UNIVERSITATEA “VASILE ALECSANDRI” din BACĂU FACULTATEA de …

UNIVERSITATEA ldquoVASILE ALECSANDRIrdquo din BACĂU

FACULTATEA de INGINERIE

Conf univ dr ing MIHAI PUIU ndash BERIZINŢU

BAZELE ELECTROTEHNICII Seminar și lucrări practice

Editura ALMA MATER BACĂU 2013

Referenţi ştiinţifici Prof univ dr ing Gheorghe HAZI Prof univ dr ing Dan ROTAR

Tehnoredactare Conf univ dr ing Puiu-Berizinţu Mihai = 80 As univ dr ing Bicircrsan Cătălin = 20

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a Romacircniei PUIU-BERIZINŢU MIHAI Bazele electrotehnicii seminar şi lucrări practice Puiu-Berizinţu Mihai Bicircrsan Cătălin - Bacău Alma MaterBacău 2013 ISBN 978-606-527-313-9 I Bicircrsan Cătălin 6213

P r e f a ţ ă

Prezenta ediție a cărții Bazele electrotehnicii ndash seminar și lucrări practice conține aplicații probleme și lucrări practice de laborator pentru partea de electromagnetism și partea de circuite electrice

Lucrarea a fost elaborată icircn primul racircnd pentru uzul studenţilor de la programele de studii de licență Energetică Industrială şi Mecatronică ale Facultății de Inginerie a Universităţii ldquoVasile Alecsandrirdquo din Bacău dar considerăm că este utilă tuturor celor interesaţi icircn dobacircndirea şi aprofundarea cunoştinţelor teoretice și practice asupra unor aspecte fundamentale din domeniul electrotehnicii

Icircn această primă ediţie lucrarea conține șapte capitole de aplicații și probleme pentru studiul la seminar și un număr de 18 lucrări practice de laborator Fiecare capitol de aplicații și probleme este precedat de o parte teoretică succintă importantă pentru fixarea cunoștințelor privind fenomenele și metodele de calcul necesare pentru icircnțelegerea aplicațiilor și problemelor rezolvate sau propuse

Obiectivul urmărit icircn concepţia şi elaborarea acestei lucrări a constat icircn tratarea sub aspect teoretic și practic a unor părți importante din teoria circuitelor electrice și a fenomenelor electromagnetice care să asigure aprofundarea cunoştinţelor de bază necesare pregătirii de specialitate a inginerilor din toate domeniile electrotehnicii

Autorul va fi recunoscător pentru eventualele observaţii şi sugestii icircn vederea icircmbunătăţirii sau completării actualei ediţii a acestei cărți

Autorul

C U P R I N S

Prefaţă 3

PARTEA I ndash SEMINAR BAZELE ELECTROTEHNICII

ELECTROSTATICA

11 Calculul cicircmpului electrostatic helliphelliphelliphelliphellip 7111 Breviar de calcul pentru cacircmpul electrostatic helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7112 Aplicații și probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11

12 Calculul capacităților electrice helliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip 17121 Breviar de calcul al capacităților electrice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17122 Aplicații și probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21

13 Calculul cicircmpului electrostatic cu metoda imaginilor electrice 26131 Metoda imaginilor electrice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26132 Relațiile de capacitate ale lui Maxwell helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29133 Capacități icircn serviciu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 30134 Aplicații și probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 30

14 Energia și forțele cacircmpului electrostatic helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 41141 Noțiuni teoretice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 41142 Aplicații și probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 44

2 CAcircMPUL MAGNETIC STAȚIONAR 21 Breviar de calcul pentru cacircmpul magnetic helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5122 Aplicații helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 52

3 ELECTRODINAMICA 31 Legea inducției electromagnetice helliphelliphelliphellip 55

311 Noțiuni teoretice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55312 Aplicații la legea inducției electromagnetice helliphellip 56

32 Inductivitățile circuitelor electrice helliphelliphelliphelliphelliphellip 58321 Noțiuni teoretice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 58322 Aplicații pentru calculul inductivităților helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59

33 Circuite magnetice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 61331 Noțiuni teoretice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 61332 Aplicații pentru calculul circuitelor magnetice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 62

34 Energia și forțele cacircmpului magnetic helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 67341 Noțiuni teoretice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 67342 Aplicații helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68

4 CIRCUITE ELECTRICE LINIARE DE CURENT CONTINUU

41 Structura circuitelor de curent continuu helliphelliphellip 7142 Transfigurarea circuitelor electrice liniare de curent continuu helliphelliphellip 7243 Analiza reţelelor electrice liniare de curent continuu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 86

431 Introducere helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 86432 Aplicații și probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 87

44 Teoremele circuitelor de curent continuu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 95441 Teoremele generatoarelor echivalente de tensiune şi de curent helliphelliphelliphelliphelliphellip 95442 Teorema suprapunerii efectelor (superpoziţiei) Teorema reciprocităţii helliphelliphellip 96443 Aplicații și probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 98

5 MĂRIMI SINUSOIDALE 51 Noțiuni teoretice helliphelliphelliphellip 105

511 Mărimi periodice mărimi alternative mărimi sinusoidale 105512 Reprezentarea simbolică a mărimilor sinusoidale 106513 Aplicații și probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109

6 ANALIZA CIRCUITELE MONOFAZATE LINIARE IcircN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

61 Noțiuni teoretice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11362 Aplicații și probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 117

7 CIRCUITE ELECTRICE TRIFAZATE IcircN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

71 Circuite trifazate echilibrate alimentate cu tensiuni simetrice sinusoidale Probleme rezolvate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 121

72 Metoda componentelor simetrice Aplicații și probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 127721Considerații teoretice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 127722Aplicații și probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 128

8 CALCULUL CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE IcircN REGIM TRANZITORIU

81Noțiuni teoretice helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13582Probleme rezolvate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 137

PARTEA A II - A LUCRĂRI PRACTICE DE LABORATOR

L1 Determinarea caracteristicilor de magnetizare a materialelor feromagnetice helliphellip 141L2 Caracteristicile bobinei neliniare helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 147L3 Bobina neliniară comandată Amplificatorul magnetic helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 152L4 Metode de analiză a reţelelor electrice liniare de curent continuu helliphelliphelliphelliphelliphellip 156L5 Studiul dipolului liniar pasiv alimentat icircn curent continuu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 162L6 Studiul experimental al teoremelor circuitelor liniare de curent continuu helliphelliphellip 165L7 Studiul cuadripolului liniar pasiv alimentat icircn curent continuu helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 171L8 Studiul circuitelor neliniare de curent continuu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 176L9 Circuite liniare monofazate icircn regim permanent sinusoidal helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 183

L10 Analiza rețelelor electrice liniare icircn regim permenent sinusoidal helliphelliphelliphelliphelliphellip 189L11 Studiul cuadripolului liniar pasiv icircn regim permanent sinusoidal helliphelliphelliphelliphelliphellip 196L12 Studiul circuitelor cu bobine liniare reale conectate icircn serie şi icircn paralel helliphelliphellip 201L13 Sudiul rezonanţei icircn cicrcuitele cu bobina neliniară

Fenomenul de ferorezonanţă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 210L14 Studiul circuitelor trifazate simetrice şi echilibrate

icircn regim permanent sinusoidal helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 215L15 Circuite trifazate dezechilibrate icircn regim permanent sinusoidal helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 224L16 Filtre pentru componente simetrice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 230L17 Analiza armonică a semnalelor periodice nesinusoidale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 238L18 Studiul regimului tranzitoriu al circuitelor electrice liniare helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 245

B i b l i o gr a f i e 251

1 ELECTROSTATICA

11 CALCUL CAcircMPULUI ELECTROSTATIC

111 BREVIAR DE CALCUL PENTRU CAcircMPUL ELECTROSTATIC Regimul electrostatic Regimurile caracteristice de funcţionare ale cacircmpului electromagnetic sunt

regimul static regimul staţionar regimul cvasistaţionar şi regimul nestaţionar Regimul static este caracterizat pe de o parte prin particularitatea că toate

mărimile sunt constante icircn timp adică derivatele lor icircn raport cu timpul sunt nule iar pe de altă parte prin lipsa posibilităţii de a transforma energia (electrică sau magnetică) icircn alte forme de energie Regimul static mai este caracterizat prin starea de imobilitate a corpurilor Există un regim static pentru cacircmpul electric ndash regimul electrostatic şi un regim static pentru cacircmpul magnetic ndash regimul magnetostatic

Cacircmpul electrostatic este produs de corpuri imobile icircncărcate cu sarcini electrice sau polarizate electric Calculul cacircmpului electrostatic constă icircn determinarea intensității cacircmpului electrostatic și a potențialului punctelor din spațiu la o distribuție dată a sarcinilor electrice

Mărimi caracteristice ale cacircmpului electrostatic Intensitatea cacircmpului electrostatic vE icircntr-un punct din vid se definește prin

raportul dintre forța ce acționează asupra unui corp punctiform imobil icircncărcat cu sarcină electrică și sarcina corpului cacircnd aceasta tinde la zero

limE0qv

Unitatea de măsură pentru intensitatea cacircmpului electric icircn sistemul internațional de unități de măsură (SI) este voltmetru [Vm] Din această relație rezultă și expresia forței electrostatice ndash forța ce acțiunează asupra sarcinii electrice elementare q icircn cacircmp electrostatic

EqF (12) Inducţia electrică icircn vid vD se definește prin produsul dintre permitivitatea

vidului și intensitatea cacircmpului electric icircn vid

vv ED 0 (13)

unde 0 este permitivitatea vidului mF1094

Polarizația P caracterizeză local starea de polarizare electrică a materialelor dielectrice fiind definită ca densitate de volum a momentelor electrice dipolare p ale sarcinilor de polarizație

VplimP

[Cm2] (14)

și are două componente polarizația temporară tP și polarizația permanentă Pp

Legea polarizației temporare stabilește că numai polarizația temporară depinde de intensitatea cacircmpului electric Pentru medii dielectrice liniare și izotrope polarizația temporară tP este proporțională cu intensitatea cacircmpului electric E

EP et 0 (15)

unde e este susceptivitatea electrică mărime de material adimensională pozitivă Legea legăturii dintre inducție intensitate și polarizație icircn cacircmp electric

PED 0 (16) Pentru dielectricii liniari izotropi fără polarizație permenentă ( 0PPP pt )

ținicircnd cont de rel (15) rezultă

EEE)1(D re 00 (17)

icircn care este permitivitatea electrică absolută sau constanta dielectrică a materialului (măsurată icircn Fm) er 1 0 este permitivitatea electrică relativă (r 1)

Repartiţii ale sarcinii electrice Sarcinile electrice pot fi repartizate pe corpuri sau icircn volumul corpurilor Corespunzător se definesc densitățile de de sarcină electrică

Densitatea de volum a sarcinii electrice

[Cm3] (18)

Densitatea de suprafaţă (superficială) a sarcinii electrice

[Cm2] (19)

Densitatea de linie (lineică) a sarcinii electrice

[Cm] (110)

Fluxul electric reprezintă fluxul vectorului inducţie electrică D printr-o supra-faţă oarecare deschisă sau icircnchisă Astfel fluxul electric printr-o suprafață deschisă S

care se sprijină pe o curbă icircnchisă este

S AdDψ (111)

iar printr-o suprafaţă icircnchisă

AdDψ (112)

Tensiunea electrică UAB icircntre două puncte A și B din cacircmp electrostatic este numeric egală cu lucrul mecanic LAB efectuat de forţele cacircmpului pentru deplasarea sarcinii electrice unitare q icircntre cele două puncte

AB sdEq

LU (113)

Potenţialul electric VP al unui punct oarecare P din cacircmp electrostatic este dat de tensiunea electrică a punctului respectiv față de un punct de referinţă P0 considerat de potențial nul (situat pe pămacircnt sau la infinit)

sdEUV0

P (114)

Metode de calcul a cacircmpului electrostatic Icircn electrostatică problema fundamentală constă icircn determinarea intensităţii

cacircmpului şi potenţialului punctelor din spaţiu icircn care se exercită acţiunea cacircmpului electric dacă se cunosc distribuţiile de sarcini pe conductoare şi poziţia relativă a conductoarelor Icircn literatură sicircnt tratate numeroase metode de calcul multe dintre ele bazate pe metode matematice complexe şi de nivel icircnalt cum sunt metodele variaţio-nale metoda diferenţelor finite metoda funcţiilor de variabilă complexă metoda funcţiilor Green metoda inversiunii geometrice (transformata Kelvin) metoda transformării conforme metode grafice şi grafo-analitice etc Icircn continuare ne limităm la cicircteva metode de calcul direct a cacircmpului electrostatic

Metoda superpoziţiei (suprapunerii efectelor) Se pleacă de la expresiile intensității cacircmpului electrostatic și potențialului

produs de o sarcină punctiformă q icircntr-un punct P din spațiu (icircn vid sau aer) la distanța R de sarcină

41PE 3

respectiv Rq

41)P(V

Icircn cazul a n sarcini punctiforme aplicacircnd principiul superpoziției rezultă

VrespectivRRq

E (116)

Dacă sarcina electrică este repartizată pe un domeniu D oarecare (volum V suprafață S sau pe un fir subțire l) cu densitatea corespunzătoare D

(V S l) sarcina elementară dq D

dD va determina icircntr-un punct la distanța R cacircmpul și potențialul

41dVrespectivR

Intensitatea cacircmpului și potențialul se determină icircn final prin integrare pe domeniul respectiv Icircn cazul general cacircnd avem sarcini distribuite icircn volumul corpurilor cu densitatea V pe suprafața corpurilor cu densitatea S pe corpuri filiforme cu densitatea l cacirct și n sarcini punctiforme qk relațiile de calcul pentru intensitatea cacircmpului și po-tențialului icircntr-un punct la mare distanță de sarcinile care ocupă un domeniu finit sunt

l l (118)

R41V (119)

- 10 -

Calculul cacircmpului folosind legea fluxului electric (teorema lui Gauss) Metoda se utilizează pentru cacircmpuri care prezintă simetrie Se determină icircntacirci

intensitatea cacircmpului utilizacircnd relaţia dată de teorema lui Gauss (legea fluxului electric icircn vid)

qsdE (120)

icircn care q este sarcina electrică din interiorul suprafeței icircnchise şi apoi se calculează potenţialul electric cu relația de definiție

Metoda bazată pe teorema potenţialului electrostatic Se calculează mai icircntacirci potenţialul electric cu relaţia de definiție sau aplicacircnd

principiul superpoziției și apoi se calculează intensitatea cacircmpului electric cu relaţia

VgradE (121)

Metoda nu se aplică decacirct pentru distribuţii de sarcină pe corpuri cu dimensiuni finite pentru care se poate considera că potențialul punctelor de la infinit este nulV = 0

Metoda rezolvării ecuaţiilor lui Laplace şi Poisson Se pleacă de la forma locală a legii fluxului electric vD div respectiv

Pentru medii dielectrice liniare izotrope fără polarizaţie permenentă este valabilă relaţia ED asfel că ecuaţia (122) poate fi scrisă sub forma

xE (123)

Utilizacircnd relaţiile date de gradientul de potenţial zVE

xVE zyx

obţine ecuaţia Poisson scalară pentru cacircmpul electrostatic

sau simbolic

vV (125)

unde s-a notat cu 2

operatorul Laplace

Icircn domeniile icircn care lipsesc sarcinile electrice 0v obţinem ecuaţia lui Laplace pentru cacircmpul electrostatic

respectiv simbolic 0V (126)

Rezolvarea ecuaţiilor Poisson sau Laplace se poate efectua numai de la caz la caz folosind metode icircn general aproximative De exemplu icircn cazul unui cacircmp plan

- 11 -

paralel cum ar fi cel al unui condensator plan cu distanţa dintre armături d foarte mică

ecuaţia lui Laplace este 0xV2

care prin două integrări consecutive duce la soluţia

KxKV 21

Constantele K1 şi K2 se determină din condiţiile la limită pentru x = 0 V(0) = 0 şi pentru x = d V(d) = U (tensiunea dintre armături) de unde rezultă K2 = 0 K1 = Ud

Potenţialul unui punct oarecare din dielectricul condensatorului plan este

xdUV x fiind distanţa de la punctul considerat la armătura negativă

112 APLICAȚII ȘI PROBLEME 111 Să se determine cacircmpul şi potenţialul produs icircn vid de o sferă metalică de

rază a uniform icircncărcată cu densitatea de sarcină S (fig11)

Cicircmpul electric determinat de sfera icircncărcată uniform cu sarcină electrică prezintă simetrie sferică Astfel liniile de cacircmp sunt radiale și valoarea intensității cacircmpului este aceeași icircn fiecare punct de pe suprafața unei sfere concentrică cu sfera icircncărcată cu sarcină electrică Icircn acest caz se poate aplica teorema lui Gaus alegacircnd suprafața icircnchisă de formă sferică de rază curentă R concentrică cu sfera

Pentru punctele din exteriorul sferei avem

eqAdEe

Icircn orice punct de pe suprafața e vectorii eE și Ad sunt colineari astfel că produsul scalar este egal cu

produsul modulelor și constEe (fig11) 2

ee R4EdAEAdEe

Sarcina qe este sarcina din interiorul suprafeței e egală cu sarcina sferei de rază a

Ssf a4Aq e

Icircnlocuind icircn ecuația inițială avem

care poate fi scris cub forma

Potențialul punctelor din exteriorul sferei se calculează cu relația de definiție a potențialului integracircnd de-a lungul unei linii de cacircmp care este radială

RdRaRdEsdEV

Fig 11

- 12 -

sau Rq

Expresiile obținute pentru intensitatea cicircmpului și potențial sunt identice expresiile acestor mărimi pentru o sarcină punctiformă situată icircn centrul sferei de valoare egală cu sarcina totală a sferei

Calculul cacircmpului icircn interiorul sferei se face icircn mod similar aplicacircnd teorema lui Gaus suprafeței sferice i concentrică cu sfera de rază a (fig11)

qAdE dar cum 0E0q ii

Potențialul punctelor din interiorul sferei

iaRdERdEsdEV

este constant egal cu potențialul punctelor de suprafața sferei

112 Să se calculeze cacircmpul şi potenţialul produs icircn vid de un conductor drept

filiform infinit lung icircncărcat uniform cu densitatea de sarcină l

Icircn cazul conductorului drept infinit lung icircncărcat uniform cu sarcină electrică liniile de cacircmp sunt radiale situate icircn plane perpendiculare pe conductor Cacircmpul prezintă simetrie cilindrică astfel că se poate aplica teorema lui Gauss alegacircnd suprafața icircnchisă de formă cilindrică coaxială cu conductorul ca icircn figura 13

Integrala este nulă pe suprafeţele bazelor cilindrului deoarece vectorii vE și Ad sunt perpen-diculari pe aceste suprafețe Integrala din mem-brul sticircng se reduce la suprafața laterală Sl a cilindrului unde vectorii vE și Ad sunt colineari

l vvv ER2dAEAdE

Fig 12 R

0E i 0

Fig 13 l

- 13 -

Sarcina electrică q este sarcina conductorului pe lungimea l llq Icircnlocuind icircn ecuația inițială se obține

2EvectorialrespectivR1

lll ll

Potenţialul icircntr-un punct oarecare P se calculează cu relația de definiție integracircnd după o linie de cacircmp

RRln2R

dR2dREsdEPV 0

numit potenţial logaritmic Pentru două conductoare drepte C1 C2 (fig 14) paralele infinit lungi icircncărcate

cu sarcini egale şi de semn contrar l şi l se aplică principiul suprapunerii efectelor

02v1vv R

2)P(E)P(E)P(E l

Rln2)P(V)P(V)P(V

113 Să se determine cacircmpul şi potenţialul produs icircn vid de un plan infinit extins icircncărcat uniform cu densitatea de sarcină s

Se aplică principiul suprapunerii efectelor un element de suprafață dA din plan care icircn coordonate polare este de arie dA middotdmiddotdθ (fig 15) cu sarcina elementară

dddAdq ss

determină icircn punctul P la distanța R cacircmpul elementar

41Ed 2

cu componentele vnEd după direcția normală și vtEd paralelă la suprafața suprafața planului Este evident că icircn orice punct din afara planului cacircmpul este produs numai de componenta normală

0vvn R

ddcos41cosdEdE

vnvnv Rddcos4dEEE

Se aleg ca variabile de integrare unghiurile şi Din fig 15 se poate scrie

+ l ndash l C1 C2

Fig 14

Fig 15

- 14 -

cosRhd

coshdtgh 2

și icircnlocuind rezultă

ddsin4

coscos

hcossinhcos

Sv 2ddsin4E

Se constată că intensitatea cacircmpului nu depinde de distanța h față de plan Icircn concluzie icircn cazul unui plan considerat infinit extins icircncărcat uniform cu sarcină electrică cacircmpul electric uniform orientat după direcția normală la plan

Potențialul electric icircntr-un punc oarecare la distanța h de suprafața planului este

hh2dh2sdEV 00

Dacă se consideră punctele de referință P0 de potențial nul situate icircn plan

114 Să se determine cacircmpul şi potenţialul produs de un conductor drept filiform de lungime finită icircncărcat uniform cu densitatea de sarcină l

Se aplică și icircn acest caz principiul superpoziției Elementul de lungime ds produce icircn punctul M cacircmpul elementar (fig 16)

41Ed 2

care poate fi descompus icircn componentele normală respectiv tangențială (paralelă) la conductor

1sindEdE 20

1cosdEdE 20

Se alege unghiul variabilă de integrare și icircnlocuind

ads 2 și asin

se obține

dsina4dE0

vnl respectiv

dcosn4dE

21vn coscosa4dsina4E ll

Fig 16

nvnEdM

- 15 -

21vt sinsina4dcosa4E ll

2cosa2cos12a4

sinsincoscosa4EEE

Cazuri particulare pe mediatoarea conductorului 21

vnv Ecosa2E0

l 0Evt

conductor infinit lung 021

vnv Ea2E0

l 0Evt

la unul din capete 21

42cosa22cos12a2E00

cosa2E0

sin1a2E

Potenţialui icircn punctul M

2tg2ctg

ln42tgln4sind

115 Să se calculeze forţa de interacţiune dintre două fire rectilinii paralele

de lungime l situate icircn vid la distanţa a unul faţă de altul avacircnd densităţile lineice de sarcină 1l şi 2l

Asupra unui element de lungime dx din firul cu sarcina dxdq 22 l (fig 17) se va exercita forţa

12v212 EdqFd cu componentele

dxEdFdxEdF 12vt2t1212vn2n12 ll

Se utilizează rezultatele de la problema ante-rioară Astfel componentele cacircmpului creat de firul icircn punctele unde este plasat firul se sciu

Fig 17

- 16 -

a2coscosa2E00

a2sinsina2E00

Componentele forței ce acționează asupra firului se determină astfel

aa1a4xlaxaa4

xa4dFF

0 02222

12n1212n

llllll

0xlaxllnxlaxlna4

1212t12t

Forţa este normală pe conductoare şi determină respingerea firelor dacă sarcinile au același semn 021 ll Forţa specifică (pe unitatea de lungime)

ll aa1a2Ff 2

221n12

Dacă firele sunt infinit lungi asau ll

a21f 21

116 Să se determine intensitatea cacircmpului electric icircntr-un punct oarecare de pe axa unei spire circulare de rază a situată icircn vid icircncărcată uniform cu densitatea de sarcină lineică l

Din motive de simetrie vectorul E icircntr-un punct P de pa axa 0x nu are decacirct componenta icircn lungul axei cosEdEd x (fig 18)Un element de lungime ds al spirei determină icircn punctul P de pe axa spirei cacircmpul elementar

Utilizacircnd relațiile dads 222 xaR avem

1dE 22x0

Ed)00x(

Fig 18

- 17 -

Se icircnlocuiește 22 xa

xRxcos

și obținem

4adE 2322x

Prin integrare după unghiul θ se obține

iii ll2322

2322xxax

Potențialul se calculează mai simplu cu relația

Intensitatea cacircmpului se mai poate calcula utilizacircnd gradientul de potențial

iiVgrad l23220

12 CALCULUL CAPACITĂŢILOR ELECTRICE

121 BREVIAR DE CALCUL AL CAPACITĂŢILOR ELECTRICE

Capacitatea electrică Pentru condensatorul cu dielectric liniar omogen şi izotrop la care armăturile se

icircncarcă cu sarcini electrice egale şi de semne opuse teorema capacităţii electrice se enunţă astfel raportul pozitiv dintre sarcina electrică a uneia dintre armături q1(q2) prin diferenţa de potenţial faţă de cealaltă armătură V1 ndash V2 (V2 ndash V1) este independent de valorile sarcinii sau diferenţei de potenţial şi se numeşte capacitate electrică C

UqC (127)

unde 12212112 VVU respectiv VVU este tensiunea dintre armături Cum qqq 21 se poate scrie mai simplu

UqC (128)

Icircn figura 19 se prezintă simbolurile grafice utilizate pentru condensatoare astfel fig 31a) pentru conden-satorul de curent alternativ (nepolarizat) iar icircn fig 31b) pentru condensatorul de curent continuu (polarizat)

Unitatea de măsură a capacităţii electrice se numeşte Farad (F) Icircn sistemul internaţional de unităţi de măsură (SI) un farad este capacitatea unui condensator care la tensiunea de 1V icircntre armături se icircncarcă cu sarcina de 1C

+q ndashq

+ minus

Fig 19

- 18 -

Icircn practică se utilizează submultiplii faradului - microfaradul 1F = 10-6 F - nanofaradul 1nF = 10-9 F - picofaradul 1pF = 10-12F Calculul capacităţilor condensatoarelor simple se face icircn următoarele etape

1) se presupun armăturile icircncărcate cu sarcini egale şi de semn contrar

qqqq 21

2) se calculează intensitatea cacircmpului electric E icircntr-un punct oarecare dintre armăturile condensatorului

3) se calculează potenţialele armăturilor V1 V2 sau tensiunea electrică dintre armături

2112 sdEVVU

4) se calculează capacitatea condensatorului cu relaţia de definiţie UqC

Ca exemplu se prezintă calculul capacităţii condensatorului plan idealizat Un condensator plan este format din două armături plane paralele de arie A care

sunt aşezate la distanţa d mică faţă de dimensiunile plăcilor icircntre plăci se găseşte un dielectric de permitivitate (fig 110) Se consideră cazul icircn care dielectricul este liniar izotrop şi omogen iar liniile de cacircmp electric sunt perpendiculare pe suprafaţa armăturilor Un astfel de condensator plan este numit condensator plan idealizat

Etapele de calcul sunt - se consideră q1 = q q2 = ndashq - intensitatea cacircmpului electric icircntre armături se poate

determina utilizacircnd legea fluxului electric sub forma

unde este o suprafața icircnchisă care icircmbracă stracircns una

dintre armături Rezultă astfel AqE

- tensiunea icircntre armături este

AqsdEU

Expresia capacităţii condensatorului plan este

Dacă dielectricul este constituit din n straturi paralele cu armăturile avacircnd grosimile dk şi permi-tivităţile k (fig 111) cacircmpul electric icircn stratul k fiind

+q -q A

Fig110

Fig 111

- 19 -

diferenţa de potenţial dintre armături rezultă

AqsdEVV

Expresia capacităţii condensatorului plan cu dielectric neomogen rezultă

kdAC (130)

Calcul rețelelor de condensatoare Capacitatea echivalentă Ce a unui sistem de condensatoare este dată de

raportul dintre sarcina absorbită de la sursă pe la una din borne şi tensiunea sursei dacă iniţial toate condensatoarele erau descărcate

Capacitatea echivalentă a condensatoarelor conectate icircn serie

1k ke C1

C1 (131)

Cazuri particulare

- pentru două condensatoare C1 C2 conectate icircn serie 21

21e CC

- pentru n condensatoare de aceeași capacitate nCCe

Capacitatea echivalentă a condensatoarelor conectate icircn paralel

1kke CC (132)

Transfigurări stea ndash triunghi triunghi ndash stea (fig 112)

La transfigurarea stea ndash triunghi calculul capacităților circuitului echivalent icircn triunghi se face cu relațiile [12]

2112 CCC

3223 CCC

1331 CCC

CCC (133)

(2) (2)

Fig 112

- 20 -

La transfigurarea triunghi ndash stea calculul capacităților circuitului echivalent icircn stea se face cu relațiile [12]

CCCCCCC

CCCCCCCCCCC

312331233

231223122

311231121 (134)

Teoremele lui Kirchhoff pentru rețele de condensatoare Analog teoremelor lui Kirchhoff pentru rețelele electrice avem relații de calcul

pentru rețelele de condensatoare icircn regim electrostatic Astfel corespunzător teoremei a I-a Kirchhoff suma algebrică a sarcinilor qj ale

armăturilor condensatoarelor legate la un nod (k) al unei rețele de condensatoare este egală cu suma algebrică a sarcinilor inițiale qj0 ale acestor armături

0j)k(j

j qq (135)

Corespunzător teoremei a II-a Kirchhoff pentru un ochi al unei rețele de con-densatoare suma algebrică a tensiunilor la bornele condensatoarelor este egală cu suma algebrică a tensiunilor electromotoare ale surselor din laturile ochiului respectiv

C jj UU (136)

E]m[j j

j UCq (137)

122 Aplicaţii

121 Să se determine capacitatea condensatorului cilindric reprezentat icircn figura 113 Condensatorul este format din două armături cilindrice circulare concentrice de raze iR şi eR de lungime l Icircntre armături există un dielectric cu permitivitatea

Se presupune că lRR ie ceea ce permite să se considere sistemul cu simetrie cilindrică şi astfel cacircmpul electric dintre armături poate fi aproximat cu un cacircmp radial omogen neglijacircnd efectul de margine

Etapele de calcul 1 Se presupun armăturile icircncărcate cu sarcini egale şi de semn contrar

qqqq ei

2 Cacircmpul electric dintre armături este radial şi prezintă simetrie cilindrică Se aplică legea fluxului electric unei suprafeţe icircnchise

Fig 113

- 21 -

cilindrică de rază R ei RRR concentrică cu armăturile

qAdD ED

Pe suprafaţa laterală a cilindrului AdşiE sunt omoparaleli constE iar pe baze AdşiE sunt ortogonali ( AdE ) Rezultă astfel

ER2dAEAdEAdE

hll SS

ll qhR2R2qdAR2

qdAq ii

R2qEhqEhR2 ll

3 Se calculează tensiunea electrică dintre armături

12 RRln2

qdREsdEUe

4 Se calculează capacitatea condensatorului

2UqC l

Exemplu clasic de condensator cilindric este cablul coaxial Icircn practică se utilizează relaţia care dă capacitatea specifică icircn kmF

36kmF1094

1010mF1094

RRln18R

Icircn cazul unui condensator cilindric cu n straturi de dielectric pentru stratul dintre suprafeţele de raze kR şi 1kR avacircnd permitivitatea k şi lungimea kl avem

k RRRR2qE l

k12 RRln1

2qRdEU

și rezultă

kk RRln1

Se observă că intensitatea cacircmpului din fiecare strat este invers proporţională cu Rlkk Pentru a uniformiza cacircmpul electric se pot modifica fie k fie kl Aceasta

este necesar icircn cazul executării unor izolaţii cu straturi de dielectric sub formă de coji cilindrice ca de exemplu la trecerea unei bare conductoare sub tensiune printr-un perete Icircn acest caz straturile de dielectric au lungimi diferite icircntre straturi fiind introdusă o foaie metalizată Dacă dielectricul este acelaşi condiţia de uniformizare a cacircmpului se va pune pentru valorile maxime

- 22 -

Consideracircnd exemplul din fig 114 pentru o izolație cu 4 straturi avem

max4max3max2max1 EEEE 44332211 lRlRlRlR

deoarece 4321kRRpentruR2qE k

kkmaxk l

122 Să se determine capacitatea condensatorului sferic reprezentat icircn fig 115

Condensatorul este format din două armături sferice concentrice de raze Ri și Re (fig 115)

Etapele de calcul 1) qqqq 21

2) Cacircmpul electric este radial cu simetrie sferică Se aplică legea fluxului electric alegacircnd suprafața icircnchisă sferică concentrică cu armăturile de rază ei RRR

qqqqAdE 1

Pe suprafața vactorii AdşiE sunt omopa-raleli constE

41EER4dAEAdE

4qsdEU

12 RRRR4U

Dacă eR se obţine expresia capacităţii unei sfere conductoare izolate

Fig 114

Cond sub tensiuneR2 R3 R4

Fig 115

- 23 -

Pentru a obține capacitatea F1C rezultă m10941R 9

0i mult mai mare decacirct

raza pămacircntului )m103716( 6

123 Să se determine sarcinile condensatoarelor din circuitul reprezentat icircn fig 26 icircn următoarele două situaţii

a) K2 se icircnchide K1 icircnchis pe poziţia b) se comută K1 pe poziţia

Cazul a) Schema circuitului este prezentată icircn figura 117a) Rețeaua are 3 noduri și 2 ochiuri Sarcinile pot fi determinate din sistemul de ecuații corespunzător celor două teoreme ale lui Kirchhoff T1K (1) 0qqq 431

(2) 0qqq 421 T2K

[1] 13

[2] 24

Se rezolvă sistemul de ecuaţii şi se determină sarcinile q1 q2 q3 q4 care vor fi sarcini iniţiale pentru cazul b)

Cazul b) Schema circuitului este cea din figura 117b) Ecuațiile corespun-zătoare teoremelor lui Kirchhoff se scriu ținacircnd cont că icircn acest caz condensatoarele erau icircncărcate cu sarcinile inițiale stabilite icircn cazul anterior

T1K (1) 431431 qqqqqq

(2) 321321 qqqqqq

Fig 116

Fig 117

E1 [ 1 ]

+ ndash

ndasha) b)

- 24 -

T2K [1] 0Cq

[2] 24

Prin rezolvarea acestui sistem de ecuaţii se determină sarcinile qqqq 4321 124 Se consideră cinci condensatoare C1 C2 C3 C4 C5 grupate ca icircn fig

118 Icircntre bornele A şi B se aplică diferenţa de potenţial BA VV Se cere a) Să se determine condiţia ca diferenţa de potenţial la bornele condensatorului

C5 să fie nulă b) Să se calculeze sarcina electrică adevărată cu care se icircncarcă condensatorul

C5 dacă se dau pF100C1 pF200C2 pF300C3 pF400C4 pF100C4 V100VV BA

Se pot scrie următoarele relaţii 0531 qqq 0542 qqq

BA VVCq

din care se deduce

BA423143215

324155 VVCCCCCCCCC

CCCCCq

Pentru cazul a) trebuie satisfăcută condiţia

relaţie care este independentă de C5

Pentru cazul b) rezultă C1710q

125 Patru condensatoare identice sunt legate ca icircn fig 119 şi sunt conectate

la bateria B Icircn primul caz icircntrerupătorul 2K este deschis iar icircntrerupătorul 1K icircnchis Icircn al doilea caz icircntrerupătorul

1K se deschide iar icircntrerupătorul 2K este icircnchis Se cere se se calculeze diferenţa de potenţial la bornele fiecărui condensator ştiind că diferenţa de potenţial la bornele bateriei B este de 9 V

Fie C capacitatea fiecărui condensator Diferenţa de potenţial la bornele condensatorului C1 C2 sau C3 este

D + ndash

+ ndash ndash

ndash ndash

+ ndash

Fig 118

Fig119

C2 C4 B

- 25 -

V3V iar sarcina fiecăruia VCq atacirct timp cacirct se respectă primul caz Icircn al doilea caz sarcina q a conden-satorului C2 se icircmparte icircn părţi egale icircntre condensatoarele C2 şi C4 VC21q21q icircn timp ce sarcinile şi diferenţa de potenţial a celorlante condensatoare C1 şi C3 rămacircn aceleaşi Diferenţa de potenţial la bornele conden-satorului C2 care este egală cu C4 se va micşora datorită micşorării sarcinii de la valoarea q la valoarea q

126 Se dau două condensatoare conectate ca icircn fig 120 fiind iniţial

neicircncărcate Urmează icircncărcarea lor printr-o manevră ce constă icircn două etape comutatorul K se pune mai icircntacirci pe poziţia şi apoi se trece repede pe poziţia Se cere să se calculeze tensiunea la bornele condensatoarelor şi sarcina acestora după n manevre complete

Se observă că de fiecare dată pe poziţia conden-satorul C1 se icircncarcă la sarcina 010 UCq Dacă notăm kU tensiunea comună la bornele celor două condensatoare după terminarea manevrei k din legea conservării sarcinii electrice rezultă

ke qqq

CCCUCC

CUU (1)

dacă se are icircn vedere că pe poziţia cele două condensatoare se află icircn paralel Scriem relaţia (1) pentru n321k ţinacircnd seamă că 0U 0

CCCUCC

CUCCCUU

CCCUCC

0CCCUU

Icircnmulţim pe racircnd ambii membri ai egalităţilor respective cu 1 CCCC

hellip

și adunăm membru cu membru obţinem

CCC1CC

CUCCCU

Fig120

C1 C2 U0

- 26 -

respectiv

CCC1UU

n1 UCq n

Se observă că 0

nUUlim

13 CALCULUL CAcircMPULUI ELECTROSTATIC

CU METODA IMAGINILOR ELECTRICE

131 METODA IMAGINILOR ELECTRICE

Metoda imaginilor electrice este o metodă de calcul indirect a cacircmpului electric dintr-un domeniu dat pe baza observaţiei că acest cacircmp nu se modifică dacă se menţin condiţiile sale de unicitate Practic se urmăreşte ca anumite conductoare la care este limitat domeniul sau un mediu dielectric icircnconjurător domeniului să se icircnlocuiască ndash cu menţinerea condiţiilor de unicitate ndash printr-un dielectric omogen icircn care sunt plasate corpuri punctuale sau filiforme uniform icircncărcate cu sarcini electrice O astfel de menţinere a condiţiilor de unicitate este posibilă doar icircn unele cazuri particulare icircn care intervin simetrii

Condițiile de unicitate care determină icircn mod univoc cacircmpul electric icircntr-un domeniu D limitat de o suprafaţă icircnchisă icircn care mediul este liniar şi izotrop caracterizat de o permitivitate absolută cunoscută icircn fiecare punct se referă la [ ]

a) condiţiile de frontieră - potenţialul sau componenta normală a inducţiei electrice pe suprafaţa care delimitează domeniul

b) ldquosurselerdquo cacircmpului din domeniu care pot fi - sarcinile corpurilor punctuale icircncărcate - sarcinile sau potenţialele conductoarelor - densitatea de volum de suprafaţă sau de linie ale distribuţiilor de

sarcini electrice - polarizaţia permanentă

Astfel dacă icircntr-un mediu dielectric omogen icircn prezenţa unei suprafeţe conductoare S avem n sarcini punctiforme fig 121a) acelaşi cacircmp electrostatic se poate stabili (pentru domeniul icircn care sunt plasate sarcinile iniţiale) şi icircn cazul repartiţiei de sarcini din fig 121b) Dacă acestea vor fi astfel alese ca valoare şi astfel dispuse icircn spaţiu icircncacirct suprafaţa S să rămacircnă echipotenţială mediul din interiorul suprafeţei fiind de această dată identic cu cel din exterior Această nouă repartiţie va determina acelaşi cacircmp icircn exteriorul suprafeţei S condiţiile de unicitate pentru acest cacircmp (potenţialul suprafeţei S şi sarcinile punctuale) rămacircnacircnd aceleaşi

- 27 -

Sarcinile jq se numesc sarcini imagine icircn raport cu qj şi invers deoarece dacă suprafaţa S este un plan acestea sunt plasate icircn punctul corespunzător imaginii optice icircntr-o oglindă plană

Se consideră pentru exemplificare o sarcină electrică punctiformă q situată la distanţa d de un conductor plan infinit (fig 122) Se consideră punctele de la infinit de potențial nul Icircn acest caz suprafaţa de discontinuitate S este suprafaţa conductorului Metoda imaginilor electrice se aplică suprimacircnd conductorul de suprafaţă S şi extin-zacircnd la infinit domeniul dielectric de permitivitate icircn care se află sarcina +q Pentru a păstra neschimbate condiţiile de frontieră (suprafaţa S să rămacircnă echipotenţială) se introduce sarcina fictivă q imaginea sarcinii q faţă de suprafaţa (S) Deci conductorul se icircnlocuieşte cu sarcina imagine ndashq situată la distanţa d de suprafaţa conductorului (S) Potenţialul V icircn orice punct al domeniului dielectric de permitivitate şi cacircmpul electric E sunt stabilite de sarcina punctiformă q şi sarcina imagine ndashq

Prin superpoziţie cacircmpul electrostatic din dielectricul de permitivitate constantă al unui sistem de sarcini punctiforme qk (k = 1 2hellipn) situate la distanţele dk de semi- spaţiul conductor se calculează icircntroducacircnd imaginile ndashqk la distanţele ndashdk

1k k2k1k

Icircn cazul unui sistem de n conductoare filiforme drepte infinit lungi dispuse paralel cu semispaţiul conductor (pămacircntul de exemplu) şi icircncărcate cu sarcini distribuite

Fig 122

Conductor

VS = const

VS =const

Fig 121

-d1 -d2

Fig 123

- 28 -

uniform cu densităţile lk metoda imaginilor electrice se aplică similar icircnlocuind conductorul masiv cu conductoarele filiforme imagine icircncărcate uniform cu densităţile de sarcină ndashlk (fig 123) Şi icircn acest caz potenţialul şi cacircmpul electric icircntr-un punct oarecare P din domeniul icircn care sunt situate conductoarele se calculează prin superpoziţia potenţialelor şi cacircmpurilor create de conductoarele reale şi de imaginile lor Rezultă astfel

Paralel cu cilindrul circular conductor de rază R infinit lung se găseşte la distanţa D de axa cilindrului icircn dielectricul de permitivitate constantă un fir F icircncărcat uniform cu sarcina electrică de densitate l (fig 124)

Pentru calculul cacircmpului metoda imaginilor electrice se aplică suprimacircnd conductorul şi introducacircnd icircn locul acestuia firul imagine F icircncărcat uniform cu densitatea sarcină l şi plasat la distanţa d de axa cilindrului icircn planul format de aceasta cu firul F

Deoarece suprafaţa cilindrului este echipotenţială icircnainte şi după suprimarea conductorului distanţa d se poate calcula din condiţia ca potenţialele a două puncte oarecare şi icircn particular a punctelor M şi N de pe suprafaţa să fie egale VM = VN Potenţialele acestor puncte se determină prin superpoziţie fiind create de firul real F şi de imaginea sa F

RDdRln

Din egalarea acestor potenţiale se determină distanţa d

RDdR 2

Distanţele firelor F şi F faţă de axa cilindrului satisfac o relaţie de inversiune puterea de inversiune fiind egală cu pătratul razei cilindrului

Fig 124

- 29 -

132 RELAŢIILE DE CAPACITATE ALE LUI MAXWELL Prin ecuaţiile de capacitate ale lui Maxwell se icircnţeleg relaţiile dintre potenţialele

şi sarcinile unui sistem de n conductoare situate icircntr-un mediu dielectric omogen liniar şi izotrop fără polarizaţie permanentă Există trei forme ale acestor ecuații

a) Relaţiile lui Maxwell cu privire la coeficienţii de potenţial

nnnjnj22n11nn

nknjkj22k11kk

nn2jj22221212

nn1jj12121111

qpqpqpqpV

qpqpqpqpVqpqpqpqpV

Coeficienţii kjjk pp sunt independenţi de sarcinile electrice şi densităţile lor la permitivitate dată coeficienţii kjp depind numai de configuraţia geometrică a sistemului de conductoare şi se numesc coeficienţi de potenţial

b) Relaţiile lui Maxwell cu referire la coeficienţii de influenţă

nnnknk22n11nn

njnkjk22j11jj

nn2kk22221212

nn1kk12121111

VVVVqVVVVq

unde kjpentru jk se numesc coeficienţi de influenţă electrică iar jj se numesc

coeficienţi de capacitate proprie c) Relaţiile lui Maxwell cu referire la capacităţile parţiale

1nn1nnnknk1n1n0n0nn

jnjnjkjk1j1j0j0jj

n2n2k2k2212120202

n1n1k1k1121210101

UCUCUCUCq

UCUCUCUCqUCUCUCUCq

icircn care )j(k0C jkjk se numeşte capacitatea parţială icircntre perechea de conductoare j şi k )CC( kjjk n 2 1j C jnjk2j1j0j este capacitatea parţială a conductorului j faţă de pămacircnt (V0 = 0) sau faţă de ecran icircn cazul icircn care sistemul de n conductoare este ecranat

- 30 -

133 CAPACITĂȚI IcircN SERVICIU

Liniile electrice aeriene şi cablurile multifilare de transmisie a energiei sau de telecomunicaţii funcţionează icircn anumite condiţii privind potenţialele sau sarcinile electrice care le icircncarcă

Capacitatea icircn serviciu Csjk icircntre conductoarele j şi k ale unei linii sau cablu funcţionacircnd icircntr-un anumit serviciu este raportul dintre sarcina unuia din conductoare j sau k şi diferenţa dintre potenţialul lui şi al celuilalt conductor

skjsjk VVq

Capacitatea icircn serviciu este o mărime utilă icircn studiul regimurilor de funcţionare a liniilor sau cablurilor electrice numai dacă relaţia care o defineşte este independentă de potenţialele celorlalte conductoare Icircn general această condiţie nu este satisfăcută şi icircndeplinirea ei necesită existenţa unor relaţii icircntre potenţiale precum şi a unor simetrii icircn configuraţia geometrică a sistemului de conductoare

134 APLICAŢII ȘI PROBLEME

131 Să se calculeze cacircmpul şi potenţialul produs de două conductoare paralele cu pămacircntul icircncărcate cu sarcini egale și de semn contrar (fig 125) Capacitatea icircn serviciu a liniei bifilare aeriene (serviciul 0qq 21 )

Cacircmpul şi potenţialul produs de două conductoare filiforme paralele infinit lungi icircncărcate cu sarcinile ll se calculează pe baza suprapunerii efectelor așa cum s-a arătat icircn pragraful 113

RRln2V

Se aplică metoda imaginilor electrice elimi-nacircnd pămacircntul și introducacircnd conductoare imagine simetrice cu conductoarele reale față de suprafața pămacircntului icircncărcate cu sarcini de semn contrar Cacircmpul și potențialul icircntr-un punct oarecare P din spațiu se determină prin contribuția perechilor de conductoare 1 1 și 2 2 (fig 125)

1lP rr

rrln2rrlnr

Pentru a determina potențialele conductoa-relor 1 și 2 se deplasează succesiv punctul P pe suprafața fiecăruia dintre aceste conductoare

221dDa

dDln2V1P

l Fig 125

ndashl

1 +l ndashl

- 31 -

dDdDaln2V2P

Capacitatea icircn serviciu a conductoarelor faţă de pămacircnt este

110S CC

dDadDln

dDadDln2

iar capacitatea icircn serviciu dintre conductoarele liniei bifilare este

dDRdDlnVV

112 ss

Icircn practică se utilizează capacitatea specifică dată icircn Fkm

dDRdDln36

dDRdDln

132 Să se determine capacitatea pe unitatea de lungime a doi cilindri conductori foarte lungi fig126 cu axele paralele de raze egale aRR 21 distanţa dintre axele lor fiind a2D Cilindrii sunt situaţi icircntr-un dielectric omogen de permitivitate Să se determine apoi

a) capacitatea pe unitatea de lungime a unei linii bifilare aeriene subţiri aD 2 depărtate de pămacircnt

b) capacitatea proprie faţă de pămacircnt a unui cilindru gros situat la distanţa 2DH de pămacircnt

Se utilizează metoda imaginilor icircnlocuind cilindrii cu două fire-imagini F1 şi F2

icircncărcate cu sarcinile l şi l pe unitatea de lungime plasate astfel icircncacirct suprafeţele cilindrilor să rămacircnă echipotenţiale (la distanţa x de axele cilindrilor respectivi)

Potenţialul determinat de perechea de fire F1 F2 icircntr-un punct P are expresia

2 Vrrln2

1PV l constV0

Suprafețele echipotenţiale date de ecuațiile

sunt cilindrice iar urmele lor icircn plane trans-versale pe cele două fire sunt cercurile lui Apollonius Suprafeţele conductoarelor reale

pot fi deci echipotenţiale icircn cacircmpul imaginilor dacă poziţia acestora este convenabil aleasă Scriem echipotenţialitatea punctelor A şi A respectiv B şi B

Fig 126

A B B O1 O2

- 32 -

Rezultă aceeași condiție care poate fi scrisă sub forma

cu soluția admisă 22

2Dx (cealaltă rădăcină nu se admite deoarece ax )

Potenţialele celor două conductoare vor fi

022011 Va4DD

a2ln2Vln2V

0101022 V2VVln2Vln2V

Tensiunea dintre cei doi cilindri este

22012112

a4DDa2ln1VV2VVU

Capacitatea specifică (pe unitatea de lungime) a cilindrilor rezultă

a4DDa2lnUC

iar distanţa dintre firele-imagini 22 a4Dx2Dd

a) Icircn cazul liniei bifilare la mare distanță de pămacircnt (pentru a nu considera perturbaţia pe care acesta o aduce cacircmpului celor două fire) şi cu conductoare foarte subţiri a2D se poate scrie

Da41DDa4DD

sau dezvoltacircnd icircn serie şi reţinacircnd numai primii doi termeni

D2a411Da4DD

Rezultă pentru capacitatea specifică a liniei

kmFaDln36

mFaDln

- 33 -

b) Icircn cazul unui cilindru gros situat la distanţa 2DH de pămacircnt (adică de un plan conductor) calculul efectuat ca mai sus după introducerea a două fire-imagini duce la aceeaşi expresie a potenţialului (suprafaţa pămacircntului fiind planul de simetrie al sistemului celor două fire) Se obţine

2210112a4DD

a2ln2ln2VVU

unde H2D

aHHaln

Se observă că ssb C2C ceea ce se explică imediat dacă se observă că icircn cazul celor doi cilindri se poate considera că se pun icircn serie două capacităţi de tipul sbC

133 Să se determine capacitatea icircn serviciu a unei linii bifilare de rază a

reprezentată icircn figura 127 serviciul cu 021 qq Se cunoaşte că potenţialul unui punct P din

apropierea unei linii aeriene monofilare icircn prezenţa pămacircntului este dat de relaţia

rrln2VPV

r fiind distanţa din punctul P la conductorul imagine iar r distanţa din acelaşi punct şi linie Icircn cazul liniei bifilare din fig 127 luacircnd potenţialul de referinţă 0V0 potenţialul icircn punctul P va fi

0 rrrrln2r

rln2rrln2PV

Prin deplasarea punctului P pe conductoarele 1 şi respectiv 2 se obţin următoarele relaţii

hHaln2VhHahHH2ln2V

Diferenţa de potenţial dintre conductoare va fi

021 hHa

hHhH4ln2VV

iar capacitatea icircn serviciu

hHahHhH4ln

Exemplu aplicaţie numerică km6751l cm1a m6H m5h

Fig 127

ndashl

- 34 -

3032410ln411101654ln

și rezultă

nF10F10303241106751

109412

134 Un fir conductor de rază a rectilniu este

situat la distanţă h deasupra pămacircntului Un al doilea fir conductor de aceeaşi rază rectiliniu şi paralel cu primul se găseşte la icircnălţimea h deasupa pămacircntului la distanţa D pe orizontală de celălant fir (fig 128) Ştiind că primul fir are potenţialul V1 faţă de pămacircnt şi că cel de-al doilea conductor este izolat şi are sarcina totală nulă se cere să se calculeze potenţialul V2 al celui de-al doilea conductor faţă de pămacircnt

Date numerice mm3am1Dm14hm15HkV10V1 Se consideră hHa

Cu ajutorul relaţiilor lui Maxwell

2221212

2121111

qpqpVqpqpV

dacă 02 q rezultă

2112 ppVV

Coeficienţii de potenţial se calculează utilizacircnd metoda imaginilor Utilizacircnd simetria sistemului

H2ln21

1101q2

hHDhHDln2

1qVp 12

și rezultă

DhHDhHln

Icircn cazul dat la această problemă

m29r12 m411r 21 023rrln

21 29aH2ln și rezultă V3280V2

Fig 128

ndashl

- 35 -

135 Să se determine capacităţile icircn serviciu ale unei linii bifilare ale cărei conductoare sunt situate ca icircn problema precedentă icircn ipoteza 021 qq

Din relaţiile lui Maxwell

2221212

2121111

qpqpVqpqpV

cu 2112 pp şi 0qq 21 rezultă

11s pp

22s pp

12221121

112s p2pp

hH2ln2

1p11 l 22

2112 hHDhHDln2

l ah2ln2

1p22 l

rezultă

hHDhHD

]hHD[a

hHDaHh4ln

Icircnlocuid cu valori numerice rezultă

mpF626CmpF059CmpF9C 12s2s1s

136 Să se calculeze capacităţile icircn serviciu şi capacităţile parţiale ale unui cablu bifilar ecranat avacircnd sarcinile egale şi de semn contrar 021 qq Se presupune că raza a a conductoarelor este mică icircn raport cu raza R a ecranului şi cu distanţa d dintre axa conductorului şi axa icircnvelişului cilindric ( figura 129)

Fig 129

- 36 -

Modelul de calcul al capacităţii cablului bifilar de lungime infinită este constituit dintr-un tub cilindric circular conductor de rază R icircn interiorul căruia icircn dielectricul de permitivitate se găsesc aşezate simetric la distanţa d de axa tubului două fire conductoare identice de rază Ra icircncărcate cu sarcini de densităţi l şi l

Metoda imaginilor se aplică icircnlocuind tubul de rază R cu firele imaginare 1 cu

l şi 2 cu l situate simetric faţă de axa tubului la distanţa dRD

2 pentru ca icircn

cacircmpul rezultant suprafața cindrică de rază a să rămacircnă echipotenţială Se utilizează relaţiile lui Maxwell

2221212

2121111

qpqpVqpqpV

Se observă că din motive de simetrie

adDln2

1ppp 02211

l dadRln2

m2112 dRd2ln2

d2ln21ppp

Icircn baza faptului că 21 qq avem

qppVqppV

Şi capacităţile icircn serviciu sunt

)dR(ad)dR(2ln

1Sm021

121s12S C2

1)pp(2

Pentru determinarea capacităţilor parţiale se folosesc formele 2 şi 3 ale ecuațiilor lui Maxwell

2212221212

1122121111

icircn care 2m

m2112222

011 pp

Adunacircnd și scăzacircnd icircn membrul drept al ecuațiilor de mai sus termenii V112 respectiv V221 se obțini ecuațiile icircn capacități parțiale de forma

12212202

21121101

VVCVCqVVCVCq

icircn care

- 37 -

ppppppCC

012112010

sunt capacitățile parțiale dintre fiecare conductor și ecran iar

)pp()pp(p

m122112

este capacitatea parțială dintre cele două conductoare

137 Se dă un cablu trifazat avacircnd conductoarele aşezate simetric icircn interiorul unui icircnveliş metalic cilindric figura 130 Să se determine capacităţile parţiale şi icircn serviciu icircn ipoteza 0qqq 321 Se va considera Rda

Pentru calculul numeric se vor utiliza datele următoare permitivitatea dielectricului cablului 03 raza ecranului cm52R raza fiecărului conductor

cm50a iar distanţa dintre axa cablului şi fiecare dintre axele conductoarelor cm251d

Se pleacă de la relațiile lui Maxwell

3332321313

3232221212

3132121111

qpqpqpVqpqpqpV

qpqpqpV

Datorită simetriei coeficienţii de potenţial satisfac următoarele relaţii

Fm10112adDln2

1pppp 90332211

Fm10885

d3dRdRln2

m312312

Ecuațiile lui Maxwell icircn condițiile de serviciu ( 0qqq 321 ) se pot scrie

q)pp(Vq)pp(Vq)pp(V

Capacităţile icircn serviciu sunt egale ele rezultacircnd uşor din ecuaţiile lui Maxwell

kmF1610pp

1VqCCC

13s2s1s

Capacităţle parţiale se deduc de asemenea uşor utilizacircnd ecuaţiile lui Maxwell sub forma

3332321313

3232221212

3132121111

VVVqVVVqVVVq

icircn care

- 38 -

)p2p()pp(

p)p2p()pp(

)p2p()pp(pp

m0m12312312

332211m0

icircn care este determinatul sistemului de ecuații cu referire la coeficienții de potențial iar ik (ik = 123) sunt complemenții algebrici ai termenilor pik din același sistem luați cu semnul corespunzător

Icircn final se scriu ecuațiile pentru capacități parțiale ale lui Maxwell sub forma

330233213313

322322012212

311321121101

VCVVCVVCqVVCVCVVCq

VVCVVCVCq

Din motive de simetrie capacitățile parțiale dintre conductoare și dintre fiecare conductor și ecran sunt egale

kmF040)p2p()pp(pCCC

m312312312312

kmF0420p2p1CCC

m0131211302010

138 Să se compare capacitatea icircn serviciu pe 1km din lungime a următoarelor

trei linii trifazate a) conductoarele sunt aşezate icircn vacircrfurile unui triunghi echilateral cu latura D

latura inferioară a triunghiului fiind paralelă cu pămacircntul şi fiind situată la icircnălţimea h0 deasupra pămacircntului

b) conductoarele sunt aşezate la aceeaşi icircnălţime h0 distanţa dintre ele fiind D c) conductoarele sunt aşezate pe verticală la distanţa D unul de altul

conductorul inferior fiind la icircnălţimea h0 Pentru calculul numeric se dau datele următoare mm10r m5h0 m3D Liinile au conductoare transpuse fig 131a) Pentru ca linia să fie simetrică adică cu capacităţi icircn serviciu egale petru toate

conductoarele ei se realizează transpunerea conductoarelor unul icircn locul celuilant icircn puncte situate la distanţe egale icircn lungul liniei aşa cum se arată icircn fig 131a) Icircn acest fel se icircnlătură pe lacircngă nesimetria capacităţilor icircn serviciu atacirct inducţia electrostatică şi electromagnetică icircntre conductoarele liniei cacirct şi influenţa liniei date asupra liniilor de telecomunicaţii din imediata apropiere

Fig 131a) Transpunerea conductoarelor la o linie trifazată

- 39 -

Icircn urma tranziţiei icircn relaţiile lui Maxwell

3332321313

3232221212

3132121111

qpqpqpVqpqpqpV

qpqpqpV

putem considera coeficienţii proprii de potenţial egali cu o anumită valoare medie icircntre 11p 22p 33p icircntrucacirct un conductor trece succesiv icircn poziţiile 1 2 3

3322110 ppp31p

şi analog coeficienţii mutuali de potenţial de asemenea egali cu

312312m ppp31p

Dacă 0qqq 321 relaţiile lui Maxwell devin

q)pp(Vq)pp(Vq)pp(V

de unde se deduc capacităţile icircn serviciu

m00s30s20s10s pp

rrrhhh2

rrrddd

3312312

0rdrh2ln

dddrrr

rrrhhh

3312312

unde s-a notat cu h ndash valoarea medie geometrică ale icircnălţimilor conductoarelor r ndash valoarea medie geometrică a distanţelor dintre conductoare 0r ndash valoarea medie geometrică a razelor conductoarelor d ndash valoarea medie geometrică a distanţelor dintre conductoare şi imaginile lor icircn raport cu pămacircntul (fig 131b)

Pentru cazul a) din enunţ fig 132 avem

mm10rrrr 0321 m3Drrr 312312

m75523355

23Dhhh 3

2 12r r23

ndashl1

ndashl2

ndashl3

Fig131b)

- 40 -

12 dm71223Dh2

m4510h2Dd 20

m9114510712d 3 2

675911010

37552lndrrh2ln

Prin urmare capacitatea pe unitatea de lungime va fi

0880mnF0880

67510412

drhr2ln

Pentru cazul b) din enunţ fig 133 avem

mm10r0 m5hh 0

m7832DD2r 33 3

m4510)h2(Ddd 20

m6511D2h2d 22031

m841065114510d 3 2

8558410010

78352lnrhr2ln0

00950mpF

59C sb

Pentru cazul c) din enunţ fig 134 avem

m671185)D2h()Dh(hh 33000

m19D3h2d 012 m13Dh2d 023 m16D2h2d 031

cm815dddd 3312312

895815010

783672lndrrh2ln

009420mpF

429C sc

Fig 134

D1 2 3

Fig 133

Fig 132

- 41 -

14 ENERGIA ȘI FORŢELE CAcircMPULUI ELECTROSTATIC 141 NOȚIUNI TEORETICE Energia electrică liberă a cacircmpului electrostatic corespunzător unui sistem de

corpuri icircncărcate cu sarcină electrică adevărată distribuit icircntr-un domeniu de dimensiuni finite şi avacircnd proprietăți liniare poate fi calculată icircn cazul cel mai general cu integrala extinsă la icircntreg spaţiu [1214]

dV2DEW

icircn care

2DEw e (147)

este densitatea de volum a energiei libere a cacircmpului electrostatic Icircn medii dielectrice liniare fără polarizare permanentă avem ED și expresia energiei electrostatice poate fi scrisă

dV2DdV

Energia electrică liberă a cacircmpului electrostatic al unui sistem de n conductoare omogene avacircnd sarcinile qk și potențialele Vk aflate icircntr-un mediu dielectric liniar are expresia

1kkke Vq

21W (149)

Icircn cazul a două conductoare icircncărcate cu sarcini egale şi de semne contrare q şi q formacircnd un condensator de capacitate C sub tensiunea U se obţine

2e (150)

Forța electrostatică ce acționează asupra unei corp punctiform imobil icircncărcat cu sarcina q situat icircn cacircmp electrostatic

EqFq (151)

Forțele ce acționează asupra corpurilor electrizate situate icircn cacircmp electrostatic pot fi calculate și pe baza densității de volum a forței electrostatice dată de relația generală [ ]

21Eρf 22

ve grad grad (152)

care conţine următoarele componente Ev ndash densitatea de volum a forţei ce se exercită asupra unităţii de volum

icircncărcată cu sarcina v situată icircn cacircmpul electric E

εE21 2 grad ndash densitatea de volum a forţei datorată neomogenităţii

dielectricului (permitivitatea este funcţie de punct)

- 42 -

21 2 grad ndash densitatea de volum a forţei de electrostricţiune datorată

variaţiei permitivităţii cu densitatea de masă ndash intervine icircn studiul fenomenului de electrostricţiune

Forţa totală care acţionează asupra unui corp icircn regim electrostatic se calculează prin integrare pe volumul corpului

ee dVfF (153)

Variaţia energiei electrostatice a unui sistem de n conductoare avacircnd sarcinile qk și potențialele Vk la variaţia sarcinilor kq cu kq şi a coordonatelor generalizate kx cu kx este [ ]

1kkkkk xXqVdW (154)

unde kX este forţa generalizată Forţa generalizată kX ce acţionează icircn sensul creşterii coordonatei generalizate

xk poate fi calculată icircn funcție de energia electrostatică a sistemului pentru două situații distincte la sarcini constante q = const sau la potențiale (tensiuni) constante V= const cu relațiile

constqk

respectiv

constVk

Exemple Forţa care se exercită icircntre armăturile unui condensator plan Pentru energia icircnmagazinată icircn cacircmpul electric al condensatorului pot fi utilizate

relaţiile (150) capacitatea condensatorului plan fiind dată de relaţia dAC

Coordonata generalizată este icircn acest caz distanţa d dintre armături iar forţa care se exercită asupra armăturilor se calculează aplicacircnd succesiv relațiile (155)

constq

dWF 22

constU

Expresia forţei este aceeaşi şi calculacircnd derivata obţinem

Faptul că această forţă este negativă semnifică că ea acţionează icircn sens invers creşterii coordonatei generalizate adică a distanţei d dintre armături fiind deci o forţă de atracţie dintre armăturile condensatorului

- 43 -

Instrumentul de măsură electrostatic Instrumentul de măsură de tip electrostatic este constituit din două plăci fixe P1

şi o placă mobilă P2 (fig 135) Sistemul mobil este menţinut icircn echilibru de un resort spiral R care creează un moment rezistent proporţional cu unghiul de deviaţie

Mr = kR

Capacitatea dintre sistemul mobil şi cel fix este funcţie de unghiul deci forţa

generalizată este un cuplu

CU21WM 2

constV

Sistemul este icircn echilibru cacircnd cuplul rezistent Mr este egal cu cuplul activ Ma adică

R2 kCU

Icircn funcţie de forma armăturilor capacitatea poate depinde după o anumită relaţie de unghiul

Pentru o dependenţă liniară C = k1 rezultă

k2kk unde kU

Instrumentul are icircn acest caz scala pătratică

Pentru o dependenţă logaritmică de forma C = k1ln + k2 rezultă

12 Uk2k

k sau kU

Se obţine astfel o scală liniară a instrumentului

Fig 135

- 44 -

142 APLICAŢII ȘI PROBLEME 141 Să se determine forţa ce acționează asupra dielectricului unui

condensator plan parțial introdus icircntre armături ( fig135)

Soluția 1 Se aplică teorema forțelor generalizate

xxWF 22e

ctUctU

icircn care C este capacitatea sistemului Pentru x gt 0 capacitatea sistemului este de fapt capacitatea echivalentă a două condensatoare conectate icircn paralel

xaCCC 00

Rezultă astfel

1Ub2a1U

Forța fiind negativă ea acționează icircn sens invers creșterii coordonatei x deci este o forță de atracție a dielectricului dintre armături

Soluția 2 Se utilizează expresia densității de volum a forței electrostatice (152) care icircn

acest caz se reduce la al doilea termen

gradf e2E

dxd igrad

e abE2

abdxdadE

Avicircnd icircn vedere că E = Ub rezultă

1Ub2aF r

L x = l

Fig 135

- 45 -

142 Se dă un fir de rază a şi de lungime l situat paralel cu pămacircntul la distanţa h fig 1 36 Firul este pus la tensiune V faţă de pămacircnt Ştiind că permiti-vitatea relativă a aerului este egală cu unitatea să se determine forţa de atracţie dintre fir şi pămacircnt Date numerice m10h m100l kV110U cm50a

O primă soluţie se obţine din

C fiind capacitatea firului faţă de pămacircnt Pentru a determina această capacitate aplicăm metoda imaginilor şi plasăm un conductor de aceleaşi dimensiuni icircn mod simetric faţă de pămacircnt Capacitatea conductor ndash pămacircnt este dublul capaci-tăţii dintre conductor şi imagimea lui şi are expresia

Icircnlocuind icircn expresia forţei rezultă

A doua soluţie presupune că forţa se poate calcula direct ştiind că va fi aceeaşi cu forţa dintre două fire paralele de sarcini egale şi de semn contrar situate la distanţa 2h Se obţine

ah2lnhh4

Icircn cazul datelor numerice date icircn problemă rezultă

N04904000ln

105020ln

11000010

1001036

143 Se consideră un fir conductor rectininiu de rază a şi de lungime l Firul

este situat icircn interiorul unui cilindru conductor de rază interioară aR avacircnd axa paralelă cu firul fig137 Distanţa d dintre axa firului şi axa cilindrului este foarte mare icircn raport cu a ad de asemenea adR Se cere să se calculeze forţa care se exercită asupra firului dacă icircntre fir şi cilindru se aplică o tensiune U

Fig 136

- 46 -

Vom calcula capacitatea fir ndash cilindru aplicacircnd metoda imaginilor Se elimină

cilindrul introducacircnd un fir conductor imagine de rază a la distanţa D de axa cilindrului icircncărcat cu sarcina l dacă l este sarcina firului din interiorul cilindrului

Icircn punctul P situat la distanţa r de firul interior şi r faţă de firul exterior potenţialul va fi

Suprafaţa interioară a cilindrului trebuie să fie icircn cacircmpul celor două fire icircncărcate o suprafaţă echipotenţială Punacircnd această condiţie pentru două puncte oarecare ale suprafeţei se poate determina mărimea D necunoscută Alegem punctele C1 şi C2 calculele rezultacircnd mai simple icircn aceste cazuri

de unde d

şi prin urmare RadRln

2dRRDln

Capacitatea pe unitatea de lungime rezultă imediat

RadRln

iar forţa care se exercită asupra firului pe unitatea de lungime rezultă

RadRlndR

dU2dCU2

Ultima expresie evidenţiază posibilitatea de a fi calculată această forţă ca forţa dintre fir şi firul imagine

- 47 -

144 Să se calculeze forţa de atracţie dintre două conductoare cilindrice de lungime foarte mare l de raze egale cu a dispuse paralel la distanţa aD 2 (icircntre axele lor) icircntr-un dielectric omogen de permitivitate cu sarcinile q şi q

Capacitatea celor două conductoare cilindrice pe unitatea de lungime este așa cum s-a determinat la problema 132

a4DDa2ln

şi forţa rezultă

semnul indică tendinţa de atracţie a conductoarelor (de scădere a distanţei D) O a doua soluţie pentru rezolvarea problemei este utilizarea metodei imaginilor

pentru determinarea capacităţii (studiată la problema 132) unde cele două conductoare

au fost icircnlocuite cu două fire-imagini cu sarcinile sarcinillq

şi llq

dispuse

paralel icircn mediul omogen de permitivitate la distanţa 22 a4Dx2Dd Forţa dintre cei doi cilindri trebuie icircnsă să fie egală cu forţa dintre cele două fire-

imagini Icircntr-adevăr icircnlocuirea de exemplu a unuia dintre cilindri cu firul imagine nu schimbă cacircmpul icircn apropierea celuilant cilindru şi deci nici forţa execitată asupra celuilant cilindru Egalitatea acţiunii şi reacţiunii icircn cele două situaţii impune ca şi forţa care se exercită asupra primului cilindru să fie egală cu forţa care se exercită asupra firului-imagine după icircnlocuirea efectuată Forţa dintre două fire paralele se calculează icircnmulţind cacircmpul unui fir cu sarcina celuilant şi are expresia

icircn care 12u este versorul orientat de la conductorul 1 la conductorul

Icircnlocuind 22 a4Dd rezută relaţia determinată icircn primul caz

145 Se consideră un bloc paralelipipedic din metal cu dimensiunile a b și g iar sarcina lui electrică totală este nulă Blocul este introdus parţial icircntre armăturile dreptunghiulare ale unui condensator plan cu dimensiunile a şi b situate icircn vid la distanţa gg cu diferenţa de potenţial U icircntre ele fig 138a) Să se calculeze forţa cu care blocul este atras icircntre armături ştiind că muchiile blocului şi ale armăturilor sunt paralele (se neglijează efectele marginale produse de suprafaţa blocului metalic)

Pentru calculul numeric se dau datele cm10a mm3g21g V100U

Prin introducerea parţială a paralalelipipedului icircntre armături s-a format un sistem de trei condensatoare C1 C2 C3 conectate ca icircn figura 138b) și avacircnd capacităţile

- 48 -

xbaC 0

Capacitatea echivalentă a sistemului este

Forţa care se exercită asupra blocului paralelipipedic se calculează uşor

Ugaggg

Forța fiind pozitivă ea acționează icircn sensul creșterii coordonatei x deci este o

forță de atracție a blocului metalic icircntre armături Numeric

N107400030006000602

0030100101094

146 Cinci condensatoare de capacităţi F2CCCC 4321 F4C 0 sunt legate icircntr-o conexiune identică cu aceea a punţii Wheatstone condensatorul C0 aflacircndu-se icircn diagonala punţii fig 139a) La bornele A şi B se aplică tensiunea constantă V100U

Fig 138

U + C1

- 49 -

Se cere a) să se calculeze capacitatea echivalentă faţă de bornele A B (utilizacircnd o

transformare triunghi ndash stea) precum şi sarcinile condensatoarelor b) să se calculeze energia electrostatică a cacircmpurilor electrice ale

condensatoarelor c) să se calculeze energia transformată icircn căldură la scurtcircuitarea

condensatorului C1 prin icircnchiderea icircntrerupătorului K2 după ce icircn prealabil s-a decuplat sursa de tensiune de la bornele A şi B prin deschiderea icircntrerupătorului K1

a) se transformă condensatoarele C0 C1 C3 legate icircn triunghi faţă de bornele A ndash

C ndash D icircn trei condensatoare echivalente legate icircn stea CA CC CD fig 139b) Notacircnd CCCCC 4321 se obţine

CCCCCCC

CCCCCCCC 00

F6611220

Capacitatea echivalentă faţă de bornele A ndash B va fi

32353235

C2CC2CC

Avem icircn continuare

C102100102UCqq 46A

- 50 -

V40105102

V60V40V100UUU 0AB0

Dacă notăm cu q sarcina electrică a condensatorului C putem scrie

C109696010661UCq 56B0

C10qqqqq 4C42

Tensiunea icircntre bornele A ndash C este

V5010101010040C

qUUUU 6

C0AC00AAC

Rezultă

AC11 qqC1050102UCq b) energia electrostatică din cacircmpul electric al condensatoarelor este

J101010221UC2

1W 2462e

c) după decuplarea icircntrerupătorului K1 şi apoi după scurtcircuitarea

condensatorului C1 prin icircnchiderea icircntrerupătorului K2 sarcina electrică a noului condensator echivalent va rămacircne 42 qq conform legii de conservare a sarcinii electrice

Energia electrică după icircnchiderea lui K2 va fi

J105710

1022422422

CCCCCCC

qq21W 2

Energia transformată prin efect electrocaloric va fi

J10429010571010WWW 2220

- 51 -

2 CAcircMPUL MAGNETIC STAȚIONAR

21 BREVIAR DE CALCUL PENTRU CAcircMPUL MAGNETIC

Regimul magnetostatic Se presupune că un sistem fizic format din corpuri şi cacircmp electromagnetic se găseşte icircn regim magnetostatic cacircnd corpurile se găsesc icircn imobilitate relativă toate mărimile de stare electrică sunt nule iar mărimile de stare magnetică sunt constante icircn timp Icircn regim staționar cacircmpul magnetic este produs de conductoare parcurse de curent continuu și de corpuri aflate icircn stare de magnetizare

Studiul cacircmpului magnetic independent de cacircmpul electric este posibil numai icircn regim staţionar Icircn regim variabil cacircmpul electric şi cacircmpul magnetic sunt cele două aspecte inseparabile ale unui sistem unic ndash cacircmpul electromagnetic ndash care poate exista independent de corpuri

Inducţia magnetică B este mărimea de stare care caracterizează local cacircmpul magnetic Este definită prin acțiunea ponderomotoare (cuplu de forțe) ce acționează asupra buclei de curent ndash o mică spiră filiformă parcursă de curent electric icircn regim staționar (situată icircn vid sau icircn aer) ndash cuplu dat de relaţia vvb BAIBmC Inducţia magnetică se măsoară icircn tesla (T) icircn icircn SI Icircn sistemul de unităţi CGSem este utilizată unitatea de măsură numită gauss (Gs) 1T = 104Gs

Fluxul magnetic ψ este o mărime derivată scalară care caracterizează proprie-tăţile cacircmpului magnetic icircn raport cu o suprafaţă SΓ

dată fiind definit prin integrala de suprafaţă a inducţiei magnetice B

S dAcosBAdB (21)

Icircn cazul unei bobine se utilizează noţiunile de flux magnetic fascicular şi flux magnetic icircnlănţuit sau total Fluxul magnetic fascicular notat cu este fluxul magnetic care străbate porţiunea de suprafaţă elicoidală Si care se sprijină pe o singură spiră a bobinei Fluxul magnetic icircnlănţuit sau total este fluxul magnetic care străbate supra-faţa elicoidală S care se sprijină pe toate spirele bobinei Dacă bobina are N spire este evidentă relația N

Unitatea de măsură pentru fluxul magnetic icircn SI se numeşte weber (Wb) Se mai utilizează şi unitatea de măsură numită maxwell (Mx) 1Wb = 108Mx (CGSem)

Intensitatea cicircmpului magnetic H este caracterizează local cicircmpul magnetic Icircn vid este un vector coliniar cu inducția magnetică dat de relația BH v0v icircn care

mH104 70

este permeabilitatea magnetică a vidului Unitatea de măsură pentru intensitatea cicircmpului magnetic este Am icircn SI

- 52 -

Calculul cacircmpului magnetic constă icircn determinarea inducției magnetice sau a intensității cicircmpului magnetic icircn punctele din spațiu icircn care există cacircmp magnetic Pentru calcul se pot utiliza diferite metode cum sunt formula lui Biot ndash Savart ndash Laplace teorema lui Ampegraver metoda imaginilor magnetice etc

Formula lui Biot ndash Savart ndash Laplace permite calculul inducţiei sau intensității cacircmpului magnetic produs icircntr-un punct din vid la distanța R de un circuit filiform de contur parcurs de curentul i (fig 21)

3vv RRsd

4HB oo

μμ i (22)

Teorema lui Ampegraver sau legea circuitului magnetic icircn regim staționar stabilește

că tensiunea magnetomotoare um icircn lungul unei curbe icircnchise este egală cu curentul total iS respectiv cu solenaţia curenţilor de conducţie S prin orice suprafaţă deschisă S care se sprijină pe curba

Sm θsdHu (23)

Icircn cazul unei bobine cu N spire parcursă de curentul i solenația este iN 22 APLICAŢII

21 Să se calculeze intensitatea cacircmpului magnetic produs de un conductor filiform rectiliniu de lungime finită l parcurs de curentul I figura 22 Se poate utiliza formula lui Biot ndash Savart ndash Laplace

A3RRsd

Vectorul Rsd este perpendicular pe planul figurii

cosRdse2sinRdsesinRdseRsd

Se alege ca variabilă de integrare unghiul tgrs

cosrds 2

2sinsinr4

Iedscos

coscos4IeH

Pentru un conductor infinit lung er2IH221

Fig 21

Fig 22

- 53 -

La acelaşi rezultat se ajunge utilizacircnd teorema lui Ampegravere

sdH solenația

fiind icircn acest caz I Liniile de cacircmp sunt circulare situate icircn plane perpendiculare pe conductor și sensul lor este dat de sensul de rotație al burghiului drept care icircnaintează icircn sensul curentului Se integrează de-a lungul unei linii de cacircmp astfel că vectorii H și

sd sunt omoparaleli și rezultă

r2IHr2HdsHsdH

22 Să se calculeze intensitatea cacircmpului magnetic icircntr-un punct de pe axa unei

spire circulare de rază a parcursă de curentul i fig 23

Utilizăm formula lui Biot ndash Savart ndash Laplace

Rsd4H i

Rsd21Ad

R4H ii

unde lS este suprața laterală a cilindrului cu vacircrful icircn punctul P Icircn general pentru o suprafață icircnchisă

AdAd0Adb

unde Sb este suprafața bazei conului

naAd 2

unde n reprezintă versorul normalei la planul spirei orientat după axa x in

3 Da2an

sau icircnlocuind Rasin rezultă sin

R2aH 2

Icircn centrul spirei na2

Altă metodă Elementul de lungime al spirei ds parcurs de curentul i produce icircn punctul P cacircmpul elementar

Cacircmpul pe axa spirei va fi dat de componenta sindHdHx

Fig 23

xHd n a

- 54 -

dsRRsdsdR

4HH 23xii

sinR2aH 2

i Rasin 2322

3 Da2a

23 Să se calculeze intensitatea cacircmpului magnetic icircntr-un punct de pe axul unui solenoid cu N spire parcurs de curentul i (fig 24)

Fig 24 Stratul de lungime dx este parcurs de curentul dxNi

ldi Acesta poate fi

considerat ca o spiră parcursă de curentul di care va determina icircn punctul P cacircmpul magnetic (vezi aplicația anterioară)

adH 2di dxsin

R2adH 2 l

Se va integra după unghiul

adx 2 sinaR

dsin2Nid

sinaNisin

21 coscos2iNdsinl2

iNdHH1

Icircn centrul solenoidului 21

2NicosNiH

Pentru solenoidul infinit lung al 00 21

- 55 -

3 ELECTRODINAMICA

31 LEGEA INDUCȚIEI ELECTROMAGNETICE

311 Noțiuni teoretice Sub formă integrală enunțul legii este tensiunea electromotoare e indusă

prin fenomenul inducției electromagnetice de-a lungul unei curbe icircnchise este egală cu viteza de scădere icircn timp a fluxului magneticS prin orice suprafaţă deschisă S care se sprijină pe curba

e (31)

Forma integrală dezvoltată a legii inducţiei electromagnetice

Ad)B(AdtBsdE v rot e (32)

evidențiază cele două componente ale tensiunii electromotoare induse tensiunea electromotoare indusă prin pulsaţie numită şi tensiune electro-

motoare statică sau de transformare

tre (33)

stabilită exclusiv prin variaţia icircn timp a inducţiei magnetice suprafaţa S fiind fixă tensiunea electromotoare indusă prin mişcare

Ad)B(rotmisc ve (34)

stabilită exclusiv prin variaţia icircn timp a suprafeţei S respectiv a curbei inducţia magnetică fiind constantă icircn timp

De exemplu icircntr-un conductor drept de lungime l care se deplasează cu viteza v icircntr-un cacircmp magnetic uniform de inducţie constantă B (fig 31) tensiunea electromotoare indusă este

cossinB)B(misc lvlve (35)

Dacă conductorul se deplasează perpendicular pe liniile de cacircmp magnetic tem indusă are valoarea maximă

lBve (36)

Fig 31

- 56 -

312 Aplicații la legea inducției electromagnetice Generarea tensiunilor electromotoare alternative Se consideră o bobină dreptunghiulară cu laturile 2a şi b (fig 32) Bobina se

roteşte cu n rots icircn jurul axei proprii OO icircntr-un cacircmp magnetic omogen de inducţie B constantă icircn timp şi perpendiculară pe axa spirei

Notacircnd cu = 2n viteza unghiulară unghiul format la un moment dat de normala la planul bobinei cu inducţia magnetică este = t Fluxul magnetic fascicular este

tcostcosabB2cosBAAdB mS i

unde abB2m este fluxul fascicular maxim prin suprafaţa unei spire a bobinei Tensiunea electromotoare indusă icircn bobină este

tsinNdtdN m

sau tsinEm e (38)

unde cu mm NE s-a notat valoarea maximă sau amplitudinea acesteia Tensiunea electromotoare e variază sinusoidal icircn timp cu frecvenţa 2f (fig 33) Valoarea efectivă a tensiunii electromotoare este

mmm fN444fN

Acelaşi rezultat se obţine calculacircnd tensiunea electromotoare indusă cu relaţia

sd)B(sdE ve (310)

unde conturul de integrare se ia de-a lungul conductorului bobinei Pentru laturile b vectorii )B( v şi sd sunt omoparaleli (fig1) iar pentru laturile 2a sunt perpen-diculari Prin urmare despărţind conturul pe porţiuni integrala este nenulă numai pe laturile b ale bobinei şi rezultă

sinBNb2b)B(N2 vve

Fig 33

Fig 32

- 57 -

Viteza liniară fiind av rezultă cum era de aşteptat aceeaşi relaţie pentru tensiunea electromotoare

tsinEtsinabNB2 m e

Dispozitivul pune icircn evidenţă principiul alternatorului monofazat Dacă icircn loc de o bobină dispozitivul conţine

trei bobine dreptunghiulare identice dispuse simetric pe acelaşi ax (fig 34) fluxurile magnetice fasciculare prin cele trei bobine vor fi

34πtωcosΦΦ

3π2tωcosΦΦ

tcosωΦΦ

iar tensiunile electromotoare rezultă

34tsinE

32tsinE

Tensiunile electromotoare obţinute sunt sinusoidale (alternative) şi formează un

sistem trifazat simetric (fig 35) Dispozitivul prezentat pune icircn evidenţă principiul generatorului electric trifazat

O spiră conductoare dreptunghiulară avacircnd laturile a şi b se roteşte icircn jurul uneia din laturile mari cu viteza unghiulară icircn cacircmpul magnetic uniform şi variabil icircn timp B = Bm sint (fig 36) Să se calculeze tem indusă icircn spiră

Icircn acest caz tensiunea electromotoare indusă are ambele componente

sd)B(Adt

BsdE ve

Fig 34

e1 e2 e3

Fig 35

Fig 36

- 58 -

Aşa cum se poate vedea din figura 36 unghiul dintre vectorii B şi Ad este t22)AdB( şi componenta tem de transformare rezultă

costBAd

respectiv

tsintcosabBdAtsintB

32 INDUCTIVITĂȚILE CIRCUITELOR ELECTRICE

321 Noțiuni teoretice

Inductivitatea proprie a unui circuit electric se defineşte ca raportul dintre fluxul magnetic total

S care străbate suprafaţa S limitată de conturul al circuitului

şi curentul i care produce acest flux

SL (313)

Unitatea de măsură a inductivităţii icircn sistemul internaţional este henry [H] Pe lacircngă inductivitățile proprii icircn cazul circuitelor (bobinelor) cuplate

magnetic avem și inductivități mutuale precum și inductivități utile și de dispersie

Inductivitatea mutuală a unei bobine față de altă bobină cu care este cuplată magnetic L12 este dată de raportul dintre fluxul magnetic 12 determinat de curentul din prima bobină prin spirele celei de-a doua bobine și acest curent

0NL00 22

121212ψ

ii ii (314)

Analog

0NL00 11

ii ii (315)

Icircn cazul circuitelor statice inductivitățile mutuale satisfac condiția de recprocitate Astfel inductuctivitățile mutuale a două bobine fixe cuplate magnetic se notează L12 = L21= M

Calculul inductivităților se face după următoarele etape 1) se presupune bobina parcursă de curentul i 2) se calculează inducţia magnetică B icircn diferite puncte din cacircmp (cel mai

des se utilizează formula lui Biot-Savart-Laplace)

3) se calculează fluxul magnetic

SS AdB şi apoi fluxul total iN

4) se calculează inductivităţile cu relaţiile de definiție

- 59 -

Pentru calculul inductivităților mutuale se poate utiliza și formula lui Neumann Expresia inductivităţii mutuale a două circuite filiforme situate icircntr-un mediu liniar este

2112 R

sdsd4L (316)

unde ds1 şi ds2 sunt două elemente de lungime ale circuitelor de contururi 1 şi respectiv 2 iar R12 este distanţa dintre acestea

322 Aplicații pentru calculul inductivităților

Să se calculeze inductivitatea unei bobine toroidale cu secţiunea pătrată reprezentată icircn fig 5 5

Se aplică legea circuitului magnetic (teorema lui Ampegravere)

Se alege curba icircnchisă de-a lungul unei linii de cacircmp pentru care vectorii H și sd sunt omopa-raleli Rezultă astfel

r2NHNr2H

2NhhdrHAdB

Dacă secţiunea este rotundă de rază 21 RRa se consideră o rază medie

2RRR 21 şi rezultă

NH lii

unde R2m l este lungimea medie a unei linii de cacircmp Rezultă astfel

ANNLAN

BA lili

Relaţia este valabilă şi pentru o bobină cilindrică (solenoid) de lungime lm mult mai mare decacirct diametrul acesteia

Fig 37

- 60 -

Să se calculeze inductivitatea proprie pe unitatea de lungime a unei linii bifilare fig 38 avacircnd conductoarele de raze a situate la distanţa d (distanţa dintre axele de simetrie ale conductoarelor)

Se consideră o porțiune a liniei bifilare de lungime l cu conductoarele de rază a situate la distanţa d Se consideră a ltlt d ltlt l Dacă secțiunea conductoarelor nu este neglijabilă inductivitatea totală a liniei se compune din inductivitatea exterioară corespunzătoare fluxului magnetic prin suprafața S dintre cele două conductoare (fig 38a) și din inductivitatea interioară corespunzătoare fluxului magnetic din interiorul conductoarelor

Inductivitatea exterioară se calculează aplicacircnd principiul superpoziţiei

AdBBAdB

adln2dxxd1

Se poate aproxima

Inductivitatea interioară se calculează pe baza energiei magnetice interioare a conductoarelor [] Astfel pentru inductivitatea interioară a unui conductor (fig 38b) rezultă

8drr2ra2

dV2H2W2L

Inductivitatea proprie a liniei bifilare pe unitatea de lungime este

mHkmadln410Hm

4L2LL rr

Să se calculeze inductivitatea mutuală dintre un conductor rectiliniu filiform şi un cadru dreptunghiular reprezentat icircn fig 39

Intensitatea cacircmpului magnetic și respectiv inducţia magnetică la distanța r de conductor sunt date de relaţiile

Fluxul magnetic prin suprafața cadrului dreptunghiular se determină astfel

dadlnb2r

drb2drBbAdB 10ad

i 2a 2a

r dr i

Fig 38 a) b)

r dr b

Fig 39

- 61 -

Inductivitatea mutuală rezultă

2bL 012

33 CIRCUITE MAGNETICE

Un circuit magnetic este un ansamblu de structură dată alcătuit din corpuri de

mare permeabilitate (feromagnetice) aflate icircn contact direct sau separate prin medii nemagnetice numite icircntrefieruri prin care se icircnchid liniile cacircmpului magnetic

Calculul circuitelor magnetice se face cu ajutorul legii circuitului magnetic şi al legii fluxului magnetic Calculul constă icircn determinarea solenaţiei necesare pentru a stabili un anumit flux sau icircn calculul fluxului magnetic pentru o solenaţie dată Icircn regim staţionar şi icircn anumite condiţii şi icircn regim cvasistaţionar consecinţe ale acestor legi sunt legea lui Ohm şi teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice corespunzacircnd dual legii lui Ohm şi respectiv teoremelor lui Kirchhoff pentru circuitele electrice

Legea lui Ohm pentru circuite magnetice se exprimăprin relațiile

ΛR (317)

care corespund dual relaţiilor lui Ohm pentru circuite electrice prin analogie cu relaţiile lui Ohm pentru circuite electrice

Corespondenţă duală a mărimilor electrice și magnetice este tensiune electrică u tensiune magnetică um

tensiune electromotoare e tensiune magnetomotoare umm (solenaţie ) intensitate curent electric i flux magnetic fascicular

rezistenţă electrică R reluctanţă magnetică Rm conductanţă electrică G permeanţă m (Gm)

Pentru porţiuni de circuit de lungime l cu aria secţiunii transversale A şi permeabilitatea constante reluctanţa și respectiv permeanța se calculează cu relații analoage rezistenţei și respectiv conductanței electrice

μAml R lRΛ

Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice se scriu ușor pe baza corespondenței duale a mărimilor electrice și magnetice Astfel teorema a I-a Kirchhoff stabilește că suma algebrică a fluxurilor magnetice j ale laturilor j fără dispersie magnetică ramificate icircntr-un nod (k) al unui circuit magnetic este icircn orice moment nulă

j 0 (319)

Teorema a II-a Kirchhoff stabilește că suma algebrică a solenaţiilor j care icircnlănţuie laturile fără dispersie ale unui ochi de circuit magnetic este egală cu suma algebrică a căderilor de tensiune magnetică jmjR de pe laturile ochiului respectiv

- 62 -

jmj[m]j

jθ R (320)

Pentru un circuit magnetic cu n noduri și l laturi numărul ecuațiilor ce se obțin prin aplicarea teoremelor lui Kirchhoff sunt date de aceleași relații ca icircn cazul rețelelor electrice respectiv cu teorema icircntacirci se obțin n ndash 1 ecuații iar cu teorema a doua lndashn+1 ecuații pentru fluxurile magnetice din laturile circuitului

332 Aplicații pentru calculul circuitelor magnetice Un circuit magnetic fără icircntrefieruri are forma şi dimensiunile din fig 310

Să se determine fluxurile magnetice din juguri şi coloane pentru următoarele valori ale solenaţiilor Asp30031 Asp6002 Se mai dau 2cm24A mm1601l

mm602l mH400

111 IN

222 IN

333 IN

Se determină reluctanţele porțiunilor de circuit magnetic

WbAsp290A2 22

llRR WbAsp170A

Circuitul magnetic are 2n noduri și 3l laturi Teoremele lui Kirchhoff aplicate la nodul (1) și la ochiurile [1] și [2] dau ecuațiile

T1K 01 321

T2K 2122m11m1 RR

3233m22m2 RR

Prin rezolvarea sistemului de ecuații rezultă

32m23m13m2m1

- 63 -

32m1m21m12m

31m23m1m13m

icircn care este determinantul sistemului

1830313221 mmmmmm RRRRRR Rezultă

Wb29142

Pentru electromagnetul din figura 311 se cere să se determine solenația

pentru stabilirea icircn icircntrefier a unui flux 0 = 5middot10-4 Wb Grosimea g a circuitului realizat din tole este 2cm Datorită izolației dintre tole se va considera un factor de umplere k = 09

Celelate dimensiuni ale circuitului magnetic sunt

l1 = 20mm l2 = 27mm l3 = 20mm a = 60 mm b = 80 mm c = 15 mm d = 25 mm e = 60 mm

Aplicacircnd teorema lui Ampegravere se obține

INsdH S

H2HHsdH 331022 lll

Intensitatea cacircmpului magnetic icircn icircntrefier este

mAsp679105104

Solenația icircn icircntrefier Asp1592H 100 l

Fluxul magnetic icircn miez este egal cu fluxul magnetic din icircntrefier Fe = 0 și inducția magnetică este

T85110390

105AkBB 4

Fig 311

a a l1

- 64 -

Din curba B(H) specifică materialului feromagnetic rezultă HFe = H2 =190Acm

Asp184379190H 2Fe2 l

Icircn juguri

Asp84H2mAsp93HT1110590

B 33334

Solenația totală este Asp35208418431593320S Icircn icircntrefierul electromagnetului de curent alternativ din figura 312 fluxul

magnetic este Wb00050f Partea superioară a circuitului magnetic este construită din oţel electrotehnic iar armătura inferioară din oţel turnat Dimensiunile circuitului sunt date icircn figură tensiunea de alimentare a bobinelor electromagnetului este de 120 V Se cere să se dimesioneze bobina (bobinele sunt conectate icircn paralel) ndash numărul de spire curentul secţiunea conductorului dimensiunile bobinei Cum se modifică parametrii bobinelor dacă tensiunea de alimentare este de 2U Se neglijează fluxul magnetic de dispersie

Se presupun cunoscute numărul de spire al bobinei 2N și curentul I absorbit de fiecare bobină icircn parte Alegacircnd un contur ca icircn figură cu teorema lui Ampegravere avem

INsdH S

Fig 312

Conturul cuprinde trei porţiuni distincte una de oţel electrotehnic una de aer

şi una de oţel turnat teorema lui Ampegravere devine

aa00 HHHsdH ll

unde 0H este intensitatea medie a cacircmpului magnetic 0l - lungimea medie a porţiunii

- 65 -

de oţel electrotehnic mm300902120l0 H - intensitatea cacircmpului magnetic icircn aer icircntrefierul total al circuitului mm1 aH - intensitatea medie a cacircmpului magnetic icircn armătură al - lungimea medie a armăturii mm120a l Inducţia magnetică B respectiv intensitatea cicircmpului magnetic H din icircntrefier se pot determina imediat deoarece sunt date de valoarea fluxului icircn icircntrefier

AAABBH

unde A este suprafaţa secţiunii transversale a circuitului 2mm4002020A Astfel

mAsp1010400104

105H 667

Dacă acum se aplică legea fluxului magnetic pentru o suprafaţă icircnchisă care

taie transfersal armătura şi trece prin icircntrefier ca icircn fig 312 se obţine

0ABABAdB a

de unde rezultă aBB

Analog se obţine 0BB Dacă se cunosc inducţiile magnetice icircn oţelul electrotehnic şi icircn armătură şi

curbele de magnetizare ale materialelor respective se determină uşor şi intensităţile cacircmpurilor magnetice Astfel se obţine

0 mWb25110400

mAsp976H0

mWb251Ba mAsp1430Ha

Cu datele de mai sus se poate calcula solenaţia

Asp14641721000292

1201430101030976lHHlH 36aa00S

Pentru calculul bobinelor se utilizează legea lui Ohm

22 Smm

slNIRU

unde s reprezintă secţiunea conductorului iar ml este lungimea medie a spirelor bobinei Se poate aprecia m120m l astfel mărimea s rezultă

m mm1540m10154012021464120100210

Icircn acest caz s-a luat mmm100210 26 S-a ales conductor de cupru izolat diametrul conductorului fără izolaţie fiind de 044mm

- 66 -

Densitatea normală de curent icircn bobine de electromagneţi cu răcire naturală se ia de aproximativ 2mmA52 Rezultă curentul admis icircn bobină

A3850JsI

iar numărul de spire al bobinei

spire1900385021464

I22N S

Dimensiunile aproximative ale bobinei se pot determina pe baza coeficientului de umplere al izolaţiei care reprezintă raportul dintre suprafaţa cuprului propriu-zis şi suprafaţa totală a bobinei coeficient care pentru conductor rotund este 50250k (alegem pentru cazul nostru 30k ) Icircn cazul studiat secțiunea cuprului propriu-zis al bobinei este

2Cu mm29215401900s

iar suprafaţa totală a secţiunii transfersale a bobinei este

2cubob mm97030

Luacircnd pentru bobină icircnălţimea mm50h rezultă grosimea bobinei mm20g Cu aceste date se verifică imediat că m120m l altfel calculul trebuia refăcut Dacă tensiunea de alimentare a bobinei este V240U2U rezultă

dacă se consideră acceiaşi densitate de curent şi aceeiaşi valoare a lungimii ml Relaţiile de mai sus care arată că numărul de spire al bobinei este proporţional cu tensiunea de alimentare iar secţiunea conductorului bobinei invers proporţional cu tensiunea sunt utilizate ori de cacircte ori se recondiţionează bobinele vreunui electromagnet de la o tensiune la alta Se mai remarcă de asemenea că numărul de spire al bobinei şi deci cantitatea de cupru utilizată depind direct de mărimea icircntrefierului icircntrucacirct icircn expresia solenaţiei

S cea mai mare parte o constituie amper-spirele necesare icircntrefierului Cu

cacirct este mai mic la un flux dat cantitatea de cupru utilizată este mai mică şi puterea icircn bobină de asemenea mai mică

- 67 -

34 ENERGIA ȘI FORȚELE CAcircMPULUI MAGNETIC

Energia localizată icircn cicircmpul magnetic al unui sisteme de n circuite (bobine) fixe sau icircn imobilitate relativă icircntre ele parcurse de curenţii electrici ik care generează fluxurile magnetice kψ (k = 12 hellipn) situate icircntr-un mediu liniar din punct de vedere magnetic este dată de relația [12 14]

kkm 21W i (321)

numită și energia de interacţiune a curenţilor electrici Expresia energiei magnetice poate fi scrisă icircn condițiile menționate și funcție

de inductivitățile proprii și mutuale ale circuitelor sub forma

)kj(1kj

kjjkm LL21L

iiiii (322)

Expresia energiei magnetice a unei bobine cu inductivitatea proprie L parcursă de curentul i

m ii (323)

iar pentru două bobine cuplate magnetic avem

212222

2111m ML

21W iiii (324)

Icircn cazul general energia magnetică poate fi calculată pe baza densității de volum a energiei magnetice este dată de relaţia [12]

m w (325)

Energia magnetică se calculează integracircnd expresia densității de volum a energiei pe icircntreg domeniul icircn care există cicircmp magnetic

dVBH21dVW

m wm (326)

Dacă mediul magnetic este liniar fără magnetizaţie permanentă expresia densităţii de volum a energiei magnetice se poate scrie sub forma

21w (327)

Ca și icircn cazul cacircmpului electrostatic acțiunile ponderomotoare (forțe sau momente) pot fi determinate pe baza expresiei energiei magnetice utilizacircnd teoremele forțelor generalizate la fluxuri magnetice constante respectiv la curenți constanți []

constk

WXrespectivxWX

i (328)

- 68 -

icircn care sensul pozitiv al forței generalizate Xk corespunde creșterii coordonatei generalizate xk

Forţele care acţionează icircn cacircmp magnetic pot fi calculate şi pe baza densităţii de volum a forţei dată de relaţia [3 12]

)τdτdμH(

21BJf 22

m gradgrad (329)

icircn care termenii ce intervin au următoarea semnificaţie

BJ - densitatea de volum a forţei ce acţionează asupra conductoarelor icircn stare electrocinetică

μgrad 2H21 - densitatea de volum a forţei datorată neomogenităţii

permeabilităţii magnetice

1 2grad - densitatea de volum a forţei datorată variaţiei

permeabilităţii cu densitatea de masă (densitatea forţei de magnetostricţiune)

Forţa totală exercitată asupra unui corp se va calcula cu relaţia

corpVmdVfF (330)

De exemplu forţa ce acţionează asupra unui conductor filiform parcurs de curentul i situat icircn cacircmp magnetic (fig 313) se calculează astfel

dVBJdVfFcorpcorp VV

Elementul de volum sdAddV şi ţinacircnd cont că vectorii AdJ şi sd sunt omoparaleli rezultă

AdJBsddVsdAdBJFcorp

respectiv N

BsdF i

S-a obţinut astfel expresia forţei Laplace

342 Aplicații Forţa care se exercită icircntre conductoarele unei linii bifilare Pentru inductivitatea liniei bifilare s-a stabilit expresia (sect 322)

Singura variabilă fiind distanţa d dintre conductoare se va calcula forţa de respingere dintre conductoarele liniei (corespunde creşterii coordonatei d)

Fig 313

- 69 -

Utilizacircnd expresiile energiei magnetice L2

m i se determină

t2ctdWF

sau dL

2ctL21

dctdWF

iii dl

şi rezultă

d2F 0d

S-a obţinut astfel expresia forţei electrodinamice (forţa Ampegravere)

Forţa portantă a unui electromagnet Din expresia densităţii de volum a energiei magnetice scrsă sub forma

rezultă că pentru B = const energia magnetică are densitatea cu atacirct mai mare cu cacirct permeabilitatea magnetică a mediului este mai mică

Astfel icircn cazul circuitului magnetic cu icircntrefier al unui electromagnet

reprezentat icircn figura 314 densitatea energiei magnetice icircn icircntrefier 0

w este

mult mai mare decacirct densitatea energiei magnetice icircn miez Fe

mFe 2B

w deoarece

0Fe inducţia magnetică icircn miez fiind egală cu cea din icircntrefier (rezultă simplu aplicacircnd legea fluxului magnetic pentru o suprafaţă icircnchisă ca cea din figură) Practic se poate considera că energia magnetică este localizată icircn icircntrefier

Energia magnetică icircnmagazinată icircn volumul celor două icircntrefieruri este

ABA22BVW 00

și forţa portantă a electromagnetului se determină cu teorema forțelor generalizate

2m ABct)B(

Semnul ndash arată că forţa este icircndreptată icircn sensul descreşterii icircntrefierului adică este o forţă de atracţie

Să se determine cuplul C care acţionează asupra bobinei mobile 2 situată icircn interiorul unei bobine foarte lungi (solenoid) 1 reprezentată icircn fig 315

Se aplică teoremele forţelor generalizate

Fig 314

- 70 -

Pentru două bobine cuplate magnetic avem

2112222

211m LL

21W iiii

unde L1 L2 sunt inductivitățile proprii constante 1212 LL Aşadar cuplul care acţionează asupra bobinei 2 este dat de relaţia

m LWC ii

Se aproximează cacircmpul magnetic al bobinei 1 ca fiind uniform Intensitatea cacircmpului magnetic pentru un solenoid este

010111

1NHBNH

cosANNABNNL 221

1212 liii

sinANNC 21221

Din ultima relaţie rezultă că cuplul acţionează icircn sensul micşorării unghiului

respectiv al creşterii fluxului 12 şi a energiei magnetice

C N2i2

l Fig 3 15

- 71 -

41 STRUCTURA CIRCUITELOR DE CURENT CONTINUU Un circuit electric este un ansamblu de generatoare (surse de energie) şi

receptoare cu legături electrice icircntre ele Un ansamblu de circuite cu legătură electrică icircntre ele constituie o reţea electrică

Un circuit electric de curent continuu este constituit icircn general dintr-un ansamblu de surse de energie şi rezistoare parametrii care intervin icircn acest caz fiind rezistenţele rezistoarelor şi tensiunile electromotoare sau curenţii surselor de tensiune respectiv de curent precum şi rezistenţele sau conductanţele interioare ale acestor surse

O latură a unei reţele electrice reprezintă o porţiune neramificată cuprinsă icircntre două extremităţi numite noduri O succesiune de laturi după un contur icircnchis constituie un ochi sau o buclă a reţelei electrice

Structura oricărei reţele electrice este complet determinată dacă se cunosc numărul de laturi (l) numărul de noduri (n) şi numărul ochiurilor sau buclelor independente sau fundamentale (o)

Se numeşte ochi independent sau fundamental (buclă independentă sau fundamentală) acel ochi (buclă) care conţine cel puţin o latură necomună cu alte ochiuri (bucle) ale reţelei Există teorema lui Euler care dă numărul ochiurilor (buclelor)

independente o = l ndash n + 1 (41)

Pe schema reţelei electrice de curent continuu din figura 11 s-au notat astfel

(1) (2) (3) (4) ndash noduri n = 4 1 2 6 ndash laturi l = 6 [1] [2] [3] ndash ochiuri independente R1 R2 R6 ndash rezistoare E5 E6 ndash generatoare de tensiune

Cu relaţia (41) se calculează numărul ochiurilor independente o = 6 ndash 4 +1 = 3

Fig 41

(4) [1]

E6 R6 [3]

- 72 -

42 TRANSFIGURAREA CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE DE CURENT CONTINUU Circuite serie Circuitele ale căror elemente sunt conectate astfel icircncacirct toate sunt parcurse de

acelaşi curent se numesc circuite icircn conexiunea serie sau prescurtat circuite serie Pentru a obţine un rezultat cacirct mai general se presupune că fiecare din cele n

elemente ale circuitului serie este o sursă deci are tem şi rezistenţă reprezentată prin schema echivalentă serie (fig 41)

Se vede imediat că tensiunea la bornele circuitului serie este

knk21 UUUUUU (41)

Aplicacircnd legea conducţiei electrice tensiunea la bornele elementului k al circuitului serie este

Uk = RkI ndash Ek k = 1 2 hellip n (12)

Icircnlocuind icircn relaţia anterioară rezultă

k ERIU (43)

Pentru dipolul echivalent legea conducţiei electrice dă

ee ERIU (44)

Prin identificare din ecuaţiile (432) şi (433) rezultă

Aşadar circuitul serie are o rezistenţă echivalentă Re egală cu suma rezistenţelor elementelor icircnseriate şi o tem echivalentă Ee egală cu suma tem ale elementelor icircnseriate Icircn Ee icircnsumarea se face algebric luacircndu-se cu semnul + tem care au acelaşi sens cu curentul şi cu semnul ndash cele care au sens contrar curentului

I R1 E1

Fig 41

I Re Ee

- 73 -

Se consideră circuitul serie cu surse echivalente de curent (fig 42) unde

R1Gşi

Aplicacircnd teorema a I-a Kirchhoff curentul prin rezistorul de conductanţă Gk

rezultă Ik = I ndash Igk b (46)

iar tensiunea la bornele dipolului k este

GIU (47)

Icircnlocuind icircn relaţia tensiunii la borne se obţine

1k kk I

G1UU (48)

Tensiunea la bornele de acces ale dipolului echivalent este

G1U ge

ee (49)

Fig 42

Fig 43

- 74 -

Icircn cazul particular al circuitului format din n rezistoare conectate icircn serie (fig 43) rezultă evident

1kke RR (411)

sau funcţie de conductanţe G1

Distribuţia tensiunilor pe rezistoarele conectate icircn serie se face pro-porţional cu rezistenţa acestora Astfel din relaţia curentului

RUI (413)

tensiunea la bornele rezistorului k rezultă

kk (414)

Un caz particular icircntacirclnit frecvent icircn practică este divizorul rezistiv de tensiune a cărui schemă este prezentată icircn figura 424 Tensiunea U1 aplicată la intrarea circuitului este divizată pe cele două rezistoare icircnseriate R1 şi R2 astfel că tensiunea obţinută la ieşire U2 se scrie imediat pe baza relaţiei (44) astfel

Circuite derivaţie Circuitele formate din elemente cărora li se aplică aceeaşi tensiune ca urmare a

faptului că sunt conectate la aceeaşi pereche de borne se numesc circuite icircn conexiunea derivaţie prescurtat circuite derivaţie sau paralel

Considerăm circuitul format din n surse reale reprezentate prin surse de tensiune figura 45

Fig 44

Fig 45

I Re Ee

R1 E1 I1

R2 E2 I2

Rk Ek Ik

Rn En In

- 75 -

Aplicacircnd legea conducţiei electrice curentul din latura k rezultă

kkkkk R

ER1UIIREU (416)

Cu teorema a I-a Kirchhoff se obţine

ER1UII (417)

Pentru dipolul echivelent expresia curentului este

ee (418)

Prin identificarea ecuaţiilor (417) şi (418) rezultă

Se consideră cazul cacircnd sursele sunt reprezentate prin schema echivalentă cu generatoare de curent fig 46

Cu teorema a I-a Kirchhoff se scrie şi icircn acest caz

1kkII (420)

unde Ik = GkU + Igk k = 1 2 n

Rezultă astfel IUGIn

Pentru dipolul echivalent curentul este

I = GeU + Ige (422) Prin identificare din ecuaţiile (421) şi (422) rezultă

Ig2 I2 G2

Igk Ik G2

Ign In G2

I Ge A

Fig 46

- 76 -

ke IIGG (423)

Icircn cazul particular a n rezistoare legate icircn paralel rezultă icircn mod evident

ke R1G sau

R1 (424)

Dacă cele n rezistoare au valori egale atunci Re = Rn

Pentru două rezistoare R1 şi R2 legate icircn paralel 21

21e RR

Transfigurarea stea - poligon complet Un circuit icircn care la fiecare bornă de acces este conectată o singură latură care o

uneşte cu un nod comun (0) se numeşte circuit icircn conexiunea stea sau prescurtat circuit stea (fig 47a) Punctul (0) comun tuturor laturilor se numeşte punct neutru

Un circuit care are icircntre fiecare pereche de borne de acces are cacircte o latură se numeşte circuit icircn conexiunea poligon complet sau circuit poligon complet (fig 47b)

a) Circuitul icircn conexiunea stea Intensitatea curentului Ij care intră pe la borna (j) a circuitului stea icircn baza legii lui Ohm se scrie

Ij = Gj (Uj + Ej) j = 1 2 hellip n (425)

Tensiunea la bornele laturii j este

Uj = Vj ndash V0 j = 1 2 hellip n (426)

Teorema I Kirchhoff pentru nodul (0) se scrie

(1) (j)

Ek (k)

(1) (j)

(k) (n)

G1j E1j

Gkm Ekm

Em1 G1k

Gjm Ejm

ijn i1j

Fig 47

- 77 -

Icircnlocuind icircn această relaţie curentul Ij dat de (425) şi tensiunea Uj dată de (426) se poate deduce potenţialul punctului neutru V0 astfel

0)EVV(G j0

Icircnlocuind V0 icircn (425) scrisă sub forma

j0jjj EVVGI şi schimbacircnd indicii rezultă succesiv

m21jEGEGVGVGG

1kjkkkkkjkm

sau avacircnd icircn vedere că Vj ndash Vk = Ujk se poate scrie

kjkjkkm

jj EEGUG

Icircn final expresia curentului luat de circuitul icircn stea pe la borna (j) se pune sub forma

)jk(1k

kjj )EE(

GGI (428)

b) Circuitul cu conexiune poligon complet Intensitatea curentului din latura jk a circuitului poligin complet pe baza legii lui Ohm se scrie

Ijk = Gjk(Ujk + Ejk) (429) Expresia curentului luat de circuitul poligon complet pe la borna (j) se deduce

aplicacircnd teorema a I-a Kirchhoff astfel

jkjkjk

jkj EGUGII j =1 2hellipm (430)

Din identificarea expresiilor curenţilor (44) şi (46) rezultă că cele două circuite stea şi poligon complet sunt echivalente dacă sunt satisfăcute relaţiile

- 78 -

GGG j k = 1 2hellip m j k (431)

jkj EEG

j = 1 2hellipm k j (432)

Se observă că Gjk = Gkj şi deci dacă se dă circuitul stea prin conductanţele sale Gk şi tem Ek se pot calcula toate conductanţele Gjk ale laturilor circuitului icircn poligon complet precum şi sursele acestuia Ejk care satisfac relaţiile

Ejk = Ej ndash Ek jk = 1 2hellip m j k (433)

Trecerea de la un circuit icircn poligon complet la circuitul echivalent icircn stea nu este totdeauna posibilă deoarece numărul n al ecuaţiilor independente (458) este icircn general mai mare decacirct numărul m al conductanţelor Gk (rezistenţelor Rk) ale circuitului icircn stea cu excepţia cazului cacircnd m = 3 Rezultă că icircn timp ce transfigurarea stea-poligon complet este icircntotdeauna posibilă transfigurarea inversă poligon ndash stea este posibilă numai icircn cazul icircn care poligonul este un triunghi

Icircn cazul particular m = 3 avem transfigurările stea ndash triunghi şi invers triunghi ndash stea (fig 425)

Transfigurarea stea - triunghi Conductanţele şi tensiunile electromotoare ale circuitului echivalent icircn triunghi se determină cu relaţiile (458) şi (460) respectiv

GGGGGG

GGG321

EEEEEEEEE 133132232112 (435)

Cu rezistenţe relaţiile de echivalenţă (434) pot fi scrise sub forma

RRRRRR R

RRRRR RRRRRR

313131

323223

212112 (436)

R23 E23

(2) (3)

Fig 48

- 79 -

Transfigurarea triunghi - stea Conductanţele sau rezistenţele circuitului icircn stea echivalent unui circuit triunghi dat se obţin din sistemele de ecuaţii (434) şi respectiv (436) Expresiile lor pot fi puse sub forma

GGGGGG

231323133

231223122

131213121

respectiv

231312

RRRRRR

Tensiunile electromotoare se determină cu rel(459) care pentru m = 3 se scriu

jk321jEEGEG3

1kkjjkjkjk

respectiv

3113211213131212 EEGEEGEGEG

3223122123232121 EEGEEGEGEG

Se mai consideră o condiţie de forma G1E1 + G2E2 + G3E3 = 0 (439)

şi tem ale circuitului stea echivalent circuitului triunghi dat rezultă

3223113

2112332

1331221

GGGEGEGE

sau sub forma

3232313133

2121232322

1313121211

EGEGEG

- 80 -

Aceste relaţii corespund următoarelor relaţii icircntre curenţii de scurtcircuit ai laturilor stelei respectiv triunghiului (cacircnd pe laturi sunt generatoare de curent fig 49

23s31s3s

12s23s2s

31s12s1s

IIIIIIIII

Aplicaţii la transfigurea circuitelor electrice 41 Să se determine sursa de tensiune echivalentă din fig 410

Se aplică teorema a I-a lui Kirchhoff pentru nodul (A)

Fig 410

Fig 49

R12 R23

- 81 -

154321

REUIIIIII

Pentru circuitul echivalent

Din echivalenţa ecuaţiilor rezultă relaţiile

1k ke R1

Termenii kkGE se iau cu semnul PrimePrime dacă kE este orientată invers faţă de tensiunea de la borne U

42 Să se determine sursa de tensiune echivalentă a grupării din fig 411

321321

GUJIGGGUJJJI

321e321e GGGGJJJJ

Fig 411

- 82 -

43 Să se determine rezistența echivalentă pentru conexiunea de tip lanţ infinit (scară) a rezistoarelor

a) Conexiunea lanț infinit de tip Ί fig 412

e 22R11R lanţul este infinit

te RRR

ll rezistenţa dipolului echivalent

lRR411

b) Conexiunea de tip fig 413

RRRRRRR

43 Opt rezistenţe sunt conectate icircn forma

unui pătrat cu diagonalele unite icircn centru rezistenţa fiecărei laturi este R (fig 414) Se cere să se calculeze rezistenţa echivalentă

a) icircntre două vacircrfuri opuse aa b) icircntre două vacircrfuri adiacente ba c) icircntre un vacircrf şi centrul pătratului a ndash c Varianta I Prin aplicarea teoremelor transfigurării se

poate ajunge la o reţea formată numai de rezistenţe conectate icircn serie şi icircn paralel fără a mai avea deci legături icircn punte

Fig 412

Fig 413

Fig 414

- 83 -

Cazul a) Rezistenţa echivalentă aaR icircntre două vacircrfuri opuse aa se poate obţine prin transfigurarea sistemelor de cacircte trei rezistenţe conectate icircn stea icircn nodul b respectiv b fig 47 Dacă 1R 2R 3R sunt rezistenţele din conexiunea stea atunci rezistenţele 12R

23R 31R din conexiunea triunghi se determină din

13322112 R

RRRRRRR

Icircn cazul dat RRRR 321 şi deci rezultă

R3RRRR 312312

Icircntre vacircrfurile aa se obţin două rezistenţe R conectate icircn paralel cu două grupuri de rezistenţe ndash formate din două rezistenţe R conectate icircn paralel cu rezistenţa R ndash conectate icircn serie fig 415 Rezistenţa echivalentă aaR icircntre

vacircrfurile aa se obţine din

de unde se obţine

Icircnlocuind pe R icircn funcţie de R se obţine

R32R aa

Cazul b) Rezistenţa echivalentă abR icircntre două vacircrfuri adiacente ab se obţine prin aplicarea teoremei transfigurării sistemelor de rezistenţe din conexiunile triunghi avacircnd vacircrfurile acb respectiv bca fig 416 Dacă 12R 23R 31R sunt rezistenţele din conexiunea triunghi atunci rezistenţele 1R 2R 3R din conexiunea stea se obţine din

312312

13121 RRR

Icircn cazul dat RRRR 312312 şi deci şi RRRRR31

Fig 416

Fig 415

- 84 -

Icircntre vicircrfurile ab rezsitenţa R este conectată icircn paralel cu două rezistenţe R conectate icircn serie cu un grup de rezistenţe (format din două rezistenţe R conectate icircn paralel cu alte două rezistenţe R şi icircn serie cu rezistenţa R)

Rezultă

RRRRRRRRRRR

de aici rezultă

RR3R4RR4

Icircnlocuind pe R icircn funcţie de R se obţine abR

R158R ab

Cazul c) Rezistenţa echivalentă acR icircntre unul din vacircrfuri şi centru se obţine prin aplicarea teoremei transfigurării sistemelor de rezistenţe icircn conexiune stea cu centrul icircn b respectiv b ca icircn fig 416 Se obţine astfel circuitul echivalent din fig 417 unde RR 3

Icircntrre vacircrful a şi centrul c rezistenţele RRR sunt conectate icircn paralel cu grupul

format din două rezistenţe R (icircn paralel) conectate icircn serie cu grupul de rezistenţe R

R şi R (conectate icircn paralel) Rezultă

RR2RRR

Icircnlocuind pe R icircn ecuaţia precedentă se obţine o ecuaţie icircn R din care se determină acR

R157R ac

Varianta II Sistemul este format din rezistenţe

identice Icircn raport cu bornele faţă de care se calculează rezistenţa echivalentă sistemul prezintă o simetrie pe bază căreia se pot identifica nodurile din reţea care au acelaşi potenţial (dacă se alimentează sistemul de la o sursă de tensiune constantă) Se pot uni nodurile echipotenţiale prin conductoare perfecte şi astfel se poate reduce

Fig 417

Fig 418

- 85 -

sistemul cu rezistenţe conectate icircn puncte la un sistem cu rezistenţe conectate numai icircn serie şi icircn paralel

Cazul a) Din fig 46 se deduce că nodurile b b şi c au acelaşi potenţial Unind aceste noduri se obţine reţeaua din fig 410 Se obţine un sistem de trei rezistenţe egale conectate icircn paralel icircntre nodurile ca şi icircn serie cu alte trei rezistenţe egale conectate icircn paralel icircntre nodurile ac

Rezistenţa echivalentă icircn raport cu bornele aa este

caacaa RRR

unde ca

Rezultă

3r2R aa

Se obţine acelaşi rezultat ca icircn prima variantă

Cazul b) Din fig 46 se constată că mijlocul rezistenţelor conecate icircntre nodurile ba şi ba au acelaşi potenţial cu nodul c Unind aceste puncte se obţine reţeaua din fig 414 Se

observă că rezistenţa echivalentă bcR dintre nodurile cb este egală cu rezistenţa

echivalentă caR dintre nodurile ac Rezultă ca

bcab rrr

Icircntre nodurile cb sunt conectate trei rezistenţe icircn paralel una este 2R a doua este R

iar a treia este formată dintr-o rezistenţă R icircn serie cu două rezistenţe R şi 2R conectate

icircn paralel Deci

Icircn final rezultă

15R8R2R bcab

Cazul c) Din fig 419 se constată că nodurile bb au acelaşi potenţial dacă reţeaua este alimentată pe la bornele ac Unind aceste noduri se obţine reţeaua din fig 420 Rezistenţa echivalentă acr este

bcac RbRR

Fig 419

- 86 -

unde 2RR ab

Icircnlocuind icircn acR pe

abR pe bcR şi bcR se

obţine acelaşi rezultat ca la prima variantă

43 ANALIZA REŢELELOR ELECTRICE LINIARE DE CURENT CONTINUU 431 Introducere

Se dau tem ale generatoarelor de tensiune şi curenţii generatoarelor de curent şi valorile rezistenţelor sau conductanţelor Analiza constă icircn determinarea curenţilor prin laturile reţelei sau a tensiunilor la bornele elementelor de circuit

Metode de analiză

1) Metoda bazată pe teoremele lui Kirchhoff 2) Metoda curenţilor ciclici (de contur)

3) Metoda potenţialelor la noduri 4) Metoda suprapunerii efectelor

5) Metode pentru obţinerea răspunsului pe o latură teoremele generatoarelor echivalente de tensiune şi de curent

Pentru primele trei metode calcul se poate efectua prin a) metoda directă ndash scrierea ecuaţiilor reţelei şi rezolvarea sistemului de

ecuaţii obţinute

b) metoda matricială ndash utilă pentru aplicaţii pe calculator

La calculul prin metoda matricială se utilizează matricile de incidenţă reduse ale laturilor la nodurile sau la ochiurile independente ale reţelei

Fig 420

- 87 -

432 Aplicaţii și probleme

1) Să se determine prin metoda bazată pe teoremele lui Kirchhoff metoda curenţilor ciclici şi prin metoda potenţialelor la noduri curenţii care străbat circuitul din fig 413 Se dau următoarele date

V80E1 V50E4 V110E5 V65E7 V160E8 20R1 30R 2 10R 3 30R 4 5R 5 20R 6 5R 7 15R 8

Fig 421 a) Teoremele lui Kirchhoff Metoda directă

0IIII2

87887733

74776644

5665522

1332211

EEIRIRIR4

EEIRIRIR3

EIRIRIR2

EIRIRIR1

Metoda matriceală Nu există laturi cu generatoare de curent sau cu generatoare ideale de tensiune

Icircn forma matriceală ecuațiile corespunzătoare teoremelor lui Kirchhof se scriu

T1K nlln 0IA

I2 I3R2 R3

(1) (3)(2)

(4) (5)

- 88 -

IIIIIIII

00111000

01100001

1000010101100011

o EI]R[ ll icircn care lll o

[Rll] fiind matricea diagonală de ordinul l a rezistențelor laturilor rețelei

11000100011010000011001000000111

Forma comasată T1K+T2K

lll SIK

1ll SKI

EE0000

RR000R000RR0R00000RR00R000000RRR11000100

011010000011001000000111

b) Metoda curenţilor ciclici

[1] 143

1321 EIRIRIRRR

[2] 536

12 EIRIRRRIR

[3] 7447

26 EEIRIRRRIR

- 89 -

[4] 874873

13 EEIRRRIRIR

Matricial

44 EIR

t84884

EBRBR 8844 EBE

t848 ERBIBI

c) Metoda potenţialelor la noduri

Metoda directă (1) 5511

1521 EGEGVGVGVGVGGG

(2) 7746

12 EGVGVGVGGGGVG

(3) 881138312311 EGEGV)GGG(VGVG (4) 554446542615 EGEGV)GGG(VGVG Metoda matricială

Icircn formă matricială sistemul de ecuații se scrie

icircn care t 84888444 AGAG 88]G[ fiind matricea diagonală de ordinul 8 a

conductanțelor laturilor rețelei

8sc844sc

EGEGEGEG

EGEGEG

0011100010000101

0110011000010011

- 90 -

Tensiunile la bornele laturilor se obțin cu relația

2) Două surse de curent continuu de tensiuni electromotoare diferite 1eU şi

2eU de rezistenţe interioare neglijabile alimentează un circuit format din cinci rezitenţe conectate ca icircn fig 79 Să se calculeze intensităţile curenţilor care trec prin cele cinci rezistenţe Se dau următoarele datele 501 VU e 802 VU e 51 R

82 R 203 R 404 R 605 R Problema se va rezolva prin metoda bazată pe teoremele lui Kirchhoff prin metoda curenţilor ciclici şi prin metoda potenţialelor la noduri

Numărul de ochiuri fundamentale o se determină cu ajutorul teoremei lui Euler 1 nlo Icircn cazul circuitului dat numărul de laturi este 5l numărul de noduri

este 3n de unde rezultă numărul de ochiuri fundamentale fiind egal cu 3 a) Teoremele lui Kirchhoff Iniţial se alege arbitrar pe fiecare latură sensul pozitiv al curenţilor la fel se

procedează şi icircn cazul ochiurilor independente fig 422 Prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff icircn nodurile (1) şi (3) se obţine

0IIII 5321 (1) 0III 542 (2)

Fig 422

Prin aplicarea teoremei a II-a a lui Kirchhoff pentru fiecare dintre cele trei ochiuri se obţine

50I20I5 31 (3)

848 IGAVAU

- 91 -

80I60I8 52 (4) 0I60I40I20 543 (5)

Din ultimele cinci ecuaţii obţinute se formează un sistem determinat din care se pot calcula curenţii 521 III

Din ecuaţiile (2) şi (3) se obţine

3251 IIII (1rsquo)

254 III (2rsquo)

Se icircnlocuiesc 4I şi 5I icircn ecuaţiile (4) (5) şi (6)

10II5I 532 (3rsquo) 20I15I2 52 (4rsquo)

0I5II2 532 (5rsquo)

Din ultimele trei ecuaţii se pot calcula curenţii I2 I3 şi I5 prin regula lui Cramer

A701217370

65152520150

5121502

151510

150201510

A122502

152021101

2171I3

A10101220021051

2171I5

Substituind pe I2 I3 şi I4 icircn ecuaţiile (1rsquo) şi (2rsquo) se obţine

A521122701101I1

A600122701101I4

- 92 -

Curenţii prin rezistenţa R2 şi prin rezistenţa R4 au snsurile pozitive reale opuse faţă de alegerea arbitrară iniţială din fig 414 prin rezolvarea ecuaţiilor pentru aceşti curenţi au rezultat valori negative

b) Metoda curenţilor ciclici Se aleg arbitar curenţii ciclici icircn cele trei circuite se stabilesc trei ecuaţii cacircte

una pentru fiecare ochi de reţea necunoscutele fiind Ia Ib Ic

0IRIRIRRREIRIRREIRIRR

b5a3c543

2c5b52

1c3a31

0I60I20I12080I60I6850I20I25

Simplificacircnd sistemul se obţine

0I6I3I20I15I17

10I40I5

Rezolvăm sistemul prin regula lui Cramer

A521217330

225685104502401020

63115170

630151720

A701217370

12780150600

60115200

2171Ib

A600217130

127300170

031201701005

2171Ic

Intensităţile curenţilor prin laturile circuitului sunt

A116071IIIA600IIA12260521III

A701IIA521II

- 93 -

c) Metoda potenţialelor la noduri Circuitul dat are trei noduri şi deci se pot alege necunoscute potenţiale din două

noduri Fie V1 V2 potenţialele noduri 1 şi 2 fig 423 Ecuaţiile potenţialelor nodurilor sunt

12222121

11212111

EGVGVGEGVGVG

GGGGGGG

Fig 423

Conductanţele G1 G2 G3 G4 şi G5 ale laturilor se calculează din rezistenţele corespunzătoare

01670601

0250401

0500201

125081

200051

- 94 -

şi deci

166700167002501250G

275025005002000G

Icircnlocuim icircn ecuaţiile potenţialelor nodurilor şi obţinem

801250V1670V0250

5020V0250V2750

10V1670V0250

10V0250V2750

Din ecuaţiile precedente se poate determina V1 respectiv V2 prin regula lui Cramer

1670025002502750

167010025010

1670025002502750

100250102750

Intensităţile curenţilor prin laturile reţelei date sunt

A105160

A60040

20663542R

A12220

26680R

354250R

- 95 -

44 TEOREMELE CIRCUITELOR DE CURENT CONTINUU

441 Teoremele generatoarelor echivalente de tensiune şi de curent

Fiind dată o reţea electrică activă liniară a curentul printr-o latură pasivă

oarecare sau tensiunea la bornele acestei laturi se pot determina direct cu ajutorul teoremei generatorului echivalent de tensiune respectiv cu ajutorul teoremei generatorului echivalent de curent

Separacircnd din reţeaua dată a latura cuprinsă icircntre bornele (a) şi (b) avacircnd rezistenţa Rab (fig 424a) restul reţelei a reprezintă icircn raport cu aceste borne un dipol liniar activ (DLA) care prin transfigurare se poate icircnlocui cu o latură echivalentă formată dintr-un rezistor Ri şi un generator ideal de tensiune cu tensiunea electromotoare E0 (fig 424b)

Rezistenţa echivalentă a dipolului Ri icircn raport cu bornele sale de acces (a) şi (b) se numeşte şi rezistenţa internă a dipolului

Tensiunea la bornele dipolului icircn regim de mers icircn gol (Rab ndash deconectată şi deci Iab = 0) se notează Uab0 Aplicacircnd legea lui Ohm la funcţionarea icircn gol a dipolului (icircn lipsa laturii ab) rezultă E0 = Uab0

Teorema generatorului echivalent de tensiune orice dipol liniar activ este echivalent cu o sursă de tensiune avacircnd tensiunea electromotoare E0 egală cu tensiunea la bornele dipolului icircn regimul de mers icircn gol (Uab0) şi o rezistenţă electrică internă Ri egală cu rezistenta echivalentă a dipolului icircn raport cu bornele sale de acces

La transfigurarea circuitelor s-a constatat ca rezistentele echivalente nu depind de tensiunile electromotoare şi de curenţii generatoarelor de tensiune şi respectiv de curent ca urmare calculul rezistenţelor echivalente se poate efectua prin pasivizarea circuitelor Prin pasivizarea unui circuit se icircnţelege anularea tensiunilor electromotoare şi a curenţilor generatoarelor de tensiune respectiv de curent păstracircnd rezistentele sau conductanţele acestora Icircn acest fel rezistenţa echivalentă Ri a dipolului reprezintă rezistenta echivalentă a reţelei a pasivizată icircn raport cu bornele (a) şi (b) notată Rab0

Ri = Rab0 (442)

Pentru circuitul echivalent astfel obţinut fig 425 aplicacircnd teorema a II-a

Fig 424

Rab Uab

a (DLA)

Rab Uab

Gab Uab

Gi Isc

- 96 -

Kirchhoff rezultă (Rab0 + Rab)Iab = Uab0

şi deci

abab RR

Relaţia obţinută reprezintă teorema generatorului echivalent Thegravevenin şi care se enunţă astfel intensitatea curentului Iab printr-o latură pasivă oarecare conectată icircntre punctele (a) şi (b) ale unei reţele active liniare este egală cu raportul dintre tensiunea Uab0 la bornele (a) (b) la mersul icircn gol (icircn lipsa laturii ab) şi suma dintre rezistenţa Rab a laturii şi rezistenţa echivalentă Rab0 a reţelei pasivizate icircntre bornele (a) şi (b) icircn lipsa laturii ab

Analog icircnlocuind generatorul de tensiune cu un generator echivalent de curent (fig 424c) se obţine teorema generatorului echivalent de curent orice dipol liniar activ este echivalent cu un generator (sursă) de curent avacircnd intensitatea curentului Isc egală cu intensitatea curentului debitat de dipol icircn regimul de scurtcircuit (bornele (a) (b) scurtcircuitate) şi o conductanţă electrică internă Gi egală cu conductanţa echivalentă a dipolului

Icircntr-adevăr la mersul icircn scurtcircuit (Rab = 0 şi deci Uab = 0) notacircnd cu Iabsc curentul prin latura ab cu rezistenţa Rab scurtcircuitată rezultă Isc = Iabsc

Conductanţa echivalentă a dipolului Gi se calculează prin pasivizarea acestuia şi reprezintă conductanţa echivalentă a reţelei a pasivizată icircn raport cu bornele (a) şi (b) notată Gab0 Gi = Gab0

Aplicacircnd teorema I Kirchhoff circuitului din fig 426 şi exprimacircnd curenţii pe baza legii lui Ohm avem

Iabsc = GabUab + Gab0Uab din care rezultă

abab GG

IU (444)

Relaţia obţinută reprezintă teorema generatorului echivalent Norton şi care se enunţă astfel tensiunea Uab la bornele (a) (b) ale unei laturi pasive oarecare a unei reţele liniare active este dată de raportul dintre curentul de scurtcircuit Iabsc al laturii respective (cu rezistenţa scurtcircuitată) şi suma dintre conductanţa laturii Gab şi conductanţa echivalentă Gab0 a reţelei pasivizate icircntre bornele (a) şi (b) icircn lipsa laturii

442 Teorema suprapunerii efectelor (a superpoziţiei) Teorema reciprocităţii

Consideracircnd o reţea electrică liniară icircn care acţionează mai multe surse de

tensiune teorema superpoziţiei se enunţă astfel curentul care se stabileşte icircntr-o latură oarecare a reţelei este egal cu suma algebrică a curenţilor produşi icircn acea latură de fiecare sursă icircn parte dacă ar acţiona singură icircn reţea celelalte fiind scurtcircuitate sau icircnlocuite cu rezistenţa lor interioară (dacă au rezistenta interioară diferită de zero)

Rab Uab

Iab Uab0

Fig 425

Gab Uab

Fig 426

- 97 -

Pentru demonstraţie se separă laturile j şi k ale reţelei şi se presupune că icircn reţea acţionează cacircte o singură sursă de tensiune electromotoare conectată pe racircnd icircn laturile j şi k aşa cum se arată icircn fig 427

Se aplică teorema curenţilor ciclici alegacircndu-se astfel buclele fundamentale (ochiurile independente) icircncacirct curenţii reali prin laturile j şi k să fie daţi numai de curenţii ciclici ai celor două bucle la care aparţin aceste laturi Astfel pentru schema echivalentă din figura 418a) rezultă

0IR IR IRIR

EIR IR IRIR

0IR IR IRIR

ooookoo

jk22j11j

k222121

1k1212111

Rezolvacircnd acest sistem de ecuaţii după regula lui Cramer se obţine

kjk EII

icircn care este determinantului sistemului jk este complementul algebric al termenului Rjk luat cu semnul corespunzător jk

kjjk )1(

Aplicacircnd acelaşi procedeu pentru schema echivalentă din fig 418b) rezultă

jkj EII

Prin definiţie

sunt conductanţele de transfer dintre laturile k şi j respectiv j și k ale reţelei Deoarece rezistenţele din sistemele de ecuaţii corespunzătoare metodei

curenţilor ciclici satisfac condiţia de reciprocitate Rjk= Rkj rezultă că jk = kj şi Gjk = Gkj

Fig 427

CLP kIRj

- 98 -

relaţie ce reprezintă prima formă a teoremei reciprocităţii conductanţa de transfer dintre laturile j şi k este egală cu conductanţa de transfer dintre laturile k şi j

Dacă aceeaşi sursă de tensiune este plasată pe racircnd icircn laturile j şi k Ej = Ek = E rezultă icircn mod evident

Ijk = Ikj

relaţie ce reprezintă a doua formă a teoremei reciprocităţii curentul stabilit icircntr-o latură oarecare k a unei reţele liniare de o sursă de tensiune plasată icircn latura j şi acţionacircnd singură icircn reţea este egal cu curentul stabilit icircn latura j dacă aceeaşi sursă de tensiune este plasată icircn latura k şi acţionează singură icircn reţea Conform teoremei superpoziţiei curentul dintr-o latură oarecare a unei reţele active liniare poate fi calculat cu relaţia

1kkjj EGII j = 12 hellip l

unde l este numărul de laturi ale reţelei iar lE este numărul laturilor cu surse de tem Calculul curenţilor electrici din laturile unui reţele active liniare folosind conductanţele de transfer dintre laturi se numeşte metoda conductanţelor de transfer Este important de observat că odată calculaţi curenţii Ijk produşi icircn toate laturile reţelei de sursa Ej din latura j (acţionacircnd singură icircn reţea) rezultă imediat pe baza teoremei reciprocităţii şi a teoremei superpoziţiei şi curentul Ij produs icircn latura j cu sursă de către toate sursele din reţea

1kkkjj E

relaţie utilă deoarece calculul curenţilor icircntr-un circuit cu o singură sursă se face icircn general mai uşor decacirct calculul curenţilor icircn circuitele cu mai multe surse 443 Aplicaţii și probleme

441 Să se determine direct curentul I5 prin rezistenţa R5 a rețelei electrice din fig 428 Sunt date următoarele valori E1=185 V E2=80 V E3=75 V R1=3 Ω R2=6 Ω R3=5 Ω R4=20 Ω R5=12 Ω

Se aplică teorema generato-rului echivalent de curemt astfel

3105 RR

Schema de calcul a rețelei fără latura cu rezistorul R5 este dată icircn figura 429

1223310 UUU

34423 IRU

122212 IREU

(1) (3)

Fig 428

- 99 -

Fig 429

35RREEI

V90UV1507080UV60U 3102123

43310 A5

61290I5

442 Puntea Whetstone este formată din rezistoarele R1 R2 R3 R4 care

alcătuiesc un patrulater R5 - este rezistenţa galvanometrului (indicator de nul) Sistemul este alimentat de la o sursă de tensiune electromotoare E unde cu rezistenţa internă Ri

Să se determine condiţia icircn care I5 este nul Puntea Wheatstone de cc este utilizată pentru măsurarea rezistenţelor fig 430

Metoda 1 Teorema generato-

rului echivalent de tensiune

2305 RR

evident 0I5 dacă 0U 230

1312230 UUU (icircn lipsa galvanometrului)

E1 i E3

(1) (3)

I32U23U21

R 3R 4

R 1 R 2

(4)(1)

Irsquo

Fig 430

- 100 -

IREU i14

4321i RRRR

43214321i

432114 RRRRRRRRRN

ERRRRU

U 43112

ERRRU 213

RRRRUU0UDin 32411312230 Metoda 2 Metoda curenţilor ciclici

0IRRRIRIR0IRIRRRIR

EIRIRIRRR

Prin regula lui Cramer

15 RRRREIII

și din 32415 RRRR0I

Practic la puntea Wheatstone trei rezistenţe sunt cunoscute şi una este rezistenţa care se măsoară de exemplu 1R

443 Se dă sistemul din fig 431 Să se determine direct curentul 4I şi apoi

4U Valorile tensiunilor electromotoare ale surselor respectiv ale rezistenţelor sunt date mai jos

8R4R2R15R5R10RV40EV60E 65432121

UI1204

sc44 GE

120sc44 RR

Curentul sc4I (fig 432) se deter-mină printr-o metodă oarecare (de exemplu cu teoremele lui Kirchhoff prin metoda curenţilor ciclici a potenţialelor la noduri metoda suprapunerii efectelor etc)

I4 (2)R4

(4)(3)Fig 431

- 101 -

De exemplu prin metoda suprapunerii efectelor

Curentul dintr-o latură se obţine prin suprapunerea curenţilor produşi icircn acea latură de fiecare sursă icircn parte acţionacircnd singură icircn reţea

Astfel consideracircnd primul caz cacircnd avem numai sursa E1 figura 433 rezultă

3 IREU

Similar se calculează curentul sc4I cicircnd avem numai sursa E2 figura 434

Curentul de scurtcircuit al laturii 4 rezultă

sc4sc4 III

Fig 433

- 102 -

Conductanța G120 se calculează icircntre (1) și (2) pentru rețeaua pasivizată (cu sursele scurtcircuitate și icircn lipsa laturii 4

65231120 G1

424 Puntea electrică dublă ndash puntea Thmoson este formată din rezistenţele

R12 R13 R24 R34 şi R3 de valoare cunoscută fig 435 Rezistenţa de valoare necunoscută se conectează icircntre bornele A ndash B Se cere să se calculeze rezistenţa R2 funcţie de rezistenţele cunoscute icircn ipoteza că intensitatea curentului prin legătura icircn punte R23 icircn care este conectat galvanometrul G este nulă

C DFig 435

Fig 434

sc4I 2I

- 103 -

Din teorema reciprocităţii se poate obţine că intensitatea curentuluio prin rezistenţa R23 produs de sursa din latura care conţine rezistenţa R1 este egală cu intensitatea curentului prin rezistenţa R1 produsă de aceeiaşi sursă conectată icircn serie cu rezistenţa R23

Numărul laturilor fiind 9 şi numărul nodurilor fiind de 6 se obţine un număr de 4 ochiuri independente de reţea

Pentru determinarea curentului 1I prin rezistenţa R1 se poate aplica de exemplu teorema curenţilor ciclici

0iRiRiREiRiRiRiREiRiRiRiR

0iRiRiR

444334224

44333223113

424223222112

313212111

unde s-a notat

RRRRRRRRRRRRRR

3424444

342313333

242312222

1312111

Din fig 435 se observă că 11 iI Aplicăm regula lui Cramer unde ne

interesează numai curentul 1i

443424

343323

242322

443424

34332313

24232212

131211

443424

343323

242322

RRR0RRR1RRR10RR0

RRR0RRRRRRRR0RRR

RRR0RRRERRRE0RR0

Dacă intensitatea curentului prin galvanometru este nulă din teorema

reciprocităţii rezultă că şi 0I1 Deci

0iI 11 sau 0

RRR0RRR1RRR10RR0

443424

343323

242322

- 104 -

Adunacircnd liniile I a II-a şi a IV-a cu linia a III-a se obţine condiţia

0RRRRRR0RR

443424

Dezvoltacircnd după minorii ultimei coloane se obţine

0RRRRRRRRRR 31213244241334124

Pentru ca relaţia precedentă să fie independentă de R4 şi R44 este necesar ca

0RRRR0RRRR

312132

24133412

Dacă se variază la fel repoartele rezistenţelor R12 şi R13 respectiv R24 şi R34

puntea se poate echilibra iar rezistenţa R2 se determină

122 RR

- 105 -

5 MĂRIMI SINUSOIDALE

51 NOŢIUNI TEORETICE 511 Mărimi periodice mărimi alternative mărimi sinusoidale Mărimile variabile icircn timp care iau valori egale după trecerea de intervale de

timp egale nTtyTtyty (n - icircntreg) (51)

unde T ndash perioada mărimii este intervalul de timp minim după care mărimea icircşi reia valorile se numesc mărimi periodice iar numărul de perioade cuprinse icircn unitatea de timp se numeşte frecvenţa lor

T1f (52)

Valorile instantanee pe care mărimile variabile periodice le au icircn diferitele momente se notează cu literă minusculă Valoarea medie medY care se determină ca media aritmetică a valorilor instantanee ale mărimii periodice pe intervalul de timp al unei perioade

T1Y (53)

se notează cu majuscula simbolului literal Mărimile periodice ale căror valori medii pe o perioadă sunt nule se numesc mărimi alternative (fig 51a)

TSSdty

med (54)

Fig 51 Reprezentarea mărimilor periodice a) respectiv a mărimilor sinusoidale b)

- 106 -

Mărimile sinusoidale sau armonice sunt mărimi alternative funcţii sinusoidale de timp (fig 51b)

tsinY2tsinYtyy max (55) unde y - funcţia de timp care dă valoarea instantanee a mărimii sinusoidale maxY - amplitudinea (valoarea instantanee maximă a mărimii sinusoidale) - pulsaţia sau frecvenţa unghiulară relaţia care exprimă legătura dintre pulsaţie şi frecvenţă

)( t - faza reprezintă argumentul funcţiei sinus din expresia (5) a mărimii armonice care depinde liniar de timp - faza iniţială (la 0t ) iar Y reprezintă valoarea efectivă a mărimii sinusoidale

Y max (57)

valoare pentru care o mărime periodică are expresia

T1Y (58)

este pozitivă şi notată cu majuscula literei ce simbolozează mărimea considerată Un exemplu valoarea efectivă a intensităţii unui curent electric periodic este egală cu intensitatea unui curent continuu care dacă strabate aceeaşi rezistenţă ca şi curentul periodic dezvoltă aceeşi căldură ca şi el icircn timp de o perioadă

Defazajul dintre două mărimi sinusoidale de aceeaşi perioadă este diferenţa dintre fazele acelor mărimi icircntr-un moment dat egală cu diferenţa dintre fazele lor iniţiale Factorul de formă al unei mărimi alternative cu alternanţe egale este raportul dintre valoarea efectivă şi valoarea medie a mărimii pe o alternanţă ce ocupă o jumătate de perioadă

medf Y

YK (59)

111fK pentru mărimi armonice Factorul de vacircrf al unei mărimi periodice cu alternanţe egale este raportul dintre valoarea maximă şi valoarea efectivă a mărimii

max (510)

411vK pentru mărimi armonice 512 Reprezentarea simbolică a mărimilor sinusoidale

Reprezentarea geometrică a unei mărimi armonice asociază biunivoc mărimii sinusoidale (curent tensiune) drept simbol grafic un vector liber icircn plan

yFtsinY2ty (511)

vectorii reprezentativi yF se numesc fazori

- 107 -

Reprezentarea cinematică a unei mărimi armonice sau reprezentarea ei prin vectori rotitori constă icircn reprezentarea printr-un fazor icircntr-un plan care-i este asociat şi are modulul constant egal cu amplitudinea mărimii sinusoidale şi are o orientare variabilă care formează icircn fiecare moment cu o axă fixă de referinţă din acel plan un unghi egal cu faza mărimii reprezentate

Y2OAOAtsinY2ty (512)

Fazorul se roteşte icircn sensul trigonometric direct cu viteza unghiulară constantă Astfel operaţiile cu mărimi sinusoidale care apar icircn ecuaţiile integro-diferenţiale liniare ale fenomenelor dintr-un circuit sunt convertite icircn operaţii elementare efectuate cu vectori (diagrame fazoriale)convertite icircn operaţii elementare efectuate cu vectori (diagrame fazoriale) Valoarea instantanee a mărimii sinusoidale reprezentate printr-un anumit fazor dat la momentul t se poate obţine grafic proiectacircnd fazorul pe o axă fixă OY defazată cu un unghi drept 2 icircn sens direct faţă de axa de referinţă OX (fig 52a) Reprezentarea polară sau prin vectori ficşi a unei mărimi sinusoidale se realizează prin fazorul asociat mărimii sinusoidale de modul egal cu valoarea efectivă a mărimii sinusoidale şi de argument egal cu faza iniţială a mărimii (fig 52b)

YOAOAtsinY2ty (513)

Mărimea imagine sau simbolul conservă din mărimea sinusoidală dată numai elementele care o individualizează icircn raport cu celelalte de aceiaşi frecvenţă respectiv valoarea efectivă şi faza iniţială

Valoarea instantanee a mărimii se obţine prin icircnmulţirea cu 2 a proiecţiei fazorului pe axa OY axele OX şi OY rotindu-se cu viteza unghiulară constantă icircn sens contrar celui trigonometric direct

Fig 53 Reprezentarea geometrică a mărimii sinusoidale a ndash reprezentarea cinematică b ndash reprezentarea polară

- 108 -

Reprezentarea icircn complex a mărimilor sinusoidale Această reprezentarea stabileşte o corespondenţă biunivocă icircntre mulţimea

funcţiilor sinusoidale şi mulţimea numerelor complexe

yCtsinY2ty (514) unde yC este reprezentarea icircn complex a mărimii Y Icircn reprezentarea icircn complex nesimplificată planul complex este identificat cu planul reprezentării cinematice Imaginea icircn complex nesimplificată a mărimii sinusoidale este o funcţie compleză de timp de modul constant şi egal cu amplitudinea mărimii sinusoidale

1jYeY2tsinY2ty tj (515) astfel icircncacirct

tjeY2ImYImty (516) Fazorul corespunzător mărimii ty este vectorul reprezentativ al imaginii icircn complex yC din planul complex a lui Gauss Icircn aplicaţii se utilizează odată cu calculul icircn complex reprezentarea geometrică ce ilustrează sugestiv relaţiile de fază iar icircn diagrame fazorii sunt notaţi adeseori cu simbolurile reprezentărilor icircn complex (fig 54 a)

Icircn reprezentarea icircn complex simplificată planul complex este dentificat cu planul reprezentării polare Imaginea icircn complex simplificată a mărimii sinusoidale este un număr complex constant de modul egal cu valoarea efectivă a mărimii şi de argument egal cu faza ei iniţială (fig 54 b)

YeYtsinY2ty j (517)

Ye2Imty tj (518)

b) b) Fig 54 Reprezentarea geometrică a mărimii sinusoidale icircn complex

a ndash nesimplificat b ndash simplificat

- 109 -

Reprezentarea icircn complex prezintă avantajul că transformă ecuaţiile integro-diferenţiale lineare şi cu coeficienţi constanţi ale fenomenelor din circuite satisfăcute de curenţi şi tensiuni sinusoidale icircn ecuaţii algebrice lineare de gradul icircntacirci satisfăcute de imaginile icircn complex ale acestor curenţi şi tensiuni Reprezentările prin fazori respectiv icircn complex reduc operaţiile de matematică superioară din ecuaţii integro-diferenţiale lineare la construcţii elementare respectiv la ecuaţii algebrice deoarece produsele funcţiilor sinusoidale prin scalari constanţi precum şi derivatele şi integralele lor icircn raport cu timpul se obţin icircn aceste reprezentări prin operaţii geometrice respectiv algebrice elementare din reprezentările respective ale funcţiilor sinusoidale Astfel produsul funcţiei sinusoidale tsinY2ty prin scalarul a fiind

tsinYa2tay (519)

este reprezentat cinematic respectiv polar printr-un fazor icircn fază respectiv icircn opoziţie cu fazorul funcţiei ty şi de a ori mai lung decacirct acesta după cum 0a sau 0a iar icircn complex prin produsul dintre imaginea icircn complex a funcţiei ty şi scalarul a Derivata mărimii sinusoidale ty icircn raport cu timpul

tsinY2dt

tdy (520)

este reprezentată cinematic respectiv polar printr-un fazor defazat cu un unghi drept icircnaintea fazorului funcţiei şi cu o amplitudine de ori mai mare decacirct a acestuia iar icircn complex respectiv complex simplificat prin produsul dintre imaginea icircn complex a funcţiei şi produsul dintre unitatea imaginară j şi pulsaţia Integrala mărimii sinusoidale ty icircn raport cu timpul şi cu constanta de integrare nulă

2tsinY2dtty (521)

este reprezentată cinematic respectiv polar printr-un fazor defazat cu un unghi drept icircn urma fazorului funcţiei şi cu o amplitudine de ori mai mică decacirct a acestuia iar icircn complex respectiv complex simplificat prin raportul dintre imaginea icircn complex a funcţiei ty şi produsul d unitatăţii imaginare j prin pulsaţia

51 Un curent sinusoidal are amplitudinea AI 10max şi frecvenţa Hzf 50

Să se determine a) valoarea efectivă I perioada T pulsaţia icircn rads şi pulsaţia icircn grades

b) să se scrie expresia valorii instantanee a curentului şi să se reprezinte grafic consideracircnd ca origine punctele icircn care

- 110 -

0i (funcţia creşte) maxIi 0i (funcţia descreşte) maxIi

2maxIi (funcţia creşte)

c) să se exprime defazajele respective icircn radiani grade şi secunde şi se se scrie expresiile corespunzătoare

Soluţie a) valoarea efectivă a curentului alternativ sinusoidal a cărei amplitudine este

maxI este

II max

Perioada s020501

Pulsaţia s

rad100f2

sgrade1081 4 b) Valoarea instantanee a curentului

alternativ sinusoidal este icircn fiecare din cele 5 cazuri următoarea

6sin10

23sin10

sin102

0sin10

Reprezentarea grafică este reprezentată pentru toate cele cinci cazuri icircn fig55

c) Expresiile corespunzătoare defaza-jelor sunt următoarele

ti sin10

180105t1081sin1090t1081sin10

2t100sin10

2tsin10i

180101081sin101801081sin10

100sin10sin10

Fig 55

- 111 -

1051t1081sin10

270t1081sin102

3t100sin102

3tsin10i

1035t1081sin10

30t1081sin106

t100sin106

tsin10i

52 Sunt date două tensiuni electromotoare sinusoidale

322512sin301te

32512cos1022

Se cere a) perioada frecvenţa valoarea maximă valoarea efectivă şi valoarea instantanee

pentru fiecare dintre cele două tensiuni pentru st6001

b) faza iniţială a fiecărei tensiuni defazajul dintre ele şi reprezentarea grafică c) Să se determine şi să se reprezinte grafic funcţiile consideracircnd o nouă origine

O a timpului situată icircnaintea celei precedente cu s2400

d) Să se scrie expresia valorilor instantanee ale celor două tensiuni pentru cazul cacircnd originea de timp coincide cu momentul icircn care 1Eee funcţiile menţinacircndu-şi defazajul icircntre ele

Soluţie

a) cunoscacircnd pulsaţia frecvenţa este

Hz4002

310524001

EEV30E max1

1max1 V102

EEV114102E max22max2

2sin303

26001800sin30e

5cos1023600

1800cos102e 2

b) faza iniţială a fiecărei tensiuni defazajul dintre ele şi reprezentarea grafică se determină astfel

2120010

1t800sin303

2t800sin30e1

- 112 -

5150020

9601t800sin102

3t800cos102e2

0002112 270150120 sau

Tensiunea electromotoare 1e este icircn urmă cu 0270 faţă de tensiunea electromo-toare 2e sau icircnainte cu 090 adică 1e şi 2e sunt icircn cuadratură (fig 56 a)

c) consideracircnd o nouă origine O a timpului situată icircnaintea celei precedente cu

sec2400

1 sau 3 rad tensiunile electromotoare devin

t800sin30

12001t800sin30e

2t800sin102

9601t800sin102e

Cele două tensiuni electromotoare se menţin bineacircnţeles icircn cuadratură reprezentarea grafică este ilustrată icircn fig 56 b

d) 11 800sin30 te

Trebuie determinat unghiul 1 astfel icircncacirct la 0t 11 Ee Deci

111 sin2

22sin 11

Rezultă

4800sin301

4800sin1022

Fig 56 a) b)

61 NOȚIUNI TEORETICE Reţele electrice liniare cu parametri concentraţi reprezintă o asociaţie de

elemente de circuit ideale care au caracteristici liniare (rezistoare bobine condensatoare generatoare de curent sau tensiune) de elemente electrice liniarizate adică avacircnd caracteristici aproximate prin caracteristici liniare O reţea electrică cu un număr mic de borne de acces şi de generatoare icircndeplinind o funcţie determinată icircn instalaţia din care face parte se numeşte circuit electric

Parametrii care definesc configuraţia topologică a reţelelor electrice sunt numărul de laturi l numărul de noduri n icircn care se unesc cel puţin două laturi şi numărul de ochiuri independente o Icircntre ele există următoarea relaţie cunoscută sub numele de teorema lui Euler

1 nlo (61)

Parametrii circuitelor liniare icircn regim armonic permanent Impedanţa Z şi defazajul al unui circuit liniar cu două borne sunt raportul

UY definit de valorile efective ale tensiunii aplicate la bornele

reţelei tUu sin2 şi curentului pe care-l absoarbe icircn aceste condiţii pe la bornele considerate ti sin2 precum şi de diferenţa dintre faza tensiunii la borne şi faza curentului Unitatea de măsură icircn SI este ohm-ul Impedanţa şi defazajul reţelelor liniare nu depind de tensiune şi curent ci numai de frecvenţă şi de parametrii rezistenţă inductivitate şi capacitatea laturilor lor

Rezistenţa R şi reactanţa X a unui circuit electric liniar

0coscos

IUR (62)

0sinsin

IUX (63)

Se definesc componentele activă şi reactivă ale tensiunii aplicate circuitului

cosUU R şi sinUU X (64)

Icircntre mărimile R X Z există relaţiile

cos sinZX

22 XRZ (6)

Aceste relaţii se deduc cu ajutorul triunghiului impedanţelor (fig1)

Admitanţa Y şi defazajul al circuitului liniar

Unitatea de măsură icircn SI a admitanţei este siemens-ul [S] Icircntre mărimile R X

Y şi există relaţiile

Conductanţa G şi susceptanţa B a circuitlui liniar

0coscos

UIG (67)

0sinsin

UIB (68)

Mărimile cosI şi sinI sunt componentele activă şi reactivă ale curentului

aplicate circuitului Icircntre mărimile G B Y şi există relaţiile

BGtg cos

22 BGY (69)

Aceste relaţii se deduc cu ajutorul

triunghiului admitanţelor (fig2) Icircntre mărimile Z Y R G X B există relaţiile

122 BG

2ZRG 2Z

XB 2YGR 2Y

BX (610)

Impedanţa complexă

CLRfjXRZeI

UZ j (611)

Fig 61 Triunghiul impedanţelor

Fig 62 Triunghiul admitanţelor

are modulul egal cu impedanţa circuitului 22 XRZZ şi argumentul egal cu defazajul circuitului Zarg astfel icircncacirct RZRe este rezistenţa circuitului şi XZIm este reactanţa circuitului

Admitanţa complexă

CLRfjBGZeUI

UIY j (614)

are modulul egal cu impedanţa circuitului 22 BGYY şi argumentul egal cu defazajul circuitului Yarg astfel icircncacirct GYRe este conductanţa circuitului şi BYIm este susceptanţa circuitului

Teorema conservării puterilor complexe active şi reactive Energia electromagnetică absorbită sau cedată de un circuit electric raportată la unitatea de timp se numeşte putere instantanee Se consideră o reţea electrică liniară conexă şi izolată cu n noduri şi l laturi icircn regim permanent sinusoidal

Pentru puterea complexă a unei laturi complete de circuit se consideră expresia jjj IUS (615)

Dacă se transformă generatoarele de curent icircn generatoare echivalente de tensiune şi se aplică teorema a I-a Kirchhoff la cele n noduri ale reţelei se obţin ecuaţiile

0I)k(j

k = 1 2 hellip n (616)

Luacircnd valorile complexe conjugate ale celor doi membri ai fiecărei ecuaţii avem

0I)k(j

k = 1 2 hellip n (617)

Icircnmulţind frecare din aceste relaţii cu valoarea complexă Vk a potenţialului sinusoidal al nodului (k) şi adunacircnd membru cu membru ecuaţiile astfel obţinute rezultă

0IV)k(j

Icircn aceasta relaţie fiecare curent jI este conţinut de doi termeni unul cu semnul

+ pentru nodul (k) din care iese curentul şi altul cu semnul minus ndash pentru nodul (i) icircn care intră curentul (fig 3) Dacircnd factor comun curentul din cei doi termeni care-l conţin se obţin termeni de forma ikjkjkik VVUundeIUIVV )( este tensiunea la bornele laturii Icircn acest fel relaţia (18) se scrie

1jjj 0IU respectiv

1jj 0S (619)

Separacircnd părţile reale şi imaginare ale puterilor complexe rezultă prima formă a teoremei de conservare a puterilor active şi reactive

j 0Q0P (620)

Puterile complexă S activă P şi reactivă Q ale unei reţele conexe şi izolate egale cu sumele puterilor complexe Sj active Pj şi reactive Qj ale laturilor sunt nule

jj 0sinIUQ0cosIUP0IUS (621)

Teorema conservării puterilor complexe se poate scrie şi sub o altă formă dacă tensiunile la bornele laturilor se exprimă pe baza formei generalizate a legii lui Ohm Astfel pentru o latură ca cea din fig 63 legea lui Ohm icircn complex se scrie

Uj + Ej = ZjIj respectiv Uj = ZjIj ndash Ej (22) Multiplicacircnd ambii membri ai ultimei ecuaţii cu

jI şi adunacircnd membru cu membru ecuaţiile pentru toate laturile reţelei se obţine

0IEIIZIU1j

respectiv

1jjj IZIE (623)

Separacircnd părţile reală şi imaginară rezultă

IXsinIEIRcosIE1j

Suma puterilor complexe ale surselor de energie din reţea este egală cu suma puterilor complexe ale elementelor pasive (impedanţelor) Corespunzător se formulează şi teoremele de conservare ale puterilor active şi reactive Pentru o reţea deschisă pasivă alimentată din exterior pe la m borne de acces teorema conservării puterilor se formulează icircn mod adecvat puterile activă Pb şi reactivă Qb transmise reţelei pe la bornele de acces sunt egale cu suma puterilor active Pj respectiv reactive Qj din laturile reţelei

1kkkbj

1kkkb sinIUsinIVQcosIUcosIVP

Ţinacircnd cont de proprietatea de separare a puterilor pe elementele de circuit icircn regim sinusoidal bilanţul puterilor active şi reactive poate fi scris şi sub forma

1kkkb IXsinIVQIRcosIVP (626)

Fig 63

62 APLICAȚII ȘI PROBLEME 61 Tensiunea alternativă sinusoidală aplicată la bornele unui circuit are

expresia 3

tsin60u iar curentul care-l strabate 6

tsin3 i

a) Să se scrie şi să se reprezinte icircn complex nesimplificat şi simplificat tensiunea u şi curentul i Să se calculezeimpedanţa complexă Z admitanţa complexă Y puterea aparentă complexă S

b) Cum se modifică expresiile complexe ale tensiunii şi curentului impedanţa

Z admitanţa Y puterea aparentă S dacă axele se rotesc cu 4

Rezolvare

tsin60u

tje60u

3j12153sinj3cos2

60U 3j

6sinj6cos2

20je20e3

050je050e20

Z1Y 2j

b) Presupunacircnd că axele se

rotesc cu unghiul 41 figura 64

expresiile devin 0180015j43

00 18075j4j

je20e20Z

je90e90S

Fig 64

Consideracircnd unghiul de rotire al axelor 41

00 180105j43j e2

00 18015je2

3I 43j

62 Se dă circuitul din fig 65 alimentat de o tensiune alternativă sinusoidală

5tsin1002u Parametrii circuitului 10R H10L

Să se calculeze a) Impedanţa echivalentă a reţelei rezistenţa şi reactanţa echivalentă b) Admitanţa susceptanţa şi conductanţa echivalentă c) Valorile instantanee ale curenţilor ic iR iL şi a tensiunii uAB d) Să se efectueze bilanţul puterilor e) Să se rezolve utilizacircnd diagrama polară a circuitului

Reprezentarea icircn complex simplificat a tensiunii sinusoidale

5tsin1002u

j1250e100U 45j

a) Impedanţa complexă echivalentă

Lce jXRe255j5

jXRjXR

5R e 5X c

Circuitul are caracter capacitiv b) Admitanţa complexă echivalentă

e jBG101j

S101G e S

Fig 65

c) 210je210ZUI 3

Utilizacircnd regula divizorului de curent rezultă

j125e10LjR

RII 45j

j125e10LjR

LjII 45j

Valorile instantanee ale curenţilor ic iR iL şi a tensiunii uAB

tsin2102iC

5tsin102iL

tsin102iR

tsin1002Riu RAB

d) Bilanţul puterilor Puterea aparentă complexă absorbită de circuit pe la borne este

1000j1000e21000IUS 47j

W1000iRP 2

VAR100IC

1ILQ 2C

f) Diagrama polară a circuitului este prezentată icircn fig 66

Fig 66

63 Cacirctă energie electrică consumă o lampă alimentată la o tensiune de 220 V prin care trece un curent de 03A dacă ea funcţionează timp de 15 minute

R W= UIt = 220∙03∙15∙60 = 59400Ws = 594003600 Wh = 165 Wh = 00165 KWh

64 Un radiator electric avacircnd rezistenţa R=20 este străbătut de un curent I=10 A şi funcţionează timp de două ore şi 45 de minute Cacirctă energie consumă

R W= RI2t = 20∙100∙(2+34) = 5 500 Wh = 55 KWh 65 Să se determine pierderea de tensiune icircn volţi şi procente pentru o porţiune

dintr-un conductor avacircnd rezistenţa de 05 prin care trece un curent de 8A tensiunea de alimentare fiind de de 220 V

R ΔU = RI = 05∙8 = 4V Δu = 4220 ∙100 = 18 W = 00165 KWh

66 La temperatura mediului ambiant t1 = 150 rezistenţa unui bobinaj al unei maşini electrice este R1

= 40 Ω După o funcţionare mai icircndelungată rezistenţa bobinajului creşte la valoarea R2

= 50 Ω Să se calculeze temperatura t2 la care a ajuns bobinajul după funcţionare ştiind că bobinajul este făcut din cupru cu coeficient de temperatură α = 0004

R R2 = R1 [1+ α(t2 ndash t1)] t2 = t1 + (R2 ndash R1)αR1 = 775oC

67 Pe plăcuţa unui electromotor monofazat sunt trecute următoarele date P = 2 kW I = 5 A cos = 08 Să se determine tensiunea la care lucrează acest electromotor

R P = UIcosφ U = PIcosφ = 2000508 = 500V

68 Ce curent maxim se absoarbe printr-un branşament monofazat de 220 V de către o instalaţie electrică dintr-o locuinţă icircn care sunt instalate 5 lămpi de cacircte 100 W un aparat TV de 30 W şi un frigider de 100 W

R P = UIcosφ UI I = PU = (500+30+100)220 286 A

69 Să se calculeze impedanţa şi defazajul icircntre tensiune şi curent ale unei bobine cu rezistenţa activă de 15 şi cu o reactanţă de 2

R 60ZRcos52251XRZ 2222 53o

610 Un abonat consumă energie electrică prin utilizarea unei plite electrice cu rezistenţa de 30 Ω ce absoarbe un curent electric de 8 A şi a 4 becuri a cacircte 75 W funcţionacircnd toate timp de o oră şi 15 minute Să se determine energia electrică totală consumată de abonat icircn acest interval de timp

R Puterea plitei electrice este P1 = R I2 = 30 middot 82 = 1920W

Puterea becurilor este P2 = 4 x 75 = 300W

Energia electrică totală consumată icircn intervalul de timp considerat este W = (P1 + P2)middott = (1920 + 03)middot(1 + 1560) = 222 middot 125 = 2775 kWh

- 121 -

7 CIRCUITE TRIFAZATE LINIARE

IcircN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

71 CIRCUITE TRIFAZATE ECHILIBRATE ALIMENTATE CU TENSIUNI SIMETRICE SINUSOIDALE

PROBLEME REZOLVATE

711 Un generator electric trifazat cu tensiuni simetrice sinusoidale alimentează două receptoare trifazate echilibrate conectate icircn triunghi şi respectiv icircn stea ca icircn figura 71 Să se determine curenţii totali de linie şi puterile activă reactivă şi aparentă debitate de generator Se neglijează impedanţa liniei de alimentare Impedanţele receptoarelor sunt )2j3(Z)3j2(Z 21

Se transfigurează receptorul conectat icircn stea icircntr-un receptor echivalent conectat

icircn triunghi cu impedanțele )j23(3Z3Z 2|2 Icircn acest fel cele două receptoare icircn

triunghi au laturile icircn parallel astfel icircncacirct prin compunere se ajunge la un receptor echivalent unic icircn triunghi cu impedanțele fazelor

ZeZmarctg742ZZ

)192j741(9j1139j

9j11)2j3)(2j2(3

Curenții din laturile receptorului icircn triunghi au valoarea efectivă

A7138742380

Curenții debitați de generator au valoarea efectivă

A240I3I f l

Fig 71

- 122 -

iar puterile aparentă activă și respectiv reactivă sunt

kVAR612277402403803sinIU3QkW10063302403803cosIU3P

kVA158IU3S

712 O linie trifazată echilibrată avacircnd lungimea l = 500m rezistența specifică

Rs = 2middot10-4 m și inductivitatea specifică Ls = 638middot10-7 Hm alimentează sub tensiuni simetrice 3380220V 50Hz următorii consumatori un motor electric cu puterea PM = 10kW și factorul de putere cosM = 05 trei bobine identice cu inductivitatea L = = 001H trei condensatoare conectate icircn triunghi de capacitate C = 1039 F și o instalație de iluminat cu puterea instalată Pi = 30 kW ca icircn figura 72

Se cer curenții de linie factorul de putere total la consumator și tensiunile ce trebuie aplicate la intrarea liniei ca tensiunile la consumator să fie cele prescrise

Curentul de linie absorbit de motor are valoarea efectivă

A430503803

00010cosU3

iar icircn complex este

A)426j215()870j50(430)sinj(cosII MMMM

Curentul complex al bobinelor este

A08470j010314j220

LjUI f

Condensatoarele conectate icircn triunghi se pot icircnlocui cu condensatoare conectate icircn stea cu capacitatea echivalentă

F1031C3C 3

Astfel curentul complex al condensatoarelor rezultă

A02723j220314103

10jUCjI 63fsteaC

Fig 72

L Pi PM

IM IL IC Ii

3380220V 50Hz

- 123 -

Curentul absorbit de instalația de iluminat este real și are valoarea efectivă

A4545220300030

Curentul total de linie rezultă A)6820j6560(IIIII iCLM l cu valoarea efectivă A086468206560I 22 l

Factorul de putere la consumator este

95008646560

IIecos

Căderea complexă de tensiune pe fiecare conductor al liniei se calculează astfel

V)973j138()6820j6560)(10386314j102(500IZU 74 lll

Tensiunea de fază la bornele de intrare a liniei este

V)973j13228(UUU ff0 l

cu valoarea efectivă V22897313228U 22f0

Valoarea efectivă a tensiuni de linie ce trebuie aplicată la intrarea liniei este V3952283U0 l

O altă metodă de rezolvare a problemei se bazează pe calculul puterilor și este prezentată icircn tabelul următor

Consumator Puterea activă P [W]

Puterea reactivă [VAR] Relații de calcul

Motor 10 000 W 17 3205 VAR QM = PM tgM =

coscos1

Bobină 0 46 242 VAR QL =3 LU2

Condensator ndash 45 3416 VAR 2C UC3Q l

Iluminat 30 000 W

Total consumator 40 000 W 18 221VAR

VA643954QPS 22

A666U3SI

910SPcos 1

Linie 13307 W 1333 VAR Pl = 3l RsI

2 = 13307 W

Ql = 3l LsI2 = 1333 VAR

TOTAL 41 3307 19 554 VAR

VA72345QPS 220

V396I3

SU 00 l

90SPcos 0

- 124 -

713 Un transformator de forţă trifazat de putere Sn = 10 MVA are tensiunile nominale U1n = 20 kV şi U2n = 63 kV Să se calculeze curentul nomimal primar

R Sn = S1n = 3 U1nI1n I1n = Sn (173∙U1n) = 10 (173∙20) 0289 kA = 289 kA 714 Un electromotor trifazat de 1500W (putere nominală) absoarbe un curent

de 49A la un factor de putere cos = 085 Să se determine tensiunea la care funcţionează electromotorul

R P = 3UIcosφ U = P ( 3I cosφ) U = 1500 ( 3middot49middot085) = 208 V 713 O linie electrică trifazată echilibrată avacircnd lungimea L = 100m şi

secţiunea S = 25 mm2 alimentează un electromotor de 15 kW 3times380 V cos φ = 08 randamentul η = 09 se consideră = 132 mm2m Să se determine a) curentul electric In absorbit de electromotor b) pierderea de tensiune pe linie pacircnă la electromotor c) valoarea maximă a curentului la care poate fi reglat releul termic al icircntrerupătorului automat al electromotorului ştiind că conform normativelor releul termic poate fi reglat la un curent cuprins icircntre (105 ndash 12) In

a) Pnominală motor = Pn = Putila la arbore = ηmiddotPelectrica absorbită = ηmiddotPabs

Pabs = Pn η = cosIU3 nn In = Pn )cosU3( n = 15000(09middot 3 middot380 middot 08)

Deci In 3165 A b) Facem ipoteza că la bornele motorului alimentat prin linia trifazată de

lungime L avem tensiunea și curentul nominal Utilizacircnd curentul nominal calculat mai sus determinăm căderea de tensiune pe linie

ΔU = V48580253210065313cosS

c) Imax = 12 In = 12middot3165 38 A

714 Icircntr-un atelier se icircnlocuieşte un polizor cu un strung Ştiind că circuitul care alimentează polizorul are 4 conductoare izolate de aluminiu de 25 mm2 montate icircn tub să se verifice dacă prin acest circuit se poate alimenta strungul şi icircn caz contrar să se redimensioneze circuitul Se verifică căderea de tensiune şi densitatea de curent icircn regim normal şi la pornirea electromotorului strungului Se cunosc puterea electromotorului strungului 7 kW tensiunea de alimentare 380220V cos φ = 08 randamentul = 09 curentul de pornire Ip = 6Inominal lungimea circuitului 20 m rezisti-vitatea = 134 mm2m pierderea de tensiune la pornirea electromotorului lt 10 densitatea admisibilă de curent pentru Al icircn regim permanent este δn = 6Amm2 iar icircn regim de pornire δp = 20 Amm2

Pnominală motor = Pn = Putilă la arborele mașinii = ηmiddotPelectrică absorbită = ηmiddotPabs

Pabs = nP = nnn cosIU3 In =

cosU3P

= 80middot380 middot390

7000 = 1477A

- 125 -

Ipornire = 6In = 6 middot1477 = 8862A

Icircn conformitate cu normativul I72000 anexa 6 conductorul de Al de 25 mmsup2 poate fi utilizat pentru realizarea circuitelor de forță trifazate din interiorul clădirilor ndash se verifică pierderile de tensiune densitatea de curent și se face calculul de icircncălzire

a) Verificarea conductorului de alimentare din punct de vedre al căderii maxim admisibile de tensiune și dpdv al icircncălzirii maxime icircn regimul de funcționare de durată

Căderea de tensiune ΔU = nn cosIR3 unde R = SL

ΔU = V458077145234203 respectiv Δu = 54middot100380 = 142 lt Δumaxadm

Pentru branșamente alimentate din rețeaua stradală Δumaxadm = 5 deci conductorul icircndeplinește cerința de cădere de tensiune maxim admisibilă

Icircn conformitate cu art 48 din I72002 Imaxadm pentru 3 conductoare de Al izolate cu PVC montate icircn tub este Imaxadm = 15A

Iabsmotor = 1477A lt Imaxadm = 15A pe cale icircn consecință conductorul icircndeplinește cerința de icircncălzire maxim admisibilă

b) Verificarea conductorului de alimentare dpdv al căderii maxim admisibile de tensiune și dpdv al densității de curent maxim admisibile icircn regimul de pornire

b1) Ip = 6 In ΔUp = 6middotΔUregfunctdurata = 6 x 54 = 324V Δup[] = 6middot142 = 852 lt 10 (valoarea maxim admisibilă conform

enunțului problemei) și conductorul indeplinește cerința de cădere de tensiune maxim admisibila icircn regim de pornire a motorului

b2) Icircn conformitate cu art 5117 din I72002 densitatea maxim admisibila pentru conductoarele de aluminiu icircn regimul de pornire al motoarelor este de 20Amm2

Densitatea curentului de pornire δp = IpS = 6middot1477 25 = 35448Amm2 gt 20Amm2

deci conductorul nu icircndeplinește cerința de densitate maxim admisibilă de curent icircn regim de pornire Secțiunea minimă a conductorului ce rezultă din această condiție este

Smin = Ipδpmax= 6middot1477 20 = 443mm2

Este necesară alegerea unui conductor de Al cu secțiunea standard S = 6mm2 pentru care rezultă densitatea de curent la pornire δp =1477Amm2 lt 20Amm2

715 O coloană electrică de 380220V cu conductoare de aluminiu icircn lungime

de 25m alimentează un tablou secundar de la care pleacă trei circuite pentru

- un electromotor trifazat de 4kW - un electromotor monofazat de 2kW

- 20 de lămpi de cacircte 100W fiecare Electromotoarele au pornire directă şi absorb la pornire de şase ori curentul

nominal In Pierderea de tensiune admisă icircn coloană este de 2 iar la pornirea

- 126 -

electromotoarelor maximum 10 conductivitatea = 34mmm2 cos = 07 şi randamentul = 09 Curentul maxim admisibil icircn regim permanent pentru conductoare de Al cu secţiunea de 6 mm2 este de 30A iar densitatea admisibilă de curent pentru Al icircn regim de pornire δp = 20Amm2 Ţinacircndu-se seama de icircncărcarea echilibrată a fazelor şi de un mers simultan la plină sarcină a tuturor receptoarelor să se determine secţiunea coloanei Se va face verificarea la densitate de curent icircn regim de pornire şi la căderea de tensiune

Pentru echilibrarea sarcinilor pe cele trei faze electromotorul monofazat se

conectează la faza R cacircte 10 lămpi se conectează la faza S respectiv la faza T Cea mai icircncărcată va rezulta icircn acest caz faza R se va calcula secţiunea coloanei luacircnd icircn considerare curentul total din faza R unde este racordat electromotorul monofazat

Pabs motor trifazat = Pn η = nnn cosIU3 In = Pn )cosU3( nn =

= 4000(09 3 middot380middot07) = 965A

Pabs motor monofazat = Pn η = nnn cosIU In = Pn )cosU( nn =

= 2000(09middot380middot07) = 835A

Curentul absorbit pe faza R are valoarea efectivă IR = Imotor trifazat + Imotor monofazat = 965 + 835 = 18A

Icircn regim permanent la icircncărcare maximă (ambele motoare icircn funcțiune la sarcină nominală) IR = 18A lt Iadmisibil = 30A

Căderea de tensiune pe coloana de alimentare ΔU = nn cosIR3 unde R = S

ΔU = V6727018634

253 respectiv Δu = 267middot100380 = 07 lt Δumaxadm= 2

Icircn cazul cel mai solicitant la pornirea simultană a motoarelor curentul pe faza R poate avea valoarea maximă

IpR = 6 In = 6middot18 = 108 A

Pentru conductorul de aluminiu cu sectiunea de 6 mm2 rezultă o densitate de curent la pornire

δp = 1086 = 18Amm2 lt δpadmisibil = 20Amm2

Căderea de tensiune pe coloană icircn aceasta situație rezultă

ΔU= V021670108634

253 Δu = 1602middot100380 = 42 lt Δumaxadmp = 10

- 127 -

72 METODA COMPONENTELOR SIMETRICE APLICAȚII ȘI PROBLEME REZOLVATE

721 Considerații teoretice

Metoda componentelor simetrice constă icircn descompunerea unui sistem trifazat

nesimetric icircn trei sisteme simetrice numite componente simetrice şi apoi icircn suprapunerea regimurilor de funcţionare produse de fiecare sistem simetric icircn parte Metoda se poate aplica deci numai circuitelor electrice liniare unde este valabil principiul suprapunerii efectelor

Fie sistemul trifazat nesimetric dat de mărimile

)tsin(Y2)t(y)tsin(Y2)t(y

)tsin(Y2)t(y

cu reprezentarea icircn complex 321 j

11 eYYeYYeYY (72)

Sistemul nesimetric se descompune icircn trei sisteme simetrice

- sistemul simetric de succesiune directă

d2dd1 YaYYaYYY (72)

- sistemul simetric de succesiune inversă

i3ii2ii1 YaYYaYYY (73)

- sistemul omopolar

hh3hh2hh1 YYYYYY (74) Relaţiile dintre componentele corespunzătoare sistemului nesimetric şi cele ale

sistemelor simetrice sunt

YYaYaYYYaYaY

YYYY (75)

Rezolvacircnd invers sistemul de ecuaţii (75) se obţine

YYY31Y

YaYaY31Y

- 128 -

722 Aplicații și probleme 7221 Se dă rețeaua trifazată echilibrată din figura 73 alimentată cu un

sistem de tensiuni sinusoidale nesimetrice US0 = 300V US0 = j 100V UT = ndash j 100V Impedanțele complexe au valorile 10jZ30jZ20jZ

N Se cer curenții

din ramurile rețelei

Componentele simetrice ale sistemului de tensiuni de alimentare este

V100UUU31U

V7157UaUaU31U

V342UaUaU31U

0T0S0Rh

Schemele trifazate și corespunzător schemele monofazate pentru componentele simetrice sunt date icircn figura 74

Componentele simetrice ale curenților se determină ușor utilizacircnd schemele monofazate de secvență directă Sd (fig 74a2) invedrsă Si (fig 74b2) și homopolară Sh (fig 74c2) Rezultă astfel

A)122j411(IIIA411ZUIA122j

R IR Z

IR IS IR

a2) Schema monofazată Sd

a1) Regimul simetric direct

Id a2Id aId

Id Rd Z Id

b2) Schema monofazată Si

b1) Regimul simetric invers

Ii aIi a2Id

Ii Ri Z Ii

- 129 -

A)5j661(IIIA661ZZ

UIA5jZUI

Curenții reali din rețea se determină astfel

A)15j5(III

A5IIII

A15jIIII

A)323j661(IIaIaI

A328IIII

A984IIaIaI

A15jIIII

A)323j656(IIaIaI

A)323j323(IIaIaI

A)15j328(IIII

7222 Un receptor trifazat este format din trei impedanțe Z1 Z2 Z3 conectate

icircn stea ca icircn figura 75 Să se determine curenții din rețea prin metoda componentelor simetrice icircn două situații a) icircntrerupătorul K deschis (conexiunea stea fără fir neutru) b) icircntrerupătorul K icircnchis (conexiunea stea cu fir neutru)

Tensiunile pe fazele receptorului U1 32 UU se scriu

IZUIZUIZU 333222111 (77)

Dacă se icircnlocuiesc curenţii icircn funcţie de componentele lor simetrice se obţine

)IIaIa(ZU)IIaIa(ZU

)III(ZU

c2) Schema monofazată Sh

c1) Regimul simetric invers

Ih Ih Ih

Ih Rh Z Ih

Fig 74 Schemele rețelei corespunzătoare componentelor simetrice

Fig 75

U31 U1

- 130 -

Componentele simetrice ale tensiunilor pe fazele receptorului se determină astfel

IZaZaZIZaZaZIZZZ3

IIaIaZaIIaIaZaIIIZ31

IZaIZaIZ31UaUaU3

21i322

221132

Icircn acelaşi mod se stabilesc relaţiile pentru componentele inversă şi omopolară ale tensiunilor Prin analogie cu componentele simetrice se notează cu id şi h impedanţele complexe de calcul

21d ZaZaZ31 ndash impedanţa directă

1i ZaZaZ31 ndash impedanţa inversă

321h ZZZ31 ndash impedanţa omopolară (79)

Pentru componentele simetrice ale tensiunilor se obţin ecuaţiile

hhiddih

hiihddi

hdiidhd

IIIUIIIUIIIU

a) Cazul rețelei fără fir neutru Se dau tensiunile de linie nesimetrice U12 3123 UU pentru care se determină componentele simetrice

23i122

3123d UaUaU31UUaUaU

31U ll

Deoarece 0III 321 curenții nu au componenta homopolară 0Ih din (710) rezultă

IIUIIUIIU iddihihddiiidhd (711)

Dacă se alege ca fazor fundamental al tensiunilor de linie fazorul U23 componentele simetrice a acestor tensiuni rezultă

0)UUUUUU(UUU31U

eU3U3j

UUaUUaUU31UaUaU

eU3U3jU)aa()UaUaU(a31

)UaUaU(a31)UaUaU(

31)UaUaU(

)UU(a)UU(aUU31)UaUaU(

211332123123h

3212312

1332122

Avem așadar iidd U3jUU3jU ll și utilizacircnd ecuațiile (711) obținem

- 131 -

)II(3jU)II(3jU

Prin rezolvarea acestui sistem de ecuații se obține

cu care se determină curenții pe fazele receptorului

IaIaIIaIaI

b) b) Cazul rețelei cu fir neutru Se dau tensiunile de alimentare prin componentele lor de fază nesimetrice 302010 UUU pentru care se determină componentele simetrice

302010h

UUU31U

UaUaU31U

Componentele simetrice ale tensiunilor de pe fazele receptorului 321 UUU sunt

UUU31U

UaUaU31U

Sistemele de fazori 302010 UUU și 321 UUU au vacircrfuri comune și origini diferite ca icircn figura 76 Icircntre componentele simetrice ale acestora există relațiile

U)]UU()UU()UU[(31UU

0)UaUaU(31

)UU(a)UU(a)UU[(31UU

0)UaUaU(31

)UU(a)UU(a)UU[(31UU

0N220220110hh

2202202

220110dd

Așadar componentele simetrice directă și inversă sunt egale iidd UUUU iar componentele homopoare diferă UUU h0Nh

Fig 76

- 132 -

Utilizacircnd impedanțele complexe de calcul ec 710 avem

hhiddi0Nhh

hiihddii

hdiidhdd

IIIUUU

Din acest sistem de ecuații se determină componentele simetrice Id Ii Ih și apoi se pot calcula curenții I1 I2 I3 prin fazele receptorului Curentul prin firul neutru este

h321N I3IIII iar tensiunea dintre neutrul receptorului N și neutrul rețelei de alimentare 0 (deplasarea neutrului) se determină cu relația

hNNN0N IZ3IZU Poate fi determinată acum și componenta homopolară h0Nh UUU și apoi cunos-cacircnd toate componentele simetrice

hid UUU se pot calcula tensiunile pe fazele receptorului U1 U2 și U3

723 Aplicații la studiul regimurilor de avarie icircn reţelele trifazate cu metoda componentelor simetrice

7231 Se consideră scurtcircuitul monofazat la bornele unui generator trifazat

cu tensiunile electromotoare simetrice 0EEEE hid şi cu impedanţele dinamice id ZZ şi hZ acesta reprezentacircnd partea echilibrată a reţelei Re (fig 77)

Dacă scurtcircuitul este net acest defect se modelează cu impedan-ţele transversale

TSR ZZ0Z La locul defectului se pot scrie

următoarele ecuaţii

0II0U TSR

Chiar dacă fizic fazele S şi T nu sunt icircntrerupte producerea unui scurt-circuit pe faza R duce la creşterea puternică a curentului pe această fază şi la micşorarea curenţilor pe fazele S şi T aceştia putacircnd fi neglijaţi

Dacă scurtcircuitul este cu arc elec-tric impedanţa de modelare RZ este egală cu impedanţa arcului aR ZZ (fig 78) şi ecuaţiile la locul defectului devin

II0IIIZU scRTSRaR

Acestor ecuaţii le corespund următoarele ecuaţii icircn componente simetrice

UR US UT

Fig 77

UR US UT

Fig 78

- 133 -

0IIaIaIIaIa)III(ZUUU

hidahid

Din ultima ecuaţie rezultă hid III şi

hRscdahid I3IIIZ3UUU

Schemele monofazate de succesiune directă SMd inversă SMi şi omopolară SMh se pot conecta astfel icircncacirct să satisfacă aceste relaţii ca icircn figura 710 Curentul prin reţeaua monofazată astfel obţinută este

dhid Z3ZZZ

iar relaţia de calcul a curentului de scurtcircuit rezultă

ahidsc Z3ZZZ

Pentru determinarea tensiunilor se determină mai icircntacirci componentele simetrice ale acestor tensiuni

IZUIZUIZEU hhhiiidddd

Tensiunile rezultă

EZ3ZZZZ)1a(Z)aa(UUaUaU

Z3ZZZEZ3IZ3UUUU

ahahidR

Pentru a limita sau eventual chiar anula curentul de scurtcircuit Isc unica posibi-litate practică constă icircn creşterea pacircnă la valori infinite a impedanţei omopolare Z h Modificarea impedanţelor dZ sau iZ ar atrage după sine modificarea corespunzătoare a curenţilor pe fazele S şi T la funcţionarea icircn sarcină a generatorului Cum numai componentele omopolare ale curenţilor se icircnchid prin pămacircnt la neutrul generatorului curentul poate fi limitat introducacircnd icircntre neutrul generatorului şi pămacircnt o impedanţă de obicei o bobină numită bobină de stingere calculată astfel icircncacirct curenţii de scurtcircuit să fie limitaţi la valori nepericuloase

7232 Se consideră scurtcircuitul net pe fazele 2 3 cu icircntreruperea fazei 1 la

bornele unui generator trifazat cu tensiunile electromotoare simetrice 0EEEE hid şi cu impedanţele dinamice id ZZ şi hZ

Reţeaua electrică se compune din partea echilibrată Re (generatorul trifazat) şi din elementul trifazat dezechilibrat care modelează defectul cu impedanţele

1Z N32 Z0ZZ

aşa cum se poate vedea icircn figura 711 Ecuaţiile la locul defectului sunt

Id Zd Ed

Id = Ii = Ih

Fig 710

- 134 -

II0IUU TSRTS care icircn componente simetrice se scriu

IIaIaIIaIa0III

UUaUaUUaUa

Din aceste ecuaţii rezultă

II0I0UUU idhhid

Pe baza acestor relaţii schema echivalentă monofazată icircn componente simetrice a scurtcircuitului bifazat fără punere la pămacircnt este cea din fig 712 Din această schemă se determină componentele simetrice ale curenţilor şi tensiunilor

EZZZIZEUUIZZ

iddidi

Curentul de scurtcircuit rezultă

TSsc ZZE)aa(IaIaIII

Tensiunile la locul defectului sunt

ZZEZUU)aa(UaUaUU

ZZEZ2IZ2UUU

idiidR

7232 Scurtcircuitul trifazat (cu sau fără punere la pămacircnt)

Dacă icircntr-o reţea simetrică se produce un scurtcircuit trifazat regimul este echilibrat (fig 713) ecuaţiile la locul defectului fiind 0UUU TSR Prin urmare şi componentele simetrice ale tensiunilor sunt de asemenea nule

0UUU idh

Schema monofazată pentru componen-tele simetrice se dă icircn figura 714 Numai componenta directă a curentului este nenulă

Pentru curenţii de scurtcircuit rezultă relaţiile

ZEaIaI

Ud = Ui

Id Zd E

SMd SMi

Fig 712

E dZ dI

Fig 714

Fig 713

a2E IS

Fig 711

US = UT

- 135 -

8 CIRCUITE ELECTRICE LINIARE IcircN REGIM TRANZITORIU

81 NOȚIUNI TEORETICE

Regimurile tranzitorii pot fi icircntacirclnite la icircnchiderea sau deschiderea unor icircntrerupătoare care alimentează circuitul considerat sau icircn cazul icircn care parametrii circuitului (R L M C) variază brusc datorită unor condiţii speciale de lucru sau unor avarii (scurtcircuite icircntreruperi)

Circuitele liniare şi invariabile icircn timp (cu parametrii constanţi) sunt descrise de ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi După cum se ştie soluţia generală a unor astfel de ecuaţii se poate scrie sub forma unei sume de două soluţii şi anume

)t(y)t(y)t(y ptr (81) icircn care

)t(y tr este soluţia generala a ecuaţiei diferenţiale date obţinute prin anularea termenului liber al acesteia (soluţia ecuaţiei omogene) şi se numeşte soluţie de regim liber sau componentă tranzitorie

)t(yp este o soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale a circuitului ndash numită soluţie de regim forţat sau componentă permanentă

Icircn mod obişnuit prin componentă permanentă yp se icircnţelege expresia soluţiei generale y(t) pentru t

Folosirea acestor denumiri este potrivită dacă semnalul excitaţie (tensiune sau curent) acţionează un timp relativ icircndelungat faţă de intervalul de timp cacirct există şi componenta liberă Icircn aceste condiţii componenta liberă e potrivit să se numească componenta tranzitorie ytr deoarece este vorba de o componentă de scurtă durată respectiv trecătoare Icircn regim tranzitoriu sunt prezente ambele componente deci semnalul răspuns va fi de forma

)t(y)t(y)t(y ptr (82) După un interval de timp după care componenta tranzitorie ytr(t) poate fi

neglijată (se consideră practic nulă) rămacircne numai componenta permanentă y(t) = yp(t) regimul se numeşte regim permanent

Teoremele Comutării La baza analizei circuitelor liniare icircn regim tranzitoriu stau teoremele

comutării valabile şi pentru circuitele neliniare sau parametrice şi care se sprijină pe considerente energetice

Prima teoremă a comutării icircntr-o ramură a unui circuit liniar care conţine bobine fluxul magnetic şi intensitatea curentului conservă la comutare valorile avute icircn acel moment variaţiile lor ulterioare icircncepacircnd cu aceste valori iniţiale (fig 81)

)0()0()0()0()0()0(

LLL ψψψiii

- 136 -

Dacă la comutare curentul i ar varia prin salt atunci tensiunea la bornele bobinei

00 dtdLdt

dψ)0(u LLL

i (84)

ar fi nedeterminată uL(0+) ceea ce nu este posibil De asemenea o creştere bruscă a intensităţii curen-

tului sau a fluxului magnetic ar conduce la o creştere bruscă a energiei cacircmpului magnetic

2Li (85)

icircncacirct puterea furnizată de sursă ar rezulta nedeterminată ceea ce din punct de vedere fizic este lipsit de sens

Tensiunea la bornele bobinei poate varia prin salt (fig 82)

A doua teoremă a comutării icircntr-o ramură a unui circuit liniar care conţine condensatoare sarcina electrică de pe armaturile condensatoarelor şi tensiunile la bornele acestora conservă la comutare valorile avute icircn acel moment variaţiile lor ulterioare icircncepacircnd cu aceste valori iniţiale (fig 83)

)0(u)0(u)0(u)0(q)0(q)0(q

Dacă la comutare sarcina condensatorului sau tensiunea la bornele sale ar varia prin salt atunci curentul prin condensator

duCdtdq)0(i (87)

ar fi nedeterminat ic(0+) ceea ce nu este posibil

O creştere bruscă a tensiunii la bornele condensatorului sau a sarcinii electrice de pe armăturile sale ar implica o creştere bruscă a energiei cacircmpului electric

ce (88)

icircncacirct puterea furnizată de surse rezulta nedeterminată ceea ce este lipsit de sens din punct de vedere fizic Curentul condensatorului poate varia icircnsă prin salt (fig 84)

)0()0()0()0(

LL ψψ

Fig 81

)0()0( LL uuuL

)0()0(

Fig 83

)0()0( CC ii

Fig 84

- 137 -

82 PROBLEME REZOLVATE

81 Să se determine intensitatea curentului dintr-o bobină cu inductivitatea L şi rezistenţa R care se cuplează la o sursă ideală de curent continuu avacircnd tensiunea electromotoare E0 figura 81

Aplicacircnd teorema a II-a a lui Kirchhoff se obţine ecuaţia diferenţială

0ERidtdiL

Soluţia generală a acestei ecuaţii se compune din doi termeni

tititi 21

din care tLR

1 Aeti

este soluţia generală a ecuaţiei omogene iar RE

ti o2 este o

soluţie particulară a ecuaţiei omogene Constanta A se determină prin condiţia iniţială care exprimă continuitatea

fluxului magnetic din bobină icircn momentul 0t al cuplării

0LiLi 00 Se obţine soluţia

t0 e1R

icircn care este constanta de timp a circuitului RL

Icircn fig 81b) a fost pusă icircn evidenţă proprietatea funcţiilor exponenţiale de a avea subtangenta constantă egală cu constanta de timp Icircn practică se apreciază că regimul tranzitoriu se amortizează după 3 5 constante de timp Icircntr-adevăr valoarea curentului icircn momentul 3t este

30 e1RE3i

diferă de valoarea de regim staţionar cu 5

a) b) Fig 81

- 138 -

82 Un circuit R-L (fig 82 a) funcţionează icircn regim staţionar sub tensiunea la borne E0 Să se studieze regiumul tranzitoriu produs prin scurtcircuitarea bornelor de alimentare

Ecuaţia diferenţială a circuitului care cuprinde rezistorul bobina şi icircntreruptorul consideracircnd scurtcircuitul net (fără arc electric) este

0t0RidtdiL

Soluţia acestei ecuaţii cu condiţia iniţială RE0

0 eREti

83 Circuitul din fig 83a funcţionează icircn regim staţionar cu icircntreruptorul K deschis Să se determine varaţia icircn timp a curentului din bobină icircn urma scurtcircuitării rezistorului R1

Aplicaţie numerică H10L30R10RV120E 10

a) b) Fig 82

i(t)t = 0R

001 st

003002

0a) b)

Fig 83

- 139 -

Ecuaţia diferenţială a circuitului icircn urma icircnchiderii icircntreruptorului K este

0ERidtdiL

Soluţia acestei ecuaţii este t

0 AeRE

Din condiţia iniţială 1

000 RR

ii se obţine rezultatul

t100tLR

000 e912eRRE

Variaţia curentului este reprezentată icircn fig 83 b 84 Un releu electromagnetic a cărui icircnfăşurare are inductivitatea (icircn situaţia icircn care armătura este atrasă) L=1H şi rezistenţa Ω50R este legat icircn paralel cu un rezistor Ω200R şi este alimentat de la o sursă de tem V100E0 legată icircn serie cu un rezistor Ω60R Fig 84 Să se determine după cacirct timp de la decuplarea de la sursă va icircncepe să fie eliberată armătura mobilă a releului ştiind că acest fapt se petrece icircn momentul icircn care intensitatea curentului din icircnfăşurarea releului scade la valoarea A02di

După decuplarea de la sursă curentul din icircnfăşurarea releului scade exponenţial

unde pRR

este constanta de timp a circuitului de descărcare a energiei

acumulate icircn cicircmpul magnetic al bobinei L a releului Condiţia iniţială este următoarea

Rezultă valoarea curentului

0 e80e

i(t) R1

Fig 84

- 140 -

Releul va declanşa la momentul

5 Pentru a limita supratensiunea care apare la bornele unei bobine la icircntreruperea curentului fig 85 icircn paralel cu ea se leagă un rezistor Rp Să se determine variaţia icircn timp a tensiunii la bornele bobinei icircn situaţia simplificată şi totodată cea mai defavorabilă icircn care se neglijează arcul electric care se formează icircntre bornele icircntreruptorului Intensitatea curentului din circuit satisface ecuaţia diferenţială

0RRdtdL p ii

Soluţia acestei ecuaţii cu condiţia iniţială RE

0i0i 0 este

ti pRR

Tensiunea la bornele bobinei este

Supratensiunea maximă se produce icircn momentul decuplării şi are valoarea

Această tensiune este cu atacirct mai mică cu cacirct raportul R

R p este mai mic

Valoarea rezistenţei Rp nu poate fi icircnsă micşorată prea mult deoarece cresc pierderile icircn regim permanent

a) b) Fig 85

- 141 -

PARTEA A IIndashA

LUCRĂRI PRACTICE DE LABORATOR

Lucr area nr 1

DETERMINAREA CARACTERISTICILOR DE MAGNETIZARE ALE MATERIALELOR

FEROMAGNETICE

1 CONSIDERAŢII TEORETICE

Materialele feromagnetice sunt o categorie aparte de materiale magnetice care au proprietatea de a se magnetiza puternic cacircnd sunt introduse icircn cacircmpuri magnetice

Icircn general starea de magnetizare a substanţelor este caracterizată de mărimea vectorială M numită magnetizaţie Magnetizarea corpurilor poate fi temporară sau permanentă după cum starea lor de magnetizare este condiţionată respectiv independentă de prezenţa unui cacircmp magnetic din exterior

Vectorul magnetizaţie are două componente

pt MMM (L11)

unde tM este magnetizaţia temporară iar pM ndash magnetizaţia permanentă Pentru materialele magnetice liniare există legea de material

HM mt (L12)

numită legea magnetizaţiei temporare icircn care ndash m este o mărime de material (adimensională) numită susceptivitate magnetică ndash H este intensitatea cacircmpului magnetic

Susceptivitatea magnetică poate avea valori pozitive ndash pentru materialele numite paramagnetice sau negative ndash pentru materialele numite diamagnetice

La materialele magnetice neliniare magnetizaţia temporară depinde de intensitatea cacircmpului magnetic şi dependenţa tM (H) este neliniară nemaiputacircnd fi scrisă sub forma (L12) Cu excepţia materialelor feromagnetice pentru care suscepti-vitatea magnetică are valori foarte mari (102 105) pentru restul materialelor aceasta are valori foarte mici negative sau pozitive foarte apropiate de zero Icircn general pentru cacircmpul electromagnetic este satisfăcută relaţia vectorială

MHB 0 (L13)

numită legea legăturii dintre inducţie B intensitate H şi magnetizaţie M icircn cacircmp magnetic

- 142 -

Pentru medii lipsite de magnetizare permanentă (Mp = 0 M = Mt) ţinacircnd cont de relaţia (L12) relaţia (L13) devine

0 0 rmB 1 H H H (L14)

icircn care 70 4 10 Hm este permeabilitatea magnetică a vidului

0mr 1 este permeabilitatea magnetică relativă este permeabilitatea magnetică absolută

Magnetizarea materialelor feromagnetice depinde de compoziţia chimică de modul de prelucrare mecanică de tratamentul termic aplicat şi de starea de magnetizare anterioară

Curbele care prezintă grafic variaţia inducţiei magnetice sau magnetizaţiei icircn funcţie de intensitatea cacircmpului magnetic se numesc curbe de magnetizare sau caracteristici de magnetizare )H(BB respectiv )H(MM Principalele caracteristici ale materialelor feromagnetice sunt

a) caracteristica de primă magnetizare B(H)

b) ciclul de magnetizare B(H)

c) variaţia permeabilităţii magnetice cu intensitatea cacircmpului (H)

Caracteristica de primă magnetizare (fig L11a) reprezintă curba de variaţie a inducţiei magnetice B cu intensitatea cacircmpului H pentru o probă de material care nu a mai fost magnetizată sau care iniţial a fost demagnetizată Curba este neliniară şi prezintă trei zone principale

- zona magnetizării iniţiale - zona magnetizării liniare - zona de saturaţie

Permeabilitatea magnetică a substanţelor feromagnetice este dependentă de intensitatea cacircmpului magnetic )H(f Pentru fiecare punct de pe caracteristica B(H) figura L11b) se definesc

- permeabilitatea magnetică statică tgHB

st (L15)

- permeabilitatea magnetică dinamică tgdHdB

d (L16)

Fig L11 Caracteristicile materialelor feromagnetice a) caracteristica de primă magnetizare b) explicativă pentru permeabilităţi c) caracteristicile st(H) şi d(H)

- 143 -

Variaţia acestor permeabilităţi cu intensitatea cacircmpului magnetic H se prezintă icircn figura L11c)

Dacă după parcurgerea curbei de primă magnetizare se scade strict monoton intensitatea cacircmpului magnetic H punctul de funcţionare se deplasează pe o curbă situată deasupra celei de primă magnetizare şi la anularea cacircmpului magnetic inducţia magnetică are o valoare nenulă Br numită inducţie magnetică remanentă (fig L12) Inversacircnd sensul cacircmpului magnetic inducţia scade şi se anulează pentru o valoare a intensităţii cacircmpului magnetic Hc numit cacircmp coercitiv Icircn continuare se parcurge curba icircnchisă ndashHc ndashBs ndashBr +Hc +Bs numită ciclu de magnetizare sau ciclu de histerezis magnetic

Ciclul de magnetizare obţinut după parcurgerea icircn prealabil a curbei de primă magnetizare şi care corespunde la două valori de semne opuse ale inducţiei magnetice de saturaţie sB se numeşte ciclu fundamental sau ciclu limită de magnetizare respectiv ciclu fundamental de histerezis

Oricare din ciclurile care se obţin icircn aceleaşi condiţii dar icircntre valori ale inducţiei magnetice mai mici decacirct cea de saturaţie Bs se numesc cicluri parţiale şi sunt cuprinse icircn interiorul ciclului fundamental cu vacircrfurile pe curba de primă magnetizare

Experimental se dovedeşte că aria ciclului fundamental de magnetizare este proporţională pierderea de energie icircn unitatea de volum pentru magnetizarea materialului la parcurgerea unui ciclu de magnetizare

Din punct de vedere a intensităţii cacircmpului coercitiv materialele feromagnetice se icircmpart icircn două categorii

Materialele magnetice moi ndash au cacircmpul coercitiv mic (Hc lt 100Am) ciclul de histerezis icircngust (fig 3) prezintă pierderi mici de magnetizare şi se utilizează pentru confecţionarea circuitelor magnetice ale transformatoarelor şi maşinilor electrice Din această categorie fac parte fierul pur oţelul moale aliajele fier ndash siliciu fonta albă cenuşie maleabilă etc

Materialele magnetice dure ndash au valori mari ale cacircmpului coercitiv (Hc gt 4000Am) ciclul de histerezis dreptunghiular cu valori mari ale inducţiei remanente şi se utilizează pentru confecţionarea magneţilor permanenţi Din această categorie fac parte aliajele fier-cobalt molibdenul nichelul etc

B Mat mag moi

Fig L13

Mat mag dure

Ciclul limită

Cicluri parţiale

Fig L12

- 144 -

2 PRINCIPIUL METODEI

Icircn scopul determinării caracteristicilor de magnetizare se foloseşte un cadru dreptunghiular (cadrul Epstein) constituit din bobine icircn interiorul cărora se se realizează un miez din tolele materialului feromagnetic de studiat Una din bobine cu N1 spire se alege ca icircnfăşurare primară (de magnetizare) iar alta cu N2 spire icircnfăşurare secundară Cu dispozitivul astfel construit cu schema de principiu din fig L14a) se poate trasa prin puncte caracteristica fundamentală de magnetizare (curba de primă magnetizare din cadranul I) pe care sunt situate vacircrfurile ciclurilor parţiale icircn ca (fig L14b)

Intensitatea cacircmpului magnetic H este determinată prin valoarea maximă a cacircmpului sinusoidal echivalent Hemax ce se calculează pe baza legii circuitului magnetic cu relaţia

1Hemax

2N IH H K I l

icircn care I ndash valoarea efectivă a intensităţii curentului de magnetizare lm ndash lungimea medie a unei linii de cacircmp N1 ndash numărul de spire

Inducţia magnetică icircn miez B corespunzătoare cacircmpului magnetic H este calculată conform legii inducţiei electromagnetice cu relaţia

emax B2

2UB B K UN S

icircn care U ndash valoarea efectivă a tensiunii măsurată la bornele icircnfăşurării cu N2 spire = 2f ndash pulsaţia f = 50Hz fiind frecvenţa tensiunii reţelei de alimentare S ndash aria efectivă a secţiunii transversale a miezului feromagnetic S = NmiddotStolă icircn

care N este numărul de tole şi Stolă este aria secţiunii unei tole

Ua ~ N1 N2 U

Fig L14

- 145 -

3 MODUL DE LUCRU

31 Trasarea prin puncte a caracteristicii de magnetizare

Se realizează montajul din figura L15 pentru trasarea caracteristicilor B(H) şi (H) icircn curent alternativ Se creşte strict monoton tensiunea de la autotransformatorul reglabil ATR şi se citesc valorile curentului indicat de ampermetrul A şi tensiunea U indicată de voltmetrul V Datele se trec icircn tabelul L11

Tabelul L11 I [A] helliphellip

U [V] helliphellip

H [Am] helliphellip

B [T] helliphellip

[Hm] helliphellip 32 Vizualizarea pe osciloscop a caracteristicii de magnetizare

Ciclul de magnetizare dinamic (icircn curent alternativ) poate fi vizualizat pe ecranul osciloscopului realizacircnd un montaj ca cel din figura L16

Semnalul ux pentru deflexia pe orizontală a spotului osciloscopului catodic este luat de pe un rezistor şuntul S astfel că deviaţia spotului pe orizontală (axa x) este proporţională cu intensitatea instantanee a curentului prin bobina de magnetizare şi deci conform relaţiei (L17) proporţională cu intensitatea cacircmpului magnetic H

N1 N2 U

V 220V 50Hz

Fig L15

220V ~

Fig L16

- 146 -

Icircn circuitul secundar a dispozitivului se conectează un circuit de integrare CI de tip RC care realizează integrarea icircn timp a tensiunii induse obţinacircndu-se astfel un semnal uy proporţional icircn valoare instantanee cu inducţia magnetică B care se aplică plăcilor de deflexie pe verticală ale osciloscopului Icircn acest fel deviaţia spotului pe verticală (axa y) este icircn orice moment proporţională cu inducţia magnetică din miez

Se vizualizează ciclurile obţinute pornind de la valori reduse ale curentului (ciclurile parţiale) pacircnă la valori ale curentului pentru care se obţine ciclul limită cacircnd inducţia magnetică ajunge la valoarea de saturaţie

4 PRELUCRAREA REZULTATELOR Se calculează intensitatea cacircmpului H inducţia magnetică B şi permeabilitatea magnetică statică astfel

- se calculează constantele KH şi KB din relaţiile (L17) şi (L18) pentru circuitul magnetic utilizat

- pentru fiecare valoare măsurată a curentului şi tensiunii din tabelul L11 se calculează valorile intensităţii şi inducţiei magnetice cu relaţiile (L17) respectiv (L18)

- se determină pentru fiecare punct valoarea permeabilităţii magnetice cu relaţia (L15)

Se trasează grafic prin puncte la scară curba de magnetizare B(H) şi curba de variaţie a permeabilităţii magnetice (H) cu valorile calculate din tabelul L11 Se desenează icircn referat cacircteva dintre ciclurile de magnetizare vizualizate pe ecranul osciloscopului

- 147 -

Lucr area nr 2

CARACTERISTICILE BOBINEI NELINIARE 1 CONSIDERAŢII TEORETICE

Bobina neliniară (bobina cu miez feromegnetic) este caracterizată prin faptul că atacirct caracteristicile icircn valori instantanee cacirct şi cele icircn valori efective B(H) sau (i) sunt neliniare aceasta icircnseamnă că dacă semnalul de excitaţie este sinusoidal semnalul răspuns este periodic şi nesinusoidal avacircnd un anumit conţinut de armonici dependen-ţa dintre valorile efective ale celor două semnale este neliniară

Cel mai general circuit cu bobină neliniară redat icircn figura L21 conţine rezistenţa r ce include şi rezistenţa de pierderi a bobinei cu miez feromagnetic (rezistenţă considerată liniară) Pentru analiza acestui circuit se aplică teorema de tensiuni a lui Kirchhoff şi rezultă ecuaţia

Lr uiu (L21) icircn care

Lu (L22)

este căderea inductivă de tensiune iar )(i este fluxul magnetic al bobinei dependent neliniar de curent Rezultă că funcţionarea circuitului este caracterizată de o ecuaţie diferenţială neliniară de ordinul icircntacirci (L21) a cărei

integrare este suficient de dificilă avacircnd icircn vedere caracteristica (i) neliniară Din acest motiv se consideră următoarele două cazuri simplificatoare Dacă rezistenţa bobinei este foarte mică şi poate fi neglijată 0r rezultă că

dtdL uu şi dacă tensiunea u este sinusoidală şi fluxul magnetic icircn miez este tot sinusoidal dar deoarece caracteristica bobinei (i) este neliniară curentul i rezultă periodic şi nesinusoidal aşa cum se vede pe construcţia grafică din fig L22 Curba curentului fiind alternativ simetrică descompunerea icircn serie Fourier a acestuia conţine numai armonicile impare icircn sinus

0kk1k2m ]t)1k2sin[(I(t)i (L23)

icircn care Im2k+1 este amplitudinea armonicii de ordinal 2k+1 (k = 0 1 2 hellip) a curentului Dacă rezistenţa bobinei este foarte mare astfel că Lr ui şi se poate considera u = ri rezultă că dacă tensiunea u este sinusoidală atunci şi curentul i este tot sinusoidal icircn acest caz deoarece (i) este neliniară fluxul magnetic icircn miez rezultă periodic şi nesinusoidal aşa cum se arată grafic icircn figura L23

Fig L21

- 148 -

Icircn ambele cazuri semnalul răspuns rezultă periodic şi nesinusoidal cu dublă simetrie impară deci conţinacircnd numai armonici impare icircn sinus

Fig L22

0 t 0 T

Fig L23

Fig L24

- 149 -

Cacircnd bobina neliniară este considerată cu pierderi prin histerezis atunci dacă fluxul magnetic este sinusoidal curentul prin bobină rezultă periodic nesinusoidal aşa cum se arată icircn figura L24 avacircnd armonica trei preponderentă de asemenea se constată decalarea icircnainte a curentului faţă de fluxul magnetic

Icircn cazul bobinei neliniare comandată icircn curent continuu caracteristica devine nesimetrică figura L25

Icircn practică se utilizează bobina comandată icircn schema cu două miezuri magnetice ca icircn figura L26a)

Deoarece unul dintre miezuri are bobina de comandă străbătută de curentul de comandă Ic icircntr-un sens iar celălalt miez are bobina sa de comandă străbătută de Ic icircn sens contrar şi avacircnd icircn vedere că icircn circuitul celor două bobine de comandă curenţii sinusoidali induşi sunt eliminaţi icircn mare măsură (regim de magnetizare forţată) caracteristicile celor două bobine pentru o anumită valoare a curentului de comandă devin nesimetrice fig L26b) translatate la stacircnga sau la dreapta faţă de caracteristica simetrică a bobinei necomandate (fig L22) Ecuaţiile ce se pot scrie pentru circuitul de ca şi circuitul de comandă sunt

dtd[dt

d )(])()( s21

iiiuuu (L24)

unde s(i) este caracteristica fluxului magnetic sumă icircn funcţie de curentul i

dtd[dt

d )(])()( d21

21c2c1c

iiiuuu (L25)

icircn care d(i) este caracteristica fluxului diferenţă icircn funcţie de i Din rel(L24) rezultă că dacă tensiunea u de alimentare a circuitului de ca este

sinusoidală deci şi s(i) este tot sinusoidal atunci forma şi conţinutul de armonici al curentului i depind de forma caracteristicii s(i) care este obţinută grafic icircn figura L27 Se observă că această caracteristică a devenit simetrică şi deoarece simetria este impară rezultă că icircn toate circuitele icircn care bobinele sunt conectate icircn serie adiţional (aşa cum este circuitul bobinelor Ns) curentul este periodic nesinusoidal avacircnd numai armonici impare dintre acestea armonica fundamentală are amplitudinea mult mai mare decacirct amplitudinile armonicilor a treia şi a cincia care pot fi neglijate deci se poate aprecia cu o bună aproximaţie că forma curentului i este sinusoidală şi de aceeaşi frecvenţă cu cea a tensiunii de excitaţie u

Fig L25

0 i Ic

Fig L26

0 i Ic ndash Ic

- 150 -

Icircn ce priveşte circuitul de comandă ecuaţia (L25) arată că tensiunea uc indusă la bornele celor două bobine de comandă conectate icircn serie diferenţial depinde ca formă a variaţiei icircn timp şi conţinut de armonici de forma caracteristicii d(i) aceasta se obţine grafic şi arată ca icircn figura L28a) Deoarece această caracteristică prezintă simetrie pară rezultă că tensiunea uc şi deci curentul indus icircn circuitul de comandă conţine armonici pare (2 4 ) Dintre acestea armonica a doua are amplitudinea cu mult mai mare icircncacirct armonicile de rang 4 6 etc pot fi neglijate Cu alte cuvinte icircn circuitul de comandă icircn afară curentului Ic de comandă mai circulă şi un curent sinusoidal de frecvenţă dublă faţă de cea a tensiunii de alimentare Amplitudinea acestui curent poate fi atenuată cu ajutorul unei impedanţe inductive care are o valoare foarte mare pentru armonica de rangul al doilea Efectul acestui curent este opus celui de amplificare efectuat de curentul de comandă Ic icircncacirct ideal ar fi ca acest curent de armonica a doua să fie atenuat total icircn acest caz bobina funcţionează icircn regim de magnetizare forţată

Fig L27

0 t 0 T

1(iIc) 2(iIc)

Fig L28

0 i 1(iIc)

-Ic Ic

2(iIc) c

-Ic Ic

d(iIc)

s(iIc)

1(iIc)

2(iIc)

d(iIc)

- 151 -

Dacă curentul de armonica a doua din circuitul de comandă este lăsat să circule atunci poziţia caracteristicilor 1(iIc) şi 2(iIc) se modifică (translaţie după axa fluxului) fig L28b) Aceste caracteristici se obţin prin construcţie grafică Se observă o mare diferenţă icircntre formele acestor caracteristici şi cele corespunzătoare regimului de magnetizare forţată şi anume lipsa neliniarităţii din origine la s(iIc) şi constanţa lui d(iIc) Icircn acest caz se spune că bobina funcţionează icircn regim de magnetizare liberă Observaţie Icircn toate cazurile analizate mai sus bobina neliniară a fost considerată fără pierderi Icircn realitate bobina prezintă histerezis magnetic şi toate caracteristicile (i) sunt cu histerezis 2 MODUL DE LUCRU a) Se realizează montajul din figura L29 icircn care R şi C sunt astfel aleşi icircncacirct constituie un circuit integrator icircn acest fel la plăcile y ale osciloscopului se aplică o tensiune proporţională cu fluxul magnetic dintr-unul sau ambele miezuri La plăcile x se aplică o tensiune ce se culege potenţiometric de pe rezistorul Rs astfel icircncacirct ea este proporţională cu curentul i prin bobina sau bobinele de ca Pe ecranul osciloscopului se obţine una sau alta dintre curbele (i) cu histerezis b) Se scurtcircuitează una din bobinele Ns şi se studiază (i) (t) şi i(t) pentru bobina necomandată Se vor identifica aceste caracteristici cu cele din fig L23 şi din fig L25 Se vor studia aceleaşi caracteristici şi pentru bobina comandată (Ic ne 0) c) Se introduce icircn circuitul de ca bobina eliminată anterior şi se studiază 1(i) 2(i) s(i) d(i) (i) şi i(t) icircn toate cazurile prezentate pentru bobina comandată cu două miezuri Se vor desena toate curbele obţinute pe ecranul osciloscopului şi se vor consemna icircn referat concluziile

Fig L29

A1 X1 X2 A2

F1 F2 F3 F4

220V 50Hz ATR

- 152 -

Lucr area nr 3

BOBINA NELINIARA COMANDATA AMPLIFICATORUL MAGNETIC

1 CONSIDERAȚII GENERALE Bobina cu miez feromagnetic figura L31 este un element neliniar neinerțial de

circuit a cărui caracteristică esențială este cea care reprezintă modul de variație al fluxuiui magnetic din miez icircn functie de solenație () sau de curentul i prin bobina

(i) = Ni Această caracteristică este de aceeași formă cu caracteristica de magnetizare B(H) figura L32 Dacă tensiunea u ce alimentează bobina este sinusoidală atunci conform legii inducției electro-magnetice atacirct fluxul magnetic cacirct și inducția magnetică B sunt sinusoidale Din cauza nelini-aritatii caracteristicii (i) curentul i prin bobină rezultă de aserneni periodic dar nesinusoidal figura L32 avacircnd armonici impare icircn sinus

Fig L31

Fig L32

0 t 0 T

- 153 -

Deci o bobină cu miez feromagnetic alimentată cu o tensiune sinusoidală este parcursă de un curent deformat care are drept rezultat icircnrăutățirea condițiilor de funcționare ale circuitului sau rețelei din care face parte

Pentru modificarea formei și poziției caracteristicii bobinei cu miez feromagnetic icircn scopul lărgirii domeniului de utilizare se folosește procedeul de comandă adică introdu-cerea unei solenații suplimentare numită solenație de comandă c = NIc fig L33 Aceasta produce un cacircmp magnetic suplimentar prin miez c Curentul de comandă poate fi constant sau variabil icircn timp de frecventă diferită de cea a tensiunii sinusoidale

Icircn circuitele de autornatizare industrilă se folosește cu precădere cazul cacircnd comanda bobinei neliniare se face cu un curent constant Icircn acest caz caracteristicile B(H) și (i) devin nesimetrice fluxul magnetic prin miez conținacircnd toate armonicile ceea ce are drept consecință existența armonicilor de curent icircn circuitul de comandă și icircn circuitul de curent alternativ

Tensiunea sinusoidala ce alimenteaza circuitul de curent alternativ este de frecventa f și suficient de mică icircncacirct icircn absența solenației de comandă să nu aducă miezul magnetic la saturație figura L34 Icircn acest caz permeabilitatea magnetică este mai mare deci și inductivitatea bobinei de curent alternativ este mare iar curentul prin această bobină este mic figura L34 curba a

La aplicarea solenației constante c căreia icirci corespunde fluxul magnetic constant c acesta se adună cu fluxul altemativ s așa cum se vede icircn figura L34 aducacircnd miezul magnetic icircn stare de saturație icircn acest fel permeabilitatea lui magnetică scade inductivitatea bobinei scade iar curentul prin bobina Ns crește figura L34 curba b La aceeași amplitudine a tensiunii de alimentare deci și a fluxului altemativ prin miez curentul prin circuit este mai mare cu cacirct solenația de comandă este mai mare figura L34 curba c Se constată că se poate obține o variație mai mare a curentului din circuitul de curent aiternativ la creșteri mici ale solenației (curentului) de comandă

Fig L33

Fig L34

- 154 -

Aceasta este principiul de funcționare al amplificatorului magnetic putacircndu-se realiza amplificarea icircn curent icircn tensiune sau icircn putere dacă icircn circuitul de curent alternativ se introduce impedanta de sarcina Zs

Prezența armonicilor icircn circuitul de comandă face ca acest tip constructiv să nu fie utilizat practic ci să se recurgă la soluția constructivă cu două miezuri magnetice identice pe ficare miez fiind plasate cacircte două icircnfășurari cea de curent alternativ Ns și cea de comanda Nc figura L35a) Prin conectarea bobinelor de curent alternativ icircn serie adițional și a bobinelor de comandă icircn serie diferențial se realizează compensarea armonicilor impare ale tensiunilor electromotoare induse icircn icircnfășurarea de comandă datorită modului periodic nesinusoidal devariație a fluxului icircn miez Se poate considera funcționarea bobinei neliniare comandate icircn regim de magnetizare forțată

2 CARACTERISTICILE TEHNICE ALE BOBINEI COMANDATE Pentru bobina nehniară comandată icircn schemă de amplificator magnetic

interesează cele două familii de caracteristici corespunzătoare oricărui element neliniar comandat și anume familia caracteristicilor de intrare și familia caracteristicilor de comandă icircn valori efective Familia caracteristicilor de intrare este reprezentată de relația Us = Us(Is) pentru Ic = ct fig L35b) iar familia caracteristicilor de comandă este reprezentată de relația Is = Is(Ic) pentru Ic = ct exprimate icircn valori efective

Caracteristica Us(Is) pentru Ic = 0 are aceeași formă cu caracteristica de magnetizare a bobinei neliniare fară pierderi

Caracteristicile de comandă Is(Ic) sunt simetrice ceea ce arată că modul de

variatie al curentului de sarcină icircn raport cu curentul de comandă nu depinde de sensul acestuia fig L36a)

Dacă se introduce o icircnfășurare suplimentară de comandă tot icircn curent continuu numită icircnfășurare de polarizare Np atunci pentru aceeași valoare a tensiunii de alimantare Us se poate trasa icircncă o familie de caracteristici de comandă pentru diferite valori ale curentului de polarizare Ip și anume Is(Ic) pentru Us = ct și Ip = ct Aceste caracteristici sunt nesimetrice fig L36b) și se pot obține prin translatarea la stacircnga sau la dreapta a caracteristicii de comandă Is(Ic) pentru Us = ct icircn funcție de sensul curentului de polarizare Nesimetria acestei caracteristici arată că modul de variație a curentului de sarcină Is depinde de sensul curentului de comandă

Fig L35

Ic1 Ic2

Ic1 lt Ic2 lt Ic3 Us

- 155 -

3 MODUL DE LUCRU 1) Se efectuează montajul din Figura L37 și se trasează familia

caracteristicilor de intrare Us = Us(Is) pentru diferite valori menținute constante ale curentului de comandă Circuitul de polarizare rămacircne deschis

2) Se menține constantă valoarea efectivă a tensiunii de alimentare Us și variind curentul de comandă Ic păstracircnd Ip = 0 se trasează caracteristica de comandă Is(Ic Us = ct)

3) Se fixează Ip = 100mA și se trasează caracteristica de comandă Is(Ic Us = ct) avacircnd grijă a se trasa ambele ramuri prin schimbarea sensului de circulație a curentului de comaridă Ic

a) b) Fig L36

0 Ip =0

Us2 gt Us1

Us2 Us1

Fig L37

- 156 -

Lucr area nr 4

METODE DE ANALIZĂ A REŢELELOR ELECTRICE LINIARE DE CURENT CONTINUU

1 CONSIDERAŢII TEORETICE Analiza reţelelor electrice liniare de curent continuu constă icircn determinarea curenţilor prin laturi sau a tensiunilor la bornele elementelor de circuit cacircnd se dau tensiunile electromotoare şi curenţii generatoarelor de tensiune respectiv de curent şi rezistenţele sau conductanţele acestora şi ale elementelor receptoare (rezistoarelor) Metodele de analiză se bazează pe legea lui Ohm şi teoremele lui Kirchhoff pentru circuite liniare cu parametri concentraţi şi pe teorema suprapunerii efectelor (toate elementele de circuit fiind considerate liniare) Icircn lucrare se studiază teoretic şi experimental trei dintre metodele de analiză a reţelelor electrice liniare de curent continuu şi anume metoda curenţilor ciclici (independenţi de ochiuri) metoda potenţialelor sau tensiunilor la noduri şi metoda bazată pe teorema superpoziţiei (suprapunerii efectelor) Aceste metode conduc icircn cazul unor reţele mai complexe la simplificarea calculelor faţă de cazul icircn care analiza acestor reţele s-ar efectua cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff

11 Metoda curenţilor ciclici

Metoda constă icircn considerarea unor curenţi fictivi (de calcul) numiţi curenţi ciclici independenţi sau de contur care ar circula de-a lungul laturilor ochiurilor sau buclelor fundamentale (independente) după un sens de referinţă ales arbitrar pentru fiecare ochi sau buclă Pe baza teoremei a II-a Kirchhoff se scriu ecuaţiile de ochiuri icircn raport cu aceşti curenţi şi din sistemul astfel obţinut se determină curenţii ciclici

Pentru o reţea electrică cu l laturi şi n noduri avem o = l ndash n + 1 ochiuri indepen-dente (fundamentale) şi sistemeul de ecuaţii corespunzător curenţilor ciclici se scrie

11 1 12 2 1k k 1o o [1]

21 1 22 2 2k k 2o o [2]

m1 1 m2 2 mk k mo o [m]

R I R I R I R I ER I R I R I R I E

R I R I R I R I E

o1 1 o2 2 ok k oo o [o]

R I R I R I R I E

icircn care

- 157 -

mm jR R

ndash suma rezistenţelor laturilor apaţinacircnd ochiului [m] numită şi

rezistenţa proprie a ochiului icircn care rezistenţele Rj se iau totdeauna cu semnul lsquo+rsquo

j [m][k ]

mk jR R

ndash rezistenţa sau suma rezistenţelor laturii (laturilor) comune

ochiurilor [m] şi [k] Rezistenţele Rj din această sumă se iau cu semnul lsquo+rsquo sau lsquondashrsquo după cum curenţii ciclici ai celor două ochiuri la care aparţin au acelaşi sens respectiv sensuri opuse prin aceste rezistenţe

kI ndash curentul ciclic al ochiului [k]

j [m][m] jE E

ndash suma algebrică a tensiunilor electromotoare ale surselor de

tensiune din laturile ochiului [m] luate cu semnul lsquo+rsquo sau lsquondashrsquo după cum sensul lor coincide respectiv este opus sensului de referinţă al ochiului

Prin rezolvarea sistemului de ecuaţii (L41) de exemplu prin metoda Cramer se obţin valorile curenţilor ciclici kI consideraţi

o1k 2k mk ok mk

k [1] [2] [m] [o] [m]m 1

I E E E E E

k = 1 2 hellipo (L42)

Icircn această relaţie este determinatul sistemului de ecuaţii (L41) iar mk este comple-mentul algebric al termenului Rmk cu semnul corespunzător m k

mk mk( 1) Curenţii reali prin fiecare latură a reţelei se determină prin superpoziţia

curenţilor ciclici care circulă prin latura respectivă Astfel curentul printr-o latură oarecare j a reţelei se calculează cu relaţia

j m[m] j

icircn care semnul specifică faptul că curentul ciclic mI circulă prin latura j Sumarea se face algebric curenţii mI se iau cu semnul lsquo+rsquo sau lsquondashrsquo dacă au acelaşi sens respectiv dacă au sens opus sensului de referinţă ales pentru curentul Ij De exemplu pentru reţeaua electrică prezentată icircn figura L41 dacă se aleg cele trei ochiuri independente ale reţelei aşa cum sunt marcate pe figură sistemul de ecuaţii corespun-zător curenţilor ciclici se scrie

]3[333232131

]2[323222121

]1[313212111

EIRIRIREIRIRIREIRIRIR

După determinarea curenţilor ciclici 21 II 3I prin rezolvarea acestui sistem de ecuaţii curenţii reali din laturile reţelei se calculează astfel

3242132211

IIIIIIIIIIIIIII

Fig L41

[2] [3]

- 158 -

11 1 12 2 1k k 1n 1 n 1 sc(1)

21 1 22 2 2k k 2n 1 n 1 sc(2)

i1 1 i2 2 ik k

G V G V G V G V IG V G V G V G V I

G V G V G V

in 1 n 1 sc(i)

n 11 1 n 12 2 n 1k k n 1n 1 n sc(n 1)

G V IG V G V G V G V I

12 Metoda potenţialelor la noduri Metoda se aplică la nodurile reţelei electrice astfel se alege unul dintre noduri nod de referinţă (nodul (n) de exemplu) presupus pentru simplitate de potenţial nul (legat la pămacircnt) iar potenţialele celorlalte noduri icircn raport cu nodul de referinţă notate cu kV k = 1 2 n-1 se numesc potenţiale sau tensiuni de noduri sau nodale Se demonstrează că icircn raport cu aceste potenţiale raportate se poate scrie un sistem de ecuaţii liniar independente care are următoarea formă generală

Icircn aceste ecuaţii intervin conductanţele laturilor (G = 1R) şi curenţii de scurtcir-cuit ai laturilor sau curenţii generatoarelor de curent astfel

ii jj (i)

ndash suma conductanţelor laturilor j (Gj = 1Rj) legate la nodul (i)

numită şi conductanţa proprie a nodului Conductanţele Gj din această sumă se iau totdeauna cu semnul +

j (i)(k )

ik jG G

ndash conductanţa sau suma conductanţelor laturilor j care leagă

nodurile (i) şi (k) icircntre ele Conductanţa Gik se ia totdeauna cu semnul ndash

sc(i) j j gjj (i) j (i)

I G E I

ndash suma algebrică a curenţilor de scurtcircuit

jsc j jI G E ai laturilor j legate la nodul (i) sau suma curenţilor generatoarelor de curent Igj legate la nodul (i) Aceşti curenţi se iau cu semnul ndash dacă sunt orientaţi către nod şi cu semnul + dacă sunt orientaţi dinspre nod

Prin curent de scurtcircuit al unei laturi Ijsc se icircnţelege curentul care se stabileşte icircn acea latură prin scurtcircuitarea bornelor acesteia aşa cum se arată icircn figura L42a) Este evident că numai laturile active (cu sursă de tensiune) au curent de scurtcircuit sensul acestuia fiind dat de sensul sursei de tensiune O latură activă cu un rezistor Rj şi generator ideal de tensiune Ej (fig L42a) poate fi privită ca un generator real de tensiune cu rezistenţa interioară egală cu rezistenţa laturii Această latură poate fi icircnlocuită cu o latură activă echivalentă cu generator real de curent avacircnd curentul injectat Igj egal cu curentul de scurtcircuit şi conductanţa Gj egală cu inversul rezistenţei laturii

Igj = Ijsc = GjEj Gj =1Rj (fig L42b)

Ej Rj Ij

Ijsc=EjRj=GjEj

Fig L42

Igj=GjEj

Gj=1Rj

- 159 -

Prin rezolvarea sistemului de ecuaţii (L45) de exemplu prin metoda Cramer se determină potenţialele raportate kV ale celor n ndash 1 noduri independente Tensiunile la bornele laturilor se pot determina prin diferenţa potenţialelor nodurilor iar curenţii prin laturile reţelei se determină aplicacircnd legea conducţiei electrice (legea lui Ohm generalizată) aşa cum se arată icircn figura L43 pentru cazul general al unei laturi de circuit cu rezistor şi generator ideal de tensiune

Icircn cazul reţelelor electrice complexe calculul se simplifică dacă iniţial se transformă generatoarele de tensiune icircn generatoare echiva-lente de curent (dacă este posibil) aşa cum s-a arătat mai sus Icircn figura L44 se prezintă schema echivalentă cu generatoare de curent a reţelei considerate icircn figura L41 Conductanţele sunt inversul rezistenţelor Gk = 1Rk (k = 1 2 hellip 6) iar generatoarele de curent echivalente sunt Ig1 = G1E1 Ig4 = G4E4 Pentru acest exemplu icircn care s-a ales nodul (4) de referinţă (V4 = 0) ecuaţiile de noduri se scriu

1 2 3 1 2 2 3 3 g1

2 1 2 4 5 2 4 3 g4

3 1 4 2 3 4 6 3 g4

(G G G )V G V G V IG V (G G G )V G V IG V G V (G G G )V I

Prin rezolvarea acestui sistem de ecuaţii (de exemplu prin metoda Cramer) se determi-nă potenţialele raportate 321 V şi V V

Tensiunile la bornele laturilor luate după regula de la receptoare (icircn sensul curenţilor) se calculează astfel

3625324

3132121141

VUV UVVUVVUVVUVVVU

Curenţii prin laturi se determină cu legea lui Ohm şi teorema I Kirchhoff

I1 = G1U1 + Ig1 I2 = G2U2 I3 = G3U3 I4 = G4U4 + Ig4 I5 = G5U5 I6 = G6U6

23 Metoda suprapunerii efectelor Metoda se bazează pe teorema superpoziţiei valabilă pentru circuitele electrice liniare conform căreia curentul printr-o latură oarecare a unei reţele electrice liniare icircn care acţionează mai multe surse de energie se obţine prin superpoziţia curenţilor produşi icircn acea latură de fiecare sursă icircn parte dacă ar acţiona singură icircn circuit efectul celorlalte surse fiind anulat (scurtcircuitarea generatoarelor de tensiune şi icircntreruperea generatoarelor de curent păstracircndu-se numai rezistenţele sau conductanţele lor interioare) Astfel pentru schema din figura L41 luată ca exemplu metoda se aplică consideracircnd pe racircnd numai cacircte o singură sursă (fig L45 a şi b) şi calculacircnd curenţii pentru fiecare caz icircn parte Cu una dintre metodele potrivite de calcul (bazate pe legea lui Ohm teoremele lui Khirchhoff metoda curenţilor ciclici etc) se calculează curenţii produşi icircn reţele de fiecare sursă icircn parte şi apoi curenţii din laturile reţelei iniţiale prin icircnsumarea algebrică (ţinacircnd cont de sensurile de referinţă adoptate) a acestor curenţi Pentru exemplul

Ej Rj Ij

Fig L43

(i) (k)

j j j j j j j j

U V VU E R I I G U E

(V4=0)

(4) I1

3V I6 1V I4

Fig L34

- 160 -

considerat după determinarea curenţilor I şi I kk din schemele a) şi b) din figura L45

curenţii din schema iniţială (figura L41) se calculează astfel III III III III III III 666555444333221111

2 MODUL DE LUCRU

21 Calculul curenţilor Icircn cadrul lucrării de laborator se determină curenţii prin cele trei metode pentru o reţea electrică liniară de curent continuu propusă de conducătorul lucrării

Calculul curenţilor poate fi efectuat uşor pe calculator utilizacircnd un program de calcul matematic aşa cum sunt de exemplu programele MATCAD sau MATLAB Programul de calcul se simplifică mult dacă se scriu icircn forma matricială ecuaţiile reţelei Pentru aceasta se construiesc matricele prezentate mai jos

Matricea de incidenţă redusă laturi-noduri [A] are n ndash 1 linii numerotate icircn ordinea nodurilor independente şi l coloane numerotate icircn ordinea laturilor reţelei termenii săi avacircnd respectiv valoarea 1 sau ndash1 dacă latura este legată la nod şi este orientată de la nod respectiv către nod şi valoarea 0 dacă latura nu este legată la nod

Matricea de incidenţă redusă laturi-ochiuri [B] are o linii numerotate icircn ordinea ochiurilor independente şi l coloane numerotate icircn ordinea laturilor reţelei termenii săi avacircnd respectiv valoarea 1 sau ndash1 dacă latura aparţine ochiului şi este orientată icircn acelaşi sens respectiv icircn sens opus ochiului şi 0 dacă latura nu aparţine ochiului

Scrierea matricelor de incidenţă se face mai uşor pe baza grafului reţelei analizate Graful orientat (graful curenţilor) pentru schema conside-rată icircn această lucrare (fig L41) este prezentat icircn figura L46 iar matricele de incidenţă laturindashnoduri şi laturindashochiuri sunt

1 2 3 4 5 6(1) -1 1 1 0 0 0

A(2) 0 1 0 1 1 0(3) 0 0 1 1 0 1

1 2 3 4 5 6[1] 1 0 1 0 0 1

B[2] 0 1 1 1 0 0[3] 0 0 0 1 1 1

Fig L45

3I R6 R3

R6 R3 b)

Fig L46

[2] [3]

(3) (4)

laturi noduri ochiuri laturi

- 161 -

Matricea rezistenţelor [R] şi respectiv matricea conductanţelor [G] sunt matrice diagonale de ordinul l avacircnd pe diagonală rezistenţele respectiv conductanţele laturilor reţelei Astfel pentru reţelele echivalente din figurile L41 şi L44 aceste matrice sunt

R 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 00 R 0 0 0 0 0 G 0 0 0 00 0 R 0 0 0 0 0 G 0 0 0R G 0 0 0 R 0 0 0 0 0 G 0 00 0 0 0 R 0 0 0 0 0 G 00 0 0 0 0 R 0 0 0 0 0 G

211 Metoda curenţilor ciclici icircn forma matriceală Sub formă matriceală sistemul de ecuaţii (L41) se scrie

R [I ] [E ] (L47)

unde matricea [I] este matricea coloană cu o termeni a curenţilor ciclici iar matricele [R] şi respectiv [E] se determină cu relaţiile

tR B R B E = B E (L418) icircn care [B]t este transpusa matricei de incidenţă laturi-ochiuri iar [E] este matricea coloană cu l termeni a tensiunilor electromotoare din laturile reţelei

Matricea curenţilor din laturile reţelei [I] se determină cu relaţia t t 1I B I B R E (L49)

212 Metoda potenţialelor la noduri forma matriceală Sub formă matriceală sistemul de ecuaţii (L45) se scrie

scG V I (L410)

unde [V] este matricea coloană cu n ndash 1 termeni a potenţialelor raportate kV iar matricele [G] şi respectiv ]I[ sc se determină cu relaţiile

tscG A G A I A G E (L411)

Din ecuaţia (110) se determină potenţialele raportate 1

scV G I (112) şi apoi tensiunile la bornele laturilor cu relaţia

tU A V (113) Dacă pentru toate laturile reţelei s-a adoptat convenţia de sensuri de la receptoare şi pentru laturile cu surse de tensiune sensul curentului s-a luat icircn sensul sursei ca icircn figura 3 curenţii din laturi se determină cu relaţia

I G U E (114)

22 Partea experimentală După determinarea prin calcul a tensiunilor şi curenţilor prin cele trei metode se

verifică experimental rezultatele obţinute efectuacircnd practic un montaj pentru reţeaua propusă Se măsoară icircn montajul realizat tensiunile şi curenţii calculaţi anterior Se notează valorile măsurate şi se compară cu cele calculate explicacircnd eventualele neconcordanţe

- 162 -

Lucr area nr 5

STUDIUL DIPOLULUI LINIAR PASIV ALIMENTAT IcircN CURENT CONTINUU

Un circuit cu două borne de acces (poli) astfel icircncacirct curentul care intră pe la una din borne este egal cu curentul care iese pe la cealaltă bornă se numeşte dipol

Dipolul este liniar pasiv dacă are icircn structura sa numai elemente de circuit pasive liniare (rezistoare liniare)

O linie de curent continuu de transport a energiei electrice sau de telecomu-nicaţii de tensiuni relativ reduse poate fi asimilată cu un dipol dacă se neglijează curenţii de pierderi prin izolaţia dintre conductoarele liniei (fig L51a) O astfel de linie poate fi modelată cu o schemă electrică cu parametri concentraţi icircn care rezistenţa conductoarelor liniei omogene (circuit cu parametrii distribuiţi) poate fi icircnlocuită prin rezistenţa

Sρ2R l

l (L51)

icircn care s-a notat cu ndash rezistivitatea conductoarelor l ndash lungimea liniei

S ndash secţiunea conductoarelor

Ecuaţia dipolului astfel obţinut (fig L51b) este U1 = U2 + Rl I (L52)

Presupunacircnd că rezistenţa internă a generatorului de tensiune continuă E este neglijabilă (Rg = 0) rezultă că tensiunea la bornele de intrare U1 este constantă (U1 = ct) Mărimile electrice caracteristice funcţionării dipolului vor fi

tensiunea la receptor U2 = U1 ndash RlI = U1 ndash U (L53)

unde U = Ul = RlI este căderea de tensiune pe linie

E U1 U1 U2

(1) (2)

Rs U2 Rs

Linie de transport de cc Receptor

Fig L51 Dipolul electric a) dipolul electric corespunzător unei linii de transport a energiei electrice icircn curent continuu b) schema echivalentă a dipolului corespunzător liniei

- 163 -

puterea furnizată de generator P1 = U1I

puterea furnizată receptorului de sarcină (puterea utilă)

P2 = RsI2 = U2I = (U1ndash RlI)I = U1I ndash RlI2 = P1 ndash P (L54)

unde P = RlI2 este puterea pierdută prin efect Joule pe conductoarele liniei randamentul transmisiei de putere

IR1IUIRIU

PPη ll (L55)

Regimurile limită de funcţionare ale liniei sunt regimul de mers icircn gol cacircnd linia este deschisă iar mărimile electrice

corespunzătoare sunt I = 0 U = 0 U2 = U1 P1 = 0 P2 = 0 = 1 regimul de scurtcircuit cacircnd R2 = 0 (bornele 2 - 2 sunt scurtcircuitate) Icircn

acest caz avem curentul de scurtcircuit Isc = U1Rl U = RlIsc = U1 U2= 0 lRUIUP 2

1sc11 P2 = 0 = 0

Se poate observa că puterea transmisă receptorului are o variaţie parabolică icircn

funcţie de curentul I cu un maxim ce se obţine din condiţia 0dIdP2 Utilizacircnd relaţia

(L54) rezultă

sc1 I2

1R2U|I

max2 (L56)

Transferul de putere maximă se realizează cacircnd Rs = Rl deci cacircnd rezistenţa receptorului de sarcină este egală cu rezistenţa conductoarelor liniei

Randamentul transmisiei de putere maximă este

max2 ll

Deci indiferent de tensiunea generatorului şi de rezistenţa echivalentă a dipolului puterea maximă se transmite cu un randament de 50

Expresia randamentului mai poate fi scrisă

l (L58)

De aici rezultă următoarele situaţii posibile icircn cazul liniilor de transport a energiei electrice (unde curenţii au valori mari)

se urmăreşte realizarea unui randament ridicat şi deci trebuie ca Rl ltlt Rs icircn cazul liniilor de telecomunicaţii este necesar să se transmită receptorului un

semnal cacirct mai puternic deci să se transmită o putere maximă dar cu un randament mai mic Icircn acest caz curenţii avacircnd valori relativ mici se poate neglija pierderea de putere pe conductoarele liniei

Variaţiile mărimilor electrice considerate icircn funcţie de intensitatea curentului pe linie sunt redate icircn figura L52

- 164 -

2 MODUL DE LUCRU Se realizează un montaj conform schemei din fig L53 Se fixează tensiunea U1

prin comutatorul sursei de alimentare de tensiune continuă E la o valoare ce va rămacircne constantă Se realizează pe racircnd regimurile de mers icircn gol şi scurtcircuit apoi prin modificarea rezistenţei reostatului de sarcină Rs se studiază variaţia mărimilor U2 P1 P2 U şi icircn funcţie de curentul de sarcină Se acordă atenţie punctului corespunzător curentului I = Isc2

Datele se trec icircn tabelul de mai jos şi se trasează pe baza lor pe acelaşi grafic (ca

cel din fig L52) caracteristicile principale Tabelul L51

I [A] U2 [V]

P1 = U1 I [W] P2 = U2 I [W] U = U1 - U2

Fig L52 Isc

U2 P1 U

Fig L53 Schema electrică a montajului

- 165 -

Lucr area nr 6

STUDIUL EXPERIMENTAL AL TEOREMELOR CIRCUITELOR LINIARE DE CURENT CONTINUU

I NOȚIUNI TEORETICE 11 Teoremele generatoarelor echivalente de tensiune şi de curent Fiind dată o reţea electrică activă liniară a curentul printr-o latură pasivă

Separacircnd din reţeaua dată a latura pasivă cuprinsă icircntre bornele (a) şi (b) avacircnd rezistenţa Rab (fig L61a) restul reţelei a reprezintă icircn raport cu aceste borne un dipol liniar activ (DLA) care prin transfigurare se poate icircnlocui cu o latură echivalentă formată dintr-un rezistor Ri şi un generator ideal de tensiune cu tensiunea electromotoare E0 (fig L61b)

Teorema generatorului echivalent de tensiune orice dipol liniar activ este echivalent cu o sursă de tensiune avacircnd tensiunea electromotoare E0 egală cu tensiunea la bornele dipolului icircn regimul de mers icircn gol (Uab0) şi o rezistenţă electrică internă Ri egală cu rezistența echivalentă a dipolului icircn raport cu bornele sale de acces

Fig L61

Rab Uab

a (DLA)

Rab Uab

Gab Uab

Gi Isc

- 166 -

Rezistențele echivalente nu depind de tensiunile electromotoare şi de curenţii generatoarelor de tensiune şi respectiv de curent ca urmare calculul rezistenţelor echivalente se poate efectua prin pasivizarea circuitelor Prin pasivizarea unui circuit se icircnţelege anularea tensiunilor electromotoare şi a curenţilor generatoarelor de tensiune respectiv de curent păstracircnd rezistentele sau conductanţele acestora Icircn acest fel rezistenţa echivalentă Ri a dipolului reprezintă rezistenta echivalentă a reţelei a pasivizată icircn raport cu bornele (a) şi (b) notată Rab0

Ri = Rab0 (L61)

Pentru circuitul echivalent astfel obţinut fig L62 aplicacircnd teorema a II-a Kirchhoff rezultă

(Rab0 + Rab)Iab = Uab0 şi deci

abab RR

Analog icircnlocuind generatorul de tensiune cu un generator echivalent de curent (fig L61c) se obţine teorema generatorului echivalent de curent orice dipol liniar activ este echivalent cu un generator (sursă) de curent avacircnd intensitatea curentului Isc egală cu intensitatea curentului debitat de dipol icircn regimul de scurtcircuit (bornele (a) (b) scurtcircuitate) şi o conductanţă electrică internă Gi egală cu conductanţa echivalentă a dipolului

Aplicacircnd teorema I Kirchhoff circuitului din fig L63 şi exprimacircnd curenţii pe baza legii lui Ohm avem

abab GG

IU (L63)

Relaţia obţinută reprezintă teorema generatorului echivalent Norton care se enunţă astfel tensiunea Uab la bornele (a) (b) ale unei laturi pasive oarecare a unei reţele liniare active este dată de raportul dintre curentul de scurtcircuit Iabsc al laturii respective (cu rezistenţa scurtcircuitată) şi suma dintre conductanţa laturii Gab şi conductanţa echivalentă Gab0 a reţelei pasivizate icircntre bornele (a) şi (b) icircn lipsa laturii

Rab Uab

Iab Uab0

Fig L62

Gab Uab

Fig L63

- 167 -

tensiune teorema superpoziţiei se enunţă astfel curentul care se stabileşte icircntr-o latură oarecare a reţelei este egal cu suma algebrică a curenţilor produşi icircn acea latură de fiecare sursă icircn parte dacă ar acţiona singură icircn reţea celelalte fiind scurtcircuitate sau icircnlocuite cu rezistenţa lor interioară (dacă au rezistenta interioară diferită de zero) Pentru demonstraţie se separă laturile j şi k ale reţelei şi se presupune că icircn reţea acţionează cacircte o singură sursă de tensiune electromotoare conectată pe racircnd icircn laturile j şi k aşa cum se arată icircn figura L64 a) şi b)

Se aplică teorema curenţilor ciclici alegacircndu-se astfel buclele fundamentale (ochiurile independente) icircncacirct curenţii reali prin laturile j şi k să fie daţi numai de curenţii ciclici ai celor două bucle la care aparţin aceste laturi Astfel pentru schema echivalentă din figura L64a) rezultă

0IRIRIRIR

EIRIRIRIR0IRIRIRIR

0IRIRIRIR

ooookoo

jk22j11j

k222121

1k1212111

kjk EII

icircn care este determinantului sistemului (14) jk este complementul algebric al termenului Rjk luat cu semnul corespunzător jk

kjjk )1(

Aplicacircnd acelaşi procedeu pentru schema echivalentă din figura 14b) rezultă

jkj EII

Prin definiţie

G (L67)

este conductanţa de transfer dintre laturile j şi k ale reţelei iar

Fig L64

CLP kIRj

- 168 -

G (L68)

este conductanţa de transfer dintre laturile k şi j ale reţelei Deoarece rezistenţele din sistemele de ecuaţii corespunzătoare metodei

curenţilor ciclici satisfac condiţia de reciprocitate Rjk= Rkj rezultă că jk = kj şi Gjk = Gkj (L69)

Ijk = Ikj (L610) relaţie ce reprezintă a doua formă a teoremei reciprocităţii curentul stabilit icircntr-o latură oarecare k a unei reţele liniare de o sursă de tensiune plasată icircn latura j şi acţionacircnd singură icircn reţea este egal cu curentul stabilit icircn latura j dacă aceeaşi sursă de tensiune este plasată icircn latura k şi acţionează singură icircn reţea Conform teoremei superpoziţiei curentul dintr-o latură oarecare a unei reţele active liniare poate fi calculat cu relaţia

1kkjj EGII

ll j = 12 hellip l (L611)

unde l este numărul de laturi ale reţelei iar lE este numărul laturilor cu surse de tem Calculul curenţilor electrici din laturile unui reţele active liniare folosind conductanţele de transfer dintre laturi se numeşte metoda conductanţelor de transfer

II STUDIUL EXPERIMENTAL Schema electrică a circuitului propus pentru studiul experimental al

teoremelor circuitelor electrice liniare de cc este dată icircn figura L65

Se realizează montajul electric și se notează valorile măsurate ale curenților din laturile circuitului I1 I2 I3 și I4 Curentul I5 se determină prin calcul aplicacircnd teorema a I-a Kirchoff I5 = I1 ndash I3 Valorile curenților măsurați se iau cu semnul corespunzător

Fig L65

R3 R4 R2

(a) (b)

(c) (d)

- 169 -

față de sensurile de referință considerate pe schema circuitului Cu un voltmetru se măsoară tensiunea la bornele rezistorului R5 respectiv tensiunea Uab

Teoremele generatoarelor echivalente de tensiune și de curent se aplică

pentru determinarea curentului I5 și respectiv a tensiunii Uab la bornele rezistorului R5 Se elimină rezistența R5 așa cum se arată icircn figura L66a) și se măsoară pe racircnd cu un voltmetru tensiunea Uab0 și respectiv cu un ampermetru curentul de scurtcircit Iabsc

Păstracircnd valorile rezistențelor rezistoarelor nemodificate se elimină sursele de tensiune din circuit ca icircn fig L66 b) și se determină prin măsurare fie cu un ohmetru fie prin metoda voltampermetrică rezistența echivalentă a rețelei pasivizate Rab0 icircn lipsa laturii ab (a rezistenței R5) Se măsoară de asemenea rezistențele rezistoarelor după desfacerea legăturilor electrice dintre acestea

Cu relațiile (L62) și respectiv (L63) se calculează curentul prin latura 5 I5 = Iab și respectiv tensiunea la bornele rezistorului R5 U5 = Uab Datele se trec icircn tabelul L61

Tabelul L61 I1

[A] I2

[A] I3

[A] I4

[A] I5 (Iab)

[A] Uab

[V] R1 [Ω]

R2 [Ω]

R3 [Ω]

R4 [Ω]

R5 [Ω]

[V] Rab0

[Ω] Iabsc [A]

Valori măsurate

Valori calculate

Verificarea teoremei reciprocității se face pentru aceleși montaj cu schema

electrică din figura L61 icircn care se măsoară curentul prin latura 2 I12 produs de sursa de tensiune E1 situată icircn latura 1 și acționacircnd singură icircn rețea Se mută sursa de tensiune E1 icircn latura 2 se fixează aceeași tensiune la bornele acesteia ca icircn cazul anterior și se măsoară curentul produs icircn latura 1 I21 Se verifică egalitatea I12 = I21

Teorema suprapunerii efectelor sau a superpoziției se verifică realizacircnd succesiv montajele din figura L67 a) și b) icircn care se păstrează valorile rezistențelor rezistoarelor și a tensiunilor la bornele surselor de tensiune E1 și E2 pentru care s-au măsurat curenții din schema completă dați icircn tabelul L61

Se măsoară curenții din cele două circuite și valorile acestora se trec icircn tabelul L62 Pe baza valorilor măsurate se determină curenții din rețea cu relațiile

I1 = I11 ndash I21 I2 = ndash I12 + I22 I3 = I13 ndash I23 I4 = I14 + I24 I5 = I15 ndash I25 (L612)

Fig L66

ndash R3 R4

V0 Uab0

Rab0 (a) (b) (a) (b)

- 170 -

Tabelul L62 I11

[A] I12 [A]

I13 [A]

I14 [A]

I15 [A]

I21 [A]

I22 [A]

I23 [A]

I24 [A]

I25 [A]

I1 [A]

I2 [A]

I3 [A]

I4 [A]

I5 [A]

Valori măsurate

Valori calculate

Conținutul referatului 1 Referatul trebuie să conțină tabelele L61 și L62 completate cu mărimile

determinate icircn două moduri pe baza măsurătorilor efectuate (ldquovalori măsuraterdquo) și prin calcul (ldquovalori caculaterdquo) cunoscacircndu-se rezistențele rezistoarelor și tensiunile la bornele surselor de alimentare

2 Toate calculele efectuate se vor prezenta icircn detaliu icircn referat 3 Se vor prezenta concluziile ce se pot trage din analiza comparată a

rezultatelor obținute experimental și a celor obținute prin calcul

Fig L67

I11 I13

I14 I12

R3 R4 R2

I21 I23

I24 I22

- 171 -

Lucr area nr 7

STUDIUL CUADRIPOLULUI LINIAR PASIV ALIMENTAT IcircN CURENT CONTINUU

1 NOŢIUNI TEORETICE Un cuadripol pasiv este o reţea electrică cu patru borne de acces ale cărei laturi

nu conţin surse de energie ndash generatoare de tensiune sau de curent Un cuadripol poate fi o reţea neizolată sau o parte dintr-o reţea complexă izolată

Icircn lucrare se studiază cazul cuadripolului liniar pasiv (alcătuit exclusiv din elemente pasive liniare) avacircnd cele patru borne grupate icircn două porţi ndash cuadripolul diport aşa cum se arată icircn figura L71 o poartă de intrare sau primară (1) ndash (1) şi o poartă de ieşire sau secundară (2) ndash (2) Cuadripolul funcţionează icircn curent continuu dacă tensiunea de alimentare adică tensiunea U1 aplicată la poarta de intrare este o tensiune continuă

Icircn figura L71 s-au notat cu U1 ndash tensiunea de alimentare sau primară aplicată la bornele de intrare (1) ndash (1) U2 ndash tensiunea de ieşire sau secundară la bornele de ieşire (2) ndash (2) I1 ndash curentul de intrare sau primar absorbit pe la bornele de intrare I2 ndash curentul de ieşire sau secundar debitat pe la bornele de ieşire R2 ndash rezistorul conectat la bornele secundare (rezistor de sarcină) a cuadripolului

Se observă că dintre cele patru variabile U1 U2 I1 şi I2 ce caracterizează interacţiunea cuadripolului cu exteriorul numai două sunt independente din punctul de vedere al structurii interioare a cuadripolului Dacă circuitul din figura L71 se rezolvă icircn raport cu curenţii I1 şi I2 aplicacircnd metoda curenţilor ciclici şi alegacircnd ochiurile independente astfel icircncacirct aceşti curenţi să coincidă cu curenţii ciclici ai ochiurilor la care aparţin respectiv ochiurile [1] şi [2] se obţine următorul sistem de ecuaţii

CUADRIPOL LINIAR PASIV

(1) (2)

[1] [2] U1

Fig L71

- 172 -

0IRIRIR

UIRIRIRUIRIRIR

ooo22o11o

20o2222121

1oo1212111

unde R11 este rezistenţa de intrare iar R22 rezistenţa de ieşire a cuadripolului Rezolvacircnd sistemul de ecuaţii (L71) icircn raport cu mărimile de la intrare U1 şi I1

funcţie de mărimile de la ieşire U2 şi I2 se obţine

211222111

icircn care este determinantul coeficienţilor sistemului (L71) iar jk (j k = 12) sunt minorii coeficienţilor Rjk corespunzători din

Dacă introducem notaţiile

2112221112

22 AAAA

ecuaţiile cuadripolului liniar pasiv alimentat icircn sens direct se scriu sub forma

2222211

2122111

Aceste ecuaţii se numesc ecuaţiile fundamentale sau de transfer ale cuadripolului liniar pasiv iar parametrii 22211211 şi AAAA se numesc parametrii fundamentali sau constantele cuadripolului depinzacircnd numai de parametrii acestuia La cuadripolii liniari şi pasivi parametrii fundamentali satisfac următoarea relaţie

1AAAA 21122211 (L74)

numită condiţia de reciprocitate Din punct de vedere al dimensiunilor parametrii A11 şi A22 sunt adimensionali

A12 este o rezistenţă A21 o conductanţă Aceşti parametri pot fi explicitaţi din sistemul de ecuaţii (L73) şi au următoarea semnificaţie

ndash raportul de transformare al tensiunilor la funcţionarea icircn gol

ndash rezistenţa de transfer la funcţionarea icircn scurtcircuit

ndash conductanţa de transfer la funcţionarea icircn gol

ndash raportul de transformare al curenţilor la funcţionarea icircn

scurtcircuit

- 173 -

2 DETERMINAREA CONSTANTELOR CUADRIPOLULUI 21 Icircncercări experimentale pentru calculul

constantelor cuadripolului Constantele cuadripolului se pot determina experimental folosind icircncercările la

gol şi icircn scurtcircuit ale cuadripolului dat Aceste icircncercări se pot efectua atacirct icircn conexiune directă cu alimentare pe la bornele primare (1) ndash (1) cacirct şi icircn conexiunea inversă cu alimentare pe la bornele secundare (2) ndash (2)

Icircncercarea icircn gol cu alimentare pe la bornele primare Bornele secundare fiind icircn gol I2 = 0 se notează U1 = U10 I1 = I10 U2 = U20 şi din sistemul (L73) rezultă

1010e A

AIUR (L75)

numită rezistenţa echivalentă de intrare la funcţionarea icircn gol

Icircncercarea la scurtcircuit cu alimentare pe la bornele primare Bornele secundare (2) ndash (2) sunt scurtcircuitate şi U2 = 0 Se notează U1 = U1sc I1 = I1sc I2 = I2sc şi din sistemul (L73) rezultă

sc1sc1e A

AIUR (L76)

numită rezistenţa echivalentă de intrare la funcţionarea icircn scurtcircuit

Icircncercarea icircn gol cu alimentare pe la bornele secundare Se lasă bornele secundare icircn gol I1 = 0 şi se aplică tensiune de la sursa de alimentare la bornele secundare (2) ndash (2) Se notează astfel U1 = 10U U2 = 20U şi I2 = 20I Din cea de-a doua ecuaţie a sistemului (L73) pentru I1 = 0 rezultă rezistenţa echivalentă de intrare

2020e A

Icircncercarea la scurtcircuit cu alimentare pe la bornele secundare Bornele primare se scurtcircuitează astfel că U1 = 0 şi la bornele secundare se aplică tensiunea U2 = sc2U astfel icircncacirct I1 = sc1I = I1n Rezistenţa echivalentă de intrare la bornele secundare icircn acest caz se deduce din prima ecuaţie din (L73) pentru U1 = 0 Rezultă astfel

sc2sc2e A

AIUR (L78)

Rezolvacircnd sistemul format de ecuaţiile (L75) (L78) obţinute din icircncercările la gol şi icircn scurtcircuit la care se adaugă condiţia de reciprocitate (L74) se obţin următoarele expresii pentru parametrii fundamentali ai cuadripolului liniar pasiv

sc1e10e

sc1e10e20e21

sc1esc1e10e

sc1e10e20e

- 174 -

22 Modul de lucru Icircn laborator icircncercările se fac cu un cuadripol icircn Prime T Prime realizat cu rezistoare ca icircn

figura L72

1 Se fac pe racircnd montajele din figura L72 care se alimentează de la o sursă reglabilă de tensiune continuă

2 Se fac icircncercările la gol şi la scurtcircuit alimentacircnd cuadripolul icircntacirci pe la bornele primare (1) ndash (1) fig 2a) şi apoi pe la bornele secundare (2) ndash (2) fig L72b)

3 Cu ajutorul voltmetrului şi al ampermetrului se citesc sc1sc11010 IUIU şi respectiv sc2sc22020 IUIU

4 Utilizacircnd relaţiile (5) (8) se calculează mărimile sc2e20esc1e10e RşiRRR şi apoi cu relaţiile (L79) se calculează parametrii fundamentali ai cuadripolului

5 Se măsoară cu un ohmetru valorile rezistenţelor r1 r2 şi r3 Avacircnd relaţiile

212112

r1Ar1A

rrrrrA

rr1A (L710)

se verifică şi icircn acest mod valorile parametrilor fundamentali determinaţi anterior

3 STUDIUL REGIMULUI DE IcircNCĂRCARE A CUADRIPOLULUI LINIAR PASIV IcircN CC 31 Determinarea regimului de funcţionare icircn sarcină a cuadripolului liniar pe baza principiului suprapunerii efectelor Dacă privim ecuaţiile cuadripolului (L73) vom observa că valorile tensiunii U1

şi ale curentul I1 sunt proporţionale cu valorile tensiunii U2 şi respectiv curentului I2 Dacă regimul normal de icircncărcare a unui cuadripol este caracterizat de tensiunea U2 şi curentul de sarcină I2 se pune problema să obţinem acest regim prin suprapunerea a două regimuri de funcţionare diferite de cel normal şi anume un regim de funcţionare la gol şi unul la scurtcircuit

La icircncercarea icircn gol se alimentează cu tensiune variabilă pe la bornele (1) ndash (1) şi se determină valoarea tensiunii U10 şi curentul I10 pentru care U20 = U2 = UR2 I2 = 0 Icircn acest caz ecuaţiile (L73) ale cuadripolului devin

UAIUAU

(L711)

Fig L72 Schemele de montaj pentru icircncercările cuadripolului la gol şi icircn scurtcircuit a) cu alimentare pe la bornele primare b) cu alimentare pe la bornele secundare

- 175 -

Icircn mod similar se efectuează icircncercarea la scurtcircuit şi se determină valoarea tensiunii U1sc şi curentul I1sc pentru care I2sc = I2 = IR2 U2 = 0 Icircn acest caz ecuaţiile (L73) ale cuadripolului devin

222sc1

212sc1

IAIIAU

(L712)

Din relaţiile (L711) şi (L712) se obţine regimul nominal de funcţionare al cuadripolului caracterizat de ecuaţiile obţinute prin suprapunerea efectelor

sc1101

UUU (L713)

Se observă că regimul de funcţionare normală icircn sarcină a cuadripolului poate fi obţinut prin suprapunerea a două regimuri limită de funcţionare unul de mers icircn gol şi altul de scurtcircuit Icircn practică este foarte important acest lucru deoarece o mare parte din circuitele proiectate pentru alimentarea consumatorilor (reţele transforma-toare) nu pot fi icircncărcate la sarcina nominală ci se icircncearcă la gol şi la scurtcircuit urmacircnd ca aplicarea suprapunerii efectelor să ducă la concluziile ce caracterizează regimul normal de lucru 32 Modul de lucru Se execută montajul pentru icircncercarea icircn sarcină a cuadripolului din figura L73

Cu rezistorul de sarcină R2 conectat la ieşire se alimentează cuadripolul cu tensiune reglabilă prin intermediul rezistorului R icircn montaj potenţiometric

1) Se stabileşte un regim normal de lucru pentru o anumită valoare a rezistenţei rezistorului de sarcină R2 şi se notează valorile mărimilor U1 I1 U2 şi I2 indicate de aparatele de măsură

2) Se fac apoi icircncercările la gol şi la scurtcircuit alimentacircnd cu tensiune crescătoare pe la bornele (1) ndash (1) pacircnă cacircnd se obţine U20 = U2 şi respectiv I2sc = I2 Se notează pentru fiecare icircncercare icircn parte valorile U10 I10 şi respectiv U1sc I1sc indicate de aparatele de măsură

3) Se verifică pentru cacircteva regimuri de icircncărcare dacă se icircndeplinesc relaţiile U1 = U10 + U1sc şi I1 = I10 + I1sc

adică se verifică principiul suprapunerii efectelor

Fig L73 Schema de montaj pentru icircncercarea icircn sarcină a cuadripolului

(2) A2

V2 R2 U2

- 176 -

Lucr area nr 8

STUDIUL CIRCUITELOR NELINIARE DE CURENT CONTINUU

1 CONSIDERAȚII TEORETICE 11 Rezistoare neliniare Un circuit este neliniar dacă conține cel puțin un element de circuit (rezistor)

neliniar Prin caracteristica tensiune ndash curent sau volt ndash amper (V ndash A) a unui element de circuit (rezistor sursă etc) se icircnţelege dependenţa dintre tensiunea u la borne şi intensitatea curentului i care-l străbate u = u(i) Caracteristicile tensiune ndash curent pot fi liniare (fig L81a) sau neliniare (fig L81b) după cum elementele de circuit respective satisfac sau nu legea lui Ohm Corespunzător şi elementele de circuit se icircmpart icircn liniare şi neliniare

Pe baza caracteristicii tensiune ndash curent pentru elementele de circuit neliniare (rezistoare) se definesc pentru fiecare punct de funcționare o rezistență statică și una dinamică (fig L82)

ndash rezistenţa statică

tgkRR sst iu (L81)

ndash rezistenţa dinamică (diferenţială)

tgβklimR s0d di

duΔiΔu

Δi (L82)

care este proporţională cu panta tangentei S-a notat cu )mmA(S)mmV(Sk

us raportul

scărilor grafice pentru u şi i

Rdgt0 Rdlt0

Fig L81 0

Fig L82

- 177 -

Atacirct rezistenţa statică Rst cacirct şi cea dinamică Rd depind de poziţia punctului de funcționare P de pe caracteristică respectiv de valorile tensiunii şi ale curentului Spre deosebire de rezistenţa statică care este totdeauna pozitivă rezistenţa dinamică poate fi pozitivă (porţiunile ascendente ale caracteristicii) sau negativă (porţiunile descendente ale caracteristicii fig L81b)

Caracteristicile tensiune ndash curent ridicate prin puncte icircn curent continuu se numesc caracteristici statice spre deosebire de cele dinamice ridicate pentru regimuri variabile

Deoarece rezistenţa elementelor de circuit neliniare depinde de valorile tensiunii aplicate sau curentului ce le străbat pentru rezolvarea circuitelor neliniare de cc este necesar să se cunoască caracteristicile tensiunendashcurent ale elementelor ce intervin

Icircn practică se icircntacirclnesc un număr mare de elemente de circuit neliniare cu caracteristici tensiunendashcurent dintre cele mai variate La unele dintre acestea neliniaritatea se datorează influenţei temperaturii dezvoltate la trecerea curentului asupra rezistivităţii electrice (de exemplu lămpile cu incandescenţă) Există şi dispozitive la care neliniaritatea caracteristicilor se datorează unor procese fizice specifice care au loc (de exemplu arcul electric diferite dispozitive electronice semiconductoare etc)

Din punctul de vedere al formei curbei caracteristice rezistoarele sunt simetrice și nesimetrice Rezistoarele simetrice au curba caracteristică simetrică icircn raport cu originea şi se numesc reciproce sau bilaterale Funcționarea lor icircn rețea este independentă de modul de conectare a bornelor iar puterile icircn două puncte de funcționare simetrice icircn raport cu originea (M1 și M2 fig L83) rezultă egale

Din punctul de vedere al mărimii care stabilește univoc poziția punctului de functionare pe curba caracteristică rezistoarele se clasifică icircn rezistoare cu control de tensiune şi rezistoare cu control de curent

La rezistorul cu control de tensiune (fig L84a) fiecărei valori a tensiunii icirci corespunde o valoare a intensității curentului ecuația carac-teristică fiind de forma i = i(u) La rezistorul cu control de curent (fig L84b) fiecărei valori a intensității curentului icirci corespunde o valoare a tensiunii şi ecuația caracteristică este u = u(i)

Exemple de rezistoare neliniare a) Lămpile cu incandescență ndash rezistoare neliniare simetrice neliniaritatea

caracteris-ticii se datorește faptului că rezistența filamentului se modifică odată cu modificarea temperaturii determinată de curentul care trece prin filament Lampa cu filament metalic (caracteristica 1 fig L85) are coeficientul de temperatură pozitiv iar lampa cu filament de cărbune care are coeficientul de temperatură negativ (caracteristica 2 fig L85)

b) Termistorul ndash rezistor neliniar simetric constituit din oxizi metalici de Mn Ni Co Fe Zn etc Se utlizează icircn constructia stabilizatoarelor de tensiune La unele termistoare caracteristica prezintă o zonă pentru care rezistenta dinamică este negativă (fig L86) Au rezistența variabilă cu temperatura de forma

Fig L83

Fig L84

- 178 -

icircn care R și R1 sunt rezistențele la temperaturile T și T1 iar B este un indice de sensibilitate termică c) Varistorul (rezistorul cu tirit sau vilit) ndash rezistor neliniar simetric cu control de tensiune (fig L87) Se obține prin presarea la temperaturi icircnalte a unui amestec de carbură de siliciu şi grafit Tiritul este o carbură de siliciu a cărui rezistență scade la creșterea tensiunii peste o valoare critică notată cu ua icircn figura L87 Rezistoarele cu tirit se folosesc icircn construcția descărcătoarelor pentru protecția contra supratensiunilor icircn stațiile electrice de icircnaltă tensiune

12 Metode de calcul a circuitelor neliniare de curent continuu Analiza circuitelor electrice neliniare este mai dificilă decacirct cea a ciruitelor

liniare icircntrucacirct funcţionarea circuitului este descrisă de ecuaţii neliniare şi nu se mai poate utiliza nici una dintre metodele sau teoremele care se bazează pe principiul suprapunerii efectelor

La rezolvarea circuitelor electrice neliniare se aplică icircn principal metode analitice de iterație (numerice) și grafice

Metoda analitică constă icircn rezolvarea ecuațiilor obținute pe baza teoremelor lui Kirchhooff icircn care se introduc caracteristicile tensiune ndash curent ale elementelor neliniare aproxi-mate prin funcții Se obține un sistem de ecuații neliniare a caror rezolvare nu este simplă

Metoda aproximatiilor succesive este icircn general laborioasă și se aplică pentru circuite cu un număr relativ mic de elemente neliniare Icircntr-o formă simplificată se pleacă de la ecuațiile lui Kirchhoff și se stabilesc expresiile mărimilor care interesează (curenți tensiuni) și in care intervin rezistențele statice icircncă necunoscute Se aproximiază inițial valorile acestor rezistențe și apoi se corectează prin calcule succesive pacircnă se obțin valori care verifică soluțiile deduse din ecuațiile rețelei și bineicircnțeles caracteristicile elementelor de circuit neliniare respective Aceste caracteristici pot fi date sub formă de curbe sau analitic

O situație mai particulară se referă la cazul icircn care regimul de funcționare al rețelei corespunde unui domeniu limitat din caracteristica tensiune ndash curent a elementelor neliniare iar icircn acest domeniu neliniaritatea este relativ mică Icircn astfel de situații se poate aplica metoda liniarizării care constă icircn aproximarea caracteristicii din

Fig L86

Fig L85

Fig L87

- 179 -

jurul punctului de functionare P prin tangenta la curbă (fig L88a) Ecuația acestei tangente este

IRUU d0 (L84)

unde U0 este ordonata la origine a tangentei iar Rd este panta tangentei adică rezis-tența dinamică icircn punctul P

Din ecuația (L84) rezultă că elementul de circuit neliniar pentru punctul P de funcționare se poate icircnlocui printr-o latură activă echivalentă (fig L88b) avacircnd tensiunea electromotoare U0 și rezistența interioară Rd Pe baza acestei metode rețeaua neliniară se icircnlocuiește deci printr-o rețea echivalentă liniară care se rezolvă mai usor Prin rezolvarea ecuațiilor pentru aceasta se obține curenții din reteaua dată neliniară Dacă aceste valori nu corespund punctelor de funcționare admise calculul se repetă cu valori corectate pentru U0 și Rd pană ce se obține o concordanță corespunzătoare

O metodă foarte răspacircndită este metoda grafică Se aplică pentru rețele cu elemente componente conectatețicircn serie icircn derivație și icircn general icircn conectare mixtă Metoda constă icircn determinarea pe cale grafică din aproape icircn aproape cu ajutorul caracteristicilor tensiune ndash curent ale elementelor componente a caracteristicilor tensiune ndash curent pentru scheme echivalente ale unor grupări parțiale din rețea pană ce se ajunge la caracteristica schemei echivalente dipolare globale din care se pot determina apoi tensiunile și curenții Se exemplifică metoda prin cacircteva cazuri simple

a) Elemente neliniare conectate icircn serie Cele două rezistoare neliniare conectate icircn serie figura L89a) au caracteristicile U1(I) și U2(I) La conectarea icircn serie curentul este același iar icircntre tensiuni relația este evidentă

)I(U)I(U)I(U 21 (L85)

P U0 I

Fig L88

Fig L89

U1 U2 U2

U(I) U2(I)

- 180 -

Elementele conectate icircn serie pot fi icircnlocuite printr-un dipol echivalent avacircnd caracteristica U(I) ce se obține icircn mod simplu punct cu punct adunacircnd ordonatele carac-teristicelor tensiune ndash curent ale elementelor componente pentru diferite valori ale curentului figura L89b)

Din caracteristica U(I) se poate determine curentul prin circuit pentru o tensiune aplicată la borne respectiv pentru un punct de funcționare P oarecare (Up Ip)

b) Elemente neliniare conectate icircn paralel La conectarea icircn paralel tensiunea la borne este aceeași U1(I) = U2(I) = U(I) figura L810a)

Curenții satisfac relația

)U(I)U(I)U(I 21 (L86)

Caracteristica U(I) pentru dipolul echivalent se obține icircnsumacircnd punct cu punct pe cale grafică curenții I1 și I2 care corespund la diferite tensiuni la borne ca icircn figura L810b)

c) Elemente neliniare icircn conexiune mixtă Icircn cazul unei conectări mixte caracteristica dipolului echivalent se determină

din aproape icircn aproape ținacircnd seama de grupările parțiale ce intevin Pentru exemplul prezentat icircn fig L811 se determină mai icircntăi caracteristica U1(I) U2(I) a celor două elemente conectate icircn paralel și apoi se determină caracteristica U(I) a icircntregului circuit pe baza relațiilor

I = I1 + I2 U1 U2 U(I) = U1(I) + Un(I) (L87)

Fig L811

Rn1 Rn2

Up P I1

U1(I1) U2(I2)

Fig L810

Rn1 Rn1

I I1 I2

Up P I1

I U1(I) U2(I)

- 181 -

2 PARTEA EXPERIMENTALĂ 2L8 Schema electrică a montajului experimental La partea experimentală a lucrării se vor determina caracteristicile unor

rezistoare neliniare cum sunt lămpile cu incandescență și respectiv a unui circuit de curent continuu care conține astfel de elemente neliniare

Schema electrică globală a montajului utilizat pentru studiul experimental se prezintă icircn figura L812

Circuitul se alimentează de la o sursă de tensiune continuă reglabilă SR (redresor

trifazat comandat) și conține ca elemente neliniare lampile cu incandescență cu filament metalic cu următoarele caracteristici

L1 = 24V 75W L2 = 24V 40W L3 = 24V 60W 22 Modul de lucru 1) Se determină experimental caracteristica statică a unei lămpi cu filament

metalic Pentru aceasta se realizează montajul numai cu lampa L1 icircn circuit și cu aparatele de măsură A și V pentru măsurarea curentului și respectiv tensiunii Se reglează tensiunea continuă de alimentare din 2 icircn 2 volți icircntre 0 24V și se citesc valorile curentului care se trec icircn tabelul L81 Se calculează pentru fiecare punct de funcționare reziztențele statică și dinamică cu relațiile (L81) și (L82) icircn care U și I sunt diferențele a două valori succesive ale tensiunii respectiv curentului

Tabelul L81

U [V] 0 2 4 6 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24 I [A]

Rst = UI [] Rd = UI []

2) Se realizează icircntregul montaj conform schemei electrice din figura 21 icircn care

R este un reostat de 30 5A considerat rezistor liniar Se alimentează circuitul și se reglează valoarea rezistenței reostatului R astfel icircncacirct tensiunile indicate de voltmetrele

~ ~ ~ =

R A2 A3

Fig L812 SR

- 182 -

V1 și V2 să fie aproximtiv egale pentru orce valoare a acestora cuprinsă icircntre 0 24V Se reglează tensiunea de alimentare U și se citesc valorile tensiunilor și curenților indicate de aparate pentru valori ale tensiunilor U1 și U2 din 2 icircn 2 volți icircntre 0 24V Datele se trec icircn tabelul L82

Tabelul L82

U [V] I [A] U1[V] 0 2 4 6 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24 U2[V] IR [A] I1 [A] I2 [A] I3 [A]

23 Prelucrarea și interpretarea rezultatelor 1) Pe baza valorilor din tabelul 1 se trasează grafic caracteristicile U(I) Rst(I) și

Rd(I) pentru lampa cu incandescență cu filament metalic 2) Se reprezintă pe același grafic caracteristicile U(I) U1(I1) U1(IR) U2(I2)

U2(I3) pe baza valorilor din tabelul L82 Se construiesc pe același grafic prin compunere grafică următoarele caracteristici

a) U1(I) prin compunerea caracteresticilor U1(I1) și U1(IR) b) U2(I) prin compunerea caracteresticilor U2(I2) și U2(I2)

c) U(I) prin compunerea caracteresticilor U1(I) și U2(I) 3) Se analizează rezultatele obținute și se prezintă concluziile desprinse icircn urma

studiului experimental efectuat

- 183 -

Lucr area nr 9

CIRCUITE LINIARE MONOFAZATE IcircN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

1 NOŢIUNI TEORETICE 11 Reprezentarea icircn complex a mărimilor sinusoidale

Icircn analiza circuitelor electrice liniare icircn regim permanent sinusoidal se utilizează reprezentarea icircn complex a mărimilor sinusoidale Dacă toate mărimile ce intervin au aceeaşi pulsaţie (frecvenţă) se poate utiliza reprezentarea icircn complex simplificat

Prin reprezentarea icircn complex simplificat se asociază unei mărimi sinusoidale de forma )tsin(Y)t(y 2 un vector fix icircn planul complex (+1 +j) numit fazor complex simplificat al cărui modul este egal cu valoarea efectivă Y şi care formează cu axa reală un unghi egal cu faza iniţială a mărimii sinusoidale (fig L91)

jYeY)tsin(Y2)t(y (L91)

Trecerea de la imaginea icircn complex Y a mărimii sinusoidale la funcţia original y(t) (funcţia de timp) se realizează cu transformarea inversă pe baza relaţiei

y(t) = Im Ye tj2 (L92)

Prin această reprezentare mărimile sinusoidale de timp de aceeaşi frecvenţă (tensiuni curenţi etc) se reprezintă ca fazori ficşi icircn planul complex (independenţi de timp) avacircnd modulul egal cu valoarea efectivă a mărimii sinusoidale şi argumentul dat de faza iniţială Astfel imaginile icircn complex simplificat ale tensiunii şi curentului la bornele unui circuit dipolar icircn regim permanent sinusoidal sunt

IeI)tsin(I2)t(iUeU)tsin(U2)t(u

Aceşti fazori sunt reprezentaţi icircn figura L92 icircn care s-a notat cu = ndash unghiul de defazaj dintre tensiune şi curent (unghiul de defazaj al circuitului)

(axa reală)

Fig L91

Fig L92

- 184 -

Raportul dintre imaginile icircn complex ale tensiunii şi curentului la bornele unui circuit dipolar reprezintă impedanţa complexă a circuitului

IUZ (L93)

iar mărimea inversă este admitanţa complexă

UIY jj

Se poate verifica uşor următoarea corespondenţă icircntre operaţiile cu mărimi sinusoidale şi operaţiile cu imaginile lor icircn complex

ndash icircnmulţirii cu un scalar real a mărimii sinusoidale icirci corespunde multiplicarea cu a modulului fazorului complex

jYeYλ)tsin(Yy 2 (L95)

ndash sumării a două mărimi sinusoidale de aceeaşi frecvenţă icirci corespunde sumarea geometrică a fazorilor corespunzători

2121 YY)t(y)t(y (L96)

ndash derivării icircn raport cu timpul a mărimii sinusoidale icirci corespunde multiplicarea cu j a imaginii icircn complex respectiv multiplicarea cu a modulului şi rotirea cu 2 icircn sens trigonometric a fazorului complex

YjYe)2

tsin(2dtdy )

ndash integrării icircn timp a mărimii sinusoidale icirci corespunde icircmpărţirea cu j a imaginii icircn complex respectiv icircmpărţirea cu a modulului şi rotirea cu ndash2 (icircn sens invers trigonometric) a fazorului complex

Yj1eY)

2tsin(Yydt

Prin utilizarea reprezentării icircn complex mărimile sinusoidale de aceeaşi frecvenţă dintr-un circuit se reprezintă printr-o diagramă fazorială pe baza căreia analiza circuitului se simplifică mult faţă de cazul analizei prin metoda directă

12 Circuitul liniar RLC serie icircn regim permanent sinusoidal

Circuitul cu elemente liniare ideale ndash rezistor bobină şi condensator ndash conectate icircn serie (fig L93a) sub tensiune sinusoidală la borne

jUeU)tsin(U)t(u 2 (L99)

va fi parcurs de un curent sinusoidal de aceeaşi frecvenţă 0jIeItsinI)t(i 2 (L910)

considerat origine de fază (faza iniţială nulă)

- 185 -

Valoarea efectivă I a curentului şi unghiul de defazaj dintre tensiunea şi curentul la bornele circuitului se determină utilizacircnd reprezentarea icircn complex

Ecuaţia de tensiuni a circuitului este

dtdiLRiuuuu CLR (L911)

şi avacircnd icircn vedere corespondenţa operaţiilor icircn complex se scrie

1ILjIRUUUU CLR (L912)

Diagrama fazorială a tensiunilor (fig L93b) se construieşte luacircnd ca referinţă (origine de fază) un fazor arbitrar pentru curent I icircn raport cu care se trasează succesiv fazorul tensiunii pe rezistor IRU R icircn fază (coliniar) cu curentul fazorul tensiunii la

bornele bobinei ILjU L defazat icircnaintea curentului cu 2 şi fazorul tensiunii la

bornele condensatorului ICj

1U C defazat icircn urma curentului (icircn sens invers

trigonometric) cu 2

Din diagrama fazorială prezentată icircn figura L93b) şi din ecuaţia circuitului (L912) rezultă

IZIC1LjRUUUU CLR

(L913)

jXRC1LjRZ

(L914)

este impedanţa complexă a circuitului RLC serie cu partea reală rezistenţa R şi partea imaginară reactanţa echivalentă CL XXX LX L fiind reactanţa inductivă şi

reactanţa capacitivă

Valoarea efectivă a curentului I şi unghiul de defazaj al tensiunii faţă de curent rezultă

arctgarctg RC

1-ωLRX

ZUII 22

(L915)

Fig L93

R L C i

u uR uL uC

- 186 -

Un regim particular de funcţionare a circuitului este regimul de rezonanţă care apare icircn situaţia icircn care reactanţa echivalentă se anulează adică cacircnd reactanţa inductivă XL este egală cu reactanţa capacitivă XC la o pulsaţie 0 respectiv frecvenţă f0 numite de rezonanţă

1f LC1f2ωC

1LXX 0000

(L916)

Din aceste relaţii se constată că fenomenul de rezonanţă se poate obţine la variaţia uneia dintre mărimile L C sau f

La rezonanţă se constată că tensiunile pe bobină şi pe condensator sunt egale icircn valoare efectivă (icircn modul) dar icircn opoziţie de fază astfel că se anulează reciproc iar tensiunea la bornele circuitului este egală cu tensiunea pe rezistor fiind icircn fază cu curentul = 0 Impedanţa circuitului are valoarea minimă Z0 = R şi curentul are valoarea maximă I0 = Imax = UR Din diagrama fazorială pentru rezonanţă figura L63c) rezultă că tensiunile pe bobină şi pe condensator egale pot avea valori oricacirct de mari uneori mai mari decacirct tensiunea U aplicată la bornele circuitului (pot apare supratensiuni) de unde şi denumirea de rezonanţă de tensiuni pentru rezonanţa circuitului serie

Se defineşte factorul de calitate al circuitului ca fiind raportul dintre valorile efective a tensiunii pe bobină sau pe condensator şi a tensiunii la bornele circuitului la rezonanţă

(L917)

13 Circuitul liniar RLC paralel icircn regim permanent sinusoidal

Se consideră circuitul cu elemente liniare ideale ndash rezistor bobină şi condensator ndash conectate icircn paralel (fig L94a) sub tensiune sinusoidală la borne

0jUeUtsinU2 (t)u (L918)

considerată origine de fază Curentul la bornele circuitului este de forma

jIeItsinI2 (t)i (L919)

Ecuaţia de curenţi icircn mărimi instantanee este

dtdCdtL

1R1 uuuiiii CLR (L920)

Fig L94

iR iC iL

= 0 RII

- 187 -

Icircn complex ecuaţia circuitului se scrie

UCjULj

1UGIIII CLR

(L921)

icircn care UGIR este curentul prin rezistor icircn fază cu tensiunea G = 1R fiind

conductanţa rezistorului ULj

1IL este curentul prin bobină defazat icircn urma

tensiunii cu ndash2 (icircn sens invers trigonometric) UCjIC este curentul condensato-rului defazat icircnaintea tensiunii cu 2

Dacă ecuaţia (L921) se scrie sub forma

1CjUGI

(L922)

se pune icircn evidenţă admitanţa complexă a circuitului RLC paralel

jBGY (L923)

avacircnd partea reală egală cu conductanţa G şi partea imaginară egală cu susceptanţa

echivalentă a circuitului B = BC ndash BL BC = C ndash susceptanţa capacitivă BL = L

susceptanţa inductivă Din ecuaţia (L922) şi din diagrama fazorială a curenţilor prezentată icircn figura

L94b) se determină valoarea efectivă I a curentului şi unghiul de defazaj al curentului faţă de tensiune

GBUBGUYII 22 arctgarctg (L924)

Fenomenul de rezonanţă se produce la anularea susceptanţei echivalente a circuitului adică atunci cacircnd susceptanţa capacitivă BC este egală cu susceptanţa inductivă BL la o pulsaţie 0 respectiv frecvenţă f0 de rezonanţă astfel

LC1f2ω

L1CBB 000o

(L925)

Şi icircn acest caz ca şi la circuitul RLC serie rezonanţa se poate obţine la modificarea uneia dintre mărimile L C sau f La rezonanţa circuitului RLC paralel curenţii prin bobină şi prin condensator au valori efective egale dar sunt icircn opoziţie de fază admitanţa echivalentă a circuitului are valoarea minimă egală cu conductanţa rezistorului Y = G astfel icircncacirct curentul luat de circuit pe la borne are valoarea maximă egală cu curentul prin rezistor I = Imax = IR = GU Din diagrama fazorială pentru regimul de rezonanţă prezentată icircn figura L94c) rezultă că la rezonanţă curenţii prin bobină şi condensator pot avea valori oricacirct de mari icircn anumite condiţii mai mari decacirct curentul luat de circuit pe la borne de unde şi denumirea de rezonanţă de curenţi pentru rezonanţa circuitului RLC paralel

Factorul de calitate al circuitului se defineşte icircn acest caz ca raportul dintre valoarea efectivă a curentului prin bobină sau prin condensator şi valoarea efectivă a curentului absorbit de circuit pe la borne la rezonanţă

(L926)

- 188 -

2 PARTEA EXPERIMENTALĂ 21 Circuitul RLC serie

Se realizează montajul din figura 5

Pentru diferite valori ale tensiunii aplicate circuitului de la autotransformatorul reglabil ATR şi pentru diferite valori ale rezistenţei R a reostatului inductivităţii L a bobinei şi capacităţii C a condensatorului se iau datele care se trec icircn tabelul L91 Se calculează valorile indicate icircn tabel şi se construiesc diagrame fazoriale la scară pentru două sau trei cazuri dintre care unul pentru rezonanţă Se compară valorile obţinute grafic cu cele determinate prin calcul explicacircnd eventualele neconcordanţe

Tabelul L91 U I UR UL UC Z = UI R = URI XL = ULI XC = UCI )RX(arctg Nr

crt [V] [A] [V] [V] [V] [] [] [] [] 1 2 3

22 Circuitul RLC paralel

Se realizează montajul din figura L96 Pentru diferite valori ale curentului obţinut prin reglarea autotransformatorului la care se icircnseriază rezistorul Ri de valoare mare şi pentru diferite valori ale parame-trilor R L şi C se iau datele cu care se completează tabelul L92

Se calculează valorile indicate icircn tabel şi se construiesc la scară diagra-mele fazoriale pentru două sau trei cazuri dintre care unul pentru rezonanţă

Tabelul L92

U I IR IL IC Y = IU G = IRU BL = ILU BC = ICU )GB(arctg Nr crt [V] [A] [A] [A] [A] [S] [S] [S] [S] 1 2 3

Se consemnează icircn referat concluziile deduse din studiul fenomenelor de rezonanţă la circuitele liniare de tip RLC serie şi paralel

Fig L95

VL VC 220V

Fig L96

220V ~ L

- 189 -

Lucrar ea nr 10

ANALIZA REȚELELOR ELECTRICE LINIARE IcircN REGIM PERMENENT SINUSOIDAL

1 CONSIDERAȚII TEORETICE

Analiza rețelelor electrice liniare icircn regim permanent sininusoidal se poate

efectua cu oricare dintre metodele utilizate pentru pentru rețelele electrice liniare de curent continuu Icircn regim permanent sininusoidal icircn circuitele liniare toți curenții și tensiunile sunt mărimi sinusoidale și pentru simplificarea calculelor analiza se efectuează icircn complex De obicei se dau valorile complexe ale tensiunilor sau curenților surselor de tensiune respectiv de curent și prametrii complecși ai elementelor de circuit (impedanțe sau admitanțe complexe) și analiza constă icircn determinarea tensiunilor sau curenților din rețeaua complexă

Icircn această lucrare se studiază două dintre metodele de determinare a curenților dintr-o rețea electrică liniară icircn rps metoda bazată pe aplicarea teoremelor lui Kirchhoff și metoda bazată pe teorema curenților ciclici

11 Analiza icircn complex a reţelelor electrice cu teoremele lui Kirchhoff

Se consideră o reţea electrică liniară şi invariabilă icircn timp conexă şi plană cu l

laturi şi n noduri Forma icircn complex a sistemului complet de ordinul l al ecuaţiilor corespunzătoare teoremelor lui Kirchhoff conţinacircnd n = n ndash 1 ecuaţii de noduri pentru curenţii din laturi şi o = l ndash n + 1 ecuaţii de ochiuri pentru tensiunile la bornele laturilor se obţine icircnlocuind valorile instantanee ale curenţilor ij şi tensiunilor uj sinusoidali icircn timp şi de aceeaşi frecvenţă cu imaginile lor in complex Ij şi respectiv Uj Astfel ecuaţiile icircn complex corespunzătoare teoremelor a I-a şi respectiv a II-a Kirchhoff icircn forma topologică se scriu

1n21k0I)k(j

(L101)

1n21m0U]m[j

l (L102)

unde cu (k) şi respectiv cu [m] s-au notat nodurile respectiv ochiurile independente sau fundamentale ale reţelei

Analiza icircn complex a reţelelor electrice cu teoremele lui Kirchhoff se poate face fie icircn raport cu curenţii ndash icircnlocuind icircn ecuaţiile (L102) tensiunile complexe Uj icircn funcţie de curenţii complecşi Ij fie icircn raport cu tensiunile ndash icircnlocuind icircn ecuaţiile (L101)

- 190 -

curenţii Ij icircn funcţie de tensiunile complexe Uj Icircn continuare se prezintă metoda de analiză icircn raport cu curenţii

Se considera reţeaua cu l laturi din care lE sunt laturi cu generatoare ideale de tensiune lJ laturi cu generatoare ideale de curent l ndash lE ndash lJ fiind laturi cu elemente pasive Se numerotează icircntacirci laturile cu elemente pasive apoi laturile cu generatoare ideale de tensiune lE şi la urmă laturile cu generatoare ideale de curent lJ

Icircn cazul general (fig L101) pentru nodurile (k) ale reţelei ecuaţiile cores-punzătoare teoremei a I-a Kirchhoff icircn raport cu curenţii se scriu

1nn21kJII)k(p )k(s

spE)k(j

(L103)

Dacă reţeaua nu are cuplaje magnetice pentru ochiurile independente [m] ale reţelei ecuaţiile corespunzătoare teoremei a II-a Kirchhoff icircn raport cu curenţii se scriu

sJ]m[j

jj EUICj1LjR m = 1 2 o

sJ]m[j

jj EUIZ m = 1 2 o

(L104)

unde j

jjj Cj1LjRZ este impedanţa proprie a unei laturi complete

Dacă reţeaua are cuplaje magnetice adică are bobine cuplate magnetic ecuaţiile de ochiuri se scriu

]m[ssJ

]m[j jkkkjj

jjjjj EUILjICj

1ILjIR

]m[ssJ

]m[j jkkkjjj EUIZIZ m = 1 2 o

(L105)

unde cu jkjkkj LjZZ s-a notat impedanţa complexă mutuală sau de cuplaj magnetic dintre bobinele j şi k

Termenii care conţin inductivităţile mutuale Lkj se iau cu semnul plus sau minus icircn funcţie de coincidenţa sau opoziţia sensurilor curenţilor din laturile j şi k atacirct faţă de

pE sJ pEI

Fig L101

(IE)p (UJ)s

- 191 -

sensul ochiului cacirct şi faţă de bornele polarizate Orice necoincidenţă conduce la o schimbare de semn

Rezolvacircnd sistemul format de ecuaţiile (L103) şi (L104) sau (L105) se obţin necunoscutele curenţii laturilor Ij şi tensiunile (UJ)s la bornele generatoarelor de curent

Icircn forma matriceală sistemul de ecuaţii icircn complex corespunzător teoremelor lui Kirchhoff se scrie icircn mod similar ca icircn cazul reţelelor de curent continuu Astfel dacă se numerotează icircntacirci laturile cu elemente pasive apoi cele cu generatoare ideale de tensiune şi icircn final cele cu generatoare ideale de curent pentru teorema a I-a Kirchhoff icircn forma matricială ecuaţiile (L103) se scriu

nn JIA JJ llll (L106)

icircn care JnA ll este matricea de incidenţă redusă laturindashnoduri cu n = n ndash1 linii şi l ndash lJ coloane (corespunzătoare laturilor fără generatoare de curent) JI ll este matricea coloană cu l ndash lJ termeni reprezentacircnd curenţii din laturile reţelei iar matricea nJ se calculează cu relaţia

JAJ nn ll (L107) JJ l fiind matricea coloană a curenţilor generatoarelor de curent

Icircn cazul general al unei reţele cu cuplaje magnetice ecuaţiile (L105) cores-punzătoare teoremei a II-a Kirchhoff icircn forma matricială se scriu

oJoo EUBIZ JJJJ llllll (L108) icircn care intervin matricele

ZBZ oo l-ll-lll (L1010)

unde JoB l-l este matricea de incidenţă redusă laturindashochiuri cu o linii şi primele lndashlJ coloane iar matricea JZ l-l este matricea pătrată de ordinul lndashlJ a impedanţelor complexe avacircnd pe diagonală impedanţele proprii ale laturilor şi icircnafara diagonalei impedanţele complexe mutuale dintre laturile reţelei

ZLjLjLj

LjLjLjLj

LjLjZLjLjLjLjZ

kkjk21k

1j2221

1j1121

llllllll

ll (L1011)

JJU l este matricea coloană cu lJ termeni a tensiunilor la bornele generatoarelor ideale de curent iar matricea din membrul drept este dată de relaţia

JJ E]B[E oo llll (L1012)

icircn care JE ll este matricea coloană a tensiunilor electromotoare ale generatoarelor din laturile reţelei

Icircn formă compactă sistemul complet de ecuaţii icircn complex al reţelei corespun-zător teoremelor lui Kirchhoff se scrie

- 192 -

[B]]Z[[0][A]

JJ (L1013)

sau SNKi (L1014)

unde s-a notat cu iK matricea Kirchhoff icircn raport cu curenţii cu N matricea necunoscutelor şi cu S matricea surselor Semnificaţia acestor matrice este evidentă Prin rezolvarea ecuaţiei (L1014) se obţine

SKN 1i (L1015)

12 Analiza icircn complex a reţelelor electrice prin metoda curenţilor ciclici Sistemul de o = l ndash n + 1 ecuaţii corespunzător teoremei curenţilor ciclici se scrie

icircn complex sub forma

EIZIZIZIZ

EIZIZIZIZEIZIZIZIZ

(L1016)

Impedanţele de pe diagonală sunt de forma

jk]m[j

jmm ZZZ (L1017)

icircn care intră suma impedanţelor proprii Zj ale laturilor ochiului [m] şi suma algebrică a impedanţelor de cuplaj magnetic Zjk dintre laturile ochiului [m]

Icircn sumele din (L1017) impedanţele proprii Zj se iau cu semnul + iar impedanţele mutuale Zjk se iau cu semnul + icircn următoarele situaţii

a) sensurile de referinţă ale laturilor j şi k (ale curenţilor Ij şi Ik) sunt la fel faţă de bornele polarizate şi ambele coincid sau ambele sunt opuse sensului ochiului (al curentului ciclic I

m fig L102a ) b) sensurile de referinţă ale laturilor j şi k

sunt diferite faţă de bornele polarizate şi sensul uneia din laturi coincide şi al celeilalte este opus sensului ochiului (fig L102b)

Icircn celelalte situaţii impedanţele mutuale Zjk se iau cu semnul ndash Impedanţele din afara diagonalei sunt de forma

]j[q]m[p

]j[k]m[k

kmj ZZZ (L1018)

[m] mI

Fig L102

- 193 -

icircn care intră suma algebrică a impedanţelor proprii Zk ale laturilor comune ochiurilor [m] şi [j] şi suma algebrică a impedanţelor de cuplaj magnetic Zpq dintre o latură p aparţinacircnd ochiului [m] şi o latură q aparţinacircnd ochiului [j]

Impedanţele Zk se iau cu semnul + sau ndash după cum curenţii ciclici ai celor două ochiuri au acelaşi sens respectiv sens opus prin latura comună ochiurilor

Impedanţele mutuale Zpq se iau cu semnul + icircn următoarele situaţii a) sensurile de referinţă ale laturilor p şi q sunt la fel faţă de bornele polarizate

şi ambele coincid sau ambele sunt opuse sensurilor ochiurilor la care aparţin laturile (fig L103a )

b) sensurile de referinţă ale laturilor p şi q sunt diferite faţă de bornele polarizate şi sensul uneia din laturi coincide şi al celeilalte este opus sensului ochiului la care aparţine latura (fig L103b)

Icircn celelalte situaţii impedanţele mutuale Zpq se iau cu semnul ndash

Icircn membrul drept al sistemului de ecuaţii (L1016) termenii notaţi ]m[E repre-zintă suma algebrică a tensiunilor electromotoare ale surselor din laturile ochiului [m]

j]m[ EE (L1019)

Sumarea este algebrică tensiunile electromotoare Ej luacircndu-se cu semnul + sau ndash după cum sensul lor coincide sau este opus sensului ochiului

Pentru aplicarea metodei curenţilor ciclici se impune transformarea icircn prealabil a generatoarelor de curent icircn generatoare echivalente de tensiune (dacă este posibil)

Icircn forma matriceală metoda curenţilor ciclici se scrie icircn mod similar ca pentru reţelele de curent continuu Astfel sistemul de ecuaţii (L1016) se scrie

oo ]E[]I[]Z[ (L1020)

icircn care o]I[ este matricea coloană cu o termeni a curenţilor ciclici din ochiurile

fundamentale ale reţelei Matricea pătrată de ordinul o a impedanţelor oo]Z[ se

determină cu relaţia t

llll oooo ]B[]Z[]B[]Z[ (L1021)

icircn care matricea ll]Z[ este matricea pătrată şi simetrică de ordinul l a impedanţelor complexe proprii şi mutuale avacircnd pe diagonală impedanţele proprii ale laturilor şi icircnafara diagonalei impedanţele complexe mutuale dintre laturile reţelei Matricea coloană cu o termeni din membrul drept a ecuaţiei (320) se determină cu aceeaşi relaţie ca icircn cazul teoremelor lui Kirchhoff

ii E]B[E oo ll (L1022) Curenţii reali din laturile reţelei se determină cu relaţia

oto ]E[]Z[]B[]I[]B[]I[

lll (L1023)

[m] mI

Fig L103

[j] jI

[m] mI

[j] jI

- 194 -

2 MODUL DE LUCRU Icircn cadrul lucrării de laborator se determină curenţii dintr-o rețea electrică liniară

funcționacircnd icircn regim permanent sinusoidal prin două metode metoda bazată pe aplicarea teoremelor lui Kirchhoff și metoda curenților ciclici

21 Schema electrică a rețelei Schema electrică a rețelei icircn complex este prezentată icircn figura L104

Se dau valorile complexe ale tem ale surselor de tensiune rezistențele rezistoarelor reactanțele proprii și de cuplaj magnetic ale bobinelor și reactanțele condensatoarelor

V)10j45(EV)25j30(EV)45j50(EV100jEV100E 54321

10RR10RRR 54321

C110LLLLLLL

5425432211

22 Calculul curenților din laturile rețelei

Metoda directă Se scriu sistemele de ecuații icircn complex pentru determinarea curenților

utilizacircnd teoremele lui Kirchhoff și apoi metoda curenților ciclici respectacircnd notațiile și sensurile stabilite pe schema rețelei din figura L104 Rezolvarea sistemelor de ecuații pentru determinarea curenților complecși poate fi efectuată uşor pe calculator utilizacircnd un program de calcul matematic aşa cum sunt de exemplu programele MATCAD sau MATLAB Se determină icircn final valorile efective ale curenților din laturile rețelei

)Cj(1 4 )Cj(1 5

jL1 jL2

R1 R2 R3

E1 E2 E3

)Cj(1 2

I1 I2 I3

I4 I5 R4 R5

[1] [2]

Fig L104

- 195 -

Metoda matricială Programul de calcul se simplifică mult dacă se scriu icircn forma matricială ecuaţiile

reţelei Se introduc icircn program datele și apoi se construiesc matricele prezentate mai jos Matricea de incidenţă redusă laturi-noduri [A] are o singură linie corespun-

zătoare unuia din cele două noduri și cinci coloane corespunzătoare laturilor rețelei De exemplu luacircnd icircn considerare nodul (1) avem

]00111[A

Matricea de incidenţă redusă laturi-ochiuri [B] are 4 linii şi 5 coloane

010000011000101

Matricea impedanțelor complexe proprii și mutuale este

)Cj(1LjR00Mj0

0)Cj(1LjR00Mj

Mj00)Cj(1LjLjRMj

0Mj0MjLjLjR

25211112

1412111

Matricea tem din laturile rețelei (transpusa) este

54321 EEEEEE

Odată introduse aceste date ecuațiile matriceale pentru determinarea curenților se scriu ușor De exemplu icircn MATLAB relațiile de calcul sunt

Teoremele lui Kirchhoff

S)Zk(invIk]Eprim0[S]ZkA[KEBEprimZBZk Ik ndash curenții calculați cu teoremele lui Kirchhoff

Metoda curenților ciclici

IprimBIcEprim)Zc(invIprimBZBZc Ic ndash curenții calculați prin metoda curenților ciclici Evident curenții calculați prin orice metodă trebuie să aibă aceleași valori Rezultatele obținute vor fi verificate și prin modelarea și simularea schemei

rețelei electrice pe calculator Referatul la lucrare trebuie să conțină ecuațiile scrise direct prin aplicarea celor

două metode Se atașează listingul programului realizat pentru calculul curenților cu rezultatele obținute

- 196 -

Lucr area nr 11

STUDIUL CUADRIPOLULUI LINIAR PASIV IcircN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

1 NOŢIUNI TEORETICE Cuadripolul este o reţea electrică complexă cu patru borne de legătură cu

exteriorul Dacă legăturile exterioare se fac la perechi de borne numite porţi icircn aşa fel icircncacirct curentul care intră prin una din bornele unei porţi să iasă prin a doua bornă cuadripolul se numeşte cuadripol diport (fig L111)

Interacţiunea cuadripolului diport cu exteriorul icircn regim permanent sinusoidal este complet caracterizată de patru variabile tensiunea de intrare sau primară U1 curentul de intrare sau primar I1 tensiunea de ieşire sau secundară U2 şi curentul de ieşire sau secundar I2 Dacă se consideră cuadripolul liniar pasiv (constituit exclusiv din elemente pasive liniare rezistoare bobine şi condensatoare) icircn regim permanent sinusoidal cu bornele de intrare (1) ndash (1) şi bornele de ieşire (2) ndash (2) o demonstraţie similară ca icircn cazul cuadripolului liniar pasiv icircn curent continuu arată că mărimile de intrare U1 I1 pot fi exprimate icircn funcţie de mărimile de ieşire U2 I2 prin ecuaţii liniare şi omogene de forma

2222211

2122111

IAUAIIAUAU

(L111)

Ecuaţiile (L111) reprezintă prima formă fundamentală a ecuaţiilor cuadripo-lilor liniari pasivi icircn care coeficienţii A11 A12 A21 şi A22 sunt mărimi complexe şi se numesc parametri fundamentali sau parametrii de transfer ai cuadripolului

La o frecvenţă invariabilă a tensiunii de alimentare parametrii cuadripolului sunt constante şi din acest motiv se mai numesc şi constantele cuadripolului

Parametrii A11 şi A22 sunt adimensionali A12 este o impedanţă şi A21 este o admitanţă cu următoarele interpretări

CUADRIPOL DIPORT

(1) (2)

Fig L111

- 197 -

A11 A22 ndash A12 A21 = 1

ndash impedanţa de transfer la funcţionarea icircn scurtcircuit

ndash admitanţa de transfer la funcţionarea icircn gol

ndash raportul de transformare al curenţilor la funcţionarea icircn scurtcircuit

Icircntre parametrii fundamentali ai cuadripolului liniar pasiv există relaţia

(L112) numită condiţia de reciprocitate şi cuadripolul se numeşte reciproc deoarece cu această condiţie teorema reciprocităţii din studiul reţelelor electrice liniare este verificată icircn raport cu oricare pereche de laturi ale cuadripolului conectate la bornele de acces sau altfel spus conectacircnd la bornele de intrare generatorul de tem E curentul I2sc care se obţine scurtcircuitacircnd bornele de ieşire este egal cu curentul

sc1I care se stabileşte conectacircnd la ieşire acelaşi generator E şi scurtcircuitacircnd bornele de intrare

A doua formă fundamentală a ecuaţiilor cuadripolilor exprimă mărimile de la ieşire U2 şi I2 icircn funcţie de cele de la intrare U1 şi I1 Astfel pentru cuadripolul reciproc din sistemul de ecuaţii (L111) se obţine

1111212

1121222

IAUAIIAUAU

(L113)

Icircn cazul alimentarii inverse a cuadripolului pe la bornele (2) ndash (2) icircn ecuaţiile (L113) se schimbă sensul de referinţă al curenţilor 2211 IIII şi a doua formă fundamentală a ecuaţiilor este

1111212

1121222

IAUAIIAUAU

(L114)

Explicitacircnd tensiunile U1 şi U2 din ecuaţiile fundamentale (L111) icircn raport cu curenţii I1 şi I2 se obţin ecuaţiile icircn impedanţe ale cuadripolului liniar pasiv icircn regim sinusoidal

2221212

2121111

IZIZUIZIZU

(L115)

icircn care Zjk sunt parametrii impedanţă ai cuadripolului cu următoarea semnificaţie

ndash impedanţa de intrare la funcţionarea icircn gol

ndash impedanţa de transfer la funcţionarea icircn gol

- 198 -

IFUFIsau

UHIHIUHIHU

2221212

2121111

2221212

2121111

Condiţia de reciprocitate devine 2112 ZZ (L116)

Dacă se explicitează curenţii I1 şi I2 funcţie de tensiunile U1 şi U2 din ecuaţiile fundamentale (dacă A12 0) se obţin ecuaţiile icircn admitanţe ale cuadripolului

2221212

2121111

UYUYIUYUYI

(L117)

icircn care Yjk sunt parametrii admitanţă ai cuadripolului cu următoarea semnificaţie

ndash admitanţa de intrare la funcţionarea icircn scurtcircuit

ndash admitanţa de transfer la funcţionarea icircn scurtcircuit

Condiţia de reciprocitate se scrie

(L118)

Se utilizează uneori şi ecuaţiile hibride ale cudripolilor de forma

(L119)

Parametrii Hjk şi Fjk sunt denumiţi parametri hibrizi Indiferent de forma de scriere a sistemului de ecuaţii parametrii cuadripolului diport se pot determina prin icircncercări la gol şi la scurtcircuit Anularea curentului la o poartă se realizează prin icircntreruperea circuitului funcţionarea icircn aceste condiţii se numeşte la gol Anularea tensiunii la o poartă se realizează prin legarea bornelor icircn scurtcircuit iar funcţiona-rea icircn aceste condiţii se numeşte la scurtcircuit

2 MODUL DE LUCRU 21 Determinarea parametrilor fundamentali ai cuadripolului Icircn cadrul acestei lucrări de laborator se determină experimental parametrii

fundamentali (de transfer) ai unui cuadripol liniar pasiv cu schema echivalentă icircn T prezentată icircn figura L112

Alimentarea cuadripolului se face pe racircnd pe la bornele primare (1) ndash (1) şi pe la bornele secundare (2) ndash (2)

Cuadripolul fiind liniar şi pasiv este reciproc şi parametrii fundamentali satisfac condiţia de reciprocitate (L112) Pentru determinarea parametrilor fundamentali A11 A12 A21 şi A22 sunt necesare numai trei icircncercări experimentale fie două icircncercări la gol şi una la scurtcircuit fie o icircncercare la gol şi două la scurtcircuit

2112 YY

- 199 -

Icircncercarea icircn gol cu alimentare pe la bornele primare Bornele secundare fiind icircn gol I2 = 0 se notează U1 = U10 I1 = I10 U2 = U20 şi din sistemul de ecuaţii (L111) rezultă

1010e A

AIUZ (L1110)

numită impedanţa complexă echivalentă de intrare la funcţionarea icircn gol Icircncercarea la scurtcircuit cu alimentare pe la bornele primare Bornele

secundare (2) ndash (2) sunt scurtcircuitate şi deci U2 = 0 Se notează U1 = U1sc I1 = I1sc I2 = I2sc şi din sistemul (L111) rezultă

sc1sc1e A

AIUZ (L1111)

numită impedanţa complexă echivalentă de intrare la funcţionarea icircn scurtcircuit

Icircncercarea icircn gol cu alimentare pe la bornele secundare Se lasă bornele primare icircn gol I1 = 0 şi se aplică tensiune de la sursa de alimentare la bornele secundare (2) ndash (2) Se notează astfel U1 =

10U U2 = 20U şi I2 =

20I Din sistemul de ecuaţii (L114) pentru 0I

1 rezultă impedanţa complexă echivalentă

20e AA

Z (L1112)

Impedanţele Ze10 Ze1sc şi Ze20 sunt complexe şi pentru determinarea argumen-tului acestora se utilizează un fazmetru (cos - metru)

Rezolvacircnd sistemul format de ecuaţiile (L1110) (L1111) (L1112) obţinute din icircncercările la gol şi scurtcircuit la care se adaugă condiţia de reciprocitate (L112) se obţin următoarele expresii pentru parametrii fundamentali ai cuadripolului

sc1e10e

sc1e10e20e21

sc1e10e

sc1e10e20e

(L1113)

Icircntre parametrii fundamentali şi parametrii schemei cuadripolului icircn T se pot stabili relaţiile

YZ1AYAYZZZZAYZ1A 22221212112111 (L1114)

Pentru schema cuadripolului din figura L112 impedanţele longitudinale Z1 Z2 şi admitanţa transversală Y sunt respectiv

R1YRZLjRZ 32111 (L1115)

Fig L112

~ 220V

R1 L1 R2

R3 A2 V2

- 200 -

22 Studiul regimului de funţionre icircn sarcină a cuadripolului Se consideră cuadripolul conectat la un rezistor de sarcină Rs ca icircn figura L113 Dacă regimul normal de icircncărcare a unui cuadripol este caracterizat de tensiunea

U2 şi curentul de sarcină I2 se pune problema să obţinem acest regim prin suprapunerea a două regimuri de funcţionare diferite de cel normal şi anume un regim de funcţionare la gol şi unul la scurtcircuit

La icircncercarea icircn gol se alimentează cu tensiune variabilă pe la bornele (1) ndash (1) şi se determină valorile tensiunii U10 curentului I10 şi cos10 pentru care U20 = U2 = URs I2 = 0 Icircn acest caz ecuaţiile (L111) ale cuadripolului devin

UAIUAU

(L1116)

Icircn mod similar se efectuează icircncercarea la scurtcircuit şi se determină valorile tensiunii U1sc curentului I1sc şi cos1sc pentru care I2sc = I2 = IRs U2 = 0 Icircn acest caz ecuaţiile (L111) ale cuadripolului devin

222sc1

212sc1

IAIIAU

(L1117)

sc1101

IIIUUU

(L1118)

Se observă că regimul de funcţionare normală icircn sarcină a cuadripolului poate fi obţinut prin suprapunerea a două regimuri limită de funcţionare şi anume unul de mers icircn gol şi altul de scurtcircuit Icircn practică este foarte important acest lucru deoarece o mare parte din circuitele proiectate pentru alimentarea consumatorilor (reţele electrice transformatoare) nu pot fi icircncărcate la sarcina nominală ci se icircncearcă la gol şi la scurtcircuit urmacircnd ca aplicarea suprapunerii efectelor să ducă la concluziile ce caracterizează regimul normal de lucru

Fig L113

R1 L1 R2

(2) Rs

- 201 -

Lucr area nr 12

STUDIUL CIRCUITELOR CU BOBINE LINIARE REALE CONECTATE IcircN SERIE ŞI IcircN PARALEL

1 DETERMINAREA PARAMETRILOR BOBINEI LINIARE REALE IcircN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL Se studiază bobinele de reactanţă liniare reale cu pierderi icircn conexiunile serie şi

paralel necuplate şi cuplate magnetic funcţionacircnd icircn regim permanent sinusoidal Orice bobină reală necuplată magnetic funcţionacircnd icircn regim permanent

sinusoidal la frecvenţe joase (industriale) prezintă pe lacircngă inductivitatea proprie şi o rezistenţă corespunzătoare rezistenţei ohmice a conductorului şi eventual pierderilor icircn miez presupus ca avacircnd caracteristica magnetică liniară Bobina reală se poate reprezenta icircn aceste condiţii printr-o schemă echivalentă cu elemente de circuit ideale (rezistor ideal şi bobină ideală) conectate icircn serie (fig L121a) sau icircn paralel (fig L121b) Parametrii acestor scheme echivalente sunt respectiv

a) impedanţa complexă

jXRZeIUZ j ( L121)

unde X este reactanţa inductivă X = XL= L b) admitanţa complexă

Z1jBGYe

UIY j ( L122)

unde G este conductanţa şi B susceptanţa inductivă B = BL = )L(1

Cele două scheme echivalente din figura L121a) şi b) caracterizacircnd aceeaşi bobină reală conservă puterile activă P şi reactivă Q şi deci şi unghiul de defazaj

RXtan ( L123)

Cunoscacircnd impedanţa complexă Z şi admitanţa complexă Y se pot determina tensiunile curenţii puterile efective complexe şi factorul de putere cos astfel

- pentru schema echivalentă serie (fig L121a)

SPcosQPSXIQRIPXRZ

jXIRIIZIUjQPSeSIjXIRIZU222222

( L124)

FigL121

Z U Lj1

- 202 -

- pentru schema echivalentă derivaţie (fig L121b)

SPcQPSBUQGUPBGY

jBUGUUYjQPSeIUSIIUjBUGUYI222222

222jLG

( L125)

Parametrii şi mărimile ce caracterizează bobinele reale funcţionacircnd icircn regim permanent sinusoidal se pot reprezenta fazorial icircn complex simplificat Pentru schema echivalentă serie (fig L121a) impedanţa complexă Z tensiunea complexă U şi puterea complexă S se reprezintă prin diagrame fazoriale de aceeaşi formă (fig L122) dacă se alege curentul I origine de fază Analog pentru schema echivalentă derivaţie (fig L121b) diagramele fazoriale ale admitanţei complexe Y curentului total I şi puterii complexe S au aceeaşi formă dacă se alege tensiunea U origine de fază (fig L123)

Icircn circuitele electrice liniare funcţionacircnd icircn regim permanent sinusoidal intervin bobine reale grupate icircn serie paralel sau mixt cu sau fără cuplaje magnetice Icircn scopul simplificării analizei acestor circuite bobinele astfel grupate se pot substitui printr-o bobină echivalentă Aceasta presupune icircnsă determinarea parametrilor fiecărei bobine Icircn continuare se consideră două bobine a căror parametri se propune a fi determinaţi pe cale experimentală utilizacircnd schema electrică din figura L124

Cele două bobine caracterizate prin impedanţele Z1 şi Z2 se conectează succesiv icircn montajul din figura L124 măsuracircnd pentru fiecare tensiunea curentul şi puterea activă Rezultatele măsurătorilor şi determinărilor prin calcul se trec icircn tabelul L121

Tabelul L121

U I P S = UI

cos = PS

Z = UI

R = Zcos

X = Zsin

Y = IU

G = Xcos

B = Xsin

P = RI2

P = GU2

Q = XI2

Q = BU2 Nr

crt[V] [A] [W] [VA] [] [] [] [S] [S] [S] [W] [W] [VAR] [VAR]

Fig L122

P = RI2

jQ = jXI2

ndashjQ = ndashjBU2

0 ndash

ndashjB

ndashj

0 ndash

P = GU2 +1

ndashj

Fig L123

Fig L124

~ 220V 50Hz

- 203 -

2 CONEXIUNEA IcircN SERIE A BOBINELOR

21 Conexiunea icircn serie a bobinelor necuplate magnetic Pentru determinarea experimentală a parametrilor schemei electrice echivalentă

conexiunii icircn serie a două bobine de impedanţe Z1 şi Z2 necuplate magnetic se utilizează montajul din figura L125

La gruparea icircn serie a două bobine de impedanţe complexe Z1 şi Z2 se obţine impedanţa complexă echivalentă de forma

jXR)XX(jRRjXRjXRZZZ 2121221121 ( L126)

XXRRZXXXRRR 221

2212121 ( L127)

Parametrii bobinei echivalente R X şi Z se pot determina fie prin calcul cunoscacircnd din tabelul L121 parametrii celor două bobine R1 X1 R2 X2 şi utilizacircnd rel ( L126) şi ( L127) fie prin măsurători efectuate cu ajutorul montajului din figura L125

Prin modificarea tensiunii aplicate circuitului cu ajutorul autotransformatorului ATR se obţin mai multe regimuri de funcţionare Rezultatele acestor măsurători precum şi a calculelor ce se efectuează se trec icircn tabelul L122

Tabelul L122

U I P S = UI

cos = PS

Z = UI

R = Zcos

X = Zsin

R = R1 + R2

X = X1 + X2

P = RI2 Q = XI2 Nr crt

[V] [A] [W] [VA] [] [] [] [] [] [W] [VAR] 1 2

Cunoscacircnd parametrii celor două bobine (R1 X1 R2 X2) conectate icircn serie se poate trasa diagrama fazorială a impedanţelor complexe (fig L126) icircn care toţi parametrii se trasează la aceeaşi scară kR (mm)

BEkZDEkXBDkROBkZABkXOAkR

R2R2R2

R1R1R1

Se obţin astfel grafic parametrii bobinei echivalente grupării icircn serie a celor două bobine

OEKZCEkXOCkR RRR care trebuie să coincidă cu cei determinaţi experi-mental (tabelul L122)

Fig L125

~ 220V 50Hz

R1 L1 R2 L2

Fig L126

jX2 Z2

- 204 -

22 Conexiunea icircn serie a bobinelor cuplate magnetic

Pentru obţinerea parametrilor circuitului echivalent grupării icircn serie a două bobine de reactanţă cuplate prin inducţie mutuală funcţionacircnd icircn regim permanent sinusoidal nu se mai poate recurge la gruparea impedanţelor sau admitanţelor complexe cum s-a procedat icircn lipsa cuplajelor magnetice ci e necesar să se aplice teoremele lui Kirchhoff care conduc la scheme electrice echivalente fără cuplaje magnetice precum şi la obţinerea diagramelor fazoriale de tensiuni Se pot obţine de asemenea şi expresiile puterilor electrice (P Q S)

La gruparea icircn serie a două bobine cuplate prin inductanţă mutuală M (cuplaj adiţional M gt 0 fig L127a) şi cuplaj diferenţial M lt 0 fig L127b) aplicacircnd teorema de tensiuni a lui Kirchhoff se obţine sistemul de ecuaţii

IMjILjIRUIMjILjIRU

111 ( L128)

din care rezultă parametrii bobinei echivalente (fără cuplaje magnetice fig L127c )

LjRIM2LLjIRRUUU 212121 ( L129)

Inductivitatea echivalentă L a grupării icircn serie a celor două bobine cuplate magnetic pentru cuplaj adiţional şi respectiv diferenţial este

0M2LLL 21a ( L1210)

0M2LLL 21d ( L1211)

Din aceste relaţii rezultă expresia analitică a inductivităţii mutuale da LL

41M ( L1212)

Pentru a caracteriza cuplajul magnetic a două bobine se utilizează coeficientul de cuplaj magnetic k definit cu relaţia

Mk ( L1213)

Parametrii bobinei echivalente (fig L127c) grupării icircn serie a două bobine cuplate magnetic sunt totdeauna R şi L (o rezistenţă şi o inductivitate echivalentă rel ( L129)) Trasacircnd diagramele fazoriale de tensiuni (rel L128 şi L129) pentru cuplaj aditiv (fig L128a) şi cuplaj diferenţial (fig L128b) se pot pune icircn evidenţă defazajele )IU()IU()IU( 2211 şi deci comportarea fiecărei bobine icircn parte (s-a exemplificat cazul unui cuplaj magnetic stracircns icircn care 21 LML )

Fig L127

U a) b)

I U2 U1

L1 L2 R1 R2

- 205 -

Din diagramele fazoriale prezentate rezultă că tensiunea U este defazată totdea-una icircnaintea curentului I cele două bobine grupate icircn serie cuplate magnetic se pot substitui cu o bobină echivalentă (fig L127c) Pentru cuplajul diferenţial (fig 67b) şi pentru coeficienţi de cuplaj mari una din tensiuni (U1 fig L128b) poate fi defazată icircn urma curentului I deci această bobină se comportă icircn gruparea serie capacitiv Din relaţiile ( L128) se pot determina şi puterile aparente complexe cu componentele lor puterile reactive şi active de forma

111122

111 Q0PjQPMIjILjIRIUS gtlt 0

222222

jQPLIjRIIUS 22 0IRRPPP0M2LLQ 2

21 ( L1214)

Din bilanţul de puteri şi din diagrama fazorială din fig L128b) rezultă că pentru un cuplaj diferenţial (cuplaj magnetic stracircns) există posibilitatea unui transfer de putere reactivă prin cuplaj de la o bobină (pe care tensiunea este defazată icircn urma curentului lt 0) la cealaltă puterea activă icircnsă nu se transferă prin cuplaj magnetic Funcţionarea bobinelor de reactanţă grupate icircn serie şi cuplate magnetic icircn regim permanent sinusoidal se pune icircn evidenţă cu un montaj realizat după aceeaşi schema electrică prezentată icircn figura L125 apropiind icircnsă de astă dată bobinele pentru a se realiza cuplajul magnetic adiţional sau diferenţial Modificarea tipului de cuplaj magnetic din adiţional icircn diferenţial sau invers se realizează prin inversarea bornelor la una din cele două bobine Indicaţiile aparatelor de măsură se trec icircn tabelul L123 şi se calculează mărimile indicate

Tabelul L123

U I P S = UI

cos = PS

(a d) R =

R1+R2 X =

Rtg Xm k =

21m XXX P = RI2

Q = XI2 Nr

crt [V] [A] [W] [VA] [] [] [] [W] [VAR]

1 Xa =

2 Xd =

1 ndash cuplaj adiţional 2 ndash cuplaj diferenţial

Fig L128

jMI R2I

I a) b)

- 206 -

Rezistenţele R1 şi R2 precum şi reactanţele proprii X1 = L1 X2 = L2 fiind cunoscute (tabelul L121) se determină reactanţa mutuală Xm = M Astfel pentru o poziţie a celor două bobine cuplate magnetic se efectuează icircncercări experimentale pentru cuplajul adiţional (M gt 0) şi apoi pentru cuplajul diferenţial (M lt 0) obţinut prin schimbarea sensului curentului icircn una din bobine şi se calculează reactanţele echivalente corespunzătoare Xa respectiv Xd Reactanţa mutuală Xm se calculează cu relaţia ( L1212) multiplicată cu

)XX(41X dam ( L1215)

Cunoscacircnd Xm = M cu datele din tabelul L123 se pot trasa pentru diferite regimuri de funcţionare diagrame fazoriale de forma celor din figura L128

3 CONEXIUNEA IcircN PARALEL A BOBINELOR

31 Conexiunea icircn paralel a bobinelor necuplate magnetic La conectarea icircn paralel a bobinelor de reactanţă necuplate magnetic şi caracterizate de cele două admitanţe Y1(G1 B1) şi Y2(G2 B2) (tabelul L121) se parcurg aceleaşi etape ca la gruparea lor icircn serie şi anume cu ajutorul montajului din figura L129 menţinacircnd bobinele la o distanţă suficient de mare pentru a evita cuplajul magnetic dintre ele se măsoară tensiunea curentul şi puterea activă şi se trec valorile acestora icircn tabelul L124 Se determină prin calcul parametrii bobinei echivalente grupării icircn paralel a celor două bobine

Tabelul L124

Nr crt U I P S =

Q = = BU2

= 22 QP [V] [A] [W] [VA] [S] [S] [S] [S] [S] [W] [VAR] [VA]

Parametrii bobinei echivalente grupării icircn paralel a celor două bobine se pot determina şi analitic ţinacircnd seama de gruparea icircn paralel a impedanţelor complexe corespunzătoare celor două bobine 2211 Y1ZY1Z

Fig L129

~ 220V 50Hz

- 207 -

jBGjBGjBGYYY 221121 ( L1216)

2212121 BBGGYBBBGGG ( L1217)

Diagrama fazorială a admitanţelor complexe Y1 Y2 corespunzătoare celor două bobine cuplate icircn paralel (rel L1216 L1217) se trasează cunoscacircnd parametrii fiecărei bobine (tabelul L121) şi rezultă de forma celei prezentate icircn fig L1210 Icircn diagramă toţi parametrii se trasează la aceeaşi scară ks ( Smm )

CEkYDEkBCDkG

OCkYACkBOAkG

s2s2s2

s1s1s1

( L1218)

Parametrii bobinei echivalente grupării icircn paralel (rel L1217) rezultă din diagrama fazorială (fig L1210) cacirct şi analitic din tabelul L124

FEkBOFkGOEkY SSS ( L1219)

32 Conexiunea icircn paralel a bobinelor cuplate magnetic Se consideră două bobine conectate icircn paralel şi cuplate magnetic prin inductanţă mutuală ca icircn figura L1211

Funcţionarea icircn regim permanent sinusoidal se poate studia şi icircn acest caz analitic şi experimental Se aplică circuitelor din fig L1211 a) şi b) teoremele lui Kirchhoff şi se obţine

221m12222

2m1121111

IZIZIMjILjIRUIZIZIMjILjIRU

( L1220)

icircn care inductivitatea mutuală M este pozitivă pentru cuplaj adiţional (M gt0 fig L1211 a) şi negativă pentru cuplajul diferenţial (Mlt0 fig L1211 b) Curenţii I1 I2 şi I rezultă de forma

eIUZZZ

ZZIeIUZZZ

ZZI 21 j22

Fig L1210

Fig L1211

- 208 -

j1 2 m1 2 2

Z Z 2ZUI I I U IeZ Z Z Z

( L1221)

iar impedanţa Z a bobinei echivalente bobinelor conectate icircn paralel (fig L1211c) este

Z2ZZZZZjXRLjRZ

( L1222)

Icircn cazul cacircnd se pot neglija rezistenţele se obţine

M2LLMLLL0R

( L1223)

Relaţiile ( L1220) şi ( L1221) permit trasarea diagramelor fazoriale de tensiuni şi curenţi (fig L1212) Este necesar icircnsă să se traseze mai icircntacirci diagrama fazorială a curenţilor (rel L1221) cunoscacircnd parametrii bobinelor grupate icircn paralel sau determinacircnd curenţii experimental cu ajutorul montajului realizat după schema din figura L1213

Consideracircnd tensiunea UU origine de fază fazele iniţiale ale curenţilor sunt iii γγγ 21 21 ( L1224)

Defazajele şi 21 se pot determina din relația ( L1221) sau experimental (din tabelul L125)

Şi pentru gruparea icircn paralel a bobinelor cuplate magnetic se poate determina bilanţul de puteri utilizacircnd rel ( L1220) care pune icircn evidenţă şi transferul puterilor active şi reactive de la o bobină la alta prin cuplajul magnetic

jQPγγcosIMIILjγγsinIMIIRIUS

222122221

112121121

iiii (

L1225) Se notează cu 1221 γγ ii unghiul dintre curenţii I1 şi I2 şi rezultă

cosIMI2ILILQQQ

IRIRPPPjQPSSIUS

( L1226)

Aceste puteri electrice se pot determina experimental cu ajutorul montajului prezentat icircn figura L1213 precum şi analitic cunoscacircnd icircn prealabil reactanţa mutuală

Fig L1213

~ 220V 50Hz

+1 -2 I2

R2I2 I1

Fig L1212

- 209 -

Xm = M din tabelul L124 cacirct şi parametrii proprii ai celor două bobine (R1 R2 X1 X2 din tabelul L121) Pentru diferite regimuri de funcţionare obţinute prin reglarea autotransformatorului ATR se măsoară tensiunea curenţii şi puterile totală şi de pe cele două bobine şi valorile acestor mărimi se trec icircn tabelul L125

La conectarea icircn paralel a bobinelor de reactanţă cuplate magnetic diagrama fazorială se trasează dacă se cunosc parametrii celor două bobine (R1 R2 X1 X2 şi Xm) valorile efective ale curenţilor I1 şi I2 precum şi fazele iniţiale ale acestora Impunacircnd tensiunea U origine de fază rezultă aceste faze iniţiale din rel ( L1221)

Tabelul L125

U I P S = UI

cos = PS I1 P1

S1 = UI1

cos1= P1S1

I2 P2 S2 = UI2

cos2 =

P1 = 211IR

P2 = 222 IR

P = P1+P2

Nr crt

[V] [A] [W] [VA] [A] [W] [VA] [A] [W] [VA] [W] [W] [W]

Ţinacircnd seama de relaţiile (36) pentru bobine reale cuplate magnetic se pot face următoarele observaţii privind defazajele curenţilor I1 şi I2 icircn raport cu tensiunea U

a) curentul total I este defazat totdeauna icircn urma tensiunii U (defazaj inductiv ind) fazorul I fiind situat icircn cadranul IV (fig L1212)

b) icircn funcţie de parametrii bobinelor (R1 R2 X1 X2) şi mărimea Xm curenţii prin bobine I1 I2 pot fi ambii defazaţi icircn urma tensiunii U sau numai unul dintre ei poate fi defazat icircnaintea tensiunii (defazaj capacitiv cap)

CONCLUZII 1 Studiul analitic şi experimental pune icircn evidenţă funcţionarea bobinelor reale

icircn regim permanent sinusoidal atunci cacircnd acestea prezintă sau nu cuplaje magnetice

2 Metodele experimentale prezentate simple şi eficiente permit determinarea cu aproximaţie bună a parametrilor bobinei

3 Din rezultatele experimentale obţinute se pot trasa de asemenea pentru fiecare caz icircn parte studiat diagrame fazoriale de tensiuni şi curenţi şi se pot efectua bilanţuri de puteri

4 S-au pus icircn evidenţă pentru fiecare caz icircn parte defazajele dintre curenţi şi tensiuni modul cum se comportă bobinele cu şi fără cuplaje conectate icircn serie şi icircn paralel

5 La bobinele cuplate prin inductanţă mutuală se pune icircn evidenţă transferul puterilor active şi reactive de la o bobină la alta prin cuplaj magnetic De exemplu de pe diagrama fazorială (fig L1212) se observă că bobina 2 transferă putere activă bobinei 1 icircnsă ambele absorb putere reactivă ( 1 1 2 2P 0 Q 0 P 0 Q 0 ) icircn grupul celor 4 puteri numai cacircte una singură poate fi negativă

- 210 -

Lucr area nr 13

SUDIUL REZONANŢEI IcircN CICRCUITELE CU BOBINA NELINIARĂ FENOMENUL DE FEROREZONANŢĂ

1 NOŢIUNI TEORETICE Icircn circuitele electrice care conţin bobine neliniare (cu miez de fier) şi

condensatoare se constată fenomene de rezonanţă specifice diferite de cele din circuitele cu elemente liniare

Dacă se conectează o bobină cu miez de fier icircn serie cu un condensator liniar şi se variază tensiuniea aplicată la bornele circuitului se ajunge ndash datorită dependenţei neliniare dintre tensiune şi curent ndash ca la o anumită valoare a tensiunii aplicate circuitului tensiunile la bornele bobinei şi condensatorului să aibă valori efective egale şi icircn opoziţie de fază

Icircn circuitele liniare la valori date ale inductivităţii şi capacităţii condensatorului acest fenomen constituie rezonanţa de tensiuni care se obţine exclusiv prin variaţia frecvenţei

Icircn circuitele neliniare cu bobină şi condensator icircn serie fenomenul de rezonanţă denumit ferorezonanţă serie intervine la o frecvenţă dată exclusiv prin variaţia tensiunii aplicate Circuitul se numeşte ferorezonant

Dacă se conectează o bobină cu miez de fier icircn paralel cu un condensator şi se variază intensitatea curentului se ajunge ca la o anumită valoare a curentului la bornele circuitului curenţii prin bobină şi condensator să aibă valori efective egale şi icircn opoziţie de fază fenomen numit ferorezonanţă paralel Circuitul se numeşte antiferorezonant

11 Ferorezonanţa circuitului serie Se consideră circuitul serie din figura L131 care conţine o

bobină neliniară L (cu miez de fier) şi un condensator C presupus liniar alimentat de la o sursă de tensiune sinusoidală

Deşi bobina este neliniară pentru excitaţie sinusoidală tsinU)t(u 2 tensiunile la bornele elementelor de circuit vor

fi tot sinusoidale şi ecuaţia de tensiuni a circuitului se poate scrie icircn complex simplificat iar caracteristica tensiune ndash curent rezultantă U(I) icircn valori efective se obţine prin icircnsumarea ten-siunilor icircn opoziţie de fază ale bobinei UL şi condensatorului UC

UU UUUU CLCL (L131)

Dacă se neglijează pierderile icircn fier şi rezistenţa bobinei caracteristica tensiunendashcurent (voltndashamper) UL(I) a acesteia are forma curbei de magnetizare = ( i) şi este reprezentată icircn figura L132 Caracteristica tensiunendashcurent a condensatorului UC(I) este o dreaptă trasată icircn cadranul IV deoarece tensiunile uL şi uC sunt icircn opoziţie de fază

Fig L131

- 211 -

I1 3I IR

Fig L132

Dacă panta caracteristicii UC(I) este icircn valoare absolută mai mică decacirct panta tangentei icircn origine (t) la curba UL(I) caracteristica tensiune ndash curent a circui-tului U(I) = UL(I) ndash UC(I) prezintă o concavitate icircn cadranul I intersectează axa absciselor icircn punctul MR şi are icircn cadranul IV aproximativ forma unei drepte

Pentru a urmări mai uşor raţiona-mentul s-a trasat icircn cadranul I ramura din cadranul IV a curbei U(I) Dacă panta carac-teristicii UC(I) este mai mare decacirct panta tangentei icircn origine la curba UL(I) nu apare fenomenul de ferorezonanţă Dacircnd valori crescătoare tensiunii aplicate punctul de funcţionare M se deplasează pe ramura OM1 a caracteristicii )I(UU Pe această ramură la valori crescătoare sau descres-cătoare ale tensiunii U corespund valori crescătoare sau descrescătoare ale curentului I adică pe această ramură funcţionarea este stabilă La o creştere pozitivă a tensiunii U punctul de funcţionare trece din poziţia M1 căruia icirci corespunde curentul I1 icircn poziţia

1M căruia icirci corespunde curentul

1I (propriu-zis punctul de funcţionare trece din M1 icircn 1M pe

ramura curbei U(I) din cadranul IV dar pentru uşurinţa urmăririi pe diagramă se va utiliza ramura curbei din cadranul I) Icircn punctul M1 curentul este discontinuu deoarece la o creştere infinit mică a tensiunii aplicate U corespunde o creştere finită a curentului 1

1 II Totodată are loc o răsturnare de fază icircn punctul M1 curentul este

inductiv deoarece predomină reactanţa inductivă iar icircn punctul 1M curentul este

capacitiv şi predomină reactanţa capacitivă Conti-nuacircnd cu creşterea tensiunii aplicate punctul de funcţionare se deplasează pe ramura 2

1MM tensiunea fiind defazată icircn urma

curentului Dacă din punctul M2 se reduce tensiunea curentul descreşte şi se ajunge icircn punctul MR icircn care tensiunea e nulă curentul nu este nul avacircnd intensitatea IR Acest punct icircn care tensiunile la bornele bobinei şi condensatorului sunt egale şi icircn opoziţie de fază şi deci 0UU CL iar curentul este finit se numeşte de rezonanţă

Pe ramura 21MM la valori crescătoare sau descrescătoare ale tensiunii aplicate

corespund valori crescătoare respectiv descrescătoare ale curentului prin urmare pe această ramură funcţionarea este stabilă

Pe ramura R1MM funcţionarea este instabilă deoarece la valori crescătoare sau descrescătoare ale tensiunii corespund valori descrescătoare respectiv crescătoare ale curentului Pe ramura R

1MM pentru valori ale tensiunii aplicate cuprinse icircntre 0 şi U1

curenţii pot avea trei valori de exemplu pentru 2UU sunt posibile trei intensităţi ale

- 212 -

curenţilor 333 Işi II din care prima şi ultima corespund unei funcţionări stabile

respectiv cvasistabile Urmează că punctul de funcţionare nu parcurge ramura R1MM nici la creşterea şi nici la reducerea tensiunii aplicate

Icircn realitate rezistenţa icircnfăşurării bobinei şi pierderile icircn fier nu sunt nule acestea putacircnd fi echivalate printr-o rezistenţă R icircnseriată cu bobina neliniară şi cu condensatorul presupus liniar (fig L133a) Icircn acest caz caracteristica circuitului ferorezonant se modifică ca icircn figura L133b (s-a trasat cu linie icircntreruptă caracteristica circuitului fără pierderi)

Dacă se conectează icircn serie cu bobina o rezistenţă mare se poate obţine ca punctul de funcţionare să se deplaseze continuu pe icircntreaga caracteristică U(I)

12 Ferorezonanţa circuitului paralel Se conectează bobina cu miez de fier icircn paralel cu condensatorul liniar de

capacitate C şi se injectează un curent sinusoidal tsinI)t( 2 i (fig L134a) Tensiunea u la bornele bobinei şi condensatorului este nesinusoidală datorită

nelinia-rităţii bobinei şi se icircnlocuieşte cu o tensiune echivalentă sinusoidală Notacircnd cu iL şi iC curenţii prin bobină şi prin condensator curentul prin circuit va fi

i = iL + iC (L132)

Se alege capacitatea condensatorului astfel icircncacirct panta caracteristicii curent ndash tensiune IC(U) a condensatorului să fie mai mare decacirct panta icircn origine icircn valoare

Fig L134

U1 U3 3U

Fig L133

)I(UR minU

RI I 1I

- 213 -

absolută a caracteristicii curent ndash tensiune IL(U) a bobinei Icircn acest caz caracteristica curent ndash tensiune a circuitului paralel I = I(U) are o concavitate icircn cadranul I intersectează axa absciselor icircn punctul MR şi are icircn cadranul IV aproximativ forma unei drepte (fig L134b)

Forma caracteristicii )U(II icircn planul (IU) pentru circuitul paralel este asemănă-toare cu forma caracteristicii )I(UU icircn planul (UI) pentru circuitul serie raţionamentul este acelaşi problemele fiind duale

Pentru a obţine reglarea continuă a intensităţii curentului absorbit se conectează icircn serie cu circuitul paralel un rezistor a cărui rezistenţă este mult mai mare decacirct impedanţa echivalentă a circuitului LC paralel

Icircn realitate pierderile icircn fier şi rezistenţa icircnfăşurării bobinei nu sunt nule şi se pot echivala printr-un rezistor de conductanţă G presupus liniar conectat icircn paralel cu bobina şi condensatorul ca icircn figura L135a) Caracteristica curent ndash tensiune )U(II are forma din figura L135b) fiind obţinută din icircnsumarea caracteristicii iniţiale (trasată cu linie icircntreruptă) cu cea a rezistorului paralel IG(U) presupusă liniară

Dacă se conectează circuitul paralel la o sursă cu rezistenţă interioară mică şi se variază tensiunea U se poate obţine ca punctul de funcţionare să se deplaseze continuu pe icircntreaga caracteristică

2 MODUL DE LUCRU

21 Ferorezonanţa serie

Se realizează un montaj pentru ferorezonanţa circuitului serie după schema electrică din figura L136

Cu rezistenţa R de valoare mare icircn circuitul de alimentare (sursă de curent) se reglează cu ajutorul autotransformatorului reglabil ATR tensiunea de alimentare şi se citesc curentul I tensiunea U la bornele circuitului LC serie şi tensiunile pe bobină UL şi

Fig L135

I1 IG(U)N3

Fig L136

220V ~

- 214 -

pe condensator UC Valorile acestora se trec icircn tabelul L131 şi se trasează prin puncte pe acelaşi grafic caracteristicile U(I) UL(I) şi UC(I) după datele trecute icircn tabel

Tabelul L131 I [A] U [V] UL [V] UC [V] Cu rezistenţa R scoasă din circuit se trasează caracteristica U(I) de tipul celei

din fig 14 icircn care se pun icircn evidenţă salturile de curent 22 Ferorezonaţa paralel Se realizează montajul pentru circuitul ferorezonant paralel după schema

electrică din figura L137

Cu rezistenţa R scoasă din circuit se măsoară curenţii I IL şi IC la variaţia

tensiunii de alimentare U Datele se trec icircn tabelul L132 Se trasează caracteristicile I(U) IL(U) şi IC(U)

Tabelul L132 U [V] I [A] IL [A] IC [A]

Cu rezistenţa R de valoare foarte mare (sursă de curent sinusoidal) se iau

datele şi se trasează caracteristica I(U) Se pun icircn evidenţă discontinuităţile tensiunii la bornele circuitului ferorezonant paralel

Fig L137

- 215 -

Lucr area nr 1 4

STUDIUL CIRCUITELOR TRIFAZATE SIMETRICE ŞI ECHILIBRATE IcircN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

1 NOŢIUNI TEORETICE 11 Sisteme trifazate simetrice de mărimi sinusoidale Circuitele electrice trifazate se utilizează pe scară largă icircn producerea

transportul şi distribuţia energiei electrice Cel mai simplu sistem trifazat conţine un generator de energie electrică trifazat

o linie electrică de transport cu trei conductoare principale (de fază) şi un receptor trifazat

Un circuit electric trifazat este un ansamblu de trei circuite monofazate cu legături conductoare icircntre ele parcurse de curenţi de aceeaşi frecvenţă defazaţi icircntre ei fiecare circuit monofazat component constituind o fază Sistemele de mărimi de aceeaşi natură (tensiuni curenţi tem etc) care există icircntr-un circuit trifazat se numesc sisteme trifazate Icircn această lucrare se consideră circuitele trifazate icircn care tensiunile şi curenţii sunt mărimi sinusoidale ce formează sisteme trifazate simetrice

Un sistem trifazat simetric de succesiune directă de mărimi sinusoidale (tensiuni de exemplu) este constituit din trei mărimi sinusoidale de aceeaşi frecvenţă avacircnd valori efective egale fiecare mărime fiind defazată icircn urma celei care icirci precede cu un unghi egal cu 32

34tsinU)t(3

2tsinU)t(

tsinU)t(

(L141)

Sistemul trifazat este de succesiune inversă dacă fiecare mărime (tensiune) este defazată icircn icircnaintea celei care icirci precede cu un unghi egal cu 32

34tsinU)t(3

2tsinU)t(

tsinU)t(

(L142)

Sistemele trifazate sinusoidale se pot reprezenta simbolic de exemplu icircn com-plex simplificat Utilizacircnd operatorul de rotaţie icircn complex cu unghiul 23 notat cu a

21ea 3

2j1232j

(L143)

- 216 -

fazorii complecşi ai sistemului trifazat simetric de succesiune directă (L141) se scriu

UaUUaUUeU 1312

1 (L144)

iar cei ai sistemului trifazat simetric de succesiune inversă (L142) sunt

1 UaUUaUeUU (L145)

Diagramele fazoriale corespunzătoare celor două tipuri de sisteme trifazate sunt prezentate icircn figura L141

Din expresiile analitice (L141) şi (L142) din reprezentările lor simbolice (L144) şi (L145) precum şi din diagramele de fazori din figL141 rezultă că totdeauna suma mărimilor sinusoidale ale unui sistem trifazat simetric este nulă

0UUU0 321321 uuu (L146)

Sistemele trifazate simetrice de tensiuni sinusoidale aplicate reţelelor electrice de alimentare sunt icircn mod normal de succesiune directă şi sunt produse de generatoarele trifazate din centralele electrice de diferite tipuri termoelectrice hidroelectrice nuclearo-electrice Principial un generator electric trifazat este o maşină electrică rotativă avacircnd trei icircnfăşurări dispuse simetric pe circumferinţa statorului icircn care cacircmpul magnetic produs de rotor induce trei tensiuni electromotoare ce formează un sistem trifazat simetric Un receptor trifazat şi o linie electrică trifazată de alimentare cu energie electrică se pot caracteriza cu ajutorul impedanţelor fazelor Icircn cazul icircn care atacirct receptorul trifazat cacirct şi linia electrică trifazată au impedanţele fazelor identice sistemul trifazat linie-receptor se numeşte echilibrat impedanţele pe faze fiind de forma

jrr3r2r1r eZZZZZeZZZZZ r (L147)

Circuitele electrice trifazate liniare funcţionează icircn regim permanent sinusoidal (rps) simetric şi echilibrat dacă tensiunile reţelei de alimentare sunt sinusoidale şi formează sistem trifazat simetric iar linia şi receptorul au impedanţele fazelor identice (L147) Icircn acest regim toate sistemele trifazate de mărimi (tensiuni curenţi tem fluxuri magnetice etc) formează sisteme trifazate simetrice de aceeaşi succesiune

3 1U aU

22 1U a U

Sens invers

23 1U a U

2 1U aU

a) b) Fig L141 Reprezentarea fazorială a sistemelor trifazate simetrice a) sistemul

de succesiune directă b) sistemul de succesiune inversă

Sens direct

- 217 -

Fazelor circuitelor trifazate se conectează icircn stea sau icircn triunghi De regulă icircnfăşură-rile generatoarelor trifazate din centralele electrice se conectează icircn stea iar impedanţele de fază ale receptoarelor se conectează atacirct icircn stea cacirct şi icircn triunghi

Icircn cele ce urmează se consideră circuitele trifazate liniare simetrice şi echilibrate icircn regim permanent sinusoidal de tip generator - line ndash receptor conectate icircn stea şi icircn triunghi Se notează cu R S T bornele generatorului şi cu A B C bornele receptorului

12 Conexiunea icircn stea a sistemelor trifazate

Circuitul trifazat icircn conexiunea stea se obţine unind icircnceputurile fazelor la generator şi respectiv la receptor icircn cacircte un punct comun numit punct neutru sau de nul al generatorului respectiv al receptorului N (fig L142) Conductorul care uneşte neutrul receptorului N cu neutrul generatorului (trasat cu linie icircntreruptă icircn fig L142) se numeşte fir neutru sau conductor de nul

Curenţii electrici care circulă prin fazele generatorului respectiv prin impedanţele de fază ale receptorului se numesc curenţi de fază la generator respectiv la receptor Curenţii care circulă pe conductoarele liniei TSR III se numesc curenţi de linie Se constată că la conexiunea icircn stea curenţii de fază coincid cu cei de linie şi deci au valori efective egale Curenţii de linie formacircnd sistem trifazat simetric suma lor este nulă Prin urmare curentul prin firul neutru este nul

0IIII TSRN (L148)

şi deci icircn cazul sistemelor trifazate simetrice şi echilibrate firul neutru poate lipsi Tensiunile electrice pe fazele generatorului TSR UUU respectiv tensiunile

electrice de pe impedanţele de sarcină ale receptorului CBA UUU se numesc tensiuni de fază simple sau stelate la generator respectiv la receptor

Tensiunile electrice dintre bornele generatorului TRSTRS UUU egale cu tensiunile dintre conductoarele liniei la generator respectiv tensiunile electrice dintre

Generator trifazat stea

Fig L142 Conexiunea icircn stea a sistemelor trifazate

CAU AU

Receptor trifazat stea Linie trifazată

- 218 -

bornele receptorului CABCAB UUU egale cu tensiunile dintre conduc-toarele liniei la receptor se numesc tensiuni de linie sau compuse la generator respectiv la receptor

Tensiunile de fază ale generatorului sunt simetrice şi se scriu g (g) (g) (g )(g ) j 2

fR f S f T fU U e U U a U U aU (L149) Tensiunile de linie la generator se exprimă icircn funcţie de tensiunile de fază astfel

RTTRTSSTSRRS UUUUUUUUU (L1410) Icircn figura L143 se prezintă diagrama fazorială a tensiunilor şi curenţilor la

generator S-a luat ca referinţă sistemul tensiunilor de fază R S TU U U icircn raport cu care utili-zacircnd (L1410) s-au construit fazorii tensiunilor de linie RS ST TRU U U Fazorii tensiunilor de linie pot fi translataţi ca icircn figură formacircnd astfel laturile unui triunghi echilateral la care tensiunile de fază au modulul egal cu raza cercului circumscris triunghiului Pe diagrama fazorială s-au reprezentat şi fazorii curenţilor

R S TI I I presupunacircnd un defazaj g al acestora faţă de tensiunile de fază la generator

Din diagrama fazorială se constată că şi tensiunile de linie formează sistem trifazat simetric fiind defazate cu un unghi egal cu 6 (30o) icircnaintea tensiunilor de fază şi avacircnd valoarea efectivă (modulul) de 3 ori mai mare ca vaoarea efectivă a tensiunilor de fază ( g ) (g )

f3U Ul Relaţii similare cu (L149) şi (L1410) pot fi scrise şi pentru tensiunile de fază şi

respectiv de linie la receptor ( r ) ( r ) ( r )( r ) j 2r

fA f B f C fU U e U U a U U aU (L1411) respectiv AB A B BC B C CA C AU U U U U U U U U (L1411)

Diagrama fazorială a tensiunilor la receptor este similară celei de la generator şi deci tensiunile de linie la receptor formează de asemenea sistem trifazat simetric fiind defazate cu cu 6 icircnaintea tensiunilor de fază şi avacircnd valoarea efectivă de 3 ori mai mare ca valoarea efectivă a tensiunilor de fază ( r ) (r )

f3U Ul

Fig L143 Diagrama fazorială la generator

- 219 -

Icircn concluzie la conexiunea icircn stea a circuitelor trifazate simetrice şi echilibrate funcţionacircnd icircn regim permanent sinusoidal valoarea efectivă a tensiunilor de linie este

3 ori mai mare ca valoarea efectivă a tensiunilor de fază iar valoarea efectivă a curenţilor de linie este egală cu valoarea efectivă a curenţilor de fază

3U UI I

(L1412)

Icircn circuitele electrice trifazate simetrice şi echilibrate icircn rps totdeauna curentul NI şi tensiunea NOU sunt nule pe conductorul neutru Rezultă că şi puterile electrice pe

conductorul neutru sunt nule Icircn acest caz puterile electrice activă P reactivă Q şi aparentă S se determină ca fiind de trei ori puterea respectivă pe o fază De exemplu la receptor aceste puteri se calculează astfel

( r ) ( r )

( r ) (r )

f f r r

P 3U I cos 3U I cos

Q 3U I sin 3U I sin

S 3U I 3U I

(L1413)

icircn care r este unghiul de defazaj dintre tensiune şi curent pe fazele receptorului

12 Conexiunea icircn triunghi a sistemelor trifazate Circuitele trifazate icircn conexiunea triunghi se realizează unind sfacircrşitul primei

faze cu icircnceputul fazei următoare şamd iar punctele comune constituie bornele de acces Icircntrucacirct generatoarele electrice nu se conectează icircn triunghi se consideră schema de principiu a sistemului cu receptorul conectat icircn triunghi prezentată icircn figura L144 La conexiunea icircn triunghi a receptorului trifazat tensiunile de fază coincid cu tensiu-nile de linie la receptor icircnsă curenţii de fază şi de linie diferă Icircn regim permanent sinusoidal simetric şi echilibrat icircntre curenţii de linie CBA III şi de fază

CABCAB III la receptorul conectat icircn triunghi există relaţiile

BCCACABBCBCAABA IIIIIIIII (L1414)

Fig L144 Conexiunea icircn triunghi a receptorului trifazat

Receptor trifazat triunghi Linie trifazată

- 220 -

Tensiunile de fază la receptor fiind simetrice şi curenţii de fază formează sistem trifazat simetric fiecare fiind defazat faţă de tensiunea de fază omoloagă cu acelaşi unghi r

Icircn figura L145 s-a construit diagrama fazorială a curenţilor la receptorul conectat icircn triunghi luacircnd ca referinţă sistemul simetric al tensiunilor de fază identice cu cele de linie la receptor Atacirct din diagrama fazorială cacirct şi pe baza relaţiilor (L1414) se verifică uşor că şi curenţii de linie formează sistem trifazat simetric fiind defazaţi icircn urma curenţilor de fază cu un unghi egal cu 6 (30o) şi avacircnd valoarea efectivă de 3 ori mai mare ca valoarea efectivă a curenţilor de fază

Icircn concluzie la conectarea icircn triunghi a circuitelor trifazate simetrice şi echilibrate funcţionacircnd icircn regim permanent sinusoidal tensiunile de linie coincid cu tensiunile de fază avacircnd valori efective egale iar curenţii de linie au valoarea efectivă de 3 ori mai mare ca valoarea efectivă a curenţilor de fază

(L1415)

Puterile electrice reprezintă ca şi icircn cazul conexiunii icircn stea triplul puterilor electrice pe o fază şi se determină cu aceleaşi expresii (L1413) icircn caref reprezintă tot defazajul dintre tensiunea şi curentul pe fază Prin schimbarea conexiunii receptorului din stea icircn triunghi impedanţele pe faze nu se modifică icircnsă tensiunile şi curenţii de fază cresc de 3 ori şi deci puterile electrice cresc de trei ori De aceea la pornirea motoarelor electrice trifazate cu conexiunea icircn triunghi pentru a se diminua şocul produs icircn reţea se conectează fazele icircn stea iar după pornire cu ajutorul comutatorului stea-triunghi se conectează icircn triunghi Unul din cele mai răspacircndite receptoare trifazate icircl constituie maşina electrică asincronă sau sincronă Icircn icircntrefierul acestei maşini se produce un cacircmp magnetic icircnvacircrtitor

14 Cacircmpul magnetic icircnvacircrtitor Se consideră un receptor trifazat echilibrat format din trei bobine identice

fiecare cu N spire şi avacircnd de exemplu secţiunea pătrată aşezate simetric fie icircn formă de stea fie icircn triunghi icircn aşa fel icircncacirct şi cuplajele magnetice dintre bobine să fie simetrice Icircn continuare se consideră cele trei bobine identice dispuse simetric icircn spaţiu după laturile unui triunghi echilateral (cu axele la 120o fig L146) şi parcurse de un sistem trifazat simetric de curenţi sinusoidali de succesiune directă

32πβωtIsin 23

2πβωtIsin 2

βωtIsin 2

(L1416)

Fig L145

CAI BI

- 221 -

Inducţiile magnetice produse de cele trei bobine parcurse de curenţii ik (k = 123) icircn punctul formează un sistem trifazat simetric de forma

32πβωtsinBnB3

2πβωtsinBnB

βωtsinBnB

(L1417)

icircn care valoarea maximă Bm a inducţiei magnetice icircn acest caz este

a7NI36B 0

(L1418)

Inducţia magnetică rezultantă B icircn centrul al triunghiului format din cele trei bobine este

jBiBBBBB yx321 (L1418)

icircn care

tcosB23BB

m32x (L1419)

Modulul şi argumentul inducţiei magnetice rezultante B va fi

ttgBBtgB

2x (L1420)

La aceeaşi concluzie (L1420) se ajunge determinacircnd inducţia magnetică rezultantă B pe cale grafică aşa cum se arată icircn figura L146 Inducţia magnetică rezultantă B icircn punctul O are modulul constant (L1420) se roteşte cu viteza unghiulară (egală cu pulsaţia curenţilor) icircn sens orar şi afixul lui B descrie un cerc Dacă se inversează două bobine icircntre ele sau se schimbă două faze icircntre ele bobinele rămacircnacircnd fixe se obţine tot un cacircmp magnetic icircnvacircrtitor de tip circular dar care se roteşte icircn sens invers orar Aceste situaţii de funcţionare se pot pune uşor icircn evidenţă dacă icircn punctul O se introduce un ac magnetic 2 VERIFICĂRI EXPERIMENTALE

21 Circuitul trifazat icircn conexiunea stea

Se realizează montajul după schema figura L147 reprezentacircnd un circuit trifazat echi-librat format dintr-un receptor constituit din trei bobine identice b1 b2 b3 conectate icircn stea şi dispuse simetric icircn spaţiu alimentat cu tensiuni simetrice prin intermediul a trei reostate Rh de la un transformator trifazat TR cu icircnfăşurările conectate icircn stea (conexiunea Yyo)

FigL146

- 222 -

Se verifică funcţionarea circuitului trifazat cu conexiunea icircn stea icircn regim permanent sinusoidal simetric şi echilibrat procedacircnd astfel

a) se reglează curenţii de linie cu ajutorul reostatelor Rh astfel icircncacirct valorile lor efective indicate de ampermetrele A1 A2 A3 să fie egale

b) se măsoară valorile efective ale tensiunilor de linie şi de fază care trebuie să fie egale UAB = UBC = UCA = Ul UAN = UBN = UCN = Uf

Dacă condiţiile a) şi b) sunt satisfăcute diferenţa de potenţial UN0 dintre neutrul receptorului şi neutrul secundarului transformatorului este nulă Icircn aceste condiţii circuitul funcţionează icircn rps simetric şi echilibrat Se realizează o succesiune de regimuri echilibrate modificacircnd reostatele Rh icircncacirct valorile efective ale curenţilor de linie să fie egale Valorile mărimilor măsurate se trec icircn tabelul L141

Tabelul L141 Nr crt Il = If Uf Ul

fUU l Pf

cosf = = Pf (Uf If)

P = 3Pf = = 3Uf If cosf

Q = 3Qf = = 3Uf If sinf

S = 3Uf If = = 22 QP

[A] [V] [V] [W] [W] [VAR] (VA) 1 2

22 Circuitul trifazat icircn conexiunea triunghi Se realizează montajul după schema din figura L148 icircn care bobinele

receptorului sunt conectate icircn triunghi

Fig L147 Schema de montaj pentru circuitul icircn conexiunea stea

Fig L148 Schema de montaj pentru circuitul icircn conexiunea triunghi

b3 Af Vl

- 223 -

Ca şi icircn cazul circuitului icircn conexiunea stea presupunacircnd tensiunile din secundarul transformatorului TR simetrice şi receptorul echilibrat circuitul trifazat cu receptorul icircn conexiunea triunghi din figura L148 funcţionează icircn regim permanent sinusoidal simetric şi echilibrat atunci cacircnd valorile efective ale curenţilor de linie sunt egale Reglacircnd reostatele Rh se obţin regimuri de funcţionare echilibrate a căror mărimi sunt prezentate icircn tabelul L142

Tabelul L142

Nr crt Il If

fII l Ul = Uf Q Q = 3 Q =

= 3 Ul Il sinr sinr =

= Q( Ul Il) P = 3Pf =

= 3UfIf cosr S = 3UfI f =

= 22 QP

[A] [A] [V] [VAR] [VAR] [W] (VA)

Pentru determinarea puterilor se montează wattmetrul cu bobina de curent icircnseriată pe faza A a liniei de alimentare şi cu bobina de tensiune se conectată icircntre fazele B şi C (fig L148) Icircn această situaţie conform diagramei fazoriale din figura L145 wattmetrul va indica o putere reactivă dată de relaţia

QsinIU2

cosIUIUcosIUQ rrAABAABAAB

ll (L1421)

Icircn centrul triunghiului format din cele trei bobine atacirct la conexiunea icircn stea cacirct şi icircn triunghi se plasează un ac magnetic Am Dacă curenţii ce parcurg bobinele formează un sistem trifazat de succesiune directă acul magnetic se va roti icircn sensul orar iar dacă succesiunea fazelor este inversă acul magnetic se va roti icircn sens invers orar

23 Conţinutul referatului Pe baza valorilor măsurate sau calculate din cele două tabele se vor construi

diagramele fazoriale de tensiuni şi curenţi pentru receptorul conectat icircn stea şi icircn triunghi

Se vor consemna concluziile desprinse referitoare la cele două tipuri de conexiuni ale circuitelor trifazate echilibrate alimentate cu tensiuni simetrice sinusoidale şi cele referitoare la producerea cacircmpului magnetic icircnvacircrtitor

- 224 -

Lucr area nr 1 5

CIRCUITE TRIFAZATE DEZECHILIBRATE IcircN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

1 NOŢIUNI TEORETICE GENERALE Circuitele electrice trifazate dezechilibrate au impedanţele echivalente ale fazelor diferite ceea ce determină nesimetria sistemelor de curenţi şi tensiuni chiar şi icircn situaţia icircn care sistemul tensiunilor de alimentare este simetric Icircn practică şi icircn unele tratate se utilizează noţiunile de dezechilibru simplu pentru situaţia icircn care sistemul tensiunilor de alimentare este simetric şi receptorul este dezechilibrat şi de dezechilibru total pentru situaţia icircn care sistemul tensiunilor de alimentare este nesimetric şi receptorul trifazat este dezechilibrat Cu aceeaşi semnificaţie se utilizează uneori şi noţiunile de nesimetrie simplă şi nesimetrie totală Analiza acestor circuite se efectuează fie prin metoda directă (cu ajutorul metodelor de analiză a circuitelor liniare icircn regim permanent sinusoidal) fie prin metoda indirectă ndash metoda componentelor simetrice Icircn cadrul lucrării se studiază o categorie răspacircndită icircn practică de circuite trifa-zate dezechilibrate fără cuplaje magnetice funcţionacircnd icircn regim permanent sinusoidal Fie un receptor trifazat dezechilibrat (cu impedanţele fazelor diferite) icircn conexi-unea stea cu fir neutru (fig L151) căruia i se aplică un sistem trifazat nesimetric de tensiuni de fază notate cu U10 U20 U30

Fig L151 a) Receptorul trifazat dezechilibrat conectat icircn stea icircn stea cu fir neutru b) diagrama fazorială tensiunilor de fază

(0) (N) UN0

U3N (3)

- 225 -

Curenţii pe fazele receptorului dezechilibrat icircn conexiunea stea cu fir neutru (fig L151a) se determină cu relaţia

kNkNkkk UY)VV(YI k = 123 (L151)

unde kk Z1Y (k = 1 2 3) sunt admitanţele fazelor receptorului Aplicacircnd teoremei a I-a Kirchhoff icircn punctul neutru (N) al receptorului rezultă

0NNN321 UYIIII (L152)

unde 0N0N VVU este căderea de tensiune pe conductorul de nul (deplasarea neutrului) cu admitanţa NN Z1Y Icircnlocuind curenţii Ik daţi de (L151) icircn (L152) expresia tensiunii UN0 numită şi deplasarea neutrului rezultă

3032021010N YYYY

UYUYUYU

(L153)

icircn care 0k0k VVU k = 1 2 3 Tensiune UN0 are modulul (valoarea efectivă) maxim atunci cacircnd conductorul neutru lipseşte ( 0YN rel L153) Icircn cazul particular icircn care receptorul este echilibrat YYYY 321 tensiunea UN0 icircntre neutrul receptorului (N) şi neutrul reţelei de alimentare (0) devine

- cacircnd conductorul neutru există

YY3UUUU

3020100N

(L154)

- cacircnd conductorul neutru lipseşte

3UUUU 302010

0N (L155)

Tensiunile pe fazele receptorului dezechilibrat UkN se obţin aplicacircnd teorema a II-a Kirchhoff ochiurilor [kN0k] UkN = Uk0 ndash UN0 k =1 2 3 Rezultă astfel

30N232311N3

20N121233N2

10N313122N1

YYYYUYUYUY

YYYYUYUYUYU

(L156)

Sistemul trifazat de curenţi de linie I1 I2 I3 se obţine cu rel (L151) icircn care se icircnlocuiesc tensiunile UkN date de rel (L156)

30N23231133

20N12123322

10N31312211

YYYYUYUYUYYI

(L157)

Icircn lipsa conductorului de nul aceste relaţii se particularizează pentru YN = 0 Icircn fig L151b) s-a trasat diagrama fazorială a tensiunilor de fază

- 226 -

2 PARTEA EXPERIMENTALĂ 21 Receptoare trifazate dezechilibrate Există situaţii diferite icircn care circuitele electrice trifazate funcţionează icircn rps dezechilibrat atacirct icircn funcţionare normală cu receptoare dezechilibrate ca de exemplu consumatori industriali casnici iluminat etc cacirct şi icircn regim de avarie (scurtcircuite sau icircntreruperi pe faze)

De asemenea există şi anumite dispozitive a căror principiu de funcţionare se bazează pe nesimetria tensiunilor sau curenţilor la receptorul trifazat Un astfel de dispozitiv icircl constituie cel pentru determinarea experimentală a succesiunii fazelor unui sistem trifazat simetric de tensiuni Icircn acest caz receptorul trifazat nesimetric cu conexiunea stea conţine pe primele două faze lămpi cu incandescenţă iar pe faza a treia un condensator (fig L152a) sau o bobină (fig L152b) Acest receptor trifazat fără conductor neutru este puternic nesimetric diagramele fazoriale ale tensiunilor de fază fiind reprezentate icircn figura L153 Sistemul tensiunilor de linie este simetric

U12 = Ul U23 = a2Ul U23 = aUl (L158)

iar receptorul trifazat este dezechilibrat

Y1 = Y2 = Y = G Y3 = G3 ndash jB YN = 0 (L159)

icircn care G = 1R ndash conductanţa lămpilor B = BC lt 0 ndash susceptanţa condensatorului

sau B = BL gt 0 ndash susceptanţa bobinei Sistemul trifazat nesimetric de tensiuni de fază la receptorul icircn stea se obţine din rel (L156) ţinacircnd cont de rel (L159)

232311N3

121233N2

313122N1

YY2UYUYU

(L1510)

Fig L152 Receptoare trifazate dezechilibrate conectate icircn stea a) cu lampi şi condensator b) cu lampi şi bobină

NC U1NL

(1) (2)

prime Prime NL

U31 U23

-U23 U = U31 ndash U23

U2NL U1NC

U3NL U3NC

Fig L153 Daigrama de tensiuni

- 227 -

Dacă se neglijează pierderile icircn condensator şi icircn bobină G3 = 0 Y3 = ndash jB tensiunea U3N la bornele acestora devine

G)UU(YG2GU

3N3 (L1511)

Se observă că fazorul U3N (U3NC sau U3NL icircn diagrama fazorială din fig L153) este defazat faţă de fazorul U = U31 ndash U23 cu un unghi

2YG2Garg

(L1512)

Acest unghi este negativ = prime 0 cacircnd Y3 = ndash jBC este admitanţa unui condensator respectiv pozitiv = Prime 0 cacircnd Y3 = jBL este admitanţa unei bobine Icircn consecinţă icircn cazul icircn care pe faza a treia se află un condensator (fig L152a) punctul neutru al receptorului NC se deplasează la stacircnga verticalei U iar cacircnd pe faza trei se află o bobină (fig L152b) punctul neutru al receptorului NL se deplasează la dreapta verticalei U (fig L153) Modificarea poziţiei punctului neutru icircn ambele cazuri este icircnsoţită de apariţia unor supratensiuni pe primele două faze supratensiuni puse icircn evidenţă şi prin modificarea intensităţilor luminoase a celor două lampi cu incandescenţă Din rel (L158) şi (L1510) rezultă

)BG3(jB3GG2)BG3(jB3GG2

G)jBG(a)jBG(aG

UGUYUYUG

(L1513)

icircn care s-a icircnlocuit 23j21 arespectiv 23j21a 2 Icircn cazul neglijării pierderilor icircn condensator şi icircn bobină (G3 = 0) raportul valorilor efective ale tensiunilor pe fazele 1 şi 2 la receptor rezultă

B)B3G2(B)B3G2(

(L1514)

Dacă receptorul conţine un condensator (fig L152a) B lt 0 şi rezultă U1N gtU2N iar cacircnd conţine o bobină (fig L152b) B gt 0 şi rezultă U1N ltU2N ceea ce rezultă şi din diagrama fazorială trasate icircn fig L153

Icircn cazul icircn care se aplică un sistem trifazat simetric de tensiuni de linie de succesiune directă atunci icircn montajul cu condensator (fig L152a) această succesiune coincide cu sensul icircn care intensitatea luminoasă a celor două lămpi descreşte iar icircn montajul cu bobină (fig L152b) această intensitate luminoasă creşte

22 Verificarea experimentală a funcţionării circuitelor trifazate dezechilibrate icircn regim permanent sinusoidal

Se studiază mai icircntacirci cu ajutorul montajului din figura L154 funcţionarea circuitului trifazat icircn regim permanent sinusoidal dezechilibrat circuit care conţine un receptor trifazat icircn conexiunea stea fără conductor neutru de forma celor prezentate icircn figura L152 Receptorul trifazat dezechilibrat se alimentează cu tensiuni simetrice din secundarul unui transformator trifazat

Cu valorile efective ale tensiunilor şi curenţilor măsurate de instrumentele de măsură de pe panou şi cu un voltmetru portabil se pot trasa pentru diferite regimuri de icircncărcare (prin introducerea sau scoaterea aceloraşi rezistenţe pe fazele R S şi T) diagramele fazoriale ale tensiunilor şi curenţilor (fig L155)

- 228 -

Pentru trasarea diagramelor fazoriale se procedează astfel - se reprezintă mai icircntacirci la o scară ku aleasă convenabil triunghiul echilateral al tensiunilor de linie simetrice U12 U23 U31 măsurate la bornele (1) (2) (3) ale receptorului şi tensiunile de fază U10 U20 U30 măsurate icircntre bornele acestuia nulul (0) din secundarul transformatorului TR (fig L155a)

- cu ajutorul unui compas se duc din punctele 1 2 3 la aceeaşi scară ku tensiunile de fază la receptor U1NC U2NC U3NC determinacircnd astfel punctul neutru NC Rezultă la scară valoarea efectivă a tensiunii UN0 dintre neutrul receptorului (NC) şi neutrul reţelei de alimentare (0) care trebuie să coincidă cu valoarea măsurată Pe diagrama de tensiuni se trasează şi fazorii curenţilor de linie care coincid cu cei de fază Cu valorile efective ale curenţilor măsurate de ampermetrele A1 A2 A3 la o scară ki aleasă convenabil se trasează fazorii curenţilor ţinacircnd seama că pe fazele 1 şi 2 (R şi S) curenţii I1 respectiv I2 sunt icircn fază cu tensiunile U1NC respectiv U2NC iar pe faza 3 (T) curentul I3 este defazat cu 2 icircnaintea tensiunii U3NC Dacă voltmetrul VN are impedanţa internă mare atunci IN = 0 şi diagrama fazorială de curenţi trebuie să verifice relaţia I1 + I2 + I3 = 0 Supratensiunile care apar determinate experimental (U1NC U2NC) se compară cu cele determinate cu ajutorul rel (L1514) De exemplu icircn cazul particular icircn care G = B (1R= C) din rel (L1514) rezultă

7331)32(1)32(

C (L1515)

Fig L154 Schema electrică a montajului experimental

Fig L155 Diagrame de tensiuni a) succesiune directă b) succesiune inversă

(1) (2)

- 229 -

Icircn cazul icircn care receptorului trifazat dezechilibrat i se aplică un sistem trifazat simetric de tensiuni de fază de succesiune inversă (schimbacircnd de exemplu bornele (R) şi (S) din secundarul transformatorului TR icircntre ele) atunci diagrama fazorială a tensiunilor şi curenţilor se trasează icircn acelaşi mod ca şi icircn cazul prezentat mai icircnainte (fig L155a) şi se obţine diagrama prezentată icircn figura L155b) Se observă că fazorul

CN3U corespunzător tensiunii pe condensator adică pe faza 3 (care nu se modifică) are aceeaşi poziţie ca icircn cazul succesiunii directe (fig L155a) deoarece fazorul U31 ndash U23 ca şi coeficientul G(2G +Y3) sunt invariabili icircn raport cu succesiunea sistemului simetric de tensiuni de linie aplicat Rezultă deci că poziţia punctului neutru (NC) se deplasează totdeauna la stacircnga punctului neutru (0) a reţelei pentru receptorul capacitiv Supratensiunea care apare se determină din rel(L1514) consideracircnd sistemul de succesiune inversă de forma

U12 = Ul U23 = aUl U23 = a2Ul (L1516) Rezultă 1UU CC N2N1 iar ordinea de succesiune inversă corespunde sensului icircn care intensitatea lămpilor L1 şi L2 creşte Se poate observa că icircn aceste diagrame fazorii U3NC şi U2NC (L155a) respectiv

CN3U şi CN2U (L155b) nu pot fi defazaţi cu 2

Icircn partea a doua a icircncercărilor experimentale condensatorul C se substituie cu o bobină avacircnd susceptanţa inductivă BL de acelaşi ordin de mărime cu susceptanţa BC a condensatorului Aplicacircnd acestui receptor un sistem trifazat simetric de tensiuni de linie de succesiune directă se obţine tensiunea pe bobină U3NL de aceeaşi formă (L1511) icircn care Y3 = jBL (B gt 0) Din diagrama fazorială a tensiunilor prezentată icircn figura L153 rezultă că neutrul NL al receptorului inductiv se deplasează la dreapta neutrului 0 al generatorului Apare icircn acest caz o supratensiune pe faza 2 pusă icircn evidenţă atacirct de diagrama fazorială cacirct şi de rel(L1514) Modificacircnd la fel rezistenţele pe fazele R şi S se obţine o succesiune de regimuri de funcţionare mărimile indicate de instrumentele de măsură trecacircndu-se icircn tabelul L151 Pentru cazul particular icircn care G = B din rel(L1514) rezultă U1NLU2NL 027 Rezultă că ordinea de succesiune directă a fazelor corespunde ordinii icircn care creşte intensitatea luminoasă pe cele două lămpi

Aplicacircnd acestui receptor un sistem trifazat simetric de tensiuni de linie de succesiune inversă punctul neutru al receptorului NL se deplasează tot la dreapta punctului 0 al generatorului şi apare o supratensiune pe faza 1 faţă de faza 2 Ordinea de succesiune directă icircn acest caz este ordinea icircn care scade intensitatea luminoasă a lămpilor (de la L1 spre L2)

Tabelul L151

Tip circuit Succes fazelor

U12U23 U31 [V]

U10U20 U30 [V]

I1 [A]

I2 [A]

I3 [A]

U1N [V]

U2N [V]

U3N [V]

UN0 [V]

directă

Circuitul cu condensator inversă

directă

Circuitul cu bobină inversă

- 230-

Lucr area nr 16

FILTRE PENTRU COMPONENTE SIMETRICE

1 NOŢIUNI TEORETICE 12 Principiul metodei componentelor simetrice

Filtrele pentru componente simetrice sunt circuite prevăzute cu borne de intrare

la care se aplică mărimile nesimetrice şi cu borne de ieşire la care se obţin componentele lor simetrice Ele servesc pentru măsurarea componentelor simetrice precum şi pentru detectarea şi protejarea icircmpotriva regimurilor de avarie

Metoda componentelor simetrice este o metodă indirectă de calcul a circuitelor trifazate liniare icircn regim permanent sinusoidal şi constă icircn descompunerea unui sistem trifazat nesimetric de mărimi sinusoidale icircn trei sisteme simetrice numite componente simetrice şi apoi icircn suprapunerea regimurilor de funcţionare produse de fiecare sistem simetric icircn parte

)tsin(Y2)t(y

(L161)

11 eYYeYYeYY (L162)

Sistemul nesimetric se descompune icircn trei sisteme simetrice (fig L161)

1) sistemul simetric de succesiune directă dd3d2

d2dd1 YaYYaYYY

2) sistemul simetric de succesiune inversă i2

i3ii2ii1 YaYYaYYY

3) sistemul omopolar YYYYYY hh3hh2hh1

= 0 d1Y

h3h2h1 YYY

+ + 1Y i1Y

Sistemul nesimetric

Sistemul simetric direct

Sistemul simetric invers

Sistemul omopolar

Fig L161

- 231-

Relaţiile dintre componentele corespunzătoare sistemului nesimetric şi cele ale sistemelor simetrice sunt

h3i3d33

h2i2d22

h1i1d11

YYYYYYYY

YYYY respectiv

YYaYaYYYaYaY

YYYY (L166)

Mărimile fundamentale id YY şi hY se numesc respectiv componenta directă componenta inversă şi componenta omopolară

Rezolvacircnd invers sistemul de ecuaţii (L166) se obţine

YYY31Y

YaYaY31Y

(L167)

12 Exemple practice de filtre pentru componente simetrice

121 Filtrul pentru componenta omopolară de tensiune

Filtrul prezentat icircn figura L162 se compune din trei transformatoare monofazate de tensiune identice cu icircnfăşurările primare conectate icircntre fiecare conductor de fază şi firul neutru (nul) şi cu icircnfăşurările secundare legate icircn serie cu un voltmetru V

S-a notat cu Ku raportul de transformare al transformatoarelor Tensiunea la bornele voltmetrului este dată de relaţia

0T0S0Ru

UK3UUU

K1U (L168)

icircn care Uh este valoarea efectivă a componentei omopolare a tensiunilor de fază

UR0 US0 UT0

UR0Ku UR0Ku UR0Ku

Fig L162

- 232-

122 Filtrul pentru componenta omopolară de curent

Schema filtrului prezentat icircn fig L163 se compune din trei transformatoare de curent identice cu icircnfăşurările primare conectate icircn serie cu fiecare fază şi cu icircnfăşurările secundare legate icircn paralel cu un ampermetru A Curentul prin ampermetru rezultă

IK3III

K1I (L169)

icircn care KI este raportul de transformare al curenţilor Ih ndash valoarea efectivă a compo-nentei omopolare de curent

123 Filtrul pentru componentele directă şi inversă ale tensiunilor de linie

Icircn figura L164 se prezintă filtrul propus de LP Kalantarov Nesimetria sistemului tensiunilor de linie este asigurată prin alimentarea primei faze cu o tensiune reglabilă icircn trepte din secundarul transformatorului TR

Fie U12 U23 U31 un sistem nesimetric de tensiuni de linie (fig L165) avacircnd componentele simetrice dU şi iU

Componenta omopolară Uh = 0 şi

UaUaUaUUaU

(L1610)

21U 13U

Fig L165

ITKI A

Fig L163

I1 I3 I2

UC1 UC2 Vd

Fig L164

- 233-

Icircn circuitul din fig L164 se consideră identice condensatoarele C1 = C2 = C

XXX 21 CC (L1611) şi se determină valorile rezistenţei rezistorului R3 şi reactanţei bobinei X3 = ωL3 astfel icircncacirct tensiunea pe cele două condensatoare UC1 şi UC2 măsurate cu voltmetrele Vi şi Vd să fie proporţionale cu iU respectiv dU Icircn acest scop se exprimă UC1 şi UC2 şi se impune condiţia de proporţionalitate

Din schema prezentată icircn figura L164 rezultă

332223

221121

III0IZIZUIZIZU

(L1611)

Dacă se are icircn vedere că Z1 = Z2 = Z = ndash jX = ndash jωC Z3 = R3 + jX3 şi că tensiunile pe cele două condensatoare sunt UC1= Z1I1 şi UC2= Z2I2 din rel (L1611) se determină

ZZ2ZUZUZZIZU

ZZ2ZUZUZZZIZU

21323222C

13213111C

(L1612)

Exprimacircnd icircn (L1612) tensiunile de linie prin componentele lor simetrice se obţine

ZZ2UZZaUZZaU

ZZ2UZaZUZaZU

(L1613)

Pentru ca tensiunea UC1 să fie proporţională cu componenta inversă iU şi ca tensiunea UC2 să fie proporţională cu componenta directă dU este necesar ca

0ZaZ3 sau jX23j

21jXR 33

(L1614)

Se obţin valorile

(L1615)

care permit dimensionarea filtrului

Icircn aceste condiţii

(L1616)

Voltmetrele Vi şi Vd care indică valorile efective ale tensiunilor pe condensa-

toare vor măsura direct (factor de proporţionalitate 1) componenta inversă respectiv directă a sistemului nesimetric al tensiunilor de linie

- 234-

124 Filtrul pentru componenta homopolară a sistemului nesimetric al tensiunilor de fază Se consideră receptorul trifazat dezechilibrat cu impedanţele Z1 Z2 Z3

conectate icircn stea ca icircn figura L166 Receptorul dezechilibrat alimentat cu un sistem

trifazat simetric de tensiuni T

R UUU are tensiunile de fază UR US UT nesimetrice

(L1617)

Componenta homopolară a sistemului nesimetric UR US UT este dată de relaţia

RTSRh UU3UUU

31U (L1618)

Icircn aceste condiţii un voltmetru montat icircntre neutrul receptorului N şi neutrul reţelei de alimentare 0 măsoară direct componenta homopolară a tensiunilor de fază ale receptorului

2 MODUL DE LUCRU

21 Instalaţia experimentală Schema electrică a instalaţiei de laborator pentru studiul filtrelor pentru

componente simetrice este prezentată icircn figura L167 Instalaţia cuprinde următoarele elemente

K = comutator pachet pentru conectarea tensiunii de alimentare LR LS LT = lămpi de semnalizare (LED-uri) pentru prezenţa tensiunii pe cele

trei faze ale reţelei de alimentare TR = transformatorul trifazat de reţea pentru reducerea tensiunii A1 A2 A3 = ampermetre feromagnetice cu domeniul 0 divide 3A pentru

măsurarea curentului din secundarul transformatorului TR CV = cheie voltmetrică CV V = voltmetru pentru măsurarea tensiunilor din secundarul transformatorului

UR ZS IS

US ZT IT

Fig L166

- 235-

FCHTF-1

T1 T2 T3

C1 Vh2

FCHCL FCDITL FCHTF-2

p13 p1

Fig L167 SCHEMA ELECTRICĂ A INSTALAŢIEI PENTRU STUDIUL REŢELELOR ELECTRICE TRIFAZATE FCHTF ndash12 = filtre pentru componenta homopolară a tensiunilor de fază ndash varianta 1 varianta 2 FCHCL = filtrul pentru componenta homopolară a curenţilor de linie FCDITL = filtru pentru componentele directă şi inversă a tensiunilor de linie

- 236-

T1 T2 T3 = transformatoare monofazate utilizate pentru realizarea filtrului pentru componenta homopolară a tensiunilor de fază FCHTF-1

TC1 TC2 TC3 = transformatoare de curent utilizate pentru realizarea filtrului pentru componenta homopolară a curenţilor de linie FCHCL

R1 R2 R3 = rezistoare de putere cu prize intermediare ce pot fi conectate icircn stea pentru a studia a doua variantă de filtru pentru componenta homopolară a tensiunilor de fază FCHTF-2

Instalaţia este prevăzută cu trei borne la care se pot conecta diferite tipuri de filtre pentru componente simetrice Icircn figura L167 este exemplificată conectarea filtru-lui Kalantarov pentru componentele directă şi inversă a tensiunilor de linie (FCDITL)

22 Filtre pentru componenta homopolară a tensiunilor de fază Instalaţia din laborator permite realizarea a două filtre pentru măsurarea compo-

nentelor simetrice a tensiunilor de fază Icircn situaţia alimentării cu tensiuni simetrice (se fac legăturile la aceleaşi prize pe fiecare icircnfăşurare din secundarul transformatorului de reţea) şi se dezechilibrează receptorul format de rezistoarele R1 R2 R3 conectate icircn stea Se conectează voltmetrele Vh1 şi Vh2 la filtrele FCHTF-1 respectiv FCHTF-2 Componenta homopolară a tensiunilor de fază este indicată direct de voltmetrul Vh2 conectat icircntre nulul receptorului N şi nulul reţelei de alimentare 0 (neutrul secundarului transformatorului de reţea) Se măsoară tensiunile U1N U2N U3N pe rezistoarele R1 R2 R3 Componenta homopolară a tensiunilor de fază se determină şi prin calcul cu relaţia (L1618) respectiv

N3N2N1h UUU31U (L1619)

Aceeaşi componentă homopolară se determină şi cu filtrul FCHTF-1 Se scurtcir-cuitează bornele la care s-a legat voltmetrul Vh2 şi se deconectează legătura la neutrul 0 a secundarului transformatorului TR Componenta homopolară se calculează funcţie de tensiunea Uh1 indicată de voltmetrul Vh1 pe baza relaţiei (L168) respectiv

N3N2N1h U3

KUUU31U (L1620)

Se explică eventualele diferenţe ale valorilor componentei homopolare care rezultă din măsurarea acesteia cu ajutorul celor două filtre

22 Filtrul pentru componenta homopolară a curenţilor de linie Se conectează un ampermetru la bornele filtrului FCHCL Pe firul neutru se

icircnseriază un ampermetru (icircn locul voltmetrului Vh2) Se dezechilibrează tensiunile de alimentare (se fac legăturile la prize diferite pe icircnfăşurările de fază din secundarul transformatorului de reţea) şi se citesc valorile curenţilor absorbiţi de receptorul trifazat echilibrat format de rezistoarele R1 R2 R3 conectate icircn stea Ampermetrul icircnseriat pe firul neutru indică direct valoarea componentei homopolare a curenţilor de linie I1 I2 I3 Aceeaşi valoare a componentei homopolare a curenţilor se calculează funcţie de curentul I indicat de ampermetrul montat la bornele filtrului FCHCL pe baza relaţiei (L169) respectiv

KIII31I I

TSRh (L1621)

- 237-

Se explică eventualele diferenţe ale valorilor componentei homopolare a curenţilor obţinute prin aceste două metode şi prin calcul

23 Filtrul pentru componentele directă şi inversă ale tensiunilor de linie Se calculează parametrii filtrului de tip Kalantarov cu relaţiile (L1615) pentru o

valoare a capacităţii condensatoarelor C1 = C2 = 2microF şi se realizează montajul filtrului FCDITL din figura L164 Se verifică funcţionarea corectă a filtrului pentru două cazuri

- tensiuni de alimentare simetrice (cursorul 1prime al potenţiometrului Rp pe poziţia 1) ndash voltmetrul Vi trebiue să indice zero iar voltmetrul Vd să indice valoarea tensiunii de linie din secundarul transformatorului de reţea TR

- tensiuni de alimentare nesimetrice (cursorul 1prime al potenţiometrului Rp pe poziţia 2) ndash tensiunea de linie U1prime2 = 0 şi conform relaţilor (L1610) Uld = Uli Icircn acest caz indicaţiile celor două voltmetre V1 şi V2 trebuie să fie identice Dacă nu sunt icircndeplinite aceste condiţii se modifică R3 şi L3 pacircnă se ajunge la un optimum Pentru trei poziţii diferite ale cursorului potenţiometrului Rp se măsoară tensiunile de linie şi componentele lor simetrice trecacircnd datele icircn tabelul L161

Tabelul L161 Nr crt U1prime2 U23 U31prime Uld Uli

[V] [V] [V] [V] [V] 1 2 3

Componentele simetrice ale tensiunilor de linie

directă Uld şi inversă Uli se exprimă funcţie de tensiunile de alimentare nesimetrice ale filtrului U1prime2 U23 U31prime conform rel (L 167) respectiv

)UaUaU(31U

l (L1622)

Valoarea efectivă a acestor componente este indicată direct de voltmetrele Vd şi Vi Pentru fiecare din cele trei grupuri de măsurători din tabelul 1 se determină şi grafic valorile acestor componente prin construcţia diagramelor fazoriale corespunzătoare aşa cum se exemplifică icircn figura L168

21U 13U

Fig L168

232 Ua

132 Ua

- 238 -

Lucrar ea nr 17

ANALIZA ARMONICĂ A SEMNALELOR PERIODICE NESINUSOIDALE

Icircn reţelele electrice de transport şi distribuţie a energiei electrice forma de

variaţie icircn timp a tensiunilor şi curenţilor nu este riguros sinusoidală iar abaterea se numeşte distorsiune sau deformare

Regimul permanent al circuitelor electrice caracterizat prin faptul că semnalele de tensiune sauși de current sunt mărimi periodice nesinusoidale se numește regim permanent periodic nesinusoidal sau regim deformant

Analiza circuitelor electrice icircn regim permanent periodic nesinusoidal se realizează cel mai des printr-o analiză armonică bazată pe dezvoltarea icircn serie Fourier a semnalelor nesinusoidale din circuit

11 ANALIZA ARMONICĂ A SEMNALELOR PERIODICE

111 Dezvoltarea icircn serie Fourier a funcţiilor periodice nesinusoidale O funcţie de timp y(t) periodică de perioadă T care satisface condiţiile lui

Dirichlet se reprezintă pe intervalul unei perioade prin seria

mk0 tksinBtkcosAA)t(y (L171)

numită serie Fourier sau serie trigonometrică Termenii tcosA 1m şi tsinB 1m pentru k =1 se numesc fundamentale icircn

cosinus respectiv icircn sinus iar tkcosAmk şi tksinBmk pentru 2k sunt armonici de ordinul k icircn cosinus respectiv icircn sinus iar termenul A0 este componenta continuă

Amplitudinile mkmk BA şi componenta 0A se numesc şi coeficienţi Fourier și se determină cu relețiile []

0 21ktdtksin)t(yT2Btdtkcos)t(yT

2AdtyT1A )t( (L172)

Icircn studiul circuitelor electrice icircn regim periodic permanent se utilizează şi următoarea formă a dezvoltării icircn serie Fourier a unei funcţii periodice

)tksin(Y2YyYy k1k 1k

k0k0 )t()t(

(L173)

- 239 -

icircn care Y0 este componenta continuă şi yk(t) este armonica de ordinul k avacircnd valoarea efectivă Yk şi faza iniţială k ( redusă la intervalul ][ )

Identificacircnd expresiile dezvoltărilor (L171) şi (L173) rezultă următoarele relaţii icircntre coeficienţii Fourier ai celor două serii

BAarctgBAY2AY

2mkk00 (L174)

Icircn electrotehnică unde perioadei T icirci corespunde unghiul 2 şi faza se notează cu t seria Fourier se scrie sub forma

k0 ksinB2kcosA2A)(y (L175)

icircn care dy1B2dkcosy1A2dy21A

00 ksin)()()(

respectiv

kk0 )ksin(Y2Y)(y (L176)

2kk00 BAYAY şi

Aarctg 112 Seria Fourier complexă

O funcţie periodică reală )t(y care admite o dezvoltare icircn serie Fourier de forma (L171) se poate scrie şi ca sumă a unei serii cu termeni complecşi de forma []

tjkmkeC)t(y (L177)

unde T

tjkmkmkmk dteyT

jBAC )t( (L178)

se numeşte amplitudine complexă spectrală Icircn analiza armonică interesează amplitudinile armonicilor și programele de

calcul (de exemplu Matlab) utilizează forma discretă (numerică) a transformatei Fourier (DFT ndash Discret Fourier Transform) numită și transformata Fourier rapidă (FFT ndash Fast Fourier Transform) datorită rapidității de calcul Icircn acest fel amplitudinea complexă spectrală se calculează cu o relație de forma

f2N2)n(yC ss

(L179)

N fiind numărul de eșantioane pe o perioadă (fs ndash frecvența de eșantionare) 113 Spectrul de frecvenţă al unei mărimi periodice

Graficul amplitudinilor kY2 ale armonicilor unei funcţii periodice cu dezvolta-rea icircn serie de forma

kk0 )tksin(Y2Y)t(y

conţine icircn planul )Y2( segmente proporţionale cu amplitudinile kY2 şi se numeşte spectru de frecvenţă (fig L171a) Spectrul funcţiilor periodice este un spectru discret

- 240 -

Seria Fourier a unei funcții este univoc determinată dacă pe lacircngă spectrul de frecvenţă al amplitudinilor se dă şi spectrul de frecvenţă al fazelor iniţiale ale armonicilor (fig L171b)

113 Mărimi caracteristice ale semnalelor periodice nesinusoidale

Valoarea efectivă Y a unei mărimi periodice y(t) se defineşte icircn general prin relaţia

2 dtyT1Y )t( (L1710)

Icircn funcție de valorile efective Yk ale armonicilor și de valoarea componentei continue Y0 din dezvoltarea icircn serie Fourier se obţine []

20 YYYYYYYY (L1711)

unde Yd se numeşte reziduul deformant dat de valoarea efectivă a armonicelor de ordin superior )2k( YYYYY 2

2d Astfel pentru tensiune şi curent cu dezvoltările

tnsinI2ItnsinU2U1n 1n

nn0nn0

(t)(t) iu

valorile efective sunt respectiv IIIIUUUU 2

unde reziduurile deformante ale tensiunii şi curentului sunt respectiv

IIIIUUUU 2d

Factor de vacircrf factor de formă şi coeficient de distorsiune Factorul de vacircrf vk al unei funcţii periodice alternative )t(y se defineşte prin

raportul dintre valoarea de vacircrf şi valoarea efectivă

maxv YY

(L1712)

Factorul de formă fk al unei funcţii periodice alternative se defineşte prin raportul dintre valoarea efectivă Y şi valoarea medie pe o jumătate de perioadă

dt)t(yT2

Yk (L1713)

icircn care t0 este momentul trecerii prin zero a funcţiei )t(y cu valori crescătoare

3Y2 4Y2

a) b) Fig L171

- 241 -

Coeficientul de distorsiune dk al unei funcţii periodice )t(y se defineşte prin raportul dintre rezidiul deformant dY şi valoarea efectivă a componentei alternative

(L1714)

Coeficientul dk este pozitiv şi subunitar Dacă )5(050kd tensiunile şi curenţii periodici pot fi aproximaţi sinusoidali Icircn literatura de specialitate coeficientul de distorsiune este notat THD (Total Harmonic Distorsion ndash engl)

Icircn cazul mărimilor sinusoidale 11122

k f 0k2k dv 2 STUDIUL EXPERIMENTAL AL REGIMULUI PERIODIC NESINUSOIDAL 21 GENERAREA ȘI ANALIZA ARMONICĂ A UNOR SEMNALE PERIODICE NESINUSOIDALE Se realizează programe icircn Matlab pentru generarea unor semnale particulare

icircntacirclnite frecvent icircn electrotehnică Datele obținute sunt memorate icircn fișiere de date Matlab cu extensia mat sub forma unei matrici avacircnd pe prima linie timpul și pe a doua valorile corespunzătoare ale funcției Semnalele astfel memorate vor fi apoi analizate cu ajutorul unui program sau cu o interfață grafică interactivă realizate tot icircn mediul MATLAB Se consideră următoarele două exemple

Funcţia crenel are graficul simetric faţă de ordonată y(t) = y(ndasht) Un exemplu de astfel de undă (fig L172) este descrisă de relaţia

Tt3T2 si 3

Tt0 Y)t(y

m (L1715)

O variantă a programului MATLAB pentru generarea acestei unde este Program pentru generarea undei CRENEL (funcție pară)

clear clc clg A=1 f1=50 T=1f1 P=4AT p=10^(-4) t=0p(2T-p) Np=max(size(t)) for i=1Np if (((t(i)gt=0)amp(t(i)ltT3))|((t(i)gt=2T3)amp(t(i)ltT))) y(i)=A elseif ((t(i)gt=T3)amp(t(i)lt2T3)) y(i)=0 else y(i)=y(i-(Np-1)2) end end plot(ty-w) grid axis([0 04 0 105 ]) D=[t y] save D fdintefmat

- 242 -

Fig L172 Funcţia crenel pară

Funcţia dinte de fierăstrău Funcţia dinte de ferăstrău considerată este o

funcție alternativ simetrică impară avacircnd curba simetrică faţă de origine y(t) = ndashy(ndasht) și față de abscisă după suprapunerea semiperioadelor y(t) = ndashy(t+T2) Forma undei este dată icircn figura L173 și are expresia analitică de forma

Tt2T T

T)(t22Tt0 T

t2y(t) (L1716)

Fig L173 Funcţia dinte de fierăstrău

Analiza armonică a unei funcţii arbitrar aleasă Pentru verificarea programului de analiză armonică se consideră o funcţie

definită de relaţia

t5027sin70t5026sin604t5023sin303t5022sin204t502sin)t(y

Curba corespunzătoare acestei funcţii este dată icircn figura L174

Fig L174 Funcţia arbitrar aleasă pentru analiza armonică

După realizarea programelor de generare a acestor semnale se va efectua analiza

armonică utilizacircnd programele existente realizate icircn Matlab

- 243 -

O interfață grafică interactivă permite analiza armonică a semnalelor generate prin programe sau obținute prin simulare sau prin achiziții de date din instalații reale și stocate icircn fișiere de date cu extensia mat ( mat) Interfaţa grafică cu panoul interactiv prezentat icircn figura L175 permite analiza armonică a semnalelor distorsionate cu transformata Fourier rapidă (FFT) realizacircnd următoarele funcții

afişarea curbei semnalului temporar analizat determinarea şi afişarea grafică a spectrului amplitudinilor și a coefici-

entului total de distorsiuni (THD) determinarea şi afişarea grafică a spectrului de frecvenţă al fazelor determinarea şi afişarea grafică a densităţii spectrale de putere

Fig L175 Interfața grafică interactivă pentru analiza armonică

22 SIMULAREA ȘI ANALIZA ARMONICĂ A CURENTULUI DE REȚEA A UNUI REDRESOR TRIFAZAT Pentru analiza armonică a regimului deformant produs de mutatoare se

consideră cazul unui redresor de putere icircn punte trifazată complet comandată Redresoru este simulat cu ajutorul programului Simulink din mediul Matlab schema bloc de simulare fiind prezentată icircn figura L176

Fig L177 Schema bloc de simulare a redresorului trifazat

- 244 -

Principalele blocuri ale shemei de simulare sunt

o Rețea ndash rețeua trifazată de alimentare 3 380220V 50Hz o TR ndash transformator trifazat bloc din biblioteca PowerSys cu posibilitatea

setării conexiunilor din primar și secundar și ai principalilor parametri o Redresor ndash redresor trifazat icircn punte complet comandată cu tiristoare bloc

din biblioteca PowerSys o DCG ndash circuitul de comandă pe grilă a tiristoarelor redresorului bloc din

biblioteca PowerSys cu posibilitatea prescrierii unghiului de comandă Shema de simulare mai cupride traductoare de tensiune și de curent

multiplexoare osciloscoape pentru vizualizarea undelor de tensiune și de curent icircn diferite puncte ale schemei

Icircntrucacirct icircn acest studiu intresează deformarea curentului de rețea tensiunile rămacircnacircnd sinusoidale (rețeua putacircnd fi considerată de putere infinită) pentru ficare simulare se memorează valorile curentului de rețea icircntr-un fișier de date de tip mat (blocul notat cu IrY0ymat icircn schema din fig L177

Schema de simulare se poate modifica ușor de la o simulare la alta Astfel se pot fi modifica

- conexiunile transformatorului de rețea - parametrii sarcinii unghiul de comandă a redresorului - tipul semiconductoarelor redresorului (tiristoare tranzistoare de putere sau

diode) etc Se vor face simulări efectuacircnd unele dintre aceste modificări și se va analiza

curentul de rețea cu ajutorul interfeței grafice 23 CONȚINUTUL REFERATULUI Referatul va conține - listarea programelor Matlab realizate pentru generarea de semnale

nesinusoidale și pentru analiza armonică - rezultatele analizei armonice (aplitudinile și fazele armonicilor valorile

coeficientului THD) ale semnalelor analizate - concluziile privind conținutul de armonici și efectul energetic deformant al

semnalelor analizate - concluziile privind precizia și utilitatea practică programelor de analiză

armonică utilizate și propuneri de icircmbunătățiri a acestora

- 245 -

Lucr area nr 1 8

STUDIUL REGIMULUI TRANZITORIU AL CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE

1 CONSIDERAŢII TEORETICE 11 Generalităţi Spre deosebire de regimul permanent icircn care curenţii şi tensiunile sunt

constante (cazul circuitelor de curent continuu) sau sunt variabile icircn timp cu amplitudini constante (cazul circuitelor de curent alternativ) regimul tranzitoriu este un regim nestaţionar corespunzător trecerii circuitelor de la un regim permanent la alt regim permanent Durata regimului tranzitoriu este teoretic infinită practic icircnsă această durată se apreciază de ordinul sutimilor zecimilor şi unităţilor de secundă şi foarte rar de ordinul minutelor

Circuitele liniare şi invariabile icircn timp (cu parametri constanţi) sunt descrise de ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi După cum se ştie soluţia generală a unor astfel de ecuaţii se poate scrie sub forma unei sume de două soluţii şi anume

)t(y)t(y)t(y f l (L181) icircn care

)t(y l este soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale date obţinute prin anularea termenului liber al acesteia (soluţia ecuaţiei omogene) şi se numeşte soluţie de regim liber sau componentă liberă

)t(y f este o soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale a circuitului ndash numită soluţie de regim forţat sau componentă forţată

Icircn teoria circuitelor electrice se folosesc noţiunile de componentă tranzitorie şi componentă permanentă

Folosirea acestor denumiri este potrivită dacă semnalul excitaţie (tensiune sau curent) acţionează un timp relativ icircndelungat faţă de intervalul de timp cacirct există şi componenta liberă Icircn aceste condiţii componenta liberă e potrivit să se numească componenta tranzitorie ytr deoarece e vorba de o componentă de scurtă durată respectiv trecătoare Icircn regim tranzitoriu sunt prezente ambele componente deci semnalul răspuns va fi de forma

)t(y)t(y)t(y ptr (L182)

- 246 -

După un interval de timp după care componenta tranzitorie ytr(t) poate fi neglijată (se consideră practic nulă) rămacircne numai componenta permanentă y(t) = yp(t) regimul se numeşte regim permanent

Studiul circuitelor electrice liniare icircn regim tranzitoriu constă icircn determinarea tensiunilor şi curenţilor tranzitorii din circuit fie prin metoda rezolvării directe a ecuaţiilor integro-diferenţiale care caracterizează circuitul fie prin metode operaţionale mult mai eficiente care folosesc transformările Laplace şi Fourier

Icircn această lucrare se propune studiul regimului tranzitoriu la conectarea circuitului RLC serie la o sursă de tensiune constantă

12 Regimul tranzitoriu la conectarea circuitului RLC serie la o sursă de tensiune constantă

Se analizează regimul tranzitoriu la conectarea circuitului liniar serie cu rezistor ideal bobină ideală şi condensator ideal la o sursă de tensiune constantă E (fig L181)

Presupunacircnd condensatorul neicircncărcat la momentul iniţial t = 0 şi ţinacircnd seama de prezenţa inductivităţii condiţiile iniţiale sunt

i(0) = 0 UC(0) = 0 (L183) Interesează icircn mod deosebit expresia curentului din circuit i(t) şi tensiunea la

bornele condensatorului uC(0) Consideracircnd curentul şi ţinacircnd seama de faptul ca tensiunea aplicată este

constantă şi de conectarea icircn serie a condensatorului rezultă că pentru t se obţine i(t) = 0 şi deci icircn acest caz componenta permanentă a curentului este nulă i = il = itr

Ecuaţia diferenţială a circuitului se scrie

EidtC1

dtdiLRi (L184)

Derivacircnd această ecuaţie icircn raport cu timpul rezultă

2 respectiv 0iC

idLdtdiR 2

Ecuaţia se pune de obicei sub forma

0idtdi2

dtid 2

2 (L185)

icircn care o L2

R ndash constanta de atenuare (amortizarea circuitului RLC serie)

0 ndash pulsaţia de rezonanţă sau pulsaţia proprie a circuitului RLC serie

Fig L181

L IL(0) K CUC (0)

- 247 -

Rădăcinile polinomului caracteristic p(x) = 2 + 2 + 02 se numesc pulsaţii

naturale sau frecvenţe ciclice naturale ale circuitului

221 (L186)

icircn care s-a notat cu 20

2 mărime numită pseudopulsaţia circuitului Icircn funcţie de valorile lui şi 0 se disting patru regimuri de variaţie icircn timp ale

curentului după cum urmează Regimul aperiodic are loc cacircnd

gt 0 2 gt 0 sau CL2R (L187)

Frecventele ciclice naturale 1 2 sunt reale şi negative Soluţia ecuaţiei (L185) este de forma

00eKeK 21t

121)t( i (L188)

Constantele K1 şi K2 se determină din condiţiile iniţiale (L183) Astfel din

KKK0K K0 2121)0( i (L189)

Din ecuaţia circuitului (L184) icircnlocuind pentru t = 0 i(0) = 0 se obţine

EdtdiL

(L1810)

Efectuacircnd calculul rezultă

EKdtdieKeKdt

(L1811)

Icircnlocuind constantele K1 şi K2 icircn (L188) se obţine expresia analitică a curentului

ttttt eeeL2EeeL2

E 21)t(

i (L1812)

respectiv

tsheLE t)t(

i (L1813)

Pentru t = 0 i(0) = 0 şi pentru t i0 Curentul creşte de la zero la t =0 la o valoare maximă im la t = t m şi apoi teoretic tinde la zero pentru t fără să-şi schimbe semnul ca icircn figura L182

Timpul tm se determină din condiţia 0dtdi

respectiv utilizacircnd rel (L1812)

0eeL2E m2m1 t

rezultă

2m ln2

(L1814)

iar valoarea maximă a curentului este

m1m2m21m2m2m1 t

2t1ttttm eL

E1eL2EeeL2

E)ee(L2E

i (L1815)

Tensiunea la bornele condensatorului se calculează astfel

Fig L182

- 248 -

1e11e1LC2EdteeLC2

2121)t( idtu

Ee1e1LC2E t

(L1816)

icircn care EUe1e1LC2E

Tensiunea pe condensator uC şi componentele sale liberă sau tranzitorie uCtr şi permanentă UCp s-au trasat icircn figura L183 ţinacircnd cont de următoarele

EELC2E0

t0ttr C21

12CC )0(

LC12 202121

Regimul aperiodic critic are loc cacircnd este satisfăcută condiţia

CL2sau R0β0 (L1817)

Frecvenţele ciclice naturale sunt egale şi negative 21 Curentul soluţia ecuaţiei (L1843) este de forma

t1 teKeK)t( i (L1818)

Din condiţia iniţială i(0) = 0 K1= 0 şi deci i(t) = Kte-t Prima derivată icircn

raport cu timpul a curentului la t = 0 este K0t

dtdi iar din ec (L1843) avem

dtdi Aşadar LEK şi expresia curentului pentru regimul aperiodic critic este

tetLE)t( i (L1819

Pentru t aplicacircnd regula lui lprimeHocircpital rezultă i 0 Curentul are şi icircn acest caz o variaţie aperiodică dar mai rapidă regimul numindu-se aperiodic critic deoarece este la limita dintre regimul aperiodic şi regimul oscilatoriu

Valoarea rezistenţei CL2R se numeşte rezistenţă critică

Tensiunea la bornele condensatorului se determină după cum urmează

Eet111e1etLCE

dte1etLCEdtteLC

E)0(UC1

dtiu (t)C

S-a utilizat metoda de integrare prin părţi şi s-a ţinut cont că LC12

02 Sub forma

EEe)t1( tCCC ptr uuu (L1820)

sunt evidente componentele tranzitorie şi permanentă ale tensiunii pe condensator Variaţiile icircn timp ale curentului şi tensiunii condensatorului sunt asemănătoare

cu cele de la cazul cu observaţia că icircn regimul aperiodic critic acestea sunt cele mai rapide (regimul tranzitoriu are durata minimă)

Fig L183

uCtr ndashE

- 249 -

Regimul oscilatoriu amortizat are loc cacircnd este satisfăcută condiţia

CL2sau R0β 2

0 (L1821)

Frecvenţele ciclice naturale sunt complexe

d2d1 jj (L1822) icircn care s-a notat cu

(L1823)

pulsaţia sau frecvenţa ciclică proprie a circuitului Expresia curentului din cazul rel (L1846) icircn acest caz devine

tsineLEtshjeLj

(t)i (L1824)

Intensitatea curentului are o variaţie oscilatorie amortizată ca icircn figura L184a)

Tensiunea la bornele condensatorului se determină astfel

trCUEtcostsineEtdtsineLC

E)0(UC1

0 dCc idtu

(L1825)

(S-a folosit integrala )bxcosbbxsina(baebxsine 22

) Dacă se fac icircnlocuirile

cossin respectiv tg00

(L1826)

se obţine

C esintcossintsincos1Eetcostsin1E)t(u

tsineLC

11E dt

d (L1827)

Formele de undă ale tensiunii uc pe condensator şi a componentelor sale UCp=E

tsineLCEu d

dC tr sunt prezentate icircn fig L184b) Pentru t = 0 rezultă

LCsin)tsin( d0

şi uCtr(0) = 0 uC(0) = 0 De asemenea pentru t

se obţine uC = E Din figura L184b) se mai observă că icircn regim tranzitoriu la bornele condensatorului apare o supratensiune (uC gt E)

ndashE

uC UCp

b) Fig L184

- 250 -

Regimul oscilant Icircn cazul particular (idealizat) icircn care se consideră R 0

avem 02πθ0L2

R d şi 0201 jj Expresiile curentului şi tensiunii

pe condensator rezultă prin particularizarea relaţiilor (L1824) şi respectiv (L1827) pentru condiţiile acestui regim

Etcos1

tsinCL

EtsinLE

i (L1866)

Se obţine icircn acest caz regimul oscilatoriu neamortizat curentul icircn circuit şi tensiunea pe condensator avacircnd variaţii sinusoidale neamortizate icircnsă tensiunea icircn jurul valorii mijlocii egale tot cu E (fig L185)

2 MODUL DE LUCRU Icircn laborator se va studia prin simulare pe calculator regimurile tranzitorii ale

circuitelor liniare de ordinul I și II la conectarea la o sursă de alimentare de tensiune constantă Se exemplifică aici simularea cu programul SpiceNet versiunea ICAPS4 al firmei Intusoft De exemplu schemele de simulare pentru circuitele RL ndash serie RC ndash serie și RLC ndash serie icircn regim tranzitoriu la conectarea la o sursă de alimentare de tensiune continuă (DC) este prezentată icircn figura L186 a) b) și respectiv c)

Se realizează pe racircnd circuitele din figura L186 setacircnd prin program parametrii elementelor de circuit Pentru ficare circuit se studiază prin simulare forma de variație icircn timp a curentului a tensiunilor pe bobină și pe condensator pentru diferite valori ale parametrilor R L C

Pentru circuitul RLC ndash serie se vor modifica corespunzător acești parametri pentru a obține pe racircnd toate cele patru regimuri regimuri de funcționare

Referatul va conține curbele obținute prin simulare calculul constantelor de timp și de amortizare pentru valorile parametrilor setați prin simulare și concluziile care se desprin icircn urma fiecărui regim tranzitoriu simulat

Fig L185

Fig L186

- 251 -

B i b l i o g r a f i e

[1] Antoniu I S ndash Bazele electrotehnicii vol I II Editura Didactică şi Pedagogică Bucureşti 1974

[2] Corduneanu A ndash Ecuaţii diferenţiale cu aplicaţii icircn electrotehnică Editura Facla Timişoara 1981

[3] Mocanu C I ndash Teoria cacircmpului electromagnetic Editura Didactică şi Pedagogică Bucureşti 1981

[4] Mocanu C I ndash Teoria circuitelor electrice Editura Didactică şi Pedagogică Buc1979 [5] Livinţi P Puiu-Berizinţu M ndash Electrotehnică şi maşini electrice Editura Tehnica Info-

Chişinău 2003 [6] Livinţi P Puiu-Berizinţu M ndash Electrotehnică şi maşini electrice Icircndrumar de

laborator Editura Alma Mater Bacău 2008 [7] Potolea E ndash Calculul regimului permanent al sistemelor electrice Editura Didactică şi

Pedagogică Bucureşti 1970 [8] Preda M Cristea P ndash Bazele electrotehnicii Circuite electrice Vol II Editura

Didactică şi Pedagogică Bucureşti 1980 [9] Preda M Cristea P șa ndash Probleme de electrotehnică și mașini electrice Editura

Didactică şi Pedagogică Bucureşti 1982 [10] Preda M Cristea P Spinei F ndash Bazele electrotehnicii Probleme Editura Didactică şi

Pedagogică Bucureşti 1983 [11] Puiu-Berizinţu M Livinţi P ndash Bazele electrotehnicii Electromagnetismul Editura

Tehnica Info - Chişinău 2003 [12] Puiu-Berizinţu M ndash Bazele electrotehnicii Circuite electrice liniare Editura Alma

Mater Bacău 2010 [13] Răduleţ R ndash Bazele electrotehnicii Probleme Vol I II Editura Didactică şi

Pedagogică Bucureşti 1981 [14] Simion E Maghiar T ndash Electrotehnică Editura Didactică şi Pedagogică Buc 1981 [15] Simonyi K ndash Electrotehnică teoretică Editura Tehnică (traducere din limba maghiară)

Bucureşti 1974 [16] Şora C ndash Bazele electrotehnicii Editura Didactică şi Pedagogică Bucureşti 1982 [17] Timotin Al Hortopan V şa ndash Lecţii de bazele electrotehnicii Vol I II Editura

Didactică şi Pedagogică Bucureşti 1964 [18] Tomescu A Tomescu FMG ndash Bazele electrotehnicii Circuite electrice Editura Matrix Rom

Bucureşti 2000

partea 1

partea 2

lab1_cm

lab2_Caractbobnel

Lab3_BNC

Lab4_arcc

Lab5_Dipolul lin cc

Lab6_Teor cir de cc

Lab7_Cuadripolul cc

Lab8_Circ nel cc

Lab9_cmrps

Lab10_retele ca cor

Lab11_Cuadripolul lin rps

Lab12_bobine

lab13_ferorez

Lab14_Ctrifs

Lab15_ Ctrif dez

Lab16_Filtre de comp sim

Lab17_analiza armonica

Lab18_Regimul Tranz bibl

Referenţi ştiinţifici Prof univ dr ing Gheorghe HAZI Prof univ dr ing Dan ROTAR

Tehnoredactare Conf univ dr ing Puiu-Berizinţu Mihai = 80 As univ dr ing Bicircrsan Cătălin = 20

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a Romacircniei PUIU-BERIZINŢU MIHAI Bazele electrotehnicii seminar şi lucrări practice Puiu-Berizinţu Mihai Bicircrsan Cătălin - Bacău Alma MaterBacău 2013 ISBN 978-606-527-313-9 I Bicircrsan Cătălin 6213

P r e f a ţ ă

Autorul

C U P R I N S

Prefaţă 3

ELECTROSTATICA

1 ELECTROSTATICA

limE0qv

vv ED 0 (13)

VplimP

[Cm2] (14)

EP et 0 (15)

EEE)1(D re 00 (17)

[Cm3] (18)

[Cm2] (19)

[Cm] (110)

S AdDψ (111)

AdDψ (112)

AB sdEq

LU (113)

sdEUV0

P (114)

41PE 3

respectiv Rq

41)P(V

VrespectivRRq

E (116)

41dVrespectivR

l l (118)

R41V (119)

- 10 -

qsdE (120)

VgradE (121)

xE (123)

xVE zyx

sau simbolic

vV (125)

unde s-a notat cu 2

operatorul Laplace

- 11 -

KxKV 21

eqAdEe

ee R4EdAEAdEe

Ssf a4Aq e

RdRaRdEsdEV

Fig 11

- 12 -

sau Rq

iaRdERdEsdEV

l vvv ER2dAEAdE

Fig 12 R

0E i 0

Fig 13 l

- 13 -

lll ll

RRln2R

dR2dREsdEPV 0

02v1vv R

2)P(E)P(E)P(E l

Rln2)P(V)P(V)P(V

dddAdq ss

41Ed 2

0vvn R

ddcos41cosdEdE

vnvnv Rddcos4dEEE

+ l ndash l C1 C2

Fig 14

Fig 15

- 14 -

cosRhd

coshdtgh 2

ddsin4

coscos

hcossinhcos

Sv 2ddsin4E

hh2dh2sdEV 00

41Ed 2

1sindEdE 20

1cosdEdE 20

ads 2 și asin

se obține

dsina4dE0

vnl respectiv

dcosn4dE

Fig 16

nvnEdM

- 15 -

2cosa2cos12a4

sinsincoscosa4EEE

vnv Ecosa2E0

l 0Evt

vnv Ea2E0

l 0Evt

42cosa22cos12a2E00

cosa2E0

sin1a2E

2tg2ctg

ln42tgln4sind

Fig 17

- 16 -

a2coscosa2E00

a2sinsina2E00

aa1a4xlaxaa4

xa4dFF

0 02222

12n1212n

llllll

0xlaxllnxlaxlna4

1212t12t

ll aa1a2Ff 2

221n12

a21f 21

1dE 22x0

Ed)00x(

Fig 18

- 17 -

xRxcos

și obținem

4adE 2322x

iii ll2322

2322xxax

iiVgrad l23220

UqC (127)

UqC (128)

+q ndashq

+ minus

Fig 19

- 18 -

qqqq 21

2112 sdEVVU

AqsdEU

+q -q A

Fig110

Fig 111

- 19 -

AqsdEVV

kdAC (130)

1k ke C1

C1 (131)

Cazuri particulare

21e CC

1kke CC (132)

2112 CCC

3223 CCC

1331 CCC

CCC (133)

(2) (2)

Fig 112

- 20 -

CCCCCCC

CCCCCCCCCCC

312331233

231223122

311231121 (134)

0j)k(j

j qq (135)

C jj UU (136)

E]m[j j

j UCq (137)

122 Aplicaţii

qqqq ei

Fig 113

- 21 -

qAdD ED

ER2dAEAdEAdE

hll SS

ll qhR2R2qdAR2

qdAq ii

R2qEhqEhR2 ll

12 RRln2

qdREsdEUe

2UqC l

36kmF1094

1010mF1094

RRln18R

k RRRR2qE l

k12 RRln1

2qRdEU

și rezultă

kk RRln1

- 22 -

kkmaxk l

qqqqAdE 1

41EER4dAEAdE

4qsdEU

12 RRRR4U

Fig 114

Fig 115

- 23 -

(2) 0qqq 421 T2K

[1] 13

[2] 24

T1K (1) 431431 qqqqqq

(2) 321321 qqqqqq

Fig 116

Fig 117

E1 [ 1 ]

+ ndash

ndasha) b)

- 24 -

T2K [1] 0Cq

[2] 24

BA VVCq

din care se deduce

BA423143215

324155 VVCCCCCCCCC

CCCCCq

D + ndash

+ ndash ndash

ndash ndash

+ ndash

Fig 118

Fig119

C2 C4 B

- 25 -

ke qqq

CCCUCC

CUU (1)

CCCUCC

CUCCCUU

CCCUCC

0CCCUU

hellip

CCC1CC

CUCCCU

Fig120

C1 C2 U0

- 26 -

respectiv

CCC1UU

n1 UCq n

Se observă că 0

nUUlim

- 27 -

1k k2k1k

Fig 122

Conductor

VS = const

VS =const

Fig 121

-d1 -d2

Fig 123

- 28 -

RDdRln

RDdR 2

Fig 124

- 29 -

nnnjnj22n11nn

nknjkj22k11kk

nn2jj22221212

nn1jj12121111

qpqpqpqpV

qpqpqpqpVqpqpqpqpV

nnnknk22n11nn

njnkjk22j11jj

nn2kk22221212

nn1kk12121111

VVVVqVVVVq

1nn1nnnknk1n1n0n0nn

jnjnjkjk1j1j0j0jj

n2n2k2k2212120202

n1n1k1k1121210101

UCUCUCUCq

UCUCUCUCqUCUCUCUCq

- 30 -

skjsjk VVq

RRln2V

1lP rr

rrln2rrlnr

221dDa

dDln2V1P

l Fig 125

ndashl

1 +l ndashl

- 31 -

dDdDaln2V2P

110S CC

dDadDln

dDadDln2

dDRdDlnVV

112 ss

dDRdDln36

dDRdDln

2 Vrrln2

1PV l constV0

Fig 126

A B B O1 O2

- 32 -

022011 Va4DD

a2ln2Vln2V

22012112

a4DDa2ln1VV2VVU

a4DDa2lnUC

Da41DDa4DD

D2a411Da4DD

kmFaDln36

mFaDln

- 33 -

2210112a4DD

a2ln2ln2VVU

unde H2D

aHHaln

rrln2VPV

0 rrrrln2r

rln2rrln2PV

hHaln2VhHahHH2ln2V

021 hHa

hHhH4ln2VV

hHahHhH4ln

Fig 127

ndashl

- 34 -

3032410ln411101654ln

și rezultă

nF10F10303241106751

109412

2221212

2121111

qpqpVqpqpV

dacă 02 q rezultă

2112 ppVV

H2ln21

1101q2

hHDhHDln2

1qVp 12

și rezultă

DhHDhHln

m29r12 m411r 21 023rrln

Fig 128

ndashl

- 35 -

2221212

2121111

qpqpVqpqpV

11s pp

22s pp

12221121

112s p2pp

hH2ln2

1p11 l 22

2112 hHDhHDln2

l ah2ln2

1p22 l

rezultă

hHDhHD

]hHD[a

hHDaHh4ln

Fig 129

- 36 -

2 pentru ca icircn

2221212

2121111

qpqpVqpqpV

adDln2

1ppp 02211

l dadRln2

m2112 dRd2ln2

d2ln21ppp

qppVqppV

)dR(ad)dR(2ln

1Sm021

121s12S C2

1)pp(2

2212221212

1122121111

icircn care 2m

m2112222

011 pp

12212202

21121101

VVCVCqVVCVCq

icircn care

- 37 -

ppppppCC

012112010

)pp()pp(p

m122112

3332321313

3232221212

3132121111

qpqpqpVqpqpqpV

qpqpqpV

Fm10112adDln2

1pppp 90332211

Fm10885

d3dRdRln2

m312312

q)pp(Vq)pp(Vq)pp(V

kmF1610pp

1VqCCC

13s2s1s

3332321313

3232221212

3132121111

VVVqVVVqVVVq

icircn care

- 38 -

)p2p()pp(

p)p2p()pp(

)p2p()pp(pp

m0m12312312

332211m0

330233213313

322322012212

311321121101

VCVVCVVCqVVCVCVVCq

VVCVVCVCq

kmF040)p2p()pp(pCCC

m312312312312

kmF0420p2p1CCC

m0131211302010

- 39 -

3332321313

3232221212

3132121111

qpqpqpVqpqpqpV

qpqpqpV

3322110 ppp31p

312312m ppp31p

q)pp(Vq)pp(Vq)pp(V

m00s30s20s10s pp

rrrhhh2

rrrddd

3312312

0rdrh2ln

dddrrr

rrrhhh

3312312

m75523355

23Dhhh 3

2 12r r23

ndashl1

ndashl2

ndashl3

Fig131b)

- 40 -

12 dm71223Dh2

m4510h2Dd 20

m9114510712d 3 2

675911010

37552lndrrh2ln

0880mnF0880

67510412

drhr2ln

mm10r0 m5hh 0

m7832DD2r 33 3

m4510)h2(Ddd 20

m6511D2h2d 22031

m841065114510d 3 2

8558410010

78352lnrhr2ln0

00950mpF

59C sb

m671185)D2h()Dh(hh 33000

m19D3h2d 012 m13Dh2d 023 m16D2h2d 031

cm815dddd 3312312

895815010

783672lndrrh2ln

009420mpF

429C sc

Fig 134

D1 2 3

Fig 133

Fig 132

- 41 -

dV2DEW

icircn care

2DEw e (147)

dV2DdV

1kkke Vq

21W (149)

2e (150)

EqFq (151)

21Eρf 22

ve grad grad (152)

- 42 -

ee dVfF (153)

1kkkkk xXqVdW (154)

constqk

respectiv

constVk

constq

dWF 22

constU

- 43 -

Mr = kR

CU21WM 2

constV

R2 kCU

k2kk unde kU

12 Uk2k

k sau kU

Fig 135

- 44 -

xxWF 22e

ctUctU

xaCCC 00

Rezultă astfel

1Ub2a1U

gradf e2E

dxd igrad

e abE2

abdxdadE

1Ub2aF r

L x = l

Fig 135

- 45 -

ah2lnhh4

N04904000ln

105020ln

11000010

1001036

Fig 136

- 46 -

de unde d

2dRRDln

RadRln

RadRlndR

dU2dCU2

- 47 -

a4DDa2ln

şi forţa rezultă

şi llq

dispuse

- 48 -

xbaC 0

Ugaggg

N107400030006000602

0030100101094

Fig 138

U + C1

- 49 -

CCCCCCC

CCCCCCCC 00

F6611220

32353235

C2CC2CC

C102100102UCqq 46A

- 50 -

V40105102

V60V40V100UUU 0AB0

C109696010661UCq 56B0

C10qqqqq 4C42

V5010101010040C

qUUUU 6

C0AC00AAC

Rezultă

J101010221UC2

1W 2462e

J105710

1022422422

CCCCCCC

qq21W 2

J10429010571010WWW 2220

- 51 -

S dAcosBAdB (21)

mH104 70

- 52 -

3vv RRsd

4HB oo

μμ i (22)

Sm θsdHu (23)

A3RRsd

cosrds 2

2sinsinr4

Iedscos

coscos4IeH

Fig 21

Fig 22

- 53 -

sdH solenația

r2IHr2HdsHsdH

Rsd4H i

Rsd21Ad

R4H ii

AdAd0Adb

naAd 2

3 Da2an

R2aH 2

Fig 23

xHd n a

- 54 -

dsRRsdsdR

4HH 23xii

sinR2aH 2

i Rasin 2322

3 Da2a

ldi Acesta poate fi

adH 2di dxsin

R2adH 2 l

adx 2 sinaR

dsin2Nid

sinaNisin

21 coscos2iNdsinl2

iNdHH1

2NicosNiH

- 55 -

3 ELECTRODINAMICA

e (31)

tre (33)

lBve (36)

Fig 31

- 56 -

tsinNdtdN m

sau tsinEm e (38)

mmm fN444fN

sd)B(sdE ve (310)

sinBNb2b)B(N2 vve

Fig 33

Fig 32

- 57 -

tsinEtsinabNB2 m e

34πtωcosΦΦ

3π2tωcosΦΦ

tcosωΦΦ

34tsinE

32tsinE

sd)B(Adt

BsdE ve

Fig 34

e1 e2 e3

Fig 35

Fig 36

- 58 -

costBAd

respectiv

tsintcosabBdAtsintB

SL (313)

0NL00 22

121212ψ

ii ii (314)

Analog

0NL00 11

ii ii (315)

- 59 -

2112 R

sdsd4L (316)

r2NHNr2H

2NhhdrHAdB

NH lii

ANNLAN

BA lili

Fig 37

- 60 -

AdBBAdB

adln2dxxd1

Se poate aproxima

8drr2ra2

dV2H2W2L

mHkmadln410Hm

4L2LL rr

dadlnb2r

drb2drBbAdB 10ad

i 2a 2a

r dr i

Fig 38 a) b)

r dr b

Fig 39

- 61 -

2bL 012

ΛR (317)

μAml R lRΛ

j 0 (319)

- 62 -

jmj[m]j

jθ R (320)

mm602l mH400

111 IN

222 IN

333 IN

WbAsp290A2 22

llRR WbAsp170A

T1K 01 321

T2K 2122m11m1 RR

3233m22m2 RR

32m23m13m2m1

- 63 -

32m1m21m12m

31m23m1m13m

Wb29142

INsdH S

H2HHsdH 331022 lll

mAsp679105104

T85110390

105AkBB 4

Fig 311

a a l1

- 64 -

Asp184379190H 2Fe2 l

Icircn juguri

B 33334

INsdH S

Fig 312

aa00 HHHsdH ll

- 65 -

AAABBH

mAsp1010400104

105H 667

0ABABAdB a

0 mWb25110400

mAsp976H0

mWb251Ba mAsp1430Ha

Asp14641721000292

1201430101030976lHHlH 36aa00S

22 Smm

slNIRU

m mm1540m10154012021464120100210

- 66 -

A3850JsI

spire1900385021464

I22N S

2Cu mm29215401900s

2cubob mm97030

- 67 -

kkm 21W i (321)

)kj(1kj

kjjkm LL21L

iiiii (322)

m ii (323)

212222

2111m ML

21W iiii (324)

m w (325)

dVBH21dVW

m wm (326)

21w (327)

constk

WXrespectivxWX

i (328)

- 68 -

)τdτdμH(

21BJf 22

m gradgrad (329)

corpVmdVfF (330)

dVBJdVfFcorpcorp VV

AdJBsddVsdAdBJFcorp

respectiv N

BsdF i

Fig 313

- 69 -

m i se determină

t2ctdWF

sau dL

2ctL21

dctdWF

iii dl

şi rezultă

d2F 0d

w este

mFe 2B

w deoarece

ABA22BVW 00

2m ABct)B(

Fig 314

- 70 -

2112222

211m LL

21W iiii

m LWC ii

010111

1NHBNH

cosANNABNNL 221

1212 liii

sinANNC 21221

C N2i2

l Fig 3 15

- 71 -

Fig 41

(4) [1]

E6 R6 [3]

- 72 -

knk21 UUUUUU (41)

k ERIU (43)

ee ERIU (44)

I R1 E1

Fig 41

I Re Ee

- 73 -

R1Gşi

GIU (47)

1k kk I

G1UU (48)

G1U ge

ee (49)

Fig 42

Fig 43

- 74 -

1kke RR (411)

RUI (413)

kk (414)

Fig 44

Fig 45

I Re Ee

R1 E1 I1

R2 E2 I2

Rk Ek Ik

Rn En In

- 75 -

kkkkk R

ER1UIIREU (416)

ER1UII (417)

ee (418)

1kkII (420)

Ig2 I2 G2

Igk Ik G2

Ign In G2

I Ge A

Fig 46

- 76 -

ke IIGG (423)

ke R1G sau

R1 (424)

21e RR

(1) (j)

Ek (k)

(1) (j)

(k) (n)

G1j E1j

Gkm Ekm

Em1 G1k

Gjm Ejm

ijn i1j

Fig 47

- 77 -

0)EVV(G j0

m21jEGEGVGVGG

1kjkkkkkjkm

kjkjkkm

jj EEGUG

)jk(1k

kjj )EE(

GGI (428)

jkjkjk

- 78 -

jkj EEG

GGGGGG

GGG321

EEEEEEEEE 133132232112 (435)

RRRRRR R

RRRRR RRRRRR

313131

323223

212112 (436)

R23 E23

(2) (3)

Fig 48

- 79 -

GGGGGG

231323133

231223122

131213121

respectiv

231312

RRRRRR

jk321jEEGEG3

1kkjjkjkjk

respectiv

3113211213131212 EEGEEGEGEG

3223122123232121 EEGEEGEGEG

3223113

2112332

1331221

GGGEGEGE

sau sub forma

3232313133

2121232322

1313121211

EGEGEG

- 80 -

23s31s3s

12s23s2s

31s12s1s

IIIIIIIII

Fig 410

Fig 49

R12 R23

- 81 -

154321

REUIIIIII

1k ke R1

321321

GUJIGGGUJJJI

321e321e GGGGJJJJ

Fig 411

- 82 -

te RRR

lRR411

RRRRRRR

Fig 412

Fig 413

Fig 414

- 83 -

13322112 R

RRRRRRR

R3RRRR 312312

de unde se obţine

R32R aa

312312

13121 RRR

Fig 416

Fig 415

- 84 -

Rezultă

RRRRRRRRRRR

de aici rezultă

RR3R4RR4

R158R ab

RR2RRR

R157R ac

Fig 417

Fig 418

- 85 -

caacaa RRR

unde ca

Rezultă

3r2R aa

bcab rrr

icircn paralel Deci

15R8R2R bcab

bcac RbRR

Fig 419

- 86 -

unde 2RR ab

Metode de analiză

ecuaţii obţinute

Fig 420

- 87 -

0IIII2

87887733

74776644

5665522

1332211

EEIRIRIR4

EEIRIRIR3

EIRIRIR2

EIRIRIR1

T1K nlln 0IA

I2 I3R2 R3

(1) (3)(2)

(4) (5)

- 88 -

IIIIIIII

00111000

01100001

1000010101100011

11000100011010000011001000000111

lll SIK

1ll SKI

EE0000

RR000R000RR0R00000RR00R000000RRR11000100

011010000011001000000111

[1] 143

1321 EIRIRIRRR

[2] 536

12 EIRIRRRIR

[3] 7447

26 EEIRIRRRIR

- 89 -

[4] 874873

13 EEIRRRIRIR

Matricial

44 EIR

t84884

EBRBR 8844 EBE

t848 ERBIBI

1521 EGEGVGVGVGVGGG

(2) 7746

12 EGVGVGVGGGGVG

8sc844sc

EGEGEGEG

EGEGEG

0011100010000101

0110011000010011

- 90 -

0IIII 5321 (1) 0III 542 (2)

Fig 422

50I20I5 31 (3)

848 IGAVAU

- 91 -

80I60I8 52 (4) 0I60I40I20 543 (5)

3251 IIII (1rsquo)

254 III (2rsquo)

0I5II2 532 (5rsquo)

A701217370

65152520150

5121502

151510

150201510

A122502

152021101

2171I3

A10101220021051

2171I5

A521122701101I1

A600122701101I4

- 92 -

b5a3c543

2c5b52

1c3a31

0I60I20I12080I60I6850I20I25

0I6I3I20I15I17

10I40I5

A521217330

225685104502401020

63115170

630151720

A701217370

12780150600

60115200

2171Ib

A600217130

127300170

031201701005

2171Ic

A116071IIIA600IIA12260521III

A701IIA521II

- 93 -

12222121

11212111

EGVGVGEGVGVG

GGGGGGG

Fig 423

01670601

0250401

0500201

125081

200051

- 94 -

şi deci

166700167002501250G

275025005002000G

801250V1670V0250

5020V0250V2750

10V1670V0250

10V0250V2750

1670025002502750

167010025010

1670025002502750

100250102750

A105160

A60040

20663542R

A12220

26680R

354250R

- 95 -

Ri = Rab0 (442)

Fig 424

Rab Uab

a (DLA)

Rab Uab

Gab Uab

Gi Isc

- 96 -

şi deci

abab RR

abab GG

IU (444)

Rab Uab

Iab Uab0

Fig 425

Gab Uab

Fig 426

- 97 -

0IR IR IRIR

EIR IR IRIR

0IR IR IRIR

ooookoo

jk22j11j

k222121

1k1212111

kjk EII

kjjk )1(

jkj EII

Prin definiţie

Fig 427

CLP kIRj

- 98 -

Ijk = Ikj

1kkkjj E

3105 RR

1223310 UUU

34423 IRU

122212 IREU

(1) (3)

Fig 428

- 99 -

Fig 429

35RREEI

V90UV1507080UV60U 3102123

43310 A5

61290I5

2305 RR

E1 i E3

(1) (3)

I32U23U21

R 3R 4

R 1 R 2

(4)(1)

Irsquo

Fig 430

- 100 -

IREU i14

4321i RRRR

43214321i

432114 RRRRRRRRRN

ERRRRU

U 43112

ERRRU 213

0IRRRIRIR0IRIRRRIR

EIRIRIRRR

15 RRRREIII

8R4R2R15R5R10RV40EV60E 65432121

UI1204

sc44 GE

120sc44 RR

I4 (2)R4

(4)(3)Fig 431

- 101 -

3 IREU

sc4sc4 III

Fig 433

- 102 -

65231120 G1

C DFig 435

Fig 434

sc4I 2I

- 103 -

0iRiRiR

444334224

44333223113

424223222112

313212111

unde s-a notat

RRRRRRRRRRRRRR

3424444

342313333

242312222

1312111

443424

343323

242322

443424

34332313

24232212

131211

443424

343323

242322

RRR0RRR1RRR10RR0

RRR0RRRRRRRR0RRR

RRR0RRRERRRE0RR0

0iI 11 sau 0

RRR0RRR1RRR10RR0

443424

343323

242322

- 104 -

0RRRRRR0RR

443424

0RRRRRRRRRR 31213244241334124

0RRRR0RRRR

312132

24133412

122 RR

- 105 -

T1f (52)

T1Y (53)

TSSdty

med (54)

- 106 -

Y max (57)

T1Y (58)

medf Y

YK (59)

max (510)

yFtsinY2ty (511)

- 107 -

YOAOAtsinY2ty (513)

- 108 -

YeYtsinY2ty j (517)

Ye2Imty tj (518)

- 109 -

tsinYa2tay (519)

tsinY2dt

tdy (520)

2tsinY2dtty (521)

- 110 -

maxI este

II max

Perioada s020501

Pulsaţia s

rad100f2

6sin10

23sin10

sin102

0sin10

ti sin10

180105t1081sin1090t1081sin10

2t100sin10

2tsin10i

180101081sin101801081sin10

100sin10sin10

Fig 55

- 111 -

1051t1081sin10

270t1081sin102

3t100sin102

3tsin10i

1035t1081sin10

30t1081sin106

t100sin106

tsin10i

322512sin301te

32512cos1022

Soluţie

Hz4002

310524001

EEV30E max1

1max1 V102

2sin303

26001800sin30e

5cos1023600

1800cos102e 2

2120010

1t800sin303

2t800sin30e1

- 112 -

5150020

9601t800sin102

3t800cos102e2

0002112 270150120 sau

sec2400

t800sin30

12001t800sin30e

2t800sin102

9601t800sin102e

d) 11 800sin30 te

111 sin2

22sin 11

Rezultă

4800sin301

4800sin1022

Fig 56 a) b)

1 nlo (61)

0coscos

IUR (62)

0sinsin

IUX (63)

cos sinZX

22 XRZ (6)

0coscos

UIG (67)

0sinsin

UIB (68)

BGtg cos

22 BGY (69)

122 BG

2ZRG 2Z

XB 2YGR 2Y

BX (610)

CLRfjXRZeI

UZ j (611)

CLRfjBGZeUI

UIY j (614)

0I)k(j

k = 1 2 hellip n (616)

0I)k(j

k = 1 2 hellip n (617)

0IV)k(j

1jjj 0IU respectiv

1jj 0S (619)

j 0Q0P (620)

0IEIIZIU1j

respectiv

1jjj IZIE (623)

IXsinIEIRcosIE1j

1kkkbj

Fig 63

expresia 3

tsin3 i

Rezolvare

tsin60u

tje60u

3j12153sinj3cos2

60U 3j

6sinj6cos2

20je20e3

050je050e20

Z1Y 2j

00 18075j4j

je20e20Z

je90e90S

Fig 64

00 180105j43j e2

00 18015je2

3I 43j

5tsin1002u

j1250e100U 45j

Lce jXRe255j5

jXRjXR

5R e 5X c

e jBG101j

S101G e S

Fig 65

c) 210je210ZUI 3

j125e10LjR

RII 45j

j125e10LjR

LjII 45j

tsin2102iC

5tsin102iL

tsin102iR

tsin1002Riu RAB

1000j1000e21000IUS 47j

W1000iRP 2

VAR100IC

1ILQ 2C

Fig 66

R W= UIt = 220∙03∙15∙60 = 59400Ws = 594003600 Wh = 165 Wh = 00165 KWh

R ΔU = RI = 05∙8 = 4V Δu = 4220 ∙100 = 18 W = 00165 KWh

R P = UIcosφ UI I = PU = (500+30+100)220 286 A

R 60ZRcos52251XRZ 2222 53o

- 121 -

PROBLEME REZOLVATE

ZeZmarctg742ZZ

)192j741(9j1139j

9j11)2j3)(2j2(3

A7138742380

A240I3I f l

Fig 71

- 122 -

kVA158IU3S

A430503803

00010cosU3

A08470j010314j220

LjUI f

F1031C3C 3

A02723j220314103

10jUCjI 63fsteaC

Fig 72

L Pi PM

IM IL IC Ii

3380220V 50Hz

- 123 -

A4545220300030

95008646560

IIecos

V)973j138()6820j6560)(10386314j102(500IZU 74 lll

V)973j13228(UUU ff0 l

coscos1

Iluminat 30 000 W

VA643954QPS 22

A666U3SI

910SPcos 1

2 = 13307 W

Ql = 3l LsI2 = 1333 VAR

TOTAL 41 3307 19 554 VAR

VA72345QPS 220

V396I3

SU 00 l

90SPcos 0

- 124 -

ΔU = V48580253210065313cosS

cosU3P

7000 = 1477A

- 125 -

- 126 -

= 4000(09 3 middot380middot07) = 965A

= 2000(09middot380middot07) = 835A

ΔU = V6727018634

ΔU= V021670108634

- 127 -

)tsin(Y2)t(y

11 eYYeYYeYY (72)

d2dd1 YaYYaYYY (72)

- sistemul omopolar

YYaYaYYYaYaY

YYYY (75)

YYY31Y

YaYaY31Y

- 128 -

N Se cer curenții

V100UUU31U

V7157UaUaU31U

V342UaUaU31U

0T0S0Rh

R IR Z

IR IS IR

Id a2Id aId

Id Rd Z Id

Ii aIi a2Id

Ii Ri Z Ii

- 129 -

A)5j661(IIIA661ZZ

UIA5jZUI

A)15j5(III

A5IIII

A15jIIII

A)323j661(IIaIaI

A328IIII

A984IIaIaI

A15jIIII

A)323j656(IIaIaI

A)323j323(IIaIaI

A)15j328(IIII

IZUIZUIZU 333222111 (77)

)IIaIa(ZU)IIaIa(ZU

)III(ZU

Ih Ih Ih

Ih Rh Z Ih

Fig 75

U31 U1

- 130 -

IZaZaZIZaZaZIZZZ3

IZaIZaIZ31UaUaU3

21i322

221132

hhiddih

hiihddi

hdiidhd

IIIUIIIUIIIU

23i122

3123d UaUaU31UUaUaU

31U ll

0)UUUUUU(UUU31U

eU3U3j

UUaUUaUU31UaUaU

)UaUaU(a31)UaUaU(

31)UaUaU(

211332123123h

3212312

1332122

- 131 -

)II(3jU)II(3jU

IaIaIIaIaI

302010h

UUU31U

UaUaU31U

UUU31U

UaUaU31U

U)]UU()UU()UU[(31UU

0)UaUaU(31

)UU(a)UU(a)UU[(31UU

0)UaUaU(31

)UU(a)UU(a)UU[(31UU

0N220220110hh

2202202

220110dd

Fig 76

- 132 -

hhiddi0Nhh

hiihddii

hdiidhdd

IIIUUU

0II0U TSR

II0IIIZU scRTSRaR

UR US UT

Fig 77

UR US UT

Fig 78

- 133 -

hidahid

dhid Z3ZZZ

ahidsc Z3ZZZ

Tensiunile rezultă

Z3ZZZEZ3IZ3UUUU

ahahidR

1Z N32 Z0ZZ

Id Zd Ed

Id = Ii = Ih

Fig 710

- 134 -

IIaIaIIaIa0III

UUaUaUUaUa

II0I0UUU idhhid

EZZZIZEUUIZZ

iddidi

TSsc ZZE)aa(IaIaIII

ZZEZUU)aa(UaUaUU

ZZEZ2IZ2UUU

idiidR

0UUU idh

ZEaIaI

Ud = Ui

Id Zd E

SMd SMi

Fig 712

E dZ dI

Fig 714

Fig 713

a2E IS

Fig 711

US = UT

- 135 -

)0()0()0()0()0()0(

LLL ψψψiii

- 136 -

00 dtdLdt

dψ)0(u LLL

i (84)

2Li (85)

)0(u)0(u)0(u)0(q)0(q)0(q

duCdtdq)0(i (87)

ce (88)

)0()0()0()0(

LL ψψ

Fig 81

)0()0( LL uuuL

)0()0(

Fig 83

)0()0( CC ii

Fig 84

- 137 -

0ERidtdiL

tititi 21

din care tLR

1 Aeti

ti o2 este o

t0 e1R

30 e1RE3i

a) b) Fig 81

- 138 -

0t0RidtdiL

0 eREti

a) b) Fig 82

i(t)t = 0R

001 st

003002

0a) b)

Fig 83

- 139 -

0ERidtdiL

0 AeRE

000 RR

t100tLR

000 e912eRRE

unde pRR

0 e80e

i(t) R1

Fig 84

- 140 -

0RRdtdL p ii

0i0i 0 este

ti pRR

R p este mai mic

a) b) Fig 85

- 141 -

PARTEA A IIndashA

Lucr area nr 1

FEROMAGNETICE

pt MMM (L11)

HM mt (L12)

MHB 0 (L13)

- 142 -

0 0 rmB 1 H H H (L14)

st (L15)

d (L16)

- 143 -

B Mat mag moi

Fig L13

Mat mag dure

Ciclul limită

Cicluri parţiale

Fig L12

- 144 -

1Hemax

2N IH H K I l

emax B2

2UB B K UN S

Ua ~ N1 N2 U

Fig L14

- 145 -

3 MODUL DE LUCRU

U [V] helliphellip

H [Am] helliphellip

B [T] helliphellip

N1 N2 U

V 220V 50Hz

Fig L15

220V ~

Fig L16

- 146 -

- 147 -

Lucr area nr 2

Lu (L22)

Fig L21

- 148 -

Fig L22

0 t 0 T

Fig L23

Fig L24

- 149 -

dtd[dt

d )(])()( s21

iiiuuu (L24)

dtd[dt

d )(])()( d21

21c2c1c

iiiuuu (L25)

Fig L25

0 i Ic

Fig L26

0 i Ic ndash Ic

- 150 -

Fig L27

0 t 0 T

1(iIc) 2(iIc)

Fig L28

0 i 1(iIc)

-Ic Ic

2(iIc) c

-Ic Ic

d(iIc)

s(iIc)

1(iIc)

2(iIc)

d(iIc)

- 151 -

Fig L29

A1 X1 X2 A2

F1 F2 F3 F4

220V 50Hz ATR

- 152 -

Lucr area nr 3

Fig L31

Fig L32

0 t 0 T

- 153 -

Fig L33

Fig L34

- 154 -

Fig L35

Ic1 Ic2

- 155 -

a) b) Fig L36

0 Ip =0

Us2 gt Us1

Us2 Us1

Fig L37

- 156 -

Lucr area nr 4

11 1 12 2 1k k 1o o [1]

21 1 22 2 2k k 2o o [2]

m1 1 m2 2 mk k mo o [m]

R I R I R I R I E

o1 1 o2 2 ok k oo o [o]

R I R I R I R I E

icircn care

- 157 -

mm jR R

j [m][k ]

mk jR R

j [m][m] jE E

o1k 2k mk ok mk

k [1] [2] [m] [o] [m]m 1

I E E E E E

j m[m] j

]3[333232131

]2[323222121

]1[313212111

3242132211

IIIIIIIIIIIIIII

Fig L41

[2] [3]

- 158 -

11 1 12 2 1k k 1n 1 n 1 sc(1)

21 1 22 2 2k k 2n 1 n 1 sc(2)

i1 1 i2 2 ik k

G V G V G V

in 1 n 1 sc(i)

n 11 1 n 12 2 n 1k k n 1n 1 n sc(n 1)

ii jj (i)

j (i)(k )

ik jG G

I G E I

Ej Rj Ij

Ijsc=EjRj=GjEj

Fig L42

Igj=GjEj

Gj=1Rj

- 159 -

1 2 3 1 2 2 3 3 g1

2 1 2 4 5 2 4 3 g4

3 1 4 2 3 4 6 3 g4

3625324

3132121141

VUV UVVUVVUVVUVVVU

Ej Rj Ij

Fig L43

(i) (k)

j j j j j j j j

(V4=0)

(4) I1

3V I6 1V I4

Fig L34

- 160 -

2 MODUL DE LUCRU

1 2 3 4 5 6(1) -1 1 1 0 0 0

A(2) 0 1 0 1 1 0(3) 0 0 1 1 0 1

1 2 3 4 5 6[1] 1 0 1 0 0 1

B[2] 0 1 1 1 0 0[3] 0 0 0 1 1 1

Fig L45

3I R6 R3

R6 R3 b)

Fig L46

[2] [3]

(3) (4)

- 161 -

R 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 00 R 0 0 0 0 0 G 0 0 0 00 0 R 0 0 0 0 0 G 0 0 0R G 0 0 0 R 0 0 0 0 0 G 0 00 0 0 0 R 0 0 0 0 0 G 00 0 0 0 0 R 0 0 0 0 0 G

R [I ] [E ] (L47)

scG V I (L410)

I G U E (114)

- 162 -

Lucr area nr 5

Sρ2R l

l (L51)

E U1 U1 U2

(1) (2)

Rs U2 Rs

- 163 -

IR1IUIRIU

PPη ll (L55)

1sc11 P2 = 0 = 0

(L54) rezultă

sc1 I2

1R2U|I

max2 (L56)

max2 ll

l (L58)

- 164 -

I [A] U2 [V]

P1 = U1 I [W] P2 = U2 I [W] U = U1 - U2

Fig L52 Isc

U2 P1 U

- 165 -

Lucr area nr 6

Fig L61

Rab Uab

a (DLA)

Rab Uab

Gab Uab

Gi Isc

- 166 -

Ri = Rab0 (L61)

abab RR

abab GG

IU (L63)

Rab Uab

Iab Uab0

Fig L62

Gab Uab

Fig L63

- 167 -

0IRIRIRIR

EIRIRIRIR0IRIRIRIR

0IRIRIRIR

ooookoo

jk22j11j

k222121

1k1212111

kjk EII

kjjk )1(

jkj EII

Prin definiţie

G (L67)

Fig L64

CLP kIRj

- 168 -

G (L68)

1kkjj EGII

Fig L65

R3 R4 R2

(a) (b)

(c) (d)

- 169 -

Tabelul L61 I1

[A] I2

[A] I3

[A] I4

[A] I5 (Iab)

[A] Uab

[V] R1 [Ω]

R2 [Ω]

R3 [Ω]

R4 [Ω]

R5 [Ω]

[V] Rab0

[Ω] Iabsc [A]

Valori măsurate

Valori calculate

Fig L66

ndash R3 R4

V0 Uab0

Rab0 (a) (b) (a) (b)

- 170 -

Tabelul L62 I11

[A] I12 [A]

I13 [A]

I14 [A]

I15 [A]

I21 [A]

I22 [A]

I23 [A]

I24 [A]

I25 [A]

I1 [A]

I2 [A]

I3 [A]

I4 [A]

I5 [A]

Valori măsurate

Valori calculate

Fig L67

I11 I13

I14 I12

R3 R4 R2

I21 I23

I24 I22

- 171 -

Lucr area nr 7

(1) (2)

[1] [2] U1

Fig L71

- 172 -

0IRIRIR

UIRIRIRUIRIRIR

ooo22o11o

20o2222121

1oo1212111

211222111

2112221112

22 AAAA

2222211

2122111

1AAAA 21122211 (L74)

scurtcircuit

- 173 -

1010e A

AIUR (L75)

sc1sc1e A

AIUR (L76)

2020e A

sc2sc2e A

AIUR (L78)

sc1e10e

sc1e10e20e21

sc1esc1e10e

sc1e10e20e

- 174 -

figura L72

212112

r1Ar1A

rrrrrA

rr1A (L710)

UAIUAU

(L711)

- 175 -

222sc1

212sc1

IAIIAU

(L712)

sc1101

UUU (L713)

(2) A2

V2 R2 U2

- 176 -

Lucr area nr 8

tgkRR sst iu (L81)

tgβklimR s0d di

duΔiΔu

Δi (L82)

us raportul

Rdgt0 Rdlt0

Fig L81 0

Fig L82

- 177 -

Fig L83

Fig L84

- 178 -

Fig L86

Fig L85

Fig L87

- 179 -

IRUU d0 (L84)

)I(U)I(U)I(U 21 (L85)

P U0 I

Fig L88

Fig L89

U1 U2 U2

U(I) U2(I)

- 180 -

)U(I)U(I)U(I 21 (L86)

I = I1 + I2 U1 U2 U(I) = U1(I) + Un(I) (L87)

Fig L811

Rn1 Rn2

Up P I1

U1(I1) U2(I2)

Fig L810

Rn1 Rn1

I I1 I2

Up P I1

I U1(I) U2(I)

- 181 -

Tabelul L81

~ ~ ~ =

R A2 A3

Fig L812 SR

- 182 -

Tabelul L82

- 183 -

Lucr area nr 9

(axa reală)

Fig L91

Fig L92

- 184 -

IUZ (L93)

UIY jj

2121 YY)t(y)t(y (L96)

YjYe)2

tsin(2dtdy )

Yj1eY)

2tsin(Yydt

- 185 -

trigonometric) cu 2

IZIC1LjRUUUU CLR

(L913)

jXRC1LjRZ

(L914)

arctgarctg RC

1-ωLRX

ZUII 22

(L915)

Fig L93

R L C i

u uR uL uC

- 186 -

1f LC1f2ωC

1LXX 0000

(L916)

(L917)

dtdCdtL

Fig L94

iR iC iL

= 0 RII

- 187 -

UCjULj

1UGIIII CLR

(L921)

1CjUGI

(L922)

jBGY (L923)

LC1f2ω

L1CBB 000o

(L925)

(L926)

- 188 -

crt [V] [A] [V] [V] [V] [] [] [] [] 1 2 3

Tabelul L92

Fig L95

VL VC 220V

Fig L96

220V ~ L

- 189 -

Lucrar ea nr 10

1n21k0I)k(j

(L101)

1n21m0U]m[j

l (L102)

- 190 -

1nn21kJII)k(p )k(s

spE)k(j

(L103)

sJ]m[j

jj EUIZ m = 1 2 o

(L104)

unde j

]m[ssJ

]m[j jkkkjj

jjjjj EUILjICj

1ILjIR

]m[ssJ

(L105)

pE sJ pEI

Fig L101

(IE)p (UJ)s

- 191 -

ZLjLjLj

LjLjLjLj

LjLjZLjLjLjLjZ

kkjk21k

1j2221

1j1121

llllllll

ll (L1011)

- 192 -

[B]]Z[[0][A]

JJ (L1013)

sau SNKi (L1014)

SKN 1i (L1015)

EIZIZIZIZ

EIZIZIZIZEIZIZIZIZ

(L1016)

jk]m[j

jmm ZZZ (L1017)

]j[q]m[p

]j[k]m[k

kmj ZZZ (L1018)

[m] mI

Fig L102

- 193 -

j]m[ EE (L1019)

oo ]E[]I[]Z[ (L1020)

lll (L1023)

[m] mI

Fig L103

[j] jI

[m] mI

[j] jI

- 194 -

V)10j45(EV)25j30(EV)45j50(EV100jEV100E 54321

10RR10RRR 54321

C110LLLLLLL

5425432211

)Cj(1 4 )Cj(1 5

jL1 jL2

R1 R2 R3

E1 E2 E3

)Cj(1 2

I1 I2 I3

I4 I5 R4 R5

[1] [2]

Fig L104

- 195 -

]00111[A

010000011000101

)Cj(1LjR00Mj0

0)Cj(1LjR00Mj

Mj00)Cj(1LjLjRMj

0Mj0MjLjLjR

25211112

1412111

54321 EEEEEE

- 196 -

Lucr area nr 11

2222211

2122111

IAUAIIAUAU

(L111)

CUADRIPOL DIPORT

(1) (2)

Fig L111

- 197 -

A11 A22 ndash A12 A21 = 1

1111212

1121222

IAUAIIAUAU

(L113)

1111212

1121222

IAUAIIAUAU

(L114)

2221212

2121111

IZIZUIZIZU

(L115)

- 198 -

IFUFIsau

UHIHIUHIHU

2221212

2121111

2221212

2121111

2221212

2121111

UYUYIUYUYI

(L117)

(L118)

(L119)

2112 YY

- 199 -

1010e A

AIUZ (L1110)

sc1sc1e A

AIUZ (L1111)

10U U2 = 20U şi I2 =

20e AA

Z (L1112)

sc1e10e

sc1e10e20e21

sc1e10e

sc1e10e20e

(L1113)

R1YRZLjRZ 32111 (L1115)

Fig L112

~ 220V

R1 L1 R2

R3 A2 V2

- 200 -

UAIUAU

(L1116)

222sc1

212sc1

IAIIAU

(L1117)

sc1101

IIIUUU

(L1118)

Fig L113

R1 L1 R2

(2) Rs

- 201 -

Lucr area nr 12

jXRZeIUZ j ( L121)

Z1jBGYe

UIY j ( L122)

RXtan ( L123)

SPcosQPSXIQRIPXRZ

( L124)

FigL121

Z U Lj1

- 202 -

SPcQPSBUQGUPBGY

222jLG

( L125)

Tabelul L121

U I P S = UI

cos = PS

Z = UI

R = Zcos

X = Zsin

Y = IU

G = Xcos

B = Xsin

P = RI2

P = GU2

Q = XI2

Q = BU2 Nr

Fig L122

P = RI2

jQ = jXI2

ndashjQ = ndashjBU2

0 ndash

ndashjB

ndashj

0 ndash

P = GU2 +1

ndashj

Fig L123

Fig L124

~ 220V 50Hz

- 203 -

XXRRZXXXRRR 221

2212121 ( L127)

Tabelul L122

U I P S = UI

cos = PS

Z = UI

R = Zcos

X = Zsin

R = R1 + R2

X = X1 + X2

[V] [A] [W] [VA] [] [] [] [] [] [W] [VAR] 1 2

R2R2R2

R1R1R1

Fig L125

~ 220V 50Hz

R1 L1 R2 L2

Fig L126

jX2 Z2

- 204 -

IMjILjIRUIMjILjIRU

111 ( L128)

0M2LLL 21a ( L1210)

0M2LLL 21d ( L1211)

41M ( L1212)

Mk ( L1213)

Fig L127

U a) b)

I U2 U1

L1 L2 R1 R2

- 205 -

111122

222222

21 ( L1214)

Tabelul L123

U I P S = UI

cos = PS

(a d) R =

R1+R2 X =

Rtg Xm k =

21m XXX P = RI2

Q = XI2 Nr

crt [V] [A] [W] [VA] [] [] [] [W] [VAR]

1 Xa =

2 Xd =

Fig L128

jMI R2I

I a) b)

- 206 -

)XX(41X dam ( L1215)

Tabelul L124

Nr crt U I P S =

Q = = BU2

Fig L129

~ 220V 50Hz

- 207 -

CEkYDEkBCDkG

OCkYACkBOAkG

s2s2s2

s1s1s1

( L1218)

221m12222

2m1121111

( L1220)

eIUZZZ

ZZIeIUZZZ

ZZI 21 j22

Fig L1210

Fig L1211

- 208 -

j1 2 m1 2 2

( L1221)

Z2ZZZZZjXRLjRZ

( L1222)

M2LLMLLL0R

( L1223)

222122221

112121121

iiii (

cosIMI2ILILQQQ

IRIRPPPjQPSSIUS

( L1226)

Fig L1213

~ 220V 50Hz

+1 -2 I2

R2I2 I1

Fig L1212

- 209 -

Tabelul L125

U I P S = UI

cos = PS I1 P1

S1 = UI1

cos1= P1S1

I2 P2 S2 = UI2

cos2 =

P1 = 211IR

P2 = 222 IR

P = P1+P2

Nr crt

- 210 -

Lucr area nr 13

UU UUUU CLCL (L131)

Fig L131

- 211 -

I1 3I IR

Fig L132

- 212 -

i = iL + iC (L132)

Fig L134

U1 U3 3U

Fig L133

)I(UR minU

RI I 1I

- 213 -

2 MODUL DE LUCRU

Fig L135

I1 IG(U)N3

Fig L136

220V ~

- 214 -

Fig L137

- 215 -

Lucr area nr 1 4

34tsinU)t(3

2tsinU)t(

tsinU)t(

(L141)

34tsinU)t(3

2tsinU)t(

tsinU)t(

(L142)

21ea 3

2j1232j

(L143)

- 216 -

UaUUaUUeU 1312

1 (L144)

1 UaUUaUeUU (L145)

0UUU0 321321 uuu (L146)

3 1U aU

22 1U a U

Sens invers

23 1U a U

2 1U aU

Sens direct

- 217 -

0IIII TSRN (L148)

CAU AU

- 218 -

f3U Ul

- 219 -

3U UI I

(L1412)

( r ) ( r )

( r ) (r )

f f r r

P 3U I cos 3U I cos

Q 3U I sin 3U I sin

S 3U I 3U I

(L1413)

- 220 -

(L1415)

32πβωtIsin 23

2πβωtIsin 2

βωtIsin 2

(L1416)

Fig L145

CAI BI

- 221 -

32πβωtsinBnB3

2πβωtsinBnB

βωtsinBnB

(L1417)

a7NI36B 0

(L1418)

icircn care

tcosB23BB

m32x (L1419)

ttgBBtgB

2x (L1420)

FigL146

- 222 -

fUU l Pf

cosf = = Pf (Uf If)

S = 3Uf If = = 22 QP

[A] [V] [V] [W] [W] [VAR] (VA) 1 2

b3 Af Vl

- 223 -

Tabelul L142

Nr crt Il If

= Q( Ul Il) P = 3Pf =

= 22 QP

[A] [A] [V] [VAR] [VAR] [W] (VA)

QsinIU2

ll (L1421)

- 224 -

Lucr area nr 1 5

(0) (N) UN0

U3N (3)

- 225 -

3032021010N YYYY

UYUYUYU

(L153)

YY3UUUU

3020100N

(L154)

3UUUU 302010

0N (L155)

30N232311N3

20N121233N2

10N313122N1

YYYYUYUYUY

YYYYUYUYUYU

(L156)

30N23231133

20N12123322

10N31312211

YYYYUYUYUYYI

(L157)

- 226 -

U12 = Ul U23 = a2Ul U23 = aUl (L158)

232311N3

121233N2

313122N1

YY2UYUYU

(L1510)

NC U1NL

(1) (2)

prime Prime NL

U31 U23

U2NL U1NC

U3NL U3NC

- 227 -

G)UU(YG2GU

3N3 (L1511)

2YG2Garg

(L1512)

G)jBG(a)jBG(aG

UGUYUYUG

(L1513)

B)B3G2(B)B3G2(

(L1514)

- 228 -

7331)32(1)32(

C (L1515)

(1) (2)

- 229 -

Tabelul L151

U12U23 U31 [V]

U10U20 U30 [V]

I1 [A]

I2 [A]

I3 [A]

U1N [V]

U2N [V]

U3N [V]

UN0 [V]

directă

- 230-

Lucr area nr 16

)tsin(Y2)t(y

(L161)

11 eYYeYYeYY (L162)

d2dd1 YaYYaYYY

i3ii2ii1 YaYYaYYY

= 0 d1Y

h3h2h1 YYY

+ + 1Y i1Y

Sistemul nesimetric

Sistemul omopolar

Fig L161

- 231-

h3i3d33

h2i2d22

h1i1d11

YYYYYYYY

YYYY respectiv

YYaYaYYYaYaY

YYYY (L166)

YYY31Y

YaYaY31Y

(L167)

0T0S0Ru

UK3UUU

K1U (L168)

UR0 US0 UT0

UR0Ku UR0Ku UR0Ku

Fig L162

- 232-

IK3III

K1I (L169)

UaUaUaUUaU

(L1610)

21U 13U

Fig L165

ITKI A

Fig L163

I1 I3 I2

UC1 UC2 Vd

Fig L164

- 233-

332223

221121

III0IZIZUIZIZU

(L1611)

ZZ2ZUZUZZIZU

ZZ2ZUZUZZZIZU

21323222C

13213111C

(L1612)

ZZ2UZZaUZZaU

ZZ2UZaZUZaZU

(L1613)

0ZaZ3 sau jX23j

21jXR 33

(L1614)

Se obţin valorile

(L1615)

(L1616)

- 234-

(L1617)

RTSRh UU3UUU

31U (L1618)

2 MODUL DE LUCRU

UR ZS IS

US ZT IT

Fig L166

- 235-

FCHTF-1

T1 T2 T3

C1 Vh2

p13 p1

- 236-

N3N2N1h U3

KUUU31U (L1620)

KIII31I I

TSRh (L1621)

- 237-

[V] [V] [V] [V] [V] 1 2 3

)UaUaU(31U

l (L1622)

21U 13U

Fig L168

232 Ua

132 Ua

- 238 -

Lucrar ea nr 17

2AdtyT1A )t( (L172)

k0k0 )t()t(

(L173)

- 239 -

BAarctgBAY2AY

2mkk00 (L174)

00 ksin)()()(

respectiv

2kk00 BAYAY şi

tjkmkeC)t(y (L177)

unde T

tjkmkmkmk dteyT

jBAC )t( (L178)

f2N2)n(yC ss

(L179)

kk0 )tksin(Y2Y)t(y

- 240 -

2 dtyT1Y )t( (L1710)

20 YYYYYYYY (L1711)

nn0nn0

(t)(t) iu

IIIIUUUU 2d

maxv YY

(L1712)

dt)t(yT2

Yk (L1713)

3Y2 4Y2

a) b) Fig L171

- 241 -

(L1714)

Tt3T2 si 3

Tt0 Y)t(y

m (L1715)

- 242 -

Tt2T T

T)(t22Tt0 T

t2y(t) (L1716)

- 243 -

- 244 -

- 245 -

Lucr area nr 1 8

- 246 -

EidtC1

dtdiLRi (L184)

2 respectiv 0iC

idLdtdiR 2

0idtdi2

dtid 2

2 (L185)

icircn care o L2

Fig L181

L IL(0) K CUC (0)

- 247 -

221 (L186)

00eKeK 21t

121)t( i (L188)

KKK0K K0 2121)0( i (L189)

EdtdiL

(L1810)

EKdtdieKeKdt

(L1811)

ttttt eeeL2EeeL2

E 21)t(

i (L1812)

respectiv

tsheLE t)t(

i (L1813)

0eeL2E m2m1 t

rezultă

2m ln2

(L1814)

m1m2m21m2m2m1 t

2t1ttttm eL

E1eL2EeeL2

E)ee(L2E

i (L1815)

Fig L182

- 248 -

1e11e1LC2EdteeLC2

2121)t( idtu

Ee1e1LC2E t

(L1816)

EELC2E0

t0ttr C21

12CC )0(

LC12 202121

tetLE)t( i (L1819

Eet111e1etLCE

dte1etLCEdtteLC

E)0(UC1

dtiu (t)C

02 Sub forma

Fig L183

uCtr ndashE

- 249 -

CL2sau R0β 2

0 (L1821)

(L1823)

tsineLEtshjeLj

(t)i (L1824)

E)0(UC1

0 dCc idtu

(L1825)

(L1826)

se obţine

tsineLC

11E dt

d (L1827)

tsineLCEu d

LCsin)tsin( d0

ndashE

uC UCp

b) Fig L184

- 250 -

avem 02πθ0L2

Etcos1

tsinCL

EtsinLE

i (L1866)

Fig L185

Fig L186

- 251 -

Bucureşti 2000

partea 1

partea 2

lab1_cm

lab2_Caractbobnel

Lab3_BNC

Lab4_arcc

Lab5_Dipolul lin cc

Lab6_Teor cir de cc

Lab7_Cuadripolul cc

Lab8_Circ nel cc

Lab9_cmrps

Lab10_retele ca cor


Lab12_bobine

lab13_ferorez

Lab14_Ctrifs

Lab15_ Ctrif dez




P r e f a ţ ă

Autorul

C U P R I N S

Prefaţă 3

ELECTROSTATICA

1 ELECTROSTATICA

limE0qv

vv ED 0 (13)

VplimP

[Cm2] (14)

EP et 0 (15)

EEE)1(D re 00 (17)

[Cm3] (18)

[Cm2] (19)

[Cm] (110)

S AdDψ (111)

AdDψ (112)

AB sdEq

LU (113)

sdEUV0

P (114)

41PE 3

respectiv Rq

41)P(V

VrespectivRRq

E (116)

41dVrespectivR

l l (118)

R41V (119)

- 10 -

qsdE (120)

VgradE (121)

xE (123)

xVE zyx

sau simbolic

vV (125)

unde s-a notat cu 2

operatorul Laplace

- 11 -

KxKV 21

eqAdEe

ee R4EdAEAdEe

Ssf a4Aq e

RdRaRdEsdEV

Fig 11

- 12 -

sau Rq

iaRdERdEsdEV

l vvv ER2dAEAdE

Fig 12 R

0E i 0

Fig 13 l

- 13 -

lll ll

RRln2R

dR2dREsdEPV 0

02v1vv R

2)P(E)P(E)P(E l

Rln2)P(V)P(V)P(V

dddAdq ss

41Ed 2

0vvn R

ddcos41cosdEdE

vnvnv Rddcos4dEEE

+ l ndash l C1 C2

Fig 14

Fig 15

- 14 -

cosRhd

coshdtgh 2

ddsin4

coscos

hcossinhcos

Sv 2ddsin4E

hh2dh2sdEV 00

41Ed 2

1sindEdE 20

1cosdEdE 20

ads 2 și asin

se obține

dsina4dE0

vnl respectiv

dcosn4dE

Fig 16

nvnEdM

- 15 -

2cosa2cos12a4

sinsincoscosa4EEE

vnv Ecosa2E0

l 0Evt

vnv Ea2E0

l 0Evt

42cosa22cos12a2E00

cosa2E0

sin1a2E

2tg2ctg

ln42tgln4sind

Fig 17

- 16 -

a2coscosa2E00

a2sinsina2E00

aa1a4xlaxaa4

xa4dFF

0 02222

12n1212n

llllll

0xlaxllnxlaxlna4

1212t12t

ll aa1a2Ff 2

221n12

a21f 21

1dE 22x0

Ed)00x(

Fig 18

- 17 -

xRxcos

și obținem

4adE 2322x

iii ll2322

2322xxax

iiVgrad l23220

UqC (127)

UqC (128)

+q ndashq

+ minus

Fig 19

- 18 -

qqqq 21

2112 sdEVVU

AqsdEU

+q -q A

Fig110

Fig 111

- 19 -

AqsdEVV

kdAC (130)

1k ke C1

C1 (131)

Cazuri particulare

21e CC

1kke CC (132)

2112 CCC

3223 CCC

1331 CCC

CCC (133)

(2) (2)

Fig 112

- 20 -

CCCCCCC

CCCCCCCCCCC

312331233

231223122

311231121 (134)

0j)k(j

j qq (135)

C jj UU (136)

E]m[j j

j UCq (137)

122 Aplicaţii

qqqq ei

Fig 113

- 21 -

qAdD ED

ER2dAEAdEAdE

hll SS

ll qhR2R2qdAR2

qdAq ii

R2qEhqEhR2 ll

12 RRln2

qdREsdEUe

2UqC l

36kmF1094

1010mF1094

RRln18R

k RRRR2qE l

k12 RRln1

2qRdEU

și rezultă

kk RRln1

- 22 -

kkmaxk l

qqqqAdE 1

41EER4dAEAdE

4qsdEU

12 RRRR4U

Fig 114

Fig 115

- 23 -

(2) 0qqq 421 T2K

[1] 13

[2] 24

T1K (1) 431431 qqqqqq

(2) 321321 qqqqqq

Fig 116

Fig 117

E1 [ 1 ]

+ ndash

ndasha) b)

- 24 -

T2K [1] 0Cq

[2] 24

BA VVCq

din care se deduce

BA423143215

324155 VVCCCCCCCCC

CCCCCq

D + ndash

+ ndash ndash

ndash ndash

+ ndash

Fig 118

Fig119

C2 C4 B

- 25 -

ke qqq

CCCUCC

CUU (1)

CCCUCC

CUCCCUU

CCCUCC

0CCCUU

hellip

CCC1CC

CUCCCU

Fig120

C1 C2 U0

- 26 -

respectiv

CCC1UU

n1 UCq n

Se observă că 0

nUUlim

- 27 -

1k k2k1k

Fig 122

Conductor

VS = const

VS =const

Fig 121

-d1 -d2

Fig 123

- 28 -

RDdRln

RDdR 2

Fig 124

- 29 -

nnnjnj22n11nn

nknjkj22k11kk

nn2jj22221212

nn1jj12121111

qpqpqpqpV

qpqpqpqpVqpqpqpqpV

nnnknk22n11nn

njnkjk22j11jj

nn2kk22221212

nn1kk12121111

VVVVqVVVVq

1nn1nnnknk1n1n0n0nn

jnjnjkjk1j1j0j0jj

n2n2k2k2212120202

n1n1k1k1121210101

UCUCUCUCq

UCUCUCUCqUCUCUCUCq

- 30 -

skjsjk VVq

RRln2V

1lP rr

rrln2rrlnr

221dDa

dDln2V1P

l Fig 125

ndashl

1 +l ndashl

- 31 -

dDdDaln2V2P

110S CC

dDadDln

dDadDln2

dDRdDlnVV

112 ss

dDRdDln36

dDRdDln

2 Vrrln2

1PV l constV0

Fig 126

A B B O1 O2

- 32 -

022011 Va4DD

a2ln2Vln2V

22012112

a4DDa2ln1VV2VVU

a4DDa2lnUC

Da41DDa4DD

D2a411Da4DD

kmFaDln36

mFaDln

- 33 -

2210112a4DD

a2ln2ln2VVU

unde H2D

aHHaln

rrln2VPV

0 rrrrln2r

rln2rrln2PV

hHaln2VhHahHH2ln2V

021 hHa

hHhH4ln2VV

hHahHhH4ln

Fig 127

ndashl

- 34 -

3032410ln411101654ln

și rezultă

nF10F10303241106751

109412

2221212

2121111

qpqpVqpqpV

dacă 02 q rezultă

2112 ppVV

H2ln21

1101q2

hHDhHDln2

1qVp 12

și rezultă

DhHDhHln

m29r12 m411r 21 023rrln

Fig 128

ndashl

- 35 -

2221212

2121111

qpqpVqpqpV

11s pp

22s pp

12221121

112s p2pp

hH2ln2

1p11 l 22

2112 hHDhHDln2

l ah2ln2

1p22 l

rezultă

hHDhHD

]hHD[a

hHDaHh4ln

Fig 129

- 36 -

2 pentru ca icircn

2221212

2121111

qpqpVqpqpV

adDln2

1ppp 02211

l dadRln2

m2112 dRd2ln2

d2ln21ppp

qppVqppV

)dR(ad)dR(2ln

1Sm021

121s12S C2

1)pp(2

2212221212

1122121111

icircn care 2m

m2112222

011 pp

12212202

21121101

VVCVCqVVCVCq

icircn care

- 37 -

ppppppCC

012112010

)pp()pp(p

m122112

3332321313

3232221212

3132121111

qpqpqpVqpqpqpV

qpqpqpV

Fm10112adDln2

1pppp 90332211

Fm10885

d3dRdRln2

m312312

q)pp(Vq)pp(Vq)pp(V

kmF1610pp

1VqCCC

13s2s1s

3332321313

3232221212

3132121111

VVVqVVVqVVVq

icircn care

- 38 -

)p2p()pp(

p)p2p()pp(

)p2p()pp(pp

m0m12312312

332211m0

330233213313

322322012212

311321121101

VCVVCVVCqVVCVCVVCq

VVCVVCVCq

kmF040)p2p()pp(pCCC

m312312312312

kmF0420p2p1CCC

m0131211302010

- 39 -

3332321313

3232221212

3132121111

qpqpqpVqpqpqpV

qpqpqpV

3322110 ppp31p

312312m ppp31p

q)pp(Vq)pp(Vq)pp(V

m00s30s20s10s pp

rrrhhh2

rrrddd

3312312

0rdrh2ln

dddrrr

rrrhhh

3312312

m75523355

23Dhhh 3

2 12r r23

ndashl1

ndashl2

ndashl3

Fig131b)

- 40 -

12 dm71223Dh2

m4510h2Dd 20

m9114510712d 3 2

675911010

37552lndrrh2ln

0880mnF0880

67510412

drhr2ln

mm10r0 m5hh 0

m7832DD2r 33 3

m4510)h2(Ddd 20

m6511D2h2d 22031

m841065114510d 3 2

8558410010

78352lnrhr2ln0

00950mpF

59C sb

m671185)D2h()Dh(hh 33000

m19D3h2d 012 m13Dh2d 023 m16D2h2d 031

cm815dddd 3312312

895815010

783672lndrrh2ln

009420mpF

429C sc

Fig 134

D1 2 3

Fig 133

Fig 132

- 41 -

dV2DEW

icircn care

2DEw e (147)

dV2DdV

1kkke Vq

21W (149)

2e (150)

EqFq (151)

21Eρf 22

ve grad grad (152)

- 42 -

ee dVfF (153)

1kkkkk xXqVdW (154)

constqk

respectiv

constVk

constq

dWF 22

constU

- 43 -

Mr = kR

CU21WM 2

constV

R2 kCU

k2kk unde kU

12 Uk2k

k sau kU

Fig 135

- 44 -

xxWF 22e

ctUctU

xaCCC 00

Rezultă astfel

1Ub2a1U

gradf e2E

dxd igrad

e abE2

abdxdadE

1Ub2aF r

L x = l

Fig 135

- 45 -

ah2lnhh4

N04904000ln

105020ln

11000010

1001036

Fig 136

- 46 -

de unde d

2dRRDln

RadRln

RadRlndR

dU2dCU2

- 47 -

a4DDa2ln

şi forţa rezultă

şi llq

dispuse

- 48 -

xbaC 0

Ugaggg

N107400030006000602

0030100101094

Fig 138

U + C1

- 49 -

CCCCCCC

CCCCCCCC 00

F6611220

32353235

C2CC2CC

C102100102UCqq 46A

- 50 -

V40105102

V60V40V100UUU 0AB0

C109696010661UCq 56B0

C10qqqqq 4C42

V5010101010040C

qUUUU 6

C0AC00AAC

Rezultă

J101010221UC2

1W 2462e

J105710

1022422422

CCCCCCC

qq21W 2

J10429010571010WWW 2220

- 51 -

S dAcosBAdB (21)

mH104 70

- 52 -

3vv RRsd

4HB oo

μμ i (22)

Sm θsdHu (23)

A3RRsd

cosrds 2

2sinsinr4

Iedscos

coscos4IeH

Fig 21

Fig 22

- 53 -

sdH solenația

r2IHr2HdsHsdH

Rsd4H i

Rsd21Ad

R4H ii

AdAd0Adb

naAd 2

3 Da2an

R2aH 2

Fig 23

xHd n a

- 54 -

dsRRsdsdR

4HH 23xii

sinR2aH 2

i Rasin 2322

3 Da2a

ldi Acesta poate fi

adH 2di dxsin

R2adH 2 l

adx 2 sinaR

dsin2Nid

sinaNisin

21 coscos2iNdsinl2

iNdHH1

2NicosNiH

- 55 -

3 ELECTRODINAMICA

e (31)

tre (33)

lBve (36)

Fig 31

- 56 -

tsinNdtdN m

sau tsinEm e (38)

mmm fN444fN

sd)B(sdE ve (310)

sinBNb2b)B(N2 vve

Fig 33

Fig 32

- 57 -

tsinEtsinabNB2 m e

34πtωcosΦΦ

3π2tωcosΦΦ

tcosωΦΦ

34tsinE

32tsinE

sd)B(Adt

BsdE ve

Fig 34

e1 e2 e3

Fig 35

Fig 36

- 58 -

costBAd

respectiv

tsintcosabBdAtsintB

SL (313)

0NL00 22

121212ψ

ii ii (314)

Analog

0NL00 11

ii ii (315)

- 59 -

2112 R

sdsd4L (316)

r2NHNr2H

2NhhdrHAdB

NH lii

ANNLAN

BA lili

Fig 37

- 60 -

AdBBAdB

adln2dxxd1

Se poate aproxima

8drr2ra2

dV2H2W2L

mHkmadln410Hm

4L2LL rr

dadlnb2r

drb2drBbAdB 10ad

i 2a 2a

r dr i

Fig 38 a) b)

r dr b

Fig 39

- 61 -

2bL 012

ΛR (317)

μAml R lRΛ

j 0 (319)

- 62 -

jmj[m]j

jθ R (320)

mm602l mH400

111 IN

222 IN

333 IN

WbAsp290A2 22

llRR WbAsp170A

T1K 01 321

T2K 2122m11m1 RR

3233m22m2 RR

32m23m13m2m1

- 63 -

32m1m21m12m

31m23m1m13m

Wb29142

INsdH S

H2HHsdH 331022 lll

mAsp679105104

T85110390

105AkBB 4

Fig 311

a a l1

- 64 -

Asp184379190H 2Fe2 l

Icircn juguri

B 33334

INsdH S

Fig 312

aa00 HHHsdH ll

- 65 -

AAABBH

mAsp1010400104

105H 667

0ABABAdB a

0 mWb25110400

mAsp976H0

mWb251Ba mAsp1430Ha

Asp14641721000292

1201430101030976lHHlH 36aa00S

22 Smm

slNIRU

m mm1540m10154012021464120100210

- 66 -

A3850JsI

spire1900385021464

I22N S

2Cu mm29215401900s

2cubob mm97030

- 67 -

kkm 21W i (321)

)kj(1kj

kjjkm LL21L

iiiii (322)

m ii (323)

212222

2111m ML

21W iiii (324)

m w (325)

dVBH21dVW

m wm (326)

21w (327)

constk

WXrespectivxWX

i (328)

- 68 -

)τdτdμH(

21BJf 22

m gradgrad (329)

corpVmdVfF (330)

dVBJdVfFcorpcorp VV

AdJBsddVsdAdBJFcorp

respectiv N

BsdF i

Fig 313

- 69 -

m i se determină

t2ctdWF

sau dL

2ctL21

dctdWF

iii dl

şi rezultă

d2F 0d

w este

mFe 2B

w deoarece

ABA22BVW 00

2m ABct)B(

Fig 314

- 70 -

2112222

211m LL

21W iiii

m LWC ii

010111

1NHBNH

cosANNABNNL 221

1212 liii

sinANNC 21221

C N2i2

l Fig 3 15

- 71 -

Fig 41

(4) [1]

E6 R6 [3]

- 72 -

knk21 UUUUUU (41)

k ERIU (43)

ee ERIU (44)

I R1 E1

Fig 41

I Re Ee

- 73 -

R1Gşi

GIU (47)

1k kk I

G1UU (48)

G1U ge

ee (49)

Fig 42

Fig 43

- 74 -

1kke RR (411)

RUI (413)

kk (414)

Fig 44

Fig 45

I Re Ee

R1 E1 I1

R2 E2 I2

Rk Ek Ik

Rn En In

- 75 -

kkkkk R

ER1UIIREU (416)

ER1UII (417)

ee (418)

1kkII (420)

Ig2 I2 G2

Igk Ik G2

Ign In G2

I Ge A

Fig 46

- 76 -

ke IIGG (423)

ke R1G sau

R1 (424)

21e RR

(1) (j)

Ek (k)

(1) (j)

(k) (n)

G1j E1j

Gkm Ekm

Em1 G1k

Gjm Ejm

ijn i1j

Fig 47

- 77 -

0)EVV(G j0

m21jEGEGVGVGG

1kjkkkkkjkm

kjkjkkm

jj EEGUG

)jk(1k

kjj )EE(

GGI (428)

jkjkjk

- 78 -

jkj EEG

GGGGGG

GGG321

EEEEEEEEE 133132232112 (435)

RRRRRR R

RRRRR RRRRRR

313131

323223

212112 (436)

R23 E23

(2) (3)

Fig 48

- 79 -

GGGGGG

231323133

231223122

131213121

respectiv

231312

RRRRRR

jk321jEEGEG3

1kkjjkjkjk

respectiv

3113211213131212 EEGEEGEGEG

3223122123232121 EEGEEGEGEG

3223113

2112332

1331221

GGGEGEGE

sau sub forma

3232313133

2121232322

1313121211

EGEGEG

- 80 -

23s31s3s

12s23s2s

31s12s1s

IIIIIIIII

Fig 410

Fig 49

R12 R23

- 81 -

154321

REUIIIIII

1k ke R1

321321

GUJIGGGUJJJI

321e321e GGGGJJJJ

Fig 411

- 82 -

te RRR

lRR411

RRRRRRR

Fig 412

Fig 413

Fig 414

- 83 -

13322112 R

RRRRRRR

R3RRRR 312312

de unde se obţine

R32R aa

312312

13121 RRR

Fig 416

Fig 415

- 84 -

Rezultă

RRRRRRRRRRR

de aici rezultă

RR3R4RR4

R158R ab

RR2RRR

R157R ac

Fig 417

Fig 418

- 85 -

caacaa RRR

unde ca

Rezultă

3r2R aa

bcab rrr

icircn paralel Deci

15R8R2R bcab

bcac RbRR

Fig 419

- 86 -

unde 2RR ab

Metode de analiză

ecuaţii obţinute

Fig 420

- 87 -

0IIII2

87887733

74776644

5665522

1332211

EEIRIRIR4

EEIRIRIR3

EIRIRIR2

EIRIRIR1

T1K nlln 0IA

I2 I3R2 R3

(1) (3)(2)

(4) (5)

- 88 -

IIIIIIII

00111000

01100001

1000010101100011

11000100011010000011001000000111

lll SIK

1ll SKI

EE0000

RR000R000RR0R00000RR00R000000RRR11000100

011010000011001000000111

[1] 143

1321 EIRIRIRRR

[2] 536

12 EIRIRRRIR

[3] 7447

26 EEIRIRRRIR

- 89 -

[4] 874873

13 EEIRRRIRIR

Matricial

44 EIR

t84884

EBRBR 8844 EBE

t848 ERBIBI

1521 EGEGVGVGVGVGGG

(2) 7746

12 EGVGVGVGGGGVG

8sc844sc

EGEGEGEG

EGEGEG

0011100010000101

0110011000010011

- 90 -

0IIII 5321 (1) 0III 542 (2)

Fig 422

50I20I5 31 (3)

848 IGAVAU

- 91 -

80I60I8 52 (4) 0I60I40I20 543 (5)

3251 IIII (1rsquo)

254 III (2rsquo)

0I5II2 532 (5rsquo)

A701217370

65152520150

5121502

151510

150201510

A122502

152021101

2171I3

A10101220021051

2171I5

A521122701101I1

A600122701101I4

- 92 -

b5a3c543

2c5b52

1c3a31

0I60I20I12080I60I6850I20I25

0I6I3I20I15I17

10I40I5

A521217330

225685104502401020

63115170

630151720

A701217370

12780150600

60115200

2171Ib

A600217130

127300170

031201701005

2171Ic

A116071IIIA600IIA12260521III

A701IIA521II

- 93 -

12222121

11212111

EGVGVGEGVGVG

GGGGGGG

Fig 423

01670601

0250401

0500201

125081

200051

- 94 -

şi deci

166700167002501250G

275025005002000G

801250V1670V0250

5020V0250V2750

10V1670V0250

10V0250V2750

1670025002502750

167010025010

1670025002502750

100250102750

A105160

A60040

20663542R

A12220

26680R

354250R

- 95 -

Ri = Rab0 (442)

Fig 424

Rab Uab

a (DLA)

Rab Uab

Gab Uab

Gi Isc

- 96 -

şi deci

abab RR

abab GG

IU (444)

Rab Uab

Iab Uab0

Fig 425

Gab Uab

Fig 426

- 97 -

0IR IR IRIR

EIR IR IRIR

0IR IR IRIR

ooookoo

jk22j11j

k222121

1k1212111

kjk EII

kjjk )1(

jkj EII

Prin definiţie

Fig 427

CLP kIRj

- 98 -

Ijk = Ikj

1kkkjj E

3105 RR

1223310 UUU

34423 IRU

122212 IREU

(1) (3)

Fig 428

- 99 -

Fig 429

35RREEI

V90UV1507080UV60U 3102123

43310 A5

61290I5

2305 RR

E1 i E3

(1) (3)

I32U23U21

R 3R 4

R 1 R 2

(4)(1)

Irsquo

Fig 430

- 100 -

IREU i14

4321i RRRR

43214321i

432114 RRRRRRRRRN

ERRRRU

U 43112

ERRRU 213

0IRRRIRIR0IRIRRRIR

EIRIRIRRR

15 RRRREIII

8R4R2R15R5R10RV40EV60E 65432121

UI1204

sc44 GE

120sc44 RR

I4 (2)R4

(4)(3)Fig 431

- 101 -

3 IREU

sc4sc4 III

Fig 433

- 102 -

65231120 G1

C DFig 435

Fig 434

sc4I 2I

- 103 -

0iRiRiR

444334224

44333223113

424223222112

313212111

unde s-a notat

RRRRRRRRRRRRRR

3424444

342313333

242312222

1312111

443424

343323

242322

443424

34332313

24232212

131211

443424

343323

242322

RRR0RRR1RRR10RR0

RRR0RRRRRRRR0RRR

RRR0RRRERRRE0RR0

0iI 11 sau 0

RRR0RRR1RRR10RR0

443424

343323

242322

- 104 -

0RRRRRR0RR

443424

0RRRRRRRRRR 31213244241334124

0RRRR0RRRR

312132

24133412

122 RR

- 105 -

T1f (52)

T1Y (53)

TSSdty

med (54)

- 106 -

Y max (57)

T1Y (58)

medf Y

YK (59)

max (510)

yFtsinY2ty (511)

- 107 -

YOAOAtsinY2ty (513)

- 108 -

YeYtsinY2ty j (517)

Ye2Imty tj (518)

- 109 -

tsinYa2tay (519)

tsinY2dt

tdy (520)

2tsinY2dtty (521)

- 110 -

maxI este

II max

Perioada s020501

Pulsaţia s

rad100f2

6sin10

23sin10

sin102

0sin10

ti sin10

180105t1081sin1090t1081sin10

2t100sin10

2tsin10i

180101081sin101801081sin10

100sin10sin10

Fig 55

- 111 -

1051t1081sin10

270t1081sin102

3t100sin102

3tsin10i

1035t1081sin10

30t1081sin106

t100sin106

tsin10i

322512sin301te

32512cos1022

Soluţie

Hz4002

310524001

EEV30E max1

1max1 V102

2sin303

26001800sin30e

5cos1023600

1800cos102e 2

2120010

1t800sin303

2t800sin30e1

- 112 -

5150020

9601t800sin102

3t800cos102e2

0002112 270150120 sau

sec2400

t800sin30

12001t800sin30e

2t800sin102

9601t800sin102e

d) 11 800sin30 te

111 sin2

22sin 11

Rezultă

4800sin301

4800sin1022

Fig 56 a) b)

1 nlo (61)

0coscos

IUR (62)

0sinsin

IUX (63)

cos sinZX

22 XRZ (6)

0coscos

UIG (67)

0sinsin

UIB (68)

BGtg cos

22 BGY (69)

122 BG

2ZRG 2Z

XB 2YGR 2Y

BX (610)

CLRfjXRZeI

UZ j (611)

CLRfjBGZeUI

UIY j (614)

0I)k(j

k = 1 2 hellip n (616)

0I)k(j

k = 1 2 hellip n (617)

0IV)k(j

1jjj 0IU respectiv

1jj 0S (619)

j 0Q0P (620)

0IEIIZIU1j

respectiv

1jjj IZIE (623)

IXsinIEIRcosIE1j

1kkkbj

Fig 63

expresia 3

tsin3 i

Rezolvare

tsin60u

tje60u

3j12153sinj3cos2

60U 3j

6sinj6cos2

20je20e3

050je050e20

Z1Y 2j

00 18075j4j

je20e20Z

je90e90S

Fig 64

00 180105j43j e2

00 18015je2

3I 43j

5tsin1002u

j1250e100U 45j

Lce jXRe255j5

jXRjXR

5R e 5X c

e jBG101j

S101G e S

Fig 65

c) 210je210ZUI 3

j125e10LjR

RII 45j

j125e10LjR

LjII 45j

tsin2102iC

5tsin102iL

tsin102iR

tsin1002Riu RAB

1000j1000e21000IUS 47j

W1000iRP 2

VAR100IC

1ILQ 2C

Fig 66

R W= UIt = 220∙03∙15∙60 = 59400Ws = 594003600 Wh = 165 Wh = 00165 KWh

R ΔU = RI = 05∙8 = 4V Δu = 4220 ∙100 = 18 W = 00165 KWh

R P = UIcosφ UI I = PU = (500+30+100)220 286 A

R 60ZRcos52251XRZ 2222 53o

- 121 -

PROBLEME REZOLVATE

ZeZmarctg742ZZ

)192j741(9j1139j

9j11)2j3)(2j2(3

A7138742380

A240I3I f l

Fig 71

- 122 -

kVA158IU3S

A430503803

00010cosU3

A08470j010314j220

LjUI f

F1031C3C 3

A02723j220314103

10jUCjI 63fsteaC

Fig 72

L Pi PM

IM IL IC Ii

3380220V 50Hz

- 123 -

A4545220300030

95008646560

IIecos

V)973j138()6820j6560)(10386314j102(500IZU 74 lll

V)973j13228(UUU ff0 l

coscos1

Iluminat 30 000 W

VA643954QPS 22

A666U3SI

910SPcos 1

2 = 13307 W

Ql = 3l LsI2 = 1333 VAR

TOTAL 41 3307 19 554 VAR

VA72345QPS 220

V396I3

SU 00 l

90SPcos 0

- 124 -

ΔU = V48580253210065313cosS

cosU3P

7000 = 1477A

- 125 -

- 126 -

= 4000(09 3 middot380middot07) = 965A

= 2000(09middot380middot07) = 835A

ΔU = V6727018634

ΔU= V021670108634

- 127 -

)tsin(Y2)t(y

11 eYYeYYeYY (72)

d2dd1 YaYYaYYY (72)

- sistemul omopolar

YYaYaYYYaYaY

YYYY (75)

YYY31Y

YaYaY31Y

- 128 -

N Se cer curenții

V100UUU31U

V7157UaUaU31U

V342UaUaU31U

0T0S0Rh

R IR Z

IR IS IR

Id a2Id aId

Id Rd Z Id

Ii aIi a2Id

Ii Ri Z Ii

- 129 -

A)5j661(IIIA661ZZ

UIA5jZUI

A)15j5(III

A5IIII

A15jIIII

A)323j661(IIaIaI

A328IIII

A984IIaIaI

A15jIIII

A)323j656(IIaIaI

A)323j323(IIaIaI

A)15j328(IIII

IZUIZUIZU 333222111 (77)

)IIaIa(ZU)IIaIa(ZU

)III(ZU

Ih Ih Ih

Ih Rh Z Ih

Fig 75

U31 U1

- 130 -

IZaZaZIZaZaZIZZZ3

IZaIZaIZ31UaUaU3

21i322

221132

hhiddih

hiihddi

hdiidhd

IIIUIIIUIIIU

23i122

3123d UaUaU31UUaUaU

31U ll

0)UUUUUU(UUU31U

eU3U3j

UUaUUaUU31UaUaU

)UaUaU(a31)UaUaU(

31)UaUaU(

211332123123h

3212312

1332122

- 131 -

)II(3jU)II(3jU

IaIaIIaIaI

302010h

UUU31U

UaUaU31U

UUU31U

UaUaU31U

U)]UU()UU()UU[(31UU

0)UaUaU(31

)UU(a)UU(a)UU[(31UU

0)UaUaU(31

)UU(a)UU(a)UU[(31UU

0N220220110hh

2202202

220110dd

Fig 76

- 132 -

hhiddi0Nhh

hiihddii

hdiidhdd

IIIUUU

0II0U TSR

II0IIIZU scRTSRaR

UR US UT

Fig 77

UR US UT

Fig 78

- 133 -

hidahid

dhid Z3ZZZ

ahidsc Z3ZZZ

Tensiunile rezultă

Z3ZZZEZ3IZ3UUUU

ahahidR

1Z N32 Z0ZZ

Id Zd Ed

Id = Ii = Ih

Fig 710

- 134 -

IIaIaIIaIa0III

UUaUaUUaUa

II0I0UUU idhhid

EZZZIZEUUIZZ

iddidi

TSsc ZZE)aa(IaIaIII

ZZEZUU)aa(UaUaUU

ZZEZ2IZ2UUU

idiidR

0UUU idh

ZEaIaI

Ud = Ui

Id Zd E

SMd SMi

Fig 712

E dZ dI

Fig 714

Fig 713

a2E IS

Fig 711

US = UT

- 135 -

)0()0()0()0()0()0(

LLL ψψψiii

- 136 -

00 dtdLdt

dψ)0(u LLL

i (84)

2Li (85)

)0(u)0(u)0(u)0(q)0(q)0(q

duCdtdq)0(i (87)

ce (88)

)0()0()0()0(

LL ψψ

Fig 81

)0()0( LL uuuL

)0()0(

Fig 83

)0()0( CC ii

Fig 84

- 137 -

0ERidtdiL

tititi 21

din care tLR

1 Aeti

ti o2 este o

t0 e1R

30 e1RE3i

a) b) Fig 81

- 138 -

0t0RidtdiL

0 eREti

a) b) Fig 82

i(t)t = 0R

001 st

003002

0a) b)

Fig 83

- 139 -

0ERidtdiL

0 AeRE

000 RR

t100tLR

000 e912eRRE

unde pRR

0 e80e

i(t) R1

Fig 84

- 140 -

0RRdtdL p ii

0i0i 0 este

ti pRR

R p este mai mic

a) b) Fig 85

- 141 -

PARTEA A IIndashA

Lucr area nr 1

FEROMAGNETICE

pt MMM (L11)

HM mt (L12)

MHB 0 (L13)

- 142 -

0 0 rmB 1 H H H (L14)

st (L15)

d (L16)

- 143 -

B Mat mag moi

Fig L13

Mat mag dure

Ciclul limită

Cicluri parţiale

Fig L12

- 144 -

1Hemax

2N IH H K I l

emax B2

2UB B K UN S

Ua ~ N1 N2 U

Fig L14

- 145 -

3 MODUL DE LUCRU

U [V] helliphellip

H [Am] helliphellip

B [T] helliphellip

N1 N2 U

V 220V 50Hz

Fig L15

220V ~

Fig L16

- 146 -

- 147 -

Lucr area nr 2

Lu (L22)

Fig L21

- 148 -

Fig L22

0 t 0 T

Fig L23

Fig L24

- 149 -

dtd[dt

d )(])()( s21

iiiuuu (L24)

dtd[dt

d )(])()( d21

21c2c1c

iiiuuu (L25)

Fig L25

0 i Ic

Fig L26

0 i Ic ndash Ic

- 150 -

Fig L27

0 t 0 T

1(iIc) 2(iIc)

Fig L28

0 i 1(iIc)

-Ic Ic

2(iIc) c

-Ic Ic

d(iIc)

s(iIc)

1(iIc)

2(iIc)

d(iIc)

- 151 -

Fig L29

A1 X1 X2 A2

F1 F2 F3 F4

220V 50Hz ATR

- 152 -

Lucr area nr 3

Fig L31

Fig L32

0 t 0 T

- 153 -

Fig L33

Fig L34

- 154 -

Fig L35

Ic1 Ic2

- 155 -

a) b) Fig L36

0 Ip =0

Us2 gt Us1

Us2 Us1

Fig L37

- 156 -

Lucr area nr 4

11 1 12 2 1k k 1o o [1]

21 1 22 2 2k k 2o o [2]

m1 1 m2 2 mk k mo o [m]

R I R I R I R I E

o1 1 o2 2 ok k oo o [o]

R I R I R I R I E

icircn care

- 157 -

mm jR R

j [m][k ]

mk jR R

j [m][m] jE E

o1k 2k mk ok mk

k [1] [2] [m] [o] [m]m 1

I E E E E E

j m[m] j

]3[333232131

]2[323222121

]1[313212111

3242132211

IIIIIIIIIIIIIII

Fig L41

[2] [3]

- 158 -

11 1 12 2 1k k 1n 1 n 1 sc(1)

21 1 22 2 2k k 2n 1 n 1 sc(2)

i1 1 i2 2 ik k

G V G V G V

in 1 n 1 sc(i)

n 11 1 n 12 2 n 1k k n 1n 1 n sc(n 1)

ii jj (i)

j (i)(k )

ik jG G

I G E I

Ej Rj Ij

Ijsc=EjRj=GjEj

Fig L42

Igj=GjEj

Gj=1Rj

- 159 -

1 2 3 1 2 2 3 3 g1

2 1 2 4 5 2 4 3 g4

3 1 4 2 3 4 6 3 g4

3625324

3132121141

VUV UVVUVVUVVUVVVU

Ej Rj Ij

Fig L43

(i) (k)

j j j j j j j j

(V4=0)

(4) I1

3V I6 1V I4

Fig L34

- 160 -

2 MODUL DE LUCRU

1 2 3 4 5 6(1) -1 1 1 0 0 0

A(2) 0 1 0 1 1 0(3) 0 0 1 1 0 1

1 2 3 4 5 6[1] 1 0 1 0 0 1

B[2] 0 1 1 1 0 0[3] 0 0 0 1 1 1

Fig L45

3I R6 R3

R6 R3 b)

Fig L46

[2] [3]

(3) (4)

- 161 -

R 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 00 R 0 0 0 0 0 G 0 0 0 00 0 R 0 0 0 0 0 G 0 0 0R G 0 0 0 R 0 0 0 0 0 G 0 00 0 0 0 R 0 0 0 0 0 G 00 0 0 0 0 R 0 0 0 0 0 G

R [I ] [E ] (L47)

scG V I (L410)

I G U E (114)

- 162 -

Lucr area nr 5

Sρ2R l

l (L51)

E U1 U1 U2

(1) (2)

Rs U2 Rs

- 163 -

IR1IUIRIU

PPη ll (L55)

1sc11 P2 = 0 = 0

(L54) rezultă

sc1 I2

1R2U|I

max2 (L56)

max2 ll

l (L58)

- 164 -

I [A] U2 [V]

P1 = U1 I [W] P2 = U2 I [W] U = U1 - U2

Fig L52 Isc

U2 P1 U

- 165 -

Lucr area nr 6

Fig L61

Rab Uab

a (DLA)

Rab Uab

Gab Uab

Gi Isc

- 166 -

Ri = Rab0 (L61)

abab RR

abab GG

IU (L63)

Rab Uab

Iab Uab0

Fig L62

Gab Uab

Fig L63

- 167 -

0IRIRIRIR

EIRIRIRIR0IRIRIRIR

0IRIRIRIR

ooookoo

jk22j11j

k222121

1k1212111

kjk EII

kjjk )1(

jkj EII

Prin definiţie

G (L67)

Fig L64

CLP kIRj

- 168 -

G (L68)

1kkjj EGII

Fig L65

R3 R4 R2

(a) (b)

(c) (d)

- 169 -

Tabelul L61 I1

[A] I2

[A] I3

[A] I4

[A] I5 (Iab)

[A] Uab

[V] R1 [Ω]

R2 [Ω]

R3 [Ω]

R4 [Ω]

R5 [Ω]

[V] Rab0

[Ω] Iabsc [A]

Valori măsurate

Valori calculate

Fig L66

ndash R3 R4

V0 Uab0

Rab0 (a) (b) (a) (b)

- 170 -

Tabelul L62 I11

[A] I12 [A]

I13 [A]

I14 [A]

I15 [A]

I21 [A]

I22 [A]

I23 [A]

I24 [A]

I25 [A]

I1 [A]

I2 [A]

I3 [A]

I4 [A]

I5 [A]

Valori măsurate

Valori calculate

Fig L67

I11 I13

I14 I12

R3 R4 R2

I21 I23

I24 I22

- 171 -

Lucr area nr 7

(1) (2)

[1] [2] U1

Fig L71

- 172 -

0IRIRIR

UIRIRIRUIRIRIR

ooo22o11o

20o2222121

1oo1212111

211222111

2112221112

22 AAAA

2222211

2122111

1AAAA 21122211 (L74)

scurtcircuit

- 173 -

1010e A

AIUR (L75)

sc1sc1e A

AIUR (L76)

2020e A

sc2sc2e A

AIUR (L78)

sc1e10e

sc1e10e20e21

sc1esc1e10e

sc1e10e20e

- 174 -

figura L72

212112

r1Ar1A

rrrrrA

rr1A (L710)

UAIUAU

(L711)

- 175 -

222sc1

212sc1

IAIIAU

(L712)

sc1101

UUU (L713)

(2) A2

V2 R2 U2

- 176 -

Lucr area nr 8

tgkRR sst iu (L81)

tgβklimR s0d di

duΔiΔu

Δi (L82)

us raportul

Rdgt0 Rdlt0

Fig L81 0

Fig L82

- 177 -

Fig L83

Fig L84

- 178 -

Fig L86

Fig L85

Fig L87

- 179 -

IRUU d0 (L84)

)I(U)I(U)I(U 21 (L85)

P U0 I

Fig L88

Fig L89

U1 U2 U2

U(I) U2(I)

- 180 -

)U(I)U(I)U(I 21 (L86)

I = I1 + I2 U1 U2 U(I) = U1(I) + Un(I) (L87)

Fig L811

Rn1 Rn2

Up P I1

U1(I1) U2(I2)

Fig L810

Rn1 Rn1

I I1 I2

Up P I1

I U1(I) U2(I)

- 181 -

Tabelul L81

~ ~ ~ =

R A2 A3

Fig L812 SR

- 182 -

Tabelul L82

- 183 -

Lucr area nr 9

(axa reală)

Fig L91

Fig L92

- 184 -

IUZ (L93)

UIY jj

2121 YY)t(y)t(y (L96)

YjYe)2

tsin(2dtdy )

Yj1eY)

2tsin(Yydt

- 185 -

trigonometric) cu 2

IZIC1LjRUUUU CLR

(L913)

jXRC1LjRZ

(L914)

arctgarctg RC

1-ωLRX

ZUII 22

(L915)

Fig L93

R L C i

u uR uL uC

- 186 -

1f LC1f2ωC

1LXX 0000

(L916)

(L917)

dtdCdtL

Fig L94

iR iC iL

= 0 RII

- 187 -

UCjULj

1UGIIII CLR

(L921)

1CjUGI

(L922)

jBGY (L923)

LC1f2ω

L1CBB 000o

(L925)

(L926)

- 188 -

crt [V] [A] [V] [V] [V] [] [] [] [] 1 2 3

Tabelul L92

Fig L95

VL VC 220V

Fig L96

220V ~ L

- 189 -

Lucrar ea nr 10

1n21k0I)k(j

(L101)

1n21m0U]m[j

l (L102)

- 190 -

1nn21kJII)k(p )k(s

spE)k(j

(L103)

sJ]m[j

jj EUIZ m = 1 2 o

(L104)

unde j

]m[ssJ

]m[j jkkkjj

jjjjj EUILjICj

1ILjIR

]m[ssJ

(L105)

pE sJ pEI

Fig L101

(IE)p (UJ)s

- 191 -

ZLjLjLj

LjLjLjLj

LjLjZLjLjLjLjZ

kkjk21k

1j2221

1j1121

llllllll

ll (L1011)

- 192 -

[B]]Z[[0][A]

JJ (L1013)

sau SNKi (L1014)

SKN 1i (L1015)

EIZIZIZIZ

EIZIZIZIZEIZIZIZIZ

(L1016)

jk]m[j

jmm ZZZ (L1017)

]j[q]m[p

]j[k]m[k

kmj ZZZ (L1018)

[m] mI

Fig L102

- 193 -

j]m[ EE (L1019)

oo ]E[]I[]Z[ (L1020)

lll (L1023)

[m] mI

Fig L103

[j] jI

[m] mI

[j] jI

- 194 -

V)10j45(EV)25j30(EV)45j50(EV100jEV100E 54321

10RR10RRR 54321

C110LLLLLLL

5425432211

)Cj(1 4 )Cj(1 5

jL1 jL2

R1 R2 R3

E1 E2 E3

)Cj(1 2

I1 I2 I3

I4 I5 R4 R5

[1] [2]

Fig L104

- 195 -

]00111[A

010000011000101

)Cj(1LjR00Mj0

0)Cj(1LjR00Mj

Mj00)Cj(1LjLjRMj

0Mj0MjLjLjR

25211112

1412111

54321 EEEEEE

- 196 -

Lucr area nr 11

2222211

2122111

IAUAIIAUAU

(L111)

CUADRIPOL DIPORT

(1) (2)

Fig L111

- 197 -

A11 A22 ndash A12 A21 = 1

1111212

1121222

IAUAIIAUAU

(L113)

1111212

1121222

IAUAIIAUAU

(L114)

2221212

2121111

IZIZUIZIZU

(L115)

- 198 -

IFUFIsau

UHIHIUHIHU

2221212

2121111

2221212

2121111

2221212

2121111

UYUYIUYUYI

(L117)

(L118)

(L119)

2112 YY

- 199 -

1010e A

AIUZ (L1110)

sc1sc1e A

AIUZ (L1111)

10U U2 = 20U şi I2 =

20e AA

Z (L1112)

sc1e10e

sc1e10e20e21

sc1e10e

sc1e10e20e

(L1113)

R1YRZLjRZ 32111 (L1115)

Fig L112

~ 220V

R1 L1 R2

R3 A2 V2

- 200 -

UAIUAU

(L1116)

222sc1

212sc1

IAIIAU

(L1117)

sc1101

IIIUUU

(L1118)

Fig L113

R1 L1 R2

(2) Rs

- 201 -

Lucr area nr 12

jXRZeIUZ j ( L121)

Z1jBGYe

UIY j ( L122)

RXtan ( L123)

SPcosQPSXIQRIPXRZ

( L124)

FigL121

Z U Lj1

- 202 -

SPcQPSBUQGUPBGY

222jLG

( L125)

Tabelul L121

U I P S = UI

cos = PS

Z = UI

R = Zcos

X = Zsin

Y = IU

G = Xcos

B = Xsin

P = RI2

P = GU2

Q = XI2

Q = BU2 Nr

Fig L122

P = RI2

jQ = jXI2

ndashjQ = ndashjBU2

0 ndash

ndashjB

ndashj

0 ndash

P = GU2 +1

ndashj

Fig L123

Fig L124

~ 220V 50Hz

- 203 -

XXRRZXXXRRR 221

2212121 ( L127)

Tabelul L122

U I P S = UI

cos = PS

Z = UI

R = Zcos

X = Zsin

R = R1 + R2

X = X1 + X2

[V] [A] [W] [VA] [] [] [] [] [] [W] [VAR] 1 2

R2R2R2

R1R1R1

Fig L125

~ 220V 50Hz

R1 L1 R2 L2

Fig L126

jX2 Z2

- 204 -

IMjILjIRUIMjILjIRU

111 ( L128)

0M2LLL 21a ( L1210)

0M2LLL 21d ( L1211)

41M ( L1212)

Mk ( L1213)

Fig L127

U a) b)

I U2 U1

L1 L2 R1 R2

- 205 -

111122

222222

21 ( L1214)

Tabelul L123

U I P S = UI

cos = PS

(a d) R =

R1+R2 X =

Rtg Xm k =

21m XXX P = RI2

Q = XI2 Nr

crt [V] [A] [W] [VA] [] [] [] [W] [VAR]

1 Xa =

2 Xd =

Fig L128

jMI R2I

I a) b)

- 206 -

)XX(41X dam ( L1215)

Tabelul L124

Nr crt U I P S =

Q = = BU2

Fig L129

~ 220V 50Hz

- 207 -

CEkYDEkBCDkG

OCkYACkBOAkG

s2s2s2

s1s1s1

( L1218)

221m12222

2m1121111

( L1220)

eIUZZZ

ZZIeIUZZZ

ZZI 21 j22

Fig L1210

Fig L1211

- 208 -

j1 2 m1 2 2

( L1221)

Z2ZZZZZjXRLjRZ

( L1222)

M2LLMLLL0R

( L1223)

222122221

112121121

iiii (

cosIMI2ILILQQQ

IRIRPPPjQPSSIUS

( L1226)

Fig L1213

~ 220V 50Hz

+1 -2 I2

R2I2 I1

Fig L1212

- 209 -

Tabelul L125

U I P S = UI

cos = PS I1 P1

S1 = UI1

cos1= P1S1

I2 P2 S2 = UI2

cos2 =

P1 = 211IR

P2 = 222 IR

P = P1+P2

Nr crt

- 210 -

Lucr area nr 13

UU UUUU CLCL (L131)

Fig L131

- 211 -

I1 3I IR

Fig L132

- 212 -

i = iL + iC (L132)

Fig L134

U1 U3 3U

Fig L133

)I(UR minU

RI I 1I

- 213 -

2 MODUL DE LUCRU

Fig L135

I1 IG(U)N3

Fig L136

220V ~

- 214 -

Fig L137

- 215 -

Lucr area nr 1 4

34tsinU)t(3

2tsinU)t(

tsinU)t(

(L141)

34tsinU)t(3

2tsinU)t(

tsinU)t(

(L142)

21ea 3

2j1232j

(L143)

- 216 -

UaUUaUUeU 1312

1 (L144)

1 UaUUaUeUU (L145)

0UUU0 321321 uuu (L146)

3 1U aU

22 1U a U

Sens invers

23 1U a U

2 1U aU

Sens direct

- 217 -

0IIII TSRN (L148)

CAU AU

- 218 -

f3U Ul

- 219 -

3U UI I

(L1412)

( r ) ( r )

( r ) (r )

f f r r

P 3U I cos 3U I cos

Q 3U I sin 3U I sin

S 3U I 3U I

(L1413)

- 220 -

(L1415)

32πβωtIsin 23

2πβωtIsin 2

βωtIsin 2

(L1416)

Fig L145

CAI BI

- 221 -

32πβωtsinBnB3

2πβωtsinBnB

βωtsinBnB

(L1417)

a7NI36B 0

(L1418)

icircn care

tcosB23BB

m32x (L1419)

ttgBBtgB

2x (L1420)

FigL146

- 222 -

fUU l Pf

cosf = = Pf (Uf If)

S = 3Uf If = = 22 QP

[A] [V] [V] [W] [W] [VAR] (VA) 1 2

b3 Af Vl

- 223 -

Tabelul L142

Nr crt Il If

= Q( Ul Il) P = 3Pf =

= 22 QP

[A] [A] [V] [VAR] [VAR] [W] (VA)

QsinIU2

ll (L1421)

- 224 -

Lucr area nr 1 5

(0) (N) UN0

U3N (3)

- 225 -

3032021010N YYYY

UYUYUYU

(L153)

YY3UUUU

3020100N

(L154)

3UUUU 302010

0N (L155)

30N232311N3

20N121233N2

10N313122N1

YYYYUYUYUY

YYYYUYUYUYU

(L156)

30N23231133

20N12123322

10N31312211

YYYYUYUYUYYI

(L157)

- 226 -

U12 = Ul U23 = a2Ul U23 = aUl (L158)

232311N3

121233N2

313122N1

YY2UYUYU

(L1510)

NC U1NL

(1) (2)

prime Prime NL

U31 U23

U2NL U1NC

U3NL U3NC

- 227 -

G)UU(YG2GU

3N3 (L1511)

2YG2Garg

(L1512)

G)jBG(a)jBG(aG

UGUYUYUG

(L1513)

B)B3G2(B)B3G2(

(L1514)

- 228 -

7331)32(1)32(

C (L1515)

(1) (2)

- 229 -

Tabelul L151

U12U23 U31 [V]

U10U20 U30 [V]

I1 [A]

I2 [A]

I3 [A]

U1N [V]

U2N [V]

U3N [V]

UN0 [V]

directă

- 230-

Lucr area nr 16

)tsin(Y2)t(y

(L161)

11 eYYeYYeYY (L162)

d2dd1 YaYYaYYY

i3ii2ii1 YaYYaYYY

= 0 d1Y

h3h2h1 YYY

+ + 1Y i1Y

Sistemul nesimetric

Sistemul omopolar

Fig L161

- 231-

h3i3d33

h2i2d22

h1i1d11

YYYYYYYY

YYYY respectiv

YYaYaYYYaYaY

YYYY (L166)

YYY31Y

YaYaY31Y

(L167)

0T0S0Ru

UK3UUU

K1U (L168)

UR0 US0 UT0

UR0Ku UR0Ku UR0Ku

Fig L162

- 232-

IK3III

K1I (L169)

UaUaUaUUaU

(L1610)

21U 13U

Fig L165

ITKI A

Fig L163

I1 I3 I2

UC1 UC2 Vd

Fig L164

- 233-

332223

221121

III0IZIZUIZIZU

(L1611)

ZZ2ZUZUZZIZU

ZZ2ZUZUZZZIZU

21323222C

13213111C

(L1612)

ZZ2UZZaUZZaU

ZZ2UZaZUZaZU

(L1613)

0ZaZ3 sau jX23j

21jXR 33

(L1614)

Se obţin valorile

(L1615)

(L1616)

- 234-

(L1617)

RTSRh UU3UUU

31U (L1618)

2 MODUL DE LUCRU

UR ZS IS

US ZT IT

Fig L166

- 235-

FCHTF-1

T1 T2 T3

C1 Vh2

p13 p1

- 236-

N3N2N1h U3

KUUU31U (L1620)

KIII31I I

TSRh (L1621)

- 237-

[V] [V] [V] [V] [V] 1 2 3

)UaUaU(31U

l (L1622)

21U 13U

Fig L168

232 Ua

132 Ua

- 238 -

Lucrar ea nr 17

2AdtyT1A )t( (L172)

k0k0 )t()t(

(L173)

- 239 -

BAarctgBAY2AY

2mkk00 (L174)

00 ksin)()()(

respectiv

2kk00 BAYAY şi

tjkmkeC)t(y (L177)

unde T

tjkmkmkmk dteyT

jBAC )t( (L178)

f2N2)n(yC ss

(L179)

kk0 )tksin(Y2Y)t(y

- 240 -

2 dtyT1Y )t( (L1710)

20 YYYYYYYY (L1711)

nn0nn0

(t)(t) iu

IIIIUUUU 2d

maxv YY

(L1712)

dt)t(yT2

Yk (L1713)

3Y2 4Y2

a) b) Fig L171

- 241 -

(L1714)

Tt3T2 si 3

Tt0 Y)t(y

m (L1715)

- 242 -

Tt2T T

T)(t22Tt0 T

t2y(t) (L1716)

- 243 -

- 244 -

- 245 -

Lucr area nr 1 8

- 246 -

EidtC1

dtdiLRi (L184)

2 respectiv 0iC

idLdtdiR 2

0idtdi2

dtid 2

2 (L185)

icircn care o L2

Fig L181

L IL(0) K CUC (0)

- 247 -

221 (L186)

00eKeK 21t

121)t( i (L188)

KKK0K K0 2121)0( i (L189)

EdtdiL

(L1810)

EKdtdieKeKdt

(L1811)

ttttt eeeL2EeeL2

E 21)t(

i (L1812)

respectiv

tsheLE t)t(

i (L1813)

0eeL2E m2m1 t

rezultă

2m ln2

(L1814)

m1m2m21m2m2m1 t

2t1ttttm eL

E1eL2EeeL2

E)ee(L2E

i (L1815)

Fig L182

- 248 -

1e11e1LC2EdteeLC2

2121)t( idtu

Ee1e1LC2E t

(L1816)

EELC2E0

t0ttr C21

12CC )0(

LC12 202121

tetLE)t( i (L1819

Eet111e1etLCE

dte1etLCEdtteLC

E)0(UC1

dtiu (t)C

02 Sub forma

Fig L183

uCtr ndashE

- 249 -

CL2sau R0β 2

0 (L1821)

(L1823)

tsineLEtshjeLj

(t)i (L1824)

E)0(UC1

0 dCc idtu

(L1825)

(L1826)

se obţine

tsineLC

11E dt

d (L1827)

tsineLCEu d

LCsin)tsin( d0

ndashE

uC UCp

b) Fig L184

- 250 -

avem 02πθ0L2

Etcos1

tsinCL

EtsinLE

i (L1866)

Fig L185

Fig L186

- 251 -

Bucureşti 2000

partea 1

partea 2

lab1_cm

lab2_Caractbobnel

Lab3_BNC

Lab4_arcc

Lab5_Dipolul lin cc

Lab6_Teor cir de cc

Lab7_Cuadripolul cc

Lab8_Circ nel cc

Lab9_cmrps

Lab10_retele ca cor


Lab12_bobine

lab13_ferorez

Lab14_Ctrifs

Lab15_ Ctrif dez




C U P R I N S

Prefaţă 3

ELECTROSTATICA

1 ELECTROSTATICA

limE0qv

vv ED 0 (13)

VplimP

[Cm2] (14)

EP et 0 (15)

EEE)1(D re 00 (17)

[Cm3] (18)

[Cm2] (19)

[Cm] (110)

S AdDψ (111)

AdDψ (112)

AB sdEq

LU (113)

sdEUV0

P (114)

41PE 3

respectiv Rq

41)P(V

VrespectivRRq

E (116)

41dVrespectivR

l l (118)

R41V (119)

- 10 -

qsdE (120)

VgradE (121)

xE (123)

xVE zyx

sau simbolic

vV (125)

unde s-a notat cu 2

operatorul Laplace

- 11 -

KxKV 21

eqAdEe

ee R4EdAEAdEe

Ssf a4Aq e

RdRaRdEsdEV

Fig 11

- 12 -

sau Rq

iaRdERdEsdEV

l vvv ER2dAEAdE

Fig 12 R

0E i 0

Fig 13 l

- 13 -

lll ll

RRln2R

dR2dREsdEPV 0

02v1vv R

2)P(E)P(E)P(E l

Rln2)P(V)P(V)P(V

dddAdq ss

41Ed 2

0vvn R

ddcos41cosdEdE

vnvnv Rddcos4dEEE

+ l ndash l C1 C2

Fig 14

Fig 15

- 14 -

cosRhd

coshdtgh 2

ddsin4

coscos

hcossinhcos

Sv 2ddsin4E

hh2dh2sdEV 00

41Ed 2

1sindEdE 20

1cosdEdE 20

ads 2 și asin

se obține

dsina4dE0

vnl respectiv

dcosn4dE

Fig 16

nvnEdM

- 15 -

2cosa2cos12a4

sinsincoscosa4EEE

vnv Ecosa2E0

l 0Evt

vnv Ea2E0

l 0Evt

42cosa22cos12a2E00

cosa2E0

sin1a2E

2tg2ctg

ln42tgln4sind

Fig 17

- 16 -

a2coscosa2E00

a2sinsina2E00

aa1a4xlaxaa4

xa4dFF

0 02222

12n1212n

llllll

0xlaxllnxlaxlna4

1212t12t

ll aa1a2Ff 2

221n12

a21f 21

1dE 22x0

Ed)00x(

Fig 18

- 17 -

xRxcos

și obținem

4adE 2322x

iii ll2322

2322xxax

iiVgrad l23220

UqC (127)

UqC (128)

+q ndashq

+ minus

Fig 19

- 18 -

qqqq 21

2112 sdEVVU

AqsdEU

+q -q A

Fig110

Fig 111

- 19 -

AqsdEVV

kdAC (130)

1k ke C1

C1 (131)

Cazuri particulare

21e CC

1kke CC (132)

2112 CCC

3223 CCC

1331 CCC

CCC (133)

(2) (2)

Fig 112

- 20 -

CCCCCCC

CCCCCCCCCCC

312331233

231223122

311231121 (134)

0j)k(j

j qq (135)

C jj UU (136)

E]m[j j

j UCq (137)

122 Aplicaţii

qqqq ei

Fig 113

- 21 -

qAdD ED

ER2dAEAdEAdE

hll SS

ll qhR2R2qdAR2

qdAq ii

R2qEhqEhR2 ll

12 RRln2

qdREsdEUe

2UqC l

36kmF1094

1010mF1094

RRln18R

k RRRR2qE l

k12 RRln1

2qRdEU

și rezultă

kk RRln1

- 22 -

kkmaxk l

qqqqAdE 1

41EER4dAEAdE

4qsdEU

12 RRRR4U

Fig 114

Fig 115

- 23 -

(2) 0qqq 421 T2K

[1] 13

[2] 24

T1K (1) 431431 qqqqqq

(2) 321321 qqqqqq

Fig 116

Fig 117

E1 [ 1 ]

+ ndash

ndasha) b)

- 24 -

T2K [1] 0Cq

[2] 24

BA VVCq

din care se deduce

BA423143215

324155 VVCCCCCCCCC

CCCCCq

D + ndash

+ ndash ndash

ndash ndash

+ ndash

Fig 118

Fig119

C2 C4 B

- 25 -

ke qqq

CCCUCC

CUU (1)

CCCUCC

CUCCCUU

CCCUCC

0CCCUU

hellip

CCC1CC

CUCCCU

Fig120

C1 C2 U0

- 26 -

respectiv

CCC1UU

n1 UCq n

Se observă că 0

nUUlim

- 27 -

1k k2k1k

Fig 122

Conductor

VS = const

VS =const

Fig 121

-d1 -d2

Fig 123

- 28 -

RDdRln

RDdR 2

Fig 124

- 29 -

nnnjnj22n11nn

nknjkj22k11kk

nn2jj22221212

nn1jj12121111

qpqpqpqpV

qpqpqpqpVqpqpqpqpV

nnnknk22n11nn

njnkjk22j11jj

nn2kk22221212

nn1kk12121111

VVVVqVVVVq

1nn1nnnknk1n1n0n0nn

jnjnjkjk1j1j0j0jj

n2n2k2k2212120202

n1n1k1k1121210101

UCUCUCUCq

UCUCUCUCqUCUCUCUCq

- 30 -

skjsjk VVq

RRln2V

1lP rr

rrln2rrlnr

221dDa

dDln2V1P

l Fig 125

ndashl

1 +l ndashl

- 31 -

dDdDaln2V2P

110S CC

dDadDln

dDadDln2

dDRdDlnVV

112 ss

dDRdDln36

dDRdDln

2 Vrrln2

1PV l constV0

Fig 126

A B B O1 O2

- 32 -

022011 Va4DD

a2ln2Vln2V

22012112

a4DDa2ln1VV2VVU

a4DDa2lnUC

Da41DDa4DD

D2a411Da4DD

kmFaDln36

mFaDln

- 33 -

2210112a4DD

a2ln2ln2VVU

unde H2D

aHHaln

rrln2VPV

0 rrrrln2r

rln2rrln2PV

hHaln2VhHahHH2ln2V

021 hHa

hHhH4ln2VV

hHahHhH4ln

Fig 127

ndashl

- 34 -

3032410ln411101654ln

și rezultă

nF10F10303241106751

109412

2221212

2121111

qpqpVqpqpV

dacă 02 q rezultă

2112 ppVV

H2ln21

1101q2

hHDhHDln2

1qVp 12

și rezultă

DhHDhHln

m29r12 m411r 21 023rrln

Fig 128

ndashl

- 35 -

2221212

2121111

qpqpVqpqpV

11s pp

22s pp

12221121

112s p2pp

hH2ln2

1p11 l 22

2112 hHDhHDln2

l ah2ln2

1p22 l

rezultă

hHDhHD

]hHD[a

hHDaHh4ln

Fig 129

- 36 -

2 pentru ca icircn

2221212

2121111

qpqpVqpqpV

adDln2

1ppp 02211

l dadRln2

m2112 dRd2ln2

d2ln21ppp

qppVqppV

)dR(ad)dR(2ln

1Sm021

121s12S C2

1)pp(2

2212221212

1122121111

icircn care 2m

m2112222

011 pp

12212202

21121101

VVCVCqVVCVCq

icircn care

- 37 -

ppppppCC

012112010

)pp()pp(p

m122112

3332321313

3232221212

3132121111

qpqpqpVqpqpqpV

qpqpqpV

Fm10112adDln2

1pppp 90332211

Fm10885

d3dRdRln2

m312312

q)pp(Vq)pp(Vq)pp(V

kmF1610pp

1VqCCC

13s2s1s

3332321313

3232221212

3132121111

VVVqVVVqVVVq

icircn care

- 38 -

)p2p()pp(

p)p2p()pp(

)p2p()pp(pp

m0m12312312

332211m0

330233213313

322322012212

311321121101

VCVVCVVCqVVCVCVVCq

VVCVVCVCq

kmF040)p2p()pp(pCCC

m312312312312

kmF0420p2p1CCC

m0131211302010

- 39 -

3332321313

3232221212

3132121111

qpqpqpVqpqpqpV

qpqpqpV

3322110 ppp31p

312312m ppp31p

q)pp(Vq)pp(Vq)pp(V

m00s30s20s10s pp

rrrhhh2

rrrddd

3312312

0rdrh2ln

dddrrr

rrrhhh

3312312

m75523355

23Dhhh 3

2 12r r23

ndashl1

ndashl2

ndashl3

Fig131b)

- 40 -

12 dm71223Dh2

m4510h2Dd 20

m9114510712d 3 2

675911010

37552lndrrh2ln

0880mnF0880

67510412

drhr2ln

mm10r0 m5hh 0

m7832DD2r 33 3

m4510)h2(Ddd 20

m6511D2h2d 22031

m841065114510d 3 2

8558410010

78352lnrhr2ln0

00950mpF

59C sb

m671185)D2h()Dh(hh 33000

m19D3h2d 012 m13Dh2d 023 m16D2h2d 031

cm815dddd 3312312

895815010

783672lndrrh2ln

009420mpF

429C sc

Fig 134

D1 2 3

Fig 133

Fig 132

- 41 -

dV2DEW

icircn care

2DEw e (147)

dV2DdV

1kkke Vq

21W (149)

2e (150)

EqFq (151)

21Eρf 22

ve grad grad (152)

- 42 -

ee dVfF (153)

1kkkkk xXqVdW (154)

constqk

respectiv

constVk

constq

dWF 22

constU

- 43 -

Mr = kR

CU21WM 2

constV

R2 kCU

k2kk unde kU

12 Uk2k

k sau kU

Fig 135

- 44 -

xxWF 22e

ctUctU

xaCCC 00

Rezultă astfel

1Ub2a1U

gradf e2E

dxd igrad

e abE2

abdxdadE

1Ub2aF r

L x = l

Fig 135

- 45 -

ah2lnhh4

N04904000ln

105020ln

11000010

1001036

Fig 136

- 46 -

de unde d

2dRRDln

RadRln

RadRlndR

dU2dCU2

- 47 -

a4DDa2ln

şi forţa rezultă

şi llq

dispuse

- 48 -

xbaC 0

Ugaggg

N107400030006000602

0030100101094

Fig 138

U + C1

- 49 -

CCCCCCC

CCCCCCCC 00

F6611220

32353235

C2CC2CC

C102100102UCqq 46A

- 50 -

V40105102

V60V40V100UUU 0AB0

C109696010661UCq 56B0

C10qqqqq 4C42

V5010101010040C

qUUUU 6

C0AC00AAC

Rezultă

J101010221UC2

1W 2462e

J105710

1022422422

CCCCCCC

qq21W 2

J10429010571010WWW 2220

- 51 -

S dAcosBAdB (21)

mH104 70

- 52 -

3vv RRsd

4HB oo

μμ i (22)

Sm θsdHu (23)

A3RRsd

cosrds 2

2sinsinr4

Iedscos

coscos4IeH

Fig 21

Fig 22

- 53 -

sdH solenația

r2IHr2HdsHsdH

Rsd4H i

Rsd21Ad

R4H ii

AdAd0Adb

naAd 2

3 Da2an

R2aH 2

Fig 23

xHd n a

- 54 -

dsRRsdsdR

4HH 23xii

sinR2aH 2

i Rasin 2322

3 Da2a

ldi Acesta poate fi

adH 2di dxsin

R2adH 2 l

adx 2 sinaR

dsin2Nid

sinaNisin

21 coscos2iNdsinl2

iNdHH1

2NicosNiH

- 55 -

3 ELECTRODINAMICA

e (31)

tre (33)

lBve (36)

Fig 31

- 56 -

tsinNdtdN m

sau tsinEm e (38)

mmm fN444fN

sd)B(sdE ve (310)

sinBNb2b)B(N2 vve

Fig 33

Fig 32

- 57 -

tsinEtsinabNB2 m e

34πtωcosΦΦ

3π2tωcosΦΦ

tcosωΦΦ

34tsinE

32tsinE

sd)B(Adt

BsdE ve

Fig 34

e1 e2 e3

Fig 35

Fig 36

- 58 -

costBAd

respectiv

tsintcosabBdAtsintB

SL (313)

0NL00 22

121212ψ

ii ii (314)

Analog

0NL00 11

ii ii (315)

- 59 -

2112 R

sdsd4L (316)

r2NHNr2H

2NhhdrHAdB

NH lii

ANNLAN

BA lili

Fig 37

- 60 -

AdBBAdB

adln2dxxd1

Se poate aproxima

8drr2ra2

dV2H2W2L

mHkmadln410Hm

4L2LL rr

dadlnb2r

drb2drBbAdB 10ad

i 2a 2a

r dr i

Fig 38 a) b)

r dr b

Fig 39

- 61 -

2bL 012

ΛR (317)

μAml R lRΛ

j 0 (319)

- 62 -

jmj[m]j

jθ R (320)

mm602l mH400

111 IN

222 IN

333 IN

WbAsp290A2 22

llRR WbAsp170A

T1K 01 321

T2K 2122m11m1 RR

3233m22m2 RR

32m23m13m2m1

- 63 -

32m1m21m12m

31m23m1m13m

Wb29142

INsdH S

H2HHsdH 331022 lll

mAsp679105104

T85110390

105AkBB 4

Fig 311

a a l1

- 64 -

Asp184379190H 2Fe2 l

Icircn juguri

B 33334

INsdH S

Fig 312

aa00 HHHsdH ll

- 65 -

AAABBH

mAsp1010400104

105H 667

0ABABAdB a

0 mWb25110400

mAsp976H0

mWb251Ba mAsp1430Ha

Asp14641721000292

1201430101030976lHHlH 36aa00S

22 Smm

slNIRU

m mm1540m10154012021464120100210

- 66 -

A3850JsI

spire1900385021464

I22N S

2Cu mm29215401900s

2cubob mm97030

- 67 -

kkm 21W i (321)

)kj(1kj

kjjkm LL21L

iiiii (322)

m ii (323)

212222

2111m ML

21W iiii (324)

m w (325)

dVBH21dVW

m wm (326)

21w (327)

constk

WXrespectivxWX

i (328)

- 68 -

)τdτdμH(

21BJf 22

m gradgrad (329)

corpVmdVfF (330)

dVBJdVfFcorpcorp VV

AdJBsddVsdAdBJFcorp

respectiv N

BsdF i

Fig 313

- 69 -

m i se determină

t2ctdWF

sau dL

2ctL21

dctdWF

iii dl

şi rezultă

d2F 0d

w este

mFe 2B

w deoarece

ABA22BVW 00

2m ABct)B(

Fig 314

- 70 -

2112222

211m LL

21W iiii

m LWC ii

010111

1NHBNH

cosANNABNNL 221

1212 liii

sinANNC 21221

C N2i2

l Fig 3 15

- 71 -

Fig 41

(4) [1]

E6 R6 [3]

- 72 -

knk21 UUUUUU (41)

k ERIU (43)

ee ERIU (44)

I R1 E1

Fig 41

I Re Ee

- 73 -

R1Gşi

GIU (47)

1k kk I

G1UU (48)

G1U ge

ee (49)

Fig 42

Fig 43

- 74 -

1kke RR (411)

RUI (413)

kk (414)

Fig 44

Fig 45

I Re Ee

R1 E1 I1

R2 E2 I2

Rk Ek Ik

Rn En In

- 75 -

kkkkk R

ER1UIIREU (416)

ER1UII (417)

ee (418)

1kkII (420)

Ig2 I2 G2

Igk Ik G2

Ign In G2

I Ge A

Fig 46

- 76 -

ke IIGG (423)

ke R1G sau

R1 (424)

21e RR

(1) (j)

Ek (k)

(1) (j)

(k) (n)

G1j E1j

Gkm Ekm

Em1 G1k

Gjm Ejm

ijn i1j

Fig 47

- 77 -

0)EVV(G j0

m21jEGEGVGVGG

1kjkkkkkjkm

kjkjkkm

jj EEGUG

)jk(1k

kjj )EE(

GGI (428)

jkjkjk

- 78 -

jkj EEG

GGGGGG

GGG321

EEEEEEEEE 133132232112 (435)

RRRRRR R

RRRRR RRRRRR

313131

323223

212112 (436)

R23 E23

(2) (3)

Fig 48

- 79 -

GGGGGG

231323133

231223122

131213121

respectiv

231312

RRRRRR

jk321jEEGEG3

1kkjjkjkjk

respectiv

3113211213131212 EEGEEGEGEG

3223122123232121 EEGEEGEGEG

3223113

2112332

1331221

GGGEGEGE

sau sub forma

3232313133

2121232322

1313121211

EGEGEG

- 80 -

23s31s3s

12s23s2s

31s12s1s

IIIIIIIII

Fig 410

Fig 49

R12 R23

- 81 -

154321

REUIIIIII

1k ke R1

321321

GUJIGGGUJJJI

321e321e GGGGJJJJ

Fig 411

- 82 -

te RRR

lRR411

RRRRRRR

Fig 412

Fig 413

Fig 414

- 83 -

13322112 R

RRRRRRR

R3RRRR 312312

de unde se obţine

R32R aa

312312

13121 RRR

Fig 416

Fig 415

- 84 -

Rezultă

RRRRRRRRRRR

de aici rezultă

RR3R4RR4

R158R ab

RR2RRR

R157R ac

Fig 417

Fig 418

- 85 -

caacaa RRR

unde ca

Rezultă

3r2R aa

bcab rrr

icircn paralel Deci

15R8R2R bcab

bcac RbRR

Fig 419

- 86 -

unde 2RR ab

Metode de analiză

ecuaţii obţinute

Fig 420

- 87 -

0IIII2

87887733

74776644

5665522

1332211

EEIRIRIR4

EEIRIRIR3

EIRIRIR2

EIRIRIR1

T1K nlln 0IA

I2 I3R2 R3

(1) (3)(2)

(4) (5)

- 88 -

IIIIIIII

00111000

01100001

1000010101100011

11000100011010000011001000000111

lll SIK

1ll SKI

EE0000

RR000R000RR0R00000RR00R000000RRR11000100

011010000011001000000111

[1] 143

1321 EIRIRIRRR

[2] 536

12 EIRIRRRIR

[3] 7447

26 EEIRIRRRIR

- 89 -

[4] 874873

13 EEIRRRIRIR

Matricial

44 EIR

t84884

EBRBR 8844 EBE

t848 ERBIBI

1521 EGEGVGVGVGVGGG

(2) 7746

12 EGVGVGVGGGGVG

8sc844sc

EGEGEGEG

EGEGEG

0011100010000101

0110011000010011

- 90 -

0IIII 5321 (1) 0III 542 (2)

Fig 422

50I20I5 31 (3)

848 IGAVAU

- 91 -

80I60I8 52 (4) 0I60I40I20 543 (5)

3251 IIII (1rsquo)

254 III (2rsquo)

0I5II2 532 (5rsquo)

A701217370

65152520150

5121502

151510

150201510

A122502

152021101

2171I3

A10101220021051

2171I5

A521122701101I1

A600122701101I4

- 92 -

b5a3c543

2c5b52

1c3a31

0I60I20I12080I60I6850I20I25

0I6I3I20I15I17

10I40I5

A521217330

225685104502401020

63115170

630151720

A701217370

12780150600

60115200

2171Ib

A600217130

127300170

031201701005

2171Ic

A116071IIIA600IIA12260521III

A701IIA521II

- 93 -

12222121

11212111

EGVGVGEGVGVG

GGGGGGG

Fig 423

01670601

0250401

0500201

125081

200051

- 94 -

şi deci

166700167002501250G

275025005002000G

801250V1670V0250

5020V0250V2750

10V1670V0250

10V0250V2750

1670025002502750

167010025010

1670025002502750

100250102750

A105160

A60040

20663542R

A12220

26680R

354250R

- 95 -

Ri = Rab0 (442)

Fig 424

Rab Uab

a (DLA)

Rab Uab

Gab Uab

Gi Isc

- 96 -

şi deci

abab RR

abab GG

IU (444)

Rab Uab

Iab Uab0

Fig 425

Gab Uab

Fig 426

- 97 -

0IR IR IRIR

EIR IR IRIR

0IR IR IRIR

ooookoo

jk22j11j

k222121

1k1212111

kjk EII

kjjk )1(

jkj EII

Prin definiţie

Fig 427

CLP kIRj

- 98 -

Ijk = Ikj

1kkkjj E

3105 RR

1223310 UUU

34423 IRU

122212 IREU

(1) (3)

Fig 428

- 99 -

Fig 429

35RREEI

V90UV1507080UV60U 3102123

43310 A5

61290I5

2305 RR

E1 i E3

(1) (3)

I32U23U21

R 3R 4

R 1 R 2

(4)(1)

Irsquo

Fig 430

- 100 -

IREU i14

4321i RRRR

43214321i

432114 RRRRRRRRRN

ERRRRU

U 43112

ERRRU 213

0IRRRIRIR0IRIRRRIR

EIRIRIRRR

15 RRRREIII

8R4R2R15R5R10RV40EV60E 65432121

UI1204

sc44 GE

120sc44 RR

I4 (2)R4

(4)(3)Fig 431

- 101 -

3 IREU

sc4sc4 III

Fig 433

- 102 -

65231120 G1

C DFig 435

Fig 434

sc4I 2I

- 103 -

0iRiRiR

444334224

44333223113

424223222112

313212111

unde s-a notat

RRRRRRRRRRRRRR

3424444

342313333

242312222

1312111

443424

343323

242322

443424

34332313

24232212

131211

443424

343323

242322

RRR0RRR1RRR10RR0

RRR0RRRRRRRR0RRR

RRR0RRRERRRE0RR0

0iI 11 sau 0

RRR0RRR1RRR10RR0

443424

343323

242322

- 104 -

0RRRRRR0RR

443424

0RRRRRRRRRR 31213244241334124

0RRRR0RRRR

312132

24133412

122 RR

- 105 -

T1f (52)

T1Y (53)

TSSdty

med (54)

- 106 -

Y max (57)

T1Y (58)

medf Y

YK (59)

max (510)

yFtsinY2ty (511)

- 107 -

YOAOAtsinY2ty (513)

- 108 -

YeYtsinY2ty j (517)

Ye2Imty tj (518)

- 109 -

tsinYa2tay (519)

tsinY2dt

tdy (520)

2tsinY2dtty (521)

- 110 -

maxI este

II max

Perioada s020501

Pulsaţia s

rad100f2

6sin10

23sin10

sin102

0sin10

ti sin10

180105t1081sin1090t1081sin10

2t100sin10

2tsin10i

180101081sin101801081sin10

100sin10sin10

Fig 55

- 111 -

1051t1081sin10

270t1081sin102

3t100sin102

3tsin10i

1035t1081sin10

30t1081sin106

t100sin106

tsin10i

322512sin301te

32512cos1022

Soluţie

Hz4002

310524001

EEV30E max1

1max1 V102

2sin303

26001800sin30e

5cos1023600

1800cos102e 2

2120010

1t800sin303

2t800sin30e1

- 112 -

5150020

9601t800sin102

3t800cos102e2

0002112 270150120 sau

sec2400

t800sin30

12001t800sin30e

2t800sin102

9601t800sin102e

d) 11 800sin30 te

111 sin2

22sin 11

Rezultă

4800sin301

4800sin1022

Fig 56 a) b)

1 nlo (61)

0coscos

IUR (62)

0sinsin

IUX (63)

cos sinZX

22 XRZ (6)

0coscos

UIG (67)

0sinsin

UIB (68)

BGtg cos

22 BGY (69)

122 BG

2ZRG 2Z

XB 2YGR 2Y

BX (610)

CLRfjXRZeI

UZ j (611)

CLRfjBGZeUI

UIY j (614)

0I)k(j

k = 1 2 hellip n (616)

0I)k(j

k = 1 2 hellip n (617)

0IV)k(j

1jjj 0IU respectiv

1jj 0S (619)

j 0Q0P (620)

0IEIIZIU1j

respectiv

1jjj IZIE (623)

IXsinIEIRcosIE1j

1kkkbj

Fig 63

expresia 3

tsin3 i

Rezolvare

tsin60u

tje60u

3j12153sinj3cos2

60U 3j

6sinj6cos2

20je20e3

050je050e20

Z1Y 2j

00 18075j4j

je20e20Z

je90e90S

Fig 64

00 180105j43j e2

00 18015je2

3I 43j

5tsin1002u

j1250e100U 45j

Lce jXRe255j5

jXRjXR

5R e 5X c

e jBG101j

S101G e S

Fig 65

c) 210je210ZUI 3

j125e10LjR

RII 45j

j125e10LjR

LjII 45j

tsin2102iC

5tsin102iL

tsin102iR

tsin1002Riu RAB

1000j1000e21000IUS 47j

W1000iRP 2

VAR100IC

1ILQ 2C

Fig 66

R W= UIt = 220∙03∙15∙60 = 59400Ws = 594003600 Wh = 165 Wh = 00165 KWh

R ΔU = RI = 05∙8 = 4V Δu = 4220 ∙100 = 18 W = 00165 KWh

R P = UIcosφ UI I = PU = (500+30+100)220 286 A

R 60ZRcos52251XRZ 2222 53o

- 121 -

PROBLEME REZOLVATE

ZeZmarctg742ZZ

)192j741(9j1139j

9j11)2j3)(2j2(3

A7138742380

A240I3I f l

Fig 71

- 122 -

kVA158IU3S

A430503803

00010cosU3

A08470j010314j220

LjUI f

F1031C3C 3

A02723j220314103

10jUCjI 63fsteaC

Fig 72

L Pi PM

IM IL IC Ii

3380220V 50Hz

- 123 -

A4545220300030

95008646560

IIecos

V)973j138()6820j6560)(10386314j102(500IZU 74 lll

V)973j13228(UUU ff0 l

coscos1

Iluminat 30 000 W

VA643954QPS 22

A666U3SI

910SPcos 1

2 = 13307 W

Ql = 3l LsI2 = 1333 VAR

TOTAL 41 3307 19 554 VAR

VA72345QPS 220

V396I3

SU 00 l

90SPcos 0

- 124 -

ΔU = V48580253210065313cosS

cosU3P

7000 = 1477A

- 125 -

- 126 -

= 4000(09 3 middot380middot07) = 965A

= 2000(09middot380middot07) = 835A

ΔU = V6727018634

ΔU= V021670108634

- 127 -

)tsin(Y2)t(y

11 eYYeYYeYY (72)

d2dd1 YaYYaYYY (72)

- sistemul omopolar

YYaYaYYYaYaY

YYYY (75)

YYY31Y

YaYaY31Y

- 128 -

N Se cer curenții

V100UUU31U

V7157UaUaU31U

V342UaUaU31U

0T0S0Rh

R IR Z

IR IS IR

Id a2Id aId

Id Rd Z Id

Ii aIi a2Id

Ii Ri Z Ii

- 129 -

A)5j661(IIIA661ZZ

UIA5jZUI

A)15j5(III

A5IIII

A15jIIII

A)323j661(IIaIaI

A328IIII

A984IIaIaI

A15jIIII

A)323j656(IIaIaI

A)323j323(IIaIaI

A)15j328(IIII

IZUIZUIZU 333222111 (77)

)IIaIa(ZU)IIaIa(ZU

)III(ZU

Ih Ih Ih

Ih Rh Z Ih

Fig 75

U31 U1

- 130 -

IZaZaZIZaZaZIZZZ3

IZaIZaIZ31UaUaU3

21i322

221132

hhiddih

hiihddi

hdiidhd

IIIUIIIUIIIU

23i122

3123d UaUaU31UUaUaU

31U ll

0)UUUUUU(UUU31U

eU3U3j

UUaUUaUU31UaUaU

)UaUaU(a31)UaUaU(

31)UaUaU(

211332123123h

3212312

1332122

- 131 -

)II(3jU)II(3jU

IaIaIIaIaI

302010h

UUU31U

UaUaU31U

UUU31U

UaUaU31U

U)]UU()UU()UU[(31UU

0)UaUaU(31

)UU(a)UU(a)UU[(31UU

0)UaUaU(31

)UU(a)UU(a)UU[(31UU

0N220220110hh

2202202

220110dd

Fig 76

- 132 -

hhiddi0Nhh

hiihddii

hdiidhdd

IIIUUU

0II0U TSR

II0IIIZU scRTSRaR

UR US UT

Fig 77

UR US UT

Fig 78

- 133 -

hidahid

dhid Z3ZZZ

ahidsc Z3ZZZ

Tensiunile rezultă

Z3ZZZEZ3IZ3UUUU

ahahidR

1Z N32 Z0ZZ

Id Zd Ed

Id = Ii = Ih

Fig 710

- 134 -

IIaIaIIaIa0III

UUaUaUUaUa

II0I0UUU idhhid

EZZZIZEUUIZZ

iddidi

TSsc ZZE)aa(IaIaIII

ZZEZUU)aa(UaUaUU

ZZEZ2IZ2UUU

idiidR

0UUU idh

ZEaIaI

Ud = Ui

Id Zd E

SMd SMi

Fig 712

E dZ dI

Fig 714

Fig 713

a2E IS

Fig 711

US = UT

- 135 -

)0()0()0()0()0()0(

LLL ψψψiii

- 136 -

00 dtdLdt

dψ)0(u LLL

i (84)

2Li (85)

)0(u)0(u)0(u)0(q)0(q)0(q

duCdtdq)0(i (87)

ce (88)

)0()0()0()0(

LL ψψ

Fig 81

)0()0( LL uuuL

)0()0(

Fig 83

)0()0( CC ii

Fig 84

- 137 -

0ERidtdiL

tititi 21

din care tLR

1 Aeti

ti o2 este o

t0 e1R

30 e1RE3i

a) b) Fig 81

- 138 -

0t0RidtdiL

0 eREti

a) b) Fig 82

i(t)t = 0R

001 st

003002

0a) b)

Fig 83

- 139 -

0ERidtdiL

0 AeRE

000 RR

t100tLR

000 e912eRRE

unde pRR

0 e80e

i(t) R1

Fig 84

- 140 -

0RRdtdL p ii

0i0i 0 este

ti pRR

R p este mai mic

a) b) Fig 85

- 141 -

PARTEA A IIndashA

Lucr area nr 1

FEROMAGNETICE

pt MMM (L11)

HM mt (L12)

MHB 0 (L13)

- 142 -

0 0 rmB 1 H H H (L14)

st (L15)

d (L16)

- 143 -

B Mat mag moi

Fig L13

Mat mag dure

Ciclul limită

Cicluri parţiale

Fig L12

- 144 -

1Hemax

2N IH H K I l

emax B2

2UB B K UN S

Ua ~ N1 N2 U

Fig L14

- 145 -

3 MODUL DE LUCRU

U [V] helliphellip

H [Am] helliphellip

B [T] helliphellip

N1 N2 U

V 220V 50Hz

Fig L15

220V ~

Fig L16

- 146 -

- 147 -

Lucr area nr 2

Lu (L22)

Fig L21

- 148 -

Fig L22

0 t 0 T

Fig L23

Fig L24

- 149 -

dtd[dt

d )(])()( s21

iiiuuu (L24)

dtd[dt

d )(])()( d21

21c2c1c

iiiuuu (L25)

Fig L25

0 i Ic

Fig L26

0 i Ic ndash Ic

- 150 -

Fig L27

0 t 0 T

1(iIc) 2(iIc)

Fig L28

0 i 1(iIc)

-Ic Ic

2(iIc) c

-Ic Ic

d(iIc)

s(iIc)

1(iIc)

2(iIc)

d(iIc)

- 151 -

Fig L29

A1 X1 X2 A2

F1 F2 F3 F4

220V 50Hz ATR

- 152 -

Lucr area nr 3

Fig L31

Fig L32

0 t 0 T

- 153 -

Fig L33

Fig L34

- 154 -

Fig L35

Ic1 Ic2

- 155 -

a) b) Fig L36

0 Ip =0

Us2 gt Us1

Us2 Us1

Fig L37

- 156 -

Lucr area nr 4

11 1 12 2 1k k 1o o [1]

21 1 22 2 2k k 2o o [2]

m1 1 m2 2 mk k mo o [m]

R I R I R I R I E

o1 1 o2 2 ok k oo o [o]

R I R I R I R I E

icircn care

- 157 -

mm jR R

j [m][k ]

mk jR R

j [m][m] jE E

o1k 2k mk ok mk

k [1] [2] [m] [o] [m]m 1

I E E E E E

j m[m] j

]3[333232131

]2[323222121

]1[313212111

3242132211

IIIIIIIIIIIIIII

Fig L41

[2] [3]

- 158 -

11 1 12 2 1k k 1n 1 n 1 sc(1)

21 1 22 2 2k k 2n 1 n 1 sc(2)

i1 1 i2 2 ik k

G V G V G V

in 1 n 1 sc(i)

n 11 1 n 12 2 n 1k k n 1n 1 n sc(n 1)

ii jj (i)

j (i)(k )

ik jG G

I G E I

Ej Rj Ij

Ijsc=EjRj=GjEj

Fig L42

Igj=GjEj

Gj=1Rj

- 159 -

1 2 3 1 2 2 3 3 g1

2 1 2 4 5 2 4 3 g4

3 1 4 2 3 4 6 3 g4

3625324

3132121141

VUV UVVUVVUVVUVVVU

Ej Rj Ij

Fig L43

(i) (k)

j j j j j j j j

(V4=0)

(4) I1

3V I6 1V I4

Fig L34

- 160 -

2 MODUL DE LUCRU

1 2 3 4 5 6(1) -1 1 1 0 0 0

A(2) 0 1 0 1 1 0(3) 0 0 1 1 0 1

1 2 3 4 5 6[1] 1 0 1 0 0 1

B[2] 0 1 1 1 0 0[3] 0 0 0 1 1 1

Fig L45

3I R6 R3

R6 R3 b)

Fig L46

[2] [3]

(3) (4)

- 161 -

R 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 00 R 0 0 0 0 0 G 0 0 0 00 0 R 0 0 0 0 0 G 0 0 0R G 0 0 0 R 0 0 0 0 0 G 0 00 0 0 0 R 0 0 0 0 0 G 00 0 0 0 0 R 0 0 0 0 0 G

R [I ] [E ] (L47)

scG V I (L410)

I G U E (114)

- 162 -

Lucr area nr 5

Sρ2R l

l (L51)

E U1 U1 U2

(1) (2)

Rs U2 Rs

- 163 -

IR1IUIRIU

PPη ll (L55)

1sc11 P2 = 0 = 0

(L54) rezultă

sc1 I2

1R2U|I

max2 (L56)

max2 ll

l (L58)

- 164 -

I [A] U2 [V]

P1 = U1 I [W] P2 = U2 I [W] U = U1 - U2

Fig L52 Isc

U2 P1 U

- 165 -

Lucr area nr 6

Fig L61

Rab Uab

a (DLA)

Rab Uab

Gab Uab

Gi Isc

- 166 -

Ri = Rab0 (L61)

abab RR

abab GG

IU (L63)

Rab Uab

Iab Uab0

Fig L62

Gab Uab

Fig L63

- 167 -

0IRIRIRIR

EIRIRIRIR0IRIRIRIR

0IRIRIRIR

ooookoo

jk22j11j

k222121

1k1212111

kjk EII

kjjk )1(

jkj EII

Prin definiţie

G (L67)

Fig L64

CLP kIRj

- 168 -

G (L68)

1kkjj EGII

Fig L65

R3 R4 R2

(a) (b)

(c) (d)

- 169 -

Tabelul L61 I1

[A] I2

[A] I3

[A] I4

[A] I5 (Iab)

[A] Uab

[V] R1 [Ω]

R2 [Ω]

R3 [Ω]

R4 [Ω]

R5 [Ω]

[V] Rab0

[Ω] Iabsc [A]

Valori măsurate

Valori calculate

Fig L66

ndash R3 R4

V0 Uab0

Rab0 (a) (b) (a) (b)

- 170 -

Tabelul L62 I11

[A] I12 [A]

I13 [A]

I14 [A]

I15 [A]

I21 [A]

I22 [A]

I23 [A]

I24 [A]

I25 [A]

I1 [A]

I2 [A]

I3 [A]

I4 [A]

I5 [A]

Valori măsurate

Valori calculate

Fig L67

I11 I13

I14 I12

R3 R4 R2

I21 I23

I24 I22

- 171 -

Lucr area nr 7

(1) (2)

[1] [2] U1

Fig L71

- 172 -

0IRIRIR

UIRIRIRUIRIRIR

ooo22o11o

20o2222121

1oo1212111

211222111

2112221112

22 AAAA

2222211

2122111

1AAAA 21122211 (L74)

scurtcircuit

- 173 -

1010e A

AIUR (L75)

sc1sc1e A

AIUR (L76)

2020e A

sc2sc2e A

AIUR (L78)

sc1e10e

sc1e10e20e21

sc1esc1e10e

sc1e10e20e

- 174 -

figura L72

212112

r1Ar1A

rrrrrA

rr1A (L710)

UAIUAU

(L711)

- 175 -

222sc1

212sc1

IAIIAU

(L712)

sc1101

UUU (L713)

(2) A2

V2 R2 U2

- 176 -

Lucr area nr 8

tgkRR sst iu (L81)

tgβklimR s0d di

duΔiΔu

Δi (L82)

us raportul

Rdgt0 Rdlt0

Fig L81 0

Fig L82

- 177 -

Fig L83

Fig L84

- 178 -

Fig L86

Fig L85

Fig L87

- 179 -

IRUU d0 (L84)

)I(U)I(U)I(U 21 (L85)

P U0 I

Fig L88

Fig L89

U1 U2 U2

U(I) U2(I)

- 180 -

)U(I)U(I)U(I 21 (L86)

I = I1 + I2 U1 U2 U(I) = U1(I) + Un(I) (L87)

Fig L811

Rn1 Rn2

Up P I1

U1(I1) U2(I2)

Fig L810

Rn1 Rn1

I I1 I2

Up P I1

I U1(I) U2(I)

- 181 -

Tabelul L81

~ ~ ~ =

R A2 A3

Fig L812 SR

- 182 -

Tabelul L82

- 183 -

Lucr area nr 9

(axa reală)

Fig L91

Fig L92

- 184 -

IUZ (L93)

UIY jj

2121 YY)t(y)t(y (L96)

YjYe)2

tsin(2dtdy )

Yj1eY)

2tsin(Yydt

- 185 -

trigonometric) cu 2

IZIC1LjRUUUU CLR

(L913)

jXRC1LjRZ

(L914)

arctgarctg RC

1-ωLRX

ZUII 22

(L915)

Fig L93

R L C i

u uR uL uC

- 186 -

1f LC1f2ωC

1LXX 0000

(L916)

(L917)

dtdCdtL

Fig L94

iR iC iL

= 0 RII

- 187 -

UCjULj

1UGIIII CLR

(L921)

1CjUGI

(L922)

jBGY (L923)

LC1f2ω

L1CBB 000o

(L925)

(L926)

- 188 -

crt [V] [A] [V] [V] [V] [] [] [] [] 1 2 3

Tabelul L92

Fig L95

VL VC 220V

Fig L96

220V ~ L

- 189 -

Lucrar ea nr 10

1n21k0I)k(j

(L101)

1n21m0U]m[j

l (L102)

- 190 -

1nn21kJII)k(p )k(s

spE)k(j

(L103)

sJ]m[j

jj EUIZ m = 1 2 o

(L104)

unde j

]m[ssJ

]m[j jkkkjj

jjjjj EUILjICj

1ILjIR

]m[ssJ

(L105)

pE sJ pEI

Fig L101

(IE)p (UJ)s

- 191 -

ZLjLjLj

LjLjLjLj

LjLjZLjLjLjLjZ

kkjk21k

1j2221

1j1121

llllllll

ll (L1011)

- 192 -

[B]]Z[[0][A]

JJ (L1013)

sau SNKi (L1014)

SKN 1i (L1015)

EIZIZIZIZ

EIZIZIZIZEIZIZIZIZ

(L1016)

jk]m[j

jmm ZZZ (L1017)

]j[q]m[p

]j[k]m[k

kmj ZZZ (L1018)

[m] mI

Fig L102

- 193 -

j]m[ EE (L1019)

oo ]E[]I[]Z[ (L1020)

lll (L1023)

[m] mI

Fig L103

[j] jI

[m] mI

[j] jI

- 194 -

V)10j45(EV)25j30(EV)45j50(EV100jEV100E 54321

10RR10RRR 54321

C110LLLLLLL

5425432211

)Cj(1 4 )Cj(1 5

jL1 jL2

R1 R2 R3

E1 E2 E3

)Cj(1 2

I1 I2 I3

I4 I5 R4 R5

[1] [2]

Fig L104

- 195 -

]00111[A

010000011000101

)Cj(1LjR00Mj0

0)Cj(1LjR00Mj

Mj00)Cj(1LjLjRMj

0Mj0MjLjLjR

25211112

1412111

54321 EEEEEE

- 196 -

Lucr area nr 11

2222211

2122111

IAUAIIAUAU

(L111)

CUADRIPOL DIPORT

(1) (2)

Fig L111

- 197 -

A11 A22 ndash A12 A21 = 1

1111212

1121222

IAUAIIAUAU

(L113)

1111212

1121222

IAUAIIAUAU

(L114)

2221212

2121111

IZIZUIZIZU

(L115)

- 198 -

IFUFIsau

UHIHIUHIHU

2221212

2121111

2221212

2121111

2221212

2121111

UYUYIUYUYI

(L117)

(L118)

(L119)

2112 YY

- 199 -

1010e A

AIUZ (L1110)

sc1sc1e A

AIUZ (L1111)

10U U2 = 20U şi I2 =

20e AA

Z (L1112)

sc1e10e

sc1e10e20e21

sc1e10e

sc1e10e20e

(L1113)

R1YRZLjRZ 32111 (L1115)

Fig L112

~ 220V

R1 L1 R2

R3 A2 V2

- 200 -

UAIUAU

(L1116)

222sc1

212sc1

IAIIAU

(L1117)

sc1101

IIIUUU

(L1118)

Fig L113

R1 L1 R2

(2) Rs

- 201 -

Lucr area nr 12

jXRZeIUZ j ( L121)

Z1jBGYe

UIY j ( L122)

RXtan ( L123)

SPcosQPSXIQRIPXRZ

( L124)

FigL121

Z U Lj1

- 202 -

SPcQPSBUQGUPBGY

222jLG

( L125)

Tabelul L121

U I P S = UI

cos = PS

Z = UI

R = Zcos

X = Zsin

Y = IU

G = Xcos

B = Xsin

P = RI2

P = GU2

Q = XI2

Q = BU2 Nr

Fig L122

P = RI2

jQ = jXI2

ndashjQ = ndashjBU2

0 ndash

ndashjB

ndashj

0 ndash

P = GU2 +1

ndashj

Fig L123

Fig L124

~ 220V 50Hz

- 203 -

XXRRZXXXRRR 221

2212121 ( L127)

Tabelul L122

U I P S = UI

cos = PS

Z = UI

R = Zcos

X = Zsin

R = R1 + R2

X = X1 + X2

[V] [A] [W] [VA] [] [] [] [] [] [W] [VAR] 1 2

R2R2R2

R1R1R1

Fig L125

~ 220V 50Hz

R1 L1 R2 L2

Fig L126

jX2 Z2

- 204 -

IMjILjIRUIMjILjIRU

111 ( L128)

0M2LLL 21a ( L1210)

0M2LLL 21d ( L1211)

41M ( L1212)

Mk ( L1213)

Fig L127

U a) b)

I U2 U1

L1 L2 R1 R2

- 205 -

111122

222222

21 ( L1214)

Tabelul L123

U I P S = UI

cos = PS

(a d) R =

R1+R2 X =

Rtg Xm k =

21m XXX P = RI2

Q = XI2 Nr

crt [V] [A] [W] [VA] [] [] [] [W] [VAR]

1 Xa =

2 Xd =

Fig L128

jMI R2I

I a) b)

- 206 -

)XX(41X dam ( L1215)

Tabelul L124

Nr crt U I P S =

Q = = BU2

Fig L129

~ 220V 50Hz

- 207 -

CEkYDEkBCDkG

OCkYACkBOAkG

s2s2s2

s1s1s1

( L1218)

221m12222

2m1121111

( L1220)

eIUZZZ

ZZIeIUZZZ

ZZI 21 j22

Fig L1210

Fig L1211

- 208 -

j1 2 m1 2 2

( L1221)

Z2ZZZZZjXRLjRZ

( L1222)

M2LLMLLL0R

( L1223)

222122221

112121121

iiii (

cosIMI2ILILQQQ

IRIRPPPjQPSSIUS

( L1226)

Fig L1213

~ 220V 50Hz

+1 -2 I2

R2I2 I1

Fig L1212

- 209 -

Tabelul L125

U I P S = UI

cos = PS I1 P1

S1 = UI1

cos1= P1S1

I2 P2 S2 = UI2

cos2 =

P1 = 211IR

P2 = 222 IR

P = P1+P2

Nr crt

- 210 -

Lucr area nr 13

UU UUUU CLCL (L131)

Fig L131

- 211 -

I1 3I IR

Fig L132

- 212 -

i = iL + iC (L132)

Fig L134

U1 U3 3U

Fig L133

)I(UR minU

RI I 1I

- 213 -

2 MODUL DE LUCRU

Fig L135

I1 IG(U)N3

Fig L136

220V ~

- 214 -

Fig L137

- 215 -

Lucr area nr 1 4

34tsinU)t(3

2tsinU)t(

tsinU)t(

(L141)

34tsinU)t(3

2tsinU)t(

tsinU)t(

(L142)

21ea 3

2j1232j

(L143)

- 216 -

UaUUaUUeU 1312

1 (L144)

1 UaUUaUeUU (L145)

0UUU0 321321 uuu (L146)

3 1U aU

22 1U a U

Sens invers

23 1U a U

2 1U aU

Sens direct

- 217 -

0IIII TSRN (L148)

CAU AU

- 218 -

f3U Ul

- 219 -

3U UI I

(L1412)

( r ) ( r )

( r ) (r )

f f r r

P 3U I cos 3U I cos

Q 3U I sin 3U I sin

S 3U I 3U I

(L1413)

- 220 -

(L1415)

32πβωtIsin 23

2πβωtIsin 2

βωtIsin 2

(L1416)

Fig L145

CAI BI

- 221 -

32πβωtsinBnB3

2πβωtsinBnB

βωtsinBnB

(L1417)

a7NI36B 0

(L1418)

icircn care

tcosB23BB

m32x (L1419)

ttgBBtgB

2x (L1420)

FigL146

- 222 -

fUU l Pf

cosf = = Pf (Uf If)

S = 3Uf If = = 22 QP

[A] [V] [V] [W] [W] [VAR] (VA) 1 2

b3 Af Vl

- 223 -

Tabelul L142

Nr crt Il If

= Q( Ul Il) P = 3Pf =

= 22 QP

[A] [A] [V] [VAR] [VAR] [W] (VA)

QsinIU2

ll (L1421)

- 224 -

Lucr area nr 1 5

(0) (N) UN0

U3N (3)

- 225 -

3032021010N YYYY

UYUYUYU

(L153)

YY3UUUU

3020100N

(L154)

3UUUU 302010

0N (L155)

30N232311N3

20N121233N2

10N313122N1

YYYYUYUYUY

YYYYUYUYUYU

(L156)

30N23231133

20N12123322

10N31312211

YYYYUYUYUYYI

(L157)

- 226 -

U12 = Ul U23 = a2Ul U23 = aUl (L158)

232311N3

121233N2

313122N1

YY2UYUYU

(L1510)

NC U1NL

(1) (2)

prime Prime NL

U31 U23

U2NL U1NC

U3NL U3NC

- 227 -

G)UU(YG2GU

3N3 (L1511)

2YG2Garg

(L1512)

G)jBG(a)jBG(aG

UGUYUYUG

(L1513)

B)B3G2(B)B3G2(

(L1514)

- 228 -

7331)32(1)32(

C (L1515)

(1) (2)

- 229 -

Tabelul L151

U12U23 U31 [V]

U10U20 U30 [V]

I1 [A]

I2 [A]

I3 [A]

U1N [V]

U2N [V]

U3N [V]

UN0 [V]

directă

- 230-

Lucr area nr 16

)tsin(Y2)t(y

(L161)

11 eYYeYYeYY (L162)

d2dd1 YaYYaYYY

i3ii2ii1 YaYYaYYY

= 0 d1Y

h3h2h1 YYY

+ + 1Y i1Y

Sistemul nesimetric

Sistemul omopolar

Fig L161

- 231-

h3i3d33

h2i2d22

h1i1d11

YYYYYYYY

YYYY respectiv

YYaYaYYYaYaY

YYYY (L166)

YYY31Y

YaYaY31Y

(L167)

0T0S0Ru

UK3UUU

K1U (L168)

UR0 US0 UT0

UR0Ku UR0Ku UR0Ku

Fig L162

- 232-

IK3III

K1I (L169)

UaUaUaUUaU

(L1610)

21U 13U

Fig L165

ITKI A

Fig L163

I1 I3 I2

UC1 UC2 Vd

Fig L164

- 233-

332223

221121

III0IZIZUIZIZU

(L1611)

ZZ2ZUZUZZIZU

ZZ2ZUZUZZZIZU

21323222C

13213111C

(L1612)

ZZ2UZZaUZZaU

ZZ2UZaZUZaZU

(L1613)

0ZaZ3 sau jX23j

21jXR 33

(L1614)

Se obţin valorile

(L1615)

(L1616)

- 234-

(L1617)

RTSRh UU3UUU

31U (L1618)

2 MODUL DE LUCRU

UR ZS IS

US ZT IT

Fig L166

- 235-

FCHTF-1

T1 T2 T3

C1 Vh2

p13 p1

- 236-

N3N2N1h U3

KUUU31U (L1620)

KIII31I I

TSRh (L1621)

- 237-

[V] [V] [V] [V] [V] 1 2 3

)UaUaU(31U

l (L1622)

21U 13U

Fig L168

232 Ua

132 Ua

- 238 -

Lucrar ea nr 17

2AdtyT1A )t( (L172)

k0k0 )t()t(

(L173)

- 239 -

BAarctgBAY2AY

2mkk00 (L174)

00 ksin)()()(

respectiv

2kk00 BAYAY şi

tjkmkeC)t(y (L177)

unde T

tjkmkmkmk dteyT

jBAC )t( (L178)

f2N2)n(yC ss

(L179)

kk0 )tksin(Y2Y)t(y

- 240 -

2 dtyT1Y )t( (L1710)

20 YYYYYYYY (L1711)

nn0nn0

(t)(t) iu

IIIIUUUU 2d

maxv YY

(L1712)

dt)t(yT2

Yk (L1713)

3Y2 4Y2

a) b) Fig L171

- 241 -

(L1714)

Tt3T2 si 3

Tt0 Y)t(y

m (L1715)

- 242 -

Tt2T T

T)(t22Tt0 T

t2y(t) (L1716)

- 243 -

- 244 -

- 245 -

Lucr area nr 1 8

- 246 -

EidtC1

dtdiLRi (L184)

2 respectiv 0iC

idLdtdiR 2

0idtdi2

dtid 2

2 (L185)

icircn care o L2

Fig L181

L IL(0) K CUC (0)

- 247 -

221 (L186)

00eKeK 21t

121)t( i (L188)

KKK0K K0 2121)0( i (L189)

EdtdiL

(L1810)

EKdtdieKeKdt

(L1811)

ttttt eeeL2EeeL2

E 21)t(

i (L1812)

respectiv

tsheLE t)t(

i (L1813)

0eeL2E m2m1 t

rezultă

2m ln2

(L1814)

m1m2m21m2m2m1 t

2t1ttttm eL

E1eL2EeeL2

E)ee(L2E

i (L1815)

Fig L182

- 248 -

1e11e1LC2EdteeLC2

2121)t( idtu

Ee1e1LC2E t

(L1816)

EELC2E0

t0ttr C21

12CC )0(

LC12 202121

tetLE)t( i (L1819

Eet111e1etLCE

dte1etLCEdtteLC

E)0(UC1

dtiu (t)C

02 Sub forma

Fig L183

uCtr ndashE

- 249 -

CL2sau R0β 2

0 (L1821)

(L1823)

tsineLEtshjeLj

(t)i (L1824)

E)0(UC1

0 dCc idtu

(L1825)

(L1826)

se obţine

tsineLC

11E dt

d (L1827)

tsineLCEu d

LCsin)tsin( d0

ndashE

uC UCp

b) Fig L184

- 250 -

avem 02πθ0L2

Etcos1

tsinCL

EtsinLE

i (L1866)

Fig L185

Fig L186

- 251 -

Bucureşti 2000

partea 1

partea 2

lab1_cm

lab2_Caractbobnel

Lab3_BNC

Lab4_arcc

Lab5_Dipolul lin cc

Lab6_Teor cir de cc

Lab7_Cuadripolul cc

Lab8_Circ nel cc

Lab9_cmrps

Lab10_retele ca cor


Lab12_bobine

lab13_ferorez

Lab14_Ctrifs

Lab15_ Ctrif dez




C U P R I N S

Prefaţă 3

ELECTROSTATICA

1 ELECTROSTATICA

limE0qv

vv ED 0 (13)

VplimP

[Cm2] (14)

EP et 0 (15)

EEE)1(D re 00 (17)

[Cm3] (18)

[Cm2] (19)

[Cm] (110)

S AdDψ (111)

AdDψ (112)

AB sdEq

LU (113)

sdEUV0

P (114)

41PE 3

respectiv Rq

41)P(V

VrespectivRRq

E (116)

41dVrespectivR

l l (118)

R41V (119)

- 10 -

qsdE (120)

VgradE (121)

xE (123)

xVE zyx

sau simbolic

vV (125)

unde s-a notat cu 2

operatorul Laplace

- 11 -

KxKV 21

eqAdEe

ee R4EdAEAdEe

Ssf a4Aq e

RdRaRdEsdEV

Fig 11

- 12 -

sau Rq

iaRdERdEsdEV

l vvv ER2dAEAdE

Fig 12 R

0E i 0

Fig 13 l

- 13 -

lll ll

RRln2R

dR2dREsdEPV 0

02v1vv R

2)P(E)P(E)P(E l

Rln2)P(V)P(V)P(V

dddAdq ss

41Ed 2

0vvn R

ddcos41cosdEdE

vnvnv Rddcos4dEEE

+ l ndash l C1 C2

Fig 14

Fig 15

- 14 -

cosRhd

coshdtgh 2

ddsin4

coscos

hcossinhcos

Sv 2ddsin4E

hh2dh2sdEV 00

41Ed 2

1sindEdE 20

1cosdEdE 20

ads 2 și asin

se obține

dsina4dE0

vnl respectiv

dcosn4dE

Fig 16

nvnEdM

- 15 -

2cosa2cos12a4

sinsincoscosa4EEE

vnv Ecosa2E0

l 0Evt

vnv Ea2E0

l 0Evt

42cosa22cos12a2E00

cosa2E0

sin1a2E

2tg2ctg

ln42tgln4sind

Fig 17

- 16 -

a2coscosa2E00

a2sinsina2E00

aa1a4xlaxaa4

xa4dFF

0 02222

12n1212n

llllll

0xlaxllnxlaxlna4

1212t12t

ll aa1a2Ff 2

221n12

a21f 21

1dE 22x0

Ed)00x(

Fig 18

- 17 -

xRxcos

și obținem

4adE 2322x

iii ll2322

2322xxax

iiVgrad l23220

UqC (127)

UqC (128)

+q ndashq

+ minus

Fig 19

- 18 -

qqqq 21

2112 sdEVVU

AqsdEU

+q -q A

Fig110

Fig 111

- 19 -

AqsdEVV

kdAC (130)

1k ke C1

C1 (131)

Cazuri particulare

21e CC

1kke CC (132)

2112 CCC

3223 CCC

1331 CCC

CCC (133)

(2) (2)

Fig 112

- 20 -

CCCCCCC

CCCCCCCCCCC

312331233

231223122

311231121 (134)

0j)k(j

j qq (135)

C jj UU (136)

E]m[j j

j UCq (137)

122 Aplicaţii

qqqq ei

Fig 113

- 21 -

qAdD ED

ER2dAEAdEAdE

hll SS

ll qhR2R2qdAR2

qdAq ii

R2qEhqEhR2 ll

12 RRln2

qdREsdEUe

2UqC l

36kmF1094

1010mF1094

RRln18R

k RRRR2qE l

k12 RRln1

2qRdEU

și rezultă

kk RRln1

- 22 -

kkmaxk l

qqqqAdE 1

41EER4dAEAdE

4qsdEU

12 RRRR4U

Fig 114

Fig 115

- 23 -

(2) 0qqq 421 T2K

[1] 13

[2] 24

T1K (1) 431431 qqqqqq

(2) 321321 qqqqqq

Fig 116

Fig 117

E1 [ 1 ]

+ ndash

ndasha) b)

- 24 -

T2K [1] 0Cq

[2] 24

BA VVCq

din care se deduce

BA423143215

324155 VVCCCCCCCCC

CCCCCq

D + ndash

+ ndash ndash

ndash ndash

+ ndash

Fig 118

Fig119

C2 C4 B

- 25 -

ke qqq

CCCUCC

CUU (1)

CCCUCC

CUCCCUU

CCCUCC

0CCCUU

hellip

CCC1CC

CUCCCU

Fig120

C1 C2 U0

- 26 -

respectiv

CCC1UU

n1 UCq n

Se observă că 0

nUUlim

- 27 -

1k k2k1k

Fig 122

Conductor

VS = const

VS =const

Fig 121

-d1 -d2

Fig 123

- 28 -

RDdRln

RDdR 2

Fig 124

- 29 -

nnnjnj22n11nn

nknjkj22k11kk

nn2jj22221212

nn1jj12121111

qpqpqpqpV

qpqpqpqpVqpqpqpqpV

nnnknk22n11nn

njnkjk22j11jj

nn2kk22221212

nn1kk12121111

VVVVqVVVVq

1nn1nnnknk1n1n0n0nn

jnjnjkjk1j1j0j0jj

n2n2k2k2212120202

n1n1k1k1121210101

UCUCUCUCq

UCUCUCUCqUCUCUCUCq

- 30 -

skjsjk VVq

RRln2V

1lP rr

rrln2rrlnr

221dDa

dDln2V1P

l Fig 125

ndashl

1 +l ndashl

- 31 -

dDdDaln2V2P

110S CC

dDadDln

dDadDln2

dDRdDlnVV

112 ss

dDRdDln36

dDRdDln

2 Vrrln2

1PV l constV0

Fig 126

A B B O1 O2

- 32 -

022011 Va4DD

a2ln2Vln2V

22012112

a4DDa2ln1VV2VVU

a4DDa2lnUC

Da41DDa4DD

D2a411Da4DD

kmFaDln36

mFaDln

- 33 -

2210112a4DD

a2ln2ln2VVU

unde H2D

aHHaln

rrln2VPV

0 rrrrln2r

rln2rrln2PV

hHaln2VhHahHH2ln2V

021 hHa

hHhH4ln2VV

hHahHhH4ln

Fig 127

ndashl

- 34 -

3032410ln411101654ln

și rezultă

nF10F10303241106751

109412

2221212

2121111

qpqpVqpqpV

dacă 02 q rezultă

2112 ppVV

H2ln21

1101q2

hHDhHDln2

1qVp 12

și rezultă

DhHDhHln

m29r12 m411r 21 023rrln

Fig 128

ndashl

- 35 -

2221212

2121111

qpqpVqpqpV

11s pp

22s pp

12221121

112s p2pp

hH2ln2

1p11 l 22

2112 hHDhHDln2

l ah2ln2

1p22 l

rezultă

hHDhHD

]hHD[a

hHDaHh4ln

Fig 129

- 36 -

2 pentru ca icircn

2221212

2121111

qpqpVqpqpV

adDln2

1ppp 02211

l dadRln2

m2112 dRd2ln2

d2ln21ppp

qppVqppV

)dR(ad)dR(2ln

1Sm021

121s12S C2

1)pp(2

2212221212

1122121111

icircn care 2m

m2112222

011 pp

12212202

21121101

VVCVCqVVCVCq

icircn care

- 37 -

ppppppCC

012112010

)pp()pp(p

m122112

3332321313

3232221212

3132121111

qpqpqpVqpqpqpV

qpqpqpV

Fm10112adDln2

1pppp 90332211

Fm10885

d3dRdRln2

m312312

q)pp(Vq)pp(Vq)pp(V

kmF1610pp

1VqCCC

13s2s1s

3332321313

3232221212

3132121111

VVVqVVVqVVVq

icircn care

- 38 -

)p2p()pp(

p)p2p()pp(

)p2p()pp(pp

m0m12312312

332211m0

330233213313

322322012212

311321121101

VCVVCVVCqVVCVCVVCq

VVCVVCVCq

kmF040)p2p()pp(pCCC

m312312312312

kmF0420p2p1CCC

m0131211302010

- 39 -

3332321313

3232221212

3132121111

qpqpqpVqpqpqpV

qpqpqpV

3322110 ppp31p

312312m ppp31p

q)pp(Vq)pp(Vq)pp(V

m00s30s20s10s pp

rrrhhh2

rrrddd

3312312

0rdrh2ln

dddrrr

rrrhhh

3312312

m75523355

23Dhhh 3

2 12r r23

ndashl1

ndashl2

ndashl3

Fig131b)

- 40 -

12 dm71223Dh2

m4510h2Dd 20

m9114510712d 3 2

675911010

37552lndrrh2ln

0880mnF0880

67510412

drhr2ln

mm10r0 m5hh 0

m7832DD2r 33 3

m4510)h2(Ddd 20

m6511D2h2d 22031

m841065114510d 3 2

8558410010

78352lnrhr2ln0

00950mpF

59C sb

m671185)D2h()Dh(hh 33000

m19D3h2d 012 m13Dh2d 023 m16D2h2d 031

cm815dddd 3312312

895815010

783672lndrrh2ln

009420mpF

429C sc

Fig 134

D1 2 3

Fig 133

Fig 132

- 41 -

dV2DEW

icircn care

2DEw e (147)

dV2DdV

1kkke Vq

21W (149)

2e (150)

EqFq (151)

21Eρf 22

ve grad grad (152)

- 42 -

ee dVfF (153)

1kkkkk xXqVdW (154)

constqk

respectiv

constVk

constq

dWF 22

constU

- 43 -

Mr = kR

CU21WM 2

constV

R2 kCU

k2kk unde kU

12 Uk2k

k sau kU

Fig 135

- 44 -

xxWF 22e

ctUctU

xaCCC 00

Rezultă astfel

1Ub2a1U

gradf e2E

dxd igrad

e abE2

abdxdadE

1Ub2aF r

L x = l

Fig 135

- 45 -

ah2lnhh4

N04904000ln

105020ln

11000010

1001036

Fig 136

- 46 -

de unde d

2dRRDln

RadRln

RadRlndR

dU2dCU2

- 47 -

a4DDa2ln

şi forţa rezultă

şi llq

dispuse

- 48 -

xbaC 0

Ugaggg

N107400030006000602

0030100101094

Fig 138

U + C1

- 49 -

CCCCCCC

CCCCCCCC 00

F6611220

32353235

C2CC2CC

C102100102UCqq 46A

- 50 -

V40105102

V60V40V100UUU 0AB0

C109696010661UCq 56B0

C10qqqqq 4C42

V5010101010040C

qUUUU 6

C0AC00AAC

Rezultă

J101010221UC2

1W 2462e

J105710

1022422422

CCCCCCC

qq21W 2

J10429010571010WWW 2220

- 51 -

S dAcosBAdB (21)

mH104 70

- 52 -

3vv RRsd

4HB oo

μμ i (22)

Sm θsdHu (23)

A3RRsd

cosrds 2

2sinsinr4

Iedscos

coscos4IeH

Fig 21

Fig 22

- 53 -

sdH solenația

r2IHr2HdsHsdH

Rsd4H i

Rsd21Ad

R4H ii

AdAd0Adb

naAd 2

3 Da2an

R2aH 2

Fig 23

xHd n a

- 54 -

dsRRsdsdR

4HH 23xii

sinR2aH 2

i Rasin 2322

3 Da2a

ldi Acesta poate fi

adH 2di dxsin

R2adH 2 l

adx 2 sinaR

dsin2Nid

sinaNisin

21 coscos2iNdsinl2

iNdHH1

2NicosNiH

- 55 -

3 ELECTRODINAMICA

e (31)

tre (33)

lBve (36)

Fig 31

- 56 -

tsinNdtdN m

sau tsinEm e (38)

mmm fN444fN

sd)B(sdE ve (310)

sinBNb2b)B(N2 vve

Fig 33

Fig 32

- 57 -

tsinEtsinabNB2 m e

34πtωcosΦΦ

3π2tωcosΦΦ

tcosωΦΦ

34tsinE

32tsinE

sd)B(Adt

BsdE ve

Fig 34

e1 e2 e3

Fig 35

Fig 36

- 58 -

costBAd

respectiv

tsintcosabBdAtsintB

SL (313)

0NL00 22

121212ψ

ii ii (314)

Analog

0NL00 11

ii ii (315)

- 59 -

2112 R

sdsd4L (316)

r2NHNr2H

2NhhdrHAdB

NH lii

ANNLAN

BA lili

Fig 37

- 60 -

AdBBAdB

adln2dxxd1

Se poate aproxima

8drr2ra2

dV2H2W2L

mHkmadln410Hm

4L2LL rr

dadlnb2r

drb2drBbAdB 10ad

i 2a 2a

r dr i

Fig 38 a) b)

r dr b

Fig 39

- 61 -

2bL 012

ΛR (317)

μAml R lRΛ

j 0 (319)

- 62 -

jmj[m]j

jθ R (320)

mm602l mH400

111 IN

222 IN

333 IN

WbAsp290A2 22

llRR WbAsp170A

T1K 01 321

T2K 2122m11m1 RR

3233m22m2 RR

32m23m13m2m1

- 63 -

32m1m21m12m

31m23m1m13m

Wb29142

INsdH S

H2HHsdH 331022 lll

mAsp679105104

T85110390

105AkBB 4

Fig 311

a a l1

- 64 -

Asp184379190H 2Fe2 l

Icircn juguri

B 33334

INsdH S

Fig 312

aa00 HHHsdH ll

- 65 -

AAABBH

mAsp1010400104

105H 667

0ABABAdB a

0 mWb25110400

mAsp976H0

mWb251Ba mAsp1430Ha

Asp14641721000292

1201430101030976lHHlH 36aa00S

22 Smm

slNIRU

m mm1540m10154012021464120100210

- 66 -

A3850JsI

spire1900385021464

I22N S

2Cu mm29215401900s

2cubob mm97030

- 67 -

kkm 21W i (321)

)kj(1kj

kjjkm LL21L

iiiii (322)

m ii (323)

212222

2111m ML

21W iiii (324)

m w (325)

dVBH21dVW

m wm (326)

21w (327)

constk

WXrespectivxWX

i (328)

- 68 -

)τdτdμH(

21BJf 22

m gradgrad (329)

corpVmdVfF (330)

dVBJdVfFcorpcorp VV

AdJBsddVsdAdBJFcorp

respectiv N

BsdF i

Fig 313

- 69 -

m i se determină

t2ctdWF

sau dL

2ctL21

dctdWF

iii dl

şi rezultă

d2F 0d

w este

mFe 2B

w deoarece

ABA22BVW 00

2m ABct)B(

Fig 314

- 70 -

2112222

211m LL

21W iiii

m LWC ii

010111

1NHBNH

cosANNABNNL 221

1212 liii

sinANNC 21221

C N2i2

l Fig 3 15

- 71 -

Fig 41

(4) [1]

E6 R6 [3]

- 72 -

knk21 UUUUUU (41)

k ERIU (43)

ee ERIU (44)

I R1 E1

Fig 41

I Re Ee

- 73 -

R1Gşi

GIU (47)

1k kk I

G1UU (48)

G1U ge

ee (49)

Fig 42

Fig 43

- 74 -

1kke RR (411)

RUI (413)

kk (414)

Fig 44

Fig 45

I Re Ee

R1 E1 I1

R2 E2 I2

Rk Ek Ik

Rn En In

- 75 -

kkkkk R

ER1UIIREU (416)

ER1UII (417)

ee (418)

1kkII (420)

Ig2 I2 G2

Igk Ik G2

Ign In G2

I Ge A

Fig 46

- 76 -

ke IIGG (423)

ke R1G sau

R1 (424)

21e RR

(1) (j)

Ek (k)

(1) (j)

(k) (n)

G1j E1j

Gkm Ekm

Em1 G1k

Gjm Ejm

ijn i1j

Fig 47

- 77 -

0)EVV(G j0

m21jEGEGVGVGG

1kjkkkkkjkm

kjkjkkm

jj EEGUG

)jk(1k

kjj )EE(

GGI (428)

jkjkjk

- 78 -

jkj EEG

GGGGGG

GGG321

EEEEEEEEE 133132232112 (435)

RRRRRR R

RRRRR RRRRRR

313131

323223

212112 (436)

R23 E23

(2) (3)

Fig 48

- 79 -

GGGGGG

231323133

231223122

131213121

respectiv

231312

RRRRRR

jk321jEEGEG3

1kkjjkjkjk

respectiv

3113211213131212 EEGEEGEGEG

3223122123232121 EEGEEGEGEG

3223113

2112332

1331221

GGGEGEGE

sau sub forma

3232313133

2121232322

1313121211

EGEGEG

- 80 -

23s31s3s

12s23s2s

31s12s1s

IIIIIIIII

Fig 410

Fig 49

R12 R23

- 81 -

154321

REUIIIIII

1k ke R1

321321

GUJIGGGUJJJI

321e321e GGGGJJJJ

Fig 411

- 82 -

te RRR

lRR411

RRRRRRR

Fig 412

Fig 413

Fig 414

- 83 -

13322112 R

RRRRRRR

R3RRRR 312312

de unde se obţine

R32R aa

312312

13121 RRR

Fig 416

Fig 415

- 84 -

Rezultă

RRRRRRRRRRR

de aici rezultă

RR3R4RR4

R158R ab

RR2RRR

R157R ac

Fig 417

Fig 418

- 85 -

caacaa RRR

unde ca

Rezultă

3r2R aa

bcab rrr

icircn paralel Deci

15R8R2R bcab

bcac RbRR

Fig 419

- 86 -

unde 2RR ab

Metode de analiză

ecuaţii obţinute

Fig 420

- 87 -

0IIII2

87887733

74776644

5665522

1332211

EEIRIRIR4

EEIRIRIR3

EIRIRIR2

EIRIRIR1

T1K nlln 0IA

I2 I3R2 R3

(1) (3)(2)

(4) (5)

- 88 -

IIIIIIII

00111000

01100001

1000010101100011

11000100011010000011001000000111

lll SIK

1ll SKI

EE0000

RR000R000RR0R00000RR00R000000RRR11000100

011010000011001000000111

[1] 143

1321 EIRIRIRRR

[2] 536

12 EIRIRRRIR

[3] 7447

26 EEIRIRRRIR

- 89 -

[4] 874873

13 EEIRRRIRIR

Matricial

44 EIR

t84884

EBRBR 8844 EBE

t848 ERBIBI

1521 EGEGVGVGVGVGGG

(2) 7746

12 EGVGVGVGGGGVG

8sc844sc

EGEGEGEG

EGEGEG

0011100010000101

0110011000010011

- 90 -

0IIII 5321 (1) 0III 542 (2)

Fig 422

50I20I5 31 (3)

848 IGAVAU

- 91 -

80I60I8 52 (4) 0I60I40I20 543 (5)

3251 IIII (1rsquo)

254 III (2rsquo)

0I5II2 532 (5rsquo)

A701217370

65152520150

5121502

151510

150201510

A122502

152021101

2171I3

A10101220021051

2171I5

A521122701101I1

A600122701101I4

- 92 -

b5a3c543

2c5b52

1c3a31

0I60I20I12080I60I6850I20I25

0I6I3I20I15I17

10I40I5

A521217330

225685104502401020

63115170

630151720

A701217370

12780150600

60115200

2171Ib

A600217130

127300170

031201701005

2171Ic

A116071IIIA600IIA12260521III

A701IIA521II

- 93 -

12222121

11212111

EGVGVGEGVGVG

GGGGGGG

Fig 423

01670601

0250401

0500201

125081

200051

- 94 -

şi deci

166700167002501250G

275025005002000G

801250V1670V0250

5020V0250V2750

10V1670V0250

10V0250V2750

1670025002502750

167010025010

1670025002502750

100250102750

A105160

A60040

20663542R

A12220

26680R

354250R

- 95 -

Ri = Rab0 (442)

Fig 424

Rab Uab

a (DLA)

Rab Uab

Gab Uab

Gi Isc

- 96 -

şi deci

abab RR

abab GG

IU (444)

Rab Uab

Iab Uab0

Fig 425

Gab Uab

Fig 426

- 97 -

0IR IR IRIR

EIR IR IRIR

0IR IR IRIR

ooookoo

jk22j11j

k222121

1k1212111

kjk EII

kjjk )1(

jkj EII

Prin definiţie

Fig 427

CLP kIRj

- 98 -

Ijk = Ikj

1kkkjj E

3105 RR

1223310 UUU

34423 IRU

122212 IREU

(1) (3)

Fig 428

- 99 -

Fig 429

35RREEI

V90UV1507080UV60U 3102123

43310 A5

61290I5

2305 RR

E1 i E3

(1) (3)

I32U23U21

R 3R 4

R 1 R 2

(4)(1)

Irsquo

Fig 430

- 100 -

IREU i14

4321i RRRR

43214321i

432114 RRRRRRRRRN

ERRRRU

U 43112

ERRRU 213

0IRRRIRIR0IRIRRRIR

EIRIRIRRR

15 RRRREIII

8R4R2R15R5R10RV40EV60E 65432121

UI1204

sc44 GE

120sc44 RR

I4 (2)R4

(4)(3)Fig 431

- 101 -

3 IREU

sc4sc4 III

Fig 433

- 102 -

65231120 G1

C DFig 435

Fig 434

sc4I 2I

- 103 -

0iRiRiR

444334224

44333223113

424223222112

313212111

unde s-a notat

RRRRRRRRRRRRRR

3424444

342313333

242312222

1312111

443424

343323

242322

443424

34332313

24232212

131211

443424

343323

242322

RRR0RRR1RRR10RR0

RRR0RRRRRRRR0RRR

RRR0RRRERRRE0RR0

0iI 11 sau 0

RRR0RRR1RRR10RR0

443424

343323

242322

- 104 -

0RRRRRR0RR

443424

0RRRRRRRRRR 31213244241334124

0RRRR0RRRR

312132

24133412

122 RR

- 105 -

T1f (52)

T1Y (53)

TSSdty

med (54)

- 106 -

Y max (57)

T1Y (58)

medf Y

YK (59)

max (510)

yFtsinY2ty (511)

- 107 -

YOAOAtsinY2ty (513)

- 108 -

YeYtsinY2ty j (517)

Ye2Imty tj (518)

- 109 -

tsinYa2tay (519)

tsinY2dt

tdy (520)

2tsinY2dtty (521)

- 110 -

maxI este

II max

Perioada s020501

Pulsaţia s

rad100f2

6sin10

23sin10

sin102

0sin10

ti sin10

180105t1081sin1090t1081sin10

2t100sin10

2tsin10i

180101081sin101801081sin10

100sin10sin10

Fig 55

- 111 -

1051t1081sin10

270t1081sin102

3t100sin102

3tsin10i

1035t1081sin10

30t1081sin106

t100sin106

tsin10i

322512sin301te

32512cos1022

Soluţie

Hz4002

310524001

EEV30E max1

1max1 V102

2sin303

26001800sin30e

5cos1023600

1800cos102e 2

2120010

1t800sin303

2t800sin30e1

- 112 -

5150020

9601t800sin102

3t800cos102e2

0002112 270150120 sau

sec2400

t800sin30

12001t800sin30e

2t800sin102

9601t800sin102e

d) 11 800sin30 te

111 sin2

22sin 11

Rezultă

4800sin301

4800sin1022

Fig 56 a) b)

1 nlo (61)

0coscos

IUR (62)

0sinsin

IUX (63)

cos sinZX

22 XRZ (6)

0coscos

UIG (67)

0sinsin

UIB (68)

BGtg cos

22 BGY (69)

122 BG

2ZRG 2Z

XB 2YGR 2Y

BX (610)

CLRfjXRZeI

UZ j (611)

CLRfjBGZeUI

UIY j (614)

0I)k(j

k = 1 2 hellip n (616)

0I)k(j

k = 1 2 hellip n (617)

0IV)k(j

1jjj 0IU respectiv

1jj 0S (619)

j 0Q0P (620)

0IEIIZIU1j

respectiv

1jjj IZIE (623)

IXsinIEIRcosIE1j

1kkkbj

Fig 63

expresia 3

tsin3 i

Rezolvare

tsin60u

tje60u

3j12153sinj3cos2

60U 3j

6sinj6cos2

20je20e3

050je050e20

Z1Y 2j

00 18075j4j

je20e20Z

je90e90S

Fig 64

00 180105j43j e2

00 18015je2

3I 43j

5tsin1002u

j1250e100U 45j

Lce jXRe255j5

jXRjXR

5R e 5X c

e jBG101j

S101G e S

Fig 65

c) 210je210ZUI 3

j125e10LjR

RII 45j

j125e10LjR

LjII 45j

tsin2102iC

5tsin102iL

tsin102iR

tsin1002Riu RAB

1000j1000e21000IUS 47j

W1000iRP 2

VAR100IC

1ILQ 2C

Fig 66

R W= UIt = 220∙03∙15∙60 = 59400Ws = 594003600 Wh = 165 Wh = 00165 KWh

R ΔU = RI = 05∙8 = 4V Δu = 4220 ∙100 = 18 W = 00165 KWh

R P = UIcosφ UI I = PU = (500+30+100)220 286 A

R 60ZRcos52251XRZ 2222 53o

- 121 -

PROBLEME REZOLVATE

ZeZmarctg742ZZ

)192j741(9j1139j

9j11)2j3)(2j2(3

A7138742380

A240I3I f l

Fig 71

- 122 -

kVA158IU3S

A430503803

00010cosU3

A08470j010314j220

LjUI f

F1031C3C 3

A02723j220314103

10jUCjI 63fsteaC

Fig 72

L Pi PM

IM IL IC Ii

3380220V 50Hz

- 123 -

A4545220300030

95008646560

IIecos

V)973j138()6820j6560)(10386314j102(500IZU 74 lll

V)973j13228(UUU ff0 l

coscos1

Iluminat 30 000 W

VA643954QPS 22

A666U3SI

910SPcos 1

2 = 13307 W

Ql = 3l LsI2 = 1333 VAR

TOTAL 41 3307 19 554 VAR

VA72345QPS 220

V396I3

SU 00 l

90SPcos 0

- 124 -

ΔU = V48580253210065313cosS

cosU3P

7000 = 1477A

- 125 -

- 126 -

= 4000(09 3 middot380middot07) = 965A

= 2000(09middot380middot07) = 835A

ΔU = V6727018634

ΔU= V021670108634

- 127 -

)tsin(Y2)t(y

11 eYYeYYeYY (72)

d2dd1 YaYYaYYY (72)

- sistemul omopolar

YYaYaYYYaYaY

YYYY (75)

YYY31Y

YaYaY31Y

- 128 -

N Se cer curenții

V100UUU31U

V7157UaUaU31U

V342UaUaU31U

0T0S0Rh

R IR Z

IR IS IR

Id a2Id aId

Id Rd Z Id

Ii aIi a2Id

Ii Ri Z Ii

- 129 -

A)5j661(IIIA661ZZ

UIA5jZUI

A)15j5(III

A5IIII

A15jIIII

A)323j661(IIaIaI

A328IIII

A984IIaIaI

A15jIIII

A)323j656(IIaIaI

A)323j323(IIaIaI

A)15j328(IIII

IZUIZUIZU 333222111 (77)

)IIaIa(ZU)IIaIa(ZU

)III(ZU

Ih Ih Ih

Ih Rh Z Ih

Fig 75

U31 U1

- 130 -

IZaZaZIZaZaZIZZZ3

IZaIZaIZ31UaUaU3

21i322

221132

hhiddih

hiihddi

hdiidhd

IIIUIIIUIIIU

23i122

3123d UaUaU31UUaUaU

31U ll

0)UUUUUU(UUU31U

eU3U3j

UUaUUaUU31UaUaU

)UaUaU(a31)UaUaU(

31)UaUaU(

211332123123h

3212312

1332122

- 131 -

)II(3jU)II(3jU

IaIaIIaIaI

302010h

UUU31U

UaUaU31U

UUU31U

UaUaU31U

U)]UU()UU()UU[(31UU

0)UaUaU(31

)UU(a)UU(a)UU[(31UU

0)UaUaU(31

)UU(a)UU(a)UU[(31UU

0N220220110hh

2202202

220110dd

Fig 76

- 132 -

hhiddi0Nhh

hiihddii

hdiidhdd

IIIUUU

0II0U TSR

II0IIIZU scRTSRaR

UR US UT

Fig 77

UR US UT

Fig 78

- 133 -

hidahid

dhid Z3ZZZ

ahidsc Z3ZZZ

Tensiunile rezultă

Z3ZZZEZ3IZ3UUUU

ahahidR

1Z N32 Z0ZZ

Id Zd Ed

Id = Ii = Ih

Fig 710

- 134 -

IIaIaIIaIa0III

UUaUaUUaUa

II0I0UUU idhhid

EZZZIZEUUIZZ

iddidi

TSsc ZZE)aa(IaIaIII

ZZEZUU)aa(UaUaUU

ZZEZ2IZ2UUU

idiidR

0UUU idh

ZEaIaI

Ud = Ui

Id Zd E

SMd SMi

Fig 712

E dZ dI

Fig 714

Fig 713

a2E IS

Fig 711

US = UT

- 135 -

)0()0()0()0()0()0(

LLL ψψψiii

- 136 -

00 dtdLdt

dψ)0(u LLL

i (84)

2Li (85)

)0(u)0(u)0(u)0(q)0(q)0(q

duCdtdq)0(i (87)

ce (88)

)0()0()0()0(

LL ψψ

Fig 81

)0()0( LL uuuL

)0()0(

Fig 83

)0()0( CC ii

Fig 84

- 137 -

0ERidtdiL

tititi 21

din care tLR

1 Aeti

ti o2 este o

t0 e1R

30 e1RE3i

a) b) Fig 81

- 138 -

0t0RidtdiL

0 eREti

a) b) Fig 82

i(t)t = 0R

001 st

003002

0a) b)

Fig 83

- 139 -

0ERidtdiL

0 AeRE

000 RR

t100tLR

000 e912eRRE

unde pRR

0 e80e

i(t) R1

Fig 84

- 140 -

0RRdtdL p ii

0i0i 0 este

ti pRR

R p este mai mic

a) b) Fig 85

- 141 -

PARTEA A IIndashA

Lucr area nr 1

FEROMAGNETICE

pt MMM (L11)

HM mt (L12)

MHB 0 (L13)

- 142 -

0 0 rmB 1 H H H (L14)

st (L15)

d (L16)

- 143 -

B Mat mag moi

Fig L13

Mat mag dure

Ciclul limită

Cicluri parţiale

Fig L12

- 144 -

1Hemax

2N IH H K I l

emax B2

2UB B K UN S

Ua ~ N1 N2 U

Fig L14

- 145 -

3 MODUL DE LUCRU

U [V] helliphellip

H [Am] helliphellip

B [T] helliphellip

N1 N2 U

V 220V 50Hz

Fig L15

220V ~

Fig L16

- 146 -

- 147 -

Lucr area nr 2

Lu (L22)

Fig L21

- 148 -

Fig L22

0 t 0 T

Fig L23

Fig L24

- 149 -

dtd[dt

d )(])()( s21

iiiuuu (L24)

dtd[dt

d )(])()( d21

21c2c1c

iiiuuu (L25)

Fig L25

0 i Ic

Fig L26

0 i Ic ndash Ic

- 150 -

Fig L27

0 t 0 T

1(iIc) 2(iIc)

Fig L28

0 i 1(iIc)

-Ic Ic

2(iIc) c

-Ic Ic

d(iIc)

s(iIc)

1(iIc)

2(iIc)

d(iIc)

- 151 -

Fig L29

A1 X1 X2 A2

F1 F2 F3 F4

220V 50Hz ATR

- 152 -

Lucr area nr 3

Fig L31

Fig L32

0 t 0 T

- 153 -

Fig L33

Fig L34

- 154 -

Fig L35

Ic1 Ic2

- 155 -

a) b) Fig L36

0 Ip =0

Us2 gt Us1

Us2 Us1

Fig L37

- 156 -

Lucr area nr 4

11 1 12 2 1k k 1o o [1]

21 1 22 2 2k k 2o o [2]

m1 1 m2 2 mk k mo o [m]

R I R I R I R I E

o1 1 o2 2 ok k oo o [o]

R I R I R I R I E

icircn care

- 157 -

mm jR R

j [m][k ]

mk jR R

j [m][m] jE E

o1k 2k mk ok mk

k [1] [2] [m] [o] [m]m 1

I E E E E E

j m[m] j

]3[333232131

]2[323222121

]1[313212111

3242132211

IIIIIIIIIIIIIII

Fig L41

[2] [3]

- 158 -

11 1 12 2 1k k 1n 1 n 1 sc(1)

21 1 22 2 2k k 2n 1 n 1 sc(2)

i1 1 i2 2 ik k

G V G V G V

in 1 n 1 sc(i)

n 11 1 n 12 2 n 1k k n 1n 1 n sc(n 1)

ii jj (i)

j (i)(k )

ik jG G

I G E I

Ej Rj Ij

Ijsc=EjRj=GjEj

Fig L42

Igj=GjEj

Gj=1Rj

- 159 -

1 2 3 1 2 2 3 3 g1

2 1 2 4 5 2 4 3 g4

3 1 4 2 3 4 6 3 g4

3625324

3132121141

VUV UVVUVVUVVUVVVU

Ej Rj Ij

Fig L43

(i) (k)

j j j j j j j j

(V4=0)

(4) I1

3V I6 1V I4

Fig L34

- 160 -

2 MODUL DE LUCRU

1 2 3 4 5 6(1) -1 1 1 0 0 0

A(2) 0 1 0 1 1 0(3) 0 0 1 1 0 1

1 2 3 4 5 6[1] 1 0 1 0 0 1

B[2] 0 1 1 1 0 0[3] 0 0 0 1 1 1

Fig L45

3I R6 R3

R6 R3 b)

Fig L46

[2] [3]

(3) (4)

- 161 -

R 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 00 R 0 0 0 0 0 G 0 0 0 00 0 R 0 0 0 0 0 G 0 0 0R G 0 0 0 R 0 0 0 0 0 G 0 00 0 0 0 R 0 0 0 0 0 G 00 0 0 0 0 R 0 0 0 0 0 G

R [I ] [E ] (L47)

scG V I (L410)

I G U E (114)

- 162 -

Lucr area nr 5

Sρ2R l

l (L51)

E U1 U1 U2

(1) (2)

Rs U2 Rs

- 163 -

IR1IUIRIU

PPη ll (L55)

1sc11 P2 = 0 = 0

(L54) rezultă

sc1 I2

1R2U|I

max2 (L56)

max2 ll

l (L58)

- 164 -

I [A] U2 [V]

P1 = U1 I [W] P2 = U2 I [W] U = U1 - U2

Fig L52 Isc

U2 P1 U

- 165 -

Lucr area nr 6

Fig L61

Rab Uab

a (DLA)

Rab Uab

Gab Uab

Gi Isc

- 166 -

Ri = Rab0 (L61)

abab RR

abab GG

IU (L63)

Rab Uab

Iab Uab0

Fig L62

Gab Uab

Fig L63

- 167 -

0IRIRIRIR

EIRIRIRIR0IRIRIRIR

0IRIRIRIR

ooookoo

jk22j11j

k222121

1k1212111

kjk EII

kjjk )1(

jkj EII

Prin definiţie

G (L67)

Fig L64

CLP kIRj

- 168 -

G (L68)

1kkjj EGII

Fig L65

R3 R4 R2

(a) (b)

(c) (d)

- 169 -

Tabelul L61 I1

[A] I2

[A] I3

[A] I4

[A] I5 (Iab)

[A] Uab

[V] R1 [Ω]

R2 [Ω]

R3 [Ω]

R4 [Ω]

R5 [Ω]

[V] Rab0

[Ω] Iabsc [A]

Valori măsurate

Valori calculate

Fig L66

ndash R3 R4

V0 Uab0

Rab0 (a) (b) (a) (b)

- 170 -

Tabelul L62 I11

[A] I12 [A]

I13 [A]

I14 [A]

I15 [A]

I21 [A]

I22 [A]

I23 [A]

I24 [A]

I25 [A]

I1 [A]

I2 [A]

I3 [A]

I4 [A]

I5 [A]

Valori măsurate

Valori calculate

Fig L67

I11 I13

I14 I12

R3 R4 R2

I21 I23

I24 I22

- 171 -

Lucr area nr 7

(1) (2)

[1] [2] U1

Fig L71

- 172 -

0IRIRIR

UIRIRIRUIRIRIR

ooo22o11o

20o2222121

1oo1212111

211222111

2112221112

22 AAAA

2222211

2122111

1AAAA 21122211 (L74)

scurtcircuit

- 173 -

1010e A

AIUR (L75)

sc1sc1e A

AIUR (L76)

2020e A

sc2sc2e A

AIUR (L78)

sc1e10e

sc1e10e20e21

sc1esc1e10e

sc1e10e20e

- 174 -

figura L72

212112

r1Ar1A

rrrrrA

rr1A (L710)

UAIUAU

(L711)

- 175 -

222sc1

212sc1

IAIIAU

(L712)

sc1101

UUU (L713)

(2) A2

V2 R2 U2

- 176 -

Lucr area nr 8

tgkRR sst iu (L81)

tgβklimR s0d di

duΔiΔu

Δi (L82)

us raportul

Rdgt0 Rdlt0

Fig L81 0

Fig L82

- 177 -

Fig L83

Fig L84

- 178 -

Fig L86

Fig L85

Fig L87

- 179 -

IRUU d0 (L84)

)I(U)I(U)I(U 21 (L85)

P U0 I

Fig L88

Fig L89

U1 U2 U2

U(I) U2(I)

- 180 -

)U(I)U(I)U(I 21 (L86)

I = I1 + I2 U1 U2 U(I) = U1(I) + Un(I) (L87)

Fig L811

Rn1 Rn2

Up P I1

U1(I1) U2(I2)

Fig L810

Rn1 Rn1

I I1 I2

Up P I1

I U1(I) U2(I)

- 181 -

Tabelul L81

~ ~ ~ =

R A2 A3

Fig L812 SR

- 182 -

Tabelul L82

- 183 -

Lucr area nr 9

(axa reală)

Fig L91

Fig L92

- 184 -

IUZ (L93)

UIY jj

2121 YY)t(y)t(y (L96)

YjYe)2

tsin(2dtdy )

Yj1eY)

2tsin(Yydt

- 185 -

trigonometric) cu 2

IZIC1LjRUUUU CLR

(L913)

jXRC1LjRZ

(L914)

arctgarctg RC

1-ωLRX

ZUII 22

(L915)

Fig L93

R L C i

u uR uL uC

- 186 -

1f LC1f2ωC

1LXX 0000

(L916)

(L917)

dtdCdtL

Fig L94

iR iC iL

= 0 RII

- 187 -

UCjULj

1UGIIII CLR

(L921)

1CjUGI

(L922)

jBGY (L923)

LC1f2ω

L1CBB 000o

(L925)

(L926)

- 188 -

crt [V] [A] [V] [V] [V] [] [] [] [] 1 2 3

Tabelul L92

Fig L95

VL VC 220V

Fig L96

220V ~ L

- 189 -

Lucrar ea nr 10

1n21k0I)k(j

(L101)

1n21m0U]m[j

l (L102)

- 190 -

1nn21kJII)k(p )k(s

spE)k(j

(L103)

sJ]m[j

jj EUIZ m = 1 2 o

(L104)

unde j

]m[ssJ

]m[j jkkkjj

jjjjj EUILjICj

1ILjIR

]m[ssJ

(L105)

pE sJ pEI

Fig L101

(IE)p (UJ)s

- 191 -

ZLjLjLj

LjLjLjLj

LjLjZLjLjLjLjZ

kkjk21k

1j2221

1j1121

llllllll

ll (L1011)

- 192 -

[B]]Z[[0][A]

JJ (L1013)

sau SNKi (L1014)

SKN 1i (L1015)

EIZIZIZIZ

EIZIZIZIZEIZIZIZIZ

(L1016)

jk]m[j

jmm ZZZ (L1017)

]j[q]m[p

]j[k]m[k

kmj ZZZ (L1018)

[m] mI

Fig L102

- 193 -

j]m[ EE (L1019)

oo ]E[]I[]Z[ (L1020)

lll (L1023)

[m] mI

Fig L103

[j] jI

[m] mI

[j] jI

- 194 -

V)10j45(EV)25j30(EV)45j50(EV100jEV100E 54321

10RR10RRR 54321

C110LLLLLLL

5425432211

)Cj(1 4 )Cj(1 5

jL1 jL2

R1 R2 R3

E1 E2 E3

)Cj(1 2

I1 I2 I3

I4 I5 R4 R5

[1] [2]

Fig L104

- 195 -

]00111[A

010000011000101

)Cj(1LjR00Mj0

0)Cj(1LjR00Mj

Mj00)Cj(1LjLjRMj

0Mj0MjLjLjR

25211112

1412111

54321 EEEEEE

- 196 -

Lucr area nr 11

2222211

2122111

IAUAIIAUAU

(L111)

CUADRIPOL DIPORT

(1) (2)

Fig L111

- 197 -

A11 A22 ndash A12 A21 = 1

1111212

1121222

IAUAIIAUAU

(L113)

1111212

1121222

IAUAIIAUAU

(L114)

2221212

2121111

IZIZUIZIZU

(L115)

- 198 -

IFUFIsau

UHIHIUHIHU

2221212

2121111

2221212

2121111

2221212

2121111

UYUYIUYUYI

(L117)

(L118)

(L119)

2112 YY

- 199 -

1010e A

AIUZ (L1110)

sc1sc1e A

AIUZ (L1111)

10U U2 = 20U şi I2 =

20e AA

Z (L1112)

sc1e10e

sc1e10e20e21

sc1e10e

sc1e10e20e

(L1113)

R1YRZLjRZ 32111 (L1115)

Fig L112

~ 220V

R1 L1 R2

R3 A2 V2

- 200 -

UAIUAU

(L1116)

222sc1

212sc1

IAIIAU

(L1117)

sc1101

IIIUUU

(L1118)

Fig L113

R1 L1 R2

(2) Rs

- 201 -

Lucr area nr 12

jXRZeIUZ j ( L121)

Z1jBGYe

UIY j ( L122)

RXtan ( L123)

SPcosQPSXIQRIPXRZ

( L124)

FigL121

Z U Lj1

- 202 -

SPcQPSBUQGUPBGY

222jLG

( L125)

Tabelul L121

U I P S = UI

cos = PS

Z = UI

R = Zcos

X = Zsin

Y = IU

G = Xcos

B = Xsin

P = RI2

P = GU2

Q = XI2

Q = BU2 Nr

Fig L122

P = RI2

jQ = jXI2

ndashjQ = ndashjBU2

0 ndash

ndashjB

ndashj

0 ndash

P = GU2 +1

ndashj

Fig L123

Fig L124

~ 220V 50Hz

- 203 -

XXRRZXXXRRR 221

2212121 ( L127)

Tabelul L122

U I P S = UI

cos = PS

Z = UI

R = Zcos

X = Zsin

R = R1 + R2

X = X1 + X2

[V] [A] [W] [VA] [] [] [] [] [] [W] [VAR] 1 2

R2R2R2

R1R1R1

Fig L125

~ 220V 50Hz

R1 L1 R2 L2

Fig L126

jX2 Z2

- 204 -

IMjILjIRUIMjILjIRU

111 ( L128)

0M2LLL 21a ( L1210)

0M2LLL 21d ( L1211)

41M ( L1212)

Mk ( L1213)

Fig L127

U a) b)

I U2 U1

L1 L2 R1 R2

- 205 -

111122

222222

21 ( L1214)

Tabelul L123

U I P S = UI

cos = PS

(a d) R =

R1+R2 X =

Rtg Xm k =

21m XXX P = RI2

Q = XI2 Nr

crt [V] [A] [W] [VA] [] [] [] [W] [VAR]

1 Xa =

2 Xd =

Fig L128

jMI R2I

I a) b)

- 206 -

)XX(41X dam ( L1215)

Tabelul L124

Nr crt U I P S =

Q = = BU2

Fig L129

~ 220V 50Hz

- 207 -

CEkYDEkBCDkG

OCkYACkBOAkG

s2s2s2

s1s1s1

( L1218)

221m12222

2m1121111

( L1220)

eIUZZZ

ZZIeIUZZZ

ZZI 21 j22

Fig L1210

Fig L1211

- 208 -

j1 2 m1 2 2

( L1221)

Z2ZZZZZjXRLjRZ

( L1222)

M2LLMLLL0R

( L1223)

222122221

112121121

iiii (

cosIMI2ILILQQQ

IRIRPPPjQPSSIUS

( L1226)

Fig L1213

~ 220V 50Hz

+1 -2 I2

R2I2 I1

Fig L1212

- 209 -

Tabelul L125

U I P S = UI

cos = PS I1 P1

S1 = UI1

cos1= P1S1

I2 P2 S2 = UI2

cos2 =

P1 = 211IR

P2 = 222 IR

P = P1+P2

Nr crt

- 210 -

Lucr area nr 13

UU UUUU CLCL (L131)

Fig L131

- 211 -

I1 3I IR

Fig L132

- 212 -

i = iL + iC (L132)

Fig L134

U1 U3 3U

Fig L133

)I(UR minU

RI I 1I

- 213 -

2 MODUL DE LUCRU

Fig L135

I1 IG(U)N3

Fig L136

220V ~

- 214 -

Fig L137

- 215 -

Lucr area nr 1 4

34tsinU)t(3

2tsinU)t(

tsinU)t(

(L141)

34tsinU)t(3

2tsinU)t(

tsinU)t(

(L142)

21ea 3

2j1232j

(L143)

- 216 -

UaUUaUUeU 1312

1 (L144)

1 UaUUaUeUU (L145)

0UUU0 321321 uuu (L146)

3 1U aU

22 1U a U

Sens invers

23 1U a U

2 1U aU

Sens direct

- 217 -

0IIII TSRN (L148)

CAU AU

- 218 -

f3U Ul

- 219 -

3U UI I

(L1412)

( r ) ( r )

( r ) (r )

f f r r

P 3U I cos 3U I cos

Q 3U I sin 3U I sin

S 3U I 3U I

(L1413)

- 220 -

(L1415)

32πβωtIsin 23

2πβωtIsin 2

βωtIsin 2

(L1416)

Fig L145

CAI BI

- 221 -

32πβωtsinBnB3

2πβωtsinBnB

βωtsinBnB

(L1417)

a7NI36B 0

(L1418)

icircn care

tcosB23BB

m32x (L1419)

ttgBBtgB

2x (L1420)

FigL146

- 222 -

fUU l Pf

cosf = = Pf (Uf If)

S = 3Uf If = = 22 QP

[A] [V] [V] [W] [W] [VAR] (VA) 1 2

b3 Af Vl

- 223 -

Tabelul L142

Nr crt Il If

= Q( Ul Il) P = 3Pf =

= 22 QP

[A] [A] [V] [VAR] [VAR] [W] (VA)

QsinIU2

ll (L1421)

- 224 -

Lucr area nr 1 5

(0) (N) UN0

U3N (3)

- 225 -

3032021010N YYYY

UYUYUYU

(L153)

YY3UUUU

3020100N

(L154)

3UUUU 302010

0N (L155)

30N232311N3

20N121233N2

10N313122N1

YYYYUYUYUY

YYYYUYUYUYU

(L156)

30N23231133

20N12123322

10N31312211

YYYYUYUYUYYI

(L157)

- 226 -

U12 = Ul U23 = a2Ul U23 = aUl (L158)

232311N3

121233N2

313122N1

YY2UYUYU

(L1510)

NC U1NL

(1) (2)

prime Prime NL

U31 U23

U2NL U1NC

U3NL U3NC

- 227 -

G)UU(YG2GU

3N3 (L1511)

2YG2Garg

(L1512)

G)jBG(a)jBG(aG

UGUYUYUG

(L1513)

B)B3G2(B)B3G2(

(L1514)

- 228 -

7331)32(1)32(

C (L1515)

(1) (2)

- 229 -

Tabelul L151

U12U23 U31 [V]

U10U20 U30 [V]

I1 [A]

I2 [A]

I3 [A]

U1N [V]

U2N [V]

U3N [V]

UN0 [V]

directă

- 230-

Lucr area nr 16

)tsin(Y2)t(y

(L161)

11 eYYeYYeYY (L162)

d2dd1 YaYYaYYY

i3ii2ii1 YaYYaYYY

= 0 d1Y

h3h2h1 YYY

+ + 1Y i1Y

Sistemul nesimetric

Sistemul omopolar

Fig L161

- 231-

h3i3d33

h2i2d22

h1i1d11

YYYYYYYY

YYYY respectiv

YYaYaYYYaYaY

YYYY (L166)

YYY31Y

YaYaY31Y

(L167)

0T0S0Ru

UK3UUU

K1U (L168)

UR0 US0 UT0

UR0Ku UR0Ku UR0Ku

Fig L162

- 232-

IK3III

K1I (L169)

UaUaUaUUaU

(L1610)

21U 13U

Fig L165

ITKI A

Fig L163

I1 I3 I2

UC1 UC2 Vd

Fig L164

- 233-

332223

221121

III0IZIZUIZIZU

(L1611)

ZZ2ZUZUZZIZU

ZZ2ZUZUZZZIZU

21323222C

13213111C

(L1612)

ZZ2UZZaUZZaU

ZZ2UZaZUZaZU

(L1613)

0ZaZ3 sau jX23j

21jXR 33

(L1614)

Se obţin valorile

(L1615)

(L1616)

- 234-

(L1617)

RTSRh UU3UUU

31U (L1618)

2 MODUL DE LUCRU

UR ZS IS

US ZT IT

Fig L166

- 235-

FCHTF-1

T1 T2 T3

C1 Vh2

p13 p1

- 236-

N3N2N1h U3

KUUU31U (L1620)

KIII31I I

TSRh (L1621)

- 237-

[V] [V] [V] [V] [V] 1 2 3

)UaUaU(31U

l (L1622)

21U 13U

Fig L168

232 Ua

132 Ua

- 238 -

Lucrar ea nr 17

2AdtyT1A )t( (L172)

k0k0 )t()t(

(L173)

- 239 -

BAarctgBAY2AY

2mkk00 (L174)

00 ksin)()()(

respectiv

2kk00 BAYAY şi

tjkmkeC)t(y (L177)

unde T

tjkmkmkmk dteyT

jBAC )t( (L178)

f2N2)n(yC ss

(L179)

kk0 )tksin(Y2Y)t(y

- 240 -

2 dtyT1Y )t( (L1710)

20 YYYYYYYY (L1711)

nn0nn0

(t)(t) iu

IIIIUUUU 2d

maxv YY

(L1712)

dt)t(yT2

Yk (L1713)

3Y2 4Y2

a) b) Fig L171

- 241 -

(L1714)

Tt3T2 si 3

Tt0 Y)t(y

m (L1715)

- 242 -

Tt2T T

T)(t22Tt0 T

t2y(t) (L1716)

- 243 -

- 244 -

- 245 -

Lucr area nr 1 8

- 246 -

EidtC1

dtdiLRi (L184)

2 respectiv 0iC

idLdtdiR 2

0idtdi2

dtid 2

2 (L185)

icircn care o L2

Fig L181

L IL(0) K CUC (0)

- 247 -

221 (L186)

00eKeK 21t

121)t( i (L188)

KKK0K K0 2121)0( i (L189)

EdtdiL

(L1810)

EKdtdieKeKdt

(L1811)

ttttt eeeL2EeeL2

E 21)t(

i (L1812)

respectiv

tsheLE t)t(

i (L1813)

0eeL2E m2m1 t

rezultă

2m ln2

(L1814)

m1m2m21m2m2m1 t

2t1ttttm eL

E1eL2EeeL2

E)ee(L2E

i (L1815)

Fig L182

- 248 -

1e11e1LC2EdteeLC2

2121)t( idtu

Ee1e1LC2E t

(L1816)

EELC2E0

t0ttr C21

12CC )0(

LC12 202121

tetLE)t( i (L1819

Eet111e1etLCE

dte1etLCEdtteLC

E)0(UC1

dtiu (t)C

02 Sub forma

Fig L183

uCtr ndashE

- 249 -

CL2sau R0β 2

0 (L1821)

(L1823)

tsineLEtshjeLj

(t)i (L1824)

E)0(UC1

0 dCc idtu

(L1825)

(L1826)

se obţine

tsineLC

11E dt

d (L1827)

tsineLCEu d

LCsin)tsin( d0

ndashE

uC UCp

b) Fig L184

- 250 -

avem 02πθ0L2

Etcos1

tsinCL

EtsinLE

i (L1866)

Fig L185

Fig L186

- 251 -

Bucureşti 2000

partea 1

partea 2

lab1_cm

lab2_Caractbobnel

Lab3_BNC

Lab4_arcc

Lab5_Dipolul lin cc

Lab6_Teor cir de cc

Lab7_Cuadripolul cc

Lab8_Circ nel cc

Lab9_cmrps

Lab10_retele ca cor


Lab12_bobine

lab13_ferorez

Lab14_Ctrifs

Lab15_ Ctrif dez




Documents

UNIVERSITATEA “VASILE ALECSANDRI” din BACĂU FACULTATEA de …