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UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO
GRANDE DO SUL – UNIJUÍ
ODAIR MENUZZI
MODELAGEM MATEMÁTICA DA NÃO LINEARIDADE DE FOLGA
EM UMA TRANSMISSÃO MECÂNICA TIPO FUSO
Ijuí, RS – BRASIL.
2011
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Modelagem Matemática da
Universidade Regional do Noroeste do Estado do
Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), como requisito
parcial para obtenção do título de Mestre em
Modelagem Matemática.
ODAIR MENUZZI
MODELAGEM MATEMÁTICA DA NÃO LINEARIDADE DE FOLGA EM UMA
TRANSMISSÃO MECÂNICA TIPO FUSO
Orientador: Doutor Antonio Carlos Valdiero
Ijuí, RS - BRASIL
2011
UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO
SUL
DeFEM - DEPARTAMENTO DE FÍSICA, ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA
DeTec - DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA
MODELAGEM MATEMÁTICA DA NÃO LINEARIDADE DE FOLGA EM UMA
TRANSMISSÃO MECÂNCIA TIPO FUSO
Elaborada por
ODAIR MENUZZI
Como requisito para obtenção do grau de Mestre em Modelagem Matemática
Comissão Examinadora
Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero – DETEC/UNIJUÍ (Orientador)
Prof. PhD. Wang Chong - UNIPAMPA
Prof. Dr Manuel Martín Pérez Reimbold – DETEC/UNIJUÍ
Ijuí, RS, 28 de Março de 2011.
AGRADECIMENTOS
A Deus.
A minha família, em especial meus pais, Vilson e Maria Lourdes, irmãos Eder e Cesar e a
cunhada Scheila pelo incentivo e apoio em todas as horas.
A Sandra Micheli, pela paciência e pelo amor a mim dedicados, e estar sempre ao meu lado.
Ao meu orientador Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero, pelos ensinamentos transmitidos, pela
seriedade e dedicação e pela amizade ao longo de todo o desenvolvimento das aulas e
orientações.
Aos meus professores e colegas do curso de Modelagem Matemática pela ajuda nos
momentos de necessidade e pela amizade. Também aos funcionários do DEFEM pelo carinho
e atenção dedicados.
Aos professores e bolsistas do Laboratório de Automação do campus Panambi em especial ao
Prof. Luis Antonio Rasia, pela receptividade e dedicação e ajuda nas atividades
experimentais, todos sempre prontos a ajudar.
Ao amigo e colega Eduardo Padoin pela convivência, companheirismo e pelas idéias trocadas,
pelas viagens a Panambi e congressos, estando sempre pronto.
A todos que de alguma forma contribuíram para a realização deste trabalho.
Aos meus pais, Vilson e Maria Lourdes.
"A mente que se abre a uma nova
ideia jamais voltará ao seu tamanho
original".
(Albert Einstein)
RESUMO
Este trabalho trata do problema da modelagem matemática da não linearidade de folga
no acionamento com transmissão mecânica do tipo fuso, muito comum em juntas prismáticas
e utilizado na transformação do movimento angular em movimento linear. Tais juntas
prismáticas têm grande potencial de aplicações na robótica, como por exemplo, em robôs do
tipo Gantry. Além da modelagem matemática, realiza-se a identificação experimental dos
parâmetros do modelo proposto, a simulação computacional e propõe-se uma estratégia de
controle para compensação da não linearidade de folga. Um dos problemas que dificultam o
controle preciso dos movimentos de uma junta prismática é a não linearidade de folga no
acionamento, principalmente nas transmissões mais simples e baratas do tipo fuso roscado. A
modelagem matemática de sistemas mecânicos é importante no projeto de máquinas
industriais, pois é utilizada para fins de simulação, de projeto de controladores e no estudo do
comportamento das variáveis do sistema. A modelagem matemática dessa não linearidade da
folga e a utilização de técnicas de controle podem contribuir para resolver este problema,
sendo a base para estratégias de compensação de tais imperfeições. Para a descrição do
comportamento dinâmico do acionamento da junta prismática é utilizado um modelo
matemático não linear, que apresenta a combinação do modelo da dinâmica do fuso com a
dinâmica da massa e inclui a não linearidade da folga entre as duas dinâmicas. Foi montada
uma bancada experimental para testes do acionamento da transmissão mecânica do tipo fuso e
desenvolvida uma metodologia para identificação experimental dos parâmetros da não-
linearidade de folga. Os resultados obtidos nas simulações computacionais ilustram as
características do modelo proposto. Pretende-se assim contribuir para a melhoria do
desempenho e precisão de robôs de baixo custo.
ABSTRACT
This paper adresses the problem of backlash nonlinearity mathematical modeling in
driven with mechanical transmission type power screws, very common in prismatic joints
used in the angle to linear motion transformation. Such prismatic joints have big powerful of
applications in robotics, as for example the Gantry type robots. Besides the mathematical
model, carried out the parameters experimental identification, the simulation and proposes a
control strategy to compensate for the backlash nonlinearity. A problems that make dificult
the precise control of motion of a prismatic joint is the nonlinearity of baclash in driven,
mainly in the transmissions more simple and cheapest as type power screws. The
mathematical modeling of mechanical systems is important in the design of industrial
machinery, because it is used for simulation , of the controller design and in the study of the
behavior of the system variables. The mathematical modeling of backlash nonlinearity and a
use of control techniques can to contribute to solve this problem, being the basis for strategies
to compensate of such imperfections. For the describe the dynamic behavior of the driven of
the joint prismatic is used a mathematical model not linear, that presents a combination of the
model of the dynamics of the power screws with a dynamics of the mass, and includes
backlash nonlinearity of the between the two dynamics. Was set a experimental bench of the
driven by power screw and developed a experimental methodology to identify the parameters
of the backlash nonlinearity. The results obtain in the simulation computational illustrate the
characteristics of the proposed model. We intend so contribute to improving the performance
and accuracy of low cost robots.
SUMÁRIO
RESUMO ................................................................................................................................... 7
ABSTRACT ............................................................................................................................... 8
LISTA DE FIGURAS .............................................................................................................. 11
LISTA DE TABELAS ............................................................................................................. 15
LISTA DE SÍMBOLOS ........................................................................................................... 16
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 19
1.1 Generalidades ............................................................................................................. 19
1.2 Descrição de uma Junta Prismática e Aplicações ...................................................... 21
1.3 Revisão Bibliográfica Relacionada à não Linearidade de Folga ................................ 24
1.4 Objetivos, Metodologia e Organização do Trabalho .................................................. 26
2 MODELAGEM MATEMÁTICA ................................................................................... 28
2.1 Introdução ................................................................................................................... 28
2.2 Modelo Matemático da Dinâmica de uma Junta Prismática Tipo Fuso ..................... 29
2.3 Modelo Matemático da não Linearidade de Folga ..................................................... 33
2.4 Modelo Matemático da Inversa da não Linearidade de Folga ................................... 35
2.5 Modelo Dinâmico de uma Junta Prismática em Espaço de Estados Incluindo a Folga .
.................................................................................................................................... 36
2.6 Discussões .................................................................................................................. 37
3 IDENTIFICAÇÃO EXPERIMENTAL DAS CARACTERÍSTICAS DA NÃO
LINEARIDADE DE FOLGA .................................................................................................. 38
3.1 Introdução ................................................................................................................... 38
3.2 Descrição da Bancada Experimental .......................................................................... 38
3.3 Metodologia de Identificação Experimental da Não Linearidade de Folga ............... 43
3.4 Discussões .................................................................................................................. 46
4 RESULTADOS ............................................................................................................... 47
4.1 Introdução ................................................................................................................... 47
4.2 Resultados dos Testes Experimentais de Validação do Modelo de Folga ................. 49
4.3 Resultados de Simulação Computacional do Modelo da Junta Prismática em Malha
Aberta .................................................................................................................................... 51
4.4 Trajetórias Desejadas ................................................................................................. 55
4.5 Descrição dos Controles Clássicos (P, PD, PI, PID) .................................................. 58
4.6 Resultados de Simulação do Controle Proporcional com Trajetória Senoidal .......... 61
4.7 Estratégia Proposta para Compensação da Folga Utilizando a Inversa ..................... 68
4.8 Resultados de Simulação Computacional com Trajetória Polinomial ....................... 73
4.9 Discussões .................................................................................................................. 80
5 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS .......................................................... 82
REFERÊNCIAS ....................................................................................................................... 83
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 - Manipulador robótico Gantry (PAATZ, 2008). .................................................... 23
Figura 1.2 – Transmissão tipo fuso utilizada no acionamento de juntas prismáticas em
manipuladores robóticos. .......................................................................................................... 23
Figura 1.3 – Acionamento tipo fuso de uma junta prismática do robô. ................................... 24
Figura 2.1- Esquema do conjunto fuso e porca considerado na modelagem matemática. ....... 29
Figura 2.2. Desenho esquemático com a representação dos torques atuantes no fuso. ........... 30
Figura 2.3 – Forças atuantes na dinâmica porca-massa............................................................ 31
Figura 2.4. Não linearidade de folga: a) Desenho esquemático e b) Representação gráfica do
modelo proposto. ...................................................................................................................... 34
Figura 2.5 - Representação gráfica do modelo proposto para a inversa da folga ..................... 35
Figura 3.1 – Foto da bancada experimental para testes do acionamento com transmissão
mecânica do tipo fuso. .............................................................................................................. 39
Figura 3.2 - Microcomputador com placa de aquisição de sinais dSPACE. ............................ 40
Figura 3.3 – Transdutor de deslocamento linear BALLUFF. .................................................. 41
Figura 3.4 – Posicionador, braçadeira e suporte, partes do transdutor de deslocamento linear42
Figura 3. 5 – Foto do encoder incremental 1000 ppr (pulsos por rotação)............................... 42
Figura 3.6 - Especificações do fuso roscado. ........................................................................... 43
Figura 3.7 - Foto da bancada em funcionamento. .................................................................... 44
Figura 3.8 - Teste realizado e a aquisição de sinais................................................................ 465
Figura 3.9 - Gráficos comparativos das saídas com folga e sem folga (caso ideal) no fuso. ... 46
Figura 4.1 - Sistema de controle em malha aberta ................................................................... 47
Figura 4.2 – Sistema de controle em malha fechada. ............................................................... 48
Figura 4.3 - Diagrama de blocos utilizado na simulação computacional do modelo matemática
da folga. .................................................................................................................................... 49
Figura 4.4 - Validação experimental do modelo matemático da não linearidade de folga. ..... 50
12
Figura 4.5 - Diagrama de blocos do modelo matemático da não linearidade de folga para uma
transmissão tipo fuso. ............................................................................................................... 51
Figura 4.6 – Resultado de simulação computacional do modelo da folga. .............................. 52
Figura 4.7 – Diagrama de blocos do modelo dinâmico de uma junta prismática de um robô
Gantry com a não linearidade de folga ..................................................................................... 53
Figura 4.8 – Diagrama de blocos da dinâmica do fuso. ........................................................... 54
Figura 4.9 – Diagrama de blocos da dinâmica da massa. ......................................................... 54
Figura 4.10 – Resultado de simulação computacional do modelo matemático da junta
prismática do robô Gantry incluindo-se a não linearidade de folga. ........................................ 55
Figura 4.11 – Trajetória desejada senoidal, com período de 6 segundos. ................................ 56
Figura 4.12 – Trajetória desejada polinomial. .......................................................................... 58
Figura 4.13 – Diagrama de blocos utilizado na implementação do controle proporcional antes
da folga. .................................................................................................................................... 60
Figura 4.14 – Diagrama de blocos utilizado na implementação do controle proporcional
depois da folga. ......................................................................................................................... 61
Figura 4.15 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória desejada
(rad) e (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros). ................. 62
Figura 4.16 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória desejada
(rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (c) torque do
motor (rad) e (d) erro entre posição medida e posição desejada (metros). ............................... 63
Figura 4.17 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória desejada
(rad) e (b) trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros). ............... 64
Figura 4.18 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória desejada
(rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (c) erro
entre posição medida e posição desejada (metros). .................................................................. 64
Figura 4.19 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória desejada
(rad) e (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros) e (c)
trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros). ................................ 65
Figura 4.20 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória desejada
(rad) e (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros) e (c)
trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros). ................................ 66
Figura 4.21 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória desejada
(rad) e (b) erro da trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros) e (c)
erro da trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros). .................... 66
13
Figura 4.22 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória desejada
(rad) e (b) torque da trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (N/m) e (c)
torque da trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (N/m). .................... 67
Figura 4.23 - Diagrama de blocos utilizado na implementação do controle proposto ............. 68
Figura 4.24 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória
desejada, (b) trajetória realizada com o uso da inversa da folga. ............................................. 69
Figura 4.25 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória
desejada, (b) trajetória realizada com o uso da inversa da folga e (c) erro entre posição medida
e posição desejada. ................................................................................................................... 70
Figura 4.26 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória desejada
(rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (c) trajetória
realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (d) trajetória realizada com o
uso da inversa da folga (metros). .............................................................................................. 71
Figura 4.27 – Gráfico ampliado do comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a)
trajetória desejada (rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga
(metros), (c) trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (d)
trajetória realizada com o uso da inversa da folga (metros). .................................................... 71
Figura 4.28 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória desejada
(rad), (b) erro da trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (c)
erro da trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (d) erro da
trajetória com o uso da inversa (metros). ................................................................................. 72
Figura 4.29 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) erro da trajetória
realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (b) erro da trajetória realizada
com controle proporcional depois da folga (metros) e (c) erro da trajetória com o uso da
inversa (metros). ....................................................................................................................... 73
Figura 4.30 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória polinomial: (a) trajetória
desejada (rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros). .... 74
Figura 4.31 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória polinomial: (a) trajetória
desejada (rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros). .. 75
Figura 4.32 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória polinomial: (a) trajetória
desejada (rad), (b) trajetória com o uso da inversa (metros). ................................................... 76
Figura 4.33 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória polinomial: (a) trajetória
desejada (rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (c)
14
trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (d) trajetória
realizada com o uso da inversa (metros). ................................................................................. 77
Figura 4.34 – Gráfico ampliado do comparativo de seguimento de trajetória polinomial: (a)
trajetória desejada (rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga
(metros), (c) trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (d)
trajetória com o uso da inversa (metros). ................................................................................. 78
Figura 4.35 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória polinomial: (a) trajetória
desejada (rad), (b) erro da trajetória realizada com controle proporcional antes da folga
(metros), (c) erro da trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e
(d) erro da trajetória realizada com o uso da inversa da folga (metros). .................................. 79
Figura 4.36 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória polinomial: (a) erro da
trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (b) erro da trajetória
realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (c) erro da trajetória realizada
com o uso da inversa da folga (metros). ................................................................................... 80
15
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 - Descrição dos parâmetros e das variáveis do modelo do eixo-fuso ..................... 31
Tabela 2.2 - Descrição dos parâmetros e das variáveis do modelo da porca-massa ................ 32
Tabela 2.3 – Variáveis para o Modelo da Folga. ...................................................................... 35
Tabela 3.1 - Principais componentes da bancada experimental. .............................................. 41
Tabela 3.2 – Especificações técnicas do encoder incremental. ................................................ 42
Tabela 4.1 - Parâmetros do modelo do sistema com folga. ...................................................... 50
Tabela 4.2- Parâmetros do Robô Gantry considerando o movimento de uma junta prismática. .
......................................................................................................................................... 53
LISTA DE SÍMBOLOS
Alfabeto Latino
0a Coeficiente do polinômio de 7ª ordem da trajetória desejada
polinomial
1a Coeficiente do polinômio de 7ª ordem da trajetória polinomial dos
testes experimentais
2a Coeficiente do polinômio de 7ª ordem da trajetória desejada
polinomial
3a Coeficiente do polinômio de 7ª ordem da trajetória desejada
polinomial
4a Coeficiente do polinômio de 7ª ordem da trajetória desejada
polinomial
5a Coeficiente do polinômio de 7ª ordem da trajetória desejada
polinomial
6a Coeficiente do polinômio de 7ª ordem da trajetória desejada
polinomial
7a Coeficiente do polinômio de 7ª ordem da trajetória desejada
polinomial
Bo Coeficiente de atrito viscoso do eixo do Motor [ mNs / ]
By Coeficiente do Atrito Viscoso da Massa [N.m]
cl Posição inicial lado Esquerdo [rad]
17
cr Posição inicial lado Direito [rad]
pD Distância percorrida sobre a trajetória polinomial [ m ]
e Erro atuante
Fu Força de Reação da Massa Mola Deslocada
J Momento de Inércia do Eixo Motor
m Relação de transmissão
M Massa do fuso [ kg ]
p Passo do fuso
dk Ganho derivativo
ik Ganho integral
pk Ganho do controlador proporcional
ptk Ganho do controlador proporcional antes da folga
yk Ganho do controlador proporcional depois da folga
inP Posição inicial do atuador [ m ]
t Variável tempo [ s ]
TTatr , Força de atrito [N.m]
pt Tempo de deslocamento da trajetória polinomial [ s ]
mT Torque no fuso [N.m]
st Período da trajetória senoidal [ s ]
u Sinal de controle do sistema [V ]
vr e vl Eixos de Projeções
x1, x2, x3 e
x4
Variáveis em espaço de estado
y Deslocamento linear da junta prismática [ m ]
18
dsy Vetor função da trajetória do sistema
Alfabeto Grego
θm
Deslocamento Angular [rad]
Símbolos
(~) Erro ou diferença
(.) Derivada primeira
(..) Derivada segunda
(...) Derivada terceira
1 INTRODUÇÃO
1.1 Generalidades
Este trabalho trata do problema da modelagem matemática da não linearidade de folga
(backlash) de transmissões mecânicas do tipo fuso, tipicamente utilizada em manipuladores
robóticos de estrutura tipo Gantry de baixo custo e em outras aplicações no projeto de
máquinas. O tema está relacionado com a linha de pesquisa de modelagem matemática de
sistemas não lineares e controle de sistemas dinâmicos.
Neste capítulo, procura-se definir alguns termos e conceitos específicos do trabalho,
justificar a importância da modelagem da não linearidade de folga nos sistemas mecânicos,
sua compensação via estratégias de controle para melhorar a precisão da resposta do sistema,
e também ressaltar um breve resumo histórico da utilização da robótica que é potencial área
de aplicação da pesquisa, além de mencionar os objetivos e as propostas de contribuições
desta dissertação.
O termo robô foi originalmente utilizado em 1920 pelo dramaturgo tcheco Karel Capek,
na peça teatral “Os Robôs Universais de Russum (R.U.R.)” como referência a um autômato
que acaba rebelando-se contra o ser humano. Robô deriva da palavra "robota" de origem
eslava, que significa "trabalho forçado". O termo robótica foi criado por Asimov para
designar a ciência que se dedica ao estudo dos robôs e que se fundamenta pela observação de
três leis básicas (SCHIAVICCO e SICILIANO, 1995):
1ª. Um robô não pode fazer mal a um ser humano e nem consentir, permanecendo inoperante,
que um ser humano se exponha a situação de perigo;
2ª. Um robô deve obedecer sempre às ordens de seres humanos, exceto em circunstâncias em
que estas ordens entrem em conflito com a primeira lei;
20
3ª. Um robô deve proteger a sua própria existência, exceto em circunstâncias que entrem em
conflito com a primeira e segunda leis.
A partir da Revolução Industrial ou mais recentemente em meados da década de 70 o
uso de robôs industriais tornou-se aceitável, principalmente na indústria de engenharia
mecânica, elétrica e automobilística, devido ao avanço tecnológico e a busca pela
minimização dos custos de produção através da adoção de modelos de produção, no qual os
robôs industriais têm sido muito utilizados nos processos de automação (GOMES 2000).
Um robô é um manipulador controlado automaticamente, programável para realizar
tarefas de forma automática. Estas tarefas geralmente insalubres, perigosas e/ou que exigem
grande esforço, ou também que necessitam de controle de precisão. De maneira geral um robô
tem grande potencial de utilização nas indústrias, como por exemplo, no setor metal
mecânico, nos transportes, na siderurgia, na agricultura de precisão, entre outros. E tem como
aplicação específica a solda, a pintura, empacotamento, corte, transporte de materiais, etc.
Valdiero (2005).
O uso de alta tecnologia advinda do avanço da Revolução Industrial trouxe muitos
benefícios, como reduzir custos dos produtos fabricados, através de diminuição do número de
pessoas envolvidas, aumento produtividade, melhor utilização de matéria-prima, aumento da
competitividade, melhor condições de trabalho do ser humano, por meio da eliminação de
atividades perigosas ou insalubres, controle eficaz de processos, entre outros (GOMES 2000).
Contudo o alto custo destes equipamentos impede que empresas de pequeno e médio
porte consigam competir em um mercado cada vez mais competitivo. Diante disso a busca por
tecnologias de construção de máquinas mais baratas com a mesma potencialidade é
fundamental para a manutenção dessas empresas.
Um dos problemas que dificultam o controle preciso dos movimentos de um robô
Gantry de baixo custo com transmissão do tipo fuso é a não linearidade de folga,
principalmente com estas transmissões mais simples e baratas. Conforme Valdiero (2005) as
não linearidades são um empecilho para o controle dos sistemas mecânicos, pois trazem
limitações no desempenho de tarefas que necessitam de precisão. Portanto precisam ser
previstas ou compensadas adequadamente para reduzir seus efeitos, sendo o principal foco de
estudo desta dissertação.
Na próxima seção, descreve-se de forma breve a transmissão mecânica considerada
nesta dissertação e com aplicação no acionamento de manipuladores robóticos de estrutura
cinemática do tipo Gantry. Na seção 1.3 realiza-se a revisão bibliográfica abordando autores
21
que pesquisaram a não linearidade da folga. Por fim na seção 1.4 trata dos objetivos, da
metodologia e da organização do trabalho.
1.2 Descrição de uma Junta Prismática e Aplicações
Um robô manipulador industrial se caracteriza pela integração de alguns componentes,
dentre eles o mecanismo (elos, juntas, efetuador ou garra); o acionamento (atuadores e
transmissões) que são responsáveis pela aplicação de torques e forças no mecanismo; e o
sistema de controle (hardware, software, sensores, unidades de controle).
Os elos constituem as partes rígidas de um robô, as quais se assemelham à anatomia do
braço de uma pessoa. As juntas são as partes responsáveis por uma conexão móvel entre dois
elos de um manipulador robótico. Os principais tipos de juntas encontrados em robôs
industriais são:
• Juntas prismáticas: movem-se em linha reta sem girar. São compostas de duas hastes
que deslizam entre si de forma telescópica.
• Juntas rotativas (ou de revolução): giram em torno de uma linha imaginária
estacionária chamada eixo de rotação. Elas giram como uma cadeira giratória e abrem e
fecham como uma dobradiça.
Outros tipos de juntas funcionam basicamente como a combinação de juntas rotativas
e/ou prismáticas.
A escolha da transmissão depende da potência, do tipo de movimento do robô, são
características importantes a rigidez, eficiência e custo. Dentre os componentes de
transmissão mais utilizados tem-se as engrenagens (dentes retos, helicoidais, cremalheira e
pinhão, cônicas), fusos, correias e polias dentadas, correntes, cabos, fitas de aço, engrenagens
planetárias e harmônicas.
O acionamento é responsável pela aplicação de torques e/ou forças nos elos do
mecanismo, causando-lhes o movimento necessário para realização da tarefa programada. Os
acionamentos podem ser elétricos, hidráulicos ou pneumáticos, cujas principais características
são:
• Atuador Elétrico: São os atuadores mais utilizados, geralmente motores de corrente
continua e para robôs pequenos e baratos motores de passo.
• Atuador Hidráulico: Se caracteriza pela grande capacidade de força e alta razão de
potência por peso ou por tamanho.
22
• Atuador Pneumático: São usados em manipuladores simples e realizam movimentos
não controlados dentro dos dispositivos mecânicos limitados de curso.
Atualmente há duas formas de acionamento das juntas de robôs industriais. Uma é o
acionamento direto (direct-drive), onde o motor é montado diretamente no eixo da junta e que
de acordo com Turner et al. (2001) não é o ideal para motores elétricos, pois a ausência de
uma relação de redução do movimento leva à necessidade de motores elétricos especiais com
menor rotação e maior torque, além de sujeitá-lo aos efeitos dinâmicos do acoplamento. A
outra forma de acionamento, que é a mais tradicional e simples, é a utilização de transmissões
por engrenagens entre os motores e as juntas, as quais possuem como vantagens a menor
carga no motor, maiores rotações no motor e a facilidade de seu posicionamento no braço do
robô. A desvantagem deste tipo de acionamento é a presença de atrito e a folga nas
transmissões de engrenagens.
De acordo com Ross et al. (2006), na seleção ótima de uma transmissão por
engrenagens para aplicações em mecatrônica, a escolha do tipo depende de muitos fatores,
onde os mais importantes são velocidade de entrada, folga, eficiência e custo. Em geral a
transmissão de custo menor tem a maior folga, então ou se aumenta o custo ou se compensa a
não linearidade de folga no esquema de controle. O importante é se chegar a uma solução de
compromisso (trade-off), equilibrando os custos de fabricação e os custos de implementação
de controle com compensação das não linearidades.
Sensores são dispositivos cuja finalidade é obter informações sobre o ambiente em que
se encontram, e são utilizados como componentes do sistema de controle de realimentação do
robô.
Conforme PAATZ (2009) o manipulador robótico de estrutura cinemática tipo Gantry,
cujo desenho característico é mostrado na Figura 1.1 é considerado o tipo de manipulador
mais robusto. Tem a cinemática mais simples entre os tipos comuns de robôs industriais por
utilizar três juntas prismáticas (J1, J2 e J3) com eixos perpendiculares e, em alguns casos,
uma junta rotativa (J4) para a orientação do efetuador final (garra robótica ou ferramenta),
resultando num movimento composto de três translações, cujos eixos de movimento são
coincidentes com um sistema de coordenadas de referência cartesiano. O volume de trabalho
gerado é retangular.
Tais robôs têm grande potencial de aplicação nas indústrias do setor metal mecânico,
principalmente devido à sua estrutura rígida, seu amplo espaço de trabalho em mesas e a
facilidade de programação proveniente do desacoplamento dinâmico entre o movimento de
seus elos.
23
Figura 1.1 - Manipulador robótico Gantry (PAATZ, 2008).
Um tipo de transmissão muito utilizada em juntas prismáticas é o conjunto de fuso e
porca (ou também chamado parafuso de potência), mostrado na Figura 1.2. Este tipo de
transmissão apresenta alta capacidade de carga, sendo comum em manipuladores robóticos do
tipo Gantry e é o objeto de estudo da não linearidade de folga neste trabalho. As transmissões
de um robô têm papel muito importante na precisão de posicionamento do manipulador,
muitas vezes é preciso reduzir ou amplificar o movimento nos atuadores, visando-se obter a
resposta desejada e requerida na realização das tarefas programadas. A transmissão mecânica
tipo fuso utilizada neste trabalho tem rosca de perfil quadrada e, conforme ilustrado na Figura
1.3 transforma movimento angular para movimento linear.
Figura 1.2 – Transmissão tipo fuso utilizada no acionamento de juntas prismáticas em
manipuladores robóticos.
24
Existem diversas características não lineares na dinâmica desses sistemas de
transmissão mecânica que dificultam o controle preciso e prejudicam seu desempenho, entre
as quais destacam-se o atrito dinâmico e a não linearidade de folga.
A Figura 1.3 mostra um desenho esquemático do acionamento de uma junta prismática.
O motor elétrico (1) aplica um torque Tm no fuso (2) resultando num deslocamento angular
θm, medido por um encoder incremental (3). Ao girar o fuso o movimento de rotação do
mesmo se converte no deslocamento linear y de uma massa M.
Figura 1.3 – Acionamento tipo fuso de uma junta prismática do robô.
1.3 Revisão Bibliográfica Relacionada à não Linearidade de Folga
O uso da modelagem matemática consiste em transformar problemas da realidade em
problemas matemáticos aos quais é dada uma interpretação e/ou solução. Contudo não é fácil
formular estes modelos. Diante disso uma boa revisão bibliográfica é importante, pois analisa
o que está sendo estudado e trabalhado sobre o mesmo tema, para ter-se então embasamento
em formulações existentes.
Em vista disso busca-se o que se trabalhou sobre modelagem matemática da não
linearidade da folga (backlash) em transmissões mecânicas do tipo fuso (parafuso de
potência), comuns no acionamento das juntas prismáticas de robôs Gantry (HUNT, 1983;
SCIAVICCO & SICILIANO, 1996; CUPIDO et al., 1996, PAATZ, 2008).
Alguns trabalhos trataram de não linearidades presentes em sistemas mecânicos, tais
como a zona morta em Bavaresco (2007), a dinâmica do atrito em Miotto (2008), a dinâmica
da vazão mássica de servoválvulas pneumáticas em orifícios (ENDLER, 2009), e a
combinação dessas não linearidades em Ritter (2009), com aplicações em mecanização
25
agrícola e robótica. Esta dissertação também está focada na modelagem matemática de não
linearidades de sistemas mecânicos, avançando no estudo da não linearidade de folga na
dinâmica de acionamento de juntas com transmissões mecânicas tipo fuso de um robô
manipulador de estrutura cinemática tipo Gantry.
Valdiero (2005) aponta a importância do estudo das não linearidades dos sistemas
mecânicos, os quais causam limitações no desempenho do controle preciso, destacando-se a
zona morta, o atrito, histerese e a folga (backlash). Dentro deste contexto, vários trabalhos
(NORDIN & GUTMAN, 2002; DONG & TAN, 2009; VORÖS, 2009; HÄGGLUND, 2007)
têm tratado da modelagem, identificação e compensação da não linearidade de folga. Nordin e
Gutman (2002) comentam que a folga é uma das mais importantes não linearidades que
limitam o desempenho do controle de posição e velocidade em aplicações industriais e de
robótica. A revisão bibliográfica realizada por estes autores indica que ainda há muita
pesquisa a ser feita para síntese e análise da compensação de folga no controle de sistemas
mecânicos.
Vörös (2009) apresenta uma nova forma analítica de descrição do modelo matemático
da não linearidade de folga que utiliza funções de chaveamento e mostra resultados de
simulação computacional da identificação dos parâmetros.
Hägglund (2007) descreve um novo método para detecção e estimativa da não
linearidade de folga em válvulas de controle que sofreram desgaste. Ele utiliza como modelo
a função descritiva da folga e comenta que a facilidade de compensação desta não linearidade
depende de sua inversa.
Selmic e Lewis (2001) apresentam um esquema de compensação para folgas com
inversão da dinâmica utilizando a técnica do backstepping com redes neurais. Um modelo
geral da folga é usado e permite assimetria.
Cazarez-Castro et al. (2009) apresenta uma combinação de lógica fuzzy e algoritmos
genéticos na busca de resolver o problema de regulação da saída de servomecanismos com
não linearidade de folga. Os dados para simulação foram obtidos a partir de uma bancada
experimental de testes que envolve um motor DC ligado a uma carga mecânica por meio de
uma transmissão por trem de engrenagens com folga.
Giri et al. (2008) apresenta proposições para a identificação de sistemas lineares com a
presença da não linearidade de folga a partir da parametrização apropriada do sistema, a
estimativa dos parâmetros pela técnica dos mínimos quadrados e a especificação de padrões
de sinais de entrada.
26
Shahnazi et al. (2009) propõe um controlador adaptativo combinado com lógica fuzzy
para melhorar a robustez do controle feedback de sistemas com a presença de não linearidades
tais como sistemas mecânicos com folga no acionamento.
Da mesma forma que Morales-Velazquez et al. (2009) propõe melhorias do controle de
máquinas ferramenta com controle numérico computadorizado (CNC) utilizando plataformas
de baixo custo e a identificação dos parâmetros do modelo do servo sistema, o propósito deste
trabalho é apresentar uma proposta prática de modelagem e identificação dos parâmetros de
folga em transmissões mecânicas do tipo fuso (parafuso de potência) para futura aplicação no
controle e compensação de robôs Gantry.
O modelo para a não linearidade da folga adotado como base nesta dissertação é
baseado no modelo proposto por Tao e Kokotovic (1996).
1.4 Objetivos, Metodologia e Organização do Trabalho
Esta dissertação tem como objetivo desenvolver um modelo matemático das
características não lineares de um manipulador robótico tipo Gantry, que possibilite o estudo
do comportamento da folga com resultados teóricos e experimentais e também a
implementação da compensação desta não linearidade no controle. Neste sentido, podem-se
destacar os seguintes objetivos específicos:
Identificação da característica não linear da força em transmissões mecânicas do tipo
fuso importantes em um manipulador robótico do tipo Gantry de baixo custo;
Proposição de modelos matemáticos modificados para o acionamento por fuso de uma
junta do robô Gantry e sua simulação computacional aplicada a problemas de engenharia;
Validação experimental da modelagem matemática numa bancada com acionamento
por transmissão mecânica do tipo fuso de rosca quadrada.
Para tanto pretende-se a partir da construção da bancada experimental, identificar os
parâmetros da folga e realizar a simulação computacional do modelo dinâmico de uma junta
prismática com tal transmissão. Por fim, comparar os resultados dos testes experimentais com
os resultados obtidos nas simulações computacionais.
A metodologia utilizada no desenvolvimento deste trabalho ocorre com a revisão
bibliográfica pertinente ao tema. Seguida da formulação do modelo matemático para o
sistema mecânico e para a não linearidade da folga. Busca-se desenvolver uma metodologia
de identificação de parâmetros por meio de testes experimentais e para validação do modelo
27
comparam-se testes experimentais com as simulações computacionais utilizando o software
Matlab/Simulink.
Foi utilizada a infra-estrutura e os componentes disponíveis na UNIJUÍ dos Campi Ijuí e
Panambi (Laboratório de Informática, Biblioteca, Laboratório de Robótica, Núcleo de
Inovação em Máquinas Automáticas e Servo Sistemas - NIMASS).
Este trabalho está organizado em 5 capítulos. O primeiro capítulo trata da revisão
bibliográfica do tema, a descrição de uma junta prismática tipo fuso e aplicações em robôs
Gantry, os objetivos, a metodologia proposta e a organização do trabalho. O capítulo 2
apresenta a modelagem matemática do sistema mecânico, bem como, a modelagem da não
linearidade da folga e sua inversa. A metodologia de identificação experimental dos
parâmetros da folga está apresentada no capítulo 3. O capítulo 4 aponta os resultados
experimentais, os resultados em malha aberta e em malha fechada, além de uma proposta de
estratégia de compensação da não linearidade de folga para aplicação no controle preciso de
juntas de manipuladores robóticos. Por fim, o capítulo 5 apresenta as conclusões e sugestões
para continuidade do trabalho.
2 MODELAGEM MATEMÁTICA
2.1 Introdução
Neste capítulo apresenta-se a modelagem matemática de transmissões mecânicas do tipo
fuso, muito comum nas juntas prismáticas de um manipulador robótico tipo Gantry e de
outros equipamentos tais como máquinas-ferramenta, considerando a não linearidade de
folga. A partir da combinação das diferentes dinâmicas presentes neste sistema mecânico,
dinâmica do fuso (parafuso de potência), dinâmica da massa deslocada (porca), acoplados
pelo modelo da não linearidade de folga que ocorre entre estas duas dinâmicas, obtém-se um
sistema de duas equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem cada uma. Além disso,
apresenta-se a modelagem da inversa da não linearidade de folga e a representação do modelo
proposto na forma de variáveis de estado.
A modelagem matemática é acima de tudo uma perspectiva, algo a ser explorado,
surge da necessidade do homem em compreender os fenômenos que o cercam para interferir
ou não em seu processo de construção.
A modelagem matemática é muito importante para fins de simulação e análise do
comportamento do sistema. As simulações ou respostas obtidas através desse modelo
permitem prever algum problema no comportamento da resposta do sistema dinâmico, como
por exemplo no caso de um manipulador tipo Gantry e também na busca por estratégias de
controle. Após o desenvolvimento do modelo, é parte importante a validação experimental
com a identificação dos parâmetros do sistema.
Na figura 2.1 apresenta-se um desenho esquemático do problema considerado na
modelagem matemática.
29
Figura 2.1- Esquema do conjunto fuso e porca considerado na modelagem matemática.
Tem-se como hipóteses simplificadoras na modelagem matemática deste sistema
dinâmico que:
• A folga (backlash) é considerada constante em toda extensão do fuso, podendo ser
resultado de imperfeições na fabricação e/ou na montagem da transmissão, e não se
considera a folga devido ao desgaste durante o uso do sistema;
• Atrito considerado é viscoso (amortecimento do sistema) e ocorre durante o
deslocamento angular do eixo e também no movimento linear da massa deslocada
(não se incorporam devido à folga);
• Não será considerado o Atrito Dinâmico;
• Os elementos da transmissão (fuso e porca) são corpos rígidos; (despreza-se a
elasticidade);
A seção 2.2 apresenta a modelagem matemática para as dinâmicas do movimento
angular do fuso e da massa deslocada (porca) de uma junta prismática, a seção 2.3 trata da
modelagem da não linearidade de folga a partir de um modelo proposto por Tao e Kokotovic
(1996). Na seção 2.4 tem-se o modelo da inversa da folga, na seção 2.5 o modelo dinâmico
completo da junta prismática incluindo a não linearidade de folga e na forma de variáveis de
estado e, por fim, na seção 2.6 esboçam-se algumas discussões acerca do capítulo.
2.2 Modelo Matemático da Dinâmica de uma Junta Prismática Tipo Fuso
A formulação do modelo matemático de uma junta prismática do tipo fuso de um robô
Gantry pode ser obtida pelo método Newton-Euler a partir do equilíbrio dinâmico nos
30
diagramas de corpo livre do eixo-fuso e da porca-massa deslocada. A Figura 2.2 mostra o
diagrama de corpo livre do eixo-fuso.
Os torques atuantes no fuso estão representadas na Figura 2.2.
Figura 2.2. Desenho esquemático com a representação dos torques atuantes no fuso.
Pela aplicação da lei do equilíbrio dinâmico, dada pela Equação (2.1), obtém-se as
relações matemáticas utilizadas na modelagem matemática.
∑ (2.1)
Conforme a Figura 2.2, tem-se um torque Tm, que é o torque do motor, aplicado ao fuso
e dois torques contrários de resistência Tatr, e T=
, e o deslocamento angular resultante ,
que é a saída, ou ângulo de giro do fuso.
Considerando o somatório da Equação (2.1) tem-se:
(2.2)
Isolando o torque obtém-se a Equação (2.3)
(2.3)
onde as variáveis estão descritas na Tabela 2.1, junto com as suas unidades de medida.
31
Tabela 2.1 - Descrição dos parâmetros e das variáveis do modelo do eixo-fuso.
Variável Descrição Unidade
Torque no Motor N.m
J Momento de Inércia do Eixo Motor kg.m2
Coeficiente de Atrito Viscoso do eixo do Motor N.m.s
Força de Reação da Massa Mola Deslocada N.m
Passo do Fuso m/rad
Ângulo de Giro do Fuso rad
O torque devido à força de reação da massa deslocada sobre o fuso é dado por:
(2.4)
Da mesma forma que foi formulado o modelo matemático para o eixo-fuso, pode-se
deduzir as equações da dinâmica do movimento linear da massa representada na Figura 2.3.
Figura 2.3 – Forças atuantes na dinâmica porca-massa.
32
Pela aplicação da lei do equilíbrio dinâmico, Equação (2.5), e considerando o somatório
das forças atuantes na massa, obtém-se a Equação (2.6).
∑ (2.5)
(2.6)
Isolando a força de reação (Fu) aplicada à massa pelo fuso, encontra-se a Equação (2.7)
(2.7)
onde os parâmetros e as variáveis são descritas na Tabela 2.2, junto as suas unidades de
medida.
Tabela 2.2 - Descrição dos parâmetros e das variáveis do modelo da porca-massa.
Variável Descrição Unidade
M Massa kg
By Coeficiente do Atrito Viscoso da Massa N.m
Fu Força de Reação da Massa Mola Deslocada N.m
Deslocamento Linear da Junta Prismática m
Se não houvesse a imperfeição da não linearidade de folga no sistema dinâmico, a
relação entre o deslocamento linear da junta prismática e o giro do fuso (eixo motor), poderia
ser escrita como:
(2.8)
Considerando o caso de não haver folga, pode-se substituir as derivadas da Equação
(2.8) em (2.7) e combinar este resultado com a Equação (2.3), resultando numa única equação
diferencial ordinária de segunda dada por:
(2.9)
33
Colocando-se e em evidência tem-se a Equação (2.10).
(
)
(
)
(2.10)
Considerando a não linearidade de folga no sistema, pode-se definir o modelo como o
conjunto de equações 2.3 e 2.7, ou seja, a dinâmica do fuso e a dinâmica da massa, onde falta
a relação do deslocamento angular do fuso com o deslocamento linear da massa deslocada,
cujo modelo será tratado na próxima seção.
(2.3)
(2.7)
2.3 Modelo Matemático da não Linearidade de Folga
Uma das não linearidades que limitam o desempenho dos sistemas de controle em
diversas aplicações mecânicas é a folga. Alguns modelos e métodos matemáticos vêm sendo
descritos com relação a essa não linearidade que, conforme Nordin (2002) está presente em
cada sistema mecânico em que um membro de condução (motor) não está diretamente ligado
com o membro acionado (carga).
Entretanto devido à existência da não linearidade de folga, cada uma das equações
diferenciais de segunda ordem, Equações (2.3) e (2.7), não podem ser combinadas e necessita-
se de uma relação matemática que represente a relação entre o deslocamento linear da junta, y,
em função do deslocamento angular do motor, θm, na presença da folga. A partir de uma
revisão bibliográfica na literatura recente que trata da não linearidade de folga, permitiu a
formulação desta relação matemática para a transmissão tipo fuso. Adaptando-se o modelo
proposto por Tao e Kokotovic (1996), descreve-se a folga a partir das seguintes equações
{
(2.11)
34
onde m é a relação de transmissão, cl e cr são constantes, e vl e vr são funções de projeções
dadas pela Equação (2.12).
(2.12)
A Figura 2.4 mostra um desenho esquemático da não linearidade de folga e a
representação gráfica do modelo matemático dado pela Equação 2.11.
a) b)
Figura 2.4. Não linearidade de folga: a) Desenho esquemático e b) Representação gráfica do
modelo proposto.
As variáveis para o modelo da Equação 2.11 estão descritas na Tabela 2.3 a seguir.
35
Tabela 2.3 – Variáveis para o Modelo da Folga.
Variável Descrição Unidade
Ângulo de Entrada no Sistema Radianos
Deslocamento Linear da Junta
Prismática = saída no sistema
Metro
Posição inicial lado Esquerdo Radianos
Posição inicial lado Direito Radianos
Relação de Transmissão metro/radianos
Funções de Projeções Radianos
2.4 Modelo Matemático da Inversa da não Linearidade de Folga
Um dos efeitos danosos da folga no desempenho dos sistemas é o atraso correspondente
ao tempo para percorrer um segmento. Outro efeito indesejável é a perda de informação que
ocorre em um segmento. Uma das principais características desejadas da inversa da folga é
que ela possa anular a folga, com isso a ideia é que a inversa da folga instantaneamente
minimize os efeitos no desempenho da trajetória planejada.
A inversa da folga de um segmento horizontal é caracterizada por um salto vertical
definido por uma função integral. O efeito do salto deve eliminar o atraso causado pelo
segmento.
Figura 2.5 - Representação gráfica do modelo proposto para a inversa da folga
36
Para o modelo exato da inversa da folga, tem-se
{
(2.13)
onde os parâmetros do modelo matemático da inversa da folga são iguais aos apresentados na
Tabela 2.3 da seção anterior e serão utilizados nas simulações computacionais.
2.5 Modelo Dinâmico de uma Junta Prismática em Espaço de Estados Incluindo
a Folga
Nesta seção apresenta-se o modelo dinâmico de uma junta prismática tipo fuso com a
não linearidade de folga descrita na forma de representação em variáveis de estado.
O modelo não linear descrito pelas Equações (2.3) e (2.7), pode ser escrito como um
sistema de equações diferenciais na forma de variáveis de estado:
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
Onde e são e sua derivada respectivamente, e são deslocamentos lineares
do fuso e sua derivada respectivamente e .
37
2.6 Discussões
Este capítulo tratou da modelagem matemática de uma junta prismática com
transmissão mecânica tipo fuso (parafuso de potência) com a presença da não linearidade de
folga, muito comum em um manipulador robótico Gantry de baixo custo e em máquinas onde
há a necessidade de transformar um movimento de rotação em movimento de translação de
uma carga. A partir da combinação das equações que modelam os principais componentes do
sistema dinâmico, obteve-se um modelo de 4ª ordem representado por um sistema de
equações diferenciais ordinárias. Se não houvesse a não linearidade de folga, tal sistema
poderia ser reduzido para um sistema de 2ª ordem. Assim, pode-se dizer que a presença da
não linearidade de folga aumenta a ordem do sistema.
Prevendo a possibilidade de compensação da folga por meio de sua inversa, foi também
proposto um modelo matemático de representação da inversa da não linearidade de folga.
Os resultados desta seção foram publicados em Menuzzi et al. (2010a) e foram de
grande valia para o estudo e aprendizado da modelagem matemática do acionamento por
transmissões mecânicas do tipo fuso.
38
3 IDENTIFICAÇÃO EXPERIMENTAL DAS CARACTERÍSTICAS DA NÃO
LINEARIDADE DE FOLGA
3.1 Introdução
Na realização deste trabalho, constatou-se a necessidade de construção de uma bancada
experimental que permitisse estudar o efeito da folga em transmissões mecânicas tipo fuso.
Para a aquisição dos dados da bancada experimental foi utilizado um sistema de aquisição de
dados e controle da marca alemã dSPACE, como mostrado neste capítulo.
Neste capítulo descreve-se a bancada experimental que foi utilizada no estudo do
sistema dinâmico e na validação experimental do modelo matemático proposto. Descreve-se o
funcionamento da bancada e também as especificações dos componentes que foram utilizados
para os testes. É desenvolvida uma metodologia para a identificação dos parâmetros da não
linearidade de folga em transmissões mecânicas tipo fuso (parafuso de potência, power
screw).
Na seção 3.2 descreve-se os principais componentes da bancada experimental utilizada
nos testes, na seção 3.3 é proposta uma metodologia de identificação experimental dos
parâmetros da não linearidade da folga e na seção 3.4 são feitas as discussões dos resultados
da validação experimental do modelo.
3.2 Descrição da Bancada Experimental
A bancada de testes foi construída para estudo e identificação experimental dos
parâmetros da não linearidade de folga em transmissões do tipo fuso, e é descrita nesta seção,
bem como os seus principais componentes e características. Os resultados obtidos nesta
bancada também são utilizados na validação do modelo matemático.
39
A Figura 3.1 mostra a bancada de testes do acionamento com transmissão mecânica tipo
fuso de uma junta prismática de um manipulador robótico cartesiano tipo Gantry. O
mecanismo é composto por um fuso construído numa estrutura fixa (mesa). O motor elétrico é
montado em uma das extremidades (1) do fuso e aplica um torque Tm no fuso (2) resultando
num deslocamento angular θm, medido por um encoder incremental (3), e provocando um
deslocamento linear de uma carga (6) que é medido pelo transdutor de deslocamento linear
(4) com o deslocamento do posicionador (magneto) (5) fixo na carga.
Figura 3.1 – Foto da bancada experimental para testes do acionamento com transmissão
mecânica do tipo fuso.
A metodologia proposta utiliza os resultados experimentais obtidos na bancada e de
procedimentos para ajuste dos parâmetros da não linearidade de folga cujo modelo foi
apresentado na seção 2.
Os sinais obtidos pelo encoder incremental e pelo transdutor de deslocamento linear são
lidos por uma placa de aquisição e controle de sinais (dSPACE, modelo DS1104) montada
num microcomputador conforme mostrado na Figura 3.2.
40
Figura 3.2 - Microcomputador com placa de aquisição de sinais dSPACE.
A dSPACE é uma ferramenta para o desenvolvimento de controladores em varias áreas
de atuação, tais com em robótica e engenharia aeroespacial. A placa é projetada para alta
velocidade e é muito utilizada em testes reais em empresas e laboratórios de universidades.
Utiliza a tecnologia PowerPC e usa processador de sinais digitais (DSP – Digital Signal
41
Processor). Além disso, possui blocos do Simulink/Matlab para configuração de entradas e
saídas.
A Tabela (3.1) apresenta os principais componentes da bancada experimental mostrados
na Figura 3.1.
Tabela 3.1 - Principais componentes da bancada experimental.
Componente Fabricante Código Principais Especificações
Transdutor de
deslocamento linear
BALLUFF BTL6-A110-
M0500-A1-5115
Faixa de medição de 200 mm,
saída analógica de 0 a 10 V
Fuso Roscado (rosca
quadrada)
Laboratório
de Projeto -
UNIJUÍ
Material
Alumínio
Diâmetro maior 24 mm, passo
5mm, diâmetro interno de 20mm.
Encoder incremental Hohner 7510-0622-1000 1000 pulsos por rotação
O Transdutor de deslocamento linear faz a medição de deslocamentos lineares sendo de
fundamental importância no campo da engenharia moderna, principalmente porque tem muita
aplicação como, por exemplo, medir movimentos em máquinas ferramentas, robôs industriais,
etc.. E também é importante porque através de pequenos deslocamentos pode-se usar uma
técnica de controle por realimentação. A Figura (3.3) mostra a imagem do transdutor
utilizado.
Figura 3.3 – Transdutor de deslocamento linear BALLUFF.
O posicionador (magneto) é mostrado na Figura 3.4 e pode ser utilizado a distâncias de
4 à 8 mm a partir da parte superior do corpo do transdutor. A instalação mecânica esta em
conjunto com os suportes de montagem e a braçadeira de montagem da Figura 3.4.
42
Figura 3.4 – Posicionador, braçadeira e suporte, partes do transdutor de deslocamento linear
Os encoders incrementais são muito utilizados, pois é possível converter movimentos
angulares em informações para um sistema, permitindo assim saber qual a posição atual do
eixo do fuso (eixo motor). A Tabela 3.2 mostra as especificações do encoder incremental
utilizado.
Tabela 3.2 – Especificações técnicas do encoder incremental.
Fabricante
Modelo
HOHNER
Encoder incremental de eixo vazado cód. 7510-0622-1000
Saída 5-30 V, proporcional à tensão de alimentação
Resolução 1000 ppr (pulsos por Rotação)
Figura 3. 5 – Foto do encoder incremental 1000 ppr (pulsos por rotação).
43
O fuso do tipo roscado especificado na Figura 3.6 é um componente com muitas
aplicações como, por exemplo, no torno, na fresadora e como uma transmissão em um
pórtico, pois resiste a grandes esforços, o tipo de rosca utilizado na bancada é com rosca
quadrada e possui apenas uma entrada, tendo como diâmetro externo d = 24 mm, diâmetro
interno dr = 20 mm e passo p = 5 mm.
Figura 3.6 - Especificações do fuso roscado.
Na Figura 3.6 pode-se entender a relação descrita pela Equação 2.8 no capítulo 2, onde
tem-se a regra de três simples que uma volta de giro completo de radianos corresponde a
um deslocamento linear de um passo p , logo o deslocamento angular de equivale a y,
obtendo-se a seguinte relação:
(2.8)
3.3 Metodologia de Identificação Experimental da Não Linearidade de Folga
A metodologia proposta consiste da utilização dos resultados experimentais obtidos na
bancada descrita na seção 3.2 e de procedimentos para ajuste dos parâmetros da não
linearidade de folga cujo modelo foi apresentado no capítulo dois. A Figura 3.7 mostra a
bancada construída pelo Laboratório da UNIJUI Campus Panambi.
O primeiro passo foi realizar o deslocamento angular do fuso (entrada da não
linearidade) de tal forma a se ter uma inversão de movimento e produzir os efeitos
característicos no posicionamento da carga (saída da não linearidade), ou seja, o sistema entra
em funcionamento quando o motor gera um sinal elétrico, causando um movimento angular
no fuso, esse movimento é convertido em movimento linear pela porca acoplada ao fuso esse
44
movimento linear é medido pela régua sensorial enquanto o movimento do fuso é medido por
um encoder incremental conforme mostrado na Figura 3.7.
Figura 3.7 - Foto da bancada em funcionamento.
Na Figura 3.8 tem-se a aquisição dos sinais experimentais e percebe-se que esses
resultados são muito parecidos com a entrada .
45
Figura 3.8 - Teste realizado e a aquisição de sinais.
O segundo passo é realizar o cálculo da saída para o caso ideal em que não há a não
linearidade de folga. Para isto utiliza-se a Equação 2.10 e faz-se o cálculo para o mesmo sinal
de entrada dos resultados experimentais da Figura 3.8.
A Figura 3.9 mostra os gráficos comparativos das saídas com folga e sem folga no
fuso em relação à entrada e em relação ao tempo. Além disso pode-se observar a relação de
transmissão (m), e o vão de folga dado por (cr - cl).
5 10 15 20 25-5
0
5
10
15Resultados Experimentais
Entr
ada (
rad)
5 10 15 20 250.16
0.165
0.17
0.175
Said
a (
m)
Tempo (s)
46
a) b)
Figura 3.9 - Gráficos comparativos das saídas com folga e sem folga (caso ideal) no fuso
a) Comparativo entre a entrada e a saída b) Comparativo da saída em relação ao tempo.
3.4 Discussões
Neste capítulo apresentou-se a descrição da bancada de testes experimentais e seus
componentes para identificação da não linearidade de folga no fuso. Desenvolveu-se uma
metodologia para a identificação experimental de seus parâmetros e a validação do modelo
para a não linearidade da folga.
Os testes experimentais do protótipo do acionamento tipo fuso de uma junta robótica
prismática ilustraram o comportamento da não linearidade de folga. Os resultados mostraram
a importância da compensação da folga, ressaltando os seguintes aspectos: os erros e atrasos
são significativos e esta não linearidade tem efeitos que podem comprometer a precisão de
posicionamento.
Os resultados deste capítulo foram publicados em MENUZZI (2010), e serão utilizados
nas simulações computacionais tratadas no capítulo seguinte.
4 RESULTADOS
4.1 Introdução
Este capítulo apresenta os resultados da simulação computacional em malha aberta e
malha fechada do modelo matemático para o acionamento de uma junta prismática tipo fuso
com aplicação em um robô Gantry com a presença da não linearidade de folga, incluindo uma
descrição detalhada da implementação computacional e dos parâmetros adotados para o
sistema.
O controle de um sistema pode ser classificado como controle em malha aberta ou
controle em malha fechada. No controle em malha aberta a variável de entrada não é
influenciada pela variável de saída, como pode ser observado na Figura 4.1, ou seja, dado um
sinal de controle espera-se que após determinado tempo o sistema apresente um determinado
comportamento relativo ao sinal dado.
Figura 4.1 - Sistema de controle em malha aberta.
No controle em malha fechada, Figura 4.2, a entrada do sistema é modificada em função
do comportamento da saída, ou seja, o sinal de controle é obtido a partir da avaliação do erro
entre o sinal de saída e o sinal de referência, tendo por objetivo corrigir este erro.
48
Figura 4.2 – Sistema de controle em malha fechada.
Os parâmetros do modelo para a folga, utilizados nas simulações computacionais foram
determinados a partir de uma bancada experimental apresentada no capítulo 3. O modelo do
acionamento de uma junta prismática por fuso foi desenvolvido no capítulo 2, está
representado pelas equações (2.3), (2.7), (2.11) e (2.12) e será implementado na forma de
diagrama de blocos.
A simulação numérica do modelo proposto foi implementada com o auxílio da
ferramenta computacional MatLab/Simulink, utilizando-se o método de integração Runge-
Kuta com passo de 0,0001 segundos. O MatLab é um software para solução numérica de
problemas científicos que integra ferramentas de análise numérica, cálculo matricial,
processamento de dados e geração de gráficos. O Simulink é uma ferramenta do MatLab, no
qual a representação do modelo matemático é realizada através de diagramas de blocos, sendo
apropriado para a simulação numérica de sistemas dinâmicos, possibilitando ao usuário a
representação dos mais variados sistemas lineares e não lineares.
Na seção 4.2 apresenta-se os resultados dos testes experimentais, na seção 4.3
apresenta-se a implementação e os resultados do modelo em malha aberta. A seção 4.4
descreve as trajetórias desejadas utilizadas na simulação computacional do modelo
matemático em malha fechada, e em seguida na seção 4.5 é feita a descrição dos
controladores clássicos (P, PD, PI, PID). Na seção 4.6 são mostrados os resultados do
controle proporcional com a trajetória senoidal. Na seção 4.7 é utilizada a inversa do modelo
da folga como uma estratégia para a compensação da folga, pois a inversa minimiza o efeito
danoso da folga no desempenho do sistema. A seção 4.8 traz os resultados da simulação
computacional com trajetória polinomial e por fim apresentam-se as discussões na seção 4.9.
49
4.2 Resultados dos Testes Experimentais de Validação do Modelo de Folga
Nesta seção são apresentados os resultados dos testes experimentais realizados na
bancada do robô descrita na seção 3.3, mostrada na Figura 3.7 do capítulo anterior, buscando
definir algumas contribuições para a melhoria ou solução de problema da folga em
transmissões mecânicas do tipo fuso.
Para isso estimou-se os parâmetros da não linearidade de folga, dados no modelo da
Equação (2.11), a partir destes resultados experimentais e da metodologia proposta no
capítulo anterior. A relação de transmissão m é facilmente estimada obtendo-se a inclinação
da reta entre as saídas e a entrada no gráfico da Figura 3.9. O vão de contato (cr – cl) também
é facilmente estimado e está representado na Figura 3.9.
Os intervalos de folga à direita e à esquerda são ajustados através da simulação
computacional do modelo matemático, dado pelas Equações (2.3), (2.7) e (2.11), e
implementado por meio do diagrama de blocos mostrado na Figura 4.3.
Figura 4.3 - Diagrama de blocos utilizado na simulação computacional do modelo matemática
da folga.
A simulação foi feita com o auxilio da ferramenta Matlab/Simulink, utilizando o
método ODE4(Runge kutta). Os parâmetros do sistema ajustados nas simulações
50
computacionais estão apresentados na Tabela 4.1 a partir das características mecânicas do
acionamento da junta robótica e dos resultados experimentais.
Tabela 4.1 - Parâmetros do modelo do sistema com folga.
Descrição dos Parâmetros Valores
Passo do fuso p 5 mm = 5 x 10-3
m
Relação de transmissão m 7,957 x 10-4
m/rad
Intervalo de folga à direita cr 1,57 rad
Intervalo de folga à esquerda cl -1,57 rad
Entrada posição angular θm Variando
Posição inicial da carga y(t=0) 1,6 x 10-3
m
A Figura 4.4 é resultado da validação experimental do modelo matemático da seção 3
ao qual foram usados os parâmetros detalhados na Tabela 4.1. Nesta figura estão identificados
problemas nos resultados experimentais provenientes da mal fixação do magneto do
transdutor de deslocamento linear da carga, o qual oscilava nas partidas e inversões de
movimento conforme foi observado experimentalmente.
Figura 4.4 - Validação experimental do modelo matemático da não linearidade de folga.
51
4.3 Resultados de Simulação Computacional do Modelo da Junta Prismática em
Malha Aberta
Esta seção apresenta uma descrição detalhada do procedimento utilizado na
implementação da simulação computacional em malha aberta do modelo matemático para
uma junta prismática descrito no capítulo 2.
Os parâmetros deste capítulo foram publicados em MENUZZI et al. (2010) e estão
descritos no capítulo 4, seção 4.2. Estes dados foram obtidos na bancada experimental
utilizada no Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas e Servo Sistemas (NIMASS) da
UNIJUI Campus Panambi.
Inicialmente foi realizada apenas a simulação do modelo de folga, dado pela Equação
2.11 e implementado por meio do diagrama de blocos apresentado na Figura 4.5, com
interesse de observar as características da não linearidade de folga da saída do movimento (y)
em relação às posições de entrada (θm).
O primeiro bloco da Figura 4.5 representa o sinal de entrada do sistema, caracterizando
um sinal de controle em malha aberta u, que permite o estudo do comportamento das
variáveis de estado do sistema. O bloco dois representa a não linearidade de folga e o bloco
três é a saída do sistema.
Figura 4.5 - Diagrama de blocos do modelo matemático da não linearidade de folga para uma
transmissão tipo fuso.
O terceiro bloco da Figura 4.5 representa o modelo matemático da não linearidade de
folga que é uma imperfeição causada pela fabricação, problemas de montagem ou no desgaste
no parafuso e porca durante o uso, causando fortes variações das parcelas dinâmicas
52
resultando em efeitos de degradação do desempenho do seguimento de trajetória, conforme as
Equações 2.11 e 2.12, onde tem-se uma entrada u(t) em θm e saída y em posição (metros), o
qual foi mostrado na seção 4.2 deste capítulo.
A Figura 4.6 é resultado da simulação computacional do modelo matemático
implementado no diagrama de blocos da Figura 4.5 sob às condições iniciais e parâmetros da
Tabela 4.1. A Figura 4.6 apresenta os gráficos da entrada θm, do comportamento do sistema,
saída com e sem folga e o erro resultante, onde se pode constatar o comportamento da folga e
a necessidade do controle da mesma.
Figura 4.6 – Resultado de simulação computacional do modelo da folga.
Em seguida foram realizadas as simulações computacionais do diagrama de blocos da
Figura 4.7 que representa o acionamento de uma junta prismática tipo fuso de um robô
Gantry. Neste diagrama de blocos foram implementadas as Equações (2.3), (2.7), (2.11) e
(2.12) e especificadas nos diagramas de blocos detalhados a seguir. Na simulação
computacional foram utilizados os parâmetros da folga, dados pela Tabela 4.1, e da junta
prismática com transmissão mecânica do tipo fuso, dados pela Tabela 4.2.
0 2 4 6 8 10 12 14 16-15
-10
-5
0
5
10
15
Tempo (s)
teta(rad)
y(m)*1e3: sem folga
y(m)*1e3: com folga
erro(m)*1e3
53
Tabela 4.2- Parâmetros do Robô Gantry considerando o movimento de uma junta prismática.
Descrição dos Parâmetros Valores
Momento de Inércia do eixo motor J 9,331 x 10-5
kg.m2
Massa da carga M 0,5 kg
Coeficiente de amortecimento viscoso do eixo motor 1 N.m.s
Coeficiente de amortecimento viscoso da massa By 1 N.s/m
Torque do motor Tm Variando linearmente e de
forma alternada
O primeiro bloco da Figura 4.7 representa o sinal de entrada do sistema u(t), o segundo
bloco representa a dinâmica do fuso dada pela Equação 2.3, o bloco três já explicitado
representa a folga e o bloco quatro representa a dinâmica da massa dado pela Equação 2.7.
Figura 4.7 – Diagrama de blocos do modelo dinâmico de uma junta prismática de um robô
Gantry com a não linearidade de folga.
A Figura 4.8 representa a dinâmica do fuso dada pela Equação 2.3, onde J é o momento
de inércia do Eixo Motor, é o coeficiente de atrito viscoso do eixo do fuso (eixo motor) e
tem-se uma entrada angular θm.
torque do motor
torque
posição da carga
y
Sine Wave 1
Folga
Tetam y
Dinâmica do Fuso
torque
Fu
Tetam
Dinâmica da Massa
y Fu
Deslocamento angular
do Fuso
Tetam
54
Figura 4.8 – Diagrama de blocos da dinâmica do fuso.
A Figura 4.9 representa a dinâmica da massa dada pela Equação 2.7, onde M é a massa;
By é o Coeficiente do Atrito Viscoso da Massa e tem-se uma entrada angular θm e saída dada
em y (posição).
Figura 4.9 – Diagrama de blocos da dinâmica da massa.
Os resultados numéricos da simulação dos movimentos da junta robótica são
apresentados na forma do gráfico da Figura 4.10. Na Figura 4.10 tem-se os gráficos da
entrada θm, o comparativo do comportamento da saída com e sem folga e o erro resultante,
onde se pode constatar o diferença resultante quando tem-se um sistema com a não
linearidade da folga.
Fu
1velocidade
du /dt
amortecimento
By
aceleração
du /dt
Massa
M
y
1
55
Figura 4.10 – Resultado de simulação computacional do modelo matemático da junta
prismática do robô Gantry incluindo-se a não linearidade de folga.
Os resultados mostrados nas Figuras 4.6 e 4.10 permitem a observação de algumas
características importantes da não linearidade de folga. Note que diante da periocidade da
entrada (θm), a saída do movimento (y) apresenta as características fundamentais de atraso de
fase e de perda de movimento nos trechos de pico da entrada.
Diante dos resultados destas simulações do sistema dinâmico em malha aberta, percebe-
se a importância da modelagem matemática e da identificação da folga em transmissões
mecânicas. O conhecimento das características desta não linearidade nos sistemas mecânicos
permite a elaboração de esquemas de compensação nas estratégias de controle e
consequentemente a melhoria do desempenho nas tarefas industriais que exigem precisão e
repetitividade.
4.4 Trajetórias Desejadas
As simulações computacionais do sistema dinâmico controlado foram realizados para as
trajetórias desejadas senoidal e polinomial de sétima ordem. A primeira trajetória escolhida é
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Tempo (s)
Posiç
ão(r
ad)
teta(rad)
y(m)*1e3: sem folga
y(m)*1e3: com folga
erro(m)*1e3
56
a senoidal, em que a amplitude é de 4 unidades e o período de 6 segundos que é descrita pela
equação (4.5). O objetivo do uso da trajetória senoidal é analisar o desempenho do
controlador quando tem-se inversão do movimento.
(4.5)
Na Figura 4.11 mostra o gráfico da trajetória desejada senoidal com período de 6
segundos.
Figura 4.11 – Trajetória desejada senoidal, com período de 6 segundos.
A segunda trajetória escolhida é a trajetória polinomial de 7ª ordem que possibilita a
existência de derivadas contínuas até a terceira ordem, que representam à velocidade,
aceleração e derivada da aceleração. O objetivo do uso desta trajetória é testar os sinais
quanto tem-se inversão do movimento e analisar com isso o posicionamento nos trechos de
parada. Para que a trajetória escolhida apresente suavidade é preciso que sejam reguladas
condições iniciais e finais compatíveis para a trajetória e suas derivadas até a terceira ordem.
Para a trajetória polinomial de 7ª ordem é utilizada a Equação (4.6)
(4.6)
0 2 4 6 8 10 12 14 16-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Tempo(s)
Posiç
ão
Trajetória
Senoidal
57
tem-se as condições iniciais dadas por:
, (4.7)
e
( ) , ( ) ( ) ( ) (4.8)
Onde, é a posição inicial do fuso , é o tempo de deslocamento da trajetória
polinomial e é o deslocamento percorrido pelo fuso seguindo a trajetória polinomial.
A trajetória polinomial desejada (4.9) considera inicialmente uma parada em
rad, seguido de um trecho de deslocamento em função de até a posição 0 rad
onde é feita uma nova parada respeitando o tempo de parada de , e posteriormente um novo
deslocamento até a posição 2,25 rad, fazendo ali uma outra parada e retornando através da
função - . Os trechos de parada e deslocamento têm duração de segundos, sendo utilizado
o valor de = 5 segundos. Os trechos de subida ou descida são caracterizados pelo polinômio
de 7ª ordem, representado pelas Equações (4.9) e (4.10), para os respectivos valores de
.
{
( )
( )
( )
( )
(4.9)
{
(4.10)
Na Figura 4.12 pode-se observar a trajetória desejada resultante do polinômio de 7ª
ordem com tempo de parada e deslocamento de 5 segundos.
58
Figura 4.12 – Trajetória desejada polinomial.
A seguir são descritos alguns controladores clássicos e apresentada algumas estratégias
para a compensação da não linearidade da folga, inicialmente através da inserção de um
controle proporcional antes da folga, depois tem-se um ganho proporcional depois da folga e
por fim aliando as duas estratégias iniciais mais a compensação da folga pela inversa.
4.5 Descrição dos Controles Clássicos (P, PD, PI, PID)
Esta seção tem por objetivo fazer a descrição dos controladores clássicos. Serão
apresentados o controlador proporcional (P) e suas variações: proporcional-derivativo (PD),
proporcional-integral (PI) e proporcional-integral-derivativo (PID).
Em um controlador proporcional, a relação entre a saída do controlador u(t) e o sinal de
erro atuante e(t), que é a entrada do controlador, é dada por
(4.1)
onde e(t) = (y – yd), e kp é o ganho proporcional.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo(s)
Posiç
ão D
eseja
da(m
)
trajetória polinomial
59
No controle proporcional-integral (PI), onde a saída u(t) é a soma de um sinal
diretamente proporcional ao erro de posição com um sinal proporcional à integral do erro
∫
(4.2)
onde ki é o ganho integral.
O controle proporcional-derivativo (PD) tem caráter antecipativo, soma-se à parcela
proporcional uma parcela derivativa e a saída do controlador é um sinal diretamente
proporcional ao erro de posição somado com uma parcela diretamente proporcional ao erro de
velocidade. Portanto
(4.3)
onde kd é o ganho derivativo.
Somando as parcelas proporcional, integral e derivativa, temos o controle proporcional-
integral-derivativo (PID), utilizado tanto na melhoria em regime transitório quando em regime
permanente de sistemas mecânicos, que é dado por:
∫
(4.4)
Com o objetivo de comparar a importância do controle da não linearidade da folga foi
proposto o uso de um controlador proporcional. No controle proporcional, o sinal de controle
é diretamente proporcional o erro de posição . Este erro é considerado a diferença
algébrica entre a posição medida e a posição desejada.
Na primeira estratégia conforme mostra a Figura 4.13 testa-se um controle proporcional
antes da não linearidade da folga, no segundo caso testa-se um ganho proporcional
depois da folga conforme apresenta a Figura 4.14. Os diagramas de blocos referentes ao
modelo do sistema são os mesmos descritos na seção 4.1, e são acrescidos dos blocos
referentes às estratégias de controle testadas nas simulações computacionais.
60
Figura 4.13 – Diagrama de blocos utilizado na implementação do controle proporcional antes
da folga.
61
Figura 4.14 – Diagrama de blocos utilizado na implementação do controle proporcional
depois da folga.
Os ganhos utilizados nos controladores foram escolhidos por tentativas, a partir de
inúmeras simulações e comparações, até chegar-se a um valor que seja satisfatório. Para o
ganho utilizado no controle antes da folga, utiliza-se um valor igual a 20 e para o ganho
utilizado no controle depois da folga, utiliza-se um valor igual a 20*103.
Os resultados das simulações computacionais do modelo em malha fechada foram
realizadas com trajetória senoidal e trajetória polinomial, conforme mostrado nas próximas
seções.
4.6 Resultados de Simulação do Controle Proporcional com Trajetória Senoidal
As simulações do sistema usando-se a trajetória senoidal, descrita na seção 4.3, permite
observar o efeito da não linearidade de folga na inversão do movimento do fuso. Estas
simulações têm o objetivo de analisar o uso do controle proporcional antes e depois da não
linearidade de folga.
62
As Figuras 4.15 e 4.16 são obtidas do diagrama de blocos da Figura 4.13 na seção 4.5,
onde realiza-se realimentação antes da folga. Conforme as Figuras 4.16 e 4.18 percebe-se que
a utilização de um ganho ( ) antes da folga apresenta um bom seguimento de trajetória e
observa-se um erro pequeno.
Na Figura 4.15 foi comparada a trajetória desejada com a trajetória realizada com
controle proporcional antes da folga.
Figura 4.15 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória desejada
(rad) e (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros).
A Figura 4.16 apresenta o gráfico do segmento de trajetória desejada, da trajetória
realizada com controle proporcional antes da folga e do erro resultante.
0 2 4 6 8 10 12 14 16-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Tempo (s)
Posiç
ão(R
ad)
a
b
63
Figura 4.16 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória desejada
(rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (c) torque do
motor (rad) e (d) erro entre posição medida e posição desejada (metros).
As Figuras 4.17 e 4.18 são resultado da implementação do diagrama de blocos da
Figura 4.14 onde são apresentados os resultados com a utilização de um ganho proporcional
(kpy) depois da não linearidade de folga.
Na Figura 4.17 foi comparado o segmento de trajetória desejada com a trajetória
realizada utilizando controle proporcional depois da folga. A Figura 4.18 apresenta o gráfico
do segmento de trajetória desejada, a trajetória realizada com controle proporcional depois da
folga e o erro resultante, onde se pode observar que esta estratégia consegue ser tão eficaz
quanto a primeira, contudo precisa-se de um ganho muito grande para obter um resultado
satisfatório.
0 2 4 6 8 10 12 14 16-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Tempo (s)
Posiç
ão
a
b
c
64
Figura 4.17 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória desejada
(rad) e (b) trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros).
Figura 4.18 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória desejada
(rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (c) erro
entre posição medida e posição desejada (metros).
0 2 4 6 8 10 12 14 16-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Tempo (s)
Posiç
ão
a
b
0 2 4 6 8 10 12 14 16-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Tempo (s)
Posiç
ão
a
b
c
65
Na Figura 4.19 são apresentados os resultados para seguimento de trajetória senoidal do
sistema ao longo do tempo comparando a simulação dos controles proporcionais antes e
depois da folga e da trajetória desejada, com isso observamos que o uso do controle antes da
folga faz com que o sistema se aproxime mais da trajetória desejada, se comparada ao
controle depois da folga.
Figura 4.19 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória desejada
(rad) e (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros) e (c)
trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros).
Embora os resultados da compensação com controle proporcional antes e depois da
folga pareçam semelhantes, na Figura 4.20 é uma ampliação da Figura 4.19 onde observa-se a
diferença no segmento das duas trajetórias.
0 2 4 6 8 10 12 14 16-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Tempo (s)
Posiç
ão
a
b
c
66
Figura 4.20 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória desejada
(rad) e (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros) e (c)
trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros).
A Figura 4.21 apresenta o comparativo entre a entrada desejada, o erro de posição do
controle proporcional antes da folga e o erro do controle proporcional depois da folga. Nessa
figura podemos perceber que os erros são muito semelhantes.
Figura 4.21 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória desejada
(rad) e (b) erro da trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros) e (c)
erro da trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros).
7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8 8.1 8.2 8.33.5
3.55
3.6
3.65
3.7
3.75
3.8
3.85
3.9
3.95
4
Tempo (s)
Posiç
ão
a
b
c
0 2 4 6 8 10 12 14 16-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Tempo (s)
Err
o d
e P
osiç
ão
a
b
c
67
Na Figura 4.22 apresenta o comparativo entre a entrada desejada, o torque do controle
proporcional antes da folga e o torque do controle proporcional depois da folga.
Figura 4.22 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória desejada
(rad) e (b) torque da trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (N/m) e (c)
torque da trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (N/m).
O uso de controladores clássicos como (P), (PD), (PI) e (PID) é muito comum em
diversos segmentos industriais, devido a fácil implementação e pelos resultados significativos
no controle de mecanismos de acionamento. Contudo nem sempre o uso de controladores
clássicos, no controle de sistemas mecânicos com a presença de não linearidades como a folga
entre transmissões produz resultados satisfatórios, em diversas situações nas quais se requer
desempenho mais preciso eles podem ser combinados com outras estratégias de compensação,
tais com o uso da inversa da folga que podem trazer melhorias do seguimento de trajetória.
0 2 4 6 8 10 12 14 16-6
-4
-2
0
2
4
6
Tempo (s)
a
b
c
68
4.7 Estratégia Proposta para Compensação da Folga Utilizando a Inversa
Esta seção apresenta a descrição de uma nova estratégia de controle. Foi utilizada a
inversa da folga e realizado o acoplamento de um controlador clássico proporcional explicado
na seção 4.4, com os parâmetros da Tabela 4.1 e Tabela 4.2.
Foram comparados os resultados do modelo com o uso de diferentes ganhos para o
controlador a fim de observar o comportamento da trajetória para os diferentes ganhos e a
eficiência da inversa da folga.
A Figura 4.23 representa o controle proposto para o modelo matemático descrito no
capítulo 2.
Figura 4.23 - Diagrama de blocos utilizado na implementação do controle proposto
O gráfico da Figura 4.24 é o resultado da simulação do seguimento de trajetória
senoidal com controle proporcional (P) para uma entrada kpt = 20 e kpy = 20*103 com o uso da
inversa da folga.
69
Figura 4.24 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória
desejada, (b) trajetória realizada com o uso da inversa da folga.
Na Figura 4.25 foi comparada a trajetória desejada com a trajetória realizada com
controle proporcional com o uso da inversa, mostrando ainda o erro, onde se pode observar
que esta estratégia três consegue ser mais eficaz comparada as estratégias anteriores que
utilizam apenas controle proporcional.
0 2 4 6 8 10 12 14 16-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Tempo (s)
Posiç
ão
a
b
70
Figura 4.25 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória
desejada, (b) trajetória realizada com o uso da inversa da folga e (c) erro entre posição medida
e posição desejada.
Na Figura 4.26 são apresentados os resultados do comparativo do seguimento de
trajetória desejada, do controle proporcional antes da folga, do controle proporcional depois
da folga e do controle com o uso da inversa da folga. Mostrando-se nesse gráfico que o uso da
inversa na compensação da folga é muito eficiente.
0 2 4 6 8 10 12 14 16-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Tempo (s)
Posiç
ão
a
b
c
71
Figura 4.26 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória
desejada (rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (c)
trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (d) trajetória
realizada com o uso da inversa da folga (metros).
Figura 4.27 – Gráfico ampliado do comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a)
trajetória desejada (rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga
(metros), (c) trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (d)
trajetória realizada com o uso da inversa da folga (metros).
0 2 4 6 8 10 12 14 16-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Tempo (s)
Posiç
ão
a
b
c
d
7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8 8.1 8.2 8.33.5
3.55
3.6
3.65
3.7
3.75
3.8
3.85
3.9
3.95
4
Tempo (s)
Posiç
ão
a
b
c
d
72
Na Figura 4.28 apresenta o comparativo do seguimento de trajetória desejada, do erro
de posição do controle proporcional antes da folga, do erro do controle proporcional depois da
folga e do erro do controle com o uso da inversa da folga.
Figura 4.28 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) trajetória desejada
(rad), (b) erro da trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (c)
erro da trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (d) erro da
trajetória com o uso da inversa (metros).
Para visualizar melhor a Figura 4.29 apresenta o comparativo entre o erro no
seguimento de trajetória das três estratégias, o erro da trajetória realizada com controle
proporcional antes da folga, o erro da trajetória realizada com controle proporcional depois da
folga e o erro da trajetória realizada com o uso da inversa da folga.
0 2 4 6 8 10 12 14 16-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Tempo (s)
Err
o d
e P
osiç
ão
a
b
c
d
73
Figura 4.29 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória senoidal: (a) erro da trajetória
realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (b) erro da trajetória realizada
com controle proporcional depois da folga (metros) e (c) erro da trajetória com o uso da
inversa (metros).
4.8 Resultados de Simulação Computacional com Trajetória Polinomial
A simulação do controle em malha fechada foi realizada com a utilização de três
diagramas de blocos mostrados pelas Figuras 4.13, 4.14 e 4.23, o primeiro usando controle
proporcional antes da folga, o segundo usando controle proporcional depois da folga e o
terceiro usando a inversa da folga junto com o controle proporcional antes e depois da não
linearidade da folga.
Nessa seção são apresentados os resultados de seguimento de trajetória polinomial
obtidos na simulação dos três controladores, o comparativo entre eles, e também o
comparativo entre os erros. Foi escolhida esta trajetória devido a analise do comportamento
do posicionamento do sistema nos trechos de parada. A trajetória desejada polinomial de 7ª
ordem obedece as Equações 4.9 e 4.10 descritas anteriormente, com trechos de parada e
deslocamento de 5 segundos. O tempo de simulação foi de 45 segundos.
0 2 4 6 8 10 12 14 16-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Tempo (s)
Err
o d
e P
osiç
ão
a
b
c
74
A Figura 4.30 apresenta o gráfico do seguimento de trajetória do controle proporcional
antes da folga. Observa-se que ao usar-se um controle proporcional com um kpt = 20 obtém-se
uma curva muito próxima a trajetória desejada.
Figura 4.30 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória polinomial: (a) trajetória
desejada (rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros).
A Figura 4.31 mostra o gráfico do seguimento de trajetória do controle proporcional
depois da folga. Observa-se que a curva fica muito próxima a trajetória desejada, contudo
nesse caso temos um ganho kpy de 20*103.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
Posiç
ão
a
b
75
Figura 4.31 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória polinomial: (a) trajetória
desejada (rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros).
A Figura 4.32 apresenta o gráfico do seguimento de trajetória do controle proporcional
com o uso da inversa da folga. Observa-se nesse caso que não há defasagem considerável
entre a posição desejada e a realizada com o uso da inversa, sendo que os ganhos kpt e kpy são
os mesmos das estratégias anteriores, ou seja, os resultados com o uso da inversa são
melhores quando comparados as outras estratégias.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
Posiç
ão
a
b
76
Figura 4.32 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória polinomial: (a) trajetória
desejada (rad), (b) trajetória com o uso da inversa (metros).
O gráfico da Figura 4.33 traz uma comparação do seguimento de trajetória polinomial
com o uso do controle antes da folga, depois da folga e com o uso da inversa, com isso
percebe-se que o uso da inversa melhora o desempenho da trajetória como esperado, pois o
resultado fica muito perto da trajetória desejada.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
Posiç
ão
a
b
77
Figura 4.33 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória polinomial: (a) trajetória
desejada (rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (c)
trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (d) trajetória
realizada com o uso da inversa (metros).
Na Figura 4.34 observa-se o gráfico ampliado do comparativo entre a trajetória
desejada, a trajetória realizada com controle proporcional antes da folga, a trajetória realizada
com controle proporcional depois da folga e com a trajetória realizada com o uso da inversa,
percebendo-se que o uso da inversa aproxima muito a curva da trajetória desejada.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
Posiç
ão
a
b
c
d
78
Figura 4.34 – Gráfico ampliado do comparativo de seguimento de trajetória polinomial: (a)
trajetória desejada (rad), (b) trajetória realizada com controle proporcional antes da folga
(metros), (c) trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (d)
trajetória com o uso da inversa (metros).
Na Figura 4.35 apresenta o comparativo entre o erro de posição do controle
proporcional antes da folga, controle proporcional depois da folga e controle com o uso da
inversa.
18.7 18.8 18.9 19 19.1 19.2 19.32.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.2
Tempo (s)
Posiç
ão
a
b
c
d
79
Figura 4.35 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória polinomial: (a) trajetória
desejada (rad), (b) erro da trajetória realizada com controle proporcional antes da folga
(metros), (c) erro da trajetória realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e
(d) erro da trajetória realizada com o uso da inversa da folga (metros).
A Figura 4.36 apresenta o comparativo apenas entre os erros cometidos nas três
estratégias propostas, o erro da trajetória realizada com controle proporcional antes da folga, o
erro da trajetória realizada com controle proporcional depois da folga e o erro da trajetória
realizada com o uso da inversa da folga. Para melhor visualizar a diferença entre as estratégias
o gráfico foi ampliado na mesma figura.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-3
-2
-1
0
1
2
3
Tempo (s)
Posiç
ão
a
b
c
d
80
Figura 4.36 – Gráfico comparativo de seguimento de trajetória polinomial: (a) erro da
trajetória realizada com controle proporcional antes da folga (metros), (b) erro da trajetória
realizada com controle proporcional depois da folga (metros) e (c) erro da trajetória realizada
com o uso da inversa da folga (metros).
Os resultados mostrados permitem observar algumas características importantes da
compensação da não linearidade de folga. Note que o erro é muito pequeno e apresenta as
características fundamentais de diminuir ou quase anular a perda de movimento nos trechos
de pico da entrada da não linearidade de folga.
Diante dos resultados destas simulações do sistema dinâmico em malha fechada,
percebe-se a importância da compensação da não linearidade da folga em transmissões
mecânicas.
4.9 Discussões
Neste capítulo apresentou-se os resultados experimentais, a implementação e simulação
computacional em malha aberta e malha fechada e por fim algumas estratégias para controle
do modelo matemático para o acionamento de uma junta prismática tipo fuso com a presença
5 10 15 20 25 30 35 40 45-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Tempo (s)
Err
o d
e P
osiç
ão
a
b
c
81
da não linearidade de folga. Os resultados da validação experimental mostram que o modelo
adotado é adequado e a metodologia proposta para a implementação do diagrama de blocos
permitem observar o comportamento dinâmico do fuso que confirma o modelo adotado.
Foi apresentado o planejamento das trajetórias desejadas para a simulação em malha
fechada e feita a analise do desempenho do controle. Também foi descrito os controladores
clássicos P, PD, PI, PID, utilizados na simulação em malha fechada.
Os resultados de simulação em malha fechada apresentados foram obtidos com a
utilização do controlador proporcional antes da folga, do controlador proporcional depois da
folga e com o acoplamento do controle proporcional ao uso da inversa da folga.
Os resultados das simulações computacionais do controlador proporcional com o uso da
inversa da folga mostram a eficiência do mesmo quando comparado as outras estratégias do
controle proporcional podendo-se observar uma redução significativa (cerca de 50%) dos
erros de posição. Mesmo assim, pode-se observar que ainda existe um erro de posição e a
necessidade de um controlador baseado em modelo que preveja as dinâmicas modeladas nas
juntas (inércia dos eixos e atrito viscoso).
82
5 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS
Esta dissertação apresenta a modelagem matemática do acionamento de uma junta
prismática com a presença da não linearidade de folga em transmissões do tipo fuso. Foi
realizada uma revisão bibliográfica sobre a não linearidade de folga que evidenciam os efeitos
prejudiciais da mesma no desempenho de seguimento de uma trajetória, causando limitações
no controle preciso.
O modelo utilizado é um modelo não linear, composto pela equação da dinâmica do
fuso, pela equação da não linearidade de folga e pela equação da dinâmica da massa,
resultando em um sistema dinâmico de 4ª ordem.
Descreve-se uma bancada para identificação experimental dos parâmetros dessa não
linearidade em transmissões fuso, tornando possível também a observação do comportamento
do sistema dinâmico e dos efeitos causados pela presença da não linearidade.
Os resultados da identificação experimental foram obtidos utilizando-se uma placa
dSPACE e o software Matlab/Simulink e mostram as características do modelo da folga. A
identificação dos parâmetros da não linearidade de folga em transmissões por fuso mostrou-se
bastante importante para minimizar os erros de trajetória. Os resultados em malha aberta
mostram a validade do modelo proposto para uma junta prismática. Os resultados em malha
fechada mostram a importância da compensação da folga e contribuem para um melhor
comportamento dinâmico do sistema visando minimizar erros e melhorar o controle preciso.
Os resultados obtidos foram parcialmente publicados em congressos científicos e pretende-se
elaborar um artigo com os resultados finais.
Sugere-se como continuidade deste trabalho os seguintes tópicos de pesquisa:
a formulação de um modelo matemático que inclua a dinâmica do atrito tal como em
Ritter (2010);
a implementação dos testes experimentais das estratégias de controle em malha fechada;
o estudo e a proposição de novas estratégias de controle que prevejam as outras
dinâmicas presentes na junta prismática do tipo fuso.
83
REFERÊNCIAS
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