Utjecajne linije.pdf

FUNKCIJE UTJECAJA I UTJECAJNE LINIJE Funkcije utjecaja i utjecajne linije koriste se kod proračuna konstrukcija na djelovanje pokretnih opterećenja. Zadatak: odrediti onaj položaj pokretnog opterećenja koji će dati najnepovoljniji utjecaj na konstrukciju ili njene dijelove. Utjecajna funkcija – funkcija kojom je određena neka statička ili geometrijska veličina u bilo kojoj točki ovisno o položaju jedinične sile koja se kreće po nosaču. U općenitom obliku, funkcije utjecaja su funkcije dviju varijabli – jedna je mjesto na nosaču u kojem se želi odrediti neka veličina, a druga je položaj jediničnog opterećenja. Praktično, funkcija utjecaja je funkcija jedne varijable. Kod utjecajnih funkcija zadan je položaj u kojem se izračunava promatrana veličina (točka xt), a jedinična sila se ‘kreće’ po nosaču te je varijabla x položaj jedinične sile. Oznaka utjecajne funkcije za neku veličinu F u presjeku xt: )x(

tFη ili tFη

Utjecajna linija – grafički prikaz utjecajne funkcije za linijske nosače - Razlika između utjecajnih linija i dijagrama unutarnjih sila!

1

A B

l

t

ηMt

t

x

xt1

η1

Na statički određenim sustavima utjecajne funkcije za statičke veličine po segmentima su linearne funkcije ili konstante. Pomoću utjecajne funkcije za neku veličinu može se odrediti iznos te veličine pri bilo kojem opterećenju nosača. Određivanje utjecajnih funkcija i utjecajnih linija: statički i kinematički postupak Statički postupak: izraz za iznos tražene veličine u obliku funkcije položaja x izvodi se iz uvjeta ravnoteže nosača opterećenog jediničnom silom u po volji odabranoj točki x.

tFη

Kinematički postupak: temelji se na teoremu o virtualnim pomacima – utjecajna linija jednaka je progibnoj liniji zamišljenog sustava, nastalog raskidanjem veze koja u izvornom nosaču prenosi dotičnu veličinu, ako se na mjestu i u smjeru te veličine zada jedinični pomak.

Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Utjecajne linije 106

Korištenje utjecajnih linija Utjecaj jedne koncentrirane sile

η⋅= PU

P

η

Utjecaj niza koncentriranih sila

nn2211 P . . . PPU η⋅++η⋅+η⋅=

∑=

η⋅=n

1iiiPU

Pi

ηi

P2P1 Pn

ηnη2η1


Kada je utjecajna linija pravac: α=η tgaii

∑∑==

⋅α=η⋅=n

1iii

n

1iii

)P( aPtgPU i

Utjecaj rezultante:

RR)R( aRtgRU α=η⋅=

⇒=⋅∑=

aRaP R

n

1iii

)R()(P UU i =

Pi

ηi ηR

P2P1 Pn

ηn

η2η1

R

A αai

aR

Utjecaj kontinuiranog opterećenja

xdQdU η⋅=

dxqdQ x ⋅=

∫∫ =η=→2

1

2

1

x

xx

x

xxx dFqdxq U

dFdxx =η

dQ1 2

dxxx2

x1

q2q1 qx

η1η2ηx

Za jednoliko raspodijeljeno kontinuirano opterećenje (qx = q): FqdFqU2

1

x

x⋅== ∫

Ako je utjecajna linija pravac:


QQU η⋅= Q

q2q1

η1

η2ηQ

Utjecaj koncentriranog momenta

λη−η

=η⋅λ

−η⋅λ

= dd MMMU l

l

α⋅=→ tgMU

ηl ηd

MM/λ M/λ

λα

UTJECAJNE LINIJE ZA STATIČKE VELIČINE NA JEDNOSTAVNIM NOSAČIMA

Utjecajne linije na prostoj gredi - Statički postupak

)x(fiF =η

a) Utjecajne linije za reakcije

∑ −=η→=l

l x0M AB

∑ =η→=lx0M BA

- predznak utjecajnih linija

1

xA B

lηA ηB

1 2

1

1

+

+

ηA1 ηA2

ηB1ηB2

ηA

ηB

b) Utjecajna linija za moment savijanja Jedinična sila se nalazi desno od presjeka t-t: l≤≤ xxt

)x(x

x ttAM t

−=⋅η=η ll

Jedinična sila se nalazi lijevo od presjeka t-t: txx0 ≤≤

xx

)x( ttBM t

⋅−

=−η=ηl

ll

1

A B

lηA ηB

t

+

ηMt

t

x

xt

xt

( x )l− t


c) Utjecajna linija za poprečnu silu Jedinična sila se nalazi desno od presjeka t-t: l≤≤ xxt

ll )x(

ATt

−=η=η

Jedinična sila se nalazi lijevo od presjeka t-t: txx0 ≤≤

lx

BTt−=η−=η

1+

1

A B

lηA ηB

tt

x

xt

1

ηTt

- Kinematički postupak Korištenjem principa virtualnih pomaka, utjecajne linije za statičke veličine dobivaju se kao linije pomaka dijelova nosača po kojima se kreće opterećenje nastale uslijed jediničnog pomaka na mjestu i u smjeru statičke veličine za koju se traži utjecajna linija. a) Utjecajne linije za reakcije

1

xA B

lηA ηB

1

1

+

+

ηA

ηB

Pravilo o predznacima kod određivanja utjecajnih linija kinematičkim načinom glasi:

Ordinate utjecajnih linija su pozitivne ako su suprotne od pozitivnog smjera opterećenja.


b) Utjecajna linija za moment savijanja

A B

+

ηMt

xt

xt

l−xt

Mt Mt1,21 2

I IIl−xt

11

δϕ1 δϕ2 c) Utjecajna linija za poprečnu silu

1+

1

ηTt

Tt

Tt

A

B

xt

1,21 2

I II

l−xt

δϕ2

δϕ1

δϕ =1 δϕ2

1


Utjecajne linije na konzoli - Statički postupak a) Utjecajna linija za moment savijanja Jedinična sila se nalazi desno od presjeka t-t:

)xx()xx(1 ttM t−−=−−=η

Jedinična sila se nalazi lijevo od presjeka t-t:

0tM ≡η

b) Utjecajna linija za poprečnu silu Jedinična sila se nalazi desno od presjeka t-t:

1tT +=η

A1

tt

x

xt l−xt

l−xt

ηMt

+ 11

ηTt

Jedinična sila se nalazi lijevo od presjeka t-t:

0tT ≡η

- Kinematički postupak

A

ηMt

+ 11

ηTt

I II

1


Utjecajne linije na gredi s prepustima Reakcije: ll )x(A −=η ; lxB =η

1A B

l

1

ηM1

1

x

x1

ηA ηBa b

22

33

x3x2

1

1

+

+

ηA

ηB

−

−

+

1 +

1

ηT1

+

ηM2

ηT2

1 1

ηM3

1 1ηT3 +

Moment savijanja i poprečna sila u presjeku 1-1: Jedinična sila desno od presjeka Jedinična sila lijevo od presjeka

1AM x1

⋅η=η ; AT1η=η )x( 1BM1

−η=η l ; BT1η−=η


Utjecajne linije na Gerberovim nosačima - Statički postupak

Utjecajne linije za reakciju u ležaju B, moment savijanja u presjecima 1-1 i 3-3, poprečnu silu u presjeku 2-2

A B1

ηM1

122

33

1 +

ηB

−

1+

1

ηT2

−

ηM3

E FC D G

+

+−

+

+

−−

+


Utjecajna linija za reakciju u ležaju A

A

B

1

E FC D

G

+−

+

1,21 2

I II

I’

II’

32,3

III

III’ηA

Utjecajna linija za moment savijanja u presjeku 1-1

A1

ηM1

1

E FG

+−

+

1

1,2

I II IVIII2,3 3,4

B C D

2 3 41


Utjecajne linije na posredno opterećenim nosačima Utjecajne linije za moment savijanja i poprečnu silu u presjeku t-t

I I I II IA B

1

tt

ηMt

+

1

+

1

ηTt

Utjecajna linija između dvaju sekundarnih poprečnih nosača je linearna.


ODREĐIVANJE EKSTREMNIH UTJECAJA Za određivanje položaja pokretnog opterećenja koje daje ekstremnu vrijednost neke veličine koriste se utjecajne linije.

Kritični položaj opterećenja. Kritična sila

Slučajevi kod kojih se može odrediti kritični položaj opterećenja: • kada je utjecajna linija poligonalnog oblika i na odsječku, koji nije manje duljine

od duljine opterećenja, ne mijenja predznak ili ako je čitava jednog predznaka, bez obzira na duljinu opterećenja.

Djelovanje niza koncentriranih sila na utjecajnoj liniji poligonalnog oblika

PiP1 Pn

η2

η1

α2

∆x

R1 R2 R3

η3

α1

α3

∆x ∆x

Pk

R1 R2 R3 Ispitivanje prirasta kod pomicanja opterećenja udesno ili ulijevo za ( i x∆ x∆+ x∆− ): Prirast utjecaja za pomak : x∆+ ( )332211

)( tgRtgRtgRxU α−α+α∆=∆ + Prirast utjecaja za pomak : x∆− ( )332211

)( tgRtgRtgRxU α+α−α−∆=∆ − Za kritični položaj opterećenja oba izraza moraju zadovoljiti uvjet da je prirast utjecaja manji od nule. Ako je jedna iz niza sila postavljena na jedan od šiljaka utjecajne linije (sila Pk):

za pomak x∆+ : ( )3k332211)( tgPtgRtgRtgRxU α−α−α+α∆=∆ +

za pomak x∆− : ( )2k332211)( tgPtgRtgRtgRxU α−α+α−α−∆=∆ −


Zaključak: Ovakav položaj opterećenja može dati ekstremni utjecaj samo ako je jedna od sila na jednom od šiljaka utjecajne linije. Sila koja se nalazi nad šiljkom i određuje kritični položaj opterećenja naziva se kritičnom silom. Kriterij za kritični položaj opterećenja: 0tgPtgRtgRtgR 3k332211 <α−α−α+α 0tgPtgR jkii <α−α∑

0tgPtgRtgRtgR 2k332211 <α−α+α−α− 0tgPtgR 1jkii <α−α− −∑ Prepostavlja se kritična sila i ispituje da li su zadovoljene obje nejednadžbe.

Kada je utjecajna linija trokut:

0tgPtgRtgR 2k2211 <α−α−α

0tgPtgRtgR 1k2211 <α−α+α−

atg max

1η

=α ; b

tg max2

η=α ⇒

Kriterij za kritični položaj opt.:

bPR

aR k21 +

< ; a

PRb

R k12 +<

Grafička konstrukcija određivanja kritične sile kada je utjecajna linija trokut:

21 tgtg γ<γ

43 tgtg γ<γ

aRtg 1

1 =γ

bPRtg k2

2+

=γ

bRtg 2

3 =γ

aPRtg k1

4+

=γ


Djelovanje kontinuiranog opterećenja Kontinuirano jednoliko raspodijeljeno opterećenje neograničene duljine s mogućnošću prekidanja: Opterećenje koje daje ekstrem postavlja se tako da se za maksimum optereti pozitivni dio utjecajne linije, a za minimum negativni.

Kontinuirano jednoliko raspodijeljeno opterećenje ograničene duljine: Prirast utjecaja za pomak dx:

( )ll η−η=η⋅+η⋅−= dd dxqdxqdxqdU Uvjet ekstrema:

0dxdU =

Kriterij za kritični položaj opterećenja: lη=ηd

d

ηl ηd

dx dx

q

Kontinuirano jednoliko opterećenje ograničene duljine ako je utjecajna linija trokut:

q

q

d1

d

d2

d

d1

d2

ηlηd

ηmax

a b


UTJECAJNE LINIJE NA TROZGLOBNIM NOSAČIMA

- Statički način određivanja utjecajnih linija - Utjecajne linije za reakcije Izrazi za odgovarajuće statičke veličine za vertikalno opterećenje:

fMH

0C= ; ; α+= tgHAA 0

V α−= tgHBB 0V

0CMH f

1 η=η

HAA tg0V

ηα+η=η

HBB tg0V

ηα−η=η


Utjecajna linija za moment savijanja

yHMM 0tt ⋅−=

HtMM y0

ttη⋅−η=η

a) Određivanje utjecajne linije korištenjem superpozicije

b) Određivanje utjecajne linije pomoću nul-točke


Utjecajna linija za poprečnu silu

( )ϕα−ϕ−ϕ= costgsinHcosTT 0tt

( ) HttTtT costgsincos 0

ttη⋅ϕα−ϕ−ηϕ=η

( )ttt costgsint ϕα−ϕ=

HtTtT tcos 0tt

η⋅−ηϕ=η


Slučaj kada je nul-točka utjecajne linije za poprečnu silu desno od zgloba C


Utjecajna linija za uzdužnu silu ( )ϕα+ϕ−ϕ−= sintgcosHsinTN 0

tt

( ) HttTtN sintgcossin 0tt

η⋅ϕα+ϕ−ηϕ−=η

( )ttt sintgcosn ϕα+ϕ=

HtTtN nsin 0tt

η⋅−ηϕ−=η


- Kinematički način određivanja utjecajnih linija - Utjecajna linija za moment savijanja

• pretvaranje statički određenog nosača u mehanizam s jednim stupnjem slobode

• određivanje apsolutnih i relativnih polova mehanizma

• određivanje vertikalnih i horizontalnih projekcija pomaka izazvanih inicijalnim jediničnim pomakom na mjestu i u smjeru momenta savijanja u presjeku t-t

• Označavanjem jediničnog pomaka i predznaka dobivaju se utjecajne linije za moment savijanja u presjeku t-t za vertikalno i horizontalno opterećenje


Utjecajna linija za poprečnu silu

Utjecajna linija za uzdužnu silu


UTJECAJNE LINIJE NA NOSAČIMA SA ZATEGAMA - Statički postupak

yHMM 0tt ⋅−= → HtMM y0

ttη⋅−η=η

( )ϕα−ϕ−ϕ= costgsinHcosTT i

0tt

HtTtT tcos 0tt

η⋅−ηϕ=η , ( )titt costgsint ϕα−ϕ=

( )ϕα+ϕ−ϕ−= sintgcosHsinTN i

0tt

( )titt sintgcosn ϕα+ϕ= , HtTtN nsin 0tt

η⋅−ηϕ−=η

Utjecajna linija za moment savijanja u presjeku


Utjecajna linija za poprečnu silu u presjeku

Utjecajna linija za uzdužnu silu u presjeku


Određivanje nul-točke utjecajne linije za moment savijanja


UTJECAJNE LINIJE NA OJAČANIM GREDAMA

it HN = → 2t HN η=η



Utjecajna linija za moment savijanja u presjeku t-t

UTJECAJNE LINIJE NA PODUPRTIM GREDAMA - Statički postupak Utjecajne linije za reakcije Izrazi za odgovarajuće statičke veličine za vertikalno opterećenje:

fMH

0C= ; ( )10

0 tgtgHAA α−α+= ; ( )n00 tgtgHBB α−α−=

0CMH f

1 η=η

( ) H10AA tgtg0 ηα−α+η=η

( ) H50BB tgtg0 ηα−α−η=η


Utjecajne linije za reakcije


Utjecajne linije za moment savijanja i poprečnu silu u presjeku t-t korištenjem nul-točki


UTJECAJNE LINIJE NA REŠETKASTIM NOSAČIMA - Statički postupak - Koriste se metode presjeka: Ritterova metoda i metoda projekcija a) Funkcija utjecaja za

1Sη

Kada je jedinična sila desno od presječenog polja: 01 A1

1S r

aη−=η

Kada je jedinična sila lijevo od presječenog polja: 01 B1

1S r

bη−=η

b) Funkcija utjecaja za

2Sη


2S r

aη=η


2S r

bη−=η

c) Funkcija utjecaja za

3Sη


3S r

aη=η


3S r

bη=η

Općenito: 0ii M

iS r

1 η±=η



Utjecajna linija za silu u štapu S1

Utjecajna linija za silu u štapu S2


Rešetkasti nosač s paralelnim pojasevima Funkcija utjecaja za silu u dijagonalnom štapu

0i

ii T

sin1Dα

±= → 0ii T

iD sin

1 ηα

±=η


Documents

Utjecajne linije.pdf