Vanja Alendar

PROJEKTOVANJE SEIZMIČKI OTPORNIH ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJA

KROZ PRIMERE

Deo A - Osnovi teorije i uvod u propise

Vežbe u okviru kursa Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 2

na IX semestru odseka za konstrukcije

Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu Institut za materijale i konstrukcije

Beograd, novembar 2004.

PREDGOVOR drugom izdanju

Pet godina je prošlo od objavljivanja prvog izdanja ovih skripti. Ako je i godinu dana trebalo

za odmor od napora da se prvo izdanje pripremi, u naredne četri godine moglo je puno toga da se uradi, ali nije. A onda nam se pridružio naš mladi asistent Ivan Ignjatović, koji se ponudio da prekuca delove teksta pisane rukom. Takva se ponuda ne odbija, njemu ne. Kada je odlučeno da se nastavi sa radom, ispostavilo se da je kasno da se ceo tekst preradi kako bi valjalo, naravno. Nastava je u toku, pa je kao prvi - prolazni cilj usvojeno da se Deo B - Primeri prebaci u 'elektronsku formu', tako da ceo materijal studenti dobiju na CD-u. Ni to nije bio mali posao, trebalo je pripremiti dosta skica, ilustracija.

Šta je novo? Prvi deo je nepromenjen. Osim što je prekucan, tekst drugoga dela - Primeri je i izmenjen, nadam se na bolje. Stare skice su prerađene, dodate su i nove, kao i fotografije koje ilustruju efekte dogođenih zemljotresa, ili rezultate eksperimentalnih ispitivanja na modelima. Uz fotografije na žalost nije naveden izvor, što je osnovni red. Izvinjavam se autorima, biće urađeno u sledećem izdanju. Deo teksta koji se odnosi na hale, a koji nije ni pripadao skriptama, potpuno je prerađen, dopunjen i uključen u tekst kao Primer 4.

Kako se koristi tekst? Obim originalnog teksta bio je prilagođen raspoloživom vremenu od četrnaest nedelja nastave. U međuvremenu, izmenjen je program predmeta, pa se ravnopravno, po sedam nedelja, studentima izlažu problemi prethodnog naprezanja, odnosno zemljotresa. Takođe, deo problema koji je ranije izlagan na vežbama, sada je deo predavanja. Tekst skripti ipak nije skraćen, ali se može čitati na razne načine. Obavezni deo obuhvata:

- Deo A - Osnovi teorije, kao dopunski tekst predavanjima, ali bez poglavlja 6 - Uvod u Evrokod 8;

- Deo - B - Primeri proći ceo, ali bez poglavlja Pitanja i odgovori u Primerima 1-3, koja zahtevaju poznavanje koncepta propisa Evrokod 8.

To je minimun, koji još uvek ima smisla. Time se narušava prvobitna koncepciju, ali je dovoljno, ako je jedini cilj da se savlada primena važećih domaćih propisa iz ove oblasti. Godišnji zadatak i pismeni ispit se ionako rade isključivo prema važećim domaćim propisima. Šta još pročitati, stvar je dogovora sa predmetnim nastavnikom. Toplo se preporučuje da se i ostali delovi pročitaju, bar kao priča. Koncept skripti je da se preko Evrokoda 8 objašnjava suština domaćih propisa i filozofija projektovanja.

Na kraju, želim da se zahvalim asistentu Ivanu Ignjatoviću, koji me je doveo u situaciju da ne smem da ga izneverim. Ivane, da sredimo i prvi deo?

Beograd, novembar 2004. Vanja Alendar

PREDGOVOR prvom izdanju

U podnaslovu teksta koji sledi, stoji da je u pitanju materijal za ve`be na IX-om, zavr{nom semestru studenata odseka za konstrukcije. Tako je i po~elo, iz `elje da studenti sa fakulteta ponesu vi{e "papira" i znanja nego {to se to mo`e zapisati kredom na tabli, u 14 nedelja nastave. @elja da tekst mo`da bude interesantan i in`enjerima u praksi, nadam se da je doprinela samo kvalitetu, ne i preteranom obimu.

Pisanje i pravljenje mno{tva skica zapo~eo sam po~etkom septembra 1999., nebi li se stiglo za po~etak nastave. Kasno, naravno. U tih mesec dana, pripremljen je ovaj prvi deo, nadam se da ima glavu i rep, a da nema grubih previda. Ovih sedamdesetak strana je program prve polovine kursa, sedam nedelja. Drugi deo, koji treba da sadr`i probrane primere sa razradom pojedinih delova iznetih ovom prilikom, treba da bude gotov do po~etka drugih sedam nedelja nastave. Ako me ne{to spre~i u tome, ovaj prvi deo je u svakom slu~aju celina za sebe, i najva`niji.

Tekst je koncizan i obiman u isto vreme. Izneti su i ilustrovani osnovni pojmovi, bez ~ijeg se razumevanja nebi trebalo upu{tati u odgovorno projektovanje seizmi~ki otpornih AB konstrukcija. Ako su neki pojmovi ve} usvojeni na drugim predmetima, ovde se ipak ponavljaju, jedino iz `elje da se na jednom mestu pove`u u zaokru`en koncept.

Pri skiciranju sinopsisa, po{ao sam od ~injenice da na{i va`e}i "seizmi~ki propisi" deluju vrlo jednostavno, "ni{ta lak{e nego uraditi projekat slo`ene konstrukcije uz pomo} nekog od softvera iz ove oblast". Me|utim, propisi su pisani 1981. godine, kada nije bilo ra~unara u praksi, a o aseizmi~kom projektovanju je bilo vrlo malo re~i u redovnoj nastavi. U me|uvremenu su se nepovoljno preklopile tri stvari: formalno jednostavni propisi, nedovoljno obrazovanje in`enjera u praksi i pojava atraktivnih softvera koji "sve re{avaju"- najgora mogu}a kombinacija. Otuda i koncept teksta, iz namere da se objasni su{tina, da se pojasne na{i propisi i da se da uvod u budu}e evropske propise, ~iji se prednacrt u me|uvremenu pojavio.

Od studenata se o~ekuje normalno predznanje, kao i priprema unapred. Na ~asovima }e se prvenstveno ukazati na bitne stvari sadr`ane u tekstu a dokle }e se sti}i, zavisi od inspiracije izlaga~a i zainteresovanosti studenata. Sve {to je potrebno sadr`ano je u tekstu, tabla }a slu`iti samo za ad-hok diskusije, prema tome, studenti treba pred sobom da imaju tekst. Nakon nekih od poglavlja, studenti }e dobiti zadatke koje treba sami da urade. Zadaci se rade kod ku}e, predaju, prihvataju ili ne, ali su obja{njenja eventualnih zabluda kolektivna, jer su gre{ke obi~no sistematske.

O~igledno je da u ovakvom sistemu nedostaje li~no upoznavanje, kontakt, rad sa svakim pojedina~no. Prednost je data konceptu "svi sve ~uju", kako obja{njenja tako i odgovore na pojedina~na javna pitanja. Koga materija bude posebno zainteresovala, vrata kabineta su mu otvorena, pa }emo to nadoknaditi, u kamernom okru`enju.

Dugujem zahvalnost svima kojima sam eventualno bio potreban ovih mesec dana, nadam se da nisu digli ruke od mene. Predmetnom nastavniku prof.M.A}i}u zahvaljujem na podr{ci pri pisanju teksta. Posebnu zahvalnost izra`avam Branku Milosavljevi}u koji je ~itavu stvar inicirao, podsticao da bi na kraju i pa`ljivo pro~itao tekst. Prihvatio sam sve njegove primedbe, posebno onu da mu se sve ovo dopada i da smatra da je u pitanju "jedna korisna i dobra knjiga". Ko se ne slo`i, neka ka`e, bi}e pomenut, u slede}em, "pravom" izdanju.

Beograd, oktobar 1999. Vanja Alendar

SADR@AJ uz Deo A

1. REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA O ZEMLJOTRESIMA 1-1

1.1 OPIS ZEMLJOTRESA 1-1

1.2 ZAPISI UBRZANJA TLA U TOKU VREMENA - AKCELEROGRAMI 1-3

2. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU LINEARNO ELASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 2-1

2.1 REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA 2-1

2.2 SPEKTRI ODGOVORA ELASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 2-5

3. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU NELINEARNIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-1

3.1 TRADICIONALNA - SAVREMENA ZA[TITA KONSTRUKCIJA OD ZEMLJOTRESA 3-1

3.2 OSNOVI DINAMIKE ELASTO-PLASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-2

3.3 ODGOVOR NA ZEMLJOTRES ELASTO-PLASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-4

3.4 NELINEARNI SPEKTRI ODGOVORA EP SISTEMA 3-6

3.5 KONCEPT NELINEARNOG PRORA^UNA SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-7

3.6 AKUMULACIJA O[TE]ENJA I EKVIVALENTNA DUKTILNOST POMERANJA 3-8

4. KAKO REALIZOVATI ELASTO-PLASTI^AN SISTEM U ARMIRANOM BETONU 4-1

4.1 KRIVINA PRESEKA - POMERANJE KONSTRUKCIJE 4-1

4.2 NELINEARNI ODGOVOR AB KONSTRUKCIJA 4-3

4.3 PO^ETNA KRUTOST AB PRESEKA I KONSTRUKCIJA 4-6

4.4 REALNO PONA[ANJE ARMIRANO BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRI CIKLI^NIM DEFORMACIJAMA 4-7

4.5 MODELIRANJE AB KONSTRUKCIJA 4-8

5. SISTEMI SA VI[E STEPENI SLOBODE 5-1

5.1 REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA 5-1

5.2 UPRO[]ENA MODALNA SPEKTRALNA ANALIZA 5-2

5.3 PLASTI^NI MEHANIZMI SISTEMA SA VI[E STEPENI SLOBODE 5-5

5.4 OBEZBE\ENJE POUZDANOSTI @ELJENOG MEHANIZMA KONSTRUKCIJE - "PROGRAMIRANO PONA[ANJE" 5-6

5.5 OCENA PONA[ANJA KONSTRUKCIJA NELINEARNOM STATI^KOM ANALIZOM 5-7

5.6 OCENA PONA[ANJA KONSTRUKCIJA PRI "ZAMRZNUTIM POMERANJIMA" 5-8

6. KONCEPT SAVREMENIH PROPISA - UVOD U EVROKOD 8 (EC8) 6-1

6.1 OP[TI ALGORITAM PROPISA 6-1

6.2 ULAZNI SEIZMI^KI PODACI 6-2

6.3 ELASTI^NI SPEKTAR UBRZANJA 6-2

6.4 KLASE DUKTILNOSTI KONSTRUKCIJA 6-3

6.5 DOZVOLJENA VREDNOST FAKTORA REDUKCIJE OPTERE]ENJA

- FAKTORA PONA[ANJA PREMA EC8 6-4

6.6 PROJEKTNI (NELINEARNI) SPEKTAR UBRZANJA 6-5

6.7 REGULARNOST KONSTRUKCIJE 6-6

6.8 TORZIONA KRUTOST KONSTRUKCIJE 6-7

6.9 KRUTOST TAVANICA U SVOJOJ RAVNI 6-7

6.10 OSNOVNI NOSE]I SISTEM PRI ZEMLJOTRESU 6-8

6.11 PRORA^UNSKA KRUTOST ELEMENATA 6-9

6.12 PROSTORNO DEJSTVO ZEMLJOTRESA 6-11

6.13 PRORA^UN UTICAJA USLED ZEMLJOTRESA 6-12

6.14 EFEKTI DRUGOGA REDA 6-12

6.15 PRERASPODELA UTICAJA 6-13

6.16 KOEFICIJENTI SIGURNOSTI 6-13

6.17 DIMENZIONISANJE, KONSTRUISANJE DETALJA

I OBEZBE\ENJE ZAHTEVANE DUKTILNOSTI 6-14

6.18 PROGRAMIRANO PONA[ANJE 6-14 6.18.1 Faktor preoptere}enja 6-14 6.18.2 Zidovi 6-15 6.18.3 Grede 6-15 6.18.4 Stubovi 6-16 6.18.5 ^vorovi okvira 6-16 6.18.6 Konstrukcijski sistem 6-17

6.19 KONTROLA POMERANJA KONSTRUKCIJE 6-18

6.20 KADA SE EFEKTI ZEMLJOTRESA MOGU ZANEMARITI ? 6-20

6.21 OKVIRNE KONSTRUKCIJE SA ISPUNOM 6-20

6.22 MONTA@NE KONSTRUKCIJE 6-20

6.23 FUNDIRANJE 6-20

7. SEIZMI^KI PRORA^UN PREMA YU PROPISIMA 7-1

7.1 ULAZNI SEIZMI^KI PODACI 7-1

7.2 ELEMENTI PRORA^UNA SEIZMI^KIH UTICAJA 7-1

7.3 PORE\ENJE EC8 I YU81 7-3 8. LITERATURA uz Deo A

1-1

1. REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA O ZEMLJOTRESIMA UVOD

U uvodnom delu izlo`eni su osnovni seizmolo{ki pojmovi : opis zemljotresa u pro-

storu, ja~ina zemljotresa u epicentru - magnutuda, povratni period zemljotresa kao i opis efekata zemljotresa na objekte i okolinu na nekoj lokaciji - intenzitet. U nastavku, defini-{u se merljive fizi~ke veli~ine koje su podloga za in`enjerski opis zemljotresa na nekoj lokaciji: ubrzanje, brzina i pomeranje tla, postupak registrovanja - akcelerogrami kao i njihove empirijske veze sa magnitudom i rastojanjem lokacije od epicentra. Na kraju, dat je primer efekata zemljotresa u Mionici 1998. na lokaciji teritorije Beograda.

1.1 OPIS ZEMLJOTRESA

Zemljotres predstavlja kretanje tla usled naglih tektonskih poreme}aja u delu zemljine kore - `ari{tu (hipocentar), na dubini H - `ari{na dubina, slila 1.1 Zemljotresi sa `ari{nom dubinom H<70 km smatraju se plitkim zemljotresima. Oblast na vertikalnoj projekciji `ari{ta na povr{inu zemlje naziva se epicentar. Rastojanje objekta od `ari{ta odnosno epicentra naziva se `ari{no - R odnosno epicentralno - Re rastojanje , slika 1.1.

Seizmi~ki talasi izazivaju kretanje osnovne stene ispod objekta, propagiraju kroz lokalno tlo do temelja objekta i izazivaju kretanje temelja i objekta. Lokalna tla u kojima se pri zemljotresu mogu pojaviti likvefakcija ili klizi{te, nazivaju se dinami~ki nestabilnim tlom. Objekti fundirani u takvom tlu nisu predmet narednih razmatranja, pretpostavlja se da je objekat fundiran u stabilnom tlu, bez zna~ajnije interakcije konstrukcije i tla.

Mera ja~ine zemljotresa naziva se magnituda zemljotresa - M. Prema Richteru /1/, veza oslobo|ene energije E u `ari{tu i magnitude M glasi

log10 E=4,8 + 1,5M (Joul-a) (1.1)

Zemljotres magnitude M , 32 puta je "ja~i" od zemljotresa magnitude M-1, 1000 puta ja~i od zemljotresa magnitude M-2 itd. Za zemljotrese magnitude M<5 smatra se da prakti~no ne izazivaju {tete, dok sa porastom magnitude raste zahva}ena povr{ina kao i intenzitet (El Centro 1940. M=6,6 ; Skoplje 1963. M=6,0 ; Crna gora 1979. M=7,0 ;

H -

`ar

i{na

dub

ina

Re - epicentralno rastojanje

R - `ari{no rastojanje

Likvefakcija

Klizi{te

Lokalno tlo

@ari{te (hipocentar)

Epicentar

Osnovna stena

Slika 1.1 Zemljotres - prostorni opis

1-2

Maljen-Mionica 1998. M=5,6 ). Smatra se da je najve}a mogu}a magnituda M=9 (Lisabon 1755. M=8,6 ).

Prose~an vremenski interval Tp (godina) izme|u pojave dva zemljotresa iste ja~ine naziva se povratni period zemljotresa sa magnitudom M. Ja~i zemljotresi doga|aju se re|e, sa du`im povratnim periodom. Za zemljotres sa povratnim periodom od Tp=50 godina o~ekuje se da se pojavi jedanput u 50 godina, dva puta u 100 godina itd.

Recipro~na vrednost povratnog perioda, P=1/Tp, predstavlja verovatno}u pojave zemljotresa odre|ene ja~ine u jednoj - teku}oj godini.

Ocena merodavnog zemljotresa za projektovanje konstrukcija vr{i se prema prihvatljivom riziku za odre|eni objekat /2/ :

P=0,02 (Tp=50 godina) - o{te}enja koja ne zahtevaju popravku, P=0,002 (Tp=500 godina) - o{te}enja koja se mogu popraviti, tzv. projektni

zemljotres, P=0,0002 (Tp=5000 godina) - nepopravljiva o{te}enja.

Verovatno}a pojave zemljotresa sa povratnim periodom Tp u vremenskom intervalu od T godina iznosi Pt=1-(1-P)T . Verovatno}a pojave zemljotresa sa povratnim periodom Tp=500 godina u narednih T=10 godina iznosi P10=1-(1-1/500)10 = 0,02 = 1/50. U periodu od T=Tp godina, verovatno}a pojave zemljotresa sa povratnim periodom Tp iznosi PTp = 0,63 (P50=P500=P5000).

Mera efekata, posledica zemljotresa na objekte i okolinu naziva se intenzitet zemljotresa - I na odre|enoj lokaciji. Gradacija posledica izra`ava se skalama intenziteta, koje mogu da budu opisne (..."padaju dimnjaci, zvone crkvena zvona, otpada malter"...) ili kvantitativne (ubrzanje, brzina, pomeranje tla, ili kombinacija ovih veli~ina). Na osnovu opisnih skala procenjuje se o~ekivana ili dogo|ena {teta, ali za analizu efekata zemljotresa na konstrukcije podatak da "zvone zvona" je neupotrebljiv.

U Jugoslaviji se koristi MSK-64 skala, sa dvanaest stepeni intenziteta zemljotresa. Zemljotresi intenziteta do {est stepeni ne smatraju se {tetnim, dok na teritoriji Jugoslavije najve}i o~ekivani intenzitet zemljotresa sa povratnim periodom Tp=500 godina iznosi devet stepeni. Mada izme|u o~ekivane {tete i ubrzanja tla postoji slaba korelacija, ako ne postoje pouzdaniji podaci obi~no se za vezu intenziteta I i gornje granice najve}eg o~ekivanog ubrzanja tla ag pretpostavlja:

intenzitet VII-og stepena: ag ≤ 0,10 g (zona niskog seizmi~kog intenziteta) intenzitet VIII-og stepena: ag ≤ 0,20 g

intenzitet IX-og stepena: ag ≤ 0,40 g gde je g=9,81 m/s 2 ubrzanje zemljine te`e. Pove}anju intenziteta za jedan stepen odgo-vara dva puta ve}e ubrzanje tla. Prema Siko{eku /1/, za vezu magnitude M i intenziteta zemljotresa I u epicentru, za teritoriji Jugoslavije mo`e da se usvoji relacija

I = 1,5M - 0,5 (1.2)

Za odre|enu lokaciju - teritoriju, ocena o~ekivanog intenziteta zemljotresa sa razli~itim povratnim periodima Tp vr{i se na osnovu seizmi~ke rejonizacije - analize lokalnih geolo{kih uslova, kao i o~ekivanih magnituda, `ari{nih dubina i epicentralnih rastojanja zemljotresa koji mogu da se pojave u potencijalnim `ari{tima. Rejonizacija mo`e da bude prose~na - makro-rejonizacija (globalna podela teritorije Jugoslavije, prema kojoj se u Beogradu mo`e o~ekivati zemljotres intenziteta I=VIII sa povratnim periodom Tp=500 godina), ili detaljna - mikro-rejonizacija. Podaci se sistematizuju u obliku seizmolo{kih karata, koje prikazuju intenzitet ili neki merljiv podatak, kao {to je ubrzanje tla. Za potrebe izgradnje stanice "Beograd - Centar" u Prokopu, nakon

1-3

seizmi~ke mikrorejonizacije, za maksimalno o~ekivano ubrzanje tla pri zemljotresu sa povratnim periodom Tp=500 godina usvojeno je ag = 1,18 m/s 2 = 0,12g , {to je znatno manje od navedene gornje granice ubrzanja tla za VIII-u seizmi~ku zonu od 0,20g.

1.2 ZAPISI UBRZANJA TLA U TOKU VREMENA - AKCELEROGRAMI

Zemljotres izaziva prostorno kretanje temeljnog tla, koje se mo`e opisati sa tri translacije i tri rotacije tla - "{est stepeni slobode". U zoni epicentra jakih zemljotresa obi~no su izra`ene sve komponenete kretanja, dok se za ocenu odgovora konstrukcije udaljenijih objekata rotacije tla obi~no mogu zanemariti. Kako se pouzdanost konstrukcija ionako proverava za efekte gravitacionih optere}enja, to se naj~e{}e zanemaruju i vertikalna ubrzanja tla usled zemljotresa.

Mada zemljotres u su{tini izaziva "prinudna pomeranja" konstrukcija, naj~e{}e se njegovi efekti opisuju preko ubrzanja mase konstrukcije, kao jo{ jedan slu~aj horizontalnog optere}enja, analogno dejstvu vetra.

Podaci o o~ekivanim ubrzanjima tla zasnivaju se, izme|u ostalog, i na zapisima ubrzanja tla u toku trajanja zemljotresa - akcelerogramima, koji se registruju pomo}u ure|aja akcelerografa. Za ocenu efekata zemljotresa na konstrukcije zna~ajni su podaci: maksimalno registrovano ubrzanje tla - max ag (na dalje - ag ), trajanje jakog dela zemljotresa - tD , predominantni period oscilovanja tla - Tg , slika 1.2. Na osnovu registrovanih ubrzanja, analiti~ki se mogu dobiti zapisi promene brzine tla - vg odnosno pomeranja tla - dg u toku vremena, slika

1.3b-c. Ra~unska apsolutna pomeranja tla su problemati~an podatak, jer se dobijaju nakon dvostruke integracije dijagrama ubrzanja tla, kome obi~no nedostaje po~etni deo, dok se akcelerograf automatski ne uklju~i. Zapisi ubrzanja obi~no se koriguju, pa kako postupci korekcije vremenom napreduju, menja se i ra~unsko pomeranje tla zemljotresa El Centro iz 1940. godine.

Prema Naumoskom /1/, maksimalno ubrzanje tla ag (cm/s 2) zemljotresa magni-tude M , na lokaciji sa `ari{nim rastojanjem R - atenuacijska formula, mo`e da se oceni prema relaciji

ag = 654e 0,54 M/(R+20) 1,33 (1.3)

maksimalna o~ekivana brzina tla vg (cm/s) iznosi

vg = 4,43e 0,94 M/(R+20) 1,38 (1.4)

a maksimalno o~ekivano pomeranje tla dg (cm) mo`e da se oceni pomo}u relacije

dg = 0,060e 1,20 M/(R+20) 1,34 (1.5)

Prema Paulay /2/, veza maksimalnog ubrzanja tla ag (m/s 2) i intenziteta zemljo-tresa I na jednoj lokaciji mo`e da se prika`e u obliku

ag = 10 - 2,40 + 0,34 I odnosno (1.6)

I = (log10 ag + 2,40)/0,34 (1.7)

max ag

Tg

tD

Ubr

zanj

e tla

- a g(

t)

Vreme - t (s) Slika 1.2 Karakteristike zapisa

ubrzanja tla

1-4

Prema Watabe-u /1/, trajanje jakog dela zemljotresa tD (s) mo`e da se proceni

prema relaciji

tD = 10 (M-2,5)/ 3,23 (1.8)

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0 5 10 15 20 25 30

Ubr

zanj

e (g

)

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0 5 10 15 20 25 30

Ubr

zanj

e (

g)

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0 5 10 15 20 25 30

Vreme - (s)

Ubr

zanj

e (g

)

Petrovac '79ag=0,30g

Ulcinj '79ag=0,24g

Beograd '98ag=0,023g

d.

e.

f.

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0 5 10 15 20 25 30

Ubr

zanj

e (g

)

-400

-200

0

200

400

0 5 10 15 20 25 30

Brz

ina

(mm

/s)

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

0 5 10 15 20 25 30

Vreme (s)

Pom

eran

je (m

m)

El Centro '40ag=0,32g

El Centro '40 vg=361mm/s

El Centro '40dg=214mm

a.

b.

c.

Slika 1.3 Zapisi zemljotresa: a)El Centro (zemljotres Imperial Walley, California, 1940.,

komponenta EW, M=6,6), b-c) El Centro - brzina i pomeranje tla, d)Petrovac (Crna Gora 1979., komponenta EW, M=7,0), e)Ulcinj (Crna Gora 1979., komponenta EW, M=7,0), f)Beograd (Mionica 29.09.1998., komponenta EW, M=5,6, epicentralno rastojanje Re=74 km, dubina `ari{ta H=16 km). Zapis "Beograd" registrovan je na sarmatskim kre~njacima

("lokalno tlo"), na stanici Ta{majdan Republi~kog seizmolo{kog zavoda u Beogradu.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 50 100 150 200

R (km)

a g (g

)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0 100 200 300R (km)

Peri

od T

g (s

)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

5 6 7 8 9Intenzitet - I

a g (g

)

M=6

M=7

M=8

a. b. c.

M=8

M=7

M=6

70 km70 km

Slika 1.4 (a) atenuacijska kriva prema (1.3); (b) ubrzanje tla - intenzitet prema (1.6); (c) predominantni period oscilovanja tla Tg u zavisnosti od magnitude i `ari{nog rastojanja /1/

1-5

Prema Seed-u /1/, predominantni period sopstvenih oscilacija tla Tg na nekoj lokaciji raste sa porastom magnitude M, ali i sa pove}anjem `ari{nog rastojanja R, slika 1.4.c - "tlo filtrira" visoke frekvence sopstvenih oscilacija. Navedene empirijske relacije treba shvatiti kao kvalitativne, izme|u ostaloga i zbog toga {to su preuzete od razli~itih autora, pa je mogu}a neusagla{enost veli~ina, intenziteta na primer.

Primer 1.1 .......... Na osnovu ocenjene magnitude M=5,6 i dubine `ari{ta H=16 km zemljotresa u

Mionici 1989. godine, analiti~ki odrediti parametre kretanja tla u epicentru i na lokaciji Beograd, R∼Re=74 km.

Prema (1.2), intenzitet zemljotresa u epicentralnom podru~ju Mionice 1998.

godine iznosio je

I = 1,5x5,6-0,5 = 7,9

{to se dobro sla`e sa registrovanim o{te}enjima na terenu.

Prema (1.3), maksimalno prose~no ubrzanje tla u Beogradu iznosi

ag= 654e 0,54x5,6/(74+20)1,33=31,9cm/s 2 = 0,032g

dok je na stanici Ta{majdan, na kre~njacima, registrovano ubrzanje od 0,023g, slika 1.3.f.

Prema (1.4), maksimalna brzina tla u Beogradu iznosi

vg = 4,43e 0,94x5,6/(74+20)1,38 = 1,62 cm/s

dok se integracijom registrovanih ubrzanja dobija vrednost vg = 0,85 cm/s. Prema (1.5), maksimalno pomeranje tla u Beogradu iznosi

dg=0,060e 1,20x5,6/(74+20)1,34 = 0,11 cm

dok se integracijom registrovanih ubrzanja dobija vrednost dg = 0,07 cm. Prema (1.7), ra~unski intenzitet zemljotresa u Beogradu iznosi

I=(log10 0,032x9,81 + 2,40)/0,34 = 5,6

dok se ocene kre}u u granicama I=5-5,5. Prema (1.8), trajanje jakog dela zemljotresa iznosi

tD = 10 (5,6-2,5)/3,23 = 9,1 s

{to se sla`e sa merenjima. Prema slici 1.4c, predominantni period sopstvenih oscilacija tla je u granicama

Tg = 0,25 - 0,30 s, {to ukazuje da je ovaj zemljotres bio najopasniji za krute konstrukcijske sisteme, sa niskim periodom sopstvenih oscilacija.

Ukupni utisak je da predlo`eni izrazi prihvatljivo opisuju merene i osmatrane

veli~ine. I pored niskog intenziteta registrovanog u Beogradu, zemljotres sa epicentrom u Mionici izazvao je prili~no uznemirenje u Beogradu, pa i mala o{te}enja na pojedinim starijim objektima. Prema re~ima svedoka, na pojedinim lokacijama pojavila se i panika u visokim objektima.

1-6

Generalno, zemljotresi ~ija je du`ina trajanja jakog dela tD<10 sekundi, kod kojih je predominantni period oscilacija tla Tg<1 sekunde i kod kojih je odnos ubrzanja i brzine tla ag /vg >1, spadaju u zemljotrese visoke frekvence, kratkog trajanja i niske energije. Takav je bio i mioni~ki zemljoters (ag / vg =0,023x981/0,85 = 26,5 1/s > 1).

Prema va`e}oj rejonizaciji teritorije Jugoslavije, Beograd se nalazi u VIII-oj, a Mionica u IX-oj zoni seizmi~kog intenziteta, prema skali MSK-64. Utisak je pojedinih gra|evinaca kao i seizmologa da su o~ekivani efekti zemljotresa na teritoriji Beograda precenjeni. Ako je `ari{te u podru~ju Mionice, pri zemljotresu magnitude M=5,6, u Beogradu izazvalo ubrzanje od samo 0,02g na steni, postavlja se pitanje koje je to `ari{te, i kolika je energija potrebna da se iniciraju ubrzanja od oko 0,2g, sa povratnim periodom od Tp=500 godina?

Beograd je podru~je sa najve}om koncentracijom stanovni{tva i materijalnih dobara u Jugoslaviji, pa pri dono{enju budu}ih propisa i utvr|ivanju karata ubrzanja tla treba izvr{iti ozbiljne analize.

Izneta dilema ni u kom slu~aju nije prilog pau{alnim procenama tipa "ma kakav zemljotres!". [ta mo`e da se dogodi na teritoriji Beograda prvenstveno treba da procene seizmolozi. Za gra|evince je to jedno od dejstava na konstrukcije, ma koliko iznosilo. I slab zemljotres mo`e da bude opasan za lo{a konstrukcijska re{enja.

2-1

2. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU LINEARNO ELASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE UVOD Poznavanje pona{anja konstrukcije, uz pretpostavku njenog elasti~nog odgovora na kretanje tla pri zemljotresu je osnovni podatak za ocenu efekata zemljotresa na konstrukcije. Realne konstrukcije naj~e{}e imaju vi{e stepeni slobode, ali je prvi ton oscilacija naj~e{}e dominantan, i predstavlja osnovu ve}ine propisa u ovoj oblasti. Nakon definisanja osnovnih pojmova iz dinamike konstrukcija, prikazan je odgovor dva elasti~na sistema sa jednim stepenom slobode, na dva karakteristi~na zapisa ubrzanja tla - akcelerograma. U nastavku, re{enje se generalizuje na ceo opseg sopstvenih perioda realnih gra|evinskih konstrukcija, formulisanjem elasti~nih spektara ubrzanja i pomeranja .

2.1 REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA

Za opisivanje kretanja jedne mase konstrukcije u prostoru u op{tem slu~aju potrebno je {est komponenti pomeranja, tri translacije i tri rotacije mase. Zavisno od dispozicije konstrukcije, rasporeda masa kao i pravca dejstva dinami~ke pobude - kretanja tla, broj nezavisnih komponenti pomeranja koji je dovoljan da se opi{e kretanje se smanjuje, i naziva se broj stepeni slobode. U slu~aju dominantnog horizontalnog kretanja jedne mase u ravni, govori se o sistemu sa jednim stepenom slobode - nepoznatim horizontalnim pomeranjem mase d(t) u toku vremena, slika 2.1.

Pri dejstvu spoljne stati~ke sile F, horizontalno pomeranje d mase u op{tem slu~aju posledica je vi{e komponenti pomeranja: pomeranja δ usled klizanja temelja, pomeranja αH usled rotacije temelja za ugao α, pomeranje d1 i d3 usled deformacija savijanja i smica-nja i pomeranja d2 usled aksijalnog optere}enja pojedinih delova konstrukcije, slika 2.1

d = ∆ + αH + d1 + d2 + d3 = δF = F/k (2.1)

Ukupno pomeranje δ usled jedini~ne sile F=1 , naziva se fleksibilnost konstrukcije ("matrica fleksibilnosti"), dok se inverzna vrednost k=1/δ naziva krutost konstrukcije na pomeranje ("matrica krutosti"). U ve}ini slu~ajeva, fleksibilnost odnosno krutost konstruk-

W W W W

d1 d2d3

∆h

bh

αH

d = +∆ αΗ d1+ +

α

H

d

W

k

FW

∆

d2 d3+

M,Q N M,Q

Slika 2.1 Komponente pomeranja sistema sa jednim stepenom slobode

2-2

cije mogu dovoljno ta~no da se odrede samo iz deformacija savijanja, na osnovu krutosti EI preseka na savijanje.

Pri kretanju tla sa zna~ajnijim ubrzanjem d"g(t), problem postaje dinami~ki, jer se u konstrukciji javljaju i inercijalne sile. Osnovne dinami~ke karakteristike sistema su period sopstvenih oscilacija sistema

T=2π√(m/k) = 2π√(mδ) (2.2)

odnosno kru`na frekvenca sopstvenih oscilacija

ω = 2π/T = √(k/m) (2.3)

gde je m - masa sistema.

Ukupno pomeranje d t mase u odnosu na po~etni polo`aj u prostoru jednako je zbiru pomeranja dg konstrukcije kao krutog tela zajedno sa tlom, slika 2.1.b, i relativnog pomeranja d mase u odnosu na temelj, slika 2.1.c. Totalno, apsolutno ubrzanje mase u prostoru iznosi d t" = d"g + d".

Odgovor konstrukcije na kretanje tla sa promenljivim ubrzanjem d"g (t) mo`e da se odredi na osnovu re{enja problema relativnog kretanja mase konstrukcije sa nepomerljivim temeljom, optere}ene efektivnom dinami~kom silom u centru mase Pef =-md"g slika 2.1.d.

U svakom trenutku vremena t , rezultanta horizontalnog "spoljnog opetre}enja" - zbir efektivne Pef i inercijalne sile FI = md" usled relativnog ubrzanja, u ravnote`i je sa unutra{njim silama konstrukcije, otporu elasti~ne konstrukcije pomeranjima - FK=kd, i sili prigu{enja kretanja FC=cd', gde je c - viskozno prigu{enja a d' - relativna brzina kretanja, slika 2.1.d

Pef - FI - Fk - Fc = 0 odnosno (2.4)

md" + cd' + kd = -md"g (2.5)

Podeljena sa masom m, jedna~ina (2.5) glasi

d" + 2ξωd' + ω 2d = -d"g (2.6)

gde je ξ=c/2mω koeficijent prigu{enja, a A(t)=ω 2d "pseudo ubrzanje" mase. Za veli~ine koeficijenta prigu{enja ξ<0,10, pseudo ubrzanje, koje odre|uje iznos naprezanja konstrukcije prakti~no je jednako totalnom ubrzanju, koje uti~e kako na ljude, tako i na opremu objekta, (d"g + d") ≈ ω 2d.

H

M

d

M

dt

M

dg

k,C

= + d

M

k,C

FI

FKFC

FCFK

Pef

W

a. b. c. d.

d"g

Slika 2.2 Osnovni parametri dinami~kog modela

2-3

U slu~aju kretanja tla, re{enje jedna~ine (2.6) mo`e da se odredi u obliku Duhamel-ovog integrala, ili se primenjuju numeri~ke metode, kao {to je Njumarkova metoda sa konstantnim ubrzanjem /3/, /4/. Ulazni podatak je promena ubrzanja tla u toku vremena d"g(t), definisana zapisima ubrzanja tla - akcelerogramima, slika 1.3.

^esto se umesto registrovanih vred-nosti ubrzanja koriste skalirane vrednosti ubrzanja tla. Oblik zapisa se zadr`ava, ali

se sve ordinate akcelerograma multiplikuju odnosom ag / maxd"g(t) , tako da maksimalno ra~unsko ubrzanje tla bude jednako `eljenoj vrednosti ag .

Rezultati analize se tradicionalno prikazuju u obliku sile elasti~nog otpora konstrukcije Fk(t)=mA(t)=mω 2d(t) - koncept"zemljotresa kao spoljnog optere}enja", slika 2.3.a. Danas je trend da se efekti zemljotresa interpretiraju kao "prinudno relativno pomeranje" konstrukcije, dok je sila F(t)=kd(t) u op{tem slu~aju funkcija krutosti k konstrukcije, slika 2.3.b.

d(t)FK(t)=Kd(t)

d(t)FK(t)

a. b.

Slika 2.3 Interpretacija rezultata analize

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 5 10 15 20 25 30

-200

-150

-100

-50

0

50

100

0 5 10 15 20 25 30

Pomeranje tlaPomeranje konstr.

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 5 10 15 20 25 30

a.

b.

c.

d.

e.

f.

T=0,5s T=1,5s

T~ 1,5sT~ 0,5s

El Centroag=0,2g

-200

-150

-100

-50

0

50

100

0 5 10 15 20 25 30

Pomeranje tlaPomeranje konstr.

Aps

olut

no p

omer

anje

(m

m)

Rel

ativ

no p

omer

anje

(m

m)

Ubr

zanj

e (g

)

0,58

35,7

66,2

0,12

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0 5 10 15 20 25 30

Vreme t (sec)

Pseudo ubrzanje

Ubrzanje tla

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0 5 10 15 20 25 30

Vreme t (sec)

Pseudo ubrzanje

Ubrzanje tla

Slika 2.4 Odgovor elasti~ne konstrukcije na zapis El Centro

2-4

Primer 2.1...... Njumarkovom metodom odrediti odgovor elasti~ne konstrukcije sa jednim stepenom

slobode na uticaj zapisa El Centro prema slici 1.3.a, skaliranog na maksimalno ubrzanje tla ag=0,2g. Analizirati dva slu~aja konstrukcija, sa periodom sopstvenih oscilacija T=0,5s odnosno T=1,5s. Za vrednost koeficijenta prigu{enje usvojiti ξ=5%.

Na slici 2.4 prikazani su rezultati analize sa korakom integracije od 0,02 sekunde: ukupna - apsolutna pomeranja tla odnosno mase konstrukcije (sl.2.4.a i d), relativna pomeranja mase u odnosu na temelj (sl.2.4.b i e) kao i vrednosti ubrzanja tla odnosno pseudo ubrzanja mase konstrukcije A(t)/g, (sl.2.4.c i f).

Tlo sa sobom "nosi" konstrukciju, i nizom impulsa ubrzanja u toku vremena izaziva sopstvene oscilacije i relativna pomeranja mase. Nepravilan niz impulasa u oba slu~aja izaziva oscilacije konstrukcije sa periodama prakti~no jednakim sopstvenim periodima oscilovanja T=0,5 odnosno T=1,5s. Konstrukcija sa ni`om periodom T=0,5s ima manja relativna pomeranja u odnosu na mek{u konstrukciju, {to je op{ti trend i za druge zapise, ali ne i pravilo.

U oba slu~aja maksimalno ubrzanje tla je naravno 0,2g, ali se kod kru}e konstrukcije, sa ni`om periodom ubrzanja mase dodatno uve}avaju, amplifikuju na iznos 0,58g, dok je u slu~aju "mek{e" konstrukcije pseudo ubrzanja od 0,12g manje od ubrzanja tla. Vrednost faktora amplifikacije - odnos maksimalnog ubrzanja konstrukcije i tla iznosi β0 = 0,58g/0,2g = 2,9 (T=0,5s) odnosno β0 = 0,12g/0,2g = 0,6 (T=1,5s). Primer 2.2.....

Njumarkovom metodom odrediti odgovor elasti~ne konstrukcije sa jednim stepenom slobode za uticaj zapisa Petrovac prema slici 1.3.d, skaliranog na maksimalno ubrzanje tla ag=0,2g. Analizirati dva slu~aja konstrukcija, sa periodom sopstvenih oscilacija T=0,5s odnosno T=1,5s. Za vrednost koeficijenta prigu{enje usvojiti ξ=5%.

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 5 10 15 20 25

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 5 10 15 20 25

a.

b.

c.

d.

T=0,5 s T=1,5 sPetrovacag=0,2g

Rel

ativ

no p

omer

anje

(m

m)

Ubr

zanj

e (g

)

60,5

30,3

0,054

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0 5 10 15 20 25

Vreme t (sec)

Pseudo ubrzanjeUbrzanje tla

0,97

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0 5 10 15 20 25

Vreme t (sec)

Pseudo ubrzanjeUbrzanje tla

Slika 2.5 Odgovor konstrukcije na zapis Petrovac

2-5

Na slici 2.5 prikazani su rezultati analize sa korakom integracije od 0,02 sekunde: relativna pomeranja mase u odnosu na temelj (sl.2.5.a i c) kao i vrednosti ubrzanja tla odnosno pseudo ubrzanja mase konstrukcije A(t)/g, (sl.2.5.b i d).

U ovom slu~aju konstrukcija sa ni`om periodom ima ve}a relativna pomeranja. Ubrzanja kru}e konstrukcije se amplifikuju 4,85 puta na iznos od ~ak 0,97g, dok u slu~aju mek{e konstrukcije, pseudo ubrzanje iznosi samo 0,054g.

Dva navedena primera pokazuju da za odgovor konstrukcije nije bitan samo iznos

maksimalnog ubrzanja tla nego i predominantni period oscilacija tla Tg , slika 1.4.c kao i frekventne karakteristike zemljotresa - tok promene ubrzanja u vremenu. Sa druge strane, za isti zapis, odgovor konstrukcija sa razli~itim periodama sopstvenih oscilacija se razlikuje.

2.2 SPEKTRI ODGOVORA ELASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE KRETANJA

Za isti zapis ubrzanja tla d"g(t), svi elasti~ni sistemi sa istim periodom T, odnosno kru`nom frekvencom sopstvenih oscilacija ω (m/k=const) i prigu{enjem ξ pona{aju se identi~no u toku trajanja zamljotresa, i dosti`u iste ekstremne vrednosti relativnih pomeranja, relativnih brzina odnosno totalnih - pseudo ubrzanja. Ukoliko se ordinate ubrzanja tla pomno`e, normalizuju faktorom α, u istom odnosu promeni}e se i odgovoraju}e ekstremne vrednosti.

Projektante u praksi obi~no interesuju upravo ove ekstremne vrednosti, jer defini{u maksimalno naprezanje i pomeranje konstrukcije, ali za o~ekivani zemljotres na datoj lokaciji, za koji se eventualno zna o~ekivano maksimalno ubrzanje tla ag , ali ne i tok, frekventne karakteristike zemljotresa. Zbog toga se za analizu naj~e{}e koriste zapisi dogo|enih zemljotresa, ili se matemati~ki formiraju simulacije - sintetizovani zapisi ubrzanja tla, skalirani na o~ekivano maksimalno ubrzanje tla ag .

Postupkom prikazanim u prethodnim primerima, efekti pojedinih zapisa Z ubrzanja tla na konstrukcije sa razli~itim priodama Ti mogu da se sistematizuju u obliku spektra odgovora, koji prikazuju maksimalni odgovor konstrukcije - pomeranje, brzinu ili ubrzanje, ~iji je algoritam prikazan na slici 2.6.

Za izabrani zapis Z (El Centro na primer), numeri~kom integracijom sra~unava se

odgovor konstrukcija sa razli~itim periodama T1 -Tn. Za svaku od perioda Ti , registruje se

d(t)

T1

Ti

Tnξ=5%

D=max d(t)

V=ωDA=ω2D

Novi zapis ubrzanja tla - Z

D1(T1)

Di(Ti)Dn(Tn)

Period T

Pom

eran

je D Z1

Zj

Zm

Start

Slika 2.6 - Algoritam formiranja spektra odgovora

2-6

maksimalno sra~unato pomeranje sistema D=maxd(t), na osnovu ~ega se formira dijagram, spektar pomeranja D(T) za zapis Z. Umesto sra~unatih maksimalnih relativnih brzina i totalnih ubrzanja, obi~no se koriste pseudo vrednosti brzina - V=ωD odnosno pseudo ubrzanja A=ω 2D, za koja je re~eno da su prakti~no jednaka totalnim ubrzanjima mase. Postupak se ponavlja sa novim zapisima ubrzanja tla (Petrovac na primer), ~ime se dobija familija spektra odgovora, koji se obi~no normalizuju ili na ubrzanje zemljine te`e g, ili na maksimalno o~ekivano ubrzanje tla ag . Primer 2.3.....

Za zapise ubrzanja tla El Centro, Petrovac, Ulcinj i Beograd, formirati elasti~ne spektre pseudo ubrzanja i relativnih pomeranja u intervalu perioda T=0,02 - 3,0s, prigu{enje ξ=5%.

Na slici 2.7 prikazani su rezultati prora~una, normalizovani na maksimalno ubrzanje

tla ag . Na dijagramima su ozna~ene i prethodno dobijene vrednosti iz primera 2.1 i 2.2. Op{ti trend je da sa produ`enjem perioda oscilacija konstrukcije opada vrednost

maksimalnih ubrzanja ali i raste vrednost maksimalnih pomeranja konstrukcije. Zapisi Petrovac i Ulcinj registrovani su istovremeno, pri istom zemljotresu, ali na

razli~itim lokacijama. Razlike spektara odgovora ukazuju na zna~aj lokalnih efekata tla, koji mogu znatno da izmene frekventni sastav oscilacija tla koje poti~u iz istog izvora - `ari{ta zemljotresa.

Primer 2.4..... Za elasti~nu konstrukciju sa periodom oscilovanja T=1,5s, odrediti maksimalno relativno pomeranje i ubrzanje za efekte zemljotresa "tipa" El Centro sa maksimalnim ubrzanjem tla ag = 0,2g. Prema slici 2.7.b, maksimalno pomeranje iznosi

D = ag D(ag ) = 0,2g x 0,034 = 0,2x9810x0,034 = 66,7 mm.

Prema slici 2.7.a, maksimalno ubrzanje iznosi

A = ag A(ag ) = 0,2g x 0,59 = 0,118g (=ω 2D /g = (2π /1,5) 2x66,7/9810)

0

1

2

3

4

5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Period (s)

A (

ag )

= A

/a g

El Centro

Petrovac

Ulcinj

Beograd Petrovac

Beograd4,85

2,87

1,972,18

0,590,27

0.000

0.025

0.050

0.075

0.100

0.125

0.150

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Period (s)

D(

a g ) =

D/a

g (

s)

Ulcinj

Petrovac

El Centro

Beograd0,015

0,034

0,124

0,031 0,018 0,012

Slika 2.7 Spektar odgovora: a) pseudo ubrzanja i b) relativnog pomeranja elasti~nog sistema

2-7

Za sistem sa masom m, maksimalna vrednost reakcije konstrukcije - ra~unskog seizmi~kog optere}enja F iznosi

F = mA = 0,118mg

Transverzalna sila i moment uklje{tenja konzole visine H iznose Q=F odnosno M=FH. Primer 2.5..... Za konzolu visine H=6,67m, sa te`inom konstrukcije na vrhu W=300 kN, odrediti potreban moment inercije I stuba punog kvadratnog popre~nog preseka, tako da pri zemljotresu El Centro, sa maksimalnim ubrzanjem tla od ag=0,2g pomeranje vrha konzole D bude jednako 1% od visine konzole H. Moduo elasti~nosti beton E=250 GPa.

Masa konstrukcije iznosi

m = W/g=300/9,81 = 30,58 kNs 2/m

Dozvoljeno pomeranje vrha konstrukcije iznosi

maxD=1%H = 0,01 x 6,670 m = 0,0667 m odnosno

maxD/ag = 0,0667/0,2x9,81 = 0,034 s

Prema slici 2.7.b, za zapis El Centro i vrednost D(ag )= 0,034 s, sledi da konstrukcija treba da ima period oscilovanja od T=1,15s. Kako je T=2π√(mδ), to pomeranje vrha konzole usled stati~kog dejstva jedini~ne sile δ=1H 3/3EI treba da iznosi

δ = (T/2π) 2/m = (1,5/2π) 2/30,58 = 1,86 10 -3 m pa je

potI = H 3/3Eδ = 6,67 3/3 x 2,5 10 7 x 1,86 10 -3 = 2,12 10 -3 m4.

Potrebna dimenzija b stuba kvadratnog popre~nog preseka iznosi

b=(12 x potI) 1/4 = (12 x 2,12 10 -3) 1/4 = 0,40 m.

3-1

3. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU NELINEARNIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE UVOD Nivo optere}enja elasti~ne konstrukcije usled zemljotresa mo`e, u slu~aju izuzetno zna~ajnih objekta da se usvoji kao projektno optere}enje konstrukcije pri zemljotresu, ili da se kontrolisano smanji. Klasi~ni koncept smanjenja nivoa optere}enja zasniva se na dopu{tanju nelinearnog odgovora konstrukcije, uz pojavu kontrolisanih o{te}enja konstrukcije. Nakon obja{njenja osnovnih pojmova dinamike elasto-plasti~nih sistema, ilustruje se postupak formiranja nelinearnog spektra ubrzanja, uspostavljanjem veze raspolo`ive duktilnosti pomeranja konstrukcije i dozvoljenog nivoa redukcije seizmi~kog optere}enja. Polaze}i od nelinearnog spektra ubrzanja, izlo`en je op{ti algoritam projektovanja seizmi~ki otpornih konstrukcija, koji je osnova svih propisa. Na kraju, osim jednostavnog kriterijuma iscrpljenja konstrukcije dostizanjem kapaciteta deformacija pri monotonom stati~kom optere}enju, formulisan je i kombinovani kriterijum, kao podloga za definisanje ekvivalentne duktilnosti pomeranja, ~ime se obuhvata i cikli~na istorija deformacija konstrukcije pri zemljotresu.

3.1 TRADICIONALNA - SAVREMENA ZA[TITA KONSTRUKCIJA OD ZEMLJOTRESA

Nivo seizmi~kog optere}enja pri elasti~nom odgovoru konstrukcija obi~no je izuzetno visok, i te{ko ga je konstrukcijskim merama prihvatiti. Pri tome, ve} je uvo|enje viskoznog prigu{enja od ξ = 5% zna~ajno, ali ne i dovoljno ubla`ilo efekte zemljotresa, slika 3.1 - pseudo ubrzanje konstrukcije normalizovano na ubrzanje zemljine te`e.

Problem ima i svoju ekonomsku stranu, kao i

uvek - ulo`iti sredstva pri gra|enju za ne{to {to se mo`da ne}e ni desiti, ili prihvatiti rizik o{te}enja i eventualnih popravki? Pri razmi{ljanju kako da se konstrukcija racionalno adaptira zemljotresu, da se za{titi od preoptere}enja usled prinudnih pomeranja izazvanih pomeranjem tla koje ne mo`emo da spre~imo, treba imati u vidu da su pri dinami~kim pojavama mogu}i i konstrukcijski sistemi - privremeni mehanizmi koji su "stabilni" dok traje kretanje, slika 3.2. Kod realnih konstrukcija, potrebno je ipak obezbediti stabilnost sistema pre i nakon prestanka kretanja, kao i ograni~iti mogu}u trajnu deformaciju sistema.

Tradicionalni koncept smanjenja efekata zemljotresa zasniva se na umanjenju seizmi~kog optere}enja putem adaptacije krutosti osnovne nose}e konstrukcije pomeranjima

Slika 3.2 "Stabilan sistem" pri

kretanju

-4-3-2-101234

0 5 10 15 20 25

Vreme (s)

Ubr

zanj

e (

g)

Prigu{enje 0%Prigu{enje 5%Prigu{enje 20%

Slika 3.1 Efekat viskoznog prigu{enja, T=0,5s

3-2

usled zemljotresa, slika 3.3, {to podrazumeva pojavu odre|enog nivoa o{te}enja konstrukcije - neelasti~an tj. nelinearan odgovor konstrukcije. Usvojeni iznos prigu{enja od 5% tako|e podrazumeva pojavu nagla{enijih prslina.

Deluje kao paradoks da konstrukcija sa manjim optere}enjem F<Fe ima ve}a

o{te}enja, slika 3.3.b, ali redosled je obrnut, optere}enje je ni`e jer je upravo pojavom o{te}enja sni`ena krutost konstrukcije, tipi~no za uticaje prinudnih pomeranja. Ako se ne mo`e spre~iti pomeranje tla, konstrukcijski je mogu}e u horizontalnoj ravni prese}i, izolovati temelj konstrukcije od kretanja tla, konceptualni primer savremene za{tite konstrukcija - ku}a "na to~kovima" na slici 3.4.a. Ovaj koncept je efikasan u slu~aju krutih konstrukcija, produ`ava se period oscilovanja i smanjuje se efektivna sila Pef .

Ono {to je bitno, treba ubla`iti pobu|ivanje kretanja mase usled propagiranja oscilacija kroz konstrukciju. Ako je glavna masa konstrukcije visoko, stubovi mogu da se za{tite postavljanjem dinami~ke izolacije ispod mase, primer konstrukcija krovova velikih raspona na neoprenskim le`i{tima na vrhu stubova, konceptualno re{enje prema slici 3.4.c. U oba navedena slu~aja, relativna pomeranja mase konstrukcije u odnosu na podlogu - smicanje le`i{ta ~esto je merodavan kriterijum za realizaciju za{tite.

Za{tita konstrukcija mo`e da se ostvari i intervencijama koje modifikuju prigu{enje kretanja. Efekti prigu{enja mogu da se poja~aju dodavanjem posebnih "dampera" - prigu{iva~a, slika 3.4.b, sistem pogodan u slu~aju fleksibilnih konstrukcija. Tradicionalni na~in gra|enja i za{tite jo{ uvek preovla|uje, i u propisima pa i u praksi, tako da se naredne analize odnose na ovaj koncept. Ako pri prinudnim pomera-njima treba ograni~iti nivo naprezanja nelinearnim odgovorom konstrukcije, tada je elasto-plasti~an model odgovora konstrukcije svakako najjednostavniji.

3.2 OSNOVI DINAMIKE ELASTO-PLASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE

Na slici 3.5 ilustrovan je sistem sa jednom masom m za koji se pretpostavlja da je konstrukcijskim merama obezbe|ena elasto-plasti~na veza sile F i pomeranja d vrha konstrukcije.

Pri prinudnom pomeranju vrha dm , reakcija elasti~nog sistema sa kruto{}u k iznosila bi Fe= kdm, ta~ka I na slici 3.5.b. Pri pomeranju dm , akumulirana potencijalna energija jednaka je zbiru povr{ina Ee1 + Ee2 + Eh , slika 3.5.b. Ukoliko se sistem oslobodi oslonca, nastupi}e oscilacije du` prave I-II, sa periodom oscilovanja T=2π√(m/k), uz stalnu izmenu

F < Fe !?W W

Fe

O{te}enja

Elasti~an odgovorkonstrukcije

Neelasti~an odgovorkonstrukcije

Paradoks ?Manja sila - ve}a o{te}enja

a. b.

Slika 3.3 Tradicionalni koncept gra|enja i za{tite od zemljotresa

W W

a. b.

W

c.

Slika 3.4 Savremeni koncepti gra|enja i

za{tite od zemljotresa

3-3

kineti~ke i potencijalne energi-je. Ukoliko nema prigu{enja, amplitude oscilacija jednake su po~etnom pomeranju dm - elas-ti~an sistem "se se}a" stanja iz koga je izveden i reaguje "koleri~no".

Pretpostavimo da je ela-sti~ni nivo optere}enja Fe kon-strukcijski neprihvatljiv, i da `elimo da ga smanjimo na iz-nos Fy = Fe /R, gde je R usvo-jena vrednost faktora redukcije

elasti~nog optere}enja. Pri prinudnom pomeranju dm , elasto-plasti~an sistem (EP - sistem) sa istom inicijalnom kruto{}u k "sti}i }e" u ta~ku 3 na slici 3.5.b.

Akumulirana potencijalna energija EP sistema jednaka je povr{ini Ee2 , jer je znatan deo unete energije Eh nepovratno izgubljen proizvo|enjem trajne deformacije dp . Osloba|anjem od oslonca, EP sistem }e da osciluje u "pomerenom polo`aju", sa smanjenim ubrzanjem i amplitudom, po pravoj 3-4 odnosno izme|u ta~aka M-EP na slici 3.5.a. Kako su masa i inicijalna krutost isti, to je i period oscilovanja EP sistema jednak periodu oscilovanja elasti~ne konstrukcije.

Zavisno od nosivosti Fy odnosno stepena redukcije optere}enja R, EP sistem akumulira manje potencijalne energije - delimi~no "zaboravlja odakle je krenuo", adaptira se trajnim deformacijama, reaguje relativno "flegmati~no".

Ukoliko je u pitanju monotoni stati-~ki opit cikli~nih deformacija, pri "rastere}e-nju", pomeranju iz ta~ke 3 u suprotnom smeru, odgovor EP sistema opisan je "putem" 3-4-5-6 itd. Primer 3.1..... Za sistem sa jednom masom i perio-dom oscilovanja T=0,5s, odrediti odgovor sis-tema na impuls ubrzanja tla koji linearno raste od ag(t=0)=0 do ag (t=0,1s)=0,2g , slika 3.6.a. Za vrednosti faktore redukcije usvojiti R=1 (elasti~an sistem), 2,5, 5 i 10, a za prigu{enje ξ = 0. Za re{enje nelinearnog dinami~kog problema upotrebljen je program DIANA - TNO Delft /5/. Zadatak je re{en primenom Njumarkove metode integracije i modifi-kovane Njutn-Rapsonove iterativne proce-dure /3/,/4/. Na slici 3.6.a prikazana su rela-tivna pomeranja, a na slici 3.6.b optere}enje odgovaraju}e konstrukcije, normalizovano na proizvod mase i maksimalnog ubrzanja tla - pseudo ubrzanje konstrukcije. Kao {to je i nagove{teno, nakon prestanka kretanja

ME EP

dm

dp

k (ξ=0)

d

F

dm

-dm

dp

Fe

Fy

-Fe

-Fy

k

k

1

II

3

4

dy

Eh

Ee1

Ee2

2

I

5

6

a. b.

Slika 3.5 Dinamika elasto-plasti~nog - EP sistema

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Vreme (s)

Pom

eran

je (

mm

)

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0F/(

ma g

)

R=1,0R=2,5R=5,0R=10

R=1,0R=2,5R=5,0R=10

Fy=maxFe/R

0,2g

0,1s

a.

b.

Slika 3.6 Odgovor EP sistema na impuls

ubrzanja tla

3-4

tla (t=0,1s), EP sistemi osciluju u pomerenom - deformisanom polo`aju, sa smanjenim ubrzanjem odnosno optere}enjem sistema, limitiranim usvojenom nosivo{}u sistema Fy .

3.3 ODGOVOR NA ZEMLJOTRES ELASTO-PLASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE

Pretpostavimo da je poznat odgovor elasti~ne konstrukcije sa kruto{}u k na dati zapis ubrzanja tla, maksimalno seizmi~ko optere}enje Fe i relativno pomeranje de , slika 3.7. Potrebno je odrediti tok i maksimalnu vrednost pomeranja dm EP sistema sa istom inicijalnom kruto{}u k , ali sa redukovanom nosivo{}u Fy=Fe /R i odgovaraju}im

pomeranjem dy na granici dostizanja nosivosti tj. granici elasti~nosti.

Odnos µd = dm /dy naziva se potrebna duktilnost pomeranja sistema. Da bi se obezbedila stabilnost kon-strukcije, kapacitet pomeranja konstrukcije du treba da je ve}i od o~ekivanog maksimalnog pomeranja dm pri zemljotresu. Cilj nelinearnih dinami~kih analiza naj~e{-}e je utvr|ivanje potrebne duktilnosti pomeranja pri usvojenoj redukciji nosivosti sistema. Jedna~ine kretanja (2.6) i dalje va`e na po~etnom delu 1-2, dok na delu 2-3 glasi

md" + cd' + Fy = -md"g (3.1)

a na delu 3-4, slika 3.5.b

md" + cd' + k(d-dp)= -md"g (3.2)

Primer 3.1 Za zapise El Centro, Petrovac i Ulcinj, analizirati odgovor elasto - plasti~nih sistema sa

periodom oscilovanja T=0,5, 1,5 i 3,0 sekunde, za vrednosti faktora redukcije R=2,5, 5 i 10. Za sva tri zapisa, za maksimalno ubrzanje tla usvojiti ag=0,2g.

U prvom koraku odre|eno je maksimalno optere}enje elasti~nog sistema Fe , i potom su formirani elasto-plasti~ni sistemi sa redukovanom nosivo{}u u odnosu na zahtevanu nosivost elasti~nog sistema Fe . U Tabeli 1 dat je prikaz rezultata analiza za sve zapise i periode oscilovanja, dok je na slici 3.8 prikazan vremenski odgovor konstrukcije sa periodom T=0,5 sekundi usled zemljotresa El Centro. Kriva R=1 predstavlja odgovor elasti~ne konstrukcije, koji je prethodno prikazan i na slici 2.4.

d

F

de

dm=µddy

Fe

Fy =Fe/R

k

1 dy

2

I

3

µd

R

EP

E

4Lom

du

Slika 3.7 Osnovni parametri EP

modela

Tabela 1 Period T0.50 0.50 0.50 0.50 1.50 1.50 1.50 1.50 3.00 3.00 3.00 3.00

R A/ag D/ag µd DM A/ag D/ag µd DM A/ag D/ag µd DM1.0 2.87 0.018 0.00 0.59 0.034 0.00 0.39 0.088 0.00

El Centro 2.5 1.15 0.013 1.76 0.96 0.24 0.032 2.40 1.21 0.15 0.073 2.08 1.055.0 0.58 0.014 3.89 1.35 0.12 0.037 5.42 1.77 0.08 0.054 3.03 0.9210.0 0.29 0.017 9.31 2.05 0.06 0.055 16.30 2.85 0.04 0.078 8.88 1.351.0 4.85 0.031 0.27 0.015 0.11 0.024

Petrovac 2.5 1.95 0.019 1.54 0.92 0.11 0.022 3.61 1.68 0.04 0.019 2.02 0.985.0 0.97 0.012 1.88 0.90 0.05 0.011 3.57 1.42 0.02 0.014 2.85 0.9010.0 0.49 0.015 4.75 1.12 0.03 0.010 6.42 1.88 0.01 0.016 6.85 1.291.0 1.97 0.012 2.18 0.124 0.34 0.115

Ulcinj 2.5 0.79 0.029 5.91 3.01 0.87 0.100 2.02 0.98 0.20 0.125 2.72 1.235.0 0.40 0.052 20.80 6.64 0.44 0.098 3.94 1.06 0.10 0.087 3.80 0.9710.0 0.20 0.071 57.30 9.43 0.22 0.127 10.20 1.40 0.05 0.062 5.42 0.91

3-5

Relativna pomeranja EP sistema u granicama su pomeranja koja dosti`e elasti~an

sistem (35,6mm), pri ~emu je najmanje pomeranje sistema sa faktorom redukcije R=2,5 (25,0mm = 70% pomeranja elasti~nog sistema), slika 3.8.a.

Kao {to je i zadato, maksimalno optere}enje EP sistema ne prelazi propisanu nosivost u odnosu na elasti~an sistem, slika 3.8.b, normalizovano na mag.

Deljenjem pomeranja d(t) u nekom trenutku vremena sa odgovoraju}om vredno{}u pomeranja na granici elasti~nosti dy za svaki od EP modela, dobija se tok promene faktora duktilnosti pomeranja µd(t), slika 3.8.c. Karakteristi~no je da maksimalna potrebna duktilnost pomeranja EP sistema raste sa veli~inom faktora redukcije elasti~nog optere}enja R. Smanjenje nosivosti "pla}a se" pove}anim zahtevima za obezbe|enje post-elasti~nih deformacija konstrukcije. Zahtevane vrednosti potrebne duktilnosti pomeranja µd relativno su bliske usvojenim vrenostima faktora redukcije optere}enja R, razlike su do 30%.

U Tabeli 1, prikazane su maksimalne vrednosti odgovora konstrukcija, maksimalno pseudo ubrzanje A/ag i pomeranje D/ag normalizovani na maksimalno ubrzanje tla

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 5 10 15 20 25 30

R=1R=2,5R=5R=10

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30

-10.0

-7.5

-5.0

-2.5

0.0

2.5

5.0

0 5 10 15 20 25 30

35,6

25.0

33,1

9,31 R=10

3,89 R=5

El Centroag=0,2g T=0,5sPomeranje (mm)

a.

El Centroag=0,2g T=0,5s

Sila/mag

1,76 R=2,5

El Centroag=0,2g T=0,5s

Duktilnost pomeranja µd

Trajna deformacija27,7

2,87

2,87/2,5

b.

c.

Slika 3.8 Odgovor EP sistema na zemljotres El Centro

3-6

ag = 0,2g. Pored maksimalne potrebne duktilnosti pomeranja µd , prikazane su i vrednosti indeksa o{te}enja DM konstrukcije, koji }e biti komentarisan kasnije, u poglavlju 3.6.

Na slici 3.9.a prikazana je zavisnost pseudo ubrzanja A(ag ) konstrukcije u funkciji perioda oscilovanja i faktora redukcije R za zapis El Centro. Kroz sra~unate vrednosti za tri perioda oscilovanja provu~ena je regresiona kriva. Maksimalno ubrzanje pa i optere}enje konstrukcije opadaju sa porastom faktora redukcije R kao i sa porastom perioda T.

Na slici 3.9.b prikazana je zavisnost potrebne duktilnosti pomeranja µd u funkciji

faktora redukcije R i perioda oscilovanja T za zapis El Centro. U podru~ju perioda du`ih od t=0,5 sekundi, trend je da potrebna duktilnost ne zavisi od perioda oscilovanja, kao i da vrednost potrebne duktilnosti pomeranja te`i usvojenoj vrednosti faktora redukcije R.

Izneta zapa`anja va`e i za zapis Petrovac, Tabela 1, dok odgovor konstrukcije sa periodom T=0,5s na zapis Ulcinj pokazuje potpuno odstupanje.

3.4 NELINEARNI SPEKTRI ODGOVORA EP SISTEMA

U praksi je obi~no poznata obezbe|ena vrednost faktora duktilnosti pomeranja µd , a tra`i se dozvoljena vrednost faktora redukcije optere}enja R, inverzan problem.

Analogno prethodnoj analizi, ali uz malo vi{e truda, mogu da se formiraju inverzne krive R(µd ,T), crtkaste linije na slici 3.10.a. Sistematskom parametarskom analizom razli~i-tih EP sistema podvrgnutih razli~itim zapisima ubrzanja tla, mogu}e je ustanoviti pogodne aproksimacije ove zavisnosti, od kojih je jedna, mo`da i najpoznatija prikazana na slici 3.10.a, puna linija, za vrednosti faktora duktilnosti pomeranja konstrukcije µd =2,5, 5 i 10.

U podru~ju izrazito kratkih perioda oscilovanja, ispod vrednosti T1 , vrednost faktora redukcije iznosi R=1, za sve obezbe|ene duktilnosti pomeranja. To je tzv. oblast "jednakih ubrzanja konstrukcije i tla ", karakteristi~na za izrazito krute konstrukcije koje se moraju projektovati na prakti~no elasti~an odgovor konstrukcije.

2.08

3.89

5.42

3.03

9.31

16.30

8.88

1.76

2.40

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0.0 1.0 2.0 3.0

Period (s)

d

R=2,50

R=5,00

R=10,0

2.87

0.39

1.15

0.24

0.58

0.12 0.080.29

0.59

0.15

0.040.060.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.0 1.0 2.0 3.0

Period (s)

A (

a g)

R=1,00

R=2,50

R=5,00

R=10,0

a. b.

Slika 3.9 Zapis El Centro: a) pseudo ubrzanje, b) potrebna duktilnost pomeranja

3-7

U podru~ju kra}ih i srednjih perioda T=T1 -T2 , dozvoljena vrednost faktora

redukcije R mo`e da se aproksimira izrazom

R=(µd -1) 1/2 (3.3)

U podru~ju du`ih perioda, T>T2 , za vrednost faktora redukcije mo`e da se usvoji da je jednaka vrednosti obezbe|enog faktora duktilnosti pomeranja

R = µ d

(3.4)

Ukoliko se vrednosti elasti~nog spektra ubrzanja (R=1) podele odgovaraju}im vrednostima faktora redukcije R(µd ,T), dobija se nelinearni spektar pseudo ubrzanja konstrukcije , primer za zapis El Centro na slici 3.10.b. Na slici 3.11 prikazana je uobi~ajena interpretacija navedenih veza. Iz sli~nosti trouglova dijagrama F-d, mo`e da se zaklju~i da identitet R=µd ustvari zna~i da je pomeranje EP sistema jednako pomeranju elasti~nog sistema sa istom po~etnom kruto{}u, fundamentalni zaklju~ak na kome }e se zasnivati propisi, slika 3.11.a.

Prema slici 3.11.b, relacija R=(µd -1) 1/2 mo`e da se interpretira kao uslov jednakih povr{ina ispod dijagrama F-d elasti~nog i EP sistema, otuda i naziv "uslov jednakih energija

deformacija".

3.5 KONCEPT NELINEARNOG PRORA^UNA SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE

Na osnovu rezultata dosada{njih analiza, mo`e da se uspostavi koncept prora~una odgovora konstrukcija na dejstva zemljotresa, koji se zasniva na poznatim nelinearnim spektrima odgovora konstrukcija na dejstva zemljotresa, prema algoritmu na slici 3.12.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3Period (s)

R

µd=2,5

µd=5

µd=10

T1 T20

1

2

3

0.0 1.0 2.0 3.0

Period (s)

A (

a g)

µd=1,0

µd=2,5

µd=5,0

µd=10

a.

b.

a.

Slika 3.10 a) Zavisnost faktora redukcije R od obezbe|ene duktilnosti pomeranja;

b) nelinearni spektar pseudo ubrzanja konstrukcije

Fe

Fy=Fe/R

dyd=de=µddy

R=µd

d

Fe

Fy=Fe/R

dyd=µddy

R=(µd -1)1/2

de

d

a.

b.

Slika 3.11 Interpretacija

faktora redukcije R

3-8

Sa poznatim podacima o geometriji, materijalu, optere}enju konstrukcije kao i maksimalnom o~ekivanom ubrzanju tla ag , projektant mo`e da sra~una period oscilovanja T1 . Na osnovu tipa konstrukcijskog sistema, nivoa aksijalnog optere}enja i predvi|enih detalja armiranja, usvaja se obezbe|ena duktilnost pomeranja µd , recimo µd =5. Na osnovu sra~unatog perioda i duktilnosti, sa referentnog nelinearnog spektra ubrzanja o~itava se vrednost ubrzanja konstrukcije A(ag ), pa je projektno optere}enje jednako proizvodu mase, ubrzanja tla i normalizovanog ubrzanja, Fd =(Fy )=mag A.

Sa projektnim optere}enjem vr{i se "stati~ki prora~un", odre|uju se naprezanja delova konstrukcije, dimenzioni{u preseci i proverava stvarno pomeranje konstrukcije pri zemljotresu, polaze}i od pomeranja na granici elasti~nosti. Kona~no, vr{i se konstruisanje detalja tako da se obezbedi pretpostavljena vrednost duktilnosti pomeranja konstrukcije.

U prethodnom poglavlju, nelinearni spektar ubrzanja konstrukcije konstruisan je razmatraju}i elasto-plasti~ni model odgovora konstrukcije. Izlo`eni algoritam se principijelno ne menja i ako se odgovor konstrukcije modelira na neki drugi na~in, koji bolje opisuje realni odgovor konstrukcija od armiranog betona, na primer. Osnov koncepta je da, za poznatu duktilnost pomeranja konkretne konstrukcije, nosivost nelinearnog sistema mo`e da se redukuje u odnosu na maksimalni odgovor elasti~nog sistema.

3.6 AKUMULACIJA O[TE]ENJA I EKVIVALENTNA DUKTILNOST POMERANJA

Rezultat dosada{njih razmatranja je da je definisan odgovor elasti~ne, kao i elasto-plasti~ne konstrukcije na zemljotres - pomeranje dm odnosno potrebna duktilnost pomera-nja µd , definisana kao odnos maksimalnog pomeranja dm nelinearnog sistema pri zemljo-

W

H

m=W/g

b,d,MB k T1=2π(m/k)1/2

Procena µd (= 5,0)

0

1

2

3

0.0 1.0 2.0 3.0

Period (s)

µd=1,0

µd=2,5

µd=5,0

µd=10

Projektno seizmi~kooptere}enje

Fd = (Fy) = m agA

ag

W

Stati~kiprora~un

Fd

M,Q,N,dDimenzionisanje

presekaKontrola pomeranja

Kon

stru

is. d

etal

jaO

bezb

e|en

je µ

d

T1

A (

a g)

Slika 3.12 Koncept prora~una konstrukcija na bazi nelinearnog spektra ubrzanja konstrukcije

3-9

tresu i pomeranja dy pri dostizanju nosivosti nelinearnog sistema. Me|utim, koliki treba da bude kapacitet pomeranja konstrukcije du pri monotonom stati~kom optere}enju, da bi nivo o{te}enja konstrukcije nakon zemljotresa bio u prihvatljivim, `eljenim granicama? - nije definisan kriterijum prihvatljivog odgovora nelinearne konstrukcije pri zemljotresu.

Kao najjednostavniji kriterijum mo`e da se usvoji odnos maksimalnog pomeranja dm pri zemljotresu i obezbe|enog kapaciteta pomeranja du konstrukcije pri monotonom stati~kom prinudnom pomeranju, slika 3.13. Tada indeks o{te}enja konstrukcije DM iznosi

DM=dm /du = µd /µu < 1 (3.5)

gde je µu=du /dy duktilnost pomeranja pri dostizanju loma, iscrpljenja nosivosti konstrukcije. Ako je pri zemljotresu indeks o{te}enja dostigao vrednost DM=1, konstrukcija je dovedena u stanje kolapsa. Projektant mo`e da uti~e na nivo za{tite konstrukcije od o{te}enja izborom odgovaraju}e ve}e vrednosti du .

Kriterijum (3.5) prihvatljiv je u slu~aju odgovora konstrukcija sa jednim izra`enim pomeranjem preko granice elasti~nosti dy , i sa zanemarljivom akumulacijom o{te}enja zbog ve}eg broja ciklusa post-elasti~nih deformacija.

Me|utim, u situacijama kada konstrukcija trpi ve}i broj zna~ajnijih ciklusa post-elasti~nih deformacija, akumulacija o{te}enja u toku du`eg trajanja jakog dela zemljotresa mo`e da "iscrpi" konstrukciju. U takvim slu~ajevima, kao mera o{te}enja konstrukcije ~esto se usvaja kombinovana vrednost indeksa o{te}enja u obliku

DMdd

EF d

m

u

h

y u= + β

Σ (3.6)

gde je ΣΕh integral potro{ene energije - histerezisne krive EP sistema, slika 3.13, ~ija vred-nost raste sa du`inom trajanja zemljotresa odno-sno sa brojem ciklusa, Fy je nosivost sistema, dok je prvi ~lan dm /du ve} definisan izrazom (3.5.). Vrednost faktora β utvr|uje se eksperimentalno, a za kvalitativnu analizu odgovora AB konstruk-

cija mo`e da se usvoji β=0,15 /6/. Kao i ranije, vrednost DM=1 defini{e potpuno iscrpljenje nosivosti konstrukcije. Primer 3.2....... Na slici 3.14 prikazan je tok promene vrednosti indeksa o{te}enja DM u toku

d

F

de

-du

Fe

-Fy

k

1

Eh

2 "Lom"

dydm

3

45

6du

Fy

Monotoni opit

Slika 3.13 Indeks o{te}enja DM

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30

Vreme (s)

DM

T=1,5;R=10

T=0,5;R=10

T=1,5;R=5

T=3,0;R=5

T=3,0;R=2,5T=0,5;R=2,5

0

1

2

0 5 10 15 20 25 30

Vreme (s)

DM

T=1,5;R=10

T=1,5;R=5

a. b.

Slika 3.14 Zapis El Centro, indeks o{te}enja DM: a) du = de ; b) du > de

3-10

trajanja zemljotresa El Centro sa maksimalnim ubrzanjem tla ag=0,2g. Dijagram 3.14.a do-bijen je uz pretpostavku da je kapacitet pomeranja du pri monotonom optere}enju upravo jed-nak maksimalnom ostvarenom pomeranju de odgovaraju}e elasti~ne konstrukcije, du = de . U tom slu~aju je µu=R, slika 3.7. Po~etna vrednost indeksa, DM(t=0), pretstavlja ustvari izraz (3.5), da bi potom vrednost indeksa DM rasla u toku trajanja zemljotresa.

Predvi|eni kapacitet pomeranja je nedovoljan (DM>1), po pravilu u slu~ajevima ve}ih stepena redukcije optere}enja R, kada je zna~ajan udeo akumilacije o{te}enja, drugi ~lan izraza 3.6, slika 3.13. Za dati zapis zemljotresa, kapacitet deformacija konstrukcije du u ovom slu~aju treba korigovati.

Na slici 3.14.b prikazana je promena indeksa DM za korigovanu konstrukciju, kod koje je za kapacitet pomeranja du pri monotonom optere}enju usvojeno: du = 1,5de u slu~aju R=2,5, du = 1,8de u slu~aju R=5 i du = 2,4de u slu~aju R=10. Kao {to se vidi, vrednosti indeksa DM prakti~no su svedene u granice DM=1, osim za slu~aj konstrukcije sa periodom T=1,5 za koju je vrednost faktora redukcije optere}enja R=10 u ovom slu~aju prevelika.

Tok akumulacije o{te}enja u toku trajanja zemljotresa Petrovac i Ulcinj prikazan je

na slikama 3.15 odnosno 3.16. Za konstrukciju sa periodom T=0,5 sekundi "lociranu" u Ulcinju "nema spasa", ako bi se stvarno pona{ala prema primenjenim modelima.

0

1

2

0 5 10 15 20 25Vreme (s)

DM

T=1,5;R=10

T=3,0;R=10T=1,5;R=5

T=1,5;R=2,5

T=0,5;R=10

0

1

2

0 5 10 15 20 25Vreme (s)

DM

T=1,5;R=2,5

a. b.

Slika 3.15 Zapis Petrovac, indeks o{te}enja DM: a) du = de ; b) du > de

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 5 10 15 20 25Vreme (s)

DM

T=0,5;R=10

T=0,5;R=5,0

T=0,5;R=2,5

0

1

2

3

4

0 5 10 15 20 25Vreme (s)

DM

T=0,5;R=10

T=0,5;R=5,0

T=0,5;R=2,5

a. b.

Slika 3.16 Zapis Ulcinj, indeks o{te}enja DM: a) du = de ; b) du > de

3-11

Rezultati izvr{enih analiza ukazuju da je u znatnom broju slu~ajeva potrebno

obezbediti ne{to ve}i potreban kapacitet duktilnosti pomeranja µu pri monotonom optere}enju od zahtevane duktilnosti pomeranja µd pri zemljotresu - tzv. ekvivalentnu duktilnost, na~elno

µµ αµ

ud d

DM=

+( )1 (3.7)

gde se za vrednost faktora α mo`e kvalitativno usvojiti a=0,10. Za vrednost DM=1,0, relacija 3.7 prikazana je na slici 3.17, za dve vrednosti parametra α.

^emu vrednost DM u izrazu 3.7? Kvalitativno, smatra se da su u slu~aju kada je DM<0,5, o{te}enja konstrukcije posle zemljotresa popravljiva, da sa porastom vrednosti DM nivo o{te}enja raste, da bi pri vrednosti DM=1 nastupio kolaps konstrukcije /7/.

Projektant na~elno mo`e da bira nivo o{te}enja konstrukcije, pri ~emu se kriterijum o{te}enja mo`e formulisati i po drugim veli~inama: obrtanju preseka,

relativnom spratnom pomeranju, rotacijama preseka, izdu`enju armature, {irini prslina itd. Koncept je ilustrovan na primeru kriti~nog preseka, ali se mo`e generalizovati na element konstrukcije, sprat i konstrukciju u celini.

Razvoj propisa kre}e se u pravcu formulisanja koncepta projektovanja na bazi kontrole nekog od bitnih parametara koji opisuju pona{anje i o{te}enje objekata - "performance based design".

0

5

10

15

20

0 2 4 6 8 10

α=0

α=0,10

µ u=µ d

Zahtevana duktilnost µd

Pot

reba

n ka

paci

tet d

ukt. µ

u

5

DM=1

Slika 3.17 Potreban kapacitet

duktilnosti pomeranja

4-1

4. KAKO REALIZOVATI ELASTO-PLASTI^AN SISTEM U ARMIRANOM BETONU

UVOD

U prethodnim razmatranjima analiziran je odgovor konstrukcije sa elasto-

plasti~nom vezom sile i pomeranja vrha. U ovom poglavlju, analiza silazi na nivo popre~nog preseka i razmatraju se zahtevi koji se postavljaju u pogledu potrebnih krivina preseka odnosno veza napon - dilatacija na nivou materijala. U nastavku, razmatra se kapacitet nelinearnih deformacija uobi~ajenih betonskih preseka i konstrukcija, kao i konstrukcijske mere za pove}anje kapaciteta - utezanje betonskih preseka uzengijama. Na kraju je dat prikaz jednog ispitivanja kao i savremenih postupaka modeliranja AB konstrukcija.

4.1 KRIVINA PRESEKA - POMERANJE KONSTRUKCIJE

Ako su rezultati prethodnih analiza zadovoljavaju}i, postavlja se pitanje kako realizovati EP model pomeranje-sila u realnim konstrukcijama sa jednim stepenom slobode, konzola na slici 4.1.a.

Da bi se postigla elasto-plasti~na veza sila-pomeranje F-d, neophodan uslov je da je bar na delu visine konstrukcije mogu}e realizovati elasto-plasti~nu vezu moment-krivina preseka M-κ , slika 4.1.b.

Primer 4.1........

Odgovor elasti~ne konstrukcije na dejstvo sile F u vrhu konzole je moment Me=FH u uklje{tenju, pomeranje vrha dm i krivina preseka u uklje{tenju κe slika 4.1.a-b. Za zahtevanu vrednost duktilnosti pomeranja µd i uz pretpostavku da je faktor redukcije optere}enja R=µd , potrebno je konstruisati konstrukciju za koju }e moment u uklje{tenju imati vrednost My=Me

/R. Krutost konstrukcije na pomeranje odrediti prema krutosti preseka na savijanje EI . Sa poznatom vredno{}u momenta u uklje{tenju - nosivosti preseka My=Me /R

odre|ena je i krivina na granici elasti~nosti κy=My /EI , slika 4.1.b. Prema Morovoj analogiji, pomeranje dy vrha konzole na granici elasti~nosti iznosi

d HH H

y yy= =0 5

23 3

2

, κκ

(4.1)

W

Krivina

Pomeranje

κm=µκκy

κy

H

Hp

µk

dm=µddydy

κe

EP

E

µd

b.

F

Me

My=Me/RR

EP

E

a.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 0.05 0.1 0.15 0.2Du`ina plast. zgloba - Hp/H

Potr

ebna

duk

t.kri

vine

- µk

µd=2,5

µd=5,0

µd=10

c.

Slika 4.1 Obezbe|enje elasto-plasti~ne veze sila-pomeranje

4-2

Ostatak pomeranja vrha do zahtevanog iznosa dm realizova}e se konstruisanjem plasti~nog zgloba u oblasti uklje{tenja. Sve elasto-plasti~ne deformacije konstrukcije bi}e koncentrisane na du`ini plasti~nog zgloba Hp , sa nepoznatom maksimalnom vredno{}u krivine preseka κm = µk κy , slika 4.1.b. Za ostali deo konstrukcije pretpostavlja se da ostaje u oblasti elasti~nog odgovora materijala. Za du`inu Hp plasti~nog zgloba okvirno mo`e da se usvoji polovina dimenzije d preseka elementa u ravni savijanja.

Pomeranje δ vrha konzole usled pove}anih krivina preseka preko granice elasti~nosti na du`ini plasti~nog zgloba Hp iznosi

δ κ κ κ µ= − − = − −( ) ( ) ( ) ( , )m y pp

y k pp

H HH

HHH2

1 0 52 (4.2)

Da bi se obezbedilo zahtevano pomeranje vrha konzole dm , treba da je zadovoljen uslov

δ = dm - dy = dy(µd -1) (4.3)

Uvr{}enjem (4.1) i (4.2) u (4.3) dobija se veza potrebne duktilnosti krivine µk na du`ini plasti~nog zgloba Hp i zahtevane duktilnosti pomeranja vrha konzole µd

µκκ

µk

m

y

d

p pHH

HH

= = +−

−1

1

3 1 0 5( , ) (4.4)

Na slici 4.1.c prikazana je zavisnost potrebne duktilnosti krivine µk u funkciji du`ine plasti~nog zgloba Hp i zahtevane duktilnosti pomeranja µd . Veza va`i za bilo koji materijal, ~elik, beton, druga je stvar da li se potrebne duktilnosti krivina mogu, i pod kojim uslovima realizovati. Pri zahtevanoj duktilnosti pomeranja µd = 5 i du`ini plasti~nog zgloba Hp /H = 0,10, potrebna duktilnost krivine iznosi µk=15, {to uop{te nije malo, u slu~aju AB konstrukcija.

Primer 4.2.........

Na slici 4.2 prikazan je okvir sa beskona~no krutom riglom - "smi~u}i okvir". Pri pomeranju vrha od dm , na slici 4.2.b prikazana je raspodela krivina, koja se mo`e interpretirati kao dve ekvivalentne konzole visine H. U ovom slu~aju, relacija (4.4) glasi

µκκ

µk

m

y

d

p pHH

HH

= = +−

−1

0 5 1

3 1 0 5

,

( , ) (4.5)

Pri zahtevanoj duktilnosti pomeranja µd =5, i du`ini plas-ti~nog zgloba Hp /2H = 0,10, potrebna duktilnost krivine izno-si µk=3,8 {to je u slu~aju AB konstrukcija lako ostvarljivo.

Da bi se ostvarila potrebna duktilnost pomeranja konstrukcije, i konstrukcijski sistem igra zna~ajnu ulogu.

dm

HH

Hp

κy

κmEkvivalentna

konzola

a. b.dm/2

dm/2

Slika 4.2 EP smi~u}i okvir

4-3

4.2 NELINEARNI ODGOVOR AB KONSTRUKCIJA

U armirano betonskim konstrukcijama, krivina preseka κ posti`e se dilatacijama skra}enja usled pritiska u betonu - εc i izdu`enja ~elika εs , slika 4.3.a

κ = (εc + εs )/h (4.5)

Da bi se u zoni plasti~nog zgloba uop{te realizovale nelinearne deformacije betona i armature, armatura mora da bude pouzdano usidrena u temelj, uz efikasno fundiranje koje }e da obezbedi da se pomeranje vrha konzole realizuje krivinama preseka, a ne rotacijom ili "skakutanjem" temelja.

Primer 4.3.........

Pri dimenzionisanju nosivosti preseka za uticaje uobi~ajenih optere}enja, dilatacije su propisima ograni~ene na εc <0,0035 u betonu odnosno εs< 0,010 u ~eliku, ~ime je ograni~ena i maksimalna vrednost krivine preseka za uobi~ajene slu~ajeva optere}enja. Me|utim, ni taj iznos krivine preseka ~esto nije mogu}e dosti}i, jer iznos aksijalnog optere}enja preseka bitno uti~e na sposobnost post-elasti~nih deformacija preseka, primer stuba kvadratnog popre~nog preseka, MB30, slika 4.3.b.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 0.01 0.02 0.03 0.04Krivina (1/m)

Mom

ent (

kNm

)

n=0,20max εs = 4%

µ=1%

µ=2%

µ=4%

0

50

100

150

200

250

300

0 0.01 0.02 0.03 0.04Krivina (1/m)

Mom

ent (

kNm

)

MB50

MB40

MB30

N=656 kNµ=1%

max εs=4%

m

n=Nu/bdβb

µ

MB50MB30

0

50

100

150

200

250

300

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08Krivina (1/m)

Mom

ent (

kNm

)

max εs = 1% max εs = 4%

n=0

n=0,10

n=0,20

n=0,50

n=0,80

b=40

40

κy

κu κu

µ=1%

κu/κy=4-5

Detalj

d

F

H

Pouzdano sidrenjearmature i fundiranje !

ε s

ε c Hp

h

κ

φ a. b.

c. d.

Slika 4.3 Nelinearni odgovor AB stuba

4-4

Za kvadratni presek stuba prikazani su dijagrami M-n-κ (n=N/b 2βΒ) sa dilatacijama ~elika ograni~enim na 0,010 odnosno 0,040, "mimo propisa". Sa porastom aksijalnog optere}enja, opada grani~na vrednost krivine preseka pri lomu. Dopu{tanje ve}ih dilatacija ~elika pove}ava grani~nu vrednost krivine preseka, ali samo pri ni`im nivoima aksijalnog optere}enja, u slu~ajevima "loma po armaturi". Duktilnost krivine pri ~istom savijanju iznosi 4 - 5 (εs< 0,010) odnosno 8 - 10 (εs< 0,040), {to ne obe}ava, slika 4.1.c.

Poku{aj da se pri nivou aksijalnog optere}enja n = 0,20 duktilnost krivine preseka pove}a pove}anjem procenta armiranja µ , slika 4.3.c ili marke betona, slika 4.3.d ne}e dati zadovoljavaju}e rezultate.

Postavlja se pitanje mo`e li se onda uop{te ne{to posti}i u armiranom betonu, mogu li se u slu~aju zemljotresa obezbediti pove}ane dilatacije armature i betona, makar i uz smanjenu nosivost preseka?

Na slici 4.4 uobi~ajeni "radni dijagrami" betona i ~elika prikazani su linijom 1, dok linije 2 prikazuju "po`eljne" dijagrame, odgovor materijala u slu~aju zemljotresa. Na dijagramu σ−ε ~elika, linija 3 je u slu~aju zemljotresa nepo`eljna, ~elik treba da poseduje osobinu oja~anja - linija 2, kako bi se obezbedila ve}a du`ina plasti~nog zgloba, postepenim propagiranjem dilatacija te~enja armature du` elementa.

Na slici 4.5 prikazani su rezultati jednoaksijalnih opita betona i ~elika. Dok se u

slu~aju rebrastih ~elika mogu dopustiti pove}ane dilatacije ~ak i do 10%, slika 4.5.b, dotle su dilatacije pritiska betonskih cilindara sa ~vrsto}om fc' u granicama definisanim propisma.

"Lom"

0,2 0,35

βb

ε (%)

σ

"Lom"

"g+p"

Zemljotres

1,5?

12

βbu

"Lom"

1,0

fy

ε (%)

σ

"Lom"

"g+p"

Zemljotres

6,0?

1

2

3

ft

a. b.

Slika 4.4 Radni dijagrami a) betona i b) ~elika

Dilatacija (%)

Nap

on (

MP

a)

0

10

20

30

40

50

60

70

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005Dilatacija

Nap

on (

MPa

)

fc'=60

fc'=50

fc'=40

fc'=30

fc'=20 a. b.

0,0035

Slika 4.5 Rezultati jednoaksijalnih opita: a) betona i b) ~elika /8/

4-5

Pove}anje duktilnosti krivine dopu{tanjem pove}anih dilatacija ~elika nije dovoljno, potrebno je da se nekako pove}a i kapacitet deformacija betona.

Opiti na slici 4.5.a su naravno izvedeni na nearmiranim betonskim prizmama. Na rezultatima ovih opita jednoaksijalne ~vrsto}e zasnivaju se uobi~ajeni algoritmi prora~una preseka na savijanje sa normalnom silom, u kom slu~aju se jednoaksijalno stanje napona prostire na delu ukupne povr{ine popre~nog preseka. U realnim konstrukcijama, "jednoaksijalna ~vrsto}a preseka elementa" je ve}a, jer se bo~nom {irenju betona pri pove}anim dilatacijama pritiska, sa pojavom podu`nih prslina u pravcu optere}enja suprotstavljaju uzengije preseka - preseci su "popre~no utegnuti", slika 4.6.b-c.

Bo~nom {irenju betona opire se ustvari "omota~" od podu`ne armature i uzengija.

Efikasnost utezanja zavisi od koli~ine i podu`nog razmaka uzengija, granice razvla~enja ~elika ali i od razmaka podu`nih {ipki koje su "bo~no pridr`ane - poduprte" uzengijama, slika 4.6.c. Ovaj omota~ defini{e utegnuto jezgro preseka dimenzija b0 prema slici 4.6.b. Primer 4.4.......

Za opisivanje efekata utezanja betona na pove}anje jednoaksijalne nosivosti i deformabilnosti postoje razli~iti predlozi, jedan od njih ilustrovan je na slici 4.6.a /2/. Kriva B1 predstavlja paraboli~nu aproksi-maciju rezultata opita sa slike 4.5.a za fc'=25 MPa, a linija B2 se odnosi na isti beton, ali utegnut uzengijama Rφ10/10 prema slici 4.6.b. Pove}anje nosivosti je zna~ajno, i {to je va`nije, kapacitet dilatacija - deformabilnosti je pove}an.

Za dalje ra~unske analize, pret-postavljen je ne{to ni`i efekat utezanja - beton B3 , sa pove}anom ~vrsto}om od fc'=35 MPa koja se dosti`e pri dilataciji betona od 0,004, slika 4.6.a.

Na slici 4.7 prikazani su rezultati prora~una moment - krivina preseka prema

bw

l w

B3

B1-B3?

B1

0.0

10.1

25.0

39.7

19.9

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 0.005 0.01 0.015

Dilatacija

Nap

on (

MP

a)

B1

B2

B3

0,0022

0,004

F=fuσv

34

b0=34

B3

B1

a.

c.

b.

d.

40

Slika 4.6 Utezanje AB preseka uzengijama

0

50

100

150

200

250

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Krivina (1/m)

Mom

ent (

kNm

)

Neutegnut presek - (B1)

Utegnut ceo presek - (B3)

Utegnuto jezgro preseka - jezgro (B3) - za{titni sloj (B1)

1

2

3

Slika 4.7 Efekat utezanja betona

4-6

slici 4.6.b, za iznos normalne sile od N=0,2fc'b 2=0,2x2,5x40 2=800kN. Kriva 1 predstavlja odgovor neutegnutog preseka, model betona B1 sa slike 4.6.a. Linija 2 predstavlja odgovor preseka uz pretpostavku da je ceo popre~ni presek utegnut, model betona B3 . Pri pove}anim dilatacijama pritiska nastupa odvajanje, "oljuskavanje" za{titnog sloja preseka, i svo|enje nosivog preseka na presek utegnutog jezgra. Linija 3 prikazuje odgovor preseka kod koga je za jezgro usvojen model utegnutog betona B3 , a za za{titni sloj model neutegnutog betona B1 , slika 4.6.b.

U oba slu~aja, utezanje preseka znatno pove}ava grani~ne dilatacije pri dostizanju loma preseka, samim tim i maksimalne krivine odnosno kapacitet deformacija.

Isti princip va`i za bilo koju pritisnutu zonu slo`enih preseka, kao {to je zid T - preseka na slici 4.6.d, kod koga je potrebno pove}ati duktilnost krivine preseka utezanjem {rafiranih "skrivenih stubova". U zoni spoja rebra i flan{e zida uvek se postavljaju uzengije, ali eventualno ra~unski potrebno utezanje nije uvek potrebno.

Svi prora~uni moment - krivina ura|eni su programom RESPONSE, koji se na disketi distribuira uz ud`benik /9/.

4.3 PO^ETNA KRUTOST AB PRESEKA I KONSTRUKCIJA

Pri dosada{njim analizama teorijskih elasto-plasti~nih modela odgovora konstrukcija na dejstvo zemljotresa, formiranju nelinearnih spektara odgovora na primer, pretpostavljeno je da je inicijalna, po~etna krutost k elasti~ne i EP konstrukcije identi~na. Postavlja se pitanje kako odrediti prora~unsku krutost preseka i konstrukcije sa kojom se potom formira dinami~ki model konstrukcije?

Primer 4.5.......

Na slici 4.8.a prikazan je popre~ni presek slo`enog AB zida. Uz pretpostavku da je centri~ni napon pritiska usled gravitacionog optere}enja σ0=1,5 MPa (N0=Acσ0 = 2580 kN, Ac - povr{ina bruto preseka betona), i da je zid armiran minimalnom koli~inom armatute prema YU seizmi~kim propisima /10/, izvr{iti analizu prora~unskih krutosti preseka konstrukcije.

Ako se za krutost preseka na savijanje EI usvoji krutost EI0 bruto I-preseka slo`enog zi-da prema slici 4.8.a, veza moment - kri-vina prikazana je li-nijom 1 na slici 4.8.c.

Veza mome-nt-krivina odre|ena modeliranjem armi-ranog preseka pre-ma postupku iz

prethodnog primera, prikazana je na slici 4.8.b, pri ~emu je modelirano i oja~anje ~elika. Maksimalna krivina preseka zida iznosi skoro 3%. Detalj dijagrama, do vrednosti krivina od 0,2% prikazan je na slici 4.8.c. Elasto-plasti~na aproksimacija dijagrama moment-krivina prikazana je linijom 2 na slici 4.8.c, koja prolazi kroz karakteristi~nu ta~ku ra~unskog dijagrama za koju se naj~e{}e usvaja nivo od 75% momenta nosivosti My=8000 kNm. Sa

Krivina

Mom

ent

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002Krivina (1/m)

Mom

ent (

kNm

)

b.

c.

0,75My = 6000 kNm

0,0005

EIef=6000/0,0005 =1,2 107 kNm2

My=8000 kNm

12

0,03

10000Detalj

300

300 20

20

MB30Ec=250GPa

a.

EI0=5,5EIef

A (

a g)

F

Slika 4.8 Slo`eni zid, prora~unska krutost preseka

4-7

odgovaraju}om krivinom od 0,0005 1/m, efektivna krutost preseka iznosi EIeff = 1,2 10 7 kNm 2, {to je 5,5 puta manje od krutosti EI0 bruto I - preseka zida. Primer 4.6.......

U praksi ~est slu~aj usvajanja karakteristika samo rebra za prora~un krutosti preseka slo`enih zidova, zasniva se upravo na ~injenici da }e nakon dostizanja ~vrsto}e betona na zatezanje, beton zategnute flan{e i dela rebra zida biti isklju~en iz nosivosti i krutosti preseka, osim armature u ovom zonama.

Me|utim, onda bi trebalo biti dosledan, pa i za krutost jednostavnog zida koji nema flan{e tako|e usvojiti prora~unsku vrednost efektivne krutosti EIef , manju od krutosti bruto preseka EI0 , {to u praksi naj~e{}e nije slu~aj.

Na slici 4.9 prikazani su dijagrami moment-krivina pravougaonog zida, rebra zida na slici 4.8.a, sa istim normalnim naponom od gravitacionog optere}enja i istim minimalnim procentom armiranja. Efektivna krutost preseka iznosi EIef = 2,8 10 6 kNm 2 , linija 2, {to je ~ak 4,1 puta manje od krutosti bruto pravougaonog preseka EI0 , linija 1 na slici 4.9.

Usvajanje sni`ene krutosti zida I -preseka i pune krutosti zida pravougaonog preseka za posledicu ima poreme}aj relativnih krutosti elemenata konstrukcije, {to ima uticaja na prora~unske uticaje

slo`enih sistema, poglavlje 6.11.

4.4 REALNO PONA[ANJE ARMIRANO BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRI CIKLI^NIM DEFORMACIJAMA

Elasto-plasti~ni model jeste jednostavan za obja{njenje problema, dovoljno ta~no opisuje pona{anje betonskih preseka pri monotonim optere}enjima u istom smeru, ukoliko je lom po ~eliku, koji i daje karakter krive. Me|utim, pri cikli~nim deformacijama usled zemljotresa, fenomeni su slo`eniji i modeliraju se drugim, slo`enijim vezama moment - krivina ili sila - pomeranje.

Zbog poznatog Bau{ingerovog efekta, ni sam ~elik ne pokazuje idealan elasto-plasti~an odgovor na cikli~ne deformacije, dolazi do zaobljenja krive odgovora, sa povr{inom histerezisne krive manjom od elasto-plasti~nog odgovora, slika 4.10.

Pri formulisanju racionalnih modela pona{anja AB konstrukcija pri zemljotresu, nezamenljivu ulogu imaju laboratorijski eksperimenti kao i osmatranja pona{anja realnih konstrukcija pri zemljotresu. Kao primer, na slici 4.11 prikazana je dispozicija opita na modelima AB trospratnih zidova izvedenih na ETH - Cirih /8/.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002Krivina (1/m)

Mom

ent (

kNm

)

0,75My = 1800kNm

0,00065

EIef=1800/0,00065 =2,8 106 kNm2

My=2400 kNm

12

EI0=4,1EIef

Slika 4.9 Krutost pravougaonog preseka zida

σ

ε

1 2

3

4

5

6

7

Slika 4.10 Cikli~ne deformacije ~elika

4-8

Model zida trospratne zgrade u razmeri 1:3, sa tri mase od po 120 kN, testiran je zadavanjem ubrzanja vibracionoj platformi pomo}u prese - aktuatora, prema sintetizovanom akcelerogramu. Efekat gravitacionog optere}enja simuliran je vertikalnim prethodnim naprezanjem.

Na slici 4.12 prikazani su rezultati opita cikli~nog monotonog optere}enja dva zida, razli~ito armirana. Zid na slici 4.12.b poka-zuje dobar - po`eljan odgovor za AB konstrukcije. Elasto- plasti~ni

dijagram monotonog opita je anvelopa cikli~nih deformacija, ali histerezis znatno odstupa od elasto-plasti~nog modela (EP), su`en je i pokazuje tendenciju pada krutosti u toku ciklusa. Povr{ina histerezisa je manja nego u slu~aju teorijskog elasto-plasti~nog modela, samim tim i koli~ina potro{ene energije.

Zid na slici 4.12.a pokazuje nepo`eljnu, ali sasvim mogu}u situaciju u praksi. Osim pada krutosti preseka, prisutan je i pad nosivosti sa pove}anjem broja ciklusa, i definitivni lom pri relativno malom broju ciklusa.

4.5 MODELIRANJE AB KONSTRUKCIJA

Sve do pojave rezultata opita na modelu realne AB konstrukcije iz prethodnog poglavlja, teorija zasnovana na elasto-plasti~nom modelu odgovora konstrukcije je "lepo napredovala". Budu}i da se konstrukcije od betona stvarno izvode, i to uglavnom prema Propisima, zna~i da re{enje ipak postoji. Pre napu{tanja razmatranja efekata zemljotresa na primeru najjednostavnije konstrukcije, konzole sa jednom masom, potrebno je bar nagovestiti kako }e to "beton"

"Mase"3x120 kN

"N-sila"Kablovi

"AB zid"R=1:3

Vibracionaplatforma

Aktuator

Slika 4.11 Dispozicija opita /8/

Horizontalno pomeranje vrha (mm)

Sila

akt

uato

ra (

kN)

Mom

ent

u uk

lje{t

enj u

(kN

m)

S ila

akt

uato

ra (

kN)

Mom

ent

u uk

lje{t

enj u

(kN

m)

Horizontalno pomeranje vrha (mm)

Monotoni opit Monotoni opit

Pad nosivosti

Pad krutosti

a. b.

EP

Beton

Slika 4.12 Histerezisne krive /8/

Fy

Fy

d

k0

dydy

kn

kr

1 2

3

4

56

78

910

Slika 4.13 Model F-d sa uticajem akumulacije o{te}enja na krutost

4-9

sa slike 4.12.b da se uklopi u op{ti algoritam iz poglavlja 3.5. Ako elasto-plasti~ni model F(sila, moment)- d(pomeranje, krivina preseka) ne opisuje

korektno odgovor realnih AB konstrukcija, onda treba "smeniti" model. Na slici 4.13 kvalitativno je prikazan ra~unski model odgovora kakvi se danas koriste u nelinearnoj analizi AB konstrukcija izlo`enih dejstvu zemljotresa. Inicijalna krutost k0 kao i nosivost Fy (pri ~emu plato ne mora da bude horizontalan) odre|eni monotonim opitom formiraju kostur krive. Zavisno od trenutnog iznosa deformacije d, ali i od istorije deformacija, krutost sistema se menja u toku cikli~nih deformacija pri zemljotresu. Pravila po kojima se odre|uju krutosti kn , kr itd. pojedinih grana, histerezisna pravila, utvr|uju se usagla{avanjem sa eksperimentalno utvr|enim rezultatima, prema slici 4.12 na primer.

Osim {to je formulacija matemati~ki komplikovanija, princip analize je isti kao i u slu~aju EP modela. Ako su u konstrukciji definisane zone plasti~nih zglobova, odgovor tih zona mo`e da se opi{e prethodnim modelom, dok se za ostale delove konstrukcije mo`e usvojiti da se pona{aju elasti~no - koncept "koncentrisanog nelinearnog odgovora" u ~vorovima {tapova modela konstrukcije.

Danas je popularan koncept "makroskopskog modeliranja", gde se deo zida visine h, na primer, modelira vi{eslojnim sistemom nelinearnih opruga, od kojih svaka, k1 -kn mo`e da ima svoje histerezisno pravilo, tako da ukupni efekat bude usagla{en sa rezultatima eksperimenata, slika 4.14.

Za razliku od prethodnih, "makroskopskih modela",

koji su trenutno jedino racio-nalno re{enje za modeliranje konstrukcija objekata u celini, metod kona~nih elemenata se uglavnom koristi za nelinearnu seizmi~ku analizu delova ili detalja AB kon-strucija - "mikroskopsko mo-deliranje".

Na slici 4.15 prikazan je model sedmospratnog armiranobetonskog slo`enog zida, kod koga su prva dva sprata, beton i sva armatura modelirani nelinearno, a za ostatak konstrukcije je usvo-jen idealno elasti~an model /11/. Ukupna masa konstruk-cije koncentrisana je u visini petoga sprata, nivou "rezul-tante" seizmi~kog optere}e-nja. Napon u betonu usled

k1 k2

k3

Konzola

h

Slika 4.14 Vi{eslojni model

nelinearnih opruga

10

15

20

25

30

35

40

1 2 3 4

fcm=38

fc=30

fctm=2.9-1

C30/37

2.2Ecm=31935

f (MPa)

ε (0/00)

c.)

14x200=2800

13x2

00=

2600

3000

2800

F1 R1

F2 R2

e=200

b.)

Strana 1

Strana 2

1

2

3

4

5

6

7

Nee

last

i~no

Ela

sti~

no

7x30

00=

2100

0

+Pomeranje

W/2

W/2

a.)

Strana 1 Strana 2

F1

R1

Slika 4.15 "Mikroskopsko modeliranje": a) model zida, b)presek i raspored armature, c) jednoaksijalni model betona

4-10

gravitacionog opetere}enja u ovom slu~aju iznosi 2,0MPa, dok ujedna~eni procenat

armiranja vertikalnom armaturom iznosi 1,2%. Nelinearna stati~ka i dinami~ka analiza ura|ene su programom DIANA-TNO /5/.

Pomeranjem oslonca u nivou masa, prema shemi ciklusa na slici 4.16, prvo je definisan stati~ki odgovor konstrukcije, sila-pomeranje u nivou masa, pri monotonom cikli~nom optere}enju, slika 4.16. Prora~un je zavr{en pri maksimalnom pomeranju od 250mm i duktilnosti pomeranja qd =4,2, znatno iznad prognoziranog pomeranja od 150mm, prema elasto-plasti~nom modelu prethodno analiziranom, slika 4.18.

Pre dinami~ke analize utvr|en je period oscilovanja sistema sa jednom masom. Sa bruto kruto{}u celog I-preseka zida, period iznosi T=0,6s, dok se sa efektivnom kruto{}u period produ`ava na T=1,2s. Seizmi~ka analiza ura|ena je za sekvencu od prvih osam sekundi zapisa El Centro, normalizovanom na maksimalno ubrzanje tla ag=0,40g. U slu~aju

elasti~ne konstrukcije, u toku ove karakteristi~ne sekvence trajanja pojavljuju se ekstremi svih veli~ina - pomeranja i ubrzanja. Odgovor sistema prikazan je na slici 4.17, dok je tok pomeranja za tri razli~ita koncepta modeliranja prikazan na slici 4.18.

Na kraju ovog informativnog pregle-da, poenta: eksperimenti, osmatranje objekata posle zemljotresa, sofisticirani ra~unski modeli uz silan trud entuzijasta, treba projektantima u praksi da defini{u vezu dozvoljenog faktora redukcije optere}enja i obezbe|ene duktilnosti pomeranja - nelinearni spektar ubrzanja za AB konstrukcije prema "jednostavnom" algoritmu na slici 3.15.

a2.)-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Pomeranje (mm)

Sila

(kN

)

ZID Z3-2El Centro-0,4g

F=1500

d=-75.3

BAB87

Slika 4.17 Odgovor sila-pomeranje pri zapisu

El Centro du`ine 8 sekundi

250

-250

d (mm)

0

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250

Pomeranje (mm)Si

la (

kN)

DIANA

BAB87

ZID Z3-2

qd=1 qd=4.2

a.)

Numeri~kagre{ka

1

2 3 4

Slika 4.16 Odgovor sila-pomeranje pri

monotonom cikli~nom opitu

- 160

- 140

- 120

- 100

- 80

- 60

- 40

- 20

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Vreme (s) Pom

eran

je (

mm

)

DIANAElasti~no T=0,6sElasto-plasti~no

ZID Z3-2El Centro-0,4g

Slika 4.18 Pomeranje u toku zemljotresa

5-1

5. SISTEMI SA VI[E STEPENI SLOBODE UVOD

Sva dosada{nja razmatranja odnosila su se na sistem sa jednim stepenom slobode. Sistemi sa vi{e masa - stepeni slobode su naravno naj~e{}i u praksi. Elasti~ni odgovor ovakvih sistema obi~no se analizira primenom multi-modalne analize, koja se zasniva na principu superpozicije uticaja. Me|utim, u nelinearnim problemima princip superpozicije ne va`i. U narednom poglavlju, prethodno razvijena re{enja za sistem sa jednim stepenom slobode se generalizuju i na slo`enije sisteme, pod odre|enim uslovima. U nastavku, analiziraju se elasto-plasti~ni modeli slo`enih konstrukcija - plasti~ni mehanizmi, kao i koncept obezbe|enja pouzdanog mehanizma pri zemljotresu - koncept programiranog pona{anja. Informativno, prikazani su i koncepti pojednostavljenih metoda nelinearne stati~ke analize.

5.1 REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA

U realnim konstrukcijama mase su raspodeljene u prostoru, formalno se mo`e govoriti o beskona~nom broju stepeni slobode.

Nakon {to je realna masa konstrukcije koncentrisana u ~vorovima, dvoeta`ni okvir u ravni na slici 5.1.a predstavlja model sa 12 stepeni slobode. Ako se elimini{u nebitni stepeni slobode - vertikalne oscilacije masa kao i njihova rotacija, dobija se sistem sa ~etri stepena slobode - horizontalne translacije, slika 5.1.b.

Ukoliko su grede okvira i tavanica kruti u svojoj ravni, tada su pomeranja masa iste

eta`e jednaka, pa se broj stepeni slobode svodi na dva nezavisna spratna pomeranja, slika 5.1.c-d. Broj stepeni slobode jednak je broju eta`a konstrukcije.

U slu~aju prostornih konstrukcija zgrada, ukoliko su tavanice dovoljno krute u svojoj ravni, pomeranja svih elemenata vezanih sa tavanicom mogu da se izraze preko tri komponenete pomeranja, dve translacije i rotacija neke karakteristi~ne ta~ke u ravni tavanice, obi~no centra mase CM, slika 5.2. Ukoliko objekat ima n - eta`a, i ukoliko se masa objekta koncentri{e samo u nivou tavanica, ukupan broj stepeni slobode prostorne konstrukcije iznosi samo N=3n.

ag

n=12 n=4 n=2 k1

k2

m1

m2

d1

d2

a. b. c. d.

Slika 5.1 Redukcija broja stepeni slobode

A

CMA'

CM'

dXM

d YM

φΜ

R

Slika 5.2 Pomeranja krute

tavanice

5-2

Da broj stepeni slobode mo`e da zavisi i od pravca dejstva pobu|iva~a, ilustrovano je na slici 5.3. Ukoliko ubrzanje tla deluje u ravni simetrije, kretanje sistema mo`e da se opi{e jednim pomeranjem dx , slika 5.3.a. Ukoliko je smer pobude u pravcu y - ose sistema, za opisivanje kretanja potrebna su dve veli~ine, translacija dy i rotacija mase φ. U op{tem slu~aju, slika 5.3.c, za opisivanje kretanja jedne mase potrebne su tri komponenete pomeranja - stepena slobode.

Elasti~ni sistemi sa vi{e stepeni slobode u praksi se naj~e{}e re{avaju primenom

multi-modalne analize, sa uzimanjem u obzir uticaja vi{e relevantnih tonova oscilacija. Ukupni rezultati dobijaju se kombinovanjem rezultata uticaja pojedinih tonova, primenom SRSS metode ("kvadratni koren sume kvadrata") na primer.

5.2 UPRO[]ENA MODALNA SPEKTRALNA ANALIZA

U slu~aju konstrukcija ~ija je dispozicija regularna kako u osnovi tako i po visini, ve}ina propisa pojednostavljuje problem dozvoljavanjem primene upro{}ene modalne analize. Osnovna pretpostvaka je da ukupna masa sistema osciluje samo u prvom, osnovnom tonu, ~iji period i oblik oscilovanja dovoljno ta~no opisuju kretanje sistema, slika 5.4.a.

Realni sistem sa vi{e masa, te`ina spratova Wi koji osciluje u prvom tonu, slika 5.4.a,

mo`e da se zameni ekvivalentnim sistemom sa jednim stepenom slobode, ~ija je masa m jednaka ukupnoj masi realnog sistema, i koji ima isti period oscilovanja T1 , slika 5.4.b.

x

y

dx

ag

m

n = 1(dx)

x

y

dy

a g

m

n = 2(dy, φ)

φx

y

dy

ag

m

n = 3(dx,dy,φ)

φ

dx

a. b. c.

Slika 5.3 Uticaj pravca pobude na broj stepeni slobode

W1

W2

F1

F2

a.

ag

d1

d2

H1

H2 =

H

W=W1+W2

Fb

b.

ag

dekv

Hek

v

0

1

2

3

0.0 1.0 2.0 3.0

Period (s)

µd=1,0

µd=2,5

µd=5,0

µd=10

T1

c.A (

a g)

Slika 5.4 Upro{}ena modalna analiza

5-3

Kako su periodi i masa jednaki, oba sistema imaju jednako prora~unsko pseudo ubrzanje A(ag ) . Ukupna seizmi~ka sila Fb tako|e je identi~na

Fb = m ag A(ag ) = W ag A / g (5.1)

Ubrzanja Ai pojedinih masa realnog sistema se razlikuju, najve}a pseudo ubrzanja ima masa na vrhu, sa najve}im pomeranjem d

Ai = ω 2di (5.2)

Da bi pri istoj krutosti EI na savijanje, a sa masom jednakom ukupnoj masi objekta m, ekvivalentni sistem imao isti period oscilovanja T1 , visina Hekv ekvivalentnog sistema mora da je manja od ukupne visine realne konstrukcije H, i okvirno se kre}e u granicama Hekv ≈ 0,7H. Zbog toga pomeranje dekv ekvivalentnog sistema nije jednako pomeranju vrha realne konstrukcije, koje je pribli`no 50% ve}e. O ovome treba voditi ra~una kod upotrebe spektra pomeranja, slika 2.7.b.

Period oscilovanja u prvom tonu mo`e da se pribli`no odredi preko pojednostavljene Rejlijeve relacije /13/

T1 = 2√(dW) (5.3)

gde je dW pomeranje, u metrima, vrha konstrukcije usled optere}enja horizontalnim silama jednakim te`inama spratova Wi , slika 5.5.a-b.

Raspodela ukupne seizmi~ke sile Fb po pojedinim masama - eta`ama mo`e da se

izvr{i prema pomeranjima di pojedinih spratova, slika 5.5.c.

F FW dW di b

i i

j jj

=∑

(5.4)

Me|utim, u fazi prora~una seizmi~kog optere}enja, pomeranja spratova jo{ uvek nisu odre|ena. Dovoljno je ta~no ako se usvoji oblik pomeranja koji fizi~ki ima smisla - korektni konturni uslovi, ili poznati dijagram pomeranja od nekog drugog optere}enja, recimo od te`ina spratova prema slici 5.5.b.

Imaju}i u vidu ukupnu ta~nost postupka, dozvoljava se i pretpostavka da se pomeranja menjaju linearno sa visinom, slika 5.5.d, u kom slu~aju sile spratova iznose

F FW zW zi b

i i

j jj

=∑

(5.5)

W1

W2

F1

F2

c.

d1

d2

Fb=ΣFi

W1

W2

F1

F2

d.

d1

d2

z 1

z n =

H

Fb=ΣFi

z

W1

W2

W3

W4

W5

W5

W4

W3

W2

W1

dW

a. b.

Slika 5.5 Period oscilovanja i raspodela seizmi~kog optere}enja

5-4

gde su z vertikalne koordinate spratova u odnosu na uklje{tenje modela. Primer 5.1........

Sra~unati period oscilovanja konstrukcije sa dva AB zida, slika 5.6.a. Te`ine svih eta`a su jednake W=3924 kN. Debljina zidova bW=15cm. Moduo elasti~nosti Eb=3 10 7 kNm 2.

I1=0,15x3 3/12=0,3375 m 4 I2=0,15 x4,5 3 /12 = 1,139 m 4 ΣI=I1+I2 = 0,3375 + 1,139 =1,476 m 4 Wj=W=3924 kN

q = W / h = 3924/3,5 = 1121,1 kN/m dW = qH 4 /8EΣI = 1121,1x17,5 4 /8 x3x10 7 x 1,476 = 0,296 m T=2√ 0,296 = 1,08 s

Primer 5.2............ Uz pretpostavku da je ukupno sezimi~ko optere}enje 5% te`ine objekta iz prethodnog

primera, odrediti raspodelu ukupnog optere}enje po visini: prema pomeranjima usled te`ina spratova i prema linearnoj raspodeli.

W1

W2

W3

W4

W5

c.

Z1 Z2

3,0 4,5

H=

5h =

5x3

,5=

17,5

m

W5

W4

W3

W2

W1

Krutatavanica

a.

m1

m2

m3

m4

m5

E(I1+I2)

b.

q i=W

i /h i

dW

d.

Slika 5.6 Odre|ivanje perioda a) dispozicija, b) dinami~ki model c) fiktivno optere}enje d) prora~unski model

Nivo - j z ξ = 1-z/H Wj dj Wjdj Fj Vj Mj

m kN m kNm kN kN kNm

5 17.5 0.00 3924 0.296 1161.5 466.7 466.7 0.0

4 14.0 0.20 3924 0.217 852.4 342.5 809.3 1633.6

3 10.5 0.40 3924 0.141 551.9 221.8 1031.1 4466.1

2 7.0 0.60 3924 0.072 282.5 113.5 1144.6 8074.9

1 3.5 0.80 3924 0.021 81.2 32.6 1177.2 12080.9

0 0.0 1.00 3924 0.000 0.0 0.0 1177.2 16201.1

Σ= 23544 2929.5 1177.2

Tabela 5.1

0.0

3.5

7.0

10.5

14.0

17.5

0 5000 10000 15000 200000.0

3.5

7.0

10.5

14.0

17.5

0 100 200 300 400 500

Niv

o

Niv

o

Ukupna sila(kN)

Ukupnimoment (kNm)

12

2 1a. b.

Slika 5.7 a) Raspodela sila i b) dijagrami momenata savijanja

5-5

Rezultati prora~una raspodele optere}enja prema pomeranjima prikazani su u Tabeli 5.1 i na slici 5.7, linija 1. Pomeranja konzole usled podeljenog optere}enja q iznosi d(ξ)=dW /3(3-4ξ+4ξ 4) gde je dW pomeranje vrha iz Primera 5.1.

Rezultati prora~una raspodele optere}enja prema linearnoj aproksimaciji prikazani su u Tabeli 5.2 i na slici 5.7, linija 2.

Raspodela ukupnog seizmi~kog optere}enja na pojedine zidove prema krutostima na pomeranje u ovom slu~aju mo`e da se izvr{i proporcionalno krutosti EI preseka zidova na savijanje.

5.3 PLASTI^NI MEHANIZMI SISTEMA SA VI[E STEPENI SLOBODE

Pri razmatranjima sistema sa jednim stepenom slobode usvojeno je da se sva nelinearna deformacija sistema - rotacije usled momenata savijanja odvijaju u oblasti uklje{tenja konzole, u plasti~nom zglobu konstrukcije, slika 5.8.a.

Da bi se ograni~ilo ukupno seizmi~ko optere}enje Fb slo`enijih konstrukcija, neophodno je da se formira elasto-plasti~ni mehanizam konstrukcije. Kod sistema zidova koji deluju kao konzole, mehanizam se formira u nivou uklje{tenja svih zidova - konzola, slika 5.8.a.

Kod sistema okvira, po`eljno je da se plasti~ni zglobovi formiraji na krajevima greda i u uklje{tenju stubova, slika 5.8.b.

Kod sistema povezanih zidova, sa pre~kama - veznim gredama, osim u uklje{tenju samih zidova, plasti~ni zglobovi treba da se otvore i u veznim gredama, slika 5.8.c. Zavisno od proporcija veznih greda i nivoa optere}enja transverzalnim silama, mogu}e je formiranje

Nivo - j z Wj Wjzj Fj Vj Mj

m kN kNm kN kN kNm

5 17.50 3924 68670 392.4 392.4 0

4 14.00 3924 54936 313.9 706.3 1373.4

3 10.50 3924 41202 235.4 941.8 3845.52

2 7.00 3924 27468 157.0 1098.7 7141.68

1 3.50 3924 13734 78.5 1177.2 10987.2

0 0.00 3924 0 0.0 1177.2 15107.4

Σ= 23544.0 206010 1177.2

Tabela 5.2

FbFbFb

a. b. c.

dm dmdm

θ θ θ

H

Fb

W

dm

θ

d.

Slika 5.8 Plasti~ni mehanizmi konstrukcija

5-6

ili zglobova na oba kraja vezne grede, ili formiranje transverzalnog plasti~nog zgloba prema slici 5.8.c.

Navedeni primeri su idealni slu~ajevi, kod kojih pomeranja konstrukcije nakon stvaranja mehanizma rastu proporcionalno visini. Ugao rotacije mehanizma definisan je odnosom maksimalnog pomeranja pri zemljotresu i visine objekta, θ = dm / Η.

Kod konstrukcija sa "mekim" ili fleksibilnim prizemljem, slika 5.8.d iznos prinudnog pomeranja dm pri zemljotresu ostvaruje se dominantno deformacijama prizemlja. U ovom slu~aju, rotacija mehanizma θ je znatno ve}a, pa su i deformacije krajeva stubova, zahtevi za duktilno{}u znatno pove}ani. Konstrukcija je osetljiva i na efekte drugoga reda, pa se kod ovih sistema ne dozvoljava zna~ajnija redukcija seizmi~kog optere}enja, ili se pak zabranjuju propisima.

5.4 OBEZBE\ENJE POUZDANOSTI @ELJENOG MEHANIZMA KONSTRUKCIJE - "PROGRAMIRANO PONA[ANJE"

Koncept sni`avanja seizmi~kog optere}enja formiranjem plasti~nog mehanizma limitirane nosivosti podrazumeva da je projektant prethodno odabrao mesta formiranja plasti~nih zglobova. U konstrukciji koja se "sastoji" od oblasti plasti~nih zglobova i oblasti "elasti~nog pona{anja", plasti~ni zglobovi su "osigura~i" konstrukcije od preoptere}enja elasti~nih zona, "najslabiji" delovi konstrukcije, ali sa kontrolisanim pona{anjem, projektovani na `eljeni nivo momenata savijanja. Osim obezbe|enja zahtevane duktilnosti plasti~nih zglobova, pouzdan mehanizam podrazumeva i slede}e:

- da se plasti~ni zglobovi formiraju u `eljenim presecima, a ne nekim drugim, nekontrolisano, i

- da ostali, na zglobove priklju~eni delovi konstrukcije, od kojih se o~ekuje da se pona{aju elasti~no, mogu da izdr`e najve}e uticaje koji se mogu javiti u plasti~nim zglobovima pri pomeranjima usled zemljotresa.

"Ne znaju}i za namere projektanta", prinudna pomeranja konstrukcije i rotacije preseka usled zemljotresa vrlo verovatno }e u plasti~nim zglobovima izazvati momente jednake kapacitetu nosivosti preseka na savijanje, a oni mogu zna~ajno da se razlikuje od prora~unskih momenata nosivosti.

Da bi se priklju~eni delovi konstrukcije pona{ali elasti~no, o~igledno da moraju biti dimenzionisani na realni kapacitet nosivosti plasti~nih zglobova pri datim pomeranjima. Pri tome, potrebno je obezbediti da se plasti~ni mehanizam formira upravo rotacijama zglobo-va, a ne nekim drugim, nepo`eljnim formama mehanizma, kao {to je gubitak stabilnosti u ~eli~nim konstrukcijama, ili krti lomovi usled transverzalnih sila u AB konstrukcijama.

Obezbe|enje ostatka konstrukcije od preoptere}enja usled pobu|ivanja realne nosivosti plasti~nih zglobova naziva se konceptom programiranog pona{anja (izvorno - capacity design). Na projektantu je da obezbedi hijerarhiju nosivosti konstrukcije, da "ka`e konstrukciji kako }e da se pona{a pri zemljotresu".

Primer 5.3.........

Za prora~unsko seizmi~ko optere}enje konzolnog zida na slici 5.9.a usvojena je ukupna seizmi~ka sila Fb (=Fe /R). Presek u uklje{tenju - plasti~ni zglob dimenzionisan je na moment savijanaja M=FbHF i transverzalnu sili Q=Fb . Na koje uticaje treba dimenzionisati konstrukciju, ako je realno izvedena nosivost plasti~nog zgloba na savijanje Mu=αM ?

Odgovor elasti~ne konstrukcije prikazan je linijom 1, a o~ekivani, prora~unski odgovor konstrukcije sila-pomeranje prikazan je linijom 2 na slici 5.9.b.

5-7

Uz pretpostavku da je stvarno pomeranje pri zemljotresu jednako ra~unskom pomeranju dm elasti~ne konstrukcije, u plasti~nom zglobu }e se indukovati moment savijanja Mu=αM>M, zavisno od realne koli-~ine ugra|ene armature i njenih kara-kteristika, u slu~aju AB konstrukcija na primer.

U tom slu~aju promeni}e se i ukupno seizmi~ko optere}enja, Fcd =Mu

/HF = αM/HF . Realan odgovor kon-strukcije prikazan je linijom 3 na slici 5.9.b.

Za pona{anje objekta u celini, realno ve}a nosivost plasti~nog zgloba ~ak je i povoljna, jer }e nelinearne de-formacije nastupiti kasnije, pri pome-

ranju dycd , o{te}enja }e biti manja. Me|utim, oblast plasti~nog zgloba treba obezbediti na realnu transverzalnu silu Q=Fcd , a vi{i deo konstrukcije i na realni moment αM.

Pri zemljotresu, od temelja se o~ekuje da se pona{aju elasti~no, ako nije druga~ije pretpostavljeno u analizi. Pri realnim uticajima u plasti~nom zglobu, potrebno je i temelj i {ipove na slici 5.9 sra~unati na uticaje Qt=Fcd i Mt=αM.

U AB konstrukcijama, pri zemljotresu vi{ak armature ne mora da bude na strani sigurnosti, jer je optere}enje tipa "prinudne deformacije"!

Ukolika su pomeranja konstrukcije zna~ajna, ukupno seizmi~ko optere}enje mo`e da opadne, jer se deo kapaciteta nosivosti plasti~nog zgloba anga`uje na uravnote`enju momenata usled gravitacionog optere}enja - efekti drugoga reda, Fb=(Mu - WeW )/HW , linija 4 na slici 5.9.

5.5 OCENA PONA[ANJA KONSTRUKCIJA NELINEARNOM STATI^KOM ANALIZOM

Osim za istra`ivanja, ponekada je i u praksi potrebno odrediti nosivost konstrukcije na horizontalna optere}enja, tok i kapacitet deformacija konstrukcije koja je prethodno dimenzionisana, i ~iji su detalji poznati, slika 5.10.

W

dm

dy

Fb

eW

HF

a

MQ

Mt

Qt

Hp

F

Fb

dy dycddm

Fe

1

2

3Fcd

d

a. b.

4

Slika 5.9 Koncept programiranog pona{anja

"g+p/2"

7 8

6 5

24

3 1

f d

θM+

u

M-u

θ

a. b.

c.

F

1

4

F

Fy

dydm

d

"Lom"

du

8

µd

k ks

dp

0,75My

Slika 5.10 "Pushover" analiza

5-8

Sa poznatim detaljima armature, mo`e da se odredi kapacitet nosivosti plasti~nih

zglobova, ~ija je dispozicija prethodno usvojena - pretpostavljena, slika 5.10.b. Ako nije unapred jasno koji mehanizam ima najni`u nosivost, potrebno je ispititati sve potencijalno opasne mehanizme, jer su velike {anse da zemljotres aktivira upravo najslabiji.

Uz pretpostavku da seizmi~ko optere}enje F ima u svim fazama isti oblik raspodele po visini, {to nije ta~no, konstrukcija se "horizontalno gura" postepeno pove}avaju}i nivo ukupnog optere}enja F - tzv. "pushover analiza". Kada u nekom od preseka prognoziranih plasti~nih zglobova vrednost momenta savijanja dostigne kapacitet nosivosti, kruta veza elemenata zamenjuje se umetanjem "plasti~nog zgloba" sa parom momenata savijanja na priklju~enim elementima.

U toku analize prati se razvoj formiranja mehanizma, redosled otvaranja zglobova, oznake 1-8 na slici 5.10.b. Za definisanje po~etne krutosti k usvaja se trenutak otvaranja prvog plasti~nog zgloba, ta~ka 1 na slici 5.10.c, ili karakteristi~na ta~ka pri 75% nosivosti konstrukcije. Sa porastom optere}enja, konstrukcija se "para", do formiranja kompletnog mehanizma pri pomeranju dp i optere}enju, kapacitetu nosivosti Fy , slika 5.10.c. Najranije otvoreni plasti~ni zglobovi ima}e i najve}e post-elasti~ne deformacije, pa i najve}e zahteve za obezbe|enjem potrebne duktilnosti, tako da se na nivou konstrukcije u celini mo`e govoriti o "prose~noj potrebnoj duktilnosti" µd .

Nosivost mehanizma Fy i vrednost o~ekivanog pomeranja dm pri zemljotresu defini{u efektivnu sekantnu krutost ks , na kojoj se zasnivaju moderni koncepti prora~una pomeranja nelinearne konstrukcije na zamenjuju}em modelu.

Nakon formiranja plasti~nog mehanizma, rad spoljnog optere}enja F na dodatnim pomeranjima usled rotacije θ jednak je radu momenata nosivosti plasti~nih zglobova Mu na rotacijama krajeva greda θ.

6-1

6. KONCEPT SAVREMENIH PROPISA - UVOD U EVROKOD 8 (EC8)

UVOD

Prethodna razmatranja se u ovom poglavlju sistematizuju u formi savremenih propisa, za ~iji je "uzorak" usvojen predlog budu}ih evropskih propisa Evrokod 8 /13/.

6.1 OP[TI ALGORITAM PROPISA

Na osnovu prethodnih op{tih razmatranja treba oformiti korektan, ali i dovoljno jednostavan koncept i detalje propisa za primenu u svakodnevnoj praksi.

Ulazni seizmi~ki podaci- zna~aj objekta - γI

- ubrzanje na steni - ag- lokalno tlo - S

Konstrukcijski sistem,primenjeni materijali- duktilnost pomeranja

- faktor redukcije opt. q=R

Elasti~ni spektar

PomeranjaDeformacije

Op{ti deo, zajedni~ki za svematerijale i sisteme

Nelinearni spektar

Projektno optere}enjeFb

Analiza- upro{}ena modalna

- multimodalna

Koncept programiranogpona{anja

Specifi~no za beton, ~elik i konstr.sisteme (zid, okvir.)

Sile u presecima

Dimenzionisanje idetalji plasti~nih

zglobova

ag, S q

γIKontrola pomeranja,

funkcionalnost

Nos

ivos

tT

p =

475

god

ina

Fun

kcio

naln

ost,

o{te

}enj

aT

p <

475

god

ina

Slika 6.1 Algoritam projektovanja seizmi~ki otpornih konstrukcija

6-2

Uva`avaju}i ~injenicu da je zemljotres samo jedno od dejstava na konstrukciju, a da sva ostala (stalno, korisno,....) in`enjeri u praksi modeliraju kao spoljno optere}enje konstrukcije, ve}ina propisa, pa i EC8 efekte zemljotresa na konstrukcije interpretira kao jo{ jedan slu~aj spoljnog optere}enja, slika 2.3.a. U tom slu~aju, iznos projektnog optere}enja, uz uslov da je obezbe|en duktilan nelinearan odgovor konstrukcije generalno se odre|uje prema op{tem algoritmu prikazanom na slici 3.12. Imaju}i u vidu specifi~nosti konstrukcija u pogledu primenjenih materijala, tehnologija gra|enja i konstrukcijskih re{enja objekata - dispozicija, op{ti algoritam se naravno modifikuje. Usvajaju}i dodatno i koncept programiranog pona{anja kao meru obezbe|enja pouzdanosti plasti~nog mehanizma konstrukcije u celini, algoritam prema EC8 prikazan je na slici 6.1.

6.2 ULAZNI SEIZMI^KI PODACI

Prema EC8, nacionalna teritorija se deli na "seizmi~ka podru~ja", zavisno od "lokalnog hazarda". Za povratni period referentnog zemljotresa usvaja se Tp=475 godina.

Kao referentni podatak za opisivanje efekata zemljotresa usvaja se maksimalno ubrzanje tla ag na nivou osnovne stene, slika 1.1. Za primenu u praksi, seizmi~ke karte intenziteta treba zameniti kartama ubrzanja osnovne stene. Oblasti sa ubrzanjima ag>0,10g smatraju se oblastima visoke seizmi~nosti. U oblastima sa ubrzanjima ag<0,04g nije potrebna posebna analiza za uticaje zemljotresa.

Klasifikacija lokalnog tla, vr{i se prema brzini prostiranja smi~u}ih talasa kroz tlo. Za razli~ite klase tla defini{e se multiplikator S ubrzanja ag osnovne stene:

Klasa A stena brzina talasa Vs>800 m/s S = 1,0 Klasa B zbijene naslage brzina talasa Vs>200 m/s S = 1,0 Klasa C rastresite naslage brzina talasa Vs<200 m/s S = 0,9

6.3 ELASTI^NI SPEKTAR UBRZANJA

Efekti dejstva zemljotresa na elasti~an sistem sa jednim stepenom slobode i periodom oscilovanja T opisuju se elasti~nim spektrima ubrzanja, sa prigu{enjem od 5%.

Se (T) = ag S A(ag) (6.1)

Funkcija A(ag ) za kategoriju tla B prikazana je crtkastom linijom na slici 6.2. Kriva dobro opisuje efekte zemljotresa El Centro, ali ne i na{e lokalne zemljotrese, o ~emu eventualno treba voditi ra~una pri dono{enju budu}ih nacionalnih propisa.

Elasti~ni spektri ubrzanja definisani su relacijama (6.2-5), gde je β0 faktor amplifikacije ubrzanja konstrukcije, TB , TC i TD karakteristi~ne periode, S parametar lokalnog tla, a µ korekcioni faktor za slu~aj prigu{enja razli~itih od 5% (za ξ=5%, µ=1,0 ). U tabeli 6.1 prikazane su vrednosti parametara zavisno od kategorije lokalnog tla.

0 ≤ T ≤ TB S T a STTe g

B( ) ( )= + −

1 10ηβ (6.2)

TB ≤ T ≤ TC S T a Se g( ) = ηβ0 (6.3)

TC ≤ T ≤ TD S T a STTe g

C k( ) ( )= ηβ01 (6.4)

TD ≤ T S T a STT

TTe g

C

D

k D k( ) ( ) ( )= ηβ01 2 (6.5)

6-3

Za kategoriju tla B, na slici 6.3 ilustrovane su karakteristi~ne vrednosti elasti~nog

spektra ubrzanja, pri ~emu je A(ag ) = Se (T)/ag S . Za krute konstrukcije, sa niskim peri-odama sopstvenih oscilacija, ubrzanje konstrukcije je prakti~no jednako ubrzanju tla ag . U oblasti srednjih perioda T<TC , ubrzanja konstrukcije su 2,5 puta ve}a od ubrzanja tla.

6.4 KLASE DUKTILNOSTI KONSTRUKCIJA

Elasti~ni odgovor konstrukcije je teorijska gornja granica optere}enja konstrukcijskog sistema. Me|utim, svaka armiranobetonska konstrukcija poseduje izvestan kapacitet nelinearnih deformacija, kako zbog pojave prslina, tako i zbog ~injenice da dimenzionisanje preseka sa dilatacijama ~elika od 0,010 ili vi{e, obezbe|uje izvestan minimalni kapacitet nelineranih deformacija - najni`u realnu duktilnost konstrukcije.

Pri redukciji elasti~nog odgovora do nivoa prihvatljivog, projektnog optere}enja tako|e postoji granica. Ni`e sile podrazumevaju ve}i udeo nelinearnih deformacija koje konstrukcija treba da izdr`i bez zna~ajnijeg pada nosivosti. Pored toga, rano otvaranje plasti~nih zglobova, pri malim horizontalnim silama, sni`ava op{tu stabilnost konstrukcije za dejstva gravitacionih optere}enja i vetra. Zbog toga se, za razli~ite vrste konstrukcijskih sistema ograni~ava najni`a vrednost projektnog optere}enja, odnosno najvi{a prihvatljiva duktilnost konstrukcije.

Nezavisno od vrste konstrukcijskog sistema, EC8 nudi izbor izme|u tri nivoa projektnog optere}enja, nazvana klasom duktilnosti: klasa visoke duktilnosti sa oznakom DCH (najni`i iznos projektnog optere}enja), klasa srednje duktilnosti - DCM i klasa niske duktilnosti - DCL (najvi{i iznos projektnog optere}enja). Za svaku od klasa duktilnosti, definisani su i odgovaraju}i uslovi za konstruisanje detalja koji treba da obezbede zahtevano pona{anje konstrukcije.

Projektanti se u praksi sve ~e{}e susre}u sa slo`enim arhitektonskim zahtevima, koji za posledicu imaju nejasna konstrukcijska re{enja sa stanovi{ta pona{anja u uslovima zemljotresa, koja se ne uklapaju u "idealne konstrukcijske sisteme" na koje se eksplicitno odnose stavovi EC8. Ovakvi sistemi se ~esto nazivaju sistemima ograni~ene duktilnosti, za koje se dokaz sigurnosti vr{i sa pove}anim seizmi~kim uticajima.

0

1

2

3

4

5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Period (s)

El Centro

Petrovac

Ulcinj

Beograd

EC8-Se (B)

EC8-Sd (A)

EC8-Sd (B)

EC8-Sd (C)

A (

a g)

EC8 - q=1,0

Slika 6.2 Elasti~an spektar ubrzanja

Tabela 6.1 Kat. tla

S β0 k1 k2 TB TC TD

A 1,0 2,5 1,0 2,0 0,10 0,40 3,0 B 1,0 2,5 1,0 2,0 0,15 0,60 3,0 C 0,9 2,5 1,0 2,0 0,20 0,80 3,0

TB=0,15TC=0,60 TD=3,00

2,5ag

ag

T(s)

Kategorija tla BPrigu{enje 5%

A (

a g)

Slika 6.3 Parametri spektra

6-4

6.5 DOZVOLJENA VREDNOST FAKTORA REDUKCIJE OPTERE]ENJA - FAKTORA PONA[ANJA PREMA EC8

^injenicu da raspolo`iva duktilnost pomeranja realnih konstrukcija zavisi od raspolo`ive duktilnosti krivina preseka elemenata kao i konstrukcijskog sistema, EC8 uva`ava definisanjem promenljive vrednosti faktora redukcije optere}enja R , koji se u EC8 naziva faktor pona{anja q :

q=q0 kD kR kW ( 1,5 ≤ q ≤ q0) (6.6)

gde su q0 osnovna vrednost faktora pona{anja, zavisna od vrste konstrukcijskog sistema,

definisana u Tabeli 6.2; kD faktor koji uzima u obzir usvojenu klasu duktilnosti, jednak: =1,00/0,75/0,50 za klase

duktilnosti DCH/DCM/DCL, respektivno; kR faktor koji uzima u obzir pravilnost konstrukcije po visini, jednak: 1,00/0,80 za

regularne odnosno neregularne konstrukcije, respektivno;

kW faktor koji uzima u obzir "preovla|uju}u vrstu loma konstrukcijskih sistema sa zidovima", zavisno od toga da li su zidovi vitki ili kratki. Za okvirne sisteme je kW =1, dok za sisteme zidova i dvojne sisteme zidova, njegova vrednost zavisi od preovla|uju}ih proporcija zidova, i manja je od 1,0 kada je odnos visine prema {irini zida manji od 3.

Minimalna vrednost fakto-

ra pona{anja ograni~ena je na 1,5, iz ~ega treba zaklju~iti da "bilo kakva " armiranobetonska kon-strukcija, dimenzionisana prema grani~nim stanjima nosivosti, poseduje minimalnu duktilnost, tako da nivo optere}enja mo`e da se obori na 1/1,5 (67%) punog elasti~nog optere}enja.

To {to je za dve konstrukcije usvojena ista klasa

duktilnosti, ne mora da zna~i da }e i nivo optere}enja biti isti, slika 6.4. Vodotoranj, tzv. sistem obrnutog klatna visoke duktilnosti projektuje se na 2,5 puta ve}e seizmi~ko

Tabela 6.2: Osnovne vrednosti faktora pona{anja q0

VRSTA KONSTRUKCIJSKOG SISTEMA q0 Okvirni sistem 5,0 sa dominantnim okvirima 5,0 Dvojni sistem

sa dominantnim zidovima, sa povezanim zidovima

5,0

sa dominantnim zidovima, sa nepovezanim zidovima

4,5

Sistem zidova sa povezanim zidovima 5,0 sa nepovezanim zidovima 4,0 Sistem sa jezgrom 3,5 Sistem obrnutog klatna 2,0

minFb=Fe/5

maxFb=Fe/1,5

d

Fb=SdW

d

dmdy

DCH

DCM

DCL

Fb

FeF

Okvirq0=5,0

minFb=Fe/2

maxFb=Fe/1,5

d

Fb=SdW

d

dmdy

DCH

DCM

(DCL)

Fb

FeF

"Obrnutoklatno"q0=2,0

a. b.

Slika 6.4 Klase duktilnosti: konstrukcijski sistem - projektno optere}enja

6-5

optere}enje od okvira tako|e visoke duktilnosti. Izborom klase duktilnosti i vrednosti faktora pona{anja, projektant uti~e na nivo

projektnog optere}enja usled zemljotresa, pri kome }e da nastupi formiranje plasti~nog mehanizma konstrukcije. Ni`e projektno optere}enje podrazumeva potrebnu ve}u

duktilnost, ve}i iznos nelinearnih deformacija i stro`ije uslove za konstruisanje detalja. Prema tome, na projektantu je da izabere optimalno re{enje, balansiraju}i izme|u

nosivosti i duktilnosti.

6.6 PROJEKTNI (NELINEARNI) SPEKTAR UBRZANJA

Prema EC8, za usvojenu klasu duktilnosti, vrednost faktora pona{anja q je konstantna vrednost . Uticaj perioda oscilovanja, videti sliku 3.10.a, EC8 aproksimira razli~itim defini-sanjem projektnog spektra u podru~ju kra}ih odnosno du`ih perioda oscilovanja.

Sa druge strane, nepouzdanost upro{}ene modalne analize u podru~ju du`ih perioda, gde su uticaji vi{ih tonova obi~no zna~ajniji, EC8 popravlja korekcijom eksponenata k1 i k2 funkcije elasti~nog spektra (6.4-5). Ordinate projektnog spektra Sd (q,T) za vrednost faktora pona{anja q=1,0 ("korigovani elasti~ni odgovor konstruk-cije") prikazane su na slici 6.2 za sve tri kategorije tla.

Ordinate tako koncipiranog projektnog spektra definisane su izrazima (6.7-10). Da bi se ukupna seizmi~ka sila Fb izrazila kao proizvod Fb=Sd W ( W - ukupna te`ina konstrukcije),

umesto ubrzanja osnovne stene ag pojavljuje se odnos α = ag /g :

0 1 10≤ < = + −

T T S T S

TT qB d

B( ) ( )α

β (6.7)

T T T S T S q S T gqB C d e≤ < = =( ) / ( ( ) / )α β0 (6.8)

T T T S T Sq

TTC D d

C kd≤ ≤ = ≥( ) ( ) ,αβ

α0 1 0 20 (6.9)

T T S T Sq

TT

TTD d

C

D

kd D kd≤ = ≥( ) ( ) ( ) ,αβ

α0 1 2 0 20 (6.10)

gde je kd1 = 2/3 a kd2=5/3. Za kategoriju tla B, na slici 6.5 prikazan je nelinearni, projektni spektar ubrzanja za

razli~ite vrednosti faktora pona{anja q.

NOSIVOST DUKTILNOSTOPTIMALAN

BALANS

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0Period (s)

q=5,00 - DCH

q=3,75 - DCM

q=2,50 - DCL

q=1,00 - Elastic

A (

a g)

Slika 6.5 Projektni spektar ubrzanja

6-6

6.7 REGULARNOST KONSTRUKCIJE

Za pouzdano pona{anje konstrukcije pri zemljotresu, jedna od najefikasnijih mera je obezbe|enje regularnosti konstrukcije, kako u osnovi tako i po visini, slika 6.6.

Konstrukcije koje su stabilne za uticaje gravitacionih optere}enja, mogu u toku zemljotresa da postanu nestabilne i da do`ive kolaps, slika 6.6.a. Radijalno raspore|eni zidovi konstrukcije hotela mogu da prime hori-zontalne uticaje prakti~no samo u svojoj ravni. Rezul-tanta sila zidova pro-lazi kroz centar kru-tosti - CK, na eks-centricitetu e u od-nosu na centar mase - CM. Konstrukcija je uslovno stabilna

samo u slu~aju horizontalnih uticaja u upravnom pravcu, kada rezultanta seizmi~kih sila koje deluju u centru mase prolazi kroz centar krutosti. Pri dejstvu zemljotresa u popre~nom pravcu, stvara se neuravnote`eni moment torzije u osnovi Fbx e koji mo`e lako dovesti do kolapsa.

Dodavanje vertikalnog liftovskog {ahta, povezanog pasarelom sa tavanicom objekta, formalno re{ava problem torzije, jer se moment torzije osnove mo`e prihvatiti spregom sila HM =Fbx e/z, slika 6.6.b.

Betonska konstrukcija liftovskog jezgra verovatno da mo`e da prihvati predvi|ena optere}enja, ali problem fundiranja je u ovakvim slu~ajevima ponekada te{ko re{iv. Naime, zna~ajne horizontalne sile prenete su na element ~ije je gravitaciono optere}enje nesrazmerno, pa je te{ko spre~iti preturanje konstrukcije, bez povezivanja sa temeljima susednih elemenata koji imaju zna~ajniju normalnu sili.

Na slici 6.6.c prikazan je primer konstrukcije tako|e hotela, sa dva AB zida oslonjena na re{etkasti okvir. Za uticaje gravitacionih optere}enja konstrukcija je stabilna, mo`e da bude stabilna i u slu~aju zemljotresa, samo je nejasno koji nivo optere}enja usvojiti, kolika je vrednost faktora pona{anja, i kako izgleda plasti~ni mehanizam odnosno raspored plasti~nih zglobova? U "uklje{tenju" {estoeta`nih nose}ih zidova elasti~no "fundiranih" na okviru, sigurno ne mogu da se realizuju plasti~ni zglobovi.

Tehni~ki je izvodljivo, ali ipak treba izbegavati komplikovane "migracije" horizon-talni sila naglom promenom konstrukcijskog sistema u jednoj eta`i, slika 6.6.d. Prenos seizmi~kog optere}enja bo~nih zidova mora u nivou najni`e tavanice da se reorganizuje, da se momenti do temelja sprovedu spregom sila stubova, {to mo`e da ugrozi stubove, a da se transverzalne sile preko tavanice prevedu na srednji zid.

CM

CK

e

Fbx

bw

Fbx

e

z

HM=Fbxe/z

HM

Lift

Pasarela

F

a.

c.Q1

M1 Q2

M2

Q 1+

Q 2

l w

M2/lw

d. e.1

2 3

b.

Slika 6.6 Regularnost konstrukcije

6-7

Kona~no, "sitni detalji" mogu da izmene pretpostavljeno pona{anje konstrukcije. Konstrukcija okvira na slici 6.6.e. mo`e pri zemljotresu da se blokira prisustvom stepenica, detalj 1. Naknadno umetanje pregradnih zidova u ravni okvira mo`e da izazove skra}enje visine stuba i lom transverzalnim silama, detalj 2. Ako je povr{ina ispune zna~ajna a ispuna intimno spojena sa okvirom, detalj 3, velika je verovatno}a da }e se umesto sistema sa dve mase, konstrukcija pona{ati kao sistem sa fleksibilnim prizemljem, i da }e se sva deformacija obaviti u okviru prizemlja, {to je vrlo neprijatno i nepo`eljno, prema EC8 prakti~no zabranjeno.

6.8 TORZIONA KRUTOST KONSTRUKCIJE

Pri razmatranju stabilnosti konstrukcija usled samo gravitacionih optere}nja, obi~no se ne proverava torziona krutost i stabilnost objekta u celini, otpornost na uvrtanje oko vertikalne ose usled gravitacionih optere}nja. Pri zemljotresu, torzione oscilacije, deformacije i naprezanja postaju zna~ajni, pri ~emu torziona krutost objekta uti~e ~ak i na dozvoljenu maksimalnu vrednost redukcije optere}enja, faktora pona{anja q.

Na slici 6.7.a pri-kazana je osnova poslov-nog objekta, sa ~etri AB zida, bez izra`enih okvira. Torziona krutost kon-strukcije najve}a je ako su zidovi na fasadi, a=L/2, b=B/2. Ako su zidovi koncentrisani ka centru osnove i konstrukcija pre-lazi u "sistem sa jezgrom", tada bi ve}e dopu{tene nelinearne deformacije

zidova uz rotacije tavanice mogle u ravni fasade da izazovu neprijatne posledice, prevelika ukupna pomeranja. U konkretnom slu~aju, kada je a=L/4 (b=B/4), torziona krutost objekta prema EC8 postaje niska, i sistem treba tretirati kao sistem sa jezgrom, sa sni`enom osnovnom vredno{}u faktora pona{anja q0 = 3,5.

U ovakvim situacijama, potrebno je konstruisati okvire po obimu objekta, ~est koncept konstrukcije u slu~aju visokih objekata, slika 6.7.b.

Za prizemlje konstrukcije na slici 6.6.d tako|e se mo`e re}i da je torziona krutost problemati~na.

6.9 KRUTOST TAVANICA U SVOJOJ RAVNI

Da bi vertikalni nose}i elementi mogli da prihvate inercijalne sile masa tavanica, moraju pre svega da budu pouzdano povezani sa tavanicama. Sa druge strane, da bi se obezbedila prora~unska pretpostavka da tavanice diktiraju pomeranja priklju~enih vertikalnih elemenata, moraju konstrukcije tavanica u svojoj ravni da budu dovoljno krute, slika 6.8.a.

U suprotnom, mo`e do}i ~ak i do nezavisnog oscilovanja pojedinih vertikalnih elemenata sa pripadaju}im masama tavanica, pa i do kolapsa sistema, ukoliko su dva dela konstrukcije pojedina~no torziono nestabilni, delovi A i B na slici 6.8.b.

a a

bb

kx

kx

k y

k y

L

B

kx

kx

k y k y

L

B

kxO

kxO

k yOk yO

a. b.

Slika 6.7 Torziona krutost

6-8

6.10 OSNOVNI NOSE]I SISTEM PRI ZEMLJOTRESU

Ako je dispozicija konstrukcije usvojena, potrebno je odlu~iti koji od raspolo`ivih konstrukcjskih elemenata treba uklju~iti u prora~unski model za prijem horizontalnih optere}enja. Na~elno, treba uklju~iti sve elemente ~ije prisustvo zna~ajnije uti~e na dinami~ko pona{anje konstrukcije, na period oscilovanja i iznos optere}enja i pomeranja. Na slici 6.9 prikazana je osnova objekta koji sadr`i okvire i dva zida u x - pravcu, za koju je usvojeno da se projektuje kao konstrukcija klase visoke duktilnosti - DCH. Zbog potpune simetrije, centar masa CM i krutosti CK se poklapaju, slika 6.9.a.

Za kontrolu objekta za uticaje zemljotresa u x - pravcu, obi~no se za osnovni nose}i

sistem usvajaju samo zidovi, slika 6.9.b. Za uticaj zemljotresa u y - pravcu nema dileme, tri okvira su nose}i sistem.

Objekat u celini svrstan je u klasu visoke duktilnosti, ali vrednost faktora pona{anja pa ni projektnog optere}enja nije ista za oba pravca, jer se razlikuje konstrukcjski sistem. Za nepovezane zidove je q0 =4,0, a za okvire je q0 =5,0.

Prikazana dispozija name}e jo{ jedno pitanje. Formalno, zbog poklapanja centra masa i krutosti, pri horizontalnim uticajima nema torzionih naprezanja. Me|utim, bilo zbog razli~itih kvaliteta materijala (razli~ito Eb), bilo zbog razli~itog stanja prslina (razli~ita krutost), bilo zbog odstupanja rasporeda optere}enja od pretpostavljenog, torzioni efekti uvek postoje, i treba ih uzeti bar u minimalnom iznosu - tzv. slu~ajni ekscentricitet. Za ilustraciju, red veli~ine koji se ~esto primenjuje je iznos od 5% odgovaraju}e dimenzije objekta, ex = 0,05B, odnosno ey=0,05L prema slici 6.9. b-c.

Izbor zidova za osnovni sistem u x - pravcu ne zna~i da se okviri u tom slu~aju mogu u potpunosti zaboraviti - zanemariti. Okviri moraju da prate deformacije osnovnog sistema - zidova, sa nepoznatim ra~unskim uticajima jer nisu uklju~eni u prora~un. Prema nekim propisima, okvire ipak treba prora~unati na deo ukupne sile, recimo 25% od Fx . Prema

A B

B

CKB

ACKA

A B

CKA

A

B

CKA

CKBa. b.

CMCMA

CMB

Slika 6.8 Krutost tavanica

Y

XZid

Okv

ir 1

L

B CM=CK

Okvir 2

a. b. c.

DCH

Fx (q=4,0)

e x

Y

X

Y

X

F y (q=

5,0)

ey

Slika 6.9 Osnovni nose}i sistem

6-9

EC8, okviri u ovom slu~aju pripadaju konstrukciji klase visoke duktilnosti, pa detalje armature svakako treba prilagoditi visokim zahtevima za tu klasu.

Na slici 6.10. ilustrovan je odgovor dvojnog sistema konstrukcije, okvira i zida pri zemljotresu. Odgovor samostalnog zida na uticaj sile F prikazan je linijom Z, odgovor samo okvira linijom O a odgovor kompletnog sistema okvira i zida linijom Z+O, slika 6.10.b. (O pona{anju dvojnih sistema, videti /15/, /16/).

Ako se za osnovni nose}i sistem usvoji samo zid, ~est slu~aj u praksi, prora~unski mehanizam konstrukcije se formira pri optere}enju Fd i pomeranju dyZ , linija 1 na slici 6.10.b. Budu}i da se i okvir pomera, odgovor realne konstrukcije pribli`no je prikazan linijom 2 (period, ukupno optere}enje i pomeranje dm ne}e biti ba{ isti). Ukoliko pri pomeranjima dyO i okviri pre|u u mehanizam, ostvaren je potpuni mehanizam konstrukcije. Prema tome, izostavljanje okvira iz osnovnog sistema ne osloba|a projektanta obaveze da oceni i obezbedi pouzdano pona{anje okvira. U

ovakvim slu~ajevima, naprezanje okvira mo`e da se proceni naknadno, zadavanjem modelu okvira sra~unatog iznosa i oblika pomeranja osnovnog sistema, prema poglavlju 5.6.

6.11 PRORA^UNSKA KRUTOST ELEMENATA

Tendencija propisa je da se seizmi~ka pouzdanost konstrukcije osigurava prvenstveno dobrim detaljima i konceptom konstrukcije, a manje slo`enim numeri~kim modelima i numeri~kim analizama. Me|utim, i jednostavni numeri~ki algoritmi zahtevaju pa`ljiv izbor ulaznih parametara, od kojih je krutost elemenata jedan od najva`nijih, jer direktno uti~e na veli~inu perioda oscilovanja, vrednost ukupnog optere}enja, relativnu raspodelu optere}enja izme|u vertikalnih elemenata kao i iznos ukupnih i relativnih pomeranja.

Prema EC8, krutosti elemenata mogu da se usvoje na osnovu bruto dimenzija elemenata bez uticaja prslina i armature, "osim kada su pomeranja merodavna"? Pri tome, nema uputstva kako odrediti krutosti u tom slu~aju, prakti~no u svim slu~ajevima. Kao {to je zbrka u propisima, tako je i u praksi.

U praksi se prora~unske krutosti greda obi~no usvajaju na osnovu dimenzija rebra, sa zanemarenjem efekta T-preseka zbog prisustva plo~e tavanice. Analogno va`i za stubove. U slu~aju zidova, naj~e{}e se prora~unski moment inercije i samostalnih i slo`enih zidova sa flan{ama odre|uje samo na osnovu bruto dimenzija pravougaonog preseka rebra zida. Koliko je to opravdano, vide}e se.

Stvar se u me|uvremenu dodatno zakomplikovala pojavom komercijalnih softvera za prostornu analizu konstrukcija na bazi kona~nih elemenata, gde projektant ima su`ene mogu}nosti intervencije jer program automatski obuhvata uticaj ne samo flan{i slo`enih zidova,

nego i tavanica, slika 6.11.

Okvir 2 Zidd

F

d

FFe

Fd

F

dyZ dm

O

Z

Z+O

1

2

dyO

12

3

a.

b.

Slika 6.10 Dvojni sistem

1

2

3

4

5

6

7

7x30

00=

2100

0

+d

W/2

W/2

Slika 6.11 Model

zida

6-10

Primer 6.1............ Za presek slo`enog zida iz primera 4.5, izvr{iti analizu posledica razli~itih prora~unskih

krutosti preseka konstrukcije konzole na odgovor konstrukcije pri seizmi~kim optere}enjima. Masa sistema odre|ena je tako da, sa kruto{}u EI0 bruto preseka slo`enog zida, period oscilovanja iznosi T1=0,6s

Ako se za krutost preseka na savijanje EI usvoji krutost EI0 bruto I - preseka

slo`enog zida, elasti~ni odgovor konstrukcije, za vrednost faktora pona{anja q=1,0 i tlo klase B prema EC8, prikazan je linijama 1 na slici 6.12.

Prakti~no isti re-zultat dobi}e se i mode-liranjem konstrukcije kona~nim elementima, slika 6.11, postupak koji u principu daje najkru}e prora~unske modele o ~emu treba voditi ra~una.

Sa 5,5 puta ma-njom prora~unskom kruto{}u EIef odre|e-

nom na osnovu elasto-plasti~ne aproksimacije, period oscilovanja iznosi T2 =1,4s (T1 /T2

=√(EI2 /EI1 )), a odgovor konstrukcije prikazan je linijama 2 na slici 6.12. Ukupno optere-}enje je 1,6 puta manje (F1 /F2 =(T2 /T1 ) 2/3 ), ali je i pomeranje 3,1 puta ve}e (d1 /d2 =F1 xEI2

/F2 x EI1 ) nego u slu~aju modeliranja krutosti na osnovu bruto preseka zida. Ve}i nivo optere}enja zahteva vi{e armature, ako mo`e da se smesti, plasti~ni

mehanizam }e kasnije da se formira i o{te}enja }e verovatno biti manja. Me|utim, na osnovu prora~unskog pomeranja de1 ne mo`e da se zaklju~i da li su pomeranja u redu, jer je prora~unska krutost nerealno visoka. Sra~unate vrednosti bi trebalo korigovati, pri ~emu navedena relacija d1 /d2 =F1 xEI2 /F2 x EI1 mo`da mo`e da se usvoji kao gornja granica faktora korekcije ra~unskih pomeranja.

Krutost preseka sra~unata samo sa dimenzijama rebra 20/300cm u ovom slu~aju prakti~no se poklapa sa ra~unskom efektivnom kruto{}u, ali ne treba zaboraviti da ona zavisi od nivoa normalne sile kao i koli~ine i rasporeda armature. Oba parametra su u navedenom primeru na donjoj granici uobi~ajenih vrednosti.

Usvajanje u praksi samo karakteristika rebra za prora~un krutosti preseka slo`enih preseka zidova zasniva se upravo na ~injenici da }e nakon dostizanja ~vrsto}e betona na zatezanje, beton zategnute flan{e i dela rebra zida biti isklju~en iz nosivosti i krutosti preseka, osim armature u ovom zonama. Me|utim, onda bi trebalo biti dosledan, pa i za krutost jednostavnog zida pravougaonog preseka, koji nema flan{e, tako|e usvojiti efektivnu krutost preseka, {to u praksi naj~e{}e nije slu~aj. Usvajanje sni`ene krutosti zida I-preseka zida, i pune krutosti zida pravougaonog preseka, za posledicu ima poreme}aj relativnih krutosti i promenu centra krutosti konstrukcije {to dovodi do nerealnih torzionih momenata i preraspodele seizmi~kog optere}enja po pojedinim zidovoma.

0

1

2

3

0.00 1.00 2.00 3.00Period - T (s)

A (

a g)

EC8 - Kat.tla Bq=1,0

T2=1,4T1=0,6

a.

de1 de2=3.1de1

de

Fe2

Fe1=1.6Fe2

Fe

k2

k1=5.5k2

b.

1

2

1 2

Slika 6.12 Slo`eni zid, analiza efekata prora~unskih krutosti

6-11

6.12 PROSTORNO DEJSTVO ZEMLJOTRESA

Kretanje konstrukcije pri zemljotresu je prostorno, primer zapisa Petrovac na slici 6.13.a gde su zajedno prikazani uticaji obe istovremeno registrovane komponenete ubrzanja tla na relativno kretanje mase. Spektar ubrzanja prikazuju maksimalni odgovor sistema u ravni, pri o~ekivanom ubrzanju tla.

Kako se maksimalna ubrzanja tla ne mogu istovremeno javiti u dva ortogonalna

pravca, to se prostorno dejstvo zemljotresa prema EC8 mo`e pribli`no uzeti u obzir kombinacijom maksimalnog dejstva u jednom pravcu, sa 30% istovremenog dejstva u upravnom pravcu, slike 6.13.b-c, gde je prikazano prora~unsko pomeranje konstrukcije u osnovi. Za obe istovremene komponente va`i isti projektni spektar ubrzanja. Ako su pomeranja elasti~nog i nelinearnog sistema pribli`no jednaka, pri vrednosti faktora pona{anja q=4-5 konstrukcija }e pre}i u plasti~ni mehanizam i pri 30% maksimalnog pomeranja dmx ili dmy . Posledice iznetog zahteva su koso savijanje stubova, pri verovatnom istovremenom dostizanju kapaciteta nosivosti plasti~nih zglobova greda priklju~enih na stub iz dva pravca.

Primer 6.2.............

Na slici 6.14 prikazana je osnova prizemnog objekta sa tri nose}a zida. Pri dejstvu zemljotresa u X - pravcu, ukupna sila deli se na dva zida Z1, slika 6.14.a.

Pri dejstvu zemljotresa u Y - pravcu, usled nepoklapanja centra masa CM i centra krutosti CK, javlja se i moment torzije u osnovi, koji mo`e da bude prihva}en samo spregom sila zidova Z1, slika 6.14.b, tako da je u sva tri zida sila jednaka Fby .

U na{oj praksi i propisima, objekat treba proveriti ili za jedan, ili za drugi slu~aj dejstva zemljotresa. Prema EC8, ova dva slu~aja se kombinuju, tako da zidove treba

-100

-50

0

50

100

-100 0 100

EW

NS

x

y

dmx

dmy

0,30dmy

X-zemljotresx

y

dmx

dmy

Y-z

emljo

tres

0,30dmx

a. b. c.

Slika 6.13 Prostorno dejstvo zemljotresa

a.L/2

L

L/4

L/4

CM CKFbx

Fbx/2

Fbx/2

L/2 b.L/2

L

L/4

L/4

CM CK

F by

Fby

Fby

L/2

Fby

c.

Fbx/2 + 0,3Fby

0,3Fbx/2 + Fby

max F by

Z1

Z1

Z2

Z2

Z1

Z1 Z1

Z1

Z2

Slika 6.14 Koncept odre|ivanja prora~unskih uticaja zidova

6-12

dimenzionisati prema optere}nju prikazanom na slici 6.14.c. Primer na slici 6.14 ukazuje na jo{ jedno

pitanje, a to je koji je ugao dejstva zemljotresa φ merodavan. Obi~no se dejstvo zemljotresa ispituje u pravcima glavnih osa konstrukcije objekta. U prin-cipu, svaki pojedina~ni element konstrukcije Z1 treba pouzdano da izdr`i bilo koji pravac ortogonalnog para istovremenih seizmi~kih dejstava. Naj~e{}e su objekti konstruisani u ortogonalnom sistemu, kao i svi primeri do sada. Ako nije o~igledno, onda treba ortogonalni par vektora dejstva postaviti u vi{e polo`aja, slika 6.15.

6.13 PRORA^UN UTICAJA USLED ZEMLJOTRESA

Za regularne i umereno vitke konstrukcije (T1<2s prema EC8), analiza se naj~e{}e vr{i upro{}enom modalnom spektralnom analizom, na bazi samo osnovnog tona oscilovanja. Uticaji vi{ih tonova oscilovanja obi~no se uvode korekcijom spektralnih krivih u podru~ju du`ih perioda, kao i korekcijom sra~unatih dijagrama momenata i transverzalnih sila zidova uvo|enjem prora~unskih anvelopa.

Savremeni propisi vi{e pa`nje poklanjaju dobroj dispoziji, konstruisanju i obradi detalja, uz primenu koncepta programiranog pona{anja. Stav je da konstrukciju treba dobro pripremiti za o~ekivana pomeranja, koja je ionako te{ko ta~no predvideti, pogotovo kada se dogodi zemljotres "mimo propisa", koji se ne uklapa u propisane spektralne krive, primer zapisa Ulcinj. U sportskom `argonu, zglobove konstrukcije treba dobro banda`irati.

6.14 EFEKTI DRUGOGA REDA

U praksi se efekti drugoga reda naj~e{}e ne analizraju, niti komentari{u, izme|u ostalog i zbog toga {to nije postojao jednostavan postupak njihove kontrole. Ovi efekti mogu biti posebno zna~ajni kod konstrukcija sa fleksibilnim prizemljem ili spratom, slika 6.16. Prema EC8, efekte drugoga reda ne treba uzeti u obzir ako je za sve spratove zadovoljen uslov

θ = Ptot dr /Vto t h ≤ 0,10 (6.11)

gde je Vtot rezultuju}a seizmi~ka sila u nivou posmatranog sprata, Ptot suma gravitacionog optere}enja u nivou sprata, h spratna visina a dr stvarno relativno pomeranje - smicanje sprata. Ukoliko uslov (6.11) nije zadovoljen, uticaji drugoga reda obuhvataju se jednostavnim uve}anjem sra~unatog horizontalnog optere}enja Fb .

Prema (6.11), ako je seizmi~ko optere}enje 5% gravitacionog, Vtot /Ptot = 0,05, efekti drugoga reda su zanemarljivi ukoliko je relativna rotacija sprata dr /h ≤ 0,10x0,05 = 0,005. Pri visini sprata od h=3000mm, spratno pomeranje treba da je manje od dr ≤ 15 mm.

X

Y

F ξ0,30F µ

φ

Z1

Slika 6.15 Dejstvo pod uglom

dr

h

VtotPtot

Slika 6.16 Uticaji drugoga

reda

6-13

6.15 PRERASPODELA UTICAJA

Na slici 6.17 prikazana su dva zida, u op{tem slu~aju razli~ite krutosti na savijanje EI i normalnih sila N usled gravitacionoh optere}enja.

Pri jednakim pomeranjima dm , svaki od zidova prihvata svoj deo seizmi~kog optere}enja ~ija je rezultanta F1+2 , slika 6.17.a, na visini HF od temelja. Na slici 6.17.b prikazani su momenti savijanja zidova, proizvod sile i kraka sila.

Za primer, pretpostavlja se da je moment inercije zidova isti, ali da zid 2 ima znatno ve}e gravitaciono optere}enje N2>N1 . U tom slu~aju, horizontalno optere}enje zidova je jednako, F1=F2 , pa su i momenti jednaki. Zbog manje normalne sile, zid 1

zahteva}e vi{e armature, a i temelji }e biti nepovoljnije optere}eni. To zna~i i da }e zid 1 imati izra`enije prsline, pa realna krutost dva zida istih nominalnih dimenzija ne}e biti ista.

Savremeni propisi dozvoljavaju da se u ovakvim slu~ajevima umanji optere}enje kriti~nog zida 1, ali da se razlika momenata ∆M, a to zna~i i deo horizontalnih sila prebaci na zid 2, tako da ostane sa~uvana rezultanta F1+2 kao i "moment preturanja" F1+2 HF . Zavisno od klase duktilnosti, vrednost momenta preraspodele ∆M se ograni~ava na 20-30%.

6.16 KOEFICIJENTI SIGURNOSTI

Prema jugoslovenskim propisima, koeficijent sigurnosti za sva optere}enja u kombinaciji u slu~aju zemljotresa iznosi γ = 1,3. Na prvi pogled, budu}i da se multiplikuju optere}enja, reklo bi se da se zahteva sigurnost od pojave plasti~nih zglobova. Savremeni propisi znatno jasnije defini{u problem.

EC8 na primer, razlikuje koeficijente sigurnosti za materijal γM od koeficijenata sigurnosti γF za optere}enja. Ordinate radnog dijagrama betona, definisanog ~vrsto}om cilindra fck , tako|e parabola i prava, dele se koeficijentom sigurnosti za beton γc=1,50, linija 2 na slici 6.18.a. U slu~aju ~elika, EC8 tako|e ograni~ava dilatacije na 1% ako se modelira i oja~anje ~elika, linija 1 na slici 6.18.b. Ukoliko se koristi bilinearni model sa horizontalnom granom, dilatacije ~elika nisu ograni~ene, linija 2. U svakom slu~aju, ordinate napona se dele sa koeficijentom sigurnosti za ~elik γs=1,15, linija 3 na slici 6.18.b.

Prema EC8, koeficijent sigurnosti za sva optere}enja u slu~aju zemljotresa jednak je γF =1, jer mi upravo `elimo da se pri tom optere}enju formira mehanizam, ne {titimo se od njegove pojave.

Uticaji usled dejstva zemljotresa ustvari se mno`e sa koeficijentom zna~aja objekta γi , ali tu je u pitanju korekcija povratnog perioda zemljotresa za va`nije

F1+2

F1 F2

HF

N1 N2

EI1 EI2

dm dm

1 2

F1HF F2HF

F1+2HF

∆M

F1RHF F2RHF

M

a. b.

Slika 6.17 Preraspodela optere}enja

1

2

σfck

fcd=fck/γc

0,2 0,35ε(%)

σfyk

fyd=fyk/γs

Es=200 kN/mm2

1,0 ε (%)

12

3

a.

b.

Slika 6.18 Modeli betona i ~elika

6-14

objekate, da sa istom pouzdano{}u izdr`e zemljotres sa povratnim periodom Tp > 475 godina.

6.17 DIMENZIONISANJE, KONSTRUISANJE DETALJA I OBEZBE\ENJE ZAHTEVANE DUKTILNOSTI

Da bi se obezbedila zahtevana duktilnost pomeranja konstrukcije i opravdao ~itav algoritam, potrebno je da se na nivou preseka elemenata obezbedi odgovaraju}a duktilnost krivine. Zavisno od klase duktilnosti, EC8 postavlja odre|ene zahteve u vezi armiranja preseka, minimalnih i maksimalnih dozvoljenih procenata armiranja, utezanja preseka

uzengijama, nastavljanja armature itd. Za svaku od klasa duktilnosti, za stubove je defini-

sana zahtevana minimalna vrednost tzv. konvencionalnog faktora duktilnosti krivine - CCDF. Umesto dokaza CCDF, EC8 dozvoljava da se zahtevani CCDF smatra zadovo-ljenim ako je obezbe|ena vrednost mehani~kog zapreminskog procenta armiranja - utezanja uzengijama

ωwdh yd

cd

VV

ff

=0

(6.12)

gde je Vh zapremina sloja uzengija na ramaku s, a V0 zapremina utegnutog jezgra betona visine s. Prema slici 6.19.b, zapremina uzengija iznosi Vh=8fu b0 , a zapremina utegnutog jezgra V0 = sb 2

0 . Presek stuba i kraja zida na slici 6.19.a,c je prema

EC8 prakti~no neutegnut, neduktilan, jer su uzengije usidrene u za{titnom sloju betona koji ima tendenciju otpadanja, pa }e se uzengije "razmotati", kao i zbog toga {to su samo ~etri ugaone podu`ne {ipke armature bo~no pridr`ane uzengijama, usidrene u jezgro preseka betona.

Isti principi va`e i za pritisnute krajeve zidova, koji se tretiraju kao skriveni stubovi aksijalno optere}en tzv. efektivnom normalnom silom.

6.18 PROGRAMIRANO PONA[ANJE

6.18.1 Faktor preoptere}enja Oblast plasti~nih zglobova dimenzioni{e se na prora~unsku vrednost momenata

savijanja MSd dobijenu analizom. Me|utim, realan moment nosivosti MRd koji se mo`e javiti pri pomeranjima usled zemljotresa, odre|uje se na osnovu stvarno ugra|ene i anga`ovane armature preseka, kao i uz pretpostavku da su stvarne karakteristike ~elika ve}e od nominalnih, uz eventualno zala`enje dilatacija ~elika u zonu oja~anja. Ve}a nosivost ~elika obuhvata se faktorom preoptere}enja γRd ~ija vrednost se kre}e u granicama 1,15-1,25. Sa vredno{}u momenta

lw/10

b w

0,15lw

b w

a. b.

c.

d.

b0

fu/s

Slika 6.19 Utezanje preseka

0

100

200

300

400

500

600

0 50 100 150 200 250Dilatacija (0/00)

Nap

on (

MPa

)

462/

400=

1,15

548/

400=

1,37

515/

400=

1,28

1

2

6.20 Opit kidanja RA400/500

6-15

preoptere}enja MRd treba sra~unati uticaje u priklju~enim elementima na plasti~ni zglob. Na slici 6.20 prikazani su rezultati opita kidanja rebraste armature RA400/500

izvr{eni u IMK - GF-a, linija 2, kao i nominalni radni dijagram rebraste armature, linija 1. Nazna~eni odnos stvarnih i nominalnih karakteristika potvr|uje predlo`ene iznose faktora preoptere}enja γRd .

6.18.2 Zidovi U slu~aju zidova, stav o obezbe|enju "elasti~nog dela zida" na uticaje jednake

kapacitetu nosivosti na savijanje plasti~nog zgloba, uz preoptere}enje ~elika i efekte vi{ih tonova dovodi do dramati~nih posle-dica, slika 6.21. Ra~unske trans-verzalne sile zida V'sd, linija 1 na slici 6.21.b, treba multiplikovati fak-torom uve}anja ε, ~ime se dobija pro-ra~unska vrednost transvrezalnih sila Vsd, linija 2, na osnovu koje se

formira prora~unska anvelopa, linija 3. Vrednost faktora uve}anja ε definisana je izrazom

εγ

= + ≤qq

MM

S TS T

qRd Rd

Sd

e C

e( ) , (

( )( )

)2

1

20 1 (6.13)

Na slici 6.21.a prikazane su vrednosti faktora uve}anja ε za tri klase duktilnosti. Za periode oscilovanja konstrukcija sa zidovima du`e od 1,6 sekundi, sra~unate transverzalne sile treba znatno uve}ati, prakti~no vratiti na nivo elasti~nog odgovora konstrukcije.

6.18.3 Grede Za prelazak konstrukcije u plasti~ni mehanizam, potrebno je da se u svakom

rasponu greda okvira pojave dva plasti~na zgloba. Ako su uticaji usled zemljotresa veliki u odnosu na uticaje usled gravitacionih optere}enja, najve}i ukupni momenti javi}e se na krajevima greda, i prema njima se odre|uje potrebna gornja Asg i donja Asd armatura plasti~nih zglobova greda, slika 6.22.a-b. U op{tem slu~aju, jedan od maksimuma momenata savijanja mo`e da se javi i polju grede, pa se polo`aj plasti~nih

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3Period (s)

Fak

tor

uve}

anja

ε

ε = 3,0

ε = 4,0

T=0,6s

ε = 1,3

DCH

DCM

DCL

Tlo klase BMRd/MSd = 1

DCH q=4 γRd =1,25 DCM q=3 γRd=1,15

1

2

3

VSd=εV'Sd

V'Sd

>0,5VSd

H/3

2H/3

a. b.

Slika 6.21 Faktor uve}anja transverzalnih sila zida

MAd

MAg

Asd

Asg

MBg

MBd

1

1

2

2

1

1

2

23

3

VBg

VBd

VAd

VAg

a.

b.

c.

d. "Kosa armatura"

Slika 6.22 Programirano pona{anje greda: 1) "g+p/2", 2)

"g+p/2" + zemljotres, 3) prora~unski dijagram transverzalnih sila V

6-16

zglobova projektuje pa`ljivim konstruisanjem anvelope nosivosti podu`ne armature. U slu~aju konstrukcija visoke zahtevane duktilnosti, osiguranje greda od krtog loma

"smicanjem" vr{i se prema najve}im mogu}im vrednostima transverzalnih sila greda koje uop{te mogu da se pojave pri pomeranjima usled zemljotresa - dostizanju kapaciteta nosivosti na savijanje plasti~nih zglobova, sa realno ugra|enom armaturom, uklju~uju}i i deo armature iz plo~e (T - presek) i uz preoptere}enje ~elika, linija 3 na slici 6.22.c-d.

Ukoliko pri zemljotresu mogu da se pojave velike transverzalne sile promenljivog znaka, osiguranje oblasti plasti~nog zgloba od proloma vertikalnim klizanjem preseka po ukr{tenim prslinama zahteva}e postavljanje ukr{tene kose armature.

6.18.4 Stubovi Po`eljno je da u plasti~nom mehanizmu konstrukcije stubovi "participiraju" samo

jednim plasti~nim zglobom, u uklje{tenju stuba. Usled gravitacionog optere}enja, unutra{nji stubovi okvira obi~no imaju zanemar-

ljive momente savijanja, slika 6.23.a - "~ekaju zemljotres". Pri pomeranjima dm usled zemljo-tresa i dostizanju kapaciteta nosivosti plasti~nih zglobova priklju~enih greda u ~voru okvira, MA i Mg na slici 6.23.b, ukupna nosivost gornjeg i donjeg preseka stuba stuba treba da je ve}a od rezultuju}eg momenta greda Mg

Ms = Msg + Msd > φ Mg (6.14.)

gde je φ dodatni faktor korekcije. Vrednost "ulaznog momenta" Mg je poznata jer je limitirana fizi~kim parametrima, ali raspodela ovog momenta na gornji, Msg i donji, Msd presek stuba u slu~aju zemljotresa prili~no je neizvesna. Naime, raspodela ulaznog momenta bitno zavisi i od oblika deformacija stuba, relativnih pomeranja dva kraja stuba,

zbog ~ega treba nekako proceniti uticaje vi{ih tonova - formi oscilacija. Razli~iti pro-pisi sadr`e razli~ita re{enja, pitanje merodavnih uticaja za dimenzionisanje stubova je stalno otvoreno.

Iako se u stubovima konceptualno ne predvi|a pojava plasti~nih zglobova, prora~unske transverzalne sile stuba odre|uju se analogno slu~aju greda visoke duktilnosti, iz kapaciteta

nosivosti na savijanje krajeva stuba. O~igledna je `elja da se krti lom "smicanjem" bilo kog elementa konstrukcije spre~i,

pri bilo kojem iznosu i obliku pomeranja konstrukcije pri zemljotresu.

6.18.5 ^vorovi okvira Tradicionalno, "dimenzionisanjem" je obuhva}en prora~un greda i stubova, dok se

~vorovi potom konstrui{u. Iskustva dogo|enih zemljotresa pokazuju da kolaps konstrukcije mo`e da nastupi i zbog otkazivanja nosivosti oblasti betona na ukr{tanju stuba i grede - ~vorova okvira. Konceptualno, oblast ~vora treba razmatrati kao deo stuba, slika 6.24.

Mg

MS

Msg Msd

∆2

Mg

MS

Msg Msd

∆1

MB

MA

Mg

a. b. c.

dm dm

"g+p/2"

"g+p/2"

Slika 6.23 Programirano pona{anje stubova

6-17

Pomeranja usled zemljotresa izazivaju momente suprotnog znaka na krajevima priklju~enih greda. Horizontalna armatura greda je sa jedne strane stuba "vu~ena", a sa druge strane "gurana" kroz ~vor, tako da mo`e da nastupi lom usled proklizavanja armature grede kroz ~vor, detalja 1 na slici 6.24. Obezbe|enje od proklizavanja svodi se na ograni~enje maksimalnog pre~nika armature grede u zavisnosti od {irine grede. Problem je nagla{eniji kod krajnjih stubova, sa gredom samo sa jedne strane stuba.

Ako je proklizavanje spre~eno, tada je obezbe|eno formiranje mehanizma re{etke sila kojim se trajektorije pritisaka skre}u kroz ~vor, sa jedne na drugu stranu grede odnosno stuba, sile Di na slici 6.24. Ukoliko je pritisak u rezultuju}em dijagonalnom pravcu prevelik, mo`e da nastupi, izme|u ostalog, lom

betona bo~nim cepanjem i otvaranjem prslina, detalj 2 na slici 6.24. Uzengije - 3 i podu`na armatura stuba - 4 treba da dopune mehanizam prenosa sila kroz ~vor, tako da ~vor postaje "nova pozicija stait~kog prora~una".

6.18.6 Konstrukcijski sistem Razmatran na nivou elemenata konstrukcije, koncept programiranog pona{anja

deluje vrlo jednostavno, "in`enjerski". U praksi se stvari naravno komplikuju. Na slici 6.25 prikazan je ~est slu~aj okvira ve}ih raspona, sa velikim uticajima gravi-

tacionog optere}enja, kod koga ra~unski momenti usled zemljotresa ne uspevaju da "obrnu" znak momenta savijanja MBC iznad srednjeg stuba. Osim {to u polju BC nedostaje jedan plasti~ni zglob do stvaranja potpunog mehanizma, postavlja se pitanje na koje uticaje treba dimenzionisati stub, da li je u pitanju "raspad" koncepta programiranog pona{anja?

Jedno od re{enja je da se ipak dozvoli pojava plasti~nih zglobova i u stubovima, ali samo unutra{njim, stub B na slici 6.25. Krajnji stubovi A i C "{tite konstrukciju" od pojave fleksibilnog sprata. Generalno, ono {to treba apsolutno spre~iti kod okvirnih konstrukcija je istovremena pojava plasti~nih zglobova na oba kraja svih stubova sprata.

Ukupan rezultat restriktivnih uslova za obezbe|enje `eljenog plasti~nog mehanizma i duktilnosti mogu da budu pora`avaju}i za konkurentnost i atraktivnost primene betona u oblastima povi{enog seizmi~kog rizika. Dana{nje tehnologije materijala i gra|enja omogu}avaju izvo|enje stubova malih dimenzija preseka uz veliku aksijalnu nosivost, na primer. Me|utim, zahtevi za obezbe|enje pouzdanog pona{anja AB konstrukcije pri zemljotresu ~esto ne dozvoljavaju iskori{}enje mogu}nosti materijala. Rezultat je pove}ana masa i cena konstrukcije kao i "unesre}eni arhitekta", koji je o~ekivao "pau~inastu" konstrukciju. Sve to, da bi na kraju, posle zemljotresa jo{ imali i o{te}enja, jer sve vreme razmatramo klasi~an, pasivan koncept za{tite od zemljotresa.

D1

D2

D3

D4

1

1

2

3

4

Slika 6.24 ^vor okvira

12

A B C

MB

C

Slika 6.25 Gde je drugi plasti~ni zglob ?

6-18

Osim samo nagove{tenog savremenog koncepta za{tite od zemljotresa, poglavlje 3.1, uvek ima mesta i "kompromisnim" re{enjima, slika 6.26, na primer. Konstrukcija tavanice je tanka prethodno napregnuta plo~a direktno oslonjena na stubove.

Stubovi su zglobno vezani na oba kraja - "pendel stubovi", izvedeni od betona povi{enih ~vrsto}a (MB100 na primer) ili spregnuti, eventualno izvedeni monta`no. Horizontalnu stabilnost obezbe|uje AB zid, prema konceptu "ako problem ne mo`e da se re{i na zadovoljavaju}i na~in, mo`da mo`e da se elimini{e".

Konstrukcija ima jednostavnu oplatu, korisna visina spratova je velika, lako se vode instalacije ispod tavanice, tavanice i stubovi su konstruisani sa maksimalnim iskori{}enjem mogu}nosti betona, izbegnuto je neprijatno pogor{anje uslova proboja tavanice pri pomeranjima objekta usled zemljotresa, zidovi {tite konstrukciju od velikih pomeranja i pojave fleksibilnog sprata, a i sama konstrukcija zidova bi se mogla "doterati", bitno je da se ne vidi "{ta je unutra".

6.19 KONTROLA POMERANJA KONSTRUKCIJE

Sa usvojenim ra~unskim seizmi~kim optere}enjem Fb , za povratni period zemljotresa od Tp=475 godina, vr{i se analiza naprezanja i deformacija linearno elasti~nog modela konstrukcije sa kruto{}u k - "stati~ki prora~un".

[to se ti~e pomeranja, rezultat prora~una je pomeranje dy na granici elasti~nosti odnosno formiranja plasti~nog mehanizma. U praksi se ~esto previ|a da "realno" pomeranje elasti~ne konstrukcije iznosi de a nelinearne, realne konstrukcije dm , slika 6.27. Prema EC8, realno pomeranje pri projektnom zemljotresu mo`e da se usvoji u iznosu

dm = q dy (6.15)

Kako je Fb / Fe ∼ q, sledi da su pomeranja pri linearnom i nelinearnom odgovoru konstrukcije jednaka, dm = de - tzv. "koncept jednakih pomeranja".

Ako je to tako, prora~un konstrukcije za nivo optere}enja Fe elasti~nog odgovora konstrukcije, q = 1,0, kao rezultat daje "ta~na pomeranja pri zemljotresu", ali i prevelike, neredukovane sile u presecima. Ovaj stav pru`a razli~ite korisne mogu}nosti primene u praksi.

Sra~unato maksimalno pomeranje dm koje mo`e da se dogodi jedanput u 475 godina merodavno je za odre|ivanje {irine dilatacije izme|u objekata, da bi se izbeglo sudaranje konstrukcija, slika 6.28. Ako se to ne mo`e izbe}i, bar treba izbe}i da tavanica jednoga objekta udari i prelomi stubove drugog objekta. Samu veli~inu pomeranja sa povratnim periodom od 475 godina EC8 na primer direktno ne ograni~ava, naprezanja sa efektima drugoga reda su limitiraju}i faktor.

Slika 6.26 Savremeni koncept AB konstrukcije-studija

dyde dm

d

F

Fe

Fy=Fb=SdW

k

Slika 6.27 "Jednaka pomeranja"

6-19

Do ovoga trenutka pa`nja je bila usmerena na pitanja obezbe|enja nosivosti konstrukcije. Projektante, a jo{ vi{e investitore interesuje i kako }e konstrukcija da se pona{a pri "obi~nom" zemljotresu, koji mo`e da se pojavi svakih 50 godina na primer, 2-3 puta u toku eksploatacije objekta. Ako }e tom prilikom sva stakla, pregradni zidovi i skupocena oprema da budu upropa{}eni, sve to mo`da bez o{te}enja nose}e konstrukcije ~ija je cena ina~e reda veli~ine 25% ukupne cene objekta, onda je koncept nepotpun.

Da bi se obim o{te}enja objekta pri zemljotresu sa ve}om verovatno}om pojave sveo u prihvatljive granice, EC8 ograni~ava relativna spratna pomeranja usled zemljotresa sa povratnim periodom od Tp=475 godina na

dr,i / ν ≤ 0,004 hi (krute pregrade) (6.16)

dr,i / ν ≤ 0,006 hi (fleksibilne pregrade) (6.17)

gde je dr,i relativno pomeranje - smicanje sprata i , hi visina sprata i , a ν faktor koji ra~unska pomeranja usled projektnog zemljotresa prevodi na slu~aj zemljotresa sa kra}im povratnim periodom Tp . Za obi~ne zgrade, vrednost faktora iznosi ν = 2 .

Pomeranje jednako polovini ra~unskog pomeranja pri zemljotresu sa povratnim periodom od Tp=475 godina izazva}e zemljotres sa povratnim periodom od pribli`no Tp=50 godina, sa duplo manjim ubrzanjem tla, slika 6.29.c. I u tom slu~aju konstrukcija mo`e da za|e u nelinearnu oblast, ali sa manjim o{te}enjima, slika 6.29.c.

Odnos dr / h pribli`no je jednak uglu nagiba sprata α. Ako se realni oblik deformacija aproksimira parabolom, kriti~an nivo je prizemlje i donje eta`e u slu~aju

okvirnih konstrukcija, odnosno najvi{i delovi u slu~aju konstrukcija zidova. Treba uo~iti da navedeni kriterijumi prakti~no defini{u minimalnu potrebnu krutost

konstrukcije objekta, o ~emu treba voditi ra~una ve} kod usvajanja dispozicija konstrukcija.

dm1

dm2dα

1 2

A

Slika 6.28 Sudar konstrukcija

h

dr

α

h

dr

α

a. b.

Fe(Tp=475)

Fe(Tp=50)

dy dm

d

F

Fb(Tp=475)

k

dm/ν

Tp=50 Tp=475

c.

Slika 6.29 Koncept dozvoljenih pomeranja

6-20

6.20 KADA SE EFEKTI ZEMLJOTRESA MOGU ZANEMARITI ?

Uobi~ajeno je u praksi da se merodavno optere}enje ocenjuje pore|enjem vrednosti sila u presecima - prema kriterijumu nosivosti. Najve}i "konkurent" zemljotresu je vetar, pa se postavlja pitanje u kom slu~aju zemljotres "nije merodavan".

Ako su za odre|ivanje dimenzija preseka ili koli~ine armature merodavni grani~ni uticaji usled vetra γv Fv >γe Fb , tada je vetar merodavan za definisanje nosivosti konstrukcije.

Pri realnom optere}enju vetrom Fv , pomeranje }e iznositi dv , konstrukcija se na vetru pona{a "elasti~no", slika 6.30.b.

Pri projektnom zemljotresu (Tp=475 godina), konstrukcija te`i pomeranju dm , pa }e se plasti~ni mehanizam formirati pri ra~unskoj nosivosti odre|enoj prema uticajima vetra. Prema tome, izvestan nivo duktilnosti pomeranja mora da se obezbedi, a treba proveriti i relativna spratna pomeranja prema (6.16-17).

Zemljotres definitivno nije merodavan jedino ako je optere}enje vetrom ve}e i od nivoa elasti~nog odgovora konstrukcije na zemljotres, Fv > Fe .

Osim uticaja vetra, i druga optere}enja mogu da izazovu pomeranje i savijanje stubova - gravitaciona optere}enja, temperatura, skupljanje betona, potisci tla itd. ^est slu~aj u praksi je da pri dimenzionisanju preseka kombinacija sa uklju~enim zemljotresom "nije merodavna", ili da je potreban minimalni procenat armiranja. U takvim situacijama razmi{ljanje o zemljotresu kao prinudnom pomeranju, pribli`no jednakom pomeranju elasti~ne konstrukcije je za preporuku. Ono {to }e pri zemljotresu da se dogodi to su pomeranja, naprezanja mo`e ali i ne mora da bude.

6.21 OKVIRNE KONSTRUKCIJE SA ISPUNOM

Na slici 6.6 ilustrovani su problemi koji mogu da nastanu usled prisustva pregradnih zidova. Nije tema ovoga kursa, ali se iz metodolo{kih razloga skre}e pa`nja da savremeni propisi obi~no sadr`e dodatne odredbe za ovakve slu~ajeve, pa i EC8.

6.22 MONTA@NE KONSTRUKCIJE

U praksi je uobi~ajeno da se prakti~no ne pravi razlika izme|u livenih i monta`nih AB konstrukcija. Sve do sada izlo`eno odnosi se na livene armiranobetonske konstrukcije, kod kojih postoji kontinuitet armature i betona.

Nije redak slu~aj da projekat konstrukcije, predvi|en za izvo|enje u livenom betonu, izvo|a~ preradi na delimi~nu ili ~ak potpunu monta`u. To jeste mogu}e, ali onda treba pogledati i dodatne delove propisa koji se odnose na specifi~ne probleme monta`nih konstrukcija i veze elemenata. Ova pitanja tako|e nisu predmet ovoga kursa.

6.23 FUNDIRANJE

Fundiranje je geomehani~ki ali i konstrukcijski problem. Problemi pona{anja tla pri zemljotresu obi~no pripadaju posebnoj oblasti pa i propisima. [to se ti~e konstrukcija zgrada, pretpostavka prethodnih izlaganja je da su naprezanja tla u granicama elasti~nosti,

dy dm

d

F

Fv

k

Zemljotres

Fb

γvFv

γeFb

Fe

dv

Vetar

1

5

2

34

dm

dv

Fb , Fv

a. b.

Slika 6.30 Vetar - zemljotres

6-21

bez trajnih deformacija ili nestabilnosti tla, niti izra`enijih neravnomernih sleganja delova konstrukcije pri zemljotresu. [to se ti~e konstrukcije temelja, ona treba da obezbedi pretpostavljeni odgovor kosntrukcije na zemljotres, pri ~emu se nelinearni odgovor konstrukcije mo`e delom realizovati i u okviru temeljne konstrukcije. Me|utim, ni to nije predmet ovoga kursa.

7-1

7. SEIZMI^KI PRORA^UN PREMA YU PROPISIMA (YU81)

UVOD U prvom delu ovoga poglavlja dat je rezime jugoslovenskih propisa (na dalje YU81)

u ovoj oblasti /10/, sa tuma~enjem nekih stavova koji su se pokazali nejasni u praksi. U drugom delu, data je delimi~na uporedna analiza jugoslovenskih propisa i EC8, sa prvenstvenim ciljem da se stavovima jugoslovenskih propisa da savremeno obja{njenje i tuma~enje, koje ina~e nedostaje propisima.

7.1 ULAZNI SEIZMI^KI PODACI

Teritorija Jugoslavije podeljena je na seizmi~ka podru~ja, sa kartama o~ekivanog intenziteta zemljotresa sa povratnim periodima Tp=50 - 10000 godina. Za zna~ajnije objekte, zahteva se sprovo|enje seizmi~ke mikrorejonizacije.

Prema lokalnim uslovima, tla su svrstana u tri kategorije tla: I (∼ A - EC8), II (∼ B - EC8), III (∼ C - EC8).

7.2 ELEMENTI PRORA^UNA SEIZMI^KIH UTICAJA

Upro{}ena modalna spektralna analiza prema EC8 ovde se naziva metoda ekvivalentnog stati~kog optere}enja.

Za slo`enije objekte, zahteva se metoda linearne i nelinearne dinami~ke analize. Na{i propisi ne spominju multimodalnu analizu, koja se danas ~esto primenjuje u

praksi, nakon pojave komercijalnih softvera iz ove oblasti. Ukupna seizmi~ka sila S, defini{e se kao

S = k G (7.1)

gde je G ukupna te`ina objekta iznad gornjeg ruba uklje{tenja (temelj ili gornja ivica krutih podrumskih konstrukcija), a k - ukupni seizmi~ki koeficijent

k = k0 ks kd kp ≥ 0,02 (7.2)

Prema zna~aju, objekti se dele u kategorije : van kategorije (elektrane...), I kategorija (ve}i skupovi ljudi..., koeficijent kategorije objekta ko=1,5 ) i II kategorija (stambene zgrade..., koeficijent kategorije objekta ko=1,0 ).

Za objekte II-ge kategorije za projektovanje je merodavan intenzitet zemljotresa sa povratnim periodom Tp=500 godina (EC8 - Tp=475 godina).

Koeficijent seizmi~kog intenziteta ks vezan je za o~ekivani intenzitet zemljotresa u datom seizmi~kom podru~ju

Stepen MSK-64 ks ag /g VII 0,025 ≤ 0,10 VIII 0,050 ≤ 0,20 (7.3) IX 0,100 ≤ 0,40

Vrednosti ag / g u (7.3) predstavljaju gornju granicu maksimalnih o~ekivanih ubrzanja tla, ako ne postoje podaci seizmi~ke mikrorejonizacije, pa se veza koeficijenta sezimi~kog intenziteta i maksimalnog o~ekivanog ubrzanja tla mo`e izraziti kao

ks = 0,25 ag / g (7.4)

Za stanicu "Beograd Centar" u Prokopu, na osnovu seizmi~ke mikrorejonizacije utvr|eno je o~ekivano ubrzanja tla od ag=118 cm/s 2 sa povratnim periodom Tp=500

7-2

godina, pa je ks = 0,25x118/981 = 0,03, ~emu pribli`no odgovara VII zona seizmi~kog intenziteta.

Koeficijent dinami~nosti kd zavisi od kategorije tla i perioda oscilovanja osnovnog tona T

Kategorija tla kd I 0,33 ≤ kd = 0,5/T ≤ 1,0 II 0,47 ≤ kd= 0,7/T ≤ 1,0 (7.4) III 0,60 ≤ kd=0,9/T ≤ 1,0

Na slici 7.1 prikazane su vrednosti koeficijenata dinami~nosti, sa preklopljenim odgovaraju}im krivama spektra ubrzanja prema EC8, normalizovanim na maksimalnu vrednost 1,0.

Koeficijent duktiliteta i prigu{enja kp se za sve "savremene armiranobetonske konstruk-cije" usvaja da je jednak kp = 1,0. Za kon-strukcije od "armiranih zidova" - kp=1,30. Za vitke konstrukcije, sa periodom T>2 sekunde, kp = 1,6. Za konstrukcije sa "fleksibilnim pri-zemljem odnosno naglom promenom krutosti", kp = 2,0.

Naziv koeficijent duktiliteta nije ba{ najbolji, i brojno nema veze sa vrednostima duktilnosti pomeranja iz prethodnih izlaganja. O~igledno da je ekvivalent faktoru pona{anja q prema EC8 ugra|en u formulu (7.2), a da se "faktorom duktiliteta" samo koriguje osnovna vrednost.

Zbog nepotpunosti odredbe, u praksi se prakti~no svaka AB konstrukcija smatra "savremenom", i usvaja najni`a vrednost kp . Prakti~no, ve}ina AB konstrukcija se projektuje na isti nivo seizmi~kog optere}enja, {to je neopravdano.

Nije redak slu~aj da se u praksi za armiranobetonske zidove usvoji kp=1,3, {to je nesporazum. "Armirani zidovi" su zidovi od opeke, oja~ani armaturom.

Jedan od razloga pove}anja seizmi~kog optere}enja za konstrukcije sa periodama du`im od dve sekunde je obuhvatanje efekata vi{ih tonova oscilacija, analogno korekciji spektralnih krivih prema EC8.

Procena da li konstrukcija te`i "fleksibilnom spratu" ili poseduje "naglu promenu krutosti" ostavljena je projektantima. EC8 prakti~no zabranjuje fleksibilna prizemlja ili

spratove. Raspodela ukupne seizmi~ke sile prema (7.1 ) vr{i se

linearno kao u EC8 za objekte do pet spratova, dok se za vi{e objekte 85% ukupne sile raspodeljuje linearno, a ostatak od 15% se postavlja na vrh objekta, da bi se obuhvatili i efekti vi{ih tonova, slika 7.2.

Prema YU81, uticaji zemljotresa se ra~unaju bez kombinovanja istovremenih uticaja iz dva pravca.

Koeficijent sigurnosti za sva optere}enja koja ulaze u seizmi~ku kombinaciju optere}enja je jedinstven i iznosi γ =1,3, bez obzira na iznos dilatacija armature. Ukoliko

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Period (s)

Koe

f.din

ami~

nost

i - K

d

0.50.7

0.9

1.5

0.33

0.47

0.60 Kategorija tla III

Kategorija tla II

Kategorija tla I

Slika 7.1 Koeficijent dinami~nosti

Hi

Gi Si

Gn

Sn

S S

Hi

Gi Si

Gn

a. b.

0,85S

0,15S

Slika 7.2 Raspodela sile

7-3

stalno optere}enje deluje povoljno, treba proveriti i kombinaciju sa sni`enom vredno{}u koeficijenta sigurnosti za stalno optere}enje γ =1,0. Nije redak slu~aj u praksi da se seizmi~ka dejstva tretiraju kao "ostala optere}enja" prema BAB-u /16/, {to je naravno pogre{no.

Seizmi~ka kombinacija optere}enja obuhvata dejstvo stalnog, 50% korisnog i optere}enje snegom, bez vetra. Propisi ne ukazuju da li se dejstva "ostalih optere}enja" prema BAB-u /16/- temperatura, skupljanje betona, sleganje oslonaca itd. kombinuju sa dejstvom zemljotresa. U praksi se obi~no ne kombinuju, ali ima argumenata i za i protiv, pri ~emu treba razlikovati problem kapaciteta nosivosti preseka od potrebnog kapaciteta pomeranja, neoprenskih le`i{ta mostova, na primer.

Ovde su izlo`eni samo podaci potrebni za naredne analize. Ostali detalji prora~una i konstruisanja bi}e prikazani uz primere, u Delu B.

7.3 PORE\ENJE EC8 I YU81

Primer 7.1.......... Za lokaciju jednog objekta u Beogradu, nestandardnog okvirnog sistema, seizmi~kom

mikrorejonizacijom utvr|ena je vrednost maksimalnog o~ekivanog ubrzanja temeljnog tla, ag = 118 cm/sec 2 (12% ubrzanja zemljine te`e - g) za povratni period zemljotresa od 500 godina. Objekat je druge kategorije kao i tlo. Sra~unati vrednost ukupnog seizmi~kog optere}enja prema YU81 i EC8 ako je period oscilovanja konstrukcije u prvom tonu T=0,4 sekunde.

YU81 S=kG=ko ks kd kp G ≥ 0,02G ko=1,0 (druga kategorija objekta) ks=0,25ag / g=0,25 x 118/981 = 0,03 kd=0,7/T=0,7/0,4=1,75>1 usvojeno kd =1,0, II-ga kategorija tla kp=1,0 ("savremena armiranobetonska konstrukcija") k=1,0x0,03x1,0x1,0=0,03 S=0,03G >0,02G EC8 Kategorija tla B T=0,4s < Tc = 0,6 s. Fb = Sd W = αSβ0 W/q ≥ 0,2αW α = ag /g = 118/981 = 0,12 S = 1,0 (kategorija tla B) β0=2,5 (faktor amplifikacije

ubrzanja tla) Sd = 0,12x1,0x2,5/q = 0,30/q Okvirni sistem q=q0 kD kR kW q0 = 5,0 kR = kW = 1,0 q = 5 kD

a) Klasa visoke duktilnosti - DCH kD = 1,0 q=5,0 x 1,0 = 5,0 Sd = 0,3/5,0 = 0,06 > 0,2α = 0,2 x

0,12 = 0,024 Fb = 0,06W ( = 2 x YU81) b) Klasa niske duktilnosti - DCL kD = 0,5 q=5,0 x 0,5 = 2,5 Sd = 0,3/2,5 = 0,12 Fb = 0,12W ( = 4 xYU81)

7-4

Na slici 7.3 ilustrovan je nivo ukupnih seizmi~kih sila, prema EC8 i YU81, sa oznakama prema YU81. Pretpostavljeno je da je elasti~ni odgovor konstrukije identi~an prema oba propisa.

Uop{tenije, na slici 7.4 prikazane su vred-nosti ukupnog seizmi~kog koeficijenta prema oba propisa /12/. Bez obzira na konceptualne, kao i razlike u detaljima, nivo ukupnog projektnog seizmi~kog optere}enja prema EC8 i YU81 je uporedljiva veli~ina.Usvojene su slede}e vred-nosti parametara prema EC8 (YU81):

kategorija zna~aja III (kategorija objekta II); kategorija tla B (II); ag /g=0,20 (Ks=0,05). Vrednost "koeficijenta prigu{enja" prema YU81 iznosi Kp=1,0 (T1 ≤ 2s), odnosno Kp=1,6 (T1>2s). Propis YU81 ne defini{e eksplicitno vrednost "faktora pona{anja" q, a nivo projektnog

optere}enja prakti~no je jedinstvena vrednost za sve "savremene armiranobetonske konstrukcije".

Zavisno od usvojene klase duktilnosti, projektno seizmi~ko optere}enje prema EC8 je dva (visoka duktilnost - DCH, q=5,0 ) do ~etiri puta (niska duktilnost - DCL, q=2,5 ) ve}e nego prema YU81, osim u podru~ju du`ih perioda, u kojem pove}ana vrednost "koeficijenta prigu{enja" prema YU81, umanjuje razlike. Uz pretpostavku da je prema oba propisa odgovor elasti~ne konstrukcije identi~an (q=1,0 prema EC8), "ekvivalentna vrednost faktora pona{anja" ugra|ena u YU81 propise isnosi oko qYu81=10, "crtkasta" kriva na slici 7.4.b.

Ni`i nivo projektnog optere}enja prema YU81 svakako da podrazumeva obezbe|enje visoke duktilnosti konstrukcije, vi{e nego prema EC8. U slu~aju konstrukcija koje realno mogu da razviju visoku duktilnost (q=5-10 ), duplo ni`e projektno optere}enje prema YU81 ne mora unapred da bude razlog za zabrinutost. Posledice su ne{to ve}i iznos post-elasti~nih deformacija, samim tim i o{te}enja u zoni "plasti~nih zglobova". Prema YU81, u pitanju je koncept "ni`eg standarda" obezbe|enja konstrukcija od o{te}enja pri zemljotresu, sa manjim inicijalnim ulaganjima pri gra|enju, primeren ekonomskoj snazi

d

S

d

dmdy

DCH

DCM

DCL

SeS

potµd

S YU81

Slika 7.3 Optere}enje prema EC8 i YU81

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 1 2 3 4Period (s)

q=5,00-DCH

q=? YU-81

q=3,75-DCM

q=2,50-DCL

q=1,00-"Elastic"

a.

Fb /

W

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4Period (s)

q=1,00-"Elastic"

q=2,50-DCL

q=3,75-DCM

q=5,00-DCH

b.

Fb/

W -

Odn

os E

C8/

YU

81

Slika 7.4 a) Ukupni seizmi~ki koeficijent, b) odnos EC8/YU81

7-5

dru{tva. Me|utim, ni`i nivo projektnog optere}enja prema YU81 u odnosu na EC8 trebalo bi da bude propra}en i stro`ijim konstrukcijskim zahtevima za obezbe|enje zahtevane duktilnosti {to, po svemu sude}i nije slu~aj. Osim nekoliko zahteva u vezi detalja armiranja, kao i izgleda dobro ocenjenog ograni~enja nivoa normalne sile u stubovima, σ0 /βB ≤ 0,35, na{i propisi daju na~elne stavove u vezi obezbe|enja duktilnog pona{anja konstrukcije, tako da je, strogo uzev, samo vrlo obrazovan specijalista razumeo su{tinu propisa, i imao {ansu da konstrui{e korektan objekat.

Problem je i to {to, prema YU81, ista vrednost faktora pona{anja, kao i isti konstrukcijski zahtevi za obezbe|enje duktilnosti va`e za prakti~no sve konstrukcijske sisteme zgrada, kao i sve nivoe aksijalnog naprezanja, - za "sve savremene armirano-betonske konstrukcije".

Deluje zbunjuju}e, i izaziva sumnju da YU81 propis nije "izbalansiran" u svim svojim delovima, to {to je nivo optere}enja koji YU81 zahteva za "konstrukcije sa fleksibilnim prizemljem ili spratom" (Kp=2,0 ), pribli`no jednak iznosu projektnog optere}enja za konstrukcije visoke duktilnosti prema EC8. Pri tome treba imati u vidu da ovakve "konstrukcijske sisteme" EC8 prakti~no zabranjuje. Najvi{i nivo projektnog optere}enja prema YU81 zahtevan za "neregularne konstrukcije", jednak je najni`em nivou projektnog optere}enja prema EC8, dozvoljenom za "savr{ene", regularne konstrukcije. Primer 7.2..........

Uporediti kriterijume dozvoljenih pomeranja konstrukcija prema EC8 i YU81

Prema YU81, ra~unsko pomeranje δ vrha zgrade pri projektnom zemljotresu, sa povratnim periodom od 500 godina treba da je jednako ili manje od H/600, slika 7.5 /12/. Uz pretpostavku paraboli~nog oblika deformacije, dozvoljeno pomeranje vrha zgrade od H/600 defini{e maksimalni spratni nagib od tgβ=1/300, slika 7.5. Ako vrednost faktora pona{anja prema YU81 iznosi oko q=10, tada je realno pomeranje vrha zgrade deset puta ve}e, tgβ = 1/30.

Pri pribli`no dva puta manjem ubrzanju i pomeranju, usled zemljotresa sa povratnim periodom od 50 godina, nagib iznosi pribli`no tgβ=1/60, {to je oko 2 - 3 puta vi{e od nagiba dozvoljenog prema EC8, tgβ=0,004-0,006.

Manji iznos dozvoljenih pome-ranja prema EC8 svakako da zna~i i manja o{te}enja fasada i pregradnih zido-va. Me|utim, ako se ima u vidu da iznos pomeranja pri zemljotresu dominantno zavisi od inicijalne krutosti "elasti~ne konstrukcije", to posledice ovakvog zahte-va mogu biti dramati~ne - minimalna doz-voljena krutost konstrukcija prema EC8

je pribli`no dva puta ve}a nego prema YU81. Za razliku od EC8, YU81 ne ukazuje eksplicitno kolika su "realna" pomeranja

konstrukcija pri zemljotresu, pa nisu retki slu~ajevi da se ra~unska pomeranja de na granici elasti~nosti smatraju i realnim pomeranjima. Verovatno da u jugoslovenskoj praksi ima propusta pri proceni realnih pomeranja, pri odre|ivanju potrebnih visina neoprenskih le`i{ta, na primer.

δ < Η/600

α

b.

α

a.

δ δ

H

SS

Slika - 7.5 Koncept dozvoljenih pomeranja prema

YU81.

LITERATURA uz Deo A /1/ D.Ani~i}, P.Fajfar, B.Petrovi}, A.Szavits-Nossan, M.Toma`evi~, Zemljotresno in`enjerstvo - visokogradnja, Gra|evinska knjiga, Beograd, 1990. /2/ T. Paulay, M.J.N. Priestley, Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings, John Wiley & Sons, New York, 1992. /3/ B.]ori}, S.Rankovi}, R.Salati}, Dinamika konstrukcija, Univerzitet u Beogradu, 1998. /4/ A.K.Chopra, Dynamics of Structures - Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice Hall International, New Jersey, 1995. /5/ Diana Finite Element Analysis, User's Manual, Release 7, TNO, Delft, 1998. /6/ P.Fajfar, T.Vidic, M.Fischinger, On Energy Demand and Supply in SDOF Systems, Nonlinear Seismic Analysis and Design of Reinforced Concrete Buildings, P.Fajfar, H.Krawinkler editors, Workshop, Bled, Slovenia 1992., Elsevier Applied Science, London 1992. /7/ E.Cosenza, G.Manfredi, A Seismic Design Method Including Damage Effects, 11th European Conference on Earthquake Engineering, Balkema, Rotterdam, 1998. /8/ H.Bachman, A.Dazio, P.Lestuzzi, Developments in the Seismic Design of Buildings with RC Structural Walls, 11th European Conference on Earthquake Engineering, Balkema, Rotterdam, 1998. /9/ M.P.Collins, D.Michell, Prestressed Concrete Structures, Prentice Hall, New Jersey, 1991. /10/ Pravilnik o tehni~kim normativima za izgradnju objekata visokogradnje u seizmi~kim podru~jima, Slu`beni list SFRJ, Beograd, 1981, sa naknadnim dopunama /11/ N.Stojanovi}, V.Alendar, M.A}i}, Seizmi~ki odgovor AB zidova slo`enog preseka, Me|unarodni simpozijum povodom 30 godina Banjalu~kog zemljotresa, Banja Luka, Republika Srpska, 26-27. oktobar 1999. g /12/ V.Alendar, M.A}i}, "EC8 zemljotres" potresa Jugoslaviju, ~asopis Izgradnja, Beograd, oktobar 1999., u {tampi. /13/ Evrokod 8, Projektovanje seizmi~ki otpornih konstrukcija, Deo 1-1 do 1-3, R.Foli} editor, Gra|evinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 1997. /14/ M.A}i}, M.Uli}evi}, S.Jankovi}, Projektovanje seizmi~ki otpornih zgrada od armiranog betona, Gra|evinski kalendar 1998. /15/ M.A}i}, M.Uli}evi}, Projektovanje seizmi~ki otpornih zgrada od armiranog betona - II deo, Gra|evinski kalendar 1999. /16/ Pravilnik o tehni~kim normativima za beton i armirani beton, Slu`beni list br. 07-719/1, Beograd, 13.02.1986.

Vanja Alendar

PROJEKTOVANJE SEIZMIČKI OTPORNIH ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJA

KROZ PRIMERE

Deo B - Primeri sa komentarima

Vežbe u okviru kursa Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 2

na IX semestru odseka za konstrukcije školske 2004/2005 godine

Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu Institut za materijale i konstrukcije

Beograd, novembar 2004.

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

1-1

PRIMER 1

Simetrična okvirna konstrukcija temelja teške opreme sastoji se od armiranobetonske platforme - roštilja greda, zglobno oslonjene na četri ugaona konzolna stuba. Za uticaje gravi-tacionih opterećenja, stubovi su centrično opterećeni relativno značajnim normalnim silama.

Rezultat formalnog proračuna prema YU81 propisima, za objekat u zoni niskog seiz-mičkog intenziteta je da računska armatura stuba nije potrebna, pa je usvojen minimalni procenat armiranja.

U nastavku primera, u delu "Pitanja i odgovori" analizira se šta se može realno očekivati pri dejstvu zemljotresa. Primer je tako koncipiran da ukaže na važnu činjenicu da nivo seizmičkog opterećenja nije determinisana veličina, analogna uticajima vetra na primer, već da zavisi od odgovora konstrukcije na pomeranja tla.

U okviru ovoga primera prikazan je i koncept obezbeđenja potrebne duktilnosti stubova prema EC8, utezanjem jezgra stuba uzengijama. Pored toga, ilustrovan je i pojam efekata drugoga reda, kao i postupak realizacije koncepta programiranog ponašanja prema EC8.

U okviru primera samo se ukazuje na dodatne zahteve koje YU81 ne sadrži, a deo su regularne procedure prema EC8: pitanje torzionih efekata kod nominalno simetričnih konstrukcija, kao i pitanje kombinovanja istovremenih dejstava zemljotresa iz dva upravna pravca. Kako u ovom, tako i u ostalim primerima, nije prikazana numerička analiza ovih efekata prema EC8, jer je složena a nije bitna za razumevanje osnovnih pojmova u vezi odgovora armiranobetonskih konstrukcija na dejstvo zemljotresa.

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

1-2

PRIMER 1 Dimenzionisati stubove POS S okvirne konstrukcije platforme - temelja fiksirane opreme.

Proračun i konstruisanje detalja izvršiti preme domaćim pravilnicima /1/ i /2/.

Podaci: Ukupna težina opreme P= 1600kN Objekat II kategorije Tlo II kategorije Područje VII stepena intenziteta zemljotresa Uticaje vetra zanemariti (zatvoren objekat)

1.1 KONCEPT KONSTRUKCIJE I ANALIZE Uz pretpostavku simetričnog rasporeda opreme u osnovi, geometrijske karakteristike

konstrukcije kao i raspored masa su dvoosno simetrični u osnovi. Zbog poklapanja centra masa CM i centra krutosti CK, torzioni efekti u osnovi pri zemljotresu se zanemaruju /1/.

Uz pretpostavku zglobne veze platforme i stuba, horizontalnu stabilnost konstrukcije obezbeđuju četri konzolna stuba, krutošću na savijanje. Konstrukcija je regularna u pogledu rasporeda konstrukcijskih nosećih elemenata („rasporeda krutosti“) kao i masa u osnovi i po visini. Prema Pravilniku YU81 /1/, analiza uticaja zemljotresa može da se izvrši metodom

„ekvivalentnog statičkog opterećenja“, pretpostavljajući da zemljotres deluje u pravcu jedne, ili druge glavne ose kon-strukcije objekta. Nivo naprezanja kon-strukcije pri zemljotresu kontrolisan je nosivošću 'plastičnog zgloba' visine Hp, slika 1.2.

Pomeranje δ mase određeno je defor-macijom savijanja stuba visine H, dok se platforma i oprema translatorno pomeraju za isti iznos, slika 1.2.

Uz pretpostavku da su AB platforma i

Osnova

Oprema

5,0 5,0 5,0

0,400,40

H=2

,25d=

1,50

d p=0,

25

Presek A-A

15,0

5,0 5,0 5,0

B=15,0

L=15

,0

0,40

0,40

S S

S S

A

Oprema

CM, CK0,40

0,40

Slika 1.1 - Dispozicija konstrukcije (u metrima)

B

Z o

Z k Z m

CMoCM

CMk

S

e m

H

Ns

Ns

m S

δ δ

Hp

'Plastičnizglob'

Slika 1.2 - Dinamički model konstrukcije

CM0 , Z0 - centar mase opreme CMk , Zk - centar mase konstrukcije

CM, Zm - centar ukupne mase objekta

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

1-3

oprema jedinstveno kruto telo, horizontalna inercijalna sila S koja deluje u centru CM ukupne mase m, izaziva promenu aksijalnog opterećenja stuba, NS=±Sem /B, koja se u ovom slučaju zanemaruje. Dinamički model je konzola sa ukupnom masom m u vrhu stubova, slika 1.2.

1.2 ANALIZA OPTEREĆENJA I MASA Sopstvena težina konstrukcije (zanemareni stubovi): Ploča (dp= 25cm) 0,25×15,402×25 = 1482,3 kN Grede (b/d= 40/150cm) 8×0,40(1,50-0,25)15×25 = 1500,0 kN „odbijena ploča“↑ G= 2982,3 kN Oprema P= 1600,0 kN

Komentar: S obzirom da je oprema fiksirana, usvaja se da je u slučaju zemljotresa na konstrukciji prisutno ukupno korisno opterećenje P.

Ukupna težina: W=G+P= 2982,3+1600,0=4582,3 kN Ukupna masa konstrukcije i opreme: m= W/g= 4582,3/9,81= 467,1 kNs2/m Aksijalno opterećenje stubova Stalno opterećenje: Ng= G/4= 2982,3/4 = 745,6 kN Korisno opterećenje: Np= P/4=1600,0/4 = 400,0 kN

Totalno opterećenje: Nw= W/4= 4582,3/4 = 1145,6 kN

1.3 KONTROLA STUBOVA ZA UTICAJE GRAVITACIONIH OPTEREĆENJA Usvojeno: b/d= 40/40, MB 30 (βB= 20,5 MPa) Vitkost stuba: λ= lk /imin= 2×2,25 12 /0,40= 39

Uticaji drugog reda sa efektima po-četne imperfekcije i tečenja betona stuba u ovom slučaju se mogu zanemariti.

Granični uticaji u preseku stuba: Nu=1,9Ng+2,1Np = 1,9×745,6+2,1×400,0 = 2256,6 kN Mu ≈ 0 n= Nu /(bdβB)= 2256,6/(40×40×2,05)=0,688 m= 0

Dijagram interakcije br.115 /3/, tačka „A“ na Dijagramu 1.1, →μ=0 .

Odgovara minimalni procenat armi-ranja μ≥0,6%(usvojeno), odnosno 4RØ19 (Fa= 11,32 cm2, μ= 0,71%> 0,6%).

1.4 DEJSTVO ZEMLJOTRESA

1.4.1 Kontrola uslova duktilnosti u oblasti plastičnog zgloba Prema članu 61 Pravilnika /1/, zbog obezbeđenja zahtevane duktilnosti u oblasti plas-

tičnog zgloba, ograničava se iznos aksijalnog naprezanja stubova: σ0 /βB≤ 0,35 gde je σ0= N/F; βB= 0,7 βk (1.1)

N≈Nw=1145,6 kN - normalna sila usled gravitacionog opterećenja F= b×d= 40×40=1600 cm2 - površina preseka betona βk=30 MPa - čvrstoća betona ~ MB σ0=1145,6/1600=0,72 kN/cm2

0,064

0,34

9

0,45

4

0,68

8

A

BC

Dijagram 1.1 - Dijagram interakcije simetrično armiranog

pravougaonog preseka, a/d=0,1, σv=400MPa

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

1-4

σ0 /βB= 0,72/(0,7×3,0)= 0,34< 0,35 - Uslov je zadovoljen

1.4.2 Računsko seizmičko opterećenje konstrukcije - S Da bi se ograničio iznos nelinearnih, post-elastičnih deformacija konstrukcije pri zemljo-

tresu, potrebna nosivost sistema na horizontalne uticaje prema članu 21 /1/ treba da je najma-nje jednaka „ukupnoj horizontalnoj seizmičkoj sili S“: S= KW (1.2) gde je:

W= 4582,3 kN - ukupna težina objekta K= k0 ks kp kd - „ukupni seizmički koeficijent“

k0= 1,0 - „koeficijent kategorije objekta“ (II kategorija) ks= 0,025 - „koeficijent seizmičkog intenziteta“ (VII zona) kp= 1,0 - „koeficijent duktiliteta“ (savremena AB konstrukcija) kd= 0,7/T - „koeficijent dinamičnosti“ (II kategorija tla)

Period oscilovanja T, slika 1.3: T= 2π mδ (1.3) m= 467,1 kNs2/m (ukupna masa) δ= 1×H3/(3EI) (1.4) pomeranje mase usled jedinične horizontalne sile P=1 MB30→E= 3,15×107 kN/m2 Četri stuba: b/d= 40/40→I= 4×0,404/12= 8,53×10-3 m4 EI= 3,15×107×8,53×10-3= 2,688×105 kNm2 H= 2,25 m δ= 1×2,253/(3×2,688×105)= 1,412×10 -5 m T= 2π 5467,1 1,412 10−× × = 0,51 s (<2,0 s član 27)

Koeficijent dinamičnosti Kd= 0,7/0,51> 1,0 → usvojeno Kd= 1,0

Ukupni seizmički koeficijent K: K= 1,0×0,025×1,0×1,0= 0,025> minK=0,02 (član 23)

Ukupna projektna seizmička sila S: S= 0,025×4582,3= 114,6 kN

1.4.3 Kontrola „pomeranja“ konstrukcije pri zemljotresu Računsko „pomeranje“ pri zemljotresu iznosi: d= Sδ = 114,6×1,412×10 -5= 1,6×10 -3 m< H/600= 2,25/600= 3,75×10 -3 m Komentar: S obzirom da konstrukcija nema pregradnih zidova i fasada koje bi se mogle

oštetiti pri zemljotresu, navedeni dokaz je u ovom slučaju verovatno formalan (član 16). Voditi računa da su sračunata 'pomeranja' samo uporedna veličina, i ne pretstavljaju realna pomeranja pri zemljotresu, koja su znatno veća. Otuda i znaci navoda.

1.4.4 Dimenzionisanje preseka stuba Presek stuba b/d= 40/40; MB30; RA400/500

Komentar: glatka armatura GA danas se uglavnom koristi za uzengije Aksijalno opterećenje:

N= Nw= 1145,6 kN Moment savijanja u uklještenju jednog stuba usled zemljotresa:

Ms= SH/4= 114,6×2,25/4= 64,5 kNm

H

mP=1,0

δ

EI

Slika 1.3 - Određivanje

perioda oscilovanja

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

1-5

Granični uticaji (član 15, γ= 1,30) Kombinacija 1, Nw deluje 'nepovoljno'

Nu= 1,3Nw= 1,3×1145,6= 1489,3 kNm Mu= 1,3Ms= 1,3×64,5= 83,8 kNm

n= Nu / bdβB=1489,3/402×2,05= 0,454 m= Mu /bd2βB=83,8×102/403×2,05= 0,064 Tačka B na Dijagramu 1.1

Kombinacija 2, Nw deluje 'povoljno' Nu= 1,0Nw= 1,0×1145,6= 1145,63 kNm

Mu= 1,3Ms= 83,8 kNm n= 1145,6/402×2,05= 0,349

m= 0,064 Tačka C na Dijagramu 1.1 Potreban „mehanički procenat armiranja“ iznosi μ=0 ! Usvojeno: 4RØ19 (μ= 0,71%)

1.4.5 Kontrola uticaja transverzalnih sila Transverzalna sila jednog stuba Qs= S/4=114,6/4 =28,6 kN Granična vrednost transverzalne sile (γ=1,3) Qu= γQs= 1,3×28,6= 37,2 kN

Najveća dozvoljena vrednost transverzalne sile prema BAB-u, član 92 /2/, ograničena je dozvoljenom vrednošću „nominalnog napona smicanja“ τn preseka, koji treba da je manji od vrednosti 5τr.

MB30→τr=1,1 MPa (BAB, član 89 /2/) τn= Qu /(bz)= 37,2/(40×32,0)= 0,03 kN/cm2= 0,3 MPa< 5τr =5,5 MPa Komentar: Ograničenjem „napona smicanja“ u stvari se ograničava maksimalna

dozvoljena veličina transverzalne sile, kako bi se sprečio lom pritisnute dijagonale modela rešetke. U slučaju stubova, normalna sila pritiska stuba u ovom slučaju deluje nepovoljno, što algoritam BAB-a ne uvažava.

Proračunske uzengije stuba Četiri, do sada poznata razloga zbog čega su uzengije stubo-va korisne, su: -osiguranje od loma usled transverzalnih sila; -utezanje preseka betona i povećenje duktilnosti; -„podupiranje“ vertikalne armature i sprečavanje njenog izvijanja; -„poprečno armiranje“ nastavaka vertikalne armature.

Tri poslednja efekta su sadržana u BAB-u /2/, odnosno Yu81 /1/ u vidu pravila za armi-ranje (maksimalni razmak, odnosno minimalni dozvoljeni prečnik uzengija), dok je prvi raz-log nejasno naveden u članu 63 Yu81 /1/: „ako se analiza sistema konstrukcije vrši dina-mičkim postupkom, granična poprečna sila u plastičnim zglobovima pokriva se isključivo poprečnom armaturom“.

Komentar: Član 63 odnosi se na okvirne konstrukcije i naveden je nakon dva člana koji se odnose na stubove. Zanemarenje nosivosti betona bez obzira na veličinu nominalnog napo-na smicanja τn (videti BAB, slučaj τr <τn< 3τr...) tipično je za osiguranje oblasti plastičnih zglobova greda visoke duktilnosti (što je implicitno ugrađeno u Yu81). U ovom primeru, zahtev stava 63 usvojen je za oblast plastičnog zgloba-uklještenja stuba, iako nije primenjen „dinamički postupak“ analize.

Dužina Hp plastičnog zgloba je reda veličine Hp ≈ 0,5d, dok se posebni zahtevi za armiranje u stvari odnose na nešto širu „kritičnu oblast“ dužine hcr, sl. 1.4. Prema Yu81, hcr= 1,0 m, član 62.

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

1-6

Uz pretpostavku pojave kose prsline pod uglom θ= 45°, potrebna proračunska horizon-

talna armatura iznosi, slika 1.4: ΣX= 0 → (mfuσv)z/s= Qu (1.5)

gde su: z ≈ 0,9h= 0,9×35,5= 32,0 cm - krak unutrašnjih sila m= 2 -„sečnost uzengija“ fu= 0,5 cm2 -površina preseka uzengije (RØ8) σv= 400 MPa -granica razvlačenja čelika (RA) Qu= 37,2 kN -granična vrednost transverzalne sile Maksimalni razmak uzengija RØ8 (m=2):

s ≤ zmfuσv /Qu= 32,0×2×0,5×40,0/37,2= 34,4 cm Prema članu 62, maksimalni razmak uzengija iznosi 15 cm, dok se „u blizini čvorova, na dužini 1,0 m, razmak dvostruko smanjuje“.

Usvojeno: URØ8/15 (7,5) Uzengije su preklopljene po kraćoj strani preseka-član 62

Yu81 /1/. Videti i komen-tar 6.17-deo A.

Komentar: Prema čla-nu 65 Yu81, „armatura se nastavlja van područja plastičnih zglobova“, vide-ti i član 191 BAB-a! S ob-zirom na malu visinu stu-ba, podužna armatura se

Mu

d=40,0h=35,5a=4,5

mfuσv

mfuσv

mfuσv 45

Za Dbz

Hp

h cr

~z s

QuNu

Slika 1.4 - Osiguranje od loma

transverzalnim silama

Slika 1.4.a - Ilustracija loma stuba

usled zemljotresa

225

2,5

13x7

,5=9

7,5

7x15

=105

20U

Rφ8

/7,5

UR

φ8/1

54Rφ1

9

Slika 1.6 - Armatura stuba

40

404Rφ19URφ8

a0=2,5

Slika 1.5 - Armatura stuba - presek

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

1-7

može izvesti bez nastavljanja, POS 1 na slici 1.6. Nastavljanje armature van plastičnih zglobova, praktično na polovini visine stuba je kom-

plikovano za izvođenje, konačno, osim na vezi sa temeljom, plastični zglobovi u stubovima se izbegavaju (teorija). U praksi se ovaj zahtev često ignoriše, ili se 50% armature nastavlja u jednom presku. EC8 podržava ovakva rešenja, ali zahteva odgovarajuće poprečno armiranje uzengijama u zoni nastavka vertikalne armature.

1.5 PITANJA I ODGOVORI

1.5.1 Zbog velike normalne sile i malog momenta usled seizmičkog opterećenja, nije potrebna proračunska armatura, poglavlje 1.4.4. Šta bi se desilo da je usvojen nearmiran stub, i šta će da se dogodi sa ovako armiranom konstrukcijom pri zemljotresu?

Ukratko, nearmirana konstrukcija će možda da se sruši, dok će realno seizmičko optere-ćenje armirane konstrukcije biti veće od propisima zahtevanog, izraz (1.2) na str. 1-4. Seizmi-čko opterećenje nije determinisana veličina, ono zavisi od odgovora konstrukcije na pomera-nja tla.

Kako bi na zemljotres odgovorila nearmirana konstrukcija koja ima dovoljnu nosivost da prinudna pomeranja usled zemljotresa izdrži u granicama elastičnog ponašanja materijala?

Prema EC8 /4/, uslovima ovoga zadatka odgovara tlo kategorije B (S= 1,0), objekat III kategorije (faktor značaja γI = 1,0), dok za maksimalno ubrzanje tla u zoni VII stepena inten-ziteta od ag= 0,10g, vrednost odnosa α iznosi α =ag /g= 0,10.

Za sračunatu vrednost perioda oscilovanja T= 0,51s, ordinata elastičnog spektra ubrzanja iznosi, slika 1.7: Se(T)= αSβ0= 0,10×1,0×2,5 =0,25 a seizmičko opterećenje pri elastičnom odgovo-ru konstrukcije iznosi: Fe=SeW=0,25×4582,3=1145,5 kN = 10×S(Yu81)!, (poglavlje 1.4.2) „Realno“ maksimalno pomeranje elastične kon-strukcije iznosi: de=Feδ =1145,5×1,412×10-5= 0,016 m gde je δ pomeranje usled „jedinične sile“, po-glavlje 1.4.2. Transverzalna sila i momenat sa-vijanja jednog stuba iznose: Qse= Fe /4= 1145,5/4= 286,4 kN Mse= QseH= 286,4×2,25= 644,3 kNm

Pri normalnoj sili u preseku Nw=1145,6 kN (poglavlje 1.2), ekscentricitet iznosi e= Mse /Nw= 644,3/1145,6= 0,56 m > d/2= 0,40/2= 0,20m (sila je van preseka)

Nearmirani stub bi se srušio, ili bi se, nakon iscrpljenja nosivosti betona na zatezanje i faktičkog loma preseka, oformio „krti“ mehanizam zasnovan na trenju. Prema tome, stub mora da bude armiran, jer je to preduslov formiranja duktilnog mehanizma.

Šta će se „stvarno“ dogoditi pri zemljotresu? Ako se usvoji „koncept jednakih pomera-nja“ (strana 6-18, deo A), onda konstrukcija treba da izdrži sračunato pomeranje de= 16 mm.

Na slici 1.8 prikazan je dijagram moment-krivina preseka prema slici 1.5 (4RØ19, μ=0,71 %, Nu=1145,6 kN, maxεa= 30‰). Moment nosivosti preseka iznosi Mu= 217,1 kNm.

Seizmičko opterećenje konstrukcije, pri istovremenom dostizanju kapaciteta nosivosti plastičnih zglobova četri stuba iznosi:

Tb=0,15 Tc=0,60

T=0,51 T (s)

Se (T)

αS

αSβ0 Prigušenje 5%Tlo kategorije B

Slika 1.7 - Elastični spektar (videti i sl.6.2, 6.3 - deo A)

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

1-8

FCD= 4Mu /H= 4×217,1/2,25= 386,5 kN (= 0,084W=3,37S, poglavlje 1.4.2)

Odgovarajuća transverzalna sila jednog stuba iznosi Qu= 386,5/4= 96,6 kN što je još uvek manje od nosivosti uzengija URØ8/7,5 Qm =zmfuσv /s= 32,0×2×0,5×40/7,5= 136,5 kN

Računski odgovor konstrukcije, „prema propisima“, prikazan je linijom 1, odgovor elas-

tične konstrukcije linijom 2, a „realni“ odgovor linijom 3 na slici 1.9. Može li konstrukcija da izdrži pomeranje de= 16mm,

ako su dilatacije betona odnosno čelika ograničene na εb=3,5 ‰ odnosno εa=30‰ (usvojeno, jer se u slučaju zemljotresa dozvoljavaju povećane dilatacije čelika)?

Prema slici 1.8, maksimalna krivina preseka iznosi κu= 0,02028 1/m, a krivina „na granici elastičnosti“ (uz bili-nearnu aproksimaciju) κy= 0,009 1/m. Sa dužinom plas-tičnog zgloba Hp≈0,5d=0,5×0,40=0,2 m, slika 1.10, pome-ranje vrha pri dostizanju kapaciteta deformacija iznosi

dm= (0,5 κyH)×2H/3+Hp(κu- κy) (H-0,5Hp)= (0,5×0,009×2,25)2×2,25/3+ 0,20(0,02028-0,009)(2,25-0,5×0,20)

=0,0076+0,0048=0,012 m=12 mm< de= 16mm Kapacitet deformacija je nedovoljan. Treba povećati ili

nosivost (κy) ili duktilnost krivine (κu /κy) - na projektantu je da utvrdi „optimalni balans nosivosti i duktilnosti“.

1.5.2 Ako je, uz minimalni procenat armiranje, nosivost konsturkcije veća od propisima zahte-vane (FCD>S), može li se izbeći „utezanje preseka“ i obezbediti „elastični odgovor“ minimalno armirane konstrukcije pri zemljotresu?

Prema EC8, minimalna vrednost realno obezbeđenog faktora ponašanja iznosi minq=1,5, odnosno, nivo seizmičkog opterećenja nema potrebe usvajati većim od

maxFd≤ maxSdW= SeW/mnq= SeW/1,5= 0,67SeW U konkretnom slučaju Fd=0,67×0,25×4582,3= 767,5 kN Normalna sila i momenat jednog stuba tada iznose:

κy~0,0090 κu=0,02028

κ(1/m)

M(kNm)

Mu=217,1

75%Mu=163

Slika 1.8 - Moment-krivina preseka

16,0

d(mm)

F(kN)1145,5

386,5

114,5

1,6

1

3

2

YU81

Slika 1.9 - Odgovor konstrukcije, sila-pomeranje

dm

H=2

,25m

Hp~

0,20

m

κu

κy

Tok krivinapreseka−κ

F

Slika 1.10 - Deformacija konstrukcije

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

1-9

Nw= 1145,6 kN Ms= 767,5×2,25/4= 431,7 kN

Sa vrednostima koeficijenata sigurnosti γ= 1,0 za normalnu silu, i γ= 1,3 za moment savijanja, potrebna ukupna armatura preseka 40/40 cm, armiranog ravnomerno po obimu iznosi potFa= 100 cm2, μ= 6,25%. Prema BAB- u, član 189, maksimalni dozvoljeni procenat armiranja je 6%, dok savremeni seizmički propisi procenat armature pritisnutih elemenata ograničavaju na oko 4,0%. Prema tome, potrebna nosivost za elastični odgovor konstrukcije ne može da se obezbedi sa usvojenom armaturom, pa ni sa eventualno maksimalno dozvo-ljenom armaturom u preseku.

1.5.3 Pa dobro, jesu li uzengije URØ8/7,5 prema slici 1.5 dovoljne da obezbede potrebno uteza-nje preseka i povećenje kapaciteta deformacija? Na ovo pitanje Yu81 ne daje odgovor, pa da vidimo šta kaže EC8, na primer /4/.

Rešetka vertikalne armature i uzengija sprečava jezgro betona da ne „iscuri“, ali samo u čvorovima u kojima rezultanta zatezanja uzengija „podupire“ vertikalnu armaturu - „gura je prema jezgru“. Između čvorova se formira svod. Na slici 1.11, takvih čvorova ima n=8. Ako bi presek imao samo uzengiju POS 1, tada je n=4, manja je „globalna efikasnost utezanja uzengijama“- α. Za nešrafiranu, neutegnutu masu betona pretpostavlja se da može da otpadne nakon par ciklusa visokih dilatacija betona, slika 1.11.b.

Ako stub treba da zadovolji traženu vrednost „konvencionalnog faktora duktilnosti krivine-CCDF“, potrebno je da su istovremeno obezbeđeni sledeći uslovi: αωwd≥ k0μ1/rνdεsy,d(0,35AC/AO+0,15)-10εcu (1.6a) ωwd≥ ωwd,min (1.6b) gde je:

ωwd= 0

ydh

cd

fVV f

- mehanički zapreminski koeficijent armiranja uzengijama

Vh - zapremina sloja uzengija na razmaku s V0 - zapremina utegnutog jezgra betona visine s fyd= fyk /γs - projektna granica tečenja čelika (videti 6.16- deo A) fcd= fck /γc - projektna čvrstoća betona (videti 6.16- deo A)

ωwd,min -minimalna dozvoljena vrednost ωwd (= 0,13/0,09/0,05 za DCH/M/L)

dc

b c

a0

b 0

d0

b i

2 1

n=8

a. b.

Slika 1.11 - Mehanizam utezanja betona

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

1-10

νd= Nsd /(ACfcd) - normalizovana proračunska aksijalna sila (νd≤ 0,55/0,65/0,75 za DCH/M/L) μ1/r - zahtevana vrednost CCDF = 13/9/5 za stubove DCH/M/L = q2 za 'samostalne zidove' (q - faktor ponašanja) = 0,8q2 za 'spojene zidove' εsy,d - proračunska vrednost dilatacije zatezanja čelika na granici

tečenja (za RA 400/500, εsy,d ≈ 0,02/γs; γs=1,15) AC= bcdc - ukupna površina preseka betona AO= b0d0 - površina preseka utegnutog jezgra εcu= 0,0035 - nominalna granična dilatacija betona k0 - koeficijent (= 55/60/65 za DCH/M/L) α=αnαs - 'globalna efikasnost utezanja uzengijama'

Za pravougaoni presek, vrednost parametara α iznosi αn= 21 / 6i o

ib A− ∑

αs= (1-s/2b0 )2 bi - rastojanje uzastopnih „pridržanih“ podužnih šipki armature,

slika 1.11.a s - razmak uzengija

Konačno, primer. b0= d0= 40-2(2,5+0,8/2)= 34,2 cm bi= 40-2(2,5+0,8+1,9/2)= 31,4 cm

MB30 prema BAB-u približno odgovara C25/30 po EC2. /5/

Domaći propisi podrazumevaju konstruk-ciju visoke duktilnosti (videti 7.3-deo A). Odgo-vara klasa visoke duktilnosti-DCH prema EC8. DCH → ωwd,min= 0,13

Obezbeđeno ωwd : fyd= fyk /γs= 400/1,15= 342,8 MPa fcd= fck /γc= 25/1,50= 16,67 MPa Vh= 4×34,2×0,5= 68,4 cm3 (RØ8, fu= 0,5 cm2) V0= 34,22×7,5= 8772,3 cm3

ωwd= 68,4 342,88772,3 16,67

= 0,16> ωwd,min= 0,13

Obezbeđeno ωwd veće je od minimalnog, izraz 1.6.b, ali, da li je dovoljno, izraz 1.6.a? AC= 402= 1600 cm2

A0= 34,22= 1169,64 cm2

αn=24 31,41

6 1169,64×

− =×

0,438

αs= 27,5(1 )2 34, 2

− =×

0,793

α= 0,438×0,793= 0,347 Nsd= 1145,5 kN (γ=1,0)

dc=40

b c=40

b 0=34

,2

d0=34,2

4Rφ19

uRφ8/7,5

a0=2,5

bi=31,4 4,34,3

Slika 1.12 - Varijanta utezanja uzengijama

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

1-11

νd= 1145,5/(1600×1,67)= 0,43 < 0,55 (DCH) (Zadovoljeno) DCH → k0= 55; μ1/r= 13 εsy,d= 0,002/1,15= 0,0017 (1.6.a)→ 0,347×ωwd≥ 55×13×0,43×0,0017(0,35×1600/1169,6+0,15)-10×0,0035≥ 0,294 ωwd≥ 0,294/0,347= 0,847> 0,16! (Nedovoljno utezanje!)

Jedna uzengija nije dovoljna. Da bi se povećao broj uzengija, treba promeniti koncept armiranja podužnom armaturom, slika 1.13, Fa= 12,32 cm2, μ= 0,77% - 8RØ14

αn=28 15,71

6 1169,64×

− =×

0,719

αs= 0,793 (s=7,5) α= 0,719×0,793= 0,570 ωwd≥ 0,294/0,57= 0,516> 0,16

Ovo počinje da nervira, može li se povećati prečnik uzengija, na istom razmaku s= 7,5 cm?

ωwd= 2

(4 34,2 4 24,0) 347,816,6734, 2

ufs

× + ×=

× 4,155 fu /s

4,155fu /s≥ 0,516 odnosno, fu /s> 0,124 za s= 7,5 cm → potfu= 0,124×7,5= 0,93 cm2 odgovara: 2URØ12/7,5

Najveći prečnik uzengije ne bi trebalo usvajati veći od Ø12, bar ne kod standardnih preseka ele-menata konstrukcija zgrada. Da bi se smanjio preč-nik, treba povećati broj uzengija, ali i podužnih šipki, slika 1.14! Fa= 13,56 cm2, μ= 0,847%, 12RØ12

(Ø12 je minimalni dozvoljeni prečnik podužne armature stubova)

αn=212 10,471

6 1169,64×

− =×

0,813

αs= 0,793 (s=7,5) α= 0,813×0,793= 0,644 ωwd≥ 0,294/0,644= 0,456> 0,16

ωwd ≈ 2

(8 34, 2 4 10,47) 347,816,6734, 2

ufs

× + ×=

× 5,627fu /s> 0,456

→ fu /s≥ 0,081 za s= 7,5 → fu≥ 0,60 cm2 (> 0,5 cm2; RØ8)

Ima mišljenja da su zahtevi EC8 prestrogi (?), pa se konačno usvaja: 3URØ8/7,5 (do daljeg). Prema EC8, visina hcr „kritične oblasti stuba“ iznosi Hcr= max{1,5dc; lcl /5; 600 mm} = max{1,5×40; 225/5; 60 }= 60 cm gde je lcl - čista visina stuba, između greda/temelja.

1.5.4 Domaći pravilnik Yu81 /1/ podrazumeva da je konstrukcijskim detaljima obezbeđena visoka duktilnost konstrukcije (DCH prema EC8). U konkretnom primeru, rezultat je stub preve-like nosivosti (malo proračunsko seizmičko opterećenje), ali i sa visokim zahtevima za obezbe-

dc=40

b c=40

b 0=34

,2

d0=34,2

b i=34

,2/2

=15,

7 8Rφ14

uRφ/7,5 ~24

Slika 1.13 - Varijanta utezanja uzengijama

dc=40

b c=4012Rφ12

bi=31,4/3=10,47

b i

Slika 1.14 - Varijanta utezanja uzengijama

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

1-12

đenje pretpostavljene duktilnosti (visoki nivo aksijalnog opterećenja). Da li koncept EC8 možda dozvoljava povoljnija rešenja detalja armature?

Za razliku od Yu81, EC8 projektantu nudi tri nivoa projektnog seizmičkog opterećenja, za tri nivoa obezbeđene duktilnosti konstrukcije- DCH/M/L. Viša klasa duktilnosti dozvoljava niži nivo seizmičkog opterećenja, ali su zahtevi za konstruisanje detalja armature strožiji.

U konkretnom primeru, nivo proračunskog opterećenja je nizak, pa je armatura usvojena na osnovu kriterijuma minimalnog procenta armiranja- nosivost preseka stuba i konstrukcije je znatno veća od zahtevane, videti i sl. 1.9. Veća nosivost podrazumeva i nižu potrebnu duk-tilnost, efekat je isti kao da je konstrukcija svesno dimenzionisana za viši nivo opterećenja, odnosno da je usvojena niža klasa duktilnosti. Ako je tako, onda se mogu ublažiti i problemi sa obezbeđenjem zahtevane duktilnosti utezanjem preseka. Možda se nosivost i duktilnost mogu pametnije izbalansirati?

Prema EC8, proračunsko seizmičko opterećenje Fd (analogno S prema Yu81), za kon-strukcije sa periodom oscilovanja TB< T= 0,51 s< TC iznosi, slika 1.7 Fd= Fe /q= αsβ0W/q (1.7) gde je q - „faktor ponašanja“, čija vrednost zavisi od obezbeđene duktilnosti konstrukcije q= q0 kD kR kW (videti 6.5- deo A) Za okvirne konstrukcije q0= 5,0 („osnovna vrednost“), dok je u konkretnom slučaju kR= 1,0 i kw= 1,0 (videti 6.5-deo A) a.) Varijanta DCH- klasa visoke duktilnosti kD= 1,0 → q= 5,0×1,0= 5,0 (α= 0,10; s= 1,0; β0= 2,5) Fd= 0,1×1,0×2,5×4582,3/5,0= 0,05×4582,3= 229,1 kN (= 2×SYu 81) Uticaji u jednom stubu NW= 1145,6 kN Qs= 229,1/4= 57,3 kN Ms= 57,3×2,25= 128,8 kNm

Na osnovu uticaja prema EC8, za dimenzionisanje je usvojen, jednostavnosti radi, BAB- koncept (nije bitno za razumevanje osnovne teme - uticaji zemljotresa).

Nu= 1,0×1145,6= 1145,6 kN (Nw - deluje „povoljno“)

Mu= 1,3×128,8= 167,4 kNm n= 1145,6/4022,05= 0,349 m= 167,4×102/4032,05= 0,127

→ tačka A, Dijagram 1.2 potμ=0,052

potμ= /B vfµ σ = 0,052×20,5/400= 0,0027= 0,27%

Prema EC8, minimalni procenat ar-miranja stubova konstrukcija u seizmi-čkim područjima je minμ= 1,0%.

Odgovara: 8RØ16 (Fa= 16,08 cm2, μ≈1%)

b.) Varijanta DCM- klasa srednje duktilnosti kD= 0,75 → q= 5,0×0,75= 3,75

Fd= 0,1×1,0×2,5×4582,3/3,75= 0,067×4582,3= 307,0kN (= 2,67×SYu 81)

0,171

0,34

9

0,127A

B

Dijagram 1.2 - Dijagram interakcije simetrično armiranog

pravougaonog preseka, a/d=0,1, σv=400MPa

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

1-13

Uticaji u jednom stubu NW= 1145,6 kN Qs= 307,0/4= 76,2 kN Ms= 76,7×2,25= 172,7 kNm

Mu= 1,3×172,7= 224,5 kNm n= 0,349 m= 224,5×102/4032,05= 0,171

→ tačka B, dijagram 1.2 potμ=0,195→ potμ= /B vfµ σ = 0,195×20,5/400= 0,01= 1% Odgovara: 8RØ16 (Fa= 16,08 cm2, μ≈1%)

c.) Varijanta DCL- klasa niske duktilnosti kD= 0,5 → q= 5,0×0,5= 2,5

Fd=0,1×1,0×2,5×4582,3/2,5= 0,1×4582,3= 458,2kN (= 4×SYu 81)

Uticaji u jednom stubu NW= 1145,6 kN Qs= 458,2/4= 114,6 kN Ms= 114,6×2,25= 257,7 kNm

Mu= 1,3×257,7= 335,1 kNm n= 0,349 m= 335,1×102/4032,05= 0,255

→ tačka A, dijagram 1.3. potμ=0,5→ potμ= /B vfµ σ = 0,5×20,5/400= 0,026=2,6 % Odgovara: 12RØ22 (Fa= 45,6 cm2, μ≈2,85%)

Obezbeđenje zahtevane duktilnosti preseka- parametarska analiza

Postupkom prikazanim u delu 1.5.3, sračunata je i na slici 1.15 prikazana zavisnost pot-rebnog mehaničkog procenta utezanja uzengijama ωwd u zavisnosti od nivoa normalizovane aksijalne sile νd= Nsd /(ACfcd) kao i klase duktilnosti konstrukcije, za tri sheme armiranja preseka.

0,34

9

0,255A

Dijagram 1.3 - Dijagram interakcije simetrično armiranog

pravougaonog preseka, a/d=0,1, σv=400MPa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8Normalizovana sila - νd

Zapr

emin

ski p

roce

nat a

rmira

nja

- ωw

d

1

23

1

23

1

23

DCHDCMDCL

0,130,090,050,55 0,65 0,75

0,847

0,43

0,516

0,456

1

2

3

Slika 1.15 - Potrebno ωwd za presek 40/40; C25/30; S400

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

1-14

Za definitivno rešenje detalja armature stuba usvaja se shema armiranja 2 na slici 1.15, kao i nivo seizmičkog opterećenja srednje klase duktilnosti- DCM, slika 1.16. Za νd=1145,6/1600×1,67= 0,43 → pot ωwd=0,37

Prema EC8, maksimalni razmak uzengija u kritičnoj oblasti stuba klase DCM iznosi s= min{b0/3; 150 mm; 7dbL} = min{400/3; 150; 7×16}= 112 mm dok je dužina kritične oblasti lcr= max{1,5dc; lcl /6; 450 mm} = max{1,5×400; 2250/6; 450 }= 600 mm Za shemu armiranja prema sl. 1.16 već je sračunata

potrebna vrednost ωwd ωwd= 4,155fu /s≥ potωwd= 0,37

za URØ12 (fu= 1,13 cm2) → s≤ 12,7 cm za URØ10 (fu= 0,79 cm2) → s≤ 8,9 cm Usvojeno: 2URØ10/9

1.5.5 Pa zar konstrukcija iz ovog primera nije upravo primer 'fleksibilnog sprata' ili 'mekog prizemlja', što EC8 'praktično zabranjuje', videti 5.3- deo A?

Pa jeste, ali u ovom slučaju i nema drugog rešenja da se smanji nivo seizmičkog optere-ćenja, osim putem formiranja upravo mehanizma „fleksibilnog sprata“!

S obzirom da su u pitanju ciklična pomeranja a ne uticaj determinisane statičke sile u

jednom smeru, mehanizam „smicanja sprata“ je dozvoljen, ali treba proveriti efekte „drugog reda“! (videti 6.14- deo A).

Za slučaj konstrukcije klase duktilno-sti DCM prema EC8, prethodni primer: Ptot= W= 4582,3 kN Vtot= Fd= 307,0 kN δ= de= 16 mm H= 2250 mm gde je δ „realno“ spratno pomeranje (vide-ti i 6.19- deo A)

dc=40

b c=408Rφ16

uRφ10/9d bL

Slika 1.16 - Shema armiranja - DCM

δ(t)

Fleksibilni sprat Fleksibilni sprat

Fleksibilni sprat

Fleksibilni sprat

Fleksibilni sprat

Fleksibilni sprat

a. b. c. A. B.

G G

Slika 1.17 - Plastični mehanizmi sa zglobovima na oba kraja svih stubova jednog sprata. Prema EC8, prva tri

slučaja su dozvoljena, ali ne i slučajevi A i B

δ Ptot

Vtot

H

Slika 1.18 - Efekti II reda prema EC8

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

1-15

((6.11)- deo A)→ θ= Ptot× δ/( Vtot×H)= 4582,3×16/(307,0×2250)= 0,11> 0,10

Prema EC8, kada je vrednost „koeficijenta osetljivosti sprata na relativno pomeranje“- θ veća od 0,10, potrebno je u proračun uvesti i efekte drugog reda, uvećanjem proračunskog opterećenja Fd

*> Fd Fd

*= Fd /(1-θ) (0,1< θ≤ 0,2) (1.8) maxθ= 0,3 Fd

*= Fd /(1-0,11)= 1,12Fd=1,12×307,0=345,0 kN Ceo postupak dimenzionisanja konstrukcije trebalo bi ponoviti sa uvećanim seizmičkim

opterećenjem, prema tome ovaj kriterijum treba proveriti na samom početku proračuna.

Na slikama 1.19-1.21 prikazani su pri-

meri efekata zemljotresa na konstrukcije sa fleksibilnim prizemljem/spratom. Fleksibilno prizemlje je slučaj konstrukcija koje u pri-zemlju imaju samo stubove, dok je gornji deo konstrukcije krući, zbog prisustva zidova. Ovakva rešenja tipična su za objekte sa više-strukom namenom - prizemlja su otvorena zbog obezbeđenja poslovnog prostora ili ga-raža, dok su gornji delovi stambeni, sa mno-štvom zidova. Ovakvi slučajevi se mogu rea-lizovati, ali uz pažljiviju analizu, koja preva-zilazi uputstva data u standardnim propisima.

U suprotnom, mogu da nastanu velika oštećenja prizemlja, zbog 'klizanja' gornjeg dela objekta po prizemlju kao 'velikom kliznom ležištu', slika 1.19. Nije redak slučaj da pri povećanim deformacijama-smicanjima prizemlja, dođe do iscrpljenja nosivosti stubova na gravitaciona opterećenje, i da gornji deo objekta zdrobi prizemlje, slika 1.20. Ovaj kata-strofalni efekat može da se javi i na višim spratovima, usled značajno manje krutosti nekog sprata u odnosu na susedne spratove-efekat 'fleksibilnog sprata'. Na slici 1.21 prikazan je slučaj potpunog kolapsa jedne etaže, zdrobljene težinom gornjeg dela objekta.

Slika 1.20-Kolaps konstrukcije usled efekta fleksibilnog prizemlja (Turska 1999)

Slika 1.19-Velika oštećenja konstrukcije usled efekta

fleksibilnog prizemlja (Japan 1995)

Slika 1.21-Kolaps četvrtog sprata usled efekta

fleksibilnog sprata (Japan 1995)

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

1-16

1.5.6 A šta je sa „konceptom programiranog ponašanja“ prema EC8? Ovaj koncept (videti 5.4- deo A) u konkretnom primeru nije ni primenjen, jer pravilnik

Yu81 /1/ to ne zahteva. U konkretnom slučaju, koncept programiranog ponašanja prema EC8 obuhvata sledeće (samo za klase duktilnosi konstrukcija DCM i DCH!):

a) definisanje plastičnog mehanizma konstrukcije i položaja plastičnih zglobova; Ovaj zahtev je implicitno ispunjen, jer u ovom slučaju i nije bilo dileme, plastični zglobovi su u uklještenju stubova;

b) dimenzionisanje nosivosti plastičnih zglobova na proračunski momente savijanja dobijene na osnovu seizmičkog opterećenja definisanog propisima;

Pa to smo i uradili, presek u uklještenju je dimenzionisan na savijanje prema seizmičkom opterećenju, čiji je intenzitet određen prema pravilniku Yu81.

c) usvajanje detalja armature plastičnih zglobova, broja i rasporeda šipki podužne armature stuba, uz obezbeđenje potrebne duktilnosti utezanjem uzengijama;

I to je urađeno, pri čemu je u nekim varijantama usvojena armatura veća od računski potrebne, videti primer na sl. 1.9.

d) proračun realnih momenata savijanja plastičnih zglobova pri pomeranjima usled zemljotresa-proračun „kapaciteta nosivosti“ plastičnih zglobova na savijanje na osnovu stvarno angažovane armature preseka;

Tako nešto je i urađeno, ali kasnije, u delu 1.5.1 i drugim povodom. Tom prilikom konstatovano je sledeće:

Proračunsko ukupno seizmičko opterećenje prema Yu81 iznosi S= 114,6 kN, a proračunski moment savijanja odnosno transverzalna sila jednog stuba iznose Ms= 64,5 kNm odnosno Qs= 28,6 kN; Moment nosivosti preseka b/d= 40/40 (MB 30), armiranog sa 4RØ19 (μ= 0,71%, σv= 400 MPa) pri aksijalnoj sili pritiska od Nu= Nw= 1145,6 kN iznosi Mu= 217,1 kNm> γMs= 1,3×64,5= 83,8 kNm, slika 1.8.

e) proračun „realnih“ transverzalnih sila stubova koje će se indukovati pri dostizanju kapaciteta nosivosti na savijanje plastičnih zglobova. To nije urađeno.

Ukupno indukovano seizmičko opterećenje pri pome-ranjima usled zemljotresa iznosi FCD= 386,5 kN, a tran-sverzalna sila jednog stuba Qu= 96,6 kN (deo 1.5.1).

Prema EC8, vrednost transverzalne sile stuba, stačunatu uz pretpostavku dostizanja kapaciteta nosivosti plastičnih zglobova na oba kraja stuba, treba pomnožiti faktorom γRd (=1,35 za DCH odnosno =1,20 za DCM) koji može da se shvati kao dodatni faktor sigurnosti od loma preseka stuba.

Proračunska vrednost transverzalne sile stuba iznosi (slika 1.22) QCD= γRd(MBU+MAU)/lCL (1.9) gde su MBU i MAU momenti nosivosti krajeva stuba.

U konkretnom slučaju, uz pretpostavku klase visoke duk-tilnosti, korigovana proračunska transverzalna sila stuba iznosi QCD= γRd×Qu= 1,35×96,6= 130,4 kN. Sa ovom vrednošću transverzalne sile treba proveriti nosivost preseka stuba.

f) sve elemente konstrukcije, „priključene“ na plastične zglobove, treba dimenzionisati na uticaje koje se u konstrukciji javljaju pri dostizanju kapaciteta nosivosti na savijanje plastičnih zglobova.

l Cl

MAu

MBu QCd

QCd

Nu

A

B

Slika 1.22 - Računska

transverzalna sila stuba

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

1-17

U konkretnom slučaju, temelj konstrukcije treba dimenzionisati na moment nosivosti plastičnog zgloba Mu= 217,7 kNm i odgovarajuću transverzalnu silu Qu= 96,6 kN, slika 1.23.

Treba uočiti bitnu razliku u odnosu na veličinu uticaja na koje bi se temelj dimen-zionisao prema konceptu Yu81. Prema Yu81, moment u uklještenju stuba iznosi Ms= 64,5 kNm, a transverzalna sila Qs= 28,6 kN, što su 3,37 puta manji uticaji, za stub prema slici 1.6.

Na slici 1.24 prikazan je slučaj preturanja objekta zbog popuštanja temelja. Ovakav slučaj

može da se pojavi kada je nosivost konstrukcije veća od nosivosti temelja, pa nema uslova da se 'plastični zglobovi' pojave u konstrukciji, već se oni sele u temelje kao najslabiju kariku. Do preturanja dolazi ili zbog velikih deformacija tla, ili usled sloma tla ili usled izvlačenja zategnutih šipova koji ne mogu da prihvate indukovana aksijalna opterećenja.

1.5.7 Ima li još nešto što nedostaje Yu81 u odnosu na EC8, u konkretnom slučaju? Ima. Prema EC8, i u ovom slučaju bi morao da se uzme u obzir uticaj „slučajnih

torzionih efekata“, jer nema idealno simetričnih konstrukcija. Rezultat bi bio za približno 30% veći momenti savijanja stubova.

I to nije sve! Trebalo bi u obzir uzeti i istovremeno dejstvo zemljotresa u dva ortogonalna pravca, što za posledicu ima koso savijanje stubova (videti 6.12- deo A).

Oba zahteva nisu bitna za razumevanje odgovora betonskih konstrukcija na zemljotres, pa se neće ovom prilikom ni izlagati.

Slika 1.24 - Preturanje objekta usled popuštanja temelja

H

NW=1145,6 kN

δ=16mm

Mu=217,1 kNmQu=296,6 kN

Mt

Qt

Slika 1.23 - Računski uticaji na temelj

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-1

PRIMER 2

Da bi se ilustrovali problemi i postupak analize složenijih okvirnih konstrukcija prema

YU81, izabran je primer simetrične sedmoetažne okvirne konstrukcije, sa nejednakim rasponima greda.

U uvodnom delu izloženi su osnovni pojmovi u vezi računskog modeliranja ove složene prostorne konstrukcije. Rezultat kvalitativne analize očekivanog ponašanja konstrukcijskog sistema pri dejstvu zemljotresa je da se problem može pojednostaviti, i svesti na razmatranje i proračun samo jednog od okvira sa pripadajućim delom ukupnog opterećenja objekta.

U okviru primera prikazana je kompletna statička analiza jednog okvira prema YU81, koja se ne može izvesti bez primene računara, pa se od studenata i ne očekuje da mogu da reše i ovakve primere na ispitu.

Nakon određivanja veličine uticaja u presecima, dimenzionisanje granične nosivosti preseka greda i stubova se prema YU81 vrši kao za bilo koje drugo opterećenje, vodeći računa samo o specifičnim konstrukcijskim zahtevima u vezi armiranja.

U nastavku primera, u delu "Pitanja i odgovori", ilustrovan je koncept dozvoljenih pomeranja kao i proračuna efekata drugog reda prema EC8.

Svakako najznačajniji deo za razumevanje ponašanja armiranobetonskih konstrukcija pri zemljotresu obuhvaćen je analizama i komentarima koji se odnose na obezbeđenje formiranja željenog plastičnog mehanizma konstrukcije, kao i obezbeđenje programiranog ponašanja konstrukcije prema EC8. Obim analiza prilagođen je nivou ovoga kursa, i treba samo da ilustruje suštinu kao i da ukaže na razlike koncepta YU81 i EC8: da problem aseizmičkog projektovanja nije uobičajeno određivanje granične nosivosti preseka, već da projektant treba da ima jasan koncept, kao i da obezbedi uslove za formiranje plastičnog mehanizma konstrukcije u celini, sposobne da pouzdano izdrži predviđena pomeranja pri dejstvu zemljotresa.

Analizirani primer je karakterističan po tome što računski efekti zemljotresa nisu dovoljno izraženi u odnosu na uticaje gravitacionih opterećenja, pa relativno jednostavni koncept obezbeđenja plastičnog mehanizma konstrukcije u ovakvim slučajevima i nije tako jednostavno realizovati.

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-2

PRIMER 2 Za AB konstrukciju poslovnog objekta uraditi odgovarajuće analize i dimenzionisati

jednu karakterističnu gredu i stub.

Gabarit objekta u osnovi je 20×20 m. Objekat ima sedam etaža spratne visine h= 2,80 m. Svi stubovi su konstantnog kvadratnog preseka 40/40. Dimenzije greda u podužnom, X- pravcu su 30/60, a u poprečnom, Y- pravcu 30/50. Debljina ploče dp= 15 cm.

Objekat se nalazi u IX zoni seizmičkog intenziteta. U odnosu na zemljotres, dejstvo vetra je zanemarljivo.

Konstrukcija je plitko fundirana, tlo III kategorije. Za težinu pregradnih zidova, podova i instalacija usvojiti 2,50 kN/m2, korisno

opterećenje 2,0 kN/m2, a težina staklene fasade je 1,0 kN/m2 fasade. Za ukupnu težinu krovne ploče usvojiti težinu tipske tavanice. Sve proračune i konstruisanja uraditi prema domaćim pravilnicima /1/ i /2/.

2.1 KONCEPT KONSTRUKCIJE I ANALIZE Konstrukcija objekta je okvirna („ramovska“) u

oba ortogonalna glavna pravca. Konstrukcija je si-metrična, tako da se centar krutosti nalazi u težištu osnove, i ne menja se po visini.

Za poslovne objekte kancelarijskog tipa (p= 2,0 kN/m2) analiza se obično vrši za slučaj korisnog opterećenja prisutnog na celoj osnovi sprata. Uz pretpostavku da je i dodatno stalno opterećenje (pregradni zidovi...) takođe uniformno po osnovi, tada se centar masa svih spratova nalazi u težištu osnove, i poklapa se sa centrom krutosti. Prema Yu81 /1/, efekti torzije u osnovi se mogu zanemariti.

Osnova8,0 4,0 8,0

20,0 m

5x4,

0=20

,0 m

30

X

Y

A B C D1

2

3

4

5

6

30/5

0

30/5

0

30/5

0

30/5

0

30/60

30/60

30/60

40/40

30/60

30/603030/60

Pos100

7x2,

80=1

9,6

m6050 15

Presek8,0 4,0 8,0A B C D

20,0 m

7x2,

80=1

9,6

m

I

II

III

IV

V

VI

VII

4040 6050 15

30

0,00

+19,60

Slika 2.1 - Dispozicija konstrukcije

'Plastični zglobovi'

Slika 2.2 - 'Idealan' plastični mehanizam

konstrukcije

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-3

Konstrukcija je regularna u osnovi i po visini, pa analiza dejstva zemljotresa može da se izvrši „metodom ekvivalentnog statičkog opterećenja“. Za dejstvo zemljotresa se pretpo-stavlja da deluje ili u pravcu podužne, X- ose, ili u pravcu poprečne, Y- ose.

Za konstrukcije tavanica se pretpostavlja da su dovoljno krute u svojoj ravni, tako da se za dinamički model konstrukcije može usvojiti konzola sa sedam masa koncentrisanih u nivou tavanica. Zanemarujući vertikalna pomeranja i rotacije masa, dinamički model ima sedam stepeni slobode- horizontalnih pomeranja spratova.

Konstrukcijskim merama poželjno je obezbediti da se pri dejstvu zemljotresa „plastični mehanizam konstrukcije“ oformi pojavom plastičnih zglobova samo u gredama i uklještenju stubova, slika 2.2. U svakom slučaju, pojava „fleksibilnog sprata“ nije dozvoljena.

2.2 PRORAČUNSKI MODEL KONSTRUKCIJE Prostornu AB konstrukciju formiraju ploče, grede, stubovi i temelji. Proračunski model

konstrukcije zavisi od geometrijskih karakteristika konstrukcije (dispozicije i krutosti elemenata konstrukcije), karaktera i rasporeda opterećenja kao i od cilja analize.

Za složene konstrukcije često se formira-ju dva nezavisna proračunska modela: - komletniji i tačniji statički model, za analizu uticaja gravitacionih opterećenja, uticaja vetra... - pojednostavljeni dinamički model, za prora-čun seizmičkog opterećenja, čiji se efekti po-tom analiziraju na tačnijem statičkom mode-lu, uz kombinovanje sa uticajima usled drugih opterećenja.

Kao jednostavni, a za proračune uticaja zemljotresa dovoljno tačni dinamički modeli najčešće se koriste tzv. kvazi-trodimenzio-nalni modeli. U konkretnom slučaju okvirne konstrukcije, prostorna krutost i stabilnost na horizonstalna dejstva obezbeđena je sa 6 okvira (u osama 1-6) u podužnom, X- pravcu, i 4 okvira (u osama A-C) u poprečnom, Y- pravcu.

Ako se pretpostavi da svaki okvir prima horizontalne uticaje samo u svojoj ravni („dvodimenzionalna“ konstrukcija), kvazi-trodimenzionalan model konstrukcije sastoji

se od ravanskih okvira složenih u osnovi i povezanih u nivou svakog sprata krutom tava-nicom, slika 2.4.

Ako se pri analizi horizontalnih dejstava mogu zanemariti efekti torzije u osnovi (kao u ovom primeru), model se može još pojednostaviti, slika 2.5.

U ovom primeru biće prikazana samo analiza dejstva zemljotresa u podužnom, X- pravcu, slika 2.5.a.

S obzirom da svi podužni okviri (R1-R6, slika 2.5.a.) zbog efekta krute tavanice imaju ista horizontalna pomeranja u nivou jedne tavanice, model sa slike 2.5.a. može da se interpretira kao povezani niz okvira u ravni, slika 2.6. Pri istim pomeranjima δ, nivo seizmičkog opterećenja Si okvira i, proporcionalan je krutosti na pomeranje ki okvira i.

G,PV,S

G,PG,P

a. b.

c.d. Slika 2.3 - Proračunski modeli: a) kompletan

trodimenzionalan model konstrukcije, metoda konačnih elemenata (program TOWER- „Radimpex“ Beograd /6/.); b) podkonstrukcija okvira u osi 4 za analizu uti-caja gravitacionih i seizmičkih dejstava; c) „spratni

model“ sa modeliranjem i krutosti stubova;d.) „lokalni model“- za proračun grede okvira;

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-4

Osnova

X

Y

A B C D1

2

3

4

5

6

Kruta

tavan

ica

Ram 1

Ram 2

Ram 3

Ram 4

Ram 5

Ram 6

Ram

A

Ram

B

Ram

C

Ram

D

A B C D

3 4 61 2 5

X - Okviri(ramovi)

Ram1-Ram6

Y - Okviri(ramovi)

RamA-RamD

a.

b.

c.

M

S

Slika 2.4 - Kvazi-trodimenzionalni dinamički model konstrukcije

X

Y

1

2

3

4

5

6

Kruta

tavan

ica

Ram 1

Ram 2

Ram 3

Ram 4

Ram 5

Ram 6

a.

X

Y

A B C D

Kruta

tavan

ica

Ram

A

Ram

B

Ram

C

Ram

DX-zemljotres Y

-zem

ljotre

s

δx

δ y

b.

Slika 2.5 - Proračunski modeli simetrične konstrukcije sa zanemarljivim efektima torzije (centar mase i centar krutosti se poklapaju). Dejstvo zemljotresa izaziva samo pomeranje u jednom pravcu- translaciju δx , odnosno δy

Ram1 Ram2 Ram3 Ram4 Ram5 Ram6

Kruti štapovi-efekatkrute tavanice

S

S2 S3S1 S4 S5 S6

δVII

δIV

Slika 2.6 - Niz okvira u ravni za analizu uticaja zemljotresa u X-pravcu

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-5

U konkretnom primeru, krutost „unutrašnjih okvira“ R2-R5 principijelno se razlikuje od krutosti „fasadnih okvira“ R1 i R6: zbog različite krutosti greda (nije ista aktivna širina ploče Г i T - preseka), kao i realne krutosti stubova (presek jeste isti 40/40, ali aksijalno opterećenje i količina armature nisu isti).

Principijelno, proračunska krutost greda i stubova za analizu dejstava gravitacionih opterećenja odnosno zemljotresa se razlikuje. Pri zemljotresu se dopuštaju veće rotacije, krivine i prsline preseka, pa je i krutost elemenata niža.

U ovom primeru, za krutost svih greda usvojena je krutost samo pravougaonog rebra 30/60, dok je za krutost svih stubova usvojena krutost bruto betonskog preseka 40/40.

Pri modeliranju krutosti elemenata, treba imati u vidu dva sledeća efekta: - veća krutost za posledicu ima viši nivo seizmičkog opterećenja (ali dimenzije preseka i količina armature mogu da pređu prihvatljivu meru), i niža računska pomeranja pri zemljotresu. Nerealno usvojena visoka proračunska krutost može za posledicu da ima zabludu o zadovoljenju kriterijuma dozvoljenih pomeranja, i nedozvoljena oštećenja pregradnih zidova i fasada pri zemljotresu; - nerealno procenjen odnos krutosti pojedinih elemenata i delova konstrukcije, za posledicu ima nerealnu preraspodelu računskih uticaja, a kod prostornih modela i nerealne torzione efekte, jer se menja položaj centra krutosti.

S obzirom da je isvojeno da svi okviri imaju istu krutost, za definitivni dinamički model konstrukcije može da se usvoji jedan okvir ( u osi 4, na primer) sa pripadajućom masom u iznosu od 1/6 ukupne mase objekta. Na istom modelu izvršiće se i analiza gravitacionih uticaja.

2.3. ANALIZA GRAVITACIONIH OPTEREĆENJA Stalno opterećenje tavanice

Sopstvena težina ploče (dp= 25cm) 0,15×25 = 3,75 kN/m2 Dodatno stalno opt. (pregrade, podovi...) = 2,5 kN/m2 g= 6,25 kN/m2 Korisno opterećenje tavanice p= 2,50 kN/m2

Opterećenje tipske grede okvira R4 u X-pravcu određeno je prema „pripadajućim površinama“, slika 2.7.a-osnova, i slika 2.7.b-presek.

Pripadajuće površine F1= 0,5(8,0+4.85)2= 12,85 m2 F2= 0,5×4,0×2,0= 4,0 m2 F3= 0,5×4,0×1,15= 2,3 m2 ↑(= 2,0 / tg600) Raspon A-B (C-D) - stalno sa ploče 6,25×2F1/8,0= 6,25×2×12,85/8,0= 20,1 kN/m’ Sopstvena težina grede ≈ 0,30×0,60×25 = 4,5 kN/m’ g1= 24,6 kN/m’ - korisno sa ploče 2,0×2F1×/8,0= 2,0×2×12,85/8,0=

p1= 6,4 kN/m’

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-6

Raspon B-C - stalno sa ploče

6,25×2F2/4,0= 6,25×2×4,0/4,0 =12,5 kN/m’

- sopstvena težina grede = 4,5 kN/m’

g2= 17,0 kN/m’ - korisno sa ploče

2,0×2F2×/4,0=2,0×2×4,0/4,0 p2= 4,0 kN/m’ Koncentrisane reakcije greda ok-

vira iz poprečnog, Y- pravca: Osa A - stalno sa ploče

6,25×F3= 6,25×2,30=14,4 kN - sopstvena težina grede iz Y- pravca

≈ 0,30×0,50×25×4,0 = 15,0 kN - težina stuba

0,402×2,8×25,0 = 11,2 kN - pripadajuća težina fasade

1,0×4,0×2,8 = 11,2 kN GA= 51,8 kN (= GD )

- korisno sa ploče 2,0×F3= 2,0×2,30

PA= 4,6 kN (= PD ) Osa B - stalno sa ploče

6,25×2F2=6,25×2×4,0=50,0 kN - sopstvena težina grede iz Y- pravca + stub = 26,2 kN

GA= 76,2 kN (= GC ) - korisno sa ploče 2,0×2F2= 2,0×2×4,0 PB= 16,0 kN (= PC ) Ukupna težina tipskog sprata Ploča 0,15×25×20×20 = 1500 kN Grede u X- pravcu 6×0,30(0,60-0,15)25×20 = 405 kN

Grede u Y- pravcu 4×0,30(0,50-0,15)25×20 = 210 kN

Dodatno stalno (zidovi, podovi..) 2,5×20×20 = 1000 kN

Težina stubova 6×4×0,42×25×2,8 = 268,8 kN

Fasada 4×20×2,8×1,0 = 224 kN G= 3607,8 kN prosečno g = 3607,8/(20×20)= 9,0 kN/m2

8,0 4,0 8,0

20,0 m

5x4,

0=20

,0 m

X

Y

A B C D1

2

3

4

5

6

2,02,0

4,851,15

2,0

2,0600 450

F1

F1

F2

F2

F2 F2F2

F2F2 F2

F3

F3

a.

Presek8,0 4,0 8,0A B C D

20,0 m

I

II

0,00

(G,P)A (G,P)B (G,P)C (G,P)Dg1,p1 g1,p2

g1,p1

b.

Slika 2.7 - Analiza opterećenja tipske grede u osi 4

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-7

Korisno 2,0×20×20 P= 800 kN Za analizu dejstva zemljotresa usvojeno G+P/2= 3607,8+800/2= 4007,8 kN/spratu Ukupna težina objekta za analizu dejstva zemljotresa

W≈7×4007,8= 28055 kN

2.4. ANALIZA SEIZMIČKOG OPTEREĆENJA (okvir R4) Pripadajuća težina jednog okvira Wi= (G+P/2)/6= 4007,8/6= 668,0 kN/spratu Proračun osnovnog perioda oscilovanja okvira R4

2 wT d dw- pomeranje vrha [m] usled gravi-

tacionih opterećenja usmerenih u horizon-talnom pravcu (videti 5.2- deo A)

Usvojeno MB 40; Eb= 3,4×107 kN/m2 Proračun pomeranja dw vrha kon-

strukcije izvršen je programom SAN /7/ dw= 0,275 m

2 0, 275T = 1,05 s Ukupno seizmičko opterećenje okvi-

ra R4 : S= K×W

W= 7×Wi= 7×668,0= 4676 kN - ukupna težina (sedam spratova) K= k0 ks kp kd - ukupni seizmički koeficijent

k0= 1,0 - „koeficijent kategorije objekta“ (II kategorija) ks= 0,10 - „koeficijent seizmičkog intenziteta“ (IX zona) kp= 1,0 - „koeficijen „duktiliteta“ (savremena AB konstrukcija) kd= 0.9/T -„koeficijent dinamičnosti“ (III kategorija tla)

kd= 0,9/1,05= 0,86< 1,0 K= 1,0×0,10×1,0×0,86= 0,086 (> minK= 0,02) S= 0,086×4676= 402,1 kN

S obzirom da objekat ima više od pet etaža, prema Yu81 /1/ 85% ukupnog opterećenja S raspoređuje se po tavanicama prema relaciji

7

1

i ii

j jj

W ZS S

W Z=

×=

×∑ (videti 5.2- deo A)

dok se 15% S postavlja na nivo poslednje tavanice. 0,85S= 0,85×402,1= 341,7 kN 0,15S= 0,15×402,1= 60,4 kN Proračun opterećenja dat je u Tabeli 2.1, dok je raspodela seizmičkog opterećenja po

visini objekta prikazana na slici 2.9.

A B C D

Wi=668 kNmi

7x2,

8=19

,6 m

dW

b.

Wi

Z i

mi

dW

a.

Slika 2.8 - Proračun osnovnog perioda oscilovanja T

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-8

2.5 STATIČKI PRORAČUN OKVIRA R4 Statički proračun za uticaje gravitacionih opterećenja (prema shemi na slici 2.7), odnosno

uticaja zemljotresa (prema shemi na slici 2.9) urađena je programom SAN /7/. Na slikama 2.10-2.12 prikazani su karakteristični rezultati statičkog proračuna. Normalne

sile stubova su ukupne sile, obuhvataju uticaje gravitacionog opterećenja iz oba pravca, videti sliku 2.7.

Z i

A B C D

85,4

mi

7x2,

8=19

,6 m

b.

60,4

73,2

61,0

48,8

36,6

24,4

12,21

2

3

4

5

6

7

Slika 2.9 - Raspodela ukupnog seizmičkog opterećenja

M-stalno (g)

N-stalno (g)

M-korisno (p)

N-korisno (p)

a.

b.

d.

e.

Slika 2.10 - Uticaji usled gravitacionih opterećenja

Tabela 2.1

Nivo Zi Wi WiZi

m kN kNm

7 19.6 668 13092.8 85.46 16.8 668 11222.4 73.25 14.0 668 9352.0 61.04 11.2 668 7481.6 48.83 8.4 668 5611.2 36.62 5.6 668 3740.8 24.41 2.8 668 1870.4 12.2

52371.2 (Σ=341.6 kN)

∑ ××

jj

ii

ZWZWS85,0

=∑ × jj ZW

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-9

a. b.

c.

M-seizmika x (Sx)

Q-seizmika x (Sx)

N-seizmika x (Sx)

d. dx-seizmika x (Sx) Slika 2.11 - Uticaji usled zemljotresa

N-stalno (g)

Q-stalno (g)

N-korisno (p)

Q-korisno (p)

b.

c.

e.

f.

Slika 2.10 nastavak - Uticaji usled gravitacionih opterećenja

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-10

2.6. KONTROLA 'POMERANJA' PRI ZEMLJOTRESU Konstrukcija objekta mora da poseduje dovoljnu krutost kako bi se ograničila pomeranja

pri zemljotresu. Prema Yu81, pomeranje vrha konstrukcije usled projektnog opterećenja S treba da je

manje od H/600 (H-visina objekta), videti 7.3- deo A i sliku 7.5. Prema sl. 2.11.d, pomeranje vrha konstrukcije iznosi δ= (dx )= 31,3 mm < H/600= 1960/600= 32,7 mm (zadovoljeno)

2.7 KONTROLA AKSIJALNOG OPTEREĆENJA STUBOVA Prema članu 61 pravilnika Yu81 /1/, zbog obezbeđenja zahtevane duktilnosti preseka,

ograničava se iznos aksijalnog naprezanja stubova usled gravitacionog opterećenja σ0 /βB≤ 0,35 gde je σ0= N/F; βB= 0,7 βk

Prema sl. 2.10.b: maxNg= 1464 kN (stub u osi B, prizemlje) Prema sl. 2.10.e: maxNp= 347 kN (stub u osi B, prizemlje)

N= Ng+ Np= 1464+347=1811 kN MB 40→ βB= 0,70×40= 28 MPa σ0=1811/402= 1,13 kN/cm2= 11,3 MPa

σ0 /βB= 11,3/28= 0,40> 0,35 U svim ostalim presecima ovaj kriterijum je zadovoljen. Problem „nedovoljne duktil-

nosti“ centralnih stubova u prizemlju može da se reši ili povećanjem marke betona ( MB45 odgovara), ili, što je bolje, povećanjem preseka stuba (odgovara b/d= 45/45, σ0 /βB= 0,32< 0,35)

Za prizemlje u osama B,C usvojeno: b/d= 45/45 MB40

b.

a.

c.

Slika 2.12 - Momenti savijanja usledkombinacije dejstava:

a.) stalno x 1,6 + korisno x 1,8b.) stalno x 1,3 + 1/2 korisno x 1,3 + seizmika x 1,3c.) stalno x 1,3 + 1/2 korisno x 1,3 - seizmika x 1,3

g+p g+p/2+Sx

-Sx

g+p/2

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-11

2.8 DIMENZIONISANJE GREDE OKVIRA NA SAVIJANJE Za ilustraciju je izabrana greda druge tavanice, na nivou z= 5,6m. Dijagrami uticaja usled

kombinacija dejstava prikazani su na slikama 2.13 i 2.14.

Prema Yu81, preseci grede se dimenzionišu uobičajenim postupcima, za merodavnu kombinaciju opterećenja. S obzirom da je lom preseka greda obično sa dilatacijama čelika ve-

g+p/2+Sx

g+p

a.

b.

g+p/2-Sx

d.

A B C D

Anvelopa momenata Mu

c.

Slika 2.13 - Okvir R4 u osi 4, greda druge tavanice na koti +5,60, momenti usled kombinacija dejstava:

a.) Stalno x 1,6 + korisno x 1,8 b.) Stalno x 1,3 + ½ korisno x 1,3 + zemljotres x 1,3 c.) Stalno x 1,3 + ½ korisno x 1,3 - zemljotres x 1,3 d.) Anvelopa graničnih momenata savijanja za kombinacije a-b-c.

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-12

ćim od 3‰, kao i da su obično normalne sile greda male, anvelopa momenata savijanja za nepovoljan uticaj stalnog opterćenja (γg= 1,6; γp= 1,8), odnosno alternativnog dejstva zemljo-tresa (γ= 1,3 za sva opterećenja) je indikator potreba za podužnom armaturom (ili „linija zatežućih sila“)

Na slici 2.15 prikazan je dijagram potrebne podužne armature grede, određen modulom za automatsko dimenzionisanje programa SAN /7/, prema Yu81 i BAB- u. Osim kratke donje

g+p

a.

g+p/2+Sx

b.

g+p/2

c.

Anvelopa transverzalnih sila Qu

A B C D

d.

-Sx

Slika 2.14 - Okvir R4 u osi 4, greda druge tavanice na koti +5,60,transverzalne sile usled kombinacija

dejstava: a.) Stalno x 1,6 + korisno x 1,8 b.) Stalno x 1,3 + ½ korisno x 1,3 + zemljotres x 1,3 c.) Stalno x 1,3 + ½ korisno x 1,3 - zemljotres x 1,3 d.) Anvelopa graničnih transverzalnih sila za kombinacije a-b-c.

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-13

zone u rasponu A-B, merodavni su uticaji kombinacije opterećenja sa zemljotresom (crtkaste linije).

Usvojena armatura (debela puna linija) 8RØ19 nad osloncima-stubovima u osama A i B, odnosno 4RØ19 (2RØ19) u polju formalno zadovoljava zahteve Yu81 i BAB-a:

- minimalni procenat armiranja greda je 0,2%; - za maksimalni procenat armiranja usvojeno je 1,6% (BAB i Yu81 ne definišu ovu vrednost); - pritisnuta armatura u zoni oslonca grede mora biti najmanje jednaka 50% zategnute armature u istom preseku(μ’ ≥ 0,5μ), radi obezbeđenja zahtevane duktilnosti preseka greda u zoni potencijalnih plastičnih zglobova - uz stubove.

Usvojena armatura grede prema sl. 2.15 određena je uobičajenim postupkom - na osnovu obezbeđenja nosivosti preseka za proračunske kombinacije opterećenja i naprezanja. Anve-lopa potrebne armature može da se „pokrije“ na različite načine ali, da li pri tome treba voditi računa i o obezbeđenju uslova za formiranje optimalnih plastičnih zglobova odnosno plastič-nog mehanizma konstrukcije? Treba, naravno, ali koncept i zahtevi pravilnika Yu81 /1/ su ne-potpuni, tako da se u praksi o tome jednostavno uglavnom ne razmišlja. Načelni zahtevi članova 56-58 Yu81, da se plastični zglobovi moraju „projektovati“ (znači svesno predvideti) na krajevima greda u praksi se ne proveravaju. Iako deluje korektno, ni koncept armiranja grede na sl. 2.15 (donja armatura) nije usaglašen sa navedenim načelnim stavovima.

2.9 OSIGURANJE GREDE OD TRANSVERZALNIH SILA Na sl. 2.14 prikazana je anvelopa graničnih vrednosti transverzalnih sila grede.

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Arm

atur

a Fa

(cm

2 )

A B

Komb: b,c

Komb: aKom

b: b,c

Komb:

aKomb: a

Komb:

b,c

Komb: b,c

g+p

g+p/2+Sx

A B C D

+5,60

8Rφ19(22,64 cm2; 1,26 %)

8Rφ19(22,64 cm2; 1,26 %)

4Rφ19(11,32 cm2; 0,63 %;

50% Fa nad osloncima)

2Rφ19(0,31 %)

4Rφ19(0,63 %)

4Rφ19(0,63 %)

L (m)

Slika 2.15 - Anvelopa računski potrebne, i usvojene podužne armature preseka grede na koti +5,60

okvira R4 u osi 4 (b/d = 30/60)

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-14

maxQu= 204,6 kN - oslonac u osama B,C b/d= 30/60; a ≈ 4,5 cm → h ≈ 60-4,5= 55,5 cm

MB 40; τr= 1,3 MPa τn=Qu /(bz)= 204,6/(30×0,9×55,5)= 0,137kN/cm2 = 1,37 MPa ≈ τr= 1,3 MPa Usvaja se minimalni procenat armiranja uzengijama. Prema BAB-u, član 94, minimalni

procenat armiranja uzengijama iznosi

min 100 0,2%uu

mfbs

µ = ≥

Za dvosečne uzengije (m=2) RØ8 (fu= 0,5 cm2), na razmaku s =15 cm μu=2×0,5×100/(30×15)= 0,22%> 0,2%

Komentar: Uobičajeno je u praksi da se osiguranje od transverzalnih sila i u slučaju kada je zemljotres merodavna kombinacija opterećenja vrši u svemu prema BAB-u. To znači da se u slučajevima kada je

τr<τn<3τr deo „sile smicanja“ poverava betonu, a deo armaturi. Prema članu 60 Yu81, maksimalni raz-mak uzengija greda iznosi maxs = 20 cm, dok se u zoni oslonaca, na dužini 0,2l razmak dvo-struko smanjuje. Na slici 2.16 prikazano je rešenje armiranja uzengijama koje zadovoljava sve navedene zahteve. Na dužini 0,2l uzengije su preklopljene po kraćoj strani preseka, prema članu 60 Yu81, mada je pitanje da li je to neophodno, s obzirom da se uzengije sidre u zoni ploče, pa je mala verovatnoća da se mogu 'otvoriti', kao u slučaju stubova.

Kako protumačiti član 63 Yu81: „Ako su u pitanju objekti visokogradnje kod kojih se analiza sistema konstrukcije vrši dinamičkim postupkom, granična poprečna sila u plastičnim zglobovima pokriva se isključivo poprečnom armaturom“ (zanemaruje se udeo nosivosti betona i u oblasti τr<τn<3τr )? U ovom primeru nije izvršena analiza „dinamičkim postup-kom“ (šta god da je to), pa deluje kao da je ovaj zahtev formalno zadovoljen. Ali otkuda ideja da se zanemari nosivost betona, jer zemljotres izaziva šta izaziva, bez obzira na vrstu računske analize?

Danas preovladava stav, da u slučaju konstrukcija visoke zahtevane duktilnosti (DCH-M prema EC8), nosivost botona u prijemu transverzalnih sila treba zanemariti u kritičnim

Detalj

B

0,2 x4,0 = 0,800,2 x8,0 = 1,60

8,0 4,0

40

60

2,516x10=160

uRφ8/10uRφ8/152,5

8x10=80uRφ8/10 uRφ8/15

'Uzengijapreklopljena po

kraćoj strani'

Slika 2.16 - Shema armiranja grede uzengijama

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-15

oblastima greda. Nivo seizmičkog opterećenja prema Yu81 podrazumeva visoku ostvarenu duktilnost, tako da bi bilo bolje kompletnu transverzalnu silu poveriti armaturi:

mfuσvz/s ≥ Qu Usvojena armatura URØ8/10 na dužini 0,2l u konkretnom slučaju skoro da zadovoljava i

ovaj uslov, slučajno 2×0,5×40×0,9×55,5/10=199,8 kN ≈ Qu=204,6 kN (3% razlika)

2.10 DIMENZIONISANJE STUBA NA SAVIJANJE Dimenzionisanje preseka stubova okvira vrši se u svemu prema BAB-u, videti i Primer 1.

Za ilustraciju primene dijagrama interakcije /3/ i programa tipa Microsoft-Excel, izabran je donji presek stuba druge etaže u osi B.

Vrednosti uticaja M,N u tabeli očitane su sa dijagrama, sl. 2.10 i sl. 2.11. Za shemu armiranja preseka stuba usvojen je presek ravnomerno armiran po obimu, zbog

mogućeg dejstva zemljotresa iz oba ortogonalna pravca. Za dimenzionisanje preseka stuba usvojeno je 8 kombinacija uticaja, uzimajući u obzir

povoljno/nepovoljno dejstvo stalnog opterećenja. Često je jednostavnije (pogotovu u slučajevima kosog savijanja) da se, zbog velikog broja

kombinacija uticaja, primena dijagrama interakcija automatizuje.

Slika 2.17 - Formular za dimenzionisanje preseka stuba programom tipa Excel

Stub S4B

Širina preseka b(cm)= 40 fB (MPa) = 25.5Visina preseka d(cm)= 40 σ02 (MPa) = 400

Slučaj Osnovno opt. M NkNm kN

g Stalno 41 1254p Povremeno 11 297

ZX Zemljotres u X-pravcu 184 -203

Kombinacija n m1 1,6g + 1,8p 85.4 2541.0 0.623 0.0522 (1,9g + 2,1p) 101.0 3006.3 0.737 0.0623 1,0g + 1,8p 60.8 1788.6 0.438 0.0374 (1,2g + 2,1p) 72.3 2128.5 0.522 0.0445 1,3g+1,3p/2+1,3ZX 299.7 1559.4 0.382 0.1846 1,3g+1,3p/2-1,3ZX -178.8 2087.2 0.512 0.1107 1,0g+1,3p/2+1,3ZX 287.4 1183.2 0.290 0.1768 1,0g+1,3p/2-1,3ZX -191.1 1711.0 0.419 0.117

Dijagram interakcije - pravo savijanje (Broj 139 /3/ )n -0.2 0.12 0.4 0.6 1.2m (µ=0,20) 0 0.13 0.175 0.165 0

n -0.3 0.12 0.4 0.6 1.3m (µ=0,30) 0 0.16 0.205 0.192 0

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-16

Odgovarajući dijagram interakcije, u ovom slučaju broj 139 /3/ aproksimira se sa par ta-čaka, slika 2.17, za par procenata armiranja ( 0, 2µ = i 0,3, sl.2.17). Proračun kombinacija, za data tri slučaja osnovnih opterećenja, kao i ucrtavanje odgovarajućih vrednosti (n,m) prepušta se programu „Excel“.

Prema sl. 2.17, kritična je kombinacija 7- povoljno dejstvo stalnog opterećenja pri zem-ljotresu „u desnu stranu, +X“. Potreban meha-nički procenat armiranja ocenjen je u iznosu

0, 26µ = →potμ= µ βB /σv= 0,26×25,5/400= 1,66% (MB 40) b/d= 40/40 pot Fa= 1,66×40×40/100= 26,52 cm2 Usvojeno: 4RØ19+8RØ16 stvFa= 27,4 cm2, slika 2.18. Imajući u vidu iskustva sa utezanjem pre-

seka u Primeru 1, slika 1.14, kao i visok nivo aksijalnog opterećenja na ovoj etaži, pretpo-stavljene su uzengije 3URØ8/15(7,5)

2.11 DIMENZIONISANJE STUBOVA NA TRANSVERZALNE SILE Merodavna je transverzalna sila u kombinaciji sa zemljotresom Slika 2.10 i 2.11 →

Qu= 1,3Qg+1,3Qp+1,3Qs = 1,3×28+1,3×7/2+1,3×130= 214,5 kN

b/d= 40/40 a= 4,5 cm h=40-4,5= 35,5 cm τn= Qu /(0,9bz)= 214,5/(0,9×35,5×40)= 0,17 kN/cm2= 1,7 MPa > τr = 1,3 MPa

< 3τr= 3,9 MPa

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

-0.5 0 0.5 1 1.5

n=Nu/bdfB

m=

Mu/

bd2 f B

Slika 2.17 nastavak - Formular za dimenzionisanje preseka stuba

programom tipa Excel

40

408Rφ16

Rφ19

Rφ19 Rφ19

Rφ19

uRφ8/15(7,5)

Slika 2.18 - Usvojena armatura stuba

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-17

U stubovima viših etaža ne predviđa se pojava plastičnih zglobova. U ovom slučaju ima smisla da se deo granične transverzalne sile poveri betonu, u svemu prema BAB- u, za slučaj τr< τn<3τr. U konkretnom slučaju, nosivost pretpostavljenih uzengija 3URØ8/7,5 iznosi

mfuσvz/s =4×0,50×40×0,9×35,5/7,5=340,8 kN > Qu=214 kN Nosivost uzengija je veća od granične transverzalne sile, i bez sadejstva betona, ali treba

imati u vidu da je količina uzengija kod stubova prvenstveno posledica zahteva za utezanjem preseka betona.

2.12 SHEMA ARMIRANJA Prema članu 62 Yu81, progušćene uzengije stubova (s= 7,5 cm) postavljaju se na dužini

od 1,0 m od čvora, u ovom slučaju praktično celom visinom. Prema članu 64 Yu81, uzengije stuba produžavaju se kroz čvorove, slika 2.19.

30

60

Presek A

4

5

1

2

15

uRφ8/10 Detalj

4Rφ191 4Rφ1932Rφ192

2Rφ19

4

5

2Rφ19

4

5

uRφ8/10 uRφ8/15 uRφ8/10160 160

uRφ8/10uRφ8/15

80

+5,60

+8,40

uRφ8

/7,5

A

BNastavak 50%

arm.stuba

Nastavak 50%arm.stuba

l s

40

40

Rφ19

Rφ19 Rφ19

Rφ19

uRφ8/7,5

Presek B

8Rφ16

Nastavakarmature

220

Slika 2.19 - Shema armiranja grede i stuba

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-18

ILUSTRACIJE PONAŠANJA RAMOVSKIH KONSTRUKCIJA PRI ZEMLJOTRESU

Slika 2.20 - Velika oštećenja ramovske konstrukcije

(Turska 1999.)

Slika 2.21 - Kolaps montažne ramovske konstrukcije

(Spitak-Jermenija 1988.)

Slika 2.23 - Praktično neoštećena ramovska

konstrukcija u izgradnji (Turska 1999.)

Slika 2.22 - Velika oštećenja-lom ramovske

konstrukcije (Turska 1999.)

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-19

2.13 PITANJA I ODGOVORI

2.13.1 Da li pomeranja konstrukcije zadovoljavaju kriterijume EC8? Uz pretpostavku da su pregradni zidovi fleksibilno vezani za glavnu noseću konstrukciju,

pomeranja prema EC8 treba da zadovolje uslov (videti 6.19 - deo A) dr,i /ν≤ 0,006hi (2.1)

na svim spratovima konstrukcije. Na slici 2.26 a-b prikazana su

pomeranja usled proračunskog opte-rećenja S, prema propisima (videti sl. 6.29- deo A)- pomeranja dy na granici formiranja plastičnog mehanizma konstrukcije.

Uz pretpostavku da su realna po-meranja pri zemljotresu jednaka po-meranjima elastične konstrukcije, tada su stvarna pomeranja približno jednaka (videti 6.19 - deo A)

dm= qdy gde je q - „faktor ponašanja“ (reduk-cije opterećenja).

Ako je (videti 7.3 - deo A)

A

B

Slika 2.24 - Lom čvorova i greda ramovske

konstrukcije (Tajvan 1999.)

Slika 2.25 - Otvaranje uzengija neusidrenih u masu

jezgra stuba (kuke pod 900)

A B C D

d2=10

d3=16

dmax=31

Pregradnizidovi

a.

4

66

54

4

2

dr (mm)

b.

h 3

Slika 2.26 - Pomeranja (mm) usled proračunskog opterećenja

zemljotresom: a.) apsolutna; b.) relativna spratna, praćena deformacijama i oštećenjima pregradnih zidova

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-20

vrednost faktora ponašanja konstrukcije projektovane prema Yu81 čak qYu81 ≈ 10,0, realna pomeranja pri projektnom zemljotresu su 10 puta veća od proračunskih na slici 2.26. Kolika je ekvivalentna vrednost faktora ponašanja konstrukcija izgrađenih prema Yu81 propisima, stvar je ipak detaljnije analize.

Maksimalno realno spratno pomeranje dr,i pri projektnom zemljotresu tada iznosi maxdr,i = dr,3 = qYu 81×(d3-d2)= 10(16-10)= 60 mm

Pri „češćem zemljotresu“, sa kraćim povratnim periodom (TP≈50 godina), i približno duplo manjim ubrzanjem tla u odnosu na projektni zemljotres (TP ≈ 475 godina), pomeranja su približno duplo manja- ν≈2.

maxdr,i(TP=50)= maxdr,i(TP=475)/ν = 60/2= 30 mm. Za visinu sprata hi= 2,8 m= 2800 mm, EC8 uslov (2.1) nije zadovoljen, jer je

dr,i /ν= 30 mm> 0,006 hi= 0,006×2800= 16,8 mm, pomeranja su približno dva puta veća od dozvoljenih, odnosno krutost konstrukcije je nedovoljna. Potrebno je ukrutiti konstrukciju, dodavanjem zidova ili povećanjem dimenzija stubova i greda. Usvojena dispozicija zadovoljila bi u oblasi VIII stepena intenziteta, sa duplo manjim ubrzanjem tla u odnosu na IX zonu.

2.13.2 Ako su nosivost i duktilnost konstrukcije u redu, i ako se investitor složi sa većim ošte-ćenjima usled povećanih pomeranja, da li prema EC8 treba proračunom obuhvatiti i efekte drugog reda?

Prema EC8, vrednost „koefici-jenta osetljivosti sprata na rela-tivna pomeranja“ θ iznosi

θ= Ptot dr /(Vtot h) (2.2) „Realno“ spratno pomeranje

druge etaže, pri projektnom zemljo-tresu (TP = 475 godina) iznosi:

dr= 60 mm h= 2800 mm. Ukupno gravitaciono optereće-

nje u nivou razmatranog sprata iznosi (videti 2.4):

Ptot= 6Wi= 6×668,0 = 4008 kN

Ukupna seizmička smičuća sila za posmatranu tavanicu (videti sliku 2.9)

Vtot= 7

2iS∑ = 24,4+36,6+48,8+61,0+73,2+85,4+60,4= 389,8 kN

θ= 4008×60/(389,8×2800)= 0,22 > 0,20 * 0,30 (apsolutni dozvoljeni maksimun) Prema EC8, efekti drugog reda moraju da se uzmu u obzir, jer je θ>0,1. Ukoliko je

θ<0,2, dozvoljava se približna ocena ovih efekata (videti 1.5.5). Ako je pak 0,2<θ<0,3, valj-da treba primeniti tačnije postupke, eto problema.

A B C D

Ptot

Vtot

h

dr

2

Slika 2.27 - Efekti II reda na nivou druge etaže

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-21

2.13.3 U komentaru uz shemu armiranja na slici 2.19 stoji da 'usvojeni koncept armiranja nije usaglašen sa stavovima u vezi formiranja plastičnih zglobova greda'. S obzirom da EC8 insistira na konceptu „programiranog ponašanja“, da li su data i uputstva u vezi načina- koncepta armira-nja greda kako bi se obezbedio kontrolisani položaj plastičnih zglobova greda?

Takvih uputstava nema, od projektanta se očekuje da razume problem i da ga rešava od slučaja do slučaja. Koncept je u principu jednostavan, ali se u praksi stvari naravno komplikuju:

a) poželjan plastični mehanizam konstrukcije, sl. 2.2 treba da ima plastične zglobove na oba kraja greda, i u uklještenju stubova;

b) pri porastu momenata savijanja greda usled pomeranja pri zemljotresu, plastični zglob je presek u kome se najpre dostiže moment nosivosti preseka, koji zavisi od količine armature u preseku;

c) grede treba tako armirati da „se plastični zglobovi jave u željenim presecima- kontrolisano“.

Izloženi principi „lepo funkcionišu“ u slučajevima kada su uticaji zemljotresa dominan-tni, naglašeni. Da se stvari u praksi komplikuju, ilustrovano je na sl. 2.28, primer grede iz ovog zadatka (ponovljeni dijagram momenata sa slike 2.13).

Kraća greda u polju B-C je primer „idealnog slučaja“, ekstremi momenata se javljaju uz stubove, pa su to preseci u kojima je lako projektovati plastične zglobove.

Duži rasponi, polja A-B odnosno C-D su problem, jer maksimum pozitivnih momenata (zatežu donju stranu) nije uz stub, već je pomeren u polje grede. Vodeći računa o potrebama preseka za armaturom, kao i o uslovu μ’>0,5μ, teško da se zglob može „naterati“ uz stub. Potrebna je mala ekvilibristika u vođenju i ukidanju donje armature grede, da bi se zglob isprojektovao ne preterano daleko od stuba, što bi bilo loše rešenje! Toliko, samo za ilustraciju koncepta i problema pratećih.

a.

2

3

4

5

6

1θAB

7

8

9

10

11

12

g+p/2+Sx

g+p/2-Sx

Slika 2.28 - Problem obezbeđenja položaja plastičnih zglobova greda;1-12 - preseci sa ekstremnim momentima

kao potencijalni plastični zglobovi - kako armirati?

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-22

2.13.4 Osim definisanja i obezbeđenja položaja plastičnih zglobova, da li koncept programiranog ponašanja podrazumeva još nešto u vezi greda okvira?

U slučaju greda konstrukcija visoke duktilnosti, (DCH), konstruisanje armature obuhvata tri nivoa:

a) dimenzionisanje potrebne armature prethodno lociranih plastičnih zglobova, prema proračunskim momentima dobijenim analizom;

b) usvajanje podužne armature oblasti plastičnih zglobova - „kritičnih oblasti“ prema EC8;

c) osiguranje od „krtog loma“ (transverzalne sile) ostatka grede za situaciju dostizanja realnog kapaciteta nosivosti plastičnih zglobova pri pomeranjima usled zemljotresa (videti i 6.8.13- deoA).

Primer kraće grede u polju B-C. Shema usvojene armature (videti sliku 2.19) grede data je na sl. 2.29. Zanemarujući

normalne sile grede, momenti nosivosti preseka grede u zoni plastičnih zglobova iznose:

30

6015

~7,5

8Rφ19

4Rφ19

Armatura ploče?

~4,0

MB40RA400/500+Mu

Detalj

B C

C

8Rφ19 8Rφ19

4Rφ19 4Rφ19l=4,0m

Plastičnizglob

a.

b.

c.

g,p

B

Slika 2.29 - Presek i armatura grede u polju B-C

C

l=4,0m

g=17,0 kN/mp/2=2,0kN/m

B

MuB=240 kNm MuC=470 kNm

VB VC

Zemljotres

C

l=4,0m

g=17,0 kN/mp/2=2,0kN/m

B

MuB=470Nm MuC=240 kNm

VB VC

Zemljotres

V (kN)128,1128,1

226,9

226,9

a.

b.

c.

Slika 2.30 - Opterećenje grede B-C pri zemljotresu

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-23

M -u= -470 kNm (zategnuta gornja armatura) M+

u= 240 kNm (zategnuta donja armatura) Pri pomeranjima i rotacijama preseka u toku zemljotresa, za očekivati je da se na

krajevima greda pojave momenti jednaki realnoj nosivosti preseka plastičnih zglobova - moguća stanja opterećenja grede B-C prikazana su na sl. 2.29. a-b.

U slučaju a) transverzalne sile- reakcije grede iznose VB= 1,3×(17+2,0)×4/2-(470+240)/4,0= = 49,4-177,5= -128,1 kN> 80 kN (sl. 2.14) VC= 49,4+177,5= 226,9 kN> 179 kN (sl. 2.14) U slučaju b) transverzalne sile iznose VB= 226,9 kN VC= -128,1 kN Transverzalne sile koje se mogu javiti pri dostizanju kapaciteta nosivosti plastičnih

zglobova sa stvarno ugrađenom armaturom znatno su veće od proračunskih vrednosti, slika 2.14. Međutim, ni to nije sve. Prema slici 6.20- deo A, stvarna granica razvlačenja ugrađene armature može da bude veća od propisane nominalne (σv= 400 MPa u ovom primeru), a pri većim pomeranjima i dilatacijama zategnute armature, čelik može da zađe u oblast ojačanja, slika 4.4 i 4.5- deo A. Zbog toga EC8 zahteva da se sračunati momenti nosivosti pomnože „faktorom preopterećenja“ γRd= 1,25 (DCH samo!). Maksimalne-računske vrednosti transvezalnih sila koje se mogu pojaviti tada iznose

VB= 49,4-1,25×177,5= -172,5 kN VC= 49,4+1,25×177,5= 271,3 kN E da je to sve! Ako treba proceniti vrednost maksimalnih momenata koji se mogu javiti

na krajevima grede, tada i deo armature ploče može da bude deo „aktivnog preseka“ na savijanje, slika 2.29.c!

Usvojene uzengije URØ8/10 prema sl. 2.19 ne mogu da prenesu transverzalnu silu od 271,3 kN! Zaključak, preseci prearmirani na savijanje mogu da ugroze nosivost grede na trasverzalne sile- višak armature ne mora da bude na strani sigurnosti pri zemljotresu!

Kada pri zemljotresu transverzalna sila značajnije menja znak u preseku, kose X-prsline mogu da se „sliju“ u jednu vertikalnu, koja prolazi između uzengija, sl. 2.31.b. Tada jedino pomaže kosa ukrštena armatura, u kombinaciji sa uzengijama. „Krti lom“ je neprijatelj broj 1!

l=4,0 mB C

l=4,0 mB C

Vertikalna'zbirna' prslina

Cikličnosavijanje

a. b.

Detalj

Slika 2.31 - Osiguranje od loma transverzalnim silama: a.) uobičajeno; b.) neuobičajeno

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-24

2.13.5 Prema momentima savijanja pri seizmičkom opterećenju definisanom propisima dimen-zionisana je nosivost plastičnih zglobova greda. Na osnovu momenata nosivosti plastičnih zglo-bova izvršeno je potom osiguranje greda od krtog loma transverzalnim silama. Šta koncept pro-gramiranog ponašanja zahteva od stubova?

Nivo seizmičkog opterećenja S može da se shvati kao mera pomeranja pri kojem će konstrukcija iz stanja mirovanja (d= 0) preći u plastični mehanizam (d=dy, slika 2.32.b) „popuštanjem greda“ na krajevima. Nakon toga, konstrukcija se pomera bez prirasta opterećenja, do maksimalnog iznosa d≈dm, slika 2.32.b.

U stanju plastičnog mehanizma konstrukcije prema sl. 2.32, naprezanje stubova zavisi od poznatih momenata nosivosti plastičnih zglobova greda, „poznatog“ maksimalnog pomeranja konstrukcije kao i od oblika deformacija stuba - promene pomeranja po visini, na šta znatan

dy

dm

S

d

S

Se

S 2

1

dy dm

3

K0 Ky

A B

a. b.

Slika 2.32 - Karakteristična stanja pomeranja konstrukcije: K0 -nominalna-početna krutost konstrukcije; Ky -sekantna krutost; 1 - elastični odgovor konstr.; 2 - aproksimacija neline-arnog odgovora konstr.; 3-realno-postepeno otvaranj e plastičnih zglobova i pad krutosti

Detalj

B Ca.

B

188287

233322

b.40

B

'Plastičnizglob'

8Rφ19

4Rφ19

Ns=1183 kN

γRdMgdu=γRdx271

γRdMglu=γRdx470

αx223

αx287

60

c.

1

Slika 2.33 - Programirano ponašanje stuba: b.) računski momenti za merodavnu komb. broj 7; c.)

proračunski momenti pri dostizanju kapaciteta nosivosti plast. zglobov a greda

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-25

uricaj mogu da imaju viši tonovi oscilacija kod vitkih konstrukcija. EC8 ovaj problem rešava naizgled logično i jednostavno, sl. 2.33.

Za primer je izabran stub u osi B, dimenzionisan u delu 2.10. Momenti savijanja za slučaj merodavne kombinacije broj 7 (1,0g+1,3p/2+1,3zx) dati su na slici 2.33.b. Za usvojenu armaturu 8RØ19 odnosno 4RØ19, nosivost plastičnih zglobova grede je sračunata u delu 2.13.4, Mglu= 470 kNm odnosno Mgdu= 271 kNm, slika 2.33.c. Prema EC8, korigovani uslov ravnoteže momenata u čvoru glasi

ΣMS*= γRdΣMgu(≤ q ΣMS) (2.3)

Suma korigovanih računskih momenata gornjeg i donjeg preseka stuba u čvoru (ΣMS*)

treba da je najmanje jednaka sumi momenata nosivosti plastičnih zglobova greda (ΣMgu), uvećanoj „faktorom preopterećenja“- γRd (= 1,35/1,2 za DCH/DCM). Korigovana vrednost ne treba da bude veća od računske vrednosti dobijene analizom prema propisima (ΣMS) pomnožene faktorom ponašanja- q (što je praktično elastičan odgovor konstrukcije).

Za konkretan primer čvora u osi B: ΣMgu= Mgdu+ Mglu= 271+470= 741 kNm ΣMS

*= γRdΣMgu= 1,35×741= 1000,4 kNm. Kako ovaj „ulazni moment greda“ raspodeliti na donji i gornji presek stuba u čvoru?

Prema EC8 prosto, srazmerno već sračunatim vrednostima (ΣMS) za opterećenje prema propisima, slika 2.33.b:

α(ΣMS)= γRdΣMgu U konkretnom slučaju, slika 2.33.b ΣMS = 223+287= 570 kNm α= γRdΣMgu / ΣMS= 1000,4/570= 1,76 Prema slici 2.33.c, gornji presek stuba treba dimenzionisati na moment Mu= αMSu=

1,76×287= 505,1 kNm, a donji presek na moment Mu= 1,76×223= 392 kNm! Usvojena armatura gornjeg preseka prema sl. 2.18 je nedovoljna da stub prihvati moment

Mu= 505,1 kNm, videti deo 2.10 i dijagram interakcije sl. 2.17. Stub u osi B dimenzionisan je za bezdimenzionalne vrednosti uticaja n= 0,290 i m=

0,176, sl. 2.17. Pri istoj normalnoj sili i korigovanom momentu savijanja, m*= αm= 1,76×0,176= 0,309

potrebna vrednost m* je van opsega dijagrama 2.17, ali je možete pronaći na dijagramu 1.3, Primer 1. Potrebna armatura iznosi:

n= 0,290, m*= 0,309 → µ ≈ 0,7 potμ= 0,7×25,5/400= 0,045= 4,5% < maxμ= 6% Yu81 > maxμ= 4% EC8 Koncept deluje prosto, ali je možda i najslabiji deo EC8. Polemike su u toku, ovoliko

samo za ilustraciju logike koncepta programiranog ponašanja. Analogno obezbeđenju greda visoke duktilnosti (DCH) od transverzalnih sila, videti

2.13.4, isti postupak treba ponoviti i kod stubova! Iako se pojava plastičnih zglobova na krajevima stubova (osim na vezi sa temeljom) konceptualno ne dozvoljava, EC8 zahteva da se stub proveri na transverzalne sile pri dostizanju kapaciteta krajeva stuba na savijanje! Ima tu raznih problema, očigledno.

Nakon što su grede i stubovi konstruisani, vreme je da se provere i čvorovi, veza greda i stuba, da nebi nastupio lom čvora - videti slike 2.22 i 2.24. I tu je konačno kraj, projekat jedne grede i stuba je gotov.

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-26

2.13.6 Sve smo pobrkali! Može li mali rezime koncepta Yu81 i EC8, kada su u pitanju okvirne konstrukcije visoke duktilnosti?

Osim razlike u nivou projektnog seizmičkog opteterećenja (što nije toliko bitno), značaj-nija je razlika u konceptu obezbeđenja pouzdanog ponašanja konstrukcije pri zemljotresu, kao i u zahtevima za konstruisanje detalja. Dodajmo tome i različita dopuštena pomeranja pri zemljotresu, od čega zavisi minimalna dozvoljena krutost konstrukcije, o čemu bi trebalo voditi računa već pri usvajanju dispozicije objekta.

Ulazni podaci

Seizmičko opterećenje

'Statički proračun'YU81 EC8

Dimenzionisanje svih presekasvih elemenata premaračunskim uticajima

Dimenzionisanje plastičnihzglobova greda premaračunskim momentima

Kapacitet nosivosti realnihplastičnih zglobova

Korekcija proračunskihtransverzalnih sila greda

Dimenzionisanje gredaprema verovatnim

transverzalnim silama

Korekcija proračunskihmomenata savijanja

stubova

Dimenzionisanje presekastubova

Kapacitet nosivosti nasavijanje krajeva stubova

Korekcija proračunskihtransverzalnih sila stubova

Dimenzionisanje stubovaprema verovatnim

transverzalnim silama

Kraj YU81 proračuna

Kraj EC8 proračuna

Slika 2.34 - Koncept Yu81 i EC8 obezbeđenja pouzdanog ponašanja konstrukcija pri zemljotresu

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

2-27

Prema Yu81, svi preseci elemenata se dimenzionišu za seizmičku kombinaciju optereće-nja, kao da je u pitanju bilo koje drugo opterećenje. Algoritam ne obezbeđuje kontrolu loka-cije plastičnih zglobova, mogu da se jave bilo gde. Pri dostizanju kapaciteta nosivosti plastič-nih zglobova, van kontrole je eventualno preopterećenje priključenih elemenata.

Prema EC8, uticaji usled seizmičke kombinacije opterećenja definišu potrebnu nosivost plastičnih zglobova na savijanje. Nakon usvajanja armature plastičnih zglobova, svi ostali ele-menti se dimenzionišu prema kapacitetu nosivosti plastičnih zglobova-obezbeđuje se hijerar-hija nosivosti elemenata konstrukcije. Za razliku od Yu81, algoritam EC8 je teško automati-zovati primenom računara, što nije mali nedostatak.

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-1

PRIMER 3

Konstrukciji iz prethodnog primera dodata su po četri armiranobetonska zida u oba

ortogonalna pravca - formirana je mešovita konstrukcija okvira i zidova. U uvodnom delu izložen je koncept analize ovakvih konstrukcijskih sistema, i

obrazloženo usvajanje samo zidova za osnovni noseći sistem. Svođenjem proračunskog modela samo na konzolne zidove, problem se pojednostavljuje u meri da ga i studenti mogu rešiti na ispitu, bez primene računara.

S obzirom na nesimetričan raspored zidova u osnovi, efekti torzije su analizirani prema YU81. Studentima verovatno poznata metodologija približne analize torzionih efekata na bazi pojma centra krutosti (centra rotacije) ovde je ponovljena, da bi se povezala sa specifičnim zahtevima YU81.

U delu "Pitanja i odgovori", ilustrovani su samo dva zahteva EC8 u vezi obezbeđenja pouzdanog ponašanja zida pri zemljotresu: obezbeđenje potrebne duktilnosti pritisnutih krajeva zida, kao i određivanje proračunskih transverzalnih sila zida prema konceptu programiranog ponašanja. Ova dva zahteva su prilično iznenađenje za našu praksu.

Analize pokazuju da približno određivanje potrebne armature zida uobičajeno u praksi može da ima neugodne posledice, kako zbog smeštaja potrebne računske armatura, tako i zbog nepotrebne prevelike nosivosti zida na savijanje.

Na kraju, dat je komentar i kvalitativna analiza posledica izbora samo zidova za osnovni noseći sistem, uz zanemarenje krutosti okvira. Kvalitativno je analiziran odgovor realne konstrukcije na dejstvo zemljotresa. I ovaj primer pokazuje da je dimenzionisanje nosivosti konstrukcije na dejstvo seizmičkog opterećenja prema propisima praktično samo procena nivoa pomeranja konstrukcije pri kojem se želi stvaranje plastičnog mehanizma konstrukcije, a ne klasično obezbeđenje nosivosti - osiguranje od loma preseka. Procena iznosa očekivanih pomeranja kao i efektivne krutosti elemenata konstrukcije pri tim pomeranjima su najvažniji koraci u analizi.

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-2

PRIMER 3 Svi podaci su kao u Primeru 2, osim što su konstrukcijskom sistemu dodata po četri

armiranobetonska zida u X odnosno Y- pravcu. Presek zidova je pravougaoni, 20/430, konstantan po visini. Dimenzionisati zid Z1 prema domaćim propisima Yu 81/1/,BAB/2/.

Komentar: Dispozicija konstrukcije jeste moguća, ali nisu svi detalji „idealni“. To se pre svega

odnosi na usvojeni oblik zidova. Zbog oslanjanja i ukrštanja greda tavanica, obično se na krajevima zidova formiraju ojačanja u vidu stubova. Prikazano rešenje usvojeno je, za početak, iz metodoloških razloga.

3.1 KONCEPT KONSTRUKCIJE I ANALIZE Prema klasifikaciji Yu81 /1/, deo XII, konstrukcija je mešovita - „okvirna konstrukcija u

kombinaciji sa armirano-betonskim (dijafragmama) ili jezgrima“. Prema članu 77, „distribu-cija seizmičkih proračunskih sila vrši se prema deformacionim karakteristikama svakog ele-menata osnovnog sistema konstrukcije“. Pored toga, „okviri se moraju proračunati na za najmanju vrednost od 25% ukupne poprečne seizmičke sile u osnovi“.

Gravitaciona opterećenja prihvataju zidovi i stubovi. Pri horizontalnim pomeranjima, stabilnost konstrukcije obezbeđuju okviri i zidovi, opterećeni srazmerno svojoj krutosti na

horizontalna pomeranja. U osnovni sistem za prijem horizon-

talnih uticaja treba uključiti sve elemente konstrukcije koji značajnije doprinose krutosti na pomeranje. Osim površine zi-dova u osnovi, krutost zidova na savi-janje bitno zavisi i od visine objekta-od vitkosti zidova H/lw. Zbog različitog karaktera deformacija okvira i konzol-nog zida, u nižim delovima zid 'pridrža-

Osnova8,0 4,0 8,0

20,0 m

5x4,

0=20

,0 m

30

X

Y

A B C D1

2

3

4

5

6

30/5

0

30/5

030/60

30/60

30/6040/40

30/60

30/603030/60

Pos100

Z1

Z3

Z5

Z6

ZA1

ZA2

ZD1

ZD2

2020

20

20

30/5

0

30/5

0

Presek8,0 4,0 8,0A B C D

20,0 m

7x2,

80=1

9,6

m

I

II

III

IV

V

VI

VII

60500,00

+19,60

20 20

15

430ZA1 ZD1

Z3

Slika 3.1 - Dispozicija konstrukcije

A B C D

0,00

+19,60

A B C D

0,00

+19,60

a. b.

Xi Xi

H

lw

Slika 3.2 - Usaglašavanje deformacija okvira i zida

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-3

va' okvir silama Xi , dok u višim delovima okvir 'pridržava' zid, slika 3.2. U ovakvim slučaje-vima, zanemarenje krutosti okvira često može da proizvede pogrešne zaključke o ponašanju zida. U konkretnom primeru, odnos visine H i dužine lw zida je H/lw= 19,6/4,3=4,5(>2, uslov Yu81, član 68). S obzirom na broj zidova u osnovi, kao i na proporcije zida koji je pre „zde-past“ nego vitak, procenjeno je da je u krutosti na horizontalna pomeranja dominantan uticaj zidova, koji su usvojeni za osnovni sistem za prijem horizontalnih uticaja. Za orijentaciju, zidovi vitkosti manje od 9-10 (poželjno 6-7) poseduju značajnu krutost za prijem horizon-talnih uticaja. Naravno, važan je i broj takvih zidova u osnovi, u X odnosno Y-pravcu.

U podužnom, X-pravcu, konstrukcija je nesimetrična, pa je za uticaj zemljotresa u ovom pravcu potrebno uzeti u obzir i uticaje torzije u osnovi, slika 3.3. Zemljotres u X-pravcu izaziva translaciju δ i rotaciju φ tačaka tavanice oko centra krutosti CK, pomeranje ta-vanice opisano je sa dva stepena slobode. Prema članu 34 Yu81, efekti torzije ne moraju se sračunavati eksplicitno. Dozvoljava se ana-liza samo efekata translacije δ, kao da je konstrukcija simetrična, uz naknadnu približnu procenu efekata torzije. Proračunski model konstrukcije u oba glavna pravca X odnosno Y je konzola sa sedam masa, kao u Primeru 1.

S obzirom da osnovni sistem čine konzolni zidovi, plastični mehanizam osnovne kon-strukcije formira se pojavom plastičnih zglobova u uklještenju zidova, slika 3.4.a. Okviri u svakom slučaju treba da budu konstruisani tako da mogu da prate pomeranja konstrukcije, čiji iznos δm i oblik dominantno zavisi od krutosti zidova, videti i 6.10-deo A. Uslovi za konstru-isanje okvira mogu da se ublaže, jer zidovi sprečavaju pojavu fleksibilnog sprata. Ako je kru-tost zidova dovoljna, okviri se mogu izvesti i sa montažnim stubovima, sa zglobnim vezama greda-stub, videti 6.18.6-deo A. Kapacitet krivljenja preseka zida κu treba da je veći od mak-simalnih očekivanih krivina κm pri zemljotresu. Da bi zid bio pouzdan, potrebno je sprečiti rani-krti lom zida, tačka B1 na slici 3.4.c. U nelinearnim analizama, obično se područje plas-tičnog zgloba modelira koncentrisanom nelinearnom oprugom, sa odgovarajućom neline-arnom vezom moment(M)-rotacija(θp), slika 3.4.d.

CM

CK

e SxCM

CKSx

δ ϕeϕ

Mt=Sxe

Slika 3.3 - Pomeranje tavanice usled translacije i

rotacije oko centra krutosti - CK

A B C D

0,00

+19,60δm

Hp

Oblast'plastičnog zgloba'

H

S

a.

δm

HH

p

κu

κy

Tok krivinapreseka−κ

S

b.κm

δ

θp

M(θp)

d.

κ(1/m)

M(kNm)

κy κm κu

A B C

B1 D

c.

My

Slika 3.4 - Plastični mehanizam osnovnog sistema konstrukcije

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-4

3.2 PRORAČUNSKI MODEL KONSTRUKCIJE Gravitaciona opterećenja sa tavanica prihvataju okviri ali i zidovi. Za detalje analize

gravitacionih opterećenja, videti 2.2 u Primeru 2. Za prijem horizontalnih uticaja, proračunski model obuhvata samo elemente osnovnog sistema, ukupno osam konzolnih zidova, sl. 3.5.

Dimenzije preseka svih zidova su iste, b/lw= 20/430 cm. To ne znači i da je krutost preseka na savijanje ista, ona u principu zavisi od količine armature i nivoa aksijalnog opterećenja zida, videti 4.3 i 6.1-deo A. Fasadni zidovi na slici 3.5 imaju približno duplo manju nor-malnu silu od unutrašnjih zidova, Z3 i Z5. U našoj praksi se o ovim “finesa-ma“ retko vodi računa, pa se i ovde us-vaja da je krutost svih zidova ista, odre-đena na osnovu karakteristika bruto bet-onskog prekeka zida b/lw, zanemarujući efekte prslina. (Videti komentar uz 2.2).

Za dinamički model za analizu uti-caja zemljotresa u X ili Y pravcu usvaja se konzola sa zbirnom krutošću svih zidova koji se suprotstavljaju pomeranju usled zemljotresa. Zanemarujući krutost preseka zida upravno na osu zida (lw/b3/12<<blw

3/12), za pravougaone zi-dove se obično usvaja pretpostavka da opterećenja prihvataju samo u svojoj ravni, slika 3.6. Krutost na horizontalna pomeranja zavisi od karakteristika preseka pojedinih elemenata, ali i od konfiguracije prostornog sistema elemenata. U slučaju sistema konzolnih zidova istih visina, odnos krutosti na pomeranje zavisi od momenata inercije preseka zidova, koji se u daljim analizama pojavljuju kao karakterističan parametar krutosti na pomeranje.

S obzirom da se prema Yu81 nivo seizmičkog opterećenja S može približno odrediti samo na osnovu krutosti na translaciju, to je Sx= Sy (ista je krutost zidova u oba pravca, slika 3.6.a odnosno 3.6.b). Momente torzije Mt= Sxe, usled opterećenja Sx koje deluje u centru mase-CM na ekscentricitetu e u odnosu na centar krutosti CK, prihvataju svi elementi osnov-nog sistema koji doprinose torzionoj krutosti konstrukcije u osnovi. Torzija objekta u osnovi prihvata se savijanjem zidova u svojoj ravni, slika 3.6.c.

Osnova8,0 4,0 8,0

20,0 m

5x4,

0=20

,0 m

X

Y

A B C D1

2

3

4

5

6

Pos100

Z1

Z3

Z5

Z6

ZA1

ZA2

ZD1

ZD2

b=20

lw=430

20/430

Slika 3.5 - Osnovni sistem konstrukcije

Z1

Z3

Z5

Z6

ZA1

ZA2

ZD1

ZD2

CM

CK

ϕX

Y

Mt=Sxe

c.X

Y

ZA1

ZA2

ZD1

ZD2

SyCM

CK

δ y

a.

RA2

RA1

RD2

RD1

X

Y

Z1

Z3

Z5

Z6

CM

CKSx

δx

e

b.R1

R3

R5

R6

Slika 3.6 - Proračunski modeli konstrukcije: a.) za uticaj zemljotresa u Y-pravcu;

b.) za uticaj pomeranja-translacije usled zemljotresa u X-pravcu; c.) za uticaj rotacije φ od momenta torzije Mt usled zemljotresa u X-pravcu

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-5

3.3 ANALIZA GRAVITACIONIH OPTEREĆENJA Usvojeno kao u Primeru 2, deo 2-3. U pojedinim rasponima, u ovom slučaju oslonac plo-

če je zid, umesto grede kao u Primeru 2.

3.4 ANALIZA SEIZMIČKOG OPTEREĆENJA Zbog iste krutosti osnovnog sistema na translaciju u X odnosno Y-pravcu, osnovni period

oscilovanja T i proračunsko seizmičko opterećenje su isti za oba pravca dejstva zemljotresa. Dalje analize se odnose na slučaj uticaja zemljotresa u podužnom, X-pravcu, sa efektima torzije.

Težina jednog sprata Wi= Gi+P/2= 4007,8 kN/spratu (videti str. 2-7)

Ukupna težina objekta W ≈ 7×4007,8= 28055 kN (Korektnije je obračunati i težinu AB zidova!)

Proračun perioda oscilovanja T1 u prvom-osnovnom tonu Krutost zidova na savijanje

b/lw= 20/430 cm → I1= I3= I5= I6= I= 0,20×4,33/120 =1,325 m4 Zbirna krutost osnovnog sistema

MB30 → E= 3×107 kN/m2 I = ΣI= 4×1,325= 5,3 m4

E I = 3×107×5,3= 1,59×10 8 m2 Podeljeno horizontalno opterećenje usled težina spratova Wi, slika 3.7.c-d

Wi= 4007,8 kN= const. hi= 2,8 m= const.

w = Wi /hi= 4007,8/2,8= 1431,4 kN/m’ T1= 2 wd Izraz (5.3)- deo A, gde je dw pomeranje vrha u metrima

usled težina Wi , slika 3.7.c. dw= w H4/(8E I )= 1431,4×19,64/(8×1,59×108)= 0,166 m

T1= 2 0,166 = 0,82 s Komentar: Period oscilovanja okvirne konstrukcije iznosio je T1= 1,05 s, strana 2.7. Da

je za efektivnu krutost zidova usvojena redukovana, manja vrednost zbog efekata prslina, razlika perioda bila bi još manja. Približno, krutost četri zida ekvivalentna je krutosti šest okvira (u ovom slučaju!).

Z1 Z3 Z5 Z6

Kruti štapovi-efekat krute tavanice

Momentinercije =I3 =I5 =I6=I1

W1

W2

W3

W4

W5

W7

W6

I

7x2,

80=1

9,60

m

dW

W7W6

W5

W4

W3

W2

W1h i=

2,80

I

H=1

9,60

m

dW

w=W

i/hi

a. b. c. d.

Slika 3.7 - Proračun perioda oscilovanja: a.) osnovni sistem, zidovi aksijalno povezani krutim tavanicama; b.) dinamički model; c.) model za proračun perioda prema uprošćenoj modalnoj analizi, videti 5.2-deo A;

d.) uprošćenje modela sa slike 3.7.c.

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-6

Proračun ukupne seizmičke sile S S= KW K= k0 ks kp kd (Za objašnjenje koeficijenata,videti i stranu 2.7)

k0= 1,0 ks= 0,10 kp= 1,0 kd= 0.9/T1= 0,9/0,82>1,0 → kd=1,0

K= 1,0×0,10×1,0×1,0= 0,1 (>0,02) W= 28055 kN (str. 3-5) Sx= 0,1×28055= 2805,5 kN S obzirom da objekat ima više od pet etaža, prema Yu81 85% ukupnog opterećenja S

raspodeljuje se po tavanicama prema relaciji

Si= 7

1

i i

j jj

W ZSW Z

=

×

×∑ (videti 5.2- deo A)

dok se 15% sile S postavlja na nivo poslednje tavanice. Sile deluju u centru mase odgo-varajuće tavanice. 0,85S= 0,85×2805,5= 2384,6 kN 0,15S= 0,15×2805,5= 420,8 kN

Proračun seizmičkog opterećenja i njegova raspodela po visini konstrukcije prikazani su u Tabeli 3.1 i na slici 3.8

3.5 STATIČKI PRORAČUN

3.5.1 Uticaj gravitacionih opterećenja Reakcije tavanice, slika 3.9.a približno su jednake opterećenju sračunatom u Primeru 2 Stalno opterećenje Reakcija grede A-B (C-D) (g1= 24,6 kN/m’) 2(5×24,6×8,0)/8 =246,0 kN Reakcija u polju B-C (g2= 17,0 kN/m’) 17,0×4,0 = 68,0 kN Sopstvena težina zida po spratu b/lw= 20/430 h= 2,8 m (0,2×4,30×2,8)25 = 60,2 kN Reakcija grede iz upravnog pravca U osama B,C (G= 76,2 kN) 2×76,2 = 152,4 kN Prirast normalne sile po spratu ∆Ng= 526,6 kN

Momentinercije =I3 =I5 =I6=I1

Z1 Z3 Z5 Z6

596,2420,8

511,0425,8340,6255,5170,3

85,2

z

7x2,

80=1

9,60

Slika 3.8 - Raspored računskog seizmičkog opterećenja

Tabela 3.1

Nivo Zi Wi WiZi

m kN kNm

7 19.6 4007.8 78553 596.26 16.8 4007.8 67331 511.05 14.0 4007.8 56109 425.84 11.2 4007.8 44887 340.73 8.4 4007.8 33666 255.52 5.6 4007.8 22444 170.31 2.8 4007.8 11222 85.2

314212 (Σ=2384.6 kN)

∑ ××

jj

ii

ZWZWS85,0

=∑ × jj ZW

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-7

Korisno opterećenje (p1= 6,4 kN/m’) 2×(5×6,4×8,0)/8 = 64,0 kN (p2= 4,0 kN/m’) 4,0×4,0 = 16,0 kN (p= 16 kN/m’) 2×16,0 = 32,0 kN Prirast normalne sile po spratu ∆Np= 112,0 kN

Dijagrami normalnih sila zida Z3 dati su na slici 3.9. Za fasadni zid Z1 u osi 1, usvajaju se vrednosti u iznosu od ≈50% opterećenja zida Z3.

3.5.2 Uticaji usled zemljotresa u X- pravcu Seizmičko opterećenje Sj tavanice „j“ deluje u centru mase CM tavanice „j“, slika 3.10.a.

8,0 4,0 8,0A B C D

0,00

+19,60

g1,p1 g1,p1g2,p2

R=5/8ql

526,6

526,6

3686,2 kN

Ng

112,0

112,0

784,0 kN

Np

a. b. c.

Slika 3.9 - Gravitaciono opterećenje zida Z3

X

Y

SjCM

a.

Tavanica 'j'

xCM

y CM

X

CM

CKSj

e

b.

Y

Mtj=Sje

xCK

y CK

Slika 3.10 - Seizmičko opterećenje u nivou tavanice 'j' : a.) inercijalna sila S j u centru mase CM;

b.) inercijalna sila Sj redukovana na centar krutosti - CK

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-8

Za određivanje opterećenja zida usled seizmičkog opterećenja Sj tavanice „j“, korisno je da se opterećenje Sj redukuje na silu Sj i moment torzije Mtj= Sj e, koji deluju u centru krutosti CK, slika 3.10.b.

Određivanje koordinata centra krutosti CK a) Stanje translacije tavanice u X- pravcu za iznos δ (sl. 3.11.a) Reakcija zida „i“ Ri

δ= δKxi (3.1) gde je Kxi krutost zida „i“ na pomeranje u X- pravcu Rezultanta reakcija zidova Rδ=Σ Ri

δ=δΣKxi (3.2) Položaj rezultante ΣM0= 0 (oko koordinatnog početka) RδyCK= Σ Ri

δyi (3.3) gde je yi koordinata y zida „i“

(3.1) (3.2) (3.3) → yCK= /xi i xi

i iK y K∑ ∑

Ako u centru krutosti deluje sila Sx u pravcu X- ose, pomeranje tavanice δ i opterećenje Si zida „i“ iznose:

(3.2) → δ= Sx /ΣKxi (3.4) (3.1) (3.4) → Si=SxKxi / ΣKxi (3.5)

odnosno, seizmičko opterećenje tavanice se raspodeljuje na pojedine zidove proporcionalno krutosti zida na pomeranje.

b) Stanje translacije tavanice u Y- pravcu za iznos δ (sl. 3.11.b) Analogno prethodnom izvođenju xCK= ΣKyi xi /ΣKyi (3.6) gde je Kyi krutost zida „i“ na pomeranje u Y- pravcu. Analogno (3.5), Si= SyKyi / ΣKyi (3.7)

c) Stanje rotacije tavanice oko centra krutosti zaugao φ (sl. 3.11.c) Pomeranje zida „i“ δi

φ= φri (voditi računa o definiciji i znaku ri) (3.8)

X

Y

ZA1

ZA2

ZD1

ZD2

R

CK

δ

b.R

A2=

KyA

2δR

A1=

KyA

1δ

RD

2=K

yD2δ

RD

1=K

yD1δKy~0

xCK

X

Y

Z1

Z3

Z5

Z6

CK

Rδ

a.

R6=Kx6δ

R5=Kx5δ

R3=Kx3δ

R1=Kx1δ

y CK

Slika 3.11 - Odredjivanje centra krutosti CK: a.) pri translaciji tavanice u X-pravcu, položaj rezultante R reakcija svih zidova definiše koordinatu yCK centra krutosti - CK; b.) pri translaciji tavanice u Y-pravcu,

položaj rezultante R reakcija svih zidova definiše koordinatu x CK centra krutosti - CK

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-9

gde je ri normalno rastojanje ravni zida od centra krutosti - „krak“ zida. Reakcija zida „i“

Riφ= δi

φKi (3.9) (3.8) (3.9) →

Riφ= φKiri (3.10)

gde je Ki krutost zida „i“ Rezultujući moment torzije oko CK

Mt= ΣRiφri= φΣKiri

2 (3.11) Ako u centru krutosti deluje poznati

moment torzije Mt, obrtanje tavanice φ i opterećenje zida „i“ iznose: (3.11) → φ= Mt / ΣKiri

2 (3.12) (3.12)→(3.10)→

Siφ= Mt Kiri / ΣKiri

2 (3.13) Ukoliko se dimenzije zidova ne me-

njaju po visini, i ukoliko su zidovi do-voljno vitki tako da preovladavaju defor-macije savijanja, tada se u prethodnim izrazima umesto krutosti Ki može uvesti moment inercije Ii preseka zida „i“.

i iK I⇔ (3.14) Što važi za tavanicu „j“, važi i za ostale. Izrazi (3.5), (3.7) i (3.13) za prerespodelu uticaja

usvajaju se za svaku od tavanica- nivoa konstrukcije, ukupno „m“, slika 3.12. U odnosu na osu koja spaja centre krutosti,

„CK-osa“ na sl. 3.12, na svakom nivou „j“ deluje seizmička sila sprata Sj i moment torzije sprata Mtj= Sj×e.

Opterećenje zida „i“ na nivou „j“ usled transla-cije Sij

δ i rotacije Sijφ može da se odredi na prikazani

način. Uočiti da se torzija konstrukcije prihvata sa-vijanjem zidova. Sa poznatim „dijagramom optere-ćenja“ zida Sij= Sij

δ+ Sijφ, mogu da se odrede tran-

sverzalne sile Qij i momenti savijanja Mij zida 'i' na spratu 'j' usled zemljotresa, kao za konzolni stub - rezultanta uticaja svih tavanica iznad posmatranog nivoa- preseka zida.

Racionalnije je i preglednije da se prvo odrede globalni uticaji konstrukcije u celini, prema sraču-natoj raspodeli ukupnog seizmičkog opterećenja po visini objekta, slika 3.8.

- Transverzalna sila zida „i“ u nivou sprata „j“

Qij= 1

m

ikk j

S= +∑ =

1

m

k j= +∑ (Sik

φ+ Sikδ)=

=1

m

k j= +∑ (SkIi / i

iI∑ +SkeIiri / 2

i ii

I r∑ )

Z1

Z6

ZA2

ZD2

CK

ϕ

X

Y

Mϕt

c.

r 6r 1

rA2

rD2

Rϕ6=Kx6ϕr6

Rϕ1=Kx1ϕr1

Rϕ

D2 =K

yD2 ϕrD

2

Rϕ

A2 =K

yA2 ϕrA

2

CK

Slika 3.11 nastavak - c.) pri rotaciji tavanice oko centra krutosti CK za ugao ϕ , rezultanta reakcija svih zidova je

samo moment torzije Mϕt (zbog preglednosti, nisu

prikazani izrazi za sile svih zidova)

CK

CM

Sj

Mtj

S1

Mt1

Sm

Mtm

SδimSϕ

im

Sδij

Sϕij

SδijSϕ

ij

Tava

nica-n

ivo 'j'

Zid 'i' 'CK-osa'

xy

z

Slika 3.12 - Seizmičko opterećenje zida 'i'

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-10

=( Ii / ii

I∑ +e Iiri / 2i i

iI r∑ )

1

m

k j= +∑ Sk

odnosno Qij= αiQ0j (3.15)

gde je: ai= Ii / ii

I∑ +e Iiri / 2i i

iI r∑ ); Q0j =

1

m

k j= +∑ Sk

- Moment savijanja zida „i“ u nivou sprata „j“

Mij= 1

m

ikk j

S= +∑ (zk-zj)=

1

m

k j= +∑ (Sik

φ+ Sikδ) (zk-zj)= αi

1

m

k j= +∑ Sk(zk-zj)

odnosno: Mij= αiM0j , gde je M0j =1

m

k j= +∑ Sk(zk-zj) (3.16)

Prema Yu81, član 34, momente torzije Mt= S×e sračunate iz čisto statičkih razmatranja treba uvećati faktorom KT = 1,50, zbog „spregnutosti bočnih i torzionih vibracija“ sistema sa dva stepena slobode (ili tri) po spratu. To znači da treba korigovati i izraz (3.13) za Si

φ, odnosno koeficijent participacije αi zida „i“:

αi= Ii / ii

I∑ +KT e Iiri / 2i i

iI r∑ (3.17)

Nastavak primera, konačno. - Centar krutosti Moment inercije svih zidova je isti, Ii= 1,325 m4 (str. 3-5) xCK= ΣKyi xi /ΣKyi= (IA1×0,0+ IA2×0,0+ ID1×20,0+ ID2×20,0)/( IA1+ IA2+ ID1+ ID2)= = 40×I/4×I= 10,0 m yCK= ΣKxi yi /ΣKxi= (I1×0,0+ I3×8,0+ I5×16,0+ I6×20,0)/( I1+ I3+ I5+ I6)= = 44×I/4×I= 11,0 m - Centar mase (uz pretpostavku jednako raspodeljene mase u osnovi) xCM= 10,0 m yCM= 10,0 m - Ekcentricitet centra mase u odnosu na centar krutosti e= xCK - xCM= 11,0-10,0= 1,0 m

a.

S7

SJ

S2

S1 h=2,

80

j

1

2

m=7

Q01

Sj

Q07=S7

j

b.

Q0j

Q0

j

c.

M0j

M0

j

e.

Mij=αiM0jj

d.

Qij=αiQ0j

z

z j

H

Q0j M0j Qij Mij

Slika 3.13 - Odredjivanje uticaja u zidu 'i' : a.) seizmičko opterećenje objekta - prema slici 3.7.a; b.) ukupna

transverzalna sila sprata Q0j ; c.) ukupni moment savijanja - 'preturanja' M 0j u nivou sprata 'j' ; d.) transverzalna sila zida u nivou sprata 'j' - Q ij = αi Q0j ; e.) moment savijanja zida 'i' u nivou sprata 'j'

Mij = αi M0j , gde je αi - 'koeficijent participacije' zida 'i' u ukupnoj nosivosti

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-11

- Globalni uticaji konstrukcije u celini Za raspodelu seizmičkog opterećenja prema sl. 3.8, dijagram ukupne transverzalne sile

Q0j i momenata savijanja-preturanja objekta M0j dati su na sl. 3.14. - Uticaji u zidu Z1

r1= yCK-y1= 11,0-0,0= 11,0 m (voditi računa o definiciji i znaku r) I1 / i

iI∑ =I1/( I1+ I3+ I5+ I6)= I/4×I= 0,25 (samo zidovi sa krutošću u X- pravcu)

I1r1 / 2i i

iI r∑ = I1r1 /( I1r1

2+ I3r32+ I5r5

2+ I6r62+ IA1rA1

2+ IA2rA22+ ID1rD1

2+ ID2rD22)

= I×11,0/(I( 11,02+3,02+5,02+9,02+10,02+10,02+10,0210,02) = 11,0×I/636×I= 0,0173 1/m α1= I1/ i

iI∑ + KT e I1r1 / 2

i ii

I r∑ = 0,25+1,5×1,0×0,0173= 0,2759

Dijagrami uticaja Q1j= α1Q0j odnosno M1j= α1M0j dobijaju se množenjem odgo-varajućih vrednosti sa slike 3.14 faktorom α1. - Uticaji u zidu Z3

r3= yCK-y3= 11,0-8,0= 3,0 m I3 / i

iI∑ =I/4×I= 0,25

I3r3 / 2i i

iI r∑ = 3,0×I/636×I= 0,004717

α3= 0,25+1,5×1,0×0,004717= 0,2571 - Uticaji u zidu Z6

r6= yCK-y6= 11,0-20,0= -9,0 m I6 / i

iI∑ =I/4×I= 0,25

I6r6 / 2i i

iI r∑ = -9,0×I/636×I= -0,01415

α6= 0,25-1,5×1,0×0,01415= 0,2287 Voditi računa gde torzija povećava, a gde smanjuje uticaje u zidovima! - Uticaji u zidu ZD1 rD1= xCK-xD1= 10,0-20,0= -10,0 m KxD1/ΣKxi= 0 Usled zemljotresa u X- pravcu, ovaj zid ima uticaje samo usled torzije! KxD1 rD1 / ΣKiri

2= ID1rD1/ 2i i

iI r∑ = -10,0×I/636×I= -0,01572

αD1= -0,01572×KT×e= -0,01572×1,50×1,0= -0,02358

2.5.3 Uticaji usled zemljotresa u Y- pravcu Sve isto kao za X- pravac, jedino nema torzionih uticaja jer je konstrukcija simetrična,

e=0. Četri zida u Y-pravcu primaju po 25% opterećenja, αi= 0,25.

3.6 KONTROLA 'POMERANJA' KONSTRUKCIJE Yu81 nije eksplicitan u slučaju dispozicija sa torzionim deformacijama, da li treba

proveriti translaciju centra mase („težište objekta“), ili je u pitanju pomeranje kritičnog zida, kod koga translacija+rotacija daju najveća pomeranja - zid Z1 u ovom slučaju. S obzirom da je u pitanju kriterijum oštećenja pregrada i fasada, za kontrolu se usvajaju pomeranja zida Z1.

a.

2805,4

b.

Q0j(kN)

2720,2

2549,9

2294,4

1953,8

1528,0

1017,0

41632

33777

26161

19021

12596

7126

2847M0j(kNm)

Slika 3.14 - Ukupna transverzalna sila i moment

savijanja-preturanja spratova konstrukcije u celini

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-12

Pomeranje vrha zida može da se odredi na osnovu njegovog pripadajućeg opterećenja- dijagrama momenata savajanja M1j= α1M0j. Dovoljno je tačno (na ispitu, u fazi idejnog pro-jekta) ako se pomeranja odrede na osnovu ukupnog seizmičkog opterećenja zida (= transver-zalnoj sili u uklještenju), i to 85% raspodeljeno linearno promenljivo, a 15% postavljeno u vrhu zida, sl. 3.15.

α1= 0,2759 maxQ0j= 2805,4 kN (slika 3.14) S1= α1 maxQ0j = 0,2759×2805,4= 774,0 kN 0,85S1= 0,85×774,0= 658,0 kN 0,15S1= 0,15×774,0= 116,0 Kn 0,5q*H= 658,0 → q*= 658,0/(0,5×19,6)= 67,2 kN/m’

(sl. 3.15.b) MB 30 → EI1= 3×107×1,325=

3,975×107 kNm2

δ1= 11q*H4/120EI1= 11×67,2×19,64/(120×3,975×107)= 0,023 m

δ2= 0,15SiH3/3EI1= 116,0×19,63/(3×3,975×107)= 0,007 m δ= δ1+ δ2= 0,023+0,007= 0,030 m < H/600= 19,6/600= 0,033 m Pomeranja su kao u slučaju okvira, Primer 2.

3.7 KONTROLA DUKTILNOSTI ZIDA Z1 Prema Yu81, član 73, iznos aksijalnog naprezanja zida usled gracitacionog opterećenja je

ograničen: σ0 /βB≤ 0,20 gde je σ0= N/F βB= 0,7 βK zid Z3, slika 3.9 N= Ng+0,5Np= 3686,2+0,5×784,0= 4078 kN zid Z1 N1≈0,5×4078= 2039 kN MB 30 → βB= 0,7×30= 21 MPa b/lw= 20/430 → F= 20×430= 8600 cm2 σ0= N/F= 2039/8600= 0,24 kN/cm2= 2,4 MPa σ0 /βB= 2,4/21= 0,11< 0,20 Uočiti da je u slučaju zida Z3 ovaj uslov prekoračen, treba podebljati zid u donjim etaža-

ma, ili povećati marku betona.

3.8 DIMENZIONISANJE ZIDA Z1 NA SAVIJANJE Maksimalni uticaji u uklještenju zida Stalno opterećenje Mg≈0 Ng≈ 0,5×3686,2= 1843,1 kN (sl. 3.9.b) Korisno opterećenje Mg≈0 Np≈ 0,5×784,0= 392,0 kN (sl. 3.9.c) Zemljotres Merodavan je slučaj zemljotresa u X- pravcu, sa efektima torzije Ns≈ 0 Ms≈ α1M0j= 0,2759×41632= 11486 kNm (slika 3.14) Zbog promenljivog znaka momenata savijanja zida pri zemljotresu, zidovi se armiraju

simetrečno.

=

Zi

δ1

EIi

85%Si

q*

b.

Si

Zi

δ

EIi

H

a.

+

Zi

δ2

EIi

15%Si

c.

Slika 3.15 - Odredjivanje 'pomeranja' vrha zida

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-13

Prema Yu81, član70, minimalni procenat armiranja ivičnom armatu-rom (Fa1 na sl. 3.16.b) iznosi:

μ1= Fa1×100/blw≥ 0,15% (3.18) S obzirom na izduženi presek, zid

se armira i srednjom armaturom (Fa0 na sl.3.16.b), čiji minimalni procenat iznosi takođe

µ0= Fa0×100/blw≥ 0,15% (3.19) Ukupni minimalni procenat pre-

ma tome iznosi 0,45 %, s tim da se ivična armatura (po 0,15 %) raspore-đuje na krajevima zida, na dužini 0,10lw, slika 3.16.a.

Korektan algoritam za dimen-zionisanje preseka zida treba da obu-hvati sve unutrašnje sile preseka, sl. 3.16.c. (videti programirano ponaša-nje-deo A): za usvojenu srednju arma-turu zida (Fa0), treba odrediti potrebnu ivičnu armaturu simetrično armiranog zida (2Fa1).

U praksi, pogotovu u fazi idejnih rešenja (i na ispitu!), obično se pot-rebna armatura proračunava kao za jednostruko armirani presek, pa se us-vaja jednaka na oba kraja zida (pret-postavka- lom „po čeliku“).

Granični uticaji- seizmička kom-binacija:

N= Ng+0,5Np = 1843,1+0,5×392,0= 2039,1 kN Moment oko zategnute armature Mau= γMMs+γNN(lw /2-a1)

(pretpostavka εb< 3,5‰) Za određivanje nosivosti prese-

ka–potrebne zategnute armature, pret-postavlja se povoljno dejstvo gravi-tacionih opterećenja

γM= 1,3 γN= 1,0 Mau=1,3×11486

+1,0×2039,1(4,3/2-0,43/2))=18877kNm

↑ 0,10lw /2 RA 400/500; σv= 400 MPa lw= 4,3 m z≈0,8lw= 0,8×4,30= 3,44 m

potFa1 ≈ Mau / σvz-γNN/ σv= 18877×10 2/(40,0×344)-1,0×2039,1/40,0= 86,21 cm2

lw

lw/10 lw/10

b

minµ=0,15%minµ=0,15%minµ=0,15%

a.

a1 a1

b

Fa1 Fa1Fa0

b.lw

Nu

Mu

Za1 Za0

Da0 Da1

Db

z~0,8lw

c.

Slika 3.16 - Koncept armiranja zida

a.

20

lw/10~45

~9 cm 18Rφ25

Fa0

40

40

20

400

18Rφ25

Fa0

b.

Slika 3.17 - Armiranje kraja zida

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-14

Za prečnik vertikalne armature, kod zidova se obično usvaja Øv≤ (1/8−1/10)b = (1/8−1/10)200≈Ø25−Ø20 Usvojeno: 18RØ25 (stvFa= 88,2 cm2; μ1= 88,2/20×430= 1,03%) Na slici 3.17.a prikazan je detalj (pre)armiranja kraja zida, prema Yu81 pravilniku. Bolje

rešenje je da se na krajevima zida formira „stub“, kako zbog smeštaja i utezanja armature uzengijama, tako i zbog oslanjanja greda (u ovom slučaju), slika 3.17.b.Yu81 ni u jednom stavu ne definiše utezanje krajeva zida, čak ni kao pojam!

Lokalni procenat armiranja ivičnog stuba µ= 88,2×100/402= 5,5<6% (Yu 81)

3.9 ZID Z1- OSIGURANJE OD LOMA TRANSVERZALNIM SILAMA Maksimalni uticaji u uklještenju zida Q1= α1Q0j= 0,2759×2805,4= 774,0 kN Prema BAB-u, ograničena je veličina maksimalnog „nominalnog napona smicanja“ τm τm= γ Q1 /bz≤ 5 τr MB 30 → τr= 1,1 MPa τm= 1,3×774,0/(20×334)= 0,15 kN/cm2= 1,5 MPa<5 τr Prema Yu81, član 71, 'računska sizmička poprečna sila zida isključivo se pokriva hori-

zontalnom armaturom, sa minimalnim procentom armiranja μ= 0,20% površine vertikalnog preseka zida!'

Ako je („model rešetke“) nagib pritisnute dijagonale θ= 450 (ugao prsline ~450), ukupna horizontalna armatura FaH koja 'premošćuje' prslinu visine h ≈ z iznosi, slika 3.18:

ΣX= 0 → FaH σv= γQ= Qu ili, na metar dužni visine zida

faH= FaH /z ≈ Qu /0,8lw σv (cm 2/cm) (3.20) faH= 1,3×774,0/(40×344)= 0,073 (cm2/cm) μ= faH /b= 0,073/20= 0,36%> minμ= 0,2% usvojeno: ± RØ10/20 RØ10 → fu= 0,59 cm2 e= 20 cm (razmak) stvμ=2 fu /be=2×0,79/(20×20)

= 0,395%> potμ= 0,36% Vertikalna armatura Fa0 srednjeg dela-

rebra zida (FaV na sl. 3.18) obično se usvaja jednaka horizontalnoj

usvojeno: ± RØ10/20

3.10 KONSTRUISANJE ARMATURE ZIDA Z1 Prema Yu81, član74: „srednja armatura (rebra) nastavlja se na preklop, a na krajevima

(ivična armatura) zavarivanjem, ili se armatura vodi kroz dva sprata, čime se 50% nastavlja preklapanjem na svakom spratu“. Plan armature zida prikazan je na slici 3.19.

mfuσv

mfuσv

mfuσv θ

Z

Dz

~z s

QuNu

lw

Tavanica

Fah

Fav

Slika 3.18 - Obezbedjenje od loma 'rebra' zida

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-15

h cr~2

,80

M*

γM

d.

40

40

20

9Rφ2519Rφ252

7 uRφ8/10(20)5 uRφ8/10(20)

6 uRφ8/10(20)

Detalj A

c.40 40360

40

±Rφ10/20 ±Rφ10/20

400

20

4

3

Detalj A

40

44

3

3

3

l s1

l s2

1 9Rφ25

9Rφ252

1a 9Rφ25

9Rφ252a

1a 9Rφ25

2a 9Rφ25

0,00

+2,80

+5,60

+8,40

56

7uR

φ8/1

05

67

uRφ8

/20

56

7uR

φ8/1

0

56

7uR

φ8/2

0

56

7uR

φ8/1

0

2020

20

a.

b.

4l s1

l s2

9Rφ252

1 9Rφ25

Slika 3.19 - Shema armiranja zida Z1

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-16

Za ivičnu armaturu zida, u okviru stubova, usvojen je koncept vodjenja armature kroz dva sprata, tako da se u jednom nivou nastavlja 50% armature. Srednja armatura zida može da se vodi od sprata do sprata. Izvodjačima najviše odgovara da se za svu vertikalnu armaturu iz temelja ispuste samo ankeri, što treba izbegavati, osim ako se ne obezbedi 'fino' armiranje nastavka 100% ivične armature (recimo prema Evrokodu 2), ili zavarivanje.

Na višim spratovima može da se proredi ivična armatura zida, dozvoljeno je 'pokrivanje' dijagrama momenata savijanja zida prema modifikovanoj liniji zatežućih sila na slici 3.19.d. (videti BAB).

3.11 UTICAJ VETRA NA KONSTRUKCIJU Iako je glavna tema ovoga primera analiza uticaja zemljotresa, u okviru izrade godišnjeg

rada, a i na pismenom delu ispita potrebno je uraditi i analizu uticaja usled dejstva vetra na objekat, i noseće elemente konstrukcije dimenzionisati prema 'merodavnim uticajima'. Zadaci se rade na nivou 'idejnog rešenja', pa se u ovom poglavlju data kratka uputstva za ocenu uticaja usled dejstva vetra. Postupak potiče iz ranijih propisa, i nije saglasan sa važećim propisima za opterećenje vetrom, ali ga verovatno i danas stariji inženjeri primenjuju u fazi idejnih rešenja, jer je jednostavan a i poznato je da uobičajene betonske konstrukcije nisu preterano osetljive na dejstva vetra.

Zavisno od očekivanih maksimalnih dejstava vetra, teritorija zemlje podeljena je na 'zone' sa definisanim nominalnim pritiskom vetra - 'osnovnim dejstvom vetra - w0 (kN/m2)'. Za betonske konstrukcije na području Beograda, nekada se usvajalo w0 = 0,75 kN/m2, na primer.

Za uobičajene četvorougaone oblike osnova objekata, efekat vetra se na fasadi direktno izloženoj vetru manifestuje kao pritiskujuće dejstvo u iznosu +0,8w0, a na naspramnoj strani kao istovremeno 'sišuće' dejstvo vetra u iznosu -0,4w0 , slika 3.20. Maksimalno dejstvo vetra usvaja se da deluje ili u pravcu X (slika 3.20.a), ili u pravcu Y (slika 3.20.b), ali ne i istovremeno iz oba pravca. Vetar duva na fasadu koja svoje reakcije prenosi na tavanice, tako da se u nivou tavanice 'i' javlja rezultujuća 'spratna sila' vetra Vi = (0,8w0 + 0,4w0)lhi , gde je l - širina fasade upravno na pravac dejstva vetra (l=L za pravac X, slika 3.20.a, odnosno l=B za pravac Y, slika 3.20.b), a hi - spratna visina.

a.

-0,4w0

Osnova

B=20,0 m

L=5x

4,0=

20,0

m

Y

A B C D1

2

3

4

5

6

Pos100

X

+0,8w0

VYi

CK

B/2 B/2

b.Osnova

B=20,0 m

L=5x

4,0=

20,0

m

Y

A B C D1

2

3

4

5

6

Pos100

X

+0,8

w0

-0,4

w0

L/2

L/2

VXi

CK

e Vx

Slika 3.20 - Dejstvo vetra na objekat izraženo kao 'pritisak', odnosno 'sisanje' u X, odnosno Y - pravcu.

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-17

Intenzitet vetra se menja po visini objekta, ali se za uobičajene visine objekata u fazi

idejnih rešenja može usvojiti da je konstantan po visini, slika 3.21. Ukoliko pravac spratne rezultante vetra V ne prolazi kroz centar krutosti sprata CK, kao i

slučaju dejstva zemljotresa nastupiće uvrtanje konstrukcije usled dejstva torzionih momenata Mt , slika 3.20.a i slika 3.22. Poreklo sila je različito, i različito se odredjuju, ali se njihov 'statički efekat' na konstrukciju računa na identičan način, već prikazan u delu o dejstvu zemljotresa, izraz 3.17. S obzirom da se pri dejstvu vetra na uobičajene objekte ne očekuju izraženiji dinamički efekti, to se pri analizi dejstva vetra za vrednost koeficijenta KT u izrazu 3.17 usvaja KT = 1,0, odnosno αi= Ii / i

iI∑ +e Iiri / 2

i ii

I r∑ .

U slučaju prikazanom na slici 3.20, ekscentricitet spratnih rezultanti usled vetra odnosno zemljotresa je identičan, jer rezultanta vetra deluje kroz centar mase tavanice CM. To ne mora uvek da je slučaj, slika 3.23 na primer. Oblik osnove i raspored nosećih zidova Z1-Z4 u osnovi je takav da rezultanta vetra prolazi kroz centar krutosti CK, tako da nema dopunskih torzionih dejstava usled vetra. Za razliku od spratne sile vetra koja je rezultanta pritisaka na fasadu, spratna sila usled zemljotresa je inercijalna, i njena rezultanta deluje u centru mase CM, čiji položaj zavisi od oblika osnove i rasporeda masa. U slu-čaju prikazanom na slici 3.23, dejstvo zemljotresa izaziva i torzione efekte, za

razliku od dejstva vetra, slika 3.24.a. U slučaju prikazanom na slici 3.24.b, oba dejstva izazivaju torzione efekte, ali sa različitim ekscentricitetom u odnosu na centar krutosti CK.

+0,8

w0

PresekA B C D20,0 m

I

II

III

IV

V

VI

VII

0,00

+19,60

-0,4

w0

7x2,

80=1

9,6

m

VXi

Slika 3.21 - Približno dejstvo vetra po visini nižih

objekata

Z1

Z3

Z5

Z6

ZA1

ZA2

ZD1

ZD2

CK

ϕ

X

Y

Mt=VXieVxVXi

Slika 3.22 - Torzija objekta u osnovi usled dejstva

vetra

Y

Z1

Z3

L=6

x 6,

00=3

6,00

m

B=6 x 6,00=36,00 m

Z2

Z4

+0,8

w0

-0,4

w0

VXi CK

CM

L/2

L/2

X

Slika 3.23 - Slučaj kada spratne rezultante usled vetra

odnosno zemljotresa ne deluju u istim napadnim tačkama

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-18

U slučaju nepravilnih osnova zgrada, efekti vetra mogu da budu složeni, posebno kada su u pitanju lokalna dejstva na pojedine elemente ili zone objekta. Za ocenu globalnog ponašanja konstrukcije i utvrdjivanje potrebne nosivosti glavnih nosećih elemenata - zidova u ovom slu-čaju, dovoljno je tačno da se na nivou idejnog rešenja efekat vetra razmatra kao dejstvo na 'projekciju fasade', uz zanemarenje lokalnih nepravilnosti osnove, slika 3.25.

3.12 SLUČAJEVI SLOŽENIH OBLIKA NOSEĆIH AB ZIDOVA Sva dosadašnja razmatranja odnosila su se na osnovni oblik 'pravougaonog preseka' zida,

sa eventualnim ojačanjima-'stubovima' na krajevima, u kom slučaju može da se govori o I-preseku nosećeg zida. Pored toga, položaj zidova u osnovi u svim primerima je takav da se pravac pružanja svih zidova poklapa sa pravcima 'glavnih osa inercije' konstrukcije - na orto-gonalnoj osnovi usvojen je i ortogonalni pravac pružanja zidova, u X i Y-pravcu. U praksi, zidovi se pojavljuju sa različitim oblicima preseka kao i položajima u konstrukciji, slika 3.26.

Y

X

Z1

Z3

LB

Z2

Z4

CK

CM

VX

SX

e Sx

L/2

L/2

a.

Y

L

Y

X

Z1

Z3

L

B

Z2

Z4VX

SX

e Sx

L/2

L/2

CK

CM

e Vx

b.

Slika 3.24 - Rezultujuće spratne sile usled vetra - V, odnosno zemljotresa - S

Z1Z2

L

B

Z1

Z3

Z2

Z3

Vazdušniprostor+0

,8w

0

-0,4

w0

VXi

L/2

L/2

CKZ1

Z2

L

B

Z1

Z3

Z2

Z3

Vazdušniprostor

+0,8w0

-0,4w0

VYi

CKB/2 B/2

a. b.

Slika 3.25 - Ocena dejstva vetra za kontrolu nosivosti objekata sa nepravilnim osnovama

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-19

Kvadratni oblik osnove objekta suge-riše da se dejstva zemljotresa analiziraju u ortogonalnom X-Y sistemu, kao i u svim prethodnim primerima. Kosi položaj jednog zida - Z1 na primer, sa rotiranim sopstvenim osama inercije u odnosu na X-Y sistem dovoljan je da i 'glavne ose inercije' konstrukcije u celini ne budu paralelne X-Y osama, pa bi u principu trebalo analizirati dejstva zemljotresa u pravcima glavnih osa inercije konstrukcije. Na projektantu je da odluči o računskom pravcu delovanja horizontalnih dejstava. U okviru ovoga kursa, ovakvi se slučajevi ne razmatraju, pa se i ne pojavljuju u godišnjim zadacima, odnosno pismenom delu ispita. To važi i za sve ostale primere oblika zidova na slici 3.26.

Tretman složenog T-preseka zida Z2 na slici 3.26 u praksi zavisi od primenjene metode analize. Ako se radi 'peške', kao u

prethodnom primeru, tada 'rebro'- duži deo zida (sa eventualnim efektom sadejstvujuće širine flanše na krutost u X-pravcu) može da se razmatra kao 'zid u X-pravcu', a da se flanša zida razmatra kao poseban zid u Y-pravcu, svako sa svojim položajem u odnosu na X-Y ose. Isto važi i za odredjene vrste softvera za analizu uticaja zemljotresa, kao što je 'TABS', na primer. Ako se koriste softveri na bazi metode konačnih elemenata, stvari mogu značajno da odstupe od očiglednosti pa i od pretpostavki propisa.

Slično slučaju zida Z2, L-presek zida Z3 se u praksi često razmatra kao slučaj dva posebna zida u X odnosno Y-pravcu, bar pri proračunu uticaja. Problem može da nastane pri dimenzionisanju, jer je u pitanju ipak jedinstven presek. Pravilnije je vektorski sabrati uticaje dobijene u pojedinim 'krilima' L-preseka, i potom dimenzionisati jedinstveni presek, nego svaki deo zida dimenzionisati sa svojim računskim uticajima.

U slučaju sandučastih preseka zidova tipičnih za liftovska jezgra, zid Z4 na slici 3.26 na primer, u praksi se koriste različiti modeli, što zavisi od primenjene metode analize, ali i od vitkosti jezgra - odnosa visine jezgra prema najvećoj dimenziji preseka u osnovi. Što je vit-kost veća, ponašanje jezgra sandučastog preseka sve se više približava ponašanju stuba sandu-častog preseka. U tom slučaju, sandučasti presek jezgra može da se modelira sa dva odvojena konzolna elementa u X odnosno Y-pravcu, sa odgovarajućom krutošću za svaki pravac. Sa dobijenim uticajima, vitko jezgro se dimenzioniše kao stub sandučastog preseka.

U slučaju niskih - 'zdepastih' jezgara, obično se za krutost jezgra u X odnosno Y-pravcu usvajaju samo zidovi koji se pružaju u razmatranom pravcu, sa ili bez efekta flanši zbog prisustva zidova u ortogonalnom prvacu. Ako se koriste softveri na bazi konačnih elemenata, treba pažljivo interpretirati rezultate imajući u vidu pretpostavke u vezi ponašanja betonskih elemenata u slučaju zemljotresa.

Ponovimo, slučajevi sa slike 3.26 nisu predmet ovoga kursa.

Y

X

Z1

Z2

Z3

6x5,

00=3

0,00

m

6x5,00=30,00 m

Z4

Slika 3.26 - Različiti oblici preseka i položaja zidova

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-20

3.13 PITANJA I ODGOVORI

3.13.1 Osim ograničenja aksijalnog naprezanja (σ0< 0,2βB), Yu81 ne postavlja druge zahteve za obezbeđenje duktilnosti zidova. Šta zahteva EC8, na primer?

Da bi se ostvarila potrebna krivina preseka zida, potrebno je povećati kapacitet dilatacija pritisnutih krajeva zida.

Kraj zida na dužini lc= 0,15lw, EC8 tretitra kao „skriveni stub“, opterećen centrično „efektivnom normalnom si-lom“ effNu. Za ovaj „stub“ važe ista pra-vila i postupci za obezbeđenje potrebne duktilnosti kao i za normalne stubove, slika 3.27- videti i Primer 1.

Prema EC8: effNsd= 0,5(Nsd /2+Msd /z) (3.21) Bezdimenzionalna efektivna normal-

na sila effνd= effNsd /Acfcd

(videti 1.6, str. 1-9) Ac= blc= 0,15 blw Za konstrukciju određene klase duk-

tilnosti (DCH u ovom slučaju, prema Yu81), ograničava se effνd i zahteva se

odgovarajuće utezanje uzengijama preseka „skrivenog stuba“. Ilustracija na primeru zida Z1 Nsd= γN= 2039,1 kN (γ= 1,0, prema EC8) Msd= γMs= 11486 kNm (γ= 1,0, prema EC8) z≈ lw-lc= lw-0,15 lw= 0,85 lw= 0,85×4,3= 3,65 m effNsd= 0,5(2039,1/2+11486/3,65)= 2083 kN C 25/30 → fcd= fck /γc= 25/1,5=16,67 MPa (videti Primer 1) Ac= blc= 0,15blw= 0,15×20×430= 1290 cm2 effνd= effNsd /Ac fcd= 2083/(1290×1,667)= 0,97>maxνd= 0,55 (DCH) Pritisak na kraju zida je prevelik i ne može da se realizuje potrebna duktilnost zida! U

ovom slučaju je moment savijanja zida prevelik. U našoj praksi, veličina momenta savijanja koji zid može da prenese limitirana je ili nosi-vošću zida, ili uslovima smeštaja zategnute arma-ture.

Prema EC8, uslov obezbeđenja duktilnosti pritisnutog kraja zida postaje merodavan!, slika 3.28. Za dati nivo aksijalnog opterećenja ukupnog preseka zida νd, EC8 praktično ograničava maksi-malni dozvoljeni ekscentricitet

e= Msd / Nsd izražen na slici 3.28 u odnosu na dužinu zida e/lw.

Prema EC8, (ako se ne varamo), procenat armiranja u bilo kom delu zida ne sme da bude veći od 4 % (kao za stubove). U tom slučaju, i „lokalni procenat armiranja“ skrivenog stuba kraja zida treba da je manji od 4 %.

μ1*= Fa1 /blc≤ 4 %

lw

lc lc

b

a.

e

effNSd NSd

'Skriveni stub'

Slika 3.27 - 'Skriveni stub' na krajevima zida

1

0,10νd=Nsd/bwlc

max

e/l w

2

3

4

5

0,20

Kriterijumeffνd<0,55

Kriterijumµ∗

1=4%

Slika 3.28 - Ograničenje veličine momenata

savijanja zida

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-21

U ovom primeru, Fa= 88,2 cm2 (sl. 3.17.a) μ1

*= 88,2/(0,15×20×430)= 6,8%> 4 % Da li proširenje kraja zida i formiranje stuba reševa problem prema EC8? b/d= 40/40 → effνd≈ 2083/(402×1,667)= 0,78> 0,55

b/d= 50/50 → effνd≈ 2083/(502×1,667)= 0,50< 0,55 Ok. Proračun uzengija za utezanje betona u svemu kao u Primeru 1, sa normalnom silom

effNsd , i sa μ1/r= q2= 42= 16 („samostalni zid“)

3.13.2 Realni kapacitet nosivosti na savijanje preseka zida Z1 u uklještenju verovatno da je veći od računski potrebnog, Ms= 11486 kNm: zbog zanemarenja nosivosti srednje armature Fa0 (usvo-jeno ± RØ10/20), zbog zanemarenja efekta pritisnute armature a možda i zbog konzervativne pro-cene kraka unutrašnjih sila z= 0,8lw. Kako se to odražava na „programirano ponašanje“ zida i konstrukcije u celini (videti 6.18- deo A)?

Dijagram moment-krivina za usvojenu armatru preseka zida Z1 i normalnu silu N= 2039 kN dat je na slici 3.29.

Realni kapacitet na savijanje iznosi, slika 3.29.a Mu= 19323,6 kNm (> 1,3 Ms= 1,3×11486= 14932 kNm) Presek je nepotrebno prearmiran. Tačniji proračun pokazuje da potrebna armatura iznosi 12RØ25 (μ1

*= 4,5 %) Mu= 14980 kNm≈ 1,3 Ms U slučaju preseka zida Z1 sa ojačanjem na krajevima – stubovima, nosivost preseka

armiranog sa 12RØ25 na krajevima je, slika 3.29.b, iznosi Mu= 15743,7 kNm

(veći krak sila), ali je i maksimalna krivina preseka maxκ= 0,00734

znatno veća nego u slučaju pravougaonog preseka sa istom armaturom, slika 3.29.b. Već kada je reč o teorijskoj vezi moment-krivina preseka zida, izgled fragmenata zidova

nakon statičkog ispitivanja savijanjem u jednom pravcu prikazan je na slici 3.30. Zidovi su dostigli maksimalnu nosivost na savijanje i nastupilo je razvlačenje zategnute armature, uz pojavu prslina pa i pukotina, uz naglašen uticaj transverzalnih sila.

κ (1/m)

19323,6

0,00407

M (kNm)

20

18Rφ25

430

18Rφ25 ±Rφ10/20

N=2039 kN

Pojavaprslina

Početaktečenja

armature

κ (1/m)

15743

0,00734

M (kNm)

40 40360

40

±Rφ10/20

20

40

440

12Rφ25 12Rφ25

N=2039 kN

Pojavaprslina

Početaktečenja

armature

Slika 3.29 - Računski dijagram moment-krivina zida bez, i sa ojačanjima na krajevima pri

' monotonom opitu' - savijanju u jednom pravcu

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-22

Slučaj na slici 3.30 nije tipičan za efekte uobičajenih zemljotresa, mada je moguć, u slučaju zemljotresa sa jednim izraženim impulsom i deformacijom konstrukcije praktično u jednom smeru, nalik monotonom statičkom opitu. Mere koje zahtevaju propisi obično podrazumevaju da će zid u toku zemljotresa morati pouzdano da izdrži 5-6 ciklusa značajnih alternativnih deformacija, uz veliki broj ciklusa sa malim amplitudama pomeranja.

Slika prslina i veza 'sila u vrhu - pomeranje vrha' stuba nakon opita cikličnih deformacija prikazani su na slici 3.31.a. Karakteristične su ukrštene X-prsline, uz tendenciju njihovog spajanja u veće prsline-pukotine, slika 3.31.a. Za dijagram sila-pomeranje, tzv. 'histerezisni dijagram', karakteristična je pojava razmicanja pozitivne i negativne grane - pojava tzv. 'uštinuća' dijagrama. Nakon dostizanja maksimalne amplitude pomeranja u jednom smeru i otvaranja pratećih prslina, pri povratku u suprotnom smeru zid ima tendenciju da 'prokliza' preko ukrštenih prslina koje se još nisu zatvorile, i formirale 'pritisnutu' zonu betona. Ova

Slika 3.30 - Slika prslina pri savijanju u jednom pravcu - 'motoni opit'

a. b.

Slika 3.31 - Slika prslina u uklještenu zida nakon cikličnog opita i histerezisni dijagram

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-23

pojava je izraženija kod 'zdepastih' zidova, kod kojih dominantna deformacija usled smicanja zida.

Drugi primer opita zida pri cikličnim deformacijama prikazan je na slici 3.32. Naglašena

je pojava spajanja ukrštenih prslina, slika 3.32.b, praćena 'uštinućem' histerezisne krive sila-rotacija, slika 3.32.e. Pri malim amplitudama cikličnih deformacija zid se ponaša 'elastično', slika 3.32.c. Sa porastom amplituda deformacija, nastaje degradacija betona u zoni uklještenja praćena klizanjem zida, slika 3.32.e.

Prema konceptu „programiranog ponašanja“, proračunske transverzalne sile zida treba korigovati, uskladiti sa „realnom“ nosivošću na savijanje, slika 6.21- deo A.

Presek u uklještenju zida Z1 dimenzionisan je na računske uticaje Qs= 774 kNm (=S) Ms= Sz= 11486 kNm. Pri realnoj nosivosti na savijanje Mu= 19323,6 kNm (sl. 3.9.a)

i istom kraku z rezultante, pri pomeranjima usled zemljotresa, rezultanta S seizmičkog opterećenja će da bude veća, proporcionalno nosivosti na savijanje „plastičnog zgloba“. Zbog efekata viših tonova oscilacija, raspodela seizmičkog opterećenja odstupa od računski pretpostavljene (trougaone) raspodele, tako da rezultanta S* može da ima manji krak z* u odnosu na uklještenje, slika 3.33. Maksimalna transverzalna sila iznosi

Q*= Mu /z* što sve zajedno EC8 obuhvata „faktorom uvećanja transverzalnih sila“- ε.

a. b.

c. d. e.

Slika 3.32 - Ciklični opit AB zida

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-24

ε= q2 2

1

( )0,1( )

Rd u e c

s e

M S Tq M S T

γ +

<q

Q*= εQ q= 4,0 - faktor ponašanja za zidove bez otvora γRd= 1,25 - faktor preopterećenja Mu /Ms= 19323,6/14912= 1,29- odnos realne i potrebne nosivosti na savijanje plastičnog

zgloba TC= 0,8 s - karakteristična perioda spektra ubrzanja za pretpostavljeno tlo kategorije „C“,

sl. 6.3- deo A. T1= 0,82 s - računski period Se(TC)/ Se(T1)≈ 1-odnos ordinata elastičnog spektra ubrzanja, izraz 6.3-A deo A.

ε= 4,02

21,251,29 0,1 1,04,0

+ ×

=2,05< q= 4,0

Zid Z1 trebalo bi proveriti za uticaj maksimalne transverzalne sile Q*= 2,05×774= 1586,7 kN (dva puta veća transv.sila od računske sile S!) Faktor uvećanja ε ne treba usvajati veći od vrednosti faktora ponašanja q, jer vrednost

transverzalne sile q×Q pretstavlja približno „elastičan odgovor konstrukcije“. Proračun-ska anvelopa transverzalnih sila koriguje se prema slici 3.24.

Za ilustraciju, značajna oštećenja zida u zoni uklještenja - 'plastičnog zgloba' pri zemljotresu u Kobe-u (Japan) 1995. godine prikazana su na slici 3.35.

Prekomerna oštećenja zidova pri zem-ljotresu u Turskoj prikazana su na slici 3.36. Uočiti širinu prslina-pukotina, i čove-ka koji provlači šaku kroz raspukli zid! Ovo svakako nije primer dobrog ponašanja AB

H

Oblast plastičnogzgloba

12

Mu

S

S*

z

z*

Slika 3.33 - Računsko i 'proračunsko' opterećenje zida

H

Oblast plastičnogzgloba

2 1

Qmax

εQmax

Slika 3.34 - Računski i korigovani dijagram

transverzalnih sila zida

Slika 3.35 - Oštećenja zida nakon zemljotresa

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-25

zida pri zemljotresu. I pored svega, zid je zadržao dovoljnu nosivost za gravitaciona opterećenja, tako da nije nastupio potpuni kolaps konstrukcije.

3.13.3 A šta je sa zahtevom Yu81 da okvire treba dimenzionisati na 25 % računskog seizmičkog opterećenja?

U praksi, na projektantu je da proceni da li će za osnovni sistem za prijem horizontalnih uticaja da usvoji samo zidove, ili zidove i deo (ili sve) okvire, slika 3.37.

Ukoliko se usvoje samo zidovi, tada se u praksi po pravilu ignoriše izneti zahtev, jer je komplikovan za primenu. Okviri su obično „isprepletani“ sa zidovima, grede se oslanjaju i na zidove itd. Ako se proceni da krutost okvira značajnije utiče na seizmički odgovor konstruk-cije, tada je jednostavnije, i korektnije, u osnovni sistem na samom početku uključiti i okvire, slika 3.37.b, videti i 6.10- deo A.

Ukoliko se, kao u ovom primeru, za osnovni sistem izaberu samo zidovi, tada projektant gubi informacije o uticajima zemljotresa na stubove i grede. Ovi ele-menti se dimenzionišu prema uticajima gravitacionih opterećenja. S obzirom da ok-viri moraju da prate pomeranja konstruk-cije, čiji je računski iznos definisan kru-tošću osnovnog sistema- zidova, to detalji greda i stubova moraju da budu konstrui-sani sa potrebnim kapacitetom deformacija, iako je nosivost okvira određena samo na osnovu uticaja gravitacionih opterećenja.

Zato EC8 zahteva da „grede i stubovi koji pripadaju konstrukciji određene klase duktilnosti“ treba da poseduju zahtevanu duktilnost- kapacitet post- elastičnih deformacija.

Kao ilustracija posledica izbora različitih osnovnih sistema za prijem uticaja zemljotresa, izvršena je analiza različitih modela, slika 3.37. Proračun je izvršen metodom konačnih elemenata- program TOWER, „Radimpex“, Beograd. Analizirana su tri modela osnovnog sistema konstrukcije, sva tri opterećena računskim seizmičkim opterećenjem prema slici 3.8. Za debljinu tavanice usvojeno je d*= 5 cm, da bi se smanjila krutost na savijanje, koja nije obuhvaćena „ručnim analizama“. Nekakva tavanica je u ovom modelu ipak neophodna, kako bi se sačuvala krutost tavanice u svojoj ravni.

Slika 3.36 - Prekomerna oštećenja zidova pri zemljotresu u Turskoj

a.Zid Z1

b.

Slika 3.37 - Osnovni sistem konstrukcije: a.) samo zidovi; b.) zidovi+okviri (Program Tower - Radimpex, Beograd)

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-26

A) Osnovni sistem- samo zidovi, slika 3.37.a Pomeranje vrha zida Z1 iznosi δ= 37,7 mm, što se slaže sa rezultatima približne analize,

δ= 33,0 mm, str. 3.12. Isto važi i za iznos M,Q, zida Z1. B) Osnovni sistem- zidovi pravougaonog preseka 20/430+svi okviri, slika 3.37.b. Pomeranje vrha zida Z1 iznosi δ= 16,6 mm, a dijagrami uticaja prikazani su na slici 3.38.

Pomeranje vrha i uticaji u uklještenju zida Z1, za isto spoljno opterećenje, su približno dva puta manji. Krutost okvira očigledno nije zanemarljiva.

Za razliku od okvirne konstrukcije iz Primera 2, momenti savijanja greda okvira u osi 4 veći su u višim delovima konstrukcije, slike 3.38.a i 3.38.b. U sistemu sa zidovima, momenti greda na koti +5,60 približno su tri puta manji, zbog različitog iznosa i oblika deformacija konstrukcija.

C) Osnovni sistem- zidovi sa stubovima na krajevima + svi okviri Pomeranje vrha zida Z1 iznosi δ= 10,3 mm Sve do sada izneto ostavlja utisak „proizvoljnosti“, kao da ne postoji jasan koncept

projektovanja konstrukcija za uticaje zemljotresa? Elastični odgovor konstrukcije koja bi stvarno imala samo zidove (Z), odnosto „realne“

konstrukcije sa zidovima i okvirima (Z+O) prikazan je na slici 3.39.c. S obzirom da je u oba slučaja period T1 praktično u granicama T≤TC ukupno seizmičko opterećenje Se elastičnog sistema je praktično isto, sl. 3.39.b. Kako je „realan“ sistem (Z+O) približno duplo krući, pomeranja δZ+O su približno duplo manja od pomeranja δZ konstrukcije samo sa zidovima.

Zidovi su dimenzionisani tako da pređu u plastični mehanizam pri pomeranju vrha zida Z1 od δ≈ 37,7 mm, i ukupnom seizmičkom opterećenju S= 2805,5 kN, linija 1 na slici 3.39.c.

Pri kom će pomeranju δy*, i ukupnom opterećenju Sy

* „realna“ konstrukcija zidova i okvira (Z+O) preći u mehanizam, zavisi od nosivosti potencijalnih plastičnih zglobova okvira, linija 2 na sl. 3.39.c. U svakom slučaju, može se očekivati da „realna“ pomeranja δZ+O pri zemljotresu budu manja, pa samim tim i zahtevi za potrebnom duktilnošću zidova. Usvojena računska nosivost zidova praktično predstavlja željeni nivo opterećenja (i pomeranja) pri kome će početi formiranje mehanizma, dok bi se potpun mehanizam ukupne konstrukcije

a. b.

M=5803 kNmQ=323 kN

M~80 kNm M~50 kNm

Slika 3.38 - Model zid+okviri: a.) momenti u osi 1; b.) momenti u osi 4

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

3-27

ostvario pri daljem prirastu pomeranja, kada i svi okviri pređu u plastični mehanizam. Do toga uopšte i ne mora da dođe.

U ovom slučaju, bilo bi racionalno uključiti i okvire u osnovni sistem, kako zbog

potrebne armature, tako i zbog realnije ocene pomeranja.

T1=0,82

TB=0,15 TC=0,80

T (s)

Se (T)

αW

αβ0W

Z

Z+O

b.

A B C D

0,00

+19,60δ

S

a.

δZ

δ (mm)

S (kN)

Se

S=2805,5

Z+OZ

O

37,7

2

S*y

δ*y

1

16,6

c.

δZ+O

Slika 3.39 - Odgovor konstrukcije na zemljotres: a.) ukupno seizmičko opterećenje S i pomeranje vrha δ; b.)

elastična spektralna kriva prema EC8; c.) ukupno opterećenje-pomeranje vrha zida Z-samo zidovi; O-samo okviri; Z+O-zidovi i okviri

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-1

PRIMER 4

U prethodnom izdanju ovaj primer nije bio uključen u sadržaj, papiri pisani rukom deljeni

su studentima na času. Naime, industrijske hale trebalo je da su obrađene na prethodnom kursu betona, da su studentima poznati svi pojmovi, tako da se u okviru ovoga kursa samo preciziraju neki pojmovi u vezi zemljotresa. Na žalost, te godine je zbog bombardovanja nastava bila prekinuta, tako da su studenti ostali uskraćeni za osnovne pojmove u vezi hala. U takvoj situaciji, studentima je pripremljeno desetak strana osnovnih pojmova o halama, sa uputstvima za izradu zadatka na ispitu.

Pripremajući kompletno 'elektronsko izdanje' skripti, prva ideja je bila da se i jedna hala uradi kao kompletan brojni primer. Međutim, u želji da se studentima pruži što više raznovrsnih informacija, zadržan je originalni koncept, pa su različiti problemi i primeri hala izloženi kroz 'priču'. Primer započinje postavkom jednog jednostavnog ispitnog zadatka, ali se potom priča odvija svojim tokom. Iako nemaju brojni primer, studenti imaju sve potrebne informacije potrebne za razumevanje materije i uspešnu izradu godišnjeg zadatka kao i polaganje pismenog dela ispita, to potvrđuje i iskustvo iz proteklih pet godina.

Naravno da je prvobitni tekst ovom prilikom proširen, a delom i izmenjen. Konstrukcije hala su detaljnije objašnjene, neki pojmovi su preciznije formulisani, i dosledno je krutost stubova i okvira opisana krutošću na pomeranje, umesto sa krutošću preseka na savijanje EI, na šta se problem svodi u posebnim slučajevima. Detalji i pravila armiranja ovom prilikom nisu posebno prikazani, studenti se upućuju na Primere 1 i 2 gde mogu da nađu odgovarajuća uputstva i primere armiranja stubova i greda.

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-2

PRIMER 4 Za AB okvirnu konstrukciju industrijske hale potrebno je uraditi idejno rešenje konstruk-

cije objekta, prema sledećim podacima: - čista visina hale, od poda do donje ivice konstrukcije krova - H0= 12,0 m; - da bi se omogućilo naknadno produžavanje hale, kalkani su nezavisne čelične kon-

strukcije postavljene uz krajnje poprečne okvire, u vrhu bočno pridržane AB kon-strukcijom krova;

- u ravni podužnih okvira, hala je zatvorena horizontalnim fasadnim panelima koji se kače za stubove

Za proračun usvojiti sledeće podatke: - težina izolacije krova qi= 1,50 kN/m2 - težina fasadnih panela qf= 1,20 kN/m2 - sneg s= 1,00 kN/m2 - vetar, “osnovno dejstvo” w0= 0,70 kN/m2 - zemljotres: VIII zona

tlo I kategorije Plitko fundiranje: dopušteni napon σ0= 0,3 MPa za osnovna opterećenja odnosno, σz=

0,4 MPa u slučaju zemljotresa. 1.- Usvojiti rešenje konstrukcije i skicirati dispoziciju sa pretpostavljenim dimenzijama elemenata. 2.- Izvršiti potrebne proračune i dimenzionisati stub POS S1. 3.- Odrediti potrebne dimenzije temelja stuba POS S1. 4.- Skicirati plan armature stuba POS S1.

4.1 KONCEPT KONSTRUKCIJE I ANALIZE “Idejnim rešenjem” treba definisati dispoziciju konstrukcije objekta: konstrukcijski mate-

rijal (u ovom slučaju beton); prostorni koncept konstrukcije koji treba da obezbedi pouzdan i jasan prijem vertikalnih i horizontalnih opterećenja-prostornu stabilnost; veze pojedinih ele-menata kao i način građenja (montaža, izrada livenjem na licu mesta), iz čega proističe statički sistem elemenata, kao i konstrukcije u celini.

U zadatku je definisan položaj stubova, njihov osovinski razmak u poprečnom (B) i po-dužnom pravcu (λ), kao i čista visina unutar hale - rastojanje od poda do najniže donje kote

POS1 (krov)

L=7λ=7x5,0=35,0 m

B=1

5,0

m

Kalkan Kalkan

POS2

(gla

vni n

osač

)

Podužni okvir Poprečni okviri

S1 (stub)

Slika 4.1 - Dispozicija hale - osnova

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-3

konstrukcije - H0, slika 4.2. Korisnik objekta ili projektant tehnologije hale propisuje potrebne gabarite, B0×H0 ili B×H0. Od svih mogućih konstrukcijsih rešenja, na ispitu se treba odlučiti za ono koje je korektno, i koje se može rešiti u datom vremenu. U konkretnom slučaju, kao globalni concept konstrukcije usvojen je sistem horizontalne konstrukcije krova (krov može da ima nagib gornje konture zbog odvodnjavanja, pri čemu se nagib usvaja prema karakteristikama odvodnjavanja izabranog krovnog pokrivača) oslonjene na vertikalne stubove - za prenos vertikalnih opterećenja, kao i grupe poprečnih i podužnih okvira - za prijem horizontalnih opterećenja, slike 4.1 i 4.2.b.

4.1.1 Konstrukcija krova i poprečnih okvira Poželjno je da je konstrukcija krova kruta u svojoj ravni, da bi se uticaji vetra i

zemljotresa raspodelili na sve stubove, kao i da bi se izbeglo 'gužvanje' konstrukcije krova u svojoj ravni i lom oslonačkih veza elemenata, slika 4.3.a. U ovom primeru, kao i kursu u celini, podrazumeva se da je na odgovarajući način obezbeđena krutost konstrukcije krova u svojoj ravni. U obzir dolaze sva poznata rešenja - montažna, livena na licu mesta ili mešovita. Da bi se obezbedila krutost krova, rešenja sa rožnjačama obično zahtevaju postavljanje spregova u ravni krova (zavisi od krovnog pokrivača), slika 4.3.b.

B

H0

d pd k

B0 dsds

d f

KP

H0

d p

ds ~KP-dp

B

∆H0

H=H

0+d p+

∆H0

POS2

POS FG

POS S1

a. b.

Slika 4.2 - Gabarit hale (a), i poprečni okvir hale (b)

L

B

a. L

B

δ

b.

Slika 4.3 - Fleksibilan (a), i ukrućen krov u svojoj ravni (b)

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-4

Pri izboru konstrukcije krova i poprečnog okvira, na ispitu je najracionalnije pretpostaviti

da je glavni nosač krova POS2 greda - 'rigla' zglobno vezana sa stubovima, slika 4.4. Popreč-ni okvir formiraju dva konzolna stuba i glavni nosač POS2. Poprečni okviri u praksi mogu da budu i ramovske konstrukcije, sa krutim vezama stubova i greda, ali ovi sistemi zahtevaju više vremena za analizu, i zbog toga se ne preporučuju za usvajanje na ispitu. U ravni upravnoj na poprečni okvir, vrhovi stubova obično se povezani fasadnom gredom - POS FG na slici 4.4. Da bi se zatvorila hala, obezbedila bočna stabilnost glavnih nosača POS2 i oformio oluk za odvodnjavanje, u ovom primeru postavljena je i ivična greda - POS IG na slici 4.4, koja je deo konstrukcije krova, i nije vezana za stubove hale.

U idejnom rešenju na ispitu je dovoljno da se usvoji konstrukcijsko rešenje i računom odredi potrebna visina rožnjače ili debljina ploče (d1 na sl. 4.4.a), odnosno visina glavnog nosača d i dimenzije gornjeg i donjeg pojasa, u slučaju rešetkastih nosača. Proračun u preseku maxM je dovoljan. Cilj analiza je procena dimenzija nosača, kako bi se definisala njihova težina potrebna za analizu uticaja zemljotresa.

Rešenjem konstrukcije krova definisano je gravitaciono opterećenje stubova, kao i glavni deo mase konstrukcije. Pored toga, utvrđena je i visina stubova - H, odnosno statičke dimen-zije poprečnog okvira B×H na slici 4.2.b, koji prihvataju sva horizontalna opterećenja koja deluju u ravni poprečnih okvira.

4.1.2 Podužni okviri Horizontalna dejstva upravna na poprečne okvire prihvataju se konstrukcijom podužnih

okvira, slika 4.1 i 4.5. U praksi, podužni okviri koji su ujedno i fasada - 'fasadni podužni okviri' mogu da se izvedu na različite načine, slika 4.5.a. Stubovi poprečnih okvira ujedno su i stubovi podužnih okvira. Da bi se problem pojednostavio, u ovom kursu se pretpostavlja da su stubovi podužnih okvira povezani gredama samo u vrhu - POS FG na slici 4.4 i 4.4, a da je zatvaranje fasada izvršeno montažnim 'fasadnim panelima' postavljenim horizontalno, slika 4.5.b, ili vertikalno, slika 4.5.c. Ukoliko se paneli postavljaju horizontalno, bočnim veziva-njem za stubove, tada se sopstvena težina panela gp (kN/m2) prenosi kontinualno na stubove, slika 4.5.b. Linijsko opterećenje stuba po visini od težine panela iznosi g0 = gp × λ . Ukoliko

H0

d p

ds

POS2

POS FG

POS S1

POS IGd 1 dPOS1

d p

ds

POS FG

POS S1

POS IG

d

POS1

H0

POS2

a

d p

ds

POS FG

POS S1

POS IG

d

POS1

H0

POS2

a

d p

ds

POS FG

POS S1

POS IG

d

POS1

H0

POS2

a

a. b. c. d.

Slika 4.4 - Varijante glavnih nosača POS2 - 'rigli' poprečnog ovira: a.) monolitna konstrukcija ploče sa gredama; b.) rešetka, rožnjače i krovni pokrivač;c.) prethodno napregnuti nosač, rožnjače i krovni pokrivač; d.)

dvopojasni nosač, rožnjače i krovni pokrivač

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-5

se paneli postavljaju vertikalno, u jednom komadu, tada se težina panela prenosi na temeljnu gredu POS TG, slika 4.5.c

Iako se paneli obično postavljaju ispred stubova, kao na slici 4.5.b, na ispitu se može

pretpostaviti da su paneli centrisani u osama stubova - ne unose momente u stubove. Moguća su rešenja i sa oslanjanjem horizontalnih panela na temeljnu gredu - paneli leže jedan na

drugom i bočno su pridržani stu-bovima da se spreči preturanje. Proizvođač panela definiše potreb-ne veze, koje projektant kon-strukcije treba da obezbedi i stati-čki interpretira.

Statički sistem podužnih okvi-ra definisan je usvojenim vezama stubova i temelja, odnosno stubo-va i fasadnih greda. Pretpostavlja se da su paneli fleksibilno vezani za konstrukciju i da ne u ukrućuju podužne okvire. U ovome primeru i kursu usvojeno je da su stubovi kruto vezani - uklješteni u temelje. Ukoliko je veza fasadnih greda i stubova zglobna (slučaj montažnih fasadnih greda, slika 4.6), statički sistem podužnog okvira je niz konzolnih stubova u vrhu aksijal-no povezanih gredama koje obez-beđuju jednaka pomeranja δ vrho-va svih stubova, slika 4.6.b. Duži-na izvijanja stubova u ravni podu-žnog okvira iznosi 2×H .

Ukoliko je veza fasadnih greda i stubova kruta, slika 4.7, statički sistem podužnog okvira je pomerljiv ramovski sistem. U slučaju da je krutost fasadne grede znatno veća od krutosti stubova (krutost je funkcija momenta inercije preseka ali i raspona elementa), tada su vrhovi stubova praktično uklješteni u 'beskonačno krutu' pomerljivu fasadnu gredu, slika 4.7.b. Dužina izvijanja stubova u ravni podužnog okvira isnosi H1 . Dva navedena primera su ekstremi, zgodni za analizu u idejnim rešenjima i na ispitu. U raealnosti, moguća su sva rešenja između ova dva - sa 'fleksibilnim vezama'.

λ λλ

G,P

V,S

λ λλ

POS FG

λ λλ

POS FG

POS TG

a. b. c.

gp

g0 gp

g0

Slika 4.5 - Elementi konstrukcije podužnih okvira

λ λλ

G,P

V,S

bs

POS FG

λ λλ

G,P

V,S

Hδ

a. b.

bs

Slika 4.6 - Podužni okvir sa montažnim fasadnim gredama u vrhu

λ λλ

G,P

V,S

bs

POS FG

λ λλ

G,P

V,S

Hi

δ

a. b.

d g

bs

Slika 4.7 - Podužni okvir sa monolitnim krutim fasadnim

gredama u vrhu

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-6

4.1.3 Kalkani Kalkanima se obično nazivaju konstrukcije koje zatvaraju čela hale. Izbor materijala i

konstrukcije kalkana zavisi i od uslova eksploatacije objekta. Ako se hala gradi u svom defini-tivnom obimu, tada se kalkani obično formiraju kao složene ramovske konstrukcije sa među-stubovima i završnom fasadnom riglom, koja zamenjuje glavni poprečni nosač POS2.

Ukoliko se predviđa naknadno produženje hale, obično se hala završava uobičajenim poprečnim okvirom, koji treba jednoga dana da primi dodatak opterećenja usled produžavanja konstrukcije. U tom slučaju kalkani se izvode kao privremene, demontažne konstrukcije, i mogu da se postave ispred završnog poprečnog okvira, slika 4.8. Konstrukcija kalkana sama nosi svoju težini, oslonjena na nezavisne temelje kalkana, slika 4.8.a. Da bi se sprečilo pretu-ranje, konstrukcija kalkana se u vrhu bočno vezuje za krutu konstrukciju krova hale, detalj 2 na slici 4.8.a, pri čemu se obično formira vertikalna dilatacija, da bi se sprečilo naslanjanje konstrukcije krova na kalkana pri dejstvu snega, na primer. Ako se kalkan bočno oslanja na nedovoljno krutu konstrukciju krova, tada treba postaviti spreg u prvom polju hale, ili obezbediti poseban spreg kalkanskoj konstrukciji oslonjen bočno na podužne okvire, itd.

U stvarnosti, konstrukcije kalkana se posebno analiziraju, od slučaja do slučaja. Kruta konstrukcija kalkana u svojoj ravni može da proizvede efekat zida - 'šajbne' na krajevima hale, sa tendencijom da sva horizontalna opterećenja u pravcu poprečnog okvira gravitiraju ka kalkanima kao najkrućim elementima u tom pravcu. Jednostavnosti radi, u ovom primeru (preporuka i za ispit) usvojeno je da je konstrukcija kalkana nezavisna - 'samostojeća', i da ne utiče na ponašanje glavne konstrukcije hale pri gravitacionim i horizontalnim opterećenjima. Uloga kalkana je samo da prihvati dejstvo vetra i da ga prenese na glavnu konstrukciju hale.

4.1.4 Procena dimenzija stubova bs /ds

Na dimenzije preseka stubova utiču: normalna sila od gravitacionih opterećenja (poznata, prethodno određena); vitkost stuba (poznata je dužina izvijanja l0 = 2H u ravni poprečnog okvira, tj. l0 = 2H, odnosno l0 = H u ravni podužnih okvira, slika 4.6 odnosno 4.7); momenti savijanja usled dejstva vetra (poznati, jer zavise od gabarita objekta), ili momenti savijanja usled dejstva zemljotresa (nepoznati, jer zavise od krutosti stubova čije dimenzije za sada ne

λ λλ

IzolacijaKrovni pokrivačRožnjače

1

2

3

4

5

6

Temeljkalkana

Kal

kan

l lla. b.

Slika 4.8 - Konstrukcija demontažnog, privremenog kalkana: 1 - kalkan; 2 - bočna veza kalkana i krova; 3 - glavni nosač poprečnog okvira; 4 - krovni pokrivač sa rožnjačama; 5 - stub; 6 - fasadna greda

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-7

znamo). Pored toga, ne zna se unapred da li je za određivanje dimenzija stubova merodavan slučaj opterećenja usled vetra ili zemljotresa. U principu problem se rešava u iteracijama.

Iako je dozvoljena vitkost stubova λ≤125, na ispitu se dozvoljava, i preporučuje, da se pretpostave dimenzije preseka stuba tako da vitkost iznosi λ≤75, da bi mogli da se primene jednostavni dokazi efekata drugoga reda - metoda dopunske ekscentričnosti prema BAB-u. Da bi stub poznate dužine izvijanja l0 imao traženu vitkost λ, potrebna dimenzija stuba b u ravni izvijanja iznosi b=l0 12 /λ . Na žalost, te dimenzije ne moraju da budu dovoljne i za obezbeđenje nosivosti pri vetru odnosno zemljotresu, ali su obično dobra pretpostavka za polaz. Voditi računa da se efekti drugoga reda proveravaju samo za dejstva gravitacionih opterećenja i vetra, ali ne i u slučaju zemljotresa. Ovi efekti postoje i pri pomeranjima usled zemljotresa, ali algoritam propisa Yu81 ne daje potrebna rešenja za određivanje pomeranja i efekata drugoga reda u slučaju zemljotresa.

Budući da po Yu81 stubovi moraju da zadovolje uslov duktilnosti P/(0,7βk F)≤ 0,35 → Fmin= bs ds ≥ P/(0,7βk 0,35)

gde je: P - aksijalna sila usled gravitacionog opterećenja pri zemljotresu; βk - marka betona, to su i minimalne dimenzije preseka stuba limitirane, i treba ih unapred proveriti, pre prelaska na analizu uticaja vetra i zemljotresa.

Ako se usvoji da su stubovi konzolni i u ravni podužnog okvira, slika 4.6, tada bi prak-tično ista vitkost sugerisala izbor kvadratnog preseka stuba, pa bi pri istim krutostima stubova seizmičko opterećenje u oba pravca bilo isto. To se obično ne radi, jer se u ravni podužnih okvira stubovi uvek mogu ukrutiti fasadnom gredom, a i uticaji vetra su izraženiji u poprečnom pravcu, jer je veća izložena površina. Prema tome, pravougaoni presek je bolje rešenje, u kom slučaju se, na ispitu, preporučuje dispozicija podužnog okvira prema sl. 4.7, sa krutom fasadnom riglom POS FG. Lako se rešava, i koliko-toliko simulira povećanu krutost podužnih okvira. Uslov vitkosti λ≤75 primenjen na obe ravni izvijanja u tom slučaju daje ds= 2bs.

4.2 PRORAČUN UTICAJA USLED ZEMLJOTRESA S obzirom da su krutost konstrukcije i raspored masa dvoosno simetrični u osnovi, centar

mase CK i centar krutosti CK se poklapaju - prema Yu81 nema torzionih uticaja usled dejstva zemljotresa, slika 4.9.

U opštem slučaju, pomeranja bilo koje tačke krute konstrukcije krova u svojoj ravni

mogu da se opišu sa tri parametra, dve translacije i rotacija - sistem ima tri stepena slobode

L

B

CMCK

Sy

Sx

X

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

A

B

Slika 4.9 - Poklapanje centra mase CM i centra krutosti

CK u slučaju simetrične konstrukcije hale

POS2

POS FG

POS S1

dsFasadnipaneli

H/2

H

my

ky

b.a.A B

Slika 4.10 - Računska masa my konstrukcije i dinamički model u ravni poprečnog okvira

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-8

kretanja. S obzirom da nema efekata rotacije, uticaji zemljotresa mogu da se analiziraju kao dva vremenski nezavisna slučaja: translacija u podužnom X-pravcu, odnosno translacija u poprečnom Y-pravcu. Za određivanje pomeranja i naprezanja stubova u slučaju zemljotresa u poprečnom Y-pravcu, približan dinamički model je konzola sa ukupnom masom my koncen-trisanom u vrhu konstrukcije, sa ukupnom, zbirnom krutošću na pomeranje ky u Y-pravcu, slika 4.10. Svaka 'čestica' mase osciluje pri zemljotresu, pa tako i masa fasadnih panela osciluje zajedno sa kontinualnom masom stubova. Za ocenu pomeranja i naprezanja stubova, dovoljno je tačno da se masa fasada i stubova sa gornje polovine visine objekta H/2 pripiše dominantnoj masi krova na visini H, slika 4.10.

Analogno, za određivanje pomeranja i naprezanja stubova u slučaju zemljotresa u poduž-nom X-pravcu, približan dinamički model je konzola sa ukupnom masom mx koncentrisanom u vrhu konstrukcije, sa ukupnom, zbirnom krutošću na pomeranje kx u X-pravcu, slika 4.11.

Krutost sistema u X/Y pravcu obično nije ista x yk k≠ , pa će se i ukupno seizmičko opterećenje u ova dva pravca razlikovati. Za oba događaja masa je ista, mx =my =m, ali se relativnim pomeranjima ukupne mase pri zemljotresu u poprečnom Y-pravcu suprotstavlja n= 8 poprečnih okvira, a pri zemljotresu u podužnom X-pravcu pomeranjima se suprotstavljaju n= 2 podužna okvira u osama A i B.

Odgovarajući period oscilovanja može da se sračuna preko poznatih izraza:

T1= 2π mk

; T1= 2π mδ ; T1≈ 2 d

gde su: m-masa; k-krutost na pomeranje; δ-pomeranje usled jedinične sile ('fleksibilnost konstrukcije'); d-pomeranje (u metrima) usled težine g×m usmerene horizontalno. Poslednja dva izraza su opštija i pogodnija za proračun. Uočiti da treći izraz u slučaju konzolne konstrukcije daje:

T1= 2 d = 23

3QH

EI= 2

3

3mgH

EI= 2 g

313

HmEI

× ≈ 2π mδ

gde je g= 9,81 m/s2 → g = 3,132≈ π

4.2.1 Poprečni, Sy - zemljotres: Ukupno seizmičko opterećenje Sy u Y- pravcu iznosi

Sy= = k0 ks kp kd Q gde su: Q ukupna računska težina (=m×g) k0 = 1,0 koeficijent kategorije objekta, objekat II kategorije kp = 1,0 T1< 2,0 s (koeficijent duktilnosti, član 27 Yu81) = 1,6 T1≥ 2,0 s

a.λ1 8

bs

~H/2

~H

mx

kx

b.

Slika 4.11 - Računska masa mx konstrukcije i dinamički model u ravni podužnog okvira

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-9

ks= 0,025 koeficijent seuzmičnosti, VII zona Napomena: Ukoliko je zadatkom zadato ubrzanje tla ag na

osnovnoj steni sa povratnim periodom 500 godina, tada je: ks ~ 0,25ag /g kd= 0,5/T1≤ 1,00 koeficijent dinamičnosti, tlo I kategorije ≥ 0,33

Od parametara koji definišu ukupno seizmičko opterećenje Sy, svi su jedonoznačno defi-nisani propisima za date uslove zadatka, osim vrednosti koeficijenta dinamičnosti kd, koji je funkcija nepoznate vrednosti perioda oscilovanja u prvom tonu T1.

Vrednost perioda oscilovanja T1 može da se odredi na osnovu poznate ukupne mase my=m i ukupne, zbirne krutosti ky konstrukcije na pomeranje u Y-pravcu. S obzirom da su svi stubovi (ukupno n=16 stubova) istog, konzolnog sistema, to je pomeranje bilo kog stuba i , sa momentom inercije preseka Ii =bs ds

3/12 i visine Hi , usled delovanja jedinične sile u vrhu P=1, jednako

δi= 1×Hi3/3EIi

Prethodni izraz definiše 'matricu fleksibilnosti', dok je krutost konzolnog stuba i na pomeranje jednaka kiy = 1 / δi = 3EIi / Hi

3 Krutost ukupne konstrukcije na pomeranje jednaka je sumi krutosti svih pojedinačnih stubova

ky= 16

1iy

ik

=∑

pa je period oscilovanja u prvom tonu T1= 2πy

mk

, gde je m ukupna masa.

U opštem slučaju, pomeranje δ vrha konstrukcije konzolnih stubova sa ukupnom krutošću ky usled dejstva jedinične sile P=1 u vrhu iznosi

LB

CMCK

Sy

X

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

A

B

δ y

d sbs

a.

H

my= m

ky

b.

P=1δ

m

Slika 4.12 - Proračun efekata zemljotresa u poprečnom Y-pravcu

16 16

31 1

1 11/3y

ii y

i

kEIkH

δ = = =

∑ ∑

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-10

U konkretnom slučaju, svi stubovi su istih visina H, i istih momenata inercije preseka I, pa je

odnosno, T1= 2π mδ ,gde je m ukupna masa.

Sa sračunatom vrednošću perioda oscilovanja T1 određuje se vrednost koeficijenta dina-mičnosti kd , odnosno vrednost ukupnog seizmičkog opterećenja Sy.

Generalno, pri istim pomeranjima δy vrhova stubova, raspodela poznate horizontalne sile Sy na pojedine stubove vrši se srazmerno njihovim krutostima na pomeranje kiy . Svaki stub i prima deo sile Siy

Siy = Sy kiy / ky U slučaju stubova istog sistema-konzola, istih visina i istih poprečnih preseka, odnos krutosti na pomeranje se svodi na odnos momenata inercije poprečnih preseka, pa je

Siy= Sy Ii /16

1i

iI

=∑

U konkretnom slučaju, Siy= Sy /16, ukupna sila se ravnomerno deli na ukupno 16 stubova. Prema Pravilniku Yu81, potrebno je proveriti i 'pomeranja' vrha konstrukcije pri zemljo-

tresu, usled dejstva računske sile Sy :

δy= Syδ=Sy H3/(3EI16

1i

iI

=∑ )≤ H/600?

Potrebno je da su računska pomeranja vrha manja od H/600. Ukoliko je δy>H/600, na is-pitu ne treba korigovati proračun povećanjem krutosti elemenata, dovoljno je to konstatovati. U slučaju industrijskih hala, obično se dozvoljavaju veća pomeranja, zavisno od opreme i konstrukcije fasada.

4.2.2 Podužni, Sx - zemljotres: Ako je krutost fasadnih panela i njihovih veza sa stubovima zanemarljiva, pomeranjima u

X-pravcu opire se opet svih 16 stubova, ali organizivanih u dva podužna okvira, slika 4.13. Masa sistema je ista kao za Y-pravac, ali krutost sistema nije ista: razlikuje se moment inercije preseka stuba oko druge ose, i razlikuju se konturni uslovi krajeva stuba - usvojeno je da su vrhovi stubova kruto vezani za 'beskonačno krutu' fasadnu gredu. Zbog različite krutosti, razlikovaće se i računsko seizmičko opterećenje Sx u X-pravcu.

3

16 16

31 1

1 11/3 16 3y

iiy

i

HkEI EIkH

δ = = = =×∑ ∑

L

B

CMCK

Sx

X

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

A

B

d s

bs

a.

δx

λ

H

b.

bs

m/2Sx/2 δx

Is1 Is2 Is3 Is8m

Slika 4.13 - Proračun efekata zemljotresa u podužnom X-pravcu

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-11

S obzirom da su svi stubovi (ukupno n=16 stubova) istog sistema (pomerljiva, obostrano uklještena greda), to je pomeranje bilo kog stuba i , sa momentom inercije preseka Ii =dsbs

3/12 i visine Hi , usled delovanja jedinične sile u vrhu P=1 , jednako

δi= 1×Hi3/12EIi

Prethodni izraz definiše 'matricu fleksibilnosti', dok je krutost stuba i na pomeranje jednaka kix = 1 / δi = 12EIi / Hi

3 Obostrano uklješten stub je četri puta krući od konzolnog stuba. Krutost ukupne konstrukcije na pomeranje jednaka je sumi krutosti svih pojedinačnih stubova

kx= 16

1ix

ik

=∑

pa je period oscilovanja u prvom tonu T1= 2πx

mk

, gde je m ukupna masa.

U opštem slučaju, pomeranje δ vrha konstrukcije obostrano uklještenih stubova sa ukupnom krutošću k usled dejstva jedinične sile P=1 u vrhu iznosi

U konkretnom slučaju, svi stubovi su istih visina H, i istih momenata inercije preseka I, pa je

odnosno, T1= 2π mδ , gde je m ukupna masa. Sa poznatom vrednošću perioda oscilovanja T1, potrebno je odrediti odgovarajuću vrednost koeficijenta dinamičnosti kd, i računskog seiz-mičkog opterećenja Sx za X-pravac dejstva zemljotresa.

Pri istim pomeranjima δx vrhova stubova, raspodela poznate horizontalne sile Sx na pojedine stubove vrši se srazmerno njihovim krutostima na pomeranje kix . Svaki stub i prima deo sile Six

Six = Sx kix / kx U slučaju stubova istih konturnih uslova, istih visina i istih poprečnih preseka, odnos krutosti na pomeranje se svodi na odnos momenata inercije poprečnih preseka, pa je

Six= Sx Ii /16

1i

iI

=∑

U konkretnom slučaju, Six= Sx /16, ukupna sila se ravnomerno deli na ukupno 16 stubova. Prema Pravilniku Yu81, potrebno je proveriti i 'pomeranja' vrha konstrukcije pri zemljo-

tresu, usled dejstva računske sile Sx :

δx= Sxδ=Sx H3/(12EI16

1i

iI

=∑ )≤ H/600?

U prethodnoj analizi, krutost sistema određena je kao za Y-pravac, na bazi pojedinačnih krutosti stubova. Ako se konstrukcija posmatra kao dva podužna okvira istih krutosti, tada svakom podužnom okviru pripada pola mase m/2 , odnosno polovina ukupne seizmičke sile - Sx /2.

Period oscilovanja jednog podužnog okvira iznosi T1= 2π xm δ (isti je i za drugi okvir, naravno), gde je mx= m/2 (m= Q/g- ukupna masa objekta). Na osnovu prethodno prikazanih

16 16

31 1

1 11/12x

iix

i

kEIk

H

δ = = =

∑ ∑

3

16 16

31 1

1 11/12 16 12x

iix

i

HkEI EIk

H

δ = = = =×∑ ∑

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-12

opštijih izraza, pomeranje jednog okvira koga čini osam identičnih stubova usled jedinične sile u vrhu iznosi

δ= 1×H3/(12E8

1i

iI

=∑ )

gde je 8

1i

iI

=∑ =8Is , u ovom slučaju.

Usled sile Si na jednom stubu, uticaji u stubu prikazani su na slici 4.14. U principu, u stubovima podužnog okvira pojavljuju se i aksijalne sile usled zemljo-

tresa, koje su u srednjem delu podužnok okvira u ovom primeru zanemarene.

4.3 PRORAČUN UTICAJA VETRA Kao i u Primeru 3, deo 3.11, u ovom kursu se za potrebe izrade idejnog rešenja konstruk-

cije hale koriste jednostavni stavovi starih propisa za vetar. Opterećenje vetrom definisano je tzv. 'osnovnim dejstvom - w0', slika 4.15, koje je definisano za teritoriju države, slično seizmičkoj rejonizaciji. U zadatku je data vrednost „osnovnog dejstva vetra“- w0= 0,7 kN/m2.

Pritisak na direktno izloženu površinu iznosi w+= 0,8w0= 0,8×0,7= 0,56 kN/m2 Podpritisak, ili „sišuće dejstvo“ na naspramnu površinu iznosi, slika 4.15. w-= 0,4w0= 0,4×0,7= 0,28 kN/m2

HSi

δ

M=SiH /2

M=SiH /2

Q=Si

Slika 4.14 - Statika podužnog okvira

B

L

w+ =

0,8

w0

w- =

0,4

w0

Objekat-podužni presek H

L

w0

w+ =

0,8

w0

w- =

0,4

w0

Pritisak Sisanje

a. b.

Slika 4.15 - Dejstvo vetra na objekat, prema starim propisima

λ λλ

POS FG

S1

1 2 4

αw

0λ

a.

B

H

POS2

POS FG

POS S1

0,8w

0λ

0,4w

0λ

b.

Slika 4.16 - Dejstvo vetra na horizontalne fasadne panele podu žnog okvira

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-13

Osim intenziteta vetra, opterećenje elemenata konstrukcije zavisi i od načina prenosa sila vetra sa fasade na konstrukciju. U slučaju horizontalnih fasadnih panela podužnog okvira, sile vetra se sa panela prenose direktno na stubove, kao podeljeno opterećenje po visini stuba, slika 4.16.

U slučaju vertikalnih fasadnih panela podužnog okvira, stubovi nisu direktno izloženi vetru, čije se reakcije prenose delom u ravan krova, a delom u nivo temelja, slika 4.17. Svaki poprečni okvir prihvata deo vetra iz ravni krova na dužini λ , slika 4.17.b.

U ovome primeru usvojeno je da je konstrukcija kal-kana takva da se dejstvo vetra na konstrukciju hale pre-nosi kao i u slučaju vertikalnih panela, delom na temelje kalkana a delom u ravan krova, slika 4.18 i 4.19. Konstrukcija kalkana opterećenje vetra predaje krutoj krovnoj ravni na rasponu B, da bi se potom sile vetra iz ravni krova unele u podužne okvire, i preko njih u temelje. Isti mehanizam prenosa važi kako za pritiskujuće dejstvo vetra, tako i za 'sišuće'.

4.3.1 Uticaji vetara u podužnom, X- pravcu S obzirom na simetriju, po pola reakcije vetra sa kalkana prihata svaki od podužnih

okvira A odnosno B, slika 4.19.

λ λλ

POS FG

POS TG

∼αw0Η/2

S1

1 2

H

∼αw0Η/2

B

H

POS2

POS FG

POS S1

b.

0,8w0λΗ/2

0,8w0λΗ/2

0,4w0λΗ/2

0,4w0λΗ/2

a.

Slika 4.17 - Dejstvo vetra na vertikalne fasadne panele podu žnog okvira

λλ

0,8w

0

1 2

Rw+

Slika 4.18 - Dejstvo vetra na kalkan

Rw+

L

B

X

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

A

B

Rw-

Okvir B

Okvir A

Pw /2

Pw /2

a.λ

H

b.

bs

Pw /2

Is1 Is2 Is3 Is8

Slika 4.19 - Dejstvo vetra u podužnom X-pravcu

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-14

Uz pretpostavku da su stubovi kalkana uklješteni u svoje temelje, i zglobno oslonjeni na krov, reakcije kalkana u ravni krova iznose:

Rw+≈ 3w+H/8= 3×0,8w0H/8 (= 0,30w0H kN/m’ )

Rw- ≈ 3w-H/8 = 3×0,4w0H/8 (= 0,15w0H kN/m’ )

Rezultanta vetra na ceo krov iznosi Pw= (Rw

++ Rw-)B= (3/8)(0,8+0,4)w0HB (kN)

Uticaji u stubovima određuju se kao i u slučaju zemljotresa (Pw↔ Sx), razmatrajući konstrukciju sastavljenu od 16 pojedinačnih stubova, ili kao slučaj dva podužna okvira. U odnosu na zemljotres, razlika je samo u poreklu opterećenja, na dalje se statički proračun zasniva na istim principima.

4.3.2 Uticaji vetra u poprečnom, Y- pravcu Za analizu je jednostavniji slučaj zatvaranja fasade vertikalnim panelima, prema slici

4.17. U ovome primeru usvojeno je da opterećenje usled vetra horizontalni paneli prenose na glavne stubove poprečnih okvira, sa pripadajuće širine λ → qw

± = w±λ, prema slici 4.16. Uticaji u stubovima od vetra u pop-

rečnom pravcu, slika 4.20, posledica su dva stanja: direktnog dejstva vetra na stub sa pripadajuće širine λ, slika 4.21.b, i uticaja usled pomeranja vrhova stubova zbog pomeranja krova kao krute ploče, slika 4.21.c.

U terminima 'metode deformacija', direktni uticaji vetra na stub dobijaju se analizom 'nepomerljivog sistema', kome je privremeno dodat horizontalni oslonac u ravni krova, slika 4.21.b. U ovom koraku treba odrediti momente i transverzalne sile stuba-grede uklještene u temelj, i zglobno oslonjene o ravan nepomerljivog krova. Moment u uklještenju stuba u osi A, izlo-

ženog pritiskujućem dejstvu vetra iznosi Msw1=(0,8w0λ)H2/8

slika 4.22.a, dok je reakcija stuba u ravni krova Rw= 3(0,8w0λ)H/8

0,8w0

L

B

X

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

A

B

0,4w0

Slika 4.20 - Dejstvo vetra u poprečnom Y-pravcu

a.

B

H

0,8w

0

0,4w

0

A B

ΣIΑ ΣIΒ =

EF → ∞

0,8w

0λ

0,4w

0λ

A B

Rw

A B

ΣIΑ ΣIΒ

Pw=ΣRw

+

b. c.

Slika 4.21 - Određivanje uticaja od vetra u stubovima poprečnog okvira: a.)dispozicija; b.) lokalno dejstvo vetra na jedan okvir; c.) sumarno dejstvo vetra u ravni krova na konstrukciju u celini

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-15

Momenti, odnosno reakcije naspramnog stuba u osi B, usled 'sišućeg' dejstva vetra iznose 50% uticaja u osi A. Ukupna reakcija oba stuba jednog poprečnog okvira u ravni nepomerljivog krova iznosi Rw= 3(0,8+ 0,4)w0λH/8.

Da je konstrukcija krova stvarno nepomerljiva, horizontalno pridržana krutim kalkanima, na primer, to bi bili i jedini efekti vetra na stubove poprečnog okvira. Pošto nagomilanu ukupnu reakciju ΣRw svih poprečnih okvira u ravni krova nema ko da prihvati, krov će da se pomeri za iznos 'deformacijski nepoznate veličine-horizontalnog pomeranja δ ', i da se oslobodi neuravnotežene reakcije ΣRw.

Do istog rezultata se dolazi ako se zamisli da oslonac u ravni krova stvarno postoji, ali je privremen. Kada se taj oslonac ukloni, akumulirana ukupna reakcija Pw= ΣRw mora da se preraspodeli na sve stubove poprečnih okvira, slika 4.21.c. Zadatak se rešava kao i u slučaju preraspodele seizmičkog opterećenja - srazmerno krutostima stubova, deo 4.2.1. Na jedan stub deluje dodatna sila vetra usled pomeranja

Hwi = Pw kiy / ky U slučaju stubova istog sistema-konzola, istih visina i istih

poprečnih preseka, odnos krutosti na pomeranje se svodi na odnos momenata inercije poprečnih preseka, pa je

Hwi= Pw Ii /16

1/16i w

iI P

=

=∑

Moment savijanja u uklještenju stuba u osi A iznosi Msw2=HwiH, slika 4.22.b. Ukupni uticaji u stubu direktno izloženom vetru dobijaju se superpozicijom lokalnog

dejstva vetra direktno na stub, i uticaja usled pomeranja krova, Msw=Msw1+Msw2. Izloženi algoritam je samo predlog kako da se problem reši 'peške'. Problem je jasan, sva

poznata i priznata rešenja dolaze u obzir.

4.4 MERODAVNA KOMBINACIJA OPTEREĆENJA-DIMENZIONISANJE STUBA Za tipičan stub S1 treba nacrtati dijagrame M,N,Q usled stalnog opterećenja, snega,

zemljotresa i vetra, za oba pravca dejstva. S obzirom da su dejstva vetra i zemljotresa alternativna, stubovi se armiraju simetrično.

Usvojena armatura treba da je dovoljna da stub sa zahtevanim koeficijentom sigurnosti pouzdano izdrži sva moguća stanja opterećenja koja se mogu pojaviti u fazi građenja i eksploataciji. U slučaju stubova hala, obično nije moguće samo na osnovu veličine uticaja usled vetra odnosno zemljotresa zaključiti koja je kombinacija opterećenja merodavna za proračun potrebne armature: nisu isti koeficijenti sigurnosti, a za uticaje usled vetra u analizu treba uvesti i efekte drugoga reda. Najjednostavnije je da se potrebna armatura sračuna posebno za oba slučaja opterećenja, za oba pravca dejstva opterećenja, i da se usvoji veća od sračunatih. Na ispitu je dovoljno da se proračun izvrši samo u preseku u uklještenju stuba. Ukoliko se ispostavi da su pretpostavljene dimenzije stuba nedovoljne za smeštaj armature uz poštovanje maksimalnih dozvoljenih procenata armiranja, u principu bi trebalo promeniti dimenzije preseka i ponoviti proračun, jer je promenjena krutost sistema i nivo seizmičkog opterećenja, a i vitkost stuba se menja, pa i time i uticaji drugoga reda u kombinaciji sa vetrom. S obzirom da se radi o 'idejnom rešenje', na ispitu se dozvoljava da se usvoje koriguju dimenzije preseka, bez ponavljanja statičkih proračuna.

Komentar: „Merodavna kombinacija“ uticaja definiše kapacitet nisivosti preseka u uklještenju. Za razumevanje ponašanja konstrukcija, treba imati u vidu razliku u filozofiji dimenzionisanja potrebne nosivosti preseka u slučaju dejstva vetra odnosno zemljotresa.

Hwi

Is

w

Is

+

Msw1 Msw2 Slika 4.22 - Komponenete savijanja stuba direktno

izloženog vetru

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-16

U slučaju dejstva vetra, iznos opterećenja je determinisana veličina, koja ne zavisi od ponašanja konstrukcije, bar u slučaju uobičajenih objekata (kod vitkih konstrukcija to nije baš tako). U eksploataciji se očekuje da se pri dejstvu vetra konstrukcija ponaša elastično, bez oštećenja, sa maksimalnim pomeranjem δmaxw pri opterećenju Hw, slika 4.23.a. Potrebna nosivost elemenata i preseka konstrukcije određuje se tako da kapacitet nosivosti bude bude veći od uticaja očekivanih u eksploataciji, 1,8Hw na primer. Od konstrukcije se uopšte ne očekuje da u eksploataciji dostigne kapacitet nosivosti, pa obično nije ni bitno da li do loma preseka dolazi iscrpljenjem nosivosti armature ili betona - da li je lom preseka duktilan ili krt.

Za razliku od vetra, opterećenje konstrukcije usled zemljotresa bitno zavisi od odgovora konstrukcije pri pomeranjima. Ukoliko bi se konstrukcija pri zemljotresa ponašala elastično, bez oštećenja, maksimalno pomeranje bi bilo reda veličine δmaxs pri opterećenju Se , slika 4.23.a. Obično su to znatna opterećenja, pa se uobičajeni objekti projektuju tako da kapacitet nosivosti pri zemljotresu bude niži od elastičnog odgovora, Sd < Se , slika 4.23.a-b. Pri dostizanju kapaciteta nosivosti, konstrukcija prelazi u plastični mehanizam otvaranjem potrebnog broja plastičnih zglobova. Zbog različitih nepouzdanosti analize, nosivost se određuje uvođenjem koeficijenata sigurnosti, 1,3Hw prema Yu81, na primer. Prema konceptu jednakih pomeranja, videti 3.4-deo A, maksimalna očekivana pomeranja pri zemljotresu δmaxs su istog reda veličine, bez obzira da li se konstrukcija ponaša elastično ili nelinearno, linija 1 na slikama 4.23.a-b. Usvajanjem nižeg kapaciteta nosivosti Sd , u konstrukciju je ugrađen 'osigurač' koji treba da je zaštiti od preopterećenja, ali je neophodno obezbediti i potreban kapacitet post-elastičnih deformacija - duktilnost, tako da konstrukcija izdrži očekivana pomeranja δmaxs bez ugrožavanja sigurnosti ljudi ili opreme.

Prema tome, u slučaju vetra konstrukcija se obezbeđuje da se ne dostigne kapacitet nosivosti preseka, dok se u slučaju zemljotresa upravo očekuje da konstrucija dostigne kapacitet nosivosti i pređe u plastični mehanizam. U slučaju kada je opeterećenje vetrom merodavno za određivanje kapaciteta nosivosti, 1,8Hw > 1,3Sd , rezultat može da bude da će pri zemljotresu konstrukcija preći u plastični mehanizam, ali pri kapacitetu nosivosti određenom na bazi uticaja vetra, linija 2 na slici 2.23.a. U ovom slučaju zemljotres nije merodavan za određivanje kapaciteta nosivosti, ali je potrebno da se detalji konstrukcije ipak obrade tako da se obezbedi izvestan kapacitet post-elastičnih deformacija. U slučaju kada je projektno opterećenje usled zemlotresa merodavno za određivanje kapaciteta nosivosti, stvar je jasna, slika 4.23.b. Zemljotres definitivno nije merodavan ni za određivanje nosivosti, niti za obezbeđenje kapaciteta post-elastičnih deformacija (duktilnosti) u slučaju kada je nivo elastičnog odgovora konstrukcije pri zemljotresu niži od opterećenja vetrom, Se < Hw , slika 4.23.c, što je čest slučaj kod visokih i vitkih konstrukcija.

δ

Se

HH

δ

δmaxs

1,3Sd

1,8Hw

2Hw

Sd1

δ

Se

HH

δ

δmaxs

1,3Sd

1,8Hw

1

Hw

Sd

2

δ

HH

δ

δmaxw

1

Hw

Se

2

δmaxsδmaxw δmaxw

a. b. c. Slika 4.23 - Merodavna opterećenja: a.) vetar merodavan za nosivost; b.) zemljotres merodavan za nosivost;

c.) zemljotres zanemarljiv

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-17

4.5 RAZLIČITI SLUČAJEVI KONSTRUKCIJA HALA

4.5.1 Jednobrodna hala sa AB zidovima za ukrućenje u podužnim okvirima Često se u ravni podužnih

okvira postavljaju spregovi za ukrućenje i prijem horizon-talnih dejstava usled vetra, zemljotresa, sila kočenja krana itd. Kada su u pitanju armira-nobetonske konstrukcije, mo-guće je napraviti i rešetkasti spreg, kao u čeličnim kon-strukcijama, ali je jednostav-nije u nekom polju podužnog okvira postaviti konzolni AB zid, zid Z1 na slikama 4.24-4.25. Stubovi hale se obično zadržavaju, zbog oslanjanja glavnih krovnih nosača POS2,

kao i potrebne krutosti poprečnih okvira u Y-pravcu. Ivični stubovi i zid debljine dz izvode se monolitno, tako da u ravni podužnog okvira AB zid Z1 radi kao simetrični I-presek.

Što se tiče analize uticaja vetra i zemljotresa u poprečnom Y-pravcu, sve je isto kao u prethodnom primeru, krutost hale obezbeđuje 16 konzolnih stubova, dok se krutost na savija-nje rebra zida Z1 debljine dz oko slabije ose zanemaruje, kao da ga nema.

U ravni podužnih okvira, prisustvo zida-sprega bitno menja ponašanje i naprezanja stubo-va. Konzolni AB zid dužine lz i visine H obično je znatno krući na pomeranja od zbirne krutosti stubova, tako da se može usvojiti da sva horizontalna opterećenja u ravni podužnog okvira prihvata konzolni AB zid Z1. Krutost 'beskonačno krute' grede u vrhu je dovoljna da vitak stub bude praktično uklješten u vrhu, ali ne i zid Z1 koji se deformiše praktično kao konzola. Dinamički model je konzola sa jednom masom, sa krutošću na pomeranje kz jednakoj krutosti samo konyolnog zida, slika 4.25.b. Za potrebe proračuna perioda oscilovanja, za računski presek mogu da se usvoje karakteristike I-preseka, a isto tako i karakteristike pravougaonog preseka dz / lz gde je 'visina' preseka preseka lz=λ+bs . Zbog pojave prslina pri zemljotresu, efektivna krutost preseka pada, pa je aproksimacija samo pravougaonim delom preseka uobičajena u praksi. Prema tome, analiza efekata vetra i

POS1 (krov)

L=7λ=7x5,0=35,0 m

B=1

5,0

m

Kalkan Kalkan

POS2

(gla

vni n

osač

)

Podužni okvir Poprečni okviri

S1

Z1 (zid)

Z1 (zid)

d Zd Z

Slika 4.24 - Dispozicija-osnova hale

a.λ1 8

~HH

R2 R2 R2R2

bs

λlΖ

H

mx

kZ

b.

Z1

Slika 4.25 - Podužni okvir i dinamički model

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-18

zemljotresa u ravni podužnih okvira vrši se uz zanemarenje prisustva ostalih stubova u toj ravni. Pri određivanju aksijalnog opterećenja zida Z1, voditi računa da na jedan zid padaju dve reakcije R2 glavnih nosača POS2, slika 4.25.a.

U ravni podužnih okvira, ostali stubovi prihvataju samo uticaje gravitacionih opterećenja. Stubovi su preko fasadnih greda vezani za vrh krutog zida, pa se može smatrati da su vrhovi stubova za uticaje gravitacionih opterećenja praktično nepomerljivi u ravni podužnog okvira. Vitkost stuba u ravni podužnih okvira zavisi i od ostvarene veze stuba i fasadne grede u vrhu, slika 4.25. Ako je veza zglobna, dužina izvijanja može da se usvoji u iznosu 0,7H, a ako su stubovi u vrhu uklješteni u fasadnu gredu 'beskonačne krutosti', dužina izvijanja teorijski

iznosi 0,5H, ali se preporučuje da se usvoji 0,7H, slika 4.25.

S obzirom da računski vetar ili zemljotres prema našim pravilnicima ne deluju istovremeno iz dva upravna pravca, ista armatura zida Z1 prihvata uticaje iz dva pravca. Usled dejstva vetra ili zemljotresa u ravni poprečnog okvira, u Y-pravcu, potrebna armatura Fax ivičnih stubova zida usvaja se i raspoređuje simetrično u okviru preseka stubova, slika 4.26.a. Za uticaje vetra i zemljotresa u ravni podužnih okvira, u X-pravcu, usvojena armatura Fax je deo armature flanši I-preseka, i potrebno je samo sračunati dodatnu armaturu ∆Fay , tako da ukupna armatura flanši Fax + ∆Fay bude jednaka sračunatoj za obezbeđenje nosivosti I-preseka, slika 4.26.b. Rebro zida debljine dz i dužine lz treba proveriti na dejstvo transverzalnih sila i armirati prema pravilima za armiranje AB zidova, Primer 3.

λ

d

4

Fax/2

Fax/2

X

Y

xM±

Fax/2

Fax/2

xM±d

b b

5

±Rφ10/20 ±Rφ10/20

λ

20

dd

yM±∆Fay - dodatnaarmatura

∆Fay

(Fax /2)

(Fax /2)

(Fax /2)

(Fax /2)b b

a.

b.

V,S

V,S

Slika 4.26 - Supepozicija potrebne armature za savijanje u dve ravni

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-19

4.5.2 Dvobrodna hala sa stubovima Dispozicija konstrukcije dvobrodne hale prikazana je na slikama 4.27 i 4.28.

Za konstrukciju glavnih nosača POS2 usvojene su dve montažne proste grede, mada su

moguća rešenja i sa kontinualnim nosačem preko dva polja raspona B. Kao i u slučaju jednobrodne hale, stabilnost na horizontalne uticaje u poprečnom Y-pravcu obezbeđuje osam poprečnih okvira sa ukupno 3×8=24 stuba. U ovom primeru, dimenzije fasadnih stubova POS S1 u osama A i C iznose b/d, dok su za središnji red stubova POS S2 u osi B usvojene veće dimenzije b/1,5d , zbog većih aksijalnih opterećenja središnjih stubova, na primer. U ravni podužnih okvira postavljene su fasadne grede POS FG, odnosno središnje grede POS SG, koje, zajedno sa stubovima formiraju podužne okvire.

Kao i u slučaju jednobrodne hale, deo 4.2.1, vrednost perioda oscilovanja T1 u poprečnom pravcu može da se odredi na osnovu poznate ukupne mase my=m i ukupne, zbirne krutosti ky konstrukcije na pomeranje u Y-pravcu. S obzirom da su svi stubovi (ukupno n=24 stuba)

B=1

5,0

m

POS2

(gla

vni n

osač

)

Podužni okvir C

S2 (stub)

POS1

(krov

)

L=7λ=7x5,0=35,0 m

B=1

5,0

m

Kalkan

Kalkan

POS2

(gla

vni n

osač

)

Podužni okvir B

S1 (stub)

A

B

C

Podužni okvir A

S1 (stub)

1 2 3 8

b

1,5d

b d

Slika 4.27 - Dispozicija dvobrodne hale, osnova

B

POS FG

POS S2

Fasadnipaneli

A

POS S1

POS FGFasadnipaneli

POS S1

POS SG

BB C

d 1,5d d

POS2 POS2

Slika 4.28 - Dispozicija dvobrodne hale, presek

B BC

1,5d d

BA

d

H

EF → ∞ EF → ∞

m

IsA IsB IsC

δδ

P=1

δ m

ky

P=1

δ

H

a. b.

Slika 4.29 - Dinamički model u ravni poprečnog okvira

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-20

istog, konzolnog sistema, to je pomeranje bilo kog stuba i , sa momentom inercije preseka Ii =bs ds

3/12 i visine Hi , usled delovanja jedinične sile u vrhu P=1 , jednako δi= 1×Hi

3/3EIi Prethodni izraz definiše 'matricu fleksibilnosti', dok je krutost konzolnog stuba i na pomeranje jednaka kiy = 1 / δi = 3EIi / Hi

3 Krutost ukupne konstrukcije na pomeranje jednaka je sumi krutosti svih pojedinačnih stubova

ky= 24

1iy

ik

=∑

pa je period oscilovanja u prvom tonu T1= 2π mk

, gde je m ukupna masa.

U opštem slučaju, pomeranje δ vrha konstrukcije konzolnih stubova sa ukupnom krutošću ky usled dejstva jedinične sile P=1 u vrhu iznosi

odnosno, T1= 2π mδ ,gde je m ukupna masa. Sa sračunatom vrednošću perioda oscilovanja T1 određuje se vrednost koeficijenta dina-

mičnosti kd , odnosno vrednost ukupnog seizmičkog opterećenja Sy. Pri istim pomeranjima δy vrhova stubova, raspodela poznate horizontalne sile Sy na

pojedine stubove vrši se srazmerno njihovim krutostima na pomeranje kiy . Svaki stub i prima deo sile Siy

Siy = Sy kiy / ky U slučaju stubova istog sistema-konzola, istih visina i istih poprečnih preseka, odnos krutosti na pomeranje se svodi na odnos momenata inercije poprečnih preseka, pa je

Siy= Sy Ii /24

1i

iI

=∑

Krući središnji stubovi u osi B prihvatiće i veći deo horizontalnih opterećenja. Prema Pravilniku Yu81, potrebno je proveriti i 'pomeranja' vrha konstrukcije pri zemljo-

tresu, usled dejstva računske sile Sy : δy= Syδ ≤ H/600?

Potrebno je da su računska pomeranja vrha manja od H/600. Ukoliko je δy>H/600, na is-pitu ne treba korigovati proračun povećanjem krutosti elemenata, dovoljno je to konstatovati. U slučaju industrijskih hala, obično se dozvoljavaju veća pomeranja, zavisno od opreme i konstrukcije fasada.

24 24

31 1

1 11/3y

iiy

i

kEIkH

δ = = =

∑ ∑

+

B BC

1,5d

BA

H

EF → ∞ EF → ∞

a.

0,8w

0λ

d

0,4w

0λ

d

Rw

b.B B

C

1,5d

BA

H

EF → ∞ EF → ∞

d

ΣIΑ ΣIΒ ΣIC

d

Pw=Rw

Slika 4.30 - Proračun uticaja vetra u ravni poprečnih okvira

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-21

U odnosu na slučaj jednobrodne hale, proračun uticaja vetra u ravni poprečnih okvira je principijelno isti, slika 4.30. Razlika je samo u tome što u krutost sistema treba uključiti i središnje stubove u osi B, koji nisu izloženi direktnim uticajima vetra.

Fasadni stubovi u osama A i C primaju direktne uticaje vetra, slika 4.31.a, dok svi stubovi, pa i središnji stubovi u osi B primaju deo uticaja vetra usled pomeranja konstrukcije krova pri vetru, slika 4.31.b.

Što se tiče analize uticaja vetra i zemljotresa u podužnom X-pravcu, po-stupak je isti kao i za jednobrodnu kon-strukciju hale, deo 4.2.2, samo što u analizu treba uključiti još jedan podužni okvir, središnji okvir u osi B, slika 4.32. Zbog potpune simetrije, centar mase i centar krutosti se poklapaju u oba pravca, tako da prema Yu81 ne treba analizirati efekte rotacije odnosno torzi-je hale u osnovi.

Na ispitu je najjednostavnije pret-postaviti da su sva tri podužna okvira konstruisana na isti način, sa krutim vezama stubova POS S2 i središnjih greda POS SG, na primer, slika 4.33a-c. U tom slučaju konturni uslovi krajeva svih stubova su isti, pa je i definicija krutosti na pomeranje kix pojedinačnih stubova i ista kix = 1 / δi = 12EIi / Hi

3 Ukupna krutost na pomeranje nekog podužnog okvira jednaka je sumi krutosti svih pojedinačnih stubova koji pripadaju razmatranom okviru

kAx= 8

1iAx

ik

=∑

kBx= 8

1iBx

ik

=∑

kCx= 8

1iCx

ik

=∑

+

B BCBA

H

a.

0,8 w

0λ

0,4 w

0λ

Rw

b.B B

CBA

H

Pw=Rw

MAw1 MCw1 MAw2 MBw2 MCw2

Slika 4.31 - Komponente uticaja vetra na stubove poprečnog okvira

B=1

5,0

m

L=7λ=7x5,0=35,0 m

B=1

5,0

m

B

C

1 2 3 8

CMCKSx

mδx

XA

Y

Slika 4.32 - Analiza uticaja u podužnom X-pravcu

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-22

gde je kAx, kBx, kCx - zbirna krutost okvira u osama A, B i C, a kiAx, kiBx , kiCx - krutost pojedinačnih stubova u osam A, B i C. Ukupna krutost sva tri okvira u podužnom X-pravcu jednaka je zbiru krutosti pojedinih okvira

kx = kAx + kBx + kCx odnosno, jednaka je zbirnoj krutosti svih pojedinačnih stubova

kx= 24 24

31 1

12 iix

i i

EIkH=

=∑ ∑

U slučaju da su fasadni stubovi u osama A i C uklješteni u fasadne grede, a da su središnji stubovi POS S2 u osi B zglobno vezani za montažne središnje grede POS SG , krutost fasadnih i središnjih stubova se razlikuje, o čemu treba voditi računa, slika 4.33.a1-c1. Zbirna krutost svih podužnih okvira tada iznosi

kx= 24 16 8

3 31 1 1

12 3i iix

i i i

EI EIkH H=

= +∑ ∑ ∑

gde se prva suma odnosi na 16 fasadnih, obostrano uklještenih stubova, dok se druga suma odnosi na 8 središnjih stubova, zglobno vezanih u vrhu.

Problem određivanja efekata drugoga reda pri dejstvu vetra je u ovom slučaju malo složeniji nego u primeru jednobrodne hale. U slučaju jednobrodne hale, svi su stubovi imali isti presek i iste konturne uslove u vrhu. U tom slučaju dovoljno je tačno pretpostaviti da se svaki pojedinačni stub 'izvija' sa svojom aksijalnom silom, pa se analiza vrši za razmatrani izolovani stub. Ako se krutost pojedinih stubova razlikuje, kao u ovom slučaju dvobrodne hale, i/ili konturni uslovi krajeva svih stubova nisu isti, kao na slici 4.33.a1-c1, za ocenu efekata drugoga reda pri dejstvu vetra korektnije je primeniti stavove BAB-a u vezi 'prosečne vitkosti stubova istog sprata pomerljivog okvira', knjiga 2, strana 210 /2/. Za prosečnu 'vitkost sprata', u ovom slučaju prizemne hale može da se usvoji vrednost

112 /i sA Hλ δ= gde su: λi - prosečna vitkost stubova hale, jednaka za sve stubove; δ1 - pomeranje krova u razmatranom pravcu usled dejstva jedinične sile H=1 koja deluje u ravni krova, sračunato za

λ

H

bs

SCδx

IsC

λ

H

bs

SBδx

IsB

λ

H

bs

SAδx

IsA

a.

c1.

b1.

a1.

λH

bs

SCδx

IsC

λ

H

bs

SBδx

IsB

λ

H

bs

SAδx

IsA

c.

b.

Slika 4.33 - Različita rešenja podužnih okvira: a., a1 - okviri u osi A; b, b1 - okviri u osi B, c, c1 - okviri u osi C

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-23

vrednost modula elastičnosti betona Eb=1 ; As - ukupna površina svih stubova hale, ukupno 24 stuba u ovom primeru; H - visina stubova, jednaka za sve stubove. Pomeranje δ usled jedinične sile, ali za punu vrednost modula elastičnosti betona sračunato je ranije, pa je

Stubovi manje krutosti podložniji su 'izvijanju', pa ih krući stubovi donekle pridržavaju,

što sve otežava ocenu vitkosti pojedinačnog izolovanog stuba, što se prevazilazi primenom prosečne vitosti svih stubova. Na ispitu se, kao približno rešenje prihvata da se analizira pojedinačni stub sa svojim aksijalnim opterećenjem i imperfekcijom, ali se više ceni i nagrađuje primena postupka prosečne vitkosti sprata, koja je predmet ranijih kurseva betonskih konstrukcija.

1 24 24

31 1

1 11/ ( 1)3( 1)

y b bi

iy bi

k E EIk E

H

δ δ= = = = ==∑ ∑

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-24

4.5.3 Dvobrodna hala sa AB zidovima za ukrućenje u fasadnim podužnim okvirima

Ovaj slučaj trebalo bi da je jasan na osnovu svega do sada iznetog. Podsetimo, osnovna pret-postavka analize je da je kon-strukcija krova kruta u svojoj ravni, pa se raspodela horitontalnih opte-rećenja vrši srazmerno krutostima pojedinih elemenata-stubova.

Kao i ranije, može da se pret-postavi da sve uticaje u podužnom X-pravcu primaju samo dva AB zida POS Z1, dok uticaje u pop-rečnom Y-pravcu primaju ukupno 24 stuba, slika 4.34.

Komentar: Krutost zida znatno je veća od krutosti jednoga stuba, ali sa povećanjem broja stubova njihova ukupna krutost uopšte ne mora da bude zanemarljiva, niti mala u odnosu na zidove. Za vežbu, proveriti ovaj primer. U

ovom primeru (preporuka i za ispit), za osnovni noseći sistem u podužnom X-pravcu usvojeni su samo zidovi Z1, i dimenzionisani kao da će sami morati da prime sva opterećenja. Zbog prisustva znatnog broja stubova, realna nosivost i krutost konstrukcije su veći, videti i analizu u Primeru 3, deo 3.13.3.

B=1

5,0

m

POS2

Podužni okvir C

S2

POS1

(krov

)

L=7λ=7x5,0=35,0 m

B=1

5,0

m

Kalkan

Kalkan

POS2

Podužni okvir B

S1

A

B

C

Podužni okvir A

S1

1 2 3 8

b1,

5d

b d

Z1 (zid)

Z1 (zid)

Slika 4.34 - Dispozicija dvobrodne hale sa zidovima za ukrućenje

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-25

4.5.4 Nesimetrična dvobrodna hala sa zidovima u fasadnim podužnim okvirima U slučaju nesimetričnih konstrukcija

hala u osnovi, po pravilu se ne poklapaju centar masa i centar krutosti, pa je potrebno na neki način uvesti u analizu i rotaciju odnosno torziju hale u osnovi, primer na slici 4.35. Ukoliko bi hala imala samo stubove, bez dodatnih vertikalnih spregova-AB zidova Z1, tada bi stubovi prihvatali sve uticaje, usled translacije kao i usled rotacije krova, što za posledicu ima koso savijanje stubova. Rešenje je moguće, ali ne i na ispitu, mada se uz pomoć dijagrama interakcije /3/ i dimenzionisanje na koso savijanje može savladati.

Zadržavajući pretpostavku da u slučaju zajedničkog pomeranja krutih AB zidova i stubova praktično sve uticaje prihvataju kruti zidovi kao osnovni sistem, problem se može pojednostaviti, i uraditi na ispitu, slika 4.35 i 4.36. Centar krutosti CK odre-đuje se na osnovu krutosti dva zida u podu-

žnom X-pravcu, i krutosti dvadeset stubova u poprečnom Y-pravcu. Pri dejstvu zemljotresa u podužnom X-pravcu, redukcijom inercijalne sile sa centra masa

CM na centar krutosti CK, kao rezultujuće dejstvo dobija se seizmička sila Sx i moment torzije Mx=Sxex , gde je ex ekscentricitet u X-pravcu centra mase u odnosu na centar krutosti, slika 4.36.a. Uz pretpostavku da se sila Sx raspodeljuje samo na dva zida Z1 u osama A i C, uticaji u zidovima usled translacije krova iznose Sx /2. Moment torzije u osnovi mogu da prime i ok-viri, kao niz spregova sila naspramnih okvira, ali je u ovom primeru dosledno usvojeno da

B=1

5,0

m

S2

L=7λ=7x5,0=35,0 m

B=1

5,0

m

Kalkan

Kalkan

POS2

S1

B

S1

1 2 3 8

Z1 (zid)

Z1 (zid)

POS2

Kalkan

X

Y

A

C

Slika 4.35 - Dispozicija nesimetrične hale u osnovi

B

L=7λ=7x5,0=35,0 m

B

B

1 2 3 8

Z1 (zid)

Z1 (zid)A

X

Y

CM

CK

ey

e x

Sx

Mx=Sxex

RCx =Sx /2-Mx /2B

RAx =Sx /2+Mx /2B

C

B

L=7λ=7x5,0=35,0 m

B

B

1 2 3 8

Z1 (zid)

Z1 (zid)A

X

Y

CM

CK

ey

e x

Sy

My=Syey

RCy =My /2B

RAy =My /2B

C

a. b.

Slika 4.36 - Koncept prijema uticaja zemljotresa u podužnom X , i poprečnom Y-pravcu

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-26

moment torzije Mx primaju samo zidovi Z1 kao najkrući elementi. U tom slučaju, opterećenje zidova usled torzije iznosi Mx /2B. Ukupni uticaji u zidovima su zbir uticaja translacije i tor-zije, slika 4.36.a.

Pri dejstvu zemljotresa u poprečnom Y-pravcu, može da se usvoji da komponentu translacije Sy prihvata 21 stub kao da je hala simetrična, a da moment torzije My=Sy×ey opet prihvataju zidovi Z1, slika 4.36.b.

Analogno se rešava i problem prijema vetra, samo što rezultanta vetra ne prolazi kroz centar mase, pa su i odgovarajući ekscentriciteti rezultante vetra u krovu u odnosu na centar krutosti različiti.

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-27

4.5.5 Opšti slučaj jednog nepravilnog okvira U opštem slučaju, stubovi okvira mogu da imaju različite poprečne preseke odnosno

momente inercije, različite visine kao i različite konturne uslove na krajevima-na vezama sa temeljima odnosno fasadnim gredama, slika 4.37.

Mada je to već prikazano kroz prethodne primere, ovde se daje pregled-rezime postupka analize okvira na dejstva horizontalnih sila usled vetra (V) odnosno zemljotresa (S). Pretpostavlja se da je gornja fasadna greda 'beskonačne krutosti' na savijanje.

Krutost pojedinih stubova na pomeranje prema slici 4.37.b iznosi:

Za visinu stubova 1-4 usvojeno je rastojanje do težišne linije fasadne grede, a za stubove

5-6 je usvojena realna visina stuba do zgloba u vrhu. Sasvim je prihvatljivo da se za sve stubove usvoji rastojanje do težišne linije fasadne grede.

Ukupna krutost okvira k na pomeranje jednaka je sumi parcijalnih krutosti pojedinih stubova

k= 6

1i

ik

=∑

Sa poznatom krutošću i masom, moguće je odrediti period oscilovanja, vrednost koeficijenta dinamičnosti kd kao i seizmičkog opterećenja S. Pri jednakim pomeranjima vrhova stubova za iznos δ, raspodela poznate sile vetra V odnosno zemljotresa S po pojedinim stubovima vrši se srazmerno krutostima na pomeranje

Si = S× ki /k Za proračun efekata drugoga reda pri dejstvu vetra više ne pomaže ni postupak 'prosečne

vitkosti stubova istoga sprata', razlikuju se visine kao i konturni uslovi stubova. Problem se može rešiti primenom 'približnog P-∆ postupka' za analizu pomerljivih okvira, videti BAB, knjiga 2, strana 243 /2/.

G,P

V,S

1 2 3 4 5 6

I1 I2 I3 I4 I5 I6

H H2

Zglob

Zglob

G,P

V,S

1 2 3 4 5 6

I1 I2 I3 I4 I5 I6

H H2

δ

a. b.

H1

H1

Slika 4.37 - Dispozicija jednog nepravilnog okvira

11 3

1

12EIkH

= 22 3

1

12EIkH

= 33 3

3EIkH

= 44 3

12EIkH

= 55 3

2

3EIkH

= 66 3

2

3EIkH

=

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-28

4.5.6 Okviri kao osnovni elementi konstrukcije U slučaju nepravilnih osnova, često je preglednije i jasnije da se kao osnovni element

konstrukcije hale usvoji kompletan okvir stubova i greda u istoj ravni. Takav koncept koriste i tradicionalni softveri kao što je 'TABS', na primer.

Konfiguracija stubova jednog okvira može da bude proizvoljna, kao na slici 4.37. Jedini uslov je da su vrhovi stubova vezani za krutu kon-strukciju krova na istoj koti - da krov leži u jednoj horitontalnoj ravni. Za svaki od 11 okvira 1-8, A-C prema slici 4.38, na prethodno prikazani način može da se odredi krutost okvi-ra 'i' na pomeranje ki (kN/m) u njegovoj ravni. Sa poznatim pojedinačnim krutostima, okviri mogu da se izbace i da se zamene sa po jednom elastičnom oprugom u ravni krova, čija je krutost jednaka krutosti okvira ki, slika 4.28. Za položaj opruge bitno je da se nalazi u ravni odgovarajućeg okvira, u bilo kojoj tački na datom pravcu. Prema slici 4.38, ukupna krutost opruga u X-pravcu iznosi

kx=kA +kB +kC dok je ukupna krutost opruga u Y-

pravcu ky=k1 +k2 +k3 +k4 +k5 +k6 +k7 +k8

Položaj centra krutosti definisan je uobičajenim izrazima yi i yi i

CKyi y

k x k xx

k k= =∑ ∑

∑

xi i xi i

CKxi x

k y k yy

k k= =∑ ∑

∑

Sa poznatim pojedinačnim krutostima opruga, kao i ukupnim krutostima u X/Y pravcu, dalja analiza je u svemu analogna analizi prikazanoj u Primeru 3, kao da je svaka od opruga prizemni AB zid odgovarajuće krutosti. Rezultat analize je naprezanje pojedinih opruga - okvira. Raspodela naprezanja okvira na pojedine stubove okvira vrši se na već prikazani način, prema krutostima pojedinih stubova.

B=1

5,0

m

L=7λ=7x5,0=35,0 m

B=1

5,0

m

1 2 3 8

AX

Y

5 6

k 1 k 2 k 5

k 6 k 8

kA

kB

kC

C

B

Slika 4.38 - Koncentrisane opruge kao zamena za okvire

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-29

5 Ilustracije ponašanja okvira pri zemljotresu Primer oštećenja jedne montažne hale u izgradnji prikazan je na slici 4.39. Uočljivo je

krivljenje stubova, razvoj oštećenja - plastičnih zglobova u dnu stubova, kao i oštećenja veza stubova i rigli-nosača krova.

Za montažne konstrukcije hala tipično je oštećenje veze stubova i glavnih krovnih nosača, slika 4.40, često i veza rožnjača i glav-nih krovnih nosača. U ekstremnom slučaju može da dođe do kidanja veza i pada horizontalnih elemenata konstrukcije, slika 4.41.

Slika 4.39 - Oštećenja hale u izgradnji (Turska 1999.)

Slika 4.41 - Pad horizontalnih konstrukcija zbog

kidanja veza sa okvirima (SAD 1994.)

Slika 4.40 - Oštećenje veze stuba i grede

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-30

Na slici 4.42 prikazan je detalj fasadnog okvira označenog strelicom na slici 4.41. Nakon

kidanja veza i propadanja tavanica, prvobitno vertikalni fasadni okvir se dramatično povio ka unutrašnjosti objekta. Na stubovima prizemlja uočljive su naglašene prsline-pukotine, ali konstrukcija deluje 'žilavo', mada je neupotrebljiva. Zahtev da tavanice budu krute nije samo radi 'elegantne' analize, krute tavanice koje pouzdano povezuju sve vertikalne noseće elemente su osnovni preduslov pouzdanog ponašanja konstrukcija pri zemljotresu.

Slika 4.42 - Detalj povijenog fasadnog okvira nakon pada tavanica (SAD 1994.)

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere

4-31

LITERATURA uz Deo B /1/ Pravilnik o tehničkim normativima za izgradnju objekata visokogradnje u seizmičkim područjima, Službeni list SFRJ, Beograd, 1981, sa naknadnim dopunama /2/ Pravilnik o tehničkim normativima za beton i armirani beton, Službeni list br. 07-719/1, Beograd, 13.02.1986. /3/ D.Najdanović, V.Alendar, D.Ješić, Dijagrami za dimenzionisanje armirano betonskih preseka prema graničnoj nosivosti, Građevinska knjiga, Beograd, 1989. /4/ Evrokod 8, Projektovanje seizmički otpornih konstrukcija, Deo 1-1 do 1-3, R.Folić editor, Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 1997. /5/ Evrokod 2, Proračun betonskih konstrukcija, Deo 1, Ž.Perišić editor, Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 1994. /6/ Tower - program za statičku i dinamičku analizu prostornih konstrukcija, Verzija 3.2, Radimpex, Beograd, 1999. /7/ SAN - program za statičku i dinamičku analizu prostornih konstrukcija, Vrezija 3.0, B.Tepavčević i drugi, Beograd, 1999.