UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ · articulação se dá por meio do domínio de conceitos matemáticos e da arte. A geometria passa a ser encarada então, de uma nova forma, por

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

IVONE WATERMANN

Produção didático-pedagógica desenvolvida por meio do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, na área de Matemática, com o tema de intervenção: Geometria Projetiva no Laboratório de Ensino de Matemática. Orientador: Prof. Dr. Valdeni Soliani Franco.

MARINGÁ - PR

2008

2

Ivone Watermann1 Valdeni Soliani Franco2

INTRODUÇÃO

Mas, afinal, a geometria projetiva se preocupa com o quê exatamente?

É mais fácil responder essa pergunta fazendo uma pequena relação com a geometria que conhecemos desde as séries iniciais, que é a Geometria Euclidiana. Enquanto a Geometria Euclidiana se preocupa com o mundo em que vivemos (propriedades visuais e táteis) a Geometria Projetiva lida com o mundo que vemos (propriedades visuais).

Um exemplo que evidência as diferenças entre a

Geometria Euclidiana e a

Geometria Projetiva é o que ocorre com retas paralelas. No caso da

Geometria Euclidiana,

duas tais retas nunca se interceptam, pense em uma estrada de ferro retilínea, os trilhos

nunca se cruzam. No entanto, se fossemos fotografar tal cenário ou retratar em um quadro, os trilhos “parecem” se interceptar num “ponto distante”, este é um fato que a Geometria Projetiva admite, ou seja, quaisquer duas retas (projetivas) sempre se interceptam. Para tal teoria as dimensões reais e as propriedades métricas dos objetos em questão têm escasso valor, porque não se transmite às suas imagens ou

1 Professora da Rede Pública de Ensino do Estado do Paraná e-mail: [email protected] 2 Professor Drº do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá e-mail: [email protected]

GEOMETRIA PROJETIVA NO LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA

Geometria Euclidiana Geometria Projetiva

.

Figura 1

Ponte Airton Senna

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/bancoimagem/frm_buscarImagens3.php

3

projeções. Pelo contrário, o que é importante conhecer são as propriedades visuais das figuras consideradas.

A relação entre o objeto real e a sua representação bidimensional, exige um tratamento que articule a representação com a respectiva figura espacial. Essa articulação se dá por meio do domínio de conceitos matemáticos e da arte. A geometria passa a ser encarada então, de uma nova forma, por uma ótica perspectiva através de percepções visuais oriundas das pesquisas de alguns artistas do Renascimento.

A Perspectiva é um método de representação dos objetos, dos ambientes e das paisagens de modo a se aproximar mais da realidade, também significa representar o espaço tridimensional numa superfície plana. A aplicação da perspectiva nos desenhos tende a unificar um conjunto de regras geométricas e a representação do espaço, que resulta de forma objetiva e impessoal.

Observa-se que, diferentemente da geometria euclidiana, que pode ser construída utilizando régua não graduada e compasso, todo o desenvolvimento da geometria projetiva pode ser feito usando-se apenas uma régua não graduada.

As breves noções de perspectiva que desenvolveremos não lhe farão um perito em arte, mas servirão para facilitar o trabalho e a realidade do desenho, dando-lhes noções de volume, proporção, distância e profundidade para desenhar.

Dessa forma, você poderá deduzir tirar conclusões, tecer considerações que achar apropriadas para o seu desenho. Utilize cada cena, como ponto de partida e divirta-se a juntar, retirar e mudar o que se lhe apresenta. Talvez com a única exceção de um retrato, nunca é obrigado a pintar tudo fielmente segundo a realidade.

LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA

O conteúdo estruturante Geometrias, estabelecido pelas Diretrizes Curriculares da Rede Pública do Estado do Paraná (2006), direcionado à Educação Básica, tem o espaço como referência, de modo que o aluno consiga analisá-lo e perceber seus objetos para, então, representá-lo. Neste nível de ensino o aluno deve compreender as noções de geometrias Não-Euclidianas, em se tratando dessa pesquisa especificamente a Geometria Projetiva, nos estudos dos pontos de fuga e linhas do horizonte.

A Geometria é um campo rico da matemática e podemos perceber sua utilização, em nosso ambiente natural, nas obras arquitetônicas, manifestações artísticas, eventos tecnológicos, etc. São muitos os exemplos onde a Geometria, a ciência, a tecnologia, a arte e outras áreas do conhecimento se inter-relacionam. Além disso, o raciocínio geométrico, quando desenvolvido, faz o sujeito perceber melhor o mundo, dando a ele condições de agir e refletir de forma mais organizada.

4

Neste contexto o Laboratório de Ensino de Matemática (LEM), constitui um importante espaço de experimentação para alunos e professores, cujo objetivo geral deste projeto é desenvolver técnicas para o estudo de perspectiva e geometria projetiva no laboratório a partir de uma investigação sobre a formação do olhar. A elaboração do desenho em perspectiva, desenvolve a percepção geométrica do aluno, e é fonte de prazer e meio de expressão.

Na sala ambiente (LEM), os materiais necessários para os desenhos deverão estar organizados pelos próprios alunos, e a produção feita por eles poderá ser fixado em painéis ou a critério do professor.

As atividades propostas serão desenvolvidas de forma dinâmica e simples, propondo várias atividades, respeitando uma seqüência lógica, que visam representar o espaço tridimensional sobre uma superfície plana.

HISTÓRIA DA GEOMETRIA PROJETIVA

A história da Geometria Projetiva começa na Itália do século XV, junto com o Renascimento, nasceu do esforço de criar uma teoria racional onde as regras práticas que os artistas e os pintores da Renascença (Leon Battista Alberti, Paolo Uccelo, Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, Dürer etc) tinham descoberto, para representar na teoria, de modo correto, a imagem suscitada em nossos olhos pelos objetos do mundo exterior.

Foi apenas em 1639, com o célebre e pioneiro trabalho sobre a teoria geométrica das cônicas, o Broullion Projet, que Girard Desargues (1591-1661) um arquiteto e engenheiro militar de Lyon, formalizou esses conceitos, cujas idéias derivam da perspectiva na arte da Renascença. Contudo, talvez pela própria maneira como tinham sido escritos, em uma linguagem um tanto peculiar, o trabalho e as idéias de Desargues não foram bem aceitos na época. Mas o geômetra Michel Chasles conseguiu ressuscitar o trabalho de Desargues ao escrever sobre a história da geometria, após encontrar uma cópia manuscrita de seu estudo feita por um de seus seguidores. Assim, o trabalho de Desargues foi reconhecido como um dos clássicos no desenvolvimento da geometria projetiva.

O ressurgimento da Geometria projetiva foi impulsionado por Jean Victor Poncelet (1788-1867), um prisioneiro de guerra russo, que sem livros nas mão criou sua grande obra sobre a geometria projetiva publicada em 1822 com o título de “Tratado das propriedades projetivas das figuras”.

Gerard Desargues (1591-1661)

http://search.creativecommons.org/?q=Gerard+Desargues&derivatives=on&format=Image

Jean-Victor Poncelet (1788 -1867)

http://search.creativecommons.org/?q=poncelet&derivatives=on&format=Image

5

Esta obra deu início ao chamado “grande período da história da geometria projetiva”, que abriu espaço aos grandes matemáticos.

Após Poncelet, outros grandes nomes surgiram na geometria projetiva, como Michel Chasles (1798-1867), Jacob Steiner (1796-1863), Karl Christian e Von Staudt (1798-1867). Enfim, no final do século XIX, a geometria projetiva estava definitivamente solidificada e constituem a atual perspectiva.

A pintura da Idade Média (veja o quadro de Leonardo da Vinci magnificamente construída em termos de perspectiva) tinha várias funções: decorar e embelezar mosteiros e igrejas, ensinar os princípios cristãos revelando episódios do Novo Testamento, e, ao mesmo tempo, educar visualmente o olhar através de imagens e figuras, já que a leitura escrita não era dominada pela maioria esmagadora dos fiéis.

Porém, perto do final deste período, os pintores começaram a interessar-se pelo mundo natural. Os seus temas passaram a girar em torno da figura humana, da paisagem e de cenas do quotidiano. Inspirados pelo interesse no Homem e no Universo, os pintores do Renascimento ousaram olhar a natureza para estudá-la e pintar com minúcia.

A pintura é então uma janela transparente através da qual o artista olha uma parcela do mundo visível. É justamente o problema da descrição do mundo real que levaram muitos pintores da renascença à Matemática.

Algumas razões dizem respeito ao fato de os objetos a pintar estabelecerem entre si relações que não podiam ser resolvidas pela Geometria Euclidiana, como por exemplo, a representação de cenas a três dimensões nas duas dimensões de uma tela constituíam um problema que só foi ultrapassado com a noção de perspectiva.

O artista dos finais do período medieval e da renascença era, no seu dia-a-dia, arquiteto e engenheiro, o que, naturalmente, o obrigava a uma familiaridade com a matemática. Os problemas de construção eram encaminhados para os artistas. Uma das principais diferenças entre a arte

6

medieval e a arte renascentista é precisamente a introdução da terceira dimensão que permite ver a cena no espaço, representar a distância, o volume, a massa e os efeitos visuais.

A arte renascentista adquire um valor próprio: deixa de ser um veículo

generalizado da religiosidade para se tornar uma forma pessoal de expressão estética. Os artistas renascentistas procuravam criar formas consistentes com a aparência do mundo real, buscando mais realismo para suas obras, introduzindo os conceitos de ponto de fuga e perspectividade.

A Anunciação de Santo Emídio Carlo Crivelli

http://search.creativecommons.org/?q=A+Anuncia%E7%E3o+de+Santo+Em%EDdio+%961486&derivatives=on

&format=Image

Santo Jerónimo no seu

estudo -Dürer

http://search.creativecommons.org/?q=D%FCrer&derivatives=on&format=I

mage

A Santíssima Trindade, Masaccio

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Masaccio_trinity.jpg/300px-Masaccio_trinity.jpg

Monalisa Leonardo da Vinci

http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/Image/conteudos/imagens/3filosofia/7monalisa.jpg

Madonna Sandro Botticeli

http://www.dominiopublico.gov.br?download/imagem/su000002.jpg

O Nascimento de Vênus Sandro Botticelli

http://search.creativecommons.org/?q=http%3A%2F%2Fwww.gforum.tv%2Fboard%2F1278%2F192396%2Fpintura-da-renascenca-italiana.html&derivatives=on&format=Image

7

1 - AGORA É COM VOCÊ!

Em grupo de 5 alunos escolha um coordenador para dirigir a discussão e um relator que anotará as conclusões particulares a que o grupo chegou para apresentar no plenário, utilizando-se das mais variadas estratégias: exposição oral, quadro-negro, slides, cartazes, filmes etc.

O Artista e o Matemático

1 - Discuta com seu grupo as questões a seguir, e anote-as para posterior apresentação no plenário.

• A beleza existe ou está nos olhos de quem vê?

• Existe beleza na Matemática?

• “O trabalho do artista e do matemático tem algo em comum?”

• Observando a natureza conseguimos representar forma s

Geométricas? Apresente alguns desenhos no plenário.

2 - Assistir ao vídeo:

“O Artista e o Matemático” (duração 26'20") http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/mylinks/visit.php?cid=45&lid=2289

3 - Plenário – Comentar sobre o vídeo e apresentar as conclusões do grupo.

Professor Obs.: Para baixar o vídeo demora um pouco, tenha paciência! Passo a passo para encontrar o vídeo no Portal dia a dia da educação: a - Disciplina de Matemática; b - TV Multimídia; c – Vídeos; d - Busca por: “ O Artista e o Matemático”; e - Baixar o arquivo para o seu computador ou pendrive.

8

A PERSPECTIVA SEM DIFICULDADE

Existem seis técnicas de perspectiva: sobreposição, mudança de dimensão e de espaço, modelado, pormenores e contornos, mudança de cor e de valor e por fim linhas de fuga. Este trabalho será direcionado apenas às três técnicas: de sobreposição, mudança de dimensão e de espaço e linhas de fuga.

Você irá aprender a desenhar de forma divertida, usando técnicas matemáticas.

SOBREPOSIÇÃO

Quais desses objetos abaixo estão mais próximos de você? O cilindro ou o cubo?

Não há possibilidade de saber isso 100% sem ter uma indicação. O cubo e o cilindro podiam estar um ao lado do outro ou o cubo podia estar tão longe que pareceria ser quase tão pequeno como o cilindro.

A sobreposição dos dois objetos poderia dar uma indicação. Agora podemos ter certeza que o cilindro está à frente do cubo, pois o mesmo encobre parte do cubo. Tem-se assim uma impressão imediata de profundidade que antes faltava.

A uma simples deslocação dos objetos para sobrepô-los, tiram-se todas as dúvidas quanto à sua situação relativa e obtém-se um efeito de profundidade.

O modo como coloca as imagens, umas em relação às outras, dá ao observador imensas informações sobre as dimensões de cada uma delas.


Figura 2

Figura 3

9

2- AGORA É COM VOCÊ!

É fácil decidir qual o objeto que se encontra mais longe graças à sobreposição mútua.

Observe o desenho da cerca e da árvore abaixo, elas não demonstram profundidade.

Desenho adaptado do livro “A Perspectiva sem dificuldade”

1)Imprima a imagem ou pegue um pedaço de papel vegetal, refaça por cima os contornos da árvore e da cerca separadamente.

2) Faça aparecer a árvore à frente da cerca desenhando, somente, as partes da cerca que veriam dos dois lados da árvore. Divirta-se com seu desenho, se preferir complete-o com outras paisagens ao fundo e não esqueça de colorir!

3) Experimente agora fazer o contrário. Faça aparecer a cerca à frente da árvore, e desenhe as partes da árvore que não estão escondidas pela cerca.

4) Procure uma imagem ou foto de paisagem que possua sobreposição. Tente refazer a imagem em seu caderno, procurando sempre dar um efeito de profundidade.

10

MUDANÇA DE DIMENSÃO E DE ESPAÇO

Alinhamos algumas estacas na paisagem. O desenho da fila de estacas na horizontal não apresenta profundidade.


Mas suponhamos que modificamos as dimensões relativas, de tal modo que a estaca mais a esquerda é a que está mais perto do observador e as que estão à direita dela, se afastam cada vez mais. É o momento psicológico do modo como vemos as coisas: quando se sabe que os objetos geralmente têm a mesma medida, mas que se vê um desenho no qual esses objetos são de tamanhos diferentes, tem-se automaticamente a impressão inconsciente que alguns desses objetos estão mais longe do que outros.


Há ainda uma diferença entre os dois desenhos. No primeiro, as estacas têm mais ou menos o mesmo intervalo. É desse modo que elas são habitualmente colocadas. Pelo contrário, no segundo desenho, as estacas há um intervalo entre elas que é menos à medida que o seu afastamento aparente aumenta. É também assim que vemos as coisas. A grandeza de todos os objetos, incluindo os intervalos entre eles, parece diminuir à medida que o seu afastamento do observador aumenta.

Mesmo sabendo que os objetos se tornam aparentemente menores quando se afastam, por vezes não se ousa insistir nas diferenças de tamanho entre os

11

que estão mais próximos e os mais afastados, quando se desenha, por exemplo, uma fila de postes ou uma cerca que se perde de vista ao longe.

Veja outros exemplos de imagens que demonstram mudança de tamanho e afastamento.

http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/Image/conteudos/imagens/3ingles/9plot.jpg

http://commons.wikimedia.org/


http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/Image/conteudos/imagens/2ingles/4trump.jpg

12


1) Observe as figuras abaixo:

b) Siga o caminho da água. Como a água volta à cachoeira?

http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/Image/conteudos/imagens/filosofia/4escher.jpg

c ) O que é?

http://search.creativecommons.org/?q=ilus%E3o+de+%F3tica&derivatives=on&format=Image

2) Complete os desenhos utilizando a técnica da perspectiva: mudança de dimensão e de espaço.

a) Essa figura está em perspectiva? Por quê?

Figura 4

13

a) Soldado


b) Cerca


14

COMPREENSÃO DO DESENHO DO NATURAL

Trata-se de apresentar um objeto como se nos apresenta realmente. A maneira mais comum e tradicional de representá-lo é vê-lo sempre de um só ponto de vista (os olhos do observador são reduzidos a um ponto geométrico para facilidade de representação gráfica). Assim, colocando-se o modelo a uma distância relacionada com suas dimensões e o afastamento do observador, procura-se reproduzir o objeto o mais fielmente possível, no seu aspecto real, visível.

Nesta etapa predomina a linha como principal meio gráfico. Os primeiros trabalhos consistirão numa série de exercícios destinados a familiarizar vocês com as características do modelo e suas proporções relativas.

Início do traçado

Antes de iniciar a cópia do natural, deveremos procurar compreender a forma do modelo, sua posição, distância e espaço ocupado.

O principal objetivo a ser atingido, é aumentar a capacidade de ver os objetos e suas formas, naturalmente não como se em geral se faz, de maneira estreita e acanhada.

É necessário, assim, que tenha perseverança e força de vontade, aprender a ver, compreender e representar graficamente as coisas não só do ponto de vista do objeto tal como ele é realmente, mas também segundo uma visão mais completa e livre.


Como primeira atividade iremos fazer cópias de coisas e objetos de forma simples, para depois partir para o mais complexo. Para isso, começa-se com modelos bidimensionais, para depois de dominar com certa e relativa facilidade essas duas dimensões espaciais, poder passar, pouco a pouco, aos objetos tridimensionais.

Copie os desenhos abaixo:

a) Objetos Planos – modelos bidimensionais

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/Mail-envelope.png

http://search.creativecommons.org/?q=folha&derivatives=on&format=Image

15

b) Objetos de forma Poliédrica - modelos tridimensiona is

Adaptado do site: http://search.creativecommons.org/?q=sobrearte&derivatives=on&format=Image

ARTIFÍCIO DO LÁPIS

Devemos evitar o hábito de copiar estampas, gravuras ou fotografias. Tal orientação poderá prejudicar irremediavelmente seu aprendizado trazendo prejuízos insanáveis à boa compreensão da forma do modelo a ser desenhado do natural. Dessa forma, vejamos alguns processos clássicos de medida visual.

É o mais cômodo e prático. Consiste no emprego do lápis comum utilizado para desenhar, ou de uma régua graduada. O artifício consiste em utilizá-lo para medir e obter proporções. Além disso, servirá também para verificar as direções das diferentes partes do objeto.

Toma-se este entre o polegar e os dois primeiros dedos, colocando-os no sentido vertical, isto é, movimentando-o sempre num plano de frente com o braço bem estendido. Nesta posição, deve-se levantar ou abaixar o polegar, fazendo-o escorregar ao longo do lápis ou da régua. Este movimento é que regula a altura relativa de cada uma das partes do modelo que está sendo copiado. O polegar funciona como um cursor.

Obtida a altura, faz-se girar o punho sem descolar o braço e compara-se a medida obtida com a largura, deduzindo-se as proporções do desenho. Entre a largura e a altura, partir sempre da medida menor. É preciso que fique bem claro que se o


16

lápis ou a régua estiver no sentido vertical, o extremo superior da altura do modelo, a extremidade inferior deverá estar na ponta do polegar que vai deslizando ao longo do lápis ou da régua até a ponta da unha coincidir com o extremo inferior do modelo.

Agora com o auxílio do lápis ou da régua, analise as aberturas de ângulos e as direções das linhas, faces ou aresta, entrando aos poucos em pormenores até concluir o esboço, que é uma das fases essenciais da cópia. Após o esboço geral, passa-se ao traçado definitivo, à representação da forma mais acabada, definitiva e estética.

Qual a vantagem em se saber as proporções exatas? A vantagem que se pode tirar daí é uma ilusão de profundidade convincente.


1 – Reserve alguns minutos para tirar as dimensões relativas das coisas que vê à sua volta, utilizando o artifício do lápis. Qual a sua conclusão em relação aos objetos maiores que estão longe de você com os objetos pequenos próximos?

2 – Com um objeto na sala de aula, de preferência de contornos simples, faça cópia ao natural, conforme estudamos no texto.

3 – Observe ao longo do dia as dimensões relativas dos objetos à sua volta. Não esqueça de andar com um lápis sempre à mão. Anote as imagens e suas proporções que mais lhe chamou atenção para discutirmos na próxima aula.

LINHAS DE FUGA PERSPECTIVA: modos e aplicações

(Texto adaptado do site -http://search.creativecommons.org/?q=sobrearte&derivatives=on&format=Image)

Para quem pretende desenhar corretamente a aparência de volume dos objetos, profundidade e espaço de ambientes ou paisagens que busquem reproduzir as características tridimensionais da realidade, é necessário conhecer sobre perspectiva.

http://search.creativecommons.org/?q=sobrearte&derivatives=on&format=Image

17

O efeito visual das linhas convergentes:

Para compreender como ocorre a influência das linhas convergentes na representação gráfica em perspectiva, observe o exemplo ilustrativo do cubo a esquerda. A aplicação das linhas pontilhadas 1, 2 e 3 convergentes para o ponto P constroem as arestas de suas faces A e B causando afunilamento a medida que se distanciam do primeiro plano, gerando um efeito visual de volume. Reproduzindo com isso as características que são próprias da perspectiva.

Elementos da perspectiva:

Linha do horizonte, ponto de vista, ponto de fuga e linhas de fuga são os quatro elementos da perspectiva que determinam o nível e o ângulo visual do espectador no contexto do desenho. Para um estudo mesmo básico sobre perspectiva é necessário conhecê-los e saber o modo correto de sua aplicação. Por isso, além de identificar visualmente cada um deles, faremos uma descrição sobre seu significado e função no desenho a partir das demonstrações ilustrativas a seguir.

Linha do horizonte:

É o elemento da construção em perspectiva que representa o nível dos olhos do observador (linha horizontal pontilhada - LH).

Numa paisagem é a linha do horizonte que separa o Céu e a Terra. Vista ao longe, ela está na base das montanhas e risca horizontalmente o nível do mar.

A linha de horizonte está sempre à altura de nossos olhos. Para encontrá-la basta ter a cabeça reta e imóvel olhando o espaço diante de si. Assim, a linha de horizonte muda de posição segundo o lugar que nós ocupamos para observar os objetos.

Todos os objetos que se acham colocados abaixo da linha de horizonte, parecem ter linhas que



18

sobem e todos os objetos que se acham colocados acima, parecem ter linhas que descem.

Ponto de vista:

Na representação gráfica da perspectiva é comum o ponto de vista ser identificado por uma linha vertical perpendicular a linha do horizonte (PV).

O ponto de vista revela-se exatamente no cruzamento dessas duas linhas. Dependendo do ângulo visual de observação do motivo, a linha vertical que localiza o ponto de vista pode situar-se centralizada na cena compositiva ou num de seus lados, esquerdo ou direito.

O ponto de vista varia segundo o lugar do desenhista: entretanto, na cópia de um modelo na sala de aula, é quase sempre ao centro que se coloca, e é, também quase sempre no centro do quadro que se acha o ponto de fuga principal.

Ponto de fuga:

É o ponto localizado na linha do horizonte, pra onde todas as linhas paralelas convergem, quando vistas em perspectiva (PF).

Em alguns tipos de perspectiva são necessários dois ou mais pontos de fuga.



19

O ponto de fuga, de um modo geral, indica e precisa, uma direção; podemos, portanto, supor tantas direções, quantas se desejarem, e defini-las por outros tantos pontos; mas, qualquer que seja o seu número e a distância que os separa, deve-se sempre colocá-los sobre a L.H.

1 - PERSPECTIVA PARALELA (1 ponto de fuga):

O ponto de fuga principal é o ponto de fuga de todas as retas perpendiculares ao quadro. Fora deste ponto, podemos recorrer, segundo as necessidades e segundo a posição dos diferentes objetos do quadro, a outros pontos de fuga. São estes chamados pontos acidentais de fuga.

Em alguns casos é possível o ponto ficar fora tanto da linha do horizonte quanto do ponto de vista. São as linhas imaginárias que descrevem o efeito da perspectiva convergindo para o ponto de fuga (linhas convergentes pontilhadas). É o afunilamento dessas linhas em direção ao ponto que geram a sensação visual de profundidade das faces em esboço dos objetos em perspectiva.


20


1) Nas figuras seguintes, localize onde se encontra o ponto de fuga (PF), a linha do horizonte (LH) e o ponto de vista (PV):

a)


b)


2) Acompanhe o passo a passo das aulas criada e

desenvolvida por Antonio Juvenil, que se encontra no site www.sobrearte.com.br (clique em visualizar aula). Você poderá colorir e criar outras imagens, divirta-se, o desenho é seu!

a) Cômoda frontal, no site http://www.sobrearte.com.br/desenho/objetos/index.php

b) Desenho de ambiente, no site http://www.sobrearte.com.br/desenho/ambientes/index.php

c) Desenho de uma auto-estrada. http://www.sobrearte.com.br/desenho/paisagem/index.php

3) Vamos representar um paralelepípedo (figura tridimensional) através do retângulo (figura bidimensional) que já está no quadro, utilizando a perspectiva com um ponto de fuga, como mostra o modelo. Basta ligar os vértices do retângulo ao ponto de fuga (PF) que se localiza na linha do horizonte (LH) e determine a profundidade que desejar.

Obs.: Professor, essas aulas poderão ser apresentadas aos alunos utilizando a Tv pendrive.

Figura 5

Modelo

http://search.creativecommons.org/?q=sobrearte&derivatives=on&f

ormat=Image

21

2 - PERSPECTIVA OBLIQUA ( 2 ponto de fuga):

Quando um objeto fica em posição oblíqua, ou seja, com uma de suas arestas voltada para o observador, suas linhas de fuga deslocam-se para dois pontos (PF1 e PF2).

Em casos como este, como pode ser visualizado na ilustração do cubo a direita, observe que nenhuma linha na estrutura do objeto foi representada na posição horizontal. Quando não são verticais é porque se deslocam para um dos pontos de fuga.

Em relação ao ponto de vista (PV), sua representação na linha do horizonte está centralizada entre os dois pontos de fuga (PF1 e PF2).

Veja o exemplo de uma cadeira em perspectiva com dois pontos de fuga:

http://search.creativecommons.org/?q=cadeira+em+perspectiva


22


1) Tente desenhar uma mesa em perspectiva, conforme modelo abaixo.

Imagem adaptada do site: http://search.creativecommons.org/?q=sobrearte&derivatives=on&format=Image

3- PERSPECTIVA AÉREA (3 pontos de fuga):

A posição de um objeto vista de cima para baixo. A altura e o ponto de vista, bem como a distância, condicionam fortemente o tipo de visão da perspectiva. Para representá-lo tridimensionalmente, se usa três pontos de fuga.

Dois deles ficam na linha do horizonte e o terceiro é representado na vertical do ponto de vista. Dificilmente visualizamos a existência de linhas horizontais ou verticais na estrutura do objeto. Todas as retas são convergentes e deslocam-se para um dos três pontos de fuga. O ponto de vista permanece representado num ponto central entre os pontos de fuga PF1 e PF2 na linha do horizonte (LH).


23

4- PERSPECTIVA DE ESGOTO (3 pontos de fuga):

A posição de um objeto vista de baixo para cima, é conhecida por perspectiva de esgoto, tem as mesmas características da perspectiva aérea enquanto representação com três pontos de fuga.

A diferença está no nível visual muito baixo de quem observa tornando-a oposta no modo de visualização, muda o ponto de fuga (PF3), agora ele é representado acima da linha do horizonte. Veja o exemplo ilustrativo ao lado.


1) Reproduza o exemplo em seu caderno da perspectiva com três pontos de fuga aplicada à representação gráfica de um prédio visualizado do alto. Pinte o seu desenho.

Imagem adaptada http://search.creativecommons.org/?q=sobrearte&derivatives=on&format=Image

2) No desenho abaixo temos a imagem do leito do rio. Continue representando o desenho do leito do rio,

a) Aplique efeitos de vegetação entre o topo e a base do rio; b) Represente montanhas ao fundo;


24

c) Desenhe casas no lado esquerdo do rio; d) No lado direito, desenhe árvores. e) Não esqueça de colorir o seu desenho.

Imagem adaptada: http://search.creativecommons.org/?q=sobrearte&derivatives=on&format=Image

CONCLUSÃO:

Quando olhamos para as pistas de uma estrada, elas parecem se encontrar num ponto. As medidas são distorcidas a tal ponto que retas paralelas podem se encontrar num ponto finito, conhecido como ponto de fuga.

Este fenômeno é captado por uma fotografia ou por uma pintura, sugerindo que a Geometria Euclidiana é um modelo da realidade não tão próximo das nossas sensações quanto estamos acostumados a pensar. Nós convivemos com a Geometria Projetiva desde quando nascemos já a Euclidiana vimos apenas em bancos escolares.

As Geometrias Não-euclidianas trouxeram uma nova maneira de ver e conceber a noção de geometria, proporcionando uma formação condizente com os conhecimentos atuais.

Com a formalização da geometria projetiva, muitos problemas da Geometria Euclidiana, puderam ser resolvidos de uma maneira concisa e elegante. As breves noções de perspectiva que vimos nesse trabalho servem para facilitar o trabalho e a realidade do desenho, dando-lhes noções de volume, proporção, distância e profundidade para desenhar.

25

REFERÊNCIAS AUFFINGER, Antonio Carlos T. de C.; VALENTIM, Fábio Júlio da Silva. Introdução à Geometria Projetiva. 2003. Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, Setembro de 2003. disponível em: <http://virtual.lncc.br/~rodrigo/cursos/CG/01_Apostilas/outros/geometria_projetiva_ufes.pdf> acesso em 07/07/08. BRASIL, Ministério da Educação e Secretaria de Educação a Distância. TV Escola - Matemática nº 20 - Nas malhas da geometria. Brasília: Videolar S/A, 2005. 1 DVD (12'45" ), son., color. EDITORES DO PUBLICATIONS INTERNATIONAL, LTD.. "HowStuffWorks - Como desenhar prédios" . Disponível em http://lazer.hsw.uol.com.br/como-desenhar-edificios7.htm acesso em 20 de outubro de 2008. FRANCO, Valdeni Soliani. Curso de Geometria não-euclidiana. Maringá, Pr: 2008. 1 CD-ROM. GEOMETRIA PROJETIVA. Disponível http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_projetiva acesso em 13/11/2008. LORENZATO, S. Por que não ensinar Geometria? : In Educação Matemática em Revista – SBEM 4, 1995, 3-13 LORENZATO, Sérgio (Org.). O Laboratório de Ensino de Matemática na formação de professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006. Coleção Formação de Professores. METZGER, Phil. Tradução portuguesa: Alexandre Pais. A Perspectiva sem dificuldade . Koln: Alemanha. 1988. PARANÁ, SECRETARIA DA EDUCAÇÃO. Diretrizes Curriculares de Matemática. Versão preliminar.SEED,Curitiba:julho-2006. PIAGET, Jean. A representação do espaço na criança . Porto Alegre: Artes Médicas, 1993. SCHUBRING, G. O primeiro movimento internacional de reforma curricular em matemática e o papel da Alemanha. In: VALENTE, W. R. (Org.). Euclides Roxo e a modernização do ensino de Matemática no Br asil . São Paulo: SBEM, 2003, p.11-45.

26

SOBREARTE. Estudo de desenho: Perspectiva. Disponível em: http://www.sobrearte.com.br acesso em 03 de agosto de 2008. WHITEN GWEN. Tradução de Conceição Jardim e Eduardo Nogueira Perspectiva para artistas, arquitectos e desenhador es. Lisboa: Portugal, Editorial Presença / Martins Fontes, 1968.

Documents

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ · articulação se dá por meio do domínio de conceitos matemáticos e da arte. A geometria passa a ser encarada então, de uma nova forma, por