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Funciones y derivadas
Vicenç FontUniversidad de Barcelona
• En la primera parte se comenta, fundamentalmente, la incidencia que puede tener en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las funciones considerar sus diferentes tipos de representación y las conversiones entre ellas.
• En la segunda, se aborda la pregunta ¿qué tipo de técnicas de cálculo de la derivada en un punto y de la función derivada tienen que incorporar una unidad didáctica sobre derivadas en el Bachillerato?
• Por último, en la tercera parte se reflexiona sobre el papel que juega la metáfora en la representación gráfica de funciones.
Funciones y derivadas I
Funciones
HOJAS DE TRABAJO 1
Resolución y valoración de una lista de problemas de funciones, extraídos de libros de texto usados en España, correspondientes a la enseñanza secundaria obligatoria (14-16 años)
COMENTARIO DE ALGUNOS PROBLEMAS
2) Debemos cambiar los cristales de unas ventanas cuadradas. El precio del cristal es de 0,5 euros por cada decímetro cuadrado. Elabora una tabla de valores, dibuja una gráfica y determina una fórmula que permita calcular directamente el coste para cada longitud del lado de la ventana.
Problema contextualizado. Traducción entre diferentes formas de representación de las funciones
3a) ¿Cuántos litros hay en el depósito en el momento de la salida? ¿ Y en el de llegada?
b) ¿En que kilómetro se encontraba cuando tenia 10 litros? ¿Y cuando tenia el deposito mas lleno?
c) ¿Qué sucedió en el kilómetro 80? ¿Y en el 240? ¿cuándo puso más gasolina?
d) ¿Cuántos litros consumió durante el viaje? ¿cuándo gastó más gasolina?e) ¿Cuál fue el consumo medio (litros por cada 100 km) en este viaje?f) ¿Se puede saber el tiempo que tardó en hacer el viaje? ¿Y la velocidad?g) ¿ La gráfica observada la consideras una función?¿Por qué?h) Construye otro gráfico, buscando otra variable para el eje de las abscisas,
relacionada con la situación de manera que la gráfica obtenida sea una función
i) ¿ Qué diferencia hay entre este gráfico y el anterior?
Lectura e interpretación
GRÁFICAS CARTESIANAS: LECTURA E INTERPRETACIÓN
Lectura:
Cuando tratamos de obtener información de una gráfica, se realizan las siguientes actividades:
•Identificar variables representadas en c/u ejes
•El significado del origen, la unidad y la graduación de los ejes
•Identificación de los puntos de la gráfica (cálculo de imágenes y antiimágenes)
•Identificar si un punto dado pertenece o no a la gráfica
Interpretación:
Debemos partir de las actividades de lectura de gráficos para iniciar la inter-pretación del mismo, pero no es suficiente:
• Capacidad para describir la función representada de forma global, atendien-do a las características generales de la gráfica (variaciones que presenta).
• En lugar de puntos determinados seránecesario considerar intervalos en los que se mantiene o se modifica de una determinada manera la variación de la función.
Evolución del peso de un chico y una chica hasta los veinte años
Pregutas de lectura
- ¿Cuál era el peso de Enrique a los nueve años? ¿Y el de Rosa a los diecisiete?
- ¿A que edad Enrique pesaba 50 Kg? ¿Y Rosa 20 Kg?
- ¿Cuándo Enrique pesaba mas de 40 Kg? ¿Y Rosa menos de 30Kg?
Y otra que se refiere más propiamente a la interpretación de la gráfica:
- ¿Cuándo Enrique pesaba mas que Rosa? ¿cuándo pesaban igual?
- ¿Cual fue el aumento de peso de Rosa entre los diez y los quince años?
- ¿cuándo aumentó Rosa más rápidamente de peso? ¿Y Enrique?
Descripción verbal ↔ Gráfica
Tabla → Gráfica
• b) A los 3 segundos• c) En el eje de ordenadas se representa la
distancia del hombre al avión, y ésta va aumentando.
Se trata de combatir la idea de que una gráfica es un “dibujo” de la situación
• Las respuestas de 6 profesores de una universidad al problema fueron:
UNA AFIRMACIÓN PARA LA REFLEXIÓN
• El hecho de utilizar los objetos matemáticos de manera descontextualizada con rigor y competencia (por ejemplo las funciones), no asegura que dichos objetos se pueden aplicar correctamente a la resolución de problemas contextualizados no rutinarios (problemas que no sean simplemente un decorado).
• La enseñanza formalista y descontextualizada no tiene muy presenta el CRITERIO ECOLÓGICO (competencia profesional)
De la enseñanza formalista de las funciones a la enseñanza contextualizada
Problema 1. • Se considera la función R → R dada por x→ 1/ (x2 + 6) ¿Es
una función real de variable real? En caso afirmativo, halla su dominio de definición (es decir, su máximo dominio).
Problema 2• Debemos cambiar los cristales de unas ventanas cuadradas. El
precio del cristal es de 0,5 euros por cada decímetro cuadrado. Elabora una tabla de valores, dibuja una gráfica y determina una fórmula que permita calcular directamente el coste para cada longitud del lado de la ventana.
PROBLEMA 1
• Se trata de un problema de un libro de texto usado en instituciones de secundaria de Catalunya.
• Se trata de un libro de texto que fue usado hace unos 25-30 años aproximadamente, pero cuyo uso ahora es“impensable”.
• Se trata de un libro de texto que “vivió” en las institucionesde secundaria de Catalunya, pero que ahora se ha extinguido en dichas instituciones.
CARACTERISTICAS DE LA UNIDAD (Problema 1)
• El concepto de función se define como un caso particular de relación
• Se presenta de una manera descontextualizada.• Las situaciones problema sólo tienen la función
de concretar el concepto de función, en ningún caso sirven para que se construya dicho concepto a partir de ellas.
• Lenguaje conjuntista.• No se contemplan las conversiones entre
diferentes formas de representación excepto la conversión de expresión simbólica a gráfica.
• Se explicitan muchas propiedades (estructuras).
• Son necesarios muchos conceptos previos(relación, producto cartesinao, etc.).
• La metodología implícita es la siguiente: el profesor define los conceptos, pone ejemplos y demuestra propiedades (de manera deductiva) mediante una clase magistral. Los alumnos han de aplicar dichos conceptos y propiedades a la resolución de problemas descontextualizados.
CARACTERISTICAS DE LA UNIDAD (Problema 2)
• La unidad sigue la estructura siguiente: a) problemas contextualizados introductorios, b) desarrollo de la unidad didáctica con problemas contextualizados de aplicación intercalados y c) problemas contextualizados de consolidación propuestos al final del tema.
• El concepto de función se generaliza a partir de diferentes situaciones en las que hay una relación entre magnitudes. No se necesitan conceptos previos conjuntistas (por ejemplo, el de correspondencia)
• El concepto de función se presenta de una manera contextualizada.
• El lenguaje conjuntista ha desaparecido. • Se introducen cuatro formas de
representación de las funciones (enunciado, tabla, gráfica y fórmula) y se proponen actividades de traducción y conversión.
• Esta unidad incorpora de manera explícita pocas propiedades.
• La metodología es la siguiente: a) el profesor propone problemas contextualizados que los alumnos han de intentar resolver (normalmente en grupo). b) en el proceso de puesta en común de las soluciones, además de resolver los problemas, se van construyendo los conceptos de la unidad. c) Estos conceptos se relacionan y organizan para ser primero aplicados a ejercicios y después ser utilizados en la resolución de problemas contextualizados más complejos.
• La argumentación deductiva es casi inexistente. El tipo de argumentación que se utiliza es de tipo inductivo y gráfico.
DOS ALTERNATIVAS PARA
LA INTRODUCCIÓN DE UN OBJETO MATEMÁTICO
HOJAS DE TRABAJO 2
Emergencia del objeto matemático función exponencial a partir de problemas de contexto extra matemático.
Páginas extraídas de un libro de texto usado en España, correspondientes al primer curso de enseñanza secundaria no obligatoria (17 años)
ACCIÓN Y FORMULACIÓN
INSTITUCIONALIZACIÓN
Una primera propiedad
Una primera propiedad
Un Procedimiento
Más acción y formulación para hallar propiedades
Institucionalización
PROBLEMAS DE APLICACIÓN CONTEXTUALIZADOS
Dos usos de “contexto”• Con relación al término contexto, hay básicamente dos usos.
• Uno consiste en considerar el contexto como un ejemplo particular de un objeto matemático,
• el otro consiste en considerar el contexto como el entorno del objeto matemático.
• En el primer caso se trata de ver que la situación problema cae dentro del campo de aplicación de un objeto matemático. En el segundo caso, se trata de un “uso” que vamos a llamar, metafóricamente, “ecológico”.
El uso “ecológico”• Este uso ecológico queda claro cuando se dice, por ejemplo,
que el contexto del gorila es la selva.
• Ahora bien, puesto que el contexto del gorila también puedeser el zoológico, podemos entender que hay un uso ecológico del término contexto que permite situar el objetomatemático en diferentes “lugares”, por ejemplo, diferentesinstituciones (universidad, secundaria, etc.).
• Estos “lugares” no tienen porque ser sólo instituciones, pueden ser también, por ejemplo, diferentes programas de investigación o diferentes “juegos del lenguaje”.
• Desde la perspectiva “ecológica”, ante el enunciadode un problema o, más en general de un textomatemático, se trataría de responder a preguntasdel tipo:
a) ¿En qué “lugar” se halla”? b) ¿Qué tiene a su “alrededor”? c) ¿Dónde “vive”? d) ¿Con qué otros objetos matemáticos se
relaciona?, e) ¿En qué institución se utiliza?.....................
¿Cómo se puede conseguir la emergencia de los objetos matemáticos a partir de los contextos extra-matemáticos?
A es B
ModelizaciónEste proceso seguiría las cinco fases siguientes: 1) Observación de la realidad. 2) Descripción simplificada de la realidad. 3) Construcción de un modelo matemático. 4) Trabajo matemático con el modelo. 5) Interpretación de resultados en la realidad.
Clasificación• a) Contexto real: refiere a la práctica real de las matemáticas,
al entorno sociocultural donde esta práctica tiene lugar.
• b) Contexto simulado: tiene su origen o fuente en el contexto real, es una representación del contexto real y reproduce una parte de sus características (por ejemplo, cuando los alumnos simulan situaciones de compra-venta en un “rincón” de la clase.)
• c) Contexto evocado: refiere a las situaciones o problemas matemáticos propuestos por el profesor en el aula, y que permite imaginar un marco o situación donde se da este hecho.
• d) Contexto intra matemático (problema descontextualizado)
Clasificación de los problemas de contexto
evocado
Complejidad• Problemas contextualizados que se han diseñado para
activar procesos complejos de modelización (un extremo).
• Problemas relativamente sencillos cuyo objetivo es la aplicación de los conceptos matemáticos previamenteestudiados. (otro extremo).
• Entre estos dos extremos hay una línea continua en la que podemos situar a la mayoría de los problemascontextualizados propuestos en el ámbito escolar.
• Además, un mismo problema puede estar más o menos cerca de uno de dichos extremos en funcióndel momento en que sea propuesto a los alumnos.
En función del momento• A continuación de un proceso de instrucción
El objetivo es que sirvan, por una parte, como problemas de consolidación de los conocimientos matemáticos adquiridosy, por otra parte, para que los alumnos vean las aplicacionesde las matemáticas al mundo real.
• Les llamaremos problemas contextualizados evocados de aplicación si son relativamente sencillos
• problemas contextualizados evocados de consolidacióncuando su resolución resulte más compleja.
• Se trata fundamentalmente de aplicar los conocimientosadquiridos previamente en el proceso de instrucción.
• Al inicio de un tema o unidad didáctica con el objetivo de que sirvan para la construcción de los objetos matemáticos.
• Les Llamaremos problemas de contexto evocado introductorios puesto que se proponen al inicio de un tema matemático y se han diseñado para que queden dentro de la zona de desarrollo próximo (en términos de Vygotsky).
LA INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA SOBRE LAS FUNCIONES
• El cambio de la enseñanza formalista a la contextualizada de las funciones es el resultado de diferentes factores:
a) Generales: Por ejemplo, la reflexión sobre la importancia de contexto en la comprensión humana o la reflexión de tipo constructivistasobre el proceso de enseñanza-aprendizaje.
b) Específicos: La investigación didáctica sobre las funciones.
Investigación didáctica sobre funciones
1) Las que han analizado la noción de función como proceso y como objeto.
2) Las que se han ocupado de analizar el papel que juegan las diferentes clases de representación del concepto de función.
Teoría APOE(Dubinsky)
Descomposición genética
Análisis teórico
Observacióny
valoración
Diseño e implementación de la enseñanza
Procesos cognitivos y estructuras mentales
OBJETOS PROCESOS
Interiorización
EncapsulaciónDes-encapsulación
CoordinaciónInversión
Acción(sobre)
ESQUEMAS
• Acción: una acción es una transformación de objetos que el individuo percibe como algo que es hasta cierto punto externo. La transformación es llevada a cabo por reacción a una indicación externa que da precisos detalles sobre los pasos a dar.
• Por ejemplo, uno realiza una acción cuando dada una fórmula para una función y un valor de la abscisa, uno calcula el valor de la función para esta abscisa.
• Un estudiante que no es capaz de interpretar una situación como una función a menos que tenga una única fórmula para calcular valores está restringido a un concepto de acción de una función.
• Las acciones marcan el principio crucial del entendimiento de un concepto. Por lo tanto, el acercamiento pedagógico basado en la teoría APOS comienza con actividades diseñadas para ayudar a los estudiantes a construir acciones.
• Proceso: cuando una acción se repite y el individuo reflexiona sobre ella, puede interiorizarse en un proceso. Esto es, una construcción interna se hace y realiza la misma acción, pero ahora no necesariamente dirigida por un estímulo externo. Un individuo que ha construido un proceso puede describirlo, o invertir los pasos sin hacerlos.
• En contraste con una acción, el individuo percibe el proceso como algo interno, y bajo su control, en lugar de algo que se hace como respuesta a señales externas.
• Ejemplo: se realiza un proceso cuando se piensa de una función como que recibe entradas y devuelve salidas o imagina los cálculos de valores funcionales sin realmente hacerlos.
• Objeto: Cuando un individuo reflexiona sobre las operaciones aplicadas a un proceso en particular, toma conciencia del proceso como un todo y realiza aquellas transformaciones (ya sean acciones o procesos) que pueden actuar sobre él, entonces está pensando en este proceso como un objeto. En este caso, se dice que el proceso ha sido encapsulado en un objeto.
• En el curso de la realización de una acción o un proceso sobre un objeto, suele ser necesario desencapsular y regresar el objeto al proceso del cual se obtuvo con el fin de usar sus propiedades al manipularlo.
• Ejemplo: es fácil ver cómo la encapsulación de procesos en objetos y la encapsulación de objetos de regreso a procesos aparece cuando se piensa en la manipulación de funciones como encontrar la suma, el producto, o cuando ser forman conjunto de funciones. Un individuo que es capaz de pensar en una función como suma de dos funciones sin referencia a ejemplos concretos, estápensando en una función como un objeto.
• Esquemas. Una vez construidos, los objetos y procesos pueden interconectarse de varias formas: por ejemplo, dos o más procesos se pueden coordinar por unión de ellos (a través de la composición o de otros modos); los procesos y objetos se pueden relacionar en virtud del hecho de que los primeros actúan sobre los segundos.
• Una colección de procesos y objetos se puede organizar de forma estructurada para formar un esquema. Los esquemas se pueden tratar como objetos e incluirse en la organización de esquemas a “niveles superiores”. Cuando esto ocurre, decimos que el esquema ha sido tematizado a un objeto.
Elementos genéricos
• Las reflexiones de Dubinsky sobre las funciones como objeto y como proceso son, en mi opinión, un intento de dar una respuesta a uno de los aspectos esenciales del razonamiento matemático: el uso de elementos genéricos
1) ¿Por qué se hace intervenir en la demostración de una proposición matemática (el enunciado de una definición, etc.), una fase intermedia que se refiere a un objeto particular?
2) ¿Cómo es posible que un razonamiento en que intervenga semejante fase intermedia pueda, pese a ello, dar lugar a una conclusión universal?
3) El elemento particular normalmente forma parte de una cadena en la que los eslabones anteriores son elementos genéricos. A su vez, el elemento particular al ser considerado como genérico se convertirá en el eslabón previo de un nuevo caso particular y así sucesivamente.
DIFERENTES REPRESENTACIONES
¿Qué son las funciones? versus ¿cómo y dónde se utilizan las funciones?
• Dos maneras de entender el “significado”: la semántica o referencial y la pragmática.
• Las reflexiones pragmatistas sobre las representaciones (la compresión como uso competente).
• Las reflexiones cognitivistas sobre las representaciones (la comprensión como integración de representaciones internas)
Diferentes representaciones. Traducciones y conversiones
De la descripción verbal a la tablaPermite descubrir regularidades como son diferencias constantes, que crecen (o de-crecen) regularmente, productos o cocien-tes constantes, etc.
Consta de dos filas; en la primera se escri-ben los elementos del dominio y en la se-gunda las del conjunto de llegada y la re-gla viene dada por los pares origen-imagen
X 11 12 13 14 15 16 17 18 19
y 4 5 6 0 1 2 3 4 5
TABLAS
Cuando el dominio es un conjunto infinito o cuanto tiene un gran número de elementos, sólo se puede hacer una representación parcial; se escogen unos cuantos valores repre-sentativos de la función. Cuando el domonio es un conjunto finito de pocos elementos, la tabla puede contener todos los pares de elementos origen-imagen.
“Dado un x arbitrario del subconjunto Z, 10 < x < 20, al dividirlo por 7 tiene asociado un resto y, que es uno de los elementos del conjunto {0,1,2,3,4,4,6}”.
De la tabla a la expresión simbólica
A pesar de sus limitaciones, la tabla es de gran utilidad cuando se recogen datos experimentales, tanto para verificar una ley como para averiguarla.
En la comprobación de la ley de la palanca, hemos llamado x al brazo de potencia (distancia entre el fulcro y el punto de aplicación de la fuerza) e y a la fuerza, queremos verificar que se cumple: y = k / x es decir xy = k, donde k es la constante característica de la palanca utilizada
x (cm) 2 4 6 8 10 12
y ( pondios) 125 62 42 31 25 21
Se puede ampliar la tabla con otra fila que nos dé el producto xy y concluir el valor de k dentro de un pequeño margen de error.
xy (cm x p) 250 248 252 248 250 252
Traducción entre representaciones analíticas
• Transformaciones de la fórmula de la función que lleven a una nueva expresión equivalente a la expresión simbólica inicial de la función.
• Entender una función f(x) como el resultado de aplicar transformaciones (traslación, contracción, dilatación o reflexión) a otra función g(x).
• Entender la función como el resultado de operaciones aritméticas con otras funciones más sencillas o bien ya conocidas.
Técnicas para representar funciones el
Bachillerato (Secundaria No obligatoria)
• 1) Confeccionar una tabla de valores.• 2) Utilizar una calculadora gráfica o bien algún
graficador de funciones.• 3) Cuando una función f(x) es el resultado de aplicar
una transformación (traslación, contracción, dilatación o reflexión) a otra función g(x) de gráfica conocida, dibujar la gráfica de f(x) a partir de la gráfica de g(x).
• 4) Representar la función a partir de buscar el dominio, puntos de corte con los ejes, asíntotas y comportamiento en el infinito, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, etc.
• El tercer procedimiento se basa en el hecho de poder realizar cambios en la expresión simbólica de una función, de manera que, como resultado de estos cambios la gráfica de la función se pueda considerar como el resultado de realizar ciertas transformaciones a la gráfica de otra función más fácil de representar.
• Este procedimiento, en el estado español, se puede hallar en muchos libros para representar parábolas
• Esta técnica de representación también se puede utilizar para representar otro tipo de funciones (p.e. algunas funciones racionales).
• Si se quiere representar la siguiente función basta traducir su expresión simbólica para poder interpretar su gráfica como el resultado de trasladar la función g(x) = 1/x una unidad hacia la derecha y una unidad hacia arriba:
111)(−
+x
= xf1
)(−xx = xf
• Esta técnica se puede ampliar considerando las operaciones con funciones de gráfica conocida
xx = xf 1)(
2 +
xx = xf 1)( +
•Si se representan superpuestas las gráficas de la función de proporcionalidad g(x) = x y de la función de proporcionalidad inversa h(x) = 1/x , se obtiene el gráfico de la izquierda.
• Después se considera el "peso" de cada una de estas dos funciones en la expresión simbólica de f(x) para hacer un esbozo de su gráfica:
Consecuencias curriculares• Si se quiere que los alumnos puedan
utilizar este procedimiento para representar funciones es necesario incorporar en el currículum:a) las transformaciones de las funciones y sus consecuencias gráficas, b) las consecuencias gráficas de las operaciones con funciones.
Actividad: Dadas las siguientes gráficas, representa, en cada caso, la gráfica de la función (f+g)(x) y de la función (f-g)(x)
HOJAS DE TRABAJO 3
Técnicas alternativas para la representación gráfica de funciones
f(x)=1/x
f(x)=x3
x1+x = xf
4
)(
f(x)= 1/x2
f(x)=x2
x1+x = xf
2
4
)(
x1-x = xf
2
4
)(f(x)=x2
f(x)=-1/x2
Conversión de la gráfica a la expresión simbólica
Si la gráfica que se nos presenta tiene los ejes graduados y consideramos la gráfica como un todo estático formado por puntos (x, f (x)), donde f(x) es una expresión simbólica que, para cada valor de la x, permite obtener su correspondiente imagen, la estrategia para obtener esta expresión simbólica consiste en:
• Elegir el tipo de función de ajuste. Es decir, elegir una familia de funciones f(x ; 1, .., k ) en cuya expresión figuran k parámetros.
• Determinar los parámetros 1,....., k .
Para que un alumno identifique la fórmula de una gráfica como la siguiente Tiene que seguir el siguiente procedimiento
1. Identificar esta gráfica como una gráfica de una función trigonométrica
2. Dentro del grupo de las funciones trigonométricas escoger la familia
f (x)=asen (b(x-c))+ d 3. Determinar el valor de los parámetros a, b, c y d
• Para poder encontrar la expresión analítica correspondiente a la gráfica anterior el alumno tiene que utilizar sus conocimientos sobre: 1) Las funciones trigonométricas en general, 2) La función seno en particular, 3) La relación entre las variaciones de los parámetros y las variaciones de las gráficas, etc.
• La mayoría de los alumnos tiene muchas dificultades para resolver este tipo de actividades
• La explicación de estas dificultades hay que buscarla, entre otras causas, en la falta de actividades de este tipo en los problemas escolares que los alumnos han resuelto anteriormente.
• Las actividades escolares en las que los alumnos trabajan las funciones normalmente hacen referencia a funciones concretas consideradas aisladamente, y no como miembros de familias de funciones.
• En estas actividades se trabaja relativamente poco las transformaciones de las funciones y el paso de la gráfica a la expresión analítica de una función.
No se proponen actividades como la siguiente:
HOJAS DE TRABAJO 4
Cuestionario para determinar la competencia de los alumnos en la conversión de gráficas a expresiones simbólicas.
• Interpolación: Este método consiste en construir una tabla de valores -generalmente pocos- a partir de la gráfica y encontrar una fórmula tal que dichos valores la cumplan.
• Este procedimiento, en muchos casos, es poco consciente y básicamente consiste en hacer una suposición implícita de fórmula de segundo grado a partir de unos pocos valores de la tabla para confirmarla o invalidarla a partir del resto de valores.
• En la mayoría de los casos, las respuestas de los alumnos que utilizan este procedimiento se limitan a incluir una tabla de valores sin hacer referencia al reconocimiento de la gráfica como la gráfica de una función de una determinada familia de funciones.
Este procedimiento da resultado con funciones de primer grado y con funciones de segundo grado muy sencillas, pero no lo da con funciones más complicadas
Familia de funciones y transformaciones:
Este método consiste en reconocer la gráfica como una gráfica de la familia de funciones de segundo grado y utilizar las trasformaciones de las gráficas para hallar y justificar la fórmula
"Es una parábola, elevado al cuadrado y como que es un lugar hacia abajo, -1"
La forma de la función se parece a la gráfica de la función ex, por tanto tiene que ser un número elevado a x, he ido probando y la he encontrado
Diferentes representaciones: ¿Cuáles?¿Cuándo?¿Cómo?....
• Si nos limitamos a considerar que es bueno introducir diferentes representaciones del mismo objeto matemático y el mayor número posible de traducciones entre ellas, se puede caer en el peligro de provocar dificultades innecesarias en los alumnos.
• El profesor debe reflexionar sobre qué tipos de representaciones quiere que intervengan en el proceso de instrucción y, sobre todo, por qué quiere que sean éstas y no otras.
• Este tipo de reflexión lleva a pensar sobre cuáles son las prácticas en las que estas representaciones intervienen, en los tipos de problemas que estas prácticas permiten resolver, etc.
• El problema, por tanto, no es si hay que introducir una sola representación de un objeto o más de una, ni qué traducciones o relaciones entre representaciones hay que tener en cuenta.
• El problema está realmente en determinar si las representaciones introducidas facilitan la realización de la práctica que interesa que forme parte del currículo implementado o no.
• En saber si dicha representación genera dificultades en los alumnos o no, etc..
Funciones y derivadas II
Derivadas
Vicenç FontUniversitat de Barcelona
• Las nociones de derivada en un punto y de función derivada son tradicionalmente difíciles de comprender para muchos de los alumnos de secundaria no obligatoria (bachillerato) y primeros cursos de licenciatura.
• Las dificultades se encuentran precisamente en las definiciones de estas nociones usando límites, y no tanto en la aplicación de las reglas formales o en el uso de las fórmulas.
Ejemplos
La dificultad aumenta cuando la explicación del libro de texto no es muy afortunada
Definición de la función derivada
Si y = f(x) es una función con variable independiente x, la derivada de y con respecto a x está definida por:
En esta definición x permanece fijo, en tanto que ∆x tiende a cero. Si el límite no existe para un valor particular x, la función no tiene derivada en ese valor.
Se acostumbra a denotar la derivada de la función y = f (x), por: o o f’(x) o y’ o Dx (y) o Dx f (x) o . En nuestro texto usaremos: y’ o f’(x).
x
xfxxfLimxx
yLimx
xf∆
−∆+
→∆=
∆∆
→∆=
)()(
00)('
Derivada de una función en un puntoLa tasa de variación de una función y=f(x) en un punto x=a, que se haestudiado en el apartado anterior, se llama derivada de la función y=f(x) en el punto x=a, y se representa por f´(a) (fig. 7).
axafxf
hafhaf
xyaf
axhaxenx −−
=−+
=∆∆
=→→=→∆
)()(lim)()(limlim)('0) (0
Cada manera diferente de introducir la función derivada en un proceso de enseñanza-aprendizaje conlleva una determinada complejidad semiótica.
No presenta la misma complejidad semiótica dar la definición por límites que, por ejemplo, comenzar hallando una función derivada particular (p. e. la derivada de la función f(x) = x2) a partir de los valores, dados en una tabla, de la derivada de la función en diversos puntos.
• El interés por buscar alternativas a la definición de la función derivada por límites que presenten menos complejidad semiótica que ésta, lleva a la siguiente pregunta:¿Cómo conseguir la emergencia de f ´(x) a partir de f(x)?
• La cual lleva a una pregunta un poco más concreta¿Cómo calcular f ´(x) a partir de f(x)?
UNA RESPUESTA TENIENDO EN CUENTA LAS REPRESENTACIONES ACTIVADAS
• El cálculo de f ´(x) a partir de f(x) se puede interpretar como un proceso, en el que a su vez se han de considerar tres subprocesos:
• 1) Traducciones y conversiones entre las distintas formas de representar f(x)
• 2) El paso de una forma de representación de f(x) a una forma de representación ostensiva de f ´(x).
• 3) Traducciones y conversiones entre las distintas formas de representar f ´(x).
• En esta explicación podemos observar los procesos 1 y 2, ya que primero se hace una traducción en la forma de presentar la función y después se obtiene la función derivada aplicando las reglas de derivación.
• También podemos observar el proceso 3
• Es decir, se sigue el esquema siguiente:Expresión analítica de f(x) ⇒ Expresión analítica de f (x) ⇒ Expresión analítica de f´(x) ⇒ Expresión analítica de f ´(x)
ASPECTOS A RESALTAR• Entender el cálculo de la función derivada como un proceso en
el que intervienen tres subprocesos, cada uno de los cuales puede utilizar representaciones diferentes, permite ampliar el abanico de técnicas de cálculo de la función derivada que no se restrinja al cálculo por límites o bien al uso de reglas de derivación.
¿De dónde surgen dichas técnicas?
• Las posibilidades de los graficadores de funciones pueden sugerir estas técnicas alternativas.
• La historia de las matemáticas también puede sugerir estas técnicas alternativas.
• La combinación de ambas posibilidades.
• Otras...
Ejemplos de técnicas alternativas de cálculo de f ´ (x)
EJEMPLO 1
Recuperación de técnicas antiguas gracias a los
graficadores dinámicos
HOJAS DE TRABAJO 5
Secuencia de actividades para obtener las funciones derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas extraída de un libro de texto usado en España, correspondiente a la enseñanza secundaria no obligatoria (16-17 años)
• Esta técnica relaciona las siguientes representaciones:Gráfica de f (x) y Expresión simbólica de f (x) ⇒ Expresión simbólica de f ´(x)
• El punto de partida para hallar una condición que cumplen todas las tangentes es la gráfica de f (x).
• La expresión simbólica de f (x) es necesaria para simbolizar la condición que cumplen todas las pendientes de las rectas tangentes,la cual nos permite deducir la expresión simbólica de f ´(x)
• La técnica sólo es posible si se introduce la representación gráfica y la simbólica conjuntamente.
• Si no se contempla la representación gráfica, la técnica no es viable.
• Contemplar la representación gráfica, además de la simbólica, permite realizar determinadas prácticas que con sólo la representación simbólica no serían posibles.
• Esta técnica tiene un campo de aplicación limitado.
• Se puede aplicar, entre otras, a la familia de las funciones que tienen por gráfica una recta, y también a las funciones exponenciales y logarítmicas.
¿Qué nos ahorramos?
La indeterminación uno elevado a infinito
• El cálculo de la derivada de la función exponencial de base e está a mitad de camino entre lo que se conoce históricamente como el problema de la tangente y su inverso ⎯no es exactamente el problema de la tangente, puesto que aquí ya se tiene construida; ni es el problema inverso, ya que se conoce la expresión simbólica de la función⎯.
• Este método fue sugerido por los procedimientos utilizados para construir la tangente y la normal en el periodo que va de Descartes a Barrow.
HISTORIA
• En la matemática griega la nociónde tangente no era clara. Resultaba muy ambigua
• No había una técnica general para construir la tangente de una curvacualquiera.
• Para cada curva había un métodoespecífico.
Ahora tenemos una técnica general
• Las ideas que fundamentaban en el periodo 1630-1660 los diversos procedimientos de cálculo de la tangente eran bastante diferentes:
• Descartes utilizaba el número de puntos de intersección entre una circunferencia y una curva y el triángulo formado por la ordenada, la normal y la subnormal o el triángulo formado por la ordenada, la tangente y la subtangente;
• Fermat utilizaba el triángulo formado por la ordenada, la tangente y la subtangente, los triángulos semejantes y el concepto de adigualdad;
• Roberval se basaba en una idea intuitiva de la velocidad instantánea y la ley del paralelogramo para la composición de velocidades.
• A pesar de las diferencias se pueden encontrar algunos aspectos en común:
• 1) Una idea dinámica de las curvas, ya que estas se consideran, por una parte, como la traza que deja un punto que se mueve sobre la curva, y, por otra parte, como una relación entre dos cantidades geométricas variables.
• 2) Un interés por la construcción geométrica de la tangente y de la normal en cada punto.
• 3) La no utilización explícita del concepto de límite (aunque una explicación completa de los métodos propuestos implica dicho concepto)
• 4) Una concepción de la recta tangente no suficientemente explicitada.
• 5) El papel fundamental que juega el triángulo formado por la ordenada, la tangente y la subtangente y el papel secundario (o nulo) del del triángulo diferencial.
Descartes• Descartes publicó el año 1637 el
Discurso del método para razonarcorrectamente y buscar la verdad en las ciencias, seguido de tres ensayos, La Dióptrica, Los Meteoros, y la Geometría.
Esta obra trata temas muy diferentes de una manera unitaria.
• en la Geometría estudia los óvalos [de Descartes],
• que, en la Dióptrica, utiliza para hacerlentes,
• en la Dióptrica también da las leyesmatemáticas de la reflexión y de la refracción,
• y en los Meteoros las usa para explicar el porqué del arco iris.
La óptica un campo de investigaciónprioritario en el siglo XVII
• El desarrollo de la óptica en el siglo XVII hizo aumentar mucho el interés por hallarmétodos para construir la tangente y la normal a cualquier curva
• Descartes consideraba esteproblema com el que más le habríagustado saber resolver:
Me atrevo a afirmar que éste es el problema cuyo conocimiento es más útil y no sólo el más general que yo conozco, sino también el que más he deseado llegar a conocer (la Geometría, p. 316)
Procedimiento de Descartes
• Descartes halló un método bastantegeneral que se podía aplicar a un determinado tipo de funciones (por ejemplo, las funciones polinómicas) pero no a otro tipo de funciones (por ejemplo las trigonométricas)
• Una línea cualquiera variable, que corta a una curva dada en un punto fijo C y en un segundo punto E variable, que se aproxima indefinidamente a C, será tangente a esta curva cuando los dos puntos de interseccióncoincidan
• Descartes lo que hace es considerar el sistema formado por la ecuación de la curva y por la ecuación que se desprende de aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo PMC.
• De esta manera consigue la ecuación de una circunferencia que factoriza para el caso en que la raíz sea doble.
• Según algunos historiadores, esta idea lo llevó a considerar posteriormente que la recta tangent era la recta que se obtiene cuando una recta secante a una curva gira alrededor de uno de los dos puntos de contacto mientras el otro punto de contacto va a coincidir con el que está fijo.
• Como resultado de este método Descartes podía hallar un procedimiento de construcción de la normal o de la tangente(que era específico para cada curva).
• En el siglo XVII lo que interesaba no era la ecuación de la recta tangente o de la normal, sinó hallar un procedimiento que permitieradibujar la normal y la tangente (o másexactamente la subnormal y la subtangente) en un punto de una curva dada.
• Lo que interesaba era hallar procedimientos del siguiente tipo: para dibujar la tangente a la parábola f(x) = x2 en un punto basta unir el punto de la curva con un punto del eje de ordenadas Ctal que la longitud del segmento CB sea el doble de la longitud del segment AP.
Dos ideas que se pueden aprovechar “didácticamente”
• Si tienes un procedimiento de construcción de la tangente y la expresión simbólica de la función puedes hallar la derivada de la función (versión fuerte).
• No es necesario el procedimiento de construcción, basta con hallar una condición que cumplan todas las tangentes (versión débil)
• En la versión débil nos situamos entre el problema de la tangente y su inverso. El cálculo de la derivada de la función exponencial de base e sería un ejemplo.
VERSIÓN FUERTE
• La primera idea lleva a diseñaractividades en las que:
• (1) se presenta al alumno la gráfica de una función, su expresión simbólica y un procedimiento para dibujar la recta tangente.
• (2) La simbolización de los pasos del procedimiento permite calcular f ´(x).
HOJAS DE TRABAJO 6
Secuencia de actividades para obtener la función derivada de la función arctan x, sugerida por los métodos de Descartes (alumnos 17-18 años)
EJEMPLO 2
Utilizar las posibilidades de los programas de representación de funciones para el cálculo de la derivada de las funciones trigonométricas obviando el cálculo de la definición por límites debido a su dificultad.
HOJAS DE TRABAJO 7
Secuencia de actividades para obtener las funciones derivadas de las funciones trigonométricas extraída de un libro de texto usado en España, correspondiente a la enseñanza secundaria no obligatoria (16-17 años)
Derivada de la función seno
• Para calcular la derivada del seno se trataría de seguir el esquema siguiente:
Expresión simbólica de f (x) Gráfica de f ´ (x) Expresión simbólica de f ´(x)
1 Expresión simbólica de f (x) Gráfica de f ´(x) • Una manera de obtener la gráfica de la función
derivada a partir de la expresión simbólica de f(x)consiste en utilizar un graficador para representar la función gradiente (o función pendiente de la función f (x) según un incremento h) con h suficientemente pequeño. Al ser h muy pequeño, la gráfica que dibuja el graficador se puede considerar que es la de la función derivada.
hxfhxfxfp h)()()( −+
=
2 Gráfica de f ´(x) Expresión simbólica de f ´(x)
El alumno ha de reconocer que la gráfica que ha obtenido es la de la función coseno y recordar su fórmula.
El uso de esta técnica permite prescindir del siguiente cálculo de la derivada de la función seno:
• y de la demostración previa de que
1lim0
=→ h
hsenoh
• Además, tiene la ventaja de que permite reducir la unidad de trigonometría que se imparte antes de empezar la derivada, ya que no será necesario ampliarla para que incorpore las propiedades que permiten convertir la diferencia de senos en un producto.
Otra posibilidad: Cambio de la secuencia habitual
• 1) Fórmula trigonométrica que convierte una diferencia de senos en un producto
• 2) Conjetura sobre la derivada de la función seno
• 3) Conjetura sobre el valor del límite: hhseno
h 0lim→
HOJAS DE TRABAJO 8
Propuesta de unidad didáctica “Introducción a la derivada”que incorpora técnicas alternativas.
La mayor parte de los libros de textoutiliza sólo dos técnicas para el cálculo de la función derivada:
El cálculo directo por límites El cálculo indirecto por reglas dederivación,
PROPUESTA ALTERNATIVA
• Se puede aplicar el procedimiento 2 a la función logaritmo neperiano (subtangente = 1), lo cual permite prescindir, en la unidad de límites, del estudio previo de la indeterminación 1
• La aplicación del procedimiento 3 a la función seno permite prescindir, en la unidad de trigonometría, del estudio de las fórmulas trigonométricas que convierten una diferencia de senos en un producto.
• Por tanto, la incorporación de estas dos técnicas permite una organización de la unidad didáctica de derivadas que reduce considerablemente los contenidos de dos unidades (límites y trigonometría) que se han impartido previamente.
Para que estas prácticas resulten comprensibles a los alumnos, es necesario relacionarlas con otro sistema de prácticas que permita calcular la derivada de una función en un punto, así como con un sistema de objetos institucionales que las justifiquen.
Los procedimiento 1 y 4 son los que normalmente se utilizan para calcularf ´(a).
A continuación siguen dos actividades de clase, en la primera se utiliza el procedimiento 2 y en la segunda el número 3:
Conocimientos previos• Pendiente de una recta.• Contenidos vinculados a la velocidad media.• Intervalos de la recta real.• Entender y utilizar con soltura el concepto de función y sus formas de
representación (tabla, enunciado, fórmula y gráfica).• Calcular dominios y recorridos.• Distinguir, gráficamente, entre función continua y discontinua. • Interpretar y reconocer gráficamente los conceptos de función creciente,
decreciente, cóncava y convexa.• Interpretar y reconocer gráficamente los conceptos de máximo, mínimo y punto
de inflexión.• Efectuar operaciones aritméticas entre funciones y reconocer sus consecuencias
gráficas.• Utilizar identidades notables y simplificar fracciones algebraicas • Reconocer las transformaciones elementales: traslaciones, contracciones,
dilataciones y reflexiones.• Conocer las características de los siguientes modelos de funciones:
proporcionalidad directa, afín, proporcionalidad indirecta, definidas a trozos, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
• Relacionar la tangente trigonométrica con la pendiente de la recta.• Calcular el límite de una función en un punto y resolver indeterminaciones del tipo
0/0
Contenidos de la unidadConceptos
• Pendiente d’una recta.• Tasa de variación media.• Interpretación gráfica de la tasa de variación. Pendiente de la recta secante.• Relación entre la tasa de variación media y la velocidad media.• Velocidad instantánea.• Derivada de una función en un punto.• Recta tangente.• Interpretación gráfica de la derivada de una función en un punto. Pendiente
de la recta tangente.• Relación entre la derivada de una función en un punto y la continuidad de la
función en este punto.• Puntos en los que no existe la derivada.• Función derivada.• Derivada de las funciones de proporcionalidad directa y de las afines.• Reglas de derivación.• Derivada de las funciones polinómicas y racionales.• Derivada de las funciones exponenciales y logarítmicas.• Derivada de las funciones trigonométricas.• Derivada de las funciones f(x) = x n/m
Procedimientos• Cálculo de la pendiente de una recta a partir de la gráfica.• Cálculo de la tasa de variación media.• Cálculo de velocidades medias.• Cálculo de velocidades instantáneas.• Cálculo de la derivada de una función en punto (por límites, con calculadora y
gráficamente).• Cálculo de la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un
punto.• Reconocimiento, a partir de la de gráfica de la función, de los puntos en los
que no existe derivada.• Aplicación de la relación entre el signo de la derivada y los intervalos de
crecimiento y decrecimiento de la función.• Cálculo de al función derivada utilizando la definición por límites.• Cálculo de la derivada de las funciones de proporcionalidad directa y de las
afines.• Cálculo de la derivada utilizando las reglas de derivación.• Cálculo de la derivada de las funciones polinómicas y racionales.• Cálculo de la derivada de las funciones exponenciales y logarítmicas.• Cálculo de la derivada de las funciones trigonométricas.• Cálculo de la derivada de las funciones f(x) = x n/m.
Funciones y derivadas III
Metáforas
Vicenç FontUniversitat de Barcelona
La metáfora:Un elemento que hace el cuadro
aún más complejo
METÁFORAPreviamente a la resolución del cuestionario que permite hallar la derivada de f(x) = ex, los alumnos habían estado trabajando con la representación gráfica de la función f(x) = ex en un software dinámico que les permitió hallar una condición que cumplen todas las subtangentes (longitud igual a 1).
Este software dinámico estructura implícitamente las gráficas funcionales en términos de la metáfora siguiente:
"La gráfica de una función se puede considerar como la traza que deja un punto que se mueve sobre la gráfica”
• La importancia que tiene la metáfora en al comprensión de los alumnos sólo ha empezado a ser reconocida muy recientemente.
• La metáfora es más importante de lo que normalmente se cree para estructurar la comprensión de los alumnos.
• Si por algo se caracteriza la metáfora es por su capacidad de aparecer, de una manera o de otra, en el centro de las investigaciones sobre la cognición, el lenguaje y la ciencia. Las actuales investigaciones en didáctica de las matemáticas han permitido resaltar:1) la importancia que tienen las metáforas en el proceso de instrucción. 2) la gran complejidad de factores relacionados con ellas
La teoría contemporánea de la metáfora
Ideas heredadas
• La metáfora es la aplicación a una cosa de un nombre que es propio de otra.
• La elaboración y comprensión de metáforas conlleva la captación de similaridades ocultas.
• La función y el origen de la metáfora es proporcionar placer estético al entendimiento.
• La metáfora es una clase de abuso verbal que ha de suprimirse del discurso propio del conocimiento.
• La metáfora constituye un elemento medular del lenguaje. Su auténtica esencia.
Dos puntos de vista radicalmente diferentes
1) La metáfora es un accidente lingüístico marginal, con funciones comunicativas especializadas y ajena al ámbito del conocimiento (un fenómeno a evitar).
2) La metáfora encarna la auténtica naturaleza del lenguaje y del pensamiento (es el fenómeno central).
• De acuerdo con el segundo punto de vista, los enfoques cognitivos y, en particular, el propuesto por la teoría contemporánea de la metáfora (Lakoff, Johnson, Turner, Núñez, etc.) son los que, en nuestra opinión, tienen el protagonismo en las reflexiones actuales sobre la metáfora.
• Según Lakoff y Núñez, la mayor parte de los seres humanos conceptualizamos cosas abstractas en términos de cosas concretas ya conocidas, mediante proyecciones metafóricas.
• Estas metáforas, llamadas conceptuales, se sustentan en las experiencias fenoménicas que vive nuestro cuerpo al relacionarse con su entorno físico y cultural.
Ejemplo: "un caluroso abrazo"
Con esta metáfora entendemos el sentimiento de cariño por medio de la experiencia térmica.
• En esta presentación asumimos la interpretación de la metáfora como la comprensión y experimentación de un dominio en términos de otro.
• Todas las metáforas son ESTRUCTURALES, en el sentido que crean una relación conceptual, entre un dominio de partida y un dominio de llegada, que permite proyectar propiedades e inferencias del dominio de partida en el de llegada.
• Hay que tener en cuenta que la metáfora muestra unos aspectos y oculta otros, de los cuales muchas veces ni siquiera somos conscientes.
Dos tipos de metáforas• Grounding metáforas:
Son las que relacionan un dominio de llegada dentro de las matemáticas con un dominio de partida fuera de ellas. Por ejemplo, “las clases son contenedores”, “los puntos son objetos”, etc.
• Linking metáforas:
Tienen su dominio de partida y de llegada en las mismas matemáticas. Por ejemplo, “los números reales son conjuntos”, “los números son puntos de una recta”,..
Preguntas
• ¿Qué tipo de metáforas utiliza el profesor al explicar la representación gráfica de funciones en el Bachillerato?,
• ¿Es consciente el profesor del uso que ha hecho de las metáforas en su discurso y hasta qué punto las tiene controladas?
• ¿Qué efecto producen estas metáforas sobre los alumnos?.
Metáforas orientacionalesPRIMERA PREGUNTA
Metáforas orientacionales• En esta explicación se puede observar el uso de una
metáfora orientacional por parte del profesor, puesto que en su explicación utiliza el término “horizontal”en lugar de utilizar la expresión “paralela al eje de abscisas”.
• En la transcripción que consideramos, hay que resaltar que solamente en un episodio el profesor deja de hacer la identificación entre eje de ordenadas y eje vertical, y entre eje de abscisas y eje horizontal.
• En cambio, el libro de texto que utilizan es muy escrupuloso con este aspecto y nunca hace esta identificación.
• Esta metáfora es muy habitual en las clases de bachillerato y puede facilitar errores en los alumnos, puesto que éstos ante la gráfica siguiente pueden considerar que, cuando x es la abscisa del máximo, la derivada no es cero ya que la recta tangente no es “horizontal”
• Otro error, ampliamente documentado en la investigación didáctica sobre gráficas, relacionado con esta metáfora, es el de la confusión entre el eje de ordenadas y el de abscisas o entre la x y la y.
• Esta confusión se puede explicar en base a la metáfora orientacional ya que lo que el alumno retiene, lo que considera importante, es que hay un eje vertical y uno horizontal, y sus nombres o representaciones son menos importantes.
• Un caso típico de este fenómeno es el de del siguiente alumno 14 años que estáestudiando la resolución gráfica de sistemas de dos ecuaciones de primer grado. Ante la duda de cuál es el eje de ordenadas hace la siguiente pregunta al profesor:Alumno: ¿Cuál es el eje de ordenadas?¿Es el eje vertical? (acompaña la última pregunta con un gesto en el que pone la mano derecha vertical)Profesor: Sí, el eje de ordenadas es el eje vertical.
• Esta identificación de eje vertical con eje de ordenadas y eje de las “y” y eje horizontal con eje de abscisas y eje de las “x” suele funcionar, con alguna confusión, hasta que se comienza a estudiar las asíntotas en el bachillerato, o las rectas paralelas a los ejes al estudiar la geometría analítica.
• El hecho de que haya funciones que tenga como asíntota vertical la recta x = 0 y como asíntota horizontal la recta y = 0 hace aumentar la confusión sobre los ejes de coordenadas en algunos alumnos
• Profesor: la asíntota horizontal no es x = 0.• Alumno: ¿pero no es el eje de abscisas?• Profesor: si, pero el eje de abscisas se
representa por y = 0, no por x = 0.• Profesor: (ante la cara de sorpresa del
alumno): el eje de abscisas, el horizontal, se representa por la letra x, pero también se puede considerar formado por todos los puntos cuya altura es cero, o sea por todos los puntos que tienen la y igual a cero.
• Las metáforas orientacionales surgen del hecho de que tenemos cuerpos de un tipo determinado, y que se relacionan de una determinada manera con su entorno físico.
• Nuestro cuerpo determina un sistema de referencia egocéntrico.
• Las metáforas orientacionales dan a un concepto una orientación espacial: por ejemplo más es arriba, menos es abajo.
• Estas metáforas no son arbitrarias, tienen una base en nuestra experiencia física y cultural y, a su vez, son la base de las teorías científicas.
• Las metáforas orientacionales surgen del hecho de que tenemos cuerpos de un tipo determinado, y que se relacionan de una determinada manera con su entorno físico.
• Nuestro cuerpo determina un sistema de referencia egocéntrico.
• Las metáforas orientacionales dan a un concepto una orientación espacial: por ejemplo más es arriba, menos es abajo.
• Estas metáforas no son arbitrarias, tienen una base en nuestra experiencia física y cultural y, a su vez, son la base de las teorías científicas.
En el caso de ejes coordenados, la metáfora orientacional actúa a tres niveles:
• Se encuentra ya fosilizada en los conceptos teóricos Por ejemplo, los valores del eje de ordenadas que están por encima del origen son positivos, mientras los que están por abajo son negativos.
• Está presente en la explicación del profesor cuando, para hacer más intuitivos los conceptos teóricos, recurre a metáforas que se ajusten a la experiencia personal de los alumnos Por ejemplo, cuando identifica eje de ordenadas con eje vertical y eje de abscisas con eje horizontal.
• Está presenta en la manera en la que el alumno organiza su conocimiento de los ejes de coordenadas ya que éste recurre a metáforas orientacionalesbasadas en su experiencia corporal.
La metáfora ontológica• En general, en todas las transcripciones, se observa el uso
de metáforas ontológicas.
• Un primer tipo de metáfora ontológica, que tiene su origen en nuestras experiencias con objetos físicos, permite considerar acontecimientos, actividades, emociones, ideas, etc. como si fueran entidades (objetos, cosas, etc.) o sustancias.
Los puntos son objetos
• Esta metáfora se combina de manera inconsciente con otra metáfora ontológica:
LA DEL CONTENEDOR
• La combinación de dichas metáforas permite considerar ideas, conceptos, etc. como entidades o sustancias que se contienen unas a otras.
El plano contiene puntos
• Las metáforas ontológicas algunas veces suelen estar implícitas y otras veces son explícitas.
• Por ejemplo, en el Curso de Geometría de P. Puig Adam (1965, pág. 4) se observan claramente en los axiomas de existencia y enlace: Ax. 1.1 -Reconocemos la existencia de infinitos entes llamados <<puntos>> cuyo conjunto llamaremos <<espacio>>.Ax. 1.2 -Los puntos del espacio se consideran agrupados en ciertos conjuntos parciales de infinitos puntos llamados <<planos>> y los de cada plano en otros conjuntos parciales de infinitos puntos llamados <<rectas>>.
• La aplicación de las metáforas ontológicas permite entender cada uno de los ejes como un objeto (conjunto) que a su vez está formada por otros objetos: los puntos.
• La aplicación de esta metáfora a los ejes tiene sus ventajas e inconvenientes. Por ejemplo, por una parte permite considerar (singularizar) un punto en una recta, pero por la otra también puede facilitar que el alumno considere que cada punto tiene grosor y que, por tanto, la recta está formada por una serie de puntos seguidos en la que cada uno tiene un anterior y un posterior.
Fusión conceptual• En el objeto matemático “plano con sistema de ejes coordenados” tanto las
metáforas orientacionales como las ontológicas se hallan fosilizadas. • Gracias a las metáforas ontológicas tanto el plano como los pares
ordenados de números se pueden consideran como conjuntos. • Por otra parte, las metáforas orientacionales están en la base de la metáfora
estructural que permite entender los puntos del plano como un par ordenado de números (y viceversa).
• La combinación de estas metáforas, junto a otros factores, posibilita la emergencia del objeto “plano con un sistema de ejes coordenados fijado a priori”.
• Algunos autores llaman a este tipo de proceso fusión conceptual. (blending)
Metáforas estáticas para las gráficas• Después de considerar el plano con un sistema de ejes de
coordenadas como una fusión conceptual vamos a centrarnos en el objeto “gráfica de una función”.
• En nuestra opinión “La gráfica de una función es el conjunto de puntos (x, f(x))”es una metáfora estática que permite entender la gráfica de una función f(x) como el conjunto de puntos cuyas coordenadas son (x, f(x)).
• Para entender esta metáfora, una condición necesaria es que, previamente, el sujeto haya realizado la fusión conceptual que permita entender el plano como un conjunto de puntos de coordenadas (x, y).
Metáforas dinámicas para las gráficas
• La siguiente transcripción consiste en un comentario del profesor sobre el hecho de que si la derivada segunda es cero, podemos tener máximos, mínimos o puntos de inflexión. Primero calcula las derivadas primera y segunda de las tres funciones anteriores, haciendo observar a los alumnos que en los tres casos en x = 0 la derivada segunda se anula. Después, utiliza las gráficas de las funciones, cuyo esbozo estaba dibujado en la pizarra, para hacerles ver que en la primera función en x = 0 hay un máximo, en la segunda un mínimo y en la tercera un punto de inflexión.
MOVIMIENTO FICTICIO
• En esta configuración, el discurso metafórico del profesor puede inducir al alumno a entender el cero como un punto determinado sobre un camino que se recorre o una línea por la cual se transita.
Palabras como “antes de cero”, “después de cero”pueden producir este efecto en el alumno.
• Para Lakoff y Núñez (2000) ésta es una poderosa metáfora utilizada muy a menudo por los profesores en todos los niveles de enseñanza.
En dicha metáfora, llamada “movimiento ficticio” se sugiere una organización espacial, se tiene un origen (“de”), un camino (“pasa por”, “aquí”, “a lo largo”), y un fin (“a”, “hasta”) y además se contempla algo que se mueve (punto, objeto, etc.) y que se puede localizar en un momento dado.
La gráfica como la traza de un punto que se mueve
• Una manera diferente a la conjuntista de estructurar la gráfica de una función es considerarla como:La traza que deja un punto que se mueve sujeto a determinadas condicionesLa gráfica de una función se puede considerar como la traza que deja un punto que se mueve sobre la gráfica.
• Las metáforas dinámicas se pueden rastrear en la historia de las matemáticas. Fueron las dominantes en el período anterior a la aritmetización del análisis.
• El uso de determinados graficadoresinformáticos y de calculadoras gráficas facilita la recuperación, aunque sea de forma inconsciente, de las metáforas dinámicas.
• Las metáforas dinámicas básicamente son metáforas orientacionales. Surgen del hecho de que nuestro cuerpo determina un sistema de referencia egocéntrico que se mueve.
• En el siguiente párrafo, extraído de Lacasta y Pascual (1998, pp. 28-29), donde Newton explica su método de fluxiones se observa claramente como éste se manifiesta explícitamente a favor de las metáforas dinámicas y en contra de la metáfora conjuntista:
• No considero las magnitudes matemáticas como formadas por partes, por pequeñas que éstas sean, sino como descritas por un movimiento continuo. Las líneas no son descritas y engendradas por la yuxtaposición de sus partes, sino por el movimiento continuo de puntos; las superficies por el movimiento de las líneas; los sólidos por el movimiento de las superficies; los ángulos por la rotación de los lados; los tiempos por un flujo continuo. Considerando, pues, que las magnitudes que crecen en tiempos iguales son mayores o menores según que lo hagan con mayor o menor velocidad, busqué un método para determinar las magnitudes partiendo de las velocidades de los movimientos o aumentos que las engendran. Llamando fluxiones a las magnitudes engendradas, di, hacia los años 1665-1666, con el método de fluxiones, del que haré uso en la cuadratura de curvas.
HOJA DE TRABAJO 10
SUBRAYAR LAS PARTES DEL TEXTO QUE SE PUEDAN CONSIDERAR
“METÁFORAS”
FUSIONES CONCEPTUALES
En la siguiente transcripciónse observa una mezcla de metáforas ontológicas y dinámicas cuya combinación es una metáfora zoomórfica (o antropomórfica)
Metáforas fosilizadas
SEGUNDA PREGUNTA
¿Es consciente el profesor del uso que ha hecho de las metáforas en su discurso y hasta qué punto las tiene controladas?
• El nivel de conciencia que tienen los profesores sobre el uso que hacen de las metáforas dinámicas y su posible efecto en la comprensión de sus alumnos, difiere según los profesores.
• Este profesor no es consciente de que usaba metáforas dinámicas y, por tanto, no las controlaba. Como consecuencia de las preguntas del entrevistador, el profesor se da cuenta de que las usa, pero considera que dicho uso facilita la comprensión y no da importancia a las posibles dificultades que pueda generar en sus alumnos. De hecho, considera que el uso de metáforas no genera ningún tipo de error conceptual en sus alumnos.
TERCERA PREGUNTA
¿Qué efecto producen estas metáforas sobre los alumnos?
• A un alumno se le pidió que comentara verbalmente los pasos previos (dominio; cortes con los ejes; asíntotas y comportamiento en el infinito; estudio de máximos, mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento; estudio de puntos de inflexión e intervalos de concavidad y convexidad) y la construcción de la gráfica de su examen.
• Tanto la gráfica como los pasos previos de su respuesta en el examen eran correctos.
• Si bien en su respuesta escrita no se detectó ninguna metáfora, éstas fueron omnipresentes en su explicación verbal de cómo había construido la gráfica.
• Por ejemplo, a la pregunta ¿Puedes decirme cuándo la función será creciente y cuándo decreciente?
• el alumno contestó correctamente señalando con el dedo los intervalos y diciendo aquí crece porque sube y aquídecrece porque baja)
La dimensión personal -- institucional
• El caso estudiado, las metáforas relacionadas con las gráficas de funciones, es un buen ejemplo de cómo se sitúa la metáfora con relación a la dimensión dual “personal / institucional”.
• Por una parte, tenemos que la metáfora se encuentra fosilizada en las matemáticas institucionales y, por otra parte, tenemos que la metáfora es un recurso utilizado por el profesor que resulta determinante en la estructuración de los objetos matemáticos personales de los alumnos.
Coexistencia de metáforas• Puesto que las metáforas dinámicas y las estáticas
estructuran de manera diferente a la gráfica de una función, es necesario preguntarnos por el tipo de coexistencia que se produce entre ambas.
La metáfora en la
negociación de
significados en el aula
• El primero de los dos ejemplos es la función racional f(x) = 1/(x+1). El profesor primero introduce la formulación: el dominio es el conjunto de valores de la variable independiente que tienen imagen en términos de la metáfora conjuntista, pero a continuación introduce la siguiente caracterización del dominio: son los valores de los cuales se puede calcular la imagen. Esta segunda formulación resulta más operativa para el cálculo del dominio que la primera, ya que facilita entrar en un “juego de lenguaje” que permite llegar a un consenso sobre cuál es el dominio de la función. Las características de este juego de lenguaje son:
• Introducción de un elemento genérico. El profesor introduce el elemento genérico x sobre el cual realizar las operaciones indicadas en la fórmula de la función mediante la frase “cuando yo substituyo la x (señala la xde la fórmula con el dedo) por esos números, puedo hacer todo este cálculo (con la mano rodea la fracción 1/(x+1))” y después dice “tomemos un número” y espera que los alumnos mentalmente encuentren los valores para los cuales se pueden realizar las operaciones indicadas en la fórmula de la función.
• Consenso sobre el rango de valores del elemento genérico. Los alumnos formulan hipótesis sobre el dominio hasta llegar a un consenso que es aceptado por los alumnos y, sobre todo, por el profesor. En este caso varios alumnos dicen “todos menos el -1” y el profesor da por buena esta afirmación.
• En el segundo ejemplo se reproduce el mismo juego de lenguaje con las siguientes variantes. La primera variante es que en este caso el elemento genérico es un punto de la parte negativa del eje de abscisas.
• En efecto, el profesor en este caso dibuja la gráfica de la función f(x)= ln x y espera que los alumnos mentalmente apliquen la técnica de: 1) pensar en un punto de la parte negativa del eje de abscisas, 2) trazar la perpendicular al eje de abscisas por este punto, 3) observar que esta recta no corta a la gráfica de la función logaritmo neperiano y 4) que este razonamiento es válido para cualquier punto de la parte negativa del eje de abscisas y también para el origen de coordenadas (esta técnica gráfica de determinación del dominio ya ha sido trabajada en una unidad anterior).
• La segunda variante es que, cuando los alumnos responde “de cero a más infinito”, el profesor considera ambigua esta respuesta para llegar a un consenso y decide intervenir pidiendo a los alumnos si el cero es del dominio, para después aceptar como buena la respuesta de los alumnos de que el cero no es del dominio.
• Es importante remarcar que el consenso al que se llega estáexpresado en términos metafóricos ya que, tanto los alumnos como el profesor, utilizan la expresión “de cero a más infinito”, los alumnos lo hacen oralmente, mientras que el profesor, a esta expresión oral, asocia la representación (0,+∞) y también la gesticulación sobre la parte positiva del eje de abscisas (mueve la mano desde el origen de coordenadas hacia la derecha).
• Se trata de la metáfora que considera la semirrecta numérica como un camino con un comienzo y con un horizonte (el infinito).
• La cuestión que nos formulamos es la siguiente; ¿Después de esta negociación de significados, el alumno ha entendido que el dominio de la función es el conjunto de todos los valores de la variable independiente tales que 0 < x, es decir, ha entendido el alumno que el intervalo abierto (0,+ ∞) tiene por elementos todos los valores x que son mayores que cero? que es precisamente lo que pretende el profesor (en una unidad anterior los alumnos ya habían estudiado los intervalos de números reales de esta manera).
ALGUNAS CONCLUSIONES
• Constatar la importancia que tiene el uso de metáforas dinámicas, tanto en el discurso del profesor como en el del alumno, en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las funciones en el Bachillerato.
• Este uso, probablemente inevitable y poco consciente, es fundamental en la construcción de los objetos matemáticos de los alumnos y en la negociación de significados en el aula.
• Las causas de este fenómeno son complejas. • Por una parte, el uso de la metáfora es fundamental en la
comprensión de cualquier tema –y, por tanto, en su explicación-.
• También puede haber causas relacionadas con las matemáticas, ya que la representación gráfica de funciones necesita, además de una descripción en términos globales, la introducción de conceptos locales tales como crecimiento y decrecimiento en un punto, etc. formulados con precisión en términos conjuntistas estáticos. Estos conceptos locales presentan una gran dificultad para los alumnos, motivo por el cual hay profesores que los dejan en un segundo plano y prefieren utilizar explicaciones dinámicas, que ellos consideran más intuitivas, en las que el uso de las metáforas dinámicas es fundamental.
• El uso de metáforas dinámicas tiene sus ventajas y sus inconvenientes. No se trata de renunciar a ellas, sino que el objetivo ha de ser un uso controlado, siendo conscientes de que no todo son ventajas.
