Upload
lediep
View
221
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
V. DERET PANGKAT
V.A. HIMPUNAN KEKONVERGENANSampai saat ini telah kita pelajari deret-deret yang terdiri dari konstanta-konstanta
yang berbentuk ann
1
dengan an merupakan sebuah bilangan. Pada bab ini akan dipelajari
deret fungsi yaitu suatu deret yang berbentuk a xnn
( )
1
. Salah satu contoh dari deret
fungsi ini adalah,sin nx
nn2
1
= sin sin sinx x x
12
43
9 + . . .
Apabila x disubtisusikan dengan suatu nilai, misalkan x = 1 maka akan diperolehsin nnn
21
= sin sin sin1
12
43
9 + . . .
Deret ini adalah deret yang terdiri dari konstanta-konstanta yang sudah kita kenal.Ada dua pertanyaan penting yang harus dijawab mengenai deret fungsi ini, yaitu
u Untuk nilai x manakah deret tersebut konvergen ?v Ke fungsi apakah deret tersebut konvergen, atau dengan kata lain berapakah jumlah
S(x) deret tersebut ?Pada umumnya pertanyaan-pertanyaan ini dapat dijawab dalam pelajaran kalkulus lanjutan, namun dalam hal khusus, pertanyaan-pertanyaan tersebut bisa dijawab dalam kalkulus elementer. Contohnya adalah deret fungsi khusus seperti deret pangkat. Suatu deret pangkat dalam x berbentuk,
a xnn
n
0
= a a x a x a x0 1 22
33 + . . .
(aoxo dapat dianggap sebagai ao, juga apabila x = 0). Untuk deret pangkat ini kita dapat menjawab kedua pertanyaan di atas seperti yang diperlihatkan dalam contoh berikut.
Contoh V.1
Untuk nilai-nilai x manakah deret pangkat axn
n
0
= a ax ax ax 2 3 + . . . konvergen,
dan berapakah jumlahnya ?. Anggap a ¹ 0.
Jawab :Dalam bab II telah kita pelajari deret geometrik yang berbentuk,
ark
n
1
1 = a ar ar ar 2 3 . . .
Deret geometrik adalah konvergen untuk 1 < r < 1 dan jumlahnya adalah Sn = a
r1 . Deret
geometrik ini sama dengan deret yang ditanyakan di atas, yaitu dengan mengganti r dengan x. Karena itu deret yang ditanyakan di atas adalah konvergen untuk 1 < x < 1. Jumlahnya adalah,
DND
49
S(x) = a
x1
Himpunan bilangan riil yang anggota-anggotanya membentuk suatu deret pangkat konvergen dinamakan himpunan kekonvergenan. Himpunan kekonvergenan ini mempunyai bentuk suatu selang, bisa berbentuk selang tertutup (Gambar V.1a), selang terbuka (Gambar V.1b), sebagian tertutup dan sebagian terbuka (Gambar V.1c dan d), seluruh bilangan riil (Gambar V.1d) dan berupa selang yang menyempit menjadi satu titik (Gambar V.1g). Jadi himpunan kekonvergenan tidak mungkin terdiri atas dua bagian selang yang lepas seperti [1, 1]È[2, 4]. Dalam Contoh V.1, himpunan kekonvergenannya berbentuk selang terbuka, yaitu (1,1). Sifat-sifat himpunan kekonvergenan ini diberikan dalam teorema berikut.
O
Himpunan Kekonvergenan
Himpunan Kekonvergenan
Himpunan Kekonvergenan
Himpunan Kekonvergenan
a
b
c
d
Himpunan Kekonvergenan
Himpunan Kekonvergenan
f
g
Gambar V.1. Himpunan kekonvergenan
Teorema V.1
Himpunan kekonvergenan sebuah deret pangkat axn
n
0
selalu berbentuk selang
yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut,u Satu titik x = 0u Selang (R, R), mungkin ditambah salah satu atau kedua titik ujungnya.u Seluruh himpunan bilangan riil.
Dalam u, v dan w, dikatakan radius kekonvergenan (r) masing-masing adalah 0, R dan .
Bukti :
DND
50
Andaikan deret konvergen di x = x1 ¹ 0. Maka limn n
na x
1 = 0, sehingga terdapat N
dengan a xnn1 < 1 untuk n ³ N. Jadi, untuk setiap x dengan x x< 1 diperoleh,
a x a xxx
xxn
nn
nn n
11 1
<
hubungan ini berlaku untuk semua n ³ N. Oleh karena xxn
n
11
adalah deret geometriik
dengan hasil bagi kurang dari 1, maka deret ini konvergen. Jadi berdasarkan Uji Banding,
deret a xnn
n
0
konvergen. Telah diperlihatkan bahwa apabila sebuah deret pangkat
konvergen di x1, maka deret tersebut konvergen mutlak untuk setiap x sedemikian rupa sehingga x x< 1 .
Dilain pihak, andaikan sebuah deret pangkat divergen di x2. Maka deret ini divergen untuk semua x dengan x x 2 , sebab jika deret ini konvergen di x1 dengan x x1 2 , maka menurut uraian di atas, deret ini akan konvergen pula di x2, yang bertentangan dengan sifat yang diketahui (hipotesis) bahwa deret divergen di x2.
Contoh V.2Tentukanlah himpunan kekonvergenan dan radius kekonvergenan deret,
xn
n
nn ( )
1 20
= . . .112 2
13 2
14 2
2
2
3
3 x x x
Jawab :Beberapa suku dalam deret di atas dapat berharga negatif apabila x negatif. Karena itu untuk menguji kekonvergenan deret ini akan digunakan Uji Hasil Bagi Mutlak, yaitu
= limn
xn
xn
n
n
n
n
1
12 2 1 2( ) ( ) = lim
n x
nn
x
n
n
n
n
1
12 21 2
( )( )
= limn
x nn
2
12
= x
n2lim
1 11 2
//nn
= x2
Apabila = x2
< 1 maka deret konvergen mutlak, hal ini berarti deret konvergen. Apabila
= x2
1, maka deret divergen. Jadi deret konvergen untuk x < 2 dan divergen untuk
x 2. Apabila x = 2 atau x = 2, Uji Hasil Bagi Mutlak tidak memberikan kepastian apa-apa. Akan tetapi jika x = 2, maka deret tersebut menjadi,
21 20
n
nn n( )
= 1
10 ( )nn
Deret ini adalah deret harmonik. Seperti telah kita ketahui, deret harmonik adalah divergen. Sedangkan apabila x = 2 maka deret menjadi,
( )( )
21 20
n
nn n
= ( )( )
1 21 20
n n
nn n
= ( )( )
110
n
n n
Deret ini adalah deret harmonik ganti tanda yang konvergen. Jadi himpunan kekonvergenan deret yang ditanyakan adalah 2 £ x < 2 atau dituliskan juga [2, 2).
DND
51
Himpunan kekonvergenan ini dilukiskan dalam Gambar V.2. Sedangkan radius kekonvergenannya adalah r = 2.
Himpunan Kekonvergenan
2 2
Gambar V.2
Contoh V.3
Tentukan himpunan kekonvergenan dan radius keonvergenan deret xn
n
n !
0
Jawab :Gunakan Uji Hasil Bagi Mutlak,
= lim( )! !n
n nxn
xn
1
1 = lim
( )!!
n
n
nxn
nx
1
1 = lim
n
xn 1
= xnn
lim
11
= 0
Jadi deret konvergen untuk semua x, atau himpunan kekonvegenannya adalah seluruh bilangan riil (Gambar V.3) dan r = .
Himpunan Kekonvergenan
Gambar V.3
Contoh V.4
Tentukanlah himpunan kekonvergenan dan radius kekonvergenan deret n xn
n!
0
Jawab :Gunakan Uji Hasil Bagi Mutlak,
0, jika x = 0
= lim( )!
!n
n
nn x
n x
1 1
= limn
( )n 1 x = x limn
( )n 1 =
jika x ¹ 0Jadi deret konvergen hanya untuk x = 0 (Gambar V.4) dan r = 0.
Himpunan Kekonvergenan0
Gambar V.4V.B. DERET PANGKAT DALAM (x a)
Sebuah deret yang yang berbentuk.
DND
52
a x a a a x a a x a a x ann( ) ( ) ( ) ( )
0 1 22
33
n=0 . . .
dinamakan deret pangkat dalam x a. Sifat-sifat yang berlaku bagi deret pangkat dalam x, berlaku juga untuk deret pangkat dalam (x a). Khususnya himpunan kekonvergenan berbentuk salah satu selang berikut.u Titik tunggal x = a.v Selang (a R, a + R), mungkin ditambah dengan salah satu atau kedua titik ujungnya
(Gambar V.5).w Seluruh himpunan bilangan riil.Untuk u, v dan w radius kekonvergenannya (r) adalah, a, R dan .
Himpunan Kekonvergenan
a R a + Ra
Gambar V.5
Contoh V.5
Tentukan himpunan kekonvergenan dan radius kekonvergenan deret ( )( )xn
n
n
11 2
0
Jawab :Kita gunakan Uji Hasil Bagi Mutlak
= lim( )( )
( )( )n
n nxn
xn
12
11
1
2 2 = lim( )( )
( )( )n
n
nxn
nx
12
11
1
2
2
= limn x
nn
112
2
2( )( )
= x 1 lim( )( )n
nn
12
2
2
= x 1 limn
n nn n
2
22 14 4
= x 1 limn
1 2 11 4 4 2
/ // /
n nn n
= x 1
Jadi deret ini konvergen apabila x 1 < 1, atau 1 < x 1 < 1 atau 0 < x < 2 dan deret divergen untuk x 1 1.
Untuk x = 0 deret menjadi,
( )( )
11
114
19
1162
0
n
n n . . .
Deret ini adalah deret-p ganti tanda dengan p = 2 1, berdasarkan Uji Kekonvergenan Mutlak deret ini konvergen.
Untuk x = 2 deret menjadi,
( )( )2 1
1 20
n
n n =
11 2
0 ( )nn
= . . . 114
19
116
Deret ini adalah deret-p dengan p = 2 1, jadi deret konvergen.Dari pengujian di atas diperoleh bahwa himpunan kekonvergenan deret yang
ditanyakan adalah 0 £ x £ 2 atau selang [0, 2] (Gambar V.6) dan r = 1.
DND
53
Himpunan Kekonvergenan
0 21
Gambar V.6
Contoh V.6Tentukanlah himpunan kekonvergenan dan radius kekonvergenan deret berikut,
( ) ln ( ) ln ( ) lnx x x
2 22
2 33
2 44
2 3 4
. 9 . 27 . 81 . . .
Jawab :
Suku ke-n deret ini adalah, un = ( ) lnx nn
n
n 2
3 . untuk n ³ 2. Jadi deret dapat dituliskan
dalam bentuk,
( ) lnx n
n
n
nn
232 .
Dengan menggunakan Uji Hasil Bagi Mutlak diperoleh,
= limn
( ) ln( )( )
( ) lnx nn
x nn
n
n
n
n
2 11 3
23
1
1 = limn
( ) ln( )( ) ( ) ln
x nn
nx n
n
n
n
n
2 11 3
32
1
1
= limn
x nn
nn
23 1
1 ln( )ln
= x 2
3limn
nn
nn
1
1ln( )ln
= x 2
3limn
11 1
/ n
limn
ln( )lnn
n
1 =
x 23
Jadi deret konvergen untuk x 2
3 < 1 atau 1 < x 2
3 < 1 atau 3 < x +2 < 3 atau
5 < x < 1, dan deret divergen untuk x 2
3 1.
Sekarang kita periksa titik-titik ujung himpunan kekonvergennnya yaitu 5 dan 1. Untuk x = 5, deret menjadi,
( ) ln
5 232
n
nn
nn .
= ( ) ln
332
n
nn
nn .
= ( )ln
12
n
n
nn
= ln ln ln22
33
44
. . .
Dengan menggunakan Uji Deret Ganti Tanda diperoleh bahwa deret ini konvergen.Untuk x = 1, deret menjadi,
( ) ln1 232
n
nn
nn .
= 3
32
n
nn
nn
ln .
= lnnnn
2
= ln ln ln22
33
44
. . .
Dengan menggunakan Uji Banding dengan deret harmonik diperoleh bahwa deret ini divergen. Jadi himpunan kekonvergenan deret yang ditanyakan adalah 5 £ x < 1 atau selang [5, 1) dan r = 3.
V.C. PENDIFERENSIALAN DAN PENGINTEGRALAN DERET PANGKAT
DND
54
Dari bagian yang lalu telah diketahui bahwa himpunan kekonvergenan deret pangkat
a xnn
n
0
berupa sebuah selang. Selang ini adalah daerah asal sebuah fungsi baru S(x), yaitu
jumlah deret pangkat tersebut. Yang menjadi pertanyaan sekarang adalah, dapatkah kita menyusun rumus sederhana untuk S(x) tersebut. Memang sangat sulit untuk menentukan rumus sederhana untuk S(x) ini, walaupun demikian, untuk jumlah deret geometri, jumlah deretnya sudah kita ketahui yaitu,
S(x) = axn
n
0
= a
x1, 1 < x < 1
Pertanyaan yang lebih mudah untuk jumlah deret pangkat ini adalah mengenai sifat-sifat yang dimiliki oleh jumlah deret geometrik ini seperti apakah S(x) dapat dapat didiferensialkan dan diintegrasikan atau tidak ? Jawabannya dapat seperti yang dinyatakan dalam Teorema V.2 berikut.
Teorema V.2Andaikan S(x) adalah jumlah deret pangkat pada selang I. Jadi
S(x) = a xnn
n
0
= a a x a x a x0 1 22
33 . . .
Apabila x ada di dalam I, maka berlaku,
u S’(x) = D a xxn
nn
0
( ) = na xnn
n
1
0 = a a x a x1 2 3
22 3 . . .
v S t dtx
( )0 = a t dtn
nx
n 00
= a
nxn n
n
11
0 = a x a x a x a x0 1
22
33
412
13
14
. . .
Contoh V.7Gunakan Teorema V.2 untuk mendapatkan rumus-rumus jumlah dua deret baru dari jumlah deret geometrik berikut.
11 x
= 1 + x + x2 + x3 + . . ., 1 < x < 1
Jawab :Apabila jumlah deret geometrik tersebut kita diferensialkan suku demi suku, maka akan diperoleh,
11 2( ) x
= 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + . . ., 1 < x < 1
Sedangkan apabila kita integrasikan suku demi suku diperoleh,
11
0 t
dtx
= dt tdt t dt t dtx xxx
0
2 3
000
. . .
Jadi, ln( )1 x = xx x x
2 3 4
2 3 4 . . . , 1 < x < 1
Jika x diganti dengan x dan ruas kiri dan kanan dikalikan dengan 1, maka akan diperoleh
DND
55
ln( )1 x = xx x x
2 3 4
2 3 4 . . ., 1 < x < 1
Contoh V.8Tentukan deret pangkat yang menggambarkan tan1x.
Jawab:
tan1x = 1
1 20 t
dtx
(i)
Deret geometrik dalam soal V.7 adalah,1
1 x = 1 + x + x2 + x3 + . . ., 1 < x < 1
Apabila kita ganti x dalam deret geometrik di atas dengan t2 maka diperoleh,
11 2 t
= 1 t2 + t4 x6 + . . ., 1 < t < 1 (ii)
Masukan persamaan (ii) ke (i) diperoleh,
tan1x = 1
1 20 t
dtx
= ( )1 2 4 6
0
t t t dtx
. . .
atau tan1x = xx x x
3 5 7
3 5 7 . . . 1 < x < 1
Contoh V.9Tentukan rumus untuk jumlah deret,
S(x) = . . .12 3
2 3
xx x
! !
Jawab :Dari Contoh V.3 diperoleh bahwa deret ini konvergen untuk semua x. Apabila ruas kiri dan kanan didiferensialkan, akan diperoleh
S’(x) = . . .12 3
2 3
xx x
! !jadi S(x) = S’(x) untuk semua x, dan S(0) = 1. Persamaan diferensial ini mempunyai jawaban tunggal, yaitu S(x) = ex karena hanya ex saja yang jika didifernsialkan hasilnya tetap ex juga. Jadi,
ex = . . .12 3
2 3
xx x
! !
DND
56
Contoh V.10.Tentukan deret pangkat untuk e x 2
Jawab :Apabila dalam deret pangkat untuk ex dalam Contoh V.9 harga x diganti dengan x2, maka diperoleh,
e x 2 = . . .12 3
24 6
xx x
! !
V.D. SOAL LATIHANTentukanlah himpunan kekonvergenan dan radius kekonvergenan deret pangkat
dalam Soal 1-11. Petunjuk : Tentukan terlebih dahulu rumus untuk suku ke-n, kemudian gunakan Uji Hasil Bagi Mutlak.
1. . . . 6 . 55 . 44 . 33 . 22 . 1
5432
xxxxx 2. . . .
!9!7!5!3
9753 xxxxx
3. x x x x 2 3 42 3 4 . . . 4. . . . 432
1432
xxx
x
5. . . . 6 . 45 . 34 . 23 . 1
1432
xxxx
6. . . . 2222
1 4
4
3
3
2
2
xxxx
7. 1 2 22
23
24
2 2 3 3 4 4
xx x x! ! !
. . . 8. x x x x x2
23
34
45
56
2 3 4 4
. . .
9. ( ) ( ) ( ) ( )x x x x
11
12
13
14
2 3 4
. . .
10. 1 12
12
12
2
2
3
3
( ) ( ) ( )x x x . . .
11. ( ) ( )x x
51 2 3
54
4
. 2(x + 5)
. 3(x + 5)
. 4 . 5 . . .
2 3
Tentukanlah himpunan kekonvergenan dan radius kekonvergenan deret pangkat dalam Soal 12-20.
12. xn
nn 20
13. x
n
n
nn ( )
1 2014.
n xn
n
nn
!
0
15. ( !)( )!n
nxn
n
2
0 2
16. 3
0
n n
n
xn
17. ( )!
( )!2 1
2
3
0
nn
xn
n
18. 22
22
0
nn
n nx
19. ( )xn
n
n
112
020.
( )( )
xn
n
nn
31 20
DND
57
21. Tentukanlah jumlah S(x) deret ( )x n
n
30
. Untuk nilai x manakah rumus itu berlaku ?.
22. Tentukanlah himpunan kekonvergenan deret setiap deret berikut.
(a) ( )3 1
20
xn
n
nn
.
(b) ( )( )
12 340
nn
nn
xn
Tuliskanlah deret pangkat yang jumlahnya f(x) dalam Soal 23-31, dan tentukanlah radius kekonvergenannya.
23. f(x) = 1
1x 24. f(x) = 1
1 2( ) x25. f(x) = x
x
2
1
26. f(x) = 1
2 3 x 27. f(x) = xx
2
41 28. f(x) = ln( )1
0
t dtx
29. f(x) =1
1 2( ) x30. f(x) =
13( ) x 31. f(x) =
xx( )1 2
Tentukanlah jumlah deret pangkat dalam soal 32-40
32. nx n
n
0
33. ( )
10
n n
nnx 34. ( )
2210
n
n
nnn
x
35. 2
1
n n
n
xn
36. ( )!
13
0
nn
n
xn
37. 22 1
2 1
1
xn
n
n
38. x x x x x 2 3 4 5 . . .
39. 12 3 4 5
2 3
! ! ! !
x x x . . .
40. 24
28
316
4
2 3 4
xx x x
. . .
Gunakanlah hasil dalam Contoh V.3 untuk menyusun deret pangkat dalam x dari fungsi yang diketahui dalam Soal 41-44.
41. f(x) = e x 42. f(x) = xex2
43. f(x) = e ex x 44. f(x) = e xx2 1 2
DND
58