Usmeni ispit iz OF 1 pitanja 1. - 28.1.) SI sustav |ednca.
Dmenzonana anaza.1.1.) |edna od teme|nh zkanh metoda |e m|eren|e
usporevan|enekog zkanog fenomena s m|ernom |edncom za ta| fenomen,
npr.du|nesmetrom, maseskogramom, td. M|eren|e|eodrevan|ekoko m|ernh
|ednca sadrz m|erena vecna, npr. kazemo da nekadu|na ma 6.66
metara, ako metar osnovnu |edncu mozemo un|u strpat tocno 6.66
puta. Kao standard th m|ernh |ednca uveden|e SI sustav 1960. godne.
Sasto| se od 7 |ednca z ko|h se sve drugem|erne |ednce mogu zvest.
To su: metar |du|na|, kogram |masa|,sekunda |vr|eme|, amper ||akost
eektrcne stru|e|, kevn|temperatura|, kandea |umnoztet|, mo |kocna
tvar|.1.2.) Dmenzonana anaza |e postupak utvrvan|a
spravnostzkanogracunan|aputemprov|eravan|admenz|asvakevecne.Moze se
korstt za predvan|a o rezutatma kompeksnh zkanhstuac|a. Uosnov,
ona|em|eraoprezadasenezbro|evecnerazcth dmenz|a |er |e to zkano
besmseno. Ne moze se zbro|tnpr. 6 m 4 kg. Dmenz|a vecne ma scnost s
m|ernom |edncom,a |e opcent|a cak od n|e. M|erne |ednce mora bt nek
bro|, dok |edmenz|u nemoguce pobro|at. Npr. metar ma dmenz|u du|ne
L,kogram dmenz|u mase M, a sekunda dmenz|u vremena T. Sada,brzna |e
om|er pr|eenog puta u |ednc vremena, dakedu|na/vr|eme, n|ena
dmenz|a |e LT-1. Akceerac|a, brzna/vr|eme,ma dmenz|u LT-2, a sa,
masa-akceerac|a, dmenz|u MLT-2.2.)Denc|avektora. |edncn vektor.
|ednakostdvavektora.Zbra|an|e vektora; komutatvnost asoc|atvnost.
Mnozen|evektora skaarom. Kada |e zkana vecna vektor?2.1.) Vektor |e
matematcka vecna zadana znosom, sm|eromor|entac|om. Iznos vektoraA
se oznacava s A samoA.2.2.)|edncn vektor|evektordu|ne1.
Dobvasekadasevektorpod|e sa svo|m znosom, t|. AAA .2.3.)
Dvavektorasu|ednakaakosumznos, sm|er or|entac|a|ednak.2.4.)
Zbra|an|e vektora se vrs pravom paraeograma. Na kra| prvogvektora
transatra se drug vektor. Kako paraeogram ma
paraenestrance|ednakepoznosu, sve|edno|epocn|emo s prvm,
patransatramo drug, obrnuto.A B B A + +Takoer,
zbra|an|evektora|easoc|atvno. Crtezom|e|ednostavnouv|ert se u tu
cn|encu.( ) ( ) C B A C B A + + + +2.5.) VektorA pomnozen skaarom|e
vektorAc| |e znos A.Ima st sm|er kao vektorA. Or|entac|a mu |e sta
kao vektoruAako |epoztvan. Ako |enegatvan, or|entac|a mu |e
suprotna.12.6.) Fzkana vecna posta|e vektor kada za n|ezn ops n|e
dovo|ansamo znos, vec |e potreban sm|er n|eznog d|eovan|a.3.)
Skaarn umnozak dva vektora. Poucak o kosnusu.|ednadzba ravnne
zrazena vektorsk.3.1.) Po denc| skaarn produkt dva vektora |e: ( )
B A B A B A , cos .( ) B A , cos|e kosnus kuta zmeu vektoraA B.
Buduc da |e kosnusparna funkc|a, skaarn produkt ma svo|stvo
komutatvnost. Uzkomutatvnost, skaarn produkt ma svo|stvo
dstrbutvnost:( ) C A B A C B A + + .Skaarn produkt mozemo shvatt
kao umnozak znosa prvog vektoras znosom pro|ekc|e drugog vektora na
n|egov sm|er.3.2.) Uzmmoboko| trokut ABC.
Shvatmon|egovestrancekaovektore neka |e C B A . To kvadrra|mo.
Dobvamo:2 2 22 C B B A A + , odnosno 2 2 2) , cos( 2 B B A B A A C
+
.3.3.)Utrodmenzonanomkoordnatnomsustavumozemodenratravnnupomocuvektoraokomtognaturavnnu.
Nazovmota|vektorR. N|egov znos |e |ednak uda|enost ravnne od
shodsta.Ako |e tako zadan, tada sv vektorpooza|a tocaka u
ravnnrzadovo|ava|u|ednadzbu2R r R .
To|ezato|er|eznospro|ekc|evektorar na vektorR upravo |ednaka znosu
vektoraR.4.) Vektorsk umnozak: komutatvnost, dstrbutvnost.
Vektorskumnozak zrazen determnantom. Postna paraeogramapomocu
vektorskog produkta.4.1.)Vektorsk umnozakdvavektora|edenrannas|edec
nacn:( )C B A B A C B A, sin . Sm|er vektora Cse odreu|e
pravomdesne ruke: dan se pruza od vrha vektoraAdo vrha vektoraB,
auspravn paacpokazu|eor|entac|uvektora C. Buduc da|esnusneparna
funkc|a, dake( ) ( ) x x sin sin , vektorsk umnozak n|ekomutatvan,
vec antkomutatvan, dake vr|ed: A B B A . Zavektorsk umnozak vr|ed
zakon dstrbutvnost s obzrom nazbra|an|e ( ) C A B A C B A + +
.4.2.) Ako vektoreA B rastavmo na n|hove komponente duz sve tros
Kartez|evog sustava, n|hov vektorsk umnozak mozemo zapsatna s|edec
nacn:( ) ( )z b z a y b z a x b z az b y a y b y a x b y az b x a y
b x a x b x az b y b x b z a y a x a B Az z y z x zz y y y x yz x y
x x xz y x z y x + + ++ + + ++ + + + + + + Sada skorstmo tvrdn|u da
|e vektorsk umnozak konearnh vektora|ednak nu poznate vr|ednost
vektorskh umnozaka |edncnhvektorax , y, z :y x zx z yz y x y z xx y
zz x y 2Uvrstmo u prethodn zraz dobvamo:( ) ( )x b a y b a x b a z
b a y b a z b az b z a y b z a x b z az b y a y b y a x b y az b x
a y b x a x b x az b y b x b z a y a x a B Ay z x z z y x y z x y
xz z y z x zz y y y x yz x y x x xz y x z y x + + + + ++ + + ++ + +
+ + + + Sada grupramo canove uz vektorex , y, z dobvamo zraz:( ) (
) ( ) z b a b a y b a b a x b a b a B Ax y y x z x x z y z z y + +
Poznato nam|e z Lnearne agebre da |e to Lapaceov
razvo|determnantetrecegredapoprvomretku. Tadetermnantazgedaovako:z
y xz y xb b ba a az y x U zak|ucku mozemo zapsat s|edecu formuu: B
A z y xz y xb b ba a az y x 4.3.) Shvatmo
stranceparaeogramakaodvavektora, mozemozak|uct da |e povrsna
paraeograma odreenog tma dvamavektorma |ednaka znosu n|hovog
vektorskog umnoska. (usporedsformuom za povrsnu paraeograma)5.)
Voumen paraeoppeda zrazenog vektorsk. Poucak osnusu. Or|entrana
povrsna.5.1.) Akosuvektor A, B, Ctr nearnonezavsnavektorauprostoru,
onda |e n|hov m|esovt (vektorsk skaarn) produkt( ) C B A |ednak
voumenu paraeopeda odreenog tma trmavektorma. Kao dokaz toga posuzt
ce namdetermnanta. Zbogpregednost postavmo da umnozak de ovako:( )
C B A Sadaracunamo. Formuuzavektorsk umnozaksmovec zve, aformuu za
skaarn cemo, rad akseg racunan|a, sada zvest. Ako dvavektora, F G,
rastavmo na komponente duz sve tr osKartez|evog koordnatnog sustava
skaarno pomnozmo, dobt cemos|edecu reac|u:( ) ( )+ + + + + + + z g
x f y g x f x g x fz g y g x g z f y f x f G Fz x y x x xz y x z y
x z g z f y g z f x g z fz g y f y g y f x g y fz z y z x zz y y y
x y + + ++ + + +Skaarn umnozak okomth vektora |ednak |e nu, a kako
su vektorx,y, z meusobno okomt, preosta|u samo canov gd|e se
mnozekonearn vektor. Osta|e nam:3( ) ( )z z y y x xz z y z x zz y y
y x yz x y x x xz y x z y xg f g f g fz g z f y g z f x g z fz g y
f y g y f x g y fz g x f y g x f x g x fz g y g x g z f y f x f G
F+ + + + ++ + + ++ + + + + + + Sada nam |e |ednostavn|e racunat( )
C B A :( ) ( ) ( ) ( )x y y x z z x x z y z y z y xc b c b a c b c
b a b c c b a C B A + + Ako bo|e pogedamo, ta| zraz |ednak |e zrazu
za vektorsk umnozakpreko determnante, samo sto su canovx , y,
zzam|en|en s xa,ya, za . Vr|ed, dake:( )z y xz y xz y xc c cb b ba
a aC B A Kako su sv eement skaar, poznato nam |e z Lnearne agebre
da |eta determnanta voumen paraeoppeda odreenog s ta tr
vektora.5.2.) Uzmmoboko| trokut ABC.
Shvatmon|egovestrancekaovektore neka|e C B A + .
Akopomnozmoob|estrane|ednadzbevektorsk sA, dobvamo:C A B A A A + .
Kad uzmemo u obzr da|e0 A A s|ed:C A B A Kako ob|e strane mora|u bt
|ednake, kad h raspsemo, dobvamo:( ) ( ) C A C A B A B A , sin ,
sin sto sreeno da|e:( ) ( )C B AB C A , sin ,
sinsto|ezrazpouckaosnusu(om|er snusakuta kutunasuprotnestrance |e
konstanta u c|eom trokutu.)5.3.) Osm u nekm suca|evma, povrsne se
smatra|u or|entranma svektorma or|entac|e ko| su sm|era okomtog na
povrsnu, aor|entac|e od povrsne prema van, kako b neke stvar u zc
ostaesmsene. Na|promnentn| prm|er toga|etak. Znamodanasta|ekada sa
d|eu|e na povrsnu znamo da |e skaar. Ako |e povrsnasamo skaar, onda
tak posta|e vektor, sto |e nemoguce. U spas nasezke, postgnut |e
dogovor da povrsne ma|u vektor ko| |e znosom|ednak znosu povrsne, s
vec navedenm sm|erom or|entac|om.Neke povrsne mogu mat vasttu
or|entac|u, kao drugac| znosod ovog prava (npr. eektrcno po|e
uzrokovano tokom stru|e).6.) Dervac|avektora. Pomak
t|eazrazenpomocuvektorabrzne. Sredn|a brzna zrazena pomocu vektora
brzne. Brznazrazena pomocu vektora ubrzan|a.6.1.) Dervac|a vektora
|e m|era prom|ene vektora obzrom na nekuvecnu ko|a ga opsu|e.6.2.)
Zamsmo da promatramo gban|enekogt|ea uprostoru
pozna|emon|egovpooza|usvakom trenutku.Togban|e
opsu|emorad|vektorom( ) t r. Takva |e oznaka |er |e ta| vektor
ovsan o4vremenu. Neka|eunekomtrenutkupooza| t|eaopsanvektorom( ) t
r. Neka proe dodatno vr|emet . Nov vektor pooza|a |e ( ) t t r
+.Vektor pomaka zmeu ta dva vektora nazovmo ( ) ( ) t r t t r s + .
Akogapod|emosvremenomt , dobtcemovektorsredn|ebrzneutomvremenu. Sto
vse sman|u|emo nterva t , dobvat cemorezutat bztrenutno|brznu
vremenut . Ako pustmo dat teznu dobvamo zraz za trenutnu brznu:( )(
) ( )dtr dtt r t t rt vt + 0lim , |os znan kao dervac|a vektora
pooza|a povremenu. Takva dervac|a se |os moze psat rdtr dAko vektor
pomaka stavmo na |evu stranu, dobvamo zrazdt v r d ,ko| se cta
ovako: Ma vektor pomaka |ednak |e vektoru brznepomnozenom sa
vremenom u ko|em se ta| pomak dogodo.6.3.) Kako bsmo zraz sredn|u
brznu pomocu vektora brzne, prvomoramorastavt vektor
brznenakomponenteparaenesosmakoordnatnog sustava. U tom suca|u
psemo:z v y v x v vz y x + + Sada, za znos svake komponente naemo
zasebnu sredn|u vr|ednost(Pod|emo ukupan pomak t|ea po to| os s
ukupnm vremenom ko|ese t|eo gbao.) , kad smo h nas, zbro|mo h. Tako
|e nas vektorsredn|e brzne |ednak:z v y v x v vz y x + + 6.4.) Akon
brznan|estanapr gban|u, nego|eutrenutku t|ednaka ( ) t v, a u
trenutkut t +|ednaka ( ) t t v +, mozemo denrat akceerac|u, ko|a |e
vektor ko| odreu|e prom|enu brzne u trenutkut . Akopustmoda t tez
unuu, mozemodenrat trenutnuakceerac|u, sto kao sto smo mog denrat
trenutnu brznu:( )( ) ( )dtv dtt v t t vt at + 0lim .Ako
n|egapreuredmokaostosmozrazzapomak, dobt cemoreac|udt a v d , ko|a
se shvaca na st nacn.7.) Gban|e t|ea uz konstantan v. Gban|e t|ea
uz konstantana.7.1.) U suca|u |ednodmenzonanog gban|a konstantnom
brznomvpoze|no|emat nacnopsvan|atoggban|a. Zatotrebamonac|ednadzbu
gban|a zraz ko| nam opsu|e pooza| tocke u zavsnost ovremenu brzn.
Pocnmo s zrazom za brznu:dt v r dvdtr d Ova| zraz mozemo ntegrrat
da dob|emo reac|u ko|a opsu|eovsnost pooza|a o brzn vremenu.0r t v
rdt v r ddt v r d + 50r |e konstanta dobvena ntegrran|em ona
odreu|e pocetn pooza|t|ea. Ovu reac|u ctamo: rad|vektor pooza|a
t|ea u nekom trenutkut|ednak |e zbro|u vektora pocetnog pooza|a
vektora brzne ko| se|ednoko produ|u|e u vremenu.7.2.) Brzna |e
dervac|a pooza|a po vremenu, a akceerac|adervac|a
brznepovremenu,dake akceerac|a|edrugadervac|apooza|a po vremenu.
Matematck se to zapsu|e:22dtr drdtddtdvdtddtv da
,_
Dabsmoz togazvuk |ednadzbugban|atrebamozraz dvaputntegrrat.( )0
02002r t vta rdt v t a r dv t a vdt a v d + + + +
Znacen|ezrazaosta|esto, samostosadamamovsefaktorako|ut|ecu na
pooza|.8.) Izvedte zraz za ( ) ( ) [ ] t b t adtd.8.1.) ( ) ( ) [
]( ) ( ) ( ) ( )1]1
+ + tt b t a t t b t t at b t adtdt0limSada doda|emo oduzmamo
can ( ) ( ) t t b t a + da bsmo dobmater|a za zucvan|e.( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1]1
+ + + + + tt t b t a t t b t a t b t a t t b t t at0limGrupramo
1. 4. can, te 2. 3. can zucu|emo za|edncke faktore utm canovma.( )
( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ];' + + + + tt b t t b t a t t b t a t t
at 0limRastav|amo na dva razomka da se bo|e vd sto posta|e
dferenc|a,pustmo dat tez u nuu, dobvamo konacn rezutat.( ) ( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) [ ];' + + + + tt b t t b t att t b t a t t at
0limdtb da bdta d + 9.) Dervac|a vektora stanog znosa. Vektor kutne
brzne. Ako |er konstantan, kako mozemo zracunat v?9.1.) Ako
|erkonstanta mozemo zvuc par zak|ucaka. Prvopomnozmo skaarno vektor
sa sobom.2r r r To |e sto konstanta. A, sada dervra|mo umnozakr r
korstec pravo za dervac|u umnoska:6( ) 0 + dtr dr rdtr dr rdtd Iz
toga zak|ucu|emo:1.) 0 dtr dr Vektor n|egova dervac|a su okomt.2.)0
r d r Vektor n|egov dferenc|a su okomt.Takv zak|ucc ce pomoc kod
gban|a po kruznc.9.2.) Da bsmo sto akse denrakutnu brznu, prebact
cemo se upoarn koordnatn sustav. Onmadv|ekoordnate: uda|enost
odshodsta r kut ko| r zatvaras poztvnmd|eomx-os .|edncn vektor tog
sustava su vektor pooza|arusm|eren rad|ano, vektor kuta poozen
tangenc|ano na vektorr .Sada |ednostavno |e uoct da |e kutna brzna
prom|ena kuta uvremenu, odnosno dervac|a kuta po vremenu:
dtdSm|ervektorakutnebrzne|epravacokomtnaravnnugban|a,
aor|entac|amu|eodreenavektorskmumnoskomvektora r.Zato psemo: r9.3.)
Pr gban|u po kruznc, po denc| kuta u rad|anma,
dferenc|apomakasmozemo racunat kao d r ds . Ako ga pod|emo
sdferenc|aom vremena dobvamo reac|u za brznu: rdtdrdtdsvKako |e
vektor pomaka or|entran kao vektor kuta mozemo psat: r
vAkopromotrmoor|entac|evektora v, r, , zak|ucu|emodavr|ed:r v 10.)
Brzna ubrzan|e u ravnnskom poarnom sustavu.10.1.)( ) dtr r ddtr
dvKorstec pravo o dervac| umnoska: + dtr dr rdtdr Ovakosmorastav
vektorbrznenarad|an tangenc|an sm|er.Sada, znamo da |e dervac|a
|edncnog rad|anog vektora u sm|eruvektora brzne to mozemo zapsat
kao:r r rdtr dr Pos|edn| zraz s|ed |er:( ) ( ) r r r r r , sin ,
sin Na kra|u zapsu|emo reac|u:r rdtdrv + 710.2.) Dervran|em zraza
za brznu dobvamo zraz za akceerac|u.( ) + ,_
+ r r rdtdr rdtdrdtddtv da Korstmo pravo o dervran|u umnoska
zbro|a. + + + dtr drdtddtr dr rdtr d Izrazzadtr dsmopr|ezve.dtr
d|ebrznako|usmopr|etakoerzve. N|h uvrstmo u prethodn zraz.( ) + + +
+ r r r rdtdr r r r ( )( ) r rdtdr r r rr r r rdtdr r r r + + + + +
+ + 2 Sada raspsu|emo vektorske produkte korstmo pravo za
dvostrukvektorsk umnozak:( ) ( ) ( ) B A C C A B C B A mamo:( ) ( )
2 2 22 + + + + r r r r rr r r r r aVdte da smo komponente
akceerac|e razdvo| na rad|an tangenc|an do.Ova| tangenc|an do
mozemo drugac|e zapsat stoce nam bt od pomoc kad se budemo bav
centranm sama:( ) 122 + rdtdrr r11.) Kruzno gban|e u ravnn opsano u
Kartez|evom sustavu:pooza|, brzna, ubrzan|e.11.1.) Pr|e nego mozemo
opsat kruzno gban|e u Kartez|evomsustavu, moramo dovest u vezu
poarn Kartez|ev sustav. Prozvo|nvektorr u Kartez|evom sustavu ma
zaps:y y x x r + Iznos mu |e r r . Sada vecne x y su pro|ekc|erna
x-os y-os.Izracunat se mogu pomocu pravokutnog trokuta. Dake, veza
|es|edeca: cos r x sin r yxy tan2 2y x r + Mozemo sada opsat vektor
pooza|a.y r x r r sin cos + N|egova dervac|a po vremenu |e brzna.
Dervrat cemo |e posegmentma na x-os y-os.Na x-os:( )( ) sincos
cosrdtdrdtr ddtdxvx|e vremenska dervac|a kuta, dake kutna brzna , a
y r sin,dake psemo:8 y vxNa y-os:( ) x rdtdrdtr ddtdyvy cossin
sinUkupna brzna |e:y x x y v + Akceerac|a |e dervac|a brzne. Opet
cemo to radt po segmentma.( ) x r rdtdax 2 2cos sin ( ) y r rdtday
2 2sin cos Ukupna akceerac|a |e:y y x x a 2 2 Kako |e r y y x x + ,
akceerac|u mozemo zapsat na s|edec nacn:r a 212.) Sredn|a vr|ednost
skaarne brzne vektora brzne. Sredn|avr|ednost ubrzan|a.12.1.)
Sredn|avr|ednost ubrzan|a|epros|ecnabrznako|u|et|eomao dok |e
preazo neku uda|enost, nazovmo |es .Sredn|a vr|ednost skaarnebrzne
vdobva setakodasepod|e ukupna uda|enost s ukupnm vremenom t|ekom
ko|eg |e t|eoputovao:tsvKakobsmonas sredn|uvr|ednost vektorabrzne,
prvomoramorastavt vektor brzne na komponente paraene s osma
koordnatnogsustava. U tom suca|u psemo:z v y v x v vz y x + + Sada,
za znos svake komponente naemo zasebnu sredn|u vr|ednost(Pod|emo
ukupan pomak t|ea po to| os s ukupnm vremenom ko|ese t|eo gbao.) ,
kad smo h nas, zbro|mo h. Tako |e nas vektorsredn|e brzne |ednak:z
v y v x v vz y x + + 12.2.) Sredn|a vr|ednost akceerac|e |e
pros|ecna akceerac|a ko|u |et|eo mao dok |e preazo neku
uda|enost.Sredn|a vr|ednost skaarne akceerac|e a dobva se tako da
sepod|e razka konacne pocetne brzne s ukupnm vremenom t|ekomko|eg
|e t|eo putovao.t v vap k Kako bsmo nas sredn|u vr|ednost vektora
akceerac|e, prvomoramo rastavt vektor akceerac|e na komponente
paraene sosma koordnatnog sustava. U tom suca|u psemo:9z a y a x a
az y x + + Sada, za znos svake komponente naemo zasebnu sredn|u
vr|ednost(Pod|emo ukupnu prom|enu brzne t|ea po to| os s
ukupnmvremenom ko|e se t|eo gbao.) , kad smo h nas, zbro|mo h.
Tako|e nas vektor sredn|e akceerac|e |ednak:z a y a x a az y x + +
13.) Vektorsk umnozak. M|esovt (skaarn vektorsk)umnozak. Dvostruk
vektorsk umnozak.13.1.) Vektorsk umnozak dva vektora |e denran na
s|edec nacn:( )C B A B A C B A, sin . Sm|er vektora Cse odreu|e
pravomdesne ruke: dan se pruza od vrha vektoraAdo vrha vektoraB,
auspravn paacpokazu|eor|entac|uvektora C. Buduc da|esnusneparna
funkc|a, dake( ) ( ) x x sin sin , vektorsk umnozak n|ekomutatvan,
vec antkomutatvan, stogavr|ed: A B B A . Zavektorsk umnozak vr|ed
zakon dstrbutvnost s obzrom nazbra|an|e ( ) C A B A C B A + + .Moze
se napsat pomocu determnante. (Dokaz postupak dobvan|apotrazte pod
ptan|em 4)z y xz y xb b ba a az y xB A Iznos vektorskog umnoska
|ednak |e povrsn paraeograma ko|eg tadva vektora odreu|u.13.2.)
M|esovt (skaarn vektorsk) umnozak tr vektora( ) C B A
|evoumenparaeoppedaodreenogstatr vektora. Na|aksega|eprkazat kao
determnantu. (Dokaz postupak dobvan|a potrazte podptan|em 5):( )z y
xz y xz y xc c cb b ba a aC B A 13.3.) Dvostruk vektorsk umnozak (
) C B A |e vektor( ) ( ) B A C C A B . Dokazmo tu tvrdn|u.VektorC B
znamo zracunat pomocu determnante. Isto tako cemozracunat( ) C B A
. Uvrstmo u determnantu zracuna|mo.( )( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( )
[ ] ++ ++ z c b c b a c b c b ay c b c b a c b c b ax c b c b a c b
c b ac b c b c b c b c b c ba a az y xC B Ay z z y y z x x z xx y y
x x y z z y zz x x z z x y y x yx y y x z x x z y z z yz y x
10Mnozmozagrade, doda|emo oduzmamonekecanovekakobzucvan|em dos do
zak|ucka: u zagradu uzxdoda|emo x x xc b a, uzagradu uz yy y yc b
a, a u zagradu uzzz z zc b a .( )( )( ) + + ++ + + ++ + + z c b a c
b a c b a c b a c b a c b ay c b a c b a c b a c b a c b a c b ax c
b a c b a c b a c b a c b a c b az z z z z z y z y z y y z x x x z
xy y y y y y x y x y x x y z z z y zx x x x x x z x z x z x x y y y
x ySada zucu|emo.( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ] + + + + ++ + + +
+ ++ + + + + z c a b a b a c c a c a c a by c a b a b a c c a c a c
a bx c a b a b a c c a c a c a bz z y y x x z z z y y x x zz z y y
x x y z z y y x x yz z y y x x x z z y y x x xCanov u okrugm
zagradama su skaarnumnosc vektoraA B,odnosno A C,
mnozekomponentevektora B Cduz oskoordnatnog sustava. Sada svaka
susa moze zak|uct da |e ova| zrazzapravo( ) ( ) B A C C A B .14.)
Dervran|e vektorskh vecna: brzna, ubrzan|e. Dervac|azraza: ( ) ( )
[ ] t b t adtd.14.1.) Dervac|a brzne |e m|era prom|ene brzne u
beskonacnomaom trenutku vremena, odnosno akceerac|a. Takoer, to |e
drugadervac|a pooza|a. Denra se:( ) ( )dtv dtt v t t vt 1]1
+ 0lim22dtr drdtddtdvdtddtv d
,_
Dervac|a akceerac|e |e m|era prom|ene akceerac|e u
beskonacnomaomd|ecu vremena. Ona |e treca dervac|a pooza|a
drugadervac|a brzne. |os se nazva poteg (eng.: '|erk'). Denra se:(
) ( )dta dtt a t t at 1]1
+ 0lim33dtr drdtddtddtdvdtddtddta d 1]1
,_
,_
14.2.) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( )1]1
+ + tt b t a t t b t t at b t adtdt0limSada doda|emo oduzmamo
can ( ) ( ) t t b t a + da bsmo dobmater|a za zucvan|e.( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1]1
+ + + + + tt t b t a t t b t a t b t a t t b t t at0limGrupramo
1. 4. can, te 2. 3. can zucu|emo za|edncke faktore utm canovma.( )
( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ];' + + + + tt b t t b t a t t b t a t t
at 0lim11Rastav|amo na dva razomka da se bo|e vd sto posta|e
dferenc|a,pustmo dat tez u nuu, dobvamo konacn rezutat.( ) ( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) [ ];' + + + + tt b t t b t att t b t a t t at
0limdtb da bdta d + 15.) Dva t|ea d|eu|u |edno na drugoga:
knematcka denc|amase. Impus. Pr|enos mpusa. Sa.15.1.) Da bsmo
knematck denra masu, korstt cemo ses|edecmprm|erom:
Nadvakocazmeuko|h|ekomprmranaopruga, ko|asupovezanakonopcem,
stav|amorazctukocnustogmater|aa. Kadapreknemokonopac,
oprugaseekspandrat|erakocausuprotnmsm|erovmarazctmbrznama.
Nakonstovse puta zvedemo pokus doazmo do zak|ucka da |e
kocnamater|aa obrnuto proporconana brzn, da |e om|er th dv|u
masa|ednak nverznom om|eru n|hovh brzna, matematck
zrazenoovako:1221vvmmAko tu |ednadzbu mao preuredmo na s|edec
nacn:2121mvvm akomasu2m odredmokao|edncnu, knematck smodenramasu.
Buducda |e to masa ko|a se pokrece, nazvamo |e nertnommasom
t|ea.15.2.) Impus |e vazna zkana vecna ko|a se denra kao
umnozakmase vektora brzne nekog t|ea, sto |e matematck zrazeno:v m
p Impus |e staan kada na t|eo ne d|eu|u nkakve se. M|en|a se kadase
t|eu m|en|a brzna pod ut|eca|em se. Mozemo psat:t F t a m p Tu |e
zanm|vo uoct da |e sa vremenska dervac|a mpusa. Tako |e Newton
formurao svo| 2. zakon.( ) v mdtddtp dF
15.3.)Pr|enosmpusasedogaakad|ednot|eod|eu|enadrugot|eonekomsom.
Impus|etadat F p , gd|e|e t vr|emeuko|emt|eameud|eu|u.
Vazno|enapomenut da|eukupn mpusocuvan u suca|u da n|edna van|ska sa
ne d|eu|e na sustav ta dvat|ea. To pravo se zove Zakon ocuvan|a
mpusa. Matematck se tozrazava ovako: + +'2'1 2 1p p p p konstanta:(
) 02 1 + p p 1215.4.) Sa |e ono sto da|e mas akceerac|u. Formano
denrana, sa|e vremenska dervac|a mpusa. U formuac| Isaaca
Newtona,|ednadzba se |e:( ) v mdtddtp dF Ako |e masa konstantna,
ta| zraz se m|en|a u poznat| zraza m F .Pogeda|mo zasto:( ) a mdtv
dmdtv dm vdtdmv mdtddtp dF + Kako|emasakonstantna,
n|enadervac|a|enua preosta|esamocan dtv dm, ko| se pretvor ua m,
|er |e dervac|a brzne po vremenuakceerac|a.16.) Newtonov zakon. Sto
|e smsao svakoga od n|h?16.1.)1. zakon T|eo mru|e ustra|e u
|ednokom gban|u popravcu ukoko n|edno drugo t|eo ne d|eu|e na
n|ega.Newton |e ovm zakonom denrao nov po|am nerc|u. T|eose, kadga
se stav u gban|e,zeodrzatu gban|u.Takoerpos|edca |e ta da su se mog
denrat nerc|sk sustav.2. zakon Ako na neko t|eo d|eu|e sa, ono se
pocn|e gbat|ednoko ubrzano u sm|eru d|eovan|a se.Smsao ovog zakona
|e da se za prom|enu mpusa t|ea trebauozt sa to koko se uazemo,
toko m|en|amo mpus. Sadmozemo denrat nenerc|ske sustave.3.
zakonKada|ednot|eod|eu|esomnadrugot|eo, tot|eo d|eu|e na prvo t|eo
som |ednakog znosa, a suprotneor|entac|e. Poznat| kaozakonakc|e
reakc|e, ova| zakon|eteme| zazakon ocuvan|a mpusa.17.) Newtonov
zakon opce gravtac|e. Gravtac|ska konstanta.Sa ko|om Zem|a prvac
t|ea na svo|o| povrsn. Ubrzan|e seteze.17.1.) Kroz mnoga m|eren|a
promatran|a pronaen |e zak|ucak da sedva sferna t|ea prvace som:31
21 22 1r rr rm m G F gd|e su1m 2m maset|ea,1r2rvektor pooza|a
n|hovhsredsta, aGgravtac|ska konstanta. Kad bsmo |edno od t|ea
stavu sredste koordnatnog sustava, dob bsmo poznat zraz
zagravtac|sku su:rr m mGrrm m G F 22 132 1 17.2.) Gravtac|ska
konstanta |e konstanta proporconanostgravtac|ske se. Ona znos:2 2 2
1110 671 . 6 kg m N G . Moze sezracunat pomocu urea|a za m|eren|e
gravtac|ske se. Ta| urea| se13sasto|
oddv|emaekugcepovezanespkomzanemarvemaseob|esenom konopcem u
n|eznom sredstu. Pokra| n|h se stav kugarazm|erno veke mase. Tada
ce te dv|e kugce zapocet ttran|e zbogut|eca|a gravtac|ske se veke
kuge. Ono se moze m|ert, matematckm postupcma mozemo zracunat
konstantu.17.3.) Ta sa se moze agano zracunat. Masa Zem|e |e:kg
MZ2410 9742 . 5 . Ako aproksmramo da |e Zem|a pravn sferod, da|e
n|ezn prom|er 6378.1 km, da |e uda|enost od povrsne Zem|e dosredsta
t|ea vro, vro maa u odnosu na poum|er Zem|e, tada |e sako|om |e
t|eo maseMprvuceno:( )MsmMR M MG FZZ 226241128 . 910 3781 . 610
9742 . 510 671 . 617.4.) Konstanta ko|a mnoz masu M u 17.3.) |e
konstantagravtac|skogpo|aZem|e. Takoer sezoveubrzan|esetezenaZem|.
Oznacavaseg. Akopogedamozrazzagravtac|skusuko|om Zem|a prvac
t|eo2ZZR M MG F pretpostavmo da |e t|eo na neko|vsn h od Zem|ne
povrsne,tada vr|ed:( ) ( )Mh RMGh RM MG FZZZZ+ + 2 2Izraz ( ) 2h
RMGZZ+|e zraz za vr|ednost ubrzan|a se teze na Zem| navsnh .Opcento
vr|ed:( )rh RMG g 2 + 18.) Apsoutna reatvna brzna. Gae|eva
hpotezanvar|antnost.18.1.) Apsoutna brzna |e brzna ko|a osta|e
|ednaka bez obzra na touko|emsesustavupromatrac naazo.
Reatvnabrzna|ebrznameu dva sustava ko|u prm|ecu|e promatrac z
|ednog od th sustava.18.2.) Gae|eva hpoteza nvar|antnost gas: Ako
se u nerc|skomsustavu |ednoko gba drug sustav, u oba sustava vr|ede
st zkanzakon. Tu hpotezu cemo dokazat.Neka |e sustavSnerc|sk, a u
n|emu |ednoko transatra sustav 1Sbrznom V. Tada |e pooza| tocke
ko|a transatra skupa sa sustavom1Su sustavuS|ednak:t V r r + 1gd|e
|e1rrad|vektor pooza|a te tocke u sustavu1S , a t Vrad|vektor
pooza|a sustava 1S u trenutkut . Kad to dervramo povremenu
dobvamo:14Vdtr ddtr d + 1sto |e stovr|edno sa V v v + 1Imamo pravo
za transformac|u brzna pr preasku zmeu sustava.Opet dervramo
dobvamo:21222dtr ddtr d sto |e stovr|edno sa1a a Kad ta| rezutat
pomnozmo s masom t|ea ko|a osta|e neprom|en|enapr preasku zmeu
sustava, doazmo do zak|ucka:11F Fa m a m Se se u oba sustava
|ednako opaza|u, sto znac da su u oba sustavasv zkan zakon st!O. E.
D.19.) Atwoodov padostro|. Ubrzan|e, napetost nt.19.1.)
Atwoodovpadostro| sesasto| odkooturesvodoravnomosvrtn|e, ko|a s
osovnomstvara zanemarvo tren|e, preko ko|e |eprebacena nt zanemarve
mase, ko|a s kooturom stvara zanemarvotren|e, na ko|u su ob|esena
dva t|ea razcth masa, 1m2m . Uogant |eprenosen|esenapetost nt.
Kadpustmostro|, tezamasapovac aksumasu. Laksamasaseuzdze,
atezaspusta. Btno|esada zracunat akceerac|u ko|om se to dogaa kao
su napetostnt.19.2.) Dogovormo pr|e racunan|a da |e 1m > 2m
odabermo da |esm|er prema do|e poztvan. Tada s|ed
prm|enomNewtonovhzakona:g m N a mN g m a m1 12 2 Izrazmo napetost
nt N . Iz prve |ednadzbe dobvamo:a m g m N2 2 A z druge:a m g m N1
1+ Ta dva zraza z|ednacmo zracunamo ukupnu akceerac|u sustava a:( )
( )gm mm maa m m g m ma m g m a m g m2 11 22 1 1 21 1 2 2++ + Ovo
mozemo protumact: akceerac|a |e nastaa kao rezutanta teznadv|e
mase, a ona t|era ob|e te mase. Zak|ucak se namece: t|ea suu
akceerranom sustavu.|os nam osta|e zracunat napetost nt N . Uvrstmo
zraz za aubo ko|u od gorn|h |ednadzb:a m g m N1 1+ 15gm mm mm g m
N2 11 21 1++ g mm mm mN12 11 21
,_
++ g mm mm m m mN12 11 2 2 1+ + +gm mm mN2 12 12+20.)Denc|at|ea.
Hookeovzakonzaeastcnedeformac|e.Youngov modu. D|agram kdan|a.20.1.)
T|eo |e svak ob|ekt s masom.20.2.)
Hookeovzakonkazeda|eprodu|en|erastez|vogmater|aaproporconanosasom
du|nomsegmentanako| d|eu|esa, aobrnuto proporconano poprecnom
pres|eku tog segmenta. Konstantaproporconanost |e Youngov modu E
ko| se po dogovoru pse unazvnku. Formua za produ|en|e l gas:lSFEl
120.3.) Youngov modu |ekonstantaproporconanost uformu
zazracunavan|e produ|en|a pr d|eovan|u se na eastcn mater|a. On|e
karakterstcan za svak mater|a.20.4.) D|agram kdan|a |e graf ko|m se
prat ponasan|e mater|aa prrastezan|u. Na n|egovo| apscs|e
produ|en|e,ana ordnat sa. Napocetku |e tzv. eastcno podruc|e gd|e
vr|ed Hookeov zakon. Nakontogas|ed podruc|egd|ese
manfestra|upo|avekarakterstcnezamater|a. Na kra|u se t|eo kda zbog
preveke se.21.)Rotac|avektorabrznemater|anetockeukrutomt|euko|e se
vrt stanom kutnom brznom.21.1.) Kruto t|eo rotra kutnom brznom
prtom svaka mater|anatocka u n|emu ma neku obodnu brznu kruzen|a.
Ta brzna |eproporconana uda|enost od os rotac|e. Poznato |e otpr|e
da |e tabrzna|ednaka: r v . Kakotockakruz, n|enrad|vektor
nacnkruzncu, a tako vektor brzne rotra oko os rotac|e.22.) Osnovne
postavke kascne mehanke. Skup dodatnhnerc|skh sustava.22.1.) Kascna
mehanka |e do zke ko| proucava geometr|skasvo|stva gban|a mater|anh
t|ea u ovsnost o vremenu kao uzroketh gban|a. Zakon mehanke vr|ede
u svm podruc|ma zke.4 osnovne postavke kascne mehanke su
s|edece:1.) Prostor |e eukdsk. Ima 3 prostorne dmenz|e.162.)
Prostor |e homogen zotropan. Svaka tocka prostora ma stasvo|stva
(homogenost) z svake tocke prostor zgeda sto(zotropnost).3.)
Newtonov zakon vr|ede u nerc|skom sustavu promatraca ko|mru|e na
Zem|no| povrsn. Ubrzan|e Zem|e oko n|ezne os n|enoubrzan|e u putan|
oko Sunca se moze zanemart.4.) Vr|ed Newtonov zakon opce
gravtac|e.22.2.) Skup dodatnh nerc|skh sustava cne on sustav u
ko|ma namse cn da mru|emo, ako se zapravo krecemo, mozda ubrzano.
Takvsustav su uobca|eno vezan za Zem|u. Nek takv sustav su s|edec:-
Zem|a, ako zanemarmo n|eno gban|e oko Sunca- Sunce, ako zanemarmo
n|egovo gban|e oko centra gaaks|e- nasa gaaks|a, ako zanemarmo
gban|e ostah gaaks|a23.) Inerc|sk nenerc|sk sustav. Zakon gban|a
unenerc|skomsustavu. Prvdnese. Teznat|ea. Apsoutnoreatvno ubrzan|e.
23.1.) Inerc|skm sustavom zovemo svak sustav ko| u odnosu na
nasreferentn sustav mru|e se gba |ednoko po pravcu. Kad
gapromatramo, vdmodaun|emu|ednakovr|edeNewtonov zakon.Nenerc|skm
sustavom zovemo svak sustav ko| se u odnosu na nasreferentn
sustavgbasnekomakceerac|om. Kadgapromatramo,opazamodaNewtonov aksom
nevr|ede, vecsenerc|anesem|esa|u u n|hovo funkconran|e.23.2.)
Unenerc|skomsustavu vr|ed drugac| zakon gban|a oduobca|enog. Uzrok
tomu |e ta| sto se sustav gba s akceerac|om, aznamodaakceerac|aznac
da|enekasaupetena. Promotrmopobze kako to funkconra.Nenerc|sk
sustav S se u odnosu na nerc|sk sustav S gbareatvnomakceerac|om Ra.
Akoseun|emu|osnekot|eogbadrugom akceerac|om NIa, onda ukupnu
akceerac|u promatranu znerc|skog sustava mozemo rastavt na dva
doprnosa:R NI Ia a a + Ako ovu reac|u pomnozmo s masom uzmemo u
obzr da |e sa unerc|skom sustavua m F , dobvamo rezutat:R NIa m a m
F + odnosno:NI Ra m a m F Kako |e desna strana ono sto uzroku|e
akceerac|u uS , vd|vo |e dacak ako na sustav ne d|eu|u se, u
sustavu se os|eca sa Ra m . Tusu nazvamo prvdnom pseudo-som. Napsmo
|e ovako:R a m F 23.3.) Prvdne se su se ko|e d|eu|u na t|eo dok se
ono naazunenerc|skom sustavu. U prosom stavku sam ob|asno n|hov
zvod.Sad cu samo ponovt formuu:R a m F 1723.4.) Tezna|esako|omt|eo,
zbogut|eca|agravtac|skogpo|a,d|eu|e na podogu ov|es. Podoga ov|es
se suprotstav|ad|eovan|uteznesamareakc|epodoge napetost nt.
Tezna|e|ednaka:g m FU suca|u da se t|eo naaz u nenerc|anom sustavu
s akceerac|oma u homogenom gravtac|skom po|u konstante po|a g,
tezna semozem|en|at |ernat|eod|eu|e|os|ednasa, nazovmo|u pF.Onda |e
tezna:( ) g g a m g m F | + Ako demo samo racunsk racunat teznu,
ako or|entramo poztvndo prema do|e,formua ma samo mae prom|ene: cos
ma mg F + gd|e |e kut zmeu vektoraa g.23.5.) Apsoutno ubrzan|e |e
ubrzan|e ko|e |e sto u svm sustavma zko|egsepromatra.
Reatvnoubrzan|euodnosunanek sustav|ebrzan|e ko|e promatrac z tog
sustava prm|ecu|e.24.) Tren|e. Faktor (koec|ent) tren|a. Couombova
kosna.Tren|e kotr|an|a.24.1.) Tren|e |e sa ko|a se |av|a kad god
pokusamo nekakvo gban|e.|av|a se zbog sudaran|a mkrozapreka na
povrsnama dva|u t|ea ko|asetaru. Kokogodsu povrsnemakroskopsk
gatke,namkroraznvd|va su spupcen|a. Na to zapn|u t|ea. Sa tren|a
n|eproporconana dodrno| povrsn t|ea, vec n|egovo| tezn,
tocn|ereceno s reakc|e podoge na teznu t|ea. Na horzontano|
podozsareakc|epodoge|e|ednakatezn, anakosn sman|u|esepozakonu: cos
g m Ngd|e |e kut kosne.Dake, sa tren|a, tF, |ednaka |e:N Ft gd|e |e
koec|ent tren|a, aN normana reakc|a podoge.Da b se t|eo pokrenuo,
sa ko|om se d|eu|e na n|ega mora bt vecaod tF onda |e rezutantna
akceerac|a:mF Fat 24.2.) Faktor (koec|ent) tren|a |e konstanta
proporconanostse tren|a. Razku|emo koec|ent tren|a mrovan|a
koec|ent tren|agban|a.
Izempr|skogskustvaznamoda|esapotrebnadat|eopokrenemo man|a od se
potrebne da t|eo odrzmo u gban|u.
Kakosusereakc|epodogeuobasuca|aste, m|en|asekoec|anttren|a: >
k1824.3.) Na kosnu postavmo t|eo masem promatramo se.Gravtac|sku su
rastav|amo na dv|e komponente: okomtu na kosnu paraenu kosn:
sin||mg F cos mg F Sada, sa tren|a |e proporconana s reakc|e podoge
ko|a |e u ovomsuca|u |ednaka s F, a suprotnog sm|era. Dake, s|ed:
cos mg N Ft Sa ko|a t|era t|eo na kretan|e |e sa||F. Kad su te dv|e
se |ednake,t|eo se pocn|e gbat. tancossincos sincos sin|| mg mgF
FtZa to, kako smo pokaza, treba bt |ednak tangensu kuta
kosne.24.4.) Tren|e kotr|an|a se |av|a kada se neko okrugo t|eo
kotr|a popodoz. Uzroc mu mogu bt deformac|a t|ea deformac|a
podoge,a obo|e. Man|e|eodobcnogtren|a|erovd|esepodogepomcu|edna
spod druge tako sman|u|u tren|e.25.) Odnos pooza|nh vektora, brzna
ubrzan|a dva|u sustavako| se redom u odnosu na drugoga gba|u na
prozvo|an nacn.25.1.) Inerc|sk sustav S mru|e ma neprom|en|ve
|edncnevektore. Utomsustavupooza| neketocke|eopsanvektorom
Ir.Nenerc|sk sustav S ma shodste c| |e pooza| u S opsanvektorom
I!r. Usustavu S pooza| tockeopsu|emovektoromr.B|eodano |e octo da
|e veza zmeu koordnata tocaka u tmsustavma dana s:r r rI! I +
Kakobsmo|ospoopc naserazmatran|e, pretpostavmodasustavS , uz to sto
se prozvo|no gba, |os rotra oko prozvo|ne os kutnombrznom.Zapsmo
sada reac|e za pooza|, brznu akceerac|u vektora IrusustavuS :I I I
I I I Iz z y y x x r + + I I I I I IIIz z y y x xdtr dv + + z z y y
x xdtr ddtv daI I I I II II 22 + + Takoer, zapsmo reac|e za pooza|,
brznu akceerac|u vektora I!ru sustavuS :I! I! I! I! I! I! I!z z y y
x x r + + I! I! I! I! I! I!I!I!z z y y x xdtr dv + + I! I! I! I! I!
I!I! I!I!z z y y x xdtr ddtv da 22 + + 19U sustavuS su |edncn
vektor x ,y z rotran skupa sa c|emsustavom. Zato mozemo psat n|hove
vremenske dervac|e nas|edec nacn:xdtx d ydty d zdtz d Ove rezutate
uspored s ptan|ma 9.) 10.) za po|asn|en|e.U sustavu S , kao sto smo
vec rek, pooza| tocke opsu|emovektoromr.Da bsmo
dobbrznu,ta|vektormoramo dervrat.Uzevsu obzrkako se ta| vektor
dervra, dobvamo s|edecu reac|u:( ) r v r r vdtz ddty ddtx dr r rdtr
dr rdtdrr rdtddtr d + + ,_
+ + + + Sad, da naemo akceerac|u ova| dobven zraz dervramo
korstecprava za dervac|u zbro|a vektorskog umnoska:( ) + + + + r
rdtdrdtv ddtr drdtddtv ddt r d22 ( ) + + + ,_
+ + + r v rdtv ddtr dr rdtdrrdtv d ( ) r v rdtv d + + +
Pogeda|mokakav|edtv d. Zastoontrebaposebnupozornost? |ervektorv
skupa sa sustavom rotra tu se dogaa|u neke posebnost.Prvo, rastavmo
ga na komponente duz os sustavaS :z v y v x v vz y x + + Sad, n|ega
dervramo korstec pravo o dervac| umnoska zbro|a: + + + + + ,_
+ + ,_
+ + ,_
+ z v y v x vdtz dvdty dvdtx dvdtz dv z vdty dv y vdtx dv x vdtv
dz y x z y xz z y y x x Pos|edn|a tr cana cne nearnu akceerac|u a,
a sto se tce ovhdervac|a, uvrstmo ono sto smo pr|e napsa za
dervac|e |edncnhvektora. Dobvamo:( )a va z v y v x va z v y v x vz
v y v x vdtz dvdty dvdtx dvz y xz y xz y x z y x + + + + + + + + +
+ + + Dobven rezutat uvrstmo u ( ) r v rdtv d + + + mamo:( ) ( ) r
v r a r v r a vdt r d + + + + + + + 222Takosmostvar r|es usustavu S
. Sadsetrebamoprebact usustavS . To cnmo zna|uc vezu zmeu
koordnatama:r r rI! I + Dervramo prv put da dob|emo brznu:20( ) r v
vdtr ddtr dr rdtddtr dvI!I!I!II + + + + Za akceerac|u |e potrebna
|os |edna dervac|a:( ) ( ) r v r a adtr ddtr dr rdtddtr daI!I!I!II
+ + + + + + 222222222Su dob|emo kad ta| zraz pomnozmo s masom:( ) r
m v m r m a m a m FI! + + + + 2Sadmozemo|epo pratt
nastankeraznhpseudosa vezanhzakomponente akceerac|e.26.) Corosovo
ubrzan|e, prm|er. Ubrzan|e zbog prom|enevektora kutne brzne.26.1.)
U nenerc|anom sustavu ko| rotra, |av|a se |edna
pseudosa,nazvanaCorosovom, premaGasparduGustavuCorosuko| |u|eprv
opsao. Ona |e obka:v m FC 2Corosovo ubrzan|e |e:v aC 2D|eovan|e te
se se octu|e kada promatramo stazu t|ea u sustavuko| se vrt. Zbog
n|eznog ut|eca|a z nenerc|anog sustava seprm|ecu|e da se t|eo gba
po zakrv|eno| staz.Prm|er za to |e Foucautovo n|hao. To |e bo ko|e
reatvno dugackomatematcko n|hao ko|e se pust da ttra. Zbog ut|eca|a
Corosovese prm|ecu|e se da n|hao rotra svo|u ravnnu rotac|e. Moze
se recdapocn|e''kruzno'' ttrat. Istotako, prm|er|e,
akopodostavec,ponasan|er|ekanas|everno| poutc
Zem|eko|etekuprema|ugu.Mozesevd|etda|acederu desnuobau,aman|e |evu.
Oneko|eteku prema s|everu |ace deru svo|u |evu obau. Na |uzno|
poutc |e toobrnuto.26.2.) U rastavu se u nenerc|anom sustavu ko|
rotra |av|a se canr m . Can |e vektor kutnog ubrzan|a. Dake, ako
m|en|amokutnubrznu, dobtcemo|os|ednusuko|aceut|ecat nagban|e.Ona
da|e ubrzan|e okomto na sm|er gban|a t|ea.27.) Gae|eva
nvar|antnost. Gae|eve transformac|e: pooza|,brzna, ubrzan|e se.
Gae|eve transformac|e energ|e mpusa.27.1.) Gae|eva hpoteza
nvar|antnost gas: Ako se u nerc|skomsustavu |ednoko gba drug
sustav, u oba sustava vr|ede st zkanzakon. Tu hpotezu cemo
dokazat.Neka |e sustavSnerc|sk, a u n|emu |ednoko transatra sustav
1Sbrznom V. Tada |e pooza| tocke ko|a transatra skupa sa
sustavom1Su sustavuS|ednak:t V r r r + + 1
021gd|e|e0rrad|vektorpocetnogpooza|ashodstasustava1S ,1rrad|vektor
pooza|a te tocke u sustavu 1S , at V rad|vektor
pooza|ashodstasustava1S utrenutku t .
Kadtodervramopovremenudobvamo:Vdtr ddtr d + 1sto |e stovr|edno sa V
v v + 1Imamo pravo za transformac|u brzna pr preasku zmeu
sustava.Opet dervramo dobvamo:21222dtr ddtr d sto |e stovr|edno
sa1a a Kad ta| rezutat pomnozmo s masom t|ea ko|a osta|e
neprom|en|enapr preasku zmeu sustava, doazmo do zak|ucka:11F Fa m a
m Se se u oba sustava |ednako opaza|u, sto znac da su u oba
sustavasv zkan zakon st!O. E. D.27.2.) U dokazu su zvedene formue
za transformac|e zmeusustavaS 1S, a cu h tu ponovt.Pooza|: Brzna:
Akceerac|a:t V r r + 1V v v + 1 1a a Ako nas zanma samo racunsk
aspekt, ne vektorsk, ondatransformac|e du ovako:Pooza|(rastav|eno
na koordnate):t V x x xx + + 1 0 xV |e pro|ekc|a brzne na x-os. cos
V Vx |e kut zmeu vektora brzne bzeg krakax-os.t V y y yy + + 1 0
yV|e pro|ekc|a brzne na y-os. cos V Vy|e kut zmeu vektora brzne
bzeg krakaz-os.t V z z zz + + 1 0 zV |e pro|ekc|a brzne na z-os.
cos V Vz|e kut zmeu vektora brzne bzeg krakaz-os.Brzna:V v vx x+ 1
,V v vy y+ 1 ,V v vz z+ 1 ,Akceerac|a:1a a 27.3.) Kako se m|en|a|u
energ|a mpus? Buduc da Gae|evahpoteza nvar|antnost naaze da su zkan
zakon u svm nerc|skmsustavma |ednak, onda cemo pomocu toga pokazat
kako seponasa|u energ|a mpus pr preasku z |ednog sustava u
drug.Krenmo od zakona ocuvan|a energ|e u sustavuS :22" # m # m v m
v m + + +22 221 122 221 1212121211v 2vsu brzne t|ea pr|e sudara, 1#
2#brzne nakon sudara, a"prom|ena unutrasn|e energ|e (osoboena topna
prkomsudara). Prebacmo sada brzne u sustav 1S . Reac|e su s|edece:V
v v + 1 1V # # + 1 1V v v + 2 2V # # + 2 2Brzne s crtcomsu brzne u
sustavu1S . Zapsmo sada zakonocuvan|a energ|e u sustavu 1S :" # m #
m v m v m +++22 221 122 221 121212121"se ne m|en|a kad sepreaz z
sustava usustav.Uvrstmo sadavr|ednost brzna:( ) ( ) ( ) ( ) " V # m
V # m V v m V v m + + + + + + + 22 221 122 221 121212121( ) ( )( )
( ) " V V # # m V V # # mV V v v m V V v v m+ + + + + + + + + + +
2222 22121 12222 22121 1221221221221 " V m V # m # m V m V # m # mV
m V v m v m V m V v m v m+ + + + + + + + + + +22 2 222 221 1 121
122 2 222 221 1 121 12121212121212121Ponstmo canove ko| se
ponav|a|u s ob|e strane drugac|eposozmo |ednadzbu." V # m V # m # m
# m V v m V v m v m v m + + + + + + +2 2 1 122 221 1 2 2 1 122 221
121212121Zakon ocuvan|a energ|e se podudara u suca|u da su zrazV v
m V v m + 2 2 1 1 V # m V # m + 2 2 1 1 |ednak. Izdvo|mo ta| do
pokazmoda on mora|u bt |ednak. Dobvamo:V # m V # m V v m V v m + +
2 2 1 1 2 2 1 1Pod|emo c|eu |ednadzbu s V. To sm|emo |er |e on
razct od nue.Rezutat |e:2 2 1 1 2 2 1 1# m # m v m v m + +To |e
zakon ocuvan|a mpusa u sustavuS . Zakon ocuvan|a mpusa
usustavuSgas:2 2 1 1 2 2 1 1# m # m v m v m + + Zam|enmo brzne po
pr|asn|m formuama. Dobvena reac|a |e:( ) ( ) ( ) ( )V m # m V m # m
V m v m V m v mV # m V # m V v m V v m2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 12 2 1
1 2 2 1 1+ + + + + ++ + + + + + Kada ponstmo canove ko| se
ponav|a|u, mamo:2 2 1 1 2 2 1 1# m # m v m v m + +23Dake, zakon
ocuvan|a mpusa vr|ed. Buduc da on vr|ed, vr|edzakon ocuvan|a
energ|e.28.) Tezna t|ea.28.1.) Tezna|esako|omt|eo,
zbogut|eca|agravtac|skogpo|a,d|eu|e na podogu ov|es. Podoga ov|es
se suprotstav|ad|eovan|uteznesamareakc|epodoge napetost nt.
Tezna|e|ednaka:g m FU suca|u da se t|eo naaz u nenerc|anom sustavu
s akceerac|oma u homogenom gravtac|skom po|u konstante po|a g,
tezna semozem|en|at |ernat|eod|eu|e|os|ednasa, nazovmo|u pF.Onda |e
tezna:( ) g g a m g m F | + Ako demo samo racunsk racunat teznu,
ako or|entramo poztvndo prema do|e,formua ma samo mae prom|ene: cos
ma mg F + gd|e |e kut zmeu vektoraa g.Napravo:Mat|a Zesko,
PMF-FO24
