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1
Universidad de San Carlos Facultad de Ingeniería Departamento de Matemática Matemática Aplicada 2, N
Tareas de parciales
(Entrega en fechas de parciales, según avance de contenidos)
Prof. José Saquimux
Gráficas trigonométricas
1. Grafique cada una de las siguientes fórmulas,
a) ( ) 3sin(2 )f t t , b) ( ) 2cos(3 )f t t , c) ( ) 5sin(3 )f t t . Donde esté t , (
es constante, se llama frecuencia angular y se mide en radianes/segundo), grafique tanto
en 𝜔𝑡 como en 𝑡 tomando como variables independientes.
2. Determine, amplitud, período, ángulo de fase, y construya su ecuación para cada una
de las siguientes funciones trigonométricas.
3. Use un dispositivo de graficación, para graficar ( )f t y determine su período,
a) 1 1 2 2 2
( ) sin cos 2 cos 4 cos62 3 15 35
f t t t t t
b) 2
1
4 cos[(2 1)( )
4 (2 1)
k
n
n tf t
n
, para i) 2k , ii) 3k , y iii) 4k
Formas de onda
Dadas las siguientes gráficas de funciones periódicas de , t y t, en ingeniería se les
llama, formas de onda. a) Determine su periodo y construya sus fórmulas y escriba su
dominio, b) Calcule el valor medio o componente dc de cada una de ellas, c)
Compruebe su respuesta graficando sus fórmulas con dispositivos que grafican,
d) Determine el valor eficaz o rms.
3
2
2
3 2
wt
2
1
1
2
1
2
1
2
y
2
1. Onda rectangular o cuadrada par en función de en radianes.
2. Tren de pulsos digitales unitarios de amplitud 1mV, duración 1 seg., espaciados 1
seg.
3. Onda diente de sierra impar en función de t radianes
2
22 3
2
q
0.5
0.5
F
1 2 3t
1
mV
2 3 4 w t
2
2
y
3
4. Onda diente de sierra no par ni impar.
5. Onda triangular impar.
6. Onda exponencial decreciente, 𝑣 𝑡 = 2𝑒−2𝑡
7. Rectificador puente de diodos monofásico de onda completa. La onda de tensión en el
resistor, es una onda senoidal rectificada.
1 1 2 3t
4
4
F
2
3
22
wt
2
2
t
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0t
0.5
1.0
1.5
2.0
yt
4
8. Circuito rectificador de media onda senoidal. Voltaje en el resistor.
9. Onda completa senoidal rectificada recortada a 3/2 de su valor pico 1.
vs(t) Rv(t)
iR(t)
R
+
-
2 3 wt
1
VR
+
-
vs(t)
i (t)
v (t)
+
-
R
2 3 wt
1
VR
5
10. Circuito cuya salida es una onda completa senoidal rectificada con ángulo de
retraso de 3/ , compuesto por un TRIAC y un puente de diodos monofásico de onda
completa.
11. Puente trifásico de diodos de seis pulsos con carga resistiva, voltajes de línea a línea
y forma de onda de voltaje en el resistor.
3
2
3
4
3
5
32
wt
3
2
1
V
v (t) v (t)
i (t)
R
+
-
0
6
7
62
wt
1
2
1
V
6
Para siguientes fórmulas. Dibuje las formas de onda correspondiente a cada una de
ellas. Compruebe su respuesta usando su computadora.
12)
10,0
01,1)(
t
ttv 13)
tt
tti
0,
0,)(
14)
tt
tt
t
tv
2/
2/0,
0,0
)( 15)
tt
tti
0,sin
0,0)(
16) LtLL
tttv
,cos)(
Integrales trigonométricas y funciones ortogonales
En las siguientes integrales, /2T período. se le llama frecuencia fundamental,
Tnn /2 se le llama frecuencia de la nésima armónica. Muestre que
1. T
dttn0
0)cos( , para cualquier entero 0n
v (t)v (t)
v (t)
Rv (t)
+
-
3
2
3 4
3
5
32
wt
1
2
1
V
7
2. ,0)sin()sin(0
dttntmT
para nm .
3. ,2
)(cos0
2 Tdttn
T
para cualquier n.
Series trigonométricas de Fourier
Determine las series trigonométricas de Fourier de las formas de onda de los ejercicios Nos. 1, 4, 8, 11, 15 y 16.
Integración y derivación de series trigonométricas
1. Dada
,0,)12(
])12cos[(
8
2
02
2
xn
xnx
n
obtenga 2 2
30
sin[(2 1) ], 0 ,
8 (2 1)n
x x n xx
n
integrando término a término.
2. Si 2 3
1
31
sin( )( 1) ,
12
n
n
x x nxx
n
, determine la serie de Fourier de
2 23 en
12
xx
3. Mostrar que la serie de Fourier de la onda impar:
,20,2
,02,2)(
2
2
ttt
ttttv
es
132 2
)12(sin
)12(
132)(
n
tn
ntv
.
y use la igualdad de Parseval para mostrar que
16
2
)12(
1
960 n n
Esta serie converge muy rápidamente a 960/6 y proporciona método conveniente
para aproximar el valor de 6 .
8
Serie seno, coseno y de medio rango
1. Dependiendo si es par o impar determine las series seno y coseno de Fourier de las
formas de ondas 2, 5, 7 y 11. Use programas de computadora o calculadora para
comprobar su respuesta donde sea conveniente.
2. (Q u O) Encuentre las series en senos y cosenos de Fourier en mitad de rango de
,0,)( tttf
Serie con ángulo de fase
1. (Todas) Determine la serie de Fourier con ángulo de fase y dibuje los espectros de
amplitud nc y fase n de la siguiente serie de Fourier. Grafique para comprobar su
respuesta.
)sin(2
)cos(3
32
1
tnn
tnn
vn
2. (E-E) La serie de Fourier para atetf )( sobre el intervalo t es
122222222
)sin()1(
)sinh(2cos)1(
)sinh(2)sinh(
)(n
nn
ntna
nant
na
aa
a
atf
Escriba su serie de Fourier con ángulo de fase.
Serie compleja
1. Encuentre la serie de Fourier compleja o exponencial. Luego grafique sus espectros
de amplitud y fase de las formas de onda de la primera tarea números.
1 (Q u O), 5 (Todas), 8 (E-E) y 10 (E-E).
2. (E-E) En un circuito serie RC con R = 5 y C = 50 F, se aplica la forma de onda
cuadrada ( ) 10, 0,f t t y ( ) 10, 0 ,f t t voltios y = 377
radián/segundo. Escriba la serie exponencial o compleja de Fourier de la tensión
aplicada y determine la tensión en los bornes del condensador.
3. determine la serie compleja de Fourier para la siguiente forma de onda
2,0
0,sin)(
t
tttv
4. Para la siguiente serie de Fourier:
tttv
3sin
3
12sin
2
1sin
11
a) Determine la componente dc, la componente principal, y la quinta armónica.
9
b) Dibuje los espectros de amplitud y fase
5. Para la forma de onda diente de sierra,
a) Determine los coeficientes de Fourier, b) construya la serie de Fourier, c) grafique los
espectros de magnitud y fase, d) suponga K = T = 1, use computadora y grafique para n
= 1, 3, 8 y 15.
6. Repita lo solicitado en 5., para la onda cuadrada siguiente:
tV
tV
tV
tv
4/3
4/34/
/40
)(
7. (E-E) En la red que se ilustra en la figura siguiente, v1(t) es una forma de onda
periódica para =1 radián/segundo. R = 10 , C = 1 F.
Para las siguientes formas de onda de entrada v1(t) es la forma de onda del inciso 5,
determine el espectro de magnitud y el de fase de la respuesta de salida periódica v2(t),
a) Si v1(t) es la onda cuadrada par 1, b) si v1(t) la onda diente de sierra impar 5.
8. Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales ordinarias por series de Fourier si
1, 0( )
0, 2
tf t
t
,
a) ( ),y y f t b) ( )y y f t , c) 3 ( )y y y f t
v1(t) v2(t)
v
K
0 T 2T 3T 4T t
10
Series de Fourier en internet (entrega para primer parcial)
En Google escriba: Java Fourier Series e ingrese a las páginas
1. Fourier Series Approximation
- [ Traduzca esta página ] To explore the Fourier series approximation, select a labeled signal, use the mouse to sketch one period of a signal, or use the mouse to modify a selected ... www.jhu.edu/~signals/fourier2/index.html - 5k
a) usando los botones de la ventana construya las series de cada onda hasta 10 términos,
b) realizar los ejercicios propuestos
2. Fourier Series Applet
- [ Traduzca esta página ] This java applet demonstrates Fourier series, which is a method of expressing an arbitrary periodic function as a sum of cosine terms. ... www.falstad.com/fourier/ - 2k - En caché - Páginas similares
a) construya la serie de cada forma de onda hasta 5 términos, b) dibuje los espectros de
magnitud y fase de cada onda hasta 5 términos. Serie finita de Fourier
Determine la serie finita para los siguientes conjuntos de datos
1. f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, y N = 2.
2. f(0) = 1, f(1) = 1, f(2) = -1, f(3= -1, y N = 2.
Trasformada de Fourier
1. muestre que la transformada de Fourier de
0,)(
aetfta
, es 22
2)(
a
aF
,
grafique sus espectros de amplitud y fase. Use el Mathematica para verificar su
respuesta, tome a = 1.
2. muestre que la transformada de Fourier de
0,)()(
aetHtfta
, es
ja
F
1
)( ,
grafique sus espectros de amplitud y fase para a = 1. Use computadora para verificar su
respuesta.
3. usando formulario de integrales o calculadora, muestre que la transformada de
Fourier de
11
0,)()(
atetHtfta
, es 2)(
1)(
jaF
,
grafique sus espectros de amplitud y fase para a = 1. Use el Mathematica para verificar
su respuesta.
4. usando formulario de integrales o calculadora, muestre que la transformada de
Fourier de
, de valor otro para ,0
,20,/1)(
t
tttf
, es
)cos()sin(2
)(
t
j
eF
j
,
grafique sus espectros de amplitud y fase para = 1. Use el Mathematica para verificar
su respuesta.
5. usando el procedimiento visto en clase para determinar )]sin()[sgn( 0tt , muestre
que
22
0
0
2)]cos()[sgn(
jtt .
6. usando la transformada anterior y la función escalón unitario en términos de la
función signo, muestre que
)].()([2
)]()[cos( 00220
jtHt
7. calcule )]sin(3)cos(2[ 00 tt
8. la transformada de Fourier de )()sin()( tHattf es
)()(2
)( 00
0
0
jF . Calcule )()(cos( ktHkta
9. la transformada de Fourier de )()( tHtetf at es 2)(
1)(
jaF
, calcule
)([ ktf
10. la transformada de Fourier de 0,
aeta
es 22
2
a
a
, calcule
22
2
at
a
11. La transformada de 2)(1
1)(
attf
es
ae
aF
/)(
, calcule
22)(1
2
at
at
12. como )(2
1)sin( 00
0
ttee
jt
y la transformada del pulso un cuadrado es
/)sin(2)( aF , calcule )sin()( 0ttf
12
13. use el hecho de que
et )1/(1 2 y igualdad de Parseval para mostrar que
2)1( 22
x
dx
Trasformada inversa
1. Con papel y lápiz use integración directa para encontrar la inversa de la transformada
de Fourier
ej
F2
)(
Compruebe su respuesta usando algún paquete de computadora o calculadora
Con papel y lápiz use fracciones parciales y tablas para invertir las siguientes
transformadas de Fourier
2. )21)(1(
1
jj 3.
2)21)(1(
1
jj
4. (Para E-E) A un circuito serie RL se aplica la señal )()( tHeVtv tk
o
, a) calcule la
salida en el dominio de la frecuencia I(), b) esboce a lápiz las graficas del espectro de
amplitud y de fase de la salida, c) calculando la transformada inversa de I() determine
i(t).
5. (Para E-E) A un circuito paralelo RC se le aplica la señal )(2)( 3 tHeti t , a) calcule
la salida en el dominio de la frecuencia V(), b) trace a computadora las graficas del
espectro de amplitud y de fase de la salida, c) calculando la transformada inversa de I()
obtenga v(t).
(Para E-E) Tomando el contorno cerrado apropiado, encuentre las inversas de las
transformadas de Fourier siguientes por integral de contorno. El parámetro a es un real
positivo.
6. 22
1
a 7.
22 a
8.
jj 12
3
Luego compruebe su respuesta usando sus programas de computadora o calculadora.
(Para Q-O) Usando sus programas de computadora o calculadora calcule las
transformadas inversas de:
6. 22
1
a 7.
22 a
8.
jj 12
3
9. (Para E-E) Determine la inversa de 22
)cos()(
aF
, a > 0, reescribiendo la
transformada como
13
)(2)(2)(
2222 a
e
a
eF
jj
Compruebe su respuesta usando sus programas de computadora o calculadora.
10. (Para Q-O) Usando sus programas de computadora o calculadora. Determine la in
versa de 22
)cos()(
aF
, a > 0.
Convolución y otros
1. Use la definición de transformada de Fourier para mostrar que
0
)(
jdte j
.
2. Muestre que
).()()()( 22 tHeetHetHe tttt
Luego verifique usando su calculadora o computadora.
3. Muestre que
.2,0
,20,1
,0,
)]2()([)( 2
2
t
te
tee
tHtHtHe t
tt
t
Luego verifique con su computadora.
4. Sabiendo que la transformada de la convolución de dos funciones el igual al producto
de las transformadas de dichas funciones. Pruebe que la convolución de dos Deltas de
Dirac es una Delta de Dirac.
14
Bibliografía
1. Duffy, D. 2003. ADVANCED ENGINEERING MATHEMATICS with
MATHLAB. Second Edition. Chapman & Hall/CRC
2. Hsu, Hwei P. Análisis de Fourirer. Fondo Educativo Interamericano, S.A. 1973.
Bibliografía adicional
1. Arrillaga, J. Watson, N. Power system harmonics. Second Edition, John
Willey & Sons Ltd, 2003.
2. Edminister, J. Circuitos eléctricos. Serie Schaum. McGraw Hill. 1970.
3. Duffy, D. Advanced Engineering Mathematics with Matlab. Chapman &
Hall. CRC. 2003.
4. Fitzgerald, A. Kingsley, C. Umans, S. Máquinas eléctricas, Sexta Edición,
McGraw Hill. 2004.
5. Nahin, P. Dr. Euler’s Fabulous Formula, cures many mathematical ills.
Princeton University Press, 2006.
________________________________
______________________
15
Trabajo de investigación
Aplicaciones tecnológicas de las series o transformadas de Fourier en ingeniería, y uso de paquetes
de matemática en su cálculo
Prof. José Saquimux
Objetivos
Aplicar la teoría, o una parte relevante de series y transformadas de Fourier
como herramienta para la descripción y calculo de cantidades asociadas con
ciertos fenómenos que se presentan en su carrera de ingeniería o,
Aprender y mostrar el uso de paquetes matemáticos para calculo de series y
transformadas de Fourier.
Puede optar por una de las dos opciones siguientes:
Opción 1
Reporte sobre aplicaciones en la ingeniería
1. Breve resumen de la teoría sobre el fenómeno o problema donde se aplica la
teoría o una parte de series y transformadas de Fourier.
2. Resolución de un problema concreto donde se muestre la aplicación de las series
de Fourier o transformada de Fourier.
A excepción de las gráficas que deben desarrollarse a computadora, las otras pueden
desarrollarse o presentarse con papel y lápiz o bien a computadora si se prefiere.
Para cada problema debe mostrar las gráficas de series truncadas a fin de mostrar su
convergencia, gráficas de espectros de amplitud o energía en la frecuencia, y espectro
de fase según la aplicación u otra cantidad que se estudie en fenómeno.
Fenómenos, problemas o actividades sugeridas a presentar y resolver
Estudio señales en eléctrica, electrónica y comunicaciones, estudio de formas de onda
en equipos de sistemas de potencia, estudio de vibraciones mecánicas periódicas,
estudio de la ecuación de onda en líneas de transmisión de alta tensión, estudio de flujo
de calor, difusión o transferencia másica u otros.
16
Opción 2
Reporte sobre el uso de un paquete en series y transformadas de Fourier
1. Descripción del uso de comandos,
2. Mostrar 2 ejemplos sobre el cálculos de series y 2 de transformadas continuas o
discretas de funciones concretas. Si reporta ejemplos de transformada rápida de
Fourier tiene 25 puntos extras para su tercer examen parcial.
Debe presentar series truncadas para valores finitos y graficas correspondientes que
muestren la convergencia. Para las transformadas debe calcular la transformada y
mostrar las gráfica del espectro de amplitud y de fase.
Fecha de entrega: Ultimo día de clase del semestre.
Forma de entrega del reporte: Individual (se anularan copias de trabajos)
Nota. Puede consultar textos y sitios de Internet sobre análisis y síntesis de redes
eléctricas, señales y sistemas, comunicaciones, máquinas eléctricas, líneas de
transmisión, vibraciones mecánicas, flujo de calor, uso de paquetes o sobre cualquier
otro tópico que considere apropiado de su carrera.
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