Vanjska simetrija kristâla - Naslovnica | PMFbruckler/pdf/kristali-simetrije.pdf · Vanjska simetrija krist^ala Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb Listopad 2008. Franka Miriam

Vanjska simetrija kristala

Franka Miriam Bruckler

PMF-MO, Zagreb

Listopad 2008.

Franka Miriam Bruckler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristala Listopad 2008. 1 / 16

Sto je simetrija?

Vizualna simetrija

U svakodnevici pod simetrijom prije svega dozivljavamo geometrijskuzrcalnu simetriju.


Sto je simetrija?

Vizualna simetrija



Sto je simetrija?

Vizualna simetrija



Sto je simetrija?

Vizualna simetrija



Sto je simetrija?

Moze li malo preciznije?

Geometrijski objekt X (zanimaju nas iskljucivo slucajevi kad je X ⊆ Rn,n = 1, 2, 3) je simetrican ako posjeduje bar jedan element simetrije.Element simetrije je tocka, pravac ili ravnina obzirom na koji se mozezrcaliti ili za neki nenul kut rotirati promatrani objekt tako da se poklopisam sa sobom.

Razlikujemo centre simetrija, ravnine simetrija i osi simetrija (gire) teslozene elemente simetrije.


Sto je simetrija?

Moze li malo preciznije?

Geometrijski objekt X (zanimaju nas iskljucivo slucajevi kad je X ⊆ Rn,n = 1, 2, 3) je simetrican ako posjeduje bar jedan element simetrije.Element simetrije je tocka, pravac ili ravnina obzirom na koji se mozezrcaliti ili za neki nenul kut rotirati promatrani objekt tako da se poklopisam sa sobom.Razlikujemo centre simetrija, ravnine simetrija i osi simetrija (gire) teslozene elemente simetrije.


Sto je simetrija?

Centri simetrije

Centralna simetrija ili inverzija obzirom na centar C ∈ Rn je izometrija1 : Rn → R

n sa svojstvom da za sve T ∈ Rn vrijedi da je C poloviste

duzine poloviste duzine T1(T ). Ako za neki centar C vrijedi 1(X ) = Xkazemo da X posjeduje centralnu simetriju. Inverzija se cesto oznacava i si .

Slika: C2H2F2Cl2


Sto je simetrija?

Centri simetrije

Centralna simetrija ili inverzija obzirom na centar C ∈ Rn je izometrija1 : Rn → R

n sa svojstvom da za sve T ∈ Rn vrijedi da je C poloviste

duzine poloviste duzine T1(T ). Ako za neki centar C vrijedi 1(X ) = Xkazemo da X posjeduje centralnu simetriju. Inverzija se cesto oznacava i si .

Slika: C2H2F2Cl2Franka Miriam Bruckler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristala Listopad 2008. 4 / 16

Sto je simetrija?

Ravnine simetrije

Ravninska simetrija ili zrcaljenje obzirom na ravninu Π je izometrijam : R3 → R

3 sa svojstvom da za sve tocke T ∈ R3 vrijedi da se polovisteduzine Tm(T ) podudara sa sjecistem okomice iz T na Π s Π. Ako za nekuravninu Π vrijedi m(X ) = X kazemo da X posjeduje zrcalnu simetriju.Zrcaljenje se takoder cesto oznacava sa σ, a ravnina simetrije s P.


Sto je simetrija?

Ravnine simetrije

Ravninska simetrija ili zrcaljenje obzirom na ravninu Π je izometrijam : R3 → R

3 sa svojstvom da za sve tocke T ∈ R3 vrijedi da se polovisteduzine Tm(T ) podudara sa sjecistem okomice iz T na Π s Π. Ako za nekuravninu Π vrijedi m(X ) = X kazemo da X posjeduje zrcalnu simetriju.Zrcaljenje se takoder cesto oznacava sa σ, a ravnina simetrije s P.


Sto je simetrija?

Osi simetrije

Rotacijska simetrija ili rotacija oko osi (pravca) o za kut α je izometrijar : R3 → R

3 sa svojstvom da za sve tocke T ∈ R3 vrijedi da je|OT | = |Or(T )| i da je kut izmedu OT i Or(T ) jednak α, gdje je Oprobodiste pravca o s ravninom kroz T koja je okomita na o. Ako za nekuos o i kut α 6= 0 vrijedi r(X ) = X kazemo da X posjeduje rotacijskusimetriju.

Dogovorno se bira najmanji kut rotacije α > 0 jer ocito vrijedi da ako jerotacija za α rotacijska simetrija, onda je i rotacija za svaki njegovcjelobrojni visekratnik takoder rotacijska simetrija. Ako je α = 2π

nodgovarajucu rotaciju oznacavamo s Cn ili jednostavno s n, dok os tadaoznacavamo s Ln. Za n = 2, 3, 4, 6 odgovarajuci elementi simetrije (osi)zovu se digira, trigira, tetragira, heksagira.Napomenimo da se centralna simetrija moze promatrati kao kompozicijarotacije za kut π i zrcaljenja obzirom na ravninu okomitu na os rotacije.


Sto je simetrija?

Osi simetrije


3 sa svojstvom da za sve tocke T ∈ R3 vrijedi da je|OT | = |Or(T )| i da je kut izmedu OT i Or(T ) jednak α, gdje je Oprobodiste pravca o s ravninom kroz T koja je okomita na o. Ako za nekuos o i kut α 6= 0 vrijedi r(X ) = X kazemo da X posjeduje rotacijskusimetriju.Dogovorno se bira najmanji kut rotacije α > 0 jer ocito vrijedi da ako jerotacija za α rotacijska simetrija, onda je i rotacija za svaki njegovcjelobrojni visekratnik takoder rotacijska simetrija. Ako je α = 2π

nodgovarajucu rotaciju oznacavamo s Cn ili jednostavno s n, dok os tadaoznacavamo s Ln. Za n = 2, 3, 4, 6 odgovarajuci elementi simetrije (osi)zovu se digira, trigira, tetragira, heksagira.

Napomenimo da se centralna simetrija moze promatrati kao kompozicijarotacije za kut π i zrcaljenja obzirom na ravninu okomitu na os rotacije.


Sto je simetrija?

Osi simetrije


3 sa svojstvom da za sve tocke T ∈ R3 vrijedi da je|OT | = |Or(T )| i da je kut izmedu OT i Or(T ) jednak α, gdje je Oprobodiste pravca o s ravninom kroz T koja je okomita na o. Ako za nekuos o i kut α 6= 0 vrijedi r(X ) = X kazemo da X posjeduje rotacijskusimetriju.Dogovorno se bira najmanji kut rotacije α > 0 jer ocito vrijedi da ako jerotacija za α rotacijska simetrija, onda je i rotacija za svaki njegovcjelobrojni visekratnik takoder rotacijska simetrija. Ako je α = 2π

nodgovarajucu rotaciju oznacavamo s Cn ili jednostavno s n, dok os tadaoznacavamo s Ln. Za n = 2, 3, 4, 6 odgovarajuci elementi simetrije (osi)zovu se digira, trigira, tetragira, heksagira.Napomenimo da se centralna simetrija moze promatrati kao kompozicijarotacije za kut π i zrcaljenja obzirom na ravninu okomitu na os rotacije.


Sto je simetrija?

(a) (b)

(c) (d)


Sto je simetrija?

Sto je dakle simetrija?

Simetrija objekta X ⊆ R3 je svaka izometrija f prostora R3 takva da jef (X ) = X .

Trivijalna simetrija je identiteta I : R3 → R3; ona je simetrija svakog

objekta. Objekt smatramo simetricnim ako posjeduje bar jednu netrivijalnusimetriju.Sve izometrije prostora mogu se realizirati kao kompozicije zrcaljenja, no izprakticnih razloga se razlikuju razne vrste izometrija. Uz vec navedeneizometrije (inverzije, zrcaljenja, rotacije) jos se kao simetrije objekatapojavljuju i:

Translacija za neki vektor a: izometrija ta : R3 → R3 sa svojstvom da

za sve tocke T ∈ R3 vrijedi da je orijentirana duzina−−−−→Tta(T )

predstavnik vektora a.


Sto je simetrija?


Simetrija objekta X ⊆ R3 je svaka izometrija f prostora R3 takva da jef (X ) = X .Trivijalna simetrija je identiteta I : R3 → R

3; ona je simetrija svakogobjekta. Objekt smatramo simetricnim ako posjeduje bar jednu netrivijalnusimetriju.

Sve izometrije prostora mogu se realizirati kao kompozicije zrcaljenja, no izprakticnih razloga se razlikuju razne vrste izometrija. Uz vec navedeneizometrije (inverzije, zrcaljenja, rotacije) jos se kao simetrije objekatapojavljuju i:





Sto je simetrija?



3; ona je simetrija svakogobjekta. Objekt smatramo simetricnim ako posjeduje bar jednu netrivijalnusimetriju.Sve izometrije prostora mogu se realizirati kao kompozicije zrcaljenja, no izprakticnih razloga se razlikuju razne vrste izometrija. Uz vec navedeneizometrije (inverzije, zrcaljenja, rotacije) jos se kao simetrije objekatapojavljuju i:





Sto je simetrija?



3; ona je simetrija svakogobjekta. Objekt smatramo simetricnim ako posjeduje bar jednu netrivijalnusimetriju.Sve izometrije prostora mogu se realizirati kao kompozicije zrcaljenja, no izprakticnih razloga se razlikuju razne vrste izometrija. Uz vec navedeneizometrije (inverzije, zrcaljenja, rotacije) jos se kao simetrije objekatapojavljuju i:





Sto je simetrija?

Rotoinverzija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako jeα = 2π

n , onda se pripadna rotoinverzija oznacava s n;

Rotorefleksija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako jeα = 2π


Simetrija klizne ravnine: kompozicija zrcaljenja obzirom na nekuravninu s translacijom u smjeru paralelnom toj ravnini;

Vijcana simetrija: kompozicija rotacije oko neke osi s translacijom usmjeru te osi.


Sto je simetrija?








Sto je simetrija?








Sto je simetrija?








Sto je simetrija?








Sto je simetrija?


Sto je simetrija?

Kod kristala su, kako cemokasnije dokazati, mogucesamo osi simetrije (bilorotacije bilo rotoinverzije ilirotorefleksije) reda 2, 3, 4ili 6. Sve rotorefleksne ositih redova mogu se shvatitikao rotoinverzne: 1 = 2,2 = 1, 3 = 6, 4 = 4, 6 = 3.Mi stoga u daljnjem necemospominjati rotorefleksiju.Napomenimo ovdje da je en-gleski izraz za rotorefleksijuimproper rotation te se uprikazima simetrija kristalai molekula one preferiraju uodnosu na rotoinverziju.

Slika: Ekvivalencije rotoinverzija i rotorefleksija


Zone, forme

Forme

Svaki kristal/mineral mozemo u geometrijskom smislu shvatiti kaopoliedar. Njegove strane zovemo plohama; one su konveksni poligoni.

Forma je skup svih sukladnih ploha kristala. Plohe jedne forme su nuznopovezane elementima simetrije tj. iz bilo koje od njih se primjenom nekeod simetrija mogu generirati sve ostale plohe iz iste forme.Za svaku formu promotrimo presjek poluprostora1 odredenih ravninama ukojima leze plohe forme. Otvorena forma je ona za koju je taj presjekneomeden skup, a zatvorena forma je ona za koju je taj presjek omeden.

1Za danu ravninu u R3 pripadni (zatvoreni) poluprostor je skup svih tocaka koje su sjedne od dviju mogucih strana te ravnine, ukljucivsi samu ravninu.


Zone, forme

Forme

Svaki kristal/mineral mozemo u geometrijskom smislu shvatiti kaopoliedar. Njegove strane zovemo plohama; one su konveksni poligoni.Forma je skup svih sukladnih ploha kristala. Plohe jedne forme su nuznopovezane elementima simetrije tj. iz bilo koje od njih se primjenom nekeod simetrija mogu generirati sve ostale plohe iz iste forme.

Za svaku formu promotrimo presjek poluprostora1 odredenih ravninama ukojima leze plohe forme. Otvorena forma je ona za koju je taj presjekneomeden skup, a zatvorena forma je ona za koju je taj presjek omeden.



Zone, forme

Forme

Svaki kristal/mineral mozemo u geometrijskom smislu shvatiti kaopoliedar. Njegove strane zovemo plohama; one su konveksni poligoni.Forma je skup svih sukladnih ploha kristala. Plohe jedne forme su nuznopovezane elementima simetrije tj. iz bilo koje od njih se primjenom nekeod simetrija mogu generirati sve ostale plohe iz iste forme.Za svaku formu promotrimo presjek poluprostora1 odredenih ravninama ukojima leze plohe forme. Otvorena forma je ona za koju je taj presjekneomeden skup, a zatvorena forma je ona za koju je taj presjek omeden.



Zone, forme

Forme

Svaki kristal/mineral mozemo u geometrijskom smislu shvatiti kaopoliedar. Njegove strane zovemo plohama; one su konveksni poligoni.Forma je skup svih sukladnih ploha kristala. Plohe jedne forme su nuznopovezane elementima simetrije tj. iz bilo koje od njih se primjenom nekeod simetrija mogu generirati sve ostale plohe iz iste forme.Za svaku formu promotrimo presjek poluprostora1 odredenih ravninama ukojima leze plohe forme. Otvorena forma je ona za koju je taj presjekneomeden skup, a zatvorena forma je ona za koju je taj presjek omeden.



Zone, forme

Glavne otvorene forme su pinakoid (u formi su samo dvije paralelne plohe),prizma (plohe forme su cetverokuti koji cine plast prizme) i piramida(plohe forme su trokuti koji cine plast piramide). Prema poligonu kojegdobijemo ako prizmu/piramidu sijecemo okomito na njenu os razlikujemorompske, trigonske, tetragonske, heksagonske, ditrigonske, ditetragonske idiheksagonske prizme i piramide.

Glavne zatvorene forme su dipiramida (forma je unija dvijuzrcalnosimetricnih piramida), trapezoedar (formu cine deltoidi), romboedar(formu cini sest sukladnih paralelograma) i skalenoedar (formu cine trokutikojima su sve tri stranice razlicite duljine).Plohe svakog kristala mogu se rasporediti u forme tj. pripadni poliedar jepresjek jedne ili vise formi.


Zone, forme

Glavne otvorene forme su pinakoid (u formi su samo dvije paralelne plohe),prizma (plohe forme su cetverokuti koji cine plast prizme) i piramida(plohe forme su trokuti koji cine plast piramide). Prema poligonu kojegdobijemo ako prizmu/piramidu sijecemo okomito na njenu os razlikujemorompske, trigonske, tetragonske, heksagonske, ditrigonske, ditetragonske idiheksagonske prizme i piramide.Glavne zatvorene forme su dipiramida (forma je unija dvijuzrcalnosimetricnih piramida), trapezoedar (formu cine deltoidi), romboedar(formu cini sest sukladnih paralelograma) i skalenoedar (formu cine trokutikojima su sve tri stranice razlicite duljine).

Plohe svakog kristala mogu se rasporediti u forme tj. pripadni poliedar jepresjek jedne ili vise formi.


Zone, forme

Glavne otvorene forme su pinakoid (u formi su samo dvije paralelne plohe),prizma (plohe forme su cetverokuti koji cine plast prizme) i piramida(plohe forme su trokuti koji cine plast piramide). Prema poligonu kojegdobijemo ako prizmu/piramidu sijecemo okomito na njenu os razlikujemorompske, trigonske, tetragonske, heksagonske, ditrigonske, ditetragonske idiheksagonske prizme i piramide.Glavne zatvorene forme su dipiramida (forma je unija dvijuzrcalnosimetricnih piramida), trapezoedar (formu cine deltoidi), romboedar(formu cini sest sukladnih paralelograma) i skalenoedar (formu cine trokutikojima su sve tri stranice razlicite duljine).Plohe svakog kristala mogu se rasporediti u forme tj. pripadni poliedar jepresjek jedne ili vise formi.


Zone, forme

A sto su zone?

Zona je skup ploha kristala koje su paralelne istom smjeru pravaca; svakipravac tog smjera zove se os zone. Ocigledno svake dvije neparalelne ploheodreduju jednu zonu. Ravnine ploha iste zone sijeku se u paralelnimpravcima (ti svi pravci naravno imaju smjer osi zone). Zonska ravnina jebilo koja ravnina koja je okomita na os zone; normale na plohe zone suparalelne zonskoj ravnini. Treci kristalografski zakon glasi: Svaka plohakristala pripada bar dvjema zonama.


Zone, forme

Prvi kristalografski zakon

Prvi kristalografski zakon poznat je i kao zakon o stalnosti kuteva. Izrekaoga je 1669. Niels Stensen (Nicolaus Steno). Zakon glasi:Kutevi izmedu odgovarajucih ploha na svim kristalima neke mineralnevrste jednaki su, bez obzira nalaziste kristala, uz uvjet da se mjere uz istitlak i temperaturu.Dakle, svaka mineralna vrsta ima odredene tipicne kuteve koji se mogupojaviti medu plohama kristala te vrste te se temeljem uocenih kuteva2

moze utvrditi moze li dani uzorak kristala pripadati nekoj mineralnoj vrstiili ne.

2Naprave za mjerenje kuteva medu plohama kristala zovu se goniometri.Franka Miriam Bruckler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristala Listopad 2008. 15 / 16

Zone, forme

Vjezbe

Na modelima naci i po mogucnosti imenovati:

Elemente simetrije (C , m, 2, 3, 4, 6, 4);

Forme (obavezno razlikovati otvorene i zatvorene!);

Zone


Documents

Vanjska simetrija kristâla - Naslovnica | PMFbruckler/pdf/kristali-simetrije.pdf · Vanjska simetrija krist^ala Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb Listopad 2008. Franka Miriam