Vanja Alendar

PROJEKTOVANJE SEIZMIKI OTPORNIH ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJA

KROZ PRIMERE

Deo A - Osnovi teorije i uvod u propise

Vebe u okviru kursa Projektovanje i graenje betonskih konstrukcija 2

na IX semestru odseka za konstrukcije

Graevinski fakultet Univerziteta u Beogradu Institut za materijale i konstrukcije

Beograd, novembar 2004.

PREDGOVOR drugom izdanju

Pet godina je prolo od objavljivanja prvog izdanja ovih skripti. Ako je i godinu dana trebalo

za odmor od napora da se prvo izdanje pripremi, u naredne etri godine moglo je puno toga da se uradi, ali nije. A onda nam se pridruio na mladi asistent Ivan Ignjatovi, koji se ponudio da prekuca delove teksta pisane rukom. Takva se ponuda ne odbija, njemu ne. Kada je odlueno da se nastavi sa radom, ispostavilo se da je kasno da se ceo tekst preradi kako bi valjalo, naravno. Nastava je u toku, pa je kao prvi - prolazni cilj usvojeno da se Deo B - Primeri prebaci u 'elektronsku formu', tako da ceo materijal studenti dobiju na CD-u. Ni to nije bio mali posao, trebalo je pripremiti dosta skica, ilustracija.

ta je novo? Prvi deo je nepromenjen. Osim to je prekucan, tekst drugoga dela - Primeri je i izmenjen, nadam se na bolje. Stare skice su preraene, dodate su i nove, kao i fotografije koje ilustruju efekte dogoenih zemljotresa, ili rezultate eksperimentalnih ispitivanja na modelima. Uz fotografije na alost nije naveden izvor, to je osnovni red. Izvinjavam se autorima, bie uraeno u sledeem izdanju. Deo teksta koji se odnosi na hale, a koji nije ni pripadao skriptama, potpuno je preraen, dopunjen i ukljuen u tekst kao Primer 4.

Kako se koristi tekst? Obim originalnog teksta bio je prilagoen raspoloivom vremenu od etrnaest nedelja nastave. U meuvremenu, izmenjen je program predmeta, pa se ravnopravno, po sedam nedelja, studentima izlau problemi prethodnog naprezanja, odnosno zemljotresa. Takoe, deo problema koji je ranije izlagan na vebama, sada je deo predavanja. Tekst skripti ipak nije skraen, ali se moe itati na razne naine. Obavezni deo obuhvata:

- Deo A - Osnovi teorije, kao dopunski tekst predavanjima, ali bez poglavlja 6 - Uvod u Evrokod 8;

- Deo - B - Primeri proi ceo, ali bez poglavlja Pitanja i odgovori u Primerima 1-3, koja zahtevaju poznavanje koncepta propisa Evrokod 8.

To je minimun, koji jo uvek ima smisla. Time se naruava prvobitna koncepciju, ali je dovoljno, ako je jedini cilj da se savlada primena vaeih domaih propisa iz ove oblasti. Godinji zadatak i pismeni ispit se ionako rade iskljuivo prema vaeim domaim propisima. ta jo proitati, stvar je dogovora sa predmetnim nastavnikom. Toplo se preporuuje da se i ostali delovi proitaju, bar kao pria. Koncept skripti je da se preko Evrokoda 8 objanjava sutina domaih propisa i filozofija projektovanja.

Na kraju, elim da se zahvalim asistentu Ivanu Ignjatoviu, koji me je doveo u situaciju da ne smem da ga izneverim. Ivane, da sredimo i prvi deo?

Beograd, novembar 2004. Vanja Alendar

PREDGOVOR prvom izdanju

U podnaslovu teksta koji sledi, stoji da je u pitanju materijal za ve`be na IX-om, zavr{nom semestru studenata odseka za konstrukcije. Tako je i po~elo, iz `elje da studenti sa fakulteta ponesu vi{e "papira" i znanja nego {to se to mo`e zapisati kredom na tabli, u 14 nedelja nastave. @elja da tekst mo`da bude interesantan i in`enjerima u praksi, nadam se da je doprinela samo kvalitetu, ne i preteranom obimu.

Pisanje i pravljenje mno{tva skica zapo~eo sam po~etkom septembra 1999., nebi li se stiglo za po~etak nastave. Kasno, naravno. U tih mesec dana, pripremljen je ovaj prvi deo, nadam se da ima glavu i rep, a da nema grubih previda. Ovih sedamdesetak strana je program prve polovine kursa, sedam nedelja. Drugi deo, koji treba da sadr`i probrane primere sa razradom pojedinih delova iznetih ovom prilikom, treba da bude gotov do po~etka drugih sedam nedelja nastave. Ako me ne{to spre~i u tome, ovaj prvi deo je u svakom slu~aju celina za sebe, i najva`niji.

Tekst je koncizan i obiman u isto vreme. Izneti su i ilustrovani osnovni pojmovi, bez ~ijeg se razumevanja nebi trebalo upu{tati u odgovorno projektovanje seizmi~ki otpornih AB konstrukcija. Ako su neki pojmovi ve} usvojeni na drugim predmetima, ovde se ipak ponavljaju, jedino iz `elje da se na jednom mestu pove`u u zaokru`en koncept.

Pri skiciranju sinopsisa, po{ao sam od ~injenice da na{i va`e}i "seizmi~ki propisi" deluju vrlo jednostavno, "ni{ta lak{e nego uraditi projekat slo`ene konstrukcije uz pomo} nekog od softvera iz ove oblast". Me|utim, propisi su pisani 1981. godine, kada nije bilo ra~unara u praksi, a o aseizmi~kom projektovanju je bilo vrlo malo re~i u redovnoj nastavi. U me|uvremenu su se nepovoljno preklopile tri stvari: formalno jednostavni propisi, nedovoljno obrazovanje in`enjera u praksi i pojava atraktivnih softvera koji "sve re{avaju"- najgora mogu}a kombinacija. Otuda i koncept teksta, iz namere da se objasni su{tina, da se pojasne na{i propisi i da se da uvod u budu}e evropske propise, ~iji se prednacrt u me|uvremenu pojavio.

Od studenata se o~ekuje normalno predznanje, kao i priprema unapred. Na ~asovima }e se prvenstveno ukazati na bitne stvari sadr`ane u tekstu a dokle }e se sti}i, zavisi od inspiracije izlaga~a i zainteresovanosti studenata. Sve {to je potrebno sadr`ano je u tekstu, tabla }a slu`iti samo za ad-hok diskusije, prema tome, studenti treba pred sobom da imaju tekst. Nakon nekih od poglavlja, studenti }e dobiti zadatke koje treba sami da urade. Zadaci se rade kod ku}e, predaju, prihvataju ili ne, ali su obja{njenja eventualnih zabluda kolektivna, jer su gre{ke obi~no sistematske.

O~igledno je da u ovakvom sistemu nedostaje li~no upoznavanje, kontakt, rad sa svakim pojedina~no. Prednost je data konceptu "svi sve ~uju", kako obja{njenja tako i odgovore na pojedina~na javna pitanja. Koga materija bude posebno zainteresovala, vrata kabineta su mu otvorena, pa }emo to nadoknaditi, u kamernom okru`enju.

Dugujem zahvalnost svima kojima sam eventualno bio potreban ovih mesec dana, nadam se da nisu digli ruke od mene. Predmetnom nastavniku prof.M.A}i}u zahvaljujem na podr{ci pri pisanju teksta. Posebnu zahvalnost izra`avam Branku Milosavljevi}u koji je ~itavu stvar inicirao, podsticao da bi na kraju i pa`ljivo pro~itao tekst. Prihvatio sam sve njegove primedbe, posebno onu da mu se sve ovo dopada i da smatra da je u pitanju "jedna korisna i dobra knjiga". Ko se ne slo`i, neka ka`e, bi}e pomenut, u slede}em, "pravom" izdanju.

Beograd, oktobar 1999. Vanja Alendar

SADR@AJ uz Deo A

1. REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA O ZEMLJOTRESIMA 1-1

1.1 OPIS ZEMLJOTRESA 1-1

1.2 ZAPISI UBRZANJA TLA U TOKU VREMENA - AKCELEROGRAMI 1-3

2. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU LINEARNO ELASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 2-1

2.1 REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA 2-1

2.2 SPEKTRI ODGOVORA ELASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 2-5

3. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU NELINEARNIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-1

3.1 TRADICIONALNA - SAVREMENA ZA[TITA KONSTRUKCIJA OD ZEMLJOTRESA 3-1

3.2 OSNOVI DINAMIKE ELASTO-PLASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-2

3.3 ODGOVOR NA ZEMLJOTRES ELASTO-PLASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-4

3.4 NELINEARNI SPEKTRI ODGOVORA EP SISTEMA 3-6

3.5 KONCEPT NELINEARNOG PRORA^UNA SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-7

3.6 AKUMULACIJA O[TE]ENJA I EKVIVALENTNA DUKTILNOST POMERANJA 3-8

4. KAKO REALIZOVATI ELASTO-PLASTI^AN SISTEM U ARMIRANOM BETONU 4-1

4.1 KRIVINA PRESEKA - POMERANJE KONSTRUKCIJE 4-1

4.2 NELINEARNI ODGOVOR AB KONSTRUKCIJA 4-3

4.3 PO^ETNA KRUTOST AB PRESEKA I KONSTRUKCIJA 4-6

4.4 REALNO PONA[ANJE ARMIRANO BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRI CIKLI^NIM DEFORMACIJAMA 4-7

4.5 MODELIRANJE AB KONSTRUKCIJA 4-8

5. SISTEMI SA VI[E STEPENI SLOBODE 5-1

5.1 REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA 5-1

5.2 UPRO[]ENA MODALNA SPEKTRALNA ANALIZA 5-2

5.3 PLASTI^NI MEHANIZMI SISTEMA SA VI[E STEPENI SLOBODE 5-5

5.4 OBEZBE\ENJE POUZDANOSTI @ELJENOG MEHANIZMA KONSTRUKCIJE - "PROGRAMIRANO PONA[ANJE" 5-6

5.5 OCENA PONA[ANJA KONSTRUKCIJA NELINEARNOM STATI^KOM ANALIZOM 5-7

5.6 OCENA PONA[ANJA KONSTRUKCIJA PRI "ZAMRZNUTIM POMERANJIMA" 5-8

6. KONCEPT SAVREMENIH PROPISA - UVOD U EVROKOD 8 (EC8) 6-1

6.1 OP[TI ALGORITAM PROPISA 6-1

6.2 ULAZNI SEIZMI^KI PODACI 6-2

6.3 ELASTI^NI SPEKTAR UBRZANJA 6-2

6.4 KLASE DUKTILNOSTI KONSTRUKCIJA 6-3

6.5 DOZVOLJENA VREDNOST FAKTORA REDUKCIJE OPTERE]ENJA

- FAKTORA PONA[ANJA PREMA EC8 6-4

6.6 PROJEKTNI (NELINEARNI) SPEKTAR UBRZANJA 6-5

6.7 REGULARNOST KONSTRUKCIJE 6-6

6.8 TORZIONA KRUTOST KONSTRUKCIJE 6-7

6.9 KRUTOST TAVANICA U SVOJOJ RAVNI 6-7

6.10 OSNOVNI NOSE]I SISTEM PRI ZEMLJOTRESU 6-8

6.11 PRORA^UNSKA KRUTOST ELEMENATA 6-9

6.12 PROSTORNO DEJSTVO ZEMLJOTRESA 6-11

6.13 PRORA^UN UTICAJA USLED ZEMLJOTRESA 6-12

6.14 EFEKTI DRUGOGA REDA 6-12

6.15 PRERASPODELA UTICAJA 6-13

6.16 KOEFICIJENTI SIGURNOSTI 6-13

6.17 DIMENZIONISANJE, KONSTRUISANJE DETALJA

I OBEZBE\ENJE ZAHTEVANE DUKTILNOSTI 6-14

6.18 PROGRAMIRANO PONA[ANJE 6-14 6.18.1 Faktor preoptere}enja 6-14 6.18.2 Zidovi 6-15 6.18.3 Grede 6-15 6.18.4 Stubovi 6-16 6.18.5 ^vorovi okvira 6-16 6.18.6 Konstrukcijski sistem 6-17

6.19 KONTROLA POMERANJA KONSTRUKCIJE 6-18

6.20 KADA SE EFEKTI ZEMLJOTRESA MOGU ZANEMARITI ? 6-20

6.21 OKVIRNE KONSTRUKCIJE SA ISPUNOM 6-20

6.22 MONTA@NE KONSTRUKCIJE 6-20

6.23 FUNDIRANJE 6-20

7. SEIZMI^KI PRORA^UN PREMA YU PROPISIMA 7-1

7.1 ULAZNI SEIZMI^KI PODACI 7-1

7.2 ELEMENTI PRORA^UNA SEIZMI^KIH UTICAJA 7-1

7.3 PORE\ENJE EC8 I YU81 7-3 8. LITERATURA uz Deo A

1-1

1. REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA O ZEMLJOTRESIMA UVOD

U uvodnom delu izlo`eni su osnovni seizmolo{ki pojmovi : opis zemljotresa u pro-

storu, ja~ina zemljotresa u epicentru - magnutuda, povratni period zemljotresa kao i opis efekata zemljotresa na objekte i okolinu na nekoj lokaciji - intenzitet. U nastavku, defini-{u se merljive fizi~ke veli~ine koje su podloga za in`enjerski opis zemljotresa na nekoj lokaciji: ubrzanje, brzina i pomeranje tla, postupak registrovanja - akcelerogrami kao i njihove empirijske veze sa magnitudom i rastojanjem lokacije od epicentra. Na kraju, dat je primer efekata zemljotresa u Mionici 1998. na lokaciji teritorije Beograda.

1.1 OPIS ZEMLJOTRESA

Zemljotres predstavlja kretanje tla usled naglih tektonskih poreme}aja u delu zemljine kore - `ari{tu (hipocentar), na dubini H - `ari{na dubina, slila 1.1 Zemljotresi sa `ari{nom dubinom H

1-2

Maljen-Mionica 1998. M=5,6 ). Smatra se da je najve}a mogu}a magnituda M=9 (Lisabon 1755. M=8,6 ).

Prose~an vremenski interval Tp (godina) izme|u pojave dva zemljotresa iste ja~ine naziva se povratni period zemljotresa sa magnitudom M. Ja~i zemljotresi doga|aju se re|e, sa du`im povratnim periodom. Za zemljotres sa povratnim periodom od Tp=50 godina o~ekuje se da se pojavi jedanput u 50 godina, dva puta u 100 godina itd.

Recipro~na vrednost povratnog perioda, P=1/Tp, predstavlja verovatno}u pojave zemljotresa odre|ene ja~ine u jednoj - teku}oj godini.

Ocena merodavnog zemljotresa za projektovanje konstrukcija vr{i se prema prihvatljivom riziku za odre|eni objekat /2/ :

P=0,02 (Tp=50 godina) - o{te}enja koja ne zahtevaju popravku, P=0,002 (Tp=500 godina) - o{te}enja koja se mogu popraviti, tzv. projektni

zemljotres, P=0,0002 (Tp=5000 godina) - nepopravljiva o{te}enja.

Verovatno}a pojave zemljotresa sa povratnim periodom Tp u vremenskom intervalu od T godina iznosi Pt=1-(1-P)

T . Verovatno}a pojave zemljotresa sa povratnim periodom Tp=500 godina u narednih T=10 godina iznosi P10=1-(1-1/500)

10 = 0,02 = 1/50. U periodu od T=Tp godina, verovatno}a pojave zemljotresa sa povratnim periodom Tp iznosi PTp = 0,63 (P50=P500=P5000).

Mera efekata, posledica zemljotresa na objekte i okolinu naziva se intenzitet zemljotresa - I na odre|enoj lokaciji. Gradacija posledica izra`ava se skalama intenziteta, koje mogu da budu opisne (..."padaju dimnjaci, zvone crkvena zvona, otpada malter"...) ili kvantitativne (ubrzanje, brzina, pomeranje tla, ili kombinacija ovih veli~ina). Na osnovu opisnih skala procenjuje se o~ekivana ili dogo|ena {teta, ali za analizu efekata zemljotresa na konstrukcije podatak da "zvone zvona" je neupotrebljiv.

U Jugoslaviji se koristi MSK-64 skala, sa dvanaest stepeni intenziteta zemljotresa. Zemljotresi intenziteta do {est stepeni ne smatraju se {tetnim, dok na teritoriji Jugoslavije najve}i o~ekivani intenzitet zemljotresa sa povratnim periodom Tp=500 godina iznosi devet stepeni. Mada izme|u o~ekivane {tete i ubrzanja tla postoji slaba korelacija, ako ne postoje pouzdaniji podaci obi~no se za vezu intenziteta I i gornje granice najve}eg o~ekivanog ubrzanja tla ag pretpostavlja:

intenzitet VII-og stepena: ag 0,10 g (zona niskog seizmi~kog intenziteta) intenzitet VIII-og stepena: ag 0,20 g

intenzitet IX-og stepena: ag 0,40 g gde je g=9,81 m/s 2 ubrzanje zemljine te`e. Pove}anju intenziteta za jedan stepen odgo-vara dva puta ve}e ubrzanje tla. Prema Siko{eku /1/, za vezu magnitude M i intenziteta zemljotresa I u epicentru, za teritoriji Jugoslavije mo`e da se usvoji relacija

I = 1,5M - 0,5 (1.2)

Za odre|enu lokaciju - teritoriju, ocena o~ekivanog intenziteta zemljotresa sa razli~itim povratnim periodima Tp vr{i se na osnovu seizmi~ke rejonizacije - analize lokalnih geolo{kih uslova, kao i o~ekivanih magnituda, `ari{nih dubina i epicentralnih rastojanja zemljotresa koji mogu da se pojave u potencijalnim `ari{tima. Rejonizacija mo`e da bude prose~na - makro-rejonizacija (globalna podela teritorije Jugoslavije, prema kojoj se u Beogradu mo`e o~ekivati zemljotres intenziteta I=VIII sa povratnim periodom Tp=500 godina), ili detaljna - mikro-rejonizacija. Podaci se sistematizuju u obliku seizmolo{kih karata, koje prikazuju intenzitet ili neki merljiv podatak, kao {to je ubrzanje tla. Za potrebe izgradnje stanice "Beograd - Centar" u Prokopu, nakon

1-3

seizmi~ke mikrorejonizacije, za maksimalno o~ekivano ubrzanje tla pri zemljotresu sa povratnim periodom Tp=500 godina usvojeno je ag = 1,18 m/s

2 = 0,12g , {to je znatno manje od navedene gornje granice ubrzanja tla za VIII-u seizmi~ku zonu od 0,20g.

1.2 ZAPISI UBRZANJA TLA U TOKU VREMENA - AKCELEROGRAMI

Zemljotres izaziva prostorno kretanje temeljnog tla, koje se mo`e opisati sa tri translacije i tri rotacije tla - "{est stepeni slobode". U zoni epicentra jakih zemljotresa obi~no su izra`ene sve komponenete kretanja, dok se za ocenu odgovora konstrukcije udaljenijih objekata rotacije tla obi~no mogu zanemariti. Kako se pouzdanost konstrukcija ionako proverava za efekte gravitacionih optere}enja, to se naj~e{}e zanemaruju i vertikalna ubrzanja tla usled zemljotresa.

Mada zemljotres u su{tini izaziva "prinudna pomeranja" konstrukcija, naj~e{}e se njegovi efekti opisuju preko ubrzanja mase konstrukcije, kao jo{ jedan slu~aj horizontalnog optere}enja, analogno dejstvu vetra.

Podaci o o~ekivanim ubrzanjima tla zasnivaju se, izme|u ostalog, i na zapisima ubrzanja tla u toku trajanja zemljotresa - akcelerogramima, koji se registruju pomo}u ure|aja akcelerografa. Za ocenu efekata zemljotresa na konstrukcije zna~ajni su podaci: maksimalno registrovano ubrzanje tla - max ag (na dalje - ag ), trajanje jakog dela zemljotresa - tD , predominantni period oscilovanja tla - Tg , slika 1.2. Na osnovu registrovanih ubrzanja, analiti~ki se mogu dobiti zapisi promene brzine tla - vg odnosno pomeranja tla - dg u toku vremena, slika

1.3b-c. Ra~unska apsolutna pomeranja tla su problemati~an podatak, jer se dobijaju nakon dvostruke integracije dijagrama ubrzanja tla, kome obi~no nedostaje po~etni deo, dok se akcelerograf automatski ne uklju~i. Zapisi ubrzanja obi~no se koriguju, pa kako postupci korekcije vremenom napreduju, menja se i ra~unsko pomeranje tla zemljotresa El Centro iz 1940. godine.

Prema Naumoskom /1/, maksimalno ubrzanje tla ag (cm/s 2) zemljotresa magni-

tude M , na lokaciji sa `ari{nim rastojanjem R - atenuacijska formula, mo`e da se oceni prema relaciji

ag = 654e 0,54 M/(R+20) 1,33 (1.3)

maksimalna o~ekivana brzina tla vg (cm/s) iznosi

vg = 4,43e 0,94 M/(R+20) 1,38 (1.4)

a maksimalno o~ekivano pomeranje tla dg (cm) mo`e da se oceni pomo}u relacije

dg = 0,060e 1,20 M/(R+20) 1,34 (1.5)

Prema Paulay /2/, veza maksimalnog ubrzanja tla ag (m/s 2) i intenziteta zemljo-

tresa I na jednoj lokaciji mo`e da se prika`e u obliku

ag = 10 - 2,40 + 0,34 I odnosno (1.6)

I = (log10 ag + 2,40)/0,34 (1.7)

max ag

Tg

tD

Ubr

zanj

e tla

- a g

(t)

Vreme - t (s) Slika 1.2 Karakteristike zapisa

ubrzanja tla

1-4

Prema Watabe-u /1/, trajanje jakog dela zemljotresa tD (s) mo`e da se proceni

prema relaciji

tD = 10 (M-2,5)/ 3,23 (1.8)

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0 5 10 15 20 25 30

Ubr

zanj

e (g

)

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0 5 10 15 20 25 30

Ubr

zanj

e (

g)

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0 5 10 15 20 25 30

Vreme - (s)

Ubr

zanj

e (g

)

Petrovac '79ag=0,30g

Ulcinj '79ag=0,24g

Beograd '98ag=0,023g

d.

e.

f.

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0 5 10 15 20 25 30

Ubr

zanj

e (g

)

-400

-200

0

200

400

0 5 10 15 20 25 30

Brz

ina

(mm

/s)

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

0 5 10 15 20 25 30

Vreme (s)

Pom

eran

je (m

m)

El Centro '40ag=0,32g

El Centro '40 vg=361mm/s

El Centro '40dg=214mm

a.

b.

c.

Slika 1.3 Zapisi zemljotresa: a)El Centro (zemljotres Imperial Walley, California, 1940.,

komponenta EW, M=6,6), b-c) El Centro - brzina i pomeranje tla, d)Petrovac (Crna Gora 1979., komponenta EW, M=7,0), e)Ulcinj (Crna Gora 1979., komponenta EW, M=7,0), f)Beograd (Mionica 29.09.1998., komponenta EW, M=5,6, epicentralno rastojanje Re=74 km, dubina `ari{ta H=16 km). Zapis "Beograd" registrovan je na sarmatskim kre~njacima

("lokalno tlo"), na stanici Ta{majdan Republi~kog seizmolo{kog zavoda u Beogradu.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 50 100 150 200

R (km)

a g (g

)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0 100 200 300R (km)

Peri

od T

g (s

)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

5 6 7 8 9Intenzitet - I

a g (g

)

M=6

M=7

M=8

a. b. c.

M=8

M=7

M=6

70 km70 km

Slika 1.4 (a) atenuacijska kriva prema (1.3); (b) ubrzanje tla - intenzitet prema (1.6); (c) predominantni period oscilovanja tla Tg u zavisnosti od magnitude i `ari{nog rastojanja /1/

1-5

Prema Seed-u /1/, predominantni period sopstvenih oscilacija tla Tg na nekoj lokaciji raste sa porastom magnitude M, ali i sa pove}anjem `ari{nog rastojanja R, slika 1.4.c - "tlo filtrira" visoke frekvence sopstvenih oscilacija. Navedene empirijske relacije treba shvatiti kao kvalitativne, izme|u ostaloga i zbog toga {to su preuzete od razli~itih autora, pa je mogu}a neusagla{enost veli~ina, intenziteta na primer.

Primer 1.1 .......... Na osnovu ocenjene magnitude M=5,6 i dubine `ari{ta H=16 km zemljotresa u

Mionici 1989. godine, analiti~ki odrediti parametre kretanja tla u epicentru i na lokaciji Beograd, R~Re=74 km.

Prema (1.2), intenzitet zemljotresa u epicentralnom podru~ju Mionice 1998.

godine iznosio je

I = 1,5x5,6-0,5 = 7,9

{to se dobro sla`e sa registrovanim o{te}enjima na terenu.

Prema (1.3), maksimalno prose~no ubrzanje tla u Beogradu iznosi

ag= 654e 0,54x5,6/(74+20)1,33=31,9cm/s 2 = 0,032g

dok je na stanici Ta{majdan, na kre~njacima, registrovano ubrzanje od 0,023g, slika 1.3.f.

Prema (1.4), maksimalna brzina tla u Beogradu iznosi

vg = 4,43e 0,94x5,6/(74+20)1,38 = 1,62 cm/s

dok se integracijom registrovanih ubrzanja dobija vrednost vg = 0,85 cm/s. Prema (1.5), maksimalno pomeranje tla u Beogradu iznosi

dg=0,060e 1,20x5,6/(74+20)1,34 = 0,11 cm

dok se integracijom registrovanih ubrzanja dobija vrednost dg = 0,07 cm. Prema (1.7), ra~unski intenzitet zemljotresa u Beogradu iznosi

I=(log10 0,032x9,81 + 2,40)/0,34 = 5,6

dok se ocene kre}u u granicama I=5-5,5. Prema (1.8), trajanje jakog dela zemljotresa iznosi

tD = 10 (5,6-2,5)/3,23 = 9,1 s

{to se sla`e sa merenjima. Prema slici 1.4c, predominantni period sopstvenih oscilacija tla je u granicama

Tg = 0,25 - 0,30 s, {to ukazuje da je ovaj zemljotres bio najopasniji za krute konstrukcijske sisteme, sa niskim periodom sopstvenih oscilacija.

Ukupni utisak je da predlo`eni izrazi prihvatljivo opisuju merene i osmatrane

veli~ine. I pored niskog intenziteta registrovanog u Beogradu, zemljotres sa epicentrom u Mionici izazvao je prili~no uznemirenje u Beogradu, pa i mala o{te}enja na pojedinim starijim objektima. Prema re~ima svedoka, na pojedinim lokacijama pojavila se i panika u visokim objektima.

1-6

Generalno, zemljotresi ~ija je du`ina trajanja jakog dela tD 1).

Prema va`e}oj rejonizaciji teritorije Jugoslavije, Beograd se nalazi u VIII-oj, a Mionica u IX-oj zoni seizmi~kog intenziteta, prema skali MSK-64. Utisak je pojedinih gra|evinaca kao i seizmologa da su o~ekivani efekti zemljotresa na teritoriji Beograda precenjeni. Ako je `ari{te u podru~ju Mionice, pri zemljotresu magnitude M=5,6, u Beogradu izazvalo ubrzanje od samo 0,02g na steni, postavlja se pitanje koje je to `ari{te, i kolika je energija potrebna da se iniciraju ubrzanja od oko 0,2g, sa povratnim periodom od Tp=500 godina?

Beograd je podru~je sa najve}om koncentracijom stanovni{tva i materijalnih dobara u Jugoslaviji, pa pri dono{enju budu}ih propisa i utvr|ivanju karata ubrzanja tla treba izvr{iti ozbiljne analize.

Izneta dilema ni u kom slu~aju nije prilog pau{alnim procenama tipa "ma kakav zemljotres!". [ta mo`e da se dogodi na teritoriji Beograda prvenstveno treba da procene seizmolozi. Za gra|evince je to jedno od dejstava na konstrukcije, ma koliko iznosilo. I slab zemljotres mo`e da bude opasan za lo{a konstrukcijska re{enja.

2-1

2. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU LINEARNO ELASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE UVOD Poznavanje pona{anja konstrukcije, uz pretpostavku njenog elasti~nog odgovora na kretanje tla pri zemljotresu je osnovni podatak za ocenu efekata zemljotresa na konstrukcije. Realne konstrukcije naj~e{}e imaju vi{e stepeni slobode, ali je prvi ton oscilacija naj~e{}e dominantan, i predstavlja osnovu ve}ine propisa u ovoj oblasti. Nakon definisanja osnovnih pojmova iz dinamike konstrukcija, prikazan je odgovor dva elasti~na sistema sa jednim stepenom slobode, na dva karakteristi~na zapisa ubrzanja tla - akcelerograma. U nastavku, re{enje se generalizuje na ceo opseg sopstvenih perioda realnih gra|evinskih konstrukcija, formulisanjem elasti~nih spektara ubrzanja i pomeranja .

2.1 REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA

Za opisivanje kretanja jedne mase konstrukcije u prostoru u op{tem slu~aju potrebno je {est komponenti pomeranja, tri translacije i tri rotacije mase. Zavisno od dispozicije konstrukcije, rasporeda masa kao i pravca dejstva dinami~ke pobude - kretanja tla, broj nezavisnih komponenti pomeranja koji je dovoljan da se opi{e kretanje se smanjuje, i naziva se broj stepeni slobode. U slu~aju dominantnog horizontalnog kretanja jedne mase u ravni, govori se o sistemu sa jednim stepenom slobode - nepoznatim horizontalnim pomeranjem mase d(t) u toku vremena, slika 2.1.

Pri dejstvu spoljne stati~ke sile F, horizontalno pomeranje d mase u op{tem slu~aju posledica je vi{e komponenti pomeranja: pomeranja d usled klizanja temelja, pomeranja aH usled rotacije temelja za ugao a, pomeranje d1 i d3 usled deformacija savijanja i smica-nja i pomeranja d2 usled aksijalnog optere}enja pojedinih delova konstrukcije, slika 2.1

d = D + aH + d1 + d2 + d3 = dF = F/k (2.1)

Ukupno pomeranje d usled jedini~ne sile F=1 , naziva se fleksibilnost konstrukcije ("matrica fleksibilnosti"), dok se inverzna vrednost k=1/d naziva krutost konstrukcije na pomeranje ("matrica krutosti"). U ve}ini slu~ajeva, fleksibilnost odnosno krutost konstruk-

W W W W

d1 d2 d3Dh

bh

aH

d = +D aH d1+ +

a

H

d

W

k

FW

D

d2 d3+

M,Q N M,Q

Slika 2.1 Komponente pomeranja sistema sa jednim stepenom slobode

2-2

cije mogu dovoljno ta~no da se odrede samo iz deformacija savijanja, na osnovu krutosti EI preseka na savijanje.

Pri kretanju tla sa zna~ajnijim ubrzanjem d"g(t), problem postaje dinami~ki, jer se u konstrukciji javljaju i inercijalne sile. Osnovne dinami~ke karakteristike sistema su period sopstvenih oscilacija sistema

T=2p(m/k) = 2p(md) (2.2)

odnosno kru`na frekvenca sopstvenih oscilacija

w = 2p/T = (k/m) (2.3)

gde je m - masa sistema.

Ukupno pomeranje d t mase u odnosu na po~etni polo`aj u prostoru jednako je zbiru pomeranja dg konstrukcije kao krutog tela zajedno sa tlom, slika 2.1.b, i relativnog pomeranja d mase u odnosu na temelj, slika 2.1.c. Totalno, apsolutno ubrzanje mase u prostoru iznosi d t" = d"g + d".

Odgovor konstrukcije na kretanje tla sa promenljivim ubrzanjem d"g (t) mo`e da se odredi na osnovu re{enja problema relativnog kretanja mase konstrukcije sa nepomerljivim temeljom, optere}ene efektivnom dinami~kom silom u centru mase Pef =-md"g slika 2.1.d.

U svakom trenutku vremena t , rezultanta horizontalnog "spoljnog opetre}enja" - zbir efektivne Pef i inercijalne sile FI = md" usled relativnog ubrzanja, u ravnote`i je sa unutra{njim silama konstrukcije, otporu elasti~ne konstrukcije pomeranjima - FK=kd, i sili prigu{enja kretanja FC=cd', gde je c - viskozno prigu{enja a d' - relativna brzina kretanja, slika 2.1.d

Pef - FI - Fk - Fc = 0 odnosno (2.4)

md" + cd' + kd = -md"g (2.5)

Podeljena sa masom m, jedna~ina (2.5) glasi

d" + 2xwd' + w 2d = -d"g (2.6)

gde je x=c/2mw koeficijent prigu{enja, a A(t)=w 2d "pseudo ubrzanje" mase. Za veli~ine koeficijenta prigu{enja x

2-3

U slu~aju kretanja tla, re{enje jedna~ine (2.6) mo`e da se odredi u obliku Duhamel-ovog integrala, ili se primenjuju numeri~ke metode, kao {to je Njumarkova metoda sa konstantnim ubrzanjem /3/, /4/. Ulazni podatak je promena ubrzanja tla u toku vremena d"g(t), definisana zapisima ubrzanja tla - akcelerogramima, slika 1.3.

^esto se umesto registrovanih vred-nosti ubrzanja koriste skalirane vrednosti ubrzanja tla. Oblik zapisa se zadr`ava, ali

se sve ordinate akcelerograma multiplikuju odnosom ag / maxd"g(t) , tako da maksimalno ra~unsko ubrzanje tla bude jednako `eljenoj vrednosti ag .

Rezultati analize se tradicionalno prikazuju u obliku sile elasti~nog otpora konstrukcije Fk(t)=mA(t)=mw 2d(t) - koncept"zemljotresa kao spoljnog optere}enja", slika 2.3.a. Danas je trend da se efekti zemljotresa interpretiraju kao "prinudno relativno pomeranje" konstrukcije, dok je sila F(t)=kd(t) u op{tem slu~aju funkcija krutosti k konstrukcije, slika 2.3.b.

d(t)FK(t)=Kd(t)

d(t)FK(t)

a. b.

Slika 2.3 Interpretacija rezultata analize

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 5 10 15 20 25 30

-200

-150

-100

-50

0

50

100

0 5 10 15 20 25 30

Pomeranje tlaPomeranje konstr.

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 5 10 15 20 25 30

a.

b.

c.

d.

e.

f.

T=0,5s T=1,5s

T~ 1,5sT~ 0,5s

El Centroag=0,2g

-200

-150

-100

-50

0

50

100

0 5 10 15 20 25 30

Pomeranje tlaPomeranje konstr.

Aps

olut

no p

omer

anje

(m

m)

Rel

ativ

no p

omer

anje

(m

m)

Ubr

zanj

e (g

)

0,58

35,7

66,2

0,12

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0 5 10 15 20 25 30

Vreme t (sec)

Pseudo ubrzanje

Ubrzanje tla

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0 5 10 15 20 25 30

Vreme t (sec)

Pseudo ubrzanje

Ubrzanje tla

Slika 2.4 Odgovor elasti~ne konstrukcije na zapis El Centro

2-4

Primer 2.1...... Njumarkovom metodom odrediti odgovor elasti~ne konstrukcije sa jednim stepenom

slobode na uticaj zapisa El Centro prema slici 1.3.a, skaliranog na maksimalno ubrzanje tla ag=0,2g. Analizirati dva slu~aja konstrukcija, sa periodom sopstvenih oscilacija T=0,5s odnosno T=1,5s. Za vrednost koeficijenta prigu{enje usvojiti x=5%.

Na slici 2.4 prikazani su rezultati analize sa korakom integracije od 0,02 sekunde: ukupna - apsolutna pomeranja tla odnosno mase konstrukcije (sl.2.4.a i d), relativna pomeranja mase u odnosu na temelj (sl.2.4.b i e) kao i vrednosti ubrzanja tla odnosno pseudo ubrzanja mase konstrukcije A(t)/g, (sl.2.4.c i f).

Tlo sa sobom "nosi" konstrukciju, i nizom impulsa ubrzanja u toku vremena izaziva sopstvene oscilacije i relativna pomeranja mase. Nepravilan niz impulasa u oba slu~aja izaziva oscilacije konstrukcije sa periodama prakti~no jednakim sopstvenim periodima oscilovanja T=0,5 odnosno T=1,5s. Konstrukcija sa ni`om periodom T=0,5s ima manja relativna pomeranja u odnosu na mek{u konstrukciju, {to je op{ti trend i za druge zapise, ali ne i pravilo.

U oba slu~aja maksimalno ubrzanje tla je naravno 0,2g, ali se kod kru}e konstrukcije, sa ni`om periodom ubrzanja mase dodatno uve}avaju, amplifikuju na iznos 0,58g, dok je u slu~aju "mek{e" konstrukcije pseudo ubrzanja od 0,12g manje od ubrzanja tla. Vrednost faktora amplifikacije - odnos maksimalnog ubrzanja konstrukcije i tla iznosi b0 = 0,58g/0,2g = 2,9 (T=0,5s) odnosno b0 = 0,12g/0,2g = 0,6 (T=1,5s). Primer 2.2.....

Njumarkovom metodom odrediti odgovor elasti~ne konstrukcije sa jednim stepenom slobode za uticaj zapisa Petrovac prema slici 1.3.d, skaliranog na maksimalno ubrzanje tla ag=0,2g. Analizirati dva slu~aja konstrukcija, sa periodom sopstvenih oscilacija T=0,5s odnosno T=1,5s. Za vrednost koeficijenta prigu{enje usvojiti x=5%.

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 5 10 15 20 25

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 5 10 15 20 25

a.

b.

c.

d.

T=0,5 s T=1,5 sPetrovacag=0,2g

Rel

ativ

no p

omer

anje

(m

m)

Ubr

zanj

e (g

)

60,5

30,3

0,054

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0 5 10 15 20 25

Vreme t (sec)

Pseudo ubrzanjeUbrzanje tla

0,97

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0 5 10 15 20 25

Vreme t (sec)

Pseudo ubrzanjeUbrzanje tla

Slika 2.5 Odgovor konstrukcije na zapis Petrovac

2-5

Na slici 2.5 prikazani su rezultati analize sa korakom integracije od 0,02 sekunde: relativna pomeranja mase u odnosu na temelj (sl.2.5.a i c) kao i vrednosti ubrzanja tla odnosno pseudo ubrzanja mase konstrukcije A(t)/g, (sl.2.5.b i d).

U ovom slu~aju konstrukcija sa ni`om periodom ima ve}a relativna pomeranja. Ubrzanja kru}e konstrukcije se amplifikuju 4,85 puta na iznos od ~ak 0,97g, dok u slu~aju mek{e konstrukcije, pseudo ubrzanje iznosi samo 0,054g.

Dva navedena primera pokazuju da za odgovor konstrukcije nije bitan samo iznos

maksimalnog ubrzanja tla nego i predominantni period oscilacija tla Tg , slika 1.4.c kao i frekventne karakteristike zemljotresa - tok promene ubrzanja u vremenu. Sa druge strane, za isti zapis, odgovor konstrukcija sa razli~itim periodama sopstvenih oscilacija se razlikuje.

2.2 SPEKTRI ODGOVORA ELASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE KRETANJA

Za isti zapis ubrzanja tla d"g(t), svi elasti~ni sistemi sa istim periodom T, odnosno kru`nom frekvencom sopstvenih oscilacija w (m/k=const) i prigu{enjem x pona{aju se identi~no u toku trajanja zamljotresa, i dosti`u iste ekstremne vrednosti relativnih pomeranja, relativnih brzina odnosno totalnih - pseudo ubrzanja. Ukoliko se ordinate ubrzanja tla pomno`e, normalizuju faktorom a, u istom odnosu promeni}e se i odgovoraju}e ekstremne vrednosti.

Projektante u praksi obi~no interesuju upravo ove ekstremne vrednosti, jer defini{u maksimalno naprezanje i pomeranje konstrukcije, ali za o~ekivani zemljotres na datoj lokaciji, za koji se eventualno zna o~ekivano maksimalno ubrzanje tla ag , ali ne i tok, frekventne karakteristike zemljotresa. Zbog toga se za analizu naj~e{}e koriste zapisi dogo|enih zemljotresa, ili se matemati~ki formiraju simulacije - sintetizovani zapisi ubrzanja tla, skalirani na o~ekivano maksimalno ubrzanje tla ag .

Postupkom prikazanim u prethodnim primerima, efekti pojedinih zapisa Z ubrzanja tla na konstrukcije sa razli~itim priodama Ti mogu da se sistematizuju u obliku spektra odgovora, koji prikazuju maksimalni odgovor konstrukcije - pomeranje, brzinu ili ubrzanje, ~iji je algoritam prikazan na slici 2.6.

Za izabrani zapis Z (El Centro na primer), numeri~kom integracijom sra~unava se

odgovor konstrukcija sa razli~itim periodama T1 -Tn. Za svaku od perioda Ti , registruje se

d(t)

T1

Ti

Tnx=5%

D=max d(t)

V=wDA=w2D

Novi zapis ubrzanja tla - Z

D1(T1)

Di(Ti)Dn(Tn)

Period T

Pom

eran

je D Z1

Zj

Zm

Start

Slika 2.6 - Algoritam formiranja spektra odgovora

2-6

maksimalno sra~unato pomeranje sistema D=maxd(t), na osnovu ~ega se formira dijagram, spektar pomeranja D(T) za zapis Z. Umesto sra~unatih maksimalnih relativnih brzina i totalnih ubrzanja, obi~no se koriste pseudo vrednosti brzina - V=wD odnosno pseudo ubrzanja A=w 2D, za koja je re~eno da su prakti~no jednaka totalnim ubrzanjima mase. Postupak se ponavlja sa novim zapisima ubrzanja tla (Petrovac na primer), ~ime se dobija familija spektra odgovora, koji se obi~no normalizuju ili na ubrzanje zemljine te`e g, ili na maksimalno o~ekivano ubrzanje tla ag . Primer 2.3.....

Za zapise ubrzanja tla El Centro, Petrovac, Ulcinj i Beograd, formirati elasti~ne spektre pseudo ubrzanja i relativnih pomeranja u intervalu perioda T=0,02 - 3,0s, prigu{enje x=5%.

Na slici 2.7 prikazani su rezultati prora~una, normalizovani na maksimalno ubrzanje

tla ag . Na dijagramima su ozna~ene i prethodno dobijene vrednosti iz primera 2.1 i 2.2. Op{ti trend je da sa produ`enjem perioda oscilacija konstrukcije opada vrednost

maksimalnih ubrzanja ali i raste vrednost maksimalnih pomeranja konstrukcije. Zapisi Petrovac i Ulcinj registrovani su istovremeno, pri istom zemljotresu, ali na

razli~itim lokacijama. Razlike spektara odgovora ukazuju na zna~aj lokalnih efekata tla, koji mogu znatno da izmene frekventni sastav oscilacija tla koje poti~u iz istog izvora - `ari{ta zemljotresa.

Primer 2.4..... Za elasti~nu konstrukciju sa periodom oscilovanja T=1,5s, odrediti maksimalno relativno pomeranje i ubrzanje za efekte zemljotresa "tipa" El Centro sa maksimalnim ubrzanjem tla ag = 0,2g. Prema slici 2.7.b, maksimalno pomeranje iznosi

D = ag D(ag ) = 0,2g x 0,034 = 0,2x9810x0,034 = 66,7 mm.

Prema slici 2.7.a, maksimalno ubrzanje iznosi

A = ag A(ag ) = 0,2g x 0,59 = 0,118g (=w 2D /g = (2p /1,5) 2x66,7/9810)

0

1

2

3

4

5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Period (s)

A (

ag )

= A

/a g

El Centro

Petrovac

Ulcinj

Beograd Petrovac

Beograd4,85

2,87

1,972,18

0,590,27

0.000

0.025

0.050

0.075

0.100

0.125

0.150

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Period (s)

D(

a g )

= D

/ag

(s)

Ulcinj

Petrovac

El Centro

Beograd0,015

0,034

0,124

0,031 0,018 0,012

Slika 2.7 Spektar odgovora: a) pseudo ubrzanja i b) relativnog pomeranja elasti~nog sistema

2-7

Za sistem sa masom m, maksimalna vrednost reakcije konstrukcije - ra~unskog seizmi~kog optere}enja F iznosi

F = mA = 0,118mg

Transverzalna sila i moment uklje{tenja konzole visine H iznose Q=F odnosno M=FH. Primer 2.5..... Za konzolu visine H=6,67m, sa te`inom konstrukcije na vrhu W=300 kN, odrediti potreban moment inercije I stuba punog kvadratnog popre~nog preseka, tako da pri zemljotresu El Centro, sa maksimalnim ubrzanjem tla od ag=0,2g pomeranje vrha konzole D bude jednako 1% od visine konzole H. Moduo elasti~nosti beton E=250 GPa.

Masa konstrukcije iznosi

m = W/g=300/9,81 = 30,58 kNs 2/m

Dozvoljeno pomeranje vrha konstrukcije iznosi

maxD=1%H = 0,01 x 6,670 m = 0,0667 m odnosno

maxD/ag = 0,0667/0,2x9,81 = 0,034 s

Prema slici 2.7.b, za zapis El Centro i vrednost D(ag )= 0,034 s, sledi da konstrukcija treba da ima period oscilovanja od T=1,15s. Kako je T=2p(md), to pomeranje vrha konzole usled stati~kog dejstva jedini~ne sile d=1H 3/3EI treba da iznosi

d = (T/2p) 2/m = (1,5/2p) 2/30,58 = 1,86 10 -3 m pa je

potI = H 3/3Ed = 6,67 3/3 x 2,5 10 7 x 1,86 10 -3 = 2,12 10 -3 m4.

Potrebna dimenzija b stuba kvadratnog popre~nog preseka iznosi

b=(12 x potI) 1/4 = (12 x 2,12 10 -3) 1/4 = 0,40 m.

3-1

3. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU NELINEARNIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE UVOD Nivo optere}enja elasti~ne konstrukcije usled zemljotresa mo`e, u slu~aju izuzetno zna~ajnih objekta da se usvoji kao projektno optere}enje konstrukcije pri zemljotresu, ili da se kontrolisano smanji. Klasi~ni koncept smanjenja nivoa optere}enja zasniva se na dopu{tanju nelinearnog odgovora konstrukcije, uz pojavu kontrolisanih o{te}enja konstrukcije. Nakon obja{njenja osnovnih pojmova dinamike elasto-plasti~nih sistema, ilustruje se postupak formiranja nelinearnog spektra ubrzanja, uspostavljanjem veze raspolo`ive duktilnosti pomeranja konstrukcije i dozvoljenog nivoa redukcije seizmi~kog optere}enja. Polaze}i od nelinearnog spektra ubrzanja, izlo`en je op{ti algoritam projektovanja seizmi~ki otpornih konstrukcija, koji je osnova svih propisa. Na kraju, osim jednostavnog kriterijuma iscrpljenja konstrukcije dostizanjem kapaciteta deformacija pri monotonom stati~kom optere}enju, formulisan je i kombinovani kriterijum, kao podloga za definisanje ekvivalentne duktilnosti pomeranja, ~ime se obuhvata i cikli~na istorija deformacija konstrukcije pri zemljotresu.

3.1 TRADICIONALNA - SAVREMENA ZA[TITA KONSTRUKCIJA OD ZEMLJOTRESA

Nivo seizmi~kog optere}enja pri elasti~nom odgovoru konstrukcija obi~no je izuzetno visok, i te{ko ga je konstrukcijskim merama prihvatiti. Pri tome, ve} je uvo|enje viskoznog prigu{enja od x = 5% zna~ajno, ali ne i dovoljno ubla`ilo efekte zemljotresa, slika 3.1 - pseudo ubrzanje konstrukcije normalizovano na ubrzanje zemljine te`e.

Problem ima i svoju ekonomsku stranu, kao i

uvek - ulo`iti sredstva pri gra|enju za ne{to {to se mo`da ne}e ni desiti, ili prihvatiti rizik o{te}enja i eventualnih popravki? Pri razmi{ljanju kako da se konstrukcija racionalno adaptira zemljotresu, da se za{titi od preoptere}enja usled prinudnih pomeranja izazvanih pomeranjem tla koje ne mo`emo da spre~imo, treba imati u vidu da su pri dinami~kim pojavama mogu}i i konstrukcijski sistemi - privremeni mehanizmi koji su "stabilni" dok traje kretanje, slika 3.2. Kod realnih konstrukcija, potrebno je ipak obezbediti stabilnost sistema pre i nakon prestanka kretanja, kao i ograni~iti mogu}u trajnu deformaciju sistema.

Tradicionalni koncept smanjenja efekata zemljotresa zasniva se na umanjenju seizmi~kog optere}enja putem adaptacije krutosti osnovne nose}e konstrukcije pomeranjima

Slika 3.2 "Stabilan sistem" pri

kretanju

-4-3-2-101234

0 5 10 15 20 25

Vreme (s)

Ubr

zanj

e (

g)

Prigu{enje 0%Prigu{enje 5%Prigu{enje 20%

Slika 3.1 Efekat viskoznog prigu{enja, T=0,5s

3-2

usled zemljotresa, slika 3.3, {to podrazumeva pojavu odre|enog nivoa o{te}enja konstrukcije - neelasti~an tj. nelinearan odgovor konstrukcije. Usvojeni iznos prigu{enja od 5% tako|e podrazumeva pojavu nagla{enijih prslina.

Deluje kao paradoks da konstrukcija sa manjim optere}enjem F

3-3

kineti~ke i potencijalne energi-je. Ukoliko nema prigu{enja, amplitude oscilacija jednake su po~etnom pomeranju dm - elas-ti~an sistem "se se}a" stanja iz koga je izveden i reaguje "koleri~no".

Pretpostavimo da je ela-sti~ni nivo optere}enja Fe kon-strukcijski neprihvatljiv, i da `elimo da ga smanjimo na iz-nos Fy = Fe /R, gde je R usvo-jena vrednost faktora redukcije

elasti~nog optere}enja. Pri prinudnom pomeranju dm , elasto-plasti~an sistem (EP - sistem) sa istom inicijalnom kruto{}u k "sti}i }e" u ta~ku 3 na slici 3.5.b.

Akumulirana potencijalna energija EP sistema jednaka je povr{ini Ee2 , jer je znatan deo unete energije Eh nepovratno izgubljen proizvo|enjem trajne deformacije dp . Osloba|anjem od oslonca, EP sistem }e da osciluje u "pomerenom polo`aju", sa smanjenim ubrzanjem i amplitudom, po pravoj 3-4 odnosno izme|u ta~aka M-EP na slici 3.5.a. Kako su masa i inicijalna krutost isti, to je i period oscilovanja EP sistema jednak periodu oscilovanja elasti~ne konstrukcije.

Zavisno od nosivosti Fy odnosno stepena redukcije optere}enja R, EP sistem akumulira manje potencijalne energije - delimi~no "zaboravlja odakle je krenuo", adaptira se trajnim deformacijama, reaguje relativno "flegmati~no".

Ukoliko je u pitanju monotoni stati-~ki opit cikli~nih deformacija, pri "rastere}e-nju", pomeranju iz ta~ke 3 u suprotnom smeru, odgovor EP sistema opisan je "putem" 3-4-5-6 itd. Primer 3.1..... Za sistem sa jednom masom i perio-dom oscilovanja T=0,5s, odrediti odgovor sis-tema na impuls ubrzanja tla koji linearno raste od ag(t=0)=0 do ag (t=0,1s)=0,2g , slika 3.6.a. Za vrednosti faktore redukcije usvojiti R=1 (elasti~an sistem), 2,5, 5 i 10, a za prigu{enje x = 0. Za re{enje nelinearnog dinami~kog problema upotrebljen je program DIANA - TNO Delft /5/. Zadatak je re{en primenom Njumarkove metode integracije i modifi-kovane Njutn-Rapsonove iterativne proce-dure /3/,/4/. Na slici 3.6.a prikazana su rela-tivna pomeranja, a na slici 3.6.b optere}enje odgovaraju}e konstrukcije, normalizovano na proizvod mase i maksimalnog ubrzanja tla - pseudo ubrzanje konstrukcije. Kao {to je i nagove{teno, nakon prestanka kretanja

ME EP

dm

dp

k (x=0)

d

F

dm

-dmdp

Fe

Fy

-Fe

-Fy

k

k

1

II

3

4

dy

Eh

Ee1

Ee2

2

I

5

6

a. b.

Slika 3.5 Dinamika elasto-plasti~nog - EP sistema

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Vreme (s)

Pom

eran

je (

mm

)

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0F/(

ma g

)

R=1,0R=2,5R=5,0R=10

R=1,0R=2,5R=5,0R=10

Fy=maxFe/R

0,2g

0,1s

a.

b.

Slika 3.6 Odgovor EP sistema na impuls

ubrzanja tla

3-4

tla (t=0,1s), EP sistemi osciluju u pomerenom - deformisanom polo`aju, sa smanjenim ubrzanjem odnosno optere}enjem sistema, limitiranim usvojenom nosivo{}u sistema Fy .

3.3 ODGOVOR NA ZEMLJOTRES ELASTO-PLASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE

Pretpostavimo da je poznat odgovor elasti~ne konstrukcije sa kruto{}u k na dati zapis ubrzanja tla, maksimalno seizmi~ko optere}enje Fe i relativno pomeranje de , slika 3.7. Potrebno je odrediti tok i maksimalnu vrednost pomeranja dm EP sistema sa istom inicijalnom kruto{}u k , ali sa redukovanom nosivo{}u Fy=Fe /R i odgovaraju}im

pomeranjem dy na granici dostizanja nosivosti tj. granici elasti~nosti.

Odnos md = dm /dy naziva se potrebna duktilnost pomeranja sistema. Da bi se obezbedila stabilnost kon-strukcije, kapacitet pomeranja konstrukcije du treba da je ve}i od o~ekivanog maksimalnog pomeranja dm pri zemljotresu. Cilj nelinearnih dinami~kih analiza naj~e{-}e je utvr|ivanje potrebne duktilnosti pomeranja pri usvojenoj redukciji nosivosti sistema. Jedna~ine kretanja (2.6) i dalje va`e na po~etnom delu 1-2, dok na delu 2-3 glasi

md" + cd' + Fy = -md"g (3.1)

a na delu 3-4, slika 3.5.b

md" + cd' + k(d-dp)= -md"g (3.2)

Primer 3.1 Za zapise El Centro, Petrovac i Ulcinj, analizirati odgovor elasto - plasti~nih sistema sa

periodom oscilovanja T=0,5, 1,5 i 3,0 sekunde, za vrednosti faktora redukcije R=2,5, 5 i 10. Za sva tri zapisa, za maksimalno ubrzanje tla usvojiti ag=0,2g.

U prvom koraku odre|eno je maksimalno optere}enje elasti~nog sistema Fe , i potom su formirani elasto-plasti~ni sistemi sa redukovanom nosivo{}u u odnosu na zahtevanu nosivost elasti~nog sistema Fe . U Tabeli 1 dat je prikaz rezultata analiza za sve zapise i periode oscilovanja, dok je na slici 3.8 prikazan vremenski odgovor konstrukcije sa periodom T=0,5 sekundi usled zemljotresa El Centro. Kriva R=1 predstavlja odgovor elasti~ne konstrukcije, koji je prethodno prikazan i na slici 2.4.

d

F

de

dm=mddy

Fe

Fy =Fe/R

k

1 dy

2

I

3

md

R

EP

E

4Lom

du

Slika 3.7 Osnovni parametri EP

modela

Tabela 1 Period T0.50 0.50 0.50 0.50 1.50 1.50 1.50 1.50 3.00 3.00 3.00 3.00

R A/ag D/ag md DM A/ag D/ag md DM A/ag D/ag md DM1.0 2.87 0.018 0.00 0.59 0.034 0.00 0.39 0.088 0.00

El Centro 2.5 1.15 0.013 1.76 0.96 0.24 0.032 2.40 1.21 0.15 0.073 2.08 1.055.0 0.58 0.014 3.89 1.35 0.12 0.037 5.42 1.77 0.08 0.054 3.03 0.9210.0 0.29 0.017 9.31 2.05 0.06 0.055 16.30 2.85 0.04 0.078 8.88 1.351.0 4.85 0.031 0.27 0.015 0.11 0.024

Petrovac 2.5 1.95 0.019 1.54 0.92 0.11 0.022 3.61 1.68 0.04 0.019 2.02 0.985.0 0.97 0.012 1.88 0.90 0.05 0.011 3.57 1.42 0.02 0.014 2.85 0.9010.0 0.49 0.015 4.75 1.12 0.03 0.010 6.42 1.88 0.01 0.016 6.85 1.291.0 1.97 0.012 2.18 0.124 0.34 0.115

Ulcinj 2.5 0.79 0.029 5.91 3.01 0.87 0.100 2.02 0.98 0.20 0.125 2.72 1.235.0 0.40 0.052 20.80 6.64 0.44 0.098 3.94 1.06 0.10 0.087 3.80 0.9710.0 0.20 0.071 57.30 9.43 0.22 0.127 10.20 1.40 0.05 0.062 5.42 0.91

3-5

Relativna pomeranja EP sistema u granicama su pomeranja koja dosti`e elasti~an

sistem (35,6mm), pri ~emu je najmanje pomeranje sistema sa faktorom redukcije R=2,5 (25,0mm = 70% pomeranja elasti~nog sistema), slika 3.8.a.

Kao {to je i zadato, maksimalno optere}enje EP sistema ne prelazi propisanu nosivost u odnosu na elasti~an sistem, slika 3.8.b, normalizovano na mag.

Deljenjem pomeranja d(t) u nekom trenutku vremena sa odgovoraju}om vredno{}u pomeranja na granici elasti~nosti dy za svaki od EP modela, dobija se tok promene faktora duktilnosti pomeranja md(t), slika 3.8.c. Karakteristi~no je da maksimalna potrebna duktilnost pomeranja EP sistema raste sa veli~inom faktora redukcije elasti~nog optere}enja R. Smanjenje nosivosti "pla}a se" pove}anim zahtevima za obezbe|enje post-elasti~nih deformacija konstrukcije. Zahtevane vrednosti potrebne duktilnosti pomeranja md relativno su bliske usvojenim vrenostima faktora redukcije optere}enja R, razlike su do 30%.

U Tabeli 1, prikazane su maksimalne vrednosti odgovora konstrukcija, maksimalno pseudo ubrzanje A/ag i pomeranje D/ag normalizovani na maksimalno ubrzanje tla

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 5 10 15 20 25 30

R=1R=2,5R=5R=10

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30

-10.0

-7.5

-5.0

-2.5

0.0

2.5

5.0

0 5 10 15 20 25 30

35,6

25.0

33,1

9,31 R=10

3,89 R=5

El Centroag=0,2g T=0,5sPomeranje (mm)

a.

El Centroag=0,2g T=0,5s

Sila/mag

1,76 R=2,5

El Centroag=0,2g T=0,5s

Duktilnost pomeranja md

Trajna deformacija27,7

2,87

2,87/2,5

b.

c.

Slika 3.8 Odgovor EP sistema na zemljotres El Centro

3-6

ag = 0,2g. Pored maksimalne potrebne duktilnosti pomeranja md , prikazane su i vrednosti indeksa o{te}enja DM konstrukcije, koji }e biti komentarisan kasnije, u poglavlju 3.6.

Na slici 3.9.a prikazana je zavisnost pseudo ubrzanja A(ag ) konstrukcije u funkciji perioda oscilovanja i faktora redukcije R za zapis El Centro. Kroz sra~unate vrednosti za tri perioda oscilovanja provu~ena je regresiona kriva. Maksimalno ubrzanje pa i optere}enje konstrukcije opadaju sa porastom faktora redukcije R kao i sa porastom perioda T.

Na slici 3.9.b prikazana je zavisnost potrebne duktilnosti pomeranja md u funkciji

faktora redukcije R i perioda oscilovanja T za zapis El Centro. U podru~ju perioda du`ih od t=0,5 sekundi, trend je da potrebna duktilnost ne zavisi od perioda oscilovanja, kao i da vrednost potrebne duktilnosti pomeranja te`i usvojenoj vrednosti faktora redukcije R.

Izneta zapa`anja va`e i za zapis Petrovac, Tabela 1, dok odgovor konstrukcije sa periodom T=0,5s na zapis Ulcinj pokazuje potpuno odstupanje.

3.4 NELINEARNI SPEKTRI ODGOVORA EP SISTEMA

U praksi je obi~no poznata obezbe|ena vrednost faktora duktilnosti pomeranja md , a tra`i se dozvoljena vrednost faktora redukcije optere}enja R, inverzan problem.

Analogno prethodnoj analizi, ali uz malo vi{e truda, mogu da se formiraju inverzne krive R(md ,T), crtkaste linije na slici 3.10.a. Sistematskom parametarskom analizom razli~i-tih EP sistema podvrgnutih razli~itim zapisima ubrzanja tla, mogu}e je ustanoviti pogodne aproksimacije ove zavisnosti, od kojih je jedna, mo`da i najpoznatija prikazana na slici 3.10.a, puna linija, za vrednosti faktora duktilnosti pomeranja konstrukcije md =2,5, 5 i 10.

U podru~ju izrazito kratkih perioda oscilovanja, ispod vrednosti T1 , vrednost faktora redukcije iznosi R=1, za sve obezbe|ene duktilnosti pomeranja. To je tzv. oblast "jednakih ubrzanja konstrukcije i tla ", karakteristi~na za izrazito krute konstrukcije koje se moraju projektovati na prakti~no elasti~an odgovor konstrukcije.

2.08

3.89

5.42

3.03

9.31

16.30

8.88

1.76

2.40

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0.0 1.0 2.0 3.0

Period (s)

d

R=2,50

R=5,00

R=10,0

2.87

0.39

1.15

0.24

0.58

0.12 0.080.29

0.59

0.15

0.040.060.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.0 1.0 2.0 3.0

Period (s)

A (

a g)

R=1,00

R=2,50

R=5,00

R=10,0

a. b.

Slika 3.9 Zapis El Centro: a) pseudo ubrzanje, b) potrebna duktilnost pomeranja

3-7

U podru~ju kra}ih i srednjih perioda T=T1 -T2 , dozvoljena vrednost faktora

redukcije R mo`e da se aproksimira izrazom

R=(md -1) 1/2 (3.3)

U podru~ju du`ih perioda, T>T2 , za vrednost faktora redukcije mo`e da se usvoji da je jednaka vrednosti obezbe|enog faktora duktilnosti pomeranja

R = m d (3.4)

Ukoliko se vrednosti elasti~nog spektra ubrzanja (R=1) podele odgovaraju}im vrednostima faktora redukcije R(md ,T), dobija se nelinearni spektar pseudo ubrzanja konstrukcije , primer za zapis El Centro na slici 3.10.b. Na slici 3.11 prikazana je uobi~ajena interpretacija navedenih veza. Iz sli~nosti trouglova dijagrama F-d, mo`e da se zaklju~i da identitet R=md ustvari zna~i da je pomeranje EP sistema jednako pomeranju elasti~nog sistema sa istom po~etnom kruto{}u, fundamentalni zaklju~ak na kome }e se zasnivati propisi, slika 3.11.a.

Prema slici 3.11.b, relacija R=(md -1) 1/2 mo`e da se interpretira kao uslov jednakih povr{ina ispod dijagrama F-d elasti~nog i EP sistema, otuda i naziv "uslov jednakih energija

deformacija".

3.5 KONCEPT NELINEARNOG PRORA^UNA SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE

Na osnovu rezultata dosada{njih analiza, mo`e da se uspostavi koncept prora~una odgovora konstrukcija na dejstva zemljotresa, koji se zasniva na poznatim nelinearnim spektrima odgovora konstrukcija na dejstva zemljotresa, prema algoritmu na slici 3.12.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3Period (s)

R

md=2,5

md=5

md=10

T1 T20

1

2

3

0.0 1.0 2.0 3.0

Period (s)

A (

a g)

md=1,0

md=2,5

md=5,0

md=10

a.

b.

a.

Slika 3.10 a) Zavisnost faktora redukcije R od obezbe|ene duktilnosti pomeranja;

b) nelinearni spektar pseudo ubrzanja konstrukcije

Fe

Fy=Fe/R

dy d=de=mddy

R=md

d

Fe

Fy=Fe/R

dy d=mddy

R=(md -1)1/2

de

d

a.

b.

Slika 3.11 Interpretacija

faktora redukcije R

3-8

Sa poznatim podacima o geometriji, materijalu, optere}enju konstrukcije kao i maksimalnom o~ekivanom ubrzanju tla ag , projektant mo`e da sra~una period oscilovanja T1 . Na osnovu tipa konstrukcijskog sistema, nivoa aksijalnog optere}enja i predvi|enih detalja armiranja, usvaja se obezbe|ena duktilnost pomeranja md , recimo md =5. Na osnovu sra~unatog perioda i duktilnosti, sa referentnog nelinearnog spektra ubrzanja o~itava se vrednost ubrzanja konstrukcije A(ag ), pa je projektno optere}enje jednako proizvodu mase, ubrzanja tla i normalizovanog ubrzanja, Fd =(Fy )=mag A.

Sa projektnim optere}enjem vr{i se "stati~ki prora~un", odre|uju se naprezanja delova konstrukcije, dimenzioni{u preseci i proverava stvarno pomeranje konstrukcije pri zemljotresu, polaze}i od pomeranja na granici elasti~nosti. Kona~no, vr{i se konstruisanje detalja tako da se obezbedi pretpostavljena vrednost duktilnosti pomeranja konstrukcije.

U prethodnom poglavlju, nelinearni spektar ubrzanja konstrukcije konstruisan je razmatraju}i elasto-plasti~ni model odgovora konstrukcije. Izlo`eni algoritam se principijelno ne menja i ako se odgovor konstrukcije modelira na neki drugi na~in, koji bolje opisuje realni odgovor konstrukcija od armiranog betona, na primer. Osnov koncepta je da, za poznatu duktilnost pomeranja konkretne konstrukcije, nosivost nelinearnog sistema mo`e da se redukuje u odnosu na maksimalni odgovor elasti~nog sistema.

3.6 AKUMULACIJA O[TE]ENJA I EKVIVALENTNA DUKTILNOST POMERANJA

Rezultat dosada{njih razmatranja je da je definisan odgovor elasti~ne, kao i elasto-plasti~ne konstrukcije na zemljotres - pomeranje dm odnosno potrebna duktilnost pomera-nja md , definisana kao odnos maksimalnog pomeranja dm nelinearnog sistema pri zemljo-

W

H

m=W/g

b,d,MB k T1=2p(m/k)1/2

Procena md (= 5,0)

0

1

2

3

0.0 1.0 2.0 3.0

Period (s)

md=1,0

md=2,5

md=5,0

md=10

Projektno seizmi~kooptere}enje

Fd = (Fy) = m agA

ag

W

Stati~kiprora~un

Fd

M,Q,N,dDimenzionisanje

presekaKontrola pomeranja

Kon

stru

is. d

etal

jaO

bezb

e|en

je m

d

T1

A (

a g)

Slika 3.12 Koncept prora~una konstrukcija na bazi nelinearnog spektra ubrzanja konstrukcije

3-9

tresu i pomeranja dy pri dostizanju nosivosti nelinearnog sistema. Me|utim, koliki treba da bude kapacitet pomeranja konstrukcije du pri monotonom stati~kom optere}enju, da bi nivo o{te}enja konstrukcije nakon zemljotresa bio u prihvatljivim, `eljenim granicama? - nije definisan kriterijum prihvatljivog odgovora nelinearne konstrukcije pri zemljotresu.

Kao najjednostavniji kriterijum mo`e da se usvoji odnos maksimalnog pomeranja dm pri zemljotresu i obezbe|enog kapaciteta pomeranja du konstrukcije pri monotonom stati~kom prinudnom pomeranju, slika 3.13. Tada indeks o{te}enja konstrukcije DM iznosi

DM=dm /du = md /mu < 1 (3.5)

gde je mu=du /dy duktilnost pomeranja pri dostizanju loma, iscrpljenja nosivosti konstrukcije. Ako je pri zemljotresu indeks o{te}enja dostigao vrednost DM=1, konstrukcija je dovedena u stanje kolapsa. Projektant mo`e da uti~e na nivo za{tite konstrukcije od o{te}enja izborom odgovaraju}e ve}e vrednosti du .

Kriterijum (3.5) prihvatljiv je u slu~aju odgovora konstrukcija sa jednim izra`enim pomeranjem preko granice elasti~nosti dy , i sa zanemarljivom akumulacijom o{te}enja zbog ve}eg broja ciklusa post-elasti~nih deformacija.

Me|utim, u situacijama kada konstrukcija trpi ve}i broj zna~ajnijih ciklusa post-elasti~nih deformacija, akumulacija o{te}enja u toku du`eg trajanja jakog dela zemljotresa mo`e da "iscrpi" konstrukciju. U takvim slu~ajevima, kao mera o{te}enja konstrukcije ~esto se usvaja kombinovana vrednost indeksa o{te}enja u obliku

DMdd

EF d

m

u

h

y u= + b

S (3.6)

gde je SEh integral potro{ene energije - histerezisne krive EP sistema, slika 3.13, ~ija vred-nost raste sa du`inom trajanja zemljotresa odno-sno sa brojem ciklusa, Fy je nosivost sistema, dok je prvi ~lan dm /du ve} definisan izrazom (3.5.). Vrednost faktora b utvr|uje se eksperimentalno, a za kvalitativnu analizu odgovora AB konstruk-

cija mo`e da se usvoji b=0,15 /6/. Kao i ranije, vrednost DM=1 defini{e potpuno iscrpljenje nosivosti konstrukcije. Primer 3.2....... Na slici 3.14 prikazan je tok promene vrednosti indeksa o{te}enja DM u toku

d

F

de

-du

Fe

-Fy

k

1

Eh

2 "Lom"

dy dm

3

45

6du

Fy

Monotoni opit

Slika 3.13 Indeks o{te}enja DM

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30

Vreme (s)

DM

T=1,5;R=10

T=0,5;R=10

T=1,5;R=5

T=3,0;R=5

T=3,0;R=2,5T=0,5;R=2,5

0

1

2

0 5 10 15 20 25 30

Vreme (s)

DM

T=1,5;R=10

T=1,5;R=5

a. b.

Slika 3.14 Zapis El Centro, indeks o{te}enja DM: a) du = de ; b) du > de

3-10

trajanja zemljotresa El Centro sa maksimalnim ubrzanjem tla ag=0,2g. Dijagram 3.14.a do-bijen je uz pretpostavku da je kapacitet pomeranja du pri monotonom optere}enju upravo jed-nak maksimalnom ostvarenom pomeranju de odgovaraju}e elasti~ne konstrukcije, du = de . U tom slu~aju je mu=R, slika 3.7. Po~etna vrednost indeksa, DM(t=0), pretstavlja ustvari izraz (3.5), da bi potom vrednost indeksa DM rasla u toku trajanja zemljotresa.

Predvi|eni kapacitet pomeranja je nedovoljan (DM>1), po pravilu u slu~ajevima ve}ih stepena redukcije optere}enja R, kada je zna~ajan udeo akumilacije o{te}enja, drugi ~lan izraza 3.6, slika 3.13. Za dati zapis zemljotresa, kapacitet deformacija konstrukcije du u ovom slu~aju treba korigovati.

Na slici 3.14.b prikazana je promena indeksa DM za korigovanu konstrukciju, kod koje je za kapacitet pomeranja du pri monotonom optere}enju usvojeno: du = 1,5de u slu~aju R=2,5, du = 1,8de u slu~aju R=5 i du = 2,4de u slu~aju R=10. Kao {to se vidi, vrednosti indeksa DM prakti~no su svedene u granice DM=1, osim za slu~aj konstrukcije sa periodom T=1,5 za koju je vrednost faktora redukcije optere}enja R=10 u ovom slu~aju prevelika.

Tok akumulacije o{te}enja u toku trajanja zemljotresa Petrovac i Ulcinj prikazan je

na slikama 3.15 odnosno 3.16. Za konstrukciju sa periodom T=0,5 sekundi "lociranu" u Ulcinju "nema spasa", ako bi se stvarno pona{ala prema primenjenim modelima.

0

1

2

0 5 10 15 20 25Vreme (s)

DM

T=1,5;R=10

T=3,0;R=10T=1,5;R=5

T=1,5;R=2,5

T=0,5;R=10

0

1

2

0 5 10 15 20 25Vreme (s)

DM

T=1,5;R=2,5

a. b.

Slika 3.15 Zapis Petrovac, indeks o{te}enja DM: a) du = de ; b) du > de

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 5 10 15 20 25Vreme (s)

DM

T=0,5;R=10

T=0,5;R=5,0

T=0,5;R=2,5

0

1

2

3

4

0 5 10 15 20 25Vreme (s)

DM

T=0,5;R=10

T=0,5;R=5,0

T=0,5;R=2,5

a. b.

Slika 3.16 Zapis Ulcinj, indeks o{te}enja DM: a) du = de ; b) du > de

3-11

Rezultati izvr{enih analiza ukazuju da je u znatnom broju slu~ajeva potrebno

obezbediti ne{to ve}i potreban kapacitet duktilnosti pomeranja mu pri monotonom optere}enju od zahtevane duktilnosti pomeranja md pri zemljotresu - tzv. ekvivalentnu duktilnost, na~elno

mm am

ud d

DM=

+( )1 (3.7)

gde se za vrednost faktora a mo`e kvalitativno usvojiti a=0,10. Za vrednost DM=1,0, relacija 3.7 prikazana je na slici 3.17, za dve vrednosti parametra a.

^emu vrednost DM u izrazu 3.7? Kvalitativno, smatra se da su u slu~aju kada je DM

4-1

4. KAKO REALIZOVATI ELASTO-PLASTI^AN SISTEM U ARMIRANOM BETONU

UVOD

U prethodnim razmatranjima analiziran je odgovor konstrukcije sa elasto-

plasti~nom vezom sile i pomeranja vrha. U ovom poglavlju, analiza silazi na nivo popre~nog preseka i razmatraju se zahtevi koji se postavljaju u pogledu potrebnih krivina preseka odnosno veza napon - dilatacija na nivou materijala. U nastavku, razmatra se kapacitet nelinearnih deformacija uobi~ajenih betonskih preseka i konstrukcija, kao i konstrukcijske mere za pove}anje kapaciteta - utezanje betonskih preseka uzengijama. Na kraju je dat prikaz jednog ispitivanja kao i savremenih postupaka modeliranja AB konstrukcija.

4.1 KRIVINA PRESEKA - POMERANJE KONSTRUKCIJE

Ako su rezultati prethodnih analiza zadovoljavaju}i, postavlja se pitanje kako realizovati EP model pomeranje-sila u realnim konstrukcijama sa jednim stepenom slobode, konzola na slici 4.1.a.

Da bi se postigla elasto-plasti~na veza sila-pomeranje F-d, neophodan uslov je da je bar na delu visine konstrukcije mogu}e realizovati elasto-plasti~nu vezu moment-krivina preseka M-k , slika 4.1.b.

Primer 4.1........

Odgovor elasti~ne konstrukcije na dejstvo sile F u vrhu konzole je moment Me=FH u uklje{tenju, pomeranje vrha dm i krivina preseka u uklje{tenju ke slika 4.1.a-b. Za zahtevanu vrednost duktilnosti pomeranja md i uz pretpostavku da je faktor redukcije optere}enja R=md , potrebno je konstruisati konstrukciju za koju }e moment u uklje{tenju imati vrednost My=Me /R. Krutost konstrukcije na pomeranje odrediti prema krutosti preseka na savijanje EI .

Sa poznatom vredno{}u momenta u uklje{tenju - nosivosti preseka My=Me /R odre|ena je i krivina na granici elasti~nosti ky=My /EI , slika 4.1.b. Prema Morovoj analogiji, pomeranje dy vrha konzole na granici elasti~nosti iznosi

d HH H

y yy= =0 5

23 3

2

, kk

(4.1)

W

Krivina

Pomeranje

km=mkkyky

H

Hp

mk

dm=mddydy

ke

EP

E

md

b.

F

Me

My=Me/RR

EP

E

a.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 0.05 0.1 0.15 0.2Du`ina plast. zgloba - Hp/H

Potr

ebna

duk

t.kri

vine

- mk

md=2,5

md=5,0

md=10

c.

Slika 4.1 Obezbe|enje elasto-plasti~ne veze sila-pomeranje

4-2

Ostatak pomeranja vrha do zahtevanog iznosa dm realizova}e se konstruisanjem plasti~nog zgloba u oblasti uklje{tenja. Sve elasto-plasti~ne deformacije konstrukcije bi}e koncentrisane na du`ini plasti~nog zgloba Hp , sa nepoznatom maksimalnom vredno{}u krivine preseka km = mk ky , slika 4.1.b. Za ostali deo konstrukcije pretpostavlja se da ostaje u oblasti elasti~nog odgovora materijala. Za du`inu Hp plasti~nog zgloba okvirno mo`e da se usvoji polovina dimenzije d preseka elementa u ravni savijanja.

Pomeranje d vrha konzole usled pove}anih krivina preseka preko granice elasti~nosti na du`ini plasti~nog zgloba Hp iznosi

d k k k m= - - = - -( ) ( ) ( ) ( , )m y pp

y k pp

H HH

HHH2

1 0 52 (4.2)

Da bi se obezbedilo zahtevano pomeranje vrha konzole dm , treba da je zadovoljen uslov

d = dm - dy = dy(md -1) (4.3)

Uvr{}enjem (4.1) i (4.2) u (4.3) dobija se veza potrebne duktilnosti krivine mk na du`ini plasti~nog zgloba Hp i zahtevane duktilnosti pomeranja vrha konzole md

mkk

mk

m

y

d

p pHH

HH

= = +-

-1

1

3 1 0 5( , ) (4.4)

Na slici 4.1.c prikazana je zavisnost potrebne duktilnosti krivine mk u funkciji du`ine plasti~nog zgloba Hp i zahtevane duktilnosti pomeranja md . Veza va`i za bilo koji materijal, ~elik, beton, druga je stvar da li se potrebne duktilnosti krivina mogu, i pod kojim uslovima realizovati. Pri zahtevanoj duktilnosti pomeranja md = 5 i du`ini plasti~nog zgloba Hp /H = 0,10, potrebna duktilnost krivine iznosi mk=15, {to uop{te nije malo, u slu~aju AB konstrukcija.

Primer 4.2.........

Na slici 4.2 prikazan je okvir sa beskona~no krutom riglom - "smi~u}i okvir". Pri pomeranju vrha od dm , na slici 4.2.b prikazana je raspodela krivina, koja se mo`e interpretirati kao dve ekvivalentne konzole visine H. U ovom slu~aju, relacija (4.4) glasi

mkk

mk

m

y

d

p pHH

HH

= = +-

-1

0 5 1

3 1 0 5

,

( , ) (4.5)

Pri zahtevanoj duktilnosti pomeranja md =5, i du`ini plas-ti~nog zgloba Hp /2H = 0,10, potrebna duktilnost krivine izno-si mk=3,8 {to je u slu~aju AB konstrukcija lako ostvarljivo.

Da bi se ostvarila potrebna duktilnost pomeranja konstrukcije, i konstrukcijski sistem igra zna~ajnu ulogu.

dm

HH

Hp

kykm

Ekvivalentnakonzola

a. b.dm/2

dm/2

Slika 4.2 EP smi~u}i okvir

4-3

4.2 NELINEARNI ODGOVOR AB KONSTRUKCIJA

U armirano betonskim konstrukcijama, krivina preseka k posti`e se dilatacijama skra}enja usled pritiska u betonu - ec i izdu`enja ~elika es , slika 4.3.a

k = (ec + es )/h (4.5)

Da bi se u zoni plasti~nog zgloba uop{te realizovale nelinearne deformacije betona i armature, armatura mora da bude pouzdano usidrena u temelj, uz efikasno fundiranje koje }e da obezbedi da se pomeranje vrha konzole realizuje krivinama preseka, a ne rotacijom ili "skakutanjem" temelja.

Primer 4.3.........

Pri dimenzionisanju nosivosti preseka za uticaje uobi~ajenih optere}enja, dilatacije su propisima ograni~ene na ec

4-4

Za kvadratni presek stuba prikazani su dijagrami M-n-k (n=N/b 2bB) sa dilatacijama ~elika ograni~enim na 0,010 odnosno 0,040, "mimo propisa". Sa porastom aksijalnog optere}enja, opada grani~na vrednost krivine preseka pri lomu. Dopu{tanje ve}ih dilatacija ~elika pove}ava grani~nu vrednost krivine preseka, ali samo pri ni`im nivoima aksijalnog optere}enja, u slu~ajevima "loma po armaturi". Duktilnost krivine pri ~istom savijanju iznosi 4 - 5 (es< 0,010) odnosno 8 - 10 (es< 0,040), {to ne obe}ava, slika 4.1.c.

Poku{aj da se pri nivou aksijalnog optere}enja n = 0,20 duktilnost krivine preseka pove}a pove}anjem procenta armiranja m , slika 4.3.c ili marke betona, slika 4.3.d ne}e dati zadovoljavaju}e rezultate.

Postavlja se pitanje mo`e li se onda uop{te ne{to posti}i u armiranom betonu, mogu li se u slu~aju zemljotresa obezbediti pove}ane dilatacije armature i betona, makar i uz smanjenu nosivost preseka?

Na slici 4.4 uobi~ajeni "radni dijagrami" betona i ~elika prikazani su linijom 1, dok linije 2 prikazuju "po`eljne" dijagrame, odgovor materijala u slu~aju zemljotresa. Na dijagramu s-e ~elika, linija 3 je u slu~aju zemljotresa nepo`eljna, ~elik treba da poseduje osobinu oja~anja - linija 2, kako bi se obezbedila ve}a du`ina plasti~nog zgloba, postepenim propagiranjem dilatacija te~enja armature du` elementa.

Na slici 4.5 prikazani su rezultati jednoaksijalnih opita betona i ~elika. Dok se u

slu~aju rebrastih ~elika mogu dopustiti pove}ane dilatacije ~ak i do 10%, slika 4.5.b, dotle su dilatacije pritiska betonskih cilindara sa ~vrsto}om fc' u granicama definisanim propisma.

"Lom"

0,2 0,35

bb

e (%)

s

"Lom"

"g+p"

Zemljotres

1,5?

12

bbu

"Lom"

1,0

fy

e (%)

s

"Lom"

"g+p"

Zemljotres

6,0?

1

2

3

ft

a. b.

Slika 4.4 Radni dijagrami a) betona i b) ~elika

Dilatacija (%)

Nap

on (

MP

a)

0

10

20

30

40

50

60

70

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005Dilatacija

Nap

on (

MPa

)

fc'=60

fc'=50

fc'=40

fc'=30

fc'=20 a. b.

0,0035

Slika 4.5 Rezultati jednoaksijalnih opita: a) betona i b) ~elika /8/

4-5

Pove}anje duktilnosti krivine dopu{tanjem pove}anih dilatacija ~elika nije dovoljno, potrebno je da se nekako pove}a i kapacitet deformacija betona.

Opiti na slici 4.5.a su naravno izvedeni na nearmiranim betonskim prizmama. Na rezultatima ovih opita jednoaksijalne ~vrsto}e zasnivaju se uobi~ajeni algoritmi prora~una preseka na savijanje sa normalnom silom, u kom slu~aju se jednoaksijalno stanje napona prostire na delu ukupne povr{ine popre~nog preseka. U realnim konstrukcijama, "jednoaksijalna ~vrsto}a preseka elementa" je ve}a, jer se bo~nom {irenju betona pri pove}anim dilatacijama pritiska, sa pojavom podu`nih prslina u pravcu optere}enja suprotstavljaju uzengije preseka - preseci su "popre~no utegnuti", slika 4.6.b-c.

Bo~nom {irenju betona opire se ustvari "omota~" od podu`ne armature i uzengija.

Efikasnost utezanja zavisi od koli~ine i podu`nog razmaka uzengija, granice razvla~enja ~elika ali i od razmaka podu`nih {ipki koje su "bo~no pridr`ane - poduprte" uzengijama, slika 4.6.c. Ovaj omota~ defini{e utegnuto jezgro preseka dimenzija b0 prema slici 4.6.b. Primer 4.4.......

Za opisivanje efekata utezanja betona na pove}anje jednoaksijalne nosivosti i deformabilnosti postoje razli~iti predlozi, jedan od njih ilustrovan je na slici 4.6.a /2/. Kriva B1 predstavlja paraboli~nu aproksi-maciju rezultata opita sa slike 4.5.a za fc'=25 MPa, a linija B2 se odnosi na isti beton, ali utegnut uzengijama Rf10/10 prema slici 4.6.b. Pove}anje nosivosti je zna~ajno, i {to je va`nije, kapacitet dilatacija - deformabilnosti je pove}an.

Za dalje ra~unske analize, pret-postavljen je ne{to ni`i efekat utezanja - beton B3 , sa pove}anom ~vrsto}om od fc'=35 MPa koja se dosti`e pri dilataciji betona od 0,004, slika 4.6.a.

Na slici 4.7 prikazani su rezultati prora~una moment - krivina preseka prema

bw

l w

B3

B1-B3?

B1

0.0

10.1

25.0

39.7

19.9

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 0.005 0.01 0.015

Dilatacija

Nap

on (

MP

a)

B1

B2

B3

0,0022

0,004

F=fusv

34

b0=34

B3

B1

a.

c.

b.

d.

40

Slika 4.6 Utezanje AB preseka uzengijama

0

50

100

150

200

250

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Krivina (1/m)

Mom

ent (

kNm

)

Neutegnut presek - (B1)

Utegnut ceo presek - (B3)

Utegnuto jezgro preseka - jezgro (B3) - za{titni sloj (B1)

1

2

3

Slika 4.7 Efekat utezanja betona

4-6

slici 4.6.b, za iznos normalne sile od N=0,2fc'b 2=0,2x2,5x40 2=800kN. Kriva 1 predstavlja

odgovor neutegnutog preseka, model betona B1 sa slike 4.6.a. Linija 2 predstavlja odgovor preseka uz pretpostavku da je ceo popre~ni presek utegnut, model betona B3 . Pri pove}anim dilatacijama pritiska nastupa odvajanje, "oljuskavanje" za{titnog sloja preseka, i svo|enje nosivog preseka na presek utegnutog jezgra. Linija 3 prikazuje odgovor preseka kod koga je za jezgro usvojen model utegnutog betona B3 , a za za{titni sloj model neutegnutog betona B1 , slika 4.6.b.

U oba slu~aja, utezanje preseka znatno pove}ava grani~ne dilatacije pri dostizanju loma preseka, samim tim i maksimalne krivine odnosno kapacitet deformacija.

Isti princip va`i za bilo koju pritisnutu zonu slo`enih preseka, kao {to je zid T - preseka na slici 4.6.d, kod koga je potrebno pove}ati duktilnost krivine preseka utezanjem {rafiranih "skrivenih stubova". U zoni spoja rebra i flan{e zida uvek se postavljaju uzengije, ali eventualno ra~unski potrebno utezanje nije uvek potrebno.

Svi prora~uni moment - krivina ura|eni su programom RESPONSE, koji se na disketi distribuira uz ud`benik /9/.

4.3 PO^ETNA KRUTOST AB PRESEKA I KONSTRUKCIJA

Pri dosada{njim analizama teorijskih elasto-plasti~nih modela odgovora konstrukcija na dejstvo zemljotresa, formiranju nelinearnih spektara odgovora na primer, pretpostavljeno je da je inicijalna, po~etna krutost k elasti~ne i EP konstrukcije identi~na. Postavlja se pitanje kako odrediti prora~unsku krutost preseka i konstrukcije sa kojom se potom formira dinami~ki model konstrukcije?

Primer 4.5.......

Na slici 4.8.a prikazan je popre~ni presek slo`enog AB zida. Uz pretpostavku da je centri~ni napon pritiska usled gravitacionog optere}enja s0=1,5 MPa (N0=Acs0 = 2580 kN, Ac - povr{ina bruto preseka betona), i da je zid armiran minimalnom koli~inom armatute prema YU seizmi~kim propisima /10/, izvr{iti analizu prora~unskih krutosti preseka konstrukcije.

Ako se za krutost preseka na savijanje EI usvoji krutost EI0 bruto I-preseka slo`enog zi-da prema slici 4.8.a, veza moment - kri-vina prikazana je li-nijom 1 na slici 4.8.c.

Veza mome-nt-krivina odre|ena modeliranjem armi-ranog preseka pre-ma postupku iz

prethodnog primera, prikazana je na slici 4.8.b, pri ~emu je modelirano i oja~anje ~elika. Maksimalna krivina preseka zida iznosi skoro 3%. Detalj dijagrama, do vrednosti krivina od 0,2% prikazan je na slici 4.8.c. Elasto-plasti~na aproksimacija dijagrama moment-krivina prikazana je linijom 2 na slici 4.8.c, koja prolazi kroz karakteristi~nu ta~ku ra~unskog dijagrama za koju se naj~e{}e usvaja nivo od 75% momenta nosivosti My=8000 kNm. Sa

Krivina

Mom

ent

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002Krivina (1/m)

Mom

ent (

kNm

)

b.

c.

0,75My = 6000 kNm

0,0005

EIef=6000/0,0005 =1,2 107 kNm2

My=8000 kNm

12

0,03

10000Detalj

300

300 20

20

MB30Ec=250GPa

a.

EI0=5,5EIef

A (

a g)

F

Slika 4.8 Slo`eni zid, prora~unska krutost preseka

4-7

odgovaraju}om krivinom od 0,0005 1/m, efektivna krutost preseka iznosi EIeff = 1,2 10 7 kNm

2, {to je 5,5 puta manje od krutosti EI0 bruto I - preseka zida. Primer 4.6.......

U praksi ~est slu~aj usvajanja karakteristika samo rebra za prora~un krutosti preseka slo`enih zidova, zasniva se upravo na ~injenici da }e nakon dostizanja ~vrsto}e betona na zatezanje, beton zategnute flan{e i dela rebra zida biti isklju~en iz nosivosti i krutosti preseka, osim armature u ovom zonama.

Me|utim, onda bi trebalo biti dosledan, pa i za krutost jednostavnog zida koji nema flan{e tako|e usvojiti prora~unsku vrednost efektivne krutosti EIef , manju od krutosti bruto preseka EI0 , {to u praksi naj~e{}e nije slu~aj.

Na slici 4.9 prikazani su dijagrami moment-krivina pravougaonog zida, rebra zida na slici 4.8.a, sa istim normalnim naponom od gravitacionog optere}enja i istim minimalnim procentom armiranja. Efektivna krutost preseka iznosi EIef = 2,8 10 6 kNm 2 , linija 2, {to je ~ak 4,1 puta manje od krutosti bruto pravougaonog preseka EI0 , linija 1 na slici 4.9.

Usvajanje sni`ene krutosti zida I -preseka i pune krutosti zida pravougaonog preseka za posledicu ima poreme}aj relativnih krutosti elemenata konstrukcije, {to ima uticaja na prora~unske uticaje

slo`enih sistema, poglavlje 6.11.

4.4 REALNO PONA[ANJE ARMIRANO BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRI CIKLI^NIM DEFORMACIJAMA

Elasto-plasti~ni model jeste jednostavan za obja{njenje problema, dovoljno ta~no opisuje pona{anje betonskih preseka pri monotonim optere}enjima u istom smeru, ukoliko je lom po ~eliku, koji i daje karakter krive. Me|utim, pri cikli~nim deformacijama usled zemljotresa, fenomeni su slo`eniji i modeliraju se drugim, slo`enijim vezama moment - krivina ili sila - pomeranje.

Zbog poznatog Bau{ingerovog efekta, ni sam ~elik ne pokazuje idealan elasto-plasti~an odgovor na cikli~ne deformacije, dolazi do zaobljenja krive odgovora, sa povr{inom histerezisne krive manjom od elasto-plasti~nog odgovora, slika 4.10.

Pri formulisanju racionalnih modela pona{anja AB konstrukcija pri zemljotresu, nezamenljivu ulogu imaju laboratorijski eksperimenti kao i osmatranja pona{anja realnih konstrukcija pri zemljotresu. Kao primer, na slici 4.11 prikazana je dispozicija opita na modelima AB trospratnih zidova izvedenih na ETH - Cirih /8/.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002Krivina (1/m)

Mom

ent (

kNm

)

0,75My = 1800kNm

0,00065

EIef=1800/0,00065 =2,8 106 kNm2

My=2400 kNm

12

EI0=4,1EIef

Slika 4.9 Krutost pravougaonog preseka zida

s

e

1 2

3

4

5

6

7

Slika 4.10 Cikli~ne deformacije ~elika

4-8

Model zida trospratne zgrade u razmeri 1:3, sa tri mase od po 120 kN, testiran je zadavanjem ubrzanja vibracionoj platformi pomo}u prese - aktuatora, prema sintetizovanom akcelerogramu. Efekat gravitacionog optere}enja simuliran je vertikalnim prethodnim naprezanjem.

Na slici 4.12 prikazani su rezultati opita cikli~nog monotonog optere}enja dva zida, razli~ito armirana. Zid na slici 4.12.b poka-zuje dobar - po`eljan odgovor za AB konstrukcije. Elasto- plasti~ni

dijagram monotonog opita je anvelopa cikli~nih deformacija, ali histerezis znatno odstupa od elasto-plasti~nog modela (EP), su`en je i pokazuje tendenciju pada krutosti u toku ciklusa. Povr{ina histerezisa je manja nego u slu~aju teorijskog elasto-plasti~nog modela, samim tim i koli~ina potro{ene energije.

Zid na slici 4.12.a pokazuje nepo`eljnu, ali sasvim mogu}u situaciju u praksi. Osim pada krutosti preseka, prisutan je i pad nosivosti sa pove}anjem broja ciklusa, i definitivni lom pri relativno malom broju ciklusa.

4.5 MODELIRANJE AB KONSTRUKCIJA

Sve do pojave rezultata opita na modelu realne AB konstrukcije iz prethodnog poglavlja, teorija zasnovana na elasto-plasti~nom modelu odgovora konstrukcije je "lepo napredovala". Budu}i da se konstrukcije od betona stvarno izvode, i to uglavnom prema Propisima, zna~i da re{enje ipak postoji. Pre napu{tanja razmatranja efekata zemljotresa na primeru najjednostavnije konstrukcije, konzole sa jednom masom, potrebno je bar nagovestiti kako }e to "beton"

"Mase"3x120 kN

"N-sila"Kablovi

"AB zid"R=1:3

Vibracionaplatforma

Aktuator

Slika 4.11 Dispozicija opita /8/

Horizontalno pomeranje vrha (mm)

Sila

akt

uato

ra (

kN)

Mom

ent

u uk

lje{t

enj u

(kN

m)

S ila

akt

uato

ra (

kN)

Mom

ent

u uk

lje{t

enj u

(kN

m)

Horizontalno pomeranje vrha (mm)

Monotoni opit Monotoni opit

Pad nosivosti

Pad krutosti

a. b.

EP

Beton

Slika 4.12 Histerezisne krive /8/

Fy

Fy

d

k0

dydy

kn

kr

1 2

3

4

56

78

910

Slika 4.13 Model F-d sa uticajem akumulacije o{te}enja na krutost

4-9

sa slike 4.12.b da se uklopi u op{ti algoritam iz poglavlja 3.5. Ako elasto-plasti~ni model F(sila, moment)- d(pomeranje, krivina preseka) ne opisuje

korektno odgovor realnih AB konstrukcija, onda treba "smeniti" model. Na slici 4.13 kvalitativno je prikazan ra~unski model odgovora kakvi se danas koriste u nelinearnoj analizi AB konstrukcija izlo`enih dejstvu zemljotresa. Inicijalna krutost k0 kao i nosivost Fy (pri ~emu plato ne mora da bude horizontalan) odre|eni monotonim opitom formiraju kostur krive. Zavisno od trenutnog iznosa deformacije d, ali i od istorije deformacija, krutost sistema se menja u toku cikli~nih deformacija pri zemljotresu. Pravila po kojima se odre|uju krutosti kn , kr itd. pojedinih grana, histerezisna pravila, utvr|uju se usagla{avanjem sa eksperimentalno utvr|enim rezultatima, prema slici 4.12 na primer.

Osim {to je formulacija matemati~ki komplikovanija, princip analize je isti kao i u slu~aju EP modela. Ako su u konstrukciji definisane zone plasti~nih zglobova, odgovor tih zona mo`e da se opi{e prethodnim modelom, dok se za ostale delove konstrukcije mo`e usvojiti da se pona{aju elasti~no - koncept "koncentrisanog nelinearnog odgovora" u ~vorovima {tapova modela konstrukcije.

Danas je popularan koncept "makroskopskog modeliranja", gde se deo zida visine h, na primer, modelira vi{eslojnim sistemom nelinearnih opruga, od kojih svaka, k1 -kn mo`e da ima svoje histerezisno pravilo, tako da ukupni efekat bude usagla{en sa rezultatima eksperimenata, slika 4.14.

Za razliku od prethodnih, "makroskopskih modela",

koji su trenutno jedino racio-nalno re{enje za modeliranje konstrukcija objekata u celini, metod kona~nih elemenata se uglavnom koristi za nelinearnu seizmi~ku analizu delova ili detalja AB kon-strucija - "mikroskopsko mo-deliranje".

Na slici 4.15 prikazan je model sedmospratnog armiranobetonskog slo`enog zida, kod koga su prva dva sprata, beton i sva armatura modelirani nelinearno, a za ostatak konstrukcije je usvo-jen idealno elasti~an model /11/. Ukupna masa konstruk-cije koncentrisana je u visini petoga sprata, nivou "rezul-tante" seizmi~kog optere}e-nja. Napon u betonu usled

k1 k2

k3

Konzola

h

Slika 4.14 Vi{eslojni model

nelinearnih opruga

10

15

20

25

30

35

40

1 2 3 4

fcm=38

fc=30

fctm=2.9-1

C30/37

2.2Ecm=31935

f (MPa)

e (0/00)

c.)

14x200=2800

13x2

00=

2600

3000

2800

F1 R1

F2 R2

e=200

b.)

Strana 1

Strana 2

1

2

3

4

5

6

7

Nee

last

i~no

Ela

sti~

no

7x30

00=

2100

0

+Pomeranje

W/2

W/2

a.)

Strana 1 Strana 2

F1

R1

Slika 4.15 "Mikroskopsko modeliranje": a) model zida, b)presek i raspored armature, c) jednoaksijalni model betona

4-10

gravitacionog opetere}enja u ovom slu~aju iznosi 2,0MPa, dok ujedna~eni procenat

armiranja vertikalnom armaturom iznosi 1,2%. Nelinearna stati~ka i dinami~ka analiza ura|ene su programom DIANA-TNO /5/.

Pomeranjem oslonca u nivou masa, prema shemi ciklusa na slici 4.16, prvo je definisan stati~ki odgovor konstrukcije, sila-pomeranje u nivou masa, pri monotonom cikli~nom optere}enju, slika 4.16. Prora~un je zavr{en pri maksimalnom pomeranju od 250mm i duktilnosti pomeranja qd =4,2, znatno iznad prognoziranog pomeranja od 150mm, prema elasto-plasti~nom modelu prethodno analiziranom, slika 4.18.

Pre dinami~ke analize utvr|en je period oscilovanja sistema sa jednom masom. Sa bruto kruto{}u celog I-preseka zida, period iznosi T=0,6s, dok se sa efektivnom kruto{}u period produ`ava na T=1,2s. Seizmi~ka analiza ura|ena je za sekvencu od prvih osam sekundi zapisa El Centro, normalizovanom na maksimalno ubrzanje tla ag=0,40g. U slu~aju

elasti~ne konstrukcije, u toku ove karakteristi~ne sekvence trajanja pojavljuju se ekstremi svih veli~ina - pomeranja i ubrzanja. Odgovor sistema prikazan je na slici 4.17, dok je tok pomeranja za tri razli~ita koncepta modeliranja prikazan na slici 4.18.

Na kraju ovog informativnog pregle-da, poenta: eksperimenti, osmatranje objekata posle zemljotresa, sofisticirani ra~unski modeli uz silan trud entuzijasta, treba projektantima u praksi da defini{u vezu dozvoljenog faktora redukcije optere}enja i obezbe|ene duktilnosti pomeranja - nelinearni spektar ubrzanja za AB konstrukcije prema "jednostavnom" algoritmu na slici 3.15.

a2.)-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Pomeranje (mm)

Sila

(kN

)

ZID Z3-2El Centro-0,4g

F=1500

d=-75.3

BAB87

Slika 4.17 Odgovor sila-pomeranje pri zapisu

El Centro du`ine 8 sekundi

250

-250

d (mm)

0

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250

Pomeranje (mm)Si

la (

kN)

DIANA

BAB87

ZID Z3-2

qd=1 qd=4.2

a.)

Numeri~kagre{ka

1

2 3 4

Slika 4.16 Odgovor sila-pomeranje pri

monotonom cikli~nom opitu

- 160

- 140

- 120

- 100

- 80

- 60

- 40

- 20

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Vreme (s) Pom

eran

je (

mm

)

DIANAElasti~no T=0,6sElasto-plasti~no

ZID Z3-2El Centro-0,4g

Slika 4.18 Pomeranje u toku zemljotresa

5-1

5. SISTEMI SA VI[E STEPENI SLOBODE UVOD

Sva dosada{nja razmatranja odnosila su se na sistem sa jednim stepenom slobode. Sistemi sa vi{e masa - stepeni slobode su naravno naj~e{}i u praksi. Elasti~ni odgovor ovakvih sistema obi~no se analizira primenom multi-modalne analize, koja se zasniva na principu superpozicije uticaja. Me|utim, u nelinearnim problemima princip superpozicije ne va`i. U narednom poglavlju, prethodno razvijena re{enja za sistem sa jednim stepenom slobode se generalizuju i na slo`enije sisteme, pod odre|enim uslovima. U nastavku, analiziraju se elasto-plasti~ni modeli slo`enih konstrukcija - plasti~ni mehanizmi, kao i koncept obezbe|enja pouzdanog mehanizma pri zemljotresu - koncept programiranog pona{anja. Informativno, prikazani su i koncepti pojednostavljenih metoda nelinearne stati~ke analize.

5.1 REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA

U realnim konstrukcijama mase su raspodeljene u prostoru, formalno se mo`e govoriti o beskona~nom broju stepeni slobode.

Nakon {to je realna masa konstrukcije koncentrisana u ~vorovima, dvoeta`ni okvir u ravni na slici 5.1.a predstavlja model sa 12 stepeni slobode. Ako se elimini{u nebitni stepeni slobode - vertikalne oscilacije masa kao i njihova rotacija, dobija se sistem sa ~etri stepena slobode - horizontalne translacije, slika 5.1.b.

Ukoliko su grede okvira i tavanica kruti u svojoj ravni, tada su pomeranja masa iste

eta`e jednaka, pa se broj stepeni slobode svodi na dva nezavisna spratna pomeranja, slika 5.1.c-d. Broj stepeni slobod