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26/03/2013 1
Universidade Federal de Itajubá
Matemática Financeira
Engenharia Econômica
Matemática Financeira(Princípio básico)
“Não se soma ou subtrai quantias em dinheiro que não
estejam nas mesmas datas!”
26/03/2013 2
4
Significado dos juros
Trabalho Terra
Fatores de Produçãoconsiderados em economiaSalário Aluguel
Royalty Lucros
Juros
Administração
26/03/2013 7
Técnica
Capital
JUROS: presença no dia a dia
� compras à crédito;
� cheques especiais;
�prestação da casa própria;
�desconto de duplicata;
�vendas à prazo;
� empréstimos.
26/03/2013 8
5
Juros Simples:
• J: Juros
• i: Taxa de juros
• n: Número de Períodos
• P: Principal
• F: Valor Futuro
Matemática financeira
J = P * i * nF = P + J
F = P + P * i * n
F = P (1 + i * n)
P F F F
26/03/2013 9
Matemática financeira
Juros Compostos: • J: Juros
• i: Taxa de juros
• n: Número de Períodos
• P: Principal
• F: Valor FuturoF1 = P (1 + i)
F2 = F1 (1+ i) = P (1 + i)2
F3 = P (1 + i)3
P F1
F2
F3
F = P (1 + i)n
26/03/2013 10
6
Matemática financeira
Exemplo II.1
Para um capital de R$ 100.000,00 colocado a 20% a.a. durante3 anos, qual o valor futuro para os casos de considerarmos jurossimples e juros compostos?Solução:
Ano Juros Simples Juros Compostos
0
1
2
3
R$ 100.000,00R$ 100.000,00 R$ 100.000,00R$ 100.000,00
R$ 120.000,00R$ 120.000,00 R$ 120.000,00R$ 120.000,00
R$ 140.000,00R$ 140.000,00 R$ 144.000,00R$ 144.000,00
R$ 160.000,00R$ 160.000,00 R$ 172.800,00R$ 172.800,00
Juros de Juros de 60,0%60,0%
Juros de Juros de 72,8%72,8%
26/03/2013 11
Matemática financeira
Fluxo de Caixa
0 1 2 3 n
( + )
( - )
entradas (receitas)
saídas (despesas operacionais, manutenção, etc...)
investimento
valor residual
vida do projeto
26/03/2013 12
7
Matemática financeira
Terminologia:
26/03/2013 13
Excel i: Taxa de juros Taxa
n: Número de Períodos Nper
P: Principal VP
F: Valor Futuro VF
Matemática financeira
Relações de Equivalência
VP
VF
0 n
Relação entre VP e VF
VF = VP(1 + i)n
26/03/2013 14
VP: Valor Presente
VF: Valor Futuro
8
Matemática financeira
VF
VP
0 n
Relação entre VF e VP
Relações de Equivalência
26/03/2013 15
VP: Valor Presente
VF: Valor Futuro
VP = VF/(1 + i)n = VF (1 + i) - n
Matemática financeira
Relação entre VP e VF – Exercício II.3
• Conseguiu-se um empréstimo de R$10.000,00
em um banco que cobra 5% ao mês de juro.
Quanto deverá ser pago se o prazo do
empréstimo for de cinco meses?
Relações de Equivalência
26/03/2013 16
9
Matemática financeira
Relação entre VP e VF – Uso do Excel
VF = ?
10000
0
5
i = 5%
Relações de Equivalência
26/03/2013 17
Matemática financeira
Relação entre VP e VF – Uso do Excel
VF = ?
10000
0
5
i = 5%
Planilha
Relações de Equivalência
26/03/2013 18
10
Exemplo II.2
Qual o valor de uma aplicação em Fundo de renda fixa
de R$ 30.000 a uma taxa de 1,4 % ao mês para um
período de 1 ano?
• Qual o valor dos juros?
• Quais os juros líquidos, se o IR é de 20%?
• Qual o valor da rentabilidade líquida mensal?
• Em relação à poupança esta aplicação é
interessante?
Matemática financeira
26/03/2013 19
Uso do Excel – Função VF
2. Função
3. Função Financeira
4. Função Financeira VF
1. Dados eresultado
26/03/2013 20
11
Resultado
Uso do Excel – Função VF
26/03/2013 21
Função Taxa2. Função
3. Função Financeira
4. Função Financeira TAXA
1. Dados eresultado
26/03/2013 22
12
Resultado
26/03/2013 23
Função Taxa
VF = VP (1 + i) n = 30.000 (1+ 0,014) 12 = 35.446
Juros = 5.446
Juros líquidos = 5.446 – 20% x 5.446 = 4.357
VF (líquido) = 34.357
34.357 = 30.000 (1 + i) 12 i = 1,14% ao mês
Solução pelas fórmulas
26/03/2013 24
13
Lei nº. 11.033, de 21 de dezembro de 2004
O PRESIDENTE DA REPÚBLICA Faço saber que o Congresso Nacional
decreta e eu sanciono a seguinte Lei:
• Art. 1º Os rendimentos de que trata o art. 5º da Lei nº 9.779, de 19
de janeiro de 1999, relativamente às aplicações e operações
realizadas a partir de 1º de janeiro de 2005, sujeitam-se à incidência
do imposto de renda na fonte, às seguintes alíquotas:
– I - 22,5% (vinte e dois inteiros e cinco décimos por cento), em aplicações
com prazo de até 180 (cento e oitenta) dias;
– II - 20% (vinte por cento), em aplicações com prazo de 181 (cento e oitenta
e um) dias até 360 (trezentos e sessenta) dias;
– III - 17,5% (dezessete inteiros e cinco décimos por cento), em aplicações
com prazo de 361 (trezentos e sessenta e um) dias até 720 (setecentos e
vinte) dias;
– IV - 15% (quinze por cento), em aplicações com prazo acima de 720
(setecentos e vinte) dias.
26/03/2013 25
Matemática financeira
26/03/2013 26
http://www21.bb.com.br/portalbb/rentabilidade2/GFI7,2,9085,9089,1.bbx?tipo=01&codigoMenu=1092
&codigoRet=5489&bread=7_1
14
26/03/2013 27
Matemática financeira
http://www21.bb.com.br/portalbb/rentabilidade2/GFI7,2,9085,9089,1.bbx?tipo=01&codigoMenu=1092
&codigoRet=5489&bread=7_1
26/03/2013 28
Matemática financeira
http://www.tesouro.fazenda.gov.br/tesouro_direto/rentabilidade.asp
15
26/03/2013 29
Matemática financeira
http://www.tesouro.fazenda.gov.br/tesouro_direto/rentabilidade.asp
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO
PGTOVP
VP = PGTO (1 + i) - 1 + PGTO (1 + i) - 2 + . . . + PGTO (1 + i) - n
0 n
VP = PGTO [ (1 + i) - 1 + (1 + i) - 2 + . . . + (1 + i) - n ]
Relações de Equivalência
26/03/2013 30
VP: Valor Presente
PGTO = Pagamento uniforme
16
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO
PGTOVP
0 n
VP = PGTO [ (1 + i) - 1 + (1 + i) - 2 + . . . + (1 + i ) - n ]
r - 1
.rna - 1a = Sn
−
i ) i + 1 (
1 ) i + 1 ( PGTO =VP
n
n
Relações de Equivalência
26/03/2013 31
Matemática financeira
−
i ) i + 1 (
1 ) i + 1 ( PGTO =VP
n
n
1 - ) i + 1 (
i ) i + 1 (VP = PGTO
n
n
Relação entre VP e PGTO
Relações de Equivalência
26/03/2013 32
17
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Exercício II.6
• Um empresário pretende fazer um investimento
no exterior que lhe renderá US$ 100.000 por
ano, nos próximos 10 anos. Qual o valor do
investimento, sabendo-se que o empresário
trabalha com taxa de 6% ao ano?
Relações de Equivalência
26/03/2013 33
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Excel
VP = ?
0
i = 6% ao ano
110
100000
Relações de Equivalência
26/03/2013 34
18
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Excel
VP = ?
0
i = 6% ao ano
110
100000
Planilha
Relações de Equivalência
26/03/2013 35
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Exercício II.7
• O que é mais interessante, comprar uma TV
LED por R$ 4.000,00 à vista, ou R$ 4.410,00
em 3 vezes, sendo a primeira prestação no ato
da compra?
Antes de resolver este problema,vejamos alguns exemplos como as lojas divulgam
suas ofertas!
Relações de Equivalência
26/03/2013 36
20
Código do consumidor
DA OFERTA DE PRODUTOS E SERVIÇOS
� Art. 31 - A oferta e apresentação de produtos ou serviços devem assegurar informações corretas, claras, precisas, ostensivas e em língua portuguesa sobre suas características, qualidade, quantidade, composição, preço, garantia, prazos de validade e origem, entre outros dados, bem como sobre os riscos que apresentam à saúde e segurança dos consumidores.
26/03/2013 39
Código do consumidor
DA PUBLICIDADE
� Art. 37 - É proibida toda publicidade enganosa ou abusiva.
§ 1º - É enganosa qualquer modalidade de informação ou comunicação de caráter publicitário, inteira ou parcialmente falsa, ou, por qualquer outro modo, mesmo por omissão, capaz de induzir em erro o consumidor a respeito danatureza, características, qualidade, quantidade, propriedades, origem, preço e quaisquer outros dados sobre produtos e serviços.
26/03/2013 40
21
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Exercício II.7
• O que é mais interessante, comprar uma TV
LED por R$ 4.000,00 à vista, ou R$ 4.410,00
em 3 vezes, sendo a primeira prestação no ato
da compra?
Relações de Equivalência
26/03/2013 41
26/03/2013 42
Solução
4000
0 1 2
1470
0 1 2
Quais são as opções de compra?
22
26/03/2013 43
Solução
4000
1470
2530
1470
26/03/2013 44
Solução
2530
1470
VP
PGTO
N = 2
O que esta faltando?
23
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Excel
2530
1470
Planilha
Relações de Equivalência
26/03/2013 45
26/03/2013 46
Solução
2530
1470
A vista ou a prazo?
O que significa a taxa?
a.m. 10,63%i% =
24
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Exercício II.8
• Vale a pena pagar à vista com 20% de desconto
ou a prazo em 3 pagamentos iguais, sendo o
primeiro hoje?
Relações de Equivalência
26/03/2013 47
26/03/2013 48
Solução
0,8X
0 1 2
X/3
0 1 2
Quais são as opções de compra?
X = preço de etiqueta
25
26/03/2013 49
Solução
0,8X
X/3
0,8X-X/3
X/3
26/03/2013 50
Solução
0,8X-X/3
X/3
VP
PGTO
N = 2
O que esta faltando?
26
26/03/2013 51
Solução
0,8X-X/3
X/3
A vista ou a prazo?
O que significa a taxa?
a.m. 27,47%i% =
Matemática financeira
Caso Real
IPVA 99 – Espírito Santo
Veículo: Quantum 1988
• Opção 01 – à vista: R$ 217,37 (14/10/99)
• Opção 02 – 2 vezes:
• Primeira: R$ 163,77 (14/10/99)
• Segunda: R$ 89,31 (12/11/99)
• Qual a taxa de juros para a opção de
parcelar?
26/03/2013 52
27
Matemática financeira
Caso Real
IPVA 99 – Espírito Santo
P = 217,37 – 163,77 = 53,6
F = 89,31
F = P (1 + i) n
89,31 = 53,6 (1 + i) 1
i = 66,62% a.m.
26/03/2013 53
Algumas taxas
26/03/2013 54
http://www.anucc.org.br/servicos/index/25
28
26/03/2013 55
Portal Globo 05/08/2008
Algumas taxas DEMONSTRATIVO DAS TAXAS DE JUROS
PRATICADAS EM 2007
Bancos Empréstimo Pessoal
Cheque Especial
HSBC 4,67% 8,47%
Banespa 5,80% 8,38%
Bradesco 5,57% 8,01%
Banco do Brasil 4,62% 7,68%
Caixa Econômica Federal 4,68% 7,20%
Itaú 5,95% 8,47%
Santander 5,80% 8,38%
Nossa Caixa 4,25% 8,10%
Real 6,50% 8,40%
Unibanco 5,87% 8,39%
26/03/2013 56
29
Portal Globo 05/08/2008
26/03/2013 57
Karl Marx
• "O capital tem tanto horror à ausência de lucro
ou de um lucro muito pequeno quanto a natureza
tem horror ao vácuo. Com um lucro apropriado, o
capital é despertado; com 10% de lucro, ele pode
ser usado em qualquer lugar; com 20%, torna-se
vivaz; com 50%, fica positivamente ousado; com
100%, ele esmagará com os pés todas as leis
humanas; e com 300%, não existe crime que ele
não se disponha a cometer, ainda que se
arrisque a ir para a cadeia".
26/03/2013 58
31
� Outra oferta recente!
� O que vocês acham?
26/03/2013 61
� Outro produto popular!
� O que vocês acham?
26/03/2013 62
32
Coluna do Globo - 13/04/2003
• “Não é nada ilegal. Mas beiram a amoralidade estes comerciais de financeiras que entopem as TVs em horário nobre.Artistas populares como Netinho e Leonardo exaltam a facilidade de pegar um dinheirinho emprestado na hora do sufoco. Mas omitem os juros extorsivos cobrados.Na de Netinho, por exemplo, um empréstimo de mil reais pago em 12 vezes embute juros, acredite, de 14,2% ao mês. Isto com uma inflação de 1,2%. As parcelas são de R$ 178,08, cada. No fim, os R$ 1.000 saem por R$ 2.136. Parece roubo. E é quase.”
26/03/2013 63
O anúncio
26/03/2013 64
33
Uma simulação
15,48% ao mês
26/03/2013 65
Qual é o país que representa o capitalismo “selvagem”
no mundo?
26/03/2013 66
?
34
InstituiçãoRentabilidade média sobre o Patrimônio em 2009
1º Banco do Brasil 34,74%2º Itaú Unibanco 24,19%
3º Bradesco 23,82%4º Goldman Sachs 19,82%
5º American Express 16,23%6º Wells Fargo 11,64%7º PNC Bank 8,84%
8º US Bancorp 8,44%9º JP Morgan Chase 7,06%
10º Fifth Third Bancorp 5,76%
Bancos do país entre os mais rentáveis
26/03/2013 67
Regulamentação sobre taxas
� Portaria n0 14 da Secretaria de Direito
Econômico, de 22 de junho de 1998.
� Lei n0 8.078/90. (Código do consumidor).
� Lei da usura - Decreto Lei n0 22.626 de
7/4/1933.
� Artigo 192 da Constituição da República
Federativa do Brasil.
26/03/2013 68
35
“Todas as vezes que os governos tentam tirar
dos ricos para dar aos
pobres, os ricos ficam
mais ricos e os pobres
mais pobres.”
Abraham Lincoln (1809-1865)
26/03/2013 69
Matemática financeira
Relação entre VF e PGTO
PGTO
VF
VF = PGTO + PGTO (1 + i)1 + PGTO (1 + i)2 + . . . + PGTO (1 + i)n-1
0 n
VF = PGTO [1 + (1 + i)1 + (1 + i)2 + . . . + (1 + i)n-1 ]
Relações de Equivalência
26/03/2013 70
36
Matemática financeira
−
i
1 ) i + 1 ( PGTO =VF
n
1 - ) i + 1 (
iVF = PGTO
n
Relação entre VF e PGTO
Relações de Equivalência
26/03/2013 71
Matemática financeira
Relação entre PGTO e VF
• EXEMPLO II.10 - Quanto deve-se
depositar anualmente numa conta a
prazo fixo que paga juros de 12% ao
ano, para se ter R$ 500.000,00 daqui
a 14 anos?
Relações de Equivalência
26/03/2013 72
37
Matemática financeira
Relação entre PGTO e VF – Exercício II.10
PGTO = ?
0
i = 12% ao ano
1 14
VF = 500000
Relações de Equivalência
26/03/2013 73
Matemática financeira
Séries Infinitas
−
i ) i + 1 (
1 ) i + 1 ( PGTO =VP
n
n
−
∞→ i ) i + 1 (
1 ) i + 1 ( PGTOlim =VP
n
n
n
−
∞→ i ) i + 1 (
1
i ) i + 1 (
) i + 1 ( PGTOlim =VP
nn
n
n
i
PGTO =VP
26/03/2013 74
38
Matemática financeira
• EXEMPLO II.11 - Quanto deverei
depositar em um fundo com a finalidade
de receber para sempre a importância
anual de R$ 12.000,00 considerando
ser a taxa anual de juros igual a 10%?
Relações de Equivalência
26/03/2013 75
Matemática financeira
Séries Perpetuas – Exercício II.11
VP = ?
0
i = 10% ao ano
1 ∞∞∞∞
12000
VP = PGTO / i
VP = 12000 / 0,1
VP = 120000
Relações de Equivalência
26/03/2013 76
39
Matemática financeira
• EXEMPLO II.12 - Qual a menor quantia
que um grupo deve cobrar hoje, para dar
uma renda anual de R$ 6.000?
Relações de Equivalência
26/03/2013 77
Matemática financeira
Séries Perpetuas – Exercício II.12
VP = ?
0
i = ?
1 ∞∞∞∞
PGTO = 6000
Relações de Equivalência
26/03/2013 78
40
Matemática financeira
Exemplo extra
26/03/2013 79
Matemática financeira
500
0 1 36
21,84
0 1 36
Quais são as opções do financiamento?
26/03/2013 80
41
Matemática financeira
21,84
0 1 36
500
26/03/2013 81
Matemática financeira
VP
PGTO
N = 36
O que esta
faltando?
21,84
0 1 36
500
26/03/2013 82
42
Matemática financeira
21,84
0 1 36
500
• i = 2,69% a.m.
26/03/2013 83
Exemplo extra
• Qual o valor de uma prestação relativa a um
financiamento de R$ 1.200,00 para pagamento em
12 parcelas a uma taxa de juros de 3% ao mês?
• Qual a prestação se a taxa for de 5% ao mês?
• Qual a prestação se der uma entrada de 400,00?
Matemática financeira
26/03/2013 84
43
Matemática financeiraTaxas Efetiva, Nominal e Equivalente
Equivalência entre Taxas Efetivas
VF = VP*(1 + i a) 1
VF = VP*(1 + i m) 12
(1 + i a) 1 = (1 + i m)
12
(1 + ia) = (1 + i sem)2 = (1 + im)
12 = (1 + i d)360
VP
VF
1 ano ou12 meses
26/03/2013 85
Matemática financeira
Taxas Efetiva, Nominal e Equivalente
Taxa Nominal
O período de capitalização é diferente do expresso na taxa
Exemplos:• Poupança - 6 % aa com capitalização mensal = 0,5 % am• SFH - 12 % aa com capitalização mensal = 1 % am
12 % a.a.c.m. = 12 / 12 meses = 1 % a.m.c.m. = 12,68 % a.a.c.a.
Nominal Efetiva Efetiva
26/03/2013 86
44
Matemática financeira
Taxas Efetiva, Nominal e Equivalente
• EXEMPLO II.15 - Qual o juro de
R$2.000,00 aplicados hoje, no fim de 3
anos, a 20 % ao ano capitalizados
mensalmente?
26/03/2013 87
Matemática financeira
Taxas Efetiva, Nominal e Equivalente
Exercício II.15 – Calcular os juros
VP = 2000
VF
3 anos
i = 20% AACM
Juros = 1626,26
26/03/2013 88
45
Matemática financeira
Taxas Efetiva, Nominal e Equivalente
• Exemplo II.18 - Peço um empréstimo de
R$ 1.000,00 ao banco. Cobra-se
antecipadamente uma taxa de 15% sobre
o valor que é entregue já líquido, e depois
de um mês paga-se R$ 1.000,00. Qual a
taxa efetiva de juros deste empréstimo?
26/03/2013 89
Matemática financeira
Taxas Efetiva, Nominal e Equivalente
Exercício II.18 – Calcular a taxa de juros
VP = ?
VF = ?
1 mês
26/03/2013 90