Vajda István - Óbudai Egyetemusers.nik.uni-obuda.hu/vajda/analizis1/limes.pdf · 2012-10-07 · Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások˝ 2012. október 7. 5 / 35

Analízis eloadások

Vajda István

Neumann János Informatika KarÓbudai Egyetem

2012. október 7.

Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. október 7. 1 / 35

Függvények Függvények lokális tulajdonságai

A pillanatnyi sebesség fogalmának problémája

Jelölje a t 7→ s (t) függvény, hogy egy pontszeru test mekkora utat teszmeg a t idopillanatig.Ekkor a test által megtett út a [t0; t ] idointervallumban ∆s = s (t) − s (t0).A [t0; t ] idointervallumra számított átlagsebesség

v =∆s∆t

=s (t) − s (t0)

t − t0

Mit értsünk a test pillanatnyi sebességén a t0 idopillanatban?



A pillanatnyi sebesség fogalmának problémája

Jelölje a t 7→ s (t) függvény, hogy egy pontszeru test mekkora utat teszmeg a t idopillanatig.Ekkor a test által megtett út a [t0; t ] idointervallumban ∆s = s (t) − s (t0).A [t0; t ] idointervallumra számított átlagsebesség

v =∆s∆t

=s (t) − s (t0)

t − t0

Mit értsünk a test pillanatnyi sebességén a t0 idopillanatban?



A függvénygörbe érintojének meredeksége

x

y

f (x0)

x0

f (x)

x

x − x0

f (x) − f (x0)

A függvénygörbe x0 és xabszcisszájú pontjaihoz tar-tozó szelo meredeksége:

m =f (x) − f (x0)

x − x0

Mekkora az x0 ponthoz tar-tozó érinto meredeksége?



Valós szám δ-sugarú pontozott környezete

Definíció: Az x0 ∈ R valós szám egy δ (> 0) sugarú pontozott környezeténaz ]x0 − δ; x0 + δ[ \ {x0} halmazt értjük.

x0x0 − δ x0 + δ

δ δ

Definíció: Az ]x0 − δ; x0[ intervallumot x0 baloldali pontozottkörnyezetének, az ]x0; x0 + δ[ intervallumot pedig x0 jobboldali pontozottkörnyezetének nevezzük.

x0x0 − δ x0 + δ

Balodali környezet





x0x0 − δ x0 + δ

δ δ


x0x0 − δ x0 + δ

Balodali környezet





x0x0 − δ x0 + δ

δ δ


x0x0 − δ x0 + δ

Balodali környezet





x0x0 − δ x0 + δ

δ δ


x0x0 − δ x0 + δ

Balodali környezet



Egyváltozós függvények határértéke

Definíció: Legyen az f függvény értelmezett az x0 hely egy pontozottkörnyezetében. Az f függvénynek létezik határértéke az x0 helyen és ezaz A ∈ R szám, ha ∀ε > 0 számhoz megadható egy olyan δ > 0 szám,amelyre teljesül, hogy (]x0 − δ; x0 + δ[ \ {x0}) ⊆ Df és∀x ∈ ]x0 − δ; x0 + δ[ \ {x0} esetén

∣∣∣f (x) − A∣∣∣ < ε.

Megjegyzés: Az x ∈ ]x0 − δ; x0 + δ[ \ {x0} feltételt úgy is fogalmazhattukvolna, hogy 0 < |x − x0| < δ.

A fenti definícióval ekvivalens a következo:

Definíció: Az f függvény határértéke az x0 ∈ R helyen A , ha f értelmezettx0 egy pontozott környezetében és ∀ε > 0 számhoz található az x0

helynek egy olyan (kis) pontozott környezete, amely része f értelmezésitartományának és az abban felvett függvényértékek mindegyike az Aε-sugarú környezetébe esik.





∣∣∣f (x) − A∣∣∣ < ε.









∣∣∣f (x) − A∣∣∣ < ε.








x

y

A

2 4 6

2

4

6

x0

2ε

2δ




Jelölés: limx→x0

f (x) = A

Megjegyzés: Az x0-beli határérték definíciója nem foglalkozik a függvényx0-beli helyettesítési értékével. Azt sem követeli meg, hogy f az x0-banértelmezett legyen, de ha értelmezett, akkor is lényegtelen az ott felvettfüggvényérték a határérték szempontjából.




Jelölés: limx→x0

f (x) = A

Megjegyzés: Az x0-beli határérték definíciója nem foglalkozik a függvényx0-beli helyettesítési értékével. Azt sem követeli meg, hogy f az x0-banértelmezett legyen, de ha értelmezett, akkor is lényegtelen az ott felvettfüggvényérték a határérték szempontjából.




Példa: Az f (x) = sgn2(x) függvény határértéke a 0-ban 1.

x

y

sgn2(x)

-3 -1 1 3

2

Bizonyítás:

Válasszunk egy tetszoleges ε > 0számot.

A 0 tetszoleges δ-sugarú ponto-zott környezetében f (x) = 1, te-hát

∣∣∣f (x) − 1∣∣∣ = 0 < ε.

Ez azt jelenti, hogy 1 határértékef -nek 0-ban, azaz

limx→0

sgn2(x) = 1




Példa: Az f (x) = sgn2(x) függvény határértéke a 0-ban 1.

x

y

sgn2(x)

-3 -1 1 3

2

Bizonyítás:


A 0 tetszoleges δ-sugarú ponto-zott környezetében f (x) = 1, te-hát

∣∣∣f (x) − 1∣∣∣ = 0 < ε.

Ez azt jelenti, hogy 1 határértékef -nek 0-ban, azaz

limx→0

sgn2(x) = 1




Példa: Az f (x) =x2 − 4x − 2

függvény határértéke az x0 = 2 helyen 4.

Bizonyítás:

Df = R \ {2}. Egyszerusítés után f (x) =x2 − 4x − 2

= x + 2.

x

y f

-1 2

1

2

4

Válasszunk egy tetszoleges ε > 0számot és legyen δ = ε.

A 2 δ-sugarú pontozott környezeté-ben∣∣∣f (x) − A

∣∣∣ =∣∣∣(x + 2) − 4

∣∣∣ =

= |x − 2| < δ = ε

Tehát limx→2

x2 − 4x − 2

= 4.




Példa: Az f (x) =x2 − 4x − 2

függvény határértéke az x0 = 2 helyen 4.

Bizonyítás:

Df = R \ {2}. Egyszerusítés után f (x) =x2 − 4x − 2

= x + 2.

x

y f

-1 2

1

2

4

Válasszunk egy tetszoleges ε > 0számot és legyen δ = ε.

A 2 δ-sugarú pontozott környezeté-ben∣∣∣f (x) − A

∣∣∣ =∣∣∣(x + 2) − 4

∣∣∣ =

= |x − 2| < δ = ε

Tehát limx→2

x2 − 4x − 2

= 4.




Definíció: Legyen az f függvény értelmezett az x0 hely egy baloldalipontozott környezetében. Az f függvénynek létezik baloldali határértékeaz x0 helyen és ez az A ∈ R szám, ha ∀ε > 0 számhoz megadható egyolyan δ > 0 szám, amelyre teljesül, hogy ]x0 − δ; x0[ ⊆ Df és∀x ∈ ]x0 − δ; x0[ esetén

∣∣∣f (x) − A∣∣∣ < ε.

Megjegyzés: Az x ∈ ]x0 − δ; x0[ feltételt úgy is fogalmazhattuk volna, hogyx0 − δ < x < x0.

Definíció: Legyen az f függvény értelmezett az x0 hely egy jobboldalipontozott környezetében. Az f függvénynek létezik jobboldali határértékeaz x0 helyen és ez az A ∈ R szám, ha ∀ε > 0 számhoz megadható egyolyan δ > 0 szám, amelyre teljesül, hogy ]x0; x0 + δ[ ⊆ Df és∀x ∈ ]x0; x0 + δ[ esetén

∣∣∣f (x) − A∣∣∣ < ε.





∣∣∣f (x) − A∣∣∣ < ε.



∣∣∣f (x) − A∣∣∣ < ε.





∣∣∣f (x) − A∣∣∣ < ε.



∣∣∣f (x) − A∣∣∣ < ε.




Jelölés: A limx→x−0

f (x) = A jelölés azt jelenti, hogy f baloldali határértéke

x0-ban A .A jobboldali határérték jelölése: lim

x→x+0

f (x)

Tétel: Az f függvénynek akkor és csak akkor létezik határértéke az x0

helyen, ha

x0-ban létezik baloldali határértéke,

x0-ban létezik jobboldali határértéke,

limx→x−0

f (x) = limx→x+

0

f (x)




Jelölés: A limx→x−0

f (x) = A jelölés azt jelenti, hogy f baloldali határértéke

x0-ban A .A jobboldali határérték jelölése: lim

x→x+0

f (x)

Tétel: Az f függvénynek akkor és csak akkor létezik határértéke az x0

helyen, ha

x0-ban létezik baloldali határértéke,

x0-ban létezik jobboldali határértéke,

limx→x−0

f (x) = limx→x+

0

f (x)




Példa: Az f (x) = [x] függvény baloldali határértéke a 2-ben 1, jobboldalihatárértéke 2-ben 2.

Bizonyítás:

x

y

−1 1 2 3 4

1

2

3

4

Válasszunk egy tetszoleges ε > 0számot és legyen δ < 1.

A 2 δ-sugarú baloldali pontozott kör-nyezetében:∣∣∣[x] − 1

∣∣∣ = |1 − 1| = 0 < ε

A 2 δ-sugarú jobboldali pontozott kör-nyezetében:∣∣∣[x] − 2

∣∣∣ = |2 − 2| = 0 < ε




Példa: Az f (x) = [x] függvény baloldali határértéke a 2-ben 1, jobboldalihatárértéke 2-ben 2.

Bizonyítás:

x

y

−1 1 2 3 4

1

2

3

4


A 2 δ-sugarú baloldali pontozott kör-nyezetében:∣∣∣[x] − 1

∣∣∣ = |1 − 1| = 0 < ε

A 2 δ-sugarú jobboldali pontozott kör-nyezetében:∣∣∣[x] − 2

∣∣∣ = |2 − 2| = 0 < ε




Példa: Az f (x) = {x} függvény baloldali határértéke minden egész helyen1, jobboldali határértéke minden egész helyen 0.

Bizonyítás:

x

y

−1 1 2 3 4

1

−1 1 2 3 4

1

−1 1 2 3 4

1

−1 1 2 3 4

1

−1 1 2 3 4

1


Az n ∈ Z szám δ < 1-sugarú baloldalipontozott környezetében f (x) = x −n + 1, a δ < 1-sugarú jobboldali pon-tozott környezetében f (x) = x − n.δ = min

(ε, 1

2

)választással mindkét

állítás igazolható.




Példa: Az f (x) = {x} függvény baloldali határértéke minden egész helyen1, jobboldali határértéke minden egész helyen 0.

Bizonyítás:

x

y

−1 1 2 3 4

1

−1 1 2 3 4

1

−1 1 2 3 4

1

−1 1 2 3 4

1

−1 1 2 3 4

1


Az n ∈ Z szám δ < 1-sugarú baloldalipontozott környezetében f (x) = x −n + 1, a δ < 1-sugarú jobboldali pon-tozott környezetében f (x) = x − n.δ = min

(ε, 1

2

)választással mindkét

állítás igazolható.



A határérték és a folytonosság

Tétel: Az f függvénynek az x0 helyen legfeljebb egy határértéke lehet.

Tétel: Ha az f függvény folytonos az x0 helyen, akkor létezik határértékex0-ban és az megegyezik az f (x0) helyettesítési értékkel.

Tétel: Az f függvény akkor és csak akkor folytonos az x0 helyen, ha

értelmezett x0-ban,

létezik x0-ban véges határértéke,

f (x0) = limx→x0

f (x).









f (x0) = limx→x0

f (x).









f (x0) = limx→x0

f (x).



Muveletek és határérték

Tétel: Legyen az f és g függvény értelmezett az x0 hely egy pontozottkörnyezetében és lim

x→x0f (x) = A , lim

x→x0g (x) = B, ahol A ,B ∈ R. Ekkor az

f + g, f − g és fg függvényeknek is létezik (véges) határértéke x0-ban, és

limx→x0

(f + g) (x) = A + B

limx→x0

(f − g) (x) = A − B

limx→x0

(fg) (x) = AB




Tétel: Legyen az f és g függvény értelmezett az x0 hely egy pontozottkörnyezetében és lim

x→x0f (x) = A , lim

x→x0g (x) = B , 0, ahol A ,B ∈ R. Ekkor

azfg

függvénynek is létezik (véges) határértéke x0-ban, és

limx→x0

(fg

)(x) =

AB




Tétel: Legyen a g függvény értelmezett az x0 hely egy pontozottkörnyezetében és lim

x→x0g (x) = B és f értelmezett a B egy pontozott

környezetében és limx→B

f (x) = A . (A ,B ∈ R) Ha van x0-nak olyan pontozott

környezete, hogy abban g (x) , B, akkor az f ◦ g függvénynek is vanhatárértéke x0-ban és

limx→x0

(f ◦ g) (x) = A



Példák határérték kiszámítására

Példa: Számítsuk ki az limx→3

x2 − 9x − 3

határértéket.

Megoldás:

limx→3

x2 − 9x − 3

= limx→3

(x − 3) (x + 3)

x − 3= lim

x→3(x + 3) = 6


x2 − 5x + 6x2 − 4

határértéket.

Megoldás:

limx→2

x2 − 5x + 6x2 − 4

= limx→2

(x − 3) (x − 2)

(x + 2) (x − 2)= lim

x→2

x − 3x + 2

= −14





x2 − 9x − 3

határértéket.

Megoldás:

limx→3

x2 − 9x − 3

= limx→3

(x − 3) (x + 3)

x − 3= lim

x→3(x + 3) = 6


x2 − 5x + 6x2 − 4

határértéket.

Megoldás:

limx→2

x2 − 5x + 6x2 − 4

= limx→2

(x − 3) (x − 2)

(x + 2) (x − 2)= lim

x→2

x − 3x + 2

= −14





x2 − 9x − 3

határértéket.

Megoldás:

limx→3

x2 − 9x − 3

= limx→3

(x − 3) (x + 3)

x − 3= lim

x→3(x + 3) = 6


x2 − 5x + 6x2 − 4

határértéket.

Megoldás:

limx→2

x2 − 5x + 6x2 − 4

= limx→2

(x − 3) (x − 2)

(x + 2) (x − 2)= lim

x→2

x − 3x + 2

= −14





x2 − 9x − 3

határértéket.

Megoldás:

limx→3

x2 − 9x − 3

= limx→3

(x − 3) (x + 3)

x − 3= lim

x→3(x + 3) = 6


x2 − 5x + 6x2 − 4

határértéket.

Megoldás:

limx→2

x2 − 5x + 6x2 − 4

= limx→2

(x − 3) (x − 2)

(x + 2) (x − 2)= lim

x→2

x − 3x + 2

= −14



Polinomok osztása

Hasonló az egész számok maradékos osztásához, de itt a helyiértékhelyett a tagok fokszáma szerint haladunk.

(4x3 − 3x2 + 4x − 1) : (x2 + x − 1) = 4x

−(4x3 + 4x2 − 4x)

−7x2 + 8x − 1

− 7

−(−7x2 − 7x + 7)

15x − 8



Polinomok osztása


(4x3 − 3x2 + 4x − 1) : (x2 + x − 1) = 4x

−(4x3 + 4x2 − 4x)

−7x2 + 8x − 1

− 7

−(−7x2 − 7x + 7)

15x − 8



Polinomok osztása


(4x3 − 3x2 + 4x − 1) : (x2 + x − 1) = 4x

−(4x3 + 4x2 − 4x)

−7x2 + 8x − 1

− 7

−(−7x2 − 7x + 7)

15x − 8



Polinomok osztása


(4x3 − 3x2 + 4x − 1) : (x2 + x − 1) = 4x

−(4x3 + 4x2 − 4x)

−7x2 + 8x − 1

− 7

−(−7x2 − 7x + 7)

15x − 8



Polinomok osztása


(4x3 − 3x2 + 4x − 1) : (x2 + x − 1) = 4x

−(4x3 + 4x2 − 4x)

−7x2 + 8x − 1

− 7

−(−7x2 − 7x + 7)

15x − 8



Polinomok osztása


(4x3 − 3x2 + 4x − 1) : (x2 + x − 1) = 4x

−(4x3 + 4x2 − 4x)

−7x2 + 8x − 1

− 7

−(−7x2 − 7x + 7)

15x − 8



Polinomok osztása


(4x3 − 3x2 + 4x − 1) : (x2 + x − 1) = 4x

−(4x3 + 4x2 − 4x)

−7x2 + 8x − 1

− 7

−(−7x2 − 7x + 7)

15x − 8



Polinomok osztása


(4x3 − 3x2 + 4x − 1) : (x2 + x − 1) = 4x

−(4x3 + 4x2 − 4x)

−7x2 + 8x − 1

− 7

−(−7x2 − 7x + 7)

15x − 8



Polinomosztás Horner-elrendezéssel

Az x − c alakú polinomokkal való osztás hatékony módszere

Osszuk el pl. a 3x3 − 4x2 + x − 8 polinomot x − 2-vel:

3 −4 1 −82 3 2 5 2

Azonos a felettelevo számmal.

Az elotte levo számszorozva a bekariká-zottal, plusz a felettelevo.

Az osztás eredményeképpen kapott hányados 3x2 + 2x + 5, az osztásmaradéka 2.






3 −4 1 −82 3 2 5 2









3 −4 1 −82 3 2 5 2








x3 − 3x2 + 2xx3 + 2x2 − 6x + 3

határértéket. Megoldás:

limx→1

x3 − 3x2 + 2xx3 + 2x2 − 6x + 3

= limx→1

(x − 1)(x2 − 2x

)(x − 1) (x2 + 3x − 3)

=

= limx→1

x2 − 2xx2 + 3x − 3

= −1

1 −3 2 01 1 −2 0 0

1 2 -6 31 1 3 −3 0





x3 − 3x2 + 2xx3 + 2x2 − 6x + 3


limx→1

x3 − 3x2 + 2xx3 + 2x2 − 6x + 3

= limx→1

(x − 1)(x2 − 2x

)(x − 1) (x2 + 3x − 3)

=

= limx→1

x2 − 2xx2 + 3x − 3

= −1

1 −3 2 01 1 −2 0 0

1 2 -6 31 1 3 −3 0





x3 − 3x2 + 2xx3 + 2x2 − 6x + 3


limx→1

x3 − 3x2 + 2xx3 + 2x2 − 6x + 3

= limx→1

(x − 1)(x2 − 2x

)(x − 1) (x2 + 3x − 3)

=

= limx→1

x2 − 2xx2 + 3x − 3

= −1

1 −3 2 01 1 −2 0 0

1 2 -6 31 1 3 −3 0





√2x + 1 − 3

x2 − 6x + 8határértéket.

Megoldás:

limx→4

√2x + 1 − 3

x2 − 6x + 8= lim

x→4

√2x + 1 − 3

(x − 4) (x − 2)=

= limx→4

(√2x + 1 − 3

) (√2x + 1 + 3

)(x − 4) (x − 2)

(√2x + 1 + 3

) =

= limx→4

2x − 8

(x − 4) (x − 2)(√

2x + 1 + 3) =

= limx→4

2 (x − 4)

(x − 4) (x − 2)(√

2x + 1 + 3) =

= limx→4

2

(x − 2)(√

2x + 1 + 3) =

16





√2x + 1 − 3

x2 − 6x + 8határértéket.

Megoldás:

limx→4

√2x + 1 − 3

x2 − 6x + 8= lim

x→4

√2x + 1 − 3

(x − 4) (x − 2)=

= limx→4

(√2x + 1 − 3

) (√2x + 1 + 3

)(x − 4) (x − 2)

(√2x + 1 + 3

) =

= limx→4

2x − 8

(x − 4) (x − 2)(√

2x + 1 + 3) =

= limx→4

2 (x − 4)

(x − 4) (x − 2)(√

2x + 1 + 3) =

= limx→4

2

(x − 2)(√

2x + 1 + 3) =

16



Példák határértékek kiszámítására

Példa: Határozzuk meg az limx→0

sin(x)

xhatárértéket.

Segédtétel: Ha 0 < x <π

2, akkor sin(x) < x < tg(x).

x

y

1

1

x

tg(x)

Bizonyítás:

A sin(x) < x összefüggést ko-rábban bizonyítottuk.Az x < tg(x) összefüggés bizo-nyításához hasonlítsuk összeaz ábrán látható körcikk és de-rékszögu háromszög területét:

1 · x2

<1 · tg(x)

2





sin(x)

xhatárértéket.



x

y

1

1

x

tg(x)

Bizonyítás:


1 · x2

<1 · tg(x)

2





sin(x)

xhatárértéket.



x

y

1

1

x

tg(x)

Bizonyítás:


1 · x2

<1 · tg(x)

2





sin(x)

xhatárértéket.

Bizonyítás: Ha 0 < x < π2 , akkor

sin(x) < x ⇒sin(x)

x< 1

x < tg(x) =sin(x)

cos(x)⇒ cos(x) <

sin(x)

x

cos(x)↓1

<sin(x)

x< 1↓1

Tehát limx→0+

sin(x)

x= 1.

Mivel a számláló is és a nevezo is páratlan függvény, asin(x)

xpáros,

tehát limx→0

sin(x)

x= 1.





sin(x)

xhatárértéket.

Bizonyítás: Ha 0 < x < π2 , akkor

sin(x) < x ⇒sin(x)

x< 1

x < tg(x) =sin(x)

cos(x)⇒ cos(x) <

sin(x)

x

cos(x)↓1

<sin(x)

x< 1↓1

Tehát limx→0+

sin(x)

x= 1.

Mivel a számláló is és a nevezo is páratlan függvény, asin(x)

xpáros,

tehát limx→0

sin(x)

x= 1.



Példa határérték kiszámítására

Példa: Számítsuk ki a limx→0

sin(4x)

x2 + 2xhatárértéket.

Bizonyítás:

limx→0

sin(4x)

x2 + 2x= lim

x→0

sin(4x)

x (x + 2)=

= limx→0

sin(4x)

4x·

4x + 2

= 1 ·42

= 2



Példa határérték kiszámítására

Példa: Számítsuk ki a limx→0

sin(4x)

x2 + 2xhatárértéket.

Bizonyítás:

limx→0

sin(4x)

x2 + 2x= lim

x→0

sin(4x)

x (x + 2)=

= limx→0

sin(4x)

4x·

4x + 2

= 1 ·42

= 2



Végtelen határérték

Definíció: Legyen az f függvény értelemzett az x0 hely egy pontozottkörnyezetében. f határértéke x0-ban ∞ ha ∀K ∈ R számhoz találhatóolyan δ > 0 szám, hogy az x0 hely δ-sugarú pontozott környezete része azértelmezési tartománynak és ∀x ∈ ]x0 − δ; x0 + δ[ \ {x0} esetén f (x) > K .

Definíció: Legyen az f függvény értelemzett az x0 hely egy pontozottkörnyezetében. f határértéke x0-ban −∞ ha ∀k ∈ R számhoz találhatóolyan δ > 0 szám, hogy az x0 δ-sugarú pontozott környezete része azértelmezési tartománynak és ∀x ∈ ]x0 − δ; x0 + δ[ \ {x0} esetén f (x) < k .




Definíció: Legyen az f függvény értelemzett az x0 hely egy pontozottkörnyezetében. f határértéke x0-ban ∞ ha ∀K ∈ R számhoz találhatóolyan δ > 0 szám, hogy az x0 hely δ-sugarú pontozott környezete része azértelmezési tartománynak és ∀x ∈ ]x0 − δ; x0 + δ[ \ {x0} esetén f (x) > K .

Definíció: Legyen az f függvény értelemzett az x0 hely egy pontozottkörnyezetében. f határértéke x0-ban −∞ ha ∀k ∈ R számhoz találhatóolyan δ > 0 szám, hogy az x0 δ-sugarú pontozott környezete része azértelmezési tartománynak és ∀x ∈ ]x0 − δ; x0 + δ[ \ {x0} esetén f (x) < k .




Példa: Az f (x) =1x2

függvény határértéke a 0 helyen ∞.

Bizonyítás:

x

y

−3 −1 1 3

2

4

6Válasszunk egy tetszoleges K > 0számot.

δ =1√

Kválasztás mellett a feltétel

teljesül, mert 0 < |x | < δ =1√

K⇒

0 < x2 <1K⇒

1x2

> K .




Példa: Az f (x) =1x2

függvény határértéke a 0 helyen ∞.

Bizonyítás:

x

y

−3 −1 1 3

2

4

6Válasszunk egy tetszoleges K > 0számot.

δ =1√

Kválasztás mellett a feltétel

teljesül, mert 0 < |x | < δ =1√

K⇒

0 < x2 <1K⇒

1x2

> K .



Függvény végtelenben vett határértéke

Definíció: Az f függvény határértéke a +∞-ben az A ∈ R szám ha, ∀ε > 0számhoz megadható olyan x∗ valós szám, hogy f értelmezett az [x∗;∞[intervallumon és x > x∗ esetén

∣∣∣f (x) − A∣∣∣ < ε.

Definíció: Az f függvény határértéke a −∞-ben az A ∈ R szám ha, ∀ε > 0számhoz megadható olyan x∗ valós szám, hogy f értelmezett az ]−∞; x∗]intervallumon és x < x∗ esetén

∣∣∣f (x) − A∣∣∣ < ε.

Megjegyzés: Az x∗ szám mindkét esetben ε függvénye.





∣∣∣f (x) − A∣∣∣ < ε.


∣∣∣f (x) − A∣∣∣ < ε.






∣∣∣f (x) − A∣∣∣ < ε.


∣∣∣f (x) − A∣∣∣ < ε.





Példa: Az f (x) =2x + 1

x=

1x

+ 2 függvény határértéke ∞-ben 2.

Bizonyítás:

x

y

−3 −1 1 3−1

2

4


x∗ =1ε

választás mellett:

∣∣∣f (x) − A∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣(1x

+ 2)− 2

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣1x∣∣∣∣∣ < ε

ha x > x∗ =1ε




Példa: Az f (x) =2x + 1

x=

1x

+ 2 függvény határértéke ∞-ben 2.

Bizonyítás:

x

y

−3 −1 1 3−1

2

4


x∗ =1ε

választás mellett:

∣∣∣f (x) − A∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣(1x

+ 2)− 2

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣1x∣∣∣∣∣ < ε

ha x > x∗ =1ε



Végtelen határértékek a végtelenekben

Definíció: Az f függvény határértéke a +∞-ben +∞ ha, ∀K ∈ R számhozmegadható olyan x∗ valós szám, hogy f értelmezett az [x∗;∞[intervallumon és x > x∗ esetén f (x) > K .

Definíció: Az f függvény határértéke a +∞-ben −∞ ha, ∀k ∈ R számhozmegadható olyan x∗ valós szám, hogy f értelmezett az [x∗;∞[intervallumon és x > x∗ esetén f (x) < k .

Definíció: Az f függvény határértéke a −∞-ben +∞ ha, ∀K ∈ R számhozmegadható olyan x∗ valós szám, hogy f értelmezett az ]−∞; x∗]intervallumon és x < x∗ esetén f (x) > K .

Definíció: Az f függvény határértéke a −∞-ben −∞ ha, ∀k ∈ R számhozmegadható olyan x∗ valós szám, hogy f értelmezett az ]−∞; x∗]intervallumon és x < x∗ esetén f (x) < k .

























Példa: Az f (x) = x2 függvényhatárértéke a végtelenben végtelen.

x

y

−4 −2 2 4

1

4

9

Válasszunk egy K > 0 szá-mot. (K ≤ 0 számra a felté-tel nyilván teljesül.)x∗ =

√K választással, ha

x > x∗, akkor x2 > K , teháta definícióban szereplo fel-tétel teljesül, lim

x→∞x2 = ∞.



Intervallumon folytonos függvények

Definíció: Az f függvény folytonos az ]a; b[ (nyílt) intervallumon, ha annakminden pontjában értelmezett és folytonos.

Példa: Az x 7→1x

folytonos a ]0;∞[ intervallumon, de nem folytonos a

]−1; 1[ intervallumon.

Definíció: Az f függvény folytonos az [a; b] (zárt) intervallumon, ha annakminden pontjában értelmezett, folytonos az ]a; b[ (nyílt) intervallumminden pontjában, továbbá a-ban jobbról, b-ben balról folytonos.

Példa: Az x 7→√

x folytonos a [0; 4] intervallumon.





Példa: Az x 7→1x










Példa: Az x 7→1x










Példa: Az x 7→1x









Tétel: Ha az f függvény folytonos az [a; b] (zárt) intervallumon, akkor ezenaz intervallumon korlátos is.

Megjegyzés: Az állítás csak zárt intervallumon folytonos függvényreteljesül, mert a nyílt intervallumon folytonos függvények nem feltétlenül

korlátosak a szóban forgó intervallumon. Pl. az x 7→1x

függvény folytonos,

de nem korlátos a ]0; 1[ nyílt intervallumon.




Tétel: Ha az f függvény folytonos az [a; b] (zárt) intervallumon, akkor ezenaz intervallumon korlátos is.

Megjegyzés: Az állítás csak zárt intervallumon folytonos függvényreteljesül, mert a nyílt intervallumon folytonos függvények nem feltétlenül

korlátosak a szóban forgó intervallumon. Pl. az x 7→1x

függvény folytonos,

de nem korlátos a ]0; 1[ nyílt intervallumon.




Tétel: (Weierstrass-tétele) Ha az f függvény folytonos az [a; b] (zárt)intervallumon, akkor ezen az intervallumon van minimális és maximálisértéke.

Tétel: (Bolzano-tétele) Legyen az f függvény folytonos az [a; b] (zárt)intervallumon. Az intervallumon felvett legkisebb függvényértéket jelöljükm-mel, a legnagyobb függvényértéket pedig M-mel. Ekkor∀y : m < y < M esetén ∃c ∈ [a; b], amelyre f (c) = y.

Megjegyzés: A tételben szereplo következményt úgy is fogalmazhatjuk,hogy f minden számot felvesz függvényértékként m és M között.
















Következmény: Ha egy függvény folytonos az [x1, x2] intervallumon ésf (x1) · f (x2) < 0, akkor f -nek létezik zérushelye x1 és x2 között.

Következmény: Ha egy f függvény folytonos az I intervallumon, és ezenaz intervallumon nincs zérushelye, akkor f nem vált elojelet I-n.




Következmény: Ha egy függvény folytonos az [x1, x2] intervallumon ésf (x1) · f (x2) < 0, akkor f -nek létezik zérushelye x1 és x2 között.

Következmény: Ha egy f függvény folytonos az I intervallumon, és ezenaz intervallumon nincs zérushelye, akkor f nem vált elojelet I-n.


Documents

Vajda István - Óbudai Egyetemusers.nik.uni-obuda.hu/vajda/analizis1/limes.pdf · 2012-10-07 · Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások˝ 2012. október 7. 5 / 35