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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
INSTITUTO DE F!SICA E QUTMICA DE SÃO CARLOS
P~opagação da luz em melo~~
nao
:tado exc-l:tado d e.g eneAado" .
Marco Antonio Alves da Silva
Vl~~e.~:tação de. Me~:t~ado ap~e~en
:tada ao In~:ti:tu:tode FZ~lea e
QuZmlc-a de São Ca~to~. pa~a ob
tenção do TZtuto de MESTRE EM Fr
SICA BÁSICA.
Orientador: Prof. Dr. Rogérío Cantarino T. da Costa
Departamento de Física e Ciência dos Materiais
São Carlos-1983
~~~_ .•.- . ...---..-~ . ~BIBLIOTECA DO \~\SI\T1J:O ::[ r\'S!CA ( Q\MAKA De SA0 CARlOS· USf
F \:: \ (A
MEMBROS DA COMISSAO JULGADORA DA DISSERTACAO DE MESTRADO DE
MARCO ANTONIO ALVES DA SILVA
APRESENTADA AO INSTITUTO DE FrSICA E nuTMICA DE SAO CARLOS, DA
UNIVERSIDADE DE SAO PAULO, EM ~ OE_ junho
COMISSAO JULGADORA:
DE 1983
//- í -
_~.~~\::/,-::?'i..(" I V (~Dr.Luiz Antonio Favaro
/ 2·:-.4'~·./-. c._~T;~~~~ .•._n_._..._.~ _
Dr.Gllm~r Eugenlo Marques
DEDICO
à m--tl1ha mae, e ao
meu pa~ 1--t11 memoh--tal1)
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Dr. Rogério Cantarino Trajano da Costa, pela
orientação precisa, motivante e dinâmica e por sua compreen
são das dificuldades encontradas durante a elaboração deste
trabalho.
Ao Prof. Dr. Sylvio Goulart Rosa Jr., pelo constante
apoio e pela atenção com que me recebeu.
Ao João Batista Peneireiro, pela sua amizade e tam
bém pelo incentivo recebido.
A todos os Mestres que contribuiram para minha forma
çao.
A todos os colegas.
ÍNVICE
RESUMO •..••••.•••••••••••.•••••......••••..•••••••••••••••.••• .{.
A B ST RA CT --t..t
CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO 1
CAPÍTULO 11 - AS EQUAÇõES DO MEIO MATERIAL 6
2.1 - A Equação de S~h~Bd~nge~ pa~a ãtomo~
de do~~ nZve~~ ~om e~tado ex~~tado
de..9 e. Yl.e.1t a do 11I •••••••••• 6
2.2 - Vato~e~ e~pe~ado~ do~ ope~ado~e~ d ,-+ -+L e.J-I 70o
2. 3 - A~ eq uaçõ e~ de mo v~m ento pa~a <d >-+ -+
<li.,> e. <11 > ............•.......•.......•. 73o
2.4 - Equaçõe~ do me~o mateh~at 15
2.5 - lntehp~etação da vah~ãvet S 21
CA PÍTU LO rII - PROPAGAÇÃO VO CAMPO PARA A TRANS I çÃO
16m=O,±1) - AS EQUAÇVES AUTO-CONSISTENTES ..•..... 24
3.1 - Equaçõe~ do Campo 24
3.2 - Sotução da~ equaçõe~ auto-~on~~~te~
te~ pa~a o ~a~o l~v~e 31
3.3 - S~~tema de equaçõe~ pa~a a than~~ção
61=1 16m=O,±1) pa~a a~optamento 6~a-
C.O ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 33
3.4 - Con~e~vação de enehg~a 38
CAPÍTULO IV - SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇUES PARA A TRA~
SIÇÃO 62,=1 (6m=O,±ll (ACOPLAMENTO FRA-
CO) •..••..••.•••••.•.•••••.•.•.••.•••.••••••••.•• 40
4.1 - M~~o com la~gu~a d~ l~nha z~~o (pu~
J.JOJ.J ttLal1J.JpatLe.l1te.J.J"le.l1toJ.J") •••••••••••••••• 40
4.2 - M~~o Qom la~gutLa d~ l~nha ôil1ita .......••. 45
4.3 - V~.6cu.6J.Jdo pa~a pufJ.Jo.6 "~ãp-<'doJ.J" •••.••••.••• 63
4 • 4 - C o n ~l ut, o e. ~ , ••••••••.•••••••••••••••••••••• 6 5
R E F E R t N C I AS •...•...•....••.•••.•••.••..••.••••••.••••.••.•..•• 7 O
i
RESUMO
Estudamos nesta dissertação, a propagação auto-transpa-
rente de um pulso luminoso num meio de átomos de dois níveis cujos
estados excitados possuem a degenerescência característica do mo -
mentum angular t= 1. O problema é abordado através de equações au-
to-consistentes, na aproximaçao semiclássica, escritos em termos
do campo elétrico e dos valores médios de grandezas fisicamente re-
levantes que descrevem o estado do meio material. Obtemos soluções
auto-transparentes elipticamente polarizados tanto para o caso em
que a largura de linha é desprezível corno para o caso onde ela~e
devido a um alargamento do tipo inhomogêneo.
ii
ABSTRACT
We study in this dissertation the propagation of a
self-transparent light pulse in a rnediurnaf twa lewel atarns whase
excited states have the typical degeneracy af the i= 1 angular
momentum. The problem is discussed in the semi classical ap
proximation with the help of self-consistent equations written in
terms of the electrical field and the mean values of relevant
physical quantities which describe the state of the medium. We
obtain eliptically polarized self-transparent solutions for both
cases of neglegible line-width and when the line-width is due to
inhomogeneous broadening.
1
CAPrTULO I
INTRODUÇÃO
o estudo da propagação da luz em meios não lineares tem
sido realizado por muitos autores (1-6) • Desde a descoberta da luz
coerente ("Masers" e "Lasers") que pode produzir pulsos intensos
de curtissima duração, tem sido observada a propagação de pulsos
luminosos através de meios opticamente ressonantes como se eles
fossem transparentes. Houve também um refinamento nos modelos para
descrever tal propagação(S).
Vamos nos propor, no presente trabalho, a encontrar pu!
sos luminosos que se propaguem de modo t~aH~pa~eHte, isto é, como
se fosse no espaço vazio (sem distorção) em meios não lineares de
dois niveis (um fundamental e outro excitado) com degenerescência
no estado excitado. Um estudo realista da int~ração da radiação e-
letromagnética com um meio material é extremamente complexo devido
à multiplicidade de transições envolvidas (mesmo os átomos mais
simples possuem uma estrutura complexa de estados excitados). Por
isso, utilizamos o modelo de dois niveis, pois este permite um tra
tamento simplificado que pode dar resultados satisfatórios mesmo
no dominio quantitativo. Para tornar o modelo de dois niveis viá-
vel, sintonizamos o campo numa frequência de transição dos átomos
e trabalhamos na aproximação de dipolo elétrico, o que nos dá uma
regra de seleção que restringe o número de transições permitidas.
Em 1967, S.L. McCall e E.L. Hahn( 1), estudaram a prop~
gaçao de pulsos transparentes em meios de dois niveis com estado
excitado não degenerado, utilizando ondas circularmente polariza -
das para selecionar transições do tipo fim= 1. No nosso modelo o es
2
tado excitado é degenerado ( com 9, = 1), isto faz aparecer novas va
riáveis e o número de soluções é aumentado consideravelmente.
Obviamente a propagação do pulso depende de um efeito
coletivo em que todos os átomos estão envolvidos, alguns absorven-
do, outros emitindo luz. O trabalho clássico a esse respeito é o
de Dicke(ll) (1954). Não vamos entrar em detalhes sobre o trabalho
de Dicke, pois este considera o problema sob o ponto de vista de
campo quantizado, enquanto que nós damos um tratamento
que passaremos a descrever.
diferente
As hipóteses fundamentais para o nosso modelo são as se
guintes:
a) a interação entre os átomos se dá apenas através do campo ele-
tromagnético clássico descrito pelas equações de Maxwell;
b) os átomos são considerados iguais, distinguíveis, descritos pe-
Ia mesma função de onda (estado de máx~ma ~oopehação) dada pela
equação de SchrBdinger;
c) os átomos são hidrogenóides e possuem apenas dois níveis de
energia com estado excitado degenerado (R, = 1) formando uma cama
da fechada.
As hipóteses (a) e (b) acima equivalem à comumente cha-
mada aproximação ~em~-~~ã~~~~a, em que abandonamos o efeito da
emissão espontânea (só tratada pelo campo quantizado), consideran-
d ' ~ . d 'd (7-10)o apenas a emlssao ln UZl a .
Para utilizar o modelo, vamos considerar as 6onte~ das
equaçoes de Maxwell dadas pela polarização média do meio e a per
turbação da hamiltoniana na equação de SchrBdinger dada na aproxi-
mação de dipolo elétrico, que consiste na hipótese de que o campo
externo que atua sobre um átomo varia lentamente no espaço em com-
paraçao com um diâmetro atômico, de tal modo que os elétrons
um campo uniforme variável no tempo. Não vamos considerar a relaxa
3
çao do meio, supondo pulsos rápidos cuja duração é muito menor que
o tempo de relaxação (tempo necessário para que o meio atinja o es
tado de equilíbrio).
Para encontrar pulsos transparentes, consideramos inte-
raçao fraca entre o meio e o campo, isto é, o valor médio da per
turbação muito menor do que a separação entre os dois níveis de
energia. Mas o campo é 4intonizado com a frequência de transição
do meio de tal modo que no fim de um tempo longo, muito maior que
o período de uma oscilação atômica, possam ocorrer transições.
Obteremos através da equação de SchrBdinger, um sistema
de equações para um átomo que envolve o campo local e, entre ou-
tras grandezas médias o momento de dipolo elétrico. Para obtermos
um sistema de equações auto-consistente, consideramos o campo elé-
trico que aparece na equação de Schrôdinger igual ao campo elétri
co mae~o4eõpieo que aparece nas equações de Maxwell, e o momento
de dipolo multiplicado pelo número de átomos por unidade de volume
igual à polarização macroscópica. Essas hipóteses, que relacionam
as grandezas macroscópicas com as locais, são verificadas experi
mentalmente para baixas densidades(2).O sistema final será obtido,
considerando uma propagação unidimensional num só sentido onde as
soluções serão análogas às livres (ondas planas) com amplitudes
lentamente variáveis. Desprezaremos os termos rapidamente oscilan-
tes, pois esses não contribuem para as amplitudes lentamente variá
veis, assim as equações obtidas dependerão apenas das amplitudes.
Existem duas situações, que serão resolvidas dentro das
hipóteses e aproximações já mencionadas:
l~) a de la~gu~a ze~o, isto é, todos os átomos do meio
possuem a mesma frequência w com a qual o campo está em ressonâno
cia;
2ê) eom la~gu~a de linha - neste caso consideramos que
o meio possui uma distribuição de frequências c~usada pela instabi
4
lidade do estado excitado (alargamento homogêneo), ou por outros fa
tores mais
e o efeito
importantes, como a inhomogeneidade de
(5) ~ (Doppler no caso de um gas alargamento
campos internos
inhomogêneo). O
campo, para este caso é ~intonizado em uma frequência w correspon
dente à maior fração de átomos.
Para ambos os casos, os resultados obtidos são pulsos
transparentes elipticamente polarizados que podem recair no caso
particular da onda circularmente polarizada encontrada por McCall-
-Hahn ou na onda plana pela escolha conveniente de uma
particular.
excitação
o sistema de equaçoes que obtemos possibilita a invest!
gaçao de outros tipos de soluções que não serão consideradas, corno
por exemplo pulsos na forma de ondas esféricas ou cilíndricas.
Passaremos agora a apresentar um resumo do conteúdo dos
~ ~ -capltulos seguintes. No segundo capltulo, obteremos as equaçoes em
termos de valores médios de grandezas fisicamente relevantes (mome~
to de dipolo, momentum angular, energia não perturbada e momentum
linear), que descrevem a evolução do meio material. Para isso, uti
lizamos a equação de Schrôdinger para átomos hidrogenóides. No ter
ceiro capítulo, encontramos urna equação aproximada de primeira or-
dem para o campo a partir das equações de Maxwell, impondo a condi
ção de que o pulso se propague num só sentido. Resolvemos então o
sistema de equações resultante (equações do meio e do campo) para
o caso livre (corresponde a fazer o momento de dipolo nulo nas e-
quações do campo) em urna dimensão obtendo ondas planas. A partir
da solução do caso livre, encontramos um sistema de equaçoes para
acoplamento fraco do campo com a matéria fazendo as amplitudes va-
riarem lentamente. Em seguida, discutimos brevemente a questão da
conservação de energia, mostrando que ao vetor de Poyting está li-
gada uma energia que é a sorna da energia do campo mais ,a acumulada
no meio material.
5
.•. -Finalmente no quarto capItulo, resolvemos as equaçoes
para as amplitudes obtidas no terceiro capítulo para ta~gu~a ze~o
e com la~gu~a de linha. Inicialmente supomos pulsos transparentes
lento~ (velocidade de propagação menor que a da luz), em seguida ,
fazemos uma breve discussão para pulsos ~ápido~ (velocidade de pr~
pagação maior que a da luz). Em todos os casos os pulsos obtidos
são elipticamente polarizados. Na última secção do quarto capítulo
(conclusões), discutimos com maior precisão as aproximações feitas;
a propagação dos pulsos obtidos; as transições que ocorrem durante
a propagaçao de tais pulsos e as relações entre largura do pulso,
densidade do meio e tempos de relaxação.
Para encerrar, desejamos fazer alguns comentários sobre
os resultados obtidos com nosso modelo. Embora tenhamos feito hip~
teses e aproximações simplificadoras para obtermos um sistema solú
vel exatamente, encontramos pulsos elipticamente polarizados cUJa
propagação envolve transições de todos os tipos (tlm= O, tlm= ±l), r~
caindo como caso particular o pulso circularmente rnlarizado (lIm=+l)
encontrado por McCall-Hahn. Assim, mesmo com todas as
feitas, o modelo de dois níveis com estado excitado
-concessoes
degenerado
(9.. = 1) obteve algum progresso no estudo da propagaçao de pulsos
transparentes mostrando que as possibilidades de propagação de tais
pulsos são mais amplas.
6
CAPTTULO II
AS EQUAÇÜES VO MEIO MATERIAL
Z.l - A EQUAÇÃO VE SCHROVINGER PARA ÃTOMOS VE VaIS NÍVEIS COM ES
TAVa EXCITAVa VEGENERAVO
Vamos considerar um sistema de átomos hidrogenóides, com
dois níveis de energia, + ihWo e - i~wo' onde o estado excitado
é degenerado e possui momentum angular ~= 1. As funções de onda
normalizadas(*) são escritas na forma seguinte: para o estado exci
tado;
</Io = R21(r) cos e , ~ = 1, m = o ,
R21 (r) iep</I1 = - --- sen e e , ~ = 1, m = 1 ,12
R21 (r) -i'"</12= --- sen e e 't', ~ = 1, m = -1 ,12
e, para o fundamental;
</I3=RIO(r), .Q,=O, m=O
(2.1)
A função de onda </I(t)mais geral que descreve a evolu-
çao do meio material é da forma:
(*) As expressões (2 .1) acima correspondem à definição dos Harmô
nicos Esféricos dada em E. MEZBACHER: QUANTUM MECHANICS, JOHN
WILEY & SONS, pago 186.
7
ou, na forma de vetor coluna,
(2.2)
,= (2.3)
o que faz com que todos os operadores sejam representados por ma-
trizes 4 x 4.
Neste caso a hamiltoniana não perturbada é dada por:
1OOO
1 10
1O01 (2.4)
]-i = --tíw .o 2 o O O1O
O
OO-1
No caso de nosso interesse, o tratamento é feito na
aproximação de dipolo elétrico(**), assim, a hamiltoniana de inte-
raçao é dada por:
RI = -d· E (2.5)
onde d, é o momento de dipolo (-e~) e E o campo elétrico que atua
sobre o átomo.
Denotando por (d) .. = (\jJ. , d\jJ.) os elementos da matriz1J 1 Jdo dipolo elétrico, com i = 0,1,2,3 e j = 0,1,2,3 temos de (2.1):
(*) No nosso problema vamos considerar \jJ normalizada a 1, J\jJ\jJ*dv=1
ou 1f1*1P = 1 assim: a*a + a*a + a*a + a*a = 1, o o 1 1 2 2 3 3
(**) Veja por exemplo: R.C.T. da Costa, Tese de Livre Docência
IFQSC-USP, 1978, pág. 13.
8
(d) 13= (d) 31= -(d) 23= -(d) 32= d
(dy)13 = - (dy)31 = (dy)23 = - (dy)32 = -id ,
(dz)03= (dz)30=-12d ,
(2.6)
onde
e
00 3
2/2 ne J R (r) R (r) r drd = - - 10 213 o
i = 1-1
Os resultados nulos das equações (2.6) podem ser inter-
pretados como sendo consequência da simetria esférica do poten-
cia1. Assim, os operadores de momento de dipolo são por(2.6)es-
critos na forma matricia1:O
OOO OOOO
C\ = I
OOOd di =
OOO-id; OOO-d Y
OOO-id
O
d-dO OididO
e
OOO-/2d
<\ = I O
OO O
O
OO O
-/L"dOO OI
(2.7)
. ~ ~ ~ +Notemos de (2.7) que o operador dL=dl l +dl J +dl R é re-x y Z
presentado por matrizes hermiteanas, como deve ser um operador que
representa uma grandeza física.
Observando a expressão (2.5), escrevemos a hami1tonia-
na de interação na forma de operador
-iaI =-;-
9
-+ -+
11 =-Eodl.=-(E di. +E di. +E rn)I x x y y Z~
que com o uso de (2.7) fica
o OOI2d Ez
~= I
OOO-dE + idE
y I(2.8)x .
O
OOdE + idExy
12 dE-dE - idEdE - idEOz
xyxy
A hamil toniana total por (2.4) e (2.8) e:
IO
O12 dE-11w 2 o z
O
IO
-dE +idE-i'íw
]H=JH +JH = I
2 oxyI. (2.9)o I 111OO- wdEx+idE2 o y
12 dE-dE -idEdE -idE
1- -tíwz
xyxy 2 o
Utilizando na equaçao de Schrôdinger,
as expressoes (2.3) e (2.9), obtemos após alguns desenvolvimentos
o -i . f?'\ da =- w a -lvL; - E ao 2 o o -n Z 3
w aI + i -ª (E - iE )a3o -tf x Y
• -i ida = - w a - - (E + iE )a2 2 o 2 -n x Y 3
. i . /7)2 dE' d (E +. E ) id (E .E )a =-wa -lvL;- a +1- 1 a -- -1 a3 2 o 3 11 Z o 11 x Y 1 -n x Y 2'
(2.10)
o sistema de equações (2.10), obtido a partir da equa-
çao de Schrôdinger para átomos de dois niveis com estado excitado
10
degenerado, embora formalmente nos dê a evolução do meio material,
não é conveniente por não se acoplar diretamente às equações de
Maxwell que contém a polarização, que pode ser escrita em termos
do momento de dipolo, a qual não aparece explicitamente em (2.10).
Na secçao 2.4 encontraremos um sistema de equações em termos de
grandezas fisicamente relevantes que pode ser acoplado às equações
de Maxwell.
2.2 - VALORES ESPERAVOS VOS OPERAVORES ill, L e ]Ho
Para melhor descrever a evolução do meio material deve-
mos encontrar as equações de movimento para valores esperados de
grandezas fisicamente relevantes do problema, que no nosso caso
são inicialmente: o momento de dipolo «CÍ > ), o momentum angular
«L » e a energia não perturbada «:lHo»' Para as componentes do
momento de dipolo, utilizando as expressões (2.3) e (2.7) obtemos:
< di. > = ~* di. 1/J = d [a*(a -a )+ a (a*- a*)]x x 312312
< dLy> = .* dLyt = i d [a3(aI+ a2)- a3(ai+ a2)]
< di..>= "'*dI...."= -l2d ra*a + a a*]z z ~O 3 O 3
(2 • 11)
L =Y
Procuremos agora as matrizes do operador de momentum an
guIar L. Utilizando a notação (1;) .. = (1jJ.,I: 1jJ.) onde i = 0,1,2,31J 1 Jj = 0,1,2,3 e as expressões(*)
-tí( d dJL = -;- -sen ep - - cos ep cot e -x 1 de dep
-tr( d d)I cos cP as - sen ep cot e 3(j)
(*) E. MEZBACHER: QUANTUM MECHANICS, JOHN WILEY & SONS, pãg. 178.
11
1'l dLz = I ã1"
obtemos através do uso de (2.1)
(L) = O00
(L ) .. = (L ) .. = O , ij ., 01,02,10,20x 1J Y 1J
(L ) .. = OZ 1J
ij ., 11,22
i11
(Ly) 01 = (Ly) 20 = - (Ly) 10 = - (Ly) 02 = /2
(Lz}ll =-(Lz)22) =11
(2.12)
Assim, por (2.12) r os operadores de momentum angular sao escritos
na forma matricial
o 11/12 i'í/12 O
-11/12 O O O
JL =x 11/12 O O O
O O O O
Oití/12-ii1/12O
-ití/12
OOO
JLy = I
Ieih/12
OOO
O
O OO
O O O O
O OJL =
z
O
O
o
O
O
-ti:
O
O
O
(2.13)
12
Como não poderia deixar de ser, notemos novamente que
~L é representado por matrizes hermiteanas.
Com as expressões (2.3) e (2.13) obtemos:
<]L > = 11'* :TI:.. ,= ~ [a*(a +a )+a (a*+a*)]x x 12 012012'11< L > = tP* li.. lJ1 = ::.- [a*(a - a )- a (a*- a*~,(2.14)
Y Y 12 012012
<:TI:.. > = lI;* :TI:.. • = i"i(la12_ Ia 12)
z Z 1 2
Calculemos agora <JH > :o
(2.15)
Para facilitar os cálculos façamos a seguinte
de variáveis:
a = a3
Então as expressões (2.11), (2.14) e (2.15), escritas em
dessas novas variáveis dadas por (2.16), ficam sendo:
<dI..
>= d [a*wl + awD
x<dI..
>=id [a*W2 - aw;]
y<dI.. >
= -12 d [a"6a + ao a*]z<JL >
-1í
[a"6w2+ aoH;]- -x IL
<JL >= i.::!!..[a*W - a w*]
Y
12 o 1 o 1
<:TI:.. >
--ti
[wlw; + W~W2J- -z 2
mudança
(2.16)
termos
(2.17)
(2.18)
13
Os termos do membro esquerdo da equação
(2.20)
dão a probabilidade de ocupação dos estados, a equação portanto
representa a conservação da probabilidade. A conservação da proba-
bilidade (2.20), escreve-se em termos das novas variáveis
por (2.16) na forma
De (2.21) e (2.19) escrevemos:
dadas
(2.21)
(2.22)
As expressoes (2.17), (2.18) e (2.22) nos fornece os va
10res esperados do momento de dipol0 (d),-J.
o momenturn angular (JL)
e da hamiltoniana não perturbada elli ), os quais estavamos procu o
rando.
2.3 - EQUAÇÜES DE MOVIMENTO PARA <dI.> , <i. > e <JH >o
Utilizando as novas variáveis dadas por (2.16), o siste
ma de equações dado por (2.10) fica escrito como:
·a =-o ilL d E aa _ ..--- zo -tí· i 2iW =--w W +-dE a1 2 o 1 11 x• i
2d E(2.23)
W=--w W+a220 2 11
Y
·i i/2 i da = - w
a - -- dEa + - dE W - - E W2 o -nz011 xl 11 y2
14
Observemos que o sistema acima é compatível com a equa-
ção da conservação da probabilidade (2.21), pois:
+ 2~*a + 2a*~ +o
onde esta última igualdade decorre do emprego das equações (2.23).
Vamos agora obter as equações satisfeitas por <dt.> , <]L >
e <E > • Para começar, derivamos ambos os membros das equaçõeso
(2.17) e utilizamos (2.23) obtendo
. - * i/2 * *<dL> =dliw (awl-a*wl)+ --dE (aWl-aWl) +x -o 11 z o o
. ,-. * * id * *<dL > = -/2 d iw (a a - a a ) + - E (Wla - wla ) +z -o o o -tí x o o
d- - Ey(W2a* + W*a )J--tr o 2 o
(2.24)
Substituindo as equações (2.18) nas equações (2.24) e lembrando as
regras do produto vetorial temos:
15
•<dI. >
. * * 2d + n Ê)x
= lW (aWl - a Vil) + - «]L>do ~2 X
·<di >
L = w (a*w2 + aw'2)+ 2d «L> A E),(2.25)
d o -n2 y
<diz>
. /L * * 2d + += l 2w (a a - a a) + - «]L> A E)d
O o o 112 Z
Derivando agora ambos os membros das equações (2.18), ~
ti1izando as equações (2.23) e as expressões (2.17), encontramos:
· -+ -+<]L > = E <di.. > - E <di.. > = «di..> AE)
xzy y z x
·-+ -+
<li, > = E <di.. > - E<di.. > = «di..> AE),(2.26)Y
xzzx y
· d -+
<li,>=E <dI..>-E <dI..>=« >AE)z y x x y z
Repetindo o procedimento anterior com a equação (2.19) obtemos:
• [ 12<]-I > = -fí w i - d E (a*a - a a*) +o o 1'í z o o
(2.27)
As equaçoes (2.25), (2.26) e (2.27) sao, respectivamen--+ -+ -
te, as equaçoes de movimento para <di..> , <li,> e <]-I > que estavamoso
procurando.
2.4 - EQUAÇÕES VO MEIO MATERIAL
Para simplificar vamos definir as seguintes
reais adimensionais:
variáveis
16
<di.. >
R
- x_ 1 (*- -
x I2d- - a W + aW*)
12 1 1
,
<dI. >
R
-Y_ i (*= y I2d
- - a W - aW*)
12 2 2
,
<di.. >
R
= z= -(a*a+a a*)z
-I2d
o o
S
= i *
x - - (aW - a*W )12 1 1,
s= 1 *
y - 12 (a W 2 + aVv; )
,
S =:i(a a*-a*a)z o o
1'íwo
EX
I2d- Ex
_12 d EE = YY 1íWo
I2d-. - Ez
E =
z -tíw o
<]L. >x
x
<]L >,Q.
- y
= 2. [a*w - *]y--tí12 o 1 aoWl
<]L >
,Q.
z=1:
z
-[w W*+ W*WJ
-tí21 2 1 2
2<JH >
e=: o-l1w
o
T =: w to
= l-2aa*=(laoI2-laI2)+!(lwlI2+ /w2/2),
(2.28)
utilizando as variáveis definidas em (2.28) acima, nas
(2.25), (2.26) e (2.27) obtemos:
equaçoes
17
dR
+ (t A t) x. x = 8
-- XdT
dRy _ + (t A t)
-8 YdT Y
d Rz _
+ +-- - 8z +(~AE)Z
dT
(2.29)
d~ + +. X = (R A E)Xd't'
d ~ + +~ = (R A E)YdT
d ~ + +
Z =(RAE)ZdT
de = 2E 8 + 2E 8 + 2E 8ZX X Y Y zdT
ou, na forma vetorial compacta;
+ + +dR = S + ~ A EdT
+ +=RAE
dT(Equação de Torque) , (2.30).
+ +de = 2E. 8dT
As equaç5es (2.30) acima, representam equações que des-
crevem o comportamento do meio material.
Vamos agora obter a equação da conservação da probabil~
dade (2.20) com as variáveis definidas por (2.28). Fazendo as subs
18
tituições adequadas obtemos:
onde utilizando (2.21) vem:
(2.31)
Supondo que o campo elétrico seja conhecido, ternos até
agora as 8 equações, dadas por (2.29) e (2.31), e 10 incógnitas for
-+- -+- -tmadas pelas componentes dos vetores R, S, ~ e o escalar ~ que re-
presenta o valor esperado da energia não perturbada. Procuremos e~
tão outras relações para que nos dêem um sistema fechado. Utilizan
do apenas as definições (2.28) podemos verificar que:
R S - R S = (l - e) ,Q,
y z z y x
R S -R S = (l-e),Q,z x x z y
R S - R S = (1 - e) ,Q,
x y y x z
(2.32)
Podemos escrever as equaçoes (2.32) na forma vetorial compacta:
(2.33)
Agora com o sistema formado por (2.30), (2.31) e (2.33), temos um
excesso aparente de equações, pois (2.33) não nos fornece três
equações independentes. Para vermos isto basta tentar escrever s(*)-+- -+-
em termos de R,,Q, e ~ de (2.33) .
~ conveniente para o uso em cálculos futuros obter a-+-
expressao para dS/dT, portanto, passemos a encontrá-Ia. Inicialmen
(*) Essa mesma variável $ aparece na Tese de Livre Docência de R.C.
T. da Costa, Um mod~io ~~mi~iâ~~i~o pa~a a ~mi~~ão ~~pon~ân~a ,
IFQSC/USP, 1978,pag. 59. Mas lá, devido à natureza diferente do
problema considerado, ela pode ser eliminada do sistema.
19
te derivemos ambos os membros de (2.33):
-r -r 7"R A dS + dR A S = - de 1 + (1 _ e) dx.
dT dT dT dT(2.34)
substituindo em (2.34) as expressões para dR/dT, dl/dT e de/dT da-
das em (2.30) e após algumas operações utilizando a algebra veto-
rial obtemos:
--r
(1- e) ~ l!= O
dS -dT -
o que implica emdS
-r -r -r (2.35)(1- e)c = aR + SS ;dT
-ruma vez que um vetor perpendicular a ~ , por (2.33), pode ser es-
_ -r -rcrito corno combinaçao linear de R e S. Resta agora determinar a e
S para
das em
-r _encontrarmos dS/dT. Utilizando as definiçbesde S ,S e S ,dax y z -
(2.28), e calculando suas derivadas, chegaremos a expres-
sões (das quais vamos omitir o cálculo) que comparadas com (2.35)
nos dão:
t'R _ Ia=-l-e
e-r -+
S = _ c'Sl-e
-rsubstituindo esses valores em (2.35) e isolando dS/dT obtemos:
-r -r -+ -r -r
dS -+ coR -r coS -r -r-=-R---R---S+ (l-e)c.dT l-e l-e
(2.36)
Notemos que e = I (estado excitado), implica em R = S = O, o que está
coerente com (2.36) que é o resultado desejado. Podemos verificar
também a compatibilidade de (2.36) com a equação da conservação da
probabilidade (2.31). De fato, derivando ambos os membros de (2.31)
vem:
-+ -+dR dS de
R . dl + S . dl te. dl = O
20
(2.37)
~ -+-+/Substituindo em (2.37) as expressoes para dR/dl,dS dl e de/dl dadas
por (2.30) e (2.36), (2.37) torna-se urna identidade.
Observemos que dado-+ ~
s, podemos agora formar o numero e-
xato de equaç8es que determinam~, ~, I e ~ com as expressoes para
-+ -+dR/dl e dS/dT dadas em (2.30) e (2.36) e as constantes de movimento
-+ -+
dadas por (2.31) e (2.33). De fato, dados dR/dT e dS/dl em
de~,~, 1, ~ e t, podemos determinar de/dT de (2.37) e em
termos
seguida
determinar dl/dT em termos de R e t de (2.34). Assim, o conjunto de
10 equaçoes formado por dR/dT e as constantes de movimento (2.31) e- -+ -+ -+
(2.33) e suficiente para determinar R, S, ~ e e.
Supondo o campo elétrico conhecido, o sistema constituí
do pelas equaç8es (2.30), (2.31), (2.33) e (2.36) descreve o compoE
tamento do meio material numa situação onde a única interação entre
os átomos é efetuada através do campo eletromagnético. Sabemos en-
tretanto que há outras formas de interação que são inclusive respo~
sáveis pela tendência do sistema para um estado de equilíbrio. Em
baixas temperaturas este estado corresponde ao estado fundamental~3
onde R = S = O e e = e = -1. Podemos introduzir um efeito deste tipoo-+ -+
em nossas equaçoes acrescentando nas derivadas de R, ~ e S, termos
característicos de um decaimento exponencial (correção fenomenológ~
- (6 10) .ca de relaxaçao) , .. Chamaremos de TI' T2 e T3, respectlvamente,
os tempos de relaxação associados à energia, à polarização e ao mo-- -+ -+
mentum. Assim as equaçoes (2.30) para dR/dT, de/dT e dS/dT ficam:
-+ -+dR -+ -+ -+ R-=S+~J\s--
dT T2
-+ -+ -+s.S -+ -+ S
S+ (l-e)s -
de -+ -+ e-=2s.S--dT TI1
-+ -+ ~dS -+ E.1\-+-=-R--- R-dT l-e l-e TI
3
(2.38)
onde T' = w T1 o 1 1
21
No nosso modelo, desprezamos a relaxação do meio abando
nando tais termos na equação (2.38).
2.5 - INTERPRETAÇÃO VA VARIÁVEL S
+De nossas deduções surgiu urna nova variável (8), a qual
e conveniente interpretar fisicamente. Notemos que as grandezas f~
sicamente relevantes mencionadas até agora foram o momentum angu-
lar, o momento de dipol0 e a energia. Urna quarta grandeza igualme~
te importante que pode fazer parte de nosso sistema de equações e
o momentum. Procuremos, então, as matrizes que representam os ope-+ *+
radares de momentum. Denotando por (p).. == -tti: f 1J;. V 1J;. d3 r, com1J 1 J- - (~)
i,j == 0,1,2,3; notando (atraves das definiçoes de RIO (r) e R21(r) )
que
e
obtemos:
(p ) .. == (p ) .. == OX 1J Y 1J para ij 113,23,31,32;
(2.39)
=0(Pz)ij
para ij I 03,30;
22
assim, através de (2.39) escrevemos as matrizes
oOOO
O
OOip
JP x = \ O
OO-ip
O
-ipipO
oOOO
O
OOP I e
JP y = I O O
OPO
PPO
r O
OO-i/Lp I
JP = I o
Qoo
z o
ooo
i/Lp
ooO(2.40)
Podemos deduzir facilmente utilizando (2.3) e (2.40) que
<JP> <JP> <JP >x yS
z(2.41)S = S= e= ., x
I2py
/Lpz
I1p
Atraves de
(2.41)obtemos as matrizes que representam as componen--+
tes de S
O
OOO OOOO
i
OOO1 1OOO1"""
-- ;5=-o x /LOOO-1 Y/ZOOO1
O
-11O O11O
O
OO-1
e. I O
OOO
5z =.1 OO
OO
1
OOOI (2.42)
Se ao inves de utilizarmos os indices x,y,z em (2.42) usarmos 1,2,
3, podemos escrever na forma compacta a regra de comutação:
23
(2.43)
~As expressoes (2.41) nos diz que S representa o momentum, mas, ao
mesmo tempo (2.43) parece contradizer esse fato. Todavia, estamos
trabalhando num subespaço do sistema (estamos considerando apenas
dois níveis~), portanto as regras de comutação para as grandezas
físicas não são em geral válidas; como podemos verificar para os
operadores de momento de dipolo, os quais não comutam, enquanto
que, no espaço todo sabemos que eles comutam. Assim, podemos afir
mar ~ue dentro das limitaçbes relativas a esse subespaço de dimen-~
sao menvr, S representa o momentum.
24
CA pTTU LO I II
PROPAGAÇÃO DO CAMPO PARA A TRANSIÇÃO 6~ =
AS EOUACVES AUTO-CONSISTENTES....... ,
3.1 - EQUAÇÜES DO CAMPO
(6m = O, ± 1 ) -
As equaçoes de Maxwell que descrevem a propagaçao de
-. - (16)urna onda eletromagnetlca sao
-+ -+ 1·-+'V 1\ H =_ 3D
c 8t
-+
-+ -+ 1 8B -+ -+ ~ -+V }\E=- - - , V-D=41TPe V-B=Oc 8t
(3.1)
Consideremos um meio descarregado e não magnético descrito-+
pela polarização macroscópica P ou seja:
-+ -+ ± ± -+p = O , H = B e 1) = .t; + 41TP
De (3.1) e (3.2) vem
e,
apenas
(3.2)
(3.3)
-+ -+ -+ ~2-+V(V-E) - v E =- (3.4)
Seja n, constante, o número de átomos por unidade de volume, e
d=d(x,y,z,t) o momento médio de dipolo associado ao átomo na pos!
ç~o (x,y,z) num tempo t. Ternos de (3.4)
-+ -+ -+ -+ -+ 1 ,,2-+ -t;-
V ('V _E) _ V 2 E = __ ~ _ 41Tn a 2 Qc2 at2 ~ at2
(3.5)
25
onde utilizamos o fato de que P = nd.
Estamos considerando um meio homogêneo no qual há cance
lamento completo das cargas nas extremidades dos dipolos indivi-
duais distribuídos no volume, não havendo portanto cargas de pola-
, - (16) , drlzaçao . Asslm sen o
-+ -+V·p=o
Utilizando (3.3) e (3.6) em (3.2) vem
-+ -+V·E=Q
Aplicando (3.7) em (3.5) temos:
(3.6)
(3.7)
(3.8)
Como no futuro vamos acoplar a equaçao de Maxwell (3.8) com as e-
quações do meio (2.30) f (2.31), (2.33) e (2.36), temos que
d h, -t f d t' (9,14)uas zpo eSes un amen alS .
fazer
Ia.) o campo elétrico que aparece em (3.8) e o mesmo de (2.30) e
(2.36) ;
2a.) o momento de dipolo medio d é o mesmo para cada átomo, ou se-
j a d = <dL>
A 2a. hipótese equivale a dizer que todos os átomos
possuem a mesma função de onda, ou seja, a situação é a de máxima
~oope~açRo. Pelas hipóteses acima e pelas definiç~es (2.28) para-+ -+E, T e R escrevemos:
-+-trw E
-+ oE=--I2d
t= T
w o
e-+ -+d=ndR (3.9)
Substituindo (3.9) em (3.8) vem:
26
(3.10)
Dividindo (3.10) por tlwo/ I'X d membro a membro e fazendo a mudança
de variaveis de posição
x = Àx' i Y = Ày' e z = ÀZ' (3.11)
onde x', y' e z' são variáveis adimensionais e
À o
2'IT
(3.12)
obtemos:
onde
(3.13)
Denominando
V,2 =a2..--+
ax' 2
~2
~y' 2
+ a2
az'2
s=8'ITnd2
-ríwo
(3. JA) .
(3.13) fica escrita na forma
+ + - -onde € e R sao funçoes de x', y', z' e L
(3.15)
Devemos notar que nas equaçoes do meio (2.30) e (2.36)
está impl~cito que todos os átomos possuem a mesma frequência
de trans:i:.çao.
w o
~ muito trabalhoso e difícil resolvermos o sistema de
equaçoes dado por (2.30), (2.31), (2.33), (2.36) e (3.15)
27
para
obter um pulso luminoso de propagação tridimensional (por exemplo,
como uma onda esférica) pelo número de variáveis que envolvem o
problema e a não linear idade do sistema de equações. Por isso, va-
mos nos limitar a um pulso cuja propagação seja unidimensional (co
mo uma onda plana) considerando o caso particular em que se propa-
ga na direção z com
E =0 P =0z ' z '-+ -+ -+ -+
E = E(z,t) e P = P(z,t)
o que satis faz trivialmente (3.6) e (3.7). Com P = nd e as expres-
sões (3.9), o caso particular considerado acima fica:
-+ -+ -+ -+
E: Z = O, Rz = O, E: = E: ( Z ' ,T) e R = R (z',T)• (3.16)
Considerando então (3.16) e separando (3.15) nas componentes de
t e R temos
.a2E: x
az'2
= + s (3.17a)
.a2E: a2E: a2R--Y=--Y+ S--Yaz,2 aT2 aT2
(3.17b)
Verifiquemos que uma solução particular para (3.17a) possue a for-
ma
rE: (z' T}=--ª-
a - -dz'x '
- Rx (z',T - Iz' - z ' I ),2 aT
-00e para(3.17b)
E: (z' T) =
- J!. r1.. R( z ' ,T - Iz' - z' I )dz'Y , 2 aT y
-00(3.18)
(3.19)
28
A conveniência de escolhermos as soluções (3.18) e (3.19) para
(3.17) ficará evidente no final desta secção. Podemos escrever
(3.18) do seguinte modo:
E (zl T)::::X '
o que implica em
S
2
8
2
+
::> -; f
z 1
32 R (Z',1-(Z'-Z'))dZ'
+31 3z 1 X _00
~ __3__ R (ZI ,1-(Zl_2') J 1_
+2 31 x Z I::::Z1
~r 32 (- - ]-
---- R Z~1-(ZI_ZI) dz'+
ch3z' xZl+ .ê. -ª- Rx (Z~ 1-(Z 1 -z 1) )
2 31 121=Zl
dando portanto
Z 1
3€x =.ê. f ~ RX(Z' ,1-(Zl_21) )dZ' +3z' 2 312-00
.ê. [00 ~ R (Z',1-(Z'-Z')JdZ'2) 312 XZ 1
(3.20)
Derivando (3.20) em relação a z' e após algumas operações algébri-
cas vem:
= s R (2',T)X
29
RX(Z',T-12'-z'l)dZ' .
(3.21)
Derivando agora (3.18) duas vezes em relação a T vem:
= (3.22)
Substituindo (3.22) em (3.21) obtemos:
a2(a2(a2
x x-- ---+S -- R (Z',T)
az·2aT 2dT 2 X
~
(3.17a) .Fica assim verificado que(3.18)e solu -que e a equaçao
ção de (3.17a). Da mesma forma verificamos que (3.19) e solução+
de (3.17b). Com os resultados (3.18) e (3.19) podemos escrever (
na forma
a+- 1-'-- R (z',T- Z'-z' )dz 'dT
(3.23)
o campo num ponto pode ser decomposto em duas partes,
+ ~ - -urna ((d) devido a porçao do meio a esquerda do ponto em questao, e
outra (t ) devido a porção à direita. Por (3.23) escrevemose
+ SE =--d 2
z'
I d + (- - J -_00 ~ R 2',T-(2'-2') d2'
(3.24)
+Ee (3.25)
30
onde
o fato de utilizarmos os índices "d" e "e" para as parcelas do
campo, é que (3.24) só dá uma resultado apreciável para ondas que
~am~~ham para a direita e (3.25) apenas para aquelas que ~am~~ham
para a esquerda, como veremos na secção 3.3 e mais precisamente na
- .,secçao 4.4 do capltulo IV.
Neste trabalho, vamos considerar apenas o termo do cam-
po que contribui para ondas que caminham para a direita dado por
(3.24)
Derivando (3.27) em relação a z' e em relação a T obtemos:
(3.27)
z'
L~ (3.28)
e
z'
~L (3.29)
Somando (3.28) e (3.29) membro a membro obtemos:
élz'
-+
+ ~élT
s2 dT
-+R(Z',T) (3. 30)
Com (3.30) nossa equação de propagação fica reduzida a urna equaçao
de la. ordem.
31
3.2 - SOLUÇÃO DAS EQUAÇUES AUTO-CONSISTENTES PARA O CASO LIVRE
Como já foi dito, vamos desprezar os termos devido
à relaxação do meio, assim as equações (2.30), (2.36) e a-
equaçao
do campo (3.30) forma nosso sistema de equações auto-consistente:
+ + +dR = S + 9, fi. E
dT
+ + +d9, = R A SdT
+ +de = 2s. SdT
+ + + + +dS + s'R + S'S + +- = -R - -- R - -- S + (l-e) sdT l-e l-e
+ + +dS +~=-.ê. dR
dZ I dT 2 dT
(3.31a)
(3.3Ib)
(3.3Ic)
(3.3Id)
(3.3Ie)
Vamos resolver o sistema auto-consistente para o caso
livre, que significa campo desacoplado do meio. Para desacoplar f~
- + + (*)zemos d+O, assim, pelas definiçoes de s e R (2.28), (3.3Ie) fica
+ +~ + dE = O
dZ I dT
cUJa solução é uma onda plana. Das equações (3.3Ia,b,c e d) vem:
+dR
dT
+= S (3.32a)
(*) Poderíamos fazer d+O em (3.8), o que daria .d2Ê/dZ2_~d2Ê/dt2=O,cfornecendo ondas pl~nas caminhantes para a direita e para a
esquerda. Mas, no nosso problema estamos trabalhando apenas com
aquelas que vão para a direita.
32
de = O
dT
~
dS = -RdT
(3.32b)
(3.32c)
(3.32d)
~ ~ ~Observemos que pela definiçao de E em (2.28), d ~ O implica [~O.
De (3.32b e c) temos:
-+!L = constante e e = constante (3.33)
Os resultados (3.33) nos diz que o momentum angular médio e a eneE
gia não variam. Nosso modelo semi-clássico não prevê emissão espo~
tânea, portanto, mesmo que o sistema esteja inicialmente no estado
excitado este não mudará caso não haja nenhuma perturbação. Isto e~
tá de acordo com as expressBes (3.33). Derivando (3.32a) com rela
ção a T e utilizando (3.32d) obtemos:
2* -+~=-RdT2
Resolvendo (3.34) vem
R = A cos T + A sen Tx x y
R = B cos T + B sen Ty X Y
(3.34)
(3.35)
onde A , A , B e B são constantes que dependem do estado inicialx y x y
do meio. Substituindo (3.35) em (3.32a) encontramos:
S = -A sen T + A cos TX X Y
e
s = -B sen L + B cos Ty X Y
(3.36 )
33
-+
Notemos que a polarização (representada por R) neste caso, depende
-+
apenas do momentum (representado por S) .
De (3.35) e (3.36) vemos que as extremidades de R e
descrevem elípses
onde introduzimos
(3.37)
(3.38)
+ - -A=Ax+Aye
x y+ - -B=B x+B Yx Y
(3.39)+2 + + +2 + +A =A.A e B =B.B
Os eixos das elípses estão rodados no sentido anti-horário de um
ângulo a em relação ao eixo x tal que
A excentricidade é dada por:
ex=~1 (:A2+132) ;(:A2_132)2 + 4(Ao13)2'_[(Ã2_132)2+ 4(Ao13)2] L+ +
21A fi. BI
(3.40)
(3.41)
Embora as elípses (3.37) e (3.38) tenham sido deduzidas para o ca-
so livre, veremos na próxima secção que elas podem
elípses instantâneas no caso de acoplamento fracoo
representar
3.3 - SISTEMA DE EQUAÇÕES PARA A TRANSIÇÃO /:.,9,= 1 (/:"m=O,±lJ PARA
ACOPLAMENTO FRACO.
Suponhamos que t.: < < 1, o que implica E < < llw / /2 d (vemo
da definição de+E de (2.28)) ou dE «~w , que significa perturbao
dois
34
çao fraca, porque dE é muito menor que a diferença entre os
níveis de energia. Por outro lado, significa acoplamento fraco na
equação do campo elétrico, pois a hipótese E «1 está próxima da so
lução livre E =0. Estamos interessados na propagação unidimensio-
+ - ~nal, portanto, podemos tratar E como um pulso proximo a uma onda
e
e
por
- ~ +/ +plana, lentamente variavel em relaçao a w , assim dE: dZ' ~ E:o
+ + \ + I + I + +ÓE/Ó't ~ E, sendo I ÓE/ÓZ' - I ÓE/ÓT I «E. Corno ÓR/ÓT ~ S (veja 3.31a)
e Isl < 1 (veja a equação da conservação da probabilidade (3.31))
"!:ternosde (3.31e) que S« E «1. Observemos que E« 1íwo/12 d não sig-
nifica necessariamente campo fraco relativamente aos disponiveis
_ . -27 15 -1no laboratorlo. De fato, sendo1í.~ 10 erg. seg, w ~ 10 sego
d~ 10-18 ues.cm implica que tíw /12 d~ 3x 108 v/cm(*), assim,o
exemplo E ~ 103 din/ues satisfaz à condição E« 1í:w/12 d e não e camo
po fraco. Fazer E« 1 nas equações (3.31) consiste em perturbar as
soluções de tal sistema para o caso livre. Vamos fazer isto
+ + + + -considerando A=A(z',T) e B=B(z',T) nas definiçoes (3.39) lenta-
mente variáveis no tempo em relação aos valores das amplitudes de+ +A e B.
+ +Com as hipóteses de A e B lentamente variáveis no tempo
e a propagaçao do campo na direção z,+ +
(3.36) para R e S tornam a forma:
as expressões (3.35) e
R (z',T) =A (z',T)COS(T-Z') +A (z',T)sen(T-z'), (3.42a)x x y
R (z',T)=B (Z',T)COS(T-Z')+B (z',T)sen(T-z'), (3.42b)y x y
S (ZI,T) =-A (z',T)sen(T-z') +A (Z',T)COS(T-Z'), (3.42c)x x y
(*) Esta é a ordem de intensidade do campo capaz de induzir um mo
mento de dipolo d num átomo de hidrogêneo(17).
35
S (Z',T)=-B (z',T)sen(t-z')+B (Z',T)COS(t-z') .y x y
(3.42d)
7 7Observemos que embora tenhamos escrito R e S em termos
7 7 ~ ~de novas variáveis A e B, o número de funçoes incógnitas nao mu-
dou.
~ 7A polarizaçao representada por R e o momentum represen-
7tado por S, de acordo com (3.42), possuem uma envoltória descrita
7 7por A e B que varia lentamente e uma parte rapidamente oscilante
que ~am~~ha com a velocidade da luz c, mas notemos que a velocida-
de de propagaçao (de grupo)é dada pela velocidade da envoltória.
Substituindo
(3.42a)na componente x de(3.27)vem:
z'
dAz'
(
= _ .ê.
f~ COS(T-Z')
dz' +~ fA
sen (T-Z')dz'+x 2 dTX
-00
-00
z'
dAz'
Bf
-.Y... sen(T-z')dz' -
~ fA COS (T-Z I) dz'2
dT Y
-00
-00
ou, agrupando os termos em COS(T-Z') e sen(T-z')
A expressao (3.43) nos sugere a expressao para E :X
E = F sen (T-Z ') - F cos (T-z I)X X Y
Da mesma forma, substituindo (3.42b) em (3.27) escrevemos:
(=G sen(T-z')-G COS(T-Z')y x y
(3.44)
(3.45)
36
Vamos introduzir as notações:
-+ /\ /\
F=F x + F Yx Y
* /\ /\e li=GX+Gyx y
(3.46)
Substituindo as expressões (3.42a,b,c e d), (3.44) e (3.45) em
(3.31 b e c) obtemos expressões para de/dT e d9:/dT em termos de
COS (T-Z'), sen (T-Z') e seus quadrados (vamos omi tir o cálculo). lem
brando que só se realizam transições após muitas oscilações atômi-
cas, COS(T-Z') e sen(T-z') não contribuem para valores médios no
tempo, pois são funções rapidamente oscilantes (o período é 2n/w o15 -1
com w ~ 10 seg ~), restando apenas termos com seus quadradoso
que contribuem com o valor médio 1/2. Arranjando esses termos, uti
lizando (3.46) e (3.39) obtemos:
d! = 1:. (G A A + 13 A jhdT 2
(3.47)
de -+ -+ -+-+-=-(A·F+B·G) . (3.48)dT
Com as considerações acima, levando (3.42), (3.44) e (3.45) nas
expressoes (3.31 a e d), ap5s muitas operações algébiicas chegamos
a:
-+
[ ]ClA_ 1-+ -+ -+ -+-+(l-e)-+ 1 -+ -+A2F+A·BG - F-- 9.AGClT
2(l-e) 22
-+
ClB=1
~-+ 2 -+ . -+ -+ -+ ] ( 1-e)
-+1:.1AFB G+A·BF -G+
ClT2 (l-e) 22
(3.49)
(3.50)
-+/ -+ -Considerando que ClR ClT~S, levando as expressoes (3.42c,d), (3.44)
e (3.45) na equação de Maxwell reduzida (3.31e) tiramos:
-+ -+
~+ ClF=.ê.AClz' ClT 2
(3.51)
37
+ +élG élG B +-+-=- B
élz' dI 2
(3.52)
Substituindo agora as expressões (3.42) nas constantes de movimen-
to (2.31) e (2.33) obtemos:
+ + +AAB= (l-e).Q, • (3.54)
Notemos que as equações (3.49) a (3.54) formam um sistema fechado
de 10 equações e 10 incógnitas+ ~
(9, aponta sempre na direçao
Z) •
Estamos agora em condições de demonstrar que Ee« Ed
para a solução que consideramos. Escrevendo a componente x de
(3.25)
Eex
~ _ .ê.
2
ou utilizando (3.42c)
E ~-ex ~ foo (-Ax sen (T+z 1-2z') + Ay cos (1"+z'-iZ"') ) dz' .Z '
Integrando por partes
+00 1 J dA ,00
+ - sen(1"+z'-2z')-.:L dz'2 dZ' I,ZB r 1 -E ~ - -- - sen(1"+z'-2z')A
e 2· Yx 2 Iz'
00 J dA 0011 - 1 - x-
- - COS(T+Z'-2zI) Ax I + - cos(1"+z1-2z')---=; dz'2 1 2 dZ 1Z Z
Vamos supor que no início do pulso (1"+-00), o momento de dipolo
nulo e o campo elétrico é nulo, assim por (3.42) temos A (00,-00)x
~e
=
38
= A (00, -(0) = O, o que nos dáy
00 lz'-,
E: ~ - .ê. rA cos(T-Z ') + A sen(T-Z ') + fex 4 [x y
aA ]+ sen (T+Z '-2z') -!- dz'
az'
l dAcos (-"[+z'-2z') _x +
az'
De (3.53) temos IA I <1 e IA 1<1 . Supondo I aA I az' 1« IA I ex y x x
I aA ,a Z I 1« I A I (envoltórialentamentevariável)tems que I E I '\; S. Da mesmay y exforma 'E I'\; S, assim, E '\;S. No inicio-desta secção chegams à conclusão quee e
y
s« E« 1, assim Ee« cd« 1 como queríamos demonstrar.
3.4 - CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
Derivando (3.53) e (3.54), em seguida substituiildo (3.47)
e (3.48) nas derivadas obtidas, verificamos a identidade, mostran-
do assim a compatibilidade entre as equações.
~ conveniente verificar também se nosso sistema é comp~
tível com o princípio de conservação de energia, ou seja, se e com
patIvel com a equação da continuidade:
(3.55)
onde ~ é a densidade de energia e l é o vetor de Poyting.
Para a densidade de energia temos a relação
l.ll ~ ~ [aa. a + E . aD ]Clt 4n Clt Cltou -+ -+
~= l-1-IB\2 +~. ClDClt
8nClt 4nClt(3.56)
(3.57)
39
Utilizando a expressão (3.2) para D, (3.57) fica:
d]J_ 1 d---at 8TI at
-+
( IE 12 + 1131 2) + E'~at
(3.58)
-+ 2 -+A parcela (lEI +IBJ2)/8TI é a densidade de energia associada ao cam
po eletromagnético e a parcela Eoap/at é a variação da densidade
de energia com relação ao tempo associada à interação do campo com
a matéria, a qual representamos por
d]1m -+ 8P-=E'-dt dt
-+ -+utilizando (3.9) e lembrando que P = nd, escrevemos
(3.59)
d)Jm -+ dR= iíw2 n E:' - • (3.6 O)
dt o dT
Levando (3.31a) em (3.60) e dividindo ambos os membros por w obteo
mos:
(3.61)
onde a última igualdade decorre de (3.31c). A equaçao da continui-
dade (3.55) é consequência direta das equações de Maxwell,
quais derivou a equação de propagação (3.31e). Por outro
das
lado,
(3.61) nos mostra a compatibilidade da energia de interação do cam
po com a matéria e as equações do meio através de de/dTo Assim nos
so sistema de equações (3.31), portanto, também o sistema nas no -
..• -r -r -+- + .....•.vas variaveis A, B, F e G (que vai de (3.47) a (3.54)) sao compat~
veis com a equação da continuidade (3.55).
40
CAPÍTULO IV
SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇVES PARA O DECAIMENTO
69v = 1 (6m = O, ± 1) (ACOPLAMENTO FRACO).
4.1 - MEIO COM LARGURA VE LINHA ZERO (PULSOS TRANSPARENTES "LEN-
TOS") .
Uma onda eletromagnética plana possui o campo na forma
A + A ~ ~ __
E= f(k·r-ut), onde k e o versor que nos da a direçao de propagaçao
da onda, ~ é o vetor posição onde calculamos o campo e u a veloci-
dade de propagação. Denominamos de pulsos transparentes àqueles que
se propagam sem deformação num meio oticamente ativo corno se fôsse
no vácuo. Tal propagação, no nosso caso, é dada pela envoltória do
pulso que vamos considerar em particular na forma de uma onda pla-
na descrita acima.
Vamos iniciar nossa discussão para pulsos transparentes
lenzo~, ou seja u < c, com o campo em ressonância com o meio (larg~
ra desprezlvel). Neste caso mantemos o sistema de equações formado
por (3.49) a (3.54). Corno estamos considerando a propagaçao do pul
so na direção z, escrevemos sua envol tória como F = F (T-az') e-+ -+G=G(T-az') onde a=c/u>l. Assim de (3.51) e (3.52) obtemos:
-+
~=-
onde
(4.1)
(4.2)
41
k2 = S .2(a-l) (4.3)
(O leitor que estiver apenas interessado nos resultados pode pas-
sar direto para as equações (4.21).)
Vamos agora obter algumas equações que facilitam a sol~
ção de nosso sistema formado pelas expressões (3.49), (3.50), (3.53),
(3.54), (4.1) e (4.2). Consideremos a condição inicial de que para
T -+ -00, o campo elétrico é nulo, o momento de dipolo elétrico é nu-
10 e os átomos estão no estado fundamental (e = -1). Esta condição,
corno veremos é necessária para obtermos pulsos lento~. Multiplica~-+ -+
do ambos os membros de (4.1) escalarmente por F e (4.2) por G, so-
mando os resultados membro a membro e utilizando (3.48) obtemos
p.dF + G. dê =dT dT
Integrando (4.4) vem:
(4.4)
(4.5)
-+ -+/ -Calculando a derivada de A·B l-e, utilizando as expressoes (3.48),
(3.49), (3.50), (3.54), (4.1) e (4.2) chegamos à equação
[-+ -+]
d A'B
dT l-e
cuja integração nos fornece
-+ -+ -+-+
A·B = F'Gl-e 2k2
-+ -+Da mesma forma calculamos a derivada de AAB/l-e e chegamos a
(4.6)
-+ -+AAB
l-e
=-+ -+FI\.G
2k2(4.7)
42
7 7 7 7Agora calculamos as derivadas de AAF e BAG,e,do mesmo modo que en-
contramos (4.6) e (4.7) chegamos a
7 7 7 7AAF=BAG=O
Façamos a mudança de variável
(4.8)
e = cos e . (4 .9)
Levando (4.9) em (4.5) vem
(4.10)
A equaçao (4.10) nos sugere as seguintes formas para IFI e IGI :
I F I = 2k I cos 8/211 cos <PI
I G I = 2k I cos 8/211 sen <PI
Substituindo (4.9) em (3.53) vem:
A equaçao (4.12) nos sugere que
IÃ I = Isen 8 II cos y I
1131 = I sen 8 II sen y I
(4.11a)
(4.llb)
(4.12)
(4.13a)
(4.13b)
Corno à é paralelo a F e 13 é paralelo a G (veja 4.8), podemos escre
ver de (4.6) ou (4.7)
1-+1\ II -+1 I t; II ~ 1~tl=·~l-e 2k2
(4.14)
Com (4.11), (4.13) e (4.14), chegamos à conclusão de que y = <jJ+mr ,
com n inteiro. Reescrevemos, então (4.11) e (4.13):
I F I = 2k I cos e/2/1 cos ~ I
I G I = 2k I cos 8/211 sen ~ I
IÃ I = Isen e \ I cos ~ I
I B I = I sen e II sen ~ I
43
(4.1Sa)
(4.1Sb)
(4.1Sc)
(4.1Sd)
Notemos, pelo paralelismo dado por (4.8), que podemos escrever
(4.1) e (4.2) na forma
I1iL=-k2IAIdT
Substituindo as expressões (4.15) em (4.16) obtemos
(4.l6a)
(4.l6b)
e de e -ª-! (4.l7a)sen - cos cJ>- + 2 cos - sen cJ> = k sen ecos cJ> ,2 dT2dT
e de e dcJ>
(4.l7b)sen - sen cJ>- + 2 cos - cos cJ>- = k sen e sen cJ> ,2 dT2dT
com e E [o, TI] e cJ>E [O,TI/2J .
Para que as equaçoes (4.l7a) e (4.l7b) sejam válidas si
multaneamente é necessário que
cJ>= cons tan te e ~= 2 k cos e/2dT
(4.18)
excluidas as soluções 8=0 (átomos permanentemente no estado exci-
tado) e e = TI (átomos permanentemente no estado fundamental) que
nao nos interessam.
A solução de (4.18) e
-kT8 = TI - 4 arctg e
44
assim,
e = cos e = -1+ 2 se ch 2 k-r
o campo elétrico descreve a elípse instantânea
com
+I F I = 2 k cos ~ sech k-r
+I G I = 2 k sen ~ se ch k-r
A polarização e o momentum descrevem elípses instantâneas
por (3.37) e (3.38), onde
IAI = 2 cos <p sech kT tgh kT
I 13 I = 2 sen <p sech kT tgh kT
(4.19)
(4.20)
dadas
Lembrando a condição de pulsos transparentes escrevemos (4.19) e
~ 1+ 1+ -+ -+as expressoes para AI, BI, IFI e IGI acima na forma:
e = -1 + 2 sech 2 k (T-az I )
-+
I FI = 2 k cos <p sech k (T-az ')
I G I = 2 k sen <p sech k (T-az ')
-+
IAI = 2 cos <p sech k (T-az ') tgh k (T-az ')
-+
I B I = 2 sen <p sech k (T - az ') tgh k (T - az I )
onde <p = constante E [O ,TI /2J .
(4.21a)
(4.21b)
(4.21c)
(4.21d)
(4.21e)
A excentricidade das elípses da polarização e do campo
e1~trico são iguais (veja 3.41) a
ex ==
12I[1cos22~+c.os2~sen2.2~'_ (cos22~+cos 2~sen 2 2~)JI'
sen 2~
45
-+ -+
onde ~ é o ângulo constante (veja (4.1),(4.2),(4.14)e (4.16))entre A e B (ou
F e G). O ângulo com que os eixos das elípses estão rodados (veja3.40) fica da
do por:
tg 2a = tg 2~ cos~
A condição de propagação de campos representados por (4.21) tiramos
da equação (3.51) ou (3.52),
onde T= l/k ~ a largura do pulso. Tal condiç~o de propagaçao, e a
mesma relaç~o entre a largura e a velocidade obtida por ~ll-Hahn.
4.2 - MElO COM LARGURA DE LINHA FINITA
Suponhamos inicialmente que o meio tenha uma distribui-
ç~o de frequências g(w ) sim~trica e centrada em urnao determinada
frequência w, corno indica a figura 1. A fraç~o de átomos com fre
quências de transiç~o no intervalo ltu , w + dw J ~ dada por g (w )dw .Lo o o o o
g(Wo)
W
FIGURA 1
Wo
46
Esta distribuição de frequências é devido ao alargamen-
to homogêneo (la~gu~anatu~al) e ao alargamento inhomogêneo. Corno
a largura natural é pequena, podemos considerar cada átomo com urna
frequência fixa, que, varia no entanto de átomo para átomo .
A polarização que entra nas equações de Maxwell é a so-
ma das contribuições, num mesmo lugar e num dado tempo, de todos
-1-
os átomos, isto é, integrais em w com peso g(w ). Assim R é dadoo o
por:
-+
R= g(w )dwo o (4.22)
onde
joo g(w )dw = 1o o
-00
(4.23)
Vamos considerar agora o campo com frequência w (provi-
soriamente igual àquela indicada na figura 1, após obtidos os re-
sultados ela adquire valores arbitrários). Por isso, e para que
não apareçam variáveis dependentes de Wo indesejáveis, trocaremos
w por w nas definiçoes iniciais do campo e de T em (2.28) e naso
expressoes (3.12) e (3.14). Assim, nosso sistema auto-consistente
(3.31) fica:
(4.24a)wdT
+ +dR (w) Wo -+- ( ) + 1: (w ) A Eo - - S w o- o
d!(WO) +-R(w)/tE ,- , odT
de(w )
= 2t.S(wo)
o
dT (4.24b)
(4.24c)
dT
-+ -+-+dS(w ) w EoR(w )
__ 0_ = __ 0 R(w ) 0_
w o l-e(w)o
-+-+
-+ EOS(W )R(W ) _ °o l-e (w )o
47
-+ -+S(w )+(l-e(w ))s ,° °
(4.24d)
-+ -+
dE + ~ =dZ I dT
_ ~ a
2 dT-00
-+
R(w )g(w )dwo o o(4.24e)
Vamos utilizar as novas variáveis
1l = T - az I
(4-25)
Observemos que no nosso tratamento ów« w, pois estamos consideran
do átomos de dois níveis de uma mesma espécie, assim as frequên-
cias não devem se afastar muito da frequencia natural de transição
w , isto P 1;«1.o
Considerando (4.23), ternos para V(I;)
Da mesma forma que obtemos as equaçoes (3.49) a (3.54),
ao sistema:
c:hegarros
-+élA
(4.27a)
-+ [JB A -+ -+ -+ -+ -+-+ - -+ -+-+
-ª-=l;zi\B+ 1 B2G+A'BF _(le)G+l9.,II.Fdll 2 (l-e) 2 2
(4.27b)
+A V(~)d~
48
(4.27c)
00
oG = -k 2 jOll -00
+B V(~)d~ (4.27d)
+ + -tAAB= (l-e)y,
(4.27e)
(4.27f)
+ + -ronde agora A, B, e e ~- - + +
sao funçoes do par (ç,Y]); F e G apenas de
Do sistema (4.27) com a condição inicial Y] + 00, e + -1,77+ 7F + O, G + O, A + O e B + O, obtemos da mesma forma que (4.5), (4.6) ,
(4.7) e (4.8) as expressoes:
{oo Q J+ + + + A
-00 !AA+GAB+ç(l+e)z V(Ç)dç=O ,
00
(4.28a)
(4.2 8b)
+ +
= fOO A fi. B V ( t:) dt:l-e(4.28c)
-00
= foo Ã'B V(t:)dt:l-e-00
(4.28d)
Suponhamos agora a seguinte forma para o campo
E: = M (ll) cos (T-Z I )X
E: =N(ll) sen(T-z')y
(4.29)
49
ou seja, um campo elipticamente polarizado. Assim,
M = -F, N = G e F = G = OY x x y
o que implica p-.c;= O. Da equação (4.28d) vem
00 -+ -+
f ~.B VU,;)dç=Ol-e- 00
(4.30)
-+ -+o que nos permite escolher A·B = O por simplicidade. Com essas con-
siderações, as equações (4.27 a,b,c e d) em termos de suas campo -
nentes ficam:
.dA:.x
dA -+2
-3- = ç Ax - AM + (l-e) ~4_ 9,NdTl 2(I-e) 2 2
(4.3la)
(4.3lb)
dB -+2
~ = _ç B + B NdTl Y 2(I-e)
(l-e) N + 9,M2 2
,
(4.3lc)
(4.3ld)
(4.3Ie)
(4.3If)
(4.3Ig)
- 00 -00
-,-.•...~.--...• -._. __ ._-----"BIBliOTECA DO IN::'n1 ;:i I) DE fl::0, E OU1MIU SE. sAO CARLOS· USP
FI S I CA
50
(Se ao leitor interessar apenas os resultados pode passar direta -
mente para (4.81)).
Como g(w ) é simétrico em relação a w, então v(~)o..e
urna função par de s . Assim (4.3lg) nos sugere a seguinte forma p~
ra A e B :x y
onde A1 (s) e B1 (s) são funcões ímpares de ~ . Com A e Bx Y' x Y
(4.32)
~separa-
veis, as equaçoes (4.31a e d) nos levam a fazer A e B também se-y x
paráveis:
Substituindo (4.32) e (4.33) em (4.31 a e d) vem:
(4.33)
= -E;, = Ml = consto , (4.34a)
= E;, = M2 = consto (4.34b)
onde a última igualdade decorre do fato de que os primeiros mem-
bros dependem somente de ~ e os segundos de E;,. Devido a arbitra
riedade na definiç~o de AI , A2 I aI e B2 dada por (4.32) I escolhex x y y
mos ~\ = M2 = 1 obtendo:
dA2
X = A2- Yd~
a2
~ = a2 xdTj
(4.35a)
(4.35b)
AI = -E,A 1 ,X Y
51
(4.35c)
(4.35d)
Levando (4.33) em (4.31 e e f) vem:
00,M ~ k'A' J
AI VUJd~311 Y
Y
-00 (4.36)00
,N ~ -k' B' J
BI V(ç)dç311 x
x-00
Definindo
00
(4.37)
-00
reescrevemos (4.36):
e
-00
(4.38)
Substituindo (4.35a e b) em (4.38) e levando em conta a
inicial T -+ 00, A2 = B2 = O e H = N = O, obtemos:x y
-+ -+Como A·B = O, temos
aà -+ -+ 313-·B+Ao-=O311 311
condição
(4.39)
(4.40)
52
utilizando (4.27 a e b) em (4.40) vem
+ + + +F'B = -G'A
ou, escrevendo em termos de (4.30)
(4.41)
N A =M Bx y
ou (4.42)
Levando (4.35 c e d) e (4.39) em (4.42) obtemos
(4.43)
utilizando
Tentemos agora encontrar uma expressao para ~ em termos
de A e B , para que com o uso da constante de movimento (4.27e) ex y
a condição de separabilidade das variáveis A e B , possamos acharx y
o conjunto de funçoes de ~ e ~ que determinam A e B .x y
Substituindo (~.30) em (3.48) e em seguida
(4.39) e (4.33) encontramos:
(4.44)
Como ~=T-az' e levando (4.35 a e b) em (4.44) vem:
(4.45)
Integrando (4.45) levando em conta as condições iniciais do probl~
ma obtemos:
(4.46)
Substituindo (4.35d) em (4.43) obtemos
53
e, utilizando (4.35c) em (4.47) vem
Levando (4.48) em (4..46) encontramos a express~o:
e = - 1+ ~ AI [12 (A 2 ) 2 + L 2 (B 2 ) 2J-2L Y 1 x 2 y1
Fazendo
a equaç~o (4.49) fica escrita na forma
e=-l+ k2
Substituindo (4.51), (4.32) e (4.33) em (4.27e) obtemos:
(A 1) 2 (A2) 2 + (A 1 ) 2 (A2) 2 + (B1) 2 (B2) 2 + (B 1) 2 (B2) 2 _X X Y Y x x y y
(4.47)
(4.48)
(4.49)
(4.50)
(4.51)
Utilizando agora (4.35 c e d), (4.48) em (4.52) e arranjando os
termos chegamos a
(L 2 (A 2) 2 + L 2 (B 2) 2 + ~1 y 2 x 4
k2L T1(4.53)
54
Corno AI é função apenas de s e A2, B2 e T de ~ I devemos ter:y y x
e, portanto
1AI= __
Y ~2/Llk2+Cl
(4.55)
Dividindo o numerador e o denominador de (4.55) por C1 obtemos:
onde
(4.56 )
Podemos arbitrar AI respeito a urna constante multiplicativa, asysim
11 + C'; 2
De (4.58) e (4.35c) obtemos
e de (4.48) vem
1Ll 1 + C.;2
(4.58)
(4.59 )
(4.60)
55
Levando (4.60) em (4.35d) vem
L2 Ç,B1 = ---y L 1 + CÇ,21
(4.61)
Observe que de fato A (~) e B (~) são funções ímpares de ~.x y
Utilizando (4.32), (4.58), (4.59), (4.60) e (4.61) pod.§.
mos escrever (4.50):
(4.62)
e (4.54)
ou
.- ~ 1+ 2k 2L C T = L2 (1 + C~2) 2 L( A ) 2 + (B )2 + ~111 Y x 4(4.63)
Considerando (4.32), (4.58), (4.59) e (4.61) escrevemos (4.39) na
forma abaixo:
M= -k2LCl+C~2) k2L
1
A = _ 1
x - A~ ~Al X Y
N = -k 2L
(1+C~2)k2L
1
B = _ 1
~
---- B
Y ~Al YY
Derivando (4.63), utilizando a derivada de (4.62), as
(4.64)
equaçoes
(4.31 a,b,c e d), (4.51) e (4.64), após muitas manipulações algé -
bricas chegamos a
(4.65)
56
Comparando (4.65) com (4.51) tiramos cl;:;1, que levando em (4.57)
vem:
c = ~__l ~L k21
(4.66)
A equação (4.66) nos dá a condição de propagação do pulso na forma
(4.29) •
Passemos agora a procurar as equações que determinam o
campo. Utilizando (4.62) e (4.64) em (4.51) escrevemos
e=-
onde
(4.67)
(4.68)
Substituindo (4.67) na constante de movimento (4.27e) obtemos:
A 1 (~)(A ) 2 + (A ) 2 + (B ) 2 + (B ) 2 - Y H2 +
x y x y k2L 1
+ (4.69)
Tirando A e B de (4.64), substituindo em (4.69) ex y
(4.68) vem:
utilizando
(4. 70)
Colocando A~(~)H2/k2Ll em evidência nos dois termos de (4.70) que
57
possuem H2, lembrando (4.66) e (4.58) vem:
= o (4.71)
utilizando agora (4.33) e sucessivamente (4.35 a e b), (4.39)
(4.59), (4.60) juntamente com (4.66) obtemos:
A 1 (~) 2 [[dM] 2 [dN] 2](A ) 2 + (B ) 2 == Y _ +_Y X k4L2 dT) dT)1
(4.72)
Substituindo (4.72) em (4.71) e cancelando o fator A~(~)2/k2Ll que
é comum a todos os termos obtemos
= O (4.73)
+ +Por outro lado supomos A·B = O ou A B + A B = O, o que implica, utix x y ylizando (4.32) e (4.33) em
Levando (4.38), (4.39) e as expressões (4.58) a (4.61) em
obtemos
M dN = N dM
dll dll
De (4.68) e (4.75) escrevemos
M = H cos <P
N = H sen <P
onde <p e uma constante.
(4.74)
(4.74)
(4.75)
(4.76)
Substituindo as expressões (4.76) e (4.66) em
obtemos:
cUJa solução é
2 T1H = - sech -~ '0
58
(4.73)
(4.77)
(4.78)
onde 752 =C, sendo 1) a largura do pulso. De (4.66) escrevemos:
c = ..(;2 = 1L k21
(4. 79)
Utilizando (4.79) em (4.58), substituindo o resultado em (4.37) ob
temos:
. V ti;)(%i;)2+1
(4.80 )
De (4. 79), (4. 8Q) e (4.3), lembrando que a = c/u, obtemos o recipr~
co da velocidade do pulso
V(l;)
('0i;) 2 + 1di; (4.81)
Substituindo (4.78)em(4.76)vem:
M=
~ sech ~ cos cp
(4.82)N=
2 11
~ sech ;; sen cp
Com (4.82), (4.68), (4.79) e (4.58), (4.67) fica:
e=-l+2
(~l;) 2 + 1sech2 !J.
'G(4.83)
Substituindo
juntamente com (4.59)
(4.82) em (4.39), obtendoA2(~) e B2(n),x y
e (4.61) em (4.32) chegamos a
59
levando-os
expressoes
2 (tz; ~) sech !l cos ~A =- 'GX (Z;~)2+1
(4.84)2(Z~) sech ~ sen ~B = - {:y (c;' ~) 2 + 1
Levando (4.84) em (4.31 a e d) obtemos:
A- - 2
Y(~~) 2 sech ~ tgh ~+ 1 t: '0 cos cp
B
= 2
x
sech ~ t h TI
(4.85)
('002 + 1 '?; 9 ~ sen cp
Os resultados (4.83), (4.84) e (4.85) independem de L2, e pela sua
definição em (4.37) vemos que este pode ser arbitrário. Vamos fa
zer então L2 = 1 •
Com (4.82), (4.84) e (4.85) escrevemos as+ +
para as componentes de R e E
R =- 2 cos cp [(b~)COS(T-ZI)+tgh~Sen(T-ZI)J sec.h-p- ,x 1+ ('0~) 2 '[ (,
R =y
2 sen cp
1+ (bÇ) 2[-(0ç)Sen(T-Z1)+tgh~. COS(T-Z')]sec.h2L~ ~
2 cos cp sec.h~ COS(T-2I)E = ---- '(;x 'b
- 2 sen cp sec.h.p. sen(T-ZI)E -.-", ~y (.
+:A equaçao da elípse instantânea descrita por E é
(4.86)
60
.E 22
,t:2 + -1=1M2
N2
e a sua excentricidade é dada por
, ; " '
, ..d 2 ." ,e x = Y. M '- N2 L
IMI
Utilizando (4.82) em (4.88) obtemos
De (3.37) vemos que a ellpse instantgnea descrita por R e:
(4.87)
(4.88)
(4.89)
Rx(4.90)
assim sua excentricidade ~ dada por:
ex = {jJtz ~ BZI~
IÃI(4.91)
Subs,tituindo as expressoes (4.84) G (4.85) em (4.91) obtemos ex=
que é igual ã expressão (4.89). Vemos portanto, que~ ~
as elipses instantgneas de R e s possuem a mesma excentricidade, a
qual independe da posição e frequência característica dos átomos e
não varia com o tempo. A escolha da excentricidade deve ser feita
então através do pulso inicial que coloca os átomos no estado exci-
tado.
Suponhamos agora uma distribuição de frequências g(w)o
não simétrica. Neste caso demonstraremos que os resultados (4.81)
e (4.86) continuam válidos, se trocarmos nas equações (4.29) Zl
por mz' onde:
m = 1_ ~~2
2 Lds
61
(4.92)
com V(~) definido em (4.25).
Supondo um campo na forma
E = M COS (1-Z I + ~) ,x
E = N sen(T-z' +~),y
onde ~ = ~ (z'); utilizando a equação de Maxwell na forma
(4.93)
reduzida
(4.24e), as condições de amplitudes lentamente variáveis e as defi
nições (4.25) e (3.42), chegamos a
00
3M = k2fAy V(~)d~31l -00 003N = -k2fBx V(~)d~31l -00(4.94a)
(4.9 4b)
N~=3z I
00
.ê.fA V(~)d~2 x- 0000
.ê.fB V(~)d~2 Y-00
(4.94c)
(4.94d)
+ +B e B separáveis na formaSupondo AoB=O e A I A I (4.32)e
x yx Y
(4.33) I
obtemos de(4.94 c e d)
M ~ = - ~ L' A2
3z1 2 1 x (4.95)N ~ = - .ê. LI B2
3z I 2 2 Y
I
f ~~ V (ç:) d ç: e Ll2=~ooB~ V(E::)dE::onde Ll =
.-00
-00
62
Como o sistema de equações para A ,A ,B e B é o mesmo que (4.31a,x y x y
b,c,d,e e f), podemos utilizar (4.39) em (4.95) para obter:
,
-S/2 Li :: Kk2 11
(4.96)
onde Ll e 12 foram definidos em (4.37). De (4.96) obtemos:
= (4.97)
cjJ = Kz'
Substituindo (4.98) em (4.93) escrevemos
E = M cos(T-(l-K)z')x
E = N sen(T-(l-K)z')y
(4.98)
(4.99)
Levando LI =1/k2~2(vem de 4.79) em (4.96) e utilizando a definição,
de LI dada em (4.95) encontramos
00
-00
e, observando (4.99), identificamos
00
m = 1 - K = 1 - .ê. 2 f E,V ( E,)
• 0 dE,
2 1+ ('bE,)2-00
que é a expressão (4.92).
63
4.3 - VISCUSSÃO PARA PULSOS "RÃPIVOS"
No caso de pulsos lento~, tinhamos os átomos inicialmen
te no estado fundamental, e o pulso, ao começar a atingí-los, ia
excitando~0s at~ que no seu máximo os átomos em ressonáncia com
o pulso estavam totalmente excitados (os demais parcialmente). A
desexcitação se dava à medida que o pulso deixava-os. Desse modo a
velocidade do pulso coincide com a da transferência de
u/c < 1.energia
Se inicialmente os átomos estão no estado excitado, a
parcela de energia contida num átomo ~ afetada pela cauda anterior
do pulso devido a desexcitação de outros átomos dando urna emissão
mais forte. Assim, um átomo localizado num ponto z emite um pulso
com tal intensidade que nos dá a impressão que ~ proveniente do
pulso o qual, na verdade ainda não chegou ao ponto z, ou seja, pa-
rece que a energia andou mais depressa do que na realidade. Neste
caso u/c > 1 e chamamos tais pulsos de !lápJ.do~. A causalidade
.... 1 d (6) .. 1 'd de V10 a a p01S a energla se propaga com ve OCl a e menor
-nao
que
c. Para o caso de pulsos!lápJ.do~ a condição inicial ~: para T+-OO
(início do pulso), o campo el~trico ~ nulo, o momento de dipolo e-
l~trico ~ nulo e os átomos estão no estado excitado (e=l).
esses pulsos as equações (4.1) e (4.2) ficam:
+ +aG = k' 2B
onde k' 2 = 1:. S/l-a2
Para
(4.100)
No caso do campo em ressonância com o meio a energia e
64
dada por:
(4.101)
A amplitude do campo e momento de dipol0 possui a mesma forma que
(4.21) trocando k por k' e a condição de propagação fica:
1li
onde I' = ljk' .
1c
= - l.ê.T'22 c
(4.102)
Para o caso fora da ressonância a energia fica:
e = 1 - 2 sech2 1l/Z;'1+ (~'ç;)2
(4.103)
onde 'b' 2 = l/L' k' 21 e
-00
- ~ ~As expressoes para as componentes de R e € ficam iguais a
trocando % por %', e a condiç~o de propagaç~o fica sendo
00
(4.86)
-1 1u = - -c BL f2c
-00
(4.105)
Todos os resultados para pulsos ~ãpido~ s~o obtidos da
mesma forma que para pulsos fento~, pois basicamente as equaçoes
n~o mudam, trocando apenas a condição inicial. Por isso as expres-
sões (4.102) e (4.105) continuam semelhantes à expressao
por McCall-Hahn.
obtida
65
4,4 - CONCLUSVES
Notemos que a condição r» 1 (ou seja E « 1)....e necessa -
ria para que outros níveis de energia não sejam perturbados, pois
caso contrário (t~ 1), o campo seria excessivamente forte e o nos-
so modelo certamente falharia. Portanto, pela definição (4.3), a
velocidade do pulso não deve ser muito próxima de c, ek é da ordem
Por outro lado através de (4.79) vemos que
(4.106)
que é compativel com a condiçãob» 1, pois S «1 na nossa hipótese
inicial (acoplamento fraco) .
Podemos verificar que a contribuição do termo responsa-
vel pela propagação da onda para a esquerda é desprezivel, substi-
tuindo as expressões (4.86) para a polarização em (3.25) resultan-
do
E: ex= ..ê.R rv __ l_ R
4 x 4 'G2 X
S 1=-R rv--R4 y 4 'C; 2 Y
(4.107)
Comparando (4.107) com (4.86) vemos que (4.107) representa uma con
tribuição de segunda ordem, portanto pode ser desprezada. Notemos
que (4.107) representa uma onda caminhante para a direita, isto
significa que o termo dado por (3.25) só permite que se propaguem
ondas dirigidas para a esquerda. Se inicialmente tivéssemos intro-
duzido também um pulso dirigido para a esquerda (3.25) não poderia
ser ignorada.
Como podemos ver pelas expressoes para as componentes
do campo em (4.86), este é composto de duas partes, uma rapidamen-
66
te oscilante e outra que nos dá sua amplitude (vide figo 2) e e es
ta que nos dá a velocidade do pulso (transparente) expressa por
(4.81).
As excentricidades das elípses instantâneas do campo
elétríco e a polarízação do meío são íguais à expressão (4.89). O
fato das excentricidades serem iguais representa o acoplamento do
campo com a matéría, já que é consequência disso.
FIG. 2
Supondo todos os alargamentos desprezíveis, podemos es-
crever g(w ) como uma função o. Isto faz com que as expressões obo
tidas para o campo, polarização e energia para o caso de largura
de linha finita recaia no caso do campo em ressonância com o meio
com a frequência natural w (largura zero).o
Nosso sistema de equações é de natureza vetorial, por -
tanto invariante sob rotações. Nossa escolha inicial da direção do
pulso nos deu o eixo de quantização (z) e neste caso (E =R =S =0).z z z
Podemos demonstrar que a menos de fatores de fase irrelevantes, d~+ +
dos R e S podemos encontrar ao' ai' a2 e a3 que
nam a função de onda ~ que descreve a evolução do meio
determi-
material
(veja 2.2). Assim, R = S = O implica a = O, isto significa transi-z z o
çoes apenas do tipo Í'lm= ± 1. Como a permutação de eixos não altera
nosso sistema, a direção que escolhemos poderia ser x ou y sem mu-
67
dar o pulso obtido. Temos portanto, a possibilidade de transições
do tipo 6m=O, 6m=±1 onde os estados m=+l e m=-l possuem a me~
ma probabilidade
o que implica em
de ocupação (neste caso R = S = O ou R = S = O ,x x y y
I ali = I a21) . Se escolhessemos a direção de propa-
gação do t-,-lso no plano x,y com E = E :::R :::R :::S = S :::° (ondax y x y x y
plana), teríamos selecionado a transição do tipo L'1m= O (ou seJa
al = a2 ::: O); vemos portanto que a seleção do tipo de transição-e
feita pela direção da polarização do pulso. De fato, substituindo
(4.84), (4.85) e (4.83) em (3.54) obtemos
sen2~ 2 II A____ '1'_ sech - z1+ ('t?U2 'b
(4.108)
o que ímplíca em "1::: O para cp::: O, recaíndo no caso 11m:::O (cp::: O em
(4.86) nos dá uma onda de polarízação plana).
Nosso modelo, embora límítado para doís niveís,não res
trínge demaís a íntensídade do campo elétríco. Podemos ver
com um exemplo. Suponhamos a propagação de um campo elétríco cír
cularmente polarízado cuja íntensídade é dada por
1'íw w zE ::: - se ch - (t - -)
d?ó '0 u
A expressao (4.109) é obtída de (4.86), utí1ízando as
(4.109)
defíníções
(2.28), (4.25), (3.11) e (3.12). Substítuíndo os valores de 11, w
e d em (4.109) vem
(4.110)
De (3.14) tíramos n:::TIw S/8nd 2 , assím a densídade do meio e ex-
pressa por
68
p=nM=TIW$M , (4.111). 8rrd2
onde M ~ a massa do nUcleo do ãtomo que suporemos da ordem de
-2310 gr.
A densidade do meio n~o deve ser excessivamente baixa
para que possamos desprezar a relaxaçao do meio, responsável pela..
~ (3 12 13)atenuaçao do pulso·' '. De acordo co~ (2.38) I para desprezar -
mos os termos que envolvem a relaxaçao do meio teremos que fazer
TI »7;, T2 »L;
tanto o tempo de relaxação do meio deverá ser T» ~w.
~ 03 - - -12Para l:; ~ 1 , a duraçao do pulso e da ordem de 10 sego
(veja 4.110)
-2 613'V'( =10
-7 3p 'V 10 g/cm
-12T »10 seg
E
FIG. 3
IÕl2seg
t
~ 06 -. - -9Para '(:;'V 1 , a duraçao do pulso e da ordem de 10 seg.
S'V '0-2 = 10-12
-13 3p'V 10 g/cm
-9T »10 seg
E
1 stat V/em
FIG. 4
t
Vemos então que a propagação de um dado pulso está vinculada~a
densidade do meio e seu tempo de relaxação. Pulsos que não possuem
largura e intensidade apropr~ados para um determinado meio são ate-
69
nuados. Mesmo com esse número de restrições, o intervalo que pode-
mos utilizar para campos aplicados é relativamente grande corno po-
demos observar pelas figuras 3 e 4. Os valores possíveis de 0 sao
essencialmente limitados pelas características do meio. Para valo-
res de ~ acima de 106, o meio deveria ter um tempo de relaxação
muito alto, fora da realidade e para valores de ~ abaixo de 103 a
densidade do meio deveria ser muito alta ocasionando urna perturba-
ção muito forte e o modelo de dois níveis falharia.
70
REFERtNCIAS
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