• Home

  • Documents

  • Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege...
24
Val´osz´ ın˝ us´ egsz´ am´ ıt´ as feladatsor 1. h´ et 1. Feladat. Bizony´ ıtsuk be a k¨ovetkez˝oket tetsz˝ oleges A ´ es B esem´ enyekre: • P (A ∪ B) ≤ P (A)+ P (B) • Ha P (A △ B) = 0, akkor P (A)= P (B) • P (A △ C ) ≤ P (A △ B)+ P (B △ C ) •|P (A ∩ B) - P (A)P (B)|≤ 1 4 (Mikor van egyenl˝ os´ eg?) 2. Feladat. Bizony´ ıtsuk be, hogy ∑ n k=r ( k r ) = ( n+1 r+1 ) . (Seg´ ıts´ eg: tekints¨ uk az r + 1-elem˝ u halmazokat, ´ es sz´ am´ ıtsuk ki, hogy ezek k¨ oz¨ ul h´ anynak lesz k + 1 a legnagyobb eleme?) 3. Feladat. H´ anyf´ elek´ eppen juthatunk el egy sakkt´abla bal als´o sark´ab´ ol a jobb fels˝o sark´ aba, ha minden l´ ep´ esben csak egyet l´ ephet¨ unk vagy jobbra, vagy felfel´ e? Mi a helyzet 3-dimenzi´ os”sakkt´abl´ an´ al”, azaz ha az orig´ ob´ol akarunk eljutni a (8,8,8) pontba ´ ugy, hogy minden l´ ep´ esben pontosan az egyik koordin´at´ at n¨ ovelj¨ uk 1-gyel? 4. Feladat. K´ et dob´ okock´ aval dobunk egyszerre. Mi a val´osz´ ın˝ us´ ege annak, hogy az ¨ osszeg 6,7,8? A 9-et ´ es a 10-et ugyanannyif´ elek´ epp tudjuk el˝o´ all´ ıtani k´ et 1 ´ es6k¨oztisz´am¨osszegek´ ent. Igaz-e, hogy megegyezik a val´ osz´ ın˝ us´ eg¨ uk? Miaval´osz´ ın˝ us´ ege annak, hogy a k´ et kapott sz´amrelat´ ıv pr´ ımlesz? Mi a val´osz´ ın˝ us´ ege annak, hogy a k´ etsz´amk¨ ul¨onbs´ ege p´aros lesz? 5. Feladat. Mennyi a val´osz´ ın˝ us´ ege annak, hogy 52 lapos franciak´artya-paklib´ol 5 lapot h´ uzva a k¨ ovetkez˝ o kombin´aci´ okat kapjuk? • egyp´ar(k´ et egyforma ´ ert´ ek˝ u lap, a t¨ obbi k¨ ul¨ onb¨oz˝ o) • full (3 egyforma ´ es k´ et m´asik egyforma) • p´ oker (4 egyforma) Mennyi a val´ osz´ ın˝ us´ ege, hogy pontosan 3 tal´ alatunk lesz az ¨ ot¨oslott´ on? 6. Feladat. Egy hallgat´o a 100 t´ etelb˝ol 90-et tanult meg a vizsg´ ara. H´ arom t´ etelt kell h´ uznia, ha b´ armelyiket nem tudja, megbukik. Mi a val´ osz´ ın˝ us´ ege, hogy ´atmegy a vizsg´ an? Mi a helyzet, ha csak egy t´ etelb˝ ol kell vizsg´ aznia, ´ es azt k´ et h´ uzott t´ etel k¨ oz¨ ul v´ alaszthatja? 7. Feladat. Egy francia k´artyapaklib´ ol egym´ as ut´ an h´ uzunk lapokat. Mi a val´ osz´ ın˝ us´ ege, hogy az els˝ o¨ ot lap k¨ oz¨ottlesz´asz?Miaval´osz´ ın˝ us´ ege, hogy el˝obb h´ uzunk ´ aszt, mint kettest? 8. Feladat. Mi a val´ osz´ ın˝ us´ ege, hogy egy n f˝ os oszt´ alyban k´ et tanul´onak egy napon van a sz¨ ulet´ esnapja?H´any f˝ os oszt´ alyban lesz legal´abb 1 2 az es´ ely? H´ anyismer˝os¨ omnek kell lennie, hogy 1 2 es´ ellyel valamelyik¨ ukkel egy¨ utt legyen sz¨ ulet´ esnapom? 9. Feladat. Egy sziget lak´ oiegym´ast´ ol f¨ uggetlen¨ ul mindig 2/3 val´ osz´ ın˝ us´ eggel hazudnak. Ez´ ert a b´ ır´os´ agokon minden tan´ u vallom´ as´at egy m´ asik tan´ unak is meg kell er˝ os´ ıtenie. Mennyi lesz ´ ıgy a hamis tan´ uvallom´ asok ar´ anya? 10. Feladat. Harmick´ et lapos magyar k´ arty´ ab´olt´ ız lapot kapunk. Mennyi a val´ osz´ ın˝ us´ ege, hogy (a) egy sz´ ınb˝ ol hozz´ ank ker¨ ul az ¨osszes lap? (b) mind a n´ egy sz´ ınb˝ ol lesz a kez¨ unkben? 11. Feladat. Egy kurzuson 40 hallgat´ o van, mindegyik¨ uk megtanult a 40 t´ etelb˝ol 39-et (mindenkin´ el m´ as maradt ki). Mi a val´ osz´ ın˝ us´ ege, hogy egyik¨ uk sem bukik meg, ha (a) visszatev´ es n´ elk¨ ul h´ uznak? (b) visszatev´ essel h´ uznak? 12. Feladat. Egy k´ em n orsz´ ag titkosszolg´ alat´ anak dolgozik egyszerre. Egy napon ¨ osszekeveri a bor´ ıt´ ekokat ´ es v´ eletlenszer˝ uen teszi bel´ ej¨ uk a jelent´ eseket. Mennyi a val´ osz´ ın˝ us´ ege annak, hogy minden jelent´ es j´ o bor´ ıt´ ekba ker¨ ul? Hogy csak egyet ront el? Hogy mindet elrontja? Hogy pontosan k-t ront el?

Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

  • Upload
    others

  • View
    4

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

Valoszınusegszamıtas feladatsor 1. het

1. Feladat. Bizonyıtsuk be a kovetkezoket tetszoleges A es B esemenyekre:

• P (A ∪B) ≤ P (A) + P (B)

• Ha P (A B) = 0, akkor P (A) = P (B)

• P (A C) ≤ P (A B) + P (B C)

• |P (A ∩B)− P (A)P (B)| ≤ 1

4(Mikor van egyenloseg?)

2. Feladat. Bizonyıtsuk be, hogy∑

n

k=r

(

k

r

)

=(

n+1

r+1

)

. (Segıtseg: tekintsuk az r + 1-elemu halmazokat, esszamıtsuk ki, hogy ezek kozul hanynak lesz k + 1 a legnagyobb eleme?)

3. Feladat. Hanyfelekeppen juthatunk el egy sakktabla bal also sarkabol a jobb felso sarkaba, ha mindenlepesben csak egyet lephetunk vagy jobbra, vagy felfele? Mi a helyzet 3-dimenzios ”sakktablanal”, azaz ha azorigobol akarunk eljutni a (8,8,8) pontba ugy, hogy minden lepesben pontosan az egyik koordinatat noveljuk1-gyel?

4. Feladat. Ket dobokockaval dobunk egyszerre. Mi a valoszınusege annak, hogy az osszeg 6,7,8? A 9-et esa 10-et ugyanannyifelekepp tudjuk eloallıtani ket 1 es 6 kozti szam osszegekent. Igaz-e, hogy megegyezik avaloszınuseguk? Mi a valoszınusege annak, hogy a ket kapott szam relatıv prım lesz? Mi a valoszınusege annak,hogy a ket szam kulonbsege paros lesz?

5. Feladat. Mennyi a valoszınusege annak, hogy 52 lapos franciakartya-paklibol 5 lapot huzva a kovetkezokombinaciokat kapjuk?

• egy par (ket egyforma erteku lap, a tobbi kulonbozo)

• full (3 egyforma es ket masik egyforma)

• poker (4 egyforma)

Mennyi a valoszınusege, hogy pontosan 3 talalatunk lesz az otoslotton?

6. Feladat. Egy hallgato a 100 tetelbol 90-et tanult meg a vizsgara. Harom tetelt kell huznia, ha barmelyiketnem tudja, megbukik. Mi a valoszınusege, hogy atmegy a vizsgan? Mi a helyzet, ha csak egy tetelbol kellvizsgaznia, es azt ket huzott tetel kozul valaszthatja?

7. Feladat. Egy francia kartyapaklibol egymas utan huzunk lapokat. Mi a valoszınusege, hogy az elso ot lapkozott lesz asz? Mi a valoszınusege, hogy elobb huzunk aszt, mint kettest?

8. Feladat. Mi a valoszınusege, hogy egy n fos osztalyban ket tanulonak egy napon van a szuletesnapja? Hanyfos osztalyban lesz legalabb 1

2az esely? Hany ismerosomnek kell lennie, hogy 1

2esellyel valamelyikukkel egyutt

legyen szuletesnapom?

9. Feladat. Egy sziget lakoi egymastol fuggetlenul mindig 2/3 valoszınuseggel hazudnak. Ezert a bırosagokonminden tanu vallomasat egy masik tanunak is meg kell erosıtenie. Mennyi lesz ıgy a hamis tanuvallomasokaranya?

10. Feladat. Harmicket lapos magyar kartyabol tız lapot kapunk. Mennyi a valoszınusege, hogy

(a) egy szınbol hozzank kerul az osszes lap?

(b) mind a negy szınbol lesz a kezunkben?

11. Feladat. Egy kurzuson 40 hallgato van, mindegyikuk megtanult a 40 tetelbol 39-et (mindenkinel masmaradt ki). Mi a valoszınusege, hogy egyikuk sem bukik meg, ha

(a) visszateves nelkul huznak?

(b) visszatevessel huznak?

12. Feladat. Egy kem n orszag titkosszolgalatanak dolgozik egyszerre. Egy napon osszekeveri a borıtekokat esveletlenszeruen teszi belejuk a jelenteseket. Mennyi a valoszınusege annak, hogy minden jelentes jo borıtekbakerul? Hogy csak egyet ront el? Hogy mindet elrontja? Hogy pontosan k-t ront el?

Page 2: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

Valoszınusegszamıtas feladatsor 1. het

1. Feladat. Bizonyıtsuk be a kovetkezoket tetszoleges A es B esemenyekre:

• P (A ∪B) ≤ P (A) + P (B)

• Ha P (A B) = 0, akkor P (A) = P (B)

• P (A C) ≤ P (A B) + P (B C)

• |P (A ∩B)− P (A)P (B)| ≤ 1

4(Mikor van egyenloseg?)

2. Feladat. Bizonyıtsuk be, hogy∑

n

k=r

(

k

r

)

=(

n+1

r+1

)

. (Segıtseg: tekintsuk az r + 1-elemu halmazokat, esszamıtsuk ki, hogy ezek kozul hanynak lesz k + 1 a legnagyobb eleme?)

3. Feladat. Hanyfelekeppen juthatunk el egy sakktabla bal also sarkabol a jobb felso sarkaba, ha mindenlepesben csak egyet lephetunk vagy jobbra, vagy felfele? Mi a helyzet 3-dimenzios ”sakktablanal”, azaz ha azorigobol akarunk eljutni a (8,8,8) pontba ugy, hogy minden lepesben pontosan az egyik koordinatat noveljuk1-gyel?

4. Feladat. Ket dobokockaval dobunk egyszerre. Mi a valoszınusege annak, hogy az osszeg 6,7,8? A 9-et esa 10-et ugyanannyifelekepp tudjuk eloallıtani ket 1 es 6 kozti szam osszegekent. Igaz-e, hogy megegyezik avaloszınuseguk? Mi a valoszınusege annak, hogy a ket kapott szam relatıv prım lesz? Mi a valoszınusege annak,hogy a ket szam kulonbsege paros lesz?

5. Feladat. Mennyi a valoszınusege annak, hogy 52 lapos franciakartya-paklibol 5 lapot huzva a kovetkezokombinaciokat kapjuk?

• egy par (ket egyforma erteku lap, a tobbi kulonbozo)

• full (3 egyforma es ket masik egyforma)

• poker (4 egyforma)

Mennyi a valoszınusege, hogy pontosan 3 talalatunk lesz az otoslotton?

6. Feladat. Egy hallgato a 100 tetelbol 90-et tanult meg a vizsgara. Harom tetelt kell huznia, ha barmelyiketnem tudja, megbukik. Mi a valoszınusege, hogy atmegy a vizsgan? Mi a helyzet, ha csak egy tetelbol kellvizsgaznia, es azt ket huzott tetel kozul valaszthatja?

7. Feladat. Egy francia kartyapaklibol egymas utan huzunk lapokat. Mi a valoszınusege, hogy az elso ot lapkozott lesz asz? Mi a valoszınusege, hogy elobb huzunk aszt, mint kettest?

8. Feladat. Mi a valoszınusege, hogy egy n fos osztalyban ket tanulonak egy napon van a szuletesnapja? Hanyfos osztalyban lesz legalabb 1

2az esely? Hany ismerosomnek kell lennie, hogy 1

2esellyel valamelyikukkel egyutt

legyen szuletesnapom?

9. Feladat. Egy sziget lakoi egymastol fuggetlenul mindig 2/3 valoszınuseggel hazudnak. Ezert a bırosagokonminden tanu vallomasat egy masik tanunak is meg kell erosıtenie. Mennyi lesz ıgy a hamis tanuvallomasokaranya?

10. Feladat. Harmicket lapos magyar kartyabol tız lapot kapunk. Mennyi a valoszınusege, hogy

(a) egy szınbol hozzank kerul az osszes lap?

(b) mind a negy szınbol lesz a kezunkben?

11. Feladat. Egy kurzuson 40 hallgato van, mindegyikuk megtanult a 40 tetelbol 39-et (mindenkinel masmaradt ki). Mi a valoszınusege, hogy egyikuk sem bukik meg, ha

(a) visszateves nelkul huznak?

(b) visszatevessel huznak?

12. Feladat. Egy kem n orszag titkosszolgalatanak dolgozik egyszerre. Egy napon osszekeveri a borıtekokat esveletlenszeruen teszi belejuk a jelenteseket. Mennyi a valoszınusege annak, hogy minden jelentes jo borıtekbakerul? Hogy csak egyet ront el? Hogy mindet elrontja? Hogy pontosan k-t ront el?

Page 3: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

❱ós③í♥sés③á♠ítás ts♦r ét

t ② rtér tésr tr♥②s t♥rés③ és öés③ ♥t③tt tést ② tr♥②s t♥rés③ és öés③ áó ②sé ♦ ért♥ á♥②éé♣♣♥ t ás③t♥ ♥t③ tésr rü ②sét

t ár♦♠é s③á♠á♥ ♥ í③ á③ és ♥② ♦③ ♦② ♥ ♦ tér♠ü♥t ♥ t ♠ ♦② s♦ ♣é♥③ü♥ ♥ ③ t♦só s③á♠á♥ ö③ü ♣♦♥t♦s♥ á③t á ♥②t és ③t ③t♥ü♥ á♥②éé♣♣♥ ttü ♠ ③t

t

t ét ♦ó♦á ♦♥ ②s③rr ós③í♥sé ♥♥ ♦② ③ öss③ t és t ②♥♥♥②éé♣♣ t áít♥ ét és ö③t s③á♠ öss③é♥t ③ ♦② ♠②③ ós③í♥séü ós③í♥sé ♥♥ ♦② ét ♣♦tt s③á♠ rtí ♣rí♠ s③ ós③í♥sé ♥♥♦② ét s③á♠ üö♥sé ♣ár♦s s③

t ♥♥② ós③í♥sé ♥♥ ♦② ♣♦s r♥árt②♣ó ♣♦t ú③ öt③♦♠♥áót ♣

• ② ♣ár ét ②♦r♠ érté ♣ tö üö♥ö③

• ②♦r♠ és ét ♠ás ②♦r♠

• ♣ór ②♦r♠

♥♥② ós③í♥sé ♦② ♣♦♥t♦s♥ tát♥ s③ ③ ötös♦ttó♥

t ② tó tét t t♥t ♠ ③sár ár♦♠ tétt ú③♥ ár♠②t♥♠ t ♠ ós③í♥sé ♦② át♠② ③sá♥ ②③t s ② tét ③sá③♥ és ③t ét ú③♦tt tét ö③ü ás③tt

t ② r♥ árt②♣ó ②♠ás tá♥ ú③♥ ♣♦t ós③í♥sé ♦② ③ s öt ♣ö③ött s③ ás③ ós③í♥sé ♦② ú③♥ ás③t ♠♥t ttst

t ós③í♥sé ♦② ② n s ♦s③tá②♥ ét t♥ó♥ ② ♥♣♦♥ ♥ s③ütés♥♣ á♥②s ♦s③tá②♥ s③ á 1

2③ sé② á♥② s♠rsö♠♥ ♥♥ ♦② 1

2sé② ♠②ü ②ütt

②♥ s③ütés♥♣♦♠

t r♠ét ♣♦s ♠②r árt②áó tí③ ♣♦t ♣♥ ♥♥② ós③í♥sé ♦②

② s③í♥ ♦③③á♥ rü ③ öss③s ♣

♠♥ ♥é② s③í♥ s③ ③ü♥♥

t ② r③s♦♥ tó ♥ ♠♥②ü ♠t♥t tét t ♠♥♥♥é ♠ás♠rt ós③í♥sé ♦② ②ü s♠ ♠

ss③tés ♥éü ú③♥

ss③téss ú③♥

t ② é♠ n ♦rs③á tt♦ss③♦átá♥ ♦♦③ ②s③rr ② ♥♣♦♥ öss③r ♦ríté♦t ését♥s③r♥ ts③ éü ♥tést ♥♥② ós③í♥sé ♥♥ ♦② ♠♥♥ ♥tés ó ♦rítérü ♦② s ②t r♦♥t ♦② ♠♥t r♦♥t ♦② ♣♦♥t♦s♥ kt r♦♥t

t ② rtstáá♥ ár♦♠ ör át♠éré♥ rá♥② ♠♥♥② ③ sé② ♦② stá♥ ♦ás ét♥s③r♥ ér táát

t ❱ét♥s③r♥ ás③t♥ ét s③á♠♦t [0; 1] ♥tr♠ró ós③í♥sé ♦② ③ s♥♠ s③ ♥②♦ ♠♥t ♠ás♦ ós③í♥sé ♦② üö♥séü 1

2

t ② ♠ ♦ss③ú sör♣ ét áá♥ ♠ssá ét♥s③r♥ és ♠ ö③ött ②♠ástóüt♥ü ♦r ós③í♥sé ♦② ♣ ♦♥á s s③ö♥ ♦ t♥

t ét s③s③ ♦ss③át (0, 1) ♥tr♠ró ás③t ③ ②♥tssé ♣♦té③s s③r♥t ós③í♥sé ♦② ét s③s③ó és ② r♠ ♦ss③úsáú s③s③ó ②ss③ö ár♦♠s③öt ts③rs③t♥

t ♦♥é t♣r♦é♠ sí♦t d sás③éssé sí♦③③ és rá♦♥ ② r ♦ss③ú rrótt♦r ③ sé② ♦② t ♠ts③ ét sá tárát

Page 4: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

❱ós③í♥sés③á♠ítás ts♦r ét

t ② rtér tésr tr♥②s t♥rés③ és öés③ ♥t③tt tést ② tr♥②s t♥rés③ és öés③ áó ②sé ♦ ért♥ á♥②éé♣♣♥ t ás③t♥ ♥t③ tésr rü ②sét

t ár♦♠é s③á♠á♥ ♥ í③ á③ és ♥② ♦③ ♦② ♥ ♦ tér♠ü♥t ♥ t ♠ ♦② s♦ ♣é♥③ü♥ ♥ ③ t♦só s③á♠á♥ ö③ü ♣♦♥t♦s♥ á③t á ♥②t és ③t ③t♥ü♥ á♥②éé♣♣♥ ttü ♠ ③t

t

t ét ♦ó♦á ♦♥ ②s③rr ós③í♥sé ♥♥ ♦② ③ öss③ t és t ②♥♥♥②éé♣♣ t áít♥ ét és ö③t s③á♠ öss③é♥t ③ ♦② ♠②③ ós③í♥séü ós③í♥sé ♥♥ ♦② ét ♣♦tt s③á♠ rtí ♣rí♠ s③ ós③í♥sé ♥♥♦② ét s③á♠ üö♥sé ♣ár♦s s③

t ♥♥② ós③í♥sé ♥♥ ♦② ♣♦s r♥árt②♣ó ♣♦t ú③ öt③♦♠♥áót ♣

• ② ♣ár ét ②♦r♠ érté ♣ tö üö♥ö③

• ②♦r♠ és ét ♠ás ②♦r♠

• ♣ór ②♦r♠

♥♥② ós③í♥sé ♦② ♣♦♥t♦s♥ tát♥ s③ ③ ötös♦ttó♥

t ② tó tét t t♥t ♠ ③sár ár♦♠ tétt ú③♥ ár♠②t♥♠ t ♠ ós③í♥sé ♦② át♠② ③sá♥ ②③t s ② tét ③sá③♥ és ③t ét ú③♦tt tét ö③ü ás③tt

t ② r♥ árt②♣ó ②♠ás tá♥ ú③♥ ♣♦t ós③í♥sé ♦② ③ s öt ♣ö③ött s③ ás③ ós③í♥sé ♦② ú③♥ ás③t ♠♥t ttst

t ós③í♥sé ♦② ② n s ♦s③tá②♥ ét t♥ó♥ ② ♥♣♦♥ ♥ s③ütés♥♣ á♥②s ♦s③tá②♥ s③ á 1

2③ sé② á♥② s♠rsö♠♥ ♥♥ ♦② 1

2sé② ♠②ü ②ütt

②♥ s③ütés♥♣♦♠

t r♠ét ♣♦s ♠②r árt②áó tí③ ♣♦t ♣♥ ♥♥② ós③í♥sé ♦②

② s③í♥ ♦③③á♥ rü ③ öss③s ♣

♠♥ ♥é② s③í♥ s③ ③ü♥♥

t ② r③s♦♥ tó ♥ ♠♥②ü ♠t♥t tét t ♠♥♥♥é ♠ás♠rt ós③í♥sé ♦② ②ü s♠ ♠

ss③tés ♥éü ú③♥

ss③téss ú③♥

t ② é♠ n ♦rs③á tt♦ss③♦átá♥ ♦♦③ ②s③rr ② ♥♣♦♥ öss③r ♦ríté♦t ését♥s③r♥ ts③ éü ♥tést ♥♥② ós③í♥sé ♥♥ ♦② ♠♥♥ ♥tés ó ♦rítérü ♦② s ②t r♦♥t ♦② ♠♥t r♦♥t ♦② ♣♦♥t♦s♥ kt r♦♥t

t ② rtstáá♥ ár♦♠ ör át♠éré♥ rá♥② ♠♥♥② ③ sé② ♦② stá♥ ♦ás ét♥s③r♥ ér táát

t ❱ét♥s③r♥ ás③t♥ ét s③á♠♦t [0; 1] ♥tr♠ró ós③í♥sé ♦② ③ s♥♠ s③ ♥②♦ ♠♥t ♠ás♦ ós③í♥sé ♦② üö♥séü 1

2

t ② ♠ ♦ss③ú sör♣ ét áá♥ ♠ssá ét♥s③r♥ és ♠ ö③ött ②♠ástóüt♥ü ♦r ós③í♥sé ♦② ♣ ♦♥á s s③ö♥ ♦ t♥

t ét s③s③ ♦ss③át (0, 1) ♥tr♠ró ás③t ③ ②♥tssé ♣♦té③s s③r♥t ós③í♥sé ♦② ét s③s③ó és ② r♠ ♦ss③úsáú s③s③ó ②ss③ö ár♦♠s③öt ts③rs③t♥

t ♦♥é t♣r♦é♠ sí♦t d sás③éssé sí♦③③ és rá♦♥ ② r ♦ss③ú rrótt♦r ③ sé② ♦② t ♠ts③ ét sá tárát

Page 5: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

❱ós③í♥sés③á♠ítás ts♦r ét

t Öt á③s♣árt üttü♥ ② s③t öré ét♥s③r♥ ós③í♥sé ♦② á ② ♣ár②♠ás ♠é rü s ♦② á k ♦ k ós③í♥sé ♦② s♥ ♥♠ rü ♣ár♠é

t í③ ♣ár ♣ ö③ü tá♦♠r s③ü♥ r♦t ós③í♥sé ♦② tt ♣öss③áíttó ② ♣ár ♠ ú② ♣ár♦ üö♥ö③♥ és ú② s ♥♠ ♦ és á tr♠és③ts♥s③á♠ít

t ② r♥ árt②♣ó ②♠ás tá♥ ú③♥ ♣♦t ós③í♥sé ♦② ③ s öt ♣ö③ött s③ ás③ ós③í♥sé ♦② ú③♥ ás③t ♠♥t ttst

t ② r③s♦♥ tó ♥ ♠♥②ü ♠t♥t tét t ♠♥♥♥é ♠ás ♠rt ós③í♥sé ♦② ②ü s♠ ♠

ss③tés ♥éü ú③♥

ss③téss ú③♥

t ② é♠ n ♦rs③á tt♦ss③♦átá♥ ♦♦③ ②s③rr ② ♥♣♦♥ öss③r ♦ríté♦t ését♥s③r♥ ts③ éü ♥tést ♥♥② ós③í♥sé ♥♥ ♦② ♠♥♥ ♥tés ó ♦rítérü ♦② s ②t r♦♥t ♦② ♠♥t r♦♥t ♦② ♣♦♥t♦s♥ kt r♦♥t

t ② rtstáá♥ ár♦♠ ör át♠éré♥ rá♥② ♠♥♥② ③ sé② ♦② stá♥ ♦ás ét♥s③r♥ ér táát

t ❱ét♥s③r♥ ás③t♥ ét s③á♠♦t [0; 1] ♥tr♠ró ós③í♥sé ♦② ③ s ♥♠s③ ♥②♦ ♠♥t ♠ás♦ ós③í♥sé ♦② üö♥séü 1

2

t ét s③s③ ♦ss③át (0,1) ♥tr♠ró ás③t ③ ②♥tssé ♣♦té③s s③r♥t ós③í♥sé ♦② ét s③s③ó és ② r♠ ♦ss③úsáú s③s③ó ②ss③ö ár♦♠s③öt ts③rs③t♥

t ② ♠ ♦ss③ú sör♣ ét áá♥ ♠ssá ét♥s③r♥ és ♠ ö③ött ②♠ástóüt♥ü ♦r ós③í♥sé ♦② ♣ ♦♥á s s③ö♥ ♦ t♥

t ♦♥é t♣r♦é♠ sí♦t d sás③éssé sí♦③③ és rá♦♥ ② r ♦ss③ú rrótt♦r ③ sé② ♦② t ♠ts③ ét sá tárát

t ② tr♥②s ② ♠ ♦♦ss③úsáú ♥é②③t♥ ér öt ♥é②③t sr♥ á ♥♥♠②t ③ tr♥②s♥ á ♠ tá♦sá♦t trt♥ ♦② ♥ ♦♥ ♥♥ ③ á♦♥ ♦r ós③í♥sé ♦② ♦♥ ♥éü öt ér

t ② s úsú♥ öt③ áté♦t átss③ ② s③t ♣ ♥é②③trás♦sr ♥ ♦s③trr rá♦♥ ② ♣é♥③ér♠ét ③ ér♠ ♠② ♥é②③t sé s ú② ♦② ♥♠ ér♥t ③ ♦t♦r ♥②rü♥ ♦r ♥♥ ③ sé②

t ② ♣rs ü③t s③étésr ③ ② ♣rt♥r ♥étt és③íttt ♠② ② ♣rs③tt ♣ré♥é ③ és ét♥ü töröt ③ttá ♥♠ t ♦ ♣r ♦ss③úsá♥♥♥② ós③í♥sé ♦② ③ és③ s③étést töröt ♥♥② ós③í♥sé ♦② töröt ②③t s③étésr s ♥♥②t t♥ ♦② ♠♦r ♣r tá♥ ③ött

Page 6: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

❱ós③í♥sés③á♠ítás ts♦r ét

t Öt á③s♣árt üttü♥ ② s③t öré ét♥s③r♥ ós③í♥sé ♦② á ② ♣ár②♠ás ♠é rü s ♦② á k ♦ k ós③í♥sé ♦② s♥ ♥♠ rü ♣ár♠é

t í③ ♣ár ♣ ö③ü tá♦♠r s③ü♥ r♦t ós③í♥sé ♦② tt ♣öss③áíttó ② ♣ár ♠ ú② ♣ár♦ üö♥ö③♥ és ú② s ♥♠ ♦ és á tr♠és③ts♥s③á♠ít

t ② r♥ árt②♣ó ②♠ás tá♥ ú③♥ ♣♦t ós③í♥sé ♦② ③ s öt ♣ö③ött s③ ás③ ós③í♥sé ♦② ú③♥ ás③t ♠♥t ttst

t ② r③s♦♥ tó ♥ ♠♥②ü ♠t♥t tét t ♠♥♥♥é ♠ás ♠rt ós③í♥sé ♦② ②ü s♠ ♠

ss③tés ♥éü ú③♥

ss③téss ú③♥

t ② é♠ n ♦rs③á tt♦ss③♦átá♥ ♦♦③ ②s③rr ② ♥♣♦♥ öss③r ♦ríté♦t ését♥s③r♥ ts③ éü ♥tést ♥♥② ós③í♥sé ♥♥ ♦② ♠♥♥ ♥tés ó ♦rítérü ♦② s ②t r♦♥t ♦② ♠♥t r♦♥t ♦② ♣♦♥t♦s♥ kt r♦♥t

t ② rtstáá♥ ár♦♠ ör át♠éré♥ rá♥② ♠♥♥② ③ sé② ♦② stá♥ ♦ás ét♥s③r♥ ér táát

t ❱ét♥s③r♥ ás③t♥ ét s③á♠♦t [0; 1] ♥tr♠ró ós③í♥sé ♦② ③ s ♥♠s③ ♥②♦ ♠♥t ♠ás♦ ós③í♥sé ♦② üö♥séü 1

2

t ét s③s③ ♦ss③át (0,1) ♥tr♠ró ás③t ③ ②♥tssé ♣♦té③s s③r♥t ós③í♥sé ♦② ét s③s③ó és ② r♠ ♦ss③úsáú s③s③ó ②ss③ö ár♦♠s③öt ts③rs③t♥

t ② ♠ ♦ss③ú sör♣ ét áá♥ ♠ssá ét♥s③r♥ és ♠ ö③ött ②♠ástóüt♥ü ♦r ós③í♥sé ♦② ♣ ♦♥á s s③ö♥ ♦ t♥

t ♦♥é t♣r♦é♠ sí♦t d sás③éssé sí♦③③ és rá♦♥ ② r ♦ss③ú rrótt♦r ③ sé② ♦② t ♠ts③ ét sá tárát

t ② tr♥②s ② ♠ ♦♦ss③úsáú ♥é②③t♥ ér öt ♥é②③t sr♥ á ♥♥♠②t ③ tr♥②s♥ á ♠ tá♦sá♦t trt♥ ♦② ♥ ♦♥ ♥♥ ③ á♦♥ ♦r ós③í♥sé ♦② ♦♥ ♥éü öt ér

t ② s úsú♥ öt③ áté♦t átss③ ② s③t ♣ ♥é②③trás♦sr ♥ ♦s③trr rá♦♥ ② ♣é♥③ér♠ét ③ ér♠ ♠② ♥é②③t sé s ú② ♦② ♥♠ ér♥t ③ ♦t♦r ♥②rü♥ ♦r ♥♥ ③ sé②

t ② ♣rs ü③t s③étésr ③ ② ♣rt♥r ♥étt és③íttt ♠② ② ♣rs③tt ♣ré♥é ③ és ét♥ü töröt ③ttá ♥♠ t ♦ ♣r ♦ss③úsá♥♥♥② ós③í♥sé ♦② ③ és③ s③étést töröt ♥♥② ós③í♥sé ♦② töröt ②③t s③étésr s ♥♥②t t♥ ♦② ♠♦r ♣r tá♥ ③ött

Page 7: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

❱ós③í♥sés③á♠ítás ts♦r ét

t ② ♦ó♦á ♦♥ ③ s③ sigmar ♠② ír ♦② ♣ár♦st ②♣árt♥t ♦t♥ s ♠② ②s③rr ír ♦② ♣ár♦st ♦t♥ és ♣rí♠s③á♠♦t ♦t♥

t ♥t és ért ét♥s③r♥ üttü♥ ② ör ú s③t ♠é ♥♥② ós③í♥sé♦② ♥♠ rü ②♠ás ♠é ér ❮r ós③í♥sé ♠③t

t ét s③s③ ♦ss③át (0,1) ♥tr♠ró ás③t ③ ②♥tssé ♣♦té③s s③r♥t ós③í♥sé ♦② ét s③s③ó és ② r♠ ♦ss③úsáú s③s③ó ②ss③ö ár♦♠s③öt ts③rs③t♥

t ② ♣rs ü③t s③étésr ③ ② ♣rt♥r ♥étt és③íttt ♠② ② ♣rs③tt ♣ré♥é ③ és ét♥ü töröt ③ttá ♥♠ t ♦ ♣r ♦ss③úsá♥♥♥② ós③í♥sé ♦② ③ és③ s③étést töröt ♥♥② ós③í♥sé ♦② töröt ②③t s③étésr s ♥♥②t t♥ ♦② ♠♦r ♣r tá♥ ③ött

t ét s③á♠♦t ás③t♥ ét♥s③r♥ [0,1] ♥tr♠ró ③ ②♥tssé ♣♦té③s s③r♥t ♠ ♥♥ ós③í♥séét ♦② ét s③á♠♠ ♠♥t ♦ó ♦t♦tt rés③ö ár♦♠s③ö s②ss③ö á 30 ♦♦s s③

t sút s♦rá♥ ♦♦s ♥s s③♦♥②t♦t ét súttárssá s③♦át óá♦♠ás♦♥ s③áó ts ②♥ ós③í♥sé ás③t♦tt ♠♥ét ♦♥t♦t á♥② ér②s s③ré♥②ttt öss③áít♥ társsá♦♥ ♦② ♦s ós③í♥sé ♠♥♥ tst tá s③áít♥

t ② éttr♠♥ ♥♣♦♥t ♥ s③♥ át♦s♥ ②ötöü r♥ ♠ás♣tét ♥ ♠ ②♦②♥ trt♦♠á♥②t ♠② ♦s ós③í♥sé trt♠③③ ③ ♦tt ♥♣♦♥ r♥t ♠ás♣té s③á♠át á♥②♥é♥ é♥ ♦③ ♥♥ ♦② r♥és rá♥② ♦s ós③í♥sé és s③á③é ö③é ss♥♣♣ s③♥á ss②♥t♥sét

t t②♥ ②t♠♥ ③②③és tó ♠♥② ②♦r♠ p = 0,1 ós③í♥sé ♠ ❱③sá③♥ éts③r t át♠② sr ③ ♥♠ ítt t♥s③é ♣ót③s②t rttt ♠ ♥♥② ós③í♥sé ♦② ♠♥♥ ♦tt tó♥ t ♣ót③s② ♥ ♠ ② r s③♠♠trs ♥tr♠♦t ♠② ♦s ós③í♥sé s ♣ót③sá③ó s③á♠

t ② s③á♠ítást♥ ♦t♥ ú átéé♣ s ás ♥♣ár és③ü♥ ásárótár♥ ♥ ♠♥② ②♠ástó üt♥ü 12%♦s ós③í♥sé ásár♦ ♠ ③ ú♦♥sá♦t ♥♥② ós③í♥sé ♦② r♦s s③áít♠á♥② ♠ár ③ s ♥♣ ♦②

♦t③t♥ ♥ öt③ t r♥ést ráttó♥ ②♦rs♥ ♦ sö♥♥ rst í②♥♠ s③rt♥ tú s♦ ss r♦t r♥♥ ét♥ ásárót ár♥ s♠ét ②♠ástó üt♥ü10%♦s ós③í♥sé s③♥ átéé♣t á♥② r♦t r♥♥ ♦t③t ♦② ♦s ós③í♥sé♠♥♥ t t♥ s③♦á♥

t r♥♦á♥ ♠♥♥ ás③tó♣♦ár töt üt♥ü ♦s sé② s③③♦tt t♥ é ♥ör ③ ♥öás③tás♦♥ ♥♥② ós③í♥sé ♦② ás③tó♣♦áró és ö③é stt ③ ♥ö s③③ó♥ s③á♠

t ós③í♥sés③á♠ítás ás♦♥ tó ♠♥② ②♠ástó üt♥ü ②♦r♠ ♦s ós③í♥sé ♥ ♠ ♥♥② ós③í♥sé ♦② ② ♦tt ás♦♥ és ö③ött s③ tóéts③á♠

t ② té♣ ét ♦á♥ ♦ss③át (0,1) ♥tr♠ró ás③t ③ ②♥tssé ♣♦té③ss③r♥t ós③í♥sé ♦② té♣ trüt 1

2s③

Page 8: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

❱ós③í♥sés③á♠ítás ts♦r ét

t ② ♦ó♦á ♦♥ ③ s③ sigmar ♠② ír ♦② ♣ár♦st ②♣árt♥t ♦t♥ s ♠② ②s③rr ír ♦② ♣ár♦st ♦t♥ és ♣rí♠s③á♠♦t ♦t♥

t ♥t és ért ét♥s③r♥ üttü♥ ② ör ú s③t ♠é ♥♥② ós③í♥sé♦② ♥♠ rü ②♠ás ♠é ér ❮r ós③í♥sé ♠③t

t ét s③s③ ♦ss③át (0,1) ♥tr♠ró ás③t ③ ②♥tssé ♣♦té③s s③r♥t ós③í♥sé ♦② ét s③s③ó és ② r♠ ♦ss③úsáú s③s③ó ②ss③ö ár♦♠s③öt ts③rs③t♥

t ② ♣rs ü③t s③étésr ③ ② ♣rt♥r ♥étt és③íttt ♠② ② ♣rs③tt ♣ré♥é ③ és ét♥ü töröt ③ttá ♥♠ t ♦ ♣r ♦ss③úsá♥♥♥② ós③í♥sé ♦② ③ és③ s③étést töröt ♥♥② ós③í♥sé ♦② töröt ②③t s③étésr s ♥♥②t t♥ ♦② ♠♦r ♣r tá♥ ③ött

t ét s③á♠♦t ás③t♥ ét♥s③r♥ [0,1] ♥tr♠ró ③ ②♥tssé ♣♦té③s s③r♥t ♠ ♥♥ ós③í♥séét ♦② ét s③á♠♠ ♠♥t ♦ó ♦t♦tt rés③ö ár♦♠s③ö s②ss③ö á 30 ♦♦s s③

t sút s♦rá♥ ♦♦s ♥s s③♦♥②t♦t ét súttárssá s③♦át óá♦♠ás♦♥ s③áó ts ②♥ ós③í♥sé ás③t♦tt ♠♥ét ♦♥t♦t á♥② ér②s s③ré♥②ttt öss③áít♥ társsá♦♥ ♦② ♦s ós③í♥sé ♠♥♥ tst tá s③áít♥

t ② éttr♠♥ ♥♣♦♥t ♥ s③♥ át♦s♥ ②ötöü r♥ ♠ás♣tét ♥ ♠ ②♦②♥ trt♦♠á♥②t ♠② ♦s ós③í♥sé trt♠③③ ③ ♦tt ♥♣♦♥ r♥t ♠ás♣té s③á♠át á♥②♥é♥ é♥ ♦③ ♥♥ ♦② r♥és rá♥② ♦s ós③í♥sé és s③á③é ö③é ss♥♣♣ s③♥á ss②♥t♥sét

t t②♥ ②t♠♥ ③②③és tó ♠♥② ②♦r♠ p = 0,1 ós③í♥sé ♠ ❱③sá③♥ éts③r t át♠② sr ③ ♥♠ ítt t♥s③é ♣ót③s②t rttt ♠ ♥♥② ós③í♥sé ♦② ♠♥♥ ♦tt tó♥ t ♣ót③s② ♥ ♠ ② r s③♠♠trs ♥tr♠♦t ♠② ♦s ós③í♥sé s ♣ót③sá③ó s③á♠

t ② s③á♠ítást♥ ♦t♥ ú átéé♣ s ás ♥♣ár és③ü♥ ásárótár♥ ♥ ♠♥② ②♠ástó üt♥ü 12%♦s ós③í♥sé ásár♦ ♠ ③ ú♦♥sá♦t ♥♥② ós③í♥sé ♦② r♦s s③áít♠á♥② ♠ár ③ s ♥♣ ♦②

♦t③t♥ ♥ öt③ t r♥ést ráttó♥ ②♦rs♥ ♦ sö♥♥ rst í②♥♠ s③rt♥ tú s♦ ss r♦t r♥♥ ét♥ ásárót ár♥ s♠ét ②♠ástó üt♥ü10%♦s ós③í♥sé s③♥ átéé♣t á♥② r♦t r♥♥ ♦t③t ♦② ♦s ós③í♥sé♠♥♥ t t♥ s③♦á♥

t r♥♦á♥ ♠♥♥ ás③tó♣♦ár töt üt♥ü ♦s sé② s③③♦tt t♥ é ♥ör ③ ♥öás③tás♦♥ ♥♥② ós③í♥sé ♦② ás③tó♣♦áró és ö③é stt ③ ♥ö s③③ó♥ s③á♠

t ós③í♥sés③á♠ítás ás♦♥ tó ♠♥② ②♠ástó üt♥ü ②♦r♠ ♦s ós③í♥sé ♥ ♠ ♥♥② ós③í♥sé ♦② ② ♦tt ás♦♥ és ö③ött s③ tóéts③á♠

t ② té♣ ét ♦á♥ ♦ss③át (0,1) ♥tr♠ró ás③t ③ ②♥tssé ♣♦té③ss③r♥t ós③í♥sé ♦② té♣ trüt 1

2s③

Page 9: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

❱ós③í♥sés③á♠ítás ts♦r ét

t t②♥ ②t♠♥ ③②③és tó ♠♥② ②♦r♠ p = 0,1 ós③í♥sé ♠ ❱③sá③♥ éts③r t át♠② sr ③ ♥♠ ítt t♥s③é ♣ót③s②t rttt ♠ ♥♥② ós③í♥sé ♦② ♠♥♥ ♦tt tó♥ t ♣ót③s② ♥ ♠ ② r s③♠♠trs ♥tr♠♦t ♠② ♦s ós③í♥sé s ♣ót③sá③ó s③á♠

t ② s③á♠ítást♥ ♦t♥ ú átéé♣ s ás ♥♣ár és③ü♥ ásárótár♥ ♥ ♠♥② ②♠ástó üt♥ü 12%♦s ós③í♥sé ásár♦ ♠ ③ ú♦♥sá♦t ♥♥② ós③í♥sé ♦② r♦s s③áít♠á♥② ♠ár ③ s ♥♣ ♦②

♦t③t♥ ♥ öt③ t r♥ést ráttó♥ ②♦rs♥ ♦ sö♥♥ rst í②♥♠ s③rt♥ tú s♦ ss r♦t r♥♥ ét♥ ásárót ár♥ s♠ét ②♠ástó üt♥ü10%♦s ós③í♥sé s③♥ átéé♣t á♥② r♦t r♥♥ ♦t③t ♦② ♦s ós③í♥sé♠♥♥ t t♥ s③♦á♥

t ❱♥ ② ♣é♥③ér♠é♥ ♠②r ♥♠ t ♦② s③á②♦s ♦②♥ t♥á♥ s③á②♦s ♣é♥③ér♠éts③♠á♥ ③③ ③ ér♠é

t ②③ü♥ n ♦②ót N ♦♦③ ú② ♦② ♠♥♥ ②③és ②♦r♠á♥ ós③í♥ té ♦②③ s ♦♦③♥ ♥ ♦②ó ♠♦r ós③í♥sé ♦② k ♦②ó ♥ ♥♥

t ♣♦s r♥árt②áó ♣♥ ♣♦t ②♥ A ③ ③ s♠é♥② ♦② ♣♦♥t♦s♥ ét ás③t ♣♥ ♠ P (A|Bi) téts ós③í♥sét ♦ B1 ♥ á ② ás③♥ B2 ♥á♥ ♥ r ás③B3 s♥ ás③t ♣t♥ B4 s♥ r ás③t ♣t

t ② tó②ártó é ♠♦t♦rt rá♥②♥ és③ít ♥♦♥ öö♥ és í♥á♥ strá♥② r♥r és s③á③é ós③í♥sé ♦② ② tós s③áít♠á♥②ó ♣♦♥t♦s♥ ástó ♥

t ♥rás és é öt③ áté♦t átss③á ♠♥tt♥ ♦♥ ② ♦ó♦á ③ ♥②r ♥②♦t ♦ ②♦r♠á s③á♠♦ ♦r é ♥②r ♥rás ♦á ♥t 1

3ós③í♥sé ♦st

tö ós③í♥sé ②♦r♠ ♦r ós③í♥sé ♦② ♥rás ♥②r áté♦t

t t♦♥♣r♦①♦♥ ár♦♠ ♣é♥③ér♠ét ♦♥ á tt ②♦r♠ r♠ ♣ 1

2

ós③í♥sé ②♥♦②♥ ♠♥t ③ ②s 1

2③ sé② ♦② ♠♥ár♦♠ ②♦r♠ s③

t ② tí③ós áté t♦só ♦róá♥ ár♦♠ tó ö③ü ás③t♥♥ ③ ② ♠öött ②tó ♥ ♠ás tt ♠öött s♠♠ tá♥ ás③t♦tt♥ áté③t ♥②t ③ ② ürs s③♦át ésá♥ ♦② ♠át♦③ttt ás③tás♥t r♠s át♥

t ② ö③é♠é♥②ttás♥ ③t s③rt♥é♥ ♠á♣ít♥ ♦② ér á♥② s③á③é é♥ ürs③♦á♥ t ♦② ③t ♠é ② ♥ét♥ ♠érés♥ s♠ ♥á ♠♥♥ öt③ árást♠③③ érü rés③tt ♦② ♦♥ ② ♦á ♦♦tt s③á♠ ♦s ás③♦♥ ♥t s ♥♠t ③ ö③é s ás③♦♥ s③♥té♥ ❮② ♠♥♥ ♠♦♥t ♦② s ♦ ♠ttás③♦t ú② ♦② ttás éé♥ ③ ♥ ás③♦ rá♥② 2

3 ér á♥② s③á③é é♥ ürs③♦á♥

t ② ts③t♥ ③sá③ó p ós③í♥sé t ②s ás③t ③ s érésr ♥♠ t②♥ sé② ás③t ②t ár♦♠ tsés ás③ ö③ü ás③ ②s ♠♥♥② ós③í♥sé♦② ③sá③ó ó tt ás③t

t ár♦♠ ás③♣ót A B és C t③r rü tr♥♥ ♥ t tá♥ ③ s Aés C r♥r α és γ ós③í♥sé tá♥ B ♠♥ tá t♦ár ♠r ③ ②③ ♦②

γ > α > 1−γ

1−γ,

és rés③t s♠r ②♠ás tát ♣♦♥t♦ssáát tss ♠ ♦② A♥ ♠ér sr ♠é♥ ítsé ♣ótá ②é♥ ♦♥ ♠② ♥ér é♦③♥á♥

t ② r♥á♥ p ♣r♦s és k é ♦②ó ♥ ❱ét♥s③r♥ ú③♥ ♠ ú③♦tt ♦②ótss③tss③ü d ②♥♦②♥ s③í♥ ♠ás ②ütt ③t s♠étü é ♥éü ós③í♥sé ♦② ♠ás♦ ♦②ó é ós③í♥sé ♦② ③ s ♦②ó é ♠ás♦ é ♦t tss ♠ ♦②P (Kn) = P (K1) ♠♥♥ nr és P (Kn|Km) = P (Km|Kn) ár♠② m,nr

Page 10: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

❱ós③í♥sés③á♠ítás ts♦r ét

t t②♥ ②t♠♥ ③②③és tó ♠♥② ②♦r♠ p = 0,1 ós③í♥sé ♠ ❱③sá③♥ éts③r t át♠② sr ③ ♥♠ ítt t♥s③é ♣ót③s②t rttt ♠ ♥♥② ós③í♥sé ♦② ♠♥♥ ♦tt tó♥ t ♣ót③s② ♥ ♠ ② r s③♠♠trs ♥tr♠♦t ♠② ♦s ós③í♥sé s ♣ót③sá③ó s③á♠

t ② s③á♠ítást♥ ♦t♥ ú átéé♣ s ás ♥♣ár és③ü♥ ásárótár♥ ♥ ♠♥② ②♠ástó üt♥ü 12%♦s ós③í♥sé ásár♦ ♠ ③ ú♦♥sá♦t ♥♥② ós③í♥sé ♦② r♦s s③áít♠á♥② ♠ár ③ s ♥♣ ♦②

♦t③t♥ ♥ öt③ t r♥ést ráttó♥ ②♦rs♥ ♦ sö♥♥ rst í②♥♠ s③rt♥ tú s♦ ss r♦t r♥♥ ét♥ ásárót ár♥ s♠ét ②♠ástó üt♥ü10%♦s ós③í♥sé s③♥ átéé♣t á♥② r♦t r♥♥ ♦t③t ♦② ♦s ós③í♥sé♠♥♥ t t♥ s③♦á♥

t ❱♥ ② ♣é♥③ér♠é♥ ♠②r ♥♠ t ♦② s③á②♦s ♦②♥ t♥á♥ s③á②♦s ♣é♥③ér♠éts③♠á♥ ③③ ③ ér♠é

t ②③ü♥ n ♦②ót N ♦♦③ ú② ♦② ♠♥♥ ②③és ②♦r♠á♥ ós③í♥ té ♦②③ s ♦♦③♥ ♥ ♦②ó ♠♦r ós③í♥sé ♦② k ♦②ó ♥ ♥♥

t ♣♦s r♥árt②áó ♣♥ ♣♦t ②♥ A ③ ③ s♠é♥② ♦② ♣♦♥t♦s♥ ét ás③t ♣♥ ♠ P (A|Bi) téts ós③í♥sét ♦ B1 ♥ á ② ás③♥ B2 ♥á♥ ♥ r ás③B3 s♥ ás③t ♣t♥ B4 s♥ r ás③t ♣t

t ② tó②ártó é ♠♦t♦rt rá♥②♥ és③ít ♥♦♥ öö♥ és í♥á♥ strá♥② r♥r és s③á③é ós③í♥sé ♦② ② tós s③áít♠á♥②ó ♣♦♥t♦s♥ ástó ♥

t ♥rás és é öt③ áté♦t átss③á ♠♥tt♥ ♦♥ ② ♦ó♦á ③ ♥②r ♥②♦t ♦ ②♦r♠á s③á♠♦ ♦r é ♥②r ♥rás ♦á ♥t 1

3ós③í♥sé ♦st

tö ós③í♥sé ②♦r♠ ♦r ós③í♥sé ♦② ♥rás ♥②r áté♦t

t t♦♥♣r♦①♦♥ ár♦♠ ♣é♥③ér♠ét ♦♥ á tt ②♦r♠ r♠ ♣ 1

2

ós③í♥sé ②♥♦②♥ ♠♥t ③ ②s 1

2③ sé② ♦② ♠♥ár♦♠ ②♦r♠ s③

t ② tí③ós áté t♦só ♦róá♥ ár♦♠ tó ö③ü ás③t♥♥ ③ ② ♠öött ②tó ♥ ♠ás tt ♠öött s♠♠ tá♥ ás③t♦tt♥ áté③t ♥②t ③ ② ürs s③♦át ésá♥ ♦② ♠át♦③ttt ás③tás♥t r♠s át♥

t ② ö③é♠é♥②ttás♥ ③t s③rt♥é♥ ♠á♣ít♥ ♦② ér á♥② s③á③é é♥ ürs③♦á♥ t ♦② ③t ♠é ② ♥ét♥ ♠érés♥ s♠ ♥á ♠♥♥ öt③ árást♠③③ érü rés③tt ♦② ♦♥ ② ♦á ♦♦tt s③á♠ ♦s ás③♦♥ ♥t s ♥♠t ③ ö③é s ás③♦♥ s③♥té♥ ❮② ♠♥♥ ♠♦♥t ♦② s ♦ ♠ttás③♦t ú② ♦② ttás éé♥ ③ ♥ ás③♦ rá♥② 2

3 ér á♥② s③á③é é♥ ürs③♦á♥

t ② ts③t♥ ③sá③ó p ós③í♥sé t ②s ás③t ③ s érésr ♥♠ t②♥ sé② ás③t ②t ár♦♠ tsés ás③ ö③ü ás③ ②s ♠♥♥② ós③í♥sé♦② ③sá③ó ó tt ás③t

t ár♦♠ ás③♣ót A B és C t③r rü tr♥♥ ♥ t tá♥ ③ s Aés C r♥r α és γ ós③í♥sé tá♥ B ♠♥ tá t♦ár ♠r ③ ②③ ♦②

γ > α > 1−γ

1−γ,

és rés③t s♠r ②♠ás tát ♣♦♥t♦ssáát tss ♠ ♦② A♥ ♠ér sr ♠é♥ ítsé ♣ótá ②é♥ ♦♥ ♠② ♥ér é♦③♥á♥

t ② r♥á♥ p ♣r♦s és k é ♦②ó ♥ ❱ét♥s③r♥ ú③♥ ♠ ú③♦tt ♦②ótss③tss③ü d ②♥♦②♥ s③í♥ ♠ás ②ütt ③t s♠étü é ♥éü ós③í♥sé ♦② ♠ás♦ ♦②ó é ós③í♥sé ♦② ③ s ♦②ó é ♠ás♦ é ♦t tss ♠ ♦②P (Kn) = P (K1) ♠♥♥ nr és P (Kn|Km) = P (Km|Kn) ár♠② m,nr

Page 11: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

❱ós③í♥sés③á♠ítás ts♦r ét

t ár♦♠ ás③♣ót A B és C t③r rü tr♥♥ ♥ t tá♥ ③ s Aés C r♥r α és γ ós③í♥sé tá♥ B ♠♥ tá t♦ár ♠r ③ ②③ ♦②

γ > α > 1−γ

1−γ,

és rés③t s♠r ②♠ás tát ♣♦♥t♦ssáát tss ♠ ♦② A♥ ♠ér sr ♠é♥ ítsé ♣ótá ②é♥ ♦♥ ♠② ♥ér é♦③♥á♥

t ② r♥á♥ p ♣r♦s és k é ♦②ó ♥ ❱ét♥s③r♥ ú③♥ ♠ ú③♦tt ♦②ótss③tss③ü d ②♥♦②♥ s③í♥ ♠ás ②ütt ③t s♠étü é ♥éü ós③í♥sé ♦② ♠ás♦ ♦②ó é ós③í♥sé ♦② ③ s ♦②ó é ♠ás♦ é ♦t tss ♠ ♦②P (Kn) = P (K1) ♠♥♥ nr és P (Kn|Km) = P (Km|Kn) ár♠② m,nr

t ② ú és ② á♥② ♠s③é ♦② ② ♦r♠s útrs③t③és♥é tá♦③♥ ③t ♥♠♦② ♠② sr♦♥ ós③í♥sé ér③♥ ♠♥② sr♦r ♠ás ♥♥s ♦tt ♣rt ár♥♠ ós③í♥sé át♠♥♥ ② s③♦♠s③é♦s sr♦r é ♣r tt ②♠ástó üt♥ü ♥♥② ós③í♥sé ♦② ③ s 3n ♣r♥ tá♦③♥ ár ③rá♥ s

t A B és C örtö♥ ②s③rr ♦②♠♦♥ téts s③ár ②③ésért és ♠tá♦② ttüt ♥té ♥♠ tá ♦② t A ♠♣róá ♠ ♥♦r♠áót s③r③♥ ö♥tésr örtö♥r ú②s♠ ♠♦♥♥á ♠ ♦② t ♥té ③ért ú② ö♥t ♦② ③t ér③ ♠ ♠ásr t ②ütt s③ár ②③♥ ♠♥ttt ♦r s ③ ②t ♠♠♦♥♥ ③ r♥③tá♥ s③♦♥t í② ♦♦s♦ ♥♠ ér③ s♠♠t ♦r 2

3sé②♠ ♥ ♠ér③♠ ③ rt

♦r ③ 1

2r sö♥ s③♥ ♣ Bt ♥ ♦r ② C ♠② ② é♥ ♦ s③ ♥♠ s

ér③ s♠♠t ♦

t Öt á③s♣árt üttü♥ ② s③t öré ét♥s③r♥ ós③í♥sé ♦② á ② ♣ár②♠ás ♠é rü s ♦② á k ♦ k ós③í♥sé ♦② s♥ ♥♠ rü ♣ár♠é

t ♥rás és é öt③ áté♦t átss③á ♠♥tt♥ ♦♥ ② ♦ó♦á ③ ♥②r ♥②♦t ♦ ②♦r♠á s③á♠♦ ♦r é ♥②r ♥rás ♦á ♥t 1

3ós③í♥sé ♦st

tö ós③í♥sé ②♦r♠ ♦r ós③í♥sé ♦② ♥rás ♥②r áté♦t

t rtr♥♣r♦①♦♥ ár♦♠ ♦♦③♥ ♥ ♠♥tt♥ ② ér és ② t ♦②ó ❱ét♥s③r♥ ás③t♥ és s♦tt s③♠♠ ú③♥ ② ♦②ót ②á♥ 1

2ós③í♥sé s③ t ♠ás ♦②ó

s s♦♥óé♣♣ át ♥♥ ós③í♥sé ♦② ♦♦③ üö♥ö③ ♦②ót trt♠③ 1

2

t á♥②éé♣♣ ♦s③tt♥ tót ♥é②s átó á♥②éé♣♣ ♦s③tt♥ s③ét ♦rát ②r ö③t ②③t ♠♥♥♥ ♣♥ á t

t ♥t és ért ét♥s③r♥ üttü♥ ② ör ú s③t öré ♥♥② ós③í♥sé ♦②♥♠ s③ ét s③♦♠s③é♦s ér

t ② ré rát♥ró t ♦② ét ②r ♥ ♥♠ t ♦② ♠②♥ ♥♠ ②tá♦③ás♥á ♠át♥ ♥á ② rát és ♠♦♥ ♦② á♥②á♥ s③ ♦r ós③í♥sé♦② ♠ás ②r ú

Page 12: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

❱ós③í♥sés③á♠ítás ts♦r ét

t ár♦♠ ás③♣ót A B és C t③r rü tr♥♥ ♥ t tá♥ ③ s Aés C r♥r α és γ ós③í♥sé tá♥ B ♠♥ tá t♦ár ♠r ③ ②③ ♦②

γ > α > 1−γ

1−γ,

és rés③t s♠r ②♠ás tát ♣♦♥t♦ssáát tss ♠ ♦② A♥ ♠ér sr ♠é♥ ítsé ♣ótá ②é♥ ♦♥ ♠② ♥ér é♦③♥á♥

t ② r♥á♥ p ♣r♦s és k é ♦②ó ♥ ❱ét♥s③r♥ ú③♥ ♠ ú③♦tt ♦②ótss③tss③ü d ②♥♦②♥ s③í♥ ♠ás ②ütt ③t s♠étü é ♥éü ós③í♥sé ♦② ♠ás♦ ♦②ó é ós③í♥sé ♦② ③ s ♦②ó é ♠ás♦ é ♦t tss ♠ ♦②P (Kn) = P (K1) ♠♥♥ nr és P (Kn|Km) = P (Km|Kn) ár♠② m,nr

t ② ú és ② á♥② ♠s③é ♦② ② ♦r♠s útrs③t③és♥é tá♦③♥ ③t ♥♠♦② ♠② sr♦♥ ós③í♥sé ér③♥ ♠♥② sr♦r ♠ás ♥♥s ♦tt ♣rt ár♥♠ ós③í♥sé át♠♥♥ ② s③♦♠s③é♦s sr♦r é ♣r tt ②♠ástó üt♥ü ♥♥② ós③í♥sé ♦② ③ s 3n ♣r♥ tá♦③♥ ár ③rá♥ s

t A B és C örtö♥ ②s③rr ♦②♠♦♥ téts s③ár ②③ésért és ♠tá♦② ttüt ♥té ♥♠ tá ♦② t A ♠♣róá ♠ ♥♦r♠áót s③r③♥ ö♥tésr örtö♥r ú②s♠ ♠♦♥♥á ♠ ♦② t ♥té ③ért ú② ö♥t ♦② ③t ér③ ♠ ♠ásr t ②ütt s③ár ②③♥ ♠♥ttt ♦r s ③ ②t ♠♠♦♥♥ ③ r♥③tá♥ s③♦♥t í② ♦♦s♦ ♥♠ ér③ s♠♠t ♦r 2

3sé②♠ ♥ ♠ér③♠ ③ rt

♦r ③ 1

2r sö♥ s③♥ ♣ Bt ♥ ♦r ② C ♠② ② é♥ ♦ s③ ♥♠ s

ér③ s♠♠t ♦

t Öt á③s♣árt üttü♥ ② s③t öré ét♥s③r♥ ós③í♥sé ♦② á ② ♣ár②♠ás ♠é rü s ♦② á k ♦ k ós③í♥sé ♦② s♥ ♥♠ rü ♣ár♠é

t ♥rás és é öt③ áté♦t átss③á ♠♥tt♥ ♦♥ ② ♦ó♦á ③ ♥②r ♥②♦t ♦ ②♦r♠á s③á♠♦ ♦r é ♥②r ♥rás ♦á ♥t 1

3ós③í♥sé ♦st

tö ós③í♥sé ②♦r♠ ♦r ós③í♥sé ♦② ♥rás ♥②r áté♦t

t rtr♥♣r♦①♦♥ ár♦♠ ♦♦③♥ ♥ ♠♥tt♥ ② ér és ② t ♦②ó ❱ét♥s③r♥ ás③t♥ és s♦tt s③♠♠ ú③♥ ② ♦②ót ②á♥ 1

2ós③í♥sé s③ t ♠ás ♦②ó

s s♦♥óé♣♣ át ♥♥ ós③í♥sé ♦② ♦♦③ üö♥ö③ ♦②ót trt♠③ 1

2

t á♥②éé♣♣ ♦s③tt♥ tót ♥é②s átó á♥②éé♣♣ ♦s③tt♥ s③ét ♦rát ②r ö③t ②③t ♠♥♥♥ ♣♥ á t

t ♥t és ért ét♥s③r♥ üttü♥ ② ör ú s③t öré ♥♥② ós③í♥sé ♦②♥♠ s③ ét s③♦♠s③é♦s ér

t ② ré rát♥ró t ♦② ét ②r ♥ ♥♠ t ♦② ♠②♥ ♥♠ ②tá♦③ás♥á ♠át♥ ♥á ② rát és ♠♦♥ ♦② á♥②á♥ s③ ♦r ós③í♥sé♦② ♠ás ②r ú

Page 13: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

❱ós③í♥sés③á♠ítás ts♦r ét

t öü IA ③ A ♠③ ♥át♦rüé♥②ét

IA(x) :=

1, x ∈ A

0 x 6∈ A

tss ♠ öt③t

A=B ≡ IA = IB; IΩ = 1, I∅ = 0; IA∩B = IAIB; IA∪B = IA+IB−IAIB; IA = 1−IA

t ξ ② s③rét ét♥ át♦③ó ♠② ♣♦③tí és③ értét s③ ö és ♠②r t ♦②

P (ξ = n) =c

n2, n= 1,2, . . .

♠② c ós s③á♠r ♥♥② t c érté

t ② ♣é♥③ér♠ét ♦á♥ ♠í ②♠ás tá♥ éts③r ②♥③ ③ r♠é♥② ♥♠ s③üt♥♥② ós③í♥sé ♦② é♣♣♥ t ♦ásr t t ♦ás tt é③ü♥ t ♣ár♦s s♦♦ásr s③ s③üsé

t ós③í♥sés③á♠ítás③sá♥ ♠♥ ③ n tó p ós③í♥sé ♠② át ♠♥♥ tts③s♥ s♦s③♦r ♣róá♦③t ♠ ós③í♥sé ♦② ② tó kr ♠② át ós③í♥sé♦② ③ ♦ttó♥ ♣♦♥t♦s♥ k ③sát trt♥

t ξ és η ét♥ át♦③ó P♦ss♦♥♦s③áss λ és µ ♣r♠étr ②♥ ③ öss③ ♦s③ás

t ②♥ ξ ♦♠tr ♦s③ású ét♥ át♦③ó p ♣r♠étrr ♥♥② P (ξ > k+ l|ξ > k) ós③í♥sé ❱♦♥ ♠ért í ③t öröú t♦♥sá♥

t ② ♦♥ttó ♥té③t♥ t♠♠♥tát ③sá♥ rt③ött ♠♦ s③á♠ P♦ss♦♥♦s③ástöt λ ♣r♠étrr ② t♥s ③sá ♠♦t rt③ött ♠♦t ②♠ástó üt♥ü p ós③í♥sé ♠tá és st③ ♥♥② s③ ③ át③sát ♠♥tá♥ ♠♦ ♦s③ás

t ♦ ② rés③é♥ ② ②♦ssá rítés ö③♥ ③♦♥②♦s♦♦tt ♦② ②♦sr♥③ ② ♥ rt ♥t r♥♥ssé ♠② s ♥é♣ssé 10−7 rés③é♥ ♥ ♥ ♦♥é♣ssé ó ö③ítéss 107 r♥rö tá♥ t ③ ♣á♥ ②♥úsít♦tt t ♠♥♥② ③ sé②♦② tá♥ ♠é ② ♠rt ♦r ♠♦♥tá ós③í♥sé ♦② tö ②♥úsít♦ttt ♠ár ♥♠♦♥ tá♥

t ②♥ ξ és η üt♥ ③♦♥♦s ♦s③ású ♣♦③tí és③ érté ét♥ át♦③ó P (ξ = n) = 2−n♦r öt③ ós③í♥sé min(ξ, η)≤ x, η > ξ, ξ = η, ξ|η

t ② ♥♣ s③é♣ ♦t ③ ♦r p1 ós③í♥sé ♠ás♥♣ s s③é♣ s③ stt ③ s ♦r♠ás♥♣ p2 ós③í♥sé s③ s③é♣ s ③t ét árást üö♥ö③ttü ♠ tss ♠ ♦② ③②♠ást öt ♥♣♦♦♥ s③é♣ un ós③í♥sé tsít ③

un = (p1−p2)un−1+p2, n≥ 2

öss③üést ♦♥r♥s s♦r♦③t és ♥ ♦á ♠ s③é♣ ③ ártó♥ á♥② ♥♣ t ③ sss ♥♣

t ♦s③ásüé♥② öt③

e−e−x+y

e−e−x−e−y

t ②♥ ξ és η ②ütts ♦s③ásüé♥②

f(x, y) = cxn1−1(y−x)n2−1e−y, 0< x < y <∞

♥♥② c érté és ♠ ♠r♥ás ♦s③ás♦

Page 14: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

❱ós③í♥sés③á♠ítás ts♦r ét

t öü IA ③ A ♠③ ♥át♦rüé♥②ét

IA(x) :=

1, x ∈ A

0 x 6∈ A

tss ♠ öt③t

A=B ≡ IA = IB; IΩ = 1, I∅ = 0; IA∩B = IAIB; IA∪B = IA+IB−IAIB; IA = 1−IA

t ξ ② s③rét ét♥ át♦③ó ♠② ♣♦③tí és③ értét s③ ö és ♠②r t ♦②

P (ξ = n) =c

n2, n= 1,2, . . .

♠② c ós s③á♠r ♥♥② t c érté

t ② ♣é♥③ér♠ét ♦á♥ ♠í ②♠ás tá♥ éts③r ②♥③ ③ r♠é♥② ♥♠ s③üt♥♥② ós③í♥sé ♦② é♣♣♥ t ♦ásr t t ♦ás tt é③ü♥ t ♣ár♦s s♦♦ásr s③ s③üsé

t ós③í♥sés③á♠ítás③sá♥ ♠♥ ③ n tó p ós③í♥sé ♠② át ♠♥♥ tts③s♥ s♦s③♦r ♣róá♦③t ♠ ós③í♥sé ♦② ② tó kr ♠② át ós③í♥sé♦② ③ ♦ttó♥ ♣♦♥t♦s♥ k ③sát trt♥

t ξ és η ét♥ át♦③ó P♦ss♦♥♦s③áss λ és µ ♣r♠étr ②♥ ③ öss③ ♦s③ás

t ②♥ ξ ♦♠tr ♦s③ású ét♥ át♦③ó p ♣r♠étrr ♥♥② P (ξ > k+ l|ξ > k) ós③í♥sé ❱♦♥ ♠ért í ③t öröú t♦♥sá♥

t ② ♦♥ttó ♥té③t♥ t♠♠♥tát ③sá♥ rt③ött ♠♦ s③á♠ P♦ss♦♥♦s③ástöt λ ♣r♠étrr ② t♥s ③sá ♠♦t rt③ött ♠♦t ②♠ástó üt♥ü p ós③í♥sé ♠tá és st③ ♥♥② s③ ③ át③sát ♠♥tá♥ ♠♦ ♦s③ás

t ♦ ② rés③é♥ ② ②♦ssá rítés ö③♥ ③♦♥②♦s♦♦tt ♦② ②♦sr♥③ ② ♥ rt ♥t r♥♥ssé ♠② s ♥é♣ssé 10−7 rés③é♥ ♥ ♥ ♦♥é♣ssé ó ö③ítéss 107 r♥rö tá♥ t ③ ♣á♥ ②♥úsít♦tt t ♠♥♥② ③ sé②♦② tá♥ ♠é ② ♠rt ♦r ♠♦♥tá ós③í♥sé ♦② tö ②♥úsít♦ttt ♠ár ♥♠♦♥ tá♥

t ②♥ ξ és η üt♥ ③♦♥♦s ♦s③ású ♣♦③tí és③ érté ét♥ át♦③ó P (ξ = n) = 2−n♦r öt③ ós③í♥sé min(ξ, η)≤ x, η > ξ, ξ = η, ξ|η

t ② ♥♣ s③é♣ ♦t ③ ♦r p1 ós③í♥sé ♠ás♥♣ s s③é♣ s③ stt ③ s ♦r♠ás♥♣ p2 ós③í♥sé s③ s③é♣ s ③t ét árást üö♥ö③ttü ♠ tss ♠ ♦② ③②♠ást öt ♥♣♦♦♥ s③é♣ un ós③í♥sé tsít ③

un = (p1−p2)un−1+p2, n≥ 2

öss③üést ♦♥r♥s s♦r♦③t és ♥ ♦á ♠ s③é♣ ③ ártó♥ á♥② ♥♣ t ③ sss ♥♣

t ♦s③ásüé♥② öt③

e−e−x+y

e−e−x−e−y

t ②♥ ξ és η ②ütts ♦s③ásüé♥②

f(x, y) = cxn1−1(y−x)n2−1e−y, 0< x < y <∞

♥♥② c érté és ♠ ♠r♥ás ♦s③ás♦

Page 15: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

Valószínűségszámítás feladatsor 8. hét

Feladat 1. ξ és η véletlen változók Poisson-eloszlással, λ és µ paraméterekkel. Milyen az összeg eloszlása?

Feladat 2. Egy gabonakutató intézetben vetőmagmintát vizsgálnak. A fertőzött magok száma Poisson-eloszlást

követ λ paraméterrel. Egy technikus vizsgálja a magokat, a fertőzött magokat egymástól függetlenül p valószínű-

séggel megtalálja és kiselejtezi. Mennyi lesz az átvizsgált mintában a magok eloszlása?

Feladat 3. Egy bank 20000 db ötezrest adott ki az ügyfeleinek, de utólag kiderült, hogy ezek közül 150 hamis

volt. 100 bankjegyet visszakapnak. Milyen eloszlást követ ezek között a hamis bankjegyek száma, ξ? Binomiális?

Esetleg Poisson? Mennyi P (ξ ≥ 2)? Mennyire nehéz kiszámolni?

Feladat 4. A CSI:Chicago egyik részében egy gyilkosság felderítése közben bebizonyosodott, hogy a gyilkos

rendelkezik egy igen ritka genetikai rendellenességgel, amely csak a népesség 10−7 részében van jelen. Chicago

népessége jó közelítéssel 107. Ha a rendőrök találnak valakit, aki ez alapján gyanúsított lehet, mennyi az esélye,

hogy találnak még egy embert? Mikor mondhatják nagy valószínűséggel, hogy nincs több gyanúsított?

Feladat 5. Legyenek ξ és η független véletlen változók, amelyek 1

2valószínűséggel vesznek föl 1 és −1 értéket.

Legyen ζ = ξη. Mutassuk meg, hogy a három változó páronként független. Függetlenek-e teljesen?

Feladat 6. Legyen ξ és η együttes sűrűségfüggvénye

f(x, y) = cxn1−1(y − x)n2−1e−y, 0 < x < y < ∞

Mennyi c értéke, és mik a marginális eloszlások?

Feladat 7. Legyen ξ abszolút folytonos véletlen változó F eloszlásfüggvénnyel. Mutassuk meg, hogy F (ξ)egyenletes eloszlású a [0; 1] intervallumon, − logF (ξ) pedig exponenciális eloszlású.

Feladat 8. Ha ξ abszolút folytonos F és f eloszlás- illetve sűrűségfüggvénnyel, mutassuk meg, hogy

limh↓0

P (ξ < x+ h|ξ ≥ x) =f(x)

1− F (x)

Feladat 9. Legyen ξ egyenletes eloszlású (0, 1)-en. Határozzuk meg 1

ξés ξ

1+ξeloszlásfüggvényét!

Feladat 10. Mi a feltétele annak, hogy ξ és 1

ξazonos eloszlásúak legyenek?

Feladat 11. Legyen ξ exponenciális eloszlású változó λ paraméterrel. Mennyi sin ξ várható értéke?

Feladat 12. Van egy urnánk, benne egy fehér és egy piros golyó. Visszatevéssel húzunk, minden húzás után

még egy fehér golyót teszünk be. Legyen ξ a szükséges húzások száma, míg fehéret nem húzunk. Mennyi E(ξ)?

Feladat 13. Egy szabályos érmét addig dobálunk, amíg egymás után kétszer ugyanazt nem kapjuk. Mennyi a

dobások számának várható értéke?

Feladat 14. Egy augusztusi éjszakán a hullócsillagok száma Poisson-eloszlást követ. Annak a valószínűsége,

hogy egy hullócsillagot sem látunk, 0,1. Mennyi az egész éjjel látott hullócsillagok várható száma?

Page 16: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

Valószínűségszámítás feladatsor 8. hét

Feladat 1. ξ és η véletlen változók Poisson-eloszlással, λ és µ paraméterekkel. Milyen az összeg eloszlása?

Feladat 2. Egy gabonakutató intézetben vetőmagmintát vizsgálnak. A fertőzött magok száma Poisson-eloszlást

követ λ paraméterrel. Egy technikus vizsgálja a magokat, a fertőzött magokat egymástól függetlenül p valószínű-

séggel megtalálja és kiselejtezi. Mennyi lesz az átvizsgált mintában a magok eloszlása?

Feladat 3. Egy bank 20000 db ötezrest adott ki az ügyfeleinek, de utólag kiderült, hogy ezek közül 150 hamis

volt. 100 bankjegyet visszakapnak. Milyen eloszlást követ ezek között a hamis bankjegyek száma, ξ? Binomiális?

Esetleg Poisson? Mennyi P (ξ ≥ 2)? Mennyire nehéz kiszámolni?

Feladat 4. A CSI:Chicago egyik részében egy gyilkosság felderítése közben bebizonyosodott, hogy a gyilkos

rendelkezik egy igen ritka genetikai rendellenességgel, amely csak a népesség 10−7 részében van jelen. Chicago

népessége jó közelítéssel 107. Ha a rendőrök találnak valakit, aki ez alapján gyanúsított lehet, mennyi az esélye,

hogy találnak még egy embert? Mikor mondhatják nagy valószínűséggel, hogy nincs több gyanúsított?

Feladat 5. Legyenek ξ és η független véletlen változók, amelyek 1

2valószínűséggel vesznek föl 1 és −1 értéket.

Legyen ζ = ξη. Mutassuk meg, hogy a három változó páronként független. Függetlenek-e teljesen?

Feladat 6. Legyen ξ és η együttes sűrűségfüggvénye

f(x, y) = cxn1−1(y − x)n2−1e−y, 0 < x < y < ∞

Mennyi c értéke, és mik a marginális eloszlások?

Feladat 7. Legyen ξ abszolút folytonos véletlen változó F eloszlásfüggvénnyel. Mutassuk meg, hogy F (ξ)egyenletes eloszlású a [0; 1] intervallumon, − logF (ξ) pedig exponenciális eloszlású.

Feladat 8. Ha ξ abszolút folytonos F és f eloszlás- illetve sűrűségfüggvénnyel, mutassuk meg, hogy

limh↓0

P (ξ < x+ h|ξ ≥ x) =f(x)

1− F (x)

Feladat 9. Legyen ξ egyenletes eloszlású (0, 1)-en. Határozzuk meg 1

ξés ξ

1+ξeloszlásfüggvényét!

Feladat 10. Mi a feltétele annak, hogy ξ és 1

ξazonos eloszlásúak legyenek?

Feladat 11. Legyen ξ exponenciális eloszlású változó λ paraméterrel. Mennyi sin ξ várható értéke?

Feladat 12. Van egy urnánk, benne egy fehér és egy piros golyó. Visszatevéssel húzunk, minden húzás után

még egy fehér golyót teszünk be. Legyen ξ a szükséges húzások száma, míg fehéret nem húzunk. Mennyi E(ξ)?

Feladat 13. Egy szabályos érmét addig dobálunk, amíg egymás után kétszer ugyanazt nem kapjuk. Mennyi a

dobások számának várható értéke?

Feladat 14. Egy augusztusi éjszakán a hullócsillagok száma Poisson-eloszlást követ. Annak a valószínűsége,

hogy egy hullócsillagot sem látunk, 0,1. Mennyi az egész éjjel látott hullócsillagok várható száma?

Page 17: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

❱ós③í♥sés③á♠ítás ts♦r ét

t ② ♣é♥③ér♠ét ♦á♥ ♠í ②♠ás tá♥ éts③r ②♥③ ③ r♠é♥② ♥♠ s③üt

♥♥② ós③í♥sé ♦② é♣♣♥ t ♦ásr t t ♦ás tt é③ü♥ t ♣ár♦s s♦

♦ásr s③ s③üsé

t ós③í♥sés③á♠ítás③sá♥ ♠♥ ③ n tó p ós③í♥sé ♠② át ♠♥♥ tt

s③s♥ s♦s③♦r ♣róá♦③t ♠ ós③í♥sé ♦② ② tó kr ♠② át ós③í♥sé

♦② ③ ♦ttó♥ ♣♦♥t♦s♥ k ③sát trt♥

t ② ♦♥ttó ♥té③t♥ t♠♠♥tát ③sá♥ rt③ött ♠♦ s③á♠ P♦ss♦♥♦s③ást

öt λ ♣r♠étrr ② t♥s ③sá ♠♦t rt③ött ♠♦t ②♠ástó üt♥ü p ós③í

♥sé ♠tá és st③ ♥♥② s③ ③ át③sát ♠♥tá♥ ♠♦ ♦s③ás

t ②♥ X és Y üt♥ ét♥ át♦③ó ♠② 1

2ós③í♥sé s③♥ ö 1 és −1 értét

②♥ Z =XY tss ♠ ♦② ár♦♠ át♦③ó ♣ár♦♥é♥t üt♥ üt♥ ts♥

t X s③♦út ♦②t♦♥♦s F és f ♦s③ás t srséüé♥♥② ♠tss ♠ ♦②

limh↓0

P (X < x+h|X ≥ x) =f(x)

1−F (x)

t ②♥ X ②♥ts ♦s③ású (0,1)♥ tár♦③③ ♠ 1

Xés X

1+X♦s③ásüé♥②ét

t tét ♥♥ ♦② X és 1

X③♦♥♦s ♦s③ású ②♥

t X és Y üt♥ ①♣♦♥♥ás ♦s③ású át♦③ó λ és µ ♣r♠étrr tár♦③③ ♠ ♠♥♠

♠ ♦s③ását ② t♦♥sá♦t s③♥át ♠♦ás♥ ♥♥ ♣á♥ ♠② s③rét ♦s③ásr

t ③ s♦♥ó áítás

t ②♥ X ①♣♦♥♥ás ♦s③ású át♦③ó λ ♣r♠étrr ♥♥② sinX ártó érté

t ❱♥ ② r♥á♥ ♥♥ ② ér és ② ♣r♦s ♦②ó ❱ss③téss ú③♥ ♠♥♥ ú③ás tá♥

♠é ② ér ♦②ót ts③ü♥ ②♥ X s③üsés ú③ás♦ s③á♠ ♠í ért ♥♠ ú③♥ ♥♥② E(X)

t ② s③ts és③á♥ ós♦ s③á♠ P♦ss♦♥♦s③ást öt ♥♥ ós③í♥sé

♦② ② ós♦t s♠ át♥ ♥♥② ③ és③ é át♦tt ós♦ ártó s③á♠

t sót á ♠sá♥ ör♠ért ♥♦r♠ás ♦s③ást öt µ= 88 és σ2 = 10 ♣r♠étr

♦r á♥② ér s ③♦♥②

t á③♠sá tstsú② ó ö③ítéss ♥♦r♠ás ♦s③ású ♠sá ö♥♥② ♠♥t

és ♥③ ♠♥t ♥♥② ♥á ♥③ ♠sá rá♥②

t ② ♥②ört éttrt♠ é♥ ♠ér ①♣♦♥♥ás ♦s③ást öt ♣r♠étr 1

2 ♥♥②

ós③í♥sé ♦② ② ú ♥②ört á é áít♥ ♦

Page 18: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

❱ós③í♥sés③á♠ítás ts♦r ét

t ② ♣é♥③ér♠ét ♦á♥ ♠í ②♠ás tá♥ éts③r ②♥③ ③ r♠é♥② ♥♠ s③üt

♥♥② ós③í♥sé ♦② é♣♣♥ t ♦ásr t t ♦ás tt é③ü♥ t ♣ár♦s s♦

♦ásr s③ s③üsé

t ós③í♥sés③á♠ítás③sá♥ ♠♥ ③ n tó p ós③í♥sé ♠② át ♠♥♥ tt

s③s♥ s♦s③♦r ♣róá♦③t ♠ ós③í♥sé ♦② ② tó kr ♠② át ós③í♥sé

♦② ③ ♦ttó♥ ♣♦♥t♦s♥ k ③sát trt♥

t ② ♦♥ttó ♥té③t♥ t♠♠♥tát ③sá♥ rt③ött ♠♦ s③á♠ P♦ss♦♥♦s③ást

öt λ ♣r♠étrr ② t♥s ③sá ♠♦t rt③ött ♠♦t ②♠ástó üt♥ü p ós③í

♥sé ♠tá és st③ ♥♥② s③ ③ át③sát ♠♥tá♥ ♠♦ ♦s③ás

t ②♥ X és Y üt♥ ét♥ át♦③ó ♠② 1

2ós③í♥sé s③♥ ö 1 és −1 értét

②♥ Z =XY tss ♠ ♦② ár♦♠ át♦③ó ♣ár♦♥é♥t üt♥ üt♥ ts♥

t X s③♦út ♦②t♦♥♦s F és f ♦s③ás t srséüé♥♥② ♠tss ♠ ♦②

limh↓0

P (X < x+h|X ≥ x) =f(x)

1−F (x)

t ②♥ X ②♥ts ♦s③ású (0,1)♥ tár♦③③ ♠ 1

Xés X

1+X♦s③ásüé♥②ét

t tét ♥♥ ♦② X és 1

X③♦♥♦s ♦s③ású ②♥

t X és Y üt♥ ①♣♦♥♥ás ♦s③ású át♦③ó λ és µ ♣r♠étrr tár♦③③ ♠ ♠♥♠

♠ ♦s③ását ② t♦♥sá♦t s③♥át ♠♦ás♥ ♥♥ ♣á♥ ♠② s③rét ♦s③ásr

t ③ s♦♥ó áítás

t ②♥ X ①♣♦♥♥ás ♦s③ású át♦③ó λ ♣r♠étrr ♥♥② sinX ártó érté

t ❱♥ ② r♥á♥ ♥♥ ② ér és ② ♣r♦s ♦②ó ❱ss③téss ú③♥ ♠♥♥ ú③ás tá♥

♠é ② ér ♦②ót ts③ü♥ ②♥ X s③üsés ú③ás♦ s③á♠ ♠í ért ♥♠ ú③♥ ♥♥② E(X)

t ② s③ts és③á♥ ós♦ s③á♠ P♦ss♦♥♦s③ást öt ♥♥ ós③í♥sé

♦② ② ós♦t s♠ át♥ ♥♥② ③ és③ é át♦tt ós♦ ártó s③á♠

t sót á ♠sá♥ ör♠ért ♥♦r♠ás ♦s③ást öt µ= 88 és σ2 = 10 ♣r♠étr

♦r á♥② ér s ③♦♥②

t á③♠sá tstsú② ó ö③ítéss ♥♦r♠ás ♦s③ású ♠sá ö♥♥② ♠♥t

és ♥③ ♠♥t ♥♥② ♥á ♥③ ♠sá rá♥②

t ② ♥②ört éttrt♠ é♥ ♠ér ①♣♦♥♥ás ♦s③ást öt ♣r♠étr 1

2 ♥♥②

ós③í♥sé ♦② ② ú ♥②ört á é áít♥ ♦

Page 19: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

❱ós③í♥sés③á♠ítás ts♦r ét

t ②♥ X ②♥ts ♦s③ású (0,1)♥ tár♦③③ ♠ 1

Xés X

1+X♦s③ásüé♥②ét

t X és Y üt♥ ①♣♦♥♥ás ♦s③ású át♦③ó λ és µ ♣r♠étrr tár♦③③ ♠ ♠♥♠♠ ♦s③ását ② t♦♥sá♦t s③♥át ♠♦ás♥ ♥♥ ♣á♥ ♠② s③rét ♦s③ásrt ③ s♦♥ó áítás

t ❱♥ ② r♥á♥ ♥♥ ② ér és ② ♣r♦s ♦②ó ❱ss③téss ú③♥ ♠♥♥ ú③ás tá♥ ♠é② ér ♦②ót ts③ü♥ ②♥ X s③üsés ú③ás♦ s③á♠ ♠í ért ♥♠ ú③♥ ♥♥② E(X)

t ② s③ts és③á♥ ós♦ s③á♠ P♦ss♦♥♦s③ást öt ♥♥ ós③í♥sé♦② ② ós♦t s♠ át♥ ♥♥② ③ és③ é át♦tt ós♦ ártó s③á♠

t sót á ♠sá♥ ör♠ért ♥♦r♠ás ♦s③ást öt µ = 88 és σ2 = 10 ♣r♠étr♦r á♥② ér s ③♦♥②

t á③♠sá tstsú② ó ö③ítéss ♥♦r♠ás ♦s③ású ♠sá ö♥♥② ♠♥t és ♥③ ♠♥t ♥♥② ♥á ♥③ ♠sá rá♥②

t ② ♥②ört éttrt♠ é♥ ♠ér ①♣♦♥♥ás ♦s③ást öt ♣r♠étr 1

2 ♥♥②

ós③í♥sé ♦② ② ú ♥②ört á é áít♥ ♦

t ②♥ X ♥♠♥tí és③ érté ét♥ át♦③ó és ártó érté tss ♠ ♦②

E(X) =∞∑

i=1

P (X ≥ i).

t ❱♥ ② r♥á♥ ♥♥ ② ér és ② ♣r♦s ♦②ó ❱ss③téss ú③♥ ♠♥♥ ú③ás tá♥ ♠é② ér ♦②ót ts③ü♥ ②♥ X s③üsés ú③ás♦ s③á♠ ♠í ért ♥♠ ú③♥ ♥♥② E(X)

t ♥tsü ③t t♦rát♦③ót ♠② ②♦r♠ ós③í♥sé s③ (0,1), (0,−1), (1,0), (−−1, 0) értét ♥♥② ♦♦r♥átá ♦rráó üt♥ ♦♦r♥átá

t ③á♠íts 1/(X+1) ártó értéét

X ∼ ♥♦♠(n, p)

X ∼ P♦ss♦♥(λ)

X ♦♠tr ♦s③ású

t ② s③á②♦s ♦á ♥é②s③r ♦♥ ö X1 ♦♦tt ②s X2 ♦♦tt ttss③á♠át tár♦③③ ♠ ③ ②ütts ♦s③ást és ♣r♠♦s③ás♦t üt♥ ét át♦③ó

t ♦♣á② ❬❪ s③s③ ♥ás ② áté♦s♦ át ♥ ♣♦♥t♦s♥♦♥ ② ♦át ♣ár♦st ♦♥ ♦r ♦r ♣árt♥t ♦r r r ② ②sé♥②t② ♣ ③ ró ks③♦r♦s ó♥ s③á♠ít kr tt♦s á♥t♦t ts③♥ é ♥②♦ ③♦r k érté ♠tt é ♣t ②♥ k ♠tt s③ été ó ②♦r♠ ós③í♥sé

Page 20: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

❱ós③í♥sés③á♠ítás ts♦r ét

t ②♥ X ②♥ts ♦s③ású (0,1)♥ tár♦③③ ♠ 1

Xés X

1+X♦s③ásüé♥②ét

t X és Y üt♥ ①♣♦♥♥ás ♦s③ású át♦③ó λ és µ ♣r♠étrr tár♦③③ ♠ ♠♥♠♠ ♦s③ását ② t♦♥sá♦t s③♥át ♠♦ás♥ ♥♥ ♣á♥ ♠② s③rét ♦s③ásrt ③ s♦♥ó áítás

t ❱♥ ② r♥á♥ ♥♥ ② ér és ② ♣r♦s ♦②ó ❱ss③téss ú③♥ ♠♥♥ ú③ás tá♥ ♠é② ér ♦②ót ts③ü♥ ②♥ X s③üsés ú③ás♦ s③á♠ ♠í ért ♥♠ ú③♥ ♥♥② E(X)

t ② s③ts és③á♥ ós♦ s③á♠ P♦ss♦♥♦s③ást öt ♥♥ ós③í♥sé♦② ② ós♦t s♠ át♥ ♥♥② ③ és③ é át♦tt ós♦ ártó s③á♠

t sót á ♠sá♥ ör♠ért ♥♦r♠ás ♦s③ást öt µ = 88 és σ2 = 10 ♣r♠étr♦r á♥② ér s ③♦♥②

t á③♠sá tstsú② ó ö③ítéss ♥♦r♠ás ♦s③ású ♠sá ö♥♥② ♠♥t és ♥③ ♠♥t ♥♥② ♥á ♥③ ♠sá rá♥②

t ② ♥②ört éttrt♠ é♥ ♠ér ①♣♦♥♥ás ♦s③ást öt ♣r♠étr 1

2 ♥♥②

ós③í♥sé ♦② ② ú ♥②ört á é áít♥ ♦

t ②♥ X ♥♠♥tí és③ érté ét♥ át♦③ó és ártó érté tss ♠ ♦②

E(X) =∞∑

i=1

P (X ≥ i).

t ❱♥ ② r♥á♥ ♥♥ ② ér és ② ♣r♦s ♦②ó ❱ss③téss ú③♥ ♠♥♥ ú③ás tá♥ ♠é② ér ♦②ót ts③ü♥ ②♥ X s③üsés ú③ás♦ s③á♠ ♠í ért ♥♠ ú③♥ ♥♥② E(X)

t ♥tsü ③t t♦rát♦③ót ♠② ②♦r♠ ós③í♥sé s③ (0,1), (0,−1), (1,0), (−−1, 0) értét ♥♥② ♦♦r♥átá ♦rráó üt♥ ♦♦r♥átá

t ③á♠íts 1/(X+1) ártó értéét

X ∼ ♥♦♠(n, p)

X ∼ P♦ss♦♥(λ)

X ♦♠tr ♦s③ású

t ② s③á②♦s ♦á ♥é②s③r ♦♥ ö X1 ♦♦tt ②s X2 ♦♦tt ttss③á♠át tár♦③③ ♠ ③ ②ütts ♦s③ást és ♣r♠♦s③ás♦t üt♥ ét át♦③ó

t ♦♣á② ❬❪ s③s③ ♥ás ② áté♦s♦ át ♥ ♣♦♥t♦s♥♦♥ ② ♦át ♣ár♦st ♦♥ ♦r ♦r ♣árt♥t ♦r r r ② ②sé♥②t② ♣ ③ ró ks③♦r♦s ó♥ s③á♠ít kr tt♦s á♥t♦t ts③♥ é ♥②♦ ③♦r k érté ♠tt é ♣t ②♥ k ♠tt s③ été ó ②♦r♠ ós③í♥sé

Page 21: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

❱ós③í♥sés③á♠ítás ts♦r ét

t ③á♠íts 1/(X+1) ártó értéét

X ∼ ♥♦♠(n, p)

X ∼ P♦ss♦♥(λ)

X ♦♠tr ♦s③ású

t ♦♣á② ❬❪ s③s③ ♥ás ② áté♦s♦ át ♥ ♣♦♥t♦s♥♦♥ ② ♦át ♣ár♦st ♦♥ ♦r ♦r ♣árt♥t ♦r r r ② ②sé♥②t② ♣ ③ ró ks③♦r♦s ó♥ s③á♠ít kr tt♦s á♥t♦t ts③♥ é ♥②♦ ③♦r k érté ♠tt é ♣t ②♥ k ♠tt s③ été ó ②♦r♠ ós③í♥sé

t ② ♦á♥②♦s ♠♥♥ ♥♣ ② rttát s③í r♥r p és 1−p ós③í♥sé ②♠ástóüt♥ü ♥♥② ♥♣ tt s③í♦tt rttá s③á♠á♥ ártó érté és s③órás

t r♣s ♥ áté♥ ét ♦á ♦♥ sté♥ ③♦♥♥ s③ítü♥ ② sté♥③♦♥♥ ♥②rü♥ ár♠② ♠ás ♦ás sté♥ ♠②③③ü ③ s♥ ♦♦tt s③á♠♦t ③ ♠r s♠ét♠ ♠♥t ♦② sr st ♦♥ ♦r ♥②rü♥ ♥③ st♥ s③tü♥ ♥♥② ♥②rés ós③♥sé♥♥② ♦s♦ s③á♠á♥ ártó érté

t ②♥ θ ②♥ts ♦s③ású (0, α)♥ ③á♠♦ Cov(sin θ, cos θ)t üt♥ ét át♦③ó

t ② ②ü♠ösös♥ ♠♥♥ ②ü♠ös♥ ét♥ s③á♠ú ér ♥ ③ s③á♠ P♦ss♦♥♦s③ástöt ♣r♠étrr ②ü♠ösös♥ ♣r♠t③ést é③♥ ♠② ♠♥♥ ②s ért p=0,75 ós③í♥séö ♠ ②♠ástó üt♥ü ③tá♥ s③ü♥ r♦t ②ü♠ösö

♥♥② ós③í♥sé ♦② ②t♥ ért s♠ tá♥

♥♥② ós③í♥sé ♦② öss③s♥ ♣♦♥t♦s♥ k ért tá♥

♥♥② tát ér ártó érté s③órás

♥♥② ③ és③sés ②ü♠ösö ártó érté s③órás

t ②♥ X és Y ②ütts srséüé♥② c sin(x+y) x, y∈(0, π2). ♣íts ♠ ♦r♥át

és ♦rráót

t ②♥ X ② λ ♣r♠étr ①♣♦♥♥ás ♦s③ású ét♥ át♦③ó N ♣ ② t üt♥ p♣r♠étr ♦♠tr ♦s③ású át♦③ó ♠ NX ♦s③ását

t ②♥ X, Y, Z üt♥ ♦♠tr ♦s③ású ét♥ át♦③ó p ♣r♠étrr ♠ öt③ ós③í♥sét P (X = Y ), P (X ≥ 2Y ), P (X + Y ≥ Z). ②♥ U = min(X, Y ) és V = X − Y tss ♠ ♦② U és V üt♥

t ②♥ X ∼ Exp(λ). tár♦③③ ♠ 2X+3, X3 és√X srséüé♥②ét

t ♠ ♥♦♠ás P♦ss♦♥ és ♦♠tr ♦s③ás ♥rát♦rüé♥②ét

t ② stó♥ N ♥ ás③♥ ö③üü M t ♠öü t és ss③tss③ü ♦rrt ♣♦♣áó♥ ♦♥ n t ②♥ ③ ♠öt s③á♠ X ts ♣♦♣áó sésér ③ Mn/(X+1) sét s③♥á ♥♥② s③ ♥♥ ártó érté s③órás ért X+1②♦s③t♥

Page 22: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

❱ós③í♥sés③á♠ítás ts♦r ét

t ③á♠íts 1/(X+1) ártó értéét

X ∼ ♥♦♠(n, p)

X ∼ P♦ss♦♥(λ)

X ♦♠tr ♦s③ású

t ♦♣á② ❬❪ s③s③ ♥ás ② áté♦s♦ át ♥ ♣♦♥t♦s♥♦♥ ② ♦át ♣ár♦st ♦♥ ♦r ♦r ♣árt♥t ♦r r r ② ②sé♥②t② ♣ ③ ró ks③♦r♦s ó♥ s③á♠ít kr tt♦s á♥t♦t ts③♥ é ♥②♦ ③♦r k érté ♠tt é ♣t ②♥ k ♠tt s③ été ó ②♦r♠ ós③í♥sé

t ② ♦á♥②♦s ♠♥♥ ♥♣ ② rttát s③í r♥r p és 1−p ós③í♥sé ②♠ástóüt♥ü ♥♥② ♥♣ tt s③í♦tt rttá s③á♠á♥ ártó érté és s③órás

t r♣s ♥ áté♥ ét ♦á ♦♥ sté♥ ③♦♥♥ s③ítü♥ ② sté♥③♦♥♥ ♥②rü♥ ár♠② ♠ás ♦ás sté♥ ♠②③③ü ③ s♥ ♦♦tt s③á♠♦t ③ ♠r s♠ét♠ ♠♥t ♦② sr st ♦♥ ♦r ♥②rü♥ ♥③ st♥ s③tü♥ ♥♥② ♥②rés ós③♥sé♥♥② ♦s♦ s③á♠á♥ ártó érté

t ②♥ θ ②♥ts ♦s③ású (0, α)♥ ③á♠♦ Cov(sin θ, cos θ)t üt♥ ét át♦③ó

t ② ②ü♠ösös♥ ♠♥♥ ②ü♠ös♥ ét♥ s③á♠ú ér ♥ ③ s③á♠ P♦ss♦♥♦s③ástöt ♣r♠étrr ②ü♠ösös♥ ♣r♠t③ést é③♥ ♠② ♠♥♥ ②s ért p=0,75 ós③í♥séö ♠ ②♠ástó üt♥ü ③tá♥ s③ü♥ r♦t ②ü♠ösö

♥♥② ós③í♥sé ♦② ②t♥ ért s♠ tá♥

♥♥② ós③í♥sé ♦② öss③s♥ ♣♦♥t♦s♥ k ért tá♥

♥♥② tát ér ártó érté s③órás

♥♥② ③ és③sés ②ü♠ösö ártó érté s③órás

t ②♥ X és Y ②ütts srséüé♥② c sin(x+y) x, y∈(0, π2). ♣íts ♠ ♦r♥át

és ♦rráót

t ②♥ X ② λ ♣r♠étr ①♣♦♥♥ás ♦s③ású ét♥ át♦③ó N ♣ ② t üt♥ p♣r♠étr ♦♠tr ♦s③ású át♦③ó ♠ NX ♦s③ását

t ②♥ X, Y, Z üt♥ ♦♠tr ♦s③ású ét♥ át♦③ó p ♣r♠étrr ♠ öt③ ós③í♥sét P (X = Y ), P (X ≥ 2Y ), P (X + Y ≥ Z). ②♥ U = min(X, Y ) és V = X − Y tss ♠ ♦② U és V üt♥

t ②♥ X ∼ Exp(λ). tár♦③③ ♠ 2X+3, X3 és√X srséüé♥②ét

t ♠ ♥♦♠ás P♦ss♦♥ és ♦♠tr ♦s③ás ♥rát♦rüé♥②ét

t ② stó♥ N ♥ ás③♥ ö③üü M t ♠öü t és ss③tss③ü ♦rrt ♣♦♣áó♥ ♦♥ n t ②♥ ③ ♠öt s③á♠ X ts ♣♦♣áó sésér ③ Mn/(X+1) sét s③♥á ♥♥② s③ ♥♥ ártó érté s③órás ért X+1②♦s③t♥

Page 23: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

❱ós③í♥sés③á♠ítás ts♦r ét

t ③á♠íts 1/(X+1) ártó értéét

X ∼ ♥♦♠(n, p)

X ∼ P♦ss♦♥(λ)

X ♦♠tr ♦s③ású

t ②♥ ③ (X, Y ) ét♥ t♦r srséüé♥② c(x+ y) [0,1]2 ②sé♦á♥ ♠ cértéét ♣r♠♦s③ás♦t ♦r♥át és ♦rráót

t ♣♦♥②t ♣r♦é♠ ② ♠trás♠♥ ♠trá♥ ♥ ② ♠trát ②sé ③árt ts♥ t ♠ásár♦♥ ért♠s③r♥ ásárás♦r ♥♠ t ♦② ♠ ♥ ts♥ tss③ü ♦② ♠♥♥ s♦♠♥ ♠♥♥ ♠tr ②♦r♠ ós③í♥sé tátó ♠ és Srr öü③t ♠tr♠♥♥②sét ♠②t ♠ ♥♥ü♥ ♦② ②♥ r üö♥ö③ ♠trá♥ ♠ S100ártó értéét s③órását ítsé ♠②♥ ♦s③ású s③ Sk+1−Sk

t ❱ér③sát♦t é③♥ n ♠r♥é ③sát ♠♥♥♥é ②♠ástó üt♥ü ②♦r♠p ós③í♥sé ♣♦③tí ré♦ssá ♦♦ó k ♠r érét öss③ö♥t és ♣♦tt ♠♥tát ③sáá ♥tí ♦r ♠♥♥ ♥tí ♣♦③tí ♦r ②♥é♥t ♠③sá♥ ♠♥♥t

♠ s③üsés ③sát♦ X s③á♠á♥ ártó értéét ttü ♦② k|N

♥♠③á ♥t ártó értét k üé♥②é♥

tss ♠ ♦② ③ ♦♣t♠ás k érté ö③ ♥ 1√

p③

t ② á♥ n á③s♣ár ♥ ♥ ét♥s③r♥ á♥ ♣ár ér ♣íts ♠ ③②♠áss tá♥♦ó á③s♣ár♦ s③á♠á♥ ártó értéét s③órását

t ❲s②óát s③rt♥é♥ r♥ s② és óáó ③♦♥♥ ♥♠ ②♥tás♦s ♦tér ssé ③♦♥②t♥ tötü ③ t♦t ♠♥ét t sté♥ ♠♥ét rá♥② téréss ③♥ ü ♣ ②♥ts ♦s③ás s③r♥t ♥♥② és③ ♦té♥ s② rá♥②á♥ ártóérté

t ③á②t♥ ér♠ét ♦á♥ ♦ ós③í♥sé p ②♥ X ③ s ②♦r♠ ♦áss♦r♦③t♦ss③ t s Y ♣ ♠ás♦é tár♦③③ ♠ X és Y ártó értéét

t ② ♦át ns③r ♦♥ ♥♥② ③ ②s és t♦s♦ s③á♠á♥ ♦r♥á ♦rráó

t ② s③á②♦s ér♠ét ♦á♥ ♠í éts③r ②♠ás tá♥ ②♥③t ♥♠ ♦ ♥♥② s③üsés ♦ás♦ s③á♠á♥ ártó érté

t ②♥ X ② λ ♣r♠étr ①♣♦♥♥ás ♦s③ású ét♥ át♦③ó N ♣ ② t üt♥p ♣r♠étr ♦♠tr ♦s③ású át♦③ó ♠ NX ♦s③ását

t ②♥ X, Y, Z üt♥ ♦♠tr ♦s③ású ét♥ át♦③ó p ♣r♠étrr ♠ öt③ ós③í♥sét P (X=Y ), P (X≥2Y ), P (X+Y ≥Z). ②♥ U=min(X, Y ) és V =X−Y tss♠ ♦② U és V üt♥

t ②♥ X ∼ Exp(λ). tár♦③③ ♠ 2X+3, X3 és√X srséüé♥②ét

Page 24: Valo sz nus}e gsza m ta s feladatsor 1. he tszucsg/oktatas/valszam_feladatok...Mi a valo sz nu}s ege annak, hogy azo sszeg 6,7,8? A 9-ete s a 10-et ugyanannyife leke pp tudjuk eloa}

❱ós③í♥sés③á♠ítás ts♦r ét

t ③á♠íts 1/(X+1) ártó értéét

X ∼ ♥♦♠(n, p)

X ∼ P♦ss♦♥(λ)

X ♦♠tr ♦s③ású

t ②♥ ③ (X, Y ) ét♥ t♦r srséüé♥② c(x+ y) [0,1]2 ②sé♦á♥ ♠ cértéét ♣r♠♦s③ás♦t ♦r♥át és ♦rráót

t ♣♦♥②t ♣r♦é♠ ② ♠trás♠♥ ♠trá♥ ♥ ② ♠trát ②sé ③árt ts♥ t ♠ásár♦♥ ért♠s③r♥ ásárás♦r ♥♠ t ♦② ♠ ♥ ts♥ tss③ü ♦② ♠♥♥ s♦♠♥ ♠♥♥ ♠tr ②♦r♠ ós③í♥sé tátó ♠ és Srr öü③t ♠tr♠♥♥②sét ♠②t ♠ ♥♥ü♥ ♦② ②♥ r üö♥ö③ ♠trá♥ ♠ S100ártó értéét s③órását ítsé ♠②♥ ♦s③ású s③ Sk+1−Sk

t ❱ér③sát♦t é③♥ n ♠r♥é ③sát ♠♥♥♥é ②♠ástó üt♥ü ②♦r♠p ós③í♥sé ♣♦③tí ré♦ssá ♦♦ó k ♠r érét öss③ö♥t és ♣♦tt ♠♥tát ③sáá ♥tí ♦r ♠♥♥ ♥tí ♣♦③tí ♦r ②♥é♥t ♠③sá♥ ♠♥♥t

♠ s③üsés ③sát♦ X s③á♠á♥ ártó értéét ttü ♦② k|N

♥♠③á ♥t ártó értét k üé♥②é♥

tss ♠ ♦② ③ ♦♣t♠ás k érté ö③ ♥ 1√

p③

t ② á♥ n á③s♣ár ♥ ♥ ét♥s③r♥ á♥ ♣ár ér ♣íts ♠ ③②♠áss tá♥♦ó á③s♣ár♦ s③á♠á♥ ártó értéét s③órását

t ❲s②óát s③rt♥é♥ r♥ s② és óáó ③♦♥♥ ♥♠ ②♥tás♦s ♦tér ssé ③♦♥②t♥ tötü ③ t♦t ♠♥ét t sté♥ ♠♥ét rá♥② téréss ③♥ ü ♣ ②♥ts ♦s③ás s③r♥t ♥♥② és③ ♦té♥ s② rá♥②á♥ ártóérté

t ③á②t♥ ér♠ét ♦á♥ ♦ ós③í♥sé p ②♥ X ③ s ②♦r♠ ♦áss♦r♦③t♦ss③ t s Y ♣ ♠ás♦é tár♦③③ ♠ X és Y ártó értéét

t ② ♦át ns③r ♦♥ ♥♥② ③ ②s és t♦s♦ s③á♠á♥ ♦r♥á ♦rráó

t ② s③á②♦s ér♠ét ♦á♥ ♠í éts③r ②♠ás tá♥ ②♥③t ♥♠ ♦ ♥♥② s③üsés ♦ás♦ s③á♠á♥ ártó érté

t ②♥ X ② λ ♣r♠étr ①♣♦♥♥ás ♦s③ású ét♥ át♦③ó N ♣ ② t üt♥p ♣r♠étr ♦♠tr ♦s③ású át♦③ó ♠ NX ♦s③ását

t ②♥ X, Y, Z üt♥ ♦♠tr ♦s③ású ét♥ át♦③ó p ♣r♠étrr ♠ öt③ ós③í♥sét P (X=Y ), P (X≥2Y ), P (X+Y ≥Z). ②♥ U=min(X, Y ) és V =X−Y tss♠ ♦② U és V üt♥

t ②♥ X ∼ Exp(λ). tár♦③③ ♠ 2X+3, X3 és√X srséüé♥②ét


I-VALO TOLPPA IN FINLAND I-VALO TOLPPA asennuspylväs I-Valon valaisimille Valaisinhuollon helppoutta! I-VALO TOLPPA on suunniteltu valaisinasennuksiin esimerkiksi portaikoissa, hoitotasoilla,

I-VALO TOLPPA IN FINLAND I-VALO TOLPPA asennuspylväs I-Valon valaisimille Valaisinhuollon helppoutta! I-VALO TOLPPA on suunniteltu valaisinasennuksiin esimerkiksi portaikoissa, hoitotasoilla,

Documents
Guia City Valo Velho 13

Guia City Valo Velho 13

Documents
Varoituksista - Dell...Oranssi valo — Vilkkuva oranssi valo on merkki emolevyn vikaantumisesta. Kun oranssi valo palaa tasaisesti eikä tietokone käynnisty, emolevy ei pysty käynnistämään

Varoituksista - Dell...Oranssi valo — Vilkkuva oranssi valo on merkki emolevyn vikaantumisesta. Kun oranssi valo palaa tasaisesti eikä tietokone käynnisty, emolevy ei pysty käynnistämään

Documents
Valo REGULARIZADO Cachicoto N°1

Valo REGULARIZADO Cachicoto N°1

Documents
Nea Palyazat Nea Un 16 Sz Kiăťră s

Nea Palyazat Nea Un 16 Sz Kiăťră s

Documents
VALO-CD presentation (Akademy 2012)

VALO-CD presentation (Akademy 2012)

Technology
Revista Guia City Valo Velho

Revista Guia City Valo Velho

Documents
Guia City Valo Velho 09

Guia City Valo Velho 09

Documents
VALO - Helsingin Suomalainen Klubi · Lumen valo on kirkas II , guassi ja 2015sekatekniikka Lumen valo on kirkas I, guassi ja sekatekniikka 2015 ANTTI VIRKKUNEN Tammikuu, öljy 2013

VALO - Helsingin Suomalainen Klubi · Lumen valo on kirkas II , guassi ja 2015sekatekniikka Lumen valo on kirkas I, guassi ja sekatekniikka 2015 ANTTI VIRKKUNEN Tammikuu, öljy 2013

Documents
OSRAM - COREOsram-bilux-"S"-lamppuja Wattia Kuva Hinta Tilausnumero Volttia Kauko. Lähi. N; 0Mk! |valo valo Auto-normaali-kanta BA 20 d (ennen N:o 442) saksalaisia vaunuja varten

OSRAM - COREOsram-bilux-"S"-lamppuja Wattia Kuva Hinta Tilausnumero Volttia Kauko. Lähi. N; 0Mk! |valo valo Auto-normaali-kanta BA 20 d (ennen N:o 442) saksalaisia vaunuja varten

Documents
Mrinmoyeer mon valo nei

Mrinmoyeer mon valo nei

Education
Valo ja ääni

Valo ja ääni

Documents
Capital Transfert Aquitaine Valo

Capital Transfert Aquitaine Valo

Education
Guia City Valo Velho 11

Guia City Valo Velho 11

Documents
Guia City Valo Velho 03

Guia City Valo Velho 03

Documents
Széchenyi István Egyet em - Felvi.hu · SZE öss SZE öss SZ SZ S S SZE SZE SZ SZ SZE SZE Diplomás Pálya nline kérdőíves m 1 tavaszán, egys míg a végzette eljes köre. Az

Széchenyi István Egyet em - Felvi.hu · SZE öss SZE öss SZ SZ S S SZE SZE SZ SZ SZE SZE Diplomás Pálya nline kérdőíves m 1 tavaszán, egys míg a végzette eljes köre. Az

Documents
Guía técnica Valo

Guía técnica Valo

Documents
VALO-CD-projektin esittely

VALO-CD-projektin esittely

Technology
WEB EDITION · 2015. 5. 20. · 01 01 Vihreä, jatkuva valo: Auto on lukittu. Keltainen, jatkuva valo: Auto on lukitsematon. Punainen jatkuva valo: Hälytys on lauennut auton lukitsemisen

WEB EDITION · 2015. 5. 20. · 01 01 Vihreä, jatkuva valo: Auto on lukittu. Keltainen, jatkuva valo: Auto on lukitsematon. Punainen jatkuva valo: Hälytys on lauennut auton lukitsemisen

Documents
Valo, muoto vai elämä - Helda

Valo, muoto vai elämä - Helda

Documents
RE-VALO RIZAR VALO RIO

RE-VALO RIZAR VALO RIO

Documents
Guia City Valo Velho 02

Guia City Valo Velho 02

Documents
TARTALOM - HOLMIholmi.org/pdf/archive/holmi1998-02.pdf · Az ¢rt¢s sz¡ks¢gszerüen f¢lre¢rt¢s? A piknik c¢lja a sz´veg idegen horizontja ¢s az olvas sajÀt horizontja

TARTALOM - HOLMIholmi.org/pdf/archive/holmi1998-02.pdf · Az ¢rt¢s sz¡ks¢gszerüen f¢lre¢rt¢s? A piknik c¢lja a sz´veg idegen horizontja ¢s az olvas sajÀt horizontja

Documents
Medičarski obrt s područja SZ Hrvatske i Slavonije Međimurska

Medičarski obrt s područja SZ Hrvatske i Slavonije Međimurska

Documents
Guia City Valo Velho 10

Guia City Valo Velho 10

Documents
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DISEÑO DE UNA RED DE ... · 2.6.2 Valo de Manro de obra 75 2.6.3 Valo de transporter us, o d herramientae s 76 2.6.4 Valor de direcció técnica..n

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DISEÑO DE UNA RED DE ... · 2.6.2 Valo de Manro de obra 75 2.6.3 Valo de transporter us, o d herramientae s 76 2.6.4 Valor de direcció técnica..n

Documents
Valo ja muu säteily

Valo ja muu säteily

Documents
B_1hm Andrs - Sz- s Gzlmadarak

B_1hm Andrs - Sz- s Gzlmadarak

Documents
Voiko valo olla saastetta?

Voiko valo olla saastetta?

Environment
Welcome alla nuova lampada della VALO FAMILY ne alla nuova lampada della VALO FAMILY VALO GRAND: tutti i benefici della rivoluzionaria e pluripremiata VALO con una lente del 50% più

Welcome alla nuova lampada della VALO FAMILY ne alla nuova lampada della VALO FAMILY VALO GRAND: tutti i benefici della rivoluzionaria e pluripremiata VALO con una lente del 50% più

Documents