University of PadovaInformation Engineering Dept. – Microelectronics Lab.

Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione

Elettronica Digitale- Lezione 3 -

Andrea Gerosa - gerosa@dei.unipd.itTel. 049-827-7728

Ottimizzazione circuitale

Obiettivo: implementazione più semplice Procedura formale Definizione di un criterio di costo:

• costo di letterali (L)• costo di ingressi a porte logiche (gate) (G)• costo di ingressi negati a porte logiche (GN)

Numero di letterali che compongono un’espressione logica

Esempi:• F = BD + A C + A L=8• F = BD + A C + A + AB L=11• F = (A + B)(A + D)(B + C + )( + + D) L=10D

L

DB C

B B D C

B C

G e GN Numero di ingressi alle porte logiche di tutti i livelli (G – senza

contare le inversioni, GN – contando le inversioni)

Nel caso di SOP e POS, si trova sommando:• tutti i letterali (L)

• il numero di termini della somma o del prodotto, escludendo i termini a letterale singolo (G) e

• il numero di variabili negate (GN).

Esempio:

F = A + B C +

Costo

A

BC

F

B CL = 5G = L + 2 = 7

GN = G + 2 = 9

Esempio 2:

F = A B C + L = 6 G = 8 GN = 11 F = (A + )( + C)( + B) L = 6 G = 9 GN = 12

Costo

B C

A

ABC

F

C B

F

ABC

A

Mappe di Karnaugh (K-map)

K-map = insieme di caselle• è una rappresentazione grafica di una funzione logica• ogni casella rappresenta un mintermine• caselle adiacenti differiscono per ila valore di una sola

variabile• individuiamo la soluzione minima raggruppando

opportunamente le caselle La K-map è una rielaborazione di una tebella di

verità

K-map a 2 variabili

y = 0 y = 1

x = 0 m

0 = m1 =

x = 1 m2 =

m

3 =

yx yx

yx yx

K-Map e tabella di verità

K-Map

(x,y)

F(x,y)

0 0 a 0 1 b 1 0 c 1 1 d

y = 0 y = 1 x = 0 a b x = 1 c d

Semplificazione

F(x,y) = x

I due “1” adiacenti possono essere combinati in un unico rettangolo, sfruttando il teorema di semplificazione:

F = x y = 0 y = 1

x = 0 0 0

x = 1 1 1

xyxyx)y,x(F

Semplificazione

G(x,y) = x + y G = x+y y = 0 y = 1

x = 0 0 1

x = 1 1 1

yxyxxyyxyx)y,x(G

K-Map a tre variabili

yz=00 yz=01 yz=11 yz=10

x=0 m0 m1 m3 m2

x=1 m4 m5 m7 m6

yz=00 yz=01 yz=11 yz=10

x=0

x=1

zyx zyx zyx zyx

zyx zyx zyx zyx

Rappresentazioni alternative

y

z

x

10 2

4

3

5 67

x

y

zz

yy z

z

10 2

4

3

5 67

x

0

1

00 01 11 10

x

y

x

10 2

4

3

5 67

1

11

1

z

x

y10 2

4

3

5 671 11

1

z

(2,3,4,5) z)y,F(x, m

(3,4,6,7) z)y,G(x, m

Mappe a più variabili

ABCCBACBACBA

CBAF

,,

Semplificare le funzioni con le Mappe

7,5,2,1,, mCBAF ABC 00 01 11 10

0

1

0

1

2

3

6

7

4

5

1

1

1 1

0

0

0 0

CACB

CBA

ABCCBACBACBACBA

ACCBCBA

Come raggruppare le celle

Data la Mappa di K. di una funzione logica F a n variabili (quindi con 2n celle),

è possibile raggruppare k mintermini (cioè celle a “1”):• se in tale insieme esistono =log2k variabili che

assumo tutte le k possibili combinazioni binarie

Sono gruppi di celle adiacenti sulla Mappa Il gruppo rappresenta un termine prodotto

che dipende da n- variabili• è un implicante

yzyyz

zyxzyxzyxzyx)z,y,x(F

x

y10 2

4

3

5 671 1

11

z

m(2,3,6,7) F

Definizioni

Implicante: data la funzione F(x1,…,xn), un termine prodotto P(x1,…,xn) è un implicante di F se:• P(x1,…,xn)=1 F(x1,…,xn)=1

• qualsiasi gruppo di celle sulla K-Map

Implicante primo: un implicante è primo se:• tutti i termini prodotto ottenuti eliminando uno

dei letterali dell’implicante, non sono più implicanti della funzione F

• gruppi di celle sulla K-Map che non possono essere contenuti in gruppi più grandi

Implicanti

I 4 mintermini sono implicanti

Esistono 4 implicanti a 2 variabili (2 celle)

Esiste 1 implicante primo a 1 variabile (4 celle)

x

y10 2

4

3

5 671 1

11

z

m(2,3,6,7) F

xyzzxyyzxzyx ,,,

yzzyxyyx ,,,

y

Teorema dell’implicante primo

Def. Somma minima di una funzione F: è la realizzazione come SOP a costo minimo.

Teorema. I termini prodotto della somma minima sono tutti implicanti primi.• Dim. x assurdo: sia P(x1,…, xn) un implicante

non primo che compone la somma minima.

• esiste xk tale che P*=P(x1,…xk-1,xk+1,…, xn) è un implicante di F.

• sostituendo P con P* nella somma minima si ottiene una realizzazione di F a costo minore

Somma minima

È composta da soli implicanti primi• non necessariamente tutti gli implicanti primi

Obiettivo: individuare sulla K-Map tutti gli implicanti primi• gruppi di celle più grandi

Es. 2.2

131175321 ,,,,,,:,,, mmmmmmmsetOndcbaF

ABCD 00 01 11 10

00

01

11

10

0

1

3

2

4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10

111

11 1

1

Es. 2.2

Es. 2.3

151413121195431 ,,,,,,,,:,,, mmmmmmmmmmsetOndcbaF

ABCD 00 01 11 10

00

01

11

10

0

1

3

2

4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10

11

11 1

111

11

5 implicanti primi• vanno inclusi tutti?

La somma completa (somma di tutti gli implicanti) sicuramente copre la funzione ma non è

necessariamente minima

Es. 2.3

151413121195431 ,,,,,,,,:,,, mmmmmmmmmmsetOndcbaF

ABCD 00 01 11 10

00

01

11

10

0

1

3

2

4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10

11

11 1

111

11

3 implicanti sono sufficienti a coprire tutti i mintermini

Implicanti primi essenziali

Def. Data la Mappa di Karnaugh di una funzione F si definisce cella 1-distinta:• un mintermine che è contenuto in un unico

implicante primo

Def. Un implicante primo si definisce essenziale se:• sulla Mappa di Karnaugh include almeno una

cella 1-distinta

Gli implicanti primi essenziali devono essere inclusi nella somma minima.

Es. 2.4

15147543210 ,,,,,,,,:,,, mmmmmmmmmsetOndcbaF

ABCD 00 01 11 10

00

01

11

10

0

1

3

2

4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10

11 1

11

11 1

1

5 implicanti primi Cerchiamo le

celle 1-distinte

abccabadcbaF ,,,

Mappa ridotta

ABCD 00 01 11 10

00

01

11

10

0

1

3

2

4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10

1

Eliminiamo i mintermini già coperti e gli implicanti primi essenziali

abccabadcbaF ,,,

Chapter 2 - Part 2 30

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