VALSZNSGSZMTS S STATISZTIKA TTELEK 1.Esemnytr, mveletek esemnyekkel; a valsznsg fogalma s tulajdonsgai. Az esemnytr: Tekintsnk egy vletlen ksrletet. A ksrlet lehetsges kimeneteleit elemi esemnyeknek nevezzk. Az elemi esemny karakterisztikus tulajdonsga, hogy csak egyflekpp kvetkezhet be. Az elemi esemnyeketszimblumokkal jelljk. Az adott ksrlethez tartoz sszes elemi esemny halmazt esemnytrnek (mintatrnek) nevezzk s-val jelljk. Az elemi esemnyekbl ll halmazokat (azaz rszhalmazait) esemnyeknek nevezzk. Egy esemny bekvetkezse ppen azt jelenti, hogy az t alkot elemi esemnyek valamelyike bekvetkezik. Az egyes esemnyeketbetkkel, mg az sszes esemny halmazt-fel jelljk.1.1. Plda. (1) Dobjunk fel egy dobkockt! Ennek a ksrletnek 6 lehetsges kimenetele van, gy az elemi esemnyek:,. Az esemnytr. Jelentseazt az esemnyt, hogy pros szmot dobtunk,pedig azt, hogy 3-nl nagyobbat. Ekkor Mveletek esemnyek kztt:Legyen egy esemnytr, s esemnyek. , c + : ez az esemny akkor kvetkezik be, ha vagy vagy vagy mindkett bekvetkezik. Mj.: Halmazelmleti unikpzs : akkor kvetkezik be ha mind , mind bekvetkezik. Mj.: halmazelmleti metszetkpzs Kitntetett esemnyek:- : biztos esemny (mindig bekvetkezik) - : lehetetlen esemny (soha sem kvetkezik be) Azesemny ellentettjn azt azesemnyt rtjk, mely akkor kvetkezik be, hanem kvetkezik be.nyilvn-nak-ra vonatkoz komplementere. Szoks mg hasznlni kt esemny klnbsgt:akkor kvetkezik be, habekvetkezik, denem.sszimmetrikus differencija:akkor kvetkezik be, haskzl pontosan egy kvetkezik be. De Morgan-azonossgok: + = + = = = Azt mondjuk, hogyskizrja egymst, ha egyszerre nem kvetkezhetnek be. Ez pontosan azt jelenti, hogysdiszjunkt halmazok:. Habekvetkezsekormindig bekvetkezik, akkor azt modjuk, hogymaga utn vonja-t. Ez halmazok nyelvn pontosan azt jelenti, hogy. A valsznsg fogalma s tulajdonsgai: 2.Klasszikus valsznsgi mez; megszmllhat valsznsgi mezk; geometriai valsznsg; feltteles valsznsg. A klasszikus valsznsgi mez: Egy szablyos rme, ill. kocka feldobsakor a lehetsges kimenetelek egyforma valsznsgek. Szmos olyan vletlen ksrlet van (pl. a szerencsejtkok esetn), ahol a lehetsges kimenetelek szma vges, s a kimenetelek egyforma eslyek (pl. szimmetria okokbl). Ekkor az elemi esemnyek valsznsgeire,teljesl. A valsznsg klasszikus kiszmtsi mdja: Ittjelenti a lehetsges kimenetelek szmt (azaz az sszes elemi esemny szmt), mgaz szmra kedvez kimenetelek szmt (azaz az-ban lev elemi esemnyek szmt) jelenti. A kplet a valsznsg klasszikus kiszmtsi mdja. Def.: A (,,) valsznsgi mezt klasszikusnak nevezzk, ha elemszma vges, A= s minden elemi esemny valsznsge egyforma. Pl.:1. kockt dobunk: ={1.2.3.4.5.6} A={pros}={2,4,6} P(A)=1/2 2.Franciakrtybl szt hzunk: ||=52 A={4} P(A)=1/5 3.ts lottt hzunk: = )590(a) tsnk leszP(A)=)590(1 b) k tallatunk vank=0,1,2,3,4,5 P(A)=)590()585)(5(k k

A valsznsg monotonitsa: Az ellentett esemny valsznsge: Megszmllhat valsznsgi mezk: A megszmllhat szmossg valsznsgi mezk (azaz az olyan ksrletek, melyeknek megszmllhat sok kimenetele van) teljesen lerhatk az n. diszkrt valsznusgeloszlsok segtsgvel.Def.: Aszmsorozatot diszkrt valsznsgeloszlsnak (rviden eloszlsnak) nevezzk, ha llts: Minden diszkrt valsznsgi eloszlsnak megfeleltethet egy megszmllhat valsznsgi mez s fordtva. Ekkor a sorozat elemei az elemi esemnyek valsznsgeit adjk. Pl.:a) rmt dobunk fel az els fejig4dobs ={F,IF,IIF,IIIF} P(A)=1615161,81,41,21=b) prosat dobunk B={IF,IIIF,IIIIIF,} P(B)=311411114121...2121210 12 8 4 2= = = = + + + == kkkk Tovbbi pldk diszkrt valsznsgi eloszlsra: 1.Pe]0,1[ Pk=p(1-p)k-1 k=1,2, 1) 1 ( 1) 1 ( ) 1 ( ) 1 (0 1111= = = = ===ppp p p p p pkkkkkk 2.Legyen >0, Pk=ekk! k=0,1,2, 1! !00 0= = = = = = e e eke ekkkkk A geometriai valsznsg: Legyenazegy rszhalmaza, s dobjunk egy pontot vletlenszeren-re. Legyen . Ekkor annak a valsznsge, hogy a pont-ba esik ahola hossz, a terlet, ill. a trfogat attl fggen, hogy az egyenesen, a skon, ill. a trben vagyunk . A kplet a valsznsg geometriai kiszmtsi mdja, mely nyilvnval analgit mutat a klasszikus kiszmtsi mddal. Pl.: Egy 1m hossz botot vletlenszeren eltrnk. Mennyi a valsznsge, hogy a rvidebb darab hossza legfeljebb 20 cm? =[0,1] kedvezmnyes esemnytr: A={[0;0.2]v.[0.8;1]} P(A)=sszeskedvez=14 . 0=0.4 Feltteles valsznsg: Def.: Legyenskt esemny,. Ekkor azesemny-re vonatkoz feltteles valsznsgn a mennyisget rtjk. Ebbl kt esemny szorzatnak valsznsge gy szmthat: P(AB) = P(A | B)P(B) Pl.:B: prost dobunk P(B)=21

A: nem hatos P(B)=65

P(AB)=3162=P(A|B)=322131=Ttel: Legyen (,A,P) egy valsznsgi mez, BeA egy esemny, melyre P(B)>0. Jellje AB az AB alak esemnyek halmazt, ahol AeA, valamint PB(C)=P(C|B)CeAB. Ekkor (B, AB, PB) valsznsgi mez. 3.Teljes valsznsg ttele; Bayes ttel; fggetlensg. Teljes valsznsg ttele: Def.: Esemnyek egy(vges vagy megszmllhatan vgtelen) halmazt teljes esemnyrendszernek nevezzk, ha egymst pronknt kizrjk, s sszegk a teljes esemnytr. Pl.: Feldobunk egy kockt ={1,2,3,4,5,6} Ai={i}i=1,2,3,4,5,6 Ttel: (Teljes valsznsg ttele) Legyenegy pozitv valsznsg esemnyekbl ll teljes esemnyrendszer. Ekkor brmelyesemnyre Bizonyts:Azdiszjunkt rszekre bonts fennll. P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)+(a -additivitsbl) P(A|Bi)=) () (iiB PAB PP(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+ Pl.: Feldobunk egy kockt, majd annyi rmt, amennyit a kocka mutat. Mennyi a csupa fej valsznsge? Bi: a kocka i-t vesz feli=1,2,3,4,5,6 A: csupa fej P(Bi)=61P(A|B1)=21 P(A|B2)=41 P(A|B3)=81 P(A|Bi)=i21i=1,2,3,4,5,6 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)++P(A|B6)P(B6)= =616416132161161618161416121- + - + - + - + - + - = =6463612164631212112611121)3211618141211 (121- = - =- = + + + + + Bayes ttel: Ha egy ,,ktfzis'' ksrletben a msodik fzis eredmnyeibl akarunk viszszakvetkeztetni az els fzis eredmnyre, akkor a Bayes-ttel hasznos segdeszkz.Ttel: (Bayes-formula) Legyenskt, pozitv valsznsg esemny. A feltteles valsznsg defincijbl) () ( ) | () | (A PB P B A PA B P-= Ttel: (Bayes ttel) Legyenegy teljes esemnyrendszer, P(Bi) > 0, i=1,2,, valamint A egy esemny, P(A)>0. Ekkor ... ) ( ) | ( ) ( ) | () ( ) | () | (2 2 1+ - + --=B P B A P B P B A PB P B A PA B Pii ii minden-re. P(Bi): a Bi a-priori valsznsge P(Bi |A): a Bi a-posteriori valsznsgeBizonyts: Alkalmazzuk a Bayes-formult, majdkifejtsre a teljes valsznsg ttelt.Mivel P(A)=P(A| B1)P(B1)+P(A| B2)P(B2)+P(A| B3)P(B3)+ ezrt ) () ( ) | () A | B (iA PB P B A PPi i=A Bayes-formulbl P(Bi |A)= P(Bi |A) ami azonossg. Fggetlensg: Def.: Azt mondjuk, hogy Kvetkezmny: Ha A s B fggetlenek, P(B)>0, akkor P(A|B)=P(A)

) () ( ) () () () | (B PB P A PB PAB PB A P = =Pl.: Feldobunk egy rmt. A:1.fejB:2.fej k fggetlene B P A P AB P = - = = ) ( ) (212141) (Def.: Azesemnyek pronknt fggetlenek, ha Def.: Azt mondjuk, hogy azesemnyek teljesen fggetlenek, ha brmely-re s az-szmok brmelykombincijra Def.: Esemnyek egy halmaza teljesen fggetlen, ha brmely vges rszhalmaza teljesen fggetlen. Mj.: Teljesen fggetlen halmazok pronknt is fggetlenek! Fordtva NEM igaz! Pl.: : egysgngyzetP(A)=P(B)=P(C)=21 P: terletP(AB)=41=P(A)P(B) P(AC)= 41=P(A)P(C) P(BC)= 41=P(B)P(C) A,B,C pronknt fggetlenek, de nem teljesen fggetlenek! ) ( ) ( ) (810 ) ( C P B P A P ABC P = = = Pl.: Ketten lnek egy cltblra felvltva. A kezd 0,3, a msik 0,2 valsznsggel tall. Addig lnek, amg valaki nem tall. Mekkora valsznsggel lesz ez a kezd? P=0,3+0,7*0,8*0,3+0,7*0,8*0,7*0,8*0,3+= = === = - = -0 0221544 , 03 , 056 , 0 3 , 0 7 , 0 8 , 0 3 , 0k k 4.Diszkrt valsznsgi vltozk, definci, pldk; diszkrt valsznsgi vltozk egyttes eloszlsa, peremeloszlsok. Diszkrt valsznsgi vltozk fggetlensge. Def.: Diszkrt valsznsgi vltozk defincija: Legyen valsznsgi mez.:R. A fggvnyt diszkrt valsznsgi vltoznak neveznk, ha rtkkszlete megszmllhat s brmely xeR esetn {| ()=x}e Def.: Legyen egy diszkrt valsznsgi vltoz, melynek rtkei x1, x2 , Legyen tovbb Ai={ e| ()=xi}. Ekkor az A1, A2 halmazok teljes esemnyrendszert alkotnak. Def.: Legyen pi=P(Ai). Ekkor pi 0 s1 =iip , azaz a p1, p2 sorozat diszkrt valsznsgi eloszlst alkot. Def.: A p1, p2 szmokat a eloszlsnak nevezzk. Pldk: 1. Egy urnban N db goly van, M pros s N-M fehr. Visszatevs nlkl kihzunk n db golyt. Jellje a kihzott piros golyk szmt. 2.n golyt hzunk visszatevssel. Minden hzsnl a piros hzsnak valsznsge.NM ltalnosan: Legyen A egy esemny, p:=P(A). n db fggetlen ksrletet vgzek A-ra. az A bekvetkezseinek a szma. k n kp pknk P = = ) 1 ( ) ( ) (k=0,1,,n eloszlsa (n,p) paramter binomilis. Diszkrt valsznsgi vltozk egyttes eloszlsa, peremeloszlsok: qLegyen s qdiszkrt valsznsgi vltozk, melyek rtkei rendre x1,x2s y1,y2,Ekkor a ( ,q ) pr egyttes eloszlsn a szmokat rtjk. Kontingencia tblzat: Mj.: a sorsszegekeloszlst adjk az oszlopsszegek qeloszlst adjk Def.: As q eloszlst marginlis vagy peremeloszlsnak nevezzk. llts: Az egyttes eloszls egyrtelmen meghatrozza a peremeloszlsokat, de ez fordtva nem igaz. Pl.: Diszkrt valsznsgi vltozk fggetlensge: sfggetlensge a kvetkezt jelenti: az, hogyfelvesz valamilyenrtket, nem befolysolja annak az eslyt, hogyvalamelyrtket vegyen fel. Def.:Azt mondjuk, hogysfggetlen, ha Def.:Avalsznsgi vltozkat pronknt fggetleneknek nevezzk, ha kzlk brmely kett fggetlen. Avalsznsgi vltozkat (teljesen) fggetleneknek nevezzk, ha teljesl minden-re a valsznsgi vltozk rtkszletbl. llts: Legyenek a1,2,n diszkrt v.v.-k teljesen fggetlenek, s y1,y2,,yn vals rtk fggvnyek. Ekkor az y1=g1(1),,yn=gn( n) v.v.-k is teljesen fggetlenek. 5.Fggetlen diszkrt valsznsgi vltozk konvolcija. Diszkrt valsznsgi vltozk vrhat rtke; a vrhat rtk tulajdonsgai. Fggetlen diszkrt valsznsgi vltozk konvolcija: Legyeneks q fggetlen valsznsgi vltozk. As qeloszlsnak konvolcijn +qeloszlst rtjk. Legyenekrtkei x1,x2,, q rtkei y1,y2 s pi=P( =xi) s qj= P(q =yj). Ekkor, : +qeloszlsa = + = + = += = = = = = = =z y x z y x z y xj i j i j ij i j i j iq p y P x P y x P z P ) ( ) ( ) , ( ) ( q q , , Diszkrt valsznsgi vltozk vrhat rtke: Azt mondjuk, hogy a pk=P( =xk) k=1,2, eloszlsv.v-nak ltezik vrhat rtke, ha a kk kx psor abszolt konvergens, azaz cesetn 0 ) | (| lim = > c nPJells: P-lim =n Majdnem biztos konvergencia: Azt mondjuk, hogy v.v.-k egy1, 2, sorozata majdnem biztosan konvergl (1 valsznsggel) egyvalsznsgi vltozhoz, ha 1 )}) ( ) ( lim | ({ = = O e e e enPRviden:1 ) (lim1= = P A majdnem biztos konvergencibl kvetkezik a sztochasztikus, de ez fordtva nem igaz! 13.Nagy szmok trvnyei, kzponti hatreloszls ttel. Nagy szmok trvnyei: Nagy szmok gyenge trvnye: Legyenek12, pronknt fggetlen, azonos eloszls v.v.-k. Tegyk fel, hogy