UNIVERZITET U KRAGUJEVCU PRIRODNO MATEMATI^KI ......isti ili se opredeliti za drugi izborni predmet. Namasterakademskimstudijama,studentnemo`eponovopolagatiisti predmet koji je ranije

UNIVERZITET U KRAGUJEVCU

PRIRODNO�MATEMATI^KI FAKULTET

INFORMATOR

INSTITUTA ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

ZA UPIS U PRVU GODINU

OSNOVNIH AKADEMSKIH STUDIJA

[KOLSKE 2019/2020. GODINE

KRAGUJEVAC, 2019. GODINE

AUTORI: prof. dr Radosav \or|evi}doc. dr Sla|ana Dimitrijevi}doc. dr Bojana Borovi}anindoc. dr Tatjana Tomovi}Nenad Stojanovi}Milica Grbovi}

IZDAJE: Univerzitet u KragujevcuPrirodno�matemati~ki fakultetRadoja Domanovi}a 1234000 Kragujevac, Srbijahttp://www.pmf.kg.ac.rs

Institut za matematiku i informatikuhttp://imi.pmf.kg.ac.rs

Sadr`aj

Uslovi za upis na osnovne akademske studije 6

Pravila studirawa 8

[ta je matematika 14

Ra~unarske nauke ili Informatika 15

Osnovne akademske studije 16

Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Informatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Master akademske studije 36

Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Informatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Zadaci za pripremu prijemnih ispita 43

Ovaj informator je namewen budu}im studentima matema-

tike i informatike na Institutu za matematiku i infor-

matiku Prirodno-matemati~kog fakulteta u Kragujevcu. U

wemu mo`ete na}i detaqne informacije o nastavnim plano-

vima osnovnih i master akademskih studija matematike i in-

formatike, o uslovima za upis i o na~inu polagawa prijemnog

ispita.

INFORMATOR 2019. GODINE

Drage budu}e kolege,

Verovatno ve}ina vas upravo sada bira sebi profesiju za ~itav ìvot.

Ona bi trebalo da bude potrebna i korisna dru{tvu u kome ìvimo,

ali bi ona istovremeno trebalo da vam predstavqa i zadovoqstvo. Ako

ste odlu~ili da svoje vreme, entuzijazam i strpqewe posvetite studijama

matematike ili informatike, na dobrom ste putu da va{ posao bude i jedno

i drugo.

Prva, i ~esto jedina, predstava novih studenata o primeni znawa koje

}e na ovim studijama ste}i jeste da }e sluìti samo daqem preno{ewu

mla|im generacijama (radu u {koli) ili, eventualno, kao osnova za nau~ni

rad. Oni, svakako, ne gre{e u tome da su ovakva opredeqewa dobra, ali

nisu jedina. Naime, u dana{wem dru{tvu, realne situacije name}u gomilu

problema koji se ne mogu re{iti bez matematike, niti se mogu realizovati

bez primene informacionih tehnologija. Pomenimo samo sve popularni-

ju finansijsku matematiku, kao i to da se svako istraìvawe u oblasti

medicine, biologije ili pak bilo koje dru{tvene nauke ne moè izvesti bez

statisti~ke obrade podataka. Da li vam je poznato da se dobro organizovan

saobra}aj, osiguravaju}a dru{tva, banke i sli~no oslawaju na matemati~ke

modele?

O primenama informacionih tehnologija nije potrebno govoriti. O

wima moète u~iti na raznim fakultetima, ali vam na{ pruà mogu}nost

da u saradwi sa kolegama matemati~arima napravite korak daqe. Inter-

net pretraìva~i, agenti, video igrice nezamislivi su bez saradwe infor-

mati~ara i matemati~ara (u kompaniji Google radi ~itav tim matemati-

~ara).

Za koji god se modul opredelili, na{a saradwa se ne mora zavr{iti

va{im diplomirawem. Moèmo sara|ivati na doktorskim studijama ili

u konkretnim poslovima. U svakom slu~aju, bi}e nam drago da ostanemo u

kontaktu.

Vidimo se u oktobru!

5

INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

Uslovi za upis na osnovne akademske studije

Prirodno�matemati~ki fakultet u Kragujevcu se sastoji iz ~etiri In-

stituta:

• Institut za matematiku i informatiku;

• Institut za biologiju i ekologiju;

• Institut za fiziku;

• Institut za hemiju.

Institut za matematiku i informatiku realizuje tri nivoa studija:

osnovne akademske studije, master akademske studije i doktorske akademske

studije. Osnovne akademske studije na studijskim grupama Instituta za

matematiku i informatiku traju ~etiri godine (8 semestara), master aka-

demske studije jednu godinu (2 semestra) i doktorske akademske studije traju

tri godine (6 semestara).

Upis studenata vr{i se na osnovu konkursa, sa ta~no odre|enim pra-

vilima za utvr|ivawe redosleda kandidata za upis. Konkurs se objavquje

u sredstvima javnog informisawa i na osnovu wega kandidati podnose

prijavu sa svom potrebnom dokumentacijom.

Pravo na upis osnovnih akademskih studija imaju dràvqani Srbije,

kao i dràvqani drugih zemaqa ukoliko su sredwe obrazovawe u ~etvoro-

godi{wem trajawu stekli u Srbiji. Dràvqani Srbije i stranci koji su

prethodno obrazovawe stekli u inostranstvu, mogu da se upi{u na prvu go-

dinu studija ukoliko su prethodno nostrifikovali svedo~anstva ste~ena

u inostranstvu. Tako|e, stranac mora da podnese i dokaz da je savladao

srpski jezik, kao i potvrdu da je zdravstveno osiguran.

Prijemni ispit za studije u Institutu za matematiku i informatiku

polaè se iz matematike po programu prirodno�matemati~kog smera gim-

nazije. Za pripremu prijemnog ispita preporu~ujemo uxbenike i zbirke za-

dataka iz matematike za u~enike gimnazije prirodno�matemati~kog smera.

6


U ovom Informatoru (strana 43) mo`ete na}i zadatke za pripremu pri-

jemnog ispita. U~enici koji su u ~etvrtom razredu osvojili jednu od prve

tri nagrade na Republi~kom takmi~ewu iz matematike (takmi~ewe u or-

ganizaciji Dru{tva matemati~ara Srbije i Ministarstva za prosvetu i

nauku Republike Srbije) ili na Srpskoj matemati~koj olimpijadi, kao i

u~enici koji su osvojili neku od nagrada na finalnom takmi~ewu Kengur

bez granica u toku tre}eg ili ~etvrtog razreda, oslobo|eni su polagawa

prijemnog ispita.

Kandidat podnosi PRIJAVU ZA KONKURS (Studentska slu`ba Fa-

kulteta) sa originalnim ili overenim kopijama dokumenata (originali se

donose na uvid) i to:

• izvod iz mati~ne kwige ro|enih;

• svedo~anstvo svih razreda prethodnog obrazovawa;

• diplomu;

• dokaz o uplati naknade za polagawe prijemnog ispita.

Napomena. Bez li~ne karte nije mogu}e polagawe prijemnog ispita.

Komisija za upis utvr|uje op{ti uspeh kandidata u sredwemobrazovawu,

rezultate kandidata na prijemnom ispitu, kao i rang listu kandidata za

upis na prvu godinu studija.

Kandidat koji stekne pravo na upis da bi se upisao na studije podnosi:

• originalna dokumenta (4 svedo~anstva, diplomu i izvod iz mati~nekwige ro|enih);

• dva obrazca [V-20 (Skriptarnica Fakulteta);

• indeks (Studentska slu`ba Fakulteta);

• dve fotografije formata 4, 5× 3, 5 cm;

7


• dokaz o uplati odgovaraju}ih naknada.

Svi potrebni obrasci se kupuju u skriptarnici Fakulteta. Upisom na

Fakultet sti~e se status studenta. Obaveze i prava studenata regulisana

su Statutom Fakulteta.

Sva dodatna obave{tewa u vezi upisa naFakultet, kao i konkurisawa za

studentski dom, moète dobiti u studentskoj slu`bi putem telefona (034)

300-260 ili li~no na Fakultetu, ulica Radoja Domanovi}a 12, Kragujevac,

a moète posetiti i Web stranu Fakulteta http://www.pmf.kg.ac.rsili Web stranu Instituta http://imi.pmf.kg.ac.rs.

Institut za matematiku i informatiku se nalazi u glavnoj zgradi

Prirodno�matemati~kog fakulteta na drugom spratu. Institut raspolaè

dobro opremqenim ra~unarskim salama sa stalnom i brzom Internet ve-

zom.

Pravila studirawa

Ukupno trajawe osnovnih akademskih studija uInstitutu za matematiku

i informatiku Prirodno-matemati~kog fakulteta u Kragujevcu je 4 godine

(8 semestara). Za to vreme student treba da sakupi 240 ESPB. Nakon

osvojenih 240 ESPB, student, u zavisnostu od izabranog modula, sti~e

odgovaraju}i stru~ni naziv.

Na osnovnim akademskim studijama matematike postoje dva modula:

• Teorijska matematika;

• Profesor matematike;

u odnosu na koje student sti~e jedan od stru~nih naziva:

• Diplomirani matemati~ar � teorijska matematika;

• Diplomirani matemati~ar � profesor matematike.

8


Na osnovnim akademskim studijama informatike postoje dva modula:

• Ra~unarstvo i informatika;

• Profesor informatike;


• Diplomirani informati~ar;

• Diplomirani informati~ar � profesor informatike.

Na master akademske studije matematike, odnosno informatike, stu-

dent se mo`e upisati nakon zavr{enih osnovnih akademskih studija ma-

tematike, tj. informatike, i sakupqenih 240 ESPB. Studije traju jednu

godinu (2 semestra). Za to vreme student treba da sakupi 60 ESPB. Nakon

osvojenih 60 ESPB (odnosno 300 ESPB, na nivou petogodi{wih studija) i

uspe{no odbrawenog Zavr{nog rada student sti~e odgovaraju}i akademski

naziv u zavisnosti od izabranog modula.

Na master akademskim studijama matematike postoje dva modula:

• Teorijska matematika;

• Profesor matematike;

u odnosu na koje student sti~e jedan od akademskih naziva:

• Master matemati~ar � teorijska matematika;

• Master matemati~ar � profesor matematike.

Na master akademskim studijama informatike postoji jedan modul i

nakon zavr{etka studija student sti~e akademski naziv

• Master informati~ar.

9


U postupku akreditacije se nalaze NOVI studijski programi osnovnih

i master akademskih studija INFORMATIKE.

Novimprogramomosnovnih akademskih studija informatike supredvi|ena

tri izborna modula:

• Ra~unarske nauke;

• Softversko inèwerstvo;

• Informaciono-komunikacione tehnologije


• Diplomirani informati~ar � ra~unarske nauke;

• Diplomirani informati~ar � softversko inèwerstvo;

• Diplomiraniinformati~ar �informaciono-komunikacione tehnologije.

Novimprogramommaster akademskih studija informatike supredvi|ena

dva izborna modula:

• Nauka o podacima;

• Ra~unarske nauke.

Nakon zavr{enihmaster akademskih studija informatike student sti~e

akademski nazivMaster informati~ar.

Vi{e informacija o novom programu moète na}i na sajtu Instituta za

matematiku i informatiku

http://imi.pmf.kg.ac.rs/informatika-studije

Svaki od studijskih programa ima definisane obavezne i izborne pred-

mete koji u skladu sa svojom prirodom mogu biti akademsko�op{teobrazov-

nog (AO), teorijsko�metodolo{kog (TM), nau~no�stru~nog (NS) i stru~no�

aplikativnog (SA) tipa. Nastava se realizuje kroz predavawa (p), ve`be (v),

10


druge oblike aktivne nastave (don), a na master studijama i kroz studijski

istraìva~ki rad (s).

Na po~etku svake{kolske godine se objavquje spisak izbornih predmeta

(iz ponu|enih grupa) koji mogu biti realizovani u toj {kolskoj godini sa

definisanim limitima broja studenata. Prijavqivawe izbornih predmeta

se vr{i po pravilu prilikom upisa godine. Nastava iz datog predmeta }e

se organizovati ako ukupan broj studenata na izabranom predmetu bude ve}i

od predvi|enog limita.

Ispuwavawem predispitnih obaveza i polagawem ispita student moè

ostvariti najvi{e 100 poena. Da bi student poloìo ispit mora da osvoji

najmawe 51 poen. Princip ocewivawa je dat slede}om tabelom.

Ostvaren broj

poena

Numeri~ka (opisna) ocena Nenumeri~ka

ocena

0− 50 5 (nedovoqan) F51− 60 6 (dovoqan) E61− 70 7 (dobar) D71− 80 8 (vrlo dobar) C81− 90 9 (odli~an) B91− 100 10 (odli~an� izuzetan) A

Student koji nije poloìo ispite iz spiska obaveznih predmeta do

po~etka naredne {kolske godine, upisuje isti predmet. Student koji ne

poloì izborni predmet, slede}e {kolske godine moè ponovo upisati

isti ili se opredeliti za drugi izborni predmet.

Na master akademskim studijama, student ne moè ponovo polagati isti

predmet koji je ranije poloìo na osnovnim akademskim studijama. Uko-

liko je student obavezne predmete sa master akademskih studija poloìo

kao izborne predmete na osnovnim akademskim studijama, onda umesto wih

polaè izborne predmete.

11


Posledwi ispit u toku master akademskih studija je Zavr{ni rad, ~iji

prakti~ni deo studenti rade u toku posledweg semestra. Spisak tema i

mentora za Zavr{ni rad odre|uje Ve}e katedre Instituta za matematiku i

informatiku na po~etku svake {kolske godine i isti~e na oglasnoj tabli

i sajtu Instituta. Studenti prijavquju temu u toku zimskog semestra.

Ukoliko se dva studenta opredele za istu temu, prednost ima student koji

se ranije prijavio. Ukoliko se vi{e studenata istog dana opredeli za istu

temu, prednost ima student sa najve}om prose~nom ocenom. Zavr{ni rad

se brani pred tro~lanom komisijom iz reda nastavnika koju odre|uje Ve}e

katedre Instituta za matematiku i informatiku, a mentor Zavr{nog rada

je obavezno jedan od ~lanova komisije.

Doktorske akademske studije matematike, odnosno ra~unarskih nauka,

traju 3 godine (6 semestara). Za to vreme student treba da sakupi 180

ESPB). Nakon osvojenih 180 ESPB i odbrawene Doktorske disertacije,

student sti~e nau~ni naziv doktor nauka � matemati~ke nauke, odnosno

doktor nauka � ra~unarske nauke.

Na doktorske akademske studije iz oblasti matematike (tj. ra~unarskih

nauka) mogu se upisati:

• magistrimatemati~kih (tj. informati~kih/ra~unarskih) nauka (licasa V II2 stepenom stru~ne spreme);

• specijalisti matemati~kih (tj. informati~kih/ra~unarskih) nauka;

• studenti poslediplomskih (magistarskih ili specijalisti~kih) stu-dija prema propisima koji su va`ili pre stupawa na snagu Zakona

o visokom obrazovawu, ako su na diplomskim studijama ostvarili

proce~nu ocenu ne mawu od 8, 00;

• lica sa zavr{enim master akademskim studijama iz oblasti matema-tike (tj. informatike/ra~unarstva), obima 300 ESPB, sa prose~nom

ocenom ne mawom od 8, 00;

12


• lica sa zavr{enim ~etvorogodi{wim diplomskim studijama iz obla-sti matematike (tj. informatike/ra~unarstva) prema propisima koji

su va`ili pre stupawa na snagu Zakona o visokom obrazovawu, ako su

na diplomskim studijama ostvarili prose~nu ocenu ne mawu od 8, 00;

• lica sa zavr{enim diplomskim akademskim studijama iz oblastisrodnih matematici (tj. informatici/ra~unarstvu), sa prose~nom

ocenom ne mawom od 8, 00 (srodnost oblasti utvr|uje Ve}e katedre

Instututa za matematiku i informatiku);

• lica koja su stekla ekvivalentno obrazovawe u inostranstvu (akotakvim licima srpski jezik nije materwi, neophodna je potvrda o

znawu srpskog jezika, koju izdaje odgovaraju}a ustanova).

Za upis na doktorske akademske studije neophodno je poznavawe engles-

kog jezika ~iju proveru vr{i Prirodno-matemati~ki fakultet.

Detaqne informacije o doktorskim akademskim studijama matematike

i doktorskim akademskim studijama ra~unarskih nauka mogu se na}i na

Web strani Instituta za matematiku i informatiku.

13


[ta je matematika

Iako su mnogi poku{avali da defini{u {ta je matematika, op{ti

stav je da je ni jedna definicija ne moè potuno opisati. Jedini put

do odgovora na ovo pitawe jeste bavqewe matematikom. Recimo samo da

je matematika daleko od predstave koju ve}ina ima � tehnika baratawa

brojevima i slovima, tj. ra~un. Potpuno suprotan doìvqaj imaju oni

koji se wom bave. Oni }e se sloìti sa konstatacijom da je matematika

najuniverzalniji alat, primenqiviji od bilo kog drugog. Matemati~ari

koriste brojeve i simbole u razli~ite svrhe, od stvarawa novih teorija do

prevo|ewa tehni~kih problema u matemati~ke okvire.

O zna~aju matematike najboqe govori slede}i zakqu~ak konferencije

UNESCO-a o obrazovawu.

�Matematika i wen stil razmi{qawa moraju postati sastavni deo

op{te kulture savremenog ~oveka, ~oveka koji se obrazuje u dana{wim {ko-

lama, bez obzira da li }e on vr{iti posao koji koristi matematiku ili

ne.�

�Predmetmatematike je tolikoteàk da netreba prepustiti slu~aju

da se u~ini zanimqivim.�

Pierre Simon Laplace

�Matematika, kad je ~ovek dobro shvati, sadrì ne samo istinu ve} i

najvi{u lepotu.�

Bertrand Russel

�Matematika pruà egzaktnim naukama stanovitu meru sigurnosti

koja se bez matematike ne bi mogla posti}i.�

Albert Einstein

14


Ra~unarske nauke ili Informatika

Iako se ovi pojmovi ~esto poistove}uju, me|u wima ipak postoji raz-

lika.

”Computer science, or computing science, is the study of the theoretical

foundations of information and computation and their implementation and

application in computer systems.”

Wikipedia, the free encyclopedia

”Informatics includes the science of information, the practice of infor-

mation processing, and the engineering of information systems. Informatics

studies the structure, behavior, and interactions of natural and artificial sys-

tems that store, process and communicate information...”

Wikipedia, the free encyclopedia

Na{a misija je:

• da postanemo obrazovni i tehnolo{ki inkubator budu}e softverskeindustrije Srbije;

• da kvalitet znawa na{ih studenata bude prepoznatqivo dobar;

• da na{i studenti budu spremni za samostalan rad u praksi i dovoqnosamouvereni da svoj posao mogu i samostalno da osmisle.

Na{a vizija je:

• da kroz partnerstvo sa firmama za razvoj softvera omogu}imo stu-dentima praksu i time ih pripremimo za poslove za koje se {koluju;

• da zajedno sa studentima osnovnih, master i doktorskih studija radi-mo na realizaciji projekata koji zahtevaju primene informacionih

tehnologija u razvoju.

15


Osnovne akademske studije

Matematika

Bitne karakteristike studija su:

• nastavni planovi su uskla|eni sa Bolowskom deklaracijom;

• obavezni predmeti pokrivaju znawa koja svaki matemati~ar mora daposeduje;

• veliki broj izbornih predmeta nudi studentima mogu}nost da premasvojim afinitetima sami odaberu za koje }e se oblasti specijalizo-

vati;

• planovi su tako osmi{qeni da je promenamodula u toku studija mogu}au bilo kom trenutku.

Modul Teorijska matematika je namewen studentima koji èle da wi-

hove studije matematike imaju kako nau~ni i istraìva~ki karakter, tako

i da budu primenqive. Pre svega one bi im omogu}ile da upoznaju na-

juniverzalnije matemati~ke jezike, aparate i konstrukcije, ~ime bi bili

osposobqeni da rade na razvoju same matematike. Sagledavawe matematike

sa najvi{eg i najsavramenijeg nivoa omogu}uje ukqu~ivawe u bilo koju de-

latnost u kojoj se matematika primewuje. Obzirom na specifi~nost studija

na ovom modulu studenti }e imati mogu}nost da odaberu mentora koji }e im

pomo}i i usmeravati u toku studija. Svedoci smo da su matemati~ari danas

nezamewivi stru~waci projektnih timova u oblasti tehnike, industrije,

statisti~kih analiza, genetike, i raznih drugih, {to ukazuje na veliku

potrebu za ovim obrazovnim profilom. Ono {to za vas moè biti intere-

santno je da je potra`wa za ovakvim stru~wacima ve}a od ponude. Tako|e,

izborom predmeta iz pedago{ko�psiholo{ko�metodi~ke grupe student je

osposobqen da radi kao profesor matematike u svim osnovnim i sredwim

{kolama.

16


Modul Profesor matematike je namewen studentima koji, pre svega,

`ele da nakon zavr{etka studija rade u {kolama kao profesori matema-

tike. Program je prilago|en tom ciqu pa su ove studije obojene ve}im

brojem metodi~kih sadr`aja. Programom je predvi|ena obavezna praksa u

{kolama, kojom bi student u velikoj meri bio pripremqen za poziv za koji

se {koluje.

Studenti oba modula mogu izborom najmawe pet informati~kih pred-

meta (od toga najmawe jedan iz oblasti Programirawe i najmawe jedan

iz oblasti Objektno orijentisano programirawe) izvoditi nastavu u os-

novnim i sredwim {kolama iz predmeta Informatika i ra~unarstvo.

Savladavawem studijskog programa osnovnih akademskih studija stu-

dent sti~e:

• sposobnost logi~kog mi{qewa, formulisawa pretpostavki, izvo-dewa zakqu~aka na formalan i formalizovan na~in;

• sposobnost komunikacije na profesionalnom nivou i timskog rada;

• sposobnost za profesionalno napredovawe;

• sposobnost primene znawa u praksi;

• sposobnost kriti~kog i samokriti~kog mi{qewa i pristupa;

• sposobnost prezentovawa rezultata svog rada;

• poznavawe i razumevawe osnovnih matemati~kih disciplina;

• sposobnost povezivawa razli~itih matemati~kih disciplina;

• sposobnost primene ste~enih znawa u re{avawu prakti~nih prob-lema;

• sposobnost pra}ewa i primene novina u struci;

• sposobnost za kori{}ewe stru~ne literature i savremenih informa-ciono�komunikacionih tehnologija za daqe stru~no usavr{avawe;

17


• sposobnost analize i procene ispravnosti rezultata svog i tu|egrada.

Prva godina, 1. semestar

[ifra Tip Predmet^asovi

ESPBp v don

M101 TM Matemati~ka logika i teorijaskupova

2 2 0 5

M102 TM Uvod u geometriju 2 2 1 6

M103 TM Uvod u analizu i algebru 4 3 0 8

M104 SA Softverski alati 1 1 2 0 5

Izborni predmet 1 2 1 0 5

Zbir 11 10 1 29

[ifra Tip Izborni predmet 1^asovi

ESPBp v don

M143 AO Engleski jezik A1 2 1 0 5

M144 AO Engleski jezik B1 2 1 0 5



ESPBp v don

M105 TM Analiza 1 4 4 0 9

M106 TM Linearna algebra 1 3 2 0 6

M107 SA Diskretna matematika 2 2 0 5

M108 SA Osnovi programirawa 2 2 1 6

Izborni predmet 2 2, 1 1, 2 0 5

Zbir 13, 12 11, 12 1 31

18



ESPBp v don




Druga godina, 3. semestar


ESPBp v don

M110 TM Analiza 2 4 4 0 9

M111 TM Analiti~ka geometrija 3 3 0 7

M112 TM Linearna algebra 2 2 2 0 6


Zbir 11 11 1 29


ESPBp v don

M113 NS Teorija brojeva 2 2 1 7

M114 SA Finansijska matematika 2 2 1 7



ESPBp v don

M115 NS Analiza 3 4 3 0 9

M116 NS Algebarske strukture 4 3 0 9

M117 NS Geometrija 4 3 0 9


Zbir 14 9 1 31

19



ESPBp v don

M142 AO Kultura govora 2 0 1 4

B140 AO Osnovi ekologije 2 0 1 4

F123 AO Filozofija prirodnih nauka 2 0 1 4

20


Modul Teorijska matematika

Tre}a godina, 5. semestar


ESPBp v don

M118 NS Diferencijalne jedna~ine 3 3 0 6

M119 NS Algebra i logika 3 3 0 7


Izborni predmeti 5 i 6 4 4 0 10

Zbir 14 13 0 31

[ifra Tip Izborni predmeti 5 i 6^asovi

ESPBp v don

M121 SA Kombinatorika 2 2 0 5

M122 SA Obrazovni softver 2 2 0 5

M123 SA Linearna optimizacija 2 2 0 5

M124 SA Nacrtna i kompjuterskageometrija

2 2 0 5



ESPBp v don

M125 SA Numeri~ka matematika 3 3 1 8

M126 NS Funkcionalna analiza 4 4 0 9

M127 NS Neeuklidske geometrije 2 2 0 6

Izborni predmet/i 7(8) 4, 2 0, 2 0 6

Zbir 13, 11 9, 11 1 29

21


[ifra Tip Izborni predmet/i 7(8)âsovi

ESPBp v don

AO Pedagogija 2 0 0 3

B125 AO Bioetika 2 0 0 3

M128 NS Kombinatorna geometrija 2 2 0 6

SA Strukture podataka i

algoritmi 12 2 0 6

êtvrta godina, 7. semestar


ESPBp v don

M129 NS Verovatno}a istatistika 1

3 3 0 7

M130 NS Topologija 1 3 3 0 7

M131 NS Parcijalne i integralnejedna~ine

3 3 0 7

Izborni predmet/i 9(10) 4, 3, 3 0, 0, 2 0, 1, 1 6

Zbir 13, 12 9, 9, 11 0, 1, 1 27

[ifra Tip Izborni predmet 9(10)âsovi

ESPBp v don

AO Psihologija 2 0 0 3

TM [kolska pedagogija 2 0 0 3

M132 AO Istorija i filozofijamatematike

3 0 1 6

SA Objektno-orjentisano

programirawe

3 2 1 6

22




ESPBp v don

M133 SA Verovatno}a istatistika 2

3 2 1 6

M134 NS Kompleksna analiza 3 3 0 7

M135 NS Diferencijalnageometrija

3 3 0 7

M136 TM Metodika 3 3 0 7

Izborni predmet 11 0, 2 0, 2 0, 1 6

Zbir 12, 14 11, 13 1, 2 33


ESPBp v don

M137 SA Stru~na praksa 0 0 0 6


SA KlijentskeWeb tehnologije 2 2 1 6

Modul Profesor matematike



ESPBp v don

M118 NS Diferencijalne jedna~ine 3 3 0 6


AO Psihologija 2 0 0 3


Zbir 13 10 0 27

23


[ifra Tip Izborni predmet 5 i 6^asovi

ESPBp v don

M121 SA Kombinatorika 2 2 0 5

M122 SA Obrazovni softver 2 2 0 5

M123 SA Linearna optimizacija 2 2 0 5

K124 SA Nacrtna i kompjuterskageometrija

2 2 0 5



ESPBp v don

M125 SA Numeri~ka matematika 3 3 1 8

M126 NS Funkcionalna analiza 4 4 0 9

M136 TM Metodika 3 3 0 7

AO Pedagogija 2 0 0 3


Zbir 14 12 1 33


ESPBp v don

M127 NS Neeuklidske geometrije 2 2 0 6

M128 NS Kombinatorna geometrija 2 2 0 6

SA Strukture podataka i

algoritmi 12 2 0 6

24




ESPBp v don

M129 NS Verovatno}a i statistika1

3 3 0 7

M132 AO Istorija i filozofijamatematike

3 0 1 6

M139 SA Elementarna matematika 2 2 1 6

M140 TM [kolska pedagogija 2 0 0 3


Zbir 13 8 2 29


ESPBp v don


M131 NS Parcijalne i integralnejedna~ine

3 3 0 7



ESPBp v don

M133 SA Verovatno}a i statistika2

3 2 1 6

M134 NS Kompleksna analiza 3 3 0 7

M137 SA Stru~na praksa 0 0 0 6

Izborni predmeti 9 i 10 5, 5 3, 2 1, 1 12

Zbir 11, 11 8, 7 2, 2 31

25



ESPBp v don

M135 NS Diferencijalna geometrija 3 3 0 7

F122 AO Razvoj nau~ne misli 2 0 1 5

M141 SA Metodika u {koli 3 0 0 6

SA KlijentskeWeb tehnologije 2 2 1 6

Napomena. U8. semestru student bira izborne predmete tako da obezbedi

12 ESPB.

Naosnovnimakademskim studijamanapoziciji jednog izbornog predmeta

(na modulu), na osnovu Pravilnika Fakulteta, izvodi se nastava iz samo

jednog predmeta ako ima mawe od 20 studenata, u slu~aju da ima 20 ili vi{e

studenata moè se izvoditi nastava iz dva izborna predmeta, a u slu~aju

da ima 40 ili vi{e studenata moè se izvoditi nastava iz tri izborna

predmeta.

Na osnovnim akademskim studijama na poziciji dva izborna predmeta


dva predmeta ako ima mawe od 20 studenata, u slu~aju da ima 20 ili vi{e

studenata moè se izvoditi nastava iz tri izborna predmeta, a u slu~aju

da ima 40 ili vi{e studenata moè se izvoditi nastava iz ~etiri izborna

predmeta.

26


Informatika

Bitne karakteristike studija su:

• nastavni planovi su uskla|eni sa Bolowskom deklaracijom;

• obavezni predmeti pokrivaju znawa koja svaki informati~ar morada poseduje;

• veliki broj izbornih predmeta nudi studentima mogu}nost da premasvojim afinitetima sami odaberu za koje }e se oblasti specijalizo-

vati;

• obavezna praksa u partnerskim firmama, kao i veliki broj semi-narskih radova daju dobar okvir da ste~ena teorijska znawa budu

funkcionalna i upotrebqiva.

Tokom studija studenti se upoznaju sa osnovnim matemati~kim apara-

tima potrebnim za definisawe osnova raznih informati~kih disciplina,

sa osnovnim oblastima ra~unarskih nauka, wihovim ulogama i me|usob-

nim odnosima, kao i osnovnim objektima, konceptima i metodama koje

te oblasti izu~avaju. Studijski program je koncipiran tako da razvija

sposobnost shvatawa i formulisawa problema, kao i modelirawe sistema

sa ciqem re{avawa prakti~nih problema. Stru~na praksa se realizuje

u partnerskim softverskim firmama i firmama ~ije se funkcionisawe

velikim delom oslawa na primenu informacionih tehnologija.

Modul Ra~unarstvo i informatika namewen je studentima koji `ele

da nastave sa daqim stru~nim i nau~nim usavr{avawem, kao i studen-

tima koji `ele da obavqaju poslove koji zahtevaju vladawe razli~itim

oblastima ra~unarskih nauka, poznavawe i sposobnost kori{}ewa pos-

toje}ih, razumevawe i razvoj novih informacionih tehnologija, kao i pri-

lago|avawe specifi~nim zahtevima razli~itih oblastiqudskog delovawa.

Tako|e, izborom predmeta iz pedago{ko�psiholo{ko�metodi~ke grupe stu-

dent je osposobqen da radi kao profesor informatike u svim osnovnim i

sredwim {kolama.

27


Modulu Profesor informatike je namewen studentima koji `ele da

rade u {kolama kao profesori informatike. Zavr{etkom ovog modula stu-

denti su osposobqeni da uspe{no prenose znawe iz oblasti informatike

i ve{tine kori{}ewa savremenih informacionih tehnologija uz primenu

savremenih nastavnih metoda i da izvode dodatnu nastavu u osnovnim i

sredwim {kolama.

Savladavawem studijskog programa osnovnih akademskih studija in-

formatike student sti~e:

• sposobnost logi~kog mi{qewa;

• sposobnost komunikacije na profesionalnom nivou i timskog rada;

• sposobnost za profesionalno napredovawe;

• sposobnost primene znawa u praksi;

• sposobnost prezentovawa rezultata svog rada;

• poznavawe i razumevawe osnovnih oblasti ra~unarskih nauka;

• poznavawe, razumevawe i sposobnost primene savremenih informa-cionih tehnologija;

• razumevawe savremenih kretawa u oblasti ra~unarskih nauka;

• sposobnost povezivawa razli~itih oblasti ra~unarskih nauka i pri-mene ste~enih znawa u re{avawu prakti~nih problema;

• sposobnost pra}ewa i primene novina u struci;

• sposobnost za kori{}ewe stru~ne literature i savremenih infor-maciono�komunikacionih tehnologija u sticawu znawa iz oblasti

ra~unarstva i srodnih oblasti;

• sposobnost analize i procene ispravnosti rezultata svog i tu|egrada.

28




ESPBp v don

M151 TM Osnovi programirawa 2 2 1 7

M152 TM Teorijske osnove informatike 1 2 2 0 6

M184 TM Matematika 1 3 2 0 6

M154 TM Ra~unarski sistemi 2 1 0 6

Izborni predmet iz grupe A 2 1 0 5

Zbir 11 8 1 30

[ifra Tip Izborni predmet � grupa A^asovi

ESPBp v don





ESPBp v don

M155 SA Strukture podataka ialgoritmi 1

2 2 0 7


M157 TM Teorijske osnove informatike 2 2 2 0 6

M158 NS Arhitektura ra~unara 1 3 2 0 7

M159 AO Softverski alati 1 1 2 0 4

Zbir 11 10 0 30

29




ESPBp v don

M160 NS Strukture podataka ialgoritmi 2

2 2 1 6


M162 NS Baze podataka 1 3 3 0 7

M163 NS Operativni sistemi 1 3 2 0 7

Izborni predmet iz grupe B1 1, 2 2 0 5

Zbir 12, 13 12 1 32

[ifra Tip Izborni predmeti � grupa B1^asovi

ESPBp v don


M198 AO Fizika za informati~are 2 2 0 5



ESPBp v don

M164 NS Objektno-orijentisanoprogramirawe

3 2 1 7

M165 SA KlijentskeWeb tehnologije 2 2 1 6

M166 NS Ra~unarske mre`e i mre`netehologije

3 2 0 6

Izborni predmet iz grupe B2 2 0 1 4

Izborni predmet iz grupe B3 2 1 0 5

Zbir 12 7 3 28


ESPBp v don

B140 AO Osnovi ekologije 2 0 1 4

M142 AO Kultura govora 2 0 1 4

30



ESPBp v don





ESPBp v don

M167 SA Vizuelno programirawe 3 2 1 8

M168 NS Informacioni sistemi 1 3 2 1 8

M169 SA Algoritamske strategije 2 2 1 7

Izborni predmet iz grupe V1 2 2 0 7

Zbir 10 8 3 30

[ifra Tip Izborni predmeti � grupa V1^asovi

ESPBp v don

M175 SA Web programirawe 2 2 0 7

M170 NS Arhitektura ra~unara 2 2 2 0 7

31




ESPBp v don

M172 NS Inteligentni sistemi 1 3 2 1 8

M173 SA Softverski in`ewering 1 3 2 0 6

M251 TM Numeri~ka matematika isimboli~ko programirawe

2 2 1 6

M267 SA Stru~na praksa 3

Izborni predmet iz grupe V2 2 2 0 7

Zbir 10 8 2 30

[ifra Tip Izborni predmeti � grupa V2^asovi

ESPBp v don

M174 SA Elektronsko poslovawe 2 2 0 7

M171 NS Interakcija ~ovek�ra~unar 2 2 0 7

Modul Ra~unarstvo i informatika



ESPBp v don


M253 TM Formalni jezici, automati ijezi~ki procesori

2 2 0 5

M255 SA Baze podataka 2 2 2 0 5

Izborni predmet iz grupe R1 2 2 0, 1 7

Izborni predmet iz grupe R1 2 2 0, 1 7

Zbir 11 10 1, 3 31

32


[ifra Tip Izborni predmet � grupa R1âsovi

ESPBp v don

M114 AO Finansijska matematika 2 2 1 7

M113 TM Teorija brojeva 2 2 1 7

M256 NS Ra~unarska grafika 2 2 0 7

M259 SA Primewena informatika 2 2 0 7

M257 SA Izborni seminar 2 2 0 7



ESPBp v don

M176 NS Programirawe sloènihsoftverskih sistema

3 2 0 6

M177 SA Projektni zadatak 2 0 4 7

Izborni predmet iz grupe R2 2 2 1 6

Izborni predmet iz grupe R2 2 2 1 6

M182 SA Zavr{ni rad 4

Zbir 9 6 6 29

[ifra Tip Izborni predmeti � grupa R2âsovi

ESPBp v don

M262 SA Kvalitet i testirawe softvera 2 2 1 6


M265 NS Ra~unarske simulacije 2 2 1 6

M180 NS Paralelno programirawe 2 2 1 6

33


Modul Profesor informatike



ESPBp v don

K109 TM Psihologija 2 0 0 4

M254 NS Metodika nastaveinformatike

3 2 1 7

M178 SA Obrazovni softver 1 2 2 0 5

Izborni predmet iz grupe P1 2 2 0, 1 7

Izborni predmet iz grupe P1 2, 3 2 0, 1 7

Zbir 11, 12 8 1, 3 30

[ifra Tip Izborni predmeti � grupa P1^asovi

ESPBp v don

M114 AO Finansijska matematika 2 2 1 7

M113 TM Teorija brojeva 2 2 1 7

M256 NS Ra~unarska grafika 2 2 0 7

M257 SA Izborni seminar 2 2 0 7




ESPBp v don

K110 TM Pedagogija 2 0 0 4

M258 SA Metodika u {koli 1 0 2 3

M183 SA Stru~na praksa 6

M266 SA Metodika programirawa 3 2 2 7

M179 SA Obrazovni softver 2 1 0 2 4

Izborni predmet iz grupe P2 2, 3 2 0, 1 6

Zbir 9, 10 4 6, 7 30

34


[ifra Tip Izborni predmet grupa P2âsovi

ESPBp v don

M262 SA Kvalitet i testirawe softvera 2 2 1 6


M265 NS Ra~unarske simulacije 2 2 1 6

M180 NS Paralelno programirawe 2 2 1 6

M176 NS Programirawe sloènihsoftverskih sistema

3 2 0 6

Naosnovnimakademskim studijamanapoziciji jednog izbornog predmeta


jednog predmeta ako ima mawe od 20 studenata, u slu~aju da ima 20 ili vi{e

studenata moè se izvoditi nastava iz dva izborna predmeta, a u slu~aju

da ima 40 ili vi{e studenata moè se izvoditi nastava iz tri izborna

predmeta.

Na osnovnim akademskim studijama na poziciji dva izborna predmeta


izborna dva predmeta ako ima mawe od 20 studenata, u slu~aju da ima 20

ili vi{e studenata moè se izvoditi nastava iz tri izborna predmeta, a u

slu~aju da ima 40 ili vi{e studenata moè se izvoditi nastava iz ~etiri

izborna predmeta.

35


Master akademske studije

Matematika

Ovaj studijski program ~ini prirodnu i logi~ku celinu sa studijskim

programom osnovnih akademskih studija matematike. Koncipiran je tako

da se formiraju kompetentni i moderno obrazovani stru~waci, ~ije znawe

ne zastareva i koji su veoma traèni u prosveti, industriji, razvojno�

istraìva~kim centrima, finansijskim institucijama i drugim mestima

gde postoji potreba za primenom matemati~kih aparata. Tako|e, posto-

ji i mogu}nost daqeg stru~nog i nau~nog usavr{avawa na doktorskim

studijama. Kroz grupu predmeta teorijske matematike na modulu Teo-

rijska matematika, studenti se na savremen na~in upoznaju sa klasi~nim

matemati~kim teorijama, kao i sa aktuelnim trendovima u matematici.

Pored usvojenih znawa, ovakvim obrazovawem se sti~e sposobnost apstra-

kcije i logi~kog razmi{qawa. Kvalitet obrazovawa obezbe|en je ~iweni-

com da ga izvode profesori sa velikim nau~nim ugledom u svetu, koji su

u~esnici vi{e doma}ih i me|unarodnih nau~no�istraìva~kih projekata.

Kroz grupu pedago{ko�didakti~kih predmeta na moduluProfesor matema-

tike, studenti se u potpunosti osposobqavaju za rad u osnovnim i sredwim

{kolama, kako za redovne programe, tako i za programe dodatne nastave.

Modul Teorijska matematika



ESPBp v don s

M212 NS Teorija mere i integracije 4 4 0 0 10

Izborni predmeti 1 i 2 6 4 2 0 14

Zbir 10 8 2 0 24

36



ESPBp v don

M213 NS Geometrija povr{i 3 2 1 7

M214 NS Teorija grafova 3 2 1 7

M215 NS Numeri~ka analiza 1 3 2 1 7

M216 NS Optimizacija 1 3 2 1 7

M217 NS Logika 1 3 2 1 7

M218 NS Spektralna teorija operatora 3 2 1 7



ESPBp v don s

Izborni predmeti 3 i 4 6 4 2 0 14

M206 SA Studijski istra`iva~kirad

0 0 0 12 12

M207 SA Master rad 0 0 0 0 10

Zbir 6 4 2 12 36


ESPBp v don

M219 NS Rimanova geometrija 3 2 1 7

M220 NS Spektralna teorija matrica igrafova

3 2 1 7

M221 NS Numeri~ka analiza 2 3 2 1 7

M222 NS Optimizacija 2 3 2 1 7

M223 NS Logika 2 3 2 1 7

M224 NS Uvod u stohasti~ku analizu 3 2 1 7

37


Modul Profesor matematike



ESPBp v don

M201 TM Psiholo{ke osnove u~ewamatematike

3 2 1 7


Zbir 11 8 1 23


ESPBp v don

M202 NS Odabrana poglavqa algebre ilogike

4 3 0 8

M203 NS Odabrana poglavqa analize 4 3 0 8

M204 NS Odabrana poglavqa geometrije 4 3 0 8



ESPBp v don s

M205 TM Strategije re{avawamatemati~kih zadataka

3 3 0 0 8

Izborni predmet 3 3 2 0 0 7

M206 SA Studijski istra`iva~kirad

0 0 0 12 12

M207 SA Master rad 0 0 0 0 10

Zbir 6 5 0 12 37

38



ESPBp v don

M208 SA Metodika nastave algebre ilogike

3 2 0 7

M209 SA Metodika nastave analize 3 2 0 7

M210 SA Metodika nastave geometrije 3 2 0 7

M211 SA Istraìvawa u nastavimatematike

3 2 0 7

Na master akademskim studijama na poziciji jednog izbornog predmeta


jednog predmeta ako ima mawe od 10 studenata (na modulu), u slu~aju da ima

10 ili vi{e studenata (na modulu) moè se izvoditi nastava iz dva izborna

predmeta, a u slu~aju da ima 20 ili vi{e studenata (na modulu) moè se

izvoditi nastava iz tri izborna predmeta.

Na master akademskim studijama na poziciji dva izborna predmeta (na

modulu), na osnovu Pravilnika Fakulteta, izvodi se nastava iz samo dva

predmeta ako ima mawe od 10 studenata (na modulu), u slu~aju da ima 10

ili vi{e studenata (na modulu) moè se izvoditi nastava iz tri izborna


izvoditi nastava iz ~etiri izborna predmeta.

39


Informatika

Studijski program je koncipiran tako da se formiraju kompetentni i

moderno obrazovani stru~waci, sposobni za uspe{no obavqawe poslova

koji zahtevaju vladawe razli~itim oblastima ra~unarskih nauka. Pored

poznavawa i sposobnosti kori{}ewa postoje}ih tehnologija, studenti se

osposobqavaju i za razumevawe i razvoj novih informacionih tehnologija.

Kako su informacione tehnologije postale sastavni deo funkcionisawa

skoro svih oblasti dru{tvenog delovawa, stru~waci ovakvog profila

imaju kompetencije koje su u potpunosti dru{tveno opravdane i korisne.

Ovaj studijski program omogu}ava daqe stru~no i nau~no usavr{avawe.



ESPBp v don

M261 NS Teorijsko ra~unarstvo 2 2 1 7

M260 AO Verovatno}a i statistika 2 2 0 5

M269 SA Upravqawe projektima 2 2 1 6

Izborni predmet iz grupe M 2 2 1

Izborni predmet iz grupe M 2 2 1, 0

Zbir 10 10 4, 3 31

Napomena. Student iz grupe M mora da izabere dva predmeta koji u

zbiru vrede najmawe 13 ESPB.

40


[ifra Tip Izborni predmeti � grupa Mâsovi

ESPBp v don

M264 SA Inteligentni sistemi 2 2 2 1 8

M276 AO U~ewe na daqinu 2 2 1 6

M202 TM Nacrtna i kompjuterskageometrija

2 2 0 6

M274 NS Inteligentni informacionisistemi

2 2 1 7

M273 SA Softverski inèwering 2 2 2 1 7

M281 SA Master izborni seminar 2 2 1 7

M275 TM Predstavqawe znawa izakqu~ivawe

2 2 1 8



ESPBp v don s

M278 SA Master projektni zadatak 2 2 2 0 7

M279 NS Studijski istraìva~kirad

0 0 0 14 15

M280 NS Zavr{ni rad 7

Zbir 2 2 2 14 29

Na master akademskim studijama na poziciji jednog izbornog predmeta


jednog predmeta ako ima mawe od 10 studenata (na modulu), u slu~aju da ima

10 ili vi{e studenata (na modulu) moè se izvoditi nastava iz dva izborna


izvoditi nastava iz tri izborna predmeta.

Na master akademskim studijama na poziciji dva izborna predmeta (na

modulu), na osnovu Pravilnika Fakulteta, izvodi se nastava iz samo dva

predmeta ako ima mawe od 10 studenata (na modulu), u slu~aju da ima 10

41


ili vi{e studenata (na modulu) mo`e se izvoditi nastava iz tri izborna


izvoditi nastava iz ~etiri izborna predmeta.

42


Zadaci za pripremu prijemnih ispita

1. Izra~unaj vrednost izraza

(19

)− 12 + ( 19)−29−

12 + 9−2

.

Re{ewe: 243.

2. Izra~unati vrednost izraza 2x2 − 2,4x− 1,7 ako je x = 7 · 10−1.

Re{ewe: −2, 4.

3. Dat je izraz I =

(ab +

ba

ab −

ba

+1

1 + ba− 1

1− ba

):1− a−3ba+b3a+ba−b − 3

.

• Za koje vrednosti promenqivih a i b je definisan izraz I?• Dokazati da izraz I ima istu vrednost za sve vrednosti pro-menqivih a i b za koje je definisan (tj. dokazati da izraz ne

zavisi od a i b).

Re{ewe: a 6= 0, b 6= 0, a+ b 6= 0, a− b 6= 0; I = 1.

4. Za a = 0, 025 odrediti vrednost izraza

A =

(a+ a−1 − 1a+ a−2

− a− a−1

a+ a−1 + 2

):

a−1

1 + a−1.

Re{ewe: A = 1.

5. Za a = 34 i b =54 odrediti vrednost izraza

(a2 − b−2)a(a− b−1)b−a

(b2 − a−2)b(b+ a−1)a−b

Re{ewe: 925 .

6. Izra~unati vrednost izraza I =1− 1

(m+x)2(1− 1m+x

)2 · (1− 1− (m2 + x2)2mx ),ako je x =

1

m− 1,m 6= 1.

Re{ewe: I =m3

2(m− 1).

43


7. Odrediti vrednost izraza R =1a −

1b+c

1a +

1b+c

:a−b−cabc

1 + b2+c2−a2

2bc

, za a = 0, 02,

b = −11, 05 i c = 1, 07.

Re{ewe: 0, 1.

8. Izra~unati vrednost izraza

( 4√a− 4√b)−2 + ( 4

√a+ 4√b)−2

√a+√b

:

(a− b√a+√b

)−2, a, b > 0, a 6= b.

Re{ewe: 2.

9. Izra~unati vrednost izrazaa b−2 (a−1b2)

4(ab−1)

2

a−2 b (a2b−1)3a−1 b

, ako je a = 10−3 i

b = 10−2.

Re{ewe: 100.


a3/2 + b3/2

(a2 − ab)2/3:a−2/3 3

√a− b

a√a− b

√b

za a = 0, 01 i b =2

25.

Re{ewe: 0, 0073.

11. Uprostiti izraz

(b−1 + a−1

ab−1 + ba−1

)−1+

(a−1 + b−1

2

)−1− b−1 − a−1

a−1b−1,

a 6= −b, ab 6= 0.

Re{ewe: 2b.


(1−

(1 + x1− x

)−1)·(1 +

(1 + x1− x

)−1)−1za x = 0, 0001.

Re{ewe: 0, 0001.

44


13. Ako je x > 0, odrediti koliko procenata broja x je jednako brojevnoj

vrednosti izraza x50 +x25 ?

Re{ewe: 6%.

14. [ta je ve}e: −(1

4

) 13

ili −(1

3

) 14

?

Re{ewe: −(1

4

) 13

.

15. Ako je a 6= 0 i |a+ 1a | = 3, odrediti |a−1a |.

Re{ewe:√5.

16. Re{iti jedna~inu |x+ 2| − |x− 2| = 4.

Re{ewe: x ∈ [2,+∞).

17. Re{iti slede}e jedna~ine:

(a) ||x| − 2| = 5;

(b) ||2x− 3| − x+ 1| = 4x− 1.

Re{ewe: (a) x ∈ {7,−7}; (b) x = 57.

18. U skupu realnih brojeva, za a 6= b, a 6= c, b 6= c, re{iti jedna~inu

(x− b)(x− c)(a− b)(a− c)

+(x− c)(x− a)(b− c)(b− a)

+(x− a)(x− b)(c− a)(c− b)

= 1.

Re{ewe. Re{ewe je svako x ∈ R.

19. Re{iti sistem nejedna~ina 1 <3x+ 10

x+ 7< 2.

Re{ewe: x ∈(−32, 4).

45


20. Re{iti nejedna~inu |x− 1|+ |x+ 2|+ 3x+ 1 6 0.

Re{ewe: x ∈(−∞,−4

3

].

21. Re{iti jedna~inu |x2 − 9|+ |x2 − 4| = 5.

Re{ewe: x ∈ [−3,−2] ∪ [2, 3].

22. Odrediti zbir svih re{ewa jedna~ine

√(2x− 1

3

)2=

2

3.

Re{ewe:1

3.

23. Odrediti parametar k tako da funkcija y = (3k + 6)x + k − 7 buderastu}a i da wen grafik se~e negativan deo y�ose.

Re{ewe: −2 < k < 7.

24. Odrediti parametar k tako da funkcija y = (4k − 1)x − k + 3 budeopadaju}a i da wen grafik se~e pozitivan deo y�ose.

Re{ewe: k <1

4.

25. Ako je f(x) = x3 − 3x i g(x) = sin π12x izra~unati f(g(2)).

Re{ewe: − 118 .

26. Zbir dva broja je 89. Ako ve}i broj podelimo mawim, dobija se

koli~nik 3 i ostatak 5. Koji su to brojevi?

Re{ewe: 21 i 68.

27. Zbir cifara dvocifrenog broja je 8. Ako se ciframa zamene mesta,

dobijeni broj }e za 10 biti ve}i od dvostrukog prvog broja. Koji je

to broj?

Re{ewe: 26.

46


28. Ako se dvocifreni broj, ~iji je zbir cifara 5, uve}a za 9, dobi}e se

broj sastavqen od istih cifara, ali u obrnutom redosledu. Koji je

to broj?

Re{ewe: 23.

29. Razlika dva broja je 27, 72. Ako se ve}em broju premesti decimalna

zapeta za jedno mesto ulevo, dobija se mawi broj. Odrediti zbir tih

brojeva.

Re{ewe: 33, 88.

30. Odrediti vrednost parametra a tako da jedna~ine x2 − ax + 1 = 0,x2 − x+ a = 0 imaju ta~no jedno zajedni~ko re{ewe.

Re{ewe: a = −2.

31. Re{iti jedna~inux2 + x− 5

x+

3x

x2 + x− 5+ 4 = 0.

Re{ewe: x1 = −1 +√6, x2 = −1−

√6, x3 = 1, x4 = −5.

32. Odrediti proizvod svih re{ewa jedna~ine

∣∣∣∣ x2 − x− 6x2 + x− 12∣∣∣∣ = 57 .

Re{ewe: −176.

33. Odrediti zbir svih celobrojnih re{ewa jedna~ine x2−|x+1|−5 = 0.

Re{ewe: 3.

34. Re{iti jedna~inu 3(x2 +

1

x2

)− 7(x+

1

x

)= 0 u skupu kompleksnih

brojeva.

Re{ewe: x1 =3 +√5

2, x2 =

3−√5

2,

x3 =−1 + 2

√2 i

3, x4 =

−1− 2√2 i

3.

47


35. Re{iti jedna~inux2 + 2x+ 7

x2 + 2x+ 3= x2 + 2x + 4 u skupu kompleksnih

brojeva.

Re{ewe: x1 = x2 = −1, x3 = −1 + 2 i, x4 = −1− 2 i.

36. Re{iti nejedna~inux2 − 2

x2 − x− 2<

1

2.

Re{ewe: x ∈ (−2,−1) ∪ (1, 2).

37. Re{iti nejedna~inu2x2 + x− 13x2 − 2x− 3

> 1.

Re{ewe: x ∈ (−∞,−5) ∪ (−1, 2) ∪ (3,+∞).

38. Re{iti nejedna~inu x2 + x+3

x2 + x+ 16 3.

Re{ewe: x ∈ [−2,−1] ∪ [0, 1].

39. Re{iti sistem nejedna~ina 1 <3x2 − 5x− 2

x2 + 1< 3.

Re{ewe: x ∈(−1,−1

2

)∪ (3,+∞).

40. Re{iti nejedna~inu |x2 − 2x− 3| < x+ 1.

Re{ewe: x ∈ (2, 4).

41. Re{iti nejedna~inu

∣∣∣∣2x− 4x+ 3∣∣∣∣+ x− 2 > 0.

Re{ewe: x ∈ [−5,−3) ∪ (−3,−1] ∪ [2,+∞).

42. Odrediti skup svih realnih brojeva x, takvih da je x2 − x − 2 < 0 i−x2 + 4x− 3 < 0.

Re{ewe: (−1, 1).

48


43. Za koje vrednosti realnog parametra a va`i nejednakost

ax2 + (1− a)x+ a < 0 za svaki realan broj x?

Re{ewe: a ∈ (−∞,−1).

44. Re{iti sistem kvadratnih jedna~ina:

x2 + y2 + x+ y = 8,

x2 + y2 + xy = 7.

Re{ewe: (x, y) ∈{(1, 2), (2, 1), (1,−3), (−3, 1)

}.

45. Re{iti sistem jedna~ina:

x+√xy + y = 14,

x2 + xy + y2 = 84.

Re{ewe: (x, y) ∈{(2, 8), (8, 2)

}.

46. Ako su (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) sva, me|usobno razli~ita, realna

re{ewa sistema1

x+

1

y=

3

2,

1

x2+

1

y2=

5

4,

odrediti vrednost zbira

n∑k=1

(xk + yk). Re{ewe: 6.

47. Ako su x1 i x2 re{ewa jedna~ine x2 − 2x+ 5 = 0, odrediti vrednost

izrazax1

2 + x1x2 + x22

x13 + x23.

Re{ewe:1

22.

49


48. Ako su x1, x2 re{ewa jedna~ine x2+2x−2014 = 0, odrediti vrednost

izraza x21 + 2x22 + 2x2.

Re{ewe: 6046.

49. Neka su x1 i x2 re{ewa kvadratne jedna~ine x2 − 4x + 3(k − 1) = 0.

Odrediti vrednost realnog parametra k tako da je1

x1+

1

x2= −4.

Re{ewe: k =2

3.

50. Odrediti vrednost realnog parametra m tako da su x1 i x2 re{ewa

kvadratne jedna~ine 2x2− (2m+1)x+m2−9m+39 = 0, za koja va`ix1 = 2x2.

Re{ewe: m1 = 10, m2 = 7.

51. U kvadratnoj jedna~ini 2x2 − 2(m − 3)x + 2m2 − 17 = 0 odreditivrednost parametra m, tako da za korene date kvadratne jedna~ine

va`i x21 + x22 = 19.

Re{ewe: m1 = −7, m2 = 1.

52. Ako su x1 i x2 koreni kvadratne jedna~ine1

x−1 +1

x−2 = 1 odrediti

vrednost izraza x1x2 +x2x1.

Re{ewe: 3.

53. U jedna~ini x2 + (k + 3)x + k + 21 = 0 odrediti k tako da bude

ispuwen uslovx1x2

+x2x1

< 1.

Re{ewe: (−∞,−21) ∪ (−9, 6).

54. Re{iti jedna~inu√6− x− x2 = x+ 1.

Re{ewe: x = 1.

50


55. Re{iti jedna~inu√x+ 1 +

√2x+ 3 = 1.

Re{ewe: −1.

56. Re{iti jedna~inu√x+ 17−

√x− 7 = 4.

Re{ewe: x = 8.

57. Re{iti jedna~inu√2x− 4−

√x+ 5 = 1.

Re{ewe: x = 20.

58. Re{iti nejedna~inu√x2 − 3x− 10 < 8− x.

Re{ewe: x ∈ (−∞,−2] ∪[5,

74

13

).

59. Re{iti jedna~inu√2x+ 14−

√x− 7 =

√x+ 5.

Re{ewe: x = 11.

60. Re{iti jedna~inu√x+ 6−

√x− 7 = 5.

Re{ewe. Jedna~ina nema re{ewa.

61. Re{iti jedna~inu√x+ 3 +

√x+ 4 =

√x+ 2 +

√x+ 7.

Re{ewe: x = −4724

.

62. Re{iti jedna~inu√2x− 1 +

√x− 2 =

√x+ 1.

Re{ewe: x = 2.

63. Re{iti jedna~inu√3x2 + 5x− 8−

√3x2 + 5x− 1 = 1.

Re{ewe. Jedna~ina nema re{ewa.

51


64. Re{iti jedna~inu√4 + x

√x2 − 7 = 4.

Re{ewe: x = 4.

65. Re{iti jedna~inu√x− 1 +

√x+ 24− 10

√x− 1 = 5.

Re{ewe: x ∈ [1, 26].

66. Re{iti nejedna~inu√x+ 6 >

√x+ 1 +

√2x− 5.

Re{ewe: x ∈[52, 3).

67. Re{iti nejedna~inu√2x− 3−

√x− 5 < 4.

Re{ewe: x ∈[5, 86

).

68. Re{iti nejedna~inu√−x2 + x+ 6 + x− 1 > 0.

Re{ewe: x ∈(− 1, 3

].

69. Re{iti nejedna~inu√1− 4x2 > 1− 3x.

Re{ewe: x ∈[0,

1

2

].


√x2 − 4x+ 7

x− 2< 2.

Re{ewe: x ∈ (3, 5).

71. Re{iti jedna~inu 2 · 3x+1 − 4 · 3x−2 = 450.

Re{ewe: x = 4.

72. Odrediti zbir svih realnih re{ewa jedna~ine 3·16x+2·81x = 5·36x.

Re{ewe:1

2(x1 = 0, x2 =

12 ).

52


73. Re{iti jedna~inu 32x+1 − 10 · 21x + 72x+1 = 0.

Re{ewe: x1 = −1, x2 = 0.

74. Re{iti nejedna~inu1

22x + 3>

1

2x+2 − 1.

Re{ewe: x ∈ (−∞,−2) ∪ {1}.

75. Re{iti nejedna~inu 24x+2 · 4−x2 − 3 · 22+2x−x2 + 8 6 0.

Re{ewe: x ∈ [0, 2].

76. Za jedna~inu(√

2−√3)x

+(√

2 +√3)x

= 4 odrediti proizvod

svih wenih re{ewa.

Re{ewe: −4 (x1 = 2, x2 = −2).

77. Re{iti jedna~inu 4x + 4x+1 + 4x+2 = 7x+1 − 7x−1.

Re{ewe: x = 2.

78. Re{iti jedna~inu((

5√27) x

4−√

x3

) x4+√

x3

=4√37.

Re{ewe: x = 10.

79. Re{iti jedna~inu 9x − 2x+ 12 = 2x+ 72 − 32x−1.

Re{ewe: x =3

2.

80. Re{iti jedna~inu 20x − 6 · 5x + 10x = 0.

Re{ewe: x = 1.

81. Re{iti jedna~inu 4√x−2 + 16 = 10 · 2

√x−2.

Re{ewe: x1 = 11, x2 = 3.

53


82. Re{iti nejedna~inu 2x+2 − 2x+3 − 2x+4 > 5x+1 − 5x+2.

Re{ewe: x > 0.

83. Odrediti proizvod najve}eg i najmaweg celobrojnog re{ewa nejedna-

~ine √(5 + 2

√6)2x

+

√(5− 2

√6)2x

6 98 .

Re{ewe: −4.


16log4 10 −(9

1log2 3 + 5

1log16 25

)· 27 log9 4 .

Re{ewe: 36.

85. Re{iti jedna~inulog(3x− 5)log(3x2 + 25)

=1

2.

Re{ewe: x = 5.

86. Re{iti jedna~inu log31√log3 x

= log9 log9x

3.

Re{ewe: x = 9.

87. Re{iti jedna~inu xlog10 x =x3

100.

Re{ewe: x ∈ {10, 100}.

88. Re{iti jedna~inu log4(2 log3(1 + log2(1 + 3 log3 x))

)= 0, 5.

Re{ewe: x = 3.

89. Re{iti jedna~inu 51+log4 x + 5−1+log0,25 x =26

5.

Re{ewe: x1 = 1, x2 =1

16.

54


90. Koliki je proizvod re{ewa jedna~ine√xlog

√x = 10?

Re{ewe: 1.

91. Ako je log10 5 = a, odrediti log40 8.

Re{ewe:3 (1− a)3− 2a

.

92. Re{iti jedna~inu log7 x+ log7 x2 + log7 x

3 + · · ·+ log7 x100 = 5050.

Re{ewe: 7.

93. Re{iti nejedna~inu logx5x− 2x2 + 2

> 0.

Re{ewe: x ∈(25, 1)∪ (1, 4).

94. Re{iti nejedna~inu log22(2− x)− 8log 14 (2− x) > 5.

Re{ewe: x ∈(−∞, 0

]∪[6332, 2).

95. Re{iti nejedna~inu log1,52x− 8x− 2

< 0.

Re{ewe: x ∈ (4, 6).

96. Ako je log8 3 = p i log3 5 = q, odrediti log10 5 + log10 6.

Re{ewe:3pq + 3p+ 1

3pq + 1.

97. Uporediti brojeve 2√

log2 2011 i 2011√

log2011 2 po veli~ini.

Re{ewe. Jednaki su.

55


98. Odrediti proizvod realnih re{ewa jedna~ine(log3

3

x

)· (log2 x)− log3

x3√3=

1

2+ log2

√x.

Re{ewe:

√3

8(x1 = 1, x2 =

√38 ).

99. Re{iti nejedna~inu log (5x + x− 20) > x− x log 2.

Re{ewe: x > 20.

100. Re{iti nejedna~inu logx−3(x2 − 4x+ 3

)< 0.

Re{ewe: x ∈ (2 +√2, 4).

101. Izra~unati:

(a) sin 75◦;

(b) sin(− π12

);

(v) ctg 105◦.

Re{ewe: (a)

√2

4(√3 + 1); (b) −

√2

4(√3− 1); (v)

√3− 2.

102. Izra~unati vrednost izraza:

(a) cos 165◦ + cos 165◦ cos 75◦ + cos 75◦;

(b) sin2 11π12 + 2 sin11π12 sin

π12 + sin

2 π12 ;

(v) tg 20◦ tg 30◦ tg 40◦ tg 60◦ tg 80◦.

Re{ewe: (a) − 2√2+14 ; (b) 2−

√3; (v)

√3.

103. Odredi du`inu stranice romba ABCD ako je ^DAB = 30◦, a dija-

gonala AC = 4.

Re{ewe: 4√2−√3.

56


104. Du`ina straniceAB paralelogramaABCD je 3 cm, unutra{wi ugao

60◦, a wegova povr{ina 12 cm2. Izra~unati obim tog paralelograma.

Re{ewe:2

3(9 + 8

√3).

105. Neka je α, β ∈(0,π

2

), tgα =

1

7i sinβ =

1√10

. Izra~unati α+ 2β.

Re{ewe:π

4.

106. Izra~unati vrednost izrazasinα+ sin (α− 2β)cosα+ cos (α− 2β)

, ako je tgα =1

2i

tg β = −13.

Re{ewe: 1.

107. Transformisati izraz sin4 x+ cos4 x.

Re{ewe:3 + cos 4x

4.

108. Izra~unati zbir kvadrata najve}eg negativnog i najmaweg pozitivnog

re{ewa jedna~ine sin6 x+ cos6 x =1

4.

Re{ewe:π2

8.

109. Re{iti jedna~inu cos4 x+ sin4 x =3

4.

Re{ewe: x =π

8+kπ

4, k ∈ Z.

110. Re{i jedna~inu:

(a) cos 3x = cos 5x;

(b) sin(5x+ π3

)− sin

(7x+ π4

)= 0;

57


(v) sinx ctg x = 0.

Re{ewe: (a) Rx = {kπ4 | k ∈ Z};(b) Rx = { π24 + kπ,

5π144 +

kπ6 | k ∈ Z}; (v) Rx = {

π2 + kπ | k ∈ Z}.

111. Re{i jedna~inu:

(a) sinx+ cosx = 1;

(b) cos 2x− 2 sin2 x = 0;

(v)(sin x3 + 2 cosx

)cosx+

(2 sinx− cos x3 − 1

)sinx = 0.

Re{ewe: (a) Rx = {2kπ, π2 + 2kπ | k ∈ Z};(b) Rx = {π6 + kπ,

5π6 + kπ | k ∈ Z}; (v) Rx = ∅.

112. Kolikore{ewauintervalu (0, 2π)ima jedna~ina sin2 x+cosx+1 = 0?

Re{ewe. Jedno (x = π).

113. Re{iti jedna~inu cos2 (x sinx) = 1 + log25√x2 + x+ 1.

Re{ewe: x = 0.

114. Re{iti nejedna~inu 4 cos2 x− 3 > 0.

Re{ewe: x ∈(−π6+ kπ,

π

6+ kπ

), k ∈ Z.


√5− 2 sin x

6> 6 sin

x

6− 1.

Re{ewe: x ∈ [5π + 12kπ, 13π + 12kπ], k ∈ Z.

116. Izra~unati uglove trougla ako je a = 3−√3, b = 3 +

√3 i c = 2

√6.

Re{ewe: α = 15◦, β = 75◦, γ = 90◦.

58


117. Izra~unati duìne druge dve stranice trougla ako je duìna jedne

stranice c = 8 cm, c > a > b, povr{ina trougla je P = 8√3 cm2 i

ako je razlika izme|u sredweg po veli~ini i najmaweg ugla jednaka

razlici izme|u najve}eg i sredweg ugla.

Re{ewe: a = 4√3 cm, b = 4 cm.

118. Za stranice trougla ABC vaì (b + c)2 = a2 + 3bc. Odrediti meru

ugla α tog trougla.

Re{ewe: 60◦.

119. Ako je u o{trouglom trouglu a+b = 2c i sinα+sinβ =√3, odrediti

meru ugla γ.

Re{ewe: 60◦.

120. Odrediti ostatak pri deqewu polinoma P (x) = x200 − 3x199 − 1polinomom f(x) = x2 − 4x+ 3.

Re{ewe: x− 4.

121. Neki polinom pri deqewu sa x − 1 daje ostatak 2, a pri deqewu sax + 2 daje ostatak −7. Odrediti ostatak pri deqewu ovog polinomasa x2 + x− 2.

Re{ewe: 3x− 1.

122. Odrediti koeficijent a tako da broj−2 bude koren polinoma P (x) =4x2+5x+a, a zatim za tu vrednost koeficijenta a rastaviti polinom

na ~inioce.

Re{ewe: a = −6; P (x) = (x+ 2)(4x− 3).

59


123. U skupu prirodnih brojeva re{iti nejedna~ine:

(a)

(13

x

)<

(13

x+ 2

);

(b)

(18

x− 2

)>

(18

x

).

Re{ewe. (a) x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}; (b) x ∈ {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}.

124. Odrediti ~lan u razvoju binoma(

3

√a√b+√

b3√a

)21, a > 0, b > 0, koji

sadr`i a i b sa istim stepenom.

Re{ewe:

(21

9

)a

52 b

52

125. Odrediti onaj ~lan koji u razvoju binoma

(4√a2x+ 5

√1

ax2

)13ne

sadr`i x.

Re{ewe:

(13

5

)a3.

126. Zbir binomnih koeficijenata tre}eg od po~etka i tre}eg od kraja

~lana razvoja(

4√3 + 3√4)n, gde je n ∈ N, jednak je 2862. Odrediti

koliko ima racionalnih ~lanova u tom razvoju.

Re{ewe: 5.

127. U aritmeti~kom nizu prvi ~lan je 1, a zbir prvih pet ~lanova jednak

je ~etvrtini zbira narednih pet ~lanova. Odrediti taj niz.

Re{ewe: 1,−2,−5,−8, . . ..

128. Geometrijska progresija ima paran broj ~lanova. Zbir ~lanova na

neparnim pozicijama je 85, a zbir ~lanova na parnim pozicijama je

170. Odrediti koli~nik te progresije.

Re{ewe: 2.

60


129. Koliko ~lanova ima geometrijski niz, ako je zbir prvog i petog ~lana

51, zbir drugog i {etog 102, a zbir svih ~lanova 3069?

Re{ewe: 10.

130. Odrediti ~etiri broja tako da prva tri odre|uju geometrijski niz, a

posledwa tri aritmeti~ki niz i pri tome je zbir prvog i posledweg

~lana 14, a zbir preostala dva je 12.

Re{ewe: 2, 4, 8, 12 ili25

2,15

2,9

2,3

2.

131. Prvi ~lan aritmeti~kog niza je 24. Napisati prvih deset ~lanova

tog niza, ako su prvi, peti i jedanaesti ~lan uzastopni ~lanovi ge-

ometrijske progresije.

Re{ewe: 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51,

ili 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24.

132. Tri broja ~iji je zbir 93 su uzastopni ~lanovi geometrijskog niza.

Isti brojevi se mogu uzeti za prvi, drugi i sedmi ~lan aritmeti~kog

niza niza. Odrediti te ~lanove.

Re{ewe: 3, 15, 75 ili 31, 31, 31.

133. Izme|u −2 i 46 umetnuti 15 brojeva, tako da svi zajedno formirajuaritmeti~ki niz. Koliki je zbir ovih 17 brojeva?

Re{ewe: 374.

134. Zbir tri broja, koji ~ine rastu}u geometrijsku progresiju, iznosi 21,

a zbir wihovih recipro~nih vrednosti je7

12. Koji su to brojevi?

Re{ewe: 3, 6 i 12.

61


135. Broj 195 se moè predstaviti kao zbir tri cela broja koja obrazuju ge-

ometrijski niz kod koga je prvi ~lan za 120 mawi od tre}eg. Odrediti

te brojeve.

Re{ewe: 15, 45 i 135 ili 125, −175 i 245.

136. Neka je Sn zbir prvih n ~lanova geometrijske progresije. Ako je

log3

(Sn2

+ 1

)= n, odrediti koli~nik te progresije.

Re{ewe: 3.

137. Prvi, drugi i ~etvrti ~lan aritmeti~kom niza jednak je prvom, dru-

gom i ~etvrtom ~lanu geometrijskog niza respektivno, a tre}i ~lan

aritmeti~kog niza je za 18 ve}i od tre}eg ~lana geometrijskog niza.

Odrediti oba niza.

Re{ewe. Aritmeti~ki niz: −2, 4, 10, 16, . . .;

geometrijski niz: −2,4,−8, 16, . . ..

138. Zbir ~lanova beskona~ne opadaju}e geometrijske progresije je3

2, a

zbir kvadrata ~lanova iste progresije je1

8. Koja je to progresija?

Re{ewe. Prvi ~lan je3

19, a koli~nik

17

19.

139. U jednakokraki trougao ~ija je osnovica a = 10cm i krak b = 13cm

upisan je kvadrat tako da mu dva temena leè na osnovici trougla, a

druga dva na kracima. Izra~unati duìnu stranice kvadrata.

Re{ewe: 6011cm.

140. Stranica kvadrata ABCD je a = 12 cm. Izra~unati duìnu polu-

pre~nika kruga upisanog u trougaoAMN , gde jeM sredi{te stranice

BC, a N sredi{te stranice CD.

Re{ewe: (2√5−√2) cm.

62


141. Izra~unati povr{inu jednakokrakog trapeza, ako je wegova sredwa

linija duìnem, a dijagonale su mu uzajamno normalne.

Re{ewe: m2.

142. Centar upisanog kruga jednakokrakog trougla deli visinu koja odgo-

vara osnovici na odse~ke duìna 5 cm i 3 cm. Izra~unati duìne

stranica tog trougla.

Re{ewe: 12 cm, 10 cm.

143. Na hipotenuzi BC pravouglog trougla ABC date su ta~ke D i E,

takve da je BE = AB i CD = AC. Izra~unati, u radijanima, ugao

DAE.

Re{ewe:π

4.

144. Teì{ne duì AD i CE trougla ABC seku se u ta~ki T . Sredi{te

duì AE je ta~ka F . Odrediti odnos povr{ina trouglova TFE i

ABC.

Re{ewe: 1 : 12.

145. Odrediti duìne kateta (u cm) pravouglog trougla, ako je duìna

polupre~nika wegovog upisanog kruga r = 2 cm i duìna polupre-

~nika wegovog opisanog kruga R = 5 cm.

Re{ewe: 6 cm i 8 cm.

146. U trouglu su date duìne dve stranice a = 15, b = 13 i duìna

polupre~nika opisanog kruga R = 8, 125. Izra~unati duìnu tre}e

stranice tog trougla.

Re{ewe: 14 ili 4.

63


147. U trougluABC ugao kod temenaA je dva puta ve}i od ugla kod temena

B, a duìne stranica AC i AB su AC = 2, AB = 3. Izra~unati

duìnu stranice BC.

Re{ewe:√10.

148. Izra~unati duìne dijagonale i kraka jednakokrakog trapeza ~ije su

osnovice duìne a = 20 i b = 12, ako centar kruga opisanog oko

trapeza leì na ve}oj osnovici.

Re{ewe: 8√5; 4√5.

149. U romb povr{ine 18 cm2 upisan je krug povr{ine9

4π cm2. Odrediti

meru o{trog ugla tog romba.

Re{ewe: 30◦.

150. Oko pravilnog n-tougla stranice duìne a opisan je i u wemu je

upisan krug. Odrediti povr{inu kru`nog prstena odre|enog sa ova

dva kruga.

Re{ewe: P =a2π

4.

151. Na paraboli y = x2 odrediti ta~ku koja je najblià pravoj y = 2x−4.

Re{ewe: (1, 1).

152. Od svih ta~aka hiperbole 3x2 − 4y2 = 72 ta~ka P je najblià pravoj3x+ 2y + 1 = 0. Odrediti zbir koordinata ta~ke P .

Re{ewe: −3; P (−6, 3).

153. Odrediti jedna~inu prave u ravni koja sadrì koordinatni po~etak

i ta~ku (−2, 1).

Re{ewe: y = −x2.

64


154. Odrediti ta~ku B(x, y) simetri~nu ta~ki A(1, 3) u odnosu na pravu

x+ 2y − 2 = 0.

Re{ewe: B(−1,−1).

155. Odrediti jedna~inu prave koja je normalna na pravu 2x− y − 1 = 0 iprolazi kroz ta~ku A(2, 3).

Re{ewe: x+ 2y − 8 = 0.

156. Izra~unati du`inunormale koja je povu~ena iz ta~keM(3, 2)napravu

3x− 4y + 15 = 0.

Re{ewe:16

5.

157. Temena ~etvorougla imaju koordinate A(3, 4), B(2, 0), C(−2,−1),D(−2, 2). Odrediti koordinate preseka dijagonala ovog ~etvorougla.

Re{ewe: (0, 1).

158. Napisati jedna~inu kru`nice ~iji je centar prese~na ta~ka pravih

x+2y−2 = 0 i 3x+y+4 = 0, i koja dodiruje pravu 5x+12y−1 = 0.

Re{ewe: (x+ 2)2 + (y − 2)2 = 1.

159. Odrediti za koje vrednosti realnog parametra a prava y = 2x + a

se~e kru`nicu datu jedna~inom x2 + 2x+ y2 − 4y = 10.

Re{ewe: a ∈(4− 5

√3, 4 + 5

√3).

160. Odrediti jedna~inu kru`nice koja je koncentri~na sa kru`nicom

x2 + y2 + 6x+ 2y + 5 = 0 i prolazi kroz ta~kuM(1,−4).

Re{ewe: (x+ 3)2 + (y + 1)2 = 25.

65


161. Odrediti jedna~inu elipse sa centrom u ta~ki S(−2, 1) koja prolazikroz ta~ke A(0, 4) i B(4, 2) i ~ije su ose paralelne koordinatnim

osama.

Re{ewe:(x+ 2)2

40+

(y − 1)2

10= 1.

162. Data je elipsa mx2 + 5y2 = 20 i wena tangenta 3x + 10y − 25 = 0.Odrediti koordinate dodirne ta~ke.

Re{ewe:(3,

8

5

).

163. Data je jedna~ina x2 − 2x+ y2 − 6y = d.

(a) Odrediti za koje vrednosti realnog parametra d ova jedna~ina

predstavqa jedna~inu kru`nice.

(b) Odrediti d tako da prava koja prolazi kroz ta~ke A(−1, 2) iB(4, 1) ne se~e kru`nicu.

Re{ewe. (a) d > −10; (b) −10 < d < −21126

.

164. Osni presek prave kupe je trougao koji ima jedan ugao od 120◦. U kupu

je upisan jednakostrani~an vaqak (visina vaqka je jednaka pre~niku

osnove vaqka) polupre~nika r, tako da mu jedna baza le`i u ravni

baze kupe, a druga dodiruje celim obimom omota~ kupe. Izra~unati

povr{inu kupe.

Re{ewe: P =πr2

3(63 + 38

√3).

165. Oko lopte polupre~nika r opisani su jednakostrani~an vaqak i

jednakostrani~na kupa (presek vaqka, odnosno kupe, sa ravni koja

sadr`i visinu vaqka, tj. kupe, predstavqa kvadrat i jednakostrani-

~an trougao, respektivno). Izra~unati odnos povr{ina i zapremina

ova tri tela.

66


Re{ewe: P` : Pv : Pk = 4 : 6 : 9 = V` : Vv : Vk.

166. Prav vaqak je upisan u loptu polupre~nikaR. Izra~unati zapreminu

vaqka, ako je wegova povr{ina jednaka1

2povr{ine lopte.

Re{ewe: V =4R3π

5√5.

167. Izra~unati povr{inu i zapreminu pravilnog tetraedra ivice a cm.

Re{ewe: P = a2√3 cm2; V =

a3√2

12cm3.

168. Visina prave trostrane prizme je 5 cm, a zapremina 24 cm3. Odrediti

duìne osnovnih ivica, ako se povr{ine bo~nih strana odnose kao

17 : 17 : 16.

Re{ewe: a =17

5cm, b =

17

5cm, c =

16

5cm.

169. Duìne osnovnih ivice pravilne ~etvorostrane zarubqene piramide

su 3a cm i 2a cm. Izra~unati zapreminu piramide, ako su sve bo~ne

ivice nagnute prema ravni osnove pod uglom od 45◦.

Re{ewe: V =19

6a3√2 cm3.

170. Izra~unati zapreminu prave trostrane prizme, ako je povr{ina os-

nove 10 cm2, a povr{ine bo~nih strana su 25 cm2, 29 cm2 i 36 cm2.

Re{ewe: 60 cm3.

171. Zapremina kvadra je 2080 cm3, povr{ina je 996 cm2, a obim jedne

strane 58 cm. Odrediti duìne ivica kvadra.

Re{ewe: 13 cm, 16 cm i 10 cm.

67


172. Osnovne ivice pravog paralelepipeda su a = 13 cm i b = 14 cm,

a wegova kra}a dijagonala je d1 = 17 cm. Ako je povr{ina osnove

paralelepipeda B = 168 cm2, odrediti povr{inu omota~a.

Re{ewe: 432 cm2.

173. Osnova ~etvorostrane piramide je romb stranice 6 cm i o{trog ugla

60◦. Podno`je visine piramide je presek dijagonala romba. Ako

bo~na ivica koja polazi iz temena tupog ugla romba gradi sa ravni

osnove ugao od 60◦, odrediti zapreminu piramide.

Re{ewe: 54 cm3.

174. Odrediti realan i imaginaran deo kompleksnog broja z = (1 + 2 i)3.

Re{ewe: Re z = −11, Im z = −2 .

175. Odrediti realan i imaginaran deo kompleksnog broja z =2 + i15

i3 − i12.

Re{ewe: Re z = − 12 , Im z =32 .

176. Odrediti vrednost izraza f(z) = z4 − 10z3 + 36z2 − 58z + 35 zaz = 2 + i.

Re{ewe: f(2 + i) = 0 .

177. Izra~unati

(1 + i√

2

)2011+

(1− i√

2

)2011.

Re{ewe: −√2 .

178. Odrediti moduo kompleksnog broja(1− i)5

(1 + i)4.

Re{ewe:√2 (|1− i|).

68


179. Odrediti z ako je 2z(3− 5 i) + z − 1 = −30− 65 i.

Re{ewe: z = 3− 5 i.

180. Odrediti u kompleksnoj ravni geometrijsko mesto ta~aka za koje je

1 6 |z − 1− i| 6 2.

Re{ewe. Kru`ni prsten 1 6 (x− 1)2 + (y − 1)2 6 4.

181. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu z2 = 3− 4 i.

Re{ewe: z1 = −2 + i; z2 = 2− i.

182. Odrediti realne parametre a i b takve da je (2 + 3 i)a+ (3+ 2 i)b = 1.

Re{ewe: a = −25; b =

3

5.

183. Odrediti realne brojeve a i b ako se zna da je z = −3+ i jedno re{ewejedna~ine z3 + z2 + az + b = 0.

Re{ewe: a = −20; b = −50.

184. Ako je z +1

z= 1, izra~unati z1000 +

1

z1000.

Re{ewe: −1.

185. Ako polinom sa kompleksnim koeficijentima pri deqewu sa x − i,x− 4 i i x2 − 5 ix− 4 daje redom ostatke 2 i, 5 i i Ax+ B, izra~unatiA+B.

Re{ewe: 1 + i.

186. Koliko ima trocifrenih brojeva deqivih sa 5 takvih da im se cifre

ne ponavqaju?

Re{ewe: 136.

69


187. Koliko razli~itih desetocifrenih brojeva moèmonapisati pomo}u

cifara 1, 2, 3, 4, takvih da je cifra 3 upotrebqena ta~no dva puta, a

cifra 4 ta~no tri puta?

Re{ewe: 80640.

188. Koliko ima ~etvorocifrenih brojeva sa razli~itim ciframa kojima

su dve cifre parne, a dve neparne?

Re{ewe: 2160.

189. Koliko ima prirodnih brojeva koji su ve}i od 1000 i mawi od 4000 i

kojima je cifra jedinica 3 ili 4?

Re{ewe: 600.

190. Na polici se nalazi 10 razli~itih kwiga od kojih su 4 iz matematike,

4izfizike i 2iz hemije. Na kolikona~ina semogu rasporediti kwige

na polici, ako se zna da sve kwige iz iste oblasti moraju biti jedna

do druge?

Re{ewe: 6912.

191. ^lanovi benda, u ~ijem sastavu su 5 mladi}a i 3 devojke, izlaze jedan

za drugim na scenu. Na koliko na~ina to mogu da urade ako prvi na

scenu izlazi jedan od mladi}a, a dve devojke ne mogu iza}i jedna iza

druge?

Re{ewe: 7200.

192. U jednoj kutiji je 9 kuglica i to 2 ùte, 3 plave i 4 crvene. Jednu

za drugom, bez vra}awa, izvla~imo kuglice iz kutije. Na koliko

razli~itih na~ina to moèmo da uradimo? (Kuglice iste boje se ne

razlikuju.)

Re{ewe: 1260.

70


193. U skupu od 50 ta~aka ima ta~no 7 ~etvorki kolinearnih ta~aka. Ko-

liko je razli~itih pravih odre|eno ovim skupom ta~aka?

Re{ewe: 1190.

194. Koliko je razli~itih ravni odre|eno temenima kocke?

Re{ewe: 20.

195. Na koliko na~ina se mogu rasporediti brojevi 1, 2, . . . , 2000 tako da

nikoja dva susedna nemaju paran zbir?

Re{ewe: 2 · (1000!)2.

196. Na koliko na~ina se moè formirati peto~lana komisija od 2 mate-

mati~ara i 8 fizi~ara, tako da u woj bude bar jedan matemati~ar?

Re{ewe: 196.

197. Iz grupe od 4 mu{karca i 7 èna treba odabrati 6 osoba tako da me|u

wima budu bar tri ène. Na koliko na~ina se to moè u~initi?

Re{ewe: 441.

198. Raspolaèmo sa 6 razli~itih osnovnih boja. Boje moèmo me{ati

uzimaju}i jednake koli~ine osnovnih boja i tako dobijamo nove boje.

Moè li se ovim bojama obojiti {ahovska tabla 8 × 8 tako da svakoweno poqe bude razli~ito obojeno?

Re{ewe. Ne moè.

199. Od 10 razli~itih cvetova treba napraviti buket tako da se on sastoji

od bar tri cveta. Na koliko na~ina se buket moè napraviti?

Re{ewe: 968.

71

Documents

UNIVERZITET U KRAGUJEVCU PRIRODNO MATEMATI^KI ......isti ili se opredeliti za drugi izborni predmet. Namasterakademskimstudijama,studentnemo`eponovopolagatiisti predmet koji je ranije