Univerzitet u Beogradu, Ekonomski fakultet, Prvi ...aurora.ekof.bg.ac.rs/~azdr/wp-content/uploads/2016... · Univerzitet u Beogradu, Ekonomski fakultet, Beograd — Prvi kolokvijum

Univerzitet u Beogradu, Ekonomski fakultet, Prvi kolokvijum iz Matematike

Oznaka zadatka: 16/03 Datum: 24.9.2016.

Ime, prezime i broj dosjea:

Potpis (kao u indeksu):

Z A D A C I :

1. Izraqunati 2016. qlan niza 2,1

5,1

50,

1

500,

1

5000, . . .. 2.

2. Odrediti C ako je A : B : C = 6 :1

2:1

6i A+B + C = 360. 1.

3. Rastaviti polinom: −5x3 + 11x2 − 2x, na proste qinioce. 3.

4. U skupu realnih brojeva, rexiti nejednaqinu:2x− 8

x2 − 2x− 8 > 1. 4.

5. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu:√x+ 18 = x− 2. 5.

6. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu: 23x · 21−x = 128 6.

7. Neka je1

R=

1

2− 1

3. Izraqunati log10(R : 0, 06). 7.

8. Izraqunati vrednost izraza: cos3π

4+ sin

π

3. 8.

9. Napisati jednaqinu prave koja prolazi kroz taqkeP (1,−2) i Q(0,−1). 9.

10. Neka je f1(x) = 4 + 2x i f2(x) = f1

(

x− 42

)

. U Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu

xOy, skicirati grafik funkcije |f2(x)|.

11. Ako su A i B proizvoǉni skupovi, onda je uslov x ∈ A ∩B za uslov x ∈ Aa) samo potreban, b) samo dovoǉan, v) potreban i dovoǉan, g) ni potreban, ni dovoǉan.

Broj bodova: Nastavnik:





Z A D A C I :

1. Odrediti 2016. qlan niza 4,−8, 16,−32, . . . . 1.

2. U obliku decimalnog broja zapisati 14 % od broja1

7. 2.

3. Skratiti razlomak:x3 − 6x2 + 11x− 6

−x2 + 5x− 6 . 3.

4. U skupu realnih brojeva, rexiti nejednaqinu:3x2 − x− 20x2 − 2x− 8 < 2. 4.

5. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu: |x| − 1 = x. 5.

6. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu: x−√x− 3 = 5. 6.

7. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu: 3x+11

9x= 81. 7.

8. Neka je1

R=

22

2−2. Izraqunati log4R. 8.

9. Napisati jednaqinu prave koja prolazi kroz taqkeP (−1, 2) i Q(0, 1). 9.


3+ sin

π

3. 10.

11. Ako su A i B proizvoǉni skupovi, onda je uslov x ∈ A ∪B za uslov x ∈ Aa) samo potreban, b) samo dovoǉan, v) potreban i dovoǉan, g) ni potreban, ni dovoǉan.






Z A D A C I :

1. Izraziti u najjednostavnijem obliku:

7

2−

1

4+ 2

0, 8

−1

. 1.

2. U obliku decimalnog broja zapisati 15 % od broja1

3. 2.

3. Izraqunati: (x4 + 1) : (x− 2) =

4. Odrediti oblast definisanosti funkcije: f(x) =

√

x2 + 13x+ 22

1− x . 4.

5. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu: log10(−x+ 20) = 2. 5.

6. Odrediti 100. qlan niza −4, 1,−14,1

16. . . . 6.

7. Na�i sva rexeǌa jednaqine: cos2 x =1

4, u skupu (0, 2π). 7.

8. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu: 43x−1 = 32x. 8.

9. U Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu xOy,skicirati krivu: y = |x2 − 2|.

10. Napisati jednaqinu prave koja prolazi kroz taqkuP (1,−2) i paralelna je pravoj x+ y = 1. 10.

11. Ako su A i B proizvoǉni skupovi, onda je uslov x ∈ A ∩B za uslov x ∈ A ∪Ba) samo potreban, b) samo dovoǉan, v) potreban i dovoǉan, g) ni potreban, ni dovoǉan.






Z A D A C I :

1. Ako je A : B : C = 2 :1

3:13

4i B = 36, odrediti C. 1.

2. Ako je a < 0, koliko je |a|+ | − a|? 2.

3. Srediti izraz:1

x2 − 5x+ 6 +2

3− x . 3.

4. U skupu realnih brojeva, rexiti nejednaqinu:2x2 + 7x− 4

4− x < 2x. 4.

5. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu: log2 x+ log2 3 = −3. 5.

6. U skupu realnih brojeva, rexiti nejednaqinu: |2x− 1| < 7. 6.

7. Izraqunati vrednost izraza: cosπ

3+ sin

2π

3. 7.

8. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu: 8x = 7x−1 + 7x. 8.

9. Neka je q1(p) = 4 + 2p i q2(p) = q1(p− 4). U Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu pOq,skicirati grafike funkcija q1(p) i q2(p).

10. Napisati jednaqinu prave koja prolazi kroz taqku P (1,−2)i ima koeficijent pravca k = 5. 10.

11. Ako su A i B proizvoǉni skupovi, onda je uslov x ∈ A ∪B za uslov x ∈ A ∩Ba) samo potreban, b) samo dovoǉan, v) potreban i dovoǉan, g) ni potreban, ni dovoǉan.






Z A D A C I :

1. Odrediti broj qijih 14 % iznosi 1,96. 1.

2. Skratiti razlomak:6x3 − 15x2 + 6x

x3 − 8 . 2.

3. Odrediti oblast definisanosti funkcije: f(x) =

√1− xx

. 3.

4. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu:1 +

1

x

1− 1x

= 2. 4.

5. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu: |2− 3x| = 8. 5.

6. Data je funkcija: f(x) = x3

2 . Izraqunati f(0, 04). 6.

7. Izraqunati vrednost izraza: log2 8− log8 2. 7.

8. Odrediti sva rexeǌa jednaqine 2 sin2 x = 1 u skupu [0, 2π]. 8.

9. Odrediti taqku u kojoj se seku prave y = 2− x i x− y = 2. 9.

10. U Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu xOy,skicirati krivu: y + x2 − 5x = −6.

11. Ako su A i B proizvoǉni skupovi, onda je uslov x ∈ A za uslov x ∈ A ∪Ba) samo potreban, b) samo dovoǉan, v) potreban i dovoǉan, g) ni potreban, ni dovoǉan.






Z A D A C I :

1. Odrediti broj qijih 18 % iznosi 0,324. 1.

2. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu: |x− 2| = x2. 2.

3. Srediti izraz:1

x3 − 2x2 + x− 2 −1

x− 2 . 3.

4. Odrediti oblast definisanosti funkcije: f(x) =3

4−√x . 4.

5. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu:√2− x− 4 = x. 5.

6. U skupu realnih brojeva, rexiti nejednaqinu:

(

1

2

)

x

> 4. 6.

7. Izraqunati vrednost izraza: log3 27− log31

81. 7.

8. Izraqunati vrednost izraza: sin 135◦ · cos 45◦. 8.

9. Napisati jednaqinu prave koja prolazi kroz taqkeP (1, 2) i Q(0, 1). 9.

10. Neka je q1(p) = 4− 2p i q2(p) = q1(2p). U Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu pOq,skicirati grafike funkcija q1(p) i q2(p).

11. Ako su A i B proizvoǉni skupovi, onda je uslov x ∈ A za uslov x ∈ A ∩Ba) samo potreban, b) samo dovoǉan, v) potreban i dovoǉan, g) ni potreban, ni dovoǉan.


Univerzitet u Beogradu, Ekonomski fakultet, Beograd Kolokvijum iz Matematike




Z A D A C I :

1. Izraqunati:35 : 0, 01 + 1000

(223+ 5

9) · 81

29+ 81

=

2. Ako je cena proizvoda sa 125 dinara sniжena na 60 dinara, za koliko se procenata promenila?

3. U skupu realnih brojeva, rexiti nejednaqinu: 5 ≤ 5x+ 3

.

4. Ako je data funkcija p(q) =1

2q+1, skicirati grafik funkcije q(p) i odrediti preseke sa p-osom

i q-osom.

5. U skupu realnih brojeva, rexiti nejednaqinu: 8− x2 + 2x ≤ 0.

6. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu:√x+ 5 = −2x.

7. Izraqunati 201. qlan niza −5,−2, 1, 4, ...

8. U skupu realnih brojeva, rexiti nejednaqinu: log3(2− x) > 2.


4− cos π

2=

10. Odrediti centar i polupreqnik kruжnice: x2 + y2 − 2x = 24.

11. Ako su p i q proizvoǉni iskazi, onda je uslov p → q za uslov qa) samo potreban, b) samo dovoǉan, v) potreban i dovoǉan, g) ni potreban, ni dovoǉan.


Univerzitet u Beogradu, Ekonomski fakultet, Beograd — Prvi kolokvijum iz Matematike




Z A D A C I :

1. Izraqunati:

(1

3

)

−3

·(

3−2)5

93=

2. Ako je cena proizvoda sa 60 dinara uve�ana na 135 dinara, za koliko se procenata promenila?

3. U skupu realnih brojeva, rexiti nejednaqinu: x3 <16

x.

4. Ako je data funkcija p(q) = 1− 13q, skicirati grafik funkcije q(p) i odrediti preseke sa p-osom

i q-osom.

5. U skupu realnih brojeva, rexiti nejednaqinu:x2 + 13x

2− x ≤ 0.

6. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu: 2− x = −√x.

7. Izraqunati zbir prvih 200 qlanova niza: −5,−2, 1, 4, ...

8. U skupu realnih brojeva, rexiti nejednaqinu: log3(x2) > 4.

9. Izraqunati vrednost izraza: sin5π

4− cos π

3=

10. Odrediti centar i polupreqnik kruжnice: x2 + 2x+ y2 = 3.

11. Ako su p i q proizvoǉni iskazi, onda je uslov p → q za uslov pa) samo potreban, b) samo dovoǉan, v) potreban i dovoǉan, g) ni potreban, ni dovoǉan.






Z A D A C I :

1. Izraqunati: −0, 2 + 11

2: 0, 1

100=

2. Ako je cena proizvoda sa 200 dinara sniжena za 35%, koliko iznosi sada?

3. U skupu realnih brojeva, rexiti nejednaqinu: 2x ≥ 8x.

4. Ako je data funkcija p(q) = 2−2q, skicirati grafik funkcije q(p) i odrediti preseke sa p-osomi q-osom.

5. U skupu realnih brojeva, rexiti nejednaqinu: x4 − x2 − 6 ≥ 0.

6. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu: x− 5 = −√5− x.

7. Izraqunati 25. qlan niza 2, 1,1

2,1

4, ...

8. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu: 31−x(1

3

)2x

= 81.


3− sin π

2=

10. Odrediti centar i polupreqnik kruжnice: x2 + y2 = 8y − 12.

11. Ako su p i q proizvoǉni iskazi, onda je uslov p za uslov q → pa) samo potreban, b) samo dovoǉan, v) potreban i dovoǉan, g) ni potreban, ni dovoǉan.






Z A D A C I :

1. Izraqunati:

(

25

7:19

2+

5

7

)

· 10 + 0, 4 : 1100

0, 1 ·(

25

7· 7 + 1

)=

2. Posle poskupǉeǌa od 10 %, cena neke robe je 1320 dinara. Koliko je iznosila ǌena cena preposkupǉeǌa?

3. U skupu realnih brojeva, rexiti nejednaqinu:6

2x− 4 ≥ 3.

4. Ako je data funkcija p(q) = 4q−4, skicirati grafik funkcije q(p) i odrediti preseke sa p-osomi q-osom.

5. U skupu realnih brojeva, rexiti nejednaqinu: x4 + x2 − 6 < 0.

6. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu: 2x = −√5 + x.

7. Izraqunati zbir prvih 25 qlanova niza: 2, 1,1

2,1

4, ...

8. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu: 25−x · 53x−1 = 125.


3+ cos

π

2=

10. Odrediti centar i polupreqnik kruжnice: x2 + y2 = 8x− 12.

11. Ako su p i q proizvoǉni iskazi, onda je uslov p za uslov p → qa) samo potreban, b) samo dovoǉan, v) potreban i dovoǉan, g) ni potreban, ni dovoǉan.






Z A D A C I :

1. Izraqunati:3√24 · 5

√3

(

15√37)

−1=

2. Ako je cena proizvoda sa 72 dinara sniжena za 25%, koliko iznosi sada?

3. U skupu realnih brojeva, rexiti nejednaqinu: x3 >16

x.

4. Ako je data funkcija p(q) = 3−3q, skicirati grafik funkcije q(p) i odrediti preseke sa p-osomi q-osom.

5. U skupu realnih brojeva, rexiti nejednaqinu:2 + x

5x− x2 ≥ 0.

6. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu: x− 2 = −√x.

7. Izraqunati 21. qlan niza −12,1

4,−1

8,1

16...

8. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu: |x− 5| − 3 = 2x.


2− sin π

6=

10. Odrediti centar i polupreqnik kruжnice: x2 + y2 − 8y = 9.

11. Ako su p i q proizvoǉni iskazi, onda je uslov p ∨ q za uslov pa) samo potreban, b) samo dovoǉan, v) potreban i dovoǉan, g) ni potreban, ni dovoǉan.






Z A D A C I :

1. Izraqunati:

(√3)

−4

· 9−5(

6√81 · 3 163

)

−2=

2. Posle sniжeǌa od 10 %, cena neke robe je 1080 dinara. Kolika je ǌena cena bila pre sniжeǌa?

3. U skupu realnih brojeva, rexiti nejednaqinu:4

x> x.

4. Ako je data funkcija p(q) =1

3q−1, skicirati grafik funkcije q(p) i odrediti preseke sa p-osom

i q-osom.

5. U skupu realnih brojeva, rexiti nejednaqinu: −x2 ≥ −8− 2x.

6. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu: −x+ 5 = −√5− x.

7. Izraqunati 23. qlan niza −13,1

9,− 1

27,1

81...

8. U skupu realnih brojeva, rexiti jednaqinu: 3− |5− x| = 2x.

9. Izraqunati vrednost izraza: cosπ

6− sin 4π

3=

10. Odrediti centar i polupreqnik kruжnice: x2 + y2 − 4x+ 2y + 4 = 0.

11. Ako su p i q proizvoǉni iskazi, onda je uslov p za uslov p ∧ qa) samo potreban, b) samo dovoǉan, v) potreban i dovoǉan, g) ni potreban, ni dovoǉan.






Z A D A C I :

1. Izraqunati:

(

33

4− 22

3− 11

2

)

· 335

5− 1518: 2, 2

=

2. Ako je broj 1210 podeǉen na qetiri broja koji stoje u odnosu 1:2:3:5, tada je najve�ibroj:

3. Skup rexeǌa jednaqine5 + |x− 1|

2= 5 je:

4. Neka je q1(p) = 9−3p i q2(p) = q1(p−2). U koordinatnom sistemu pOq skicirati grafikefunkcija q1(p) i q2(p).

5. Skup rexeǌa nejednaqine 8− 7x ≥ −2− x2 je:

6. Skup rexeǌa jednaqine√2x+ 2 = 2x je:

7. Izraqunati 2016. qlan niza −3,−1, 1, 3, . . . :

8. Skup rexeǌa nejednaqine 8 · 2−x+1 ≥ 2x je:

9. Skup svih rexeǌa jednaqine 2 sinx

2=

√3 koja se nalaze u intervalu (0, π) je:

10. Odrediti centar i polupreqnik kruжnice x2 + y2 = −8y + 6x:

11. Ako su x, y ∈ R, onda je uslov x = y za uslov x2 = y2:a) samo dovoǉan b) samo potrebanv) potreban i dovoǉan g) ni potreban ni dovoǉan






Z A D A C I :

1. Izraqunati:

(

6− 43

)

: 0, 3

((

3

20− 1, 9

)

· 4)

:1

5

=

2. Posle smaǌeǌa od 10% cena neke robe je 5400$. Koliko je iznosila cena pre smaǌenacene?

3. Skup rexeǌa jednaqine |6x− 28| − 2x = 2016 je:

4. Neka je q1(p) = 6− p i q2(p) = q1(p+3). U koordinatnom sistemu pOq skicirati grafikefunkcija q1(p) i q2(p).

5. Skup rexeǌa nejednaqine 4− 6(2x+ 1) ≤ −1− (2x+ 1)2 je:

6. Skup rexeǌa jednaqine√3 + x = 1 + x je:

7. Izraqunati 2016. qlan niza −3,−6,−12,−24, . . . :

8. Skup rexeǌa nejednaqine

(

1

3

)

−x+1

≥ 81 ·(

1

3

)

x

je:

9. Skup svih rexeǌa jednaqine 2 cosx

3= 1 koja se nalaze u intervalu (0, π) je:

10. Odrediti centar i polupreqnik kruжnice x2 + y2 = 16 + 6x:

11. Ako su x, y ∈ R, onda je uslov x = 2y za uslov 3− 4x = −8y + 3:a) samo dovoǉan b) samo potrebanv) potreban i dovoǉan g) ni potreban ni dovoǉan






Z A D A C I :

1. Izraqunati:

((

3

20− 1, 9

)

· 4)

:1

5(

6− 43

)

: 0, 3

=

2. Ako je broj 5600 podeǉen na qetiri broja koji stoje u odnosu 2:3:4:5, tada je najve�ibroj:

3. Skup rexeǌa nejednaqine−1x+ 2

≤ 1 je:

4. Neka je q1(p) = 8−2p i q2(p) = q1(p+3). U koordinatnom sistemu pOq skicirati grafikefunkcija q1(p) i q2(p).

5. Skup rexeǌa nejednaqine −8x ≤ −x2 je:

6. Skup rexeǌa jednaqine −√2x+ 3 = 2x+ 1 je:

7. Izraqunati 1997. qlan niza 1,−1,−3,−5, . . . :

8. Skup rexeǌa nejednaqine1

32· 2x+1 ≥ 2−x je:

9. Skup svih rexeǌa jednaqine 2 sinx


10. Odrediti jednaqinu prave p koje je paralelna sa pravom q : 2x− 3y = 5 i prolazi kroztaqku A(−1,−1).

11. Ako su x, y ∈ R, onda je uslov x < y za uslov 3− 2x < 3− 2y:a) samo dovoǉan b) samo potrebanv) potreban i dovoǉan g) ni potreban ni dovoǉan






Z A D A C I :

1. Izraqunati: 24

9− 1

3:

(

21

5− 33

4: 3, 75

)

=

2. Posle pove�aǌa od 25% cena neke robe je 625$. Koliko je iznosila cena pre pove�aǌacene?

3. Skup rexeǌa nejednaqine−1

2− (x+ 3) ≥ 1 je:

4. Neka je q1(p) = 2p−4 i q2(p) = q1(p+2). U koordinatnom sistemu pOq skicirati grafikefunkcija q1(p) i q2(p).

5. Skup rexeǌa nejednaqine 6x ≤ x2 je:

6. Skup rexeǌa jednaqine −√1− x = 1 + x je:

7. Izraqunati 2016. qlan niza 1,1

3,1

9,1

27, . . . :

8. Skup rexeǌa nejednaqine 27 ·(

3

2

)

−x−1

≥ 8 ·(

3

2

)

x+2

je:

9. Skup svih rexeǌa jednaqine 2 cos(2x) = 3 koja se nalaze u intervalu (0, π) je:

10. Odrediti centar i polupreqnik kruжnice x2 + y2 = 20 + 8y:

11. Ako su x, y ∈ R, onda je uslov 2x = y za uslov 3− 4x = −8y + 3:a) samo dovoǉan b) samo potrebanv) potreban i dovoǉan g) ni potreban ni dovoǉan






Z A D A C I :

1. Izraqunati:

(0, 5)2 + 4 ·(

−14

)2

+ 3 · 0, 5 · (−0, 25)

1

3

1

2+

(

11

3

)

: 0, 5

=

2. Ako je broj 7500 podeǉen na pet brojeva koji stoje u odnosu 5:4:3:2:1, tada je najve�ibroj:


2x− 4 ≤ −2 je:

4. Neka je q1(p) = 3p−9 i q2(p) = q1(p−2). U koordinatnom sistemu pOq skicirati grafikefunkcija q1(p) i q2(p).

5. Skup rexeǌa nejednaqine 9 ≤ x2 je:

6. Skup rexeǌa jednaqine −√x+ 3 = −x− 1 je:

7. Izraqunati zbir prvih 2016 qlanova niza −2, 0, 2, 4, . . . :


3· 3−x+1 ≤ 3x je:

9. Skup svih rexeǌa jednaqine 2 sin(2x) =√3 koja se nalaze u intervalu (0, π) je:

10. Odrediti jednaqinu prave p koja prolazi kroz taqke A(2,−1) i B(−1, 2).

11. Ako su x, y ∈ R, onda je uslov x = −2y za uslov 3 + 4x = −8y + 3:a) samo dovoǉan b) samo potrebanv) potreban i dovoǉan g) ni potreban ni dovoǉan






Z A D A C I :

1. Vrednost izraza3

4− 3

4:

(

−34

)

+3

4· 34− 3

4je:

2. Posle poskupǉeǌa od 20% cena neke robe je 9600$. Koliko je iznosila cena pre po-skupǉeǌa?

3. Skup rexeǌa nejednaqine−3

x− 1 ≤ 3 je:

4. Neka je q1(p) = 6−3p i q2(p) = q1(p+1). U koordinatnom sistemu pOq skicirati grafikefunkcija q1(p) i q2(p).

5. Skup rexeǌa nejednaqine 4− 6x ≥ −3− x2 je:

6. Skup rexeǌa jednaqine −√2− x = −x je:

7. Izraqunati zbir prvih 2016 qlanova niza −2, 2,−2, 2, . . . :

8. Skup rexeǌa nejednaqine

(

1

2

)

x−2

≥ 256 ·(

1

2

)3−x

je:

9. Skup svih rexeǌa jednaqine 2 cosx


10. Odrediti centar i polupreqnik kruжnice x2 + y2 = −2y:

11. Ako su x, y ∈ R, onda je uslov x2 = y2 za uslov x = ya) samo dovoǉan b) samo potrebanv) potreban i dovoǉan g) ni potreban ni dovoǉan


Univerzitet u Beogradu, Ekonomski fakultet { Drugi kolokvijum iz Matematike




Z A D A C I :

1. Rexiti sistem linearnih jednaqina: x + 2y − z = 0x − y + 2z = 14x − y − z = 3.

1.

2. Odrediti rang matrice: A =

3 1 1 41 −1 0 33 5 2 −1

. 2.

3. Rexiti matriqnu jednaqinu: AX +B = X −B. 3.

4. Dat je skup A = {a, b, c, d} i relacija ρ ⊆ A2 saρ = {(a, a), (a, b), (a, c), (d, b)}. Koja od svojstava: refleksivnost (R),simetriqnost (S), antisimetriqnost (A) i tranzitivnost (T) imadata relacija na A?

4.

5. Odrediti B tako da funkcija f : (−1, 2) → B, zadata saf(x) = −x2 + 2x+ 3 bude ,,na".

5.

6. Ispitati konvergenciju reda:+∞∑

n=1

n(e1

n − 1).

kriterijum red jegraniqna vrednost niza

7. Izraqunati: limx→−∞

3−√

4x3(5 + x)

(x− 3)(2x+ 1) . 7.

8. Odrediti vrednost realnog parametra a tako da funkcija

f(x) =

{

ln(x+ 1), x > 0

2x− a, x ≤ 0bude neprekidna u taqki x = 0. 8.

9. Na�i prvi izvod funkcije f(x) = x · e1−x3 . 9.

10. Neka je f(x) = ln√1− x2. Rexiti nejednaqinu: f ′(x) > 0. 10.

11. Neka je f(x) =5− x9− x2 . Izraqunati f

′′(0). 11.


Univerzitet u Beogradu, Ekonomski fakultet | Drugi kolokvijum iz Matematike




Z A D A C I :

1. Rexiti sistem sistem linearnih jednaqina: x + 2y − z = 0x − y + 2z = 14x − y − z = 1.

1.


3 1 1 41 0 2 32 −1 1 1

. 2.

3. Rexiti jednaqinu:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3 1 4x 4 12 2 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 5. 3.

4. Dat je skup A = {a, b, c, d} i relacija ρ ⊆ A2 saρ = {(a, c), (b, c), (c, c), (d, c), (c, d)}. Koja od svojstava: refleksiv-nost (R), simetriqnost (S), antisimetriqnost (A) i tranzitivnost(T) ima data relacija na A?

4.

5. Odrediti a tako da funkcija f : (−∞, a) → (0,+∞), zadata saf(x) = x2 − 2x− 3 bude bijekcija.

5.


n=1

3 + 2n

n2 + 1.


7. Izraqunati: limx→0

ln(1− 2x)sinx

. 7.


f(x) =

{

x2 + a, x > 0

2x+ 1, x ≤ 0bude neprekidna u taqki x = 0. 8.

9. Na�i prvi izvod funkcije f(x) = x3/2 · e√

x. 9.

10. Neka je f(x) =5− x9− x2 . Rexiti nejednaqinu: f

′(x) > 0. 10.

11. Neka je f(x) = ln2(2− x). Izraqunati f ′′(1). 11.






Z A D A C I :

1. Rexiti sistem linearnih jednaqina: x + 2y − z = 0x − y + 2z = 14x − y − z = 5.

1.


3 1 1 40 4 −1 12 2 2 3

. 2.

3. Rexiti matriqnu jednaqinu: AX−1 +A = B. 3.

4. Dat je skup A = {a, b, c, d} i relacija ρ ⊆ A2 saρ = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c), (c, d)}. Koja od svojstava: reflek-sivnost (R), simetriqnost (S), antisimetriqnost (A) i tranzitiv-nost (T) ima data relacija na A?

4.

5. Odrediti a tako da funkcija f : (a,+∞) → (−3,+∞), zadata saf(x) = x2 − 2x− 3 bude bijekcija.

5.


n=1

n(

e

2

n3 − 1)

.


7. Izraqunati: limx→4−

√1 + 2x− 1√

x− 2 . 7.


f(x) =

{

x2 − 6x+ 5, x > 5ax− 1, x ≤ 5

bude neprekidna u taqki x = 5. 8.

9. Na�i prvi izvod funkcije f(x) = x3 ln1

x. 9.

10. Neka je f(x) =3x2

x2 − 1 . Rexiti nejednaqinu: f′(x) > 0. 10.

11. Neka je f(x) = ex2+4 + e2. Izraqunati f ′′(0). 11.






Z A D A C I :

1. Rexiti sistem linearnih jednaqina: 2x + 4y + z = 02y − 3z = 1

2x + 7z = −2.1.


∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 x−1 0 xx 2 5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 2. 2.

3. Ako je A matrica sistema u prvom zadatku i C = A ·AT ,odrediti c23. 3.

4. Dat je skup A = {a, b, c, d} i relacija ρ ⊆ A2 saρ = {((a, b), (c, b), (a, d), (c, c)}. Koja od svojstava: refleksivnost (R),simetriqnost (S), antisimetriqnost (A) i tranzitivnost (T) imadata relacija na A?

4.

5. Odrediti a tako da funkcija f : (−∞, a) → (−∞, 9), zadata saf(x) = −x2 + 4x+ 5 bude bijekcija.

5.


n=1

n2 ln

(

1 +2

n3

)

.



x− 14− x2 . 7.


f(x) =

{

ax+ 1, x ≤ 3x2 + a, x > 3


9. Na�i prvi izvod funkcije f(x) =

√x

ln2 x. 9.

10. Neka je f(x) =2x− 1(x− 1)2 . Rexiti nejednaqinu: f

′(x) > 0. 10.

11. Neka je f(x) = x e1−x. Izraqunati f ′′(1). 11.






Z A D A C I :

1. Rexiti sistem linearnih jednaqina: x − 2y + 3z = 13x + 2y − 4z = 25x + 2y + 3z = 11.

1.


1 −a −1 22 −1 a 51 10 6 1

. 2.

3. Neka je A matrica sistema iz prvog zadatka.Odrediti det A. 3.

4. Dat je skup A = {a, b, c, d} i relacija ρ ⊆ A2 saρ = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (a, c), (d, c)}. Koja od svojstava:refleksivnost (R), simetriqnost (S), antisimetriqnost (A) i tran-zitivnost (T) ima data relacija na A?

4.

5. Odrediti vrednost realnog parametra a, tako da funkcija f :(a,+∞) → (0,+∞), zadata sa f(x) = x2 + 2x− 8 bude bijekcija.

5.


n=1

n!

2n.


7. Izraqunati: limx→1+

2 + x

3− 2x− x2 . 7.


f(x) =

ln(1− x)x

, x > 0

x+ a, x ≤ 0bude neprekidna u taqki x = 0. 8.

9. Na�i prvi izvod funkcije f(x) =√1− x+ ln(2x− 1). 9.

10. Neka je f(x) =x(x− 1)(x+ 1)2

. Rexiti nejednaqinu: f ′(x) > 0. 10.

11. Neka je f(x) = x3 e1−x2

. Izraqunati f ′′(1). 11.


Univerzitet u Beogradu, Ekonomski fakultet, Beograd | Drugi kolokvijum iz Matematike




Z A D A C I :

1. Rexiti sistem linearnih jednaqina: 3x − 2y + z + 2t = 15x − y + 3z − t = 32x + y + 2z − 3t = 4.

1.

2. Neka je A = [3 − 1 2] i C = AT ·A. Odrediti c32. 2.

3. Neka je A matrica sistema iz prvog zadatka. Odrediti rangmatrice A. 3.

4. Dat je skup A = {a, b, c, d} i relacija ρ ⊆ A2 saρ = {((a, a), (a, b), (b, b), (c, b), (c, d)}. Koja od svojstava: refleksiv-nost (R), simetriqnost (S), antisimetriqnost (A) i tranzitivnost(T) ima data relacija na A?

4.

5. Odrediti B tako da funkcija f : (0,+∞) → B, zadata saf(x) = −x2 + 4x+ 5 bude ,,na".

5.


n=1

(

n

n+ 2

)n(n+1)

.


7. Izraqunati: limx→+∞

ex−x2

. 7.


f(x) =

ln(1− 3x)1− 3x , x > 0x+ a, x ≤ 0


9. Na�i prvi izvod funkcije f(x) = ln√x2 − 1 + ln 2. 9.

10. Neka je f(x) = (x− 1) · e−x. Rexiti nejednaqinu: f ′(x) < 0. 10.

11. Neka je f(x) =x

1− x . Izraqunati f′′(0). 11.



Oznaka zadatka: 16/20 Datum: 04.11.2016



Z A D A C I :

1. Rexiti sistem linearnih jednaqina:x − 2y + z = 0

−3x + 6y −2 z = 6 .

Rexe�e:

2. Rexiti matriqnu jednaqinu 2AX = A−BXRexe�e:

3. Odrediti rang matrice A =

3 1 −1−3 −1 36 2 −19 3 −2

Rexe�e:

4. Neka je A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i ρ = {(1, 2), (1, 4), (4, 5), (5, 6)}. Odrediti skup ρ1 sa najma�im brojem ure�enihparova tako da ρ \ ρ1 bude simetriqna relacija u skupu A.Rexe�e:

5. Odrediti oblast definisanosti funkcije f(x) =

√

x3

x− 1Rexe�e:


2− x2x2 − 4 =

7. Napisati graniqnu vrednost izraza koju koristite za utvr�iva�e konvergencije reda

+∞∑

n=1

n+ 1

3n2 − 2 , �en rezultat,

i pomo�u toga zakuqiti da li dati red konvergira.

Rexe�e:

8. Data je funkcija f(x) =

8x3 − 2x2ln(1− 2x) , x ̸= 0

a, x = 0

. Odrediti sve vrednosti parametra a tako da funkcija bude

neprekidna u taqki x = 0.

Rexe�e:

9. Neka je f(x) =ax3 − 1ax3 + 2

. Tada f ′(x) =

10. Neka je f(x) =2 + x

ln(2 + x). Rexiti nejednaqinu f ′(x) < 0.

Rexe�e:

11. Neka je f(x) = x3e−2x+1. Tada f ′′(1) =






Z A D A C I :

1. Rexiti sistem linearnih jednaqina:3x − y + 4z = 12x + 5y − 2z = −5

−3x + 4y − 2z = −4.

Rexe�e:

2. Rexiti jednaqinu

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−1 2 13 4 2x 6 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

Rexe�e:


1 3 13 −1 24 2 3−2 5 4

T

Rexe�e:

4. Neka je A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i ρ = {(2, 3), (2, 4), (5, 6), (6, 4)}. Odrediti skup ρ1 sa najma�im brojem ure�enihparova tako da ρ \ ρ1 bude antisimetriqna relacija u skupu A.Rexe�e:

5. Odrediti oblast definisanosti funkcije f(x) =1√

lnx− 1Rexe�e:

6. Izraqunati: limx→−1

6x−√−9x3 + 16

1− 3x =


+∞∑

n=1

(

n+ 1

2n+ 2

)n

, �en re-

zultat, i pomo�u toga zakuqiti da li dati red konvergira.

Rexe�e:


tg 4x

sin 2x, x ̸= 0

a, x = 0. Odrediti sve vrednosti parametra a tako da funkcija bude nepre-

kidna u taqki x = 0.

Rexe�e:

9. Neka je f(x) = ln 1− e1−2x −√a. Tada f ′(x) =

10. Neka je f(x) =1

3x2 − x3 . Rexiti nejednaqinu f′(x) > 0.

Rexe�e:

11. Neka je f(x) =2− ln2 x

2x. Tada f ′′(e) =






Z A D A C I :

1. Rexiti sistem linearnih jednaqina:3x − 2y + 4z = −42x + 5y − 2z = 28x + y + 6z = −6

.

Rexe�e:

2. Neka je A =

2 −1 33 −1 23 −1 −2

i B = (A− 3I)′A. Izraqunati b32.

Rexe�e:

3. Odrediti proxirenu matricu sistema linearnih jednaqina iz prvog zadatka.

Rexe�e:

4. Neka je A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i ρ = {(2, 1), (2, 3), (5, 4), (4, 6), (2, 5)}. Odrediti skup ρ1 sa najma�im brojem ure�enihparova tako da ρ ∪ ρ1 bude tranzitivna relacija u skupu A.Rexe�e:

5. Odrediti oblast definisanosti funkcije f(x) = ln(x2 − 2x+ 2).Rexe�e:

6. Izraqunati: limx→−1+

x− 2x2 − 1 =


+∞∑

n=1

n2 + 1

3n3 + 1, �en rezultat,

i pomo�u toga zakuqiti da li dati red konvergira.

Rexe�e:


2x2 − 4xe2x − 1 , x ̸= 0a, x = 0



Rexe�e:

9. Neka je f(x) =

√x

3− x −1

e. Tada f ′(x) =

10. Neka je f(x) = x3(4− 3x)2. Tada f ′(1) =

11. Neka je f(x) = ln(x2 − 2x+ 2). Rexiti nejednaqinu f ′′(x) ≤ 0.Rexe�e:






Z A D A C I :

1. Rexiti sistem linearnih jednaqina:3x − 2y + 4z = −32x + 5y − z = −24x + 3y − 8z = −4

.

Rexe�e:

2. Neka je A =

−3 −1 32 −1 11 −1 2

i B = (A− 2I)′A. Izraqunati b21.

Rexe�e:


0 0 3 00 0 0 14 0 0 00 2 0 0

Rexe�e:

4. Neka je A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i ρ = {(3, 4), (4, 5), (6, 2), (2, 1)}. Odrediti skup ρ1 sa najma�im brojem ure�enihparova tako da ρ ∪ ρ1 bude tranzitivna relacija u skupu A.Rexe�e:

5. Odrediti oblast definisanosti funkcije f(x) =2x2

1− 2xe−

1x .

Rexe�e:


1− x2−

√x+ 4

=


+∞∑

n=1

4n

n!, �en rezultat, i

pomo�u toga zakuqiti da li dati red konvergira.

Rexe�e:


1− 6ex, x < 0a, x = 0

x2 − 5, x > 0. Odrediti sve vrednosti parametra a tako da funkcija bude nepre-

kidna u taqki x = 0.

Rexe�e:

9. Neka je f(x) =√x(3− 2x)− x

a. Tada f ′(x) =

10. Neka je f(x) = x2(3 + 4x)3. Tada f ′(−1) =

11. Neka je f(x) =x− 1

ln(x− 1) . Rexiti nejednaqinu f′(x) ≤ 0.

Rexe�e:






Z A D A C I :

1. Rexiti sistem linearnih jednaqina:3x − y + 4z = 38x + y − 4z = 82x + y − 4z = 2

.

Rexe�e:

2. Odrediti matricu sistema iz prvog zadatka.

Rexe�e:


3 −1 4 16 −2 8 2−9 3 −12 −3

Rexe�e:

4. Neka je A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i ρ = {(5, 2), (4, 5), (3, 1), (3, 6)}. Odrediti skup ρ1 sa najma�im brojem ure�enihparova tako da ρ ∪ ρ1 bude tranzitivna relacija u skupu A.Rexe�e:

5. Odrediti oblast definisanosti funkcije f(x) =x+ 2

ln2(x+ 2)

Rexe�e:


x2 −√4x2 + 16

x2 + 1=


+∞∑

n=1

(

1− 12n

)n

, �en re-

zultat, i pomo�u toga zakuqiti da li dati red konvergira.

Rexe�e:


4ax− 2x2sin 2x

, x ̸= 04, x = 0



Rexe�e:

9. Neka je f(x) =√

e2x − 1− x4

a. Tada f ′(x) =

10. Neka je f(x) =1

8x− 4x2 . Rexiti nejednaqinu f′(x) ≥ 0.

Rexe�e:

11. Neka je f(x) =2x2

1− lnx . Tada f′(e2) =






Z A D A C I :

1. Rexiti sistem linearnih jednaqina:y − z = 2−x + y = 0z − x = −2

Rexe�e: (x, y, z)

2. Za datu matricu A =

(

a 02 1

)

odrediti vrednost parametra a tako da je ispu�eno:

A(A− 2I) + I = 0.Rexe�e:


1 −2 3 40 1 2 32 −3 4 5

Rexe�e:

4. Ako je A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d} i ako su date relacije ρ1, ρ2, ρ3, ρ4, ρ5 ⊆ B ×A:ρ1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 3)}, ρ2 = {(a, 3), (a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 4)}, ρ3 = {(a, 2), (b, 3), (c, 4)},ρ4 = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1))}, ρ5 = {(a, 2), (a, 3), (c, 1)}, izdvojiti one koje su i funkcije.Rexe�e:

5. Odrediti skup B ⊆ R tako da funkcija f : (−∞,−1] → B i f(x) = −x2 + x+ 2 ima osobinu 'na'.Rexe�e: B =

6. Izraqunati: limn→+∞

(n− 5n

)2n

=

7. Neka je+∞∑

n=1

n2 sin2π

n2. Utvrditi da li red konvergira, obavezno navedite kriterijum, graniqnu vred-

nost izraza i rezultat na osnovu kojih ispitujete konvergenciju datog reda.

Rexe�e:

8. Ako je funkcija f(x) =

ln(1− 2x)6x

, x ̸= 0a, x = 0

neprekidna u taqki x = 0, onda je a

9. Neka je f(x) =1− 2xsinx

. Tada f ′(x) =

10. Neka je f(x) = (1− 2x) 13x. Rexiti nejednaqinu: f ′(x) > 0.Rexe�e:

11. Neka je f(x) = ln(x2 − 3x+ 2). Tada f ′′(0) =






Z A D A C I :

1. Rexiti sistem linearnih jednaqina:−13x + 13y − 13z = 134x − 8y + 16z = 12x + y − z = 1

Rexe�e: (x, y, z)

2. Za koju vrednost parametra a sistem ima samo trivijalno rexe�e:x + 2y + 3z = 0ax + y − 2az = 02x − y + 3z = 0

Rexe�e:

3. Rexiti matriqnu jednaqinu: 2B − 3XA = 3X +A.Rexe�e:

4. Ako je A = {sa, sava, sos, soja} i ρ ⊆ A2 data sa: (xρy ↔ x i y imaju isti broj samoglasnika u svomzapisu), odrediti sve klase ekvivalencije ove relacije.

Rexe�e:

5. Odrediti skup B ⊆ R tako da funkcija f : [2,+∞) → B i f(x) = −x2 + x+ 2 ima osobinu 'na'.Rexe�e: B =

6. Izraqunati: limn→+∞

n sin2

n=

7. Neka je+∞∑

n=1

n(

51

n2 − 1

)

. Utvrditi da li red konvergira, obavezno navedite kriterijum, graniqnu

vrednost izraza i rezultat na osnovu kojih ispitujete konvergenciju datog reda.

Rexe�e:


x+ 2, x > 13, x = 1

ax− 1, x < 1neprekidna onda je a

9. Neka je f(x) = (2x2 + 3x) ex. Tada f ′(x) =

10. Neka je f(x) =2x2 + 3x√

x. Rexiti nejednaqinu: f ′(x) > 0.

Rexe�e:

11. Neka je f(x) = e−2

x + sin a. Tada f ′′(1) =






Z A D A C I :

1. Rexiti sistem linearnih jednaqina:11x − 11y − 11z = 2222x − 22y + 22z = 44−4x + 4y − 4z = −8

Rexe�e: (x, y, z)

2. Rexiti matriqnu jednaqinu: 2X +A = 2B −XA.Rexe�e:


∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 32 −1 3x 1 −2x

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

Rexe�e:

4. Neka je A = {1, 2, 3, 4, 5} i ρ = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 3), (3, 1), (3, 4), (4, 3), (5, 5)}. Odrediti skup ρ1 sanajma�im brojem ure�enih parova tako da ρ \ ρ1 bude antisimetriqna relacija u skupu A.Rexe�e:

5. Odrediti najve�u vrednost realnog parametra a tako da funkcija f : (−∞, a] → R i f(x) = −x2+x+2ima osobinu '1-1'.

Rexe�e: a =

6. Izraqunati: limx→−∞

x−√4x2 + 1

3− x =

7. Neka je+∞∑

n=1

(5 + 2n2

3n2 − 1)

n

. Utvrditi da li red konvergira, obavezno navedite kriterijum, graniqnu


Rexe�e:


ax− 1, x < 12, x = 1

x+ 2, x > 1neprekidna onda je a

9. Neka je f(x) = 3√x lnx2. Tada f ′(x) =

10. Neka je f(x) =3√x

lnx. Rexiti nejednaqinu: f ′(x) < 0.

Rexe�e:

11. Neka je f(x) = arctg(√x3) + a2. Tada f ′′(1) =






Z A D A C I :

1. Rexiti sistem linearnih jednaqina:x + y − 2z = 0

−3x + 2y + z = 5Rexe�e: (x, y, z)

2. Neka je A =(

1 −1 2)

i B =(

1 −3)

. Ako je C = ATB, izraqunati c32.

Rexe�e:


1 2−3 14 2−2 1

Rexe�e:

4. Neka je A = {1, 2, 3} i ρ = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}, ρ ⊆ A2. Utvrditi koje od osobinarefleksivnosti, simetriqnosti, tranzitivnosti i antisimetriqnosti ima ova relacija.

Rexe�e:

5. Odrediti vrednost parametra c ∈ R tako da funkcija f : R → [c,+∞) i f(x) = x2−x− 2 ima osobinu'na'.

Rexe�e:


(1− sin 2x)3 − 15x

=

7. Neka je+∞∑

n=2

(n+ 2)(3n+ 2)

(n− 1)(1 + 2n2) . Utvrditi da li red konvergira, obavezno navedite kriterijum, graniqnu


Rexe�e:

8. Ako funkcija f(x) =

{

e−2x

−1sin 4x

, x ̸= 0a, x = 0

ima prekid u taqki x = 0 onda je a

9. Neka je f(x) = cos(3x)e−2

x . Tada f ′(x) =

10. Neka je f(x) =3x2 + 3x√

x. Rexiti nejednaqinu: f ′(x) ≤ 0.

Rexe�e:

11. Neka je f(x) =x2

eex. Tada f ′′(0) =






Z A D A C I :

1. Rexiti sistem linearnih jednaqina:−x − 2y + z = 12x + 4y − 2z = −2−3x − 6y + 3z = 3

Rexe�e: (x, y, z)

2. Neka je A =(

2 −2 3)

i B =

(

−1 1 −30 1 −2

)

. Ako je C = ABT , izraqunati c12.

Rexe�e:


(

1 −3 4 −22 1 2 1

)

T

Rexe�e:

4. Neka je A = {1, 2, 3} i ρ = {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 2)}. Odrediti skup ρ1 sa najma�im brojem ure�enihparova tako da ρ ∪ ρ1 bude tranzitivna relacija u skupu A.Rexe�e:

5. Odrediti maksimalnu vrednost parametra c ∈ R tako da funkcija f : (−∞, c] → [−94,+∞) i f(x) =

x2 − x− 2 ima osobinu '1-1'.Rexe�e: c =


x ln(x+ 2

x+ 3

)

=

7. Neka je+∞∑

n=1

2n!

(2n)!. Utvrditi da li red konvergira, obavezno navedite kriterijum, graniqnu vrednost

izraza i rezultat na osnovu kojih ispitujete konvergenciju datog reda.

Rexe�e:


{

tg 4xx cos 2x

, x ̸= 0a, x = 0

neprekidna u taqki x = 0 onda je a

9. Neka je f(x) =√x sin(1− x). Tada f ′(x) =

10. Neka je f(x) =√3 + 3e−

1

x . Rexiti nejednaqinu: f ′(x) > 0.

Rexe�e:

11. Neka je f(x) =x5

e3x−3. Tada f ′′(1) =


Univerzitet u Beogradu, Ekonomski fakultet, Beograd — Tre�i kolokvijum iz Matematike




Z A D A C I :

1. Ako je A matrica tipa 4× 3 i sistem linearnih jednaqina Ax = b ima jedinstveno rexeǌe,tada je rangA =

2. Izraqunati prvi izvod funkcije y(x) = (x2 + 1)x u taqki x = 2.Rexeǌe:


cos(4x)− 1 + 3x2

x2=

4. Aproksimirati funkciju f(x) = −xe−2x Maklorenovim polinomom drugog stepena.Rexeǌe:

5. Ako je x ∈ [−4, 2], odrediti najmaǌu vrednost funkcije f(x) = 3x− x3.Rexeǌe:

6. Ispitati ponaxaǌe funkcije y =x2

4− x2u okolini taqke x = 2.

Rexeǌe:

7. Ispitati monotoniju i odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: y =x3 + 2

2x.

Rexeǌe:

8. Ispitati konveksnost i odrediti prevojne taqke funkcije y =x3 + 2

2x.

Rexeǌe:

9. Izraqunati:∫(2x+ 1) cos(2x) dx =

10. Izraqunati:∫ 10

(4x− e2x

)dx =

11. Ako je z(x, y) =3x− 4yy − 2x

, izraqunati dz(1, 3).

Rexeǌe:





Z A D A C I :

1. Odrediti rang proxirene matrice sistema linearnih jednaqina:

−x − 3y + 4z = −52x + 6y − 2z = 10

−3x − 9y + 12z = 20.

Rexeǌe:

2. Izraqunati prvi izvod funkcije y = y(x) zadate parametarski: y = t2 + 2t, x = ln(2− t) + e.Rexeǌe:


ln(1− 4x) + 4x− 3x2

x2=

4. Aproksimirati funkciju f(x) = (x− 2)2 − cos(3x) Maklorenovim polinomom drugog stepena.Rexeǌe:

5. Ako je x ∈ [−2, 2], odrediti najmaǌu vrednost funkcije f(x) = 43x3 − 4x

Rexeǌe:

6. Ispitati ponaxaǌe funkcije y =x3

x2 − 2x+ 2kad x → +∞.

Rexeǌe:

7. Ispitati monotoniju i odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: y = x+4

x+ 2.

Rexeǌe:

8. Ispitati konveksnost i odrediti prevojne taqke funkcije y = x+4

x+ 2.

Rexeǌe:

9. Izraqunati:∫(2− 8x)e2x dx =

10. Izraqunati:∫ 1e−4

(2x− 1

x+ 4

)dx =

11. Ako je z(x, y) = y sinx− 4xy, izraqunati

∂2z

∂x∂y(0, 2).

Rexeǌe:





Z A D A C I :

1. Odrediti parametar a tako da rang proxirene matrice sistema linearnih jednaqina bude jednak 2.

2x − 3y + 4z = −5−4x + 2y − 2z = 16x − 5y + 6z = a− 1

.

Rexeǌe:

2. Izraqunati prvi izvod funkcije y = y(x) zadate implicitno: 9x2 + 4y2 = 36.Rexeǌe:


x3

x− sinx=

4. Aproksimirati funkciju f(x) = sin(2x)− cos(3x) Maklorenovim polinomom drugog stepena.Rexeǌe:

5. Ako je x ∈ [−3, 3], odrediti najmaǌu vrednost funkcije f(x) = x3 − 4x2 + 4x+ 3.Rexeǌe:

6. Ispitati ponaxaǌe funkcije y =x− 4x2 − 9

u okolini taqke x = 3.

Rexeǌe:

7. Ispitati monotoniju i odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: y = 2x− ln(x+ 1).Rexeǌe:

8. Ispitati konveksnost i odrediti prevojne taqke funkcije y = 2x− ln(x+ 1).Rexeǌe:

9. Izraqunati:∫

8(x− 1)e2x dx =

10. Izraqunati:∫ 10

x

1 + 2x2dx =

11. Ako je z(x, y) =4y − xx− 1

, izraqunati∂2z

∂x∂y(2, 1).

Rexeǌe:

Univerzitet u Beogradu, Ekonomski fakultet, Beograd | Tre�i kolokvijum iz Matematike




Z A D A C I :

1. Rang matrice A =

2 1 0 3−1 2 1 20 1 0 −21 4 1 3

je

2. Odrediti jednaqinu tangente na krivu y = 5√2x− 1 u taqki sa x-koordinatom x = 1.

Rexe�e:

3. Data je funkcija f(x) = ln(1− 2x) + x2. Odrediti df(0).Rexe�e:

4. Aproksimirati funkciju f(x) = (e−x + 2)x Maklorenovim polinomom drugog stepena.

Rexe�e:

5. Izraqunati: limx→0cos 3x+ 1− 2 cosx

sinx.

Rexe�e:

6. Ispitati ponaxa�e funkcije f(x) =x+ 2

x2 − 3x+ 2u okolini taqke x = 2.

Rexe�e:

7. Ispitati monotoniju i odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije f(x) =6− 3x√x+ 1

.

Rexe�e:

8. Ispitati konveksnost i odrediti prevojne taqke funkcije f(x) = e1−1x .

Rexe�e:

9. Izraqunati:

∫4x− 4

x2 − 2x+ 2dx =

10. Izraqunati:

∫ 10

(3√1− x+

√x)dx =

11. Neka je f(x, y) =−x3 + 2xy − 3y2

x2. Izraqunati

∂f(1,−1)∂x

.

Reše�e:






Z A D A C I :

1. Rexiti sistem linearnih jednaqina:x − y + z = 12x + y − z = −1x + 2y − 2z = −2

Rexe�e:

2. Odrediti koeficijent pravca tangente na krivu y3 + x = 1 u taqki (0, 1).

Rexe�e:

3. Neka je e2x−y2+ 2x = 2y. Izraqunati y

′x.

Rexe�e:

4. Aproksimirati funkciju f(x) =1− x2 + 2x3

x4Tejlorovim polinomom drugog stepena u okolini taqke

x = 1.

Rexe�e:

5. Odrediti najma�u i najve�u vrednost funkcije f(x) = x5 − 53x3 + 3 na segmentu [0, 3].

Rexe�e:

6. Odrediti asimptotu funkcije f(x) =x2 − 2x+ 3√

(x− 1)2kada x → −∞.

Rexe�e:

7. Ispitati monotoniju i odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije f(x) =1

xe−

1x .

Rexe�e:

8. Ispitati konveksnost i odrediti prevojne taqke funkcije f(x) =1

10x5 − 1

2x4 +

2

3x3 − 2.

Rexe�e:

9. Izraqunati:

∫cos(tg x)

cos2 xdx =

10. Izraqunati:

∫ 10

1

16− 9x2dx =

11. Neka je f(x, y) = ex2y − yx+ 2. Izraqunati ∂

2f

∂x2.

Reše�e:






Z A D A C I :

1. Odrediti broj linearno nezavisnih kolona matrice

−1 −2 −3 −40 1 2 3−1 −1 −1 −1−1 0 1 2

.Rexe�e:

2. Data je funkcija f(x) = x−2x. Odrediti f′(x).

Rexe�e:

3. Data je funkcija f(x) = ln(2x) + 12x3. Odrediti d2f(1).

Rexe�e:

4. Koriste�i formulu za pribli�no izraqunava�e priraxtaja funkcije pomo�u diferencijala, izrac-hunati pribli�no 3

√8, 1.

Rexe�e:

5. Odrediti najma�u i najve�u vrednost funkcije f(x) = 3− 53x3 + x5 na segmentu [0, 1].

Rexe�e:

6. Odrediti asimptotu funkcije f(x) =6− 5x− x2√

(x− 2)2kada x → −∞.

Rexe�e:

7. Ispitati monotoniju i odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije f(x) = ln(1 + x)− lnx.Rexe�e:


x− 1

x+ 2.

Rexe�e:

9. Izraqunati:

∫1− 2x3− 2x

dx =

10. Izraqunati:

∫ 112

1

(3− 2x)2dx =

11. Neka je f(x, y) = ex2+y2 + x2y3 + 3x. Izraqunati

∂2f(1, 1)

∂x∂y.

Rexe�e:






Z A D A C I :

1. Odrediti broj linearno nezavisnih kolona matrice

−1 −2 −3 00 1 2 2−1 −1 −1 2

.Rexe�e:

2. Odrediti taqke krive y = 12 ln(x2 + 1)− arctg x u kojima je tangenta paralelna sa x-osom.

Rexe�e:

3. Neka je x = y2 − 2y + y−2 + 2. Izraqunati y′x.Rexe�e:

4. Koriste�i formulu za pribli�no izraqunava�e priraxtaja funkcije pomo�u diferencijala, izrac-hunati pribli�no 1, 00028.

Rexe�e:

5. Izraqunati: limx→39− x2

1− e3−x.

Rexe�e:

6. Ispitati ponaxa�e funkcije f(x) =x+ 3

x2 − 2x− 3u okolini taqke x = 3.

Rexe�e:

7. Ispitati monotoniju i odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije f(x) = e3−3x .

Rexe�e:


x2 + 2x.

Rexe�e:

9. Izraqunati:

∫x3

x2 + 9dx =

10. Izraqunati:

∫ e2−10

ln(x+ 1)

x+ 1dx =

11. Neka je f(x, y) = 3x5 − x2y3 + xy. Izraqunati ∂2f

∂x∂y.

Rexe�e:


Univerzitet u Beogradu, Ekonomski fakultet, Beograd { Tre�i kolokvijum iz Matematike

Oznaka zadatka: 16/37 Datum: 10. 12. 2016.



Z A D A C I :

1. Rexiti sistem linearnih jednaqina: 2x + y − z = 1− 2z = 2.

1.

2. Odrediti koeficijent pravca tangente na krivu y = 3√x− 1 u

taqki x = 2. 2.

3. Izraqunati y′x, ako je x2y − x

y= x+ y. 3.

4. Koriste�i formulu za pribli�no izraqunava�e priraxtaja funk-cije preko �enog diferencijala, pribli�no izraqunati e−0,01. 4.


lnx√x− 1

. 5.

6. Ispitati ponaxa�e funkcije f(x) =x

4− x2u okolini taqke

x = −2.6.

7. Ispitati monotoniju i odrediti lokalne ekstremume funkcije

f(x) =1

3x3 − 3

2x2 − 4x.

7.

8. Ispitati konveksnost i odrediti prevojne taqke funkcije

f(x) =2x− 3x+ 2

.

8.

9. Izraqunati:

∫cos2(2x) dx. 9.

10. Izraqunati:

∫ −1−2

dx√1− x

. 10.

11. Neka je f(x, y) = 2x2 − ln(x2y)− y3. Izraqunati: ∂f∂y

. 11.






Z A D A C I :


3 0 2 25 −4 10 41 −2 4 3

. 1.2. Na�i y′x, ako je x = ln(1− t), y = sin t+ 1. 2.

3. Aproksimirati funkciju f(x) = esin(2x) Maklorenovim polinomomdrugog stepena.

3.


√x+ 2

2x+ 1. Odrediti df(0). 4.


x lnx. 5.

6. Ispitati ponaxa�e funkcije f(x) =1

1− exu okolini taqke pre-

kida.

6.

7. Ispitati monotoniju i odrediti lokalne ekstremume funkcijef(x) = x− lnx.

7.


f(x) =x4

12− x

2

2.

8.

9. Izraqunati:

∫1

sinx

2

dx. 9.

10. Izraqunati:

∫ 1−1

dx

x2 + 2x+ 5. 10.

11. Neka je f(x, y) = 2x2 − ln(xy)− y3. Izraqunati: ∂f∂x

. 11.






Z A D A C I :

1. Rexiti sistem linearnih jednaqina: x + 2y + 2z = 25x + 2y + 2z = 6.

1.

2. Data je funkcija f(x) = x2x. Odrediti f ′(x). 2.

3. Data je funkcija: f(x) = x−2 − lnx. Izraqunaati d2f(1). 3.

4. Razviti polinom P (x) = x3+2x2−x+1 po stepenima binoma (x−1). 4.


(1

x− 1− 5

x2 + 3x− 4

). 5.

6. Ispitati ponaxa�e funkcije y = x+ e1x u okolini taqke prekida.

6.

7. Ispitati monotoniju i odrediti lokalne ekstremume funkcijef(x) = x(4− x)2.

7.


f(x) =2x− 1x− 2

.

8.

9. Izraqunati:

∫x2 − 3ex

dx. 9.

10. Izraqunati:

∫ 10

(e2x +

1

43√x

)dx. 10.

11. Neka je f(x, y) = 2x− exy − xy3. Izraqunati: ∂f∂y

. 11.


kol_16_1kol_16_2kol_16_3

Documents

Univerzitet u Beogradu, Ekonomski fakultet, Prvi ...aurora.ekof.bg.ac.rs/~azdr/wp-content/uploads/2016... · Univerzitet u Beogradu, Ekonomski fakultet, Beograd — Prvi kolokvijum