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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA
MÓDULO # 18: ÓPTICA FÍSICA -DIFRACCIÓN- Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
Temas
Introducción
Una simplificación
Ondas de luz: condiciones de difracción
Difracción de ondas de luz: Interferencia vs Difracción
Difracción de ondas de luz: Difracción en rendija rectangular angosta
Difracción de ondas de luz: Difracción en doble rendija rectangular angostas
Difracción de ondas de luz: Red de difracción
Aplicación de difracción: Espectroscopía
Aplicación de difracción: Holografía
Aplicación de difracción: Sistema Formadores de Imágenes
Aplicación de difracción: El Blu Ray
Taller sobre interferencia
Introducción
Cuando una onda se encuentra con un obstáculo o
abertura (ventana) cuyo tamaño es del orden de su
longitud de onda, es capaz de rodearlo (o voltearla), lo
cual logra al desviarse (“torcerse”) de su dirección de
incidencia. La difracción ocurre en todo tipo de ondas,
desde ondas sonoras, ondas en la superficie de un
fluido y ondas electromagnéticas como las ondas de
radio y televisión, la luz visible y los rayos x. En este
módulo se tratará la difracción de la luz; entre las
aplicaciones de ésta se encuentra su uso en la
espectroscopía, Figura 1, y su uso en la teoría de los
sistemas formadores de imágenes; por ejemplo, los
hologramas son redes de difracción.
Una simplificación
Como se explicó en el módulo # 16 sobre polarización, en la óptica la mayoría de los materiales que se
emplean son de dieléctricos (vidrios, plásticos, agua,...). Para estos sólo es de interés fundamental la
componente eléctrica de la luz por lo ésta, en el caso de ser una onda plana armónica monocromática, por
ejemplo, vibrando en dirección Y y propagándose en dirección +Z, se representa,
y oy oE = E sen kz - wt + φ j 1
2
Para "evadir" por el momento la naturaleza electromagnética de la luz, se representará la ecuación [1] en
términos de "elongaciones":
y oy = A sen kz - wt + φ j 2
Sin embargo se debe estar consciente que la supuesta "elongación", en este caso y , realmente representa
un campo eléctrico y Ay corresponderá a la amplitud de ese campo (es decir, su máximo valor). Bajo esta
representación, la ecuación [2] corresponde a una onda electromagnética (o luz si la frecuencia
corresponde a esta sección del espectro electromagnético) vibrando en el plano YZ y propagándose en
dirección +Z: se dirá que la onda está polarizada linealmente en el plano YZ.
Ondas de luz: condiciones de difracción
El principio de propagación rectilínea de la luz ha sido fundamental para la descripción de los fenómenos
analizados en los módulos de óptica geométrica (módulos # 12, # 13, # 14, # 15); gracias a ese principio se
ha podido reemplazar las ondas luminosas con los rayos que representan las direcciones de propagación de
los frentes de onda y se ha podido obtener relaciones sencillas que dan cuenta, con buena aproximación, del
comportamiento de algunos sistemas ópticos.
Sin embargo, ya desde el siglo XVII Grimaldi había observado que la luz tenía la capacidad de bordear
obstáculos de la misma forma como lo hacen las ondas que se propagan sobre la superficie de un estanque;
este hecho contradecía el principio de propagación rectilínea y reforzaba la teoría acerca de la naturaleza
ondulatoria de la luz.
Para ilustrar lo anterior se puede pensar un sencillo experimento en el cual la luz procedente de una fuente
puntual se hace incidir sobre una pantalla en la cual se haya abierto una ranura. Mientras la ranura sea
bastante amplia, sobre otra pantalla paralela a la primera se formará una franja iluminada que puede
correctamente interpretarse como la proyección geométrica de la ranura, Figuras 2 (a) y 2 (b); también
podrá observarse que dicha franja iluminada varía su anchura según la ranura se haga más amplia o más
estrecha.
Figura 2
3
Ocurre sin embargo que si la ranura se hace muy estrecha entonces la zona de iluminación en la pantalla se
amplía evidenciando así que, en este caso, la luz no se propaga en forma rectilínea, Figura 2 (c); este
fenómeno llamado difracción se presenta cuando una onda (cualquiera que sea su naturaleza) se encuentra
con obstáculos cuyas dimensiones son comparables con la longitud de onda.
Queda entonces claro que el fenómeno de la difracción establece el límite de aplicabilidad de las leyes de
la óptica geométrica porque ésta se basa en el principio de propagación rectilínea que es el que
precisamente falla cuando los obstáculos y/o rendijas que se interponen al paso de la luz tienen
dimensiones comparables con su longitud de onda. Una consecuencia es que para la óptica geométrica la
imagen de un punto dada por un sistema formador de imágenes es un punto, pero considerando los efectos
de difracción realmente es una mancha. En la Figura 3 se ilustra esto para el caso de una lente: observar
que NO todo el frente de onda la atraviesa.
Figura 3
En esencia podemos afirmar que se observa efectos de difracción cuando una parte de la onda es
interrumpida, siendo el patrón observado el resultado interferencial de las distintas partes del frente de
onda no interrumpido. De lo anterior se puede decir que como cualquier instrumento óptico sólo utiliza una
parte de un frente de onda en todos ellos aparecen los fenómenos de difracción.
En el experimento de la Figura 1 se logra observar sobre la
pantalla un conjunto de franjas brillantes y oscuras, que
conforman el llamado patrón de difracción producido por una
rendija. El patrón de difracción presenta una franja central
relativamente ancha y brillante y, a ambos lados, otras franjas
brillantes de intensidad decreciente, Figura 4.
Figura 4
4
Figura 5
Con relación a la Figura 5 es preciso aclarar que existen dos clases de difracción producidas por una
rendija:
Difracción de Fresnel que se presenta cuando las distancias D1 y/o D2 son finitas.
Difracción de Fraunhofer que se presenta cuando las distancias D1 y D2 son infinitas.
En este módulo se analizará únicamente la difracción de Fraunhofer, para la cual se considera que los rayos
de luz que inciden sobre la abertura son paralelos, es decir las ondas son planas y adicionalmente los rayos
difractados en la misma dirección, o lo que es lo mismo para cada inclinación, que obviamente son paralelos,
deben converger al mismo punto P en la pantalla (se intersectan en la pantalla). Esto se logra por ejemplo
con la fuente S muy lejana (D1 infinita) y la pantalla ubicada también muy lejos (D2 infinita), Figura 6: estas
distancias en el laboratorio corresponden a algunos metros.
Otra forma de lograr la difracción de Fraunhofer con distancias finitas, es mejorando el montaje con el
uso de lentes, lo cual logra, aprovechando las propiedades focales de éstas expuestas en el módulo # 15;
para tal fin, como se ilustra en la Figura 7, basta colocar una lente convergente entre la fuente puntual y la
rendija de manera que la fuente esté en el foco de la lente y otra lente convergente entre la rendija y la
pantalla de manera que ésta coincida con el plano focal de la lente.
El análisis de la difracción de Fraunhofer se realiza suponiendo que cada punto, al interior de la rendija,
sobre el cual llega la perturbación se convierte en fuente secundaria de la perturbación, de manera que las
condiciones de iluminación en cada punto de la pantalla queden determinadas por la superposición de las
ondas elementales generadas por los diferentes puntos de la rendija.
5
Figura 6
Figura 7
Difracción de ondas de luz: Interferencia vs Difracción
Conceptualmente NO hay diferencia esencial entre el fenómeno de interferencia y el fenómeno de
difracción: la diferencia radica en que se usa el término interferencia cuando el número de fuentes
involucradas es pequeño (es discreto, es contable), mientras que se usa el término de difracción si se tiene
una distribución continua de fuentes (no es contable) como pueden ser las partes infinitesimales de una
abertura.
Difracción de ondas de luz: Difracción en rendija rectangular angosta
La difracción se puede interpretar como interferencia de la luz emitida por un continuo de fuentes
puntuales. Con base en esto para analizar en este módulo la difracción por una rendija rectangular muy
6
angosta y larga (es decir se comporta como un conjunto lineal de fuentes puntuales), Figura 8, se hará con
base en la interferencia de Young.
Figura 8
Se considera la difracción de Fraunhofer y las fuentes puntuales emitiendo ondas esféricas armónicas
todas con la misma polarización lineal y de la misma frecuencia. Por lo tanto en un punto P determinado de
la pantalla (por ejemplo con una elevación θ respecto a la horizontal) la onda resultante es plana y
corresponde a la superposición (interferencia en este caso) de infinitas ondas planas (infinitos M.A.S en el
punto P) los cuales se consideran con iguales amplitudes Ap. Para hacer el cálculo se hará primero la
superposición de dos M.A.S procedentes de dos fuentes simétricas S1 y S2 como se ilustra en la Figura 8,
es decir Young, que según lo visto en el módulo # 17:
2 2 2
p 1p 2p 1p 2pA = A + A + 2A A cosΔφ
Como 1p 2p oA = A = A se obtiene,
2 2
p oA = 2A 1 + cosΔφ
2 2 2
p o
ΔφA = 4A cos
2
Como,
2π
Δφ = k Δ 2z senθλ
l
Y por lo tanto,
7
2 2 2
p o
2πA = 4A cos senθ z
λ
p o
2πA = 2A cos senθ z
λ
ésta es la amplitud resultante correspondiente sólo la contribución de dos fuentes de las infinitas. Para
sumar la contribución de todas las fuentes se debe buscar la forma que el conjunto de fuentes se
transforme en una fuente lineal continua (coherente). Para esto se redefine la expresión anterior como,
op
2A 2πdA = cos senθ z dz
b λ
en donde la expresión representa la contribución de todos los pares de fuentes correspondientes a las
fuentes ubicadas en la longitud dz. El factor o2A
b
es una “especie” de densidad de amplitud y o2A
dzb
es
la contribución a la amplitud final debido a las fuentes que se encuentran en la longitud dz y sus pares de
Young simétricos.
op
2A 2πdA = cos senθ dz
b λz
Integrando,
p
bA 2
op
0 0
2A 2πdA = cos senθ z dz
b λ
Cambiando variable,
2πu = senθ z
λ
2πdu = senθ dz
λ
Cuando z=0 y u=0 y cuando z=b/2, u=u’,
2π bu' = senθ
λ 2
Por lo tanto,
8
u'
op
0
2AA = cos u du
2πb senθ
λ
op
2AA = sen u'
2πb senθ
λ
op
2A 2π bA = sen senθ
2π λ 2b senθ
λ
p o
πbsenθsen
λA = A
πbsenθ
λ
Por lo tanto la intensidad es,
2
p
πbsenθsen
λI θ = I 0 [3]
πbsenθ
λ
Mínimos de difracción de la rendija rectangular angosta:
En la ecuación [3],
πbsenθβ =
λ
2
p
senβI θ = I 0
β
Descartando β = 0 , habrá mínimos de difracción en,
senβ = 0
β = mπ con m = 1, 2,...
Es decir,
πbsenθm π =
λ
9
b senθ = m λ con m= 1, 2, 3,... [4]
La franja central en la pantalla corresponde es a m=0 y es un máximo. En la Figura 9 se ilustra el patrón de
intensidades para esta difracción y en la Figura 10 la distribución sobre la pantalla.
Figura 9
Figura 10
10
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a la difracción de Fraunhofer para una rendija
rectangular angosta. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en las Figura 11. En
ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics
Figura 11
Ejemplo 1:
Luz monocromática incide normalmente sobre una rendija de 0,022 mm de anchura, el primer mínimo de
difracción se observa a 1,80o de la dirección del haz incidente. Determinar la longitud de onda del haz
incidente.
Solución:
La Figura 12 permite una buena visualización de la escena física. La posición de los mínimos de difracción
sobre la pantalla cumplen la ecuación [4],
b senθ = m λ con m= 1, 2, 3,...
En el primer mínimo m =1 y adicionalmente es muy pequeño, por lo tanto,
bθ = λ
11
Figura 12
Reemplazando los valores,
θ = 0,0314 rad
6b = 22,0 10 m
se obtiene
λ = 691 nm
Ejemplo 2:
Luz monocromática de 441 nm de longitud de onda incide normalmente sobre una rendija angosta. En una
pantalla que está alejada 2,16 m, la distancia entre el segundo mínimo y el máximo central es de 1,62 cm.
Hallar la anchura de la rendija.
Solución:
La Figura 13 permite una buena visualización de la escena física. La posición de los mínimos de difracción
sobre la pantalla cumplen la ecuación [4],
b senθ = m λ con m= 1, 2, 3,...
En el segundo mínimo m =2 y adicionalmente es muy pequeño, por lo tanto,
b tanθ = 2λ
12
Figura 13
2yb = 2λ
D
2
2λb = D
y
Reemplazando los valores,
9λ = 441 10 m
D = 2,16 m
2
2y = 1,62 10 m
se obtiene
b = 118 μm
Ejemplo 3:
Una rendija está iluminada por luz que tiene dos componentes cuyas longitudes de onda son 1, 2, elegidas
de modo que el primer mínimo de difracción de la componente 1, coincida con el segundo mínimo de la
componente 2. ¿Qué relación existe entre las dos longitudes de onda?
13
Solución:
La Figura 14 permite una buena visualización de la escena física. La posición de los mínimos de difracción
sobre la pantalla cumple la ecuación [4],
b senθ = m λ con m= 1, 2, 3,...
Aplicando esta condición para 1 con m=1 y para 2 con m=2, y considerando que es el igual para ambos
mínimos se obtiene,
1b senθ= λ
2b senθ= 2λ
Figura 14
Igualando estas dos ecuaciones se obtiene,
1 2λ = 2λ
Ejemplo 4:
Explicar el procedimiento que se puede utilizar en el laboratorio para medir el diámetro de un cabello
empleando el fenómeno de difracción.
14
Solución:
Se hace incidir un haz de luz láser de longitud de onda normalmente sobre el cabello y se proyecta el
patrón de difracción en una pantalla, Figura 15.
Figura 15
Se procede a medir d (distancia del máximo central del patrón de difracción y el primer mínimo), D
(distancia del cabello a la pantalla de proyección). Se tiene en cuenta que la condición para los mínimos de
difracción (el cabello se comporta como una ranura rectangular donde su espesor es el ancho b de ésta),
b senθ = m λ con m= 1, 2, 3,...
Para m=1,
b senθ = λ
Teniendo en cuenta que es pequeño se obtiene,
b tanθ = λ
db = λ
D
Por lo tanto el espesor del cabello es,
λDb =
d
En donde corresponde a la longitud de onda de láser.
15
Ejemplo 5:
Si la rendija rectangular se ilumina con luz blanca, describir el patrón de difracción en la pantalla.
Solución:
Con base en la condición para mínimos de difracción, ecuación [4], se puede deducir que la luz se abre más a
mayor longitud de onda, es decir, se abre más la roja que la azul. Por lo tanto la luz difractada se
descompone en su espectro, Figura 16. La luz que no se difractas, es decir la que sigue con la dirección de
incidencia no se descompone.
Figura 16
Difracción de ondas de luz: Difracción en doble rendija rectangular angostas
En el análisis de la interferencia producida por dos rendijas realizado en el módulo # 17, experimento de
Young, se supuso que las rendijas eran estrechas lo suficiente para que las dos ondas, que en ellas se
generaban, pudieran considerarse emitidas por fuentes puntuales; sin embargo esta condición, en la
práctica, muy difícilmente se satisface. Aquí se volverá a analizar la interferencia producida por dos
rendijas teniendo en cuenta que, cuando el ancho de cada una de ellas no es menor que la longitud de onda
de la luz, cada una de las rendijas produce difracción y el patrón resultante sobre una pantalla es, en
realidad, el resultado de la superposición de los dos patrones de difracción.
En el módulo # 17 se mostró que si se tienen dos fuentes puntuales de igual intensidad, coherentes y
monocromáticas separadas una distancia b su patrón de interferencia, es decir su intensidad, en un punto P
determinado (por ejemplo, sobre una pantalla) corresponde al patrón del experimento de Young
16
2
o
ΔφI = 4I cos
2
en donde,
2πbsenθΔφ =
λ
En éste módulo se mostró que si se tiene una rendija rectangular angosta de ancho a, su patrón de
difracción de Fraunhofer, es decir su intensidad en un punto P determinado (por ejemplo, sobre una
pantalla) es,
2
p
πasenθsen
λI θ = I 0
πasenθ
λ
Figura 17
Si se tienen dos rendijas rectangulares angostas cada una de ancho a y separadas una distancia b, Figura
17, se observa que:
la distribución espacial de las franjas corresponden al dado por la interferencia de Young.
la intensidad de cada franja está dada por la difracción de la rendija rectangular.
Por lo tanto, la intensidad resultante corresponde al patrón de interferencia de Young MODULADO por el
patrón de difracción de la rendija rectangular, lo que se escribe así,
17
2
2
p o
πasenθsen
πbsenθλI θ = 4I cos [5]
πasenθ λ
λ
Este resultado explica satisfactoriamente la disminución de la intensidad de las franjas brillantes a medida
que nos alejemos del centro de la pantalla.
Como muestra la Figura 18 se presentan cierto número de franjas brillantes de interferencia moduladas
por el máximo central de difracción y luego otros sistemas de franjas brillantes laterales notablemente
más débiles, dado que los máximos laterales de difracción son mucho menos elevados que el central.
Figura 18
Se puede calcular el número de franjas brillantes de interferencia contenidas en el máximo central de
difracción teniendo en cuenta que los primeros mínimos de difracción a ambos lados del máximo central
corresponden a la condición u = ±π , es decir:
18
D1
πa senθ = ±π
λ
de donde se obtiene,
D1
λsenθ = ±
a
Por otra parte los máximos de interferencia están dados por la relación,
in i i
πb senθ = ±n π con n 0,1,2,...
λ
o sea,
i
in
n λsenθ = ±
b
donde inθ y
Dnθ son los ángulos bajo los cuales se ven, desde el punto central entre las dos rendijas, los
puntos de la pantalla en donde se presentan respectivamente los máximos de interferencia y los mínimos de
difracción. El número N de franjas brillantes de interferencia contenidas debajo del máximo central de
difracción puede calcularse entonces bajo la condición,
i Dn 12θ = 2θ
Para ángulos menores de /2, esta condición equivale a,
i Dn 12senθ = 2senθ
de donde obtenemos,
in λ λ± = ±
b a
o sea,
i
bn =
a
Evidentemente el número N es igual a i2n +1 dado que habrá in franjas brillantes de interferencia a la
derecha y a la izquierda de la franja brillante central:
i
bN = 2n +1 =2 + 1 [6]
a
19
Difracción de ondas de luz: Red de difracción
El siguiente paso, es considerar el diagrama de difracción producido por varias rendijas paralelas de igual
ancho a, espaciadas regularmente una distancia d, Figura 19.
Figura 19
La intensidad que se mide en la dirección correspondiente al ángulo θ es el producto de dos términos:
la intensidad de la difracción producida por una rendija de anchura a,
la intensidad debida a la interferencia de N fuentes separadas una distancia d.
2 2
o
πasenθ Nπdsenθsen sen
λ λI=I [7]
πasenθ πdsenθ
λ λ
En este módulo se omitirá la demostración de esta ecuación. El patrón de intensidad consiste en una serie
de franjas brillantes, correspondientes a los máximos principales de la interferencia de N fuentes dada
por,
dsenθ = mλ con m= 0, 1, 2,... [8]
A m se le denomina el ORDEN DE DIFRACCIÓN. Los valores de estos máximos estarán moduladas por el
diagrama de difracción, tal como puede verse en la Figura 19. Los mínimos de difracción están señalados en
color rojo.
Figura 19
20
La ecuación [8] se puede explicar observando la Figura 20,
Figura 20
La diferencia de camino óptico (suponiendo que el experimento se realiza en el aire) entre dos ondas
adyacentes (ondas secundarias provenientes de dos ranuras consecutivas) es,
Δx = dsenθ
Para producir interferencia constructiva se debe cumplir,
Δx = dsenθ = mλ
dsenθ = mλ con m= 0, 1, 2,... [8]
Una red de difracción se caracteriza por el número de líneas por mm, lin/mm que es igual 1/d. En el
laboratorio de este curso se dispone de redes de 500 lin/mm, 1000 lin/mm. El CD, el DVD son redes de
difracción: el primero de 625 lin/mm y el segundo con 1351 lin/mm.
Un montaje de laboratorio es el de la Figura 21.
21
Figura 21
Observar que el primer máximo (orden 1 de difracción) cumple, según la ecuación [8],
d senθ = λ
1
2 2
1
yd = λ [9]
D +y
Esta expresión es la que se usa en el laboratorio del curso para los siguientes objetivos:
Medir el número de líneas por mm de una red de difracción.
Medir longitudes de onda del espectro visible
Ejemplo 6:
En la Figura 22 se ilustra un esquema del montaje usado en el laboratorio para medir las longitudes de onda
de las componentes de la luz blanca emitida por un LED. Si la red de difracción usada es de 500 líneas/mm
calcular la distancias y1 sobre la mesa del laboratorio (que es donde se van a proyectar los espectros) para
las longitudes de onda: rojo (650 nm), naranja (600 nm), amarillo (580 nm), verde (550 nm), azul (470 nm),
violeta(400 nm). La mesa de laboratorio se encuentra a 70 cm de la red de difracción.
Solución:
22
De la ecuación [9] se obtiene,
12
λDy =
λd 1-
d
Para una red de difracción de 500 líneas/mm d es igual a,
1d = mm = 0,002 mm = 2μm
500
Reemplazando los valores de las longitudes de onda de cada color (recordar que 1 nm=10-9 m) y los valores,
D= 0,70 m, d=2x10-6 m se obtiene los valores de y1: Rojo 24,1 cm, Naranja 22,0 cm, Amarillo 21,2 cm,
Verde 20,0 cm, Azul 16,9 cm y Violeta, 14,3 cm.
Figura 22
Para comentar:
La ecuación de la red es la misma que la que da los máximos en el diagrama de interferencia de una doble
rendija. De hecho, se puede estudiar el efecto de ir aumentando progresivamente el número N de rendijas,
partiendo de dos, hasta llegar a un número suficientemente grande de ellas como para considerar una red.
El resultado destaca dos hechos:
la intensidad de cada máximo aumenta con N2.
la semianchura del máximo (ángulo entre el centro del máximo y su mínimo adyacente) disminuye como
1/N.
23
Por tanto si una doble rendija produce un patrón de franjas con una determinada distribución de
intensidades, una red produce, si N es elevado, produce un patrón que consiste en máximos nítidos,
estrechos y brillantes y el resto de la pantalla oscuro.
Entre las aplicaciones de las redes de difracción está su uso para fabricar espectroscopios.
Video:
Observar el video que ilustra el uso de una red de difracción para obtener el espectro de la luz solar:
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/recursos/videos/videos_experimentos_fisica/ondas_electromagnetic
as/espectro_luz_solar.html
Aplicación de difracción: Espectroscopía
En primera instancia es importante recordar el espectro electromagnético, Figura 23.
Figura 23: Espectro electromagnético
El espectro electromagnético se extiende desde la radiación de menor longitud de onda, como los rayos
gamma y los rayos X, pasando por la radiación ultravioleta, la luz y la radiación infrarroja, hasta las ondas
electromagnéticas de mayor longitud de onda, como son las ondas de radio. La luz es una muy pequeña
24
porción de este espectro y comprende a las ondas electromagnéticas que están en el rango de longitudes
de onda entre 380 nm y 750 nm, Tabla 1.
Espectro Color
Longitud de onda
λ
(nm)
violeta 380–450
azul 450–495
verde 495–570
amarillo 570–590
naranja 590–620
rojo 620–750
Tabla 1: Longitudes de onda del visible
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al espectro electromagnético. Para acceder a ella
hacer clic con el mouse en el ítem señalado en las Figura 24. En ésta hacer las variaciones permitidas y
observar detenidamente los resultados.
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics
Figura 24
Fue Newton quien descubrió que la luz del Sol, al pasar por un prisma de vidrio, se descompone en luces con
los colores del arco iris. La franja de luces de colores que se obtienen al separar la luz del Sol se denomina
espectro solar.
25
Cualquier cuerpo puede emitir luz si está a una temperatura lo suficientemente alta, como ocurre con el
filamento de una bombilla cuando es atravesada por una corriente eléctrica, Figura 25. Los sólidos y
líquidos emiten un espectro fundamentalmente continuo y similar al del Sol (contiene la misma distribución
de colores y solo cambia la intensidad de cada uno de ellos).
En cambio en estado gaseoso cada sustancia tiene un espectro característico que la identifica como si de
un código de barras se tratara (una especie de “huella digital”), Figura 24 (observar que el espectro de
emisión y el de absorción del mismo gas son complementarios). La espectrometría es una técnica que
aprovecha esta circunstancia para conocer la composición de un material analizando la luz que desprende
cuando se somete a incandescencia (es utilizada en astronomía para identificar los componentes de una
estrella como el Sol).
Figura 25: Con una red de difracción se puede descomponer la luz (es decir, obtener los espectros). En
esta ilustración el gas caliente y el gas frío corresponden a la misma sustancia.
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a los espectros de absorción y emisión de los
elementos. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en las Figura 26. En ésta hacer
las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics
Figura 26
26
¿Por qué una red de difracción se puede utilizar para obtener los espectros?
Según la ecuación [8] para la posición de los máximos de difracción dados por una red se cumple,
dsenθ = mλ con m= 0, 1, 2,... [8]
Como se puede deducir las componentes de la luz con mayores longitudes de onda se desvían más. Si luz
blanca atraviesa la red de difracción, en cada orden de difracción excepto el orden cero se obtiene un
espectro, Figura 27. Con base en esto se tendrán espectros de orden +1 y -1, +2 y -2,….
Figura 27
La calidad de una red de difracción puede cuantificarse en términos de su dispersión D. Esta magnitud
describe la capacidad de una red para dispersar las diferentes longitudes de onda en un determinado
orden,
dθD =
dλ
De la ecuación [8],
-1dθ d mλ = sen
dλ dλ d
dθ mD = , m = 0, 1, 2,... [10]
dλ d cosθ
27
Se observa que la dispersión de una red de difracción se aumenta conforme la distancia d se hace más
pequeña (es decir, a mayor líneas/mm) y a medida que el orden se hace más grande. Notar que la dispersión
NO depende del número total de líneas N de la red sino de su densidad de líneas (líneas/mm).
El poder de resolución R de una red de difracción describe su capacidad para distinguir máximos
cercanamente espaciados. Si la diferencia de longitudes de onda ∆λ entre dos líneas es lo suficientemente
pequeña como para que se superpongan (∆θm muy pequeño), el máximo resultante queda ambiguo, es decir,
las líneas no están resueltas. El poder de resolución de la red se define como:
min
λR = [11]
Δλ
(∆)min es la mínima diferencia resoluble (distinguible) de longitud de onda (límite de resolución). Se puede
demostrar (no se hace en éste módulo) que,
R = Nm [12]
En donde N es el número de líneas de la red de difracción y m el orden de difracción. Observar que el
poder de resolución de la red depende sólo del número total de líneas N y del orden.
Redes de difracción de reflexión y de transmisión
Se distinguen dos tipos de redes de difracción: redes por reflexión y redes por transmisión. Las redes por
reflexión se construyen grabando rayas paralelas equiespaciadas en la superficie pulimentada de un metal.
La luz se refleja en los salientes entre las rayas marcadas. En las redes por transmisión, las rayas paralelas
se graban sobre una placa transparente, y la luz pasa a través de los espacios transparentes que existen
entre dichas rayas.
EL CD y el DVD como redes de difracción:
En la Figura 28 se observan unas imágenes obtenidas con un microscopio electrónico de un CD-R y un
DVD+R vírgenes y a 15000 aumentos. Tanto en uno como en otro caso, el dispositivo posee una capa de
policarbonato, en la que se encuentra impresa una pista en espiral. La separación entre pistas en vueltas
sucesivas de un CD es 1.6 µm y de un DVD, 0.74 µm. Estas líneas, que tienen una disposición periódica en el
CD y DVD, pueden servir como redes de difracción para realizar experimentos en el laboratorio.
Figura 28: Pistas en un CD-R y DVD+R vírgenes. Imágenes tomadas con un microscopio electrónico de
barrido JEOL-6100. SCTs. Universidad de Oviedo.
28
Un comentario para aprender a quitar la capa metálica de un CD-R y de un DVD+R.
Eliminación de la capa metálica de un CD-R: con un cuchillo muy afilado, hacer un corte en la cara del
CD-R que tiene la etiqueta, a 1 milímetro de la periferia, hasta formar un círculo cerrado de diámetro 1
milímetro inferior al del CD-R. El corte tiene que ser superficial, no es necesario que atraviese el CD.
Aparecerá una fina capa de color metálico que se desprende en las cercanías de la región en la que se
realizó el corte. Se repite lo mismo alrededor del agujero central del CD. Introducir la cuchilla
lentamente por debajo de la capa metálica que comienza a levantarse en las proximidades del corte
exterior. Observar que la capa metálica se va despegando de la capa de policarbonato, con bastante
facilidad.
Eliminación de la capa metálica de un DVD+R (4.7 GB, una cara, capa simple): estos discos están
formados por dos capas de policarbonato, siendo la que no lleva la etiqueta la que contiene la espiral de
datos. Introducir con cuidado un cuchillo muy afilado entre estas dos capas. Haciendo palanca con el
cuchillo se logra que las dos capas se separen fácilmente. En una de ellas se quedará pegada la capa
metálica. Procurar que sea en la que contiene la etiqueta, para que así la capa de la espiral quede
completamente transparente.
Resumiendo, los surcos de los CD o de los DVD pueden ser considerados como redes de difracción de
reflexión con la capa metálica sin retirar y retirada ésta se convierten en redes de difracción por
transmisión.
El número de líneas por mm de un cd es,
1 1 líneasη = = = 625
d 1,6μm mm
y para un DVD,
1 1 líneasη = = = 1351
d 0,74 μm mm
La luz solar al incidir sobre un CD o en un DVD se descompone en colore debido a la difracción.
Un dato interesante: si se desenvuelve la espiral del CD tendría una longitud de 5,4 km.
Video:
Observar el video que ilustra el uso de un CD como red de difracción de reflexión para obtener el espectro
de la luz solar:
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/recursos/videos/videos_experimentos_fisica/optica_ondulatoria/cd_red_difraccion.html
El espectrómetro de PhysicsSensor
29
En el laboratorio del curso se experimenta con el espectroscopio de PhysicsSensor, Figura 25, cuyo
esquema se ilustra en la Figura 29.
Figura 29
Los espectros observados se componen de una colección de líneas de colores (líneas espectrales). Son
líneas ya que lo que se proyecta sobre la red de difracción es la rendija de entrada (una línea de luz). La
función de la lente es lograr una iluminación los más uniforme posible de la red (es decir aplana las ondas),
lo que mejora la resolución de los espectros obtenidos.
Ejemplo 7:
¿Cómo saber cuántos órdenes de difracción pueden ser obtenidos con una red de difracción?
Una red de difracción se ilumina normalmente con luz roja de longitud de onda igual a 650 nm. Calcular el
número de órdenes de difracción que pueden ser obtenidos si la red tiene: (a) 100 líneas/mm. (b) 500
líneas/mm. Hacer el cálculo también suponiendo que la red es un CD y un DVD.
Solución:
Según la ecuación [8] los máximos de difracción en una red cumplen,
dsenθ = mλ con m= 0, 1, 2,... [8]
Por lo tanto,
mλsenθ =
d
mλ1
d
dm
λ
30
(a) Red de 100 líneas/mm
1d = mm = 0,01mm
100
Por lo tanto,
-5
-9
1×10 mm
650×10 m
m 15
Es decir se despliegan los órdenes 0, ±1,±2,…,±15.
(b) Red de 500 líneas/mm
1d = mm = 0,002mm
500
Por lo tanto,
-6
-9
2×10 mm
650×10 m
m 3
Es decir se despliegan los órdenes 0, ±1,±2,±3.
(c) Un CD: 625 líneas/mm
1d = mm = 0,0016 mm
625
Por lo tanto,
-6
-9
1,6×10 mm
650×10 m
m 2
Es decir se despliegan los órdenes 0, ±1,±2.
(d) Un DVD: 1351 líneas/mm
1d = mm = 0,00074 mm
1351
Por lo tanto,
31
-6
-9
0,74×10 mm
650×10 m
m 1
Es decir se despliegan los órdenes 0, ±1.
Aplicación de difracción: Holografía
La holografía es una técnica óptica que permite el registro y visualización de objetos tridimensionales.
Cuando se observa el holograma, es equivalente a mirar el objeto a través de una ventana, se puede cambiar
el punto de observación apreciando así otras partes del objeto que son imposibles de captar en una sola
fotografía. Otra característica de un holograma es que cada uno de sus puntos guarda información de
todos los puntos del objeto, es decir, si un holograma se parte en varios pedazos, cada pedazo tiene la
información de todo el objeto iluminado, tan sólo se limitan los puntos de vista desde donde se puede
observar el objeto.
La holografía se basa en los fenómenos de interferencia y difracción de la luz. La grabación, es decir su
construcción, se basa en el fenómeno de interferencia y su reproducción, es decir observación, en el de
difracción. El holograma es una red de difracción que representa al objeto y que es fabricada a través del
fenómeno de interferencia.
Proceso de grabación (construcción) del holograma:
Para hacer un holograma se necesita una fuente luminosa
coherente (un láser), una placa fotosensible y
naturalmente un objeto. La emulsión fotosensible tiene un
espesor de aproximadamente 10 micrones. La luz
proveniente del láser es separada en dos haces: el haz de
referencia (R), el cual no ilumina el objeto, y el haz que lo
ilumina (O), Figura 28. El primero es simplemente
proyectado en la película holográfica, a través de un
espejo y una lente. El otro haz es direccionado hacia el
objeto, de forma que la luz difundida por este sea también
proyectada en la película: en definitiva a ésta llegan dos
ondas de luz coherentes e interfieren, grabándose en ésta
un patrón complejo de interferencia (en los sitios de la
película holográfica en donde hay interferencia constructiva ésta se “quema” grabándose una franja oscura
y donde hay interferencia destructiva no se “quema” la película). La película revelada se denomina
HOLOGRAMA y su apariencia es una figura compleja de franjas claras y oscuras, y poco o nada se asemeja
al objeto holografiado.
Proceso de reproducción (observación) del holograma:
La siguiente etapa consiste en reconstruir la imagen. Para esto se ilumina la película holográfica (el
HOLOGRAMA) de modo que sea atravesada por la luz láser de referencia (para los hologramas
32
denominados de transmisión), incidiendo en la misma dirección del haz de referencia original, Figura 29,
aparecen rayos luminosos (rayos difractados) que corresponden con exactitud a los reflejados por el
objeto real, viéndose éste en toda su magnitud tridimensional: observar que da simultáneamente una otra
VIRTUAL (o también denominada ortoscópica, es decir, con la perspectiva correcta) y una imagen REAL (o
también denominada pseudoscópica, es decir, con la perspectiva invertida): esta última es de difícil
obtención con buena calidad.
Figura 29
El hecho de que la imagen reconstruida con un holograma sea tridimensional, muestra que este contiene
más información sobre un objeto que una fotografía. Una fotografía común registra solo las variaciones de
intensidad de la luz reflejada por un objeto. Un holograma registra no solo variaciones de intensidad sino
también de fase en función de la profundidad del objeto. Se establece así la necesidad de usar un haz
láser: solo con un haz coherente es posible tener una fase de referencia bien definida.
Tipos de hologramas
Según la geometría como se graben los hologramas se clasifican en: de transmisión o de reflexión. En los
primeros los dos haces, objeto O y referencia R, llegan por el mismo lado de la placa quedando grabado el
patrón de interferencia en la superficie de la película holográfica, es decir la red de difracción formada se
encuentra en la superficie (por esto también se denominan de superficie); para ser observados deben ser
atravesados por luz láser (por esto se denominan de transmisión), esto es debido a que la red de difracción
que constituye el holograma difracta la luz en diferentes ángulos dependiendo de la longitud de onda. Es
decir, si se ilumina con luz blanca, cada color será desviado a diferentes lugares haciendo imposible lograr
una imagen nítida del objeto.
En los segundos los dos haces llegan por lados contrarios a la placa holográfica quedando grabado el patrón
de interferencia en todo el volumen de la placa (en todo el espesor), es decir la red de difracción formada
serán planos paralelos dentro de ésta (por esto también se denominan de volumen); para ser observados se
debe reflejar sobre ellos luz blanca (por esto se denominan de reflexión), esto es debido a que este tipo de
red selecciona sólo una longitud de onda, aquella que es igual a la distancia entre planos (se puede
demostrar que los demás colores interfieren destructivamente).
33
Video:
Observar el video que ilustra un holograma de luz blanca:
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/recursos/videos/videos_experimentos_fisica/optica_ondulatoria/holograma.html
Aplicación de difracción: Sistema Formadores de Imágenes
La difracción de la luz puede ser usada para analizar cualquier SFI (Sistema Formador de Imagen) y
complementar el tratamiento de éstos que se hace en la óptica geométrica. Por ejemplo es la difracción la
que logra explicar la denominada RESOLUCIÓN de los SFI, tema en el cuál se enfocará esta sección de
este módulo.
Un objeto se puede definir como una colección de puntos luminosos (fuentes luminosas). De esta forma se
puede pensar en él como una especie de “red difractora” con muchas aberturas (las fuentes luminosas).
Este será el modelo sobre un objeto que se empleará para comenzar el análisis del concepto de
RESOLUCIÓN de un SFI: un objeto es entonces una fina estructura de difracción.
Para comprender mejor, se supondrá que el objeto es una red de difracción (de un determinado número de
líneas/mm) y el SFI será una LENTE CONVERGENTE, Figura 30. La luz se difracta atravesar la red. Al
rayo no desviado de orden 0 se añaden los rayos difractados, por una y otra parte del rayo de orden 0 y
según los órdenes de difracción sucesivos: -1 y +1, -2 y +2, -3 y +3, etc. Si se ubica una pantalla en el plano
focal imagen de la lente se obtiene el patrón de difracción de Fraunhofer del objeto, que este caso
consistirá de las manchas correspondientes a cada uno de los órdenes de difracción: cada uno de éstos
contienen una parte de la información sobre el objeto estudiado. Realizando experimentos, suprimiendo
órdenes de difracción (esto se logra colocando obstáculos en el plano focal imagen de la lente), se concluye
lo siguiente:
Si se deja pasar sólo el orden cero, la pantalla queda iluminada en forma pareja y corresponde a lo que
se denomina el término CD de la imagen del objeto. Corresponde al fondo (“background”) de la escena
de la imagen o BIAS (o término CERO). NO HAY CONTRASTE.
Si se deja pasar sólo los órdenes + 1 y -1, se obtiene una distribución de franjas, tipo Young, en donde
se puede observar para la periodicidad espacial de la red: las líneas por mm. Ya HAY CONTRASTE
pero no aparece en la imagen las líneas de la red.
A medida que se van dejando pasar más órdenes de difracción se van insinuando mejor las líneas de la
red. Para observar las líneas con todo su detalle tendrían que dejarse pasar TODO los órdenes de
difracción: los más elevados tienen la información de los detalles más finos del objeto.
34
Figura 30
Entonces, ¿dónde radica el problema?
El problema radica en que la lente debido a que tiene un tamaño limitado no puede recoger los órdenes de
difracción más altos, perdiéndose información de los detalles más finos del objeto. Por esta razón la
imagen de un punto dado por un SFI es una “mancha”, como se ilustra en la Figura 31 para el caso de una
lente. Observar en la figura que estas “manchas” tienen realmente una estructura (la mayor intensidad de
la luz está en su centro y luego aparecen anillos) y reciben el nombre patrón de Airy: al disco central se le
denomina disco de Airy. Cada patrón de Airy (“mancha”) es la imagen dada por la lente de un punto del
objeto: mientras más pequeños sean estos patrones (“manchas”) mayor resolución de la imagen. En efecto,
si dos objetos puntuales están muy cerca el uno del otro, sus “imágenes manchas” podrán montarse la una
sobre la otra de tal forma que no se pueda distinguir a qué punto objeto corresponde: este el llamado límite
de resolución del SFI, Figura 32.
Figura 31
35
Figura 32
La capacidad de dejar pasar órdenes de difracción es lo que una la lente objetivo del microscopio recibe el
nombre de apertura numérica (NA). Esta se define como,
NA = nsenθ [13]
En donde n es el índice de refracción del medio en donde está la lente (1,0 para aire y 1,56 para aceites de
inmersión) y es la mitad del ángulo de apertura (ángulo hsata donde se logran captar los rayos luminosos
refractados cuando éstos cuando éstos atraviesan un medio transparente), Figura 32. A mayor NA menor
tamaño de los patrones de Airy (“manchas”).
Figura 32
36
Cuando la lente objetivo del microscopio se sumerge en aceite de inmersión (n=1,56) al tener este un índice
sililar al ldel vidrio (portaobjetos, cubreobjetos y el objetivo), los rayos luminosos periféricos que emergen
del objeto no se desvían y pueden ser aceptados por el objetivo, incrementándose de esa manera los
órdenes de difracción que penetran al microscopio. Si el medio que hay entre la muestra y el objetivo es
aire el diámetro posible de la lente limita la apertura numérica a 0,65 como máximo. Con aceite de
inmersión se puede aumentar hasta 1,40 aunque el valor mas común es 1,25.
Se define como poder de resolución d de un objetivo de microscopio a la distancia mínima que debe existir
entre dos puntos del objeto para que se puedan visualizar como dos puntos separados. La calidad de una
imagen, en la que se observe la claridad, nitidez y la riqueza de detalles, depende del poder de resolución
del objetivo. El poder de resolución (d) de un objetivo depende de la longitud de onda () de la luz que se
utiliza y de su apertura numérica,
λ
d=1.22 [14]2 NA
Esta fórmula no se demostrará en este módulo.
Esto significa que si se emplea un objetivo de NA = 1,25 con una longitud de onda de 560 nm, el poder de
resolución será de 273 nm, lo que indica que el objetivo será capaz de distinguir o resolver la imagen de dos
puntos que en el objeto están separados entre sí por 273 nm. Si la separación de ellos es menor a esta
cifra el objetivo no podrá distinguirlos como dos puntos separados. La cifra resultante de aplicar la
fórmula se denomina límite de resolución.
Como dato interesante, el máximo poder de resolución que se puede obtener es de 200 nm (0,2 µm)
aproximadamente. En la Figura 33 se ilustran los objetivos de un micrsocopio.
Figura 33
37
Aplicación de difracción: El Blu Ray
En la Figura 34 se ilustra la sección transversal de un disco blu-ray. Sobre la espiral se graba la
información en forma de bordes y pozos de diferente longitud. Los pozos tienen una profundidad de 65 nm,
que es aproximadamente la cuarta parte de la longitud de onda en el policarbonato de la luz azul del láser,
64,1 nm (=405 nm en el aire y el índice de refracción n del policarbonato es igual a 1,58), esto es
fundamental en el proceso de lectura de los datos,
o
policarbonato
λn =
λ
opolicarbonato
λλ =
n
policarbonato
405 nmλ =
1,58
policarbonatoλ = 256,3 nm
policarbonatoλ = 64,1 nm
4
Figura 34: Sección transversal de un disco Blu-ray
El disco gira y los bordes y pozos de la espiral pasan sobre la luz láser. El paso de un borde a un pozo o
viceversa se interpreta como UNOS de lo contrario son CEROS.
En la Figura 35 se ilustra un esquema del funcionamiento del proceso de lectura del disco. Esencialmente es
un proceso óptico:
38
La luz láser azul pasa por una red de difracción. Generando tres órdenes: 0, ± 1. El orden 0 es el que se
emplea para la lectura de los datos y para lo del enfoque sobre el disco. Los órdenes ± 1 vigilan que no
se esté descarrilando la lectura ya que estos órdenes se deben mantener sobre los bordes y en caso de
no ser así el sistema reajusta los elementos mecánico-ópticos.
Figura 35: Esquema del lector de discos Blu-ray
El orden CERO cuando está sobre un borde brilla por completo y la luz se refleja toda en los
fotodiodos. Cuando este orden está sobre un pozo parte de la luz se refleja en el borde y parte en el
pozo recorriendo aproximadamente media longitud de onda (en el policarbonato) más cuando viaja
dentro del borde que dentro del pozo lo que genera interferencia destructiva y a los fotodiodos llega
menos luz. En el primer caso se marca más voltaje y en segundo menos voltaje: esto le permite al
sistema darse cuenta cuando la luz láser pasa de borde a pozo y viceversa con el fin de registrar los
UNOS.
La función de las lentes es mejorar el enfoque.
La función de los elementos de polarización (polarizadores, lámina retardadora y prisma divisor de haz
polarizado) es controlar la intensidad de luz que no llega a los fotodiodos (que no llegue demasiada luz).
Espectros REALES y VIRTUALES dados por la red de difracción
Analizar líneas paralelas por órdenes de difracción y por color (real y virtual): con lentes y sin lentes
Esto todavía se encuentra en construcción.
Ofrecemos disculpas.
D.A. y R.R.
39
Mayo 27 de 2013
Taller sobre difracción
Pendiente
FIN.
