Universit a degli Studi di Trieste - df.units.it Dattola.pdf · Universit a degli Studi di Trieste ... gran numero di nucleoni partecipanti nella regione di reazione, che presen-

i

Universita degli Studi di Trieste

Dipartimento di Fisica

Corso di Studi in Fisica

Tesi di Laurea Triennale

Studio della produzione di nuclei leggeri

in collisioni ultra relativistiche di ioni

pesanti

Laureando:Filippo Dattola

Relatore:Prof. Paolo CameriniCorrelatore:Dott.ssa Ramona Lea

ANNO ACCADEMICO 2014/2015

ii

Indice

Indice iii

1 Introduzione 1

1.1 Collisioni ultra relativistiche di ioni pesanti . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Evoluzione spazio-temporale di una collisione di ionipesanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Produzione di nuclei leggeri in collisioni ultra relativistiche . . 5

1.2.1 Coalescenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Modelli per la coalescenza . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Analisi dei dati dal Monte Carlo 9

2.1 Descrizione del Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Modello AMPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2 Generazione dei deutoni per coalescenza . . . . . . . . 11

2.2 Rapporti deutoni su protoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2 Calcolo di d/p e stima dell’errore . . . . . . . . . . . . 17

2.2.3 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.4 Casi di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.5 d/p per i casi di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Valor medio dello spettro in impulso trasverso . . . . . . . . . 25

2.3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.2 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Parametro di coalescenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.1 Stima del B2 a partire dai dati del Monte Carlo . . . . 27

2.4.2 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5 B2 e spettro in impulso trasverso dei deutoni . . . . . . . . . 33

2.5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5.2 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

iii

iv INDICE

3 Confronto dei dati sperimentali con il Monte Carlo 373.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Rapporto deutoni su protoni dai dati . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1 Stima del numero di protoni e deutoni . . . . . . . . . 383.2.2 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 B2 dai dati sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Conclusioni 45

Bibliografia 47

Capitolo 1

Introduzione

L’obiettivo di questa tesi e lo studio della produzione di nuclei leggeri in col-lisioni ultra relativistiche di ioni pesanti.Le altissime temperature e densita di energia prodotte in una collisione ultrarelativistica di ioni pesanti permettono di formare uno stato della materia,detto Quark Gluon Plasma (QGP), in cui quark e gluoni non sono piu confi-nati all’interno dei nucleoni. In questa configurazione vengono riprodotte lecondizioni presenti nell’universo pochi micrsecondi dopo il Big Bang.Una volta che il sistema creato nella collisione (QGP) espandendosi si raf-fredda, i quark e i gluoni sono sottoposti al processo dell’ “adronizzazione ”in cui i costituenti si ricombinano, creando delle nuove particelle, che ven-gono rivelate da diversi apparati sperimentali.La temperatura a cui avviene questo processo e ∼ 150 MeV.Tra tutte le particelle prodotte, nello studio svolto in questa tesi l’attenzionericade principalmente sui nuclei leggeri ed in particolar modo sui deutoni.Un deutone e un nucleo costuito da un protone e da un neutrone, con unaenergia di legame di 2.2 MeV. Poiche l’energia di legame e molto inferiorerispetto all’energia corrispondente alla temperatura a cui avviene l’adroniz-zazione, e interessante capire il meccanismo di produzione dei nuclei leggeriche vengono rivelati negli esperimenti.Tra le diverse teorie sulla produzione dei nuclei leggeri in collisioni di ionipesanti, in questa tesi vengono studiati due approcci diversi. Il primo e unmeccanismo che definiremo di “reazione”. Questo modello prevede che, dopol’adronizzazione, deutoni vengano generati a partire da protoni e neutroni inseguito a reazioni di scattering inelastico (p+n → d+π).Il secondo approccio, invece, si basa sulla coalescenza. La coalescenza prevedeche i nucleoni, se abbastanza vicini nello spazio delle fasi (lo spazio delle dis-tanze relative ∆r e degli impulsi relativi ∆p), si leghino fra loro per formaredei nuovi nuclei.

1

2 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

Questa tesi si propone di studiare e confrontare i diversi modelli di produzione(reazione e coalescenza) e le differenze che si manifestano nel caratterizzarlicon parametri diversi.L’analisi viene effettuata su dati prodotti con una simulazione Monte Carlo,in cui un generatore di eventi crea le particelle prodotte in una collisione diioni pesanti (caratterizzata da una certo intervallo di centralita). I risultatidella simulazione verrano poi confrontati con i dati sperimentali provenientida collisioni Pb-Pb reali.L’analisi e stata effettuata usando i framework ROOT (programmazione adoggetti basata sul linguaggio C++) ed AliROOT, ovvero un’espansione diROOT per la ricostruzione e l’analisi dati dell’esperimento ALICE.

1.1 Collisioni ultra relativistiche di ioni pe-

santi

1.1.1 Geometria

Figura 1.1: Collisione fra due nuclei nel sistema di riferimento del centro diimpulso (CM).

La geometria di un urto ultra relativistico e caratterizzata da un inter-vallo di centralita che dipende dal parametro di impatto b (Figura 1.1). Lacentralita dell’interazione e un parametro fondamentale nelle collisioni di ionipesanti, poiche fornisce il grado di sovrapposizione dei due nuclei che colli-dono. Collisioni centrali sono quelle in cui b e piccolo e che comportano ungran numero di nucleoni partecipanti nella regione di reazione, che presen-tera alte temperature e densita di energia. Collisioni meno centrali saranno,

1.1. COLLISIONI ULTRA RELATIVISTICHE DI IONI PESANTI 3

conseguentemente, caratterizzate da un numero alto di spettatori e da unaregione di reazione piu fredda.Come si puo notare dalla figura 1.1 la collisione e caratterizzata da un certoparametro di impatto b, a partire dal quale possiamo definire un intervallopercentuale di centralita attraverso la relazione:

Intervallo di centralita =σ (b)

σ (bmax)(1.1)

dove σ rappresenta la sezione d’urto di interazione e bmax il massimovalore del parametro di impatto.

1.1.2 Evoluzione spazio-temporale di una collisione diioni pesanti

Nel caso in cui si abbia formazione di QGP, questo si espandera a causa dellasua pressione interna. In questo caso il sistema, espandendosi, si raffredda.L’evoluzione spazio-temporale di una collisione di ioni pesanti in presenza diQGP puo essere osservata nella parte destra di Figura 1.2.Dopo una fase di pre-equilibrio si forma il QGP: nella sua espansione, ilsistema raggiungera quella che viene definita “temperatura critica” (TC).Quando quark e gluoni iniziano ad adronizzare, la composizione delle specieadroniche variera in seguito agli urti fino a che la temperatura non sarascesa al di sotto della temperatura di freeze-out chimico (Tch), che si ottienequando si esauriscono le collisioni inelastiche. In questa configurazione lacomposizione degli adroni e congelata.Mentre il sistema continua ad espandersi e, quindi, a raffreddarsi, gli adroniraggiungono una condizione detta di freeze-out termico (Tfo). In questo statonon si hanno piu collisioni elastiche e le distribuzioni in impulso trasversodegli adroni sono fissate.Poiche il QGP non puo essere rivelato direttamente a causa della sua brevevita, la misura delle diverse particelle negli apparati sperimentali fornisceinformazioni riguardanti le prime fasi della collisione.


Figura 1.2: Evoluzione di una collisione di ioni pesanti in presenza (a de-stra) e in assenza (a sinistra) di formazione di QGP. Tfo e l’abbreviazione ditemperatura di freeze out termico e Tch quella a cui si raggiunge l’equilibriochimico. Il processo di adronizzazione inizia nella regione di temperaturacritica (Tc).

1.2. PRODUZIONE DI NUCLEI LEGGERI IN COLLISIONI ULTRA RELATIVISTICHE5

1.2 Produzione di nuclei leggeri in collisioni

ultra relativistiche

Tra tutti i modelli che si propongono di spiegare il meccanismo di formazionedei deutoni in collisioni ultra relativistiche in questa tesi ne vengono studiatidue. Il primo viene detto di “reazione”. Questo modello prevede che, dopol’adronizzazione, deutoni vengano generati a partire da protoni e neutroniin seguito a reazioni di scattering inelastico (p + n → d + π). I deutoniprodotti in questo modo possono, in seguito, essere coinvolti in reazioni discattering elastico (d + π → d + π) e di annichilazione (d + π → p + n).Il secondo approccio, invece, si basa sulla coalescenza. L’idea della coa-lescenza prevede che i nucleoni, se abbastanza vicini nello spazio delle fasi,si leghino fra loro per formare dei nuovi nuclei.

1.2.1 Coalescenza

La produzione di nuclei leggeri in collisioni di ioni pesanti puo essere spiega-ta attraverso un processo chiamato “coalescenza”. Affinche avvenga questotipo di fenomeno e necessario che i nucleoni costituenti si trovino in puntiabbastanza vicini nello spazio delle fasi. L’idea della coalescenza e stata in-trodotta nel 1961 da Butler e Pearson [1], che svilupparono un modello perla formazione di deutoni in urti protone–nucleo. Nel loro modello, tenendoconto dell’interazione forte p–n, e possibile dare una spiegazione del modo incui un protone ed un neutrone si leghino per formare un nucleo di deuterio,alternativa alla produzione in seguito all’urto.Il risultato chiave del loro modello, che si basa solo su considerazioni fattenello spazio degli impulsi, e che la densita di deutoni nello spazio degli impulsi(

d3Nd

dp3d

)e proporzionale alla densita in impulso dei protoni

(d3Np

dp3p

)moltipli-

cata per quella dei neutroni(

d3Nn

dp3n

)e questo risultato puo essere espresso

con la seguente relazione:

γ

(d3Nd

dp3d

)= B2

(γd3Np

dp3p

)(γd3Nn

dp3n

)(1.2)

dove d3Nd

dp3d, d3Np

dp3p, d3Nn

dp3nrappresentano, rispettivamente, le densita di deutoni,

protoni e neutroni nello spazio degli impulsi, γ il fattore di Lorentz e B2 unacostante di proporzionalita.Visto che molti esperimenti misurano protoni ma non neutroni, e possibilesemplificare la relazione (1.2), assumendo che le densita dei due nucleoni


nello spazio degli impulsi siano identiche. In questa ipotesi si trova che :

γ

(d3Nd

dp3d

)= B2

(γd3Np

dp3p

)2

(1.3)

La costante di proporzionalita B2 viene detta parametro di coalescenza edescrive una sfera di raggio p0, nello spazio degli impulsi, all’interno dellaquale le coppie di nucleoni possono formare un deutone per coalescenza.In particolare, nel caso di produzione di deutoni vale la relazione:

B2 =

(4

3πp30

)Md

m2p

(1.4)

In cui p0 rappresenta il raggio di coalescenza, Md la massa del deutone emp quella del protone.

1.2.2 Modelli per la coalescenza

In questo studio sono stati confrontati due modelli differenti per la descrizionedel fenomeno della coalescenza: un modello semplificato ed uno che tiene con-to di aspetti quantistici.

Il modello semplificato prevede che si formi un deutone se i due nucleonisi trovano abbastanza vicini nello spazio delle fasi (ovvero lo spazio delledistanze relative ∆r e dei momenti relativi ∆p) ed e caratterizzato da unadistribuzione di probabilita uniforme di formare un nucleo leggero.

Il modello teorico quantistico [2] descrive la probabilita di formare un deu-tone, in un punto dello spazio degli impulsi (∆p) e delle distanze relative fracoppie di nucleoni (∆r), utilizzando una funzione di Wigner, attraverso larelazione:

pd =3

8δ3

(~PD − (~pn + ~pp)

)ρD

Wigner (~rc.m.s, ~qc.m.s) (1.5)

Dove pd corrisponde alla probabilita di formare un deutone per coalescenza e~PD, ~pn, ~pp sono i tri-momenti del deutone, del neutrone e del protone; ~rc.m.s

e il raggio tra i nucleoni nel loro centro di massa (CM) e ~qc.m.s l’impulsorelativo tra p ed n nel CM. La funzione di Wigner ρD

Wigner (~r, ~q) puo esseredefinita come :

1.2. PRODUZIONE DI NUCLEI LEGGERI IN COLLISIONI ULTRA RELATIVISTICHE7

ρDWigner (~r, ~q) = 8e

−(

r2

d2+q2d2

)(1.6)

Dove ~r = ~r1 − ~r2, ~q = 12

(~p1 − ~p2) e d = 1.7 fm, che permette di riprodurre ilraggio medio del deutone.


Capitolo 2

Analisi dei dati dal MonteCarlo

2.1 Descrizione del Monte Carlo

2.1.1 Modello AMPT

I dati su cui e stata svolta la prima parte dell’analisi provengono da unasimulazione Monte Carlo realizzata utilizzando il framework AliROOT.Nel Monte Carlo, un generatore di eventi crea le particelle che vengonoprodotte in collisioni ultra relativistiche di ioni pesanti. Tra tutte quellegenerate, l’analisi si e focalizzata sullo studio di neutroni e protoni.Il generatore utilizzato per la simulazione e AMPT (A Multi Phase Trans-port Model) [3] ed il suo funzionamento e illustrato in figura 2.1.

9

10 CAPITOLO 2. ANALISI DEI DATI DAL MONTE CARLO

Figura 2.1: Descrizione del modello AMPT usato dal generatore.

Nel modello AMPT, la fase iniziale della collisione viene generata conHIJING [4], un generatore di eventi largamente utilizzato nella fisica degliioni pesanti. I partoni generati vengono poi fatti interagire attraverso unmodello detto ZPC(“Zhang’s Parton Model”) [5]. L’adronizzazione, ovverola creazione di adroni a partire da qurk e gluoni liberati attraverso la col-lisione, avviene con un modello fenomenologico che tratta i partoni comedelle stringhe di forza forte “Lund string fragmentation model” [8]. In-fine,l’interazione fra gli adroni avviene secondo il modello ART(A Relativis-tic Transport model) [6,7]. In quest’ultima fase, vengono anche prodotti deideutoni attraverso l’ interazione inelastica: p + n → d + π, quindi senzacoalescenza. Le distribuzioni dei deutoni prodotte in questa fase vengonomodificate dalle reazioni (d + π → d + π) e (d + π → p + n). I deutonigenerati in questa fase (identificati nel resto della tesi come DeuAMPT), sonostati analizzati insieme a quelli generati per coalescenza.Il numero di particelle generate nel Monte Carlo e la loro distribuzione nel-lo spazio degli impulsi dipendono dalla geometria dell’urto e, quindi, dallacentralita. La centralita permette di definire il grado di sovrapposizione

2.1. DESCRIZIONE DEL MONTE CARLO 11

dei nuclei che collidono: nelle simulazioni ad ogni intervallo di centralita estato associato un “centrality bin” (notazione adoperata anche nei grafici).Nella seguente tabella e riportata la corrispondenza tra “centrality bin” ecentralita:

Centrality bin Intervallo di centralita0 0-5%1 5-10%2 0-10%3 10-20%4 20-30%5 30-40%6 40-50%7 50-60%8 60-70%9 70-80%

2.1.2 Generazione dei deutoni per coalescenza

Come gia detto in precedenza (Capitolo 1), la produzione di deutoni percoalescenza di protoni e neutroni e stata analizzata utilizzando due diversiapprocci, uno semplificato (“classico”) ed uno piu complicato (“quantistico”)che tiene conto delle interazioni quantistiche tra le funzioni d’onda dei nu-cleoni che compongono il deutone. In entrambi gli approcci, devono tuttaviaessere introdotte due quantita: l’ impulso di coalescenza (∆p) e il raggio dicoalescenza (∆r), che sono definiti come:

∆p =1

2(|~p1 − ~p2|) (2.1)

∆r = |~r1 − ~r2| (2.2)

dove gli indici 1 e 2 fanno riferimento a protone e neutrone, ovvero le dueparticelle che saranno coinvolte nella coalescenza. ∆p e ∆r sono entrambidefiniti nel sistema del centro di massa.Le distribuzioni di ∆r e ∆p di tutte le coppie generate nella simulazione perun intervallo di centralita 30-40% sono mostrate in Figura 2.2.


Figura 2.2: Distribuzione di (r,p) di tutte le coppie (p,n) generate nellasimulazione Monte Carlo in eventi con centralita 30-40%. Come si puo notareda questa figura le coppie variano in un intervallo abbastanza ampio sia in∆p che in ∆r.

Come e stato gia detto, per formare un deutone, il protone ed il neutronedevono essere abbastanza vicini sia nello spazio che in impulso. Nell’approc-cio classico e quindi necessario definire un rettangolo dello spazio (∆r,∆p)all’interno del quale sia possibile la coalescenza. Il valore di ∆r usato comeraggio di coalescenza e il valore del raggio del deutone (2.5 fm). Il valoredi ∆p non puo essere scelto a priori, ma deve essere valutato a partire daidati. Dalle misure effettuate con i dati dell’esperimento ALICE [9] e dallarelazione 1.4 e possibile stimare un valore di p0. Se consideriamo l’intervallodi centralita 0-10%, il B2 misurato e ∼ 2×10−4 GeV2/c3: questo corrispondead un parametro p0 di circa 25 MeV/c.La regione dello spazio (∆r, ∆p) che viene considerata nel caso di questascelta e mostrata in Figura 2.3.


Figura 2.3: Regione dello spazio (r,p) che viene utilizzata per formare ideutoni nell’approccio “classico”.

Per quanto riguarda l’approccio “quantistico”, che si basa sulle funzionidi Wigner, la distribuzione di probabilita e definita a partire dalla funzionedi Wigner stessa, quindi nessun parametro deve essere fissato a priori.Quello che viene fatto in questo secondo approccio e una convoluzione tra ladistribuzione di probabilita di Wigner in due dimensioni (∆r,∆p), riportatanella relazione 1.5 e rappresentata in alto nella Figura 2.4, e la distribuzionedi (∆r,∆p) di tutte le coppie (p,n) generate nella simulazione (mostrata inFigura 2.2). Il risultato e mostrato in basso in Figura 2.4.Il parametro libero di questo modello e una seconda distribuzione di prob-abilita uniforme, da applicare a quella mostrata in basso nella Figura 2.4.Questa seconda distribuzione di probabilita (definita “peso” nella Tabella2.1) ci permette di variare il numero di coppie accettate, e, quindi, di variareil numero di deutoni prodotti per coalescenza senza cambiare la distribuzionedi probabilita di Wigner.I due approcci (“classico” e “quantistico”) sono stati studiati dettagliata-mente in questa tesi e i risultati sono riportati nel seguito del capitolo.


Figura 2.4: In alto distribuzione di probabilita di Wigner in due dimensioni(r,p). In basso distribuzione finale (r,p) di tutte le coppie (p,n) che formanoun deutone utilizzando la distribuzione di Wigner.

Quello che va sottolineato e che i deutoni formati con i due diversi ap-procci sono generati a partire dagli stessi protoni e neutroni (cioe dallo stessoMonte Carlo): le diverse “distribuzioni di probabilita” sono applicate ad unasola simulazione Monte Carlo, quindi tutte le eventuali differenze nei risultatidipendono solo dal tipo di distribuzione utilizzata per creare deutoni.Poiche l’approccio “classico” ci permette di creare facilmente deutoni per


coalescenza in diverse regioni dello spazio delle fasi, nella parte iniziale del-l’analisi, sono state esplorate regioni nello spazio (∆r,∆p) lontane dai valori“ottimali” descritti nel paragrafo precedente.Lo scopo di questo studio era quello di capire quale fosse il “significato fisico”dei parametri ∆r e ∆p e quanto la loro scelta contribuisse nella vraiazionedei risultati ottenuti. In altre parole, diverse scelte di ∆r e ∆p sono statefatte per capire quanto variare questi due parametri, anche in regioni non“fisiche”, influisse sulla misura delle diverse quantita.

Distribuzione (fnum) Descrizione9 Distribuzione uniforme

∆r ≤ 2.5 fm∆p ≤ 25 MeV/c

12 Distribuzione di Wigner - Peso 114 Distribuzione di Wigner - Peso 215 Distribuzione di Wigner - Peso 316 Distribuzione uniforme

2 fm ≤ ∆r ≤ 4 fm50 MeV/c ≤ ∆p ≤ 150 MeV/c

17 Distribuzione uniforme4 fm ≤ ∆r ≤ 6 fm

400 MeV/c ≤ ∆p ≤ 450 MeV/c18 Distribuzione uniforme

4 fm ≤ ∆r ≤ 6 fm200 MeV/c ≤ ∆p ≤ 300 MeV/c

19 Distribuzione uniforme6 fm ≤ ∆r ≤ 8 fm

350 MeV/c ≤ ∆p ≤ 600 MeV/c25 Distribuzione di probabilita

in ∆r ≤ 5 fm, ∆p ≤ 200 MeV/cpesata con fattore 1/100

26 Distribuzione di probabilitain ∆r ≤ 5 fm, ∆p ≤ 200 MeV/c

pesata con fattore 1/20027 Distribuzione di probabilita



Distribuzione (fnum) Descrizione28 Distribuzione di probabilita







in ∆r ≤ 5 fm, 200 MeV/c ≤ ∆p ≤ 400 MeV/cpesata con fattore 1/1000

33 Distribuzione di probabilitain ∆r ≤ 5 fm, 400 MeV/c ≤ ∆p ≤ 600 MeV/c



35 Distribuzione di probabilitain ∆r ≤ 5 fm, 400 MeV/c ≤ ∆p ≤ 600 MeV/c








in ∆r ≤ 2.5 fm, ∆p ≤ 40 MeV/cpesata con fattore 1/20

41 Distribuzione uniforme∆r ≤ 2.5 fm

∆p ≤ 40 MeV/c42 Distribuzione di probabilita


2.2. RAPPORTI DEUTONI SU PROTONI 17

Tabella 2.1: Distribuzioni di probabilita di formare un deutone percoalescenza.

2.2 Rapporti deutoni su protoni

2.2.1 Introduzione

Le prime valutazioni quantitative fatte a partire dai dati provenienti dalMonte Carlo riguardano il rapporto fra il numero di deutoni prodotti percoalescenza nelle simulazioni e il numero di protoni, in corrispondenza diogni intervallo di centralita e per ogni fissata distribuzione di probabilitanello spazio delle fasi (si faccia riferimento alla Tabella 2.1).Questa quantita e stata studiata in modo sistematico, al fine di individuareil modello teorico che descrive la coalescenza che risulta piu in accordo con ivalori del rapporto provenienti dai dati sperimentali.

2.2.2 Calcolo di d/p e stima dell’errore

In Figura 2.5 e mostrata la distribuzione (spettro) in funzione dell’impul-so trasverso (pT ) dei protoni prodotti in collisioni con centralita 60-70% nelMonte Carlo. L’integrale degli spettri in impulso trasverso di protoni e deu-toni, prodotti per coalescenza con diverse distribuzioni di probabilita, vieneutilizzato per ottenere i rapporti d/p per le diverse distribuzioni di probabilitae per diverse centralita.

Figura 2.5: Spettro in impulso trasverso (pT ) di protoni, nel Monte Carlo,per collisioni nell’intervallo di centralita 60-70%.


L’errore sui punti e statistico ed e ottenuto assumendo che la distribuzionedegli eventi in ciascun intervallo degli spettri in impulso trasverso (pT ) sia ditipo Poissoniano. L’errore sugli integrali e pari alla somma degli errori statis-tici associati alle distribuzioni in impulso trasverso e per ottenere l’incertezzasui rapporti basta propagarne l’errore:

∆

(Nd

Np

)=

(∆Nd

Nd

+∆Np

Np

)Nd

Np

(2.3)

Dove Nd ed Np indicano il numero di deutoni prodotti per coalescenza ed ilnumero di protoni e ∆Nd e ∆Np i rispettivi errori.

2.2.3 Risultati

Le figure 2.6, 2.7, 2.8 mostrano il rapporto deutoni su protoni (d/p) in fun-zione della centralita per diverse distribuzioni di probabilita, come indicatonelle legende. In ogni grafico sono rappresentati i risultati ottenuti usandodistribuzioni di probabilita “simili” (con riferimento a Tabella 2.1).Quello che si puo notare in tutte le figure e che il rapporto deutoni su pro-toni ha un andamento decrescente al diminuire della centralita. Questo com-portamento e consistente con cio che intuitivamente ci si puo aspettare: aldiminuire della centralita, diminuisce il numero di particelle prodotte percollisione e quindi e lecito aspettarsi che il rapporto d/p si riduca.


centrality bin 4 5 6 7 8

N D

euC

oal /

N P

ro

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.0012

0.0014

0.0016

0.0018

0.002

fnum = 12

fnum = 14

fnum = 15

Rapporto deutoni( Coal. )/protoni : 12,14,15


N D

euC

oal /

N P

ro

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.0012

0.0014

0.0016

0.0018

0.002

fnum = 9

fnum = 15

Rapporto deutoni( Coal. )/protoni : 15,9

Figura 2.6: Rapporti dp

per le distribuzioni (fnum) 9, 12, 14, 15 come da legen-da. La descrizione di queste distribuzioni si trova in Tabella 2.1 . Istogrammacon 12, 14 e 15 in alto. Istogramma per 9 e 15 in basso.



N D

euC

oal /

N P

ro

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

fnum = 16

fnum = 17

fnum = 18

fnum = 19

Rapporto deutoni( Coal. )/protoni : 16-19


N D

euC

oal /

N P

ro

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

fnum = 25 fnum = 26 fnum = 27 fnum = 28 fnum = 29 fnum = 30



per le distribuzioni (fnum) 16-30 come da legenda.La descrizione di queste distribuzioni si trova in Tabella 2.1 . Istogrammaper 16-19 in alto. Istogramma per 25-30 in basso.

Si noti che, al variare delle distribuzioni di probabilita, i rapporti varianoda ∼ 1.3× 10−3 per le distribuzioni “9”, “12”, “14”, “15” (Figura 2.6) fino a∼ 6× 10−3 per “16”, “17” e “27” (Figure 2.7 e 2.8).Quindi, variando i parametri usati per valutare le diverse distribuzioni diprobabilita per creare i deutoni per coalescenza, e possibile ottenere rapportisignificativamente diversi.



N D

euC

oal /

N P

ro

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

fnum = 31 fnum = 32 fnum = 33 fnum = 34 fnum = 35



N D

euC

oal /

N P

ro

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

fnum = 36 fnum = 37 fnum = 38 fnum = 39 fnum = 40 fnum = 41 fnum = 42



per le distribuzioni (fnum) 31-42 come da legenda.La descrizione di queste distribuzioni si trova in Tabella 2.1 . Istogrammaper 31-35 in alto. Istogramma per 36-42 in basso.

Per valutare, quantitativamente, quanto varia il rapporto d/p in funzionedelle diverse distribuzioni di probabilita e utile dividere tra di loro gli is-togrammi.Nella figura 2.9 sono riportati i rapporti tra diverse distribuzioni d/p carat-terizzate da distribuzioni di probabilita di formare un deutone “simili”. Ogniistogramma ottenuto per un certa distribuzione di probabilita (descritta nellaTabella 2.1) viene diviso per l’istogramma associato alla prima distribuzioneall’interno dell’insieme di distribuzioni della stessa forma, come riportato inlegenda. Cio consente di valutare quantitativamente come i rapporti d/pvariano cambiando i parametri che caratterizzano distribuzioni della stessaforma.



rat

io

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

vs centrality9

(d/p) / 15

(d/p) DeuCoal:


rat

io

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

14/12

15/12

vs centrality12

(d/p) / i

(d/p) DeuCoal:


rat

io

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

17/16 18/16 19/16

vs centrality19

(d/p) / i

(d/p) DeuCoal:


rat

io

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

26/25 27/25 28/25 29/25 30/25

vs centrality25

(d/p) / i

(d/p) DeuCoal:


rat

io

0

2

4

6

8

10

12

14

16

32/31 33/31 34/31 35/31

vs centrality31

(d/p) / i

(d/p) DeuCoal:


rat

io

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

37/36 38/36 39/36 40/36 41/36 42/36

vs centrality36

(d/p) / i

(d/p) DeuCoal:

Figura 2.9: In figura gli istogrammi dei rapporti dp

(riprodotti nelle immagini

2.6, 2.7, 2.8) vengono confrontati dividendo ogni istogramma di una sequenzadi distribuzioni (fnum) con il primo della stessa sequenza (rapporti diversi incolori diversi, come da legenda) .

La prima conclusione che si pu‘ trarre, studiando questi grafici, e che sihanno risultati consistenti con le previsioni che possono essere fatte a partiredalle distribuzioni implementate.Si osservino gli istogrami dei rappori 14/12 e 15/12, che dividono i rapportid/p ottenuti a partire da distribuzioni di Wigner cui e applicato un “peso”diverso. Queste distribuzioni non devono produrre rapporti d/p dipendentidalla centralita ed, infatti, in Figura 2.9 si osservano dei rapporti d/p chenon dipendono dalla centralita che confermano quanto previsto.Ulteriori conferme del fatto che vengono implementati meccanismi per lagenerazione di deutoni per coalescenza che funzionano nel modo aspetta-to si possono trovare osservando l’istogramma che si riferisce al rapporto26/25. In questo caso, facendo riferimento alla Tabella 2.1, ci si aspetta che


(d/p)26/(d/p)25 ∼ 0.5 e questo e proprio quello che troviamo nell’istogramma26/25 in Figura 2.9.Osservando i grafici si puo notare che abbiamo dei rapporti deutoni su pro-toni prossimi ad uno nei casi 17/16 e 28/25. In ognuno dei due casi, facendoriferimento alla Tabella 2.1 delle distribuzioni di probabilita, si nota che ven-gono confrontate tra loro simulazioni relative a distribuzioni di probabilitadello stesso tipo e soprattutto caratterizzate da parametri i cui valori non sidiscostano significativamente. Nel caso 17/16 si tratta di due distribuzioniuniformi in regioni dello spazio delle fasi che presentano lo stesso intervallodi distanze relative e il cui intervallo in impulso differisce di 50 MeV/c; “28”e “25” corrispondono a due distribuzioni di probabilita in un rettangolo dellospazio delle fasi, la cui ampiezza in impulso differisce di 300 MeV/c nei duecasi. Le due distribuzioni sono, pero, pesate con un fattore diverso.Osservando gli istogrammi 17/16, 18/16, 34/31 e 35/31 si puo valutare cosasuccede mantenendo fisso l’intervallo in ∆r e variando quello in ∆p.“17” e “18” sono due distribuzioni uniformi in rettangoli dello spazio dellefasi (∆r, ∆p) caratterizzati dallo stesso intervallo di distanze relative (4 fm≤ ∆r ≤ 6 fm in entrambi i casi) e con diversi intervalli per ∆p. Quelloche si nota confrontando 17/16 e 18/16 e che a “17”, in cui l’intervallo sucui e definito ∆p e caratterizzato da estremi con valori di impulso piu alti,corrisponde un rapporto d/p maggiore rispetto a “18” per ogni centralita.Anche “34” e “35” sono due distribuzioni della stessa forma definite in ret-tangoli dello spazio delle fasi in cui ∆r e definito sullo stesso intervallo edanche in questo caso in Figura 2.9 osserviamo rapporti piu alti nel caso in cuisi usa la distribuzione “34” definita sull’intervallo in cui ∆p assume valoripiu alti.Cio permette di concludere che la coalescenza, quindi il rapporto deutoni suprotoni, e principalmente dipendente dall’ impulso relativo ∆p piuttosto chedai possibili valori di ∆r.

2.2.4 Casi di riferimento

Il rapporto deutoni su protoni risulta circa uguale anche nel caso in cui siconfrontino le distribuzioni “15” e “9” (Tabella 2.1), che sono molto diversefra loro. A “15” corrisponde, infatti, una distribuzione di Wigner, descrittanel Capitolo 1 attraverso l’equazione 1.5. A “9” corrisponde, invece, una dis-tribuzione uniforme in un rettangolo 2.5 fm×25 MeV/c, in cui la probabilitadi formare un deutone per coalescenza e legata alla differenza in impulso ealla distanza relativa fra due nucleoni.Le simulazioni prodotte usando queste due distribuzioni di probabilita costi-tuiranno i due casi di riferimento da confrontare sistematicamente e saranno


studiate piu approfonditamente nel seguito di questa analisi.L’obiettivo di questo studio e il confronto tra un approccio “classico” ed uno“quantistico” per la produzione di deutoni: si vuole capire se l’approccio piusemplice, sia dal punto di vista concettuale che computazionale (distribuzione“9”), conduca a risultati equivalenti, o meno, a quello “quantistico” (dis-tribuzione “15”). Il primo confronto che si puo fare e sul rapporto deutonisu protoni prodotto usando le distribuzioni “9” e “15” (deutoni prodottiper coalescenza) e quello che si ottiene utilizzando solo i deutoni creati dalgeneratore (DeuAMPT).

2.2.5 d/p per i casi di riferimento

Il confronto tra i rapporti d/p per le distribuzioni “9” e “15” e stato giamostrato nel primo riquadro in alto a sinistra in figura 2.9. Il rapporto trai rapporti, in funzione della centralita e ' 1. Nelle Figure 2.10 e 2.11 sonomostrati i rapporti d/p, in funzione della centralita, per le due diverse dis-tribuzioni di probabilita per la coalescenza considerate (“classica” in rosso e“quantistica” in blu).Gli errori sui punti rappresentati sono calcolati attraverso la relazione 2.3.Nei grafici delle figure 2.10 e 2.11 sono inoltre indicati, per le diverse cen-tralita, i valori dei rapporti ottenuti con deutoni prodotti dal generatore(DeuAMPT, in verde in figura). Questi ultimi risultano compatibili entrodue deviazioni standard con ottenuti con la coalescenza.

. centrality bin 4 5

N D

eu/N

Pro

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025DeuCoal, Wigner

DeuCoal, Simple Coal.

DeuAMPT


per le distribuzioni “9” (in rosso) e “15” (in blu)

e prodotti dal generatore AMPT (in verde), per gli intervalli di centralita20-30% (“centrality bin” = 4) e 30-40% (“centrality bin” = 5) .

2.3. VALOR MEDIO DELLO SPETTRO IN IMPULSO TRASVERSO 25

E possibile, quindi, che, per opportuni valori dei parametri checaratterizzano le distribuzioni “9” e “15”, i rapporti deutoni su protoni pos-sano aumentare, migliorando la compatibilita con i rapporti in cui i deutonivengono prodotti dal generatore, usando il modello AMPT, che non contem-pla reazioni di coalescenza. Cio significa che la coalescenza descritta attraver-so i modelli “9” e “15”, se caratterizzata con specifici valori dei parametri,porta a risultati compatibili con quelli ottenuti assumendo che la produzionedei deutoni avvenga secondo il meccanismo di “reazione” (p + n → d + π).

. centrality bin 6 7

N D

eu/N

Pro

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

DeuCoal, Wigner

DeuCoal, Simple Coal.

DeuAMPT


per le distribuzioni “9” (in rosso) e “15” (in blu)

e prodotti dal generatore AMPT (in verde), per gli intervalli di centralita40-50% (“centrality bin” = 6) e 50-60% (“centrality bin” = 7).

Inoltre per tutte le centralita, il valore del rapporto d/p non dipende dalladistribuzione di probabilita, infatti i rapporti ottenuti usando le distribuzioni“9” e “15” sono compatibili entro una deviazione standard.

2.3 Valor medio dello spettro in impulso trasver-

so

2.3.1 Introduzione

In questo paragrafo si cerchera di illustrare alcune caratteristiche della di-namica dell’urto simulato. In particolare, l’attenzione e rivolta al valor mediodello spettro in impulso trasverso < pT > di protoni, neutroni e deutoni.


2.3.2 Risultati


)

c >

(G

eV/

Tp

<

0

0.5

1

1.5

2

2.5PROTON


)

c >

(G

eV/

Tp

<

0

0.5

1

1.5

2

2.5NEUTRON


)

c >

(G

eV/

Tp

<

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5 DeuAMPT


)

c >

(G

eV/

Tp

<

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Simple Coal.

Wigner

DeuCOAL

Figura 2.12: Valor medio dello spettro in impulso trasverso < pT >, infunzione dell’ intervallo di centralita. In alto per protoni e neutroni. Inbasso per deutoni prodotti dal generatore (DeuAMPT) e deutoni prodottiper coalescenza applicando al Monte Carlo distribuzione uniforme (SimpleCoal. nella legenda) e distribuzione di Wigner.

La prima cosa da notare in figura 2.12 e che < pT > ha un andamentodecrescente al diminuire della centralita.Per ogni centralita dell’urto, nel caso di protoni e neutroni, il < pT > e lostesso. Questo e dovuto al fatto che protoni e neutroni hanno una massamolto simile (differenza in massa ∼1 MeV/c2), quindi anche la loro dinamicanell’evoluzione del sistema e molto simile. Per quanto riguarda i deutoniprodotti dal generatore (DeuAMPT) notiamo che l’ impulso tasverso medio< pT > si mantiene sempre di poco inferiore alla somma dei valor medidello spettro in impulso trasverso di neutroni e protoni. Questo puo essereinterpretato considerando che nel modello AMPT vengono creati deutoni(d) attraverso la reazione Barione + Barione → d + π, quindi una partedel impulso trasverso totale iniziale si trasformera in impulso trasverso delmesone prodotto.

2.4. PARAMETRO DI COALESCENZA 27

L’istogramma in basso a destra in figura 2.12 e quello piu rilevante ai finidel nostro studio. Si puo, infatti, vedere che i due istogrammi (relativi alledue distribuzioni di probabilita “9” e “15”) si discostano, in ogni intervallodi centralita, di un valore minore o al massimo uguale (centralita 60-70%) a0.1 GeV/c . Questo risultato rappresenta una nuova conferma del fatto che ilmodello “classico”, per descrivere la produzione di deutoni per coalescenza,e quello “quantistico” producono deutoni con caratteristiche simili.

2.4 Parametro di coalescenza

2.4.1 Stima del B2 a partire dai dati del Monte Carlo

Il parametro piu importante per caratterizzare la coalescenza e il parametrodi coalescenza B2. Dalla relazione 1.4 si puo vedere che questo parametrorappresenta una sfera di raggio p0, detto raggio di coalescenza, nello spaziodei momenti. Se il modulo della differenza in impulso, ∆p, per una coppiadi nucleoni e minore del raggio di questa sfera, allora e possibile che avvengacoalescenza fra i nucleoni.Per calcolare il parametro di coalescenza utilizzando i dati provenienti dallesimulazioni, l’equazione 1.3 del Capitolo 1 e stata riscritta nel modo seguente:(

1

2πpT

dNd

dpT

)= B2

(1

2πpT

dNp

dpT

)2

(2.4)

dove dNd

dpTe dNp

dpTsono rispettivamente le densita di deutoni e protoni in impulso

trasverso (pT ).Questa formulazione permette di utilizzare gli spettri in impulso trasversodi deutoni e protoni ottenuti nelle simulazioni, per le diverse centralita, percalcolare il parametro B2.

2.4.2 Risultati

In figura 2.13 e mostrato il parametro B2 in funzione di pT/A (dove A e ilnumero di nucleoni del deutone), per deutoni prodotti utilizzando il modelloquantistico che descrive la coalescenza (quello chiamato di “Wigner”) perdiversi intervalli di centralita (in colori diversi come mostrato nella legenda).Le diverse serie di punti in figura 2.13, che si riferiscono a centralita diverse,sono tutte compatibili entro due deviazioni standard. Questo significa che ilB2 ottenuto applicando la distribuzione di Wigner, per generare deutoni, alMonte Carlo non dipende dalla centralita della collisione.Cio e consistente con quello che ci si aspetta a partire dalla relazione 1.4. Il


)c/A (GeV/T

p0 0.5 1 1.5 2 2.5

)3 c/2 (

GeV

2B

3−10

2−10

1−10

1 cent. 20-30% , Wigner

cent. 30-40% , Wigner



Figura 2.13: B2 di deutoni prodotti per coalescenza con distribuzione diWigner per diverse centralita (colori diversi per centralita diverse come dalegenda), in funzione di pT/A.

parametro B2 viene calcolato a partire dallo spettro in impulso trasverso deideutoni e se i deutoni vengono prodotti per coalescenza, applicando al MonteCarlo una certa distribuzione di probabilita, la centralita della collisione nonsara un parametro che caratterizza la distribuzione in impulso trasverso deideutoni.In Figura 2.14 il parametro B2 e stato calcolato in funzione di pT/A perdeutoni prodotti usando il modello della coalescenza semplice (Simple Coal.nella legenda) per diverse centralita.


)c/A (GeV/T

p0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

)3 c/2 (

GeV

2B

3−10

2−10

1−10

1 cent. 20-30% , Simple Coal.

cent. 30-40% , Simple Coal.



Figura 2.14: B2 di deutoni prodotti per coalescenza con distribuzione uni-forme (Simple Coal. nella legenda) per diverse centralita (colori diversi percentralita diverse come da legenda), in funzione di pT/A.

Anche in questo caso, quello che si osserva e che il B2 non dipende dallacentralita come gia osservato nel caso di coalescenza ottenuta utilizzando ilmodello di “Wigner” in figura 2.13.Inoltre, in Figura 2.14, osserviamo un andamento abbastanza piatto per ipunti rappresentati a partire da pT/A ∼ 1 GeV/c ed in questo intervallo ilvalore di B2 si mantiene prossimo a ∼ 2 ×10−2 GeV2/c3.


)c/A (GeV/T

p0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

)3 c/2 (

GeV

2B

3−10

2−10

1−10

1

cent. 20-30% , AMPT

cent. 30-40% , AMPT

cent. 40-50% , AMPT

cent. 50-60% , AMPT

Figura 2.15: B2 di deutoni prodotti dal generatore AMPT con meccanismodi “reazione” (p + n → d + π) per diverse centralita (colori diversi percentralita diverse come da legenda), in funzione di pT/A.

In figura 2.15 e rappresentato il B2 in funzione di pT/A, per i deutoniprodotti dal generatore (DeuAMPT).Per ogni intervallo di centralita, i punti hanno un andamento decrescente abasso impulso trasverso, fino a pT/A ∼ 0.7 GeV/c, mentre a valori piu altiil B2 sembra crescente, almeno fino pT/A ∼ 2 GeV/c. I punti mostrano unaconcavita piuttosto marcata, con un minimo per B2 attorno ai ∼ 0.7 GeV/c.E evidente inoltre che, in tutto l’intervallo di pT/A su cui sono definiti i pun-ti, si manifesta una dipendenza di B2 dalla centralita. Soprattutto si notacome i punti che corrispondono alle collisioni piu centrali (20-30%) siano deltutto incompatibili con quelli corrispondenti agli urti piu periferici (50-60%).


Per studiare piu approfonditamente il comportamento di B2 al variaredella centralita, e per dare ulteriore prova del fatto che usare una semplicedistribuzione uniforme o un modello teorico piu complesso porti a risultatiequivalenti, sono stati confrontati nello stesso grafico i valori del parametroB2 in funzione di pT/A per due intervalli di centralita piu ampi (20-40% e40-60%). In questo modo la statistica aumenta e diminuisce l’errore statisti-co sui punti.I risultati sono riportati in Figura 2.16 e 2.17, dove viene mostrato il parametroB2 in funzione di pT/A per deutoni prodotti per “coalescenza semplice” (Sim-ple Coal. nella legenda), “complessa” (modello di Wigner) e per reazione(DeuAMPT), rispettivamente negli intervalli di centralita 20-40% e 40-60%.

)c/A (GeV/T

p0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

)3 c/2 (

GeV

2B

3−10

2−10

1−10

1 DeuCoal, cent. 20-40% , Wigner

DeuCoal, cent. 20-40% , Simple Coal.

DeuAMPT, cent. 20-40%

Figura 2.16: B2 di deutoni prodotti per coalescenza con distribuzione uni-forme (Simple Coal. nella legenda) o di Wigner, e di deutoni prodotti dalgeneratore (DeuAMPT nella legenda) nell’intervallo di centralita 20-40%. Lafigura mostra punti che hanno per ordinata il valore di B2 e per ascissa l’im-pulso trasverso del deutone sul suo numero di nucleoni. In rosso per deutoniprodotti con il modello di “Wigner”, in blu con il modello “classico” e inverde per deutoni prodotti da AMPT.


In figura 2.16 e possibile notare che il parametro di coalescenza B2 edecrescente, in funzione di pT/A, in ognuno dei tre casi, fino a pT/A ∼ 0.5GeV/c. I punti associati ai deutoni prodotti per coalescenza (in magenta edazzurro nel grafico) risultano compatibili entro due deviazioni standard.Nei casi di coalescenza “semplice” (Simple Coal. nella legenda) e “complessa”(Wigner) l’andamento e piatto per pT/A fra 1.2 GeV/c e 2.8 GeV/c. Pervalori superiori il B2 di deutoni prodotti con coalescenza “semplice” tende amantenersi costante su ∼ 2×10−2 GeV2/c3, mentre tende a crescere nel casoin cui si usi la distribuzione di Wigner.Nel caso di deutoni prodotti dal generatore (DeuAMPT nella legenda), siosserva che il B2 in funzione di pT/A aumenta per pT/A ∼ 1 GeV/c.

)c/A (GeV/T

p0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

)3 c/2 (

GeV

2B

3−10

2−10

1−10

1 DeuCoal, cent. 40-60% , Wigner

DeuCoal, cent. 40-60% , Simple Coal.

DeuAMPT, cent. 40-60%

Figura 2.17: B2 di deutoni prodotti per coalescenza con distribuzione uni-forme (Simple Coal. nella legenda) o di Wigner, e di deutoni prodotti dalgeneratore (DeuAMPT nella legenda), nell’intervallo di centralita 40-60%.La figura mostra punti che hanno per ordinata il valore di B2 e per ascis-sa l’ impulso trasverso del deutone sul suo numero di nucleoni. In azzurroper deutoni prodotti con modello di “Wigner”, in magenta con il modello“classico” e in nero per deutoni prodotti da AMPT.

In figura 2.17 viene mostrato il B2, nel caso di collisioni il cui l’ intervallodi centralita e 40-60%. Vediamo come B2 sia decrescente, in ognuno dei tre

2.5. B2 E SPETTRO IN IMPULSO TRASVERSO DEI DEUTONI 33

casi, fino a pT/A ∼ 0.5 GeV/c, mentre poi si mantiene costante (entro glierrori statistici).

2.5 B2 e spettro in impulso trasverso dei deu-

toni

2.5.1 Introduzione

Consideriamo i casi di riferimento, ovvero le simulazioni che utilizzano ledistribuzioni “9” e “15” (della Tabella 2.1). Visto che lo spettro in impulsotrasverso dei protoni non cambia (dato che la simulazione e una sola) allora,in accordo col modello teorico rappresentato dall’equazione 2.4, si ha che:

B2,15

B2,9

=

(dNd,15

dpT

)/

(dNd,9

dpT

)(2.5)

dovedNd,15

dpTe

dNd,9

dpTrappresentano le densita di deutoni in impulso trasverso

prodotti usando, rispettivamente, le distribuzioni “9” e “15”.In questo paragrafo verranno confrontati (per gli intervalli di centralita 20-40% e 40-60%) il rapporto tra gli spettri in impulso trasverso di deutoniprodotti per coalescenza usando le distribuzioni di probabilita “9” e “15”, edil rapporto tra il valore di B2 ottenuto per le stesse due distribuzioni .

2.5.2 Risultati

In Figura 2.18 si puo osservare il rapporto tra gli spettri in impulso trasver-so dei deutoni prodotti utilizzando la coalescenza “semplice” (distribuzione“9”) e il modello “quantistico” di Wigner (distribuzione “15”), per collisioninegli intervalli di centralita 20-40% (a sinistra) e 40-60% (a destra). L’erroresui punti riportati in figura e puramente statistico.


/ ndf 2χ 71.29 / 74

Prob 0.5676

p0 0.0185± 0.9535

) c (GeV/T

p0 1 2 3 4 5

rati

o

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

/ ndf 2χ 71.29 / 74

Prob 0.5676

p0 0.0185± 0.9535

Rapporto spettri 15/9 DeuCoal , cent. 20-40% .

/ ndf 2χ 50.68 / 53

Prob 0.565

p0 0.0370± 0.8611

) c (GeV/T

p0 1 2 3 4 5

rati

o

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3 / ndf 2χ 50.68 / 53

Prob 0.565

p0 0.0370± 0.8611

Rapporto spettri 15/9 DeuCoal , cent. 40-60% .

Figura 2.18: Rapporto fra spettri in impulso trasverso (pT ), per deutoniottenuti per coalescenza con distribuzione di Wigner (“15”) e distribuzioneuniforme (“9”), in diversi intervalli di centralita. A sinistra 20-40% e a destra40-60%. La linea rossa e il risultato di una interpolazione dei punti con unacostante. Nelle legende i parametri dell’interpolazione.

I punti sono stati interpolati con una costante. Dall’interpolazione si puonotare che in entrambi i casi il valore del rapporto e prossimo ad uno in tuttol’intervallo in impulso trasverso su cui sono definiti i punti. Questo risultatoindica che, entro gli errori statistici, gli spettri in impulso trasverso dei deu-toni prodotti per coalescenza con le due diverse distribuzioni di probabilitasono consistenti.

In figura 2.19 e rappresentato il rapporto tra il B2 di deutoni ottenuti con dis-

2.5. B2 E SPETTRO IN IMPULSO TRASVERSO DEI DEUTONI 35

/ ndf 2χ 31.51 / 14

Prob 0.004706

p0 0.0191± 0.9879

)c/A (GeV/T

p1 1.5 2 2.5 3

ratio

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

/ ndf 2χ 31.51 / 14

Prob 0.004706

p0 0.0191± 0.9879

, cent. 20-40% Simple)2B / (

Wigner)2B (

/ ndf 2χ 12.27 / 13

Prob 0.5054

p0 0.044± 1.063

)c/A (GeV/T

p1 1.5 2 2.5 3

ratio

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

/ ndf 2χ 12.27 / 13

Prob 0.5054

p0 0.044± 1.063

, cent. 40-60% Simple)2B / (

Wigner)2B (

Figura 2.19: Rapporto fra istogrammi del B2, di deutoni prodotti per co-alescenza, ottenuti con distribuzione di Wigner (“15”) e distribuzione uni-forme (Simple Coal, “9”). A sinistra simulazione con intervallo di centralita20-40%, a destra 40-60%. In rosso, interpolazione dei punti con una costante.In alto, nella legenda, i parametri dell’ interpolazione.

tribuzione di Wigner (“15”) e distribuzione uniforme (“9”), per collisioni negliintervalli di centralita 20-40% (a sinistra) e 40-60% (a destra). Si vede che,per l’intervallo di centralita 40-60%, i punti hanno un andamento costanteben rappresentato da un’ interpolazione fatta con un polinomio di grado ze-ro. Il valore di questa costante e compatibile (entro tre deviazioni standard)con quello della costante con cui si effettua l’interpolazione dei punti nel-l’intervallo di centralita 40-60% della figura 2.18. Cio conferma la validitadel modello teorico rappresentato dall’equazione 2.5 per le collisioni menocentrali.Per l’intervallo di centralita 20-40% (a sinistra in figura 2.19), si vede che


l’andamento dei punti e riprodotto fedelmente (nei margini d’errore) dall’in-terpolazione con una costante per valori di pT/A tra ∼ 1.2 GeV/c e ∼ 2.1GeV/c. Per valori di pT/A piu alti e piu bassi, possiamo osservare che i puntisi discostano di piu di una deviazione standard dalla costante. Non si trattadi un comportamento sorprendente, in quanto riproduce esattamente cio cheera stato visto in figura 2.16.Al contrario per collisioni con centralita 40-60% i punti hanno un andamentopiatto in tutto l’intervallo in impulso trasverso (pT ).

Capitolo 3

Confronto dei dati sperimentalicon il Monte Carlo

3.1 Introduzione

I dati sperimentali provengono da collisioni Pb-Pb a√sNN = 2.76 TeV e

sono stati raccolti durante la presa dati del 2010. I dettagli sono descrittiin [9, 11].In questo capitolo viene valutato il rapporto deutoni su protoni per le stessecentralita che sono state utilizzate nel Monte Carlo ed i valori sperimentalidel parametro di coalescenza B2, in modo da poter fare un confronto traMonte Carlo e dati estratti da [9, 11].

37

38CAPITOLO 3. CONFRONTODEI DATI SPERIMENTALI CON ILMONTE CARLO

3.2 Rapporto deutoni su protoni dai dati

3.2.1 Stima del numero di protoni e deutoni

Per ottenere il rapporto deutoni su protoni e stato utilizzato lo stesso meto-do descritto nel Capitolo 2. Anche in questo caso il numero di particelle siottiene attraverso l’integrale dello spettro in impulso trasverso.Nelle simulazioni le distribuzioni ottenute, sia per protoni che per deutoni,erano definite in un intervallo di impulso trasverso che partiva da 0 GeV/c.Nella realta sperimentale e pero molto difficile rivelare le particelle al di sottodi un limite minimo di impulso trasverso.Per poter confrontare correttamente i risultati sperimantali con i dati simu-lati, lo spettro e stato prima interpolato con una funzione di tipo Blast-Wave,in modo da conoscerne l’integrale anche nella regione a bassissimo impulso,non misurata.La funzione di Blast-Wave [10] e usata per descrivere il comportamento delleparticelle prodotte in collisioni di ioni pesanti. Questa funzione si basa suun modello idrodinamico e descrive le distibuzioni delle particelle, come sefossero prodotte sulla superficie esterna di una sorgente che si espande.

/ ndf 2χ 21.19 / 38

β 0.140± 0.641

temp 0.0630± 0.2294

n 0.187± 1.065

norm 2442.2± 1555

( GeV/c ) t

p 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

tdp

/ d

N

ev

N / 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

/ ndf 2χ 21.19 / 38

β 0.140± 0.641

temp 0.0630± 0.2294

n 0.187± 1.065

norm 2442.2± 1555

Figura 3.1: Spettro in impulso trasverso di protoni, prodotti in una collisionecon intervallo di centralita 40-60%, interpolato con funzione di tipo Blast-Wave.

3.2. RAPPORTO DEUTONI SU PROTONI DAI DATI 39

Gli errori sui punti in figura 3.1 sono la somma in quadratura di incertezzestatistiche e sistematiche.Il numero di particelle prodotte in seguito alla collisione e stato ottenutofacendo l’integrale degli spettri in impulso trasverso di deutoni [9] e protoni[10].

3.2.2 Risultati

Gli istogrammi in figura 3.2 mostrano il rapporto deutoni su protoni (d/p)in funzione della centralita (da sinistra a destra si va da 0-10% a 70-80%).Vengono confrontati l’istogramma ottenuto usando i dati sperimentali (inrosso), e quelli ottenuti usando nel Monte Carlo la coalescenza “classica” (inverde) e la distribuzione di “Wigner” (in blu).

Gli errori sui rapporti deutoni su protoni sono statistici e si ottengono sfrut-tando l’equazione 2.3. Come incertezza sul numero di particelle e stato usatol’errore sull’integrale dello spettro in impulso trasverso.

centrality bin 0 2 4 6 8 10

(d

/p)

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

Dati

Simple Coal.

Wigner

Rapporto deutoni / protoni

Figura 3.2: Rapporti d/p in funzione del intervallo di centralita. Istogram-mi per i dati reali (in rosso), per deutoni prodotti dal Monte Carlo concoalescenza “classica” (in verde) e con distribuzione di Wigner (in blu).


La prima osservazione da fare sui grafici in figura 3.2 e che l’andamentodei rapporti, ottenuti a partire dai dati sperimentali, e completamente op-posto a quello dei punti provenienti dal Monte Carlo e a quello che intuiti-vamente si puo pensare sul fenomeno della coalescenza.Il rapporto d/p aumenta al diminuire della centralita. Inoltre possiamo no-tare che nessuno dei due modelli usati descrive correttamente la produzionedi deutoni osservata nei dati. Infatti, i punti che si ottengono usando unadistribuzione di Wigner o una uniforme sono incompatibili con quelli speri-mentali e lo sarebbero anche modulando in modo diverso i parametri checaratterizzano le due distribuzioni usate per creare i deutoni nella simu-lazione.

3.3 B2 dai dati sperimentali

In figura 3.3 e mostrato il parametro di coalescenza B2, in funzione di pT/A,valutato a partire dai dati sperimentali [9, 11], per le centralita 0-20% (inverde), 20-40% (in magenta), 40-60% (in blu) e 60-80% (in rosso).

)c/A (GeV/T

p0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

)3 c/2 (

GeV

2B

4−10

3−10

2−10

1−10

1

cent. 0-20% cent. 60-80% cent. 20-40% cent. 40-60%

dai dati2B

Figura 3.3: B2 valutato a partire dai dati sperimentali in funzione di pT/A.In verde valori del parametro per collisione con intervallo di centralita 0-20%,in magenta 20-40%, in blu 40-60% e in rosso 60-80%.

3.3. B2 DAI DATI SPERIMENTALI 41

Quello che si puo affermare, osservando il grafico in figura 3.3, e che il B2

calcolato a partire dai dati reali dipende dalla centralita dell’urto.In tutti i casi si nota inlotre che il valore di B2 e crescente al di sopra di pT/A∼ 2 GeV/c.Nelle figure 3.4 e 3.5 si puo osservare il confronto fra i valori di B2 in funzionedi pT/A ottenuti dai dati sperimentali con quelli provenienti dal Monte Carloimplementando i modelli di coalescenza “classica” (a sinistra) e “quantistica”(a destra), rispettivamente per le centralita 20-40% e 40-60%.

)c/A (GeV/T

p0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

)3 c/2 (

GeV

2B

3−10

2−10

1−10

1 cent. 20-40% , Dati


Simple Coal.2B dati vs 2B

)c/A (GeV/T

p0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

)3 c/2 (

GeV

2B

3−10

2−10

1−10

1 cent. 20-40% , Dati

cent. 20-40% , Wigner.

Wigner 2B dati vs 2B

Figura 3.4: Confronto fra i valori di B2 in funzione di pT/A ottenuti daidati reali (in blu) e da Monte Carlo in cui si usa distribuzione uniforme (inverde), nell’intervallo di centralita 20-40%, a sinistra. A destra confronto frai valori di B2 ottenuti dai dati reali (in blu) e da Monte Carlo in cui si usadistribuzione di Wigner (in verde), nell’intervallo di centralita 20-40%.

Se consideriamo il grafico nella parte sinistra della Figura 3.4, possiamo faresubito delle considerazioni qualitative sui punti rappresentati.Nell’intervallo in cui pT/A va da ∼ 0.4 GeV/c a ∼ 2.2 GeV/c, i punti calcolatia partire dai dati sperimentali (in magenta) hanno un andamento oppostorispetto a quelli provenienti dal Monte Carlo a cui viene applicata la dis-tribuzione “9” che corrisponde alla coalescenza “classica” (in blu). Da pT/A∼ 0.5 GeV/c a ∼ 1 GeV/c i valori di B2, che si riferiscono al Monte Carlo,


tendono a decresecere, mentre, nello stesso intervallo, B2 per i dati reali simantiene (entro gli errori) costante attorno a ∼ 2×10−3 GeV2/c3. Invece,nell’intervallo di pT/A tra ∼ 1 GeV/c e ∼ 2 GeV/c il valore di B2 ottenutonella simulazione si mantiene costante sui ∼ 2×10−2 GeV2/c3 ed il B2 daidati ha un andamento evidentemente crescente. Per i dati sperimentali, in-fatti, si passa da B2 ∼ 2×10−3 GeV2/c3 a B2 ∼ 6×10−2 GeV2/c3.Dal grafico a destra in figura 3.4 si vede che nell’intervallo di pT/A tra ∼ 0.5GeV/c a ∼ 1 GeV/c , ovvero dove il B2 proveniente dai dati sperimentali simantiene costante, il B2 relativo al Monte Carlo quando si usa distribuzionedi “Wigner” (in verde) decresce, fino a raggiungere un minimo a pT/A ∼ 1GeV/c. Da questo valore di pT/A in poi, entrambi i B2 hanno un andamentocrescente, piu accentuato nei punti che fanno riferimento ai dati sperimentali.Inoltre, in entrambi i grafici di figura 3.4 si nota che i valori di B2 di datie Monte Carlo sono incompatibili, fatta eccezione per i valori del parametroottenuti con distribuzione uniforme nell’intorno di pT/A ∼ 2 GeV/c.

)c/A (GeV/T

p0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

)3 c/2 (

GeV

2B

3−10

2−10

1−10

1 cent. 40-60% , Dati.


Simple Coal. 2B dati vs 2B

)c/A (GeV/T

p

0 0.5 1 1.5 2 2.5

)3 c/2 (

GeV

2B

3−10

2−10

1−10

1 cent. 40-60% , Dati.


Wigner2B dati vs 2B

Figura 3.5: Confronto fra i valori di B2 in funzione di pT/A ottenuti dai datireali (in blu) e dal Monte Carlo quando si usa distribuzione uniforme (inverde), nell’intervallo di centralita 40-60%, a sinistra . A destra confrontofra i valori di B2 ottenuti dai dati reali (in blu) e dal Monte Carlo quando siusa distribuzione di “Wigner” (in verde), nell’intervallo di centralita 40-60%.

3.3. B2 DAI DATI SPERIMENTALI 43

Nel grafico a sinistra in figura 3.5 (che fa riferimento all’intervallo di cen-tralita 40-60%) vediamo che, per pT/A tra ∼ 0.6 GeV/c e ∼ 1.5 GeV/c, ivalori di B2 calcolati a partire dai dati sperimentali crescono da B2 ∼ 5×10−3

GeV2/c3 a B2 ∼ 10−2 GeV2/c3, mentre quelli relativi alla distribuzione uni-forme si mantengono (entro gli errori) attorno a B2 ∼ 2×10−3 GeV2/c3.Nel grafico di destra vediamo che, fino a pT/A ∼ 0.8 GeV/c, i punti chefanno riferimento ai dati sperimentali hanno un andamento evidentementecrescente, mentre quelli legati alla simulazione a cui viene applicata la dis-tribuzione di “Wigner” sono decrescenti (si passa da B2 ∼ 9×10−2 GeV2/c3

a B2 ∼ 2×10−3 GeV2/c3).

Dalle figure 3.4 e 3.5 abbiamo conferma del fatto che i deutoni prodottiper coalescenza con i due due modelli descritti nella tesi non riproducono irisultati sperimentali, suggerendo pertanto che il meccanismo di coalescenzanon sembra essere all’origine della formazione dei deutoni prodotti in seguitoal raffreddamento del QGP.


Capitolo 4

Conclusioni

L’obiettivo di questa tesi era lo studio della produzione di nuclei leggeri, nelcaso specifico deutoni, in collisioni ultra relativistiche di ioni pesanti.Tra le diverse teorie sulla produzione di nuclei leggeri in collisioni ultra relati-vistiche, in questa tesi sono stati studiati due approcci diversi: il primo basatosu un meccanismo di “reazione” ed il secondo sul modello della coalescenzadi protoni e neutroni. In particolare lo studio si e focalizzato sul confrontofra due modelli per descrivere la produzione di deutoni per coalescenza: unosemplificato ed uno che tiene conto della funzione d’onda del deutone. Il con-fronto e stato effettuato applicando le distribuzioni di probabilita descritteda questi due modelli ad uno stesso Monte Carlo.Per studiare i due approcci sono stati analizzati in parallelo i risultati checaratterizzano il fenomeno della coalescenza. In primo luogo, a partire daglispettri in impulso trasverso di protoni e deutoni prodotti per coalescenzausando i due modelli, e stato valutato il rapporto d/p in funzione della cen-tralita della collisione. Successivamente l’attenzione e stata rivolta allo stu-dio del parametro di coalescenza B2 in funzione dell’impulso trasverso deideutoni ed infine questi risultati sono stati confrontati tra loro e con quelliprovenienti da collisioni reali Pb-Pb [9,11].Possiamo trarre una conclusione, a partire da quanto visto nei capitoli prece-denti, sui modelli usati per descrivere la produzione di deutoni per coalescen-za.Per quanto e stato illustrato nel Capitolo 2, risulta equivalente usare unadistribuzione uniforme o una distribuzione di “Wigner” per descrivere laprobabilita di formare un deutone per coalescenza a partire da una coppia dinucleoni.Cio significa che un modello semplice, dal punto di vista teorico e com-putazionale, produce risultati analoghi qualitativamente e quantitativamentea quelli di un modello piu complesso. Quantitativamente perche osserviamo

45

46 CAPITOLO 4. CONCLUSIONI

lo stesso rapporto deutoni su protoni, ma anche perche i deutoni, prodottiusando le due diverse distribuzioni, sono caratterizzati, per ogni geometriadell’urto fra nuclei, da impulso trasverso medio uguale.Ed ancora, notiamo analogie quantitative nei valori del parametro di coa-lescenza B2 e qualitative nel suo andamento in funzione dell’impulso trasver-so.Infine, dal Capitolo 3 in cui viene fatto il confronto fra i risultati provenientidal Monte Carlo e dai dati, si puo concludere che i modelli per descrivere laproduzione di deutoni per coalescenza studiati in questa tesi non riescono ariprodurre i risultati sperimentali. Cio suggerisce che il meccanismo di coa-lescenza non sembra essere all’origine della formazione dei deutoni prodottiin seguito al raffreddamento del QGP.

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Universit a degli Studi di Trieste - df.units.it Dattola.pdf · Universit a degli Studi di Trieste ... gran numero di nucleoni partecipanti nella regione di reazione, che presen-