que se inició la reforma académica. ( Anexo 7 )
LA TESINA CONSTA DE 3 CAPÍTULOS
En el primer capítulo se presenta el antecedente del problema, así como el
análisis de encuestas y entrevistas, que nos facilitó la constatación del problema.
En el segundo capítulo se realizó ei planteamiento del Marco teórico sobre la
base de los métodos de la enseñanza problémica, desarrollando procedimientos
Heurísticos en la de resolución de problemas y su fundamentacíón.
En el tercer capítulo se plantea la propuesta metodológica, conjuntamente con
las conclusiones y recomendaciones.
CAPITULO 1
1.1 ASPECTOS GENERALES
La presente investigación fue realizada en la preparatoria número 20 de ia UANL.
Aquí se reseña la forma en que se llegó al problema, su ubicación y como,
mediante la metodología adecuada, se dieron los elementos teóricos
indispensables que sustentan esta investigación.
En esta preparatoria existen actualmente 490 alumnos, de los cuales, el 70 % son
del bachillerato técnico, y sólo un 30 %, estudian el tradicional o único, como se
muestra en el (Anexo 1) .
Esta disciplina consta de cuatro asignaturas: Matemáticas I, Matemáticas II,
Matemáticas III y Matemáticas IV, las cuales tienen asignadas las siguientes
frecuencias por día: 3_, 3_, 2_ y 2_ horas respectivamente.
En los análisis realizados del semestre agosto del 2000 - enero del 2001 de las
evaluaciones de los exámenes indicativos se constató que para:
( Gráficas anexo 5 )
Matemáticas I
El promedio general de la preparatoria fue de 62.25 del cual sólo el 27 % de los
alumnos acreditaron la asignatura y el porcentaje restante no acreditó.
Matemáticas II
En esta asignatura el promedio general fue de 54 y el porcentaje de los alumnos
que lo acreditó fue solamente el 24 % el resto de los estudiantes no acreditó
dicha asignatura.
Matemáticas III
En ésta asignatura el promedio obtenido fue del 57.45, de los cuales, solamente
el 17 % obtuvo calificaciones superiores ai 70 mientras que el 78 % reprobó la
asignatura.
Matemáticas IV
En la presente asignatura el promedio general del grupo fue de 48.20 y los
alumnos que acreditaron dicho examen fue del 15 % y el restante obtuvo
resultados no satisfactorios.
Estos porcentajes señalados en dichas asignaturas conforman la figura de un real
y verdadero problema, cuya repercusión genera una severa fisura en el proceso
docente educativo " PDE misma que no se debe pasar por alto por lo que,
debemos analizar si los métodos y estrategias de enseñanza, son las adecuadas,
para que realmente cumpla con las expectativas de la asignatura y la relación con
las demás, y con el entorno social.
Según nos confirma Vázquez Cedeño
Son muchos y variados los factores que convergen en la integración de un
problema inherente al sistema enseñanza aprendizaje de las matemáticas; entre
otros:
" La impartición de la asignatura"
" El proceso de asimilación de la misma por los alumnos"
" La literatura docente con que se trabaja"
Sin dudar, el primer señalamiento es fundamental y de gran preocupación en todo
proceso docente educativo, por lo que, una vez observados los resultados
estadísticos arriba citados , de inicio, nos preguntamos si:
¿El actual Proceso Docente Educativo realmente cumple con las expectativas de
lo que ia sociedad espera de él?
Por otro lado; ¿ la estructura pedagógica, junto a la didáctica (ambos, con pleno
fundamento, tanto en (os principios y leyes que caracterizan a la educación que
establecen sus fines ), son aplicados en las clases prácticas docentes
preparatorianas.?
De ser así; ¿ por qué los alumnos no dan el rendimiento esperado y con esto se
logre que ellos adquieran la formación mínima necesaria que les permita
desarrollar plenamente su creatividad e inventiva, para que lleguen a la calidad en
su aprendizaje y lo utilicen como la forma más válida y eficaz en que el hombre
perfecciona el mundo del entorno social que le rodea.?
Negar que la educación ha fallado en todo, significa, si lo aceptamos, negamos a
nosotros mismos.
En nuestro caso, es cierto, precisamos de adecuaciones a una vida más llena de
acercamiento hacia nuevos e interesantes descubrimientos y avances, tanto
científicos como tecnológicos, que obligan al hombre a desenvolverse en un
contexto social donde predomina la información, sin embargo, no nos
confundamos, recordemos que quienes nos han conducido al uso de la cibernética
en la industria y demás actividades socio-económico-culturales, fueron educados
bajo el proceso docente educativo vigente.
1.2 CONSTATACIÓN DEL PROBLEMA
Se aplicó un examen de cuatro problemas razonados de la asignatura de
matemáticas I, a 20 alumnos tomados al azar de una población de 31 alumnos
que actualmente se encuentran cursando el cuarto semestre y están llevando la
asignatura de matemáticas IV. ( Examen anexo 2 )
El propósito de este examen fue observar el grado de razonamiento, habilidades
o dificultades que presentan los alumnos para la resolución de problemas
razonados, ya que por experiencia de profesores que llevan años enseñando y la
propia , se ha verificado que en este tipo de problemas es donde mayor dificultad
se les presenta a los pupilos para la resolución de los mismos.
Al aplicar este examen se les dio a los alumnos las indicaciones necesarias para
resolverlo, aclarándoles que se trataba de problemas razonados de matemáticas I,
y que no, por no tener nombre el examen y no se iba a calificar, no le fueran a dar
la importancia requerida, sino al contrario, que hicieran todo el esfuerzo posible
para resolverlo.
El examen nos dio los siguientes resultados.
(Gráficas de resultados anexo 3 ).
Problema 1 consta de 2 incisos
Problema 3 consta de 2 incisos
Problema 3 consta de 3 incisos
Problema 4 consta de 1 inciso
Alumnos problema 1 problema 2 problema 3 problema 4
que a) = 19 a) = 13 a) = 16 a) = 5
contestaron b) = 18 b) = 5 b) = 13
c) = 2
Con los anteriores resultados es evidente que existe un verdadero problema y
que es urgente hacer algo para incrementar tas habilidades, razonamiento y todo
lo que sea posible para que los alumnos puedan superar esta dificultad.
Como ya se ha mencionado estos alumnos ya están por salir del la preparatoria y
se encuentran a un paso para llegar a las aulas de alguna facultad y es evidente
que no todos llevan una preparación adecuada y es evidente que no todos llevan
la preparación que se requiere.
Entrevista a maestros de la asignatura de matemáticas
Se entrevistaron a maestros que imparten la asignatura para comentar las
posibles soluciones del problema; así como los puntos de vista del mismo.
Además de conocer cuál ha sido su preparación y utilización de métodos,
recursos, nuevas formas de actividades etc, al impartir la materia. (Anexo 4 ).
Comentarios de los maestros que imparten la asignatura de matemáticas
referente a la encuesta aplicada a los alumnos.
Los maestros coinciden en que los resultados son bajos y que muestra claramente
la realidad de lo que sucede en la practica, siempre que se ve una nueva
asignatura se refleja el olvido de los contenidos y procedimientos en la resolución
de problemas vistos en asignaturas anteriores de matemáticas.
Pueden ser muchas las causas que limitan a los estudiantes para resolver
problemas razonados, tales como:
a) Que los alumnos no interpretan la terminología.
b) Existe una carencia de capacidad de representar en forma de ecuación un
problema de la vida diaria.
c) Los temas no son bien explicados
d) El alumno no llega a la comprensión de los conceptos.
Además se detectaron otras dificultades que inciden en el proceso docente
educativo como son:
• El programa de estudio responde estrictamente a los capítulos que se
encuentran en el libro de textos sin otras indicaciones. Tiene 7 capítulos. Con
un período de duración de 8 semanas. Cuya frecuencia es de 3 horas diarias.
• No se declaran los objetivos, ni habilidades, ni valores a formar en los
estudiantes.
• A los 490 estudiantes de la preparatoria le imparten clases 5 maestros, de
profesión; de las Licenciaturas en Matemáticas, Física, Contaduría,
normalista y un Ingeniero Eléctrico. Razón por la cual, no se desarrolla ninguna
actividad metodológica que encause el trabajo en el proceso de enseñanza
aprendizaje.
CONCLUSIONES DEL CAPÍTULO 1
Se concluye que hay dificultades con la asimilación de los conocimientos de los
estudiantes, y especialmente en desarrollar las habilidades que le permitan un
buen desempeño en la resolución de problemas. Se pudo constatar que no se ha
logrado de forma colectiva conformar un trabajo en la enseñanza de las
matemáticas, por lo que se evidencia plantearse esta situación como un problema
científico y tratar de resolverla.
CAPÍTULO 2
ELEMENTOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
2.1 ENSEÑANZA PROBLÉMICA
El desarrollo de la independencia cognoscitiva y la capacidad creadora de los
estudiantes sólo es posible en una enseñanza mediante la cual ellos se apropian
de los procedimientos para resolver problemas teóricos y prácticos y reflejan
creativamente la realidad, es decir, a través de la enseñanza problémica.
Esta enseñanza persigue que, medíante el proceso de solución de problemas
especialmente elaborados y de ejercicios problémicos, los estudiantes lleguen a
dominar la experiencia creadora, a asimilar (de manera creadora) los
conocimientos y modos de la actividad en una u otra esfera del saber.
Según M. I. Majmutov: "El aprendizaje problémico es la actividad docente
cognoscitiva de los alumnos, encaminada a la asimilación de conocimientos y
modos de actividad mediante la percepción de las explicaciones del maestro, en
las condiciones de una situación problémica, el análisis independiente (o con
ayuda del maestro) de dichas situaciones, la formulación de problemas y su
solución mediante el planteamiento de suposiciones e hipótesis: o fundamentación
y demostración, así como mediante la verificación del grado de corrección de las
soluciones; se caracteriza lo problémico como "el grado de complejidad de las
preguntas y tareas y el nivel de habilidades del estudiante para analizar y resolver
los problemas de manera independiente".
La esencia de la enseñanza problémica está en la contradicción misma que se
provoca en los estudiantes y que mueve sus emociones, en forma tal que el
alumno realiza toda una serie de acciones mentales encaminadas a dar solución a
la contradicción.
Se caracteriza la Enseñanza Problémica como:
"Aquel método de enseñanza donde los alumnos se sitúan sistemáticamente ante
problemas, cuya resolución debe realizarse con su activa participación, y que el
objetivo no es sólo la obtención del resultado, sino además su capacitación para ía
resolución independiente de problemas en general."
De la anterior sentencia se pueden destacar algunas cuestiones como son:
• Se príoriza la actividad cognoscitiva independiente del alumno.
• Se usa el problema principalmente como un medio y no como un fin en la
enseñanza.
• Se busca garantizar la formación de una personalidad intelectual activa en los
estudiantes.
• Se requiere de una labor más profunda en el ámbito intelectual por parte del
maestro.
• No se relega de ningún modo ia actividad reproductiva en e! proceso de
adquisición de los conocimientos.
La enseñanza debe contener siempre los momentos productivos y reproductivos
en el aprendizaje.
La enseñanza problémica es un método productivo y su inclusión en la didáctica
debe verse como expresión de la dialéctica en el proceso docente de lo
productivo y lo reproductivo del aprendizaje.
2.2 FUNDAMENTOS DE LA ENSEÑANZA PROBLÉMICA
Es en la relación sujeto objeto donde se encuentra la base de esta teoría. Se
constituye en sujeto del conocimiento todo aquel en interés de conocer algo, es
objeto del conocimiento aquello que es de interés de ser conocido por alguien.
La asimilación de la dificultad intelectual, que la solución de esos problemas
plantea, engendra un trabajo activo del pensamiento, la búsqueda de la
superación de dicha dificultad, encamina hacia la obtención de vías y
procedimientos para resolverlos.
Se busca en el estudiante su disposición y capacidad para una actividad
intelectual independiente, en contraposición con la imitación, la copia, la actividad
por un patrón, modelo o algoritmo.
"Por independencia cognoscitiva se entiende la existencia de una capacidad
intelectual en el alumno y el desarrollo de habilidades para dividir los rasgos
esenciales de los secundarios de los objetos, fenómenos y procesos de la
realidad, y mediante la abstracción y la generalización revelar la esencia de los
conceptos nuevos".
Son indicadores de que existe independencia cognoscitiva en los estudiantes si
poseen las habilidades para:
• Adquirir de forma independiente nuevos conocimientos, habilidades y hábitos a
partir de distintas fuentes.
• Emplear esos conocimientos habilidades y hábitos, que ya posee para la
a utos u pera ció n ulterior.
• Emplear en su actividad práctica dichos contenidos para resolver cualquier tipo
de problema planteado por la vida.
La enseñanza problémica trata de vincular los métodos que estimulan la actividad
productiva con los de la reproductiva; la importancia de estos métodos radica en:
Para los estudiantes.
• Eleva el grado de actividad mental en la clase.
• Propicia el pensamiento creador y la independencia cognoscitiva.
• Construye al desarrollo de la personalidad.
Para los profesores.
• Se necesita más tiempo de preparación del profesor.
• Mayor nivel de conocimientos en la materia que imparte.
• Se emplea más tiempo que en la enseñanza tradicional de tipo ilustrativo
explicativo.
• Sus ventajas no se logran en corto plazo.
La categoría fundamental de la enseñanza problémica es; la situación problémica,
son también categorías, el problema docente, la tarea docente, la pregunta
problémica y lo problémico.
Los métodos caracterizan como ejecutar el proceso docente, en este caso éstos
estarán referidos a cómo llevar la práctica, los fundamentos teóricos antes
planteados.
La enseñanza problémica incluye en la actualidad tres tipos de métodos:
• El método por problemas, (método de exposición problémica y método
heurístico).
• El método problémico. (expositivo problémico, elaboración conjunta
problémica).
• El método de trabajo científico - estudiantil, (método de búsqueda parcial e
investigativo).
El método por problemas brinda al estudiante un ejemplo objetivo de las acciones
del proceso cognoscitivo, tanto en la parte expositiva donde el papel activo lo
juega el profesor, como en la elaboración conjunta ( método heurístico ),
preparándolo para que adquiera independencia.
2.3 PROCEDIMIENTO HEURÍSTICO
La heurística como disciplina científica, se caracterizó como un método de
enseñanza mediante el cual se le plantean a los alumnos impulsos que facilitan la
búsqueda independiente de problemas y solución de éstos, donde el maestro no
le informa a los alumnos los conocimientos terminados, sino que los lleva al
redescubrimiento de las suposiciones y reglas correspondientes, de forma
independiente.
La instrucción heurística es ta enseñanza consciente y planificada de reglas
generales y especiales de la misma, para la solución de problemas, para lo cual
es necesario que cuando se declaren por primera vez las mismas explícitamente;
se destaquen de un modo claro y firme, y se recalque su importancia en clases
posteriores hasta que los alumnos las aprendan y las utilicen independientemente
de manera generalizada, por lo que debe ejercitarse su uso en numerosas y
variadas tareas.
El ejemplo de la instrucción heurística en la clase de matemáticas, contribuye a
lograr:
• La independencia cognoscitiva de los alumnos.
• La integración de los nuevos conocimientos, con los ya asimilados.
• El desarrollo de operaciones intelectuales tales como: analizar, sintetizar,
comparar, clasificar, etc.
• La formación de capacidad mental, tales como: la intuición, la productividad, la
originalidad de las soluciones, la creatividad, etcétera.
El objetivo principal de la Heurística es investigar las reglas y métodos que
conducen a los descubrimientos, y a las invenciones, e incluye la elaboración de
principios, reglas, estrategias y programas, que facilitan la búsqueda de vías de
solución a tareas de carácter no algorítmico de cualquier tipo y de cualquier
dominio científico o práctico.
Algunos autores consultados clasifican los elementos heurísticos en dos
categorías: procedimientos heurísticos y medios auxiliares heurísticos.
Los medios auxiliares heurísticos más importantes son:
• Las figuras ilustrativas, esbozos o figuras de análisis.
• Las tablas (en las que se reflejan las relaciones entre los datos).
Los procedimientos heurísticos apoyan la realización consciente de actividades mentales complejas y exigentes.
La introducción de estos procedimientos en la clase y su aplicación por parte de
los alumnos, propicia la asimilación de los conocimientos, su capacidad para
resolver problemas para los cuales no conocen procedimientos algorítmicos, y el
desarrollo del pensamiento creador.
Los procedimientos heurísticos pueden dividirse en principios, reglas y estrategias,
los cuales pueden ser generales y especiales.
Dentro de los principios heurísticos generales se destacan: el de analogía, el de
reducción y el de inducción.
Analicemos cada uno de ellos:
Principio de analogía
El principio de analogía consiste en la utilización de semejanzas de contenido o
forma.
C. Dr. Nikolai Petrov expresa:
" La analogía, como un factor heurístico positivo, puede ayudar en tres
direcciones:
1. Puede aplicarse para que los alumnos descubran una proposición nueva para
ellos, y la formulen;
2. Puede sugerir el método y el procedimiento para la demostración de una
proposición nueva;
3. Puede sugerir la vía para la resolución de un problema, de un ejercicio.
Principio de reducción
Este principio puede ser utilizado de cuatro formas, éstas son:
• La reducción de un problema a otro ya resuelto.
• La reducción consiste en transformar lo desconocido acudiendo a lo conocido.
• Otra forma de reducción se presenta en la demostración de teoremas .
• La modelación que consiste en buscar una interpretación del problema dado.
Principio de inducción
Consiste en llegar a la suposición de que existe una relación general, a partir
del análisis de una serie de resultados particulares.
Las estrategias heurísticas constituyen los procedimientos principales para
buscar tos medios matemáticos concretos que se necesitan para resolver un
problema en sentido amplio; y para buscar la idea fundamental de solución, por lo
que, se les llama también estrategia de búsqueda.
Existen dos estrategias heurísticas que pueden ser aplicadas a cualquier tipo de
ejercicio estas son:
• El trabajo hacia delante o método sintético.
• El trabajo hacia atrás o método analítico.
El trabajo hacia delante se caracteriza por partir de los datos y deducir de ellos lo
que se busca, apoyándose en los conocimientos que se tienen, de manera que se
obtenga la cadena de ideas que permite elaborar et plan de solución.
La estrategia del trabajo hacia atrás se caracteriza por partir de lo que se busca,
apoyándose en los conocimientos que se tienen, analizar posibles resultados
intermedios de los que se puede deducir lo buscado.
PROGRAMA HEURÍSTICO GENERAL
Fases fundamentales Tareas principales
1. Orientación hacia el problema.
2. Trabajo en el problema.
- Comprensión del problema.
* Búsqueda de la ¡dea de la
solución.
* Reflexión sobre los métodos.
* Reflexión sobre la vía.
- Ejecución del plan de solución 3. Solución del problema
4. Evaluación de la solución y de
la vía.
En el programa heurístico general se hacen evidentes al alumno cuatro etapas
que, según el eminente matemático húngaro George Polya se distinguen en el
proceso de resolución de todo problema:
• Comprender el enunciado del problema.
• Encontrar la vía de la solución. Elaboración de un plan.
• Realizar el plan elaborado.
Comprobar la solución y evaluarla críticamente
Los principios heurísticos son de gran utilidad para la búsqueda de nuevos
conocimientos y también sugieren ideas para la solución de diferentes problemas.
Dentro de los principios heurísticos generales se destacan el de analogía, el de
reducción y el de inducción.
La asimilación por elementos de la experiencia creadora y el dominio de algunas
etapas de solución de ejercicios problémicos se garantiza con el método heurístico
de búsqueda parcial.
La conversación heurística constituye la forma más conocida y expresiva de este
método. La misma consta de una serie de preguntas interrelacionadas, cada una
de las cuales constituye un eslabón hacia la solución del problema y la respuesta
de las mismas requiere de la producción de los conocimientos, así como de la
realización de una pregunta de búsqueda.
El proceso de dominio de la experiencia creadora es paulatina, prolongada, y
necesita de cierto modelo de manifestación, aunque sea extema, de este
proceso. Este modelo se ofrece por el maestro mediante la llamada exposición
problémica.
El maestro, mediante la exposición problémica, transmite los conocimientos
científicos no en su forma determinada, sino que muestra, en cierta medida, la via
del descubrimiento de la verdad correspondiente, hace conocer a los alumnos un
problema frente al cual se encontraba la sociedad o un investigador, en una
situación concreta determinada, indica las contradicciones entre el saber actual y
la nueva problemática y, con ello, los alumnos se motivan a hacer proposiciones,
buscar vías de solución, etc.
2.4 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA FORMACIÓN ACADÉMICA
Es necesario tener presente que la utilidad de la matemática en la vida cotidiana,
la ciencia, la tecnología, tiene una relación directa y estrecha con los problemas.
También el desarrollo del razonamiento, de capacidades de análisis y síntesis y de
la inteligencia está vinculado indiscutiblemente a la resolución de problemas.
¿Dónde si no, en los problemas se puede resaltar la utilidad de la matemática en
muchos ámbitos de la vida de los individuos? ¿cómo, si no es con los problemas,
se puede desarrollar la inteligencia o el razonamiento? Por ello, el enfoque de
resolución de problemas ha adquirido importancia en la enseñanza de la
matemática. Hay muchas expresiones al respecto que se atribuyen a matemáticos
o educadores de primera línea como son entre otras:
"aprender matemáticas es hacer matemáticas y hacer matemáticas es
aprender a resolver problemas"
"resolver problemas es el principal objetivo de las matemáticas"
"un alumno no hace matemáticas si no se plantea y resuelve problemas"
Los problemas siempre han estado ligados al desarrollo del conocimiento
matemático.
La necesidad de resolver problemas matemáticos no es privativo de los
matemáticos o los científicos. En la vida diaria tenemos la necesidad de resolver
cierto tipo de problemas.
Existen varías posibilidades para utilizar problemas en la enseñanza,
complemento a la clase, espacio de entretenimiento, aplicaciones de los temas
trabajados, simulación de la actividad matemática o apoyo para la motivación de
algunos temas, entre otros.
La manera en que se utilicen los problemas en la enseñanza implicará una
propuesta didáctica particular.
Si a los estudiantes se les presentan problemas o situaciones problemáticas,
después de que se les ha informado sobre los procedimientos que se pueden
emplear para resolverlos, se convierten en ejercicios rutinarios, en problemas
maquillados, son actividades donde se aplican procedimientos preestablecidos de
manera mecánica. Así una experiencia de aprendizaje importante, una situación
que podría ser un problema interesante se aniquila.
En la enseñanza se han empleado diferentes tipos de situaciones como
problemas: juegos, acertijos y aplicaciones.
Tenemos nociones de ejemplos de juegos como el del cubo de Rubick, el dominó;
entre los acertijos, el de el viejo, la gallina y el lobo, los cuales invitan a pensar y
reflexionar o la discusión de situaciones interesantes, pero especialmente nos
referiremos a los problemas de aplicaciones, sin que eso sea restarle importancia
a los demás antes citados.
Las aplicaciones se refieren al uso de los contenidos matemáticos para resolver o
comprender aspectos dentro y fuera del contexto matemático. Utilizar la geometría
para comprender o resolver problemas algebraicos, e inversamente. También se
pueden emplear los contenidos matemáticos para abordar situaciones de (a física,
química, economía, finanzas, entre otras.
2.5 PROBLEMAS Y PLANTEAMIENTOS DIDÁCTICOS
El uso de los problemas dentro de la planeación de las clases puede requerir
modificaciones substanciales en la práctica docente. Esto debe intentarse al inicio
para no violentar los procedimientos de uso común y provocar dispersión o
confusión.
La presentación tradicional consiste en abordar la teoría, después presentar
ejemplos de los conceptos o procedimientos requeridos para continuar con la
realización de ejercicios; algunos agregan problemas de aplicación, pero no es
una práctica muy generalizada y de alguna manera constituye un paradigma de la
clase ordenada.
TEORIA
EJEMPLOS
EJERCICIOS
¿PROBLEMAS?
Los problemas que planteamos deben ser ubicados antes de abordar la teoría.
El considerar a los problemas al inicio de un tema puede estimular, según ei tipo
que se emplee, el pensamiento de los estudiantes, cumple en este sentido, una
función de motivación, crea una situación problémica, además logramos mostrar
para que le sirven las matemáticas.
Un problema planteado en la introducción de un tema asume una importancia
plena en el tratamiento didáctico.
PROBLEMA El alumno no sabe con que puede abordarlo
TEORIA
PROBLEMA
PROBLEMA
EJERCICIOS
EJEMPLOS El alumno ya sabe con que lo debe abordar
PROBLEMA
Cuando un alumno intenta resolver un problema sin que se le diga el contenido
que puede emplear
• Requerirá poner en juego todas sus habilidades y conocimientos.
• Adquirirá confianza en sí mismo.
• Podrá conocer los alcances o limitaciones de sus estrategias.
• Apreciará la necesidad de trabajar otros contenidos nuevos.
• Conocerá de antemano la utilidad de los temas escolares.
• Contará con un espacio propicio para desarrollar sus habilidades intelectuales.
Un problema contextualizado en el entorno inmediato del estudiante (casa,
comunidad o escuela), permitirá dar sentido a conceptos y procedimientos.
Permite imaginarnos la situación o simularla.
Hay que tener en cuenta que los estudiantes de los diferentes niveles educativos
enriquecen su experiencia cotidiana, la que comparten con su familia y parte de su
comunidad, con los temas abordados en la escuela. La experiencia escolar amplía
su conocimiento y ios pone en contacto con situaciones a las cuales no podían
acceder de otra forma; además los acerca al estudio de diversos fenómenos, que
se requieren tomar en cuenta en la práctica de diversas actividades de la
humanidad.
Mediante la enseñanza en el contexto, se organizan de forma sistèmica los
contenidos, que a su vez revelan los métodos de la ciencia en el contenido del
conocimiento de la misma.
Con la contextúa!ización se puede lograr:
• Una alta motivación de los alumnos.
• Una presentación lógica no tradicional de los contenidos.
• Con una alta coherencia en la exposición de los mismos.
• Una activación de! proceso del aprendizaje de los estudiantes
• Que ei proceso de construcción del conocimiento se haga en un marco
referencial concreto y no descontextualizado.
• Introducir los avances de la ciencia y la didáctica a la enseñanza.
CONCLUSIONES DEL CAPÍTULO 2
En este capítulo hemos querido abordar dentro del marco teórico que nos ocupa
en el trabajo, las principales ideas, vertientes que se analizan respecto a la
enseñanza de la resolución de problemas y como hacerle para que el estudiante
rompa esas barreras de dificultades, cuando se enfrenta a soluciones de
problemas.
Por tal razón, gran parte del capítulo se refiere a las nociones de enseñanza
problémica, y la utilizaciones de las diferentes reglas, aplicaciones y
procedimientos heurísticos,
Por último, nos referimos a la necesidad de abordar la resolución de problemas
en la enseñanza de las matemáticas, con un tratamiento didáctico diferente a la
presentación tradicional, analizando el problema contextuaiizado, lo cual ha sido
la base de nuestro trabajo.
CAPITULO 3
PROPUESTA METODOLÓGICA
3.1CONSIDERACIONES INICIALES
Diseño actual del programa:
Actualmente en el diseño del programa, sólo se cuenta con (os capítulos y los
temas, y en algunos casos, objetivos particulares. Ver (anexo 6).
Como ya se mencionó, son muchas las habilidades, métodos y estrategias que el
maestro puede adquirir para enseñar eficazmente matemáticas, ya que, como las
estadísticas lo indican, ésta es una de las materias que tiene mayor número de
alumnos reprobados.
Una de las razones que podemos argumentar, puede ser la carencia de
habilidades, métodos y estrategias, que los alumnos puedan tener para aprender,
pero por experiencia se sabe que al plantearse un problema en el contexto del
estudiante, éste es mejor comprendido por el mismo.
Aquí, podemos argumentar como lo hacen los estudiosos de la física cuando
afirman que "a toda acción le sobreviene una reacción", que, en materia didáctica
ningún alumno puede apropiarse de una habilidad para aprender, si por el
contrario, el maestro, no aplica una habilidad para enseñar.
Como lo afirma Alvarez de Zayas cuando dice "el hombre será inteligente si se le
ha formado mediante la utilización reiterada de la lógica de la actividad científica.
Un hombre es instruido cuando ha desarrollado su pensamiento, cuando es capaz,
cuando posee la capacidad de resolver problemas en su actividad cotidiana.
La instrucción es el proceso y el resultado de formar hombres capaces,
inteligentes que hayan desarrollado su pensamiento."
Nuestra propuesta consiste en hacer que el profesor incremente el desarrollo de
las habilidades que utilizan los alumnos para solucionar problemas razonados, ya
que se ha observado que éste tipo de problemas es donde presenta mayor
dificultad para su resolución.
Es aquí donde el docente debe aplicar las estrategias, métodos y habilidades que
más se le adecúen para involucrar y motivar a los pupilos a que las matemáticas
tienen un sin fin de aplicaciones en los problemas de la actividad cotidiana.
La reflexión da pie para destacar que a las matemáticas, debemos considerarlas
como la ciencia que nos sirve para resolver, con el fundamento de la razón, los
problemas que la vida diaria nos presenta, en particular, los problemas que en
todo momento la sociedad le plantea a los profesionistas.
Por otra parte, una de las tareas más importantes del maestro, es ayudar a sus
alumnos. Tarea nada fácil. Requiere tiempo, práctica, dedicación y buenos
principios.
El estudiante debe adquirir en su trabajo personal la más amplia experiencia
posible. Pero si se le deja solo frente a su problema, sin ayuda alguna o casi sin
ella, puede que no progrese.
Por el contrarío, si el maestro le ayuda demasiado y nada le deja al alumno para
que razone el problema por si sólo, entonces, en poco se instruirá al alumno.
El maestro debe ayudarle, pero no mucho ni demasiado poco, de suerte que le
deje asumir una parte considerable del trabajo.
Si el estudiante no está en condición de hacer mayor cosa, el maestro debe
mantenerlo al menos con la ilusión del trabajo personal. Para tal fin, el maestro
debe ayudar al alumno discretamente, sin imponérsele.
3.2 FORMULACIÓN DE LA PROPUESTA
Generalmente, los métodos de enseñanza jamás se aplican aislados, sino que se
interrelacionan unos con otros. La selección de estos métodos y la forma en que
esto se logra, depende de diversos factores, tales como:
- La preparación, tanto matemática como pedagógica, de los maestros.
- El nivel de preparación de los estudiantes.
- Los tipos de contenidos.
- Los objetivos del aprendizaje.
El tiempo disponible en el programa.
Las características psicológicas de los estudiantes.
El grado de desarrollo de sus habilidades.
En particular, para determinar cuándo resulta apropiada la utilización de la
enseñanza problémica en el tratamiento de la asignatura se deben considerar
aquellos contenidos que demandan una mayor utilización de formas de
pensamiento no algorítmicas, dando preferencia a aquellos para los cuales se
exigen niveles de asimilación aplicativo o creador.
A su vez, para decidir cuál método problémico utilizar, debe tomarse en cuenta el
nivel de relación de dicho contenido con los temas precedentes y las
particularidades físico-psicológicas de los alumnos, sobre la base de que el
método de búsqueda parcial es el que puede ser utilizado con frecuencia, aunque
es conveniente incorporar, en la medida de lo posible, los dos restantes métodos
problémicos.
Atendiendo a estos aspectos, proponemos las siguientes indicaciones
metodológicas, de manera que el maestro pueda ayudar a desarrollar en el
alumno habilidades en la resolución de problemas:
• Planificar y organizar su programa analítico. Labor previa donde el profesor
debe tener entre otros aspectos definidos de la materia;
Características generales de la Materia.
Objetivos, Contenidos (sistema de conocimientos, habilidades, valores)
Distribución por unidades en correspondencia del tiempo, actividades
académicas y sus objetivos específicos, conocimientos y habilidades.
Sistema evaluativo.
• Análisis y determinación de métodos y recursos en cada unidad, en función del
cumplimiento de los objetivos, relación con el contenido, características de los
estudiantes y posibles contextualizaciónes.
• En el desarrollo del proceso en si, en cada tema o unidad se recomienda
emplear la enseñanza problémica tomando como referencia la propuesta
siguiente:
P resentación de una situación problémica.
R econocer el problema.
0 bservar las variables involucradas en el problema.
B úsqueda de estrategias posibles.
L aborar en el inicio del proceso de solución.
E nseñanza del contenido en cuestión.
M an if estar su aplicación en el proceso de solución.
1 nmiscuirse en la solución del problema.
T ra bajar retrospectivamente.
A fianzar los conocimientos adquiridos.
Basada en el espíritu de la resolución de problemas, discutida, analizada y puesta
en práctica por varios maestros que junto al que escribe, aplicamos en nuestra
preparatoria como soporte para estructurar los métodos productivos de enseñanza
(Tamez G. Azucena 1999).,
Una metodología a seguir para la contextualización:
• Investigación para seleccionar entre posibles contextos en los temas
seleccionados, aquellos que satisfagan los requisitos establecidos y escoger
los más adecuados acordes a los objetivos previstos.
• Planteamiento del tema contextualizado y la elaboración del programa para el
contexto escogido. Significa esto elegir la propuesta de situaciones
problémicas de relevancia que en el mismo se satisfacen, a partir de los cuales
se reestructura el contenido.
• Elaboración de preguntas guías, que de forma similar a la enseñanza
problémica, garantizan el hilo conductor a su vez que propician el debate y
reflexión en los estudiantes.
• Elaboración del sistema de medios de enseñanza para el tema
contextualizado.
• Propuestas de actividades típicas de aprendizaje acorde a las etapas del
proceso de asimilación, priorizándose las actividades de carácter práctico.
Hay que señalar que la aplicación de esta metodología requiere, por parte del
maestro, un gran dominio de contenido y gran creatividad.
El profesor debe evaluar continuamente el trabajo de ios alumnos, tomando como
fuente útil de información para su trabajo el análisis de los errores cometidos por
ellos en todo el proceso de resolución del problema. Aunque resulte imposible una
observación cotidiana de cada uno de ios alumnos, si es posible una observación
más o menos regular en la que no sólo se dedique una atención individual sino
que se tenga en cuenta la actuación del alumno en pequeños grupos y se evalúen
los procesos de solución del alumno, y no sólo sus resultados finales.
Incluso, una de las aspiraciones mayores que se podría tener dentro del proceso
de enseñanza-aprendizaje sería lograr que el propio estudiante identificara una
situación problémica y la trajera al aula, es decir, que la situación problémica no
partiera del maestro, sino que fuera creada por los propios estudiantes, a partir de
sus propias inquietudes cognoscitivas.
Pero para llegar a ese nivel, el maestro tendría que estar capacitado, tanto
pedagógica como matemáticamente, para poder aprovechar esa situación
problémica dentro del proceso. Evidentemente, ello permitiría contar con un
alumno enteramente involucrado en el análisis de la situación. Ya seria un alumno
que tendría una actitud investigativa: que ve un fenómeno, se lo cuestiona,
encuentra contradicciones y se plantea el problema.
Trabajar con esta metodología hace una demanda al docente mucho mayor desde
el punto de vista del conocimiento de su ciencia y desde el punto de vista del
dominio de ios métodos pedagógicos que la que le plantea la enseñanza
tradicional, en la cual el profesor no tiene que hacer ningún tipo de elaboración
metodológica del contenido, pues lo presenta muchas veces tal como está en una
secuencia de un libro, o en la forma que él vio que lo hizo uno de sus maestros,
por pura imitación. No aparece así el elemento creativo que tiene que existir en
toda actividad docente.
En ésta forma, el diseño de clase diaria, debe seguir una metodología tal que de la
habilidad docente, los alumnos se apropien de habilidades para su aprendizaje por
lo que, a manera de ejemplos proponemos los siguientes casos: (Ver anexo 8 )
3.3 IDENTIFICACIÓN DEL TEMA
Nombre de la unidad: Ecuaciones lineales (Capitulo 4 )
Asignatura: Matemáticas I
Nivel: Medio Superior
Fundamentación y Lineamientos.
1. Objetivo General del Curso: Desarrollar la capacidad de razonamiento lógico,
mediante el análisis, la síntesis, la inducción, la abstracción y la correlación con
otras ciencias en la búsqueda de soluciones y planteamientos del hombre y su
medio.
2. Descripción, Propósitos y Relación con otros Cursos: Debemos asumir el
hecho de que; el propósito fundamental con éste y todos los demás temas que
abordamos del contenido programático de cualquier módulo de la asignatura
de Matemáticas, básicamente pretende desarrollar en el alumno un conjunto
de habilidades académicas que ie permitan descubrir su capacidad de
razonamiento lógico, cuando, a partir del nivel de asimilación del conocimiento,
logra: primero, abstraerlo y, después, generalizarlo, aplicándolo en forma
sistemática en múltiples casos, tanto en otros campos del ser humano como en
la vida diaria, sobre todo; en el ejercicio práctico de cualquier profesión.
3. Propósitos del Contenido que se aborda.
Objetivos:
• Del capítulo. A partir de la relación de igualdad, conceptualizar: desigualdad,
ecuación, ecuación condicional, identidades e inecuaciones, asi como
variables y constantes y, además, resolver ecuaciones lineales en sus distintas
modalidades, aplicándolas como modelos matemáticas.
• Del tema. "Tener la habilidad de resolver ecuaciones que requieran más de
una transformación".
4. Relación con otros contenidos del curso: Inicialmente; con Sistemas de
Ecuaciones Lineales con dos o más variables, Ecuaciones Cuadráticas, con
Radicales y, luego, en los demás módulos del Plan de Estudios.
5. Conocimientos Previos requeridos por el estudiante: Aplicación de los
propiedades de los números reales, en las operaciones con expresiones
algebraicas en general.
3.4 EJEMPLIFIC ACIÓN
A continuación se presenta un ejemplo del diseño de una clase utilizando ta
metodología propuesta.
Presentación de la situación problémica
Para despertar la inquietud del grupo se comenta el problema en forma verbal.
Problema
Un grupo de alumnos de la preparatoria está organizando un viaje de excursión a
las Grutas de García y piensan rentar un autobús para el viaje. Ellos piden
presupuesto en dos compañías. La primer compañía renta el autobús en $500
pesos por día más $5 pesos por kilómetro recorrido y la segunda compañía ofrece
un autobús similar y les cobra $900 pesos por día más $2.50 por kilómetro
recorrido.
• Se les pide a los alumnos que encuentren el número de kilómetros para el cual,
las dos compañías cobran lo mismo.
Reconocimiento del problema
Para garantizar la comprensión del problema en forma verbal se pueden hacer las
siguientes preguntas:
Profesor. ¿ Pueden explicar con sus propias palabras la situación del problema?
Alumno : Si, se quiere saber ¿cuál es el número de kilómetros en que las dos
compañías cobran lo mismo?.
Observar las variables involucradas en el problema
Profesor ¿Cuáles son ios datos conocidos y la variable involucrada en este
problema?.
Alumno: Primer compañía cobra $500 pesos más $5 pesos por kilómetro.
Segunda compañía cobra $900 pesos más $2.50 por kilómetro.
Variable desconocida número de kilómetros.
v Búsqueda de estrategias posibles
Profesor: ¿Alguno de ustedes sabe como encontrarían el número de kilómetros
para el cual, las dos compañías tienen el mismo costo ? .
Alumno : sí, en forma de tabulación, es decir, incrementando el número de
kilómetros en cada compañía.
Profesor: Haber, vamos a encontrar por prueba y error el número de kilómetros
donde las dos compañías cobran lo mismo.
Laborar en el inicio del proceso de solución.
Profesor: Para encontrar el costo de cada compañía, es necesario ir
incrementando el número de kilómetros y compararlos para ver
cuando los costos de ambas son iguales.
• Aquí, el maestro puede sugerir a los alumnos que empiecen con múltiplos de
50.
Profesor ¿ Cuál es la expresión que nos dará el costo de la primer compañía?
Alumno: Primer compañía = $500.00 + $5.00 x Kilómetro
Número de
Kilómetros 50 Kms. 100 Kms. 150 Kms. 200 Kms.
Costo del
Viaje $ 750.00 $ 1000.00 $ 1250.00 $ 1500.00
Profesor. ¿Cuál es la expresión que nos dará el costo de la segunda compañía?
Alumno: Segunda compañía = $900.00 + $2.50 x Kilómetro
Número de
Kilómetros 50 Kms. 100 Kms. 150 Kms. 200 Kms.
Costo del
Viaje $ 1025.00 $ 1150.00 $ 1275.00 $ 1400.00
El alumno aquí se da cuenta que el número de kilómetros se encuentra entre 150
y 200, por lo que ahora, hace otra prueba de ensayo y error pero de 5 en 5 Kms.
Primer compañía $ 500.00 + $ 5.00 x Kilómetro
Número de
Kilómetros 155 Kms. 160 Kms. 165 Kms. 170 Kms.
Costo del
Viaje $ 1275.00 $ 1300.00 $ 1325.00$ $ 1350.00
Número de
Kilómetros . 155 Kms. 160 Kms. 165 Kms. 170 Kms.
Costo del
Viaje $ 1287.50 $ 1300.00 $ 1312.50 $ 1325.00
Como se puede observar en 160 kms. Recorridos el costo en ambas compañías
es el mismo.
Enseñanza del contenido a introducir.
Profesor Como se puede observar este método de ensayo y error es muy
tardado, por lo que si, se analiza de nuevo el problema, la pregunta es:
¿Cuál es el número de kilómetros donde las dos compañías cobran la
misma cantidad ?.
Profesor ¿Cuál fue la expresión que utilizaron para sacar los costos de la primer
compañía?. Y ¿Cuál fue la expresión para la segunda compañía?.
Alumno: Primer compañía = 500 + 5 x y la segunda compañía = 900 + 2.5 x
Profesor La variable que se quiere encontrar es " x " que representa el número de
Kilómetros.
Manifestar su aplicación en el proceso de solución.
Profesor: Vamos a igualar estas dos expresiones
Primer compañía = Segunda compañía
500 + 5 x = 900 + 2.5 x
Profesor:¿ Puede despejarse de esta ecuación la variable que indica el número de
kilómetros?
Alumno: Sí.
Inmiscuirse en la solución del problema.
Profesor: ¿Cuál es el procedimiento?
Alumno: Pasando los términos que contengan la variable al lado izquierdo y los
términos que no tienen variable hacia el lado derecho.
Profesor: ¿Cómo quedaría entonces la ecuación?
Alumno. 5 x - 2.5 x = 900 - 500
Profesor: Encuentren el valor de la variable.
Alumno: 2.5 x = 400 x =400 /2 ,5 x = 160
Profesor: ¿Se esperaba éste resultado?
Alumno: Sí, el valor de x debería estar entre 150 y 200 Kilómetros.
Trabajar retrospectivamente.
Profesor: Sustituyan este valor de x en la ecuación y verifiquen si se cumple la
igualdad.
Alumno: 500 + 5
Alumno: Sí, se cumple la igualdad.
Afianzar los conocimientos adquiridos.
Profesor. ¿ Cual es la compañía más económica para realizar el viaje, si el viaje
tiene un recorrido de por lo menos 190 kilómetros y se hace en el
mismo día?.
Alumno: La segunda compañía es la mas económica ya que el recorrido en
mayor de 160 Kms.
Profesor: Cual es el costo del viaje si el recorrido fue de 208 Kms.
Alumno: Costo = 900 + 2 . 5 ( 2 0 8 )
Costo = 900 + 520
Costo = 1420.
De la forma que hemos abordado las indicaciones metodológicas en este trabajo,
hemos querido mostrar nuestra propuesta didáctica y algunos problemas para
extractase la cual supuestamente debe incrementar los resultados académicos.
(Ver anexo 8).
CONCLUSIONES DEL CAPÍTULO 3.
La propuesta didáctica que se plantea exige del maestro un dominio del contenido
a impartir, así como un trabajo previo de índole metodológico del maestro para
un desarrollo eficaz de la enseñanza que garantice una verdadera asimilación en
los estudiantes. Además se propone una metodología a seguir para contextualizar
el contenido a impartir que contribuya a una motivación y desarrollo de las
habilidades en los estudiantes.
Un factor fundamental para lograr que los alumnos se interesen en las
matemáticas es aplicarles problemas que involucren la acción de las mismas en
problemas que para ellos les sirva y puedan aplicarlos a sus compañeros en forma
de adivinanzas o juegos.
Esto será de gran utilidad para motivarlos y lograr que se interesen en la
asignatura y así contribuir a una mejor asimilación de los conocimientos a corto,
mediano y largo plazo.
CONCLUSIONES DEL TRABAJO
Algunas de los aspectos que se han expuesto puede parecer deficiencias de
algunos docentes, pero más que eso, resulta una muestra de que algo falta para la
formación matemática por la que hemos pasado y por su puesto el enfoque de la
resolución de problemas retomada en el contexto nos puede ayudar.
Indudablemente aprender matemáticas no solamente es reproducir información,
aplicar o decir adecuadamente un teorema una fórmula o algoritmos, es una
actividad en la que se involucran diversos factores y capacidades de las personas.
Es de señalar que el enfoque de resolución de problemas no es algo que se pueda
desarrollar con los planteamientos curriculares simplemente. Por ello quien lo
aplique debe tener en mente en esto para dosificar los contenidos que se deben
cubrir, lo cual se hará en distintos momentos del curso.
Lo más importante en todo es tener una actitud de apertura y disposición al
cambio constante, tanto de formas de trabajo como de concepciones.
RECOMENDACIONES
Se recomienda a partir de este trabajo:
• Comenzar a desarrollar juntas académicas con los maestros que imparten las
asignaturas, poniéndolo en ejecución las indicaciones aquí sugeridas.
• Realizar en la distribución de los contenidos la contextualización siempre que
sea factible.
• Realizar finalizado el primer semestre de transcurrido la labor por estas
indicaciones un análisis de constatación de resultados.
BIBLIOGRAFÍAS
1. Tamez Guerra Reyes S. Visión 2006 Universidad Autónoma de Nuevo León
Febrero de 1998
2. Alvarez de Zayas Carlos M. "Metodología de la investigación científica".
Editorial Centro de estudios de educación "Manuel F Gran", Santiago de Cub,
1995.
3. Ballester y otros. Metodología de la enseñanza de las Matemáticas ,UH.
Cuba. 1885 Muñoz Razo Carlos "Cómo elaborar y asesorar una investigación
de tesis".
4. Cantú J. Héctor. Propuesta didáctica 1999.
5. Mancera Duardo. Saber Matemáticas es saber resolver problemas.Edit.
Iberoamericana, México 2000.
6. Gutiérrez Álvarez M. Apuntes del curso problemas actuales de la enseñanza
de las Matemáticas. Maestría. UANL. 2000.
7. Portuondo Padrón y otros. Algunos aspectos de la enseñanza problémica.
CECEDUC. UC. Cuba. 1999.
8. Tamez V. G. Azucena. Propuesta didáctica 1999.
ANEXOS
ESC. PREPARATORIA NUM. 20 ESTADISTICA DE POBLACION SEMESTE DE AGOSTO DE 2000 A ENERO DE 2001
GRUPO HOMBRES MUJERES TOTAL 1AT 26 14 40 1BT 23 17 40 3AT 24 12 36 3BT 15 16 31 1AC 7 16 23 1BC 9 17 26 1CC 8 18 26 3AC 11 11 22 3BC 9 11 20 3CC 7 12 19 5AC 10 17 27 5BC 10 15 25 5CC 11 15 26 1AE 29 0 29 3AE 18 0 18 5AE 16 0 16 1AS 10 12 22 3AS 10 13 23 5AS 7 14 21 TOTALES 259 228 490
Total de alumnos por carrera: Bachillerato Unico
1er. Sem. = 80 3er. Sem. = 67
Tec. en Sistemas Computacionales: 1er. Sem. = 22 3er. Sem. = 23 5to. Sem. = 21
Tec. en Contabilidad: 1er. Sem. = 75 3er. Sem. = 61 5to. Sem. = 78
Tec. en Electricidad: 1er. Sem. = 29 3er. Sem. = 18 5to. Sem. = 16
Total General: 1er. Sem. = 206 3er. Sem. = 167 5to. Sem. = 114
Total de Grupos: Grupos = 19
Total de Alumnos Sem. Agosto de 2000 a Enero de 2001 = 490 alumnos.
1 ? o3J
Examen de problemas razonados de matemáticas I aplicado a un grupo de 20
alumnos que se encuentran cruzando la asignatura de matemáticas IV
1.- Problema de un taxi
Cuando inicia la carrera un taxi, su taxímetro marca $3.00. Una vez que el taxi
empieza a viajar esta cantidad aumenta a razón de $1.60 por kilometro recorrido.
Suponiendo que x es el número de kilómetros recorridos:
a) Escribe una expresión para la cantidad a pagar después de x kilómetros.
b) ¿Cuánto pagarías después de 5 km?
2.- Problema de trenes.
Dos trenes distantes entre sí 600 km van al encuentro uno del otro por vías
paralelas. El primero a 70 km/h y el segundo a 130 km/h. ¿En qué tiempo y lugar
se cruzarán?
3.- Problema de la temperatura.
La temperatura en Monterrey es de 42°C y está descendiendo con una rapidez de
1.8°C por hora. La temperatura en Saltillo es de 18°C y está ascendiendo con una
rapidez de 2.4°C por hora.
A) Escribe una expresión que represente la temperatura en cada lugar después
de x horas.
B) Escribe una ecuación expresando que ambos lugares tienen la misma
temperatura.
C) ¿Cuántos °C son, cuando ambos tienen la misma temperatura?
4.-Problema de razón
• La razón de dos enteros es 9:7. Su suma es 1024. Encuentra los dos enteros.
Resultados del examen que se les aplicó a los alumnos
• Problemas
ANEXO 3.2
Resultados del examen que se les aplicó a los alumnos
H Problemas
1.3 Entrevista a maestros que imparten la asignatura para comentar las
posible soluciones del problema así como los puntos de vista del mismo.
Se les hizo el siguiente cuestionario:
1) ¿Que opina de los resultados obtenidos en el examen?
2) En el caso del problema numero 4 a que cree que se debe el bajo numero de
alumnos que lo resolvieron
3) ¿Qué aria usted para mejorar el rendimiento de los alumnos en la resolución
de problemas razonados?
4) Cómo usted planifica y organiza su curso.
Aprobados y Reprobados del los examenes indicativos del semestre ago. 2000- ene.2001
Mat. I Mat. II Mat. III Mat. IV
• Aprobados • Reprobados
Matematicas I Matematicas II
_ 2 4 %
B Aprobados • Reprobados | j B Aprobados • Reprobados J
Matematicas III
2 2 %
Matematicas IV
1 7 %
8 3 %
jBAprobados • Reprobados | | f l Aprobados • Reprobados |
Contenido del libro de texto
CAPÍTULO 1
OPERACIONES CON POLINOMIOS 11 Terminología algebráica 1.2 Introducción a las operaciones con polinomios 1.3 Reducción de términos semejantes 1.4 Signos de agrupación 1.5 Adición de polinomios 1.6 Sustracción de polinomios 1.7 Multiplicación algebráica 1.8 División algebráica 1.9 Notación científica
1.10 Simplificación de expresiones algebráicas con signos de agrupación
CAPÍTULO 2 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN 2.1 Polinomios, multiplicación y factorización
2 1.1 Producto de dos polinomios 2.1.2 Factorización de trinomios cuadráticos 2.1.3 Factorizando una diferencia de dos cuadrados 2.1.4 Binomio elevado al cuadrado 2.1.5 Factorizando binomios cuadrados perfectos 2.1.6 Factorización de suma ó diferencia de dos cubos
2.2 El máximo factor común 2.3 Factorizando polinomios que tienen factores comunes 2.4 Binomios como factor común 2.5 Factorización por agrupamiento ( asociación ) 2.6 Factorización de trinomios de segundo grado
CAPÍTULO 3
EXPRESIONES ALGEBRÁICAS RACIONALES 3.1 Introducción a las expresiones algebráicas racionales 3.2 Simplificando expresiones algebráicas racionales 3.3 Multiplicación y división de expresiones racionales 3.4 Mínimo común múltiplo 3.5 Suma y resta de expresiones racionales 3.6 Combinación de operaciones y casos especiales
CAPÍTULO 4
ECUACIONES LINEALES 4.1 Introducción a las ecuaciones lineales 4.2 Ecuaciones que necesitan dos transformaciones 4.3 Ecuaciones con términos semejantes 4.4 Aplicando la propiedad distributiva en ecuaciones con términos semejantes 4.5 Ecuaciones que contienen variables en ambos miembros 4.6 Ecuaciones que involucran decimales 4.7 Ecuaciones literales y fórmulas 4.8 Ecuaciones lineales como modelos matemáticos 4.9 Ecuaciones fracciónales y soluciones extrañas 4.10 Problemas que involucran razón y proporción
CAPÍTULO 5
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES 5.1 Evaluando expresiones y ecuaciones que contienen dos variables 5.2 El sistema de coordenadas cartesiano 5.3 Gráfica de ecuaciones que contienen dos variables 5.4 Encontrando la intersección de dos gráficas 5.5 Solución de sistemas de ecuaciones lineales por sustracción 5.6 Solución de sistemas por el método de combinación lineal 5.7 Problemas que involucran dos variables
CAPÍTULO 6
ECUACIONES CUADRÁTICAS 6.1 Ecuaciones que contienen valor absoluto y ecuaciones con cuadrados 6 .2 Ecuaciones con trinomios cuadráticos perfectos 6.3 Completando el cuadrado 6.4 Resolviendo ecuaciones cuadráticas por el método de completando al
cuadrado 6.5 La fórmula cuadrática 6.6 Resolución de ecuaciones cuadráticas pro factorización 6.7 Problemas con movimiento vertical
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CAPÍTULO 7
EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON RADICALES 7.1 Introducción a las expresiones con radicales 7.2 Sumas, diferencias y productos de radicales 7.3 Cocientes con radicales 7.4 Binomios con radicales 7.5 Raíces cuadradas de expresiones 7.6 Ecuaciones con radicales 7.7 Números racionales e irracionales
PROBLEMAS SUGERIDOS PARA EXTRACLASE
A continuación se presentan algunos problemas que se pueden utilizar para
incrementar la motivación, razonamiento y habilidades de los estudiantes para
resolver problemas de la vida diaria.
1.- Si un juego de pluma y lapicero cuesta $ 27.80 y sabemos que la primera vale
$ 8.00 más que el segundo, encuentra el precio de cada articulo.
2.- El presupuesto familiar.
Una persona destinó 1 / 3 parte de su salario mensual para comprar alimentos y
1/2 para pagos diversos; si le sobraron $500 ¿cuánto gana mensualmente?
3.- Diofanto fue un matemático griego, a quien se le ha llamado "Padre del
Álgebra". Dominó perfectamente la resolución de ecuaciones lineales.
En su sepulcro fue escrito un epitafio en forma de acertijo. Si logras resolverlo,
descubrirás cuántos años vivió Diofanto.
Dice algo similar a lo siguiente:
" Su hermosa infancia constituyó una sexta parte de su vida y su juventud una
doceava parte de la misma.
La séptima parte de su vida transcurrió en un matrimonio estéril. Un quinquenio
después nació su primogénito, cuya existencia duró la mitad de la de su padre,
quien sobrevivió sólo cuatro años después del deceso de su hijo". ¿Cuántos años
vivió Diofanto?
4.- Imagine que han ganado un premio y tienen que elegir entre dos opciones:
Recibir $ 2000 pesos diarios durante un mes, o bien, recibir 1 peso el primer día, 2
el segundo, 4 el tercero, 8 el cuarto y así sucesivamente hasta el número 30.
¿ Qué conviene más? Justifiquen su respuesta.
Dejar que los alumnos discutan por equipos cuál es la mejor opción. Es muy
común que piensen que la propuesta de $ 2000 diarios conviene más. sin
embargo, debe pedírseles que justifiquen el resultado y así comprobar que la
segunda opción es mejor.
5 .- Pida a los alumnos que hagan lo que se indica a continuación ( de manera
individual):
a) Piensen un número del 1 al 10.
b) Súmenle 2.
c) Eleven el resultado al cuadrado.
d) Réstenle cuatro veces el número que pensaron.
Pida a varios alumnos que digan el resultado al que llegaron y adivine el número
que ellos pensaron.
Dirigir a los alumnos a encontrar la ecuación que permite encontrar el número que
se pensó.
6 El peso de una manzana es igual al peso de una naranja más 100 gramos. El
peso de dos manzanas es igual al peso de tres más 100 gramos. ¿ Cuántos
gramos pesa una manzana y cuántos pesa una naranja?.
7.- ¿Una buena o mala decisión?
Al remodelar una plaza de forma cuadrada, se modificó la forma del jardín, pues
se agregaron 2 metros de frente y se le quitaron 2 metros de fondo.
¿Qué modificación sufrió su área?
8 .- ¡Para divertirse un rato!
Al acudir a un circo, una familia de 2 adultos y un niño pagó N$26 de entrada,
mientras que 1 adulto y 3 niños pagaron N$28. ¿Cuál es el precio del boleto de
entrada de un adulto y cuánto pagan los niños?
9.- ¡Un día de compras!
En un mercado el kilogramo de pera vale 2 pesos más que el kilogramo de
plátano. Si al comprar 2 kilogramos de pera y 2 de plátano se pagaron N$10.00,
¿cuánto vale el kilogramo de cada fruta?
10.-En una cancha de tenis el largo es el triple que el ancho; Si la cancha tiene
una superficie de 192 m2 ¿Cuáles son sus dimensiones?. Justifica tu respuesta.
