Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
23 Wianjani, 2020 DISTRIBUSI APT-PARETO DAN APLIKASINYA (Studi Kasus Data Waktu Bertahan Hidup Pasien Myelogenous Leukemia) Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Prosedur Penelitian
Adapun prosedur penelitian yang dilakukan yaitu sebagai berikut:
1. Mengidentifikasi dan merumuskan masalah untuk dijadikan topik
pembahasan.
2. Melakukan studi literatur yang relevan dengan topik yang dibahas.
3. Menentukan metode penyelesaian yang akan digunakan.
4. Menentukan data yang akan digunakan dan metode pengumpulannya.
5. Mengolah dan mengalisis hasil tinjauan literatur dan data yang diperoleh.
6. Menarik kesimpulan sesuai dengan rumusan masalah.
3.2 Pengumpulan Data
Data yang digunakan adalah data sekunder yang diperoleh dari jurnal yang
berjudul βAlpha Power Pareto Distributions: Its Properties and Applicationsβ
oleh Shumalla Ihthisam, Alamgir Khalil, Sadat Manzoor, Sajjad Ahmad Khan,
dan Amjad Ali pada tahun 2019. Data tersebut mengenai waktu bertahan hidup
pasien myelogenous leukaemia dengan banyak data adalah 33.
3.3 Langkah-langkah Penelitian
Adapun langkah-langkah penelitian yang dilakukan pada yaitu sebagai
berikut:
1. Studi Literatur
Studi literatur dilakukan untuk mendeskripsikan karakteristik dari distribusi
APT-Pareto seperti fungsi distribusi kumulatif, fungsi kepadatan peluang,
fungsi pembangkit momen, mean, variansi, fungsi tambahan seperti fungsi
survival dan fungsi hazard, dan pengestimasian parameter.
2. Mengumpulkan Data
24 Wianjani, 2020 DISTRIBUSI APT-PARETO DAN APLIKASINYA (Studi Kasus Data Waktu Bertahan Hidup Pasien Myelogenous Leukemia) Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Data yang digunakan merupakan data sekunder yang diperoleh dari jurnal
yang berjudul βAlpha Power Pareto Distributions: Its Properties and
Applicationsβ oleh Shumalla Ihthisam, Alamgir Khalil, Sadat Manzoor,
Sajjad Ahmad Khan, dan Amjad Ali pada tahun 2019. Data tersebut
mengenai waktu bertahan hidup pasien myelogenous leukaemia dengan
banyak data adalah 33.
3. Uji Statistik Deskriptif
Dilakukan untuk mengetahui statistik deskriptif dari data waktu bertahan
hidup pasien myelogeous leukemia dengan bantuan software minitab 17.
4. Menentukan Nilai Estimasi Parameter
Dengan bantuan software Rstudio, dapat diperoleh nilai estimasi parameter
untuk distribusi Pareto dan distribusi APT-Pareto
5. Uji Kolmogorov Smirnov
Uji KS dilakukan untuk meguji kecocokan distribusi Pareto dan distribusi
APT-Pareto pada data waktu bertahan hidup pasien myelogeous leukemia
dengan bantuan microsoft excel.
6. Memilih Distribusi Terbaik
Pemilihan distribusi terbaik ditentukan dengan membandingkan nilai Akaike
Information Criterion (AIC). Distribusi yang memiliki nilai AIC paling
rendah, dipilih menjadi distribusi terbaik.
7. Menarik Kesimpulan
3.4 Distribusi Alpha Power Transformation Pareto
Pada bab sebelumnya telah dijelaskan mengenai Alpha Power
Transformation (APT) atau metode transformasi alpha power. Pada bagian ini,
akan dibahas mengenai distribusi APT-Pareto yang merupakan pengembangan
dari distribusi Pareto dengan penambahan parameter Ξ± ke dalamnya.
Berikut merupakan pembahasan mengenai fungsi kepadatan peluang, fungsi
distribusi kumulatif, fungsi pembangkit momen, momen, ekspektasi dan varians,
fungsi survival, fungsi hazard, serta pengestimasian parameter dari distribusi
APT-Pareto.
25 Wianjani, 2020 DISTRIBUSI APT-PARETO DAN APLIKASINYA (Studi Kasus Data Waktu Bertahan Hidup Pasien Myelogenous Leukemia) Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
3.4.1 Fungsi Distribusi Kumulatif
Misalkan X adalah variabel acak yang berdistribusi APT-Pareto, yang
dinotasikan dengan π~π΄πππ(πΌ, π½) maka F(x) adalah cdf atau fungsi distribusi
kumulatif dari distribusi APT-Pareto yang dihasilkan dengan mensubstitusikan
persamaan (2.17) dari distribusi Pareto ke dalam persamaan (2.22), yaitu:
πΉπ΄πππ(π₯) = πΉπ΄ππ(πΉ(π₯))
= {πΌ(1β(π₯)βπ½) β 1
πΌ β 1, πΌ > 0, πΌ β 1
1 β π₯βπ½, πΌ = 1
= {πΌ1βπ₯βπ½
β 1
πΌ β 1, πΌ > 0, πΌ β 1
1 β π₯βπ½, πΌ = 1
Sehingga fungsi distribusi kumulatif dari distribusi APT-Pareto dengan dua
parameter πΌ, π½ adalah sebagai berikut:
πΉπ΄πππ(π₯) = {πΌ1βπ₯βπ½
β1
πΌβ1, πΌ > 0, πΌ β 1
1 β π₯βπ½, πΌ = 1 (3.1)
3.4.2 Fungsi Kepadatan Peluang
Fungsi kepadatan peluang atau pdf dari distribusi APT-Pareto dapat
diperoleh dengan mendiferensiasikan πΉπ΄πππ(π₯) satu kali terhadap x. Sehingga
diperoleh fungsi kepadatan peluang dari distribusi APT-Pareto, yaitu:
π(π₯) =ππΉ(π₯)
ππ₯
Untuk πΌ > 0, πΌ β 1
ππ΄πππ(π₯) =ππΉπ΄πππ(π₯)
ππ₯
=π
ππ₯
1
πΌ β 1(πΌ1βπ₯βπ½
β 1)
=1
πΌ β 1
π
ππ₯(πΌ1βπ₯βπ½
β 1)
=1
πΌ β 1(πΌ1βπ₯βπ½
)ππππΌ(π₯βπ½β1π½)
=π½ππππΌ
πΌ β 1πΌ1βπ₯βπ½
π₯βπ½β1
26 Wianjani, 2020 DISTRIBUSI APT-PARETO DAN APLIKASINYA (Studi Kasus Data Waktu Bertahan Hidup Pasien Myelogenous Leukemia) Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Untuk πΌ = 1
ππ΄πππ(π₯) =ππΉπ΄πππ(π₯)
ππ₯
=π
ππ₯(1 β π₯βπ½)
= π½π₯βπ½β1
Sehingga pdf atau fungsi kepadatan peluang dari distribusi APT-Pareto adalah:
ππ΄πππ(π₯) = {
π½ππππΌ
πΌβ1πΌ1βπ₯βπ½
π₯βπ½β1, πΌ > 0, πΌ β 1
π½π₯βπ½β1, πΌ = 1 (3.2)
Setelah didapatkan bentuk fungsi kepadatan peluang dari distribusi APT-
Pareto, akan dibuktikan bahwa fungsi kepadatan peluang tersebut memenuhi sifat-
sifat fungsi kepadatan peluang dari variabel acak kontinu.
1. Akan dibuktikan bahwa ππ΄πππ(π₯) > 0 untuk π₯ > 0 dan πΌ, π½ > 0 .
Untuk πΌ > 0, πΌ β 1
Karena π₯, πΌ, π½ > 0 maka 0 < π₯βπ½ < 1
Karena π₯, πΌ, π½ > 0 maka π₯βπ½β1 > 0
Karena πΌ > 0, πΌ β 1 dan 0 < π₯βπ½ < 1, maka πΌ1βπ₯βπ½> 0
1) Kasus ketika 0 < πΌ < 1
1
πΌβ1< β1 < 0
π½ππππΌ < 0
Maka π½ππππΌ
πΌβ1> 0
2) Kasus ketika πΌ > 1
1
πΌβ1> 0
π½ππππΌ > 0
Maka π½ππππΌ
πΌβ1> 0
Maka ππ΄πππ(π₯) =π½ππππΌ
πΌβ1πΌ1βπ₯βπ½
π₯βπ½β1 > 0.
Untuk πΌ = 1
Karena π₯, πΌ, π½ > 0 maka π₯βπ½β1 > 0
27 Wianjani, 2020 DISTRIBUSI APT-PARETO DAN APLIKASINYA (Studi Kasus Data Waktu Bertahan Hidup Pasien Myelogenous Leukemia) Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Maka π½π₯βπ½β1 > 0.
Sehingga didapatkan bukti bahwa ππ΄πππ(π₯) > 0.
2. Akan dibuktikan bahwa β« ππ΄πππ(π₯)β
0 ππ₯ = 1
Untuk πΌ > 0, πΌ β 1
β« ππ΄πππ(π₯)β
0 ππ₯ = β«
π½ππππΌ
πΌβ1πΌ1βπ₯βπ½
π₯βπ½β1β
0ππ₯
Misalkan π’ = ππππΌ1βπ₯βπ½,
maka ππ’ = π½ππππΌ πΌ1βπ₯βπ½π₯βπ½β1 ππ₯
Ketika π₯ = 0, maka π’ = 1 dan ketika π’ β β, maka π’ = πΌ.
Sehingga,
β« ππ΄πππ(π₯)β
0 ππ₯ = β«
1
πΌβ1
πΌ
1ππ’
=1
πΌβ1π’|
1
π
=1
πΌβ1(πΌ β 1)
= 1
Untuk πΌ = 1
β« ππ΄πππ(π₯)β
0ππ₯ = β« π½π₯βπ½β1β
0ππ₯
= limπ₯ββ
π½1
βπ½β1+1π₯βπ½β1+1|
0
β
= limπ₯ββ
π½1
βπ½π₯βπ½|
0
β
= limπ₯ββ
βπ₯βπ½|0
β
= βπ₯βπ½ β (βπ₯βπ½)
= 1
Dari pembuktian 1 dan 2, terbukti bahwa persamaan (3.2) merupakan fungsi
kepadatan peluang.
3.4.3 Fungsi Survival
Misalkan variabel acak X merupakan waktu ketahanan hidup yang
berdistribusi APT-Pareto dengan fungsi kepadatan peluang ππ΄πππ(π₯) dan fungsi
28 Wianjani, 2020 DISTRIBUSI APT-PARETO DAN APLIKASINYA (Studi Kasus Data Waktu Bertahan Hidup Pasien Myelogenous Leukemia) Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
distribusi kumulatif πΉπ΄πππ(π₯). Fungsi survival dari variabel acak X diperoleh dari
satu dikurangi dengan cdf nya, yang didefinisikan sebagai berikut:
ππ΄πππ(π₯) = 1 β πΉπ΄πππ(π₯)
= {1 βπΌ1βπ₯βπ½
β 1
πΌ β 1, πΌ > 0, πΌ β 1
1 β (1 β π₯βπ½), πΌ = 1
= {πΌ β 1 β (πΌ1βπ₯βπ½
β 1)
πΌ β 1, πΌ > 0, πΌ β 1
π₯βπ½, πΌ = 1
= {πΌ β πΌ1βπ₯βπ½
πΌ β 1, πΌ > 0, πΌ β 1
π₯βπ½ , πΌ = 1
Sehingga diperoleh, fungsi survival dari distribusi APT-Pareto adalah:
ππ΄πππ(π₯) = {πΌβπΌ1βπ₯βπ½
πΌβ1, πΌ > 0, πΌ β 1
π₯βπ½ , πΌ = 1 (3.3)
3.4.4 Fungsi Hazard
Fungsi hazard dari distribusi APT-Pareto adalah hasil pembagian dari
fungsi kepadatan peluang (pdf) dengan fungsi survival nya, yaitu:
βπ΄πππ(π₯) =ππ΄πππ(π₯)
ππ΄πππ(π₯)
Untuk πΌ > 0, πΌ β 1
βπ΄πππ(π₯) =
π½ππππΌπΌ β 1 πΌ1βπ₯βπ½
π₯βπ½β1
πΌ β πΌ1βπ₯βπ½
πΌ β 1
=π½ππππΌ
πΌ β 1πΌ1βπ₯βπ½
π₯βπ½β1 (πΌ β 1
πΌ β πΌ1βπ₯βπ½)
=π½ππππΌ
πΌ β πΌ1βπ₯βπ½ πΌ1βπ₯βπ½π₯βπ½β1
Untuk πΌ = 1
βπ΄πππ(π₯) =π½π₯βπ½β1
π₯βπ½
=π½
π₯
29 Wianjani, 2020 DISTRIBUSI APT-PARETO DAN APLIKASINYA (Studi Kasus Data Waktu Bertahan Hidup Pasien Myelogenous Leukemia) Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Sehingga didapatkan fungsi hazard dari distribusi APT-Pareto adalah sebagai
berikut:
βπ΄πππ(π₯) = {
π½ππππΌ
πΌβπΌ1βπ₯βπ½ πΌ1βπ₯βπ½π₯βπ½β1, πΌ > 0, πΌ β 1
π½
π₯, πΌ = 1
(3.4)
3.4.5 Fungsi Pembangkit Momen
Misalkan X adalah variabel acak berdistribusi APT-Pareto dengan pdf atau
fungsi kepadatan peluang sebagai berikut:
π(π₯) = ππ΄πππ(π₯) =ππππΌ
πΌ β 1π½π₯βπ½β1πΌ1βπ₯βπ½
=πΌππππΌ
πΌ β 1π½π₯βπ½β1πΌβπ₯βπ½
Selanjutnya dicari bentuk deret dari π₯βπ½ untuk memudahkan mencari fungsi
pembangkit momen dari distribusi APT-Pareto. Misal π§ = π₯βπ½ , maka:
π(π₯) =πΌππππΌ
πΌβ1π½π₯βπ½β1πΌβπ§ (3.5)
Misalkan β(π§) = πΌβπ§, maka dengan ekspansi deret McLaurin:
β(π§) = β(0) + ββ²(0)π§ +β"(0)
2!π§2 + β―
Diperoleh:
πΌβπ§ = 1 β π§ logπΌ + π§2(ππππΌ)2
2!β π§3
(ππππΌ)3
3!+ β―
= β(βππππΌ)π
π!
β
π=0π§π
(3.6)
Substitusikan persamaan (3.5) kedalam persamaan (3.6), dimana π§ = π₯βπ½ ,
sehingga diperoleh:
π(π₯) =πΌππππΌ
πΌ β 1π½π₯βπ½β1πΌβπ§
=πΌππππΌ
π₯(πΌ β 1)π½π₯βπ½ β
(βππππΌ)π(π₯βπ½)π
π!
β
π=0
=πΌ(βππππΌ)
π₯(1 β πΌ)π½π₯βπ½ β
(βππππΌ)π+1(π₯βπ½)π
π!
β
π=0
30 Wianjani, 2020 DISTRIBUSI APT-PARETO DAN APLIKASINYA (Studi Kasus Data Waktu Bertahan Hidup Pasien Myelogenous Leukemia) Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
=πΌ
π₯(1 β πΌ)π½ β
(βππππΌ)π+1(π₯βπ½)π+1
π!
β
π=0
=πΌπ½
π₯(1 β πΌ)β
(βππππΌ)π+1(π₯βπ½)π+1
π!
β
π=0
(3.7)
Fungsi pembangkit momen untuk variabel acak kontinu didefinisikan dengan:
ππ(π‘) = πΈ(ππ‘π₯) = β« ππ‘π₯ππ(π₯)ππ₯β
1 (3.8)
Dengan ekspansi deret Taylor, diketahui:
ππ‘π₯ = 1 + π‘π₯ +(π‘π₯)2
2!+
(π‘π₯)3
3!+ β―
= β(π‘π₯)π
π!
β
π=0
Dari persamaan (3.5), ekspansi deret Taylor yang disubstitusikan kedalam
persamaan (3.6), maka diperoleh:
ππ₯(π‘) = β« βπΌπ½
π₯(1 β πΌ)
β
π=0
(βππππΌ)π+1(π₯βπ½)π+1
π!β
(π‘π₯)π
π!
β
π=0
β
1
ππ₯
= β« β βπΌπ½
π₯(1 β πΌ)
β
π=0
β
π=0
β
1
(βππππΌ)π+1(π₯βπ½)π+1
π!
(π‘π₯)π
π!ππ₯
= β« β βπΌπ½
(1 β πΌ)
β
π=0
β
π=0
β
1
(βππππΌ)π+1
π!
π‘π
π!π₯πβ1(π₯βπ½)π+1ππ₯
= β« β βπΌπ½
(1 β πΌ)
β
π=0
β
π=0
β
1
(βππππΌ)π+1
π!
π‘π
π!π₯βπ½πβπ½+πβ1ππ₯
=πΌπ½
(1 β πΌ)β β
(βππππΌ)π+1π‘π
π! π!
β
π=0
β
π=0β« π₯βπ½πβπ½+πβ1ππ₯
β
1
=πΌπ½
(1 β πΌ)β β
(βππππΌ)π+1π‘π
π! π!
β
π=0
β
π=0
1
ππ½ β π + π½
=πΌπ½
(1 β πΌ)β β
(βππππΌ)π+1π‘π
π! π! (ππ½ β π + π½)
β
π=0
β
π=0
Sehingga diperoleh fungsi pembangkit momen dari distribusi APT-Pareto adalah:
ππ₯(π‘) =πΌπ½
(1βπΌ)β β
(βππππΌ)π+1π‘π
π!π!(ππ½βπ+π½)
βπ=0
βπ=0 (3.9)
3.4.6 Momen
31 Wianjani, 2020 DISTRIBUSI APT-PARETO DAN APLIKASINYA (Studi Kasus Data Waktu Bertahan Hidup Pasien Myelogenous Leukemia) Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Misalkan X peubah acak yang berdistribusi APT-Pareto, maka momen ke-r
didefinisikan sebagai berikut:
πΈ(ππ) = β« π₯πβ
1
ππ(π₯)ππ₯
Dengan mendiferensiasi persamaan (3.9) dan memasukkan t = r, akan diperoleh
momen ke-r dari distribusi APT-Pareto yaitu:
πΈ(ππ) =πΌπ½
(1βπΌ)β
(βππππΌ)π+1
π![
π!
(ππ½βπ+π½)]β
π=0 (3.10)
3.4.7 Mean
Dengan memasukkan r = 1 ke dalam persamaan (3.10) nya, akan diperoleh
ekspektasi dari distribusi APT-Pareto sebagai berikut:
πΈ(π) =πΌπ½
(1βπΌ)β
(βππππΌ)π+1
π!
βπ=0 [
1
(ππ½+π½β1)] (3.11)
Misalkan X adalah variabel acak kontinu dengan fungsi survival pada
persamaan (3.3), ekspektasi fungsi residual didefinisikan sebagai harapan waktu
hidup tambahan dimana suatu komponen bertahan hingga waktu t. Ekspektasi
fungsi residual, dinotasikan dengan π(π‘) adalah sebagai berikut:
π(π‘) =1
π(π‘)(πΈ(π‘) β β« π₯π(π₯)ππ₯
π‘
0) β π‘, π‘ β₯ 0 (3.12)
Dimana
β« π₯π(π₯)ππ₯ =π½πΌππππΌ
πΌβ1β
(βππππΌ)π
π!(ππ½+π½β1)(βπ‘β(ππ½+π½β1))β
π=01
0 (3.13)
Dengan mensubstitusikan persamaan (3.3), (3.11) dan (3.13) kedalam persamaan
(3.12), π(π‘) dapat ditulis sebagai:
π(π‘) =1
π(π‘)(πΈ(π‘) β β« π₯π(π₯)ππ₯
π‘
0
) β π‘
=1
πΌ β πΌ1βπ‘βπ½
πΌ β 1
(πΌπ½
(1 β πΌ)β
(βππππΌ)π+1
π!
β
π=0[
1
(ππ½ + π½ β 1)]
βπ½πΌππππΌ
πΌ β 1β
(βππππΌ)π
π! (ππ½ + π½ β 1)(βπ‘β(ππ½+π½β1)
β
π=0) β π‘
32 Wianjani, 2020 DISTRIBUSI APT-PARETO DAN APLIKASINYA (Studi Kasus Data Waktu Bertahan Hidup Pasien Myelogenous Leukemia) Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
=πΌ β 1
πΌ β πΌ1βπ‘βπ½ (πΌπ½
(1 β πΌ)β
(βππππΌ)π+1
π!(1β((ππ½+π½β1))
β
π=0
βπ½πΌππππΌ
πΌ β 1β
(βππππΌ)π
π! (ππ½ + π½ β 1)(βπ‘β(ππ½+π½β1)
β
π=0) β π‘
=πΌ β 1
πΌ(1 β πΌβπ‘βπ½)(
πΌπ½
(1 β πΌ)β
(βππππΌ)π+1
π!(1β(ππ½+π½β1))
β
π=0
βπ½πΌππππΌ
πΌ β 1β
(βππππΌ)π
π! (ππ½ + π½ β 1)(βπ‘β(ππ½+π½β1)
β
π=0) β π‘
=πΌ β 1
πΌ(1 β πΌβπ‘βπ½)(
πΌπ½
(1 β πΌ)
βπ½πΌππππΌ
πΌ β 1β
(βππππΌ)π+1β1
π! (ππ½ + π½ β 1(1β(ππ½+π½β1))
β
π=0
β (βπ‘β(ππ½+π½β1)) β π‘
=πΌ β 1
πΌ(1 β πΌβπ‘βπ½)(
πΌπ½
(1 β πΌ)
βπ½πΌππππΌ
πΌ β 1β
(βππππΌ)π
π! (ππ½ + π½ β 1)(1 + π‘β(ππ½+π½β1))
β
π=0) β π‘
=π½πΌππππΌ
(1 β πΌβπ‘βπ½)β
(βππππΌ)π
π! (ππ½ + π½ β 1)(1 + π‘β(ππ½+π½β1))
β
π=0β π‘
Sehingga diperoleh fungsi residual dari distribusi APT-Pareto adalah
π(π‘) =π½πΌππππΌ
(1βπΌβπ‘βπ½)β
(βππππΌ)π
π!(ππ½+π½β1)(1 + π‘β(ππ½+π½β1))β
π=0 β π‘ (3.14)
3.4.8 Estimasi Parameter Distribusi APT-Pareto
Pada bagian ini akan dibahas mengenai penaksiran parameter dari distribusi
APT-Pareto dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum. Misalkan
π1, π2, π3, β¦ , ππ adalah variabel acak yang berdistribusi APT-Pareto dengan
parameter πΌ, π½. Untuk menaksir parameter, akan dicari terlebih dahulu fungsi
likelihood. Fungsi likelihood merupakan fungsi kepadatan peluang bersama dari
33 Wianjani, 2020 DISTRIBUSI APT-PARETO DAN APLIKASINYA (Studi Kasus Data Waktu Bertahan Hidup Pasien Myelogenous Leukemia) Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
variabel acak yang bergantung pada parameter πΌ, π½. Maka fungsi likelihood dari
distribusi APT-Pareto adalah sebagai berikut:
πΏ(πΌ, π½; π₯) = π(π₯1, π₯2, π₯3, β¦ , π₯π; πΌ, π½)
= βπ(π₯π; πΌ, π½)
π
π=1
Karena π1, π2, π3, β¦ , ππ merupakan variabel acak berdistribusi APT-Pareto
dengan fungsi kepadatan peluang seperti pada persamaan (3.2), maka fungsi
likelihood dari X dapat ditulis sebagai berikut:
πΏ(πΌ, π½; π₯) = π(π₯1, π₯2, π₯3, β¦ , π₯π; πΌ, π½)
= βπ½ππππΌ
πΌ β 1πΌ1βπ₯π
βπ½π₯π
βπ½β1
π
π=1
= βππππΌ
πΌ β 1π½πΌ1βπ₯π
βπ½π₯π
βπ½β1
π
π=1
= π½π (ππππΌ
πΌ β 1)
π
πΌπββ π₯πβπ½
βπ₯πβπ½β1
π
π=1
(3.15)
Sehingga diperoleh fungsi likelihood dari distribusi APT-Pareto adalah sebagai
berikut:
πΏ(πΌ, π½; π₯) = π½π (ππππΌ
πΌ β 1)
π
πΌπββ π₯πβπ½
βπ₯πβπ½β1
π
π=1
Dari persamaan (3.15) diperoleh fungsi log-likelihood-nya sebagai berikut:
log πΏ(πΌ, π½; π₯) = πππ [π½π (ππππΌ
πΌβ1)
π
πΌπββ π₯πβπ½
β π₯πβπ½β1π
π=1 ]
= πππππ½ + ππππ (ππππΌ
πΌ β 1) + (π
β β π₯πβπ½)ππππΌ + (βπ½ β 1)β ππππ₯π
π
π=1
π
π=1 (3.16)
Kemudian, dicari nilai πΌ, π½ yang dapat memaksimumkan fungsi log πΏ(πΌ, π½; π₯)
dengan mendiferensiasikan fungsi log-likelihood tersebut secara parsial terhadap
34 Wianjani, 2020 DISTRIBUSI APT-PARETO DAN APLIKASINYA (Studi Kasus Data Waktu Bertahan Hidup Pasien Myelogenous Leukemia) Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
setiap paremeternya dan kemudian disamakan dengan nol, maka diperoleh
pengestimasi untuk setiap parameternya yaitu:
Turunan pertama terhadap πΌ
πlog πΏ(πΌ, π½; π₯)
ππΌ= 0
= π (πΌ β 1
ππππΌ)(
1
πΌ(πΌ β 1)β
ππππΌ
(πΌ β 1)2) +
π β β π₯πβπ½π
π=1
πΌ= 0
=π(πΌ β 1 β πΌ logπΌ)
πΌ(πΌ β 1)ππππΌ+
π β β π₯πβπ½π
π=1
πΌ= 0 (3.17)
Turunan pertama terhadap π½
πlog πΏ(πΌ, π½; π₯)
ππ½= 0
=π
π½β β ππππ₯π
π
π=1β ππππΌ β π₯π
βπ½π
π=1ππππ₯π = 0
=π
π½+ β π₯π
βπ½π
π=1ππππ₯πππππΌ β β ππππ₯π
π
π=1= 0 (3.18)
Dengan menurunkan kembali persamaan (3.17) dan (3.18), diperoleh
π2ππππ
ππΌ2=
π
(πΌ β 1)2β
πππππΌ + π
πΌ2πππ2πΌβ
π β β π₯πβπ½
πΌ2 (3.19)
π2ππππ
ππΌππ½=
βπ₯πβπ½
ππππ₯π
πΌ (3.20)
π2ππππ
ππ½2 = βπ
π½2β ππππΌ βπ₯π
βπ½(ππππ₯π)
2 (3.21)
Misalkan (πΌ,Μ οΏ½ΜοΏ½)=(πlog πΏ(πΌ,π½;π₯)
ππΌ, πlog πΏ(πΌ,π½;π₯)
ππ½). Secara analitik, ukuran maksimum
likelihood untuk πΌ, π½ didapatkan dengan menyelesaikan (πΌ,Μ οΏ½ΜοΏ½). Akan tetapi,
persamaan-persamaan tersebut merupakan persamaan non-linear sehingga akan
sulit untuk diselesaikan secara eksplisit. Oleh karena itu, penaksiran (πΌ,Μ οΏ½ΜοΏ½) dapat
diperoleh secara numerik.
Untuk menyelesaikan persamaan non-linear ini, dapat digunakan metode Newton-
Rhapson dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Menginput data sebanyak n
35 Wianjani, 2020 DISTRIBUSI APT-PARETO DAN APLIKASINYA (Studi Kasus Data Waktu Bertahan Hidup Pasien Myelogenous Leukemia) Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
2. Menentukan nilai estimasi awal parameter pada masing-masing
variabel.
3. Tentukan fungsi likelihood dan fungsi log-likelihoodnya.
4. Mencari turunan-turunan fungsi sistem persamaan non-linear
terhadap masing-masing variabelnya.
5. Akan dihasilkan turunan parsial pertamanya berbentuk matriks
sebagai berikut
πΏ(πΌ, π½; π₯) =
[ πlog πΏ(πΌ, π½; π₯)
ππΌπlog πΏ(πΌ, π½; π₯)
ππ½ ]
6. Lalu mencari turunan kedua dari bentuk log πΏ(πΌ, π½; π₯) terhadap
masing-masing parameternya. Diperoleh turunan keduanya sebagai
berikut
Turunan parsial kedua terhadap πΌ
π2ππππ
ππΌ2=
π
(πΌ β 1)2β
πππππΌ + π
πΌ2πππ2πΌβ
π β βπ₯πβπ½
πΌ2
Turunan parsial kedua terhadap π½
π2ππππ
ππ½2 = βπ
π½2β ππππΌβπ₯π
βπ½(ππππ₯π)
2
Maka diperoleh matriks Hessian yang dapat dituliskan sebagai
berikut
π»(πΌ, π½; π₯) =
[ π2ππππ
ππΌ2
π2ππππ
ππΌππ½π2ππππ
ππΌππ½
π2ππππ
ππ½2]
7. Didefinisikan bentuk umum persamaan Newton-Rhapson.
(πΌπ+1
π½π+1) = (πΌπ
π½π) β π»β1
(
πln πΏ
ππΌπln πΏ
ππ½ )
8. Dari hasil tersebut lalu substitusikan nilai estimasi awal
parameternya ke dalam matriks H.
9. Lakukan iterasi sampai didapatkan nilai estimasi yang konvergen.
36 Wianjani, 2020 DISTRIBUSI APT-PARETO DAN APLIKASINYA (Studi Kasus Data Waktu Bertahan Hidup Pasien Myelogenous Leukemia) Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Kemudian untuk melakukan perhitungan, dapat digunakan software RStudio
dengan bahasa pemrograman R. Fungsi yang digunakan yaitu fungsi nlminb pada
R. Fungsi nlminb pada software R adalah fungsi optimasi yang ditulis oleh Gay
(1990) di Bell Labs, yang selanjutnya diimpor ke software R oleh Dauglas Bates.
Fungsi nlminb menggunakan metode optimasi Newton (Nash dan Varadhan,
2011).
Untuk memastikan hasil penaksiran (πΌ,Μ οΏ½ΜοΏ½) yang didapatkan dengan program R
sudah memaksimalkan fungsi likelihood, nilai (πΌ,Μ οΏ½ΜοΏ½) yang didapatkan kemudian
dimasukkan kedalam persamaan (3.19) dan (3.21) dan haruslah bernilai negatif.