V.- CONDICIÓN DE CONTORNO ISOTÉRMICA

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V.1.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN PLACA INFINITA CON CONDICIÓN DE CONTOR-NO ISOTÉRMICA

La conducción a través de una placa plana de espesor finito L en la dirección x, y de espesor infini-

to en las otras dos, por lo que en éstas se desprecian los efectos de borde, la ecuación diferencial de la

conducción es:

∂2Φ∂x 2 = 1

α ∂Φ∂t , con: Φ = T(x, t) - TF

La zona próxima a la periferia es de resistencia superficial despreciable por lo que Fo < 1 y desde

ahí hasta el núcleo, Fo > 1.

Sí es posible representar la distribución de temperaturas, Φ = T - TF, mediante una expresión de

la forma:

Φ = X ( x) θ( t ) ⇒ ∂Φ∂x

= ∂X∂x

θ ⇒ ∂2Φ∂x2

= ∂2 X∂x 2

θ

∂Φ∂t = ∂θ

∂t X

⇒ 1X ∂

2 X∂x2 = 1

α θ ∂θ∂t = - λ2

El parámetro λ2 se ha introducido por cuanto cada uno de los miembros de dicha igualdad es fun-

ción de una sola variable; esta separación de variables conduce al siguiente sistema de dos ecuaciones

diferenciales:

∂θ∂t + α λ2 θ = 0 ; θ = C1 e−α λ2t

∂2 X∂x2 + λ2 X = 0 ; X = C2 sen (λ x) + C3 cos (λ x )

La solución general es:

Φ = C1 e- α λ2t {C2 sen (λ x ) + C3 cos (λ x )} = e- α λ2 t { B1 sen (λ x ) + B2 cos (λ x )}

V.-111

Fig V.1.- Placa plana infinita

Condición inicial, para:

t = 0 0 ≤ x ≤ L

⇒ Φ = Φ( x, 0 ) = f(x) ó Φ 0= T0 - TF

Condiciones de contorno, para:

t > 0 -∞ ≤ x ≤ +∞

⇒ en: x = 0 ; Φ = 0 = T( 0, t )en: x = L ; Φ = 0 = T ( L, t )

La condición de contorno se presenta para el caso límite de considerar un valor muy grande del

coeficiente de transferencia térmica por convección, {metales líquidos}, por lo que la resistencia térmi-

ca de la capa de convección es despreciable y la temperatura de la superficie del cuerpo en el tiempo t es idéntica a la temperatura del fluido, situación a la que se debe llegar en un tiempo muy pequeño

(condición de contorno isotérmica).

Aplicando las condiciones de contorno a la ecuación diferencial:

Para:

x = 0 , Φ = 0 ⇒ B2= 0x = L , Φ = 0 ⇒ 0 = e- α λ2 t B1 sen (λ L ) ⇒ sen (λ L ) = 0

y considerando que para cualquier valor de t, se satisface por un número infinito de valores del pará-

metro (λ L) se puede poner:

sen (λn L) = 0 ⇒ λn = π n

L ; n = 1, 2 , 3,...

Para cada valor de n se obtiene uno de λn siendo éstos los valores característicos del problema, por

lo que la solución para la distribución de temperaturas es un desarrollo en serie de la forma:

Φ =

n=1

∞

∑ e-α λn2t Bn sen (λn x)

Aplicando la condición inicial, t = 0, Φ = f(x), resulta: Φ = f(x) =

n=1

∞

∑ Bn sen (λn x)

En una serie infinita de funciones de la forma: sen (λ1x), sen (λ 2x ), sen (λ3 x), ..., sen (λn x ), éstas

son ortogonales, cuando se cumple que:

0

L

∫ sen (λix ) sen (λ jx ) dx = 0 , con: i ≠ j

y tiene un valor determinado en un instante considerado.

Si la distribución de temperaturas Φ = f(x) es una función arbitraria se puede poner en función de

una combinación lineal de funciones ortogonales, en la forma:

f ( x ) = B1 sen (λ1x ) + B2 sen (λ 2x ) + ... + Bn sen (λn x ) + ... =

n=1

∞

∑ Bn sen (λn x )

en la que los valores de Bi son constantes a determinar.

Si la serie anterior es convergente e integrable, y la multiplicamos por, sen (λn x ) , se obtiene:

0

L

∫ f ( x ) sen (λn x ) dx = B1 0

L

∫ sen (λ1x) sen (λn x ) dx + ... + Bn 0

L

∫ sen 2( λn x ) dx

Por definición de ortogonalidad se hacen cero todas las integrales del segundo miembro, menos la

correspondiente al coeficiente Bn, por lo que:

V.-112

Bn= 0

L

∫ f ( x ) sen (λn x ) dx

0

L

∫ sen2 ( λn x ) dx =

=

0

L

∫ sen2 ( λn x) dx = L2 -

sen (λn L) cos (λn L)2 λn = λn = π n

L { } = L2 = 2

L 0

L

∫ f(x) sen (λn x) dx

obteniéndose la siguiente distribución de temperaturas:

Φ = 2

L n=1

∞

∑ e-α λn2 tsen (λn x)

0

L

∫ f(x) sen (λn x) dx = 2L

n=1

∞

∑ e- (π n

L)2α t

sen π n xL 0

L

∫ f(x) sen π n xL dx

que depende del tiempo t, de la posición x y de la distribución de temperaturas inicial f(x), que es co-

nocida.

Si se considera f(x) = Φ0, el valor de Bn es:

Bn= 2

L

0

L

∫ f (x) sen (λn x) dx = 2 Φ0

L 0

L

∫ sen (λnx) dx = 2 Φ0

L 0

L

∫ sen ( π nL

x) dx = 2 Φ0π n

{1 - (-1)n } = 4 Φ0π n

por lo que:

ΦΦ0

= 2L

n=1

∞

∑ e-(π n

L)2 α t

sen π n xL

0

L

∫ sen π n xL dx = 2

π

n=1

∞

∑ e-λn2α t

{1 - (-1)n } sen (λn x)n =

= 4π n=1,3,..

∞

∑ e-λn2α t sen (λn x )

n

Si se pone en función del nº de Fo y de un parámetro adimensional de la posición ξ = x

L:

ΦΦ0

= 2L

n=1

∞

∑ e-(π n)2 Fo sen (π n ξ ) 0

L

∫ sen π n xL dx = 4

π n=1,3..

∞

∑ e-(π n)2 Fo sen (π n ξ )

n

Si la distribución de temperaturas fuese, por ejemplo, de la forma, f(x) = a x, con, a = Cte, se obtie-

ne:

Bn = 2

L 0

L

∫ f ( x ) sen (λn x ) dx = 2 aL

0

L

∫ x sen (λn x ) dx = ... = 2 a Lπ n (-1)n+1

Φ = 2 a L

π n=1

∞

∑ e-(π n)2 Fo sen (π n ξ ) (-1)n+1

n

cuya representación gráfica exponemos en la Fig V.2.

El flujo térmico en el instante t es:

q = - k ( ∂Φ

∂x )x=0= 2 Φ0 kπ

n=1

∞

∑ e-(π n)2 Fo 1 - (-1)n

n π nL =

4 Φ0 kL n=1,3...

∞

∑ e-(π n)2 Fo = 4 Φ0 k

L n=1,3...

∞

∑ e-λn2α t

Estas series convergen muy rápidamente a menos que el nº de Fo sea muy pequeño.

Para Fo > 0,2 sólo es necesario conservar el primer término de la serie, cometiéndose un error me-

nor del 2%. Para valores muy pequeños del nº de Fo < 0,2, (es decir, poco después de que la placa se

haya sumergido en el líquido), la serie converge lentamente y es necesario conservar los suficientes

términos del desarrollo para obtener un resultado exacto o hacer uso de la gráfica V.3.

V.-113

Fig V.2.- Desarrollo temporal de la distribución de temperaturas en una placa plana infinita, en régimen transitorio, con temperatura inicial de la forma, f(x)= at

Para Fo→ 0, lím qFo → 0 =

k (T0 - TF )

π α t, que es la expresión que se encontrará para el sólido semi-

infinito, y que indica que la temperatura sólo cambia en una posición muy delgada cerca de la superfi-

cie, comportándose en esta zona como un sólido semiinfinito, mientras que la temperatura en el inte-

rior de la placa permanece constante; el proceso de la transmisión de calor se limita a esta delgada re-

gión y el espesor de la placa no afecta en absoluto, por cuanto L no aparece en la ecuación.

Fig V.3.- Abaco para la determinación gráfica de la temperatura y de Q/Q0

en una placa plana infinita en régimen transitorio, con condición de contorno isotérmica, para Fo < 0,2

El calor Q que abandona la placa por las dos caras, de superficie de contacto con el fluido (2 A), en

el intervalo de tiempo (0 ÷ t), es:

Q = 2 A

0

t

∫ q dt = 4 (T0 - TF ) k A

π

0

t

∫n=1

∞

∑ e-(π n)2 Fo {1 - (-1 )n } dt =

=

4 (T0 - TF ) k Aπ

n=1

∞

∑ L2

(π n )2α ( e-(π n)2 Fo - 1) { 1 - (-1)n } =

8 (T0- TF ) k A Lα n=1,3...

∞

∑ 1 - e-(π n) 2 Fo

(π n)2 =

V.-114

= 8 ( T0- TF ) ρ cp A L

n=1 ,3...

∞

∑ 1 - e-(π n ) 2 Fo

( π n )2 = 8 ( T0 - TF ) ρ cp A

L n=1,3...

∞

∑ 1 - e-λn2 α t

λn2

El calor Q0 almacenado en la placa es para:

x ≥ 0T = TF

⇒ Q0 = L A ρ cp Φ0 = L A ρ cp (T0 - TF )

y la relación:

QQ0

= 8n=1,3...

∞

∑ 1 - e-λn2 α t

(π n )2

El calor almacenado en la placa en el intervalo t = 0 a t = t, se puede poner en la forma:

Q = L A ρ cp ( ˆ T Final − T0 )

con:

ˆ Φ Final = 1L

0

L

∫ Φ(x) dx ; ˆ T Final - TFT0 - TF

= 8π 2

n=1 ,3...

∞

∑ e-λn2 α t

n 2

OTROS CASOS:

a) Pared plana infinita inicialmente a T0, que experimenta cambios instantáneos de temperatura

en las superficies a T1 y T2 .- El problema se resuelve mediante la superposición de un problema esta-

cionario y otro transitorio, de forma que:

T( x, t ) = T1( x) - T2( x, t ) ó Φ( x , t ) = Φ1( x ) - Φ2 ( x , t )

∂2T1∂x2 = 0 ;

∂T2∂t = α

∂ 2T2dx2

T = T0 ; 0 < x < L ; t = 0

T = T1 ; x = 0 ; t > 0

T = T2 ; x = L ; t > 0

T( x, t ) = 2

π n=1

∞

∑T1- (-1)n T2

n { 1 - e-λn

2 α t + 2 T0 e-λn

2 α t

λn} sen (λn x ) ; λn = ( 2 n + 1) π

L

.....................................................................................................................................................................................................

b) Pared plana infinita inicialmente a T0; una de sus superficies experimenta un aislamiento térmi-

co y la otra intercambia calor con un fluido exterior.

T = T0 ; 0 < x < L ; t = 0

∂T∂x = 0 ; x = 0 ; t > 0

∂T∂x = - a1T = -

hcFk T ; x = L ; t > 0

∂Φ∂x = - a1 Φ = -

hcFk Φ ; x = L ; t > 0

Φ(x, t)Φ0

= 2 a1 T0 n=1

∞

∑cos (λn x ) e-λn

2 α t

{ L (λn2 + a1

2 ) + a1 } cos (λn L ) ; λn=

( 2 n + 1) πL

.....................................................................................................................................................................................................

V.2.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN PARED CILÍNDRICA INFINITA CON CONDICIÓN DE CONTORNO ISOTÉRMICA.

Se considerará que en el cilindro infinito no existen efectos de borde, debido a que se le supone V.-115

longitud infinita y, por lo tanto, que la conducción del calor se verifica en la dirección radial.

La ecuación diferencial que rige el proceso, en coordenadas cilíndricas, es:

α 1

r ∂dr ( r ∂T∂r ) = ∂T

∂t ; α ( ∂2T

dr 2 + 1r ∂T

∂r ) = ∂T∂t ; α ( ∂

2Φdr2 + 1r ∂Φ

∂r ) = ∂Φ∂t

con: Φ = T - TF

Si representamos Φ en la forma, Φ = R(r) θ(t), resulta:

∂Φ∂r = ∂R

∂r θ ; ∂2Φ

dr 2 = ∂2R

dr 2 θ ; ∂Φ∂t = ∂θ

∂t R

α ( ∂

2 Rdr 2 θ + θr ∂R

∂r ) = ∂θ∂t R ; 1

R ( ∂2 R

dr2 + 1r ∂R

∂r ) = 1α θ ∂θ

∂t = - λ2

Las ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes y sus soluciones son:

d 2 Rdr2 + 1

r dRdr = - λ2R ⇒ R = B1 J0 ( λr ) + B2 Y0 (λr )

dθθ

= - λ2α dt ⇒ θ = B3 e- λ2α t

Como el cilindro no puede admitir en su eje (r = 0), una solución infinita, por

cuanto Y0(0) = ∞, resulta que B2 tiene que ser cero, por lo que se obtiene una

ecuación de la forma:

R = B1 J0 ( λ r )

La solución general que proporciona la distribución de temperaturas de la forma:

Φ = B3 e- λ2α t B1 J0 (λ r ) = B e- λ2α t J0 ( λ r )

en la que B y λ son constantes, que habrá que determinar mediante las condiciones de contorno;

J0(λ r) es la función de Bessel de primera especie y orden cero.

La condición inicial es:

t = 00 ≤ r ≤ R

⇒ Φ = f (r ) ó Φ0

La condición de contorno para un cambio brusco de la temperatura en la superficie lateral del ci-

lindro infinito a: Φ = T - TF, es:

t > 0 ; Φ r=R = 0 = B e-λ2α t J0 ( λ R ) ; J0 (λ R ) = 0 ; J0 ( λn R) = 0

que se tiene que cumplir para cualquier valor de t.

Raices de las funciones de Bessel: J0(x) = 0, y J1(x) = 0

2,4048 5,5201 8,6537 11,7915 14,9309 18,07113,8317 7,0156 10,1735 13,3237 16,4706 19,6159

J0( x ) = 0

J1 ( x) = 0

Los valores de λn se calculan como raíces de la ecuación, J0(λnR) = 0, con, n = 1, 2, 3,... obteniéndo-

se una serie de valores que conforman un desarrollo en serie para la distribución de temperaturas, de

la forma:

V.-116

Fig V.4.- Cilindro infinito

Φ =

n=1

∞

∑ Bn e-λn2α t J0 (λnr )

Aplicando la condición inicial: t= 0; Φ = f(r), resulta:

f ( r ) = B1 J0 ( λ1r ) + B2 J0 ( λ2r ) + ... + Bn J0 ( λn r ) =

n=1

∞

∑ Bn J0 ( λnr )

Para que ésto sea así, es necesario que las funciones , J0 ( λ1r ), J0 ( λ2r ), ... , J0 (λnr ), formen un

agrupamiento ortogonal en el intervalo, 0 ≤ r ≤ R, respecto a un factor ponderal r, de forma que:

0

R

∫ r J0 (λ ir ) J0 ( λ j r ) dr = 0, con: i ≠ j

Si la serie es convergente e integrable, se tiene que:

0

R

∫ r f ( r ) J0 (λnr ) dr = B10

R

∫ r J0 (λ1r ) J0 (λnr ) dr + B20

R

∫ r J0 (λ2r ) J0 (λnr ) dr + ... + Bn0

R

∫ r J02 (λnr ) dr + ...

Por definición de ortogonalidad, todas las integrales del segundo miembro a excepción de la últi-

ma, son cero, es decir:

0

R

∫ r f ( r ) J0 (λnr ) dr = Bn0

R

∫ r J02 ( λn r ) dr ⇒ Bn = 0

R

∫ r f ( r ) J0 (λnr ) dr

0

R

∫ r J02 ( λnr ) dr

=

= 0

R

∫ r J02 ( λn r ) dr = R 2

2 {J02( λn R) + J1

2 ( λn R )} = R2 J1

2 ( λn R )2 = 0

R

∫ r f ( r ) J0 ( λn r ) dr

R2 J12 ( λn R )2

obteniéndose la siguiente distribución de temperaturas:

Φ = n=1

∞

∑ 0

R

∫ r f (r ) J0 ( λnr ) dr

R2 J12( λn R)2

e-λn2 α t J0( λnr ) = 2

R2n=1

∞

∑ e-λn2 a t

J0 ( λn R )

J12 ( λn R )

0

R

∫ r f ( r ) J0 ( λnr ) dr

en la que J1(λnR) es la función de Bessel de primera especie y orden uno.

Si la distribución de la temperatura inicial es uniforme: Φ0 = T0 - TF

f ( r ) = Φ( r , 0) = Φ0 = Cte, para: 0 ≤ r ≤ R

Teniendo en cuenta que J0 (λnR) = 0, resulta: 0

R

∫ r J0 (λnr ) dr = Rλn

J1( λn R )

ΦΦ0

= T - TFT0 - TF

= 2R

n=1

∞

∑ e-λn2 α t

J0 ( λn r )λn J1( λn R)

siendo la temperatura Tc en el eje del cilindro (r = 0) para: Φc = Tc - TF:

ΦcΦ0

= Tc - TFT0 - TF

= 2R

n=1

∞

∑ e-λ n2 α t

λn J1 (λn R)

El flujo de calor es:V.-117

q = - k ∂Φ∂r 〉r=R=

∂∂r

J0 (λnr) = - λn J1 (λnr)

∂Φ∂r

〉r=R= 2 Φ 0n=1

∞

∑ e- λn2 α t

- λn J1( λn R )λn R J1( λn R )

= - 2 Φ0

R n=1

∞

∑ e- λn2 α t

= - k 2 Φ0

R n=1

∞

∑ e-λn2 α t

y el calor Q que llega a (r = R), en el intervalo (0 ÷ t) es:

Q = A

0

t

∫ q dt = - 4 π k L Φ0 0

t

∫ n=1

∞

∑ e-λn2α tdt = ... = - 4 π k L Φ0

n=1

∞

∑ 1 - e-λn2α t

λn2 α

El calor Q0 almacenado inicialmente en el cilindro a Φ0 es: Q0L = π R2

ρ cp Φ0 = π R2 kα

Φ0

y la fracción de energía perdida:

QQ0

= - k 2 π R

0

t

∫ ( ∂Φ∂r

)r=R dt

π R2 ρ cp Φ0 = - 2 α

R Φ0

0

t

∫ ( ∂Φ∂r )r=R dt = J0 ( λn R ) = 0 =

= 4 α

R2 0

t

∫n=1

∞

∑ e-λn2α tdt = - 4 α

R2n=1

∞

∑ e-λn2α t

λn2α

〉0t = 4

n=1

∞

∑ 1 - e-λn2α t

( λn R)2

Fig V.5.- Desarrollo temporal de la distribución de temperaturas en conducción transitoria, en un cilindro infinito, con temperatura inicial constante

V.3.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN UNA ESFERA CON CONDICIÓN DE CONTORNO ISOTÉRMICA.

Para estudiar la distribución de temperaturas en una esfera que se calienta, o enfría instantánea-

mente en su superficie, se parte de: α ( ∂

2Φ∂r 2 + 2

r ∂Φ∂r ) = ∂Φ

∂t , en la que r es el radio correspondiente a

un punto cualquiera de la esfera.

La solución general es de la forma: Φ = B e-λ

2α t sen(λ r )

λ r

con las siguientes condiciones de contorno:

t = 0 ; r ≤ R ; Φ ( r ,0) = Φ = f ( r ) ó Φ ( r,0 ) = Φ0 t > 0 ; Φ r=R= 0

Aplicando la segunda condición se obtiene: Φ = 0 = B e- λ2α t sen ( λ R)

λ R ⇒ sen ( λ R) = 0 , que se

debe cumplir para cualquier valor de t, por lo que habrá ∞ soluciones, deduciéndose de ella la relación

que define las λ en la forma:V.-118

sen (λn R) = 0 ⇒ λn = π n

R

La solución general de la distribución de temperaturas es: Φ =

n=1

∞

∑ Bn e-λn2α t

sen (λnr )λnr

Para determinar el valor de la constante Bn aplicamos la primera condición de contorno:

t = 0 , Φ = f ( r )

f ( r ) =

n=1

∞

∑ Bn sen (λn r )

λn r = B1 sen (λ1r )

λ1r + B2 sen (λ2r )

λ2r + ... + Bn sen (λn r )

λn r

y haciendo uso de las propiedades de las funciones ortogonales se tiene:

0

R

∫ f (r ) (λn r ) sen (λnr ) dr =

= B1

0

R

∫ λn rλ1r sen (λ1r ) sen (λn r ) dr + ... + Bn

0

R

∫ λnrλnr sen2 ( λn r ) dr = Bn

0

R

∫ sen2 ( λnr ) dr

despejando Bn y teniendo en cuenta que, sen (λn R) = 0, resulta:

Bn = 0

R

∫ f ( r ) (λn r ) sen (λnr ) dr

0

R

∫ sen2 (λnr ) dr = 2

R 0

R

∫ f ( r ) (λn r ) sen (λnr ) dr

Los valores de Bn son distintos para cada superficie equipotencial, definida por r.

La ecuación general que proporciona la distribución de temperaturas de las superficies isotermas

de radio r a lo largo del tiempo, es de la forma:

F = 2

R n=1

∞

∑ e-λn2α t

sen (λnr )λn r

0

R

∫ f ( r ) (λn r ) sen (λnr ) dr

Para: f ( r ) = Φ0 se tiene:

ΦΦ0

= 2R

n=1

∞

∑ e-λ n2α t

sen (λnr )λn r {

- (λn r ) cos (λn r ) + sen (λnr )λn

}0R =

= 2n=1

∞

∑ - cos (π n ) e-λn2α t

sen ( π n rR

)

π n rR

= cos (π n ) = (-1)n = 2 Rπ n=1

∞

∑ -(-1 )n e-λn2 α t

sen ( π n rR

)

n r

Si la temperatura en el centro de la esfera (r = 0) es TC, sale una indeterminación de la forma

(0/0), por lo que aplicando la regla de L’Hôpital se obtiene:

ΦCΦ0

= - 2n=1

∞

∑ (-1)n e-λn2α t

La disipación de calor adimensional es:

QQ0

= - k 4 π R2

0

t

∫ ( ∂Φ∂r

)r=R dt

4 π R3

3 ρ cp Φ 0

= - 3 kR ρ cp Φ 0 0

t

∫ ( ∂Φ∂r )r=R dt =

= - 6 k

π ρ c p

0

t

∫n=1

∞

∑(-1)n e-λn2 α t

cos ( π n rR ) π n

R (n r ) - sen ( π n rR ) n

n2 R2 〉r=R dt =

= 6 kπ ρ c p

0

t

∫n=1

∞

∑ (-1)n e-λn2 α t (-1)nπ n2

n 2R2 dt = 6 kρ c p R2

0

t

∫n=1

∞

∑ e-λn2 α t dt = - 6 k

ρ cp R2 n=1

∞

∑ e-λn2 α t

λn2 α

〉0t =

V.-119

= - 6 kρ cp R2

n=1

∞

∑ e-λ n2α t - 1λn

2 α = - 6 k

ρ c p R2 n=1

∞

∑ e-λn2α t - 1

( π nR

)2 α = 6 k

π 2α ρ cp n=1

∞

∑ 1 - e-λn2α t

n 2 = 6π 2

n=1

∞

∑ 1 - e-λn2α t

n 2

V.5.- TRANSMISIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO CON GENERACIÓN DE CA-LOR E.

a) Pared plana infinita con generación de calor E; condición de contorno isotérmica.

t = 0 ; Φ = Φ0 ; 0 ≤ x ≤ L

t > 0

x = 0 ; Φ0 = 0E = Cte

Φ ( x ,t ) = 4 E L2

π 3 k n=1

∞

∑ sen (λn x )

n3 (1 - e- λn2 α t ) , con: n = 1, 3 , 5, ... ; λn = π n

L...........................................................................................................................................................

b) Cilindro infinito con generación de calor E; condición de contorno isotérmica.

Condiciones de contorno:

t = 0 ; Φ = Φ 0 ; 0 ≤ r ≤ R

t > 0 r = R ; Φ0 = 0E = Cte

Φ ( x , t ) = 4 E

R k n=1

∞

∑J0 ( λn r )

λn3 J1 (λn R)

(1 - e- λn2α t ) , con λn raices de: J0 ( λn R) = 0

...........................................................................................................................................................

c) Esfera con generación de calor E; condición de contorno isotérmica.

Condiciones de contorno: t = 0 ; Φ = Φ0 ; 0 ≤ r ≤ R

t > 0 r = R ; Φ0 = 0E = Cte

Φ ( r , t ) = 2 E

k n=1

∞

∑ sen (λnr )

λn3 r

(1 - e- λn2 α t ) (-1)n ; λn = π n

R...........................................................................................................................................................

V.-120

Valores de las funciones de Bessel J0(x) y J1(x)

x0,00 1,0000 0,00000,05 0,9993 0,02490,10 0,9975 0,04990,15 0,9943 0,07470,20 0,9900 0,09950,25 0,9844 0,12400,30 0,9776 0,14830,35 0,9696 0,17230,40 0,9604 0,19600,45 0,9500 0,21930,50 0,9384 0,24220,55 0,9257 0,26470,60 0,9120 0,28670,65 0,8971 0,30810,70 0,8812 0,32900,75 0,8642 0,34920,80 0,8462 0,36880,85 0,8273 0,38770,90 0,8075 0,40590,95 0,7867 0,42331,00 0,7652 0,44001,05 0,7428 0,45591,10 0,7196 0,47091,15 0,6957 0,49501,20 0,6711 0,49821,25 0,6459 0,51061,30 0,6200 0,52201,35 0,5937 0,53241,40 0,5668 0,54191,45 0,5395 0,55041,50 0,5118 0,55791,55 0,4837 0,56441,60 0,4554 0,56991,65 0,4267 0,57431,70 0,3979 0,57771,75 0,3690 0,58011,80 0,3399 0,58151,85 0,3109 0,58181,90 0,2818 0,58111,95 0,2528 0,57942,00 0,2238 0,57672,05 0,1951 0,57302,10 0,1666 0,56822,15 0,1383 0,5626

J0( x) J1 ( x)

x2,20 0,1103 0,55592,25 0,0827 0,54832,30 0,0555 0,53982,35 0,0287 0,53042,40 0,0025 0,52012,45 -0,0232 0,50902,50 -0,0483 0,49702,55 -0,0729 0,48432,60 -0,0968 0,47082,65 -0,1199 0,45652,70 -0,1424 0,44162,75 -0,1641 0,42592,80 -0,1850 0,40972,85 -0,2051 0,39282,90 -0,2243 0,37542,95 -0,2426 0,35743,00 -0,2600 0,33903,05 -0,2765 0,32013,10 -0,2920 0,30093,15 -0,3066 0,28123,20 -0,3201 0,26133,25 -0,3327 0,24113,30 -0,3443 0,22063,35 -0,3548 0,20003,40 -0,3643 0,17923,45 -0,3727 0,15833,55 -0,3864 0,11643,65 -0,3960 0,07453,70 -0,3923 0,05383,75 -0,4014 0,03323,80 -0,4025 0,01283,85 -0,4026 -0,00733,90 -0,4018 -0,02723,95 -0,3999 -0,04684,00 -0,3971 -0,06604,05 -0,3933 -0,08484,10 -0,3886 -0,10324,15 -0,3830 -0,12124,20 -0,3765 -0,13864,25 -0,3692 -0,15554,30 -0,3610 -0,17194,35 -0,3520 -0,18764,40 -0,3422 -0,20274,45 -0,3370 -0,2172

J1 ( x) J0 ( x)

x4,50 -0,3205 -0,23104,55 -0,3086 -0,24414,60 -0,2961 -0,25654,65 -0,2830 -0,26814,70 -0,2693 -0,27904,75 -0,2551 -0,28914,80 -0,2404 -0,29854,85 -0,2252 -0,30704,90 -0,2097 -0,31464,95 0,1938 0,32155,00 -0,1776 -0,32755,10 -0,1443 -0,33715,20 -0,1103 -0,34325,30 -0,0758 -0,34605,40 -0,0412 -0,34535,50 -0,0068 -0,34145,60 0,0270 -0,33435,70 0,0599 -0,32415,80 0,0917 -0,31105,90 0,1220 -0,29516,00 0,1506 -0,27676,10 0,1773 -0,25596,20 0,2017 -0,23296,30 0,2238 -0,20816,40 0,2433 -0,18166,50 0,2601 -0,15386,6 0,27404 -0,124986,8 0,29310 -0,062527,0 0,30007 -0,004687,2 0,29507 0,054327,4 0,27859 0,109637,6 0,25160 0,159217,8 0,25541 0,201368,0 0,17165 0,234648,2 0,12222 0,258008,4 0,06916 0,270798,6 0,01462 0,272758,8 -0,03923 0,264079,0 -0,09033 0,245319,2 -0,13675 0,214719,4 -0,17677 0,181639,6 -0,20898 0,139529,8 -0,23227 0,0928410,0 -0,24594 0,04347

J0( x) J1 ( x)

V.-121