Univerza v Ljubljani – FS & FKKT

Varnost v strojništvu

doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str.

Govorilne ure:

• pisarna: FS - 414

• telefon: 01/4771-414

• boris.jerman@fs.uni-lj.si, (Tema/Subject: VDPN - ...)

Prosojnice izdelane po viru: ###

Uvod

Trdnost se ukvarja z odpornostjo nosilnih elementov proti

zunanjim obremenitvam.

Zunanje obremenitve v nosilnih elementih povzročajo

notranje obremenitve (notranje sile in momente), te pa

napetosti v nosilnih elementih in deformacije nosilnih

elementov.

Govorimo o napetostno deformacijskih stanjih nosilcev.

Pri trdnosti predpostavka, da je posamezni nosilni element

togo telo, ni več primerna.

Hookov zakonOzna-

ka

To-

čka

Opis

σprp

σel

σpl

σm

σptg

σ – ε diagram za jekla

Modul elastičnosti je definiran za začetni – elastični oz.

proporcionalni del σ-ε diagrama.

Predstavlja nagib premice v σ - ε diagramu.

.... elastični modul (enota: N/mm2 = MPa)

Vidimo, da ima E res vlogo smernega koeficienta premice k.

Za vsa ogljikova konstrukcijska jekla je elastični modul zelo blizu

vrednosti, podani v standardu: E = 206000 N/mm2.

(V nekaterih standardih je navedena vrednost E = 210000 N/mm2.)

Hookov zakon

Gornja definicija pravzaprav določa tudi Hookov zakon, ki ga

zapišemo v obliki enačbe premice: (y = k ⋅ x)

• Telo, ki ga obremenjujejo zunanje sile, je v stanju napetosti.

• Pod vplivom zunanjih sil se deformira (oblika in prostornina).

• Molekule v telesu se premikajo - zavzeti hočejo tak položaj, da

obdrže ravnotežje med zunanjimi in notranjim odporom -

napetostjo.

• Vrsta deformacij (sprememba oblike ali volumna ali oboje) je

odvisno od vrste napetosti, ta pa od vrste zunanje obremenitve in

oblike nosilnega elementa.

• S pomočjo statike se določi notranje sile in momente v telesu –

nosilcu, ki jih povzročajo zunanje obremenitve – sile in

momenti.

Napetosti in deformacija

Sile so lahko:

• aksialne - osne (delujejo v osi telesa),

• transverzalne - prečne (so pravokotne na os) in

• poševne.

Momenti so lahko točkovni ali pa jih povzročajo dvojice sil.

Delovanju notranjih sil in momentov se gradivo upira preko

napetosti. Glede na vrsto in smer notranje obremenitve se pojavijo

različne napetosti. Ločimo pet osnovnih vrst napetosti:

1. aksialna napetost,

2. strižna napetost,

3. upogibna napetost,

4. vzvojna ali torzijska napetost,

5. uklonsko napetostno stanje.

Napetosti in deformacija

a) natezna - sila telo razteguje. Upor, ki ga nudi

telo, se imenuje natezna napetost;

b) tlačna - sila telo tlači in povzroča tlačno

napetost. (Če je dolžina telesa v primerjavi s

prečno dimenzijo prereza prevelika, se zaradi

tlačne sile pojavi uklon.)

Aksialna (normalna) napetost

Sila F, ki deluje v smeri osi palice povzroči nastanek notranje

osne sile v nosilcu, ta pa reakcijo gradiva nosilca – aksialno

napetost. Ta napetost je lahko:

Zaradi deformacije telesa pri aksialni obremenitvi nastane

sprememba oblike in volumna telesa. Dolžina palice se poveča ali

zmanjša, sprememba prečnih dimenzij pa nastane zaradi zožitve

oziroma razširitve.

Aksialna (normalna) napetost

• Strižno napetost povzroči sila, ki deluje transverzalno –

prečno - pravokotno na os telesa. Ta sila skuša telo po preseku

A prerezati. Take obremenitve povzročajo notranje prečne

sile.

• Odpor telesa proti zunanji obremenitvi imenujemo strižna

(tangencialna) napetost.

Strižna (tangencialna) napetost

• Deformacija nastopi v

spremembi oblike,

volumen pa ostane

nespremenjen, ker se

dolžina ni spremenila.

• Upogib povzroči sila, ki ima komponento, pravokotno na os

nosilca, različno od nič. Na skici sta to obe sili (F1 in F2).

• Sila skuša telo upogniti. Iz statike vemo, da take obremenitve

povzročajo notranji upogibni moment. Pravimo, da je telo

obremenjeno na upogib.

• Odpor telesa proti takim obremenitvam imenujemo upogibna

napetost.

Upogibna napetost

Deformacija telesa nastopi v obliki skrčka oziroma raztezka

posameznih vlaken nosilca in v spremembi oblike - vlakna se

ukrivijo.

Razpored napetosti in deformacij si bomo pogledali kasneje.

Upogibna napetost

Torzija ali vzvoj nastane, kadar je nosilec obremenjen z

notranjim momentom, ki je usmerjen vzdolž njegove osi.

Torzija je običajna obremenitev za gredi, pojavlja pa se tudi pri

drugih nosilnih elementih.

Torzijska (vzvojna) napetost

• Primer: gred je na prostem koncu obremenjena z dvojico sil, ki

deluje v ravnini, pravokotni na vzdolžno os gredi.

• Pojavi se torzijski moment Mt=F⋅a, ki suka prosti konec gredi

za določen kot.

• Odpor, ki v telesu nastopi, imenujemo torzijska napetost.

Torzijska (vzvojna) napetost

• Uklon nastopa pri telesih, ki so obremenjena s

tlačno osno silo in je njihova prosta dolžina

proti prečni dimenziji zelo velika. To lastnost

imenujemo vitkost palice

• Osnovno napetostno stanje pri uklonu je torej

tlak, vendar se telo pod vplivom sile ne zruši

zaradi tlačne odpovedi gradiva, ker se prej

pojavi nestabilnost – telo se ukloni.

• Odpor telesa proti uklonu je torej v osnovi

tlačna napetost v prerezu. Mejna tlačna napetost,

pri kateri ravno še ne pride do uklona, se

imenuje kritična uklonska napetost.

Uklon (uklonsko napetostno stanje)

Poleg osnovnih vrst napetosti imamo še kombinirana

napetostna stanja, ki nastopajo pri takih obremenitvah

telesa, ki povzročajo več notranjih sil in momentov hkrati.

Značilne kombinacije so:

• nateg (tlak) in upogib,

• strig in vzvoj (torzija),

• nateg (tlak) in strig,

• upogib in torzija.

Možne so tudi druge kombinacije, tudi z večimi

kombiniranimi napetostmi.

Kombinirana napetostna stanja

Uporabimo enako metodo kot v statiki: Vzamemo namišljeni

prerez K-K. Desni del telesa (II) odstranimo. Pod vplivom

zunanjih sil je bilo telo v ravnotežju, zato je v ravnotežju tudi po

odstranitvi dela II. Vpliv dela II nadomestimo z notranjimi silami.

Napetost – notranja sila po prerezu

Razdelitve notranje sile po preseku K-

K, ne poznamo, vendar mora biti pri

pogojih ravnotežja:

FRn = FRz

Za jasno ponazoritev notranjih sil in

njihove jakosti, vpeljemo novo

količino, ki jo imenujemo napetost.

Osnovna enota za napetost je N/m2, kar je Pa. V gradbeništvu se

najpogosteje uporablja N/cm2, v strojništvu pa N/mm2 = MPa.

Napetost – notranja sila po prerezu

Po smeri delimo napetosti na:

1. normalne - označujemo jih s σ (sigma) in

2. tangencialne - označujemo jih s τ (tau).

Rezultanta notranjih sil, ki deluje

pravokotno na presek, povzroči v

materialu normalno napetost:

Napetost – notranja sila po prerezu

� ��������

Rezultanta notranjih sil, ki leži

v preseku samem, povzroča

tangencialno napetost:

� ������

Pri poševnem preseku se sila F, ki deluje na prerez A', lahko

razstavi v dve komponenti, v normalno in tangencialno. Zato

dobimo v preseku A'‚ normalne in tangencialne napetosti.

Napetosti v poševnem prerezu

� ����′

� ����′

�� ��

�

Dejansko napetost v preseku dobimo, če sestavimo napetosti σin τ na ustrezen način.

Iz trikotnika napetosti sledi analitično po Pitagoru :

Napetost – notranja sila po prerezu

Kasneje bomo videli, da ima strižna napetost na jeklo večje

negativne učinke od normalnih napetosti, zaradi česar se

zgornja enačba ustrezno modificira!

� � �� + ��

Poševni presek oklepa s horizontalo kot ϕ zato:

Napetost – notranja sila po prerezu

�� ��

�

Z zadnjima dvema enačbama se določi komponenti napetosti v

poševnem preseku, ko je znan kot ϕ in napetost σn.

Če se podrobneje opazuje ti dve enačbi:

Napetost – notranja sila po prerezu

se vidi:

• da je maksimalna normalna napetost v preseku, ki je

pravokoten na os (pri ϕ = 0, ker je cos 0 = 1),

• da je maksimalna tangencialna napetost v preseku, ki je pod

kotom ϕ = 450 (ker je sin 2ϕ = sin 900 = 1).

Spremembo komponent napetosti σ in τ se lahko ponazori

grafično z Mohrovim krogom napetosti:

Napetost – notranja sila po prerezu

�� ��

�

2ϕ

Služi za grafično (merilo sil)

določevanje napetosti v poljubnem

poševnem preseku, ki nastopita

zaradi aksialne obremenitve F.

Poleg tega služi za boljšo predstavo

odnosov med posameznimi

napetostmi in s tem za boljše

razumevanje tudi analitičnih

postopkov.

Normalna napetost v preseku, ki je pravokoten na os palice, je

60 MPa. Za določen poševni presek je τ = 26 MPa.

Določi lego poševnega preseka in normalno napetost v tem

preseku!

Rcšitev:

Analitično dobimo iz enačbe:

sledi, da je:

Primer

Poševni presek je proti normalnemu nagnjen za kot ϕ=30°. Normalno napetost v poševnem preseku dobimo po enačbi:

Primer

Aksialne napetosti –

natezna in tlačna trdnost

Aksialne napetosti so lahko natezne ali tlačne, v odvisnosti od

tega, ali zunanje obremenitve nosilec raztegujejo ali tlačijo.

V vsakem primeru govorimo o normalnih napetostih.

Poleg natega in tlaka, se normalne napetosti pojavijo tudi pri

nekaterih drugih načinih obremenjevanja, kot so npr.:

upogib, površinski pritisk, uklon.

DEFORMACIJE PRI AKSIALNI OBREMENITVI

Aksialne obremenitve

Palico natezno obremenjuje

aksialna sila F.

Zaradi te sile se palica deformira,

tako da se njena prvotna dolžina 1

poveča raztezek za ∆1.

Če palico t1ačimo, se njena dolžina

zmanjša za ∆1, ki je sedaj skrček.

Specifična deformacija je:ε �

∆�

� ; ��. 1

HOOKOV ZAKON

Aksialne obremenitve

Iz σ−ε diagrama vidimo, da do

meje proporcionalnosti krivulja leži

na premici - obstaja

proporcionalnost med napetostjo in

podaljškom. Ta odnos popisuje

Hook-ov zakon, ki pravi, da je

podaljšek premosorazmeren z

napetostjo. Matematično je to

enačba premice skozi izhodišče

koordinatnega sistema:

σ � � ∙ � ��

HOOKOV ZAKON - Kaj predstavlja modul elastičnosti?

Aksialne obremenitve

ε �∆��� 1�∆�= �

→ σ � �

Glede na to je modul elastičnosti namišljena napetost, ki

nastopi v materialu v trenutku, ko je raztezek 100 % in to pod

pogojem, da meja elastičnosti ni prekoračena.

Pri jeklu je E = 2,1⋅105 N/mm2, kar pomeni,

da bi potrebovali silo F = 2,1.105 MPa.

σ � � ∙ �

Kaj predstavlja modul elastičnosti lahko vidimo, če

predpostavimo, da je specifični raztezek enak 1:

Tedaj iz Hookovega zakona (pri ε = 1) sledi:

HOOKOV ZAKON – Izpeljava enačbe raztezka pri aksial. obr.

Aksialne obremenitve

ε �∆�� → ∆� �

�⋅�

�⋅�

Iz enačbe za raztezek vidimo, da je raztezek premosorazmeren

z F in 1 ter obratno sorazmeren z E in A. Torej je odvisen od

obremenitve, geometrične oblike palice in materiala (ker je E

za različne materiale različen).

Hookov zakon velja le za malo materialov. Med njimi je tudi

jeklo, ki je v strojništvu osnovni material. Za mnoge druge

materiale se ga lahko uporablja kot dovolj dober približek (siva

litina, bron, med beton)

� ��

�

→ �

�� �⋅

∆�

�

σ � � ∙ �