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Problemas de PL con varias variables

Análisis de Sensibilidad

M.C. Ing. Julio Rito Vargas Avilés

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

UN-NORTE SEDE-ESTELI

Asignatura:

Investigación de Operaciones I

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P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

1. Ken & Larry Inc. surte su helado a los expendios encuatro sabores: chocolate, vainilla, chicle y banano.Debido al calor extremo y la alta demanda, la compañíatiene un déficit en el abastecimiento de los ingredientes:leche, azúcar y crema .Esto no le permite satisfacer todas las órdenesrecibidas de sus expendios. Por estas circunstancias, lacompañía a decidido seleccionar la cantidad que debeproducir de cada sabor para maximizar la ganancia total,dadas las restricciones en las cantidades de ingredientesbásicos.

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P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

Sujeto a:

• La compañía tiene solo 220 galones de leche, 170libras de azúcar y 70 galones de crema. (por mes)

• Un galón de helado de chocolate consume: 0.45 galónde leche, 0.5 libra de azúcar y 0.10 galón de crema.

• Un galón de helado de Vainilla consume: 0.5 galónde leche, 0.4 libra de azúcar y 0.15 galón de crema.

• Un galón de helado de banano consume: 0.4 galón deleche, 0.4 libra de azúcar y 0.2 galón de crema.

• Un galón de helado de chicle consume: 0.4 galón deleche, 0.4 libra de azúcar y 0.3 galón de crema.

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P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

Sujeto a:

• La compañía para mantener su mercado cautivo desabores a decidido también producir al menos 30galones de helados de cada uno de los cuatro sabores.

• Los sabores de chocolate, vainilla, banano y chiclegeneran ganancias respectivas de $1.10, $1.0, $0.9,y $.95 por galón.

220 gls170 lbs

70 gls

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Variables de decisión

X1 = Números de Galones de helados de chocolate

X2 = Números de Galones de helados de vainilla

X3 = Números de Galones de helados de plátano

P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

X4= Números de Galones de helados de chicle

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Función objetivo

Max. Z = 1.1 X1 + 1.0 X2 + 0.90X3 + 0.95X4

$ = ($/galón de chocolate) x (Número galones chocolate)+ ($/galón de vainilla) x (Número galones vainilla) + ($/galón de plátano) x (Número galones plátano)+ ($/galón de chicle) x (Número galones chicle)

P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

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Restricción de producción(leche)

0.45X1 es el total de galones de leche que se requieren para producir X1 galones de chocolates

0.5X2 es el total de galones de leche que se requieren para producir X2 galones de vainilla

0.4X3es el total de galones de leche que se requieren para producir X3 galones de banano

0.4X4 es el total de galones de leche que se requieren para producir X4 galones de chicle

0.45X1 + 0.5X2 + 0.4X3 + 0.4X4 220

P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

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Restricción de producción(azúcar)

0.5X1 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X1 galones de chocolates

0.4X2 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X2 galones de vainilla

0.4X3es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X3 galones de banano

0.4X4 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X4 galones de chicle

0.5X1 + 0.4X2 + 0.4X3 + 0.4X4 170

P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

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Restricción de producción(crema)

0.1X1 es el total de galones de crema que se requieren para producir X1 galones de chocolates

0.15X2 es el total de galones de crema que se requieren para producir X2 galones de vainilla

0.2X3es el total de galones de crema que se requieren para producir X3 galones de banano

0.3X4 es el total de galones de crema que se requieren para producir X4 galones de chicle

0.1X1 + 0.15X2 + 0.2X3 + 0.3X4 70

P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

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Compromisos de demanda

X1 galones de chocolate 30 galones

X2 galones de vainilla 30 galones

X3 galones de Banano 30 galones

X4 galones de chicles 30 galones

P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

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Sujeto a:

No se necesitan las condiciones de no negatividad puesto que existen restricciones de demanda mayores que cero para todas las variables de decisión.

Max. Z = 1.1 X1 + 1.0 X2 + 0.90X3 + 0.95X4

0.45X1 + 0.5X2 + 0.4X3 + 0.4X4 220

0.5X1 + 0.4X2 + 0.4X3 + 0.4X4 170

0.1X1 + 0.15X2 + 0.2X3 + 0.3X4 70

X1 30

X2 30

X3 30

X4 30

P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

12SIGUE

P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

Coeficiente del modelo matemático

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Solución

SIGUE

P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

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PREGUNTAS ADICIONALES

Suponga que la ganancia por galón de banano

es $1.00 ¿cambia la solución óptima y que se

puede decir de la ganancia total?

-Cambia la ganancia

total

Cambia la solución

óptima.

P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

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PREGUNTAS ADICIONALES

Suponga que la ganancia por galón de banano

es $0.92 ¿cambia la solución óptima y que se

puede decir de la ganancia total?

-Cambia levemente la

ganancia total

No cambia la solución

óptima

Se podría decir que no

hay cambios relevantes

en la optimización.

P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

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PREGUNTAS ADICIONALES Suponga que descubren tres galones de

crema agrio que tienen que tirarse ¿cambia

la solución óptima y que se puede decir de

la ganancia total?

Se podría decir que no hay

cambios en la optimización

ni en la ganancia, eran

sobrantes.

P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

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PREGUNTAS ADICIONALES Suponga que tienen la oportunidad de

comprar 15 libras adicionales de azúcar por

un costo total de $15.00¿Deben comprarlas

? explique Con 15 libras de azúcar adicionales

P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

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PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN “TRASLADO DE GRAVA A PROYECTOS DE

CONSTRUCCIÓN”

Problema de Programación Lineal

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2. Constructora. ¿Qué cantidad de grava enviarde cada distribuidor(tres) a cada proyecto(tres)con el objeto de minimizar los costos totales?

Sujeto a:

• No enviar más de; 150 tons. del distribuidor 1;175 tons. del distribuidor 2 y 275 tons. deldistribuidor 3.

• Enviar 200 tons. al proyecto 1; 100 tons. alproyecto 2 y 300 tons. al proyecto 3.

P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

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P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

• Los costos de envío del distribuidor i al proyecto j son los siguientes:

• Costo del distribuidor 1 al proyecto 1, C11=$6

• Costo del distribuidor 1 al proyecto 2, C12=$8• Costo del distribuidor 1 al proyecto 3, C13=$10

• Costo del distribuidor 2 al proyecto 1, C21 =$7• Costo del distribuidor 2 al proyecto 2, C22=$11• Costo del distribuidor 2 al proyecto 3, C23=$11• Costo del distribuidor 3 al proyecto 1, C31 =$4• Costo del distribuidor 3 al proyecto 2, C32=$5• Costo del distribuidor 3 al proyecto 3, C33=$12

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Costos de Envío (por tonelada)

Costos de Envío

Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3

Distribuidor 1 6 8 10

Distribuidor 2 7 11 11

Distribuidor 3 4 5 12

Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3

Distribuidor 1 X11 X12 X13

Distribuidor 2 X21 X22 X23

Distribuidor 3 X31 X32 X33

Cuánto enviar a cada proyecto?

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Variables de decisión

XIJ = Número de toneladas a enviar deldistribuidor “I” al proyecto “J”.

Función objetivo

Min. Z = 6X11 + 8X12 + 10X13 + 7X21 + 11X22

+ 11X23 + 4X31 + 5X32 + 12X33

Formulación de la Función Objetivo

X11 = Número de toneladas a enviar deldistribuidor “1” al proyecto “1”.

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Restricciones de disponibilidad

X11 + X12 + X13 150

X21 + X22 + X23 175

X31 + X32 + X33 275

Restricciones de requerimientos

X11 + X21 + X31 = 200

X12 + X22 + X32 = 100

X13 + X23 + X33 = 300

P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

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Min. Z = 6X11 + 8X12 + 10X13 + 7X21 + 11X22

+ 11X23 + 4X31 + 5X32 + 12X33

X11 + X12 + X13 150

X21 + X22 + X23 175

X31 + X32 + X33 275

X11 + X21 + X31 = 200

X12 + X22 + X32 = 100

X13 + X23 + X33 = 300

X11, X12, X13 .... X33 0

Sujeto a:

P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

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INGRESO DE LOS COEFICIENTES DEL MODELO

MATEMATICO EN EL WINDQSB

26

Solución

27

Solución

28

Red de Distribución

29

Cuánto se envió a cada proyecto y de que distribuidor?

Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 Oferta

Distribuidor 1 0 0 150 150

Distribuidor 2 25 0 150 175

Distribuidor 3 175 100 0 275

Demanda 200 100 300 600

Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3

Distribuidor 1 6 8 10

Distribuidor 2 7 11 11

Distribuidor 3 4 5 12

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3. Mezcla de minerales. ¿Qué porcentaje de lacomposición del nuevo producto provendrá decada una de las cuatro minas conel objeto de minimizar su costo.

Sujeto a:

• El contenido del elemento básico “A” en el nuevoproducto no sea menor de 5 lb’s/ton.

• El contenido del elemento básico “B” en el nuevoproducto no sea menor de 100 lb’s/ton.

• El contenido del elemento básico “C” en el nuevoproducto no sea menor de 30 lb’s/ton.

Programación Lineal: Formulación

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Variables de decisión

X1 = porcentaje que provendrá de la mina 1

X2 = porcentaje que provendrá de la mina 2

X3 = porcentaje que provendrá de la mina 3

X4 = porcentaje que provendrá de la mina 4

Programación Lineal: Formulación

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Función objetivo

Min. Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3 + C4 X4

$ = ($/ton. mina 1) x (% de la mina 1)+ ($/ton. mina 2) x (% de la mina 2)+ ($/ton. mina 3) x (% de la mina 3)+ ($/ton. mina 4) x (% de la mina 4)

Min. Z = 800X1 + 400X2 + 600X3 + 500X4

Programación Lineal: Formulación

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Restricción de elemento básico A

10X1 + 3X2 + 8X3 + 2X4 5

Restricción de elemento básico B

90X1 + 150X2 + 75X3 + 175X4 100

Restricción de elemento básico C

45X1 + 25X2 + 20X3 + 37X4 30

Programación Lineal: Formulación

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Min. Z = 800X1 + 400X2 + 600X3 + 500X4

10X1 + 3X2 + 8X3 + 2X4 5

90X1 + 150X2 + 75X3 + 175X4 100

45X1 + 25X2 + 20X3 + 37X4 30

X1 + X2 + X3 + X4 = 1

X1, X2, X3, X4 0

Sujeto a:

Programación Lineal: Formulación

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INGRESO DE COEFICIENTES Y LADO DERECHO EN

WINQSB

36

SOLUCIÓN DEL MODELO LINEAL (EN WINQSB)

37

Programación Lineal: Formulación

4. Orsini. Fabrica tres tipos de zapatos. ¿Qué cantidad de cada estilo debe fabricar

durante el mes con el objeto de maximizar las utilidades?

Sujeto a:

• No deben asignarse más de 1,200 horas detiempo de producción.

• Todos los costos de producción, de materialesy costos fijos deben cubrirse con el efectivodisponible durante el mes que es de $16,560.

• Satisfacer ciertos compromisos de demanda:30 estilo 1, 55 estilo 2 y 32 estilo 3.

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Variables de decisión

X1 = Número de pares de zapatos estilo 1 que debenfabricarse durante el mes.

X2 = Número de pares de zapatos estilo 2 que debenfabricarse durante el mes.

X3 = Número de pares de zapatos estilo 3 que debenfabricarse durante el mes.

Programación Lineal: Formulación

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Cálculo de C1

(3.5 horas/par) x ($10/hora) = $35/par

(3.25 U. piel/par) x ($4/U. piel) = $13/par

$48/par

Función objetivo

Max. Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3

$ = ($/par de zap. estilo 1) x (pares de zap. estilo 1)+ ($/par de zap. estilo 2) x (pares de zap. estilo 2)+ ($/par de zap. estilo 3) x (pares de zap. estilo 3)

Programación Lineal: Formulación

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de forma similar,

C2 = $64/par - $43/par = $21/par de zap. estilo 2

C3 = $50/par - $28/par = $22/par de zap. estilo 3

Max. Z = 12X1 + 21X2 +22X3

C1 = $60/par - $48/par = $12/par de zap. estilo 1

Programación Lineal: Formulación

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Restricción de producción

3.5X1 es el total de horas que se requieren parafabricar el estilo 1

2.5X2 es el total de horas que se requieren parafabricar el estilo 2

2.0X3 es el total de horas que se requieren parafabricar el estilo 3

3.5X1 + 2.5X2 + 2.0X3 1,200

Programación Lineal: Formulación

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Restricción de efectivo

Costo fijo = $3,000

Existen disponibles $16,560 - $3,000 = $13,560para cubrir los costos variables.

48X1 + 43X2 + 28X3 13,560

Compromisos de demanda

X1 pares de zap. estilo 1 30 pares de zap. estilo 1

X2 pares de zap. estilo 2 55 pares de zap. estilo 2

X3 pares de zap. estilo 3 32 pares de zap. estilo 3

Programación Lineal: Formulación

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Max. Z = 12X1 + 21X2 +22X3

Sujeto a: 3.5X1 + 2.5X2 + 2.0X3 1,200

48X1 + 43X2 + 28X3 13,560

X1 30

X2 55

X3 32

No se necesitan las condiciones de no negatividadpuesto que existen restricciones de demanda para todas las variables.

Programación Lineal: Formulación

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Solución