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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN

FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA

FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA

MÓDULO # 17: ÓPTICA FÍSICA -INTERFERENCIA- Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A.

Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Temas

Introducción

Una simplificación

Repaso sobre interferencia de oscilaciones armónicas

Ondas de luz: condiciones de interferencia

Interferencia de ondas de luz: Experimento de Young

Interferencia de ondas de luz: Películas delgadas

Interferencia de ondas de luz: Colores de interferencia

Resumen

Taller sobre interferencia

Introducción

Al arrojar dos piedras al agua, las ondas

que produce cada una pueden superponerse

y formar un patrón de interferencia. En

este patrón los efectos de las ondas se

pueden incrementar, reducir o neutralizar.

Cuando la cresta de una onda se superpone

a la cresta de otra, los efectos

individuales se suman. El resultado es una

onda de mayor amplitud. A este fenómeno

se le llama interferencia constructiva, o

refuerzo, en donde se dice que las ondas

están en fase. Cuando la cresta de una

onda se superpone al valle de otra, los

efectos individuales se reducen. A esto se

le llama interferencia destructiva, o

cancelación, y se dice que las ondas están en oposición.

La interferencia es un fenómeno característico de todo movimiento ondulatorio, trátese de ondas en el

agua, ondas sonoras u ondas de luz. La interferencia de ondas de luz causa, por ejemplo, las irisaciones

(brillo como los colores del arco iris) que se observan en las pompas de jabón, como por ejemplo la ilustrada

en la Figura 1 (corresponde a la foto ganadora del concurso Art fringe Competition, realizado en el marco

de Optics and Photonics 2008, evento auspiciado por SPIE -the international society of photoelectrical engineers- y cuyo autor es Santiago Betancur, Maestro en Artes Plásticas de la Universidad Nacional de

Colombia Sede Medellín, la cual, además, sirvió como uno de los soportes para la investigación realizada

por Melissa Palacio López, en su TDG para optar al grado de Ingeniera Física en la misma universidad,

titulado “Análisis fenomenológico de películas delgadas en pompas de jabón”, año 2008, dirigido por el

Figura 1

2

profesor, Dr rer Nat Román Castañeda Sepúlveda: es interesante anotar que superó a los grupos de

investigación de los Estados Unidos y del Japón). Los colores en la pompa se presentan debido a que las

ondas componentes de la luz blanca (que está compuesta por ondas de luz de distintas longitudes de onda),

reflejadas en la superficie interior de la pompa interfieren con las ondas de esa misma longitud reflejadas

en la superficie exterior, generándose para algunas de las longitudes de onda interferencia constructiva, y

en otras destructiva. Como las distintas longitudes de onda de la luz corresponden a diferentes colores, la

luz reflejada por la pompa de jabón aparece coloreada.

Las ondas de radio interfieren entre sí cuando rebotan en los edificios de las ciudades, con lo que la señal

se distorsiona. Cuando se construye una sala de conciertos hay que tener en cuenta la interferencia entre

ondas de sonido, para que una interferencia destructiva no haga que en algunas zonas de la sala no puedan

oírse los sonidos emitidos desde el escenario. En este módulo se estudia la interferencia de las ondas

electromagnéticas. Se hará especial énfasis en el rango óptico, es decir, en la interferencia de la luz

visible. Para comprender la esencia del fenómeno de interferencia y sus aplicaciones es suficiente

considerar la interferencia de las ondas generadas por dos fuentes, y éste es precisamente el énfasis que

se dará en éste módulo.

Una simplificación

Como se explicó en el módulo # 16 sobre polarización, en la óptica la mayoría de los materiales que se

emplean son de dieléctricos (vidrios, plásticos, agua,...). Para estos sólo es de interés fundamental la

componente eléctrica de la luz por lo ésta, en el caso de ser una onda plana armónica monocromática, por

ejemplo, vibrando en dirección Y y propagándose en dirección +Z, se representa,

y oy oE = E sen kz - wt + φ j 0

Para "evadir" por el momento la naturaleza electromagnética de la luz, se representará la ecuación [1] en

términos de "elongaciones":

y oy = A sen kz - wt + φ j 1

Sin embargo se debe estar consciente que la supuesta "elongación", en este caso y , realmente representa

un campo eléctrico y Ay corresponderá a la amplitud de ese campo (es decir, su máximo valor). Bajo esta

representación, la ecuación [1] corresponde a una onda electromagnética (o luz si la frecuencia corresponde

a esta sección del espectro electromagnético) vibrando en el plano YZ y propagándose en dirección +Z: se

dirá que la onda está polarizada linealmente en el plano YZ.

Repaso sobre interferencia de oscilaciones armónicas

Cuando se analizó la superposición de dos M.A.S se concluyó que para que hubiera interferencia era

necesario que las oscilaciones se realizaran en la misma dirección (por ejemplo, eje Y) y que adicionalmente

tuvieran la misma frecuencia:

1 1 01y = A sen wt + φ

3

2 2 02y = A sen wt + φ

la oscilación resultante, y, es también armónica y de igual frecuencia,

1 2 0y = y + y = A sen wt + φ

cuya amplitud cumple,

2 2 2

1 2 1 2A = A + A + 2A A cos Δφ [2]

En donde 02 01Δφ = φ - φ corresponde a la diferencia de fase.

Al término, 1 22A A cos Δφ se le denomina término de interferencia. La interferencia tiene dos extremos

denominados: interferencia constructiva e interferencia destructiva.

La interferencia constructiva corresponde a diferencias de fase iguales a números enteros de 2,

Δφ = 2mπ con m = 0, 1, 2,... [3]

y la interferencia destructiva corresponde a diferencias de fase iguales a números enteros impares de ,

Δφ = 2m - 1 π con m = 0, 1, 2,... [4]

Ondas de luz: condiciones de interferencia

El resultado obtenido para la interferencia de ondas MAS se puede extender a ondas armónicas planas

monocromáticas de igual frecuencia que tengan el mismo estado de polarización lineal, es decir que vibren

en la misma dirección,

1 1 1 01y = A sen kr - wt + φ

2 2 2 02y = A sen kr - wt + φ

en donde r1, r2 corresponden a los caminos geométricos seguidos por las ondas 1 y 2 respectivamente,

Figura 2.

La onda resultante es también armónica de igual frecuencia, igual dirección de vibración (o sea polarización

lineal), cuya amplitud cumple la ecuación [2],

2 2 2

1 2 1 2A = A + A + 2A A cos Δφ [2]

4

Pero aquí la diferencia de fase va a depender también de la diferencia de los caminos seguidos por

las dos ondas,

2 1 02 01Δφ = k r - r φ - φ

Figura 2

Para ondas coherentes (es decir, ondas que guardan su diferencia de fase constante) se puede asumir que

02 01φ - φ es constante. Para el caso de la luz es muy complicado garantizar esto debido a las altas

frecuencias que se manejan (del orden de 1015 Hz): la mejor forma de lograr esto es haciendo que la luz

asociada a las dos ondas provenga de una fuente común, lo cual se puede lograr realizando dos tipos de

montajes denominados:

Divisor de Amplitud

Divisor de Frente de Onda.

Adicionalmente la estabilidad en la frecuencia se optimiza empleando luz láser.

Para estos dos tipos de montajes se obtiene que 02 01φ - φ 0 y por lo tanto,

2 1Δφ = k r - r [5]

es decir asumiendo coherencia de la luz y empleando estos dos montajes, la diferencia de fase sólo va a

depender de la diferencia de los caminos seguidos por las ondas.

Debido a que la intensidad de la luz es proporcional al cuadrado de su amplitud, la ecuación [2] se puede

transformar en términos de intensidad,

5

p 1p 2p 1p 2pI = I + I + 2 I I cos Δφ [6]

en donde I1p e I2p corresponden a las intensidades en el punto P debido respectivamente a la ondas 1 y 2 e

Ip la intensidad resultante en el mismo de punto P debido a la superposición de estas ondas. Al término

1p 2p2 I I cos Δφ se le denomina término de interferencia.

Cálculo de la diferencia de fase en el caso de la luz en términos del camino óptico

2 1r - r corresponde a la diferencia de caminos geométricos, Δl , seguidos por las dos ondas de luz,

2 1 = r - rl

Por lo tanto la ecuación [5] queda,

Δφ = k l

Y como,

2πk =

λ

oλn =

λ

se puede escribir para la diferencia de fase,

2

Δφ = o

n l

Quedando en función la diferencia de camino óptico, ,

o

2πΔφ = Δ [7]

λ

Aquí o corresponde a la longitud de onda de la luz en el vacío. Esta será la expresión que se usará

recurrentemente en este módulo para hacer los cálculos de interferencias constructiva y destructiva.

Un comentario:

El término de interferencia de la ecuación [6] se anula en caso de que se superpongan dos ondas no

coherentes. Esto se debe, por ejemplo, a que en este caso Δφ cambia aleatoriamente y muy rápidamente,

6

por lo que el promedio de cos Δφ tiende a cero y la intensidad de la onda resultante, por ejemplo en un

punto P, es la suma de las intensidades de las ondas que se superponen,

p 1p 2pI = I + I

En definitiva para luz coherente, se mantendrá el término de interferencia. En este caso se presentará

interferencia constructiva cuando se cumple la ecuación [3] y habrá interferencia destructiva cuando se

cumple la ecuación [4],

Δφ = 2mπ con m = 0, 1, 2,... [3]

Δφ = 2m - 1 π con m = 0, 1, 2,... [4]

Condición de interferencia constructiva en función del camino óptico:

Combinando las ecuaciones [3] y [7] se obtiene como condición para que haya interferencia constructiva,

2

= 2mπ con m = 0, 1, 2,... o

o = m λ con m = 0, 1, 2,... [8]

Es decir, si la diferencia de los caminos ópticos seguidos por las ondas equivale a un número entero de longitudes de onda en el vacío la interferencia es constructiva.

Condición de interferencia destructiva en función del camino óptico:

Combinando las ecuaciones [4] y [7] se obtiene como condición para que haya interferencia destructiva,

2

= 2m - 1 π con m = 0, 1, 2,... o

oλ = 2m - 1 con m = 0, 1, 2,... [9]

2

Es decir, si la diferencia de los caminos ópticos seguidos por las ondas equivale a un número entero impar de semilongitudes de onda en el vacío la interferencia es destructiva.

La ecuación [9] se puede escribir de una forma más cómoda cambiando el contador,

7

oλ = m' con m' = 1, 3,... [9.1]

2

Estas ecuaciones, [8] y [9], son las básicas de este módulo para realizar los análisis de los ejemplos que se

exponen.

Interferencia de ondas de luz: Experimento de Young

Se dice que dos ondas son coherentes cuando guardan su diferencia de fase constante. Para esto deben

tener la misma frecuencia, lo que en el caso de la luz es muy complicado garantizarlo empleando dos

fuentes independientes debido a las altas frecuencias (del orden de 1015 Hz). Una de las formas de

garantizar coherencia entre las dos fuentes es el mecanismo ilustrado en la Figura 3, en donde una placa

con dos agujeros es iluminada perpendicularmente con una onda plana; los agujeros son lo suficientemente

pequeños como para considerar los puntos A y B como fuentes secundarias de ondas (principio de Huygens),

que además serán coherentes ya que la radiación es monocromática y proveniente de la misma fuente

principal: este mecanismo se denomina "por división del frente de onda": en definitiva las dos fuentes A y B

"generan" ondas con el mismo estado de polarización lineal y de la misma frecuencia. Esta disposición de

agujeros se conoce con el nombre de experimento de Young.

Las fases iniciales de ambas ondas son iguales debido a que las fuentes secundarias A y B se tomaron de

puntos del mismo frente de onda y que alcanzan las posiciones A y B simultáneamente (esto se logra por la

forma como se ilumina la placa con los agujeros, Figura 3). En la fase de cada una de las ondas se ha

marcado con subíndices a r (r1 y r2) debido a que la trayectoria seguida por ambas es diferente. Sin

embargo se está considerando que ambas ondas viajan por el mismo medio, por lo que les corresponde el

mismo número de onda.

Figura 3

8

Como la onda que llega a los agujeros es plana, se puede considerar que por cada agujero pasa la misma

cantidad de energía, es decir, cada fuente secundaria ubicada en estos agujeros, radia la misma intensidad

de luz (que ya son ondas esféricas). Adicionalmente, si la distancia entre estos agujeros es muy pequeña

comparada con la distancia a donde se está midiendo la intensidad de la luz (punto P), se puede decir que si

I1p y I2p son las intensidades aportadas por las ondas emitidas por cada fuente por separado en P, estas son

iguales,

1p 2p oI = I = I

y por lo tanto la expresión de intensidades, ecuación [6], se convierte en,

p o o o oI = I + I + 2 I I cos Δφ

p oI = 2I 1 cos Δφ

2

p o

ΔφI = 4I cos [10]

2

que corresponde a la distribución de intensidades sobre una pantalla en donde se ubica el punto P, Figura 3.

A esta distribución de intensidades también se le denomina el patrón de intensidades del experimento de

Young, Figura 4.

Figura 4

En la Figura 4 se ilustra que la posición de los máximos corresponde a diferencias de fase iguales a

números enteros de 2 tal y como lo exige la ecuación [3] o diferencias de camino óptico correspondientes

a números enteros de longitudes de ondas en el vacío o como lo exige la ecuación [8].

9

Observando este patrón de intensidades podría pensarse en un caso de violación de la conservación de la

energía, ya que hay zonas que no quedan iluminadas (zonas oscuras) y zonas muy brillantes (incluso puntos

donde la intensidad de la luz es el doble de lo que sumarían las intensidades de las ondas individuales). Sin

embargo si se suma las energía que llega a la pantalla realmente el resultado será igual a la emitida por las

ondas; esto se puede deducir del hecho que el promedio espacial de la intensidad sobre la pantalla es igual a

2I0.

En el caso de la interferencia destructiva si las amplitudes de las ondas que interfieren son iguales, la

intensidad resultante sería nula: en el caso de la luz, luz + luz da oscuridad (¡Raro, pero cierto!).

Ubicación de la posición de los máximos y los mínimos de interferencia sobre la pantalla de proyección en el

experimento de Young

Primero se encuentra una expresión para la diferencia de camino óptico entre las dos ondas de luz y que la

relacione con la posición ( y ) en la pantalla, Figura 5.

Figura 5

Debido a que d b , la diferencia de camino geométrico, 2 1 r - rl , entre los dos rayos considerados en

la Figura 5, se puede calcular, con muy buena aproximación, bajando una perpendicular desde A hasta BP,

2 1 r - r b senθl

Si el experimento se realiza en un medio cuyo índice de refracción es n, la correspondiente diferencia en

el camino óptico es,

10

n b senθ

Como la distancia desde P hasta O es muy pequeña comparada con d ( d y ), Figura 5, senθ θ tanθ ,

por lo que la diferencia de camino óptico se podrá expresar de diferentes formas mediante las respectivas

aproximaciones,

y n b senθ n b θ n b tanθ n b [11]

d

La posición de los máximos sobre la pantalla corresponde a la condición de interferencia constructiva,

ecuación [8],

oΔ = mλ con m = 0,±1,±2,...

y como según [11],

y n b

d

se obtiene,

máxyn b = m λ

do

omáx

m λ d y = con m=0, 1, 2,... [12]

nb

La posición de los mínimos sobre la pantalla corresponde a la condición de interferencia destructiva,

ecuación [9.1],

oλΔ = m' con m' = ±1,±3,...

2

y como según [11],

y n b

d

se obtiene,

minλy

n b = m' d 2

o

11

omin

m' λ d y = con m= 1, 3,... [13]

2nb

Fácil es demostrar que la distancia entre dos franjas brillantes consecutivas (dos máximos consecutivos) o

entres dos franjas oscuras consecutivas (dos mínimos consecutivos) es,

o λ d y = [14]

nb

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al experimento de Young. Para acceder a ella

hacer clic con el mouse en el ítem señalado en las Figura 6. En ésta hacer las variaciones permitidas y

observar detenidamente los resultados.

http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics

Figura 6

Ejemplo 1:

(a) Comparar el patrón de intensidades obtenido realizando el experimento de Young, Figura 3, en el aire

con el obtenido realizando el experimento en el agua. (b) Comparar el patrón de intensidades obtenido

realizando el experimento de Young en el aire con luz azul con el obtenido realizando el mismo experimento

con luz roja. (c) Describir el resultado si el experimento se realiza con luz blanca.

12

Solución:

La separación entre las franjas brillantes (los máximos) o las franjas oscuras (los mínimos) del patrón de

intensidades en la pantalla de proyección en el experimento de Young está dada por la ecuación [14],

o λ d y = [14]

nb

(a) Si el experimento se realiza en el agua el n = 1,33 y si se realiza en el aire n = 1,00, por lo tanto se

concluye que las franjas brillantes (y las oscuras) están más pegadas en el experimento que se realiza

en el agua con respecto al que se realiza en el aire.

(b) Si el experimento se realiza (n=1,00), la ecuación [14] se transforma en,

o λ d y =

b

Si se hace con luz azul y con luz roja, se concluye de esta ecuación que las franjas brillantes azules están

más pegadas que las franjas brillantes rojas ya que la longitud de onda de la luz azul es menor que la

longitud de onda de la luz roja, Figura 7.

Figura 7

Se deja al lector resolver el literal (c).

13

Ejemplo 2:

Luz monocromática verde, de longitud de onda 550 nm, ilumina dos rendijas angostas paralelas separadas

por 7.7 µm. Calcular la desviación angular de la franja brillante de tercer orden, (i) en radianes, (ii) en

grados.

Solución:

En la Figra 8 se ilustra la escena física.

Figura 8

Según la ecuación [8] la condición de interferencia constructiva es,

oΔ = mλ con m = 0,±1,±2,...

además de la ecuación [11] para el experimento de Young, se tiene,

n b θ

Combinando estas dos ecuaciones,

on b θ = m λ

o m λθ =

n b

Reemplazando m=3 (tercera franja brillante), -9

oλ = 550×10 m , -6b = 7,70×10 m , n = 1,00 se obtiene,

θ =0,214 rad

14

oθ =12,3

Ejemplo 3:

En un experimento como el de Young, la distancia entre las rendijas es de 5.22 mm y éstas están a 1.36 m

de la pantalla. Sobre ésta pueden verse dos patrones de interferencia, uno debido a luz de 480 nm de

longitud de onda y el otro debido a luz de 612 nm de longitud de onda. Hallar la separación sobre la pantalla

entre las franjas de interferencia de tercer orden de los dos patrones diferentes.

Solución:

En la Figura 9 se ilustra la escena física.

Figura 9

Según la ecuación [12] la posición de los máximos o franjas brillantes (interferencia constructiva) en el

experimento de Young es,

omáx

m λ d y = con m=0, 1, 2,... [12]

nb

Reemplazando m=3 (tercera franja brillante), -9

oλ = 480×10 m , -3b = 5,22×10 m , d=1,36 m, n = 1,00 se

obtiene,

3,azuly = 0,375 m

Reemplazando m=3 (tercera franja brillante), -9

oλ =612×10 m , -3b = 5,22×10 m , d=1,36 m, n = 1,00 se

obtiene,

3,rojoy = 0,478 m

15

Por lo tanto,

y= 0,478 m - 0,375 m = 0,103 m

Ejemplo 4:

Se usa una hoja delgada de mica (n = 1,58) para cubrir una de las rendijas en un experimento de Young. El

punto central en la pantalla está ocupado por lo que era la séptima franja brillante antes de cubrir la

rendija. Si la longitud de onda es 550 nm, ¿cuál es el espesor de la mica?

Solución:

En la Figura 10 se ilustra la escena física.

Figura 10

Para que la franja brillante que estaba en el orden 7 (m=7) se traslade al centro (m = 0), debe cumplirse

para la diferencia de camino óptico que,

o = 7λ

Ahora como la pantalla está muy lejos comparando con b, b d ,

1 2 = n + r - - re e

2 1 = n - 1 - r - re

y en el centro,

16

2 1r - r 0

por lo tanto,

= n - 1e

quedando,

on - 1 = 7λe

o7λ

= n - 1

e

Reemplazando -9

oλ = 550×10 m , n=1,58, se obtiene,

= 6,64 μme

Ejemplo 5:

Espejo Lloyd: Una fuente puntual ilumina un espejo, estando situada a 1 cm por encima del plano que

contiene al mismo. La pantalla de observación está situada en el borde derecho del espejo plano que tiene

una longitud de 50 cm y a una distancia de 5,50 m de la fuente. Si se ilumina el dispositivo con luz

monocromática de 500 nm, calcular la interfranja y el número de franjas enteras brillantes y oscuras que

se ven en la pantalla.

Solución:

El dispositivo se ilustra en la Figura 11. El sistema es equivalente a un dispositivo de Young, con una fuente

REAL S y una fuente VIRTUAL S’ (imagen de la anterior a través del espejo).

Figura 11: Espejo de Lloyd

Según la interferencia de Young la distancia entre dos franjas brillantes o dos franjas oscuras es:

17

o λ d y = [14]

nb

Reemplazando, n=1,00, b= 2,00x10-2 m, d=5,50 m, o=500x10-9 m,

y = 0,138 mm

Como se puede observar el rayo que incide en el extremo izquierdo del espejo lo hace con el menor ángulo,

, y por lo tanto el correspondiente reflejado alcanza la parte más alta sobre la pantalla, hmax, (con

respecto a los demás rayos que inciden en el espejo). Por lo tanto el número de franjas es,

500

tan φ =1

max

50h =

tan φ

maxhN = 7 franjas

0,138 mm

Este es la suma de las franjas brillantes y oscuras en la porción de tamaño hmáx sobre la pantalla.

En el espejo de Lloyd se hace división del frente de onda, como en la interferencia de Young.

Interferencia de ondas de luz: Películas delgadas

Otro método para obtener dos fuentes coherentes a partir de una sola fuente y producir interferencia

observable consiste en hacer reflejar un haz de luz sobre las caras de una película delgada: esta situación

se puede considerar que es por división en la amplitud, ya que la onda que incide parte se refleja en la

primera superficie de la película delgada y parte se refleja en la segunda (la amplitud de estas ondas

reflejadas es inferior a la de la onda original, es decir a la de la incidente). Supóngase tres medios cuyos

índices de refracción son respectivamente n1, n2 y n3 separados por superficies planas y supóngase además

que el medio de índice de refracción n2 tiene espesor e (comparable con la longitud de onda de la luz),

Figura 12.

Para analizar la interferencia constructiva y destructiva en esta situación, es más cómodo hacerlo a través

de la diferencia de camino óptico y utilizando las ecuaciones [8] y [9.1]. Por tanto se calculará primero .

o = m λ con m = 0, 1, 2,... [8]

oλ = m' con m' = 1, 3,... [9.1]

2

18

La diferencia de caminos ópticos (aproximada y asumiendo incidencia casi normal) entre los dos hace de luz

reflejados en la primera y la segunda superficies hasta llegar a la pantalla de proyección en P (que podría

ser la retina, o los sensores de una cámara CCD -Charge Coupled Device-,… ) es,

1 2 2 2 1 1 1 1n AB + n BC + Λ + n CD + n DP - n AB + Λ + n BP

Aquí, 1 y 2 corresponden a los posibles incrementos en oλ

2en el camino óptico de la luz en las

reflexiones en las superficies de los dieléctricos en B y en C respectivamente. Sólo habrá este incremento

cuando la luz incide desde un medio de menor índice de refracción sobre otro de mayor índice de

refracción (equivale a un incremento en la fase igual a ).

Figura 12

Como BC = CD e y BP DP se obtiene,

2 2 12n [15]e

19

Ejemplo 6:

Mostrar que si incide luz de longitud de onda en el vacío oλ en dirección casi normal desde un medio de

índice de refracción n1 sobre una película delgada de espesor e y de índice de refracción n2 que se

encuentra sobre un sustrato de índice de refracción n3, con n1 < n2 < n3, habrá para la luz reflejada

interferencia constructiva para espesores iguales a,

o

2

mλ con m = 1,2,3,...

2ne

e interferencia destructiva para espesores iguales a,

o

2

λm' con m = 1,3,5,...

4ne

Solución:

En la Figura 13 se ilustra la escena física.

Figura 13

En este caso debido a la reflexión en la primera y segunda superficies se tiene,

o1

λ

2

o2

λ

2

20

y por lo tanto la ecuación [15] se convierte en,

22n e

De esta forma la condición para interferencia constructiva es,

o = m λ con m = 0, 1, 2,... [8]

2 o2n mλe

Es decir para habrá interferencia constructiva para espesores de la película que cumplan,

o

2

mλ con m = 1,2,3,...

2ne

Observar que para el contador m, no se tiene en cuenta valores negativos ya que corresponderían a

espesores negativos de la película delgada lo que no tiene significado físico. Tampoco se tiene en cuenta el

valor cero ya que correspondería a un espesor cero lo cual sería trivial.

La condición para interferencia destructiva es,

oλ = m' con m' = 1, 3,... [9.1]

2

o2

λ2n m'

2e

Es decir para habrá interferencia destructiva para espesores de la película que cumplan,

o

2

λm' con m = 1,3,5,...

4ne

Tampoco se tuvo en cuenta en el contador m, los valores negativos por la misma razón dada anteriormente.

Ejemplo 7:

Mostrar que si incide luz de longitud de onda en el vacío oλ en dirección casi normal desde un medio de

índice de refracción n1 sobre una película delgada de espesor e y de índice de refracción n2 que se

encuentra sobre un sustrato de índice de refracción n3, con n1 < n2 y n2 > n3, habrá para la luz reflejada

interferencia constructiva para espesores iguales a,

o

2

λ2m + 1 con m = 0, 1, 2, 3...

4ne

21

e interferencia destructiva para espesores iguales a,

o

2

λm' + 1 con m = 1, 3, 5...

4ne

Solución:

En la Figura 13 se ilustra la escena física. En este caso debido a la reflexión en la primera y segunda

superficies se tiene,

o1

λ

2

2 0

Y por lo tanto la ecuación [15] se convierte en,

o2

λ2n

2e

De esta forma la condición para interferencia constructiva es,

o = m λ con m = 0, 1, 2,... [8]

o2 o

λ2n mλ

2e

Es decir para habrá interferencia constructiva para espesores de la película que cumplan,

o

2

λ2m + 1 con m = 0, 1, 2, 3...

4ne

La condición para interferencia destructiva es,

oλ = m' con m' = 1, 3,... [9.1]

2

o o2

λ λ2n m'

2 2e

Es decir para habrá interferencia destructiva para espesores de la película que cumplan,

22

o

2

λm' + 1 con m = 1, 3, 5...

4ne

Ejemplo 8:

Se desea recubrir una placa plana de vidrio (n = 1,50) con un material transparente (n = 1,25) de tal modo

que no refleje la luz de 620 nm de longitud de onda (en el vacío) que incide normalmente. ¿Qué espesor

mínimo tendría el recubrimiento?

Solución:

La luz incide desde el aire. La película delgada es el material transparente de índice 1,25 que se depositará

sobre el vidrio de índice 1,50. Por lo tanto esta es la misma situación que se analizó en el ejemplo 6. Para no

reflexión la condición es de interferencia destructiva que según ese ejemplo es,

o

2

λm' con m = 1,3,5,...

4ne

Es decir que el mínimo espesor es,

o

2

λ

4ne

Reemplazando n2= 1,25 y o = 620 nm se obtiene,

= 124 nme

Ejemplo 9:

La cuña lineal: una cuña de aire está formada por dos láminas de vidrio de índice n que hacen un ángulo muy

pequeño, Figura 14. Si incide normalmente luz de longitud de onda en el vació o demostrar que las franjas

brillantes están ubicadas en,

omax

λ Lx = 2m - 1 con m =1,2,3,...

4 h

y las franjas oscuras en,

omin

λ Lx = m con m =0,1,2,3,...

2 h

23

Figura 14

Solución:

En este caso debido a la reflexión en la primera y segunda superficies se tiene,

1 0

o2

λ

2

Y por lo tanto la ecuación [15] se convierte en,

o2

λ2n

2e

El espesor e es variable y se puede expresar como,

h x

Le

Y por lo tanto,

o2

λh x2n

L 2

De esta forma la condición para interferencia constructiva es,

o = m λ con m = 0, 1, 2,... [8]

24

o2 o

λh x2n mλ

L 2

Es decir para habrá interferencia constructiva para los x que cumplan,

omax

2

λ Lx 2m - 1 con m = 1, 2, 3...

4n h

como n2=1,00,

omax

λ Lx 2m - 1 con m = 1, 2, 3...

4 h

La condición para interferencia destructiva es,

oλ = m' con m' = 1, 3,... [9.1]

2

o o2

λ λh x2n m'

L 2 2

Es decir para habrá interferencia destructiva para los x que cumplan,

omin

2

λ Lx m' - 1 con m' = 1, 3, 5...

4n h

como n2=1,00,

omin

λ Lx m' - 1 con m' = 1, 3, 5,...

4 h

o lo que es lomismo,

omin

λ Lx 2m con m = 0, 1, 2,...

4 h

omin

λ Lx m con m = 0, 1, 2,...

2 h

Observar que en x=0 hay una franja oscura.

Ejemplo 10:

Los anillos de Newton: El fenómeno de los anillos de Newton, es un patrón causado por la reflexión de la

luz entre dos superficies, una esférica y otra plana, Figura 15. Con luz coherente monocromática de

longitud de onda o se observa una serie de anillos concéntricos que alternan entre brillantes y oscuros.

25

Estos anillos tienen su centro en el punto de contacto entre las superficies. Mostrar que el radio de los

anillos brillantes cumple,

max

1r = m - λ R con m = 1, 2, 3...

2

Solución:

En este caso debido a la reflexión en la primera y segunda superficies se tiene,

1 0

o2

λ

2

Figura 15

Y por lo tanto la ecuación [15] se convierte en,

o2

λ2n

2e

El espesor e es variable y se puede expresar como,

2 2 = R - R - re

En donde r corresponde al radio de los anillos.

26

Como r<<R,

2

2

r = R - R 1 -

Re

2 2

2

1 r 1 r R - R 1

2 R 2 Re

y por lo tanto,

2

o2

λ1 r2n

2 R 2

De esta forma la condición para interferencia constructiva es,

o = m λ con m = 0, 1, 2,... [8]

2

max o2 o

r λ12n mλ

2 R 2

Es decir el valor rmax de los anillos brillantes es,

1

2o

max

λ1r = m - R con m = 1, 2, 3...

2 n

1

2

max

1r = m - λ R con m = 1, 2, 3...

2

Observar que r > 0 cuando m=1, y por lo tanto el centro debe ser oscuro. De la ecuación también se deduce

que para poder observar los anillos es necesario que el radio de la superficie curva sea muy grande, es

decir, casi plana. Es por esto que si se juntan dos placas planas transparentes presionando una sobre la otra

con una punta este fenómeno puede apreciarse.

Interferencia de ondas de luz: Colores de interferencia

La gasolina forma una película muy fina al depositarse sobre el agua. La luz que se refleja sobre ella puede

hacerlo sobre la superficie del agua o sobre la superficie de la gasolina. El espesor de la capa es tal que los

rayos reflejados por la gasolina y el agua llegan al ojo en unas condiciones en las que se puede producir

interferencias constructivas y destructivas (película delgada). Según las condiciones que se den en cada

27

punto se anulan unos colores u otros. Si se observa una zona de color azul significa que se ha anulado la luz

amarilla. Si a la luz blanca le quitamos la componente amarilla, nos queda su color complementario que es el

azul. Con las pompas de jabón pasa algo parecido, Figura 16, la luz se refleja en la capa interior y exterior

de la pompa. Es decir estos colores se originan fundamentados en el fenómeno de interferencia, por lo que

se denominan colores de interferencia.

Figura 16

Cuando se ilumina con luz blanca cualquier película delgada (cuñas, anillos de Newton,…) presentará el

fenómeno de colores de interferencia.

Ejemplo 11:

Analizar los colores de interferencia en una pompa de jabón, Figura 16.

Solución:

Figura 17

28

En la Figura 17 se ilustra una representación de la escena física. En este caso debido a la reflexión en la

primera y segunda superficies se tiene,

o1

λ

2

2 0

y por lo tanto la ecuación [15] se convierte en,

o2

λ2n

2e

De esta forma la condición para interferencia constructiva es,

o = m λ con m = 0, 1, 2,... [8]

o2 o

λ2n mλ

2e

y habrá interferencia constructiva para los espesores de la pompa de jabón que cumplan,

o

2

λ2m+1 con m = 0, 1,2,3,..

4ne

La condición para interferencia destructiva es,

oλ = m' con m' = 1, 3,... [9.1]

2

o o2

λ λ2n m'

2 2e

y habrá interferencia destructiva para los espesores de la pompa de jabón que cumplan,

o

2

λm'+1 con m' =1,3,..

4ne

Para cada color, es decir cada o, habrá un espesor correspondiente para interferencia constructiva y

destructiva. En un instante dado habrá colores que no estarán ni en interferencia constructiva ni

destructiva. Por lo tanto se observarán diferentes colores con diferentes intensidades. Los que no se

observen en un instante dado es porque están en interferencia destructiva. Adicionalmente a medida que la

pompa va disminuyendo su espesor como consecuencia variará sus colores.

29

Ejemplo 12:

Un medio anisótropo es atravesado por luz blanca polarizada linealmente. Si se observa ésta con un

polarizador lineal se ven colores. Mostrar que estos colores son obtenidos por interferencia de la luz.

Solución:

En la Figura 18 se ilustra luz blanca polarizada incidiendo en un cristal (o medio anisótropo).

Si la luz está incidiendo sobre una placa anisótropa (birrefringente), Figura 18. La luz blanca no polarizada

al atravesar el primer polarizador adquiere polarización lineal (está representada con línea amarilla), la cual

as u vez se puede considerar como la superposición de dos ondas de luz, una con polarización en el plano XZ

y la otra con polarización en el plano YZ, que a su vez son coherentes para cada componente de la luz

blanca, es decir, para cada color. Al entrar estas dos componentes de la luz al medio anisótropo cada una

viajara con una velocidad diferente dependiendo de los índices de refracción nx y ny respectivamente (en la

Figura 18 se supuso que nx < ny). Por lo tanto cuando sale de este medio de espesor d, quedan con una

diferencia de fase .

Figura 18

Para calcular esta diferencia de fase se parte de la representación como ondas armónicas de cada una,

x x ox = A sen k z - wt + φ

y y oy = A sen k z - wt + φ

recordar que x e y son campos eléctricos. Sus fases respectivas son,

30

x x oφ z,t = k z - wt + φ

y y oφ z,t = k z - wt + φ

El cambio de fase que presenta la onda polarizada en el plano XZ cuando recorre el medio de espesor d es,

x x x xφ = φ d,0 - φ 0,0 k d

Teniendo en cuenta que,

x

x

2πk =

λ

y que,

ox

x

λn =

λ

se obtiene.

x x

o

2πΔφ = n d (1)

λ

Análogamente el cambio de fase para la onda polarizada en el plano YZ es,

y y

o

2πΔφ = n d (2)

λ

En esas expresiones (1) y (2), o corresponde a la longitud de onda de la luz en el vacío. La diferencia de

fase entre estas dos ondas después de atravesar el cristal es,

x yΔφ = Δφ - Δφ

x y

o

2πΔφ= n - n d

λ

Las dos componentes se desfasan en , sin embargo no pueden interferir ya que sus polarizaciones son

ortogonales. Al atravesar estas componentes el segundo polarizador, quedaran vibrando en el mismo plano

que está definido por el eje Z y el eje de transmisión de este polarizador. Ya las ondas interfieren

dependiendo de la diferencia de fase . Sin embargo, esta diferencia de fase depende de la longitud de

onda de la luz o, por lo que para algunos colores podrá haber interferencia constructiva, para otros

destructiva y para otros ni la una ni la otra: esto genera el desplegué de colores en el material, Figura 19.

31

Figura 19

Video:

Observar el video que ilustra los colores de interferencia por polarización:

http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/recursos/videos/videos_experimentos_fisica/optica_ondulatoria/polarizacion_colores_interferencia.html

Dos aplicaciones de los colores de interferencia por polarización son la microscopía de polarización, Figura

20, y la fotoelasticidad (técnica usada para medir esfuerzos y deformaciones), Figura 21.

Figura 20

32

Figura 21

Resumen

Condiciones de interferencia:

Las fuentes deben ser coherentes: la diferencia de fase se debe mantener constante.

Las dos fuentes deben tener la misma frecuencia.

Es muy conveniente utilizar una fuente para producir de ella dos fuentes secundarias coherentes.

Se obtendrán patrones más claros (máximo contraste) si las amplitudes de las ondas son iguales es

decir mejor visibilidad de las franjas.

Dos estados de polarización lineal coherentes ortogonales no pueden interferir.

Dos estados de polarización lineal coherentes paralelos pueden interferir en una misma región del

espacio.

Taller sobre interferencia

Pendiente

FIN.