Valor esperado, Varianza y coeficiente de variación

Teoría de Probabilidades

Teoría de Probabilidades - Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

Usted acaba de agotar su última ayuda para responder correctamente la pregunta número 11, logrando un premio de 12.000.000. Ahora se enfrenta a la pregunta número 12.

¿Quién quiere ser millonario?

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300.000.00050.000.00020.000.00012.000.00010.000.000

7.000.0005.000.0003.000.0002.000.0001.000.000

700.000500.000200.000100.000

Premios

¿Qué deporte practicaba el artista francés Marcel

Duchamp?

a. Fútbol c. Tenis

b. Ajedrez d. Natación

Indica el valor promedio al que tiende la variable aleatoria cuando el número de ensayos del experimento tiende a infinito.

Este valor NO representa un punto del espacio muestral más probable.

Permiten interpretar costos, tiempos y recursos asociados al desempeño de un variable aleatoria.

Es posible establecer valores esperados de funciones de variables aleatorias

Valor Esperado

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Propiedades

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Ejercicios Para poder acceder a juego en particular, se deben pagar 10.000

pesos. Sin embargo, el juego podría traer algunas ganancias. Usted debe lanzar un dado y recibirá una cantidad de dinero proporcional a una constante c por el cuadrado del número obtenido en el dado. Encuentre el valor de c para que el juego sea justo.

Se propone un juego de azar en el que pagas una apuesta inicial fija. Se lanza una moneda repetidamente hasta que aparece la primera cara. Una vez que aparece, se gana una moneda si la cara aparece en el primer lanzamiento, dos monedas si aparece en el segundo, doblando el premio en cada lanzamiento adicional. ¿Cuál sería la cantidad justa que debe pagar el jugador para apostar en este juego?

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Varianza Representa la dispersión de los datos alrededor de la media. Sirve para representar la desviación general de una variable aleatoria en

dimensiones cuadráticas. Definición General:

Desviación Estándar representar la desviación general de una variable aleatoria en las mismas

dimensiones de la variable aleatoria.

Propiedades de la Varianza Constante por una variable.

Variable más la suma de una constante

Coeficiente de Correlación y Variación Coeficiente de Variación

Representa de manera relativa la variabilidad de una variable aleatoria. Representa una relación de porcentaje.

Ejercicios Calcular la varianza de los puntos obtenidos en el lanzamiento de un dado.

La siguiente tabla muestra la probabilidad del número de llamadas recibidas en un call center por minuto.

Calcular : Valor esperado, varianza, coeficiente de variación y función de distribución acumulada

Ejercicios Suponga que cierto equipo de fútbol gana un partido el 60% de las veces. Si

en un campeonato este equipo va a jugar 3 partidos, encuentre el valor esperado del número de partidos que el equipo va a perder.

De un lote que contiene 3 artículos defectuosos y 3 buenos se seleccionan aleatoriamente, sin reposición, 2 de ellos.

Obtenga el valor esperado y varianza del número de artículos defectuosos. Si W representa la proporción de defectuosos seleccionados sobre el total de artículos

iniciales en el lote, determine la media y la varianza de W.

Momentos Estadísticos El concepto está fundamentado en el concepto de

momento de la física mecánica. Los momentos pueden ser respecto a cualquier punto, sin

embargo existen dos momentos con un significado especial que son ampliamente utilizados. Respecto a la media

Respecto al Origen

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Ejercicios Representar el segundo y tercer momento en relación a la

media, en función de sus momentos respecto al origen.

El radio de una circunferencia utilizada en ciertos piñones tiene cierta variación, por lo que puede tomar diferentes valores (en cm). En la siguiente tabla se muestra la distribución de probabilidad asociada a cada uno de ellos. ¿Cuál es el valor esperado del área del piñón (asumiéndolo como un círculo)?

Aplicación de los momentos estadísticosAsimetría Kurtosis

Moda

Mediana

Media

Moda

Mediana

Media

> 3

= 3

< 3

Fórmulas Coeficiente de Kurtosis

Coeficiente de Asimetría

Ejercicios Define los valores del coeficiente de asimetría de la

función de probabilidad definida en la siguiente tabla.

Defina la media, varianza, coeficiente de kurtosis y de asimetría de la siguiente función de probabilidad.