Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanhal.elte.hu/~pallag/valszam/Eloadas_05.pdf · Eloszlások jellemzése Momentumok Momentumok Generátorfüggvény Perkoláció

Valószínuségszámítás és statisztika afizikában

2019. március 12.

Eloszlásokjellemzése

MomentumokMomentumok

Generátorfüggvény

Perkoláció véletlenhálózatban

Karakterisztikusfüggvény

Medián éskvantilisMedián

Kvantilis

Módusz

MOMENTUMOK, GENERÁTORFÜGGVÉNY, KARAKTERISZTIKUSFÜGGVÉNY

¼







Kvantilis

Módusz

Momentumok általános definíciója

Momentumok

Definíció: A X valószínuségi változó k-adik momentuma:

⟨Xk⟩ = ⟨xk

⟩ =

∞

∫−∞

xkρX(x)dx.

A X valószínuségi változó k-adik centrális momentuma:

µk ∶= ⟨(X − ⟨X⟩)k⟩ = ⟨(x − ⟨x⟩)k

⟩ =

∞

∫−∞

(x − ⟨x⟩)kρX(x)dx.

• Mi X elso momentuma?

• Mi X második centrális momentuma?

¼







Kvantilis

Módusz


Momentumok


⟨Xk⟩ = ⟨xk

⟩ =

∞

∫−∞

xkρX(x)dx.


µk ∶= ⟨(X − ⟨X⟩)k⟩ = ⟨(x − ⟨x⟩)k

⟩ =

∞

∫−∞


• Mi X elso momentuma?


¼







Kvantilis

Módusz


Momentumok


⟨Xk⟩ = ⟨xk

⟩ =

∞

∫−∞

xkρX(x)dx.


µk ∶= ⟨(X − ⟨X⟩)k⟩ = ⟨(x − ⟨x⟩)k

⟩ =

∞

∫−∞


• Mi X elso momentuma? A várható érték!


¼







Kvantilis

Módusz


Momentumok


⟨Xk⟩ = ⟨xk

⟩ =

∞

∫−∞

xkρX(x)dx.


µk ∶= ⟨(X − ⟨X⟩)k⟩ = ⟨(x − ⟨x⟩)k

⟩ =

∞

∫−∞




¼







Kvantilis

Módusz


Momentumok


⟨Xk⟩ = ⟨xk

⟩ =

∞

∫−∞

xkρX(x)dx.


µk ∶= ⟨(X − ⟨X⟩)k⟩ = ⟨(x − ⟨x⟩)k

⟩ =

∞

∫−∞



• Mi X második centrális momentuma? A szórásnégyzet!

¼







Kvantilis

Módusz



Definíció: Ha X diszkrét valószínuségi változó, mely nem negatívegész számokat vehet fel a

P(X = 0) = p0, P(X = 1) = p1, ⋯ P(X = k) = pk, ⋯

eloszlással, akkor a hozzá tartozó generátorfüggvény:

GX(z) ∶=∞∑k=0

pkzk,

azaz formálisan GX(z) = ⟨zX⟩.

¼







Kvantilis

Módusz

Generátorfüggvény és momentumok

• Ha G(z) ∶=∞∑k=0

pkzk, akkor

• Mi lesz G(1)?• Hogyan lehet pk-t a G(z) segítségével kifejezni?• Hogyan lehet a ⟨X⟩ = ⟨k⟩ várható értéket G(z) segítségével

kifejezni?

¼







Kvantilis

Módusz


• Ha G(z) ∶=∞∑k=0

pkzk, akkor

• Mi lesz G(1)?• Hogyan lehet pk-t a G(z) segítségével kifejezni?• Hogyan lehet a ⟨X⟩ = ⟨k⟩ várható értéket G(z) segítségével

kifejezni?Generátorfüggvény és momentumok

G(1) = 1,

pk =1k!

dkG(z)dzk

∣

z=0

,

⟨X⟩ = ⟨k⟩ =∞∑k=0

kpk =dG(z)

dz∣z=1

= G′(1),

⟨Xn⟩ = ⟨kn

⟩ =∞∑k=0

knpk = [z∂

∂z]

n

G(z)∣z=1

¼







Kvantilis

Módusz



A várható érték és szórás kifejezése a generátorfüggvény segítségével:

⟨X⟩ = ⟨k⟩ =∞∑k=0

kpk =dG(z)

dz∣z=1

= G′(1),

σ2(X) = ⟨X2

⟩ − ⟨X⟩2= [z

∂

∂z]

2

G(z)∣z=1

−G′(1)2

=

[z∂

∂z] zG′

(1)∣z=1

−G′(1)2

= G′′(1) +G′

(1) −G′(1)2.

¼







Kvantilis

Módusz


eloszlás a� � a

momentumok ⇔ generátorfüggvény

Az összes momentum ismerete egyenlo az eloszlás ismeretével!

¼







Kvantilis

Módusz

GenerátorfüggvényPéldák

Példa

Korábban láttuk, hogy a binomiális eloszlás számos fontos problémánálfelbukkan, (pl. valszám vizsgát sikeresen lerakó hallgatók száma,véletlen gráf fokszámeloszlása, stb.).→ Mi lesz a binomiális eloszlás generátorfüggvénye?

Bernoulli problémája Binomiális eloszlás I. Várható érték Szórás Binomiális eloszlás II. ¼







Kvantilis

Módusz


Példa

Korábban láttuk, hogy a binomiális eloszlás számos fontos problémánálfelbukkan, (pl. valszám vizsgát sikeresen lerakó hallgatók száma,véletlen gráf fokszámeloszlása, stb.).→ Mi lesz a binomiális eloszlás generátorfüggvénye?

P(X = k) = pk = (Nk)pk

(1 − p)N−k,

GX(z) =N

∑k=0

(Nk)pk

(1 − p)N−kzk=

N

∑k=0

(Nk)(pz)k

(1 − p)N−k=

(pz + 1 − p)N= (1 − p(1 − z))N .

Bernoulli problémája Binomiális eloszlás I. Várható érték Szórás Binomiális eloszlás II. ¼







Kvantilis

Módusz


Példa

Korábban láttuk, hogy a binomális eloszlást nagy N-ek eseténPoisson–eloszlással szoktuk közelíteni.→ Mi lesz a Poisson–eloszlás generátorfüggvénye?

Poisson–eloszlás I. Poisson–eloszlás II. ¼







Kvantilis

Módusz


Példa

Korábban láttuk, hogy a binomális eloszlást nagy N-ek eseténPoisson–eloszlással szoktuk közelíteni.→ Mi lesz a Poisson–eloszlás generátorfüggvénye?

P(X = k) = pk =λke−λ

k!

GX(z) =∞∑k=0

λke−λ

k!zk=

∞∑k=0

(λz)ke−λ

k!= e−λeλz

∞∑k=0

(λz)ke−λz

k!´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

1

= eλ(z−1).

Poisson–eloszlás I. Poisson–eloszlás II. ¼







Kvantilis

Módusz

Összeg generátorfüggvénye

• Ha X és Y független, akkor miként lehet a Z = X + Y változógenerátorfüggvényét kifejezni a X és Y generátorfüggvényeivel?

Összeg eloszlása ¼







Kvantilis

Módusz



p(Z)k =∑i

p(X)i p(Y)k−i ,

→ GZ(z) =∑k

p(Z)k zk=∑

k∑

ip(X)i p(Y)k−i zk

=∑k∑

ip(X)i p(Y)k−i zizk−i

=

GZ(z) =∑i

p(X)i zi∑

jp(Y)j zj

= GX(z)GY(z).








Kvantilis

Módusz



p(Z)k =∑i

p(X)i p(Y)k−i ,

→ GZ(z) =∑k

p(Z)k zk=∑

k∑

ip(X)i p(Y)k−i zk

=∑k∑

ip(X)i p(Y)k−i zizk−i

=

GZ(z) =∑i

p(X)i zi∑

jp(Y)j zj

= GX(z)GY(z).


Ha X1,X2, ...,Xn független valószínuségi változók és Y = X1 + X2 +⋯ + Xn,akkor Y generátorfüggvénye:

GY(z) = GX1+X2+⋯+Xn(z) = ⟨zX1+X2+⋯+Xn⟩ = ⟨zX1 zX2⋯zXn⟩ =

⟨zX1⟩ ⟨zX2⟩⋯ ⟨zXn⟩ = GX1(z)GX2(z)⋯GXn(z).








Kvantilis

Módusz

Több dimenziós eset

Generátorfüggvény több dimenzióban

Definíció: Ha a X valószínuségi változó komponensei nem negatívegész számokat vehetnek fel, a

P(X = k) = P(X1 = k1,X2 = k2, ...,Xn = kn) = pk1,k2,...,kn

eloszlással, akkor a hozzá tartozó generátorfüggvény:

GX(z) = GX(z1, z2, ..., zn) ∶=∞∑k1=0

∞∑k2=0

⋯∞∑kn=0

pk1,k2,...,kn zk11 zk2

2 ⋯zknn .

¼







Kvantilis

Módusz

Több dimenziós esetMomentumok

Momentumok és G(z)

Az i-edik komponens várható értéke:

⟨Xi⟩ =∞∑k1=0

∞∑k2=0

⋯∞∑kn=0

kipk1,k2,...,kn =∂G(z)∂zi

∣z=1.

A magasabb momentumok és a szórás:

⟨(Xi)r⟩ =

∞∑k1=0

∞∑k2=0

⋯∞∑kn=0

kri pk1,k2,...,kn = [zi

∂

∂zi]

r

G(z)∣z=1,

σ2(Xi) = ⟨X2

i ⟩ − ⟨Xi⟩2= [zi

∂

∂zi]

2

G(z)∣z=1

− [∂G(z)∂zi

∣z=1

]

2

=

∂2G(z)∂z2

i∣

z=1

+∂G(z)∂zi

∣z=1

− [∂G(z)∂zi

∣z=1

]

2

¼







Kvantilis

Módusz

Perkoláció véletlen hálózatban

Ez az alfejezet semmilyen formában nem kerül számonkérésre...

De egy érdekes példát mutat generátorfüggvények alkalmazására.

¼







Kvantilis

Módusz


Ez az alfejezet semmilyen formában nem kerül számonkérésre...

De egy érdekes példát mutat generátorfüggvények alkalmazására.

¼







Kvantilis

Módusz



• Összefüggo komponens egy hálózatban: olyan rész hálózat,melyben a kapcsolatokon (éleken) keresztül eljuthatunk akármelyikcsomópontból (csúcsból) akármelyik másik csomópontba.

• Óriás komponens: aminek s1 mérete a teljes rendszerméret, Nmellett sem elhanyagolható, s1

N > 0 akkor is, ha N →∞.

• Óriás komponens jelenléte vagy hiánya drasztikusan megváltoztatjaa hálózat viselkedését.

• Mikor jelenik meg/tunik el az óriás komponens?↕

• PERKOLÁCIÓ

¼







Kvantilis

Módusz








• PERKOLÁCIÓ

¼







Kvantilis

Módusz








• PERKOLÁCIÓ

¼







Kvantilis

Módusz








• PERKOLÁCIÓ

¼







Kvantilis

Módusz

Perkoláció szabályos rácson

Perkoláció szabályos rácson

• egy rácspont (vagy él) betöltött p valószínuséggel,

• a kritikus pc-nél megjelenik a perkoláló klaszter.

s1

NS=

(Barabási A.-L. fóliáiról) ¼







Kvantilis

Módusz


Pl. a véletlen csúcs (vagy él) meghibásodások felfoghatók úgy, mint egy„inverz” perkolációs folyamat.

(Barabási A.-L. fóliáiról) ¼







Kvantilis

Módusz

Perkoláció véletlen hálózatbanCélkituzés

Hol van a perkoláció kritikus pontja egy véletlen hálózatban?

Feltevéseink:

• ismerjük a fokszámeloszlást:p(k) = P( egy v.v. csúcsnak k kapcsolata van ),

• a kritikus pontot a „széttöredezett” fázis felol közelítjük:a hálózat még elég ritka és elég véletlen ahhoz, hogy lokálisanfa–szeru legyen.

¼







Kvantilis

Módusz

Perkoláció és generátorfüggvények

Bevezetünk néhány diszkrét eloszlást:

S=k

m

S=kΣ

H (k)m

S=k

H(k)

I(k)

p(k) k • p(k) = P(v.v csúcsnak k élevan ). (Ezt hívjákfokszámeloszlásnak).

• I(k) = P(v.v. csúcs egy kméretu komponensben van).

• H(k) = P(v.v. él egyik végénegy k méretu komponensvan).

• Hm(k) = P(v.v. m darab élekegyik végein találhatókomponensek összmérete k).

¼







Kvantilis

Módusz


Alapötlet:

→ I(k) = p(0)H0(k − 1) + p(1)H1(k − 1) + p(2)H2(k − 1) + ...

+p(m)Hm(k − 1) + ... =∞∑m=0

p(m)Hm(k − 1)

Vesszük mindkét oldal generátorfüggvényét:

GI(x) =∞∑k=0

∞∑m=0

p(m)Hm(k − 1)xk =

=∞∑k=0

∞∑m=0

p(m) 1(k − 1)!

dk−1

dxk−1GH,m(x)∣

x=0xk

¼







Kvantilis

Módusz


Alapötlet:

→ I(k) = p(0)H0(k − 1) + p(1)H1(k − 1) + p(2)H2(k − 1) + ...

+p(m)Hm(k − 1) + ... =∞∑m=0

p(m)Hm(k − 1)


GI(x) =∞∑k=0

∞∑m=0

p(m)Hm(k − 1)xk =

=∞∑k=0

∞∑m=0

p(m) 1(k − 1)!

dk−1

dxk−1GH,m(x)∣

x=0xk

¼







Kvantilis

Módusz


Alapötlet:

→ I(k) = p(0)H0(k − 1) + p(1)H1(k − 1) + p(2)H2(k − 1) + ...

+p(m)Hm(k − 1) + ... =∞∑m=0

p(m)Hm(k − 1)


GI(x) =∞∑k=0

∞∑m=0

p(m)Hm(k − 1)xk =

=∞∑k=0

∞∑m=0

p(m) 1(k − 1)!

dk−1

dxk−1GH,m(x)∣

x=0xk

¼







Kvantilis

Módusz


• A GH,m(x) kifejezheto GH(x)-el:

S=k

m

S=kΣ

H (k)mH(k)

⇒ GH,m(x) = [GH(x)]m

→ GI(x) =∞∑k=0

∞∑m=0

p(m) 1(k − 1)!

dk−1

dxk−1GH,m(x)∣

x=0xk

∞∑k=0

∞∑m=0

p(m) 1(k − 1)!

dk−1

dxk−1[GH(x)]m∣

x=0xk

=∞∑m=0

p(m) [GH(x)]m x = xG(GH(x)),

ahol G(x) a p(k) fokszámeloszlás generátorfüggvénye.

¼







Kvantilis

Módusz


• A GH,m(x) kifejezheto GH(x)-el:

S=k

m

S=kΣ

H (k)mH(k)

⇒ GH,m(x) = [GH(x)]m

→ GI(x) =∞∑k=0

∞∑m=0

p(m) 1(k − 1)!

dk−1

dxk−1GH,m(x)∣

x=0xk

∞∑k=0

∞∑m=0

p(m) 1(k − 1)!

dk−1

dxk−1[GH(x)]m∣

x=0xk

=∞∑m=0

p(m) [GH(x)]m x = xG(GH(x)),

ahol G(x) a p(k) fokszámeloszlás generátorfüggvénye.

¼







Kvantilis

Módusz


• I(k) = P(v.v csúcs egy k méretu komponensben van).

→ Egy v.v csúcs komponensének várható mérete:

⟨S⟩ = G′I(1) = [xG(GH(x)]′∣x=1 = G(GI(1)) +G′(1)G′

H(1) == 1 + ⟨k⟩G′

H(1),

ahol G′(1) = ⟨k⟩ a fokszám várható értéke.

• Hogyan lehetne G′H(1)-et meghatározni?

¼







Kvantilis

Módusz




⟨S⟩ = G′I(1) = [xG(GH(x)]′∣x=1 = G(GI(1)) +G′(1)G′

H(1) == 1 + ⟨k⟩G′

H(1),



¼







Kvantilis

Módusz




⟨S⟩ = G′I(1) = [xG(GH(x)]′∣x=1 = G(GI(1)) +G′(1)G′

H(1) == 1 + ⟨k⟩G′

H(1),



¼







Kvantilis

Módusz


• G′H(1) meghatározásához egy újabb eloszlást kell bevezetnünk:

} k

q(k)

q(k) = P(v.v él egyik végén k továbbiélekre lehet tovább menni).

• Ötlet:

→ H(k) = q(0)H0(k − 1) + q(1)H1(k − 1) + q(2)H2(k − 1) + ...

+q(m)Hm(k − 1) + ... =∞∑m=0

q(m)Hm(k − 1)

Megint vesszük mindkét oldal generátorfüggvényét.

¼







Kvantilis

Módusz



} k

q(k)


• Ötlet:

→ H(k) = q(0)H0(k − 1) + q(1)H1(k − 1) + q(2)H2(k − 1) + ...

+q(m)Hm(k − 1) + ... =∞∑m=0

q(m)Hm(k − 1)


¼







Kvantilis

Módusz



} k

q(k)


• Ötlet:

→ H(k) = q(0)H0(k − 1) + q(1)H1(k − 1) + q(2)H2(k − 1) + ...

+q(m)Hm(k − 1) + ... =∞∑m=0

q(m)Hm(k − 1)


¼







Kvantilis

Módusz



} k

q(k)


• Ötlet:

→ H(k) = q(0)H0(k − 1) + q(1)H1(k − 1) + q(2)H2(k − 1) + ...

+q(m)Hm(k − 1) + ... =∞∑m=0

q(m)Hm(k − 1)


¼







Kvantilis

Módusz


GH(x) =∞∑k=0

∞∑m=0

q(m)Hm(k − 1)xk =

=∞∑k=0

∞∑m=0

q(m) 1(k − 1)!

dk−1

dxk−1GH,m(x)∣

x=0xk

=∞∑k=0

∞∑m=0

q(m) 1(k − 1)!

dk−1

dxk−1[GH(x)]m∣

x=0xk

=∞∑m=0

q(m) [GH(x)]m x = xGq(GH(x))

G′H(1) = Gq(GH(1)) +G′

q(1)G′H(1) = 1 +G′

q(1)G′H(1)

→ G′H(1) = 1

1 −G′q(1)

¼







Kvantilis

Módusz


• Visszahelyettesítve:

⟨S⟩ = 1 + ⟨k⟩G′H(1) = 1 + ⟨k⟩

1 −G′q(1)

→ A kritikus pont:G′

q(1) = 1

• A Gq(x)-t ki tudjuk fejezni a fokszámeloszlás segítségével:q(k) = P(v.v él egyik végén k + 1 fokszámú csúcs),

P(él végén k fokszámú csúcs) = kNk

∑k′ k′Nk′= kp(k)∑k′ k′p(k′)

=

= kp(k)⟨k⟩

→ q(k) = k + 1⟨k⟩

p(k + 1)

Gq(x) = 1⟨k⟩

∞∑k=0

(k + 1)p(k + 1)xk = 1⟨k⟩

∞∑l=1

lp(l)xl−1 = G′(x)⟨k⟩

¼







Kvantilis

Módusz



⟨S⟩ = 1 + ⟨k⟩G′H(1) = 1 + ⟨k⟩

1 −G′q(1)


q(1) = 1




=

= kp(k)⟨k⟩

→ q(k) = k + 1⟨k⟩

p(k + 1)

Gq(x) = 1⟨k⟩

∞∑k=0

(k + 1)p(k + 1)xk = 1⟨k⟩

∞∑l=1


¼







Kvantilis

Módusz



⟨S⟩ = 1 + ⟨k⟩G′H(1) = 1 + ⟨k⟩

1 −G′q(1)


q(1) = 1




=

= kp(k)⟨k⟩

→ q(k) = k + 1⟨k⟩

p(k + 1)

Gq(x) = 1⟨k⟩

∞∑k=0

(k + 1)p(k + 1)xk = 1⟨k⟩

∞∑l=1


¼







Kvantilis

Módusz



⟨S⟩ = 1 + ⟨k⟩G′H(1) = 1 + ⟨k⟩

1 −G′q(1)


q(1) = 1




=

= kp(k)⟨k⟩

→ q(k) = k + 1⟨k⟩

p(k + 1)

Gq(x) = 1⟨k⟩

∞∑k=0

(k + 1)p(k + 1)xk = 1⟨k⟩

∞∑l=1


¼







Kvantilis

Módusz


• A G′q(1) a másodszomszédok számának várható értékével áll

nagyon szoros kapcsolatban.

• Bevezetjük:

mq (k)

m

k

qm(k) = P(m darab v.v. élek egyikvégein összesen k további élekrelehet továbbmenni).

n2(k) = P(egy v.v. csúcs másodszomszédainak száma k).

→ n2(k) = p(0)q0(k) + p(1)q1(k) + p(2)q2(k) + ...

+p(m)qm(k) + ... =∞∑m=0

p(m)qm(k)

(Megint vesszük mindkét oldal generátorfüggvényét).

¼







Kvantilis

Módusz




• Bevezetjük:

mq (k)

k

m



→ n2(k) = p(0)q0(k) + p(1)q1(k) + p(2)q2(k) + ...

+p(m)qm(k) + ... =∞∑m=0

p(m)qm(k)


¼







Kvantilis

Módusz




• Bevezetjük:

mq (k)

k

m



→ n2(k) = p(0)q0(k) + p(1)q1(k) + p(2)q2(k) + ...

+p(m)qm(k) + ... =∞∑m=0

p(m)qm(k)


¼







Kvantilis

Módusz




• Bevezetjük:

mq (k)

k

m



→ n2(k) = p(0)q0(k) + p(1)q1(k) + p(2)q2(k) + ...

+p(m)qm(k) + ... =∞∑m=0

p(m)qm(k)


¼







Kvantilis

Módusz


Gn,2(x) =∞∑k=0

∞∑m=0

p(m)qm(k)xk =

=∞∑k=0

∞∑m=0

p(m) 1k!

dk

dxkGm,q(x)∣

x=0xk =

=∞∑k=0

∞∑m=0

p(m) 1k!

dk

dxk[Gq(x)]m∣

x=0xk =

=∞∑m=0

p(m) [Gq(x)]m = G(Gq(x))

z2 = ⟨n2⟩ = G′n,2(1) = G′(1)G′

q(1) = ⟨k⟩G′q(1)

→ G′q(1) = z2

⟨k⟩= z2

z1

¼







Kvantilis

Módusz


A perkoláció kritikus pontja

• Ez alapján a komponensméret várható értéke

⟨S⟩ = 1 + ⟨k⟩1 −G′

q(1)= 1 + ⟨k⟩

1 − z2/ ⟨k⟩=

= 1 + ⟨k⟩2

⟨k⟩ − z2= 1 +

z21

z1 − z2

• Ez a következoket jelenti:

z1 > z2 → pici, izolált klaszterek

z1 = z2 → KRITIKUS PONT!

z1 < z2 → óriás komponens

¼







Kvantilis

Módusz


A perkoláció kritikus pontja

• Ez alapján a komponensméret várható értéke

⟨S⟩ = 1 + ⟨k⟩1 −G′

q(1)= 1 + ⟨k⟩

1 − z2/ ⟨k⟩=

= 1 + ⟨k⟩2

⟨k⟩ − z2= 1 +

z21

z1 − z2

• Ez a következoket jelenti:

z1 > z2 → pici, izolált klaszterek

z1 = z2 → KRITIKUS PONT!

z1 < z2 → óriás komponens

¼







Kvantilis

Módusz


Perkoláció az Erdos–Rényi–modellben

• Mit kapunk pl. Erdos–Rényi–féle véletlen gráfra?

• A fokszámeloszlás binomiális, ami jól közelíthetoPoisson-eloszlással:

p(k) = (Nk)pk

(1 − p)N−k≃

⟨k⟩k

k!e−⟨k⟩,

→ G(x) = e⟨k⟩(z−1)

Gq(x) =G′

(x)⟨k⟩

= e⟨k⟩(z−1)= G(x),

azaz a kritikus pontra, azt kapjuk, hogy

G′q(1) = G′

(1) = ⟨k⟩ = 1.

(Ez egy híres eredmény, ami teljes precizitással, az általunkhasznált közelíto feltevések nélkül is bebizonyítható).

¼







Kvantilis

Módusz





p(k) = (Nk)pk

(1 − p)N−k≃

⟨k⟩k

k!e−⟨k⟩,

→ G(x) = e⟨k⟩(z−1)

Gq(x) =G′

(x)⟨k⟩

= e⟨k⟩(z−1)= G(x),


G′q(1) = G′

(1) = ⟨k⟩ = 1.


¼







Kvantilis

Módusz





p(k) = (Nk)pk

(1 − p)N−k≃

⟨k⟩k

k!e−⟨k⟩,

→ G(x) = e⟨k⟩(z−1)

Gq(x) =G′

(x)⟨k⟩

= e⟨k⟩(z−1)= G(x),


G′q(1) = G′

(1) = ⟨k⟩ = 1.


¼







Kvantilis

Módusz


¼







Kvantilis

Módusz

Karakterisztikus függvény

Hogyan lehetne általánosítani a generátorfüggvényt folytonoseloszlásokra?

¼







Kvantilis

Módusz



Definíció: egy X folytonos valószínuségi változó karakterisztikusfüggvénye:

ϕ(t) ∶= ⟨eitX⟩ = ⟨eitx

⟩ =

∞

∫−∞

eitxρ(x)dx.

A generátorfüggvény általánosításának felel meg:Ha X diszkrét és nem negatív egészeken fut végig, akkor

ρ(x) =∞∑k=0

P(X = k)δ(x − k) =∞∑k=0

pkδ(x − k),

→ ϕ(t) =

∞

∫−∞

eitx∞∑k=0

pkδ(x − k)dx =∞∑k=0

pkeitk= G(z = eit

).

¼







Kvantilis

Módusz



Definíció: egy X folytonos valószínuségi változó karakterisztikusfüggvénye:

ϕ(t) ∶= ⟨eitX⟩ = ⟨eitx

⟩ =

∞

∫−∞

eitxρ(x)dx.

A generátorfüggvény általánosításának felel meg:Ha X diszkrét és nem negatív egészeken fut végig, akkor

ρ(x) =∞∑k=0

P(X = k)δ(x − k) =∞∑k=0

pkδ(x − k),

→ ϕ(t) =

∞

∫−∞

eitx∞∑k=0

pkδ(x − k)dx =∞∑k=0

pkeitk= G(z = eit

).

¼







Kvantilis

Módusz

Karakterisztikus függvény és momentumok


A ρ(x) suruségfüggvény és az összes momentum meghatározható akarakterisztikus függvény segítségével:

ρ(x) =1

2π

∞

∫−∞

e−itxϕ(t)dt,

⟨Xn⟩ = ⟨xn

⟩ =1in

∂nϕ

∂tn∣t=0

= [1i∂

∂t]

n

ϕ(t)∣t=0.

A ρ(x) egyenleténél kihasználtuk, hogy

12π

∞

∫−∞

e−itxϕ(t)dt =1

2π

∞

∫−∞

e−itx∞

∫−∞

eitx′ρ(x′)dx′dt =

∞

∫−∞

12π

∞

∫−∞

eit(x′−x)dt

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶δ(x′−x)

ρ(x′)dx′ = ρ(x).

¼







Kvantilis

Módusz


eloszlás a� � a

momentumok ⇔ karakterisztikus függvény

Az összes momentum ismerete egyenlo az eloszlás ismeretével!

¼







Kvantilis

Módusz

Összeg karakterisztikus függvénye

• Ha X és Y függetlenek, akkor mi lesz a Z = X + Y változókarakterisztikus függvénye?








Kvantilis

Módusz


• Ha X és Y függetlenek, akkor mi lesz a Z = X + Y változókarakterisztikus függvénye?

ρZ(x) =∞

∫−∞

ρX(x − y)ρY(y)dy

→ ϕZ(t) =∞

∫−∞

dx∞

∫−∞

dyρX(x − y)ρY(y)eitx=

ϕZ(t) =∞

∫−∞

dx∞

∫−∞

dyρX(x − y)ρY(y)eit(x−y)eity=

ϕZ(t) =∞

∫−∞

dzρX(z)eitz∞

∫−∞

dyρY(y)eity= ϕX(t)ϕY(t).








Kvantilis

Módusz



Összeg karakterisztikus függvénye a karakterisztikus függvényekszorzata:Ha X1,X2, ...,Xn független valószínuségi változók és Y = X1 + X2 +⋯ + Xn,akkor Y karakterisztikus függvénye:

ϕY(t) = ZX1+X2+⋯+Xn(t) = ⟨eit(X1+X2+⋯+Xn)⟩ = ⟨eitX1 eitX2⋯eitXn⟩ =

⟨eitX1⟩ ⟨eitX2⟩⋯ ⟨eitXn⟩ = ϕX1(t)ϕX2(t)⋯ϕXn(t).

χ2 -eloszlás ¼







Kvantilis

Módusz



Összeg karakterisztikus függvénye a karakterisztikus függvényekszorzata:Ha X1,X2, ...,Xn független valószínuségi változók és Y = X1 + X2 +⋯ + Xn,akkor Y karakterisztikus függvénye:

ϕY(t) = ZX1+X2+⋯+Xn(t) = ⟨eit(X1+X2+⋯+Xn)⟩ = ⟨eitX1 eitX2⋯eitXn⟩ =

⟨eitX1⟩ ⟨eitX2⟩⋯ ⟨eitXn⟩ = ϕX1(t)ϕX2(t)⋯ϕXn(t).

χ2 -eloszlás ¼







Kvantilis

Módusz

MEDIÁN ÉS KVANTILIS

¼







Kvantilis

Módusz

Hol van egy eloszlás közepe?

• Általában a várható értéket szoktuk az eloszlás „közepének”gondolni...

• Ez a ⟨x⟩-re szimmetrikus ρ(x) esetén teljesen OK, pl. normáliseloszlás:

xρ( )

x

σσµ

µ =2, =1

=7, =2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

−2 0 2 4 6 8 10 12 14

¼







Kvantilis

Módusz


• Elofordulnak azonban olyan eloszlások is, ahol ρ(x) erosenaszimmetrikus.

• Pl. Tegyük fel, hogy egy eloadó 200 csokit oszt ki 50 hallgató köztkülönbözo módokon:

• mindenkinek 4-et,• teljesen véletlenszeruen, (minden egyes csokinál

véletlenszeruen kiválaszt egy hallgatót, függetlenül az elozoválasztásoktól),

• a ZH pontszám alapján elért helyezés szerint-az elso 5 hallgató 20 csokit kap fejenként,-a 6. helyezéstol a 10.-ig 10-et fejenként,-a 11. helyezéstol a 20.-ig 4-et fejenként,-a 21. helyezéstol a 31.-ig 1-et fejenként.

• A 4 legstréberebb hallgatónak ad 50-50 csokit

(Az egy hallgatónak adott csokik számának várható értéke mindenesetben 200/50=4).

¼







Kvantilis

Módusz


• Az elso két esetben az eloszlás (közel) szimmetrikus és a várhatóérték tényleg az eloszlás „közepén van”:

xρ( )

x

<x>

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50

¼







Kvantilis

Módusz


• A másik két esetben viszont egy „tipikus” hallgató kevesebb csokivalrendelkezik mint az átlag:

xρ( )

x

<x>

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50

¼







Kvantilis

Módusz

Medián

Az erosen aszimmetrikus eloszlások esetén ahol nagy kiugró értékekfordulnak elo, a várható érték helyett sokszor szemléletesebb az eloszlásmediánja.

Medián

Definíció: egy eloszlás mediánja az az m érték, ahol azeloszlásfüggvény F(x = m) = 1

2 .Szemléletes jelentése:

- az eloszlás közepén van abból a szempontból, hogy annakvalószínusége, hogy X < m illetve, hogy X > m egyaránt 1

2 .

- ha elég nagy számú mintát veszünk az eloszlásból, akkor nagyjábólugyanannyi lesz alatta mint felette.

¼







Kvantilis

Módusz

Medián

Elofordulhatnak olyan esetek, amikor pontosítani kell a definíción:

• Ha F(x) = 12 teljesül egy egész [x1, x2] szakaszon keresztül, akkor

m = (x1 + x2)/2 a szakasz közepén van.

F(x)

m x

1

0.5

¼







Kvantilis

Módusz

Medián

Elofordulhatnak olyan esetek, amikor pontosítani kell a definíción:

• Ha F(x) „átugorja” az 12 értéket, azaz F(x) = 1

2 -nek nincsmegoldása, akkor van egy x0, melyre P(X < x0) <

12 és

P(X > x0) <12 . Ilyenkor m = x0.

F(x)

m x

1

0.5

¼







Kvantilis

Módusz

MediánPéldák

Példa

A csokoládé osztogatós példánál a medián:

xρ( )

x

<x>

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50

¼







Kvantilis

Módusz

MediánPéldák

Példa

Mi az exponenciális eloszlás mediánja?

F(x) = 1 − e−λx, ρ(x) = λe−λx

¼







Kvantilis

Módusz

MediánPéldák

Példa

Mi az exponenciális eloszlás mediánja?

F(x) = 1 − e−λx, ρ(x) = λe−λx

Suruségfüggvény alapján:

m

∫

0

ρ(x)dx =∞

∫m

ρ(x)dx =m

∫

0

λe−λxdx =∞

∫m

λe−λxdx =12

→ [−e−λx]

m

0= [−e−λx

]∞m= 1 − e−λm

= e−λm=

12

→ m =1λln 2

Eloszlásfüggvény alapján:

F(x = m) = 1 − e−λm=

12

→ e−λm=

12

→ m =1λln 2

¼







Kvantilis

Módusz

MediánPéldák

Példa

A lognormális eloszlásnál:

xρ( )

x

m

<x>

<x>m

µ=0, σ=0.3

µ=0, σ=1.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 1 2 3 4 5

¼







Kvantilis

Módusz

Medián és várható érték

• Ha a suruségfüggvény szimmetrikus ⟨X⟩-re, akkor m = ⟨X⟩.Miért?

¼







Kvantilis

Módusz

Medián és várható érték

• Ha a suruségfüggvény szimmetrikus ⟨X⟩-re, akkor m = ⟨X⟩.Ilyenkor a szimmetria miatt

⟨x⟩

∫−∞

ρ(x)dx =∞

∫

⟨x⟩ρ(x)dx =

12.

¼







Kvantilis

Módusz

Kvantilis

A medián definícióját általánosíthatjuk úgy, hogy az eloszlásfüggvény,F(x) értékkészletét két nem egyforma nagyságú tartományra osztjukszét:

Kvantilis

Definíció: egy eloszlás p-ed rendu kvantilise az az Qp érték, melyreF(x = Qp) = p.Fontos kvantilisek:

- a Q 12

a medián,

- a Q 14

az alsó kvartilis, a Q 34

a felso kvartilis.

A Q 34−Q 1

4az interkvartilis terjedelem ami pl. a szóráshoz hasonlóan

azt jellemzi, hogy milyen széles egy eloszlás.

¼







Kvantilis

Módusz

Kvantilis


Kvantilis


- a Q 12

a medián,

- a Q 14


a felso kvartilis.

A Q 34−Q 1



¼







Kvantilis

Módusz

Kvantilis


Kvantilis


- a Q 12

a medián,

- a Q 14


a felso kvartilis.

A Q 34−Q 1



¼







Kvantilis

Módusz

Kvantilis


Kvantilis


- a Q 12

a medián,

- a Q 14


a felso kvartilis.

A Q 34−Q 1



¼







Kvantilis

Módusz

Módusz

Módusz

Definíció: az eloszlás egy módusza a suruségfüggvény, ρ(x), egylokális maximumhelyének felel meg.

• Unimodális eloszlás: ρ(x)-nek csak egy maximumhelye van. (Pl.normális-eloszlás).

• Bimodális, trimodális, stb. eloszlás: ρ(x)-nek két, három, stb. lokálismaximumhelye van.

¼







Kvantilis

Módusz

Módusz

Módusz

Definíció: az eloszlás egy módusza a suruségfüggvény, ρ(x), egylokális maximumhelyének felel meg.

• Unimodális eloszlás: ρ(x)-nek csak egy maximumhelye van. (Pl.normális-eloszlás).

• Bimodális, trimodális, stb. eloszlás: ρ(x)-nek két, három, stb. lokálismaximumhelye van.

¼

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

Korrelációsegyüttható

KORRELÁCIÓ

¼

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia


KorrelációBevezetés

• Mit jelenthet két valószínuségi változó közti korreláció?

• Pl. X mint a valszám ZH-ra készülés intenzitása, Y meg a kapottpontszám.

¼

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia





¼

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia





• Ha a ketto független, akkor nincs korreláció és a tanulásmennyisége semmilyen hatással nincs a kapott pontszámra.

• Ha nem függetlenek és van némi korreláció akkor több pontraszámítunk sok tanulás esetén, kevesebbre kevés tanulás esetén,legalábbis az átlagos esethez viszonyítva.

→ Jó ötletnek tunik a (X − ⟨X⟩)(Y − ⟨Y⟩) szorzatot vizsgálni, hiszenha X és Y egyforma irányban térnek el az átlaghoz képest, akkorez a szorzat mindig pozitív lesz.

¼

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia








¼

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia








¼

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia


Kovariancia

Korreláció és kovariancia

Definíció: A X és Y valószínuségi változók kovarianciája:

Cov(X,Y) ∶= ⟨(X − ⟨X⟩)(Y − ⟨Y⟩)⟩ =

∬ (x − ⟨x⟩) (y − ⟨y⟩)ρ(x, y)dxdy,

ahol ρ(x, y) a X és Y együttes suruségfüggvénye.Alternatív ekvivalens formulája:

Cov(X,Y) = ⟨(X − ⟨X⟩)(Y − ⟨Y⟩)⟩ = ⟨XY − X ⟨Y⟩ − Y ⟨X⟩ + ⟨X⟩ ⟨Y⟩⟩ =

⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩ − ⟨Y⟩ ⟨X⟩ + ⟨X⟩ ⟨Y⟩ = ⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩ .

Tulajdonságai:

• Ha X és Y független, akkor ⟨XY⟩ = ⟨X⟩ ⟨Y⟩, emiatt Cov(X,Y) = 0.

• A X saját magával vett kovarianciája a variancia, más néven aszórásnégyzet: Cov(X,X) =Var(X) = σ2

(X).

Szorzat várható értéke ¼

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia


Kovariancia



Cov(X,Y) ∶= ⟨(X − ⟨X⟩)(Y − ⟨Y⟩)⟩ =

∬ (x − ⟨x⟩) (y − ⟨y⟩)ρ(x, y)dxdy,



⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩ − ⟨Y⟩ ⟨X⟩ + ⟨X⟩ ⟨Y⟩ = ⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩ .

Tulajdonságai:



(X).


Korreláció

Bevezetés

Kovariancia


Kovariancia



Cov(X,Y) ∶= ⟨(X − ⟨X⟩)(Y − ⟨Y⟩)⟩ =

∬ (x − ⟨x⟩) (y − ⟨y⟩)ρ(x, y)dxdy,



⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩ − ⟨Y⟩ ⟨X⟩ + ⟨X⟩ ⟨Y⟩ = ⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩ .

Tulajdonságai:



(X).


Korreláció

Bevezetés

Kovariancia


Kovariancia

• Max. mekkora lehet a kovariancia abszolút értéke?

∣Cov(X,Y)∣ ≤ σ(X)σ(Y).

Bizonyítás:Eloször azt látjuk be, hogy

∣⟨XY⟩∣ ≤√

⟨X2⟩√

⟨Y2⟩.

Tetszoleges a számra (Y − aX)2≥ 0, ezért

0 ≤ ⟨(Y − aX)2⟩ = ⟨Y2

− 2aYX + a2X2⟩ = ⟨Y2

⟩ − 2a ⟨YX⟩ + a2⟨X2

⟩ .

Helyettesítsünk be a = ⟨XY⟩⟨X2⟩ értéket:

0 ≤ ⟨Y2⟩ −

⟨XY⟩2

⟨X2⟩→ 0 ≤ ⟨Y2

⟩ ⟨X2⟩ − ⟨XY⟩

2

¼

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia


Kovariancia




∣⟨XY⟩∣ ≤√

⟨X2⟩√

⟨Y2⟩.


0 ≤ ⟨(Y − aX)2⟩ = ⟨Y2

− 2aYX + a2X2⟩ = ⟨Y2

⟩ − 2a ⟨YX⟩ + a2⟨X2

⟩ .


0 ≤ ⟨Y2⟩ −

⟨XY⟩2

⟨X2⟩→ 0 ≤ ⟨Y2

⟩ ⟨X2⟩ − ⟨XY⟩

2

¼

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia


Kovariancia




∣⟨XY⟩∣ ≤√

⟨X2⟩√

⟨Y2⟩.


0 ≤ ⟨(Y − aX)2⟩ = ⟨Y2

− 2aYX + a2X2⟩ = ⟨Y2

⟩ − 2a ⟨YX⟩ + a2⟨X2

⟩ .


0 ≤ ⟨Y2⟩ −

⟨XY⟩2

⟨X2⟩→ 0 ≤ ⟨Y2

⟩ ⟨X2⟩ − ⟨XY⟩

2

¼

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia


Kovariancia




∣⟨XY⟩∣ ≤√

⟨X2⟩√

⟨Y2⟩.


0 ≤ ⟨(Y − aX)2⟩ = ⟨Y2

− 2aYX + a2X2⟩ = ⟨Y2

⟩ − 2a ⟨YX⟩ + a2⟨X2

⟩ .


0 ≤ ⟨Y2⟩ −

⟨XY⟩2

⟨X2⟩→ 0 ≤ ⟨Y2

⟩ ⟨X2⟩ − ⟨XY⟩

2

¼

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia


Kovariancia

A ∣⟨XY⟩∣ ≤√

⟨X2⟩√

⟨Y2⟩ tételt használjuk a X − ⟨X⟩ és Y − ⟨Y⟩ változókra:

∣⟨(X − ⟨X⟩) (Y − ⟨Y⟩)⟩∣ = ∣Cov(X,Y)∣ ≤

√

⟨(X − ⟨X⟩)2⟩

√

⟨(Y − ⟨Y⟩)2⟩ =

σ(X)σ(Y).

→ Ha a kovarianciát leosztjuk a szorások szorzatával, egy −1 és 1közé eso számot kapunk!

¼

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia


Kovariancia

A ∣⟨XY⟩∣ ≤√

⟨X2⟩√

⟨Y2⟩ tételt használjuk a X − ⟨X⟩ és Y − ⟨Y⟩ változókra:

∣⟨(X − ⟨X⟩) (Y − ⟨Y⟩)⟩∣ = ∣Cov(X,Y)∣ ≤

√

⟨(X − ⟨X⟩)2⟩

√

⟨(Y − ⟨Y⟩)2⟩ =

σ(X)σ(Y).

→ Ha a kovarianciát leosztjuk a szorások szorzatával, egy −1 és 1közé eso számot kapunk!

¼

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia


Korrelációs együttható


Definíció: A X és Y korrelációs együtthatója:

C(X,Y) =Cov(X,Y)

σ(X)σ(Y)=

⟨(X − ⟨X⟩)(Y − ⟨Y⟩)⟩

σ(X)σ(Y)=

⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩

σ(X)σ(Y).

(Ezt szokták Pearson-korrelációnak hívni).Tulajdonságai:

• Legfeljebb 1 abszolútértéku: −1 ≤ C(X,Y) ≤ 1

• Ha X és Y független, akkor C(X,Y) = 0.

• Egy X valószínuségi változó önmagával vett korrelációsegyütthatója C(X,X) =

Cov(X,X)σ2(X) = 1.

¼

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia





C(X,Y) =Cov(X,Y)

σ(X)σ(Y)=

⟨(X − ⟨X⟩)(Y − ⟨Y⟩)⟩

σ(X)σ(Y)=

⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩

σ(X)σ(Y).





Cov(X,X)σ2(X) = 1.

¼

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia





C(X,Y) =Cov(X,Y)

σ(X)σ(Y)=

⟨(X − ⟨X⟩)(Y − ⟨Y⟩)⟩

σ(X)σ(Y)=

⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩

σ(X)σ(Y).





Cov(X,X)σ2(X) = 1.

¼

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia





C(X,Y) =Cov(X,Y)

σ(X)σ(Y)=

⟨(X − ⟨X⟩)(Y − ⟨Y⟩)⟩

σ(X)σ(Y)=

⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩

σ(X)σ(Y).





Cov(X,X)σ2(X) = 1.

¼

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia





C(X,Y) =Cov(X,Y)

σ(X)σ(Y)=

⟨(X − ⟨X⟩)(Y − ⟨Y⟩)⟩

σ(X)σ(Y)=

⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩

σ(X)σ(Y).





Cov(X,X)σ2(X) = 1.

¼

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia


Korrelációs együtthatóPéldák

Példák

Nézzük meg a korrelációs együttható értékét különbözo pontfelhokesetén, ahol X és Y a pontok vízszintes és függoleges koordinátáinakfelelnek meg:

¼

Documents

Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanhal.elte.hu/~pallag/valszam/Eloadas_05.pdf · Eloszlások jellemzése Momentumok Momentumok Generátorfüggvény Perkoláció