CINEMATIQUE 1. Roue de vlo : Un vlo roule sur une route horizontale, la vitesse constante vo On examine le mouvement dun point M priphrique dune des roue, par rapport au sol. La roue est de centre C, de rayon R connu. On note I le point de contact de la rou e sur la route. a) Exprimer la vitesse de M par rapport au sol, dans la base polaire et dans l a base cartsienne . b) Pour que la roue ne drape pas, il faut que la vitesse de tout point M de la ba nde de roulement du pneu soit nulle lorsquil vient en contact avec le sol (en I). Donner la relation ncessaire entre vo et = c) Tracer lallure de la trajectoire de M. d) Calculer lacclration de M. dite condition de non glissement.

2. Acclration subie dans un mouvement de rotation vitesse constante. a) Calculer numriquement lacclration subie par un pilote de chasse lorsque son avion effectue un virage de 1000 m de rayon, Mach 1 (soit 1060 km.h-1 ). b) Calculer lacclration et la vitesse correpondant au mouvement dun point M de la s urface terrestre, de latitude vu dans le rfrentiel gocentrique (la latitude est lang le que fait le rayon OM reliant M au centre O de la Terre avec le plan quatorial) . La Terre fait 1 tour par jour sidral (86164 s) dans ce rfrentiel. Application numr ique pour un point de lquateur. R : a) a =86,70 m.s-2 9 g (g = 9,8 m.s-2). b) a = 3,4.10-2 m.s-2. 3. Mouvement hlicodal : Le mouvement d une particule M est dfini en coordonnes cylindriques, ( r, *, z ). par les quations paramtres suivantes : r = R ; * = * t ; z = a t o R, * et a sont des constantes et t est le temps.La trajectoire est une hlice enroule su r un cylindre circulaire. Le pas h de cette hlice est par dfinition la distance sparant deux positions succes sives du mobile sur une mme gnratrice.Etablir la relation entre a et h. Dterminer le vecteur vitesse. Montrer qu il fait un angle * constant avec l axe ( Oz).Calculer tan* . Dterminer le vecteur acclration. Le mouvement est-il uniforme ? Exprimer la distanc e s parcourue par le mobile sur sa trajectoire en fonction du temps. R : a = * h / 2* ; ; tan * = 2*R/h ; ; de : s = 4. Une barre est fixe une rotule lune de ses extrmit A, lui permettant toute rotati on en ce point. Sa position est repre par les angles et . Calculer la vitesse et la cclration de M dans les cas particuliers suivants : a) le mouvement de M a lieu dans un plan vertical ( fix) ; on explicitera les vecteurs et dans la base polaire puis dans la base cartsienne. b) le mouvement de M a lieu selon un plan horizontal ( fix). on explicitera d e mme les vecteurs et dans la base sphrique puis dans la base cartsienne. 5. Mouvement du milieu dune barre : On considre une barre AB, de longueur 2a, de milieu G. A se dplace sur laxe (Oz) ve rtical tandis que B se dplace dans le plan horizontal (xOy). Ecrire les vecteurs position et vitesse dans la base cartsienne . Quelle est la nature de la trajectoire dcrite par G dans lespace pour un observateur li au rfren tiel (O,x,y,z) ? Expliciter la base dans la base cartsienne . Exprimer le vecteur vitesse de G, not , dans la base cartsienne ainsi que son module, en fonction des angles et . 6. Tube cathodique : Une particule de charge q (lectron) pntre en O (x = 0, y = 0) avec une vitesse initiale dans lespace situ entre deux plaques con ductrices soumises une tension U. Il subit alors une force lectrostatique constan

te de module F = qU/d o d est la distance entre les plaques, dirige selon . Cette force lui impose donc une acclration tant que la particule circule entre les plaques, de longueur L. La pesanteur joue un rle ngligeable dans ce problme. Dterminer la vitesse et la position S de sortie des plaques. Montrer que lquation cartsienne de la trajectoire (OS) est celle dune parabole. Un cran est dispos une distance D de la sortie des plaques. Quelles seront les coo rdonnes du spot P correspondant limpact de llectron sur lcran ? R : = L + (L/vo). qU/(2m.d) ; = vo + (L/vo). qU/(m.d) ; yP = yS + (DL/vo). qU/(m.d). 7. Test de stabilit dune automobile : Lors dun tel test, la voiture, repre par son centre de gravit G de coordonnes (x, y), est astreinte suivre une trajectoire sinusodale sur une piste horizontale en sla lomant entre des plots espacs dune distance L, de manire conserver tout moment une vitesse = vo = 50 km.h-1. Durant le mouvement, la distance minimale entre G et chaque plot est do = 3 m. 1) Montrer que lquation y(x) = A.cos(B.x) convient pour dcrire la trajectoire et dter miner les valeurs de A et B. 2) La voiture teste doit tolrer une acclration maximale de 0,7 g (g = 9,8m.s-2). Avec quel espacement L doit-on disposer les plots ?

R : Exprimer vitesse et acclration dans la base (ex, ey) : (penser aux drivations c omposes) = vo ( /L) vo .dosin( x/L) ; = -( /L)vo.docos( x/L) . ; Il faut L > vo(do/0,7 . 8. Mouvement dune remorque : Une remorque, repre par le point A, est tire par une voiture (point B). La voiture roule vitesse constante et la liaison entre A et B implique que le point A se dp lace tout instant selon la direction (AB) avec AB = L. Montrer que : .En dduire une relation diffrentielle entre t et , puis exprimer n fonction de t. On donne : R : = 2.atan(exp(-vot/L)).

e

7. Les quations paramtriques du mouvement d une particule, sont en coordonnes polaires : r = ro.exp(-t / *) et * = t / * ; ro et * tant deux c onstantes positives. Calculer le vecteur vitesse et le vecteur acclration de la particule. Reprsenter ces deux vecteurs ainsi que lallure de la trajectoire. Exprimer le vecteur unitaire T tangent la courbe tout instant ainsi que lunitaire N normal la trajectoire et tourn vers sa concavit. Reprsenter T et N sur le schma. Le mouvement est-il uniforme ? R : v = (ro/*).exp(-t/*).(e* - er). * = -2(ro/*).exp(-t/*).e*. ; T = v /v ; calculer .v. 7. Mouvement dun homme et de son chien : Un homme partant du point O dcrit laxe (Oy) avec la vitesse constante v. Son chien part du point A situ sur laxe (Ox) perpendiculaire (Oy), distant de a du point O. Le chien veux rejoindre son matre. Rapide, mais bte (le chien, pas le matre) il se dirige constamment vers lui la vitesse 2v. Combien de temps mettra-t-il pour ra ttraper son matre ? 7. Mouvement hlicodal et mouvement cyclodal : une charge q, de position M(x, y, z) repre dans (Oxyz) de base (i, j, k) de masse

m, soumise un champ lectromagntique permanent (E, B ) aura une acclration dcrite par : o les vecteurs E et B sont constants, dans le rfrentiel choisi. Dterminer les qu ations paramtriques du mouvement ainsi que la trajectoire dans les deux cas suiva nts : a) On suppose que E = E k et B = B k (E, B, q et m sont positifs). A t = 0, M est en Mo( /B, 0, 0) et a une vitesse initiale vo = j ( > 0). b) On suppose que E = E j et B = B k (E, B, q et m sont positifs). A t = 0, M est en O(0, 0, 0) et a une vitesse initiale nulle.