Univerzitet u NišuPrirodno - matematički fakultet

Departman za matematiku

Prostor sa simetričnim osnovnimtenzorom i nesimetričnom

koneksijom-master rad-

kandidat mentorAna Velimirović Prof. dr Milan Zlatanović

Niš, 2018.

Sadržaj1 Predgovor 3

2 Uvodni pojmovi i činjenice 4

3 Rimanov prostor 83.1 Pojam Rimanovog prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Kovarijantni i kontravarijantni metrički tenzor . . . . . . . . . 103.3 Dizanje i spuštanje indeksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Pridruženi vektori u euklidskom prostoru . . . . . . . . . . . 123.5 Kristofelovi simboli u RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Definicija prostora afine koneksije 204.1 Kovarijantni izvod tenzora u LN . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Osobine kovarijantnog izvoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Ričijev identitet i tenzori torzije i krivine u LN . . . . . . . . . 244.4 Neke osobine tenzora krivine u LN . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Generalisani Rimanov prostor (GRN) 29

6 Kovarijantni i apsolutni izvodi, paralelizam i geodezijske lin-ije u LN(GRN) 326.1 Kovarijantni izvodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.2 Apsolutni izvodi, paralelno pomeranje i

geodezijske linije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7 Prostor semisimetrične koneksije 367.1 Definicija i tenzor krivine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.2 Osobine simetrije tenzora krivine semisimetrične

koneksije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

8 Prostor LN sa pomoćnim simetričnim tenzorom gij 398.1 Metrička i nemetrička koneksija . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.2 Uslovi da koneksija bude metrička . . . . . . . . . . . . . . . . 438.3 Tenzor krivine za prostor LN sa pomoćnim tenzorom gij . . . 44

9 Semimetrička koneksija 46

1

10 Vejlov prostor 4810.1 Koneksija, tenzor krivine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4810.2 Intenzitet vektora u metričkom i nemetričkom

prostoru, podizanje i spuštanje indeksa . . . . . . . . . . . . . 49

11 Prostor metričke semisimetrične koneksije 5111.1 Metrička koneksija I i II vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5111.2 Koneksija u GRN kao metrička . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2

1 PredgovorOvaj master rad je iz oblasti Diferencijalne geometrije, a posvećen geometrijiprostora nesimetrične afine koneksije.

Prvi deo rada je posvećen Rimanovim prostorima. Dalje se definišu pros-tor afine koneksije i Generalisani Rimanov prostor. Pojmovi kovarijantnogi absolutnog izvoda kao i paralelizma i geodezijskih linija dati su nadalje.Uvodi se pojam prostora semisimetrične koneksije, odredjuje tenzor krivinei razmatraju njegove osobine.

U prostoru sa LN nesimetrične afine koneksije razmatra se simetrični po-moćni tenzor gij. Odredjuju se uslovi da koneksija bude metrička. Razmatrase tenzor krivine za takav prostor.

Dalje se razmatra polusimetrična koneksija i Vajlov prostor. Uvode sepojmovi i razmatraju osobine prostora metričke semisimetrične koneksije.

Ovaj master rad je uradjen pod rukovodstvom Profesora dr Milana Zla-tanovića. Zahvaljujem mu na velikoj i svesrdnoj pomoći koju mi je pružio utoku izrade master rada prateći ceo tok izrade i procenjujući rezultate.

Takodje bih iskoristila priliku da se zahvalim dr Mići Stankoviću na po-dršci, korisnim sugestijama i primedbama i pomoći tokom izrade rada.

Zahvaljujem takodje i Profesoru dr Vladimiru Pavloviću koji je pomogaoistraživanje u okviru master rada.

Posebno bih se zahvalila svojoj porodici na razumevanju i podršci kojumi je nesebično pružala prlikom studija.

Posebnu zahvalnost dugujem Profesoru dr Svetislavu Minčiću.

2 Uvodni pojmovi i činjeniceNajpre ćemo dati definiciju diferencijabilne mnogostrukosti kao uop-štenje pojma površi u E3. Posmatrajmo neki proizvoljan skup MN , čijeelemente zovemo tačkama i neka za svaku tačku P ∈ MN postoji podskupUP , P ∈ UP ⊂ MN , koji se preslikava uzajamno jednoznačno i neprekidnona otvoren podskup u EN (kao što je, na primer, unutrašnjost kruga u E2).Ako je ovo preslikavanje ϕ (Sl. 1.), biće

ϕ : P −→ ϕ(P ) = x = (x1 . . . , xN) ∈ EN . (2.1)

U ovom slučaju uzimamo xi za koordinate tačke P ∈ MN i pišemoP (x1, . . . , xN) = P (x). Podskup UP je okolina tačke P, a par (UP , ϕ)se zove lokalni koordinatni sistem ili lokalna karta. Pod odredjenimuslovima, za koje ćemo smatrati da su ispunjeni,MN se na ovaj način možeprekriti okolinama i ako je (U ′P , ϕ

′) drugi lokalni koordinatni sistem za istutačku P , tj. P ∈ UP ∩ U ′P , biće xi

′ druge lokalne koordinate za tačku P , pričemu pretpostavljamo da postoji u EN preslikavanje

λ : ϕ(UP ∩ U ′P )→ ϕ′(UP ∩ U ′P ), (2.2)

pri čemu

λ : ϕ(P )→ ϕ′(P ), tj. λ : (x1, . . . , xN)→ (x1′, . . . , xN

′). (2.3)

Ovom preslikavanju odgovara transformacija lokalnih koordinata

xi′= xi

′(x1, . . . , xN), i′ = 1′, . . . , N ′. (2.4)

Ako pretpostavimo da je preslikavanje λ uzajamno jednoznačno i nepre-kidno, postoji inverzno preslikavanje λ−1, pa iz (2.4) sledi

xi = xi(x1′, . . . , xN

′), i = 1, . . . , N. (2.5)

Sada možemo dati definiciju diferencijabilne mnogostrukosti.

Definicija 2.1 SkupMN , zajedno sa skupom {(UP , ϕ)} lokalnih koordinat-nih sistema, pri čemu funkcije (2.4), (2.5) za transformaciju lokalnih koordi-nata imaju neprekidne parcijalne izvode svakoga reda i

J =∂(x1, . . . , xN)

∂(x1′ , . . . , xN ′)6= 0, (2.6)

zove se diferencijabilna mnogostrukost. Broj N je dimenzija zaMN .

4

Slika 1:

Površi u E3 su primeri diferencijabilne mnogostrukosti. Na primer, kodkružnog paraboloida

S = {(x, y, z)|(x, y) ∈ E2, z = (x)2 + (y)2}

kao lokalni koordinatni sistem možemo uzeti par (UP , ϕ), gde je P ∈ Sproizvoljna tačka, UP ≡ S, a ϕ normalno projektovanje na ravan xOy, tj. naE2. Kako je ϕ preslikavanje na E2, to je u ovom slučaju S =M2. Pošto jeu ovom slučaju okolina UP cela površ, lokalni koordinatni sistem se odnosina celu površ, pa kažemo da je globalni, ali takav sistem nije uvek moguć.

Uprošćeno rečeno, u definiciji diferencijabilne mnogostrukostiMN je bitnopreslikavanje ϕ :MN → EN i preslikavanje λ : EN → EN , iz koga proističetransformacija koordinata (2.4), odnosno (2.5).

I sam EN je diferencijabilna mnogostrukost, pri čemu se za preslikavanjeϕ može uzeti identično preslikavanje i : P → P, ∀P ∈ EN , a koordinatnisistem je globalni. Naravno, može se posmatrati transformacija koordinata iu odnosu na dva globalna koordinatna sistema.

Jedan od najvažnijih pojmova u vezi sa mnogostrukostima je pojamtenzora. Prema (2.5) imamo

dxi′=∂xi

′

∂x1dx1 + · · ·+ ∂xi

′

∂xNdxN .

Ako uvedemo oznake

∂xi′

∂xi= xi

′

i ,∂xi

∂xi′= xii′ ,

∂2xi′

∂xj∂xk= xi

′

jk,∂2xi

∂xj′∂xk′= xij′k′ , (2.7)

5

imamo

dxi′=∂xi

′

∂xidxi = xi

′

i dxi, (2.8)

gde smo koristili Ajnštajnovu konvenciju o sabiranju.

Definicija 2.2 Ako se vrednost funkcije ϕ(x1, . . . , xN) naMN ne menja priopštoj transformaciji koordinata, tj. važi

ϕ(x1, . . . , xN) = ϕ̄(x1′, . . . , xN

′), (2.9)

za funkciju ϕ kažemo da je skalarna invarijanta ili tenzor reda 0

Definicija 2.3 Sistem I reda ui(x1, . . . , xN), definisan na MN , a čije sekomponente ui pri prelasku na druge koordinate xi′ pri opštoj transformacijitransformišu prema (2.8), tj.

ui′=∂xi

′

∂xiui = xi

′

i ui, (2.10)

zove se kontravarijantni tenzor I reda ili kontravarijantni vektor.

Ako je ϕ(x1, ..., xN) skalarna invarijanta, tada je

ϕ(x1, ..., xN) = ϕ(x1(x1′, ..., xN

′), ..., xN(x1

′, ..., xN

′)). (2.11)

Ako označimo

∂ϕ

∂xi= ϕi, (2.12)

biće prema (2.11) ϕi′ = ∂ϕ

∂xi′= ∂ϕ

∂xi∂xi

∂xi′= ∂xi

∂xi′ϕi. Dakle, pri opštoj transforma-

ciji promenljivih sistem parcijalnih izvoda skalarne invarijante ϕ(x1, ..., xN)(gradijent) transformiše se po zakonu

ϕi′ =∂xi

∂xi′ϕi, (2.13)

gde je ϕi dato u (2.12). Ovo je zakon transformacije koji se razlikuje od(2.10) za kontravarijantni vektor. Motivisani ovim primerom, dajemo opštudefiniciju:

6

Definicija 2.4 Sistem I reda vi(x1, ..., xN) čije se komponente vi pri prelaskuna nove koordinate xi′ pri opštoj transformaciji (2.4), transformišu po zakonu

vi′ =∂xi

∂xi′vi, (2.14)

zove se kovarijantni tenzor I reda ili kovarijantni vektor.

Dakle, gradijent je primer kovarijantnog vektora.Za kontravarijantni vektor kažemo da je tenzor tipa (1, 0), a za kovari-

jantni vektor da je tenzor tipa (0, 1).Mogu se posmatrati i tenzori višeg reda. Npr. za tenzor tijk tipa (2, 1)

koji može biti proizvod dva kontaravarijantna vektora i jednog kovarijantnog,ali ne mora biti takav proizvod, zakon transformacije glasi

ti′j′

k′ = xi′

i xj′

j xkk′t

ijk

Analogno se definiše i tenzor tipa (A,B)

ti′1...i′A

j′1...j′B

= xi′1

i1. . . xi

′A

iAxj1j′1 . . . x

jBj′Bti1...iAj1...jB

7

3 Rimanov prostorU ovom delu ćemo izložiti osnovne pojmove Rimanovog1 prostora, definisatigeometrijske objekte i odrediti njihove osobine. Više o tome može se pročitatiu [7].

3.1 Pojam Rimanovog prostora

Analogno definiciji u EN definiše se kriva uMN :

Definicija 3.1 Kriva na diferencijabilnoj mnogostrukostiMN je skup tačakauMN , čije su koordinate funkcije jednog realnog parametra t:

xi = xi(t), t ∈ (a, b) ⊂ R, (3.1)

pod uslovom da svi dxi/dt nisu jednaki nuli istovremeno.

Da bismo prešli na definiciju Rimanovog prostora, podsetimo se da je uEN prva osnovna kvadratna forma, u krivolinijskim koordinatama xi, (ds)2 =gijdx

idxj.

Definicija 3.2 Diferencijabilna mnogostrukost u RN u čijim tačkama su za-date funkcije

gij(x1, . . . , xN) = gji(x

1, . . . , xN) (3.2)

tako da je duž krive u RN

(ds)2 = gijdxidxj, (3.3)

gde je

det(gij) ≡ |gij| 6= 0, (3.4)

zove se Rimanova mnogostrukost ili Rimanov prostor .

Ako je gijdxidxj > 0 u svim tačkama prostora, on se zove svojstveni Ri-manov prostor, a za njegovu metriku se kaže da je pozitivno definitna.Slučaj gijdxidxj < 0 se ne razmatra posebno, jer se množenjem sa−1 svodi naprethodni (tada je (ds)2 = −gijdxidxj). Ako može biti (ds)2 = gijdx

idxj ≤0, (ds)2 = gijdx

idxj ≥ 0 prostor se zove pseudorimanov prostor, a zanjegovu metriku se kaže da je nedefinitna.

1B. Riemann, 1826-1866, nemački matematičar

8

Pseudoeuklidski prostor je specijalan slučaj pseudorimanovog prostora,a što je u vezi sa Teorijom relativnosti. Ako nije posebno rečeno drugačije,pod Rimanovim prostorom ćemo u daljem izlaganju podrazumevati svojstvenRimanov prostor.

Teorija Rimanovog prostora je Rimanova geometrija (u širem smislu,jer se ponekad i takozvana eliptična geometrija u ravni zove Rimanova ge-ometrija, kao što se hiperbolična geometrija zove geometrija Lobačevskog, aparabolična-euklidska geometrija). Osnove Rimanove geometrije je postaviojoš nemački matematičar B. Riman u radu "O pretpostavkama, koje leže uosnovama geometrije". To je ustvari pristupno predavanje Rimana na uni-verzitetu u Getingenu, održano 10.6.1854. god. u prisustvu Gausa. Dedekind2 je rad, posle smrti Rimana, našao medju Rimanovim rukopisima. Rad ještampane 1868. god. U pomenutom radu Rimana su izložene samo ideje(skoro samo tekst, bez obrazaca). Dalje su Rimanovu geometriju razvilidrugi matematičari, posebno Riči 3 koji je krajem XIX veka prvi uveo dvazakona transformacije i oznake sa gornjim i donjim indeksima. (Tenzorskiračun se često zove "Ricci-calculus") . Ovu teoriju dalje razvija Ajnštajn 4

u vezi sa teorijom relativnosti.Naime, Ajnštajn je 1905.god. izložio svoju specijalnu teoriju rela-

tivnosti, u kojoj se prostor i vreme posmatraju kao jedinstven prostorno-vremenski kontinuum, tj. kao 4-dimenzioni pseudoeuklidski prostoru kome je I kvadratna forma

(ds)2 = (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2 − (cdt)2, (3.5)

gde su xi prostorne koordinate, c-brzina svetlosti, t-vreme. Pseudoeuklidskiprostor sa I kvadratnom formom (3.5) zove se prostor Minkovskog.

U 1916. god. Ajnštajn objavljuje svoju Opštu teoriju relativnosti, ukojoj se kao prostor u kome se odvijaju fizičke pojave uzima opet jedinstveniprostorno-vremenski kontinuum, u kome je metrika odredjena sa

(ds)2 = gijdxidxj, gij(x) = gji(x), i, j = 1, . . . , 4, (3.6)

pri čemu sada gij nisu konstante kao u (3.5), već zavise od rasporeda masau prostoru. Dakle, sa matematičke tačke gledišta, prostor Opšte teorije rel-ativnosti (OTR) je Rimanov prostor R4. Tačka (x1, x2, x3, x4) u OTR sezove "dogadjaj", jer je sa prve tri koordinate odredjeno "mesto", a četvr-tom "vreme". Napomenimo da je Ajnštajn prvi 1916. godine uveo termin"tenzor".

2R. Dedekind, 1831-1916,nemački matematičar3C. Ricci, 1853-1925, italijanski matematičar4A.Einstein, 1879-1955,nemački fizičar i matematičar, jevrejskog porekla

9

Matematički aparat OTR je tenzorski račun. Osim toga, danas se u difer-encijalnoj geometriji, mehanici i tehnici koristi tenzorski račun, pa se mnogeteoreme ovih disciplina izražavaju u tenzorskom obliku, odnosno pojedineveličine su tenzori (Ajnštajnov, brzine deformisanja, deformacije, napona,trenutne ugaone brzine, viskoznosti,. . . ).

3.2 Kovarijantni i kontravarijantni metrički tenzor

Pošto je u jednačini (3.3) (ds)2 invarijanta, a dxi, dxj kontravarijantni vektori,prema zakonu količnika sledi da je gij(x) kovarijantni tenzor II reda, tj. tenzortipa (0,2), pa zadovoljava zakon transformacije

gi′j′ = xii′xjj′gij. (3.7)

Tenzor gij(x) se zove kovarijantni metrički tenzor Rimanovog prostora.Njemu odgovara determinanta

g = |gij| =

∣∣∣∣∣∣∣∣g11 g12 . . . g1Ng21 g22 . . . g2N. . . . . . . . . . . .gN1 gN2 . . . gNN

∣∣∣∣∣∣∣∣ . (3.8)

Ako sa Gji obeležimo kofaktor elementa gij, razvijanjem g po elementimaL-te vrste dobijamo

g = gL1G1L + gL2G

2L + · · ·+ gLNGNL = gLpG

pL,

dok je za M 6= L (kada množimo elemente L-te vrste sa kofaktorima M-tevrste):

gLpGpM = 0 (za M 6= L),

pa iz poslednje dve jednačine imamo

gLpGpM = gδML . (3.9)

Kako ovo važi ∀L,M ∈ {1, . . . , N}, to je

gipGpj = gδji . (3.10)

Ako obeležimo

gij = Gij/g, (3.11)

10

jednačina (3.10) postaje

gipgpj = δji . (3.12)

Kako su gij, δji tenzori, sledi da je i gij tenzor i zove se kontravarijantni

metrički tenzor Rimanovog prostora.Iz (3.12) sledi da su matrice (gij) i (gij) inverzne jedna drugoj. Naime,

(gij) = (gij)−1 ⇒ gij = gji. (3.13)

Primetimo da je na osnovu (3.12)

gipgpi = δii = δ11 + δ22 + · · ·+ δNN = N. (3.14)

3.3 Dizanje i spuštanje indeksa

U Rimanovom prostoru (RN) se svakom kontravarijantnom vektoru ui možepomoću metričkog tenzora gij pridružiti kovarijantni vektor, koji ćemoobeležiti sa ui:

gipup = ui, (3.15)

jer je na osnovu Zakona količnika jasno da, ako je ui kontravarijantni vektor,biće ui kovarijantni vektor.

Analogno se pomoću gij kovarijantnom vektoru vi može pridružiti kon-travarijantni vektor:

gipvp = vi. (3.16)

Definicija 3.3 Pridruživanje vektora ui vektoru ui na osnovu (3.15) se zovespuštanje indeksa, a pridruživanje vektora vi vektoru vi na osnovu (3.16)je podizanje indeksa.

Teorema 3.1 Pridruživanje je uzajamno, tj. vektor koji bi se pridružiopridruženom vektoru, bio bi prvobitni vektor.

Dokaz. Neka je ui dobijen iz ui prema (3.14). Tada, prema (3.16) , sledi

giquq = giq(gqpup) = δipu

p = ui.

U RN ne postoje vektori u uobičajenom smislu, tj. kao u EN . Na primer,kontravarijantni vektor je samo sistem I reda, čije se komponente trans-formišu na odredjeni način (tj. po kontravarijantnom zakonu). Medjutim,

11

ako imamo, na primer, kontravarijantni vektor ui u nekoj tački M ∈ RN ,možemo u1, ..., uN uzeti za koordinate vektora u = (u1, ..., uN) u EN . Zatakav EN obično zamišljamo da sa RN ima zajedničku tačku M . To je tan-gentni EN za RN u tački M .

Na primer, ako je u tački M na površi S ≡ R2 iz E3 definisan sistemui(M), tj. u1(M), u2(M), koji se pri promeni krivolinijskih koordinata napovrši transformiše po tenzorskom zakonu, tj. ako je ui(M) kontravarijantnivektor, možemo u tangentnoj ravni E2 te površi posmatrati vektor u =(u1, u2) u odnosu na neki afini koordinatni sistem u toj ravni.

Ako je zadat kovarijantni vektor vi, možemo mu pridružiti vi na osnovu(3.16), pa odrediti v = (vi).

Obzirom da kontravarijantnom vektoru ui odgovara pridruženi kovari-jantni vektor ui, kažemo da je to isti vektor u sa kontravarijantnim, odnosnokovarijantnim komponentama i pišemo

u = (ui) = (ui). (3.17)

Ako su λi(k) neki jedinični vektori, fizičke koordinate (komponente)vektora u u pravcima tih jediničnih vektora su projekcije na pravce tih vek-tora, tj.

u(k) = gijuiλj(k) = ujλ

j(k), (3.18)

gde je k = 1, . . . , N . Za λj(k) se obično koriste jedinični tangentni vektorikoordinatnih linija.

3.4 Pridruženi vektori u euklidskom prostoru

Kao što znamo, u euklidskom prostoru, pri predstavljanju vektora u Dekar-tovom pravouglom koordinatnom sistemu, ne pravimo razliku izmedju kon-travarijantnih i kovarijantnih vektora. Važi

Teorema 3.2 U EN u odnosu na Dekartov pravougli koordinatni sistem nepostoji razlika izmedju kontravarijantnih i kovarijantnih koordinata vektora.

Dokaz. U navedenom sistemu je

gij = δij = δij = δij = gij, (3.19)

pa imamo (obeležavajući komponente vektora velikim slovima):

U i = gipUp = δipUp = δpiUp = Ui,

12

jer je δip = δpi . Dakle,U i = Ui. (3.20)

Medjutim, u EN , u odnosu na pravolinijski kosougli koordinatni sistem ili uodnosu na krivolinijski koordinatni sistem, razlikuju se dve vrste koordinataza isti vektor, što ćemo ilustrovati na primerima.

Primer 2.1. Neka je a = a1e1 + a2e2 vektor pomeranja u E2, gde sue1, e2 jedinični vektori kosouglog Dekartovog koordinatnog sistema. Ako su aikontravarijantne koordinate, naći kovarijantne koordinate istog vektora, poduslovom 6 (e1, e2) = ω. Dati geometrijsku ilustraciju dveju vrsta koordinata(Slika 2).Rešenje. Za proizvoljan vektor

r = x1e1 + x2e2 (3.21)

je dr = dx1e1 + dx2e2, (ds)2 = dr · dr = (dx1)2 + 2dx1dx2(e1 · e2) + (dx2)2,

(ds)2 = (dx1)2 + 2 cosωdx1dx2 + (dx2)2, (3.22)

što predstavlja I kvadratnu formu za E2 u posmatranom koordinatnom sis-temu. Za matricu kovarijantnog odnosno kontravarijantnog metričkog ten-zora imamo

(gij) =

(1 cosω

cosω 1

)(3.23)

(gij) = (gij)−1 =

1

sin2 ω

(1 − cosω

− cosω 1

)(3.24)

Slika 2:

13

Da bismo našli kovarijantne koordinate vektora a = aiei, vršimo spuštanjeindeksa: ai = gipa

p, tj. a1 = g1pap = g11a

1 + g12a2, a2 = g2pa

p = g21a1 +

g22a2, pa odavde i na osnovu (3.23):

a1 = a1 + a2 cosω, a2 = a1 cosω + a2. (3.25)

Na Slici 2 je:

−→OA = a, AA1 ‖ e2, AA′ ⊥ e1, AA2 ‖ e1, AA′′ ⊥ e2,

OA1 = a1, OA2 = a2, A1A′ = A1A cosω = a2 cosω,

A2A′′ = a1 cosω OA′ = OA1 + A1A

′ = a1 + a2 cosω,

OA′′ = OA2 + A2A′′ = a2 + a1 cosω,

pa odavde i na osnovu (3.25):

OA′ = a1, OA′′ = a2, (3.26)

tj. kovarijantne koordinate se poklapaju sa normalnim projekcijama na osekoordinatnog sistema. Očigledno, iz (3.25) i sa slike za ω = π/2, tj. u slučajuDekartovog pravouglog koordinatnog sistema, dobijamo a1 = a1, a2 = a2, tj.nema razlike izmedju kovarijantnih i kontravarijantnih koordinata vektora.

Prema Teoremi 3.1, ako smo kovarijantni vektor dobili spuštanjem in-deksa kontravarijantnog vektora , pa zatim izvršimo dizanje indeksa-vraćamose na prvobitni kontravarijantni vektor. Proverimo to na posmatranom pri-meru, koristeći (3.24) i (3.25):

b1 = g1pap = g11a1 + g12a2

=1

sin2 ω(a1 + a2 cosω)− cosω

sin2 ω(a1 cosω + a2) = a1,

b2 = g2pap = g21a1 + g22a2 = a2.

3.5 Kristofelovi simboli u RN

Poznato je da u Euklidskom prostoru najkraće rastojanje izmedju dve tačkepredstavlja duž, kao deo prave, koja je u Dekartovim koordinatama odredjenalinearnom jednačinom.. Medjutim, ako uvedemo, na pr., polarne koordinate(ρ, θ), iz x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, jednačina Ax+By+C = 0 postaje Aρ cos θ+Bρ sin θ + C = 0, gde jednačina prave po promenljivim ρ, θ nije linearna. Udaljem izlaganju ćemo videti da važnu ulogiu igra metrički tenzor. Na pr. uDekartovim pravouglim koordinatama u ravni je (ds)2 = (dx)2+(dy)2 odakleje g11 = g22 = 1, g12 = g21 = 0, a iz (3.23) čitamo g11 = g22 = 1, g12 = g21 =cosω.

14

Metrički tenzor gij je u opštem slučaju funkcija tačke u RN , tj. funkcijakoordinata xi. Uvodimo oznaku

gij,k =∂gij∂xk

. (3.27)

Uz pomoć metričkih tenzora, možemo definisati odredjene geometrijske ob-jekte.

Definicija 3.4 Izrazi

Γi.jk =1

2(gij,k − gjk,i + gki,j) (3.28)

se zovu Kristofelovi5 simboli I vrste, a izrazi

Γijk = gipΓp.jk =1

2gip(gpj,k − gjk,p + gkp,j) (3.29)

Kristofelovi simboli II vrste prostora RN .

Zbog gij = gji iz (3.28) sledi

Γi.jk = Γi.kj, (osobina simetričnosti) (3.30)

a odavde i zbog (3.29):

Γijk = Γikj, (osobina simetričnosti) (3.31)

U (3.29) je Kristofelov simbol II vrste izražen pomoću Kristofelovog sim-bola I vrste. Da je moguće obrnuto, tvrdi sledeća

Teorema 3.3 Važi relacija, koja je inverzna definicionoj relaciji (3.29):

Γi.jk = gipΓpjk. (3.32)

Dokaz.gipΓ

pjk =

(3.29)gipg

qpΓq.jk = δqiΓq.jk = Γi.jk.

U nastavku dokazujemo neke osobine Kristofelovih simbola.5E.Christoffel, 1829-1900, nemački matematičar

15

Teorema 3.4 Ako se saberu dva Kristofelova simbola sa različitim indek-sima na prvom mestu, dobija se izvod metričkog tenzora, čiji su indeksipomenuti različiti indeksi, po promenljivoj, koja odgovara preostalom indeksu,tj.

Γi.jk + Γj.ik = Γi.jk + Γj.ki = gij,k (3.33)

Γi.jk + Γk.ji = Γi.jk + Γk.ij = gik,j. (3.34)

Dokaz. Prema (3.28), uzimajući u obzir gij = gji, sledi (3.33), tj.

Γi.jk + Γj.ik =1

2(gij,k − gjk,i + gki,j) +

1

2(gji,k − gik,j + gkj,i) = gij,k.

Na isti način se dobija (3.34).

Teorema 3.5 Za Kristofelove simbole II vrste važi

gipΓjpk + gjpΓipk = −gij,k. (3.35)

Dokaz. Ako relaciju gipgpj = δij diferenciramo po xk, sledi

gip,kgpj + gipgpj,k = 0⇒ gipgpj,k = −gip,kgpj.

Ako izvršimo kompoziciju sa gjm i na levoj strani primenimo (3.33), dobijase

gipgjm(Γp.jk + Γj.pk) = −gip,kδmp = −gim,k,

a primenom (3.29):gjmΓijk + gipΓmpk = −gim,k.

Ako svuda slobodan indeks m zamenimo sa j (m→ j), a nemi indeks j sap (j → p), dobija se (3.34).

Teorema 3.6 Ako je g = det(gij), tada je

a)∂g

∂gij= Gji(x) b)

∂g

∂xi= 2gΓppi,

odnosno

c)∂(ln√g)

∂xi= Γppi

(3.36)

gde je Gji kofaktor elemenata gij.

16

Dokaz. Razvijanjem determinante

g =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣g11 g12 . . . g1N. . . . . . . . . . . .gL1 gL2 . . . gLN. . . . . . . . . . . .gN1 gN2 . . . gNN

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(3.37)

po elementima L−te vrste dobijamo

g = gL1G1L + gL2G

2L + · · ·+ gLNGNL = gLpG

pL, (3.38)

odakle za fiksirano M :

∂g

∂gLM=

∂gLp∂gLM

GpL + gLp∂GpL

∂gLM. (3.39)

Pošto gLp i gLM za p 6= M ne zavise medjusobno, to je ∂gLp∂gLM

= δMp , a kakose svaki kofaktor GpL dobija izostavljanjem cele L-te vrste, pa i elemenatagLM , to GpL ne sadrži gLM , pa je ∂GpL

∂gLM= 0. Dakle, (3.39) daje

∂g

∂gLM= δMp G

pL = GML.

Kako ovo važi ∀M,L ∈ {1, . . . , N}, to sledi (3.36a). Kada uporedimo položajindeksa na levoj i desnoj strani u (3.36a), vidimo da su donji u imeniocu levestrane prešli u gornje indekse na desnoj strani. Determinanta g = det(gpq) jepreko gpq funkcija od xi, pa imamo

∂g

∂xi=

∂g

∂gpq

∂gpq∂xi

=(3.36a)

Gqpgpq,i =(3.10),(3.33)

ggqp(Γp.qi + Γq.pi)

=(3.29)

g(Γqqi + Γppi) = 2gΓppi ⇒ (3.36b),

a (3.36b) se može napisati u obliku (3.36c).U prethodnom izlaganju smo videli kako se transformišu tenzori. Sada

ćemo utvrditi da se Kristofelovi simboli transformišu po drugačijim zakon-ima.

Teorema 3.7 Kristofelovi simboli I vrste se transformišu po zakonu

Γi′.j′k′ = xii′xjj′x

kk′Γi.jk + xii′x

jj′k′gij (3.40)

17

Dokaz. Diferencirajući po xk′ zakon transformacije

gi′j′ = xii′xjj′gij, (3.41)

dobijamogi′j′,k′ = xii′k′x

jj′gij + xii′x

jj′k′gij + xii′x

jj′gij,kx

kk′

i ciklično po i′, j′, k′

gj′k′,i′ = xjj′i′xkk′gjk + xjj′x

kk′i′gjk + xjj′x

kk′gjk,ix

ii′

gk′i′,j′ = xkk′j′xii′gki + xkk′x

ii′j′gki + xkk′x

ii′gki,jx

jj′ .

Iz ove tri jednačine, odgovarajućom izmenom nemih indeksa, dobijamo

1

2(gi′j′,k′ − gj′k′,i′ + gk′i′,j′) = xii′x

jj′k′gij +

1

2xii′x

jj′x

kk′(gij,k − gjk,i + gki,j)

tj. (3.40).Zakon (3.40) se može pisati i u inverznom obliku

Γi.jk = xi′

i xj′

j xk′

k Γi′.j′k′ + xi′

i xj′

jkgi′j′ (3.42)

što se može dobiti polazeći od gij = xi′i x

j′

j gi′j′ .

Teorema 3.8 Kristofelovi simboli II vrste se transformišu po zakonu

Γi′

j′k′ = xi′

i xjj′x

kk′Γ

ijk + xi

′

i xij′k′ . (3.43)

Dokaz. Na osnovu vezeΓi′

j′k′ = gi′p′Γp′.j′k′ ,

koristeći zakone transformacije za gip i Γp.jk, imamo

Γi′

j′k′ =xi′

i xp′

p gip(xqp′x

jj′x

kk′Γq.jk + xqp′x

jj′k′gqj)

=xi′

i xp′

p gipxqp′x

jj′x

kk′Γq.jk + xi

′

i xp′

p gipxqp′x

jj′k′gqj

=xi′

i δqpgipxjj′x

kk′Γq.jk + xi

′

i δqpgipxjj′k′gqj

=xi′

i xjj′x

kk′g

ipΓq.jk + xi′

i xjj′k′g

iqgqj

=xi′

i xjj′x

kk′Γ

ijk + xi

′

i xjj′k′δ

ij = xi

′

i xjj′x

kk′Γ

ijk + xi

′

i xij′k′ .

Zakon transformacije se može napisati i u inverznom obliku

Γijk = xii′xj′

j xk′

k Γi′

j′k′ + xii′xi′

jk. (3.44)

18

Obrasci za transformaciju Kristofelovih simbola II vrste omogućuju da seizraze drugi izvodi jednih koordinata pomoću prvih izvoda i Kristo-felovih simbola.

Ako u (3.42) izvršimo kopmpoziciju sa xpi′ dobijamo

δpi xij′k′ = xpi′Γ

i′

j′k′ − xpi′x

i′

i xjj′x

kk′Γ

ijk

odnosnoxpj′k′ = xpi′Γ

i′

j′k′ − xjj′x

kk′Γ

pjk

ili smenjujući p sa i

xij′k′ = xii′Γi′

j′k′ − xjj′x

kk′Γ

ijk. (3.45)

Iz (3.42′) na analogan način :

xi′

jk = xi′

i Γijk − xj′

j xk′

k Γi′

j′k′ . (3.46)

Možemo zaključiti da se Kristofelovi simboli I i II vrste ne transformišu potenzorskom zakonu, i zato ne predstavljaju tenzore.

19

4 Definicija prostora afine koneksijeNapred smo napomenuli da se Kristofelovi simboli II vrste zovu takodje ko-eficijenti koneksije (povezanosti) u RN . Sada dajemo definiciju pojmanesimetrične koneksije naMN .

Definicija 4.1 Funkcije Lijk(x1, . . . , xN) ≡ Lijk(x), definisane u tačkama

diferencijabilne mnogostrukosti MN , tako da zadovoljavaju zakon transfor-macije koordinata (3.43), tj.

Li′

j′k′ = xi′

i xjj′x

kk′L

ijk + xi

′

i xij′k′ (4.1)

pri čemu je u opštem slučaju Lijk 6= Likj, zovu se koeficijenti nesimetričneafine koneksije (povezanosti). Za koneksiju kažemo u tom slučaju da jenesimetrična, a sama diferecijabilna mnogostrukost je prostor nesimetričneafine koneksije. Takav prostor ćemo obeležavati sa LN .

Ako je Lijk = Likj, imamo specijalan slučaj kada je koneksija simetrična.Kako je u Rimanovom prostoru Γijk = Γikj i važi (3.43), tj. sa drugim

oznakama (4.1), koneksija u RN je simetrična. Inače za koneksiju je važansamo zakon (4.1), tj. ne mora da postoji osnovni tenzor a tada nije definisanopodizanje i spuštanje indeksa u LN .

Iz (4.1) vidimo da koneksija u opštem slučaju nije tenzor, a biće tenzorsamo u odnosu na linearnu transformaciju, tj. akko je

xijk =∂2xi

∂xj′∂xk′= 0⇐⇒ ∂xi

∂xj′= aij′ ⇐⇒ xi = aij′x

j′ + bi.

4.1 Kovarijantni izvod tenzora u LN

Kao što smo videli, parcijalni izvod invarijante je kovarijantni vektor. Med-jutim može se dokazati da je to jedini slučaj da se parcijalnim izvodom odtenzora dobija tenzor. Zato se uvodi pojam kovarijantnog izvoda, kao op-eracija kojom se od tenzora ponovo dobija tenzor. Parcijalni izvod ćemoobeležavati zapetom, a kovarijantni izvod u LN vertikalnom crtom, a u RN

tačkom i zapetom. Posmatraćemo opšti prostor LN , pa će time biti obuh-vaćen i prostor sa simetričnom koneksijom, dakle i RN .

Ako je koneksija nesimetrična, moguće je u opštem slučaju definisati 4vrste kovarijantnog izvoda. To ćemo izložiti kasnije, a dotle ćemo koristitijednu (prvu) vrstu. U tom slučaju kovarijantni izvod po xm označavamo sa|m ili |

1

m.

20

Definicija 4.2 Ako je ui(x1, . . . , xN) vektor, sistem

ui|j = ui,j + Lipjup (4.2)

se zove kovarijantni izvod kontravarijantnog vektora ui.

U literaturi se koriste i oznake : ui|j = ∇jui = Dui

Dxj, od kojih ćemo mi koristiti

prvu. Takodje se koristi i oznaka ui,j za kovarijantni izvod, a za parcijalniizvod se piše ∂ui/∂xj.

Teorema 4.1 Kovarijantni izvod vektora ui(x1, . . . , xN) je tenzor tipa (1, 1).

Dokaz. Relaciju ui′ = xi′i u

i diferenciraćemo po xj′ i primenimo (3.46) za xi′ij:

ui′

,j′ = xi′

ijxjj′u

i + xi′

i ui,jx

jj′ = (xi

′

pLpij − xk

′

i xl′

jLi′

k′l′)xjj′u

i + xi′

i xjj′u

i,j,

ui′

,j′ + δl′

j′xk′

i Li′

k′l′ui = xi

′

pxjj′L

piju

i + xi′

i xjj′u

i,j.

Ako u prvom sabirku na desnoj strani smenimo: p↔ i, sledi:

ui′

,j′ + Li′

k′j′xk′

i ui = xi

′

i xjj′(u

i,j + Lipju

p).

kako je ui tenzor, to je xk′i ui = xk′

k uk = uk

′ , pa sledi

ui′

,j′ + Li′

k′j′uk′ = xi

′

i xjj′(u

i,j + Lipju

p),

a prema (4.2) ui′

|j′ = xi′i x

jj′u

i|j, tj. u

i|j se transformiše kao tenzor tipa (1, 1).

Definicija 4.3 Ako je vi(x1, . . . , xN) kovarijantni vektor, sistem

vi|j = vi,j − Lpijvp (4.3)

se zove kovarijantni izvod kovarijantnog vektora vi.

Teorema 4.2 Kovarijantni izvod vektora vi(x1, . . . , xN) je tenzor tipa (0, 2).

Dokaz.vi′ = xii′vi ⇒ vi′|j′ = xii′j′vi + xii′vi,jx

jj′

=(3.45)

(Lk′

i′j′xik′ − Lijkx

ji′x

kj′)vi + xii′x

jj′vi,j

⇒vi′,j′ − Lk′

i′j′xik′vi = −Lijkx

ji′x

kj′vi + xii′x

jj′vi,j.

U prvom sabirku na desnoj strani smenimo: i → p, j → i, k → j,a u drugom sabirku na levoj strani k′ → p′ pa prema (4.3) sledi vi′|j′ =

xii′xjj′vi|j.Sada ćemo definisati kovarijantni izvod proizvoljnog tenzora.

21

Definicija 4.4 Ako je ti1...iAj1...jBtenzor, sistem

ti1...iAj1...jB|k= ti1...iAj1...jB,k

+A∑α=1

Liαpkti1...iα−1piα+1...iAj1...jB

−B∑β=1

Lpjβkti1...iAj1...jβ−1pjβ+1...jB

(4.4)

se zove kovarijantni izvod toga tenzora. Pod kovarijantnim izvodomskalarne funkcije podrazumevamo njen parcijalni izvod.

Vidimo da je kovarijantni izvod tenzora tipa (1, 0) tenzor tipa (1, 1), atenzora tipa (0, 1) tenzor tipa (0, 2) i tenzora tipa (0, 0) (skalarne invarijante)tenzor tipa (0, 1). Može se dokazati da uopšte važi:

Teorema 4.3 Kovarijantni izvod tenzora tipa (A,B) je tenzor tipa (A,B +1).

Narednom teoremom ispitaćemo šta se dobija ako se metrički tenzor u RN

kovarijantno diferencira.

Teorema 4.4 Metrički tenzori u RN su kovarijantno konstantni.

gij;k = gij;k = gij;k = δij;k = 0 (4.5)

Dokaz. Koristeći vrednosti i osobine za Γi.jk, imamo

gij;k = gij,k − Γpikgpj − Γpjkgip = gij,k − (Γj.ik + Γi.jk) = gij − gij = 0.

Za gij rezultat dobijamo iz (3.35):

gij;k = gij,k + Γij,kgpj + Γjpkgip = 0

gij;k = (gipgpj);k = δij;k = δij,k + Γipkδpj − Γpjkδ

ip = 0 + Γijk − Γijk = 0.

Kovarijantni izvodi u RN imaju izvesne osobine, koje se poklapaju saosobinama običnih izvoda.

22

4.2 Osobine kovarijantnog izvoda

Kovarijantni izvod ima izvesne osobine, koje se poklapaju sa osobinamaobičnih izvoda. Posmatraćemo tenzore kao funkcije koordinata (tačke), tj.tenzorska polja, ako nije drugačije napomenuto. Sve osobine se dokazuju naosnovu definicije kovarijantnog izvoda, a mi ćemo ih posmatrati na odred-jenim primerima

1. Kovarijantni izvod zbira (razlike) jednak je zbiru (razlici) kovari-jantnog izvoda. Na primer,

(uij ± vij)|k = (uij ± vij),k + Γipk(upj ± v

pj )− Γpjk(u

ip ± vip) = uij|k ± vij|k.

2. Ako je c konstanta, tada je (cuij)|k = cuij|k.

3. Važi i Lajbnicovo pravilo, za običan (spoljašnji) proizvod:

(uijvk)|m = (uijvk),m + Γipm(upjvk)− Γpjm(uipvk)− Γpkm(uijvp)

=uij,mvk + uijvk,m + (Γipmupj − Γpjmu

ip)vk − (Γpkmvp)u

ij

=(uij,m + Γipmupj − Γpjm)vk + (vk,m − Γpkmvp)u

ij

=uij|mvk + uijvk|m.

4. Za kompoziciju (unutrašnji proizvod) tenzora važi Lajbnicovo pravilo.Na primer, ako u prethodnom primeru uzmemo k = i:

(uijvi)|m = uij|mvi + uijvi|m.

5. Kontrakcija i kovarijantno diferenciranje su komutativni u RN , naprimer:

(uiik)|m = (δpi uipk)|m = δpi|mu

ipk + δpi u

ipk|m = 0 + δpi (u

ipk|m).

6. Operacija dizanja i spuštanja indeksa je komutativna sa kovarijantnimdiferenciranjem u RN , na primer:

(gipup)|m = gip|mup + gipup|m = 0 + gipup|m.

23

4.3 Ričijev identitet i tenzori torzije i krivine u LN

Prema (4.1) vidimo da je

Lijk − Likj = T ijk (4.6)

tenzor, jer imamo

T i′

j′k′ = xi′

i xjj′x

kk′T

ijk. (4.7)

Definicija 4.5 Tenzor T ijk, dat u (4.6) zove se tenzor torzije prostora LN .

Ako označimo1

2(Lijk + Likj) = Lijk,

1

2(Lijk − Likj) = Lijk

V

=1

2T ijk (4.8)

biće

Lijk = Lijk +1

2T ijk. (4.9)

Prema (4.8) imamo

Li′

j′k′ =1

2(Li

′

j′k′ + Li′

k′j′) =(4.1)

1

2xi′

i xjj′x

kk′(L

ijk + Likj) +

1

2xi′

i (xij′k′ + xik′j′),

tj.

Li′

j′k′ = xi′

i xjj′x

kk′L

ijk + xi

′

i xij′k′ , (4.10)

jer je xijk = ∂2xi/∂xj∂xk = xijk. Dakle, simetrični deo Lijk nesimetrične konek-sije Lijk takodje je afina koneksija, ali simetrična (Lijk =

(4.8)Likj).

Mnogi pojmovi, koji su definisani i proučeni u Rimanovom prostoru RN ,mogu se analogno definisati i proučiti u LN , kao što je kovarijantni izvod,paralelno pomeranje, tenzor krivine i dr. Naravno specijalni slučaj prostora

LN je prostor0

LN simetrične afine koneksije0

Lijk, a specijalni slučaj ovoga jeRimanov prostor RN , kada su koeficijenti koneksije Kristofelovi simboli IIvrste Γijk.

Zbog nesimetrije koneksije u LN se može posmatrati više vrsta kovar-ijantnog izvoda, a time i više vrsta identiteta Ričijevog tipa, više tenzorakrivine i drugih objekata.

Mi ćemo ovde koristiti jednu vrstu kovarijantnog izvoda u odnosu nanesimetričnu koneksiju i tako, kao u slučaju Rimanovog prostora, dobijamojedan tenzor krivine.

24

Ako kovarijantni izvod po xm u odnosu na nesimetričnu koneksiju Lijkobelezavamo sa |m, imaćemo, na primer za tenzor tij:

tij|m = tij,m + Lipmtpj − L

pjmt

ip (4.11)

i dalje

tij|mn = (tij|m)|n = (tij|m),n + Lisntsj|m − Lsjntis|m − Lsmntij|s,

Ako kovarijantne izvode u 2. i 3. sabirku na desnoj strani zamenimoprema (4.11), dobija se

tij|mn = tij,mn + Lipm,ntpj + Lipmt

pj,n − L

pjm,nt

ip − L

pjmt

ip,n

+ Lisn(tsj,m + Lspmtpj − L

pjmt

sp)

− Lsjn(tis,m + Lipmtps − Lpsmtip)− Lsmntij|s.

Kada izvršimo množenje i neke izmene nemih indeksa, dobijamo

tij|mn − tij|nm = (Lipm,n − Lipn,m + LspmLisn − LspnLism)tpj

− (Lpjm,n − Lpjn,m + LsjmL

psn − LsjnLpsm)tip − (Lsmn − Lsnm)tij|s,

tj.

tij|mn − tij|nm = R1

ipmnt

pj −R

1

pjmnt

ip − T smntij|s (4.12)

gde je

R1

ijmn = Lijm,n − Lijn,m + LsjmL

isn − LsjnLism, (4.13)

tenzor krivine prostora LN , a T smn tenzor torzije.Za opšti tenzor tipa (A,B), odgovarajući identitet je

ti1...iAj1...jB |mn − ti1...iAj1...jB |nm

=R1

i1pmnt

pi2...iAj1...jB

+R1

i2pmnt

i1pi3...iAj1...jB

+ · · ·+R1

iApmnt

i1...iA−1pj1...jB

−R1

pj1mn

ti1...iApj2...jB−R

1

pj2mn

ti1...iAj1p...jB− · · · −R

1

pjBmn

ti1...iAj1...jB−1p

=A∑α=1

R1

iαpmnt

i1...iα−1piα+1...iAj1...jB

−B∑β=1

R1

pjβmn

ti1...iAj1...jβ−1pjβ+1...jB− T smnt

i1...iAj1...jB |s.

(4.14)

25

Teorema 4.5 Tenzor krivine R1

ijmn u LN se može izraziti pomoću tenzora

krivine Rijmn simetrične koneksije Lijk i tenzora torzije T ijk na sledeći način:

R1

ijmn = Ri

jmn +1

2T ijm;n −

1

2T ijn;m +

1

4T pjmT

ipn −

1

4T pjnT

ipm (4.15)

gde je sa (; ) označen kovarijantni izvod u odnosu na Lijk.

Dokaz. Ako podjemo od tenzora krivine u LN

R1

ijmn = Lijm,n − Lijn,m + LpjmL

ipn − L

pjnL

ipm (4.16)

i izvršimo smenu prema

Lijm = Lijm +1

2T ijm, (4.17)

biće

R1

ijmn = (Lijm +

1

2T ijm),n − (Lijn +

1

2T ijn),m

+(Lpjm +1

2T pjm)(Lipn +

1

2T ipn)− (Lpjn +

1

2T pjn)(Lipm +

1

2T ipm)

=(Lijm,n − Lijn,m + LpjmLipn − L

pjnL

ipm)

+(1

2T ijm,n + Lipn

1

2T pjm − L

pjn

1

2T ipm − Lpmn

1

2T ijp)

−(1

2T ijn,m + Lipm

1

2T pjn − L

pjm

1

2T ipn − Lpnm

1

2T ijp)

+1

2T pjm

1

2T ipn −

1

2T pjn

1

2T ipm.

Ako primetimo da je u 1. zagradi na desnoj strani tenzor krivine R simetričnekoneksije Lijk, a u 2. i 3. zagradi su kovarijantni izvodi u odnosu na tusimetričnu koneksiju, konačno sledi (4.15).

4.4 Neke osobine tenzora krivine u LN

Definicija 4.6 Cikliranje nekog sistema po odredjenim indeksima je zbirsa cikličnom zamenom tih indeksa u pojedinim sabircima.

Kao što je poznato, tenzor krivine Rijmn simetrične koneksije poseduje sledeće

osobine:

Rijmn = −Ri

jnm, (4.18)

26

Cikljmn

Rijmn = Ri

jmn +Rimnj +Ri

njm = 0, (4.19)

gde je (4.18) osobina antisimetrije po poslednja dva indeksa, a (4.19) IBjankijev identitet.

Treba ispitati te osobine za tenzor R1za opštu koneksiju Lijk.

Ako podjemo od (4.15) za opšti slučaj je očigledno

R1

ijmn = −R

1

ijnm.

Treba ispitati osobine (4.19). Cikliranje se može vršiti za ceo zbir odjed-nom ili po sabircima u drugom slučaju iz (4.15) je

Cikljmn

R1

ijmn = 0 + (

1

2T ijm;n +

1

2T imn;j +

1

2T inj;m)

− (1

2T ijn;m +

1

2T inm;j +

1

2T imj;n) + (

1

2T pjm

1

2T ipn +

1

2T pmn

1

2T ipj +

1

2T pnj

1

2T ipm)

− (1

2T pjn

1

2T ipm +

1

2T pmj

1

2T ipn +

1

2T pnm

1

2T ipj)

= 2(1

2T ijm;n +

1

2T imn;j +

1

2T inj;m) + 2(

1

2T pjm

1

2T ipn +

1

2T pmn

1

2T ipj +

1

2T pnj

1

2T ipm),

= 2Cikljmn

1

2Ti

jm;n+ 2Cikl

jmn

1

2Tp

jm

1

2Ti

pm

tj. za opšti slučaj LN :

Cikljmn

R1

ijmn = Cikl

jmn(T ijm;n +

1

2T pjmT

ipm). (4.20)

Ispitajmo još II Bjankijev identitet. U prostoru0

LN simetrične konek-sije Lijk, kao što je poznato, II Bjankijev identitet glasi

Ciklmnv

Rijmn;v = 0 (4.21)

pa treba da ispitamo odgovarajuću jednačinu u LN uopšte.Za opštu koneksiju Lijm imamo

Ciklmnv

R1

ijmn|v

= Ciklmnv

(R1

ijmn;v +

1

2T ipvR

1

pjmn −

1

2T pjvR

1

ipmn −

1

2T pmvR

1

ijpv −

1

2T pnvR

1

ijmp)

(4.22)

27

gde smo R1

pjm|n predstavili po modelu

tij|v = tij,v + Lipvtpj − L

pjvt

ip = tij,v + (Lipv +

1

2T ipv)t

pj − (Lpjv +

1

2T pjv)t

ip,

tij|v = tij;m +1

2T ipvt

pj −

1

2T pjvt

ip, (4.23)

pri čemu je sa ; označen kovarijantni izvod u odnosu na Lijk. Ako u (4.22)

smenimo R1prema (4.15) i uzmemo u obzir osobine tenzora T i R, kao i (4.21)

posle dužeg sredjivanja se dobija

Ciklmnv

R1

ijmn|v = Cikl

mnvT pmnR

1

ijpv. (4.24)

Ova jednačina predstavlja uopštenje jednačine (4.21), jer se (4.21) dobija zaT = 0. Dakle, važi

Teorema 4.6 Ako su u LN tenzor torzije T ijk i tenzor krivine R1

ijmn, važi II

Bjankijev identitet (4.24).

U daljem izlaganju ćemo proučiti neke specijalne slučajeve prostora LN .

28

5 Generalisani Rimanov prostor (GRN)Prostor LN se može definisati tako što se koriste funkcije Lijk(x), kao što smovideli , a kao poseban slučaj može se definisati takodje uzimajući nesimetričanosnovni tenzor i pomoću njega odrediti generalisane Kristofelove simbole itime koneksiju. Time se definiše takozvaniGeneralisani Rimanov prostor(GRN) u Ajzenhartovom smislu. Prvi ga je precizno definisao američkimatematičar Ajzenhart 6 u radu [6] iz 1951. godine.

U smislu Ajzenhartove definicije [6], imamo sledeću definiciju

Definicija 5.1 Generalisani Rimanov prostor je diferencijabilna mno-gostrukost u kojoj je uveden osnovni nesimetrični tenzor gij(x1, ..., xN),tj.takav da je u opštem slučaju

gij(x) 6= gji(x), (5.1)

pri čemu je det(gij) = g 6= 0.

Takav N -dimenzioni prostor obeležavaćemo GRN , dok ćemo običan Rimanovprostor (gde je gij(x) = gji(x)), obeležavati sa RN .

Osnovne definicije i relacje koje se odnose na GRN su date u [5, 6, 9] iovde će biti kratko objašnjene. Na osnovu (5.1), može se definisati simetričnideo gij :

gij =1

2(gij + gji) (5.2)

i antisimetrični deogijV

=1

2(gij − gji) (5.3)

Spuštanje i dizanje ideksa definiše se pomoću tenzora gij i gij, gde je gij

definisano preko jednačine

gijgjk = δki (5.4)

a δki je Kronekerov simbol. Pošto je prema (5.4), matrica gij inverzna matricigij , nužno je da bude zadovoljen i uslov

g = det(gij) 6= 0.

Ako zarezom označimo obično parcijalno diferenciranje, npr.

gij,k =∂gij∂xk

,

6L. P. Eisenhart 1876-1965, američki matematičar

29

mogu se na sledeći način definisati generalisani Kristofelovi simboli prveodnosno druge vrste :

Γi.jk =1

2(gji,k − gjk,i + gik,j), (5.5)

Γijk = gipΓp.jk =1

2gip(gjp,k − gjk,p + gpk,j). (5.6)

Tada imamoΓpjkgip = Γs.jkg

psgip =(5.4)

Γs.jkδsi = Γi.jk (5.7)

Γi.jk 6= Γi.kj, Γijk 6= Γikj, (5.8)

gde =(5.4)

označava "jednako na osnovu (5.4)".

Polazeći od zakona transformacije tenzora gij pri prelasku sa sistem ko-ordinata xi na koordinate xi′ i uvodeći označavanje

xii′ =∂xi

∂xi′, xi

′

i =∂xi

′

∂xi, xij′k′ =

∂2xi

∂xj′∂xk′, (5.9)

gde je det(xii′) 6= 0, u [14] se dokazuje važi sledeći zakon transformacijeKristofelovih simbola

Γi′.j′k′ = Γi.jkxii′x

jj′x

kk′ + gijx

ii′x

jj′k′ (5.10)

Γi′

j′k′ = Γijkxi′

i xjj′x

kk′ + xii′x

ij′k′ (5.11)

Polazeći od (5.5), lako se dokazuju osobine

Γi.jk + Γj.ik = gij,k, Γi.jk + Γk.ji = gik,j

Γi.jk + Γi.kj = gik,j + gji,k − gjk,i.(5.12)

Skalarni proizvod i ortogonalnost dva vektora se definiše pomoću gij kaošto je uobičajeno u Rimanovom prostoru, a intenzitet vektora se definiše

(u)2 = gijuiuj = giju

iuj. (5.13)

Sada ćemo dokazati da za generalisane Kristofelove simbole 2. vrste važiosobina poznata iz običnog Rimanovog prostora.

Teorema 5.1 Ako je g = det(gij), tada u GRN važi

Γiik = Γiki = (ln√|g|),k. (5.14)

30

Dokaz. Uzimajući u obzir da je gij je osnovni tenzor u RN , pridružen GRN ,i polazeći od poznate karakteristike u teoriji RN (videti npr. [7]):

g,k

= ggijgij,k

i koristeći (5.12), dobijamo

g,k

= ggij(Γi.jk + Γj.ik) = g(Γjjk + Γiik)

tj.g,k

2g= Γiik.

Na osnovu (5.12), dobija seg,k

2g= Γiki

Iz poslednje dve jednačine sledi (5.14).

Posledica 4.1. Iz (5.14) sledi da je Γiik = Γiki -kao parcijalni izvod skalara-vektor i da je

ΓiikV

= 0. (5.15)

31

6 Kovarijantni i apsolutni izvodi, paralelizam igeodezijske linije u LN(GRN)

6.1 Kovarijantni izvodi

Na osnovu nesimetrije koneksije, moguće je da se definišu u LN(GRN) četirivrste kovarijantnog izvoda tenzora. Na primer, za tenzor ar1...rut1...tv (x1, . . . , xN)definišemo kovarijantni izvod prve vrste

ar1...rut1...tv |1m = a......,m +

n∑α=1

Lrαpmar1...,rα−1prα+1...rut1...tv

−v∑

β=1

Lptβmar1...rur1...rβ−1prβ+1...rv

(6.1)

kovarijantni izvod druge vrste

ar1...rut1...tv |2m = a......,m +

n∑α=1

Lrαmpar1...,rα−1prα+1...rut1...tv

−v∑

β=1

Lpmtβar1...rur1...rβ−1prβ+1...rv

(6.2)

kovarijantni izvod treće vrste

ar1...rut1...tv |3m = a......,m +

n∑α=1

Lrαpmar1...,rα−1prα+1...rut1...tv

−v∑

β=1

Lpmtβar1...rur1...rβ−1prβ+1...rv

(6.3)

i kovarijantni izvod četvrte vrste

ar1...rut1...tv |4m = a......,m +

n∑α=1

Lrαmpar1...,rα−1prα+1...rut1...tv

−v∑

β=1

Lptβmar1...rur1...rβ−1prβ+1...rv

(6.4)

Postupkom koji je sličan kao onaj u Rimanovom prostoru, može se dokazatida je kovarijantni izvod tenzora takodje tenzor i da poznata pravila koja važeza kovarijantno diferenciranje takodje važe i u LN .

32

U većini citiranih radova drugih autora u spisku literature gde se nes-imetrična koneksija upotrebljava, sa retkim izuzecima, upotrebljava se jednavrsta kovarijantnog izvoda. A. Ajnštajn upotrebljava dve vrste izvoda [4](u vezi sa jedinstvenom teorijom polja UFT), M. Prvanović [12], (za speci-jalnu nesimetričnu koneksiju, pridruženu na odgovarajući način običnom Ri-manovom prostoru), M.Pastori [11], F.Graif [3], E.Brinis [1](poslednja triautora u vezi sa UFT).

Pomoću (6.1), (6.2), osnovni tenzor gij nije kovarijantno konstantan na os-novu izvoda (6.1, 6.2), ali gij, gij su kovarijantno konstantni. Naime, dokaza-ćemo sledeće tri teoreme.

Teorema 6.1 Tenzor gij je kovarijantno konstantan po obe vrste izvoda(6.1), (6.2), tj.

a) gij |1m

= 0, b) gij |2m

= 0 (6.5)

Dokaz. Polazeći od definicije kovarijantnog izvoda prve vrste i koristeći(5.7, 5.12), dobijamo

gij |1m

= gij,m− Γpimgpj − Γpjmgip = gij

,m− Γjim − Γijm = 0, (6.6)

tj. (6.3a) važi.Analogno, polazeći od izvoda druge vrste i koristeći (5.7) i (5.12), dobi-

jamo (6.3b).

Teorema 6.2 Kronekerov simbol zadovoljava

δij |1m = 0, δij |

2m = 0, δij |

3m = T ijm, δij |

4m = T imj. (6.7)

Dokaz. Tvrdjenje se dokazuje korišćenjem definicije δ-simbola i kovari-jantnog izvoda (6.1, 6.2)

Teorema 6.3 gij zadovoljava

gij |1m = 0, gij |

2m = 0 (6.8)

Dokaz se može dobiti polazeći od definicije (5.4) i koristeći pravilo diferenci-ranja proizvoda i prethodnu teoremu.

33

6.2 Apsolutni izvodi, paralelno pomeranje igeodezijske linije

Razmotrimo krivu C, definisanu u LN jednačinama

xi = xi(t), (6.9)

i neka je u tačkama krive C definisano tenzorsko polje, na primeraij = aij(x

i(t), . . . , xN(t)) ≡ aij(xk(t)).

Mogu se definisati četiri vrste apsolutnog izvoda od aij po parametrut duž C u LN :

D1aij

Dt= aij |

1m

dxm

dt=daijdt

+ Lipmapj

dxm

dt− Lpjmaip

dxm

dt(6.10)

D2aij

Dt= aij |

2m

dxm

dt=daijdt

+ Limpapj

dxm

dt− Lpmjaip

dxm

dt(6.11)

i analogno za 3. i 4. vrstu, kao i za četiri vrste apsolutnog diferencijala

Dθaij = aji|

θmdx

m, θ = 1, 2, 3, 4. (6.12)

Na osnovu toga, definišemo četiri vrste paralelizma tenzorskog polja uLN . Ako je aij is paralelno tenzorsko polje vrste θ, označavamo to sa aij||

θ

i

po definiciji stavljamo

aij||θ

⇐⇒Dθaij

Dt= 0, (θ = 1, 2, 3, 4.), (6.13)

odakle, na primer

aij||1

⇐⇒ d1aij = −Lipma

pjdx

m + Lpjmapi dx

m, (6.14)

aij||2

⇐⇒ d2aij = −Limpa

pjdx

m + Lpmjapi dx

m. (6.15)

Uzimajući u obzir definiciju skalarnog proizvoda dva vektora u GRN po-moću gij i pošto je gij kovarijantno konstantan, lako se dokazuje konstant-nost skalarnog proizvoda dva vektora paralelno pomerena, konstantnost uglaizmedju njih i intenziteta vektora.

Geodezijska linija se može definisati u LN(GRN) na isti način kao u RN .

34

Definicija 6.1 Kriva C u LN je geodezijska linija ako njeni tangentnivektori ti = dxi

dsčine paralelno vektorsko polje u LN .

Na osnovu toga imamo

Teorema 6.4 Diferencijalne jednačine geodezijskih linija u LN su definisanepreko simetričnog dela koneksije.

Dokaz. Uz pomoć prethodne definicije, polazeći od paralelizma prve vrstedobija se

D1ti

Ds=dti

ds+ Lipmt

pdxm

dt= 0, ti =

dxi

ds, (6.16)

a odatled2xi

ds2+ Lipm

dxp

ds

dxm

ds= 0, (6.17)

jer su u (6.16) p,m nemi indeksi. Kovarijanti izvod u GRN se definiše naisti način kao u LN , samo što se umesto koeficijenata Lijk koriste uopšteniKristofelovi simboli Γijk.

Dok osnovni tenzor gij nije konstantan u odnosu na kovarijantno diferen-ciranje, gij, gij, δij to jesu. Naime važi

Teorema 6.5 U GRN je gij|m = gij |m = δij |m = 0, tj. gij, gij, δij se kod

kovarijantnog izvoda ponašaju kao konstante.

Ispitujemo sada osobine tenzora krivine R1u GRN . Pre svega za mešoviti

tenzor krivine R1

važi (4.18) i (4.20). Kao što je poznato, za kovarijantnitenzor krivine Rijmn u RN važe osobine

Rijmn = −Rijnm = −Rjimn, (6.18)

Ciklαβγ

Rijmn = 0, {α, β, γ} ⊂ {i, j,m, n} (6.19)

Rijmn = Rmnij, (6.20)

pa treba proveriti te osobine za GRN . Koristeći izraze (3.72) i (3.73) u [9] zaR1:

R1ijmn = gipR

1

p

jmn= Γi.jm,n − Γi.jn,m + Γp.imΓpjn − Γp.inΓpjm, (6.21)

R1ijmn =

1

2(gim,jn − gjm,in + gin,jm − gjn,im) + Γp.imΓpjn − Γp.jmΓpin (6.22)

zaključujemo da (6.18) važi za R1i da relacije (6.19), (6.20) ne važe.

35

7 Prostor semisimetrične koneksijeKod nesimetrične koneksije se mogu posmatrati posebni interesantni sluča-jevi. Gde je koneksija zadata na odredjenji način. Jedan od takvih slučajevaje semisimetrična koneksija.

7.1 Definicija i tenzor krivine

Definicija 7.1 Koneksija Lijk prostora LN je semisimetrična (polusimetrična),ako je

Lijk = Lijk + δijτk − δikτj, (7.1)

gde je Lijk simetrični deo od Lijk, a tenzor torzije

Lijk − Likj = T ijk = 2(δijτk − δikτj), (7.2)

pri čemu je τk neki vektor-vektor torzije koji je odredjen tenzorom torzije.

Naime važi

Teorema 7.1 Ako je T ijk = Lijk − Likj tenzor torzije u LN , za τi iz (7.1)

τi =1

2(N − 1)T ppi. (7.3)

Dokaz. Stavimo u (7.2) k = i, pa dobijamo

T iji = 2(δijτi− δiiτj) = 2(τj −Nτj) = 2(1−N)τj,

tj. −T iij = 2(1−N)τj ⇒ Tj = 12(N−1)T

iij, odakle smenom indeksa i→ p, j →

i, dobijamo (7.3).Ako u jednačini (4.15), tj.

R1

ijmn = Ri

jmn +1

2T ijm;n −

1

2T ijn;m +

1

4T pjmT

ipn −

1

4T pjnT

ipm, (7.4)

smenimo na desnoj strani sabirke posle prvog prema 7.1 i 7.2, a pri tomeuzmemo u obzir da sabirak Lijk daje tenzor krivine simetrične koneksije,

dobićemo tenzor krivine semisimetrične koneksije koji ćemo označiti sa1

R1

Rijmn = Ri

jmn + (δijτm − δimτj);n − (δijτn − δinτj);m+(δpj τm − δpmτj)(δipτn − δinτp)− (δpj τn − δpmτj)(δipτm − δimτp)

Posle sredjivanja dobijamo

36

1

Rijmn = Ri

jmn + δij(τm;n − τn;m)− δim(τj;n + τjτn) + δin(τj;m + τjτm) (7.5)

Teorema 7.2 Tenzor krivine1

R semisimetrične koneksije (7.1) izražava sejednačinom (7.5), gde je R tenzor krivine simetrične koneksije Lijk, τi vektorizražen preko torzije T ijk jednačinom (7.3), a kovarijantni izvod ; je izraženpomoću Lijk dok je N u (7.3) dimenzija prostora.

7.2 Osobine simetrije tenzora krivine semisimetričnekoneksije

1. Na osnovu opšteg slučaja, a takodje na osnovu (7.5) zaključujemo

1

Rijmn = −

1

Rijnm (7.6)

2. Prvi Bjankijev identitet dokazujemo na sledeći način

Cikljmn

1

Rijmn = Cikl

jmn[Ri

jmn + δij(τm;n − τn;m)− δim(τj;n + τjτn) + δin(τj;m + τjτm)]

Cikljmn

1

Rijmn = 2Cikl

jmnδij(τm;n − τn;m) (7.7)

Dakle važi

Teorema 7.3 Jednačinom (7.6) utvrdjuje se antisimetrija po poslednja dva

donja indeksa, a jednačinom (7.7) I Bjankijev identitet za tenzor krivine1

Rsemisimetrične koneksije.

3. Za II Bjankijev identitet koristimo opšti obrazac (4.24).

Ciklmnv

1

Rijmn|v = Cikl

mnvT pmn

1

Rijpv = Cikl

mnv2(δpmτn − δpnτm)

1

Rijpv =

2Ciklmnv

(τn1

Rijmv − τm

1

Rijnv) = 2Cikl

mnvτn

1

Rijmv + 2Cikl

mnvτm

1

Rijvm,

(7.8)

jer je1

R antisimetričan po n, v. Za drugi sabirak imamo

2Ciklmnv

τm1

Rijvn = 2Cikl

mnvτn

1

Rijvn (7.9)

37

.Smenom iz (7.9) u (7.8) dobijamo

Ciklmnv

1

Rijmn|v = 4Cikl

mnvτm

1

Rijvn. (7.10)

Dakle važi,

Teorema 7.4 Jednačina (7.9) predstavlja II Bjankijev identitet za tenzorkrivine semisimetrične koneksije, gde je τm vektor, odredjen sa (7.3).

38

8 Prostor LN sa pomoćnim simetričnim ten-zorom gij

8.1 Metrička i nemetrička koneksija

U prostor LN uvodimo tenzorsko polje gij(x) = gji(x), sa uslovom da jeg(x) = det(gij) 6= 0.

Tada iz uslova

gijgjk = δij; (det(gij)) = (det(gij))

−1 (8.1)

dobijamo odgovarajuće tenzorsko polje, koje je takodje simetrično. Tenzorigij i gij služe za spuštanje, odnosno za podizanje indeksa i ništa više.

Definicija 8.1 Geometrijsku strukturu L̄N = (LN , gij = gji), gde je LN nes-imetrična afina koneksija, a gij simetričan osnovni tenzor zovemo prostorsa nesimetričnom koneksijom i simetričnim osnovnim tenzorom.

Tenzori gij, gij se zovu osnovni kovarijantni (kontravarijantni) tenzoru L̄N .

Definicija 8.2 Ako je kovarijantni izvod osnovnog tenzora u odnosu na nekukoneksiju nula, ta koneksija se zove metrička, u protivnom je nemetričkakoneksija.

Koneksija Lijk je u opštem sučaju nemetrička, a prostor LN nemetrički.

Teorema 8.1 Ako stavimo

gij|k = Qijk = Qji

k (8.2)

onda jegij|k = −Qijk = −Qjik. (8.3)

Dokaz. Pošto važi Lajbnicovo pravilo za kovarijantni izvod pomoću Lijk to,polazeći od (8.1) dobijamo

gij|mgjk + gijg

jk|m = 0.

Ako izvršimo kompoziciju sa gkl, zbog (8.2) sledi

gij|mδjl + gijgklQ

jkm = 0,

gil|m = −Qilm = −Qlim.

odakle smenom indeksa sledi (8.3). Odavde je vrlo važna sledeća teorema

39

Teorema 8.2 U prostoru L̄N = (LN , gij = gji) postoji veza izmedju konek-

sija L̄ijk ≡ Lijk, Kristofelovih simbola0

Γijk odredjenih pomoću gij, torzije T ijkkoneksije Lijk i kovarijantnog izvoda (8.2) dobijenog pomoću Lijk :

Lijk ≡ L̄ijk =0

Γ ij k +

1

2T ijk −

1

2T ij k −

1

2T ik j +

1

2(Qi

jk −Q ijk +Q i

k j), (8.4)

gde je u strukturi L̄N opšta koneksija obeležena sa L̄ijk.

Dokaz. Prema (8.3) je

gij,k − Lpikgpj − Lpjkgip = gij|k = −Qijk,

gij,k = Lpikgpj + Lpjkgip −Qijk, (8.5)

i ciklično

gjk,i = Lpjigpk + Lpkigjp −Qjki, (8.6)

gki,j = Lpkjgpi + Lpijgkp −Qkij. (8.7)

Ako saberemo (8.4) i (8.6), oduzmemo (8.5) i sve podelimo sa 2, dobijemo

1

2(gij,k − gjk,i + gki,j)

=1

2(Lpik − L

pki)gpj +

1

2(Lpjk + Lpkj)gip +

1

2(Lpij − L

pji)gpk

+1

2(Qjki −Qijk −Qkij),

tj.0

Γi.jk =1

2T pijgpk + Lpjkgip +

1

2T pikgpj −

1

2(Qijk −Qjki +Qkij)

gde je0

Γi.jk Kristofelov simbol I vrste, formiran pomoću gij, T -tenzor torzije,Lpjk simetrični deo od Lpjk. Kako je

Lpjk = Lpjk +1

2T pjk ⇒ Lpjk = Lpjk −

1

2T pjk, (8.8)

to smenom u prethodnu jednačinu sledi

0

Γi.jk =1

2T pijgpk + Lpjkgip −

1

2T pjkgip +

1

2T pikgpj −

1

2(Qijk −Qjki +Qkij)

40

Ako izvršimo kompoziciju sa gim, dobijamo

0

Γmjk =1

2T pmjgpk + Lpjkδ

mp −

1

2T pjkδ

mp +

1

2T pmkgpj −

1

2(Qm

jk −Q mjk +Q m

k j)

a odavde

Lmjk =0

Γmjk −1

2T mk j +

1

2Tmjk −

1

2T mj k +

1

2(Qm

jk −Q mjk +Q m

k j)

odakle smenom m → i dobijamo (8.4), uzimajući u obzir da je pod ovimuslovima Lijk ≡ L̄ijk.

Dakle, za metričku koneksiju prema Definiciji 8.2 je

gij|k = Qijk = gij|k = −Qijk = 0. (8.9)

Definicija 8.3 Prostor LN sa metričkom koneksijom je metrički prostorUN . U metričkom prostoru važi (8.9). Ako koneksiju u UN obeležimo sa U i

jk

prema (8.4), (8.9) metrička koneksija je

Li

jk ≡ U ijk =

0

Γijk +1

2T i jk −

1

2T ij k −

1

2T ik j. (8.10)

Vidimo da je (8.4) potreban uslov da koneksija bude metrička. Dokazaćemoda je to i dovoljan uslov.

Teorema 8.3 Koneksija oblika (8.10) je metrička, tj. u odnosu na tu konek-siju je gij|k = 0.

Dokaz. Prema (8.10) je

gij|k = gij,k − Upikgpj − U

pjkgip

=(8.10)

gij,k − (0

Γpik +1

2T p ik −

1

2T pi k −

1

2T pk i)gpj − (

0

Γpjk +1

2T p jk −

1

2T pj k −

1

2T pk j)gip

= gij,k −0

Γj.ik −1

2Tjik +

1

2Tijk +

1

2Tkji −

0

Γi.jk −1

2Tijk +

1

2Tjik +

1

2Tkij = 0,

jer je0

Γi.jk +0

Γj.ik = gij,k, a ostali članovi se potiru.

41

Posledica 8.1 U metričkom prostoru kovarijantni izvod je komutativan saspuštanjem i dizanjem indeksa.

Npr., (gijaj)|k = gij|ka

j + gijaj|k = 0 + gija

j|k = gija

j|k

Posledica 8.2 UN sa simetričnom koneksijom je Rimanov prostor RN . To

se vidi iz (8.10) jer za T = 0 sledi U ijk =

0

Γi.jk, dobijaju se Kristofelovi simboliII vrste kao i koeficijenti koneksije. Dakle, UN ≡ RN za T = 0

Dokazaćemo teoremu analognu Teoremi 9.3

Teorema 8.4 Ako je koneksija L̄ijk = (Lijk, gij = gji), data u (8.4) simetrična,tj. T ijk = T i

j k = T ik j = 0, onda je i koneksija

L̄ijk = Σijk =

0

Γijk +1

2(Qi

jk −Q ijk +Q i

k j) (8.11)

takodje simetrična , pri čemu su0

Γ Kristofelovi simboli, a Qijk je dato prema(8.3)

Dokaz. Neka je torzija za∑

obeležena sa T̃ . Kako je0

Γijk −0

Γikj = 0, toprema (8.11):

2T̃ ijk = 2(∑

ijk −

∑ikj) = 0 +Qi

jk −Q ijk +Q i

k j −Qikj +Q i

kj −Q ij k

= Qpjkgpi −Qjkpg

pi +Qkpjgpi −Qpkjg

pi +Qkjpgpi −Qjpkg

pi

=− gpi(gpj|k − gjk|p + gkp|j − gpk|j + gkj|p − gjp|k) ≡ 0⇒ T̃ = 0

Za metričku koneksiju važi sledeća teorema.

Teorema 8.5 a)Torzija T̄ ijk metričke koneksije U ijk (8.10) je jednaka torziji

T ijk koneksije L̄ijk (8.5)

b) Simetrični deo koneksije (8.10) je U ijk =

0

Γijk − 12(T i

j k + T ik j).

Dokaz. a) 2T̄ i jk = 2(U ijk −U i

kj) = T ijk − T ij k − T i

k j − T ikj + T ik j + T i

j k =2T ijk, jer je Γijk simetričan po j, k i T i kj = −T ijk. Dakle, T̄ i jk = T ijk.

b)U ijk = 1

2(U i

jk + U ikj) = 1

2(0

Γijk +0

Γikj + 12T i jk − 1

2T ij k − 1

2T ik j + 1

2T ikj −

12T ik j) =

0

Γi jk − 12(T i

j k + T ik j)− 1

2T ij k

U ijk =

0

Γ ij k − 1

2(T i

j k + T ik j)

42

8.2 Uslovi da koneksija bude metrička

Videli smo da je koneksija Lijk u LN po definiciji metrička, ako postoji nekisimetričan tenzor gij, koji je kovarijantno kostantan, tj.

gij|m ≡ gij,m − Lsimgsj − Lsjmgis = 0 (8.12)

Ako za date koeficijente koneksije tražimo gij, ove jednačine možemo posma-trati kao sistem parcijalnih jednačina za odredjivanje gij. Treba naći usloveintegrabilnosti ovog sistema. Iz (8.3), parcijalnim diferenciranjem:

gij,mn = Lsim,ngsj + Lsimgsj,n + Lsjm,ngis + Lsjmgis,n

gij,nm = Lsin,mgsj + Lsingsj,m + Lsjn,mgis + Lsjngis,m

Kako je gij,mn − gij,nm = 0, to oduzimanjem:

(Lsim,nLsin,m)gsj + (Lsjm,n − Lsjn,m)gis

+ Lsimgsj,n + Lsjmgis,n − Lsingsj,m − Lsjngis,m = 0(8.13)

Ako u (8.13) smenimo i→ s,m→ n, s→ p, imamo

gsj,n = Lpsngpj + Lpjngsp

i analogno za gis,n, gsj,m, gis,m, pa te izvode smenimo u (8.13), biće

(Lsim,n − Lsin,m)gsj + (Lsjm,n − Lsjn,m)gis

+ Lsim(Lpsngpj + Lpjngsp) + Lsjm(Lpingps + Lpsngip)

− Lsin(Lpsmgpj + Lpjmgsp)− Lsjn(Lpimgps + Lpsmgip) = 0

(8.14)

kada izmnožimo vidimo da je

LsimLpjngsp − LsjnL

pimgps ≡ 0,

što je rezultat smene p↔ s u 1. sabirku. Na isti način je

LsjmLpingps − LsinL

pjmgsp ≡ 0,

pa (8.14) postaje

(Lsim,n − Lsin,m)gsj + (Lsjm,n − Lsjn,m)gis

+ LsimLpsngpj + LsjmL

psngip − LsinLpsmgpj − LsjnLpsmgip = 0.

Odgovarajućim izmenama nemih ideksa sledi:

43

(Lpim,n − Lpin,m + LsimL

psn − LsinLpsm)gpj

+ (Lpjm,n − Lpjn,m + LsjmL

psn − LsjnLpsm)gip = 0.

tj.R1

pimngpj +R

1

pjmngip = 0,

gde je R1tenzor krivine koneksije Lijk. Kako traženi tenzor gij treba da bude

osnovni u LN , to slediR1jimn = −R

1ijmn. (8.15)

Ovo su potrebni uslovi. Da su ovi uslovi i dovoljni za integrabilnost posma-tranog sistema, zaključuje se obrnutim razmišljanjem. Dakle, važi sledećateorema.

Teorema 8.6 Uslov (8.15) je potreban i dovoljan uslov da koneksija Lijk uprostoru LN bude metrička, tj da postoji osnovni tenzor gij u LN koji jekovarijantno konstantan u odnosu na tu koneksiju, a tenzor (8.15) je dobijeniz te koneksije.

8.3 Tenzor krivine za prostor LN sa pomoćnim tenzoromgij

U ovom slučaju koneksija je data pomoću (8.4), tj.

L̄ijk =0

Γ ij k +

1

2T ijk −

1

2T ij k −

1

2T ik j +

1

2(Qi

jk −Q ijk +Q i

k j),

gde su oznake ranije objašnjene. Stavimo

L̄ijk =0

Γ ij k + A i

j k (8.16)

gde je

A ij k =

1

2T ijk −

1

2T ij k −

1

2T ik j +

1

2(−Q i

jk +Qijk +Q i

k j) (8.17)

kao razlika dve koneksije, tenzor (0

Γ je Kristofelov simbol formiran pomoćugij).

Tenzor krivine za koneksiju (8.4) je

R̄1

ijmn = L̄ijm,n − L̄ijn,m + L̄pjmL̄

ipn − L̄

pjnL̄

ipm,

44

tj.

R̄1

ijmn

= (0

Γ ijm + Aijm),n − (

0

Γ ijn + Aijn),m + (

0

Γpjm + Apjm)(0

Γipn + Aipn)

− (0

Γ pj n + Apjn)(

0

Γ ipm + Aipm)

=0

Γ ijm,n + Aijm,n −

0

Γ ijn,m − Aijn,m +

0

Γ pjm

0

Γ ipn

+0

Γ pjmA

ipn + Apjm

0

Γ ipn + ApjmA

ipn −

0

Γ pjn

0

Γ ipm −

0

Γ pjnA

ipm

− Apjn0

Γ ipm − A

pjnA

ipm.

(8.18)

Kako je

Aijm;n = Aijm,n +0

Γ ipnA

pjm −

0

Γ pjnA

ipm −

0

Γ pmnA

ijp,

to imamoAijm,n +

0

Γ ipnA

pjm −

0

Γ pjnA

ipm = Aijm;n +

0

Γ pmnA

ijp,

i analogno za Aijn;m +0

Γ pnmA

ijp ≡ Aijn;m +

0

Γ pmnA

ijp. Smenom u (8.18),

dobijamo

R̄1

ijmn = Ri

jmn + (Aijm;n +0

Γ pmnA

ijp)

− (Aijn;m +0

Γ pnmA

ijp) + ApjmA

ipn − A

pjnA

ipm

gde je Rijmn formiran pomoću

0

Γ, a sa (;) je označen kovarijantni izvod u

odnosu na0

Γ. Dakle,

R̄1

ijmn = Ri

jmn + Aijm;n − Aijn;m + ApjmAipn − A

pjnA

ipm (8.19)

to važi

Teorema 8.7 Tenzor krivine koneksije (8.4) dat je jednačinom (8.19), gdeje Ri

jmn tenzor krivine odredjen osnovnim simetričnim tenzorom gij, tenzor

A je dat u (8.17), a kovarijantni izvodi su u odnosu na0

Γ, tj. u odnosu naKristofelove simbole formirane pomoću gij.

Posledica 8.3 Jednačina (8.19) važi za metričku koneksiju , kada je Q =0 ⇒ Aijk = 1

2T ijk − 1

2T ij k − 1

2T ik j, kao i za simetričnu koneksiju, kada je

T = 0 ⇒ Aijk = 12(Qi

jk −Q ijk +Q i

k j).

45

9 Semimetrička koneksijaParcijalni izvod osnovnog tenzora može biti izražen na specifičan način po-moću odredjenog vektora.

Definicija 9.1 Ako postoji vektor Qk, tako da je

gij|k ≡ Qijk = gijQk, (9.1)

koneksija je semimetrička (polumetrička), a sam prostor je semime-trički prostor.

Teorema 9.1 U semimetričkom prostoru sa osnovnim tenzorom gij i vek-torom Qk iz prethodne definicije, biće

gij|k = −gijQk. (9.2)

Dokaz. Prema (8.3) je

gij|k = −Qijk = gipgjqQpqk =

(9.1)−gipgjqgpqQk

= −gipδpjQk = −gijQk.

Semimetrička koneksija može biti sa torzijom, i data je prema (8.4), samotreba srediti članove koji sadrže Q.

Qijk −Q i

jk +Q ik j

= gjpQipk − gjpgkqg

irQpqr + gkpQ

pij

=(9.1)

gjpgipQk − gjpgkqgirgpqQr + gkpg

piQj

= δijQk − gjpgirδpkQr + δikQj

= δijQk − gjkgirQr + δikQj

pa odavde i na osnovu (8.4) važi

Teorema 9.2 Koneksija u semimetričkom prostoru glasi

Lijk ≡ L̃ijk =0

Γijk +1

2T ijk −

1

2T ij k −

1

2T ik j +

1

2(δijQk + δikQj − gjkQi)

(9.3)

gde su0

Γijk Kristofelovi simboli za gij, T -tenzor torzije za Lijk Q-vektor prema(9.1)

46

Tenzor krivine za semimetričku koneksiju je dat sa (8.19), pri čemu je sada

Aijk =1

2T ijk −

1

2T ij k −

1

2T ik j +

1

2(δijQk + δikQj − gjkQi). (9.4)

U semiimetričkom prostoru važi gij,k = gijQk 6= 0, gij|k = −gijQk 6= 0, pa jeinteresantna sledeća veza.

Teorema 9.3 U semimetričkom prostoru važi

(gijgkl)|m = 0. (9.5)

Dokaz. (gijgkl)|m = gij|mg

kl + gijgkl|m =

(??,??)−gijQmg

kl + gijgklQm ≡ 0

47

10 Vejlov prostorJedan od važnih prostora koji se pojavljuje u fizici je tzv. Vejlov prostor.

10.1 Koneksija, tenzor krivine

Definicija 10.1 Ako je koneksija simetrična (T = 0) i semimetrička, a os-novni tenzor gij = gji realan, LN je Vejlov prostor7 WN , a Vejlova konek-sija je (na osnovu (9.3))

W ijk =

0

Γijk +1

2(δijQk + δikQj − gikQi) (10.1)

gde su oznake kao u (9.3) s tim što je Qk odredjen sa (9.2) tj. gij|k = −gijQk.Tenzor krivine Vejlovog prostora se može naći prema (8.19) , tj.

R̄ijmn ≡ W̃ i

jmn = Rijmn + Aijm;n − Aijn;m + ApjmA

ipn − A

pjnA

ipm, (10.2)

pri čemu je ovde

Aijm = −1

2(gjmQ

i − δijQm − δimQj) (10.3)

pa dobijamo

Aijm;n = −1

2(gjmQ

i;n − δijQm;n − δimQj,n) (10.4)

jer je gjm;n = δij;n = δim;n = 0.

Analognu vrednost imamo za Aijn;m. Nalazimo još

4ApjmAipn =

(??)(gjmQ

p − δpjQm − δpmQj)(gpnQi − δipQn − δinQp)

= gjmgpnQpQi − gjmδipQpQn − gjmδinQpQp

− δpj gpnQmQi + δpj δ

ipQmQ

n + δpj δinQmQp

− δpmgpnQjQi + δpmδ

ipQjQ

n + δpmδinQjQp

= gjmQnQi − gjmQiQn − gjmδinQpQp

− gjnQmQi + δijQmQn + δinQmQj

− gmnQjQi + δimQjQn + δinQjQm.

7Hermann Weyl,1885-1955., nemački fizičar

48

Na isti mnačin (m↔ n) dobijamo

4ApjnAipm = gjnQmQ

i − gjnQiQm − gjnδimQpQp

− gjmQnQi + δijQnQm + δimQnQj

− gnmQjQi + δinQjQm + δimQjQn.

Oduzimanjem prethodnih dveju jednačina dobijamo

4(ApjmAipn − A

pjnA

ipm)

= (δimgjn − δingjm)QpQp + (gjmQn − gjnQm)Qi + (δinQm − δimQn)Qj

(10.5)Smenom prema (10.4) i (10.5) u (10.2), sledi

W̃ ijmn = Ri

jmn −1

2(gjmQ

i;n − δijQm;n − δimQj;n) +

1

2(gjnQ

i;m − δijQn;m − δinQj;m)

+1

4[(δimgjn − δingjm)QpQp + (gjmQn − gjnQm)Qi + (δinQm − δimQn)Qj],

tj.W̃ ijmn = Ri

jmn + (δijQm;n + δimQj;n − gjmQi;n)mn

V

+1

2(δimgjnQ

pQp + gjmQnQi + δinQjQm)mn

V

(10.6)

gde mnV

znači antisimetrizaciju po m,n sa deljenjem sa 2. Dakle, važi

Teorema 10.1 Tenzor krivine odredjen Vejlovom koneksijom (10.1) datje sa (10.6),sa napred uvedenim oznakama.

Kako je Rijmn = −Ri

jnm, iz je očigledno da je

W̃ ijmn = −W̃ i

jnm. (10.7)

10.2 Intenzitet vektora u metričkom i nemetričkomprostoru, podizanje i spuštanje indeksa

Ako se u LN sa pomoćnim tenzorom gij definiše intenzitet vektora vi

pomoću obrascav = (gijv

ivj)1/2, (10.8)

pa za promenu intenziteta posmatramo kovarijantni diferencijal (koji se u eu-klidskom prostoru u Dekartovim koordinatama svodi na običan diferencijal)dobijamo:

δ(v2) = δ(gijvivj) = (δgij)v

ivj + gij(δvi)vj + gijv

i(δvj),

49

tj.δ(v2) = δ(gij)v

ivj + 2gijvi(δvj). (10.9)

Posmatrajmo slučajeve:1. Prostor je nemetrički ili metrički.2. Vektor vi se menja tako da njegova promena nije ili jeste paralelno

pomeranje.Podsetimo da je

δgij = gij|kdxk, δvj = vj|kdx

k (10.10)

gde je sa |k označen kovarijantni izvod u odnosu na koneksiju posmatranogprostora.

a) Ako je koneksija nemetrička i vi se paralelno pomera, tada je gij|k 6=0⇒ δgij 6= 0, δvi = 0, pa (10.9) i (10.10) daje

δ(v2) = gij|kvivjdxk = −Qijkv

ivjdxk, δvj = 0. (10.11)

U Vajlovom prostoru je gij|k = −gijQk (9.2), pa (10.11) postaje

δ(v2) = −gijQkvivjdxk. (10.12)

b) Ako je koneksija nemetrička i vi se ne pomera paralelno, važi (10.9)c) Ako je koneksija metrička, a vi se ne pomera paralelno, tada prema

(10.10) δ(v2) = 2gijviδvjdxk

d) Ako je koneksija metrička i vi se pomera paralelno ⇒ δ(v2) = 0.Takav je slučaj npr. u RN .Na osnovu izloženog važi

Teorema 10.2 Intenzitet vektora pri paralelnom pomeranju u metričkom(nemetričkom ) prostoru se ne menja (menja).

Dokaz. To se vidi iz (5.7), (5.8). Vejlov prostor je nemetrički i za njega važi(10.12).

Takodje je očigledna sledeća teorema:

Teorema 10.3 Podizanje i spuštanje indeksa je invarijantno (nije invari-jantno) u metričkom (nemetričkom) prostoru sa kovarijantnim diferenciran-jem.

Na pr.

(gijaj)|k = gij|ka

j + gijai|k.

Dakle, biće (gijaj)|k = gija

i|k ⇔ gij|k ≡ −Qijk = 0, tj. u metričkom

prostoru. Dakle u Vejlovom prostoru ne važi ova invarijantnost (Qijk =−gijQk 6= 0).

50

11 Prostor metričke semisimetrične koneksije

11.1 Metrička koneksija I i II vrste

Posmatrajmo prostor LN sa koneksijom

L̄1

ijk =

0

Γijk + τigjk − τjδik, (11.1)

gde je τ i vektor.Ovde je tenzor torzije

T ijk = L̄1

ijk − L̄

1

ikj =

0

Γijk −0

Γikj + τ igjk − τ igkj − τjδik + τkδij,

T ijk = δijτk − δikτj (11.2)

odakle vidimo da je koneksija semisimetrična. Proverimo metričnost.

gij |1k = gij,k − L̄

1

pikgpj − L̄1

pjkgip

= gij,k − (0

Γpik − τpgik − τiδpk)gpj − (

0

Γpjk + τgjk − τjδpk)gip

= gij,k −0

Γj.ik −0

Γi.jk + τjgik + τigkj + τigjk + τjgik = 0

(11.3)

tj. koneksija (11.1) je metrička. Ovde smo koristili činjenicu da je0

Γj.ik +0

Γi.jk = gij,k.Primedba 12.1 U radu (2.14) M. Prvanović uzima koneksiju

L̄2

ijk =

0

Γijk + τkδij − τ igjk, (11.4)

gde se za torziju dobija ista vrednost (11.2). Medjutim, ako prema (11.3)proverimo, dobijamo da je gij |

1k 6= 0 tj. koneksija L̄

2, nije metrička, ako se

primeni na 1. vrstu kovarijantnih izvoda. Naime, dobija se

gij |1k = gij,k − L̄

2

pikgpj − L̄2

pjkgip

=(11.4)

gij,k − (0

Γpik + τkδpi −

0

Γijk + τkδpi − τ pgik)gpj − (

0

Γpjk + τkδpj − τ pgjk)gip

= 0− gijτk +1

2T jgik − gijτk +

1

2T igjk =

1

2T igjk +

1

2

=gij,k − (0

Γj.ik +0

Γi.jk)− τkgij + τjgik − τkgij + τigjk

= 0 + τigjk + τjgik − 2τkgij 6= 0(11.5)

51

U navedenom radu M. Prvanović utvrdjuje da je

gij,k − L̄pkigpj − L̄pkjgip ≡ 0⇔ gij |

2k = 0, (11.6)

te da je koneksija (11.4) metrička. Tu se ne koristi oznaka |2

, niti L̄2umesto

L̄.Dakle kod nesimetričke koneksije metričnost zavisi od toga kako je defin-

isan kovarijantni izvod.Analogno prethodnom, ako na drugu vrstu kovarijantnog izvoda pri-

menimo L̄1, dobijamo

gij |2k = gij,k − L̄

1

pkigpj − L̄1

pkjgip

= gij,k − (0

Γpki + τ pgki − τkδpi )gpj − (0

Γpkj + τ pgkj − τkδpj )gip= −τigjk − τjgik + 2gijτk 6= 0.

(11.7)

Posmatrajući (11.5) i (11.7) vidimo da će na desnoj strani biti 0⇔ τigjk +τjgik = 2gijτk.

Definicija 11.1 Ako je za nesimetričnu koneksiju L̄ijk, gij |1k = 0, (gij |

2k = 0)

kažemo da je ta koneksija metrička prve (druge) vrste.

U konkretnom slučaju, koneksija L̄1(L̄2) je metrička prve (druge) vrste. Na

osnovu izloženog, važi

Teorema 11.1 Da bi nesimetrične koneksije L̄1(5.9), L̄

2(11.4) bile istovremeno

metričke koneksije 1. i 2. vrste, potreban i dovoljan uslov je da su osnovnitenzor gij i vektor 1

2Ti povezani relacijom

τigjk + τjgik = 2gijτk (11.8)

.

Definicija 11.2 Ako je neka koneksija metrička istovremeno 1. i 2. vrstekažemo da je metrička.

Posmatraćemo sada još jedan slučaj koneksije, koju smo ranije nazvalimetričkom (koristeći samo 1. vrstu kovarijantnog izvoda |

1

). Radi se o konek-

siji (8.10), tj.

U ijk =

0

Γijk +1

2T i jk −

1

2T ij k −

1

2T ik j. (11.9)

52

U Teoremi 9.3 smo utvrdili da je

gij |1k = 0 (11.10)

Pošto je koneksija (11.9) nesimetrična, može se posmatrati i gij |2k koristeći

(11.9) ili svodeći |2

na |1

. Primenićemo ovo drugo.

gij |2k = gij,k − Up

kigpj − Upkjgip

= gij,k − Upikgpj − U

pjkgpi + Up

ikgpj + Upjkgpi − U

pkigpj − U

pkjgip

= gij |1k + (Up

ik − Upki)gpj + (Up

jk − Upkj)gip

=(??)

0 + T pikgpj + T pjkgip = Tjik + Tijk

gde je Tijk kovarijantni tenzor torzije za U ijk. Dakle

gij |2k = Tijk + Tjik (11.11)

pa važi gij |2k = 0 ⇔ Tijk = −Tjik. Kako po definiciji (T ijk = U i

jk − U ikj) važi

antisimetrija po j, k, to sledi da je

gij |2k = gij |

1k = 0⇔ Tijk = −Tjik = −Tikj − Tkji, (11.12)

tj. antisimetričan po svakom paru indeksa. Dakle, važi

Teorema 11.2 Da koneksija (11.9) koja je metrička 1. vrste bude istovre-meno i metrička 2. vrste, potrebno je i dovoljno da kovarijantni tenzor torzijete koneksije bude antisimetričan po svakom paru indeksa, tj. da važi (11.12).

Posledica 12.1. Koneksija metričkog prostora UN je metrička I i II vrsteako i samo ako je

Lijk ≡ U ijk =

0

Γijk + T i jk, (11.13)

gde je0

Γijk Kristofelov simbol formiran pomoću gij = gji, 12T i jk tenzor torzije

koneksije Lijk.Dokaz.

1

2T ij k +

1

2T ik j = gip(

1

2Tjpk +

1

2Tkpj) =

1

2gip(Tjpk + Tkpj) =

(??)0 ⇒

(??)(??)

53

11.2 Koneksija u GRN kao metrička

Sada ćemo objasniti kako se koneksija u generalisanom Rimanovom prostoru(GRN) može učiniti metričkom (1. i 2. vrste). Važi

Teorema 11.3 Ako se u GRN kao pomoćni tenzor posmatra simetrični deogij nesimetričnog osnovnog tenzora gij , koneksija, dobijena na poznati načinpomoću Kristofelovih simbola, je metrička (1. i 2. vrste).

Dokaz. Imamo

Γi.jk =1

2(gji,k − gjk,i + gik,j), Γijk = gipΓp.jk (11.14)

gde je

gip =1

2(gip + gpi), gipgpq = δiq (11.15)

tj.

(gij) = (gij)−1 (11.16)

Koneksija u GRN se može predstaviti kao zbir simetričnog i antisimetričnogdela

Γijk = Γijk + ΓijkV

(11.17)

ΓijkV

=1

2(Γijk − Γikj) =

1

2T ijk (11.18)

Da bi (??) bilo u skladu sa 11.9, treba dokazati da je

a)Γijk =0

Γijk ∧ b)T ij k + T i

k j = 0 (11.19)

a) Najpre imamo

Γi.jk =1

2(Γi.jk + Γi.kj)

=1

2[1

2(gji,k − gjk,i + gik,j) +

1

2(gki,j − gkj,i + gij,k)]

=1

2(gji,k − gjk,i + gik,j) =

0

Γi.jk ⇒ Γijk = gipΓi.jk

= gip0

Γi.jk =0

Γ ij k

Dakle, u GRN je

Γi.jk =0

Γi.jk, Γijk =0

Γ ij k (11.20)

54

b) Dalje je

1

2T ij k +

1

2T ik j = gip(

1

2Tjpk +

1

2Tkpj) =

(11.12)0. (11.21)

Kako je

ΓijkV

=(??)

1

2T i jk,Γ

ijk =

(11.20)

0

Γijk,−T ij k − T ik j =

(11.21)0

to je jednačina (??) specijalan slučaj jednačine (11.11). Na kraju imamo

gij |1k = gij,k−Γ p

ikgpj−Γ pjkgip = gij,k−Γj.ik−Γi.jk = gij,k−gij,k = 0 (11.22)

gij |2k = gij,k − Γ p

kigpj − Γ pkjgip = gij,k − Γj.ki − Γi.kj = 0. (11.23)

Primedba 12.2. Primetimo da je u (11.12) gij = gji, a u (11.22), (11.23) tuulogu igra gij.

55

Literatura[1] Brinis, E., Qualche illustrzione geometrica dello spazio unitario di

Einstein, Rendiconti Ist. lombardo sci.e lett., cl. sci. mat. e natur.,Milano, (1955), 88, No 2, 531–538.

[2] Graif, F., Formule di comutazione e trasporto ciclico nei rezentispazi di Einsein, Rendiconti Ist. lombardo sci. e lettere, cl. sci.mat.e. natur., Milano, 87, No 1, (1954), 105–10.

[3] Graif, F., Sulla posibilita di construire paralelogrami chiusi in alcunevarieta a torsione, Boll. d. Un. math. Ital., Ser. III, 7, (1952), 132–135.

[4] Einstein, A., Generalization of theory of gravitation, Appendix II inthe book:The meaning of relativity, Fourth edit., Princeton, 1953.

[5] Eisenhart, L. P. Non-Riemannian geometry , AMS, New York, 37(1964)

[6] Eisenhart, L. P. Generalized Riemann spaces , Proc. Nat. Acad. Sci.USA, 37 (1951)

[7] Minčić, S. M., Velimirović, L. S. Tensor calculus Faculty of Sciencesand Mathematics, University of Niš, (2009), ISBN 86-83481-39-5.

[8] Minčić, S. M., Velimirović, L. S. Differential Geometry of Curvesand Surfaces (in Serbian), Faculty of Science and Mathematics,University of Niš, (2006), Niš, ISBN 86-83481-34-4.

[9] Minčić, S. M.,Stanković, M. S., Velimirović, L. S. Generalized Rie-mannian Spaces, Faculty of Science and Mathematics, Universityof Niš, (2013), Niš, ISBN 978-86-83481-90-3.

[10] Murgescu, V. Espaces de Weyl generalises Rev. Roum. Math. Pureset Appl. XV No 2, Bucarest (1970) 293-301.

[11] Pastori, M., Sullo spazio della recente teoria unitaria di Einstein,Convegno internaz. di geom. difer. (1953) Roma 1954, 107–113.

[12] Prvanović, M. Product semi-symmetric connections of the locallydecomposable Riemannian spaces Bull. de l Acad. Serb. des Sci. etdes Arts, Classe des Sci. math. nature, Vol 64, No 10, pp. 17-27,(1979).

56

[13] S. C. Saxena, R. Behari Some properties of generalized Riemannspaces Proc. nat. Inst. of sci. India, 426 Vol No 2, 1960, pp. 95-103.

[14] S. C. Saxena, R. Behari Some properties and applications of Eisen-hart’s generalized Riemann spaces Proc. nat. Inst. of sci. India, PartA (26), 1960, pp. 48-57

[15] Schouten, J.A. Ricci calculus Springer Verlag,Berlin-Gotingen-Heildelberg (1954)

[16] Stojanović, R Osnovi diferencijalne geometrije Gradjevinska knjiga,Beograd 1963

57

Biografija

Ana Velimirović rodjena je 13.09.1992. godine u Nišu. Osnovnu školu"Sreten Mladenović Mika" u Nišu upisao je 1999. godine i završila kaonosilac diplome "Vuk Karadžić". Gimnaziju "Bora Stanković", prirodno-matematičkog smera, u Nišu, upisala je 2007. godine i završila 2011. godinesa odličnim uspehom. Tokom pohadjanja osnovne i srednje škole učestvovalaje na takmičenjima iz matematike.

Osnovne akademske studije upisuje 2011. godine na Prirodno-matematičkomfakultetu u Nišu, na departmanu za matematiku, i završava 2015. godine.Iste godine upisuje master akademske studije, smer teorijska matematika.Položila je sve ispite na master studijama i time stekala pravo na odbranumaster rada.

58

Прилог 4/1

ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

НИШ

КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА

Редни број, РБР:

Идентификациони број, ИБР:

Тип документације, ТД: монографска

Тип записа, ТЗ: текстуални / графички

Врста рада, ВР: мастер рад

Аутор, АУ: Ана Велимировић

Ментор, МН: Милан Златановић

Наслов рада, НР: Простор са симетричним основним тензором и несиметричном конексијом

Језик публикације, ЈП: српски

Језик извода, ЈИ: енглески

Земља публиковања, ЗП: Србија

Уже географско подручје, УГП: Србија

Година, ГО: 2017.

Издавач, ИЗ: ауторски репринт

Место и адреса, МА: Ниш, Вишеградска 33.

Физички опис рада, ФО: (поглавља/страна/ цитата/табела/слика/графика/прилога)

58 стр., граф. Прикази 2

Научна област, НО: математика

Научна дисциплина, НД: Диференцијална геометрија

Предметна одредница/Кључне речи, ПО: Тензор, Риманов простор, простор несиметричне афине конексије стор,пНПросторНнесиметричнеафинкоконексије УДК 514.764.2 514.743.4 514.752

Чува се, ЧУ: библиотека

Важна напомена, ВН: Извод, ИЗ: У првих пет глава су дате основе тензорског рачуна,

Риманове геометрије и теорије простора афине конексије.

Надаље разматрамо простор семисиметричне конексије као и простор несиметричне афине конексије са симетричним основним тензором.

У последнјем делу разматрамо Вeјлов простор и простор метричке семисиметричне конексије.

Датум прихватања теме, ДП:

Датум одбране, ДО:

Чланови комисије, КО: Председник: Др Мића Станковић

Члан: Др Владимир Павловић

Члан, ментор: Др Милан Златановић

Образац Q4.09.13 - Издање 1

Прилог 4/2

ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

НИШ

KEY WORDS DOCUMENTATION

Accession number, ANO:

Identification number, INO:

Document type, DT: monograph

Type of record, TR: тextual

Contents code, CC: master thesis

Author, AU: Ana Velimirović

Mentor, MN: Milan Zlatanović

Title, TI: Spaces with symmetric basic tensor and non-symmetricconnection

Language of text, LT: Serbian

Language of abstract, LA: English

Country of publication, CP: Serbia

Locality of publication, LP: Serbia

Publication year, PY: 2018

Publisher, PB: author’s reprint

Publication place, PP: Niš, Višegradska 33.

Physical description, PD: (chapters/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes)

58 p. ; graphic representations 2

Scientific field, SF: Mathematics

Scientific discipline, SD: Differential geometry

Subject/Key words, S/KW: Tensor, Riemannian space, Non-symmetric affine cnnectionGeodesic mappings UC 514.764.2 514.743.4 514.752

Holding data, HD: library Note, N: Abstract, AB: In the first 5 paragraphs are given the fundamentals of the

tensor calculus, the Riemannian geometry and the theory of the affine connection space.

Further are considered semisymmetric connection space and non -symmetric affine connection space with symmetric auxiliary tensor.

In the last part we consider Weyl space and metric semisymmetric connection space.

Accepted by the Scientific Board on, ASB:

Defended on, DE:

Defended Board, DB: President: Dr Mića Stanković

Member: Dr Vladimir Pavlović

Member, Mentor: Dr Milan Zlatanović

Образац Q4.09.13 - Издање 1