UNIVERSITAT REGENSBURG WS 2010/2011¨ …nan25776/Uebungen...UNIVERSITAT REGENSBURG WS 2010/2011¨ FAKULTAT F¨ UR MATHEMATIK Blatt 2¨ Prof. Dr. N. Naumann Ubungen zur Vorlesung¨,,Lineare

UNIVERSITAT REGENSBURG WS 2010/2011FAKULTAT FUR MATHEMATIK Blatt 1Prof. Dr. N. Naumann

Ubungen zur Vorlesung,,Lineare Algebra I“

Abgabe: Mi, 27.10.2010 bis 11.30 Uhr

Aufgabe 1. Die Mengen A und B seien durch A = {α, β, γ} und B = {a, b, c, d, e}definiert.

(a) Wie viele Abbildungen A −−→ B und wie viele Abbildungen B −−→ A gibt es?

(b) Kann eine Abbildung A −−→ B surjektiv, respektive eine Abbildung B −−→ A

injektiv sein ?

(c) Wie viele injektive Abbildungen A −−→ B und wie viele surjektive Abbildun-gen B −−→ A gibt es?

Aufgabe 2. Es seien X und Y zwei Mengen, und f : X −−→ Y eine Abbildung.Zeigen Sie: f ist genau dann bijektiv, wenn es eine inverse Abbildung zu f gibt,d.h. eine Abbildung g : Y −−→ X, so dass f ◦ g = idY und g ◦ f = idX .

Aufgabe 3.

(a) Sei f : R3 −−→ R gegeben durch: f(x, y, z) = (x − y + 2z)2 + (2x + y + 3z)2 .

Bestimmen Sie die Menge f−1({0}) .

(b) Gibt es eine bijektive Abbildung N −−→ Z? Begrunden Sie Ihre Antwort.

Aufgabe 4. Sei M eine Menge. Die Potenzmenge P(M) von M ist definiert alsdie Menge aller Teilmengen von M :

P(M) = {T∣

∣ T ist Teilmenge von M}.

Geben Sie alle Elemente der folgenden Potenzmengen an und begrunden Sie IhrErgebnis:

(a) P ({1, 2, 3, 4})

(b) P (P ({a, b}))

(c) P (P (P (P (P (∅)))))

1

Zusatzaufgabe. Wie in Aufgabe 4 sei M eine Menge, und P(M) die Potenzmengevon M . Desweiteren schreiben wir

Abb(M, {0, 1}) ={

f∣

∣ f : M −−→ {0, 1} Abbildung}

fur die Menge aller Abbildungen von M in die Menge, die aus den Elementen 0 und1 besteht. Zeigen Sie, dass die Abbildung

Abb(M, {0, 1}) −−→ P(M) : f 7−→ f−1({1})

bijektiv ist.

Wichtige Informationen:

• Die Einteilung in die Ubungsgruppen findet online statt. Hierzu mussen Siesich zunachst auf der Seite

http://www-cgi.uni-regensburg.de/Fakultaeten

/nat Fak I/waldorf/linalgebra

unter dem Menupunkt ,,Login“ mit Ihrer Kennung (z.B. abc12345) und IhremRZ-Passwort anmelden. Dort finden Sie eine Auflistung der Ubungsgruppen.Von Donnerstag, 21.10., 19.00 Uhr bis Dienstag, 26.10., 21.00 Uhr

konnen Sie sich in einer der Gruppen eintragen. Es gilt das Prinzip: Wer zuerstkommt, mahlt zuerst. Sollte allerdings jemand mit seinem Termin unzufriedensein, oder sich im Nachhinein herausstellen, dass jemand doch zu dem bereitsgewahlten Termin keine Zeit hat, so gibt es online auch eine Tauschborse.

• Wochentlich ist ein Ubungsblatt zu bearbeiten, das ebenfalls auf obiger Seitejeden Mittwoch um 11.30 Uhr online gestellt wird, und das Sie innerhalb einerWoche bearbeiten sollen. Auf jedem Blatt befinden sich 4 Aufgaben und eineZusatzaufgabe, die fakultativ bearbeitet werden kann, und auf die es zusatz-liche Punkte gibt. Sie durfen auch zu zweit abgeben unter der Voraussetzung,dass beide zur selben Ubungsgruppe gehoren. Bitte geben Sie Ihren Zettel,deutlich lesbar mit Ihrem Namen und dem Namen Ihres Ubungsleiters verse-hen, punktlich in dem dafur vorgesehenen Briefkasten ab (1. Stock). Zu spateingeworfene Aufgaben mussen vom Ubungsleiter nicht mehr berucksichtigtwerden!

• In den Zentralubungen am Mittwoch werden Fragen zur Vorlesung beantwor-tet und sogenannte Miniklausuren geschrieben. Die Teilnahme an den Mini-klausuren ist freiwillig. Sie haben 20 Minuten Zeit, um wenige kurze Aufgabenzum aktuellen Stoff der Vorlesungen zu bearbeiten, welche dann in Ubungs-gruppen unterteilt abgegeben werden und von den Ubungsleitern korrigiertwerden. Hierauf werden allerdings keine Noten vergeben, sondern wie bei denUbungsaufgaben jeweils bis zu vier Punkte verteilt.

• Der Termin der Modulteilprufung ist Dienstag, den 22.02.2011. Sie konnenan der Modulteilprufung teilnehmen, wenn Sie 50 Prozent der Punkte aus denUbungsaufgaben erreicht haben. (Hierbei zahlen die in den Miniklausuren undder wochentlichen Zusatzaufgabe erzielten Punkte als Bonuspunkte, d.h. eskonnen maximal 150 Prozent der gewerteten Punkte erreicht werden.)

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Abgabe: Mi, 03.11.2010 bis 11.30 Uhr im Briefkasten im 1. Stock

Aufgabe 1. Es sei G eine Gruppe und U ⊆ G eine nichtleere Teilmenge. ZeigenSie, dass U genau dann eine Untergruppe ist, wenn fur alle a, b ∈ U auch ab−1 ∈ U

gilt.

Aufgabe 2. Seien G und H Gruppen, und es bezeichne: ϕ die Multiplikation vonG, ψ die Multiplikation von H, e das neutrale Element von G und i das neutraleElement von H. Eine Abbildung f : G −−→ H heißt Gruppenhomomorphismus, falls

f(ϕ(a, b)) = ψ(f(a), f(b))

gilt fur alle a, b ∈ G. Zeigen Sie, dass fur einen Gruppenhomomorphismus f gilt:

a) f(e) = i.

b) f(a−1) = f(a)−1 fur alle a ∈ G.

c) f ist genau dann injektiv, wenn f−1({i}) = {e} gilt.

Aufgabe 3. Wir betrachten die Menge X = {1, 2, 3}.

a) Wie viele Elemente hat die Permutationsgruppe Σ(X) ?

b) Finden Sie jeweils eine Untergruppe mit zwei bzw. drei Elementen.

Aufgabe 4. Betrachten Sie die Abbildung

ψ : Z≥0 −−→ P(Z) : m 7−→ {mx | x ∈ Z},

wobei Z≥0 die Menge der nicht-negativen ganzen Zahlen bezeichnet. Zeigen Sie:

(a) ψ ist injektiv. Betrachten Sie dazu in ψ(m) das kleinste, positive Element.

(b) Fur jedes m ∈ Z≥0 ist ψ(m) eine Untergruppe von Z.

(c) Fur jede Untergruppe U von Z gibt es ein m ∈ Z≥0 so dass U = ψ(m).

Zusammengefasst bedeuten (a), (b) und (c), dass ψ eine bijektive Abbildung zwi-schen Z≥0 und der Menge der Untergruppen von Z definiert.

Zusatzaufgabe. Es seien X und Y Mengen, und f : X −−→ Y sei eine bijketiveAbbildung. Zeigen Sie, dass die Abbildung

Σ(X) −−→ Σ(Y ) : σ 7−→ f ◦ σ ◦ f−1

ein bijektiver Gruppenhomomorphismus (siehe Aufgabe 2) ist.

Hinweis: betrachten Sie die Abbildung Σ(Y ) −−→ Σ(X) : τ 7−→ f−1 ◦ τ ◦ f undbenutzen Sie Aufgabe 2 vom Blatt 1.

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Aufgabe Miniklausur Zusatzaufgabe

UNIVERSITAT REGENSBURG WS 2010/2011FAKULTAT FUR MATHEMATIK Blatt 3Prof.Dr. N.Naumann

Ubungen zur Vorlesung”Lineare Algebra I”

Abgabe: Mi, 10.11.2010 bis 11.30 Uhr

Aufgabe 1. Betrachten Sie die Menge K = {0, 1, 2}, und darauf zwei Verknupfun-gen + und · , die durch die folgenden Tabellen gegeben sind:

+ 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1

· 0 1 20 0 0 01 0 1 22 0 2 1

So ist zum Beispiel 2 + 1 = 0 und 2 · 2 = 1.

(a) Weisen Sie nach, dass K mit diesen Verknupfungen und den neutralen Ele-menten 0 und 1 ein Korper ist.

(b) Finden Sie jeweils alle Losungen X ∈ K der Gleichungen

X2 + X + 1 = 0 und X2 + 1 = 0.

Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass fur n ∈ N und 0 ≤ i ≤ n der Binomialkoeffizient(

n

i

)

die Anzahl der i-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge angibt:

(

n

i

)

= |{X | X ⊆ {1, . . . , n}; |X| = i}|

Hinweis: verwenden Sie Vollstandige Induktion uber n, indem Sie im Induktions-schritt die k-elementigen Teilmengen X mit Hilfe der Fallunterscheidung n+1 ∈ Xoder n + 1 /∈ X zahlen.

Aufgabe 3. Es sei n ∈ N eine naturliche Zahl, und M eine Menge mit n Elementen.

(a) Zeigen Sie ohne Verwendung von Aufgabe 2, dass gilt:

|P(M)| = 2n

Hinweis: Benutzen Sie die Aussage der Zusatzaufgabe auf Blatt 1!

2

(b) Die Potenzmenge P(M) von M lasst sich wie folgt in eine Vereinigung vonMengen zerlegen: Bezeichnet fur 0 ≤ i ≤ n Pi(M) die Menge aller Teilmengenvon M mit i Elementen, also

Pi(M) = {X | X ⊆ M ; |X| = i},

so gilt:

P(M) =⋃

i∈{0,...,n}

Pi(M)

und je zwei dieser Mengen Pi(M),Pj(M) (i, j = 0, . . . n, i 6= j) haben leerenDurchschnitt.Zeigen Sie mit Hilfe dieser Tatsache die folgende Aussage von Korollar 3.15nochmal auf andere Weise als in der Vorlesung:Fur n ≥ 0 gilt fur die Summe der Zahlen in der n-ten Zeile des PascalschenDreiecks:

n∑

i=0

(

n

i

)

= 2n.

Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 2 und Aufgabe 3a)!

Aufgabe 4. Fur eine komplexe Zahl z = (a, b) ∈ C wird z := (a,−b) ∈ C alsdie komplex konjugierte Zahl bezeichnet. Beweisen Sie die folgenden Regeln furz1, z2 ∈ C:

(a) z1 + z2 = z1 + z2.

(b) z1 · z2 = z1 · z2.

(c) z · z = a2 + b2, falls z = (a, b).

Zusatzaufgabe. Zeigen Sie, dass

Q(i) := {a + b · i | a, b ∈ Q}

ein Teilkorper der komplexen Zahlen C ist. Zeigen Sie dann, dass Q(i) der kleinsteTeilkorper von C ist, der i enthalt.

Hinweis: Nehmen Sie dazu an, L sei ein Teilkorper von C, und i ∈ L. Beweisen Siedann, dass die Beziehung Q(i) ⊆ L gilt.

3




Aufgabe 1. Sei K ein Korper. Beweisen Sie fur die in der Vorlesung eingefuhrteSchreibweise na fur n ∈ Z und a ∈ K (Definition 3.13) die folgenden Regeln fur allen,m ∈ Z und a ∈ K:

(a) (n + m)a = na + ma

(b) n(m(a)) = (nm)a

Aufgabe 2. Seien p eine Primzahl, und K ein Korper in dem p·1 = 0 gilt. BeweisenSie das Korollar 3.16 aus der Vorlesung: fur alle a, b ∈ K gilt

(a + b)p = ap + bp.

Hinweis: benutzen Sie die Binomische Formel (Satz 3.14).

Aufgabe 3. Seien X eine Menge, K ein Korper und V ein K-Vektorraum mit einerAddition + und einer Skalarmultiplikation · . Auf der Menge

Abb(X,V ) := {f | f : X −−→ V Abbildung }

wird fur f, g ∈ Abb(X,V ) eine Addition f + g definiert durch

(f + g)(x) := f(x) + g(x) fur alle x ∈ X,

und es wird fur a ∈ K und f ∈ Abb(X,V ) eine Skalarmultiplikation a · f definiertdurch

(a · f)(x) := a · f(x) fur alle x ∈ X.

Zeigen Sie, dass Abb(X,V ) mit diesen Verknupfungen ein K-Vektorraum ist.

Aufgabe 4. Es sei X eine Menge, und x ∈ X ein Element. Prufen Sie, ob die folgen-den Teilmengen des R-Vektorraumes Abb(X, R) von Aufgabe 3 Untervektorraumesind:

(a) {f ∈ Abb(X, R) | f(x) = 0 }.

(b) {f ∈ Abb(X, R) | f(x) = 1 }.

Zusatzaufgabe. Seien X eine Menge, K ein Korper und Abb(X,K) der K-Vek-torraum aus Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass

{f ∈ Abb(X,K) | es gilt f(x) 6= 0 nur fur endlich viele x ∈ X} ⊆ Abb(X,K)

ein Untervektorraum ist.




Aufgabe 1. Fur welches a ∈ Q ist die Familie der Vektoren

v1 = (1, 1, a)

v2 = (2, 0, 3)

v3 = (0, 3, 1)

linear unabhangig im Q-Vektorraum Q3?

Aufgabe 2. Sei K ein Korper, V ein K-Vektorraum, und n ≥ 1. Ferner sei{v1, v2, . . . , vn} eine linear unabhangige Familie von Vektoren in V . Beweisen Sie,dass die Familie

{v1, v2, . . . , vn, v1 + v2 + ... + vn}

linear abhangig ist, aber je n dieser Vektoren linear unabhangig sind.

Aufgabe 3. Sei K ein Korper und n ≥ 1. Zeigen Sie, dass die Familie {e1, e2, ..., en}der Standardbasisvektoren eine Basis von Kn ist.

Aufgabe 4. Die aus der Schule bekannten Abbildungen

sin : R −−→ R und cos : R −−→ R

sind Elemente des R-Vektorraumes Abb(R, R).

(a) Zeigen Sie, dass die Familie {idR, cos, sin} linear unabhangig ist.

Hinweis: werten Sie die Abbildungen an geeigneten Stellen aus.

(b) Entscheiden Sie mit Beweis, ob auch die Familie{

idR, cos, sin, cos2, sin2}

linearunabhangig ist.

Zusatzaufgabe. Betrachten Sie den R-Vektorraum C. Fur welche z ∈ C ist dieFamilie

{

z, z2}

linear unabhangig?




Aufgabe 1. Gegeben seien die folgenden Teilmengen des R-Vektorraumes R4:

U = {(0, 0, t, t2) ∈ R4 | t ∈ R}; V = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R

4 | x3 = −x1}

(a) Zeigen Sie, dass U kein Untervektorraum von R4 ist.

(b) Zeigen Sie, dass V ein 3-dimensionaler Untervektorraum von R4 ist, und geben

Sie (mit Beweis) eine Basis von V an.

(c) Erganzen Sie Ihre Basis aus (b) zu einer Basis von R4.

Aufgabe 2. Es sei K ein Korper, l,m, n ∈ N mit l,m, n ≥ 1, sowie v1, . . . , vl ∈ Km

und w1, . . . , wl ∈ Kn. Fur i = 1, . . . , l sei der Vektor ui ∈ Km+n definiert alsui = (vi, wi), mit anderen Worten also der Vektor, der zunachst die Eintrage von vi

und dann die Eintrage von wi enthalt. Beweisen oder widerlegen Sie die folgendenAussagen:

a) Ist die Familie von Vektoren {v1, . . . , vl} linear abhangig, so gilt dies auch furdie Familie von Vektoren {u1, . . . , ul}.

b) Ist die Familie von Vektoren {v1, . . . , vl} linear unabhangig, so gilt dies auchfur die Familie von Vektoren {u1, . . . , ul}.

Aufgabe 3. Es sei K ein Korper.

(a) Vervollstandigen Sie den Beweis von Lemma 5.16 aus der Vorlesung. NehmenSie dazu an, dass v1, v2, v3, ... eine Folge von Vektoren aus einem K-VektorraumV ist, und dass fur jedes n ∈ N die Familie {v1, ..., vn} linear unabhangig ist.Beweisen Sie dann, dass V nicht endlich erzeugt ist, d.h. dimK(V ) = ∞.

(b) Beweisen Sie, dass der K-Vektorraum Abb(N,K) von Abbildungen f : N −−→ K

nicht endlich erzeugt ist.

Hinweis: verwenden Sie (a).

Aufgabe 4. Es sei K ein Korper, V ein K-Vektorraum und U ein K-Untervektorraum von V . Zeigen Sie:

(a) dimK(U) ≤ dimK(V ).

Hinweis: Begrunden Sie, warum eine Familie linear unabhangiger Vekto-ren in U ⊆ V auch linear unabhangig in V ist und verwenden Sie denBasiserganzungssatz. Betrachten Sie außerdem gesondert den Fall, dass V

unendlich-dimensional ist, und benutzen Sie dazu die Konvention n ≤ ∞ furalle n ∈ N.

(b) Ist V endlich erzeugt, so ist genau dann dimK(U) = dimK(V ), wenn U = V .

Zusatzaufgabe. Es sei K Teilkorper eines Korpers L, und V ein L-Vektorraummit Addition + und Skalarmultiplikation ·L : L × V −−→ V .

(a) Schrankt man die Skalarmultiplikation ·L auf K ⊆ L ein, so erhalt man eineSkalarmultiplikation auf V mit Elementen aus K:

·K : K × V −−→ V

(k, v) 7−→ k ·L v

Zeigen Sie, dass V mit der Addition + und der Skalarmultiplikation ·K einK-Vektorraum ist.

(b) Nach Beispiel 4.2 aus der Vorlesung ist L ein K-Vektorraum, und wir nehmennun an, dass er als solcher ein endliches Erzeugendensystem {l1, . . . , lm} mitli ∈ L hat. Desweiteren habe auch der L-Vektorraum V ein endliches Erzeu-gendensystem {v1, . . . , vn} mit vi ∈ V . Zeigen Sie, dass die Familie

{li ·L vj | i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . n}

ein Erzeugendensystem des K-Vektorraumes V ist.




Aufgabe 1. Es seien im R5 folgende vier Vektoren gegeben:

v1 = (1, 0, 1, 0, 1), v2 = (1, 1, 0, 1, 1), v3 = (0, 1, 0, 1, 0), v4 = (0, 1, 1, 1, 0).

Bestimmen Sie mit Hilfe von Satz 6.7 der Vorlesung eine Basis des von v1, v2, v3, v4

erzeugten R-Untervektorraums 〈{v1, v2, v3, v4}〉 von R5!

Aufgabe 2. Es seien a, b, c ∈ R drei reelle Zahlen. In R4 seien vier Vektorengegeben:

v1 = (1, c, a, 1), v2 = (2, 1, 1, 2), v3 = (1,1

2,1

2, 2b), v4 = (2, 1, 1, 3).

Bestimmen Sie mit Hilfe von Satz 6.7 der Vorlesung die Dimension des von der Fami-lie {v1, v2, v3, v4} erzeugten R−Untervektorraums 〈{v1, v2, v3, v4}〉 in Abhangigkeitder Parameter a, b, c ∈ R.

Aufgabe 3. Seien n,m ∈ N, K ein Korper, V ein endlich erzeugter K-Vektorraumund U und W K-Untervektorraume von V , so dass V = U ⊕ W gilt. Desweiterensei {u1, . . . , um} eine Familie von Vektoren in U und {w1, . . . , wn} eine Familie vonVektoren in W . Zeigen Sie:

(i) {u1, . . . , um} ist ein Erzeugendensystem von U und {w1, . . . , wn} ein Erzeu-gendensystem von W genau dann, wenn {u1, . . . , um, w1, . . . , wn} ein Erzeu-gendensystem von V ist.(3 Punkte)

(ii) {u1, . . . , um} ist linear unabhangig in U und {w1, . . . , wn} linear unabhangigin W genau dann, wenn {u1, . . . , um, w1, . . . , wn} linear unabhangig in V ist.(3 Punkte)

(Insbesondere heißt dies: {u1, . . . , um} ist eine Basis von U und {w1, . . . , wn}eine Basis von W genau dann, wenn die Vereinigung der beiden Familien{u1, . . . , um, w1, . . . , wn} eine Basis von V ist.)

Hinweis: Verwenden Sie, dass laut Voraussetzung gilt: U ∩W = {0}. Hat man danneine Gleichung u = w mit u ∈ U,w ∈ W , so muss deswegen gelten:u = w ∈ U ∩ W = {0}, also u = w = 0.

Aufgabe 4. Es sei K ein Korper, V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, undU,U ′ ⊆ V zwei K-Untervektorraume. Zeigen Sie, dass dann folgende Gleichunggilt:

dimK U + dimK U ′ = dimK(U + U ′) + dimK(U ∩ U ′) .

Hinweis:Nach Satz 7.5 der Vorlesung existiert ein Komplement W von U ∩ U ′ in U (d.h.U = W ⊕ (U ∩ U ′)) sowie ein Komplement W ′ von U ∩ U ′ in U ′ (d.h. U ′ =W ′ ⊕ (U ∩ U ′)). Folgern Sie, dass dann U + U ′ = U ∩ U ′ + W + W ′ gilt, undzeigen Sie, dass die rechte Seite dieser Gleichung schon eine direkte Summe ist, alsoU + U ′ = U ∩ U ′ ⊕ W ⊕ W ′, indem Sie ahnlich argumentieren wie in Aufgabe 3oder dem Beweis von Satz 7.2. Verwenden Sie dann die Dimensionsgleichung ausSatz 7.5, um die gewunschte Formel herzuleiten.

Zusatzaufgabe. Es sei K ein Korper. Wir betrachten den zweidimensionalen K-Vektorraum K2. Zeigen Sie:

(i) Zu jedem K-Untervektorraum U ( K2 von K2 gibt es ein x = (x1, x2) ∈ K2

mit U = K · x = 〈{x}〉.

(ii) Fur x, y ∈ K2 gilt:〈{x}〉 = 〈{y}〉 ⇔ ∃λ ∈ K∗ mit x = λy.

(iii) Es bezeichne F3 den Korper mit drei Elementen, der auf Blatt 3, Aufgabe1 eingefuhrt wurde. Bestimmen Sie mit Hilfe von (i) und (ii) alle Untervek-torraume des zweidimensionalen F3-Vektorraums (F3)

2.




Aufgabe 1. Welche der folgenden Abbildungen f : R4 −−→ R4 sind R-linear? Be-

stimmen Sie in diesem Fall jeweils eine Basis von ker(f).

(i) (x1, x2, x3, x4) 7−→ (x1, x1 ∙ x2, 3x3, x4 − x1) (2 Punkte)

(ii) (x1, x2, x3, x4) 7−→ (x1 + x3, x2, 0, 2x4) (2 Punkte)

(iii) (x1, x2, x3, x4) 7−→ (x2

1, x2 + x1, x3, 4x4) (2 Punkte)

Aufgabe 2. Gegeben sei die Abbildung

f : R2 −−→ R

2

(x1, x2) 7−→ (2x1 + 3x2, 4x1 + x2)

(a) Zeigen Sie, dass f R-linear ist. (1 Punkt)

(b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix von f bezuglich der Basen {e1, e2} und{e1, e2}, wobei e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) die Standardbasisvektoren sind.

(1 Punkt)

(c) Zeigen Sie, dass B = {(1, 2), (3, 1)} eine Basis von R2 ist, und bestimmen Siedie darstellende Matrix von f bezuglich der Basen {e1, e2} und B. (2 Punkte)

(d) Zeigen Sie, dass B = {(1, 1), (1, 0)} und C = {(1, 1), (2, 1)} Basen von R2 sind,und bestimmen Sie die darstellende Matrix von f bezuglich der Basen B undC. (2 Punkte)

Aufgabe 3. Es seien K ein Korper, V und W K-Vektorraume, {v1, . . . , vn} eineFamilie von Vektoren in V , und f : V −−→ W eine K-lineare Abbildung. Zeigen Sie:

(a) Ist {v1, ..., vn} linear unabhangig und f ein Monomorphismus, so ist die Familie{f(v1), . . . , f (vn)} von Vektoren in W linear unabhangig. (2 Punkte)

(b) Ist {v1, ..., vn} ein Erzeugendensystem von V und f ein Epimorphismus, so istdie Familie {f(v1), . . . , f (vn)} ein Erzeugendensystem von W . (2 Punkte)

(c) Zeigen Sie durch jeweils ein Beispiel, dass fur die Aussagen (a) und (b) auf,,Mono“ bzw. ,,Epi“ nicht verzichtet werden kann. (2 Punkte)

Aufgabe 4. Seien K ein Korper, V ein K-Vektorraum und f ∈ HomK(V, V ) mitf ◦ f = f . Zeigen Sie:

V = ker(f) ⊕ im(f).

Zusatzaufgabe. Es seien K ein Korper, V ein K-Vektorraum, r ≥ 1 und U1, ..., Ur

eine Familie von K-Untervektorraumen von V . Wir werden im folgenden die Ui

sowohl als Untervektorraume von V auffassen (und dann ihre Summe betrachten),als auch als einzelne K-Vektorraume (und dann ihr Produkt betrachten).

(a) Beweisen Sie, dass die Abbildung

f :

r∏

i=1

Ui −−→

r∑

i=1

Ui : (v1, ..., vr) 7−→

r∑

i=1

vi

ein Epimorphismus ist, d.h. K-linear und surjektiv. (3 Punkte)

(b) Zeigen Sie, dass f genau dann ein Isomorphismus ist, wenn die Summe

r∑

i=1

Ui ⊆ V

eine direkte Summe ist. (3 Punkte)

Man kann also uber die Abbildung f direkte Summmen und Produkte von Unter-vektorraumen identifizieren.




Aufgabe 1. Es seien die folgenden beiden Matrizen gegeben:

A =

2 0−1 10 3

∈ M(3,2)(R) B =

(

1 10 1

)

∈ M(2,2)(R).

(a) Berechnen Sie die Matrixprodukte AB, ABt, BAt und B2. (2 Punkte)

(b) Beweisen Sie fur alle n ∈ Z die Identitat

Bn =

(

1 n

0 1

)

. (2 Punkte)

Hinweis: vollstandige Induktion.

(c) Beweisen Sie fur alle n, k ∈ N, X ∈ M(n,n)(K) und A ∈ Gln(K) die Identitat

(AXA−1)k = AXkA−1. (2 Punkte)

Aufgabe 2. Finden Sie jeweils Matrizen A,B ∈ M(2,2)(Q) mit:

(a) AB 6= BA.

(b) (A + B)2 6= A2 + 2AB + B2.

(c) A,B 6= 0 aber AB = 0.

Aufgabe 3. Es sei f : M(2,2)(R) −−→ M(2,2)(R) die durch

f(X) := AX − XA mit A :=( 0 1

1 0

)

gegebene Abbildung.

(a) Zeigen Sie, dass f R-linear ist. (1 Punkt)

(b) Zeigen Sie, dass die Familie {E1, E2, E3, E4} mit

E1 :=( 1 0

0 0

)

E2 :=( 0 1

0 0

)

E3 :=( 0 0

1 0

)

E4 :=( 0 0

0 1

)

eine Basis von M(2,2)(R) ist. (2 Punkte)

(c) Bestimmen Sie die darstellende Matrix Φ(f) von f bezuglich der Basis{E1, E2, E3, E4}. (3 Punkte)

Aufgabe 4. Es seien K ein Korper, {Vi}i∈I eine Familie von K-Vektorraumen Vi,und

V :=∏

i∈I

Vi

deren Produktvektorraum. Wir bezeichnen die kanonischen Projektionen fur allek ∈ I mit

πk : V −−→ Vk : (vi)i∈I 7−→ vk.

Weisen Sie die folgende universelle Eigenschaft des Produktvektorraumes nach: Zei-gen Sie, dass es zu jedem K-Vektorraum W und zu jeder Familie {fi}i∈I von K-linearen Abbildungen fi : W −−→ Vi genau eine K-lineare Abbildung f : W −−→ V

gibt mitπi ◦ f = fi

fue alle i ∈ I.

Zusatzaufgabe. Es sei p eine Primzahl und Fp ein Korper mit p Elementen. Wirwerden spater sehen, dass solche Korper existieren.

(a) Zeigen Sie, dass die Anzahl der (n, n)-Matrizen mit Koeffizienten in Fp durch

|M(n,n)(Fp)| = p(n2)

gegeben ist. (1 Punkt)

(b) Beweisen Sie, dass die Anzahl der invertierbaren (n, n)-Matrizen mit Koeffizi-enten in Fp durch

|Gln(Fp)| =

n−1∏

k=0

(pn − pk)

gegeben ist. (3 Punkte)

Hinweis: Zeigen Sie zunachst allgemein, dass eine Matrix A ∈ M(n,n)(K) genaudann invertierbar ist, wenn ihre Spalten eine linear unabhangige Familie von n

Vektoren in Kn bilden. Beweisen Sie dann vermittels vollstandiger Induktionuber m, dass die Anzahl der linear unabhangigen Familien von m Vektoren inFn

p durchm−1∏

k=0

(pn − pk)

gegeben ist.

(c) Wieviel Prozent der (5, 5)-Matrizen mit Koeffizienten in F7 sind invertierbar?(1 Punkt)

(d) Zeigen Sie fur ein fixiertes n ∈ N, dass der Anteil der invertierbaren (n, n)-Matrizen unter allen (n, n)-Matrizen (jeweils mit Koeffizienten in Fp) fur

p −−→ ∞

gegen eins konvergiert. (1 Punkt)

Hinweis: Sie durfen Resultate Ihrer Analysis-Vorlesung verwenden.




Aufgabe 1. Beweisen Sie die folgenden Aussagen uber Matrizen mit Koeffizientenin einem Korper K fur beliebige ℓ,m, n ∈ N:

(a) (A + B)t = At + Bt fur alle A,B ∈ M(m,n)(K).

(b) (a ∙ A)t = a ∙ At fur alle a ∈ K und A ∈ M(m,n)(K).

(c) (At)t = A fur alle A ∈ M(m,n)(K).

(d) rgz(A) = rgs(At) and rgs(A) = rgz(A

t) fur alle A ∈ M(m,n)(K).

(e) (A ∙ B)t = Bt ∙ At fur alle A ∈ M(ℓ,m)(K) und B ∈ M(m,n)(K).

(f) At ∈ Gln(K) und (At)−1 = (A−1)t fur alle A ∈ Gln(K) .

Aufgabe 2. Bestimmen Sie das Vorzeichen der folgenden Permutationen:

τ =

(

1 2 3 4 5 65 6 4 3 1 2

)

∈ S6 und σ =

(

1 2 3 4 5 6 73 4 2 7 5 1 6

)

∈ S7.

Aufgabe 3. Seien K ein Korper, V ein K-Vektorraum und U1, U2 K-Untervektor-raume von V . Zeigen Sie, dass folgende Aussagen aquivalent sind:

1. Die Vereinigung U1 ∪ U2 ist ein K-Untervektorraum von V .

2. Es gilt U1 ⊆ U2 oder U2 ⊆ U1.

3. Es gilt U1 ∪ U2 = U1 + U2.

Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass fur alle n ∈ N und A,B ∈ M(n,n)(K) gilt:

A ∙ B = En ⇒ B ∙ A = En.

Zusatzaufgabe. Finden Sie den Fehler im ,,Beweis“ der folgenden Behauptung:

(∗) Jeder Student der LinAlg-Vorlesung bekommt ein Weihnachtsgeschenk.

Wir beweisen zunachst die folgende Aussage A(n) fur 1 ≤ n ∈ N: Wenn in einerFamilie F von n Menschen ein Mensch existiert, der ein Geschenk bekommt, sobekommen alle Menschen in der Familie F ein Geschenk.

Der Beweis der Aussage A(n) wird mit vollstandiger Induktion gefuhrt.

Induktionsanfang (n = 1): Falls in einer nur aus einem Menschen bestehenden Fa-milie ein Mensch ein Geschenk bekommt, so bekommen offensichtlich alle Menschender Familie ein Geschenk; dies ist genau die Aussage A(1).

Induktionsschritt (n 7−→ n + 1): Es gelte die Aussage A(n). Nun sei F eine Familievon n + 1 Menschen,

F = {m1, ...,mn+1} ,

und es existiere ein i0 ∈ {1, ..., n + 1}, so dass der Mensch mi0 ein Geschenk be-kommt. Sei i ∈ {1, ..., n + 1}. Durch Entfernen eines Menschen mit Index j, wobeij 6= i, i0 gewahlt sei, erhalt man eine Familie F ′ mit n Menschen, die mi0 und mi

enthalt. Dann folgt durch Anwendung von A(n) auf die Familie F ′, dass mi einGeschenk bekommt. Da i beliebig gewahlt war, bekommen also alle Menschen derFamilie F ein Geschenk. Damit ist A(n + 1) gezeigt.

Die Behauptung (∗) wird nun wie folgt bewiesen: Sandra und Konrad schenken sichgegenseitig etwas, also existieren in der Familie FUR aller Studenten und Mitarbeiterder Universitat Regensburg Menschen, die ein Geschenk bekommen. Demnach folgtmit A(n), wobei n die Anzahl der Menschen in FUR bezeichnet, dass alle Menschender Familie FUR ein Geschenk bekommen, insbesondere also auch alle Studentender LinAlg-Vorlesung. �

Wir wunschen euch allen Frohe Weihnachten!




Aufgabe 1.

(a) Beweisen Sie die Formel fur die Determinante einer allgemeinen 3 × 3-Matrixaus 13.5, ii) der Vorlesung durch Entwicklung nach der zweiten Zeile, d.h. durchAnwendung von 14.5, ii) im Fall i = 2, n = 3. (3 Punkte)

(b) Bestimmen Sie (falls Sie mochten unter Benutzung von (a)) die Determinantenfolgender Matrizen: (3 Punkte)

(

1 23 4

)

1 0 21 1 11 2 3

2 1 1 21 2 1 01 2 2 12 1 2 3

Aufgabe 2.

(a) Finden Sie Matrizen A1, B1, A2, B2 ∈ M(2,2)(R) mit det(A1) = det(B1) unddet(A2) = det(B2), aber det(A1 + A2) 6= det(B1 + B2). (3 Punkte)

(b) Seien K ein Korper und seien

v1 =

(

a

c

)

, v2 =

(

b

d

)

∈ K2

gegeben. Zeigen Sie die Aquivalenz der beiden folgenden Aussagen:

(i)

{(

x

y

)

∈ K2 | x · v1 + y · v2 = 0

}

6= {(0, 0)}.

(ii) ad − bc = 0. (3 Punkte)

Aufgabe 3. Es seien K ein Korper und A = (aij)1≤i,j≤n ∈ M(n,n)(K) eine obereDreiecksmatrix. Beweisen Sie:

det(A) =n

∏

i=1

aii.

Aufgabe 4. Es sei U := {A ∈ M(2,2)(R) | A = At} die Menge der symmetrischen

(2, 2)-Matrizen mit Koeffizienten in R.

(a) Zeigen Sie, dass U ein R-Untervektorraum von M(2,2)(R) ist. (1 Punkt)

(b) Es seien

x1 =

(

1 00 1

)

, x2 =

(

−1 00 0

)

, x3 =

(

0 11 0

)

.

Zeigen Sie, dass die Familie X = {x1, x2, x3} eine Basis von U ist. (1 Punkt)

(c) Es sei nun auf U eine Determinantenfunktion

∆: U −−→ R

gegeben, fur die ∆(x1, x2, x3) = 3 gilt. Berechnen sie ∆(z1, z2, z3) fur:

z1 =

(

2 11 0

)

, z2 =

(

2 11 2

)

, z3 =

(

1 22 3

)

.

(4 Punkte)

Zusatzaufgabe. Eine Operation einer Gruppe G auf einer Menge X ist eine Ab-bildung

ρ : G × X −−→ X,

so dassρ(g1 · g2, x) = ρ(g1, ρ(g2, x)) und ρ(e, x) = x

gelten fur alle x ∈ X und g1, g2 ∈ G, wobei e das neutrale Element von G bezeichnet.

(a) Es sei K ein Korper, n ∈ N, und Gln(K) die allgemeine lineare Gruppe derGroße n. Zeigen Sie, dass

ρ : Gln(K) × Kn −−→ Kn : (A, v) 7−→ A · v

eine Operation ist (hierbei soll der Kn aus Spaltenvektoren bestehen).

(b) Es sei ρ : G × X −−→ X eine Operation, und es bezeichne Σ(X) die Permutati-onsgruppe der Menge X. Wir betrachten die Abbildung

sρ : G −−→ Σ(X)

die durch sρ(g)(x) := ρ(g, x) definiert wird. Zeigen Sie, dass sρ wohldefiniertund ein Gruppenhomomorphismus ist.

Zur Erinnerung: eine Abbildung f : G −−→ H zwischen Gruppen G und H heißtGruppenhomomorphismus, falls f(g1 · g2) = f(g1) · f(g2) gilt fur alle g1, g2 ∈ G.

(c) Es sei F2 = {0, 1} der Korper mit zwei Elementen, dessen Verknupfungen durchdie Tabellen

+ 0 10 0 11 1 0

· 0 10 0 01 0 1

gegeben sind. Zeigen Sie, dass die Gruppen Gl2(F2) und S3 isomorph sind, d.h.dass es einen bijektiven Gruppenhomomorphismus

Gl2(F2) −−→ S3

gibt.

Hinweis: Finden Sie zunachst eine Operation ρ der Gruppe G := Gl2(F2) aufder Menge X := F

22 \ 0, indem Sie (a) leicht verandern. Betrachten Sie dann die

dazugehorige Abbildung sρ. Berechnen Sie außerdem die Anzahlen der Elementevon G und X. Benutzen Sie (falls Sie mochten) die Zusatzaufgaben der Blatter2 und 9.




Aufgabe 1. Es seien K ein Korper und K[X] der Polynomring uber K. Additionund Multiplikation seien definiert wie in Abschnitt 15.1 der Vorlesung.

(a) Zeigen Sie fur f, g, h ∈ K[X]:

(i) (f ∙ g) ∙ h = f ∙ (g ∙ h)

(ii) 1 ∙ f = f = f ∙ 1

(iii) f ∙ (g + h) = f ∙ g + f ∙ h

(iv) f ∙ g = g ∙ f

(v) fur f 6= 0 und g 6= 0 gilt: f ∙ g 6= 0. (2 Punkte)

(b) Zeigen Sie, dass K[X] zusammen mit der Addition + und der Skalarmultipli-kation

K × K[X] −−→ K[X] : (a, f) 7−→ (aX0) ∙ f

ein K-Vektorraum ist, und dass fur alle a ∈ K die Abbildung

eva : K[X] −−→ K : f 7−→ f(a)

ein Epimorphismus ist (sie heißt Einsetzungshomomorphismus ). (2 Punkte)

(c) Es sei wie in Abschnitt 4.9 (ii) der Vorlesung

Abbfin(N,K) := {f : N −−→ K | es gilt f(x) 6= 0 nur fur endlich viele n ∈ N}.

Nach der Zusatzaufgabe auf Blatt 4 ist Abbfin(N,K) ein K-Vektorraum. Kon-struieren Sie einen Isomorphismus K[X] −−→ Abbfin(N,K). (2 Punkte)

Aufgabe 2. Gegeben sei der Ausdruck P (X) = X5−X4−X +1. Da jeder KorperK eine Eins enthalt, konnen wir P (X) als Element des Polynomrings K[X] uberjedem Korper K auffassen. Schreiben Sie P als Produkt f1 ∙ .... ∙ fr von Polynomenfi ∈ K[X], die jeweils entweder Grad eins haben oder keine Nullstellen besitzen.

(a) K = R[X]

(b) K = C[X]

(c) K = F3[X] (siehe Aufgabe 1 von Blatt 3)

(d) K = F2[X] (siehe Zusatzaufgabe von Blatt 11)

Hinweis: raten Sie Nullstellen von P und verwenden Sie ,,Division mit Rest“ (Satz15.7) der Vorlesung.

Aufgabe 3. Es sei K ein Korper.

(a) Zeigen Sie, dass ein Polynom f ∈ K[X] vom Grad n ∈ N hochstens n Nullstellenbesitzt, also dass fur alle 0 6= f ∈ K[X] gilt:

|{λ ∈ K | f(λ) = 0}| ≤ deg(f). (2 Punkte)

(b) Fur n ∈ N betrachten wir die Menge der Polynome vom Grad ≤ n,

Vn := {f ∈ K[X] | deg(f) ≤ n} .

Zeigen Sie, dass Vn ein K-Untervektorraum von K[X] der Dimension n + 1 ist.(2 Punkte)

(c) Zeigen Sie, dass fur alle λ ∈ K die Teilmenge

Wn := {f ∈ Vn | f(λ) = 0} ⊆ Vn

ein K-Untervektorraum ist. Zeigen Sie, dass fur n ≥ 1 die Vektorraume Wn

und Vn−1 isomorph sind. (2 Punkte)

Aufgabe 4. Es seien K ein Korper, n ∈ N und x0, ..., xn ∈ K. Es sei weiterhin

A :=

1 x0 x20 . . . xn

0

1 x1 x21 . . . xn

1...

......

...1 xn x2

n . . . xnn

∈ M(n+1,n+1)(K).

Beweise Sie:det(A) =

∏

i>j

(xi − xj).

Hinweis: Verwenden Sie vollstandige Induktion. Freiwilliger Tipp: machen Siezunachst einige Spaltenumformungen, und entwickeln Sie dann nach der ersten Zei-le.

Zusatzaufgabe. Fur einen Korper K heißt eine Abbildung ξ : K −−→ K Polynom-

funktion, falls es ein Polynom f ∈ K[X] gibt mit ξ(a) = f(a) fur alle a ∈ K.

(a) Zeigen Sie, dass die Menge der Polynomfunktionen

P(K) := {ξ ∈ Abb(K,K) | ξ ist Polynomfunktion}

ein K-Vektorraum ist, und dass die Abbildung

ϕ : K[X] −−→ P(K) mit ϕ(f)(a) := f(a)

ein wohldefinierter Epimorphismus ist. (2 Punkte)

(b) Zeigen Sie:

|P(K)| =

{

∞ falls |K| = ∞

qq falls |K| = q < ∞aber |K[X]| = ∞.

Hinweis: Sie durfen eine Interpolationsmethode Ihrer Wahl benutzen, z. B. dieLagrangesche Interpolationsformel aus dem Wikipedia-Eintrag ,,Polynominter-polation“. (2 Punkte)

(c) Zeigen Sie, dass der Epimorphismus ϕ aus (a) genau dann ein Isomorphismusist, wenn K unendlich viele Elemente hat. (2 Punkte)




Aufgabe 1. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenraume der folgenden Matrizen.Entscheiden Sie jeweils ob die Matrix diagonalisierbar ist, und geben Sie – falls ja– eine invertierbare Matrix Q an, so dass Q−1AQ diagonal ist.

(a) A =

0 −1 −22 3 21 1 3

∈ M(3,3)(R)

(b) A =

0 −1 −21 2 22 2 3

∈ M(3,3)(R)

(c) A =

1 3 −2 00 3 0 −10 −1 3 −10 −2 0 2

∈ M(4,4)(R)

Aufgabe 2. Fur welche a ∈ R ist die Matrix

D =

2 − a −a −a

2a + 2 2a + 2 2a − 2−a − 2 −a 4 − a

∈ M(3,3)(R)

diagonalisierbar? Bestimmen Sie fur jedes solche a ∈ R eine Basis des R3 aus Ei-

genvektoren von D.

Aufgabe 3. Es seien K ein Korper, n ∈ N und A ∈ M(n,n)(K).

(a) Zeigen Sie, dass die Abbildung

K[X] −−→ M(n,n)(K) : f(X) 7−→ f(A)

die ein Polynom f(X) = akXk + ... + a1X + a0 auf die Matrix

f(A) :=k∑

i=0

aiAi

abbildet, K-linear ist und fur alle f, g ∈ K[X]

(fg)(A) = f(A)g(A)

erfullt. (2 Punkt)

(b) Zeigen Sie, dass die Abbildung aus (a) nicht injektiv ist, d.h. dass ein Polynomf 6= 0 existiert mit f(A) = 0. (2 Punkte)

Hinweis: beachten Sie die Dimensionen.

(c) Die Matrix A habe nun die n verschiedenen Eigenwerte λ1, ..., λn. Zeigen Sie,dass die Eigenwerte von f(A) genau die f(λ1), ..., f(λn) sind, indem Sie A und(damit auch f(A)) diagonalisieren. (2 Punkte)

Aufgabe 4. Wir betrachten die Folge a0, a1, a2, ... reeller Zahlen, die rekursiv uber

a0 := 0 , a1 := 1 und an := an−1 + an−2 fur n ≥ 2

definiert ist.

(a) Zeigen Sie vermittels vollstandiger Induktion: fur alle n ≥ 0 gilt (2 Punkte)

An ·(

a0

a1

)

=

(

an

an+1

)

mit A :=

(

0 11 1

)

∈ M(2,2)(R).

(b) Bestimmen Sie eine Basis von R2 aus Eigenvektoren der Matrix A, und eine

Matrix Q ∈ Gl2(R) so dass Q−1AQ eine Diagonalmatrix ist. (2 Punkte)

(c) Transformieren Sie die Gleichung aus (a) in die Basis aus (b) und leiten Sie sodie folgende Identitat fur alle n ∈ N her: (2 Punkte)

an = − 1√5

(

1 −√

5

2

)n

+1√5

(

1 +√

5

2

)n

.

Zusatzaufgabe. Es seien K ein Korper, V ein endlich-erzeugter K-Vektorraumund f ein Endomorphismus von V . Weiterhin habe f die paarweise verschiedenenEigenwerte λ1, ..., λr fur ein r ∈ N. Wie in der Vorlesung bezeichne Vλi

den Eigen-raum von f zum Eigenwert λi.

(a) Zeigen Sie, dass die Summe

V ′ :=

r∑

i=1

Vλi⊆ V

eine direkte Summe ist. (3 Punkte)

Hinweis: verwenden Sie die Abschnitte 7.2 und 16.8 der Vorlesung.

(b) Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen aquivalent sind: (3 Punkte)

(i) Der Endomorphismus f ist diagonalisierbar.

(ii) Es gilt

χf (T ) =

r∏

i=1

(T − λi)dim(Vλi

).

Hinweis: Wahlen Sie fur den Teil (i) ⇒ (ii) eine Basis aus Eigenvektoren, undverwenden Sie (a) um zu beweisen, dass diese fur jedes 1 ≤ i ≤ r genau dimVλi

Eigenvektoren zum Eigenwert λi enthalt. Beweisen Sie fur den Teil (ii) ⇒ (i)zunachst

r∑

i=1

dim(Vλi) = dimV.



Abgabe: im nachsten Semester

Aufgabe 1. Es sei (V, 〈−,−〉) ein euklidischer Vektorraum. Fur v ∈ V definiertman

|v| :=√

〈v, v〉

als die Lange von v.

(a) Beweisen Sie die Behauptung von Abschnitt 18.8 der Vorlesung: Zeigen Sie,dass es fur alle Vektoren v, w ∈ V mit v, w 6= 0 genau eine Zahl α ∈ [0, π]gibt, fur die

〈v, w〉 = |v| · |w| · cos(α)

gilt. Diese Zahl α heißt der Winkel zwischen v und w . (3 Punkte)

(b) Zeigen Sie, dass fur V = R2 und 〈−,−〉 das Standardskalarprodukt die De-

finition des Winkels zwischen zwei Vektoren aus (a) mit der Schuldefinition,,Cosinus = Ankathete durch Hypothenuse“ ubereinstimmt. (3 Punkte)

Hinweis: betrachten Sie dazu ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypothenusedurch einen Vektor 0 6= v ∈ R

2, und dessen Ankathete durch ein Vektorw ∈ R

2 gegeben ist, und beweisen Sie, dass fur den Winkel α zwischen v undw gilt:

cos(α) =|v|

|w|.

Aufgabe 2. Es sei (V, 〈−,−〉) ein euklidischer Vektorraum, und es bezeichne wiein Aufgabe 1 |v| die Lange eines Vektors v ∈ V .

(a) Leiten Sie den ,,Cosinussatz“ aus Abschnitt 18.8 der Vorlesung her: fur allev, w ∈ V gilt:

|v − w|2 = |v|2 + |w|2 − 2|v||w| cos(α) (2 Punkte)

(b) Leiten Sie die ,,Paralellogrammgleichung“ her: fur alle v, w ∈ V gilt

|v + w|2 + |v − w|2 = 2(|v|2 + |w|2). (2 Punkte)

(c) Leiten Sie aus (b) im Falle V = R2 und 〈−,−〉 das Standardskalarprodukt den

folgenden geometrischen Satz her: fur ein Parallelogramm mit Seitenlangen a, b

und Diagonalen e, f gilte2 + f2 = 2(a2 + b2). (2 Punkt)

Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen Skalarprodukte definieren:

(a) auf dem R-Vektorraum V := M(n,m)(R) die Abbildung

(A,B) 7−→ Tr(ABt).

(b) auf dem C-Vektorraum V := M(n,m)(C) die Abbildung

(A,B) 7−→ Tr(AB∗).

Aufgabe 4. Gegeben seien die folgenden Vektoren des R3:

v1 = (−1, 1, 2) , v2 = (1, 2, 1) und v3 = (1, 1, 1).

(a) Zeigen Sie, dass X = {v1, v2, v3} eine Basis von R3 ist. (1 Punkt)

(b) Finden Sie bezuglich des Standardskalarproduktes von R3 eine Orthonormal-

basis Y = {u1, u2, u3} von R3 mit u1 = λv1 fur ein λ ∈ R, indem Sie das

,,Gramsche Orthonormalisierungsverfahren“ aus dem Beweis von Satz 19.5auf die Vektoren v1, v2, v3 anwenden! (5 Punkte)

Zusatzaufgabe. Es sei V ein R-Vektorraum. Eine Norm auf V ist eine Abbildung

n : V −−→ R≥0

so dass die folgenden drei Axiome erfullt sind:

(1) fur alle v ∈ V mit n(v) = 0 folgt v = 0.

(2) fur alle v ∈ V , a ∈ K gilt n(a · v) = |a| · n(v), wobei |a| der Betrag von a ist.

(3) fur alle v, w ∈ V gilt n(v + w) ≤ n(v) + n(w).

In dieser Aufgabe wollen wir die Beziehung zwischen Skalarprodukten und Normenverstehen.

(a) Es sei 〈−,−〉 ein Skalarprodukt auf V , und es bezeichne |v| ∈ R die Lange einesVektors v ∈ V wie Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass

n〈−,−〉 : V −−→ R : v 7−→ |v|

eine Norm auf V ist. Sie heißt die durch das Skalarprodukt bestimmte Norm.(2 Punkte)

(b) Eine wichtige Frage ist, wie man einer gegebenen Norm ansehen kann, ob siedurch ein Skalarprodukt bestimmt ist oder nicht. Zeigen Sie, dass fur eine Normn : V −−→ R≥0 auf V folgende Aussagen aquivalent sind: (4 Punkte)

(i) es gibt ein Skalarprodukt 〈−,−〉 auf V mit n = n〈−,−〉.

(ii) n erfullt die Parallelogrammgleichung, d.h.

n(v + w)2 + n(v − w)2 = 2(n(v)2 + n(w)2).

Hinweis: betrachten Sie die Abbildung

V × V −−→ R : (v, w) 7−→1

4(n(v + w)2 − n(v − w)2).

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UNIVERSITAT REGENSBURG WS 2010/2011¨ …nan25776/Uebungen...UNIVERSITAT REGENSBURG WS 2010/2011¨ FAKULTAT F¨ UR MATHEMATIK Blatt 2¨ Prof. Dr. N. Naumann Ubungen zur Vorlesung¨,,Lineare