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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA
(SEGUNDA UNIVERSIDAD FUNDADA EN EL PERÚ)
FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL
ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA
CIVIL
EJERCICIOS PROPUESTOS DE CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS
Y CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
DOCENTE:
Ing. Cristian CASTRO PÉREZ
CURSO:
Dinámica (IC - 244)
ALUMNOS:
CERDA AYALA, Wilbert Teófilo 16105692
ASTO BERROCAL, Richar 16090630
FELIX PAHUARA, Carlos 16095048
LLAMOJA CONDE, Carmen Mary 16001213
SEMESTRE ACADÉMICO:
2012 – II
AYACUCHO - PERÚ
3
Cinemática
EJERCICIOS RESUELTOS DE CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS Y CINEMÁTICA DE
CUERPOS RÍGIDOS
2.16. El bloque B se mueve hacia la derecha con una velocidad constante vo. Escribir la
expresión para la velocidad y aceleración del punto c extremo inferior de la varilla , cuando
desliza a lo largo del plano inclinado.
Solución:
Hallando ecuación:
………. (1)
…….. (2)
Entonces de (3)
……(3)
Ahora:
………………..(a)
…………. (b)
……..(c)
De (3) y (c)
( ) ……….. (3c)
De (b) y (2)
( ) ….. (2b)
De (3c) y (2b)
De (2), (b) y usando la identidad
Luego usando la formula general:
√
√( )
4
Cinemática
2.18. Obtener una expresión para la velocidad del émbolo si la manivela gira con una rapidez
angular .
Solución:
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
A
A
A
v r
v k aSen i aCos j
v aCos i aSen j
/
/1
2 2 2
1
2 2 2
1 1
2 2 2
1 1
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ( ) ( )
B B A A
B AB A
B
B
B
v v v
v r v
v i k l a Cos i aCos j aCos i aSen j
v i aCos i l a Cos j aCos i aSen j
v i aCos aCos i l a Cos aSen j
Comparando coordenadas, tenemos:
1 /Bv aCos aCos m s
2.25. Un pequeño anillo m esta colocado sobre un aro de alambre de radio r. Una varilla OA
pasa por el anillo y gira alrededor del punto o sobre el aro con una velocidad .
a) Si es una constante, hallar la velocidad y la aceleración de M.
b) Si M se mueve con una rapidez constante , hallar y .
Solución:
a) Si es una constante, hallar la velocidad y la aceleración de M.
2
ˆ ˆ
ˆ ˆ( ) ( 2 )
v e e
a e e
Por ley de cosenos: 2 2 2 2 cos
2 cos
r r r
r
2
2 ,
2 cos , 0
r sen
r
2 2 2 2 2 2
ˆ ˆ2 2 cos
4 4 cos
2
v r sen e r e
v r sen r
v r
O B
A
aSen𝜽
A
a l
O B 𝒍𝟐 𝒂𝟐𝑪𝒐𝒔𝜽𝟐 aCos𝜽
𝜽
𝝆 r
r
5
Cinemática
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
ˆ ˆ( 2 cos 2 cos ) ( 4 cos )
ˆ ˆ( 4 cos ) ( 4 )
( 4 ) cos ( 4 )
4
a r r e r e
a r e r sen e
a r r sen
a r
b) Si M se mueve con una rapidez constante , hallar y .
0
2
s v
s
s v r sen
2 2 2
2
2 cos
4
v
r sen
r
r sen
2.32. Hallar la velocidad angular de la barra AC para la posición general que se muestra. es
constante.
Solución:
( )
2.43. El bloque esta originalmente B. El anillo en A rodea el poste y a la cuerda y se mueve
hacia abajo a razón de 1m/s. ¿Cuál es la velocidad del bloque cuando el anillo esta en D?
Solución: 2 2 2( ) ..........(1)x y l t
1 4
4
axv t d
t
t s
6
Cinemática
Cuando está en la posición A: 2 2 2
2
4 (8 2 4)
53.4903 16
6.1229
f
f
f
x
x
x m
Derivando:
2 2 2( )
(8 2 4)
6.1229 4( 1) (8 2 4)
6.1229 4 8 2 4
8 8 2
6.1229
0.5411 /
x y
f B f A
B
B
B
B
xv yv l t
v v y v
v
v
v
v m s
2.57. El eje CD gira alrededor de AB con velocidad angular constante ; el disco gira con
velocidad angular constante relativa al eje. La cuenta P se mueve en el interior y a lo largo
de la ranura radial con rapidez relativa al disco y esta disminuyendo en la razón . Determinar
la aceleración de P suponiendo que esta a la mitad de su recorrido cuando la ranura está en su
posición vertical, que se muestra. Efectuar los cálculos cuando , , , , ,
a) Resolver utilizando un sistema móvil de coordenadas fijo en el disco.
b) Resolver utilizando un sistema móvil de coordenadas fijo en el eje CD.
Solución:
En el disco:
1
2
ˆ
ˆ
5 ˆ2
ˆ
r
O
r
a sj
a a i
r j
v sj
1 2 2 2
1 2 2 2
2
1 2 2
2
1 2 2
( ) 2
5ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( )2
5 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ( ) 22
5 ˆˆ ˆ ˆ 22
5 ˆˆ ˆ( ) 22
r O ra a a r v
a sj a i i i j i sj
a sj a i i k sk
a sj a i j sk
a a i s j sk
7
Cinemática
En la barra:
2
2 2
1
2
5 ˆˆ ˆ 22
0
ˆ
5ˆ ˆ2
5 ˆˆ2
r
O
r
a sj j sk
a
j
r ai j
v sj k
2 2 2
2 2 2
2
2 2
5ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( )2
5 ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) 22
5 ˆˆ ˆ 22
r
r
r
a sj i i j i sj
a sj i k i sj
a sj j sk
2
2
5ˆ ˆ ˆ2
5 ˆˆ2
r ov v v r
v sj i j
v sj k
2
2 2 1 1 1 2
2
2 2 1 1 1 2
2 2
2 2 1 1 2
2 2
1 1 2 2
5 5 5ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ( )) 2 ( )2 2 2
5 5ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 22 2
5 5ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 22 2
5 5ˆ ˆ ˆ( 2 ) ( ) 22 2
a sj j sk j j ai j j sj k
a sj j sk j ak i
a sj j sk ai i
a ai i s j
2ˆsk
2.64. La barra delgada uniforme AB es de 12m de longitud y descansa horizontalmente sobre
un canal que, como se muestra, tiene paredes laterales de 45°. Si la aceleración angular de la
barra es de en el sentido de las manecillas del reloj, hallar la velocidad angular de
la barra para la cual la aceleración del extremo a será cero.
Solución:
A x
B y
v v
v v
Se tiene que:
0 0A xa a cuando y
2 2 2..........(1)x y l
8
Cinemática
Entonces:
............(4)
..........(3)
x
x
y
xSenB lCosB v
l
y v
x v
xTanB
y Se deriva: ( )
d dxyTanB
dt dt
2
2 2 2 2
..........(4)
2
y x
x y x y
v TanB y Sec B v
a v Sec B TanB a v Sec B y Sec B y Sec B TanB
Sustituyendo: 2 2 22 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2x x y
x
x x x
xa v vl x l l l xa x x y y
y y y y y y y
a x l x a yl a y
Sustituyendo con las condiciones iniciales:
0
0
xa
y
Despejamos:
2
2 2
y
l y
2 0
0
2.82. El disco rueda sin deslizamiento con una velocidad angular de 9 rad/s en el sentido de las
manecillas del reloj, mientras que el bloque se desliza hacia abajo del plano inclinado. Hallar la
velocidad del punto P.
Solución:
ˆ9 /k rad s
ˆ ˆ9 1.2
ˆ10.8 /
OAA
A
A
v r
v k j
v i m s
Mediante el centro instantáneo de rotación de la barra AB, en el triángulo ABC, tenemos:
/
/
4.8
3.6
6
A C
B C
BA m
r m
r m
/
/
ˆ 10.8 / :
10.8
3.6
3 /
A
A AB A C
AAB
A C
AB
AB
Si v i m s
v r
v
r
rad s
9
Cinemática
Determinamos la velocidad de P:
/
/
ˆˆ ˆ10.8 3 1.5
ˆ ˆ10.8 4.5 /
P A P A
P AP A AB
P
P
v v v
v v r
v i k i
v i j m s
11.7 /Pv m s
2.88. La rueda está rodando sin deslizamiento en la superficie horizontal sobre su cubo de 2.40
m de diámetro en el punto B. una barra rígida DE esta articulada al diámetro exterior de la rueda
en D y resbala a lo largo de la superficie horizontal. Hallar la velocidad de E, suponiendo que la
velocidad de A sea de 3 m/s hacia la derecha. Usar el método de los centros instantáneos.
Solución:
Por la figura determinamos que:
3 /D Av v m s
Determinamos el centro instantáneo de rotación de la barra DE:
Hallamos el ángulo en el triángulo:
2.1
7.5
2.1
7.5
0.28
Sen
arcSen
Por el teorema de los senos hallamos rD/C y rD/C:
/
/
/
7.5
53 82.72
7.5 82.72
53
9.39
D C
D C
D C
r
Sen Sen
Senr
Sen
r m
/
/
/
7.5
53 37.28
7.5 37.28
53
5.69
E C
E C
E C
r
Sen Sen
Senr
Sen
r m
10
Cinemática
Si vD= vA =3 m/s. Determinamos DE :
/
/
3
9.39
0.32 /
ˆ0.32 /
D D C
D
D C
v r
v
r
rad s
k rad s
Por lo tanto la velocidad en E es:
/
ˆˆ5.69 0.32
ˆ1.82 /
1.82 /
E CE
E
E
E
v r
v j k
v i m s
v m s
2.91. La placa rectangular es “móvil” y, según se muestra, sus extremos están en contacto con el
suelo y el plano inclinado. Si la aceleración de A es 7.5m/s2 hacia la derecha y la velocidad
angular de lado CD es cero, determinar la aceleración angular del lado AB.
Solución:
Se observa que el triángulo formado es equilátero.
Por ello:
/ ' / 'A C B Cr r
Entonces:
/ '
/ '
A A C
B B C
v r
v r
A Bv v
Como también:
A Ba a
/ '
2
7.5 3
2.5 /
A A Ca r
rad s
C’
3m 60°
60°
60° 3m
3m
11
Cinemática
2.95. El cuerpo rígido ABC gira alrededor de un pivote sin fricción O con una celeridad angular
de 5 rad/s contraria a las manecillas del reloj y una aceleración angular de 10 rad/s2 de sentido
opuesto. Determine la velocidad y aceleración del bloque que desliza en el instante en que el
mecanismo adopta la posición que se muestra.
Solución:
2
ˆ5 /
ˆ10 /
k rad s
k rad s
En el cuerpo rígido ABC:
ˆ ˆ ˆ5 0.4 0.3
ˆ ˆ1.5 2 /
OCC
C
C
v r
v k i j
v i j m s
Para el bloque:
/
ˆˆ ˆ ˆ ˆ1.5 2 0.25
ˆ ˆ ˆ ˆ1.5 2 0.25
D CD C DC
D DC
D DC
v v r
v i i j k i
v i i j j
Comparando coordenadas:
1.5Dv ^
2 0.25 0
0.25 2
8
DC
DC
DC
→ ˆ1.5 /
ˆ8 /
D
DC
v i m s
k rad s
2
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ10 0.4 0.3 5 5 0.4 0.3
ˆˆ ˆ ˆ ˆ3 4 5 1.5 2
ˆ ˆ ˆ ˆ3 4 10 7.5
ˆ ˆ13 3.5 /
OC OCc
c
c
c
c
a r r
a k i j k k i j
a i j k i j
a i j i j
a i j m s
( ) ( )/ /
/ /
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ13 3.5 8 8 0.25 0.25
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ13 3.5 8 2 0.25
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ13 3.5 16 0.25
ˆ ˆ ˆ ˆ3 3.5 0.25
n tD C D C D C
D C D CD C DC DC DC
D DC
D DC
D DC
D DC
a a a a
a a r r
a i i j k k i k i
a i i j k j j
a i i j i j
a i i j j
12
Cinemática
Comparando coordenadas:
3Da ^
2
3.5 0.25 0
0.25 3.5
14 /
DC
DC
DC rad s
→ 2ˆ3 /Da i m s
2.98. a) En la posición que se indica, la velocidad del pasador B es 6j0 m/s; determinar para este
instante la velocidad de la mosca parada en el eslabón C.
b) Determinar la aceleración de la mosca suponiendo que la aceleración de B sea horizontal.
Solución:
a) Usando velocidad relativa con respecto a A:
( ) de donde se tiene
Hallando la velocidad en el punto C
( ) ( ) ( ) ( ) De donde se tiene:
Velodidad de la mosca en el instante que muestra la figura:
( )
Por coordenadas:
b) Si:
ˆB Ba a i y ˆ10AB k
2
ˆ ˆ ˆ0.6
ˆ60
60 /
ABB AB AB
B AB AB
B
B
a r
a k k i
a i
a rad s
/ /
ˆ ˆ ˆˆ ˆ1.5 3 3 1.5
ˆ ˆ1.5 13.5
C D C DC CD CD CD
C CD
C CD
a r r
a k j k k j
a i j
13
Cinemática
/ /
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1.5 13.5 60 1.2 0.9 ( 5 ) ( 5 ) 1.2 0.9
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1.5 13.5 60 ( 30 ) 22.5 0.9 1.2
C B C BC B BC BC BC
CD BC
CD BC BC
a a r r
i j i k i j k k i j
i j i i j i j
Comparando coordenadas:
2 /
30 /
CD
BC
rad s
rad s
Entonces:
/
/ /
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1.5 2 13.5 3 3 0.6 2 0.6
ˆ ˆ1.8 8.1 /
P C P C
P
P C P CP CD CD CD
P
a a a
a i j k k j k j
a r r
a i j m s