Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanhal.elte.hu/~pallag/valszam/Eloadas_11.pdf · Adat, minta, statisztikus sokaság Adatok Adattípusok Adatgyujtés˝ Statisztikus

Valószínuségszámítás és statisztika afizikában

2019. május 3.

Adat, minta,statisztikus

sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés

Statisztikussokaság és mintaMinta

Statisztika

Empirikus eloszlás

Empirikus várhatóérték és szórás

Empirikus kvantilisek

Normális eloszlásúsokaság

Adat, minta, statisztikus sokaság

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Statisztikai vizsgálat

Egy statisztikai vizsgálat során

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás






• vannak adataink valamirol,

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







• és ezek alapján próbálunk következtetéseket levonni.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







• és ezek alapján próbálunk következtetéseket levonni.

• Az esetek dönto többségében ezek a következtetések vagy egyparaméter értékére, vagy egy esemény valószínuségérevonatkoznak.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




ADATOK

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Adattípusok

• Kvantitatív adatok: méréseket vagy leszámlálásokat jellemzoszámok.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Adattípusok

• Kvantitatív adatok: méréseket vagy leszámlálásokat jellemzoszámok.

• Kvalitatív adatok: kategóriákra bonthatók, melyeket valamilyennemnumerikus jellemzok alapján különböztetünk meg, pl. férfi/no.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Adattípusok

• A kvantitatív adattípust tovább bonthatjuk:

- diszkrét: amikor a lehetséges adatok száma véges vagymegszámlálható. (Pl. tyúkok által tojt tojások száma).

- folytonos: amikor az adat végtelen sok lehetséges értéketvehet fel egy folytonos skálán. (Pl. a tehén által naponta adotttej mennyisége literben).

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




AdattípusokA mérések szintje

Egy másik lehetoség az adatok jellemzésére, hogy megadjuk aszintjüket.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





• Nominális szintu mérés: elnevezéseket, címkéket, vagykategóriákat tartalmazó adatok, melyeket nem lehet valami szerintrendezni.Pl.: kérdoíves válasznál igen, nem, nem tudom.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás






• Ordinális szintu mérés: olyan adatok, melyeket lehet rendezni, deaz adatok közti különbségeknek nincs értelmük, vagy nem lehetmeghatározni.Pl.: egyetemek sorrendje, érdemjegyek mint jeles, jó, közepes, stb.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







• Intervallum szintu mérés: rendezheto adatok, melyeknél akülönbségeknek is van értelmük, de nincs természetes nullpont(ami pl. valamilyen mennyiség nemlétét jelezné), és emiatt azarányoknak nincs értelme.Pl.: évek mint 1848 vagy 1526, beérkezési idok egy kísérletnél, stb.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







• Intervallum szintu mérés: rendezheto adatok, melyeknél akülönbségeknek is van értelmük, de nincs természetes nullpont(ami pl. valamilyen mennyiség nemlétét jelezné), és emiatt azarányoknak nincs értelme.Pl.: évek mint 1848 vagy 1526, beérkezési idok egy kísérletnél, stb.

• Arány szintu mérés: az adatok rendezhetok, a különbségnek vanértelme és van természetes nullpont, ami azt jelzi, hogy az adottmérendo mennyiség nincs jelen. Ekkor az arányoknak is vanértelmePl.: árak (a 0Ft azt jelenti, hogy az adott termék vagy szolgáltatásnem kerül semmibe). ¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Adatgyujtés

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Adatgyujtés

Tipikus problémák adatgyujtésnél:

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Adatgyujtés


• Kis minták.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Adatgyujtés


• Kis minták.

• Kérdések sorrendjétol függ a válasz:

- Ön mit mondana, a közlekedési vagy az ipari légszennyezésmagasabb? (45% - 27%)

- Ön mit mondana, az ipari vagy a közlekedési légszennyezésmagasabb? (24% - 57%)

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Adatgyujtés


• Kis minták.




• Közvélemény-kutatásnál a nem válaszolók. (Általában különböznekazoktól, akik válaszolnak).

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Adatgyujtés


• Kis minták.





• Érdekelt adatgyujtok (pl. gyógyszercégek).

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Adatgyujtés


• Kis minták.





• Érdekelt adatgyujtok (pl. gyógyszercégek).

• Önkényes szelekció a figyelembe vett adatok között.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Adatgyujtés

Adatgyujtés fajtái:

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Adatgyujtés

Adatgyujtés fajtái:• Megfigyeléses vizsgálat (observational study): bizonyos jellemzo

tulajdonságok megfigyelése és mérése anélkül, hogymegváltoztatnánk a vizsgálat tárgyát/alanyát.Pl.: csillagászati/asztrofizikai megfigyelések.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Adatgyujtés



• Kísérlet (experiment): valamilyen kezelést végzünk és utánamegfigyeljük a hatásait a kísérlet tárgyán/alanyán.Pl.: klinikai gyógyszervizsgálat, részecske ütköztetések aCERN-ben.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Adatgyujtés




• Utólagos vizsgálat (retrospective study): múltbéli adatokathasználunk (amik nem is feltétlenül az általunk vizsgált kérdésszempontjából lettek rögzítve).Pl.: autóbalesetben meghaltak és másban meghaltakösszehasonlítása.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Adatgyujtés




• Utólagos vizsgálat (retrospective study): múltbéli adatokathasználunk (amik nem is feltétlenül az általunk vizsgált kérdésszempontjából lettek rögzítve).Pl.: autóbalesetben meghaltak és másban meghaltakösszehasonlítása.

• Elore tervezett vizsgálat (prospective study): az adatokat ajövoben gyujtjük olyan csoportokból, melyek valamilyen közösfaktorban megegyeznek.Pl.: a mobilt használó és nem használó vezetok csoportjainakösszehasonlítása. ¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Adatgyujtés

• Vak és duplán vak vizsgálat: a vizsgálat alanya nem tudja, hogykezelést kap vagy placebót, duplán vak esetben a kísérletezo semtudja.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




AdatgyujtésZavar

• Zavar (confounding): akkor lép fel egy kísérletben, ha a kísérletetvégzo nem tudja megkülönböztetni az egyes faktorokat.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




AdatgyujtésZavar


Pl.: Indén mindenkitol levonunk 1 pontot, ha nem jelenik meg azeloadáson, javul-e a részvételi arány? Tfh., hogy javul. De lehet,hogy tavaly reggel 8-kor volt az eloadás, és azért nem jártak. A kétfaktor nem különböztetheto meg.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




AdatgyujtésZavar


Pl.: Indén mindenkitol levonunk 1 pontot, ha nem jelenik meg azeloadáson, javul-e a részvételi arány? Tfh., hogy javul. De lehet,hogy tavaly reggel 8-kor volt az eloadás, és azért nem jártak. A kétfaktor nem különböztetheto meg.

• A kísérletet lehetoleg úgy kell megtervezni, hogy ne lépjen fel zavar.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




AdatgyujtésBlokkosítás

A zavar elkerülését segítheti a blokkosítás:

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás






• Felosztjuk a populációt olyan alcsoportokra, melyekben a kísérletszempontjából fontos tulajdonságok megegyeznek.

• Mindegyik blokkban véletlenszeruen választjuk ki a kezelteket.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás








¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás








¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




AdatgyujtésRandomizált és kontrollált

• Egy elterjedt módszer a teljesenrandomizált (véletlenszerusített)elrendezés:Véletlenszeruen választjuk ki azokat, akikkezelést kapnak

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




AdatgyujtésRandomizált és kontrollált

• Egy elterjedt módszer a teljesenrandomizált (véletlenszerusített)elrendezés:Véletlenszeruen választjuk ki azokat, akikkezelést kapnak

• Egy másik megközelítés a szigorúankontrollált elrendezés:Nagyon körültekintoen kiválasztott egyedek,pl. ha vérnyomáscsökkentot tesztelünk és azegyik blokkban van egy 30 éves túlsúlyos,cigarettázó férfi, aki szereti a sós és zsírosételeket, akkor a másik blokkba is teszünkilyet.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




STATISZTIKUS SOKASÁG ÉS MINTA

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Statisztikus sokaság


Definíció: a statisztikai vizsgálat tárgyát képezo egyedek összességét ahozzájuk tartozó (szempontunkból érdekes) adatokkal együtt egystatisztikai sokaságnak vagy populációnak hívjuk.

Példák

• Magyarországi lakosok testmagassága, életkora, vérnyomása, stb.

• Folyó vízállása, közutak vagy routerek terheltsége, tozsdeiárfolyam, stb.

• Telefonbeszélgetések hossza, hívások közti várakozási ido,kozmikus részecskék észlelése, stb.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







Példák




¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







Példák




¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Statisztikus sokaságSokaság eloszlása

Statisztikai sokaság eloszlása

• Ha a vizsgálat tárgyát képezo egyedek száma N, akkor mindenegyes egyed 1/N valószínuséggel fordul elo, illetve ha az egyedekegy A részhalmaza k egyedet tartalmaz, akkor annak valószínuségek/N.

• Ezzel a statisztikai sokaság valószínuségi mezové válik, azegyedekhez tartozó számértékek pedig egy X valószínuségiváltozóvá.

→ Definíció: az így kapott X eloszlását hívjuk a a statisztikaisokaság eloszlásának.

• Amennyiben több számérték is érdekel minket egyedenként, asokaság több dimenzióssá válik, és a X1,X2, . . . ,Xn együtteseloszlását nevezzük a sokaság eloszlásának.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás










¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás










¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás










¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Minta

Minta, mintavételezés

Definíció: ha a statisztikai sokaságból kiválasztunk n egyedet, akkor ahozzájuk tartozó x1, x2, ..., xn értékek egy n elemu mintát adnak.Definíció: az x1, x2, ..., xn függetlenek, ha

• visszatevéssel választottuk oket,

• (visszatevés nélkül, de a sokaság mérete gyakorlatilag végtelen).

• Ha a minta megegyezik a populációval, akkor cenzusról beszélünk.

¼¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Minta

Minta, mintavételezés

Definíció: ha a statisztikai sokaságból kiválasztunk n egyedet, akkor ahozzájuk tartozó x1, x2, ..., xn értékek egy n elemu mintát adnak.Definíció: az x1, x2, ..., xn függetlenek, ha

• visszatevéssel választottuk oket,

• (visszatevés nélkül, de a sokaság mérete gyakorlatilag végtelen).

• Ha a minta megegyezik a populációval, akkor cenzusról beszélünk.

¼¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Mintavételezés

• Véletlen mintavétel: a populáció minden tagjának ugyanakkoraesélye van a bekerülésre.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Mintavételezés


• Egyszeru n hosszúságú véletlen mintavétel: minden nhosszúságú mintának ugyanakkora a kiválasztási esélye.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Mintavételezés



• Szisztematikus mintavétel: valamilyen kezdoponttól indulvakiválasztjuk minden K-adik elemet a populációból.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Mintavételezés



• Szisztematikus mintavétel: valamilyen kezdoponttól indulvakiválasztjuk minden K-adik elemet a populációból.

Problémás lehet, ha a populáció is szisztematikusan van rendezve.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Mintavételezés

• Kényelmes mintavétel: használjuk azt a mintát, amit alegkönnyebb beszerezni.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Mintavételezés

• Rétegzett mintavétel: felosztjuk a populációt rétegekre(csoportokra), melyeken belül a kísérlet szempontjából fontostulajdonságok azonosak vagy hasonlók, majd mintát veszünkmindegyik rétegbol.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Mintavételezés

• Klaszter mintavétel: felosztjuk a populációt valamilyentermészetes módon (pl. irányítószám alapján) klaszterekre,véletlenszeruen választunk a klaszterek közül, majd a kiválasztottklaszter összes tagját használjuk.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Paraméter és statisztika

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





Paraméter

A statisztikai sokaságot (populációt) jellemzo numerikus érték a sokáságegy paramétere.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





Paraméter


Statisztikai következtetés

Definíció: ha a minta alapján következtetünk valamire valamilyenvalószínuséggel, az statisztikai következtetés, vagy rövidenstatisztika. Ezt szokták még becslésnek is nevezni.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





Paraméter


Statisztikai következtetés

Definíció: ha a minta alapján következtetünk valamire valamilyenvalószínuséggel, az statisztikai következtetés, vagy rövidenstatisztika. Ezt szokták még becslésnek is nevezni.

Példa

• A magyarországi lakosok magasságának várható értéke egyparaméter,

• és pl. egy 1000 fos mintán a magasságok átlaga az egy ezzelkapcsolatos statisztika.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





populáció Ð→ minta

↕ ↕

paraméter ←Ð statisztika

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Statisztikus sokaságParaméteres becslés

Paraméteres és nem paraméteres becslések

Definíció: egy statisztikai következtetés paraméteres becslés, haismerjük a X eloszlásának típusát, és ez alapján az eloszlás valamelyparaméterére következtetünk.(Pl. tudjuk, hogy binomiális, és meg akarjuk becsülni p-t).Ha nem ismerjük az eloszlás típusát, akkor nem paraméteres becslésrolbeszélünk.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Empirikus eloszlás

Empirikus eloszlásfüggvény

• Tegyük fel, hogy n elemu, független mintánk van, x1, x2, ..., xn

értékekkel.

→ Ezen belül minden minta elem 1/n valószínuségu. (Természetesentöbb minta elemhez is társulhat ugyanaz az x érték).

Definíció: a minta empirikus eloszlásfüggvénye:

F(x) ∶= 1n∣{i ∣ xi < x}∣ = ∑

i∶ xi<x

1n,

azaz ha összesen k olyan minta elem van, melyekre xi < x, akkorF(x) = k/n.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Empirikus eloszlás



értékekkel.



F(x) ∶= 1n∣{i ∣ xi < x}∣ = ∑

i∶ xi<x

1n,


¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Empirikus eloszlás



értékekkel.



F(x) ∶= 1n∣{i ∣ xi < x}∣ = ∑

i∶ xi<x

1n,


¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Empirikus eloszlás

Példa

• Tegyük fel, hogy a táblázatban látható cipoméreteket mértük egy 20fos csoportban. Milyen lesz a cipoméret empirikuseloszlásfüggvénye?

méret hány?38-as 139-es 240-es 441-es 442-es 743-as 2

∑ = 20

207

x

F(x)

44 42 40 38 36 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Empirikus suruségfüggvény

• Mi lesz az empirikus suruségfüggvény?Mivel az empirikus eloszlás mindig diszkrét, szigorú értelemben ittis csak hisztogramról beszélhetünk suruségfüggvény helyett:

• felosztjuk az x tengelyt ∆x nagyságú intervallumokra,• intervallumonként a hisztogram konstans; értéke, h egy adott

[x, x +∆x], intervallumra:

h ⋅∆x = kn→ h = k

n∆x

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás








h ⋅∆x = kn→ h = k

n∆x

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás








h ⋅∆x = kn→ h = k

n∆x

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





Példa

Hogy fog kinézni a cipoméret eloszlás hisztogramja az elozo példánál?(Itt ∆x = 1 a természetes választás.)

7

20

x

h(x)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

36 38 40 42 44

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





• Mi történik, ha hatványszeruen lassan cseng le a suruségfüggvény?

→ Amennyiben ρ(x) ∼ x−α , elofordulhat, hogy ha azonos méretu ∆x-ethasználunk az eloforduló x-ek teljes tartományán, akkor a nagyértékek felé a hisztogram „kilaposodik”!

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





Pl. a Magyar Wikipédia, mint hálózat fokszámeloszlásának empirikussuruségfüggvénye konstans ∆k = 1 esetén:

k

h(k)

300 250 200 150 100 50 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.7

0.6

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás






k

h(k)

0.001

0.01

0.1

1

100 10 1 0.0001

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás






k

h(k)

0.001

0.01

0.1

1

100 10 1 0.0001

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





→ Ilyenkor célszeru a konstans ∆x helyett

• vagy exponenciálisan növekvo ∆x-et használni, ez a„logarithmic binning”, (ami logaritmikus skálán tunik konstansméretunek),

• vagy eloírni egy minimális esetszámot intervallumonként, ésezen kritérium szerint beállítani egy dinamikusan változó∆x-et.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





→ Ilyenkor célszeru a konstans ∆x helyett

• vagy exponenciálisan növekvo ∆x-et használni, ez a„logarithmic binning”, (ami logaritmikus skálán tunik konstansméretunek),

• vagy eloírni egy minimális esetszámot intervallumonként, ésezen kritérium szerint beállítani egy dinamikusan változó∆x-et.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





A Magyar Wikipédia, mint hálózat fokszámeloszlásának empirikussuruségfüggvénye exponenciálisan növekvo ∆k esetén:

k

h(k)

1

1e−05

1e−06

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

10 100

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





Megjegyzés: ha csak a hatványszeru lecsengés érdekel minket (pl. ahatványkitevo), akkor azt az empirikus eloszlásfüggvény is megmutatja,(és ott nem kell a ∆x-ekkel veszodni):

k

1−F(k)~k

1−F(k)

−α+1

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

1 10 100

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Empirikus várható érték és szórás

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





Empirikus várható érték

Definíció: Az empirikus várható érték a minta átlagával azonos:

x ∶= x1 + x2 +⋯ + xn

n= 1

n

n

∑i=1

xi.

A nagy számok törvényei alapján xPÐ→ ⟨X⟩,

(illetve ha ⟨X4⟩ korlátos, akkor eros értelemben is konvergál).

Empirikus szórásnégyzet

Definíció: Az empirikus szórásnégyzet az empirikus átlagtól valónégyzetes eltérés átlaga:

S2 ∶= (x1 − x)2 + (x2 − x)2 +⋯ + (xn − x)2

n= 1

n

n

∑i=1

(xi − x)2.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







x ∶= x1 + x2 +⋯ + xn

n= 1

n

n

∑i=1

xi.





S2 ∶= (x1 − x)2 + (x2 − x)2 +⋯ + (xn − x)2

n= 1

n

n

∑i=1

(xi − x)2.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







x ∶= x1 + x2 +⋯ + xn

n= 1

n

n

∑i=1

xi.





S2 ∶= (x1 − x)2 + (x2 − x)2 +⋯ + (xn − x)2

n= 1

n

n

∑i=1

(xi − x)2.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





• Mi az empirikus szórásnégyzet várható értéke?

Empirikus szórásnégyzet várható értéke ¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás






→ Korábban a szórás tárgyalásánál már levezettük,

⟨S2⟩ = n − 1n

σ2



sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







⟨S2⟩ = n − 1n

σ2

Korrigált empirikus szórásnégyzet

A fentiek alapján a korrigált empirikus szórásnégyzet:

S∗2 ∶= nn − 1

S2 = 1n − 1

n

∑i=1

(xi − x)2.



sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







⟨S2⟩ = n − 1n

σ2

Korrigált empirikus szórásnégyzet

A fentiek alapján a korrigált empirikus szórásnégyzet:

S∗2 ∶= nn − 1

S2 = 1n − 1

n

∑i=1

(xi − x)2.

Ennek várható értéke már megegyezik a sokaság szórásnégyzetével,

⟨S∗2⟩ = nn − 1

⟨S2⟩ = σ2.



sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





• Hogyan lehetne pl. a kvartiliseket megbecsülni a minta alapján?

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás






- Rendezzük a mintákat érték alapján,

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás






- Rendezzük a mintákat érték alapján,- és a mintaelemek elso negyedénél lesz az alsó kvartilis,

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás






- Rendezzük a mintákat érték alapján,- és a mintaelemek elso negyedénél lesz az alsó kvartilis,- (a felénél van a medián),

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás






- Rendezzük a mintákat érték alapján,- és a mintaelemek elso negyedénél lesz az alsó kvartilis,- (a felénél van a medián),- és a háromnegyedénél a felso kvartilis.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Boxplot

• Egy adathalmaz 5-szám összesítoje:

1) a minimum,2) az alsó kvartilis, Q1,3) a medián, Q2,4) a felso kvartilis Q3,5) a maximum.

• Ezeket egy ún. boxplot-ban szokás összefoglalni:

• Az adathalmaz terjedelme (angolul range) a maximum és minimumközti különbség.

• Az interkvartilis terjedelem (IQR): Q3 −Q1.¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Boxplot

A boxplot néhány eloszlásfajta esetén:

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Boxplot

A boxplot néhány eloszlásfajta esetén:

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Outlier

• A kiugró értékeket hívjuk outlier-nek:

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Outlier


- outlier, ha Q3-at meghaladja az IQR másfélszeresével,- outlier, ha Q1-nél több mint IQR másfélszeresével kisebb.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Outlier



• Az outlier-eknek drámai hatása lehet az átlagra és a szórásra.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Outlier



• Az outlier-eknek drámai hatása lehet az átlagra és a szórásra.

• Ezeket általában külön csillaggal jelöljük, és a maradék adatokracsinálunk box-plotot.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Boxplot

A boxplot akkor igazán érdekes, ha több mintát hasonlítunk összeegymással:

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Boxplot


¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Boxplot


¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Boxplot


¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás




Normális eloszlású sokaság

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





• Különösen fontos az az eset, amikor a statisztikai sokaságnormális eloszlású, ami azt jelenti, hogy X eloszlása normális,X ∼ N (µ,σ).

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





• Különösen fontos az az eset, amikor a statisztikai sokaságnormális eloszlású, ami azt jelenti, hogy X eloszlása normális,X ∼ N (µ,σ).

• Természetesen ilyenkor az xi mintaelemekre is tekinthetünk úgy,mint µ várható értéku és σ szórású normális eloszlású függetlenváltozókra, xi ∼ N (µ,σ).

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





Tegyük fel tehát, hogy xi ∼ N (µ,σ).

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás






→ Mi lesz x eloszlása?

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás






→ Mi lesz x eloszlása?Mivel a normális eloszlás stabil,

n

∑i=1

xi ∈ N (nµ,√

nσ), x = 1n

n

∑i=1

xi

→ x ∈ N (µ, σ√n)

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás






→ Mi lesz S2 eloszlása?

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







S2 = 1n

n

∑i=1

(xi − x)2 = 1n

n

∑i=1

⎛⎝

xi −1n

n

∑j=1

xj⎞⎠

2

=

1n

n

∑i=1

⎡⎢⎢⎢⎢⎣x2

i −2xi

n

n

∑j=1

xj +1n2

⎛⎝

n

∑j=1

xj⎞⎠

2⎤⎥⎥⎥⎥⎦=

1n

n

∑i=1

x2i −

2n2

n

∑i,j=1

xixj +1n2

⎛⎝

n

∑j=1

x2j + 2∑

j<kxjxk

⎞⎠=

1n

n

∑i=1

x2i −

2n2

⎛⎝

n

∑i=1

x2i + 2∑

i<jxixj

⎞⎠+ 1

n2

⎛⎝

n

∑j=1

x2j + 2∑

j<kxjxk

⎞⎠=

(1n− 1

n2)

n

∑i=1

x2i −

2n2 ∑

i<jxixj =

n − 1n

1n

n

∑i=1

x2i −

2n2 ∑

i<jxixj

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







S2 = n − 1n

1n

n

∑i=1

x2i −

2n2 ∑

i<jxixj

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







S2 = n − 1n

1n

n

∑i=1

x2i −

2n2 ∑

i<jxixj

Bevezetünk egy új változót, melynek eloszlása standard normális,

zi =xi − µσ

xi = µ + σzi, zi ∈ N (0, 1),

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







S2 = n − 1n

1n

n

∑i=1

x2i −

2n2 ∑

i<jxixj


zi =xi − µσ

xi = µ + σzi, zi ∈ N (0, 1),ezzel

S2 = n − 1n

1n

n

∑i=1

(µ2 + 2µσzi + σ2z2i ) −

2n2 ∑

i<j(µ2 + µσzi + µσzj + σ2zjzj) =

n − 1n

µ2 + n − 1n

2nµσ

n

∑i=1

zi +n − 1

n1nσ2

n

∑i=1

z2i

− 2n2

n(n − 1)2

µ2 − 2n2

(n − 1)µσn

∑i=1

zi −2n2σ2∑

i<jzizj

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







S2 = n − 1n

1n

n

∑i=1

x2i −

2n2 ∑

i<jxixj


zi =xi − µσ


S2 = σ2 n − 1n

1n

n

∑i=1

z2i − σ2 2

n2 ∑i<j

zizj

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







S2 = n − 1n

1n

n

∑i=1

x2i −

2n2 ∑

i<jxixj


zi =xi − µσ


S2 = σ2 n − 1n

1n

n

∑i=1

z2i − σ2 2

n2 ∑i<j

zizj

Bevezetünk még egy új változót, y ∶= nS2

σ2 , melyre

y = n − 1n

n

∑i=1

z2i −

2n∑i<j

zjzj = (1 − 1n)

n

∑i=1

z2i −

2n∑i<j

zizj.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





Az y változó suruségfüggvénye és karakterisztikus függvénye:

ρ(y) = ∬ ⋯∫ dz1⋯dznδ⎛⎝

y − (1 − 1n)

n

∑i=1

z2i −

2n∑i<j

zizj⎞⎠×

× 1√2π

e−z212

1√2π

e−z222 ⋯ 1√

2πe−

z2n2

ϕy(t) =∞

∫−∞

ρ(y)eitydy =∬ ⋯∫dz1⋯dzn

(2π) n2

eit(1− 1

n )n∑i=1

z2i − 2it

n ∑i<jzizj− 1

2

n∑i=1

z2i

Az exponensben lévo kifejezés felfogható úgy, mint egy mátrixszendvicselés:

it (1 − 1n)

n

∑i=1

z2i −

2itn∑i<j

zizj −12

n

∑i=1

z2i = −zAz

A =⎛⎜⎜⎜⎝

12 − it (1 − 1

n)itn

itn ⋯

itn

12 − it (1 − 1

n)itn ⋯

itn

itn

12 − it (1 − 1

n) ⋯⋮ ⋮ ⋮ ⋱

⎞⎟⎟⎟⎠

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





Az y változó suruségfüggvénye és karakterisztikus függvénye:

ρ(y) = ∬ ⋯∫ dz1⋯dznδ⎛⎝

y − (1 − 1n)

n

∑i=1

z2i −

2n∑i<j

zizj⎞⎠×

× 1√2π

e−z212

1√2π

e−z222 ⋯ 1√

2πe−

z2n2

ϕy(t) =∞

∫−∞

ρ(y)eitydy =∬ ⋯∫dz1⋯dzn

(2π) n2

eit(1− 1

n )n∑i=1

z2i − 2it

n ∑i<jzizj− 1

2

n∑i=1

z2i

Az exponensben lévo kifejezés felfogható úgy, mint egy mátrixszendvicselés:

it (1 − 1n)

n

∑i=1

z2i −

2itn∑i<j

zizj −12

n

∑i=1

z2i = −zAz

A =⎛⎜⎜⎜⎝

12 − it (1 − 1

n)itn

itn ⋯

itn

12 − it (1 − 1

n)itn ⋯

itn

itn

12 − it (1 − 1

n) ⋯⋮ ⋮ ⋮ ⋱

⎞⎟⎟⎟⎠

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





Ezzel a ϕy(t) karakterisztikus függvény:

ϕy(t) =∬ ⋯∫dz1⋯dzn

(2π) n2

e−zAz = 1(2π) n

2

√πn

det A,

hiszen A saját rendszerére áttérve

Avi = λivi, det A =n

∏i=1λi,

∞

∫−∞

e−αx2=√π

α

ϕy(t) =∬ ⋯∫du1⋯dun

(2π) n2

e−

n∑i=1λiu

2i =

∞

∫−∞

du1√2π

e−λ1u21 ×

∞

∫−∞

du2√2π

e−λ2u22 ×⋯ ×

∞

∫−∞

dun√2π

e−λnu2n =

n

∏i=1

1√2π

√π

λi.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





Ezzel a ϕy(t) karakterisztikus függvény:

ϕy(t) =∬ ⋯∫dz1⋯dzn

(2π) n2

e−zAz = 1(2π) n

2

√πn

det A,

hiszen A saját rendszerére áttérve

Avi = λivi, det A =n

∏i=1λi,

∞

∫−∞

e−αx2=√π

α

ϕy(t) =∬ ⋯∫du1⋯dun

(2π) n2

e−

n∑i=1λiu

2i =

∞

∫−∞

du1√2π

e−λ1u21 ×

∞

∫−∞

du2√2π

e−λ2u22 ×⋯ ×

∞

∫−∞

dun√2π

e−λnu2n =

n

∏i=1

1√2π

√π

λi.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





Az A determinánsának meghatározásához eloször felbontjuk:

A = (12− it)

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 0 ⋯ 00 1 0 ⋯ 00 0 1 0⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

+ itn

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 1 1 ⋯ 11 1 1 ⋯ 11 1 1 ⋯ 1⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 11 1 1 ⋯ 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Ez alapján egy tetszoleges v =⎛⎜⎝

v1

⋮vn

⎞⎟⎠

esetén

Av = (12− it) v + it

n

n

∑i=1

vi

⎛⎜⎝

1⋮1

⎞⎟⎠.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás






A = (12− it)

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 0 ⋯ 00 1 0 ⋯ 00 0 1 0⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

+ itn

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 1 1 ⋯ 11 1 1 ⋯ 11 1 1 ⋯ 1⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 11 1 1 ⋯ 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠


v1

⋮vn

⎞⎟⎠

esetén

Av = (12− it) v + it

n

n

∑i=1

vi

⎛⎜⎝

1⋮1

⎞⎟⎠.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás






A = (12− it)

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 0 ⋯ 00 1 0 ⋯ 00 0 1 0⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

+ itn

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 1 1 ⋯ 11 1 1 ⋯ 11 1 1 ⋯ 1⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 11 1 1 ⋯ 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠


v1

⋮vn

⎞⎟⎠

esetén

Av = (12− it) v + it

n

n

∑i=1

vi

⎛⎜⎝

1⋮1

⎞⎟⎠.

Az A sajátvektorai:

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás






A = (12− it)

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 0 ⋯ 00 1 0 ⋯ 00 0 1 0⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

+ itn

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 1 1 ⋯ 11 1 1 ⋯ 11 1 1 ⋯ 1⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 11 1 1 ⋯ 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠


v1

⋮vn

⎞⎟⎠

esetén

Av = (12− it) v + it

n

n

∑i=1

vi

⎛⎜⎝

1⋮1

⎞⎟⎠.

Az A sajátvektorai:

• Han∑i=1

vi = 0 teljesül, akkor ezen belül v tetszoleges lehet, azaz ez

egy n − 1 dimenziós altér n − 1 darab λ = ( 12 − it) sajátértékkel.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás






A = (12− it)

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 0 ⋯ 00 1 0 ⋯ 00 0 1 0⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

+ itn

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 1 1 ⋯ 11 1 1 ⋯ 11 1 1 ⋯ 1⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 11 1 1 ⋯ 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠


v1

⋮vn

⎞⎟⎠

esetén

Av = (12− it) v + it

n

n

∑i=1

vi

⎛⎜⎝

1⋮1

⎞⎟⎠.

Az A sajátvektorja:

• Han∑i=1

vi ≠ 0 akkor a sajátvektor v =⎛⎜⎝

1⋮1

⎞⎟⎠

, a sajátérték

λ = (12− it) + it

nn = 1

2¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás






A = (12− it)

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 0 ⋯ 00 1 0 ⋯ 00 0 1 0⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

+ itn

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 1 1 ⋯ 11 1 1 ⋯ 11 1 1 ⋯ 1⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 11 1 1 ⋯ 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠


v1

⋮vn

⎞⎟⎠

esetén

Av = (12− it) v + it

n

n

∑i=1

vi

⎛⎜⎝

1⋮1

⎞⎟⎠.

Az A determinánsa:

det A = 12⋅ (1

2− it)

n−1

.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





A ϕy(t) karakterisztikus függvény:

ϕy(t) = 1(2π) n

2

√πn

det A= 1

(2π) n2

¿ÁÁÀ πn

12 ⋅ (

12 − it)n−1 = 1

(1 − 2it) n−12.

→ Ez egy n − 1 szabadsági fokú χ2 eloszlás karakterisztikus függvénye!

→ ρ(y) = yn−3

2

2n−1

2 Γ ( n−12 )

e−y2 ,

Az empirikus szórásnégyzet eloszlása

A fentiek alapján az S2 eloszlása egy átskálázott, n − 1 szabadsági fokúχ2 eloszlás, hiszen S2 = σ2y

n

χ2 -eloszlás karakterisztikus függvénye Konfidencia–intervallum ¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





• Az S2 eloszlása, ρ(y) transzformálásával:

ρS2(x) = ρχ2n−1

( nxσ2

) nσ2

= nσ2

( nxσ2 )

n−32

2n−1

2 Γ ( n−12 )

e−nx

2σ2 ,

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







( nxσ2

) nσ2

= nσ2

( nxσ2 )

n−32

2n−1

2 Γ ( n−12 )

e−nx

2σ2 ,

• Nézzük meg, mit kapunk S2 várható értékére a fentiek alapján:

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







( nxσ2

) nσ2

= nσ2

( nxσ2 )

n−32

2n−1

2 Γ ( n−12 )

e−nx

2σ2 ,


- Az y = nS2

σ2 változó eloszlása χ2n−1, ezért a várható értéke

⟨y⟩ = n − 1.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







( nxσ2

) nσ2

= nσ2

( nxσ2 )

n−32

2n−1

2 Γ ( n−12 )

e−nx

2σ2 ,


- Az y = nS2


⟨y⟩ = n − 1.- Ez alapján S2 = σ2y

n várható értéke ⟨S2⟩ = n−1n σ

2, ami teljesenkonzisztens a korábban levezetett eredménnyel.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







( nxσ2

) nσ2

= nσ2

( nxσ2 )

n−32

2n−1

2 Γ ( n−12 )

e−nx

2σ2 ,


- Az y = nS2





• Viszont a χ2 eloszlásra vonatkozó ismereteink alapján most már S2

szórásnégyzetét is meg tudjuk adni:

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







( nxσ2

) nσ2

= nσ2

( nxσ2 )

n−32

2n−1

2 Γ ( n−12 )

e−nx

2σ2 ,


- Az y = nS2







- Az y szórásnégyzete V(y) = V(χ2n−1) = 2(n − 1).

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







( nxσ2

) nσ2

= nσ2

( nxσ2 )

n−32

2n−1

2 Γ ( n−12 )

e−nx

2σ2 ,


- Az y = nS2







- Az y szórásnégyzete V(y) = V(χ2n−1) = 2(n − 1).

- Ez alapján

V(S2) = 2(n − 1)σ4

n2.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás





• Mi a helyzet a korrigált empirikus szórásnégyzettel?

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás






→ A definíció alapján S∗2 = nn−1 S2 = σ2y

n−1 , ezért

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







n−1 , ezért

- a suruségfüggvény

ρS∗2(x) = ρχ2n−1

((n − 1)xσ2

) (n − 1)σ2

= n − 1σ2

( (n−1)xσ2 )

n−32

2n−1

2 Γ ( n−12 )

e−(n−1)x

2σ2 ,

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







n−1 , ezért


ρS∗2(x) = ρχ2n−1

((n − 1)xσ2

) (n − 1)σ2

= n − 1σ2

( (n−1)xσ2 )

n−32

2n−1

2 Γ ( n−12 )

e−(n−1)x

2σ2 ,

- a várható érték ⟨S∗2⟩ = σ2

n−1 ⟨χ2n−1⟩ = σ2,

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







n−1 , ezért


ρS∗2(x) = ρχ2n−1

((n − 1)xσ2

) (n − 1)σ2

= n − 1σ2

( (n−1)xσ2 )

n−32

2n−1

2 Γ ( n−12 )

e−(n−1)x

2σ2 ,


n−1 ⟨χ2n−1⟩ = σ2,

- és a szórás

V(S∗2) = σ4

(n − 1)2V(χ2

n−1) =2(n − 1)σ4

(n − 1)2= 2σ4

n − 1.

¼


sokaság

AdatokAdattípusok

Adatgyujtés


Statisztika

Empirikus eloszlás







n−1 , ezért


ρS∗2(x) = ρχ2n−1

((n − 1)xσ2

) (n − 1)σ2

= n − 1σ2

( (n−1)xσ2 )

n−32

2n−1

2 Γ ( n−12 )

e−(n−1)x

2σ2 ,


n−1 ⟨χ2n−1⟩ = σ2,

- és a szórás

V(S∗2) = σ4

(n − 1)2V(χ2

n−1) =2(n − 1)σ4

(n − 1)2= 2σ4

n − 1.

• Azt kaptuk, hogy a korrigált empirikus szórásnégyzet szórásais csökken a mintaszámmal, mégpedig úgy mint 1/(n − 1).

¼

Documents

Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanhal.elte.hu/~pallag/valszam/Eloadas_11.pdf · Adat, minta, statisztikus sokaság Adatok Adattípusok Adatgyujtés˝ Statisztikus