Uydu Jeodezisi - Lisans Ders Notlargalileo.selcuk.edu.tr/~aydin/docs/satgeo.pdfUydu Jeodezisi Lisans Ders Notları Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Harita

Uydu JeodezisiLisans Ders Notları

Aydın ÜSTÜN

Selçuk ÜniversitesiMühendislik Fakültesi

Harita Mühendisligi Bölümü

Konya, 2014

A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Uydu Jeodezisi (v.09.04.14) 1 / 66

Içerik I

1 GirisTemel kavramlarTarihçeUyduların jeodezide kullanımı

2 Uydu Jeodezisinin TemelleriReferans koordinat sistemleri datum dönüsümleriKonvansiyonel inersiyal sistemlerZaman sistemleri ve aralarındaki iliskilerElektromanyetik dalgalar ve atmosferde yayılımı

3 Uyduların Yörünge HareketiGöksel mekaniklerKepler yörüngeleri

Düzlemde hareket


Jeodezi ve uydular

Jeodezinin temel görevi;

Geometrik problem: Yerin seklinin ve boyutlarının belirlenmesi,tamamının ya da bir kısmının haritaya aktarılması

Fiziksel problem: Yerçekim alanının belirlenmesi

Dinamik problem: Iç ve dıs kuvvetler nedeniyle yerkabugunda veyerçekim alanında meydana gelen degisimlerin izlenmesi

Yapay yer uyduları 1957’den beri bu görevlerin yerine getirilmesi amacıylakullanılmaktadır.


Jeodezi ve uydular

Uydu Olcmeleri

Konum belirleme Uzaktan algılama Yercekim alanı

GNSS(GPS, GLONASS, GALILEO)

SRTM, LANDSAT,ENVISAT, vd.

CHAMP, GRACE, GOCE


Ölçme teknikleri

Uydu Olcmeleri

Yerden uyduya olcme Uydudan yere olcme Uydudan uyduya olcme

Orn. dogrultu olcmeleri, SLR,GNSS, DORIS

Orn. altimetre, uzaydan lazerolcmeleri, gradyometre

Orn. uydudan uyduya konum,uzunluk ve hız olcmeleri


Bütünlesik jeodezi

Butunlesik

Jeodezi

GeometrikJeodezi

FizikselJeodezi

JeodezikAstronomi

UyduJeodezisi

Donel elipsoide daya-lı (yatay) konum be-lirleme

Gravite alanının vejeodin belirlenmesi

Gravite alanındacekul dogrultusununbelirlenmesi

Uydular yardımıylakonum ve gravitealanı belirleme

Uzunluk ve dogrultuolcmeleri

Yukseklik ve graviteolcmeleri

Astronomik konumve zaman olcmeleri

Dogrultu, uzunluk,hız, ivme ve gravitetensor olcmeleri


Tarihçe (1957–1970)

1957 1959 1961 1963 1965 1967 1969

Sputnik-1

Sputnik-2

Explorer-1

Yeryuvarınınbasıklıgı(1/f = 298.3)

Armut bicimliyeryuvarı

Vostok-1Uzayda ilk insan

Fransa ve Cezayirarasında jeodezikbaglantı

Global Jeopotansi-yel ModelSAO-SE I (N = 8)

OSU68 (N = 14)

BC4 Dunya Agı

Pageos

Echo I Echo II

Transit

Anna 1b

Apollo 11

Aya uzunluk olc-meleri (LLR)

Ilk VLBI gozlemi


Tarihçe (1970–1980)

1970 1972 1974 1976 1978 1980

Jeodezik datumdonusumu uygula-maları

GEM1-4: N = 16

Skylab gorevi:Radar altimet-re gozlemleri

GPS projesininhayata gecirilmesi EDOC (Avrupa Dopp-

ler Kampanyası)

OSU78: N = 180

Starlette

Geos 3

Lageos 1

Yermerkezli cekimsabiti (GM)

Seasat 1

GPS-Block 1


Tarihçe (1980–1990)

1980 1982 1984 1986 1988 1990

AjisaiGPS sivilkullanımdaGPS zamanı baslangıcı

06.01.1980 UT=0h

WGS84–GPSbirlikteligi

Macrometer V100:Ilk GPS alıcısı

RINEX formatı

GPS Blok II

EUREF GPSKampanyası

Etalon 1-2

Geosat

OSU86FN = 360

RTCM1.0

IERS


Tarihçe (1990–2000)

1990 1992 1994 1996 1998 2000

Spot 2, Doris

ERS 1

Topex/Poseidon

Lageos 2

Glonass

IGS/IGNSS

ERS 2

EGM96N = 360

OSU91AN = 360

ILRS

IVS

GFZ 1 GRIM5S1N = 99

ICRF

TUTGAprojesi


Tarihçe (2000–2010)

2000 2002 2004 2006 2008 2010

Champ

SRTM

Grace

Envisat

Jason

Galileo projesi

EIGEN1SN = 119

GRACE1SN = 140

EGM2008N = 2190

CG01CN = 360

TUSAGA-AKTIFprojesi

Giove-A Giove-B

Goce


Uyduların kullanım amaçları [Seeber, 2003]

Uydu Olcmeleri Uygulamaları

Global jeodezi Muhendislik olcmeleri

Global gravite alanı, ortalama yer elipsoidi,global referans sistemleri, dusey datum, farklıdatumların birbirine baglanması

Duzlem olcmeleri, CBS uygulamaları, kartog-rafik uygulamalar, deformasyon olcmeleri, fo-togrametri ve uzaktan algılama icin yer kontrolnoktalarının tesisi, kamera kalibrasyonu

Jeodezik kontrol Navigasyon

Ulusal ve bolgesel aglar icin jeodezik kont-rol aglarının olusturulması, mevcut aglarınanalizi ve iyilestirilmesi, bagımsız aglarınbirlestirilmesi, agların sıklastırılması

Kara, deniz ve hava ulasım araclarının navi-gasyonu, deniz ve okyanus bilimleri icin konumbelirleme, maregraf istasyonlarının birbirinebaglantısı

Jeodinamik Diger disiplinler

Kabuk ve plaka hareketlerinin izlenmesi, ku-tup gezinimi ve yer donukluk parametrelerininbelirlenmesi, gelgit etkilerinin gozlenmesi

Yer bilimlerine yonelik olcme calısmaları icinkonum belirleme, buzul hareketlerinin izlen-mesi, atmosferik calısmalar vb.


Uydular ve jeodezik parametreler [Rothacher, 2002]

Parametre VLBI SLR LLR GNSS DORIS AltimetreICRF Koordinatları X(Kuasarlar)Nutasyon ∆ǫ,∆ψ X X (X)Kutup hareketi xP,yP X X X X XUT1 XGün uzunlugu (LOD) X X X XITRF koordinatları X X X X X (X)ve hızlarıYermerkezi X X X XGravite alanı X (X) X X XYörünge belirleme X X X X XLEO-POD X X X XTroposfer X (X) X X XIyonosfer X X X XZaman transferi X (X) X


Uydu jeodezisinde koordinat sistemleri

GörevleriUyduların uzaydaki konum ve hareketlerini tanımlamak

Uydu gözlemlerini modellemek

Uydu ölçmelerinden elde edilen sonuçları (yersel noktalarınkoordinatları, yerçekim alanı vb.) göstermek

ÖzellikleriGlobal ve yermerkezlidir (jeosentrik)

Zaman sistemleriyle bütünlesiktir

Kullanılan uydu ölçme teknigi, veri miktarı, dagılımı ve zamandilimine göre farklı referans sistemi gerçeklesmeleri (frame) ortayaçıkar


Dik koordinat sistemleri

Astronomik sistem

x y

z

u

g

b

P

e

n

Λ Φ

u: Yerel astronomik basucu (çekül egrisiboyunca)

u =−g

‖g‖ =

cosΦ cosΛcosΦ sinΛ

sinΦ

(2.1)

Jeodezik sistem

xe ye

ze

ue

γ

h

b

P

ee

ne

λ ϕ

ue: Yerel jeodezik basucu (elipsoitnormali boyunca)

ue =−γ

‖γ‖ =

cosϕ cosλcosϕ sinλ

sinϕ

(2.2)


Global sistem - Yerel sistem iliskisi(Elipsoidal sistemde)P’ye göre s egik uzunluk, α jeodezik azimut, ζ zenit açısı ile tanımlı ikincibir noktanın konumu yerel sistemde,

∆ne =

∆ne

∆ee

∆ue

= s

sinζ cosαsinζ sinα

cosζ

(2.3)

ile gösterilir. Global ve yerel sistem arasında dönüsüm:

∆xe = A∆ne Yerelden globale (2.4)

∆ne = A−1∆xe = AT∆xe Globalden yerele (2.5)

A=

− sinϕ cosλ − sinλ cosϕ cosλ− sinϕ sinλ cosλ cosϕ sinλ

cosϕ 0 sinϕ

(2.6)


Jeodezik datum sistemi

Geleneksel datum sistemleri ulusalveya bölgesel niteliktedirler(örnegin AD50, NAD27, AGD66vb.)

Bu sistemlerin olusturulmasındayersel ölçmeler (dogrultu, uzunluk,astronomik gözlemler) belirleyicirol oynar

Datum sistemini belirleyenparametreler

Referans elipsodininparametreleri (a, f)

Referans elipsoidinin konumu(dx= x0 = [x0,y0, z0]

T) Eksen dönüklük parametreleri

(εx,εy,εz) Diferansiyel ölçek (m)


Üç boyutta koordinat dönüsümü

x y

z

x′

y′

z′

ǫx

ǫy

ǫz

bP

Baslangıç noktaları çakısık farklı iki koordinatsistemi arasındaki iliski,

x=

x

y

z

= R(εx)R(εy)R(εz)x

′ = R

x′

y′

z′

(2.7)dönüsüm esitligi ile saglanır.

εx,εy,εz dönüklük elemanları için dönüsüm matrisi,

R=

cosεy cosεz cosεy sinεz − sinεy

sinεx sinεy cosεz− sinεx sinεy sinεz+ sinεx cosεy

cosεx sinεz cosεx cosεz

cosεx sinεy cosεz+ cosεx sinεy sinεz− cosεx cosεy

sinεx sinεz sinεx cosεz

(2.8)


Üç boyutta koordinat dönüsümü (devam)

Datum dönüsümleri

Dönüklük parametreleri dısında, ikisistem arasında baslangıç ve ölçekfarklılıklarının da bulunmasıuygulamalarda sıkça karsılan birdurumdur. Geleneksel ölçme tekniklerinedayalı datum sistemleri (örn. AD50) ileuydu tekniklerine dayalı jeodezik datumsistemleri (örn. ITRFxx) arasındakiaykırılıklar buna iyi bir örnektir.

x y

z

x′

y′

z′

ǫx

ǫy

ǫz

x0

x′

x

bP

bO

bM

Söz konusu uygulamalarda eksen dönüklük parametrelerinin çok küçükoldugu göz önüne alınırsa yedi parametreli Helmert benzerlik dönüsümü,

x

y

z

=

x0

y0

z0

+ (1+m)

1 εz −εy

−εz 1 εx

εy −εx 1

x′

y′

z′

(2.9)

çıkar.A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Uydu Jeodezisi (v.09.04.14) 19 / 66

Üç Boyutta Benzerlik Dönüsümü (AD50→TUTGA99A)

x y

z

x′

y′

z′

ǫx

ǫy

ǫz

x0

x′

x

bP

bO

bM

Avrupa Datumu 1950’denTUTGA99A’ya (ITRF96 1998.0 epogu)üç boyutta dönüsüm parametreleriTürkiye’de her iki sistemde koordinatlarıbilinen 97 nokta yardımıylabelirlenmistir [Ayhan et al., 2002].

Parametre Büyüklük Sigmax0 (m) −84.83 ±0.97y0 (m) −103.97 ±1.40z0 (m) −127.45 ±0.98εx (′′) −0.17149 ±0.04748εy (′′) - -εz (′′) 0.39951 ±0.042231+m (ppm) 1.04544 ±0.19440


Üç Boyutta ITRFyy-ED50 dönüsümünde problem

xg, yg H N

ϕ, λ h = H + N

ϕ, λ, h

x, y, z x, y, z

3B Donusum

ED50 TUDKA99 TAG94

ED50 ED50

ED50

ED50 TG99

ED50 Avrupa Datumu 1950TUDKA99 Türkiye Ulusal Düsey Datumu 1999TAG94 Türkiye Astrojeodezik Jeodi 1994TG99 Türkiye Ulusal Temel GPS Agı Datumu (ITRFyy)


Iki Boyutta ITRFyy-ED50 Dönüsümü

Elipsoit yüzeyinde dönüsüm:

xg, yg x, y, z

q, λ ϕ, λ, h

ϕ, λ ϕ, λ

2B Donusum

ED50

ED50

ED50

TG99

TG99

TG99

b

b

b P (ϕ,λ)TG99

b

b merkez

bc

bc

bc P (ϕ, λ)ED50

bc


Iki boyutta ITRFyy-ED50 dönüsümü

x0

y0

y cosα

ysin

α

xco

sα

xy

y

xα

α

x

y

x

y

bc

bc

bc

Düzlemde dönüsüm:

x = x0 + y sinα+ x cosα

y = y0 + y cosα− x sinα


ITRF2008’den önceki ITRF çözümlerine dönüsüm parametreleri

(epok: 2000.0, [Petit and Luzum, 2010, s. 41])

ITRF x0 y0 z0 m εx εy εz

çözümü (mm) (mm) (mm) (ppb) (0′′.001) (0′′.001) (0′′.001)ITRF2005 -0.5 -0.9 -4.7 0.94 0.00 0.00 0.00ITRF2000 -1.9 -1.7 -10.5 1.34 0.00 0.00 0.00ITRF97 4.8 2.6 -33.2 2.92 0.00 0.00 0.06ITRF96 4.8 2.6 -33.2 2.92 0.00 0.00 0.06ITRF94 4.8 2.6 -33.2 2.92 0.00 0.00 0.06ITRF93 -24.0 2.4 -38.6 3.41 -1.71 -1.48 -0.30ITRF92 12.8 4.6 -41.2 2.21 0.00 0.00 0.06ITRF91 24.8 18.6 -47.2 3.61 0.00 0.00 0.06ITRF90 22.8 14.6 -63.2 3.91 0.00 0.00 0.06ITRF89 27.8 38.6 -101.2 7.31 0.00 0.00 0.06ITRF88 22.8 2.6 -125.2 10.41 0.10 0.00 0.06


Uluslararası Göksel Referans Sistemi (ICRS ve ICRF)

x

y

z

Gr

Υ

ΘGr

NCP

S

α

δb

b

Eklipti

k

Ekvator

b

b

b

Υ Ilkbahar noktasıΘGr Yıldız zamanı (GAST)NCP Kuzey gök kutbuα Rektesansiyon (saga yönelim)δ Deklinasyon (yükselim)

01.01.1988 – 31.12.1997

– Yermerkezli (jeosentrik) dinamik sistem

– J2000 epogundaki ekvator ve ilkbaharnoktasının yönelimi esas alınmıstır

– ICRF (gerçeklesme): konum dogrulugu20-30 mas seviyesindeki 1535 yıldıziçeren katalog (FK5)

01.01.1998 –

– Kinematik sistem (günes sistemi merkezli(barisentrik) veya yermerkezli)

– Eksen yönelimleri J2000’deki ortalamaekvator ve dinamik ilkbahar noktasıylauyumlu olmak kosuluyla kuasarlara göretanımlı

– ICRF (gerçeklesme): VLBI tekniginedayalı olarak 212’si sistemi tanımlamakiçin kullanılan 608 kuasarın katalogkoordinatlarından olusur


Uluslararası Yersel Referans Sistemi (ITRS ve ITRF)Baslangıç Yerin agırlık merkezi (atmosfer ve okyanuslar dahil)

Ölçek Metre (yermerkezli koordinat zamanı (TCG) ile uyumlu)

Yönelim Eksen yönelimleri 1984.0 epogundaki BIH sistemiyle çakısık

Zamansalgelisim

Yatay kabuk deformasyonlarına göre No-Net-Rotasyon (NNR)kosuluyla saglanmaktadır

Gerçeklesme(ITRF)

Degisik uzay gözlem tekniklerine dayalı global nokta kümesinin3B koordinat ve hızlarıyla tanımlı

x

y

z

Baslangıc

Merid.(1984.0)

Ekvator

h

y x

z

b

b

b

λ

Yermerkezi

Yersel kutup (1984.0)

P

PE

ϕ

b


GCRS ve GTRS arasında dönüsümBir gök cisminin belirli bir gözlem anındaki (t epogu) yermerkezli gökselreferans sistemi (GCRS) koordinatlarından yermerkezli yersel referanssistemi (GTRS) koordinatlarına geçis asagıdaki dönüklük parametreleriyletanımlı dönüsüm matrisleriyle saglanır.

CRS→ TRS

rTRS =W(t)R(t)N(t)P(t)rCRS (2.10)

P presesyon etkisi: t0 (J2000) baslangıç epogundan t epoguna

N nutasyon etkisi: t epogundaki ortalama ekvator ve ilkbahar noktasındangerçek ekvator ve ilkbahar noktasına

R yer dönüklük etkisi: t epogunda CRS’nin gerçek ilkbahar noktasındanTRS’nin anlık baslangıç meridyeni dogrultusuna

W kutup hareketi etkisi: t epogunda anlık uzay sabit sisteminden konvansiy-onel yersel sisteme


Presesyon ve nutasyon etkisi

x

y

z

x′

y′

z′

Ort. ekvator@

t0Ekliptik

Ort. ekvator@

t

bb

b

b NCP0

b

Υ@t0

ζ

θz

bb

Υ@t

bNCPb

NEP

Gercek ekvator@t

Ort. ekvator@t

∆ψ

Ekliptik

ε+∆ε

ε

Υ@t

Υ@t


IAU76 presesyon modeliInersiyal bir sisteme göre yerin dönme ekseni presesyon konisi üzerindeuzun periyotlu bir hareket gerçeklestirir. Bunun sonucu olarak, ortalamagök kutbu ve ekvator düzlemi ile tanımlanan ekvatoral koordinatsisteminin eksenlerinde meydana gelen degisim asagıdaki presesyonelemanıyla ifade edilir:

ζ = 2306′′.2181t+ 0′′.30188t2+ 0′′.017998t3

θ = 2004′′.3109t− 0′′.42665t2− 0′′.041833t3

z = 2306′′.2181t+ 1′′.09468t2+ 0′′.018203t3

ǫ = 84381′′.448− 46′′.815t− 0′′.00059t2− 0′′.001813t3

(2.11)

Burada zaman degisimi,

t=t(TT)− t0(J2000)

36525=

JD− 2451545.0

36525(2.12)

J2000 (1 Ocak 2000, 12h) baslangıç anından itibaren geçen Jülyenyüzyılıdır.


Presesyon matrisi

t0 anı için ortalama ilkbahar ve ortalama ekvatora göre tanımlanmıs birkoordinat sistemindeki yıldız konumu, t gözlem epogundaki konumunapresesyon matrisi,

P(t) = Rz(−z)Ry(θ)Rz(−ζ)

=

− sin z sinζ − sin zcosζ − cos z sinθ+ cos zcosθ cosζ − cos zcosθ sinζ

cos z sinζ cos zcosζ − sin z sinθ+ sin zcosθ cosζ − sin zcosθ sinζ

sinθ cosζ − sinθ sinζ cosθ

(2.13)

yardımıyla tasınır.

P bir ortogonal matris oldugundan P−1 = PT esitligi geçerlidir.


IAU80 nutasyon modeliEkliptik egimi (ǫ) ve nutasyon açıları (∆ǫ ve ∆ψ), t anındaki CRS eksendogrultularının ortalama ekvator ve ekinoksdan gerçek ekvator ve ekinoksayöneltilmesini saglar. t epogundaki nutasyon açıları,

∆ψ =

106∑

i=1

(Ai + A′it) sin(ARGUMAN)

∆ǫ =

106∑

i=1

(Bi+ B′it) cos(ARGUMAN)

(2.14)

burada ARGUMAN =∑5

jNjFj dir. 106 terimli nutasyon serilerinin A,A′,B,B′

katsayıları ile ay ve günese iliskin Fj temel argümanların (l, l′,F,D,Ω) tamsayı

çarpanları (Nj) [McCarthy, 1996]’de verilmektedir. Ilerleyen yıllarda VLBI ve LLRgözlemleriyle IAU76/80 modellerinde belirlenen eksiklikler IERS tarafındandüzenli olarak izlenmekte ve yayımlanmaktadır. δ∆ψ (dpsi) ve δ∆ǫ (deps)düzeltme terimleri eklenmis nutasyon elemanları:

∆ψ =∆ψ(IAU80) +δ∆ψ , ∆ǫ =∆ǫ(IAU80) + δ∆ǫ (2.15)


Nutasyon matrisiǫ′ = ǫ+∆ǫ esitligi geçerli olmak üzere nutasyon matrisi,

N(t) = Rx(−ǫ′)Rz(−∆ψ)Rx(ǫ)

=

cos∆ψ − cosǫ sin∆ψ − sin ǫ sin∆ψ

cosǫ′ sin∆ψ cosǫ cosǫ′ cos∆ψ sin ǫ cosǫ′ cos∆ψ+ sinǫ sinǫ′ − cosǫ sin ǫ′

sin ǫ′ sin∆ψ cosǫ sin ǫ′ cos∆ψ sinǫ sin ǫ′ cos∆ψ− sin ǫ coscosǫ′ + cosǫ cosǫ′

(2.16)

ile gösterilir.

Güncel modeller [Petit and Luzum, 2010]Çok yüksek dogruluk gerektiren hesaplamalar için presesyon ve nutasyonmatrisleri güncel modeller yardımıyla olusturulmalıdır. IAU2000A veIAU2000/2006 modelleri, presesyon ve nutasyon büyüklükleri için etkisi 1 ms’denküçük düzeltme terimlerinin yanı sıra degisik uygulama seçeneklerini beraberindegetirmektedir.


Greenwich Yıldız Zamanı (GAST)Presesyon-nutasyon modelleri yeryuvarının dönme eksenini baska bir deyisleGöksel Efemeris Kutbunu (CEP) anlık konumuna (CIP) getirir. Bu eksen etrafındagerçek ekinoksun saat açısı (GAST) kadar gerçeklestirilecek döndürme islemininkoordinat sistemine etkisi,

GAST = GMST+∆ψ cosǫ+ 0′′.00264sinΩ+ 0′′.000063sin 2Ω (2.17)

olmak üzere [McCarthy, 1996],

R(t) = Rz(GAST) =

cos(GAST) sin(GAST) 0− sin(GAST) cos(GAST) 0

0 0 1

(2.18)

dönüsüm matrisiyle ifade edilir.

GAST ya da ERA

GAST (ya da GST) hesabı için kullanılan güncel esitlikler yer dönüklük açısını(ERA = θ(Tu)) içermektedir. Ekinoks tabanlı dönüsümler GAST’a, GökselEfemeris Orijin (CEO) tabanlı dönüsümler ise ERA açısına göre gerçeklestirilir.


GAST ve kutup hareketi etkisi

xC

yC

zC

xI yI

zI

xΥ

y

b

b

b b

b

bCTP

b

CEP

b

b

xp

yp

yp

xp

GAST

Υ

Konvansiyonel ekvato

r

Gercek ekvator


Kutup hareketixp, yp CIP’ın (ya da çok yakınanlamda CEP) konvansiyonelyersel kutba göre koordinat-ları olmak üzere GCRS’ninGTRS’ye dönüsümünün sonasaması,

R(t) = Ry(−xp)Rx(−yp)Rz(s′)

(2.19)esitligiyle saglanır. Kutuphareketi nedeniyle gerçekekvator üzerinde yerselbaslangıç noktasının birikmisyer degistirmesini s′ temsileder. z ekseni etrafındakis′ dönmesinin etkisi klasikyaklasımda gözardı edilmistir.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

yp [″]

-0.4-0.2

0.0

0.2

0.4

xp [″]

1996

1998

2000

2002

2004

2006

2008

2010

Yıl


Uydu jeodezisiYerin kendi ekseni etrafındaki dönme hareketine dayalı

Yeryüzünde gerçeklestirilen gözlemlerin zaman kaydı için UT (UT1) Dünya zamanı UTC Koordinatlandırılmıs Dünya zamanı (UT1 ile uyumlu atomik) GST Yıldız zamanı

Gök cisimlerinin yörünge hareketine dayalı

Uydu hareketlerinin izlenmesi için TT Yersel Zaman: Günes sisteminin efemeris zaman standardı TCG (Yermerkezli) ve TCB (Barisentrik) Koordinat Zamanı TDB Barisentrik Dinamik Zaman

Fiziksel (nükleer) süreçlere dayalı

Sinyalin yol alma sürelerinin ölçümü ve gözlem denklemlerininolusturulması için TAI Uluslararası Atomik Zaman: Resmi zaman standardı GPS zamanı: GPS konum ölçmelerinin zaman sistemi


Uydu jeodezisinde zaman sistemleri

TAI

−∆AT +32s.184

∆UT−∆AT UTC +∆TT

+∆UT1

UT1 +∆T TT

Dogrusal

TAI TCG

−19s 4D f(TDB,UT1,konum)

GPS TCB

Dogrusal

TDB

Sistem Tarih ZamanUTC 15.01.2006 21:24:37.500000TAI 15.01.2006 21:25:10.500000GPS 15.01.2006 21:24:51.500000UT1 15.01.2006 21:24:37.834100TT 15.01.2006 21:25:42.684000TCG 15.01.2006 21:25:43.322690TDB 15.01.2006 21:25:42.683799TCB 15.01.2006 21:25:56.893378


Elektromanyetik dalgaların özellikleri

Elektromanyetik dalga [Vikipedi, 2011]

Isımanın dalga teorisine göre, uzayda ya da maddesel bir ortamda yayılanve salınım yapan elektrik ve manyetik alanların birlikte olusturdugu kabuledilen dalgalara verilen addır.


Elektromanyetik dalgaların özellikleri (devam)

Boslukta düz bir dogrultuda yayılırlar.

Bosluktaki hızları ısık hızına esittir

c= λ f = 299792458 m/s (2.20)

Geçtikleri ortama; frekanslarıyla dogruorantılı, dalga boylarıyla ters orantılı olmaküzere enerji aktarırlar.

Enerjileri; maddeyi geçerken, yutulma vesaçılma nedeniyle azalır, boslukta iseuzaklıgın karesiyle ters orantılı olarakazalır.

Maddesel bir ortamda, sinyalin dogrultusu,hızı ve enerjisi degisir.

Sinyalin maddesel ortamdaki hızı,

v = λ f (2.21)

x

y

z

λ

Elektrik

alanı

Manyetik

alan


Sinyal yayılımının temelleri [Seeber, 2003]Periyot, açısal frekans ve dalga sayısı,

P= 1/f , ω = 2π f , k= 2π/λ (2.22)

Kırılma indisi ve kırıcılık katsayısı,

n=c

v=λBosluk

λ=

kBosluk

k, N = (n− 1)106 (2.23)

t anında alınan sinyalin fazı ve faz açısı ve sinüzoidal dalga denklemi

Φ =t

P+Φ0 , ϕ = 2πΦ , y = A sin(ωt+ϕ0) (2.24)

bt0

bt1

ϕ0

ϕ0 + ωt1

ϕ

y

b

b

y0 = A sinϕ0

y1 = A sin(ϕ0 + ωt1)

A

t

y


Atmosferik sinyal gecikmesi etkisi

Atmosfer: molekül, nötr atom ve yüklü partiküllerden meydana gelir.

Örnegin i uydusundan çıkan GNSS sinyalinin k alıcısına varıncaya dekalınan yol (v = ds/dt= c/n’den),

cdt = nds ⇒ cδik=

∫ k

i

nds (2.25)

ve ρik

(n= 1) dogrusal i− k uzunlugu olmak üzere atmosferik etki,

∆=

∫ k

i

nds−ρik

(2.26)

esitligi ile gösterilir.


Iyonosferik ve troposferik etki

Elektromanyetik dalgalar üzerindeki kırıcılık etkisine göre ikikatmana indirgenebilir: troposfer ve iyonosfer.

Iyonosfer: içinde pozitif iyon ve serbest elektron bulunduran saçıcıortam. Kırıcılık etkisi iyonosferdeki toplam elektron yogunlugunabaglıdır:

TEC =

∫ k

i

Eds , ∆I = ±40.3

f2TEC (2.27)

Troposfer: Içerdigi kuru gaz ve su molekülleriyle atmosferin en altkatmanıdır. Troposferik etki kuru (Nd) ve ıslak ortamın kırıcılık etkisi(Nw) için ayrı ayrı göz önüne alınır:

∆ρ = 10−6

∫

Ndds+

∫

Nwds

(2.28)


Iyonosferik ve troposferik etki [Seeber, 2003]

Tek ve çift frekanslı gözlemler için uzunluk ölçmelerindeiyonosferik etki (birim: m)

Tek frekans (MHz) 400 1600 2000 8000Ortalama etki 50 3 2 0.1290 < % için 250 15 10 0.6Maks. etki 500 30 20 1.2Çift frekans (MHz) 150

4004002000

12271572

20008000

Ortalama etki 0.6 0.009 0.003 0.000490 < % için 10 0.066 0.017 0.0021Maks. etki 36 0.22 0.045 0.0043

Uzunluk ölçmelerinde troposferik etki (birim: m)

Yükseklik açısı 90 20 15 10 5

∆ρd 2.31 6.71 8.81 12.90 23.61∆ρw 0.20 0.58 0.77 1.14 2.21∆ρT 2.51 7.29 9.58 14.04 25.82


Giris

Göksel mekaniklerBasta günes sistemindeki gezegenler olmak üzere gök cisimlerininhareketini (mekanik davranısını) inceleyen astronomi dalı

Göksel mekanikte hareketten söz edildiginde, karsılıklı kütle çekimetkisi altındaki hareket anlasılır

Hareket Kepler yörünge elemanları cinsinden ifade edilir

Günümüz bilim dalı olarak göksel mekanikler Kepler ve Newton’unteorileri üzerine kuruludur

Fiziksel ve matematiksel temelleri Kütle çekiminin bir sonucu olarak Kepler ve Newton (hareket) yasaları Çogunlukla diferansiyel denklemlerle gösterilen hareket

denklemlerinin analitik ve sayısal integrasyon teknikleriyle çözümü

Sonuç ürün: gök cisimlerinin (gezegenler ve uyduların) uzaydakikonumu ve zaman ölçümü


Newton mekanikleri

Temel olarak evrendeki her türlü cismin hareketini açıklamaya çalısır(ısık hızına yaklasanlar ile atom ve atom-altı hareket biçimleri hariç)

Newton hareket yasaları

Her cisim, kendisine bir dıs kuvvetuygulanmadıgı sürece, duragan konumunu yada dogrusal hareketini sürdürme egilimindedir

Cismin hareketindeki baska bir deyislemomentumundaki degisim, uygulanan dıskuvvetin büyüklügü ile orantılı ve kuvvetindogrultusu yönündedir

Her etkiye mutlaka karsı bir tepki vardır (ikicismin birbirine uyguladıkları etki karsılıklıolarak esit, ancak karsıt yönlerdedir)


Newton hareket yasalarından ne anlıyoruz?Yasa I (eylemsizlik yasası): Cisme etki eden kuvvetlerin biliskesi 0 isecismin hareket durumu degismez:

∑

F= 0 ⇒dv

dt= 0 (3.1)

I. yasa koordinat sistemlerine uygulanırsa inersiyal (ivmesiz,eylemsiz) referans koordinat sistemleri ortaya çıkar.

Yasa II: Cismin momentum (p =mv) degisimi baska bir deyisle kütlesive ivmesi biliniyorsa, cisme uygulanan net kuvvet,

F=dp

dt=

d(mv)

dt=m

dv

dt=ma (3.2)

Yasa III (etki-tepki yasası): Karsılıklı olarak birbirine etki eden ikicismin uyguladıgı kuvvet

F2,1 = −F1,2

m1a1 = −m2a2(3.3)


Enerji korunumuInersiyal bir referans koordinat sisteminde,

x = (x,y, z) konum (3.4)

v=dx

dt= x hız (3.5)

a=dv

dt=

d2x

dt2 = x ivme (3.6)

olmak üzere m kütleli bir cisme etkiyen net kuvvet,

F =mx = −gradV = −∇V = −

∂ V

∂ x,∂ V

∂ y,∂ V

∂ z

(3.7)

ile ifade edilebiliyorsa, F’ye korunumlu kuvvet, V’ye potansiyel enerjidenir. Korunumlu kuvvet (vektör) alanında toplam enerji degismez:

E = K(t1) + V(t1) = K(t2) + V(t2) = sabit (3.8)

Burada K = 12mv2 = 1

2m‖x‖2 ile kinetik enerjidir.


Iki-cisim problemi

Newton mekaniklerinin en basitproblemi, m1 ve m2 kütleli birbirinekarsılıklı olarak çekim uygulayan(F2,1 =−F1,2) iki cismin hareketidir

Iki cisim birbirlerine göre agırlıkmerkezi etrafında hareket ederler vehareket bir düzlem içerisindegerçeklesir

Agırlık merkezi cisimleri birbirinebaglayan vektör üzerindedir ve“inersiyaldir”

Yeryuvarı-Ay sistemi iki cisimprobleminin tipik örnegidir

Daha karmasık üç-cisim vegenellestirilmis n-cisim problemlerininaksine analitik ve sayısal çözümü vardır

x

y

z

r =x2 −

x1

x1

x2

b

m1

m2

b

R Agırlıkmerkezi

F2,1

F1,2

b

m1

m2

Esit kütleli iki cismin hareketi


Iki-cisim problemi (devam)

Agırlık merkezinin konumu

R=m1x1 +m2x2

m1 +m2(3.9)

Agırlık merkezinin ivmesi

F2,1 = −F1,2

m1x1 = −m2x2

«

m1x1 +m2x2

m1 +m2= R= 0 (3.10)

R ve r= x2 − x1 için m1 ve m2’nin hareketi, (3.9)’dan

x1 = R−m2

m1 +m2r , x2 = R+

m1

m1 +m2r (3.11)

Indirgenmis iki-cisim problemi (F = F2,1 = −F1,2’den)

r=

−F

m1−

F

m2

⇒ F = −m1m2

m1+m2r (3.12)


Kepler yörünge hareketi

Iki cisim probleminin özel bir hali, cisimlerden birinin kütlebakımından digerine göre ihmal edilebilir düzeyde küçük olmasıdır(yeryuvarı ve yapay uydu gibi)

Göksel mekanikler açısından Kepler yörünge hareketi, kütlesi ihmaledilebilir cismin eliptik yörünge davranısını ortaya koyar

Bu hareketin geometrik özelliklerini, ilk kez J. Kepler (1571–1630)gezegenlerin Günes etrafındaki dolanımlarını açıklamak içinkullanmıstır

Iki cisim probleminin Kepler yörünge hareketine indirgenmesinin enönemli sonuçları, kuvvet vektörlerinin merkezilesmesi (çeken cisminagırlık merkezine dogru) ve korunumlu olmasıdır:

r= −∇V (3.13)

V =GM

rG= 6.673 · 10−11 m3kg−1s−2 (3.14)


Uyduların yörünge hareketi ve yerden izleme

b

b

b

x

y

z

b

bb


Yörünge hareketinin geometrisi ve konik kesitlerMerkezsel çekim etkisi altındaki yörüngesel hareketkonik kesitlerden biriyle sonuçlanır:

e=0 Daire 1

0< e<1 Elips 1

e=1 Parabol 2

e>1 Hiperbol 3

yr

xae

p

a νEb b

Elips

y

x

p

p

r

ν

D

D′

Parabol

p

ae

ae

rν

Hiperbol


Kepler yasaları (1)

Elips yasası

Gezegenler, Günesin odak noktalarından birinde bulundugu elips üzerindehareket ederler.

a b

a

p

aeae x

y

ex

eyr

x

y

νb

Pb

A

b

bb

b

A Apoapsis (en uzak nokta)P Periapsis (en yakın nokta)a Büyük yarı-eksene 1. dısmerkezlikν Gerçek anomalir Kutupsal uzaklıkx, y Dik koordinatlarex, ey x, y yönünde birim vektörlerr= r(t) Konum vektörü

r = ‖r‖=a(1− e2)

1+ ecosν=

p

1+ ecosν(3.15)

r= r cosνex + r sinνey (3.16)



Esit alan yasası

Gezegeni Günese baglayan dogru parçası (yarıçap vektörü) esit zamanaralıklarında esit alanlar süpürür.

r(t0)

r(t1)

r(t2)

r(t3)

∆F

r(t0)

r(t0

+∆t)

∆Fr(t1)

∆F

r(t2)

∆F

r(t3)

∆νt2 t0

t0 +∆t

t1t1 +∆t

t2 +∆t

t3

t3 +∆t

‖r(t0)‖=maks. ‖r(t2)‖=min.

∆F =1

2r2∆ν ∼∆t · sb. (3.17)

lim∆t→0

∆F

∆t= lim∆t→0

1

2

r2∆ν

∆t=

dF

dt= sb. (3.18)

r2 ν = sb. ν (açısal hız) (3.19)

h= r× r h (açısal momentum) (3.20)

dF =1

2‖h‖dt

dF =1

2r2dν

h= ‖h‖ = r2ν = sb.

(3.21)



Harmoniklik yasası

Bir gezegenin yörünge periyodunun karesi, yörünge elipsinin büyükyarıeksenin küpü ile dogru orantılıdır.

m1

bb

F1

a1

r1

b

a 2 b

F2

m2

r2

Gezegenin yörüngesel dolanım periyodu[Fitzpatrick, 2012],

T =Elipsin alanı

dF/dt=

2πab

h(3.22)

ve ortalama açısal hızı,

n=2π

T=

r

GM

a3(3.23)

olmak üzere iki gezegen için 3. yasa,

T21 ∼ a3

1

T22 ∼ a3

2

«

⇒T2

1

a31

=T2

2

a32

=4π2

GM

(3.24)


Kepler yörünge elemanları

Υ

PN

Ω

ω

ν

i

a(1+e)

K

K ′

Yerberi

Yerote

Uydu

x

z

y


Zamana baglı yörünge hareketiKepler’in 2. yasası zamana baglı hareketi tanımlar. (3.17)’den,

dt=1

C[r(ν)]2dν =

p2

C

1

1+ e cosν

2

dν , C = sb. (3.25)

yazılır ve esitligin her iki yanı için integral uygulanırsa,

t=p2

C

∫

dν

(1+ e cosν)2(3.26)

bulunur. Yeryuvarı için uydunun perige geçis anına (ν = 0) karsılık gelenzaman baslangıcı t0 olmak üzere, (3.26)’nın integrali zamana baglıhareket denklemini,

n(t− t0) = 2 arctan

r

1− e

1+ etanν

2

!

−ep

1− e2 sinν

1+ e cosν(3.27)

verir [Capderou, 2005].A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Uydu Jeodezisi (v.09.04.14) 57 / 66

Gerçek (ν), ortalama (M) ve dısmerkezli (E) anomali

b

ax

ra

a

νE M

b

Pb

Ab

b

b


Gerçek (ν), ortalama (M) ve dısmerkezli (E) anomali(devam)(3.27) t’den gerçek anomali ν ’ye geçis için elverisli degildir. Esitliginsagındaki terimler için,

tanν

2=

r

1+ e

1− etan

E

2(3.28)

dönüsümü uygulanarak,

n(t− t0) = E− e sin E (3.29)

sonucuna ulasılabilir [Beutler, 2005]. Dısmerkezli anomali E, gerçekanomaliyi zamana baglayan ara büyüklüktür. (3.29)’a Kepler denklemi adıverilir. Seçenek olarak uydunun perige (geçis) anından itibaren geçensüreye karsılık ortalama anomali,

n(t− t0) =M (3.30)

tanımlanabilir. n Kepler’in üçüncü yasasından türetilmis ortalama açısalhızdır.


Kepler probleminin çözümü

Belirli bir t anı için ortamala ve dısmerkezli anomali arasındaki iliskiyitanımlayan,

n(t− t0) =M = E− e sin E (3.31)

esitliginde M’ye baglı E’nin sonlu bir çözüm yoktur. Yineleme tekniginedayalı sayısal çözüm, Newton-Raphson yöntemiyle olusturulabilir. Bununiçin yukarıdaki esitlik,

f(E) = E− e sin E−M = 0 (3.32)

biçiminde yeniden düzenlenir ve xk+1 = xk−f(xk)

f ′(xk)kuralı uygulanırsa,

Ek+1 = Ek−Ek− e sin Ek−M

1− e cosEk

(3.33)

yineleme (iterasyon) esitligi bulunur. Iterasyon için baslangıç deger seçimiE0 =M ile yapılabilir.


Örnek: GPS Navigasyon dosyası (brdc1660.10n)

2 NAVIGATION DATA RINEX VERSION / TYPECCRINEXN V1.6.0 UX CDDIS 16-JUN-10 02:51 PGM / RUN BY / DATE

IGS BROADCAST EPHEMERIS FILE COMMENT

0.5588E-08 0.1490E-07 -0.5960E-07 -0.1192E-06 ION ALPHA0.8397E+05 0.9830E+05 -0.6554E+05 -0.5243E+06 ION BETA0.558793544769E-08 0.710542735760E-14 319488 1588 DELTA-UTC: A0,A1,T,W15 LEAP SECONDS

END OF HEADER1 10 6 15 0 0 0.0-0.130765140057E-03-0.397903932026E-11 0.000000000000E+00

0.640000000000E+02-0.128968750000E+03 0.430625080120E-08 0.277797041753E+01-0.676885247230E-05 0.479935575277E-02 0.862218439579E-05 0.515480328751E+040.172800000000E+06-0.614672899246E-07-0.310529947884E+01-0.838190317154E-070.965349772110E+00 0.216531250000E+03 0.872701637012E+00-0.784425531615E-08-0.118219210019E-09 0.100000000000E+01 0.158800000000E+04 0.000000000000E+000.200000000000E+01 0.630000000000E+02-0.190921127796E-07 0.640000000000E+020.170340000000E+06 0.000000000000E+00 0.000000000000E+00 0.000000000000E+00

2 10 6 15 0 0 0.0 0.264659523964E-03 0.329691829393E-11 0.000000000000E+000.430000000000E+02 0.387500000000E+01 0.548058531891E-08 0.108423237763E+010.305473804474E-06 0.958210288081E-02 0.488758087158E-05 0.515358104134E+040.172800000000E+06 0.782310962677E-07-0.102228417090E+01 0.203028321266E-060.939479442484E+00 0.272343750000E+03 0.308767428278E+01-0.844713721193E-08-0.216437590073E-09 0.100000000000E+01 0.158800000000E+04 0.000000000000E+000.200000000000E+01 0.000000000000E+00-0.172294676304E-07 0.430000000000E+020.165618000000E+06 0.400000000000E+01 0.000000000000E+00 0.000000000000E+00

3 10 6 15 0 0 0.0 0.568429939449E-03 0.500222085975E-11 0.000000000000E+000.159000000000E+03-0.518750000000E+01 0.538915305128E-08 0.100809298047E+01-0.484287738800E-07 0.131814255146E-01 0.110957771540E-04 0.515371516228E+040.172800000000E+06-0.201165676117E-06-0.217540071026E+01 0.894069671631E-07

SV PRN,t0c,a0,a1,a2Crs,∆n,M0Cuc,e,Cus,

pa

t0e,Cic,Ω0,Cisi0,Crc,ω,Ωi


Efemeris koordinatlarının hesabı

Yerçekim sabiti GMe = 3986004.418 · 108 m3/s2 (WGS84)

Yerin açısal dönme hızı we = 7.2921151467 · 10−5 rad/s (WGS84)

Yör. büyük yarıekseni a =p

a2

Ortalama yör. hızı n0 =

r

GM

a3

Düzeltilmis yör. hızı n = n0 +∆n

t0e’ye göre zaman tk = t− t0e

Ortalama anomali Mk =M0 + ntk

Kepler denklemi Mk = Ek− e sin Ek [bkz. (3.32) ve (3.33)]

Gerçek anomali νk = tan−1

p

1− e2 sin Ek

cosEk− e


Efemeris koordinatlarının hesabı (devam)

uk =ω+ νk Enlem argümanı

δuk = Cuc cos 2uk+ Cus sin 2uk Enlem argümanı düzeltmesi

δrk = Crc cos2uk+ Crs sin 2uk Yarıçap düzeltmesi

δik = Cic cos2uk+Cis sin 2uk Egim düzeltmesi

Φk = uk+ δuk Düzeltilmis enlem argümanı

rk = a(1− e cos Ek) + δrk Düzeltilmis yarıçap

ik = i0 + itk+ δik Düzeltilmis yör. egimi

Ωk = Ω0 + (Ω−we)tk−wet0e Düzeltilmis çıkıs dügümü boylamı

x′k= rk cosΦk

y′k= rk sinΦk

«

Yörünge koordinatları

xk = x′k

cosΩk− y′k

sinΩk cos ik

yk = x′k

sinΩk+ y′k

cosΩk cos ik

zk = y′k

sin ik

«

Yermerkezli koordinatlar


GPS duyarlı yörünge dosyası (igs15882.sp3)

#cP2010 6 15 0 0 0.00000000 96 ORBIT IGS05 HLM IGS## 1588 172800.00000000 900.00000000 55362 0.0000000000000+ 32 G01G02G03G04G05G06G07G08G09G10G11G12G13G14G15G16G17+ G18G19G20G21G22G23G24G25G26G27G28G29G30G31G32 0 0+ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0+ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0+ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0++ 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2++ 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 3 2 2 0 0++ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0++ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0++ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0%c G cc GPS ccc cccc cccc cccc cccc ccccc ccccc ccccc ccccc%c cc cc ccc ccc cccc cccc cccc cccc ccccc ccccc ccccc ccccc%f 1.2500000 1.025000000 0.00000000000 0.000000000000000%f 0.0000000 0.000000000 0.00000000000 0.000000000000000%i 0 0 0 0 0 0 0 0 0%i 0 0 0 0 0 0 0 0 0

/* FINAL ORBIT COMBINATION FROM WEIGHTED AVERAGE OF :

/* cod emr esa gfz grg jpl mit ngs sio/* REFERENCED TO IGS TIME (IGST) AND TO WEIGHTED MEAN POLE:/* PCV:IGS05_1585 OL/AL:FES2004 NONE Y ORB:CMB CLK:CMB* 2010 6 15 0 0 0.00000000PG01 23248.182111 7492.552308 -10761.382810 999999.999999PG02 -18269.291743 4861.959837 -18487.384012 264.665135 9 7 9 134PG03 18361.470393 919.677202 18914.812846 568.439057 6 8 7 125PG04 -12781.955553 -9317.172158 -21491.902638 104.029492 8 7 7 129PG05 -26212.077800 2564.073175 3760.816182 -7.342923 9 11 13 109PG06 19197.619569 5815.125251 17662.817603 607.610505 7 7 7 90PG07 3685.917309 -23041.204287 12511.228364 -1.215178 9 10 8 106

SV, x (km),y (km), z (km)


Kaynaklar I

Ayhan, M. E., Demir, C., Lenk, O., Kılıçoglu, A., Aktug, B., Açıkgöz, M., Fırat, O., Sengün, Y. S.,

Cingöz, A., Gürdal, M. A., Kurt, I., Ocak, M., Türkezer, A., Yıldız, H., Bayazıt, N., Ata, M., Çaglar,Y., and Özerkan, A. (2002).Türkiye Ulusal Temel GPS Agı-1999A.Harita Dergisi, Özel Sayı:16.

Beutler, G. (2005).Astronomy and Astrophysics Library.Springer-Verlag.

Capderou, M. (2005).Satellites Orbits and Missions.Springer-Verlag.S. Lyle (T).

Fitzpatrick, R. (2012).An introduction to celestial mechanics.http://farside.ph.utexas.edu/teaching/celestial/Celestial.pdf [Erisim:20.01.2012].

McCarthy, D. (1996).IERS conventions (1996).Technical Report IERS Technical Note: 21, Central Bureau of IERS.


http://farside.ph.utexas.edu/teaching/celestial/Celestial.pdf

Kaynaklar II

Petit, G. and Luzum, B. (2010).IERS conventions (2010).Technical Report IERS Technical Note: 36, Bundesamts für Kartographie und Geodäsie.

Rothacher, M. (2002).Combination of space-geodetic techniques.In IVS 2002 General Meeting Proceedings, pages 33–43.

Seeber, G. (2003).Satellite Geodesy.Walter de Gruyter, Berlin, 2nd edition.

Vikipedi (2011).

Elektromanyetik dalga — Vikipedi, Özgür ansiklopedi.http://tr.wikipedia.org/wiki/Elektromanyetik_dalga [Erisim: 26.04.2011].


http://tr.wikipedia.org/wiki/Elektromanyetik_dalga

Documents

Uydu Jeodezisi - Lisans Ders Notlargalileo.selcuk.edu.tr/~aydin/docs/satgeo.pdfUydu Jeodezisi Lisans Ders Notları Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Harita