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Variabili di stato nella vita di tutti i giorni
Ing. Andrea G. ChiarielloDip. Ingegneria Elettrica
Univ.Federico II Napoli
Variabili di statocircuiti elettrici
u y
x
La corrente nell'induttore è variabile di stato x = IL
Variabili di statocircuiti elettrici
u y
x
{u=R x L d xd t R2 xy =R2 x
{ẋ =[−RL−R2L ]x 1L uy =R2 xu y{ẋ =A x B uy =C x D u
LKV
Legge di Ohm
Equazioni di stato
Variabili di statocircuiti elettrici
u y
La corrente nell'induttore è variabile di stato x1 = I
L
La tensione sul condensatore è variabile di stato x
2=V
c
legate alle energie immagazzinate
x1
x2
Variabili di statocircuiti elettrici
u y
x1
{u=Ld x1d t
x 2R2 x 1
x 1=Cd x2d t
y =R2 x
{ẋ 1=−R2L
x 1−1L
x 21L
u
ẋ 2=1C
x 1
y =R2 x 1
y{ẋ =A x B uy =C x Du
LKV
Legge di Ohm
Equazioni di stato
Eq. costitutiva C
x2
u
x = x 1x 2
Variabili di statocircuiti elettrici
u y
x1
ẋ=[−R2L −1L1C
0 ]x[10]u
y{ ẋ=A xB uy=C xD uEquazioni di stato
x2
u
x= x1x2Polinomio caratteristico
det I−A =0
Variabili di statocircuiti elettrici
u y
x1
ẋ=[−R2L −1L1C
0 ]x[10]u
y{ ẋ=A xB uy=C xD uEquazioni di stato
x2
u
x= x1x2Polinomio caratteristico
det [ 00 ]−[−R2L − 1L1C 0 ]=0
Variabili di statocircuiti elettrici
u y
x1
ẋ=[−R2L −1L1C
0 ]x[10]u
y{ ẋ=A xB uy=C xD uEquazioni di stato
x2
u
x= x1x2Polinomio caratteristico
det [ R2L 1L− 1C ]=0
Variabili di statocircuiti elettrici
u y
x1
ẋ=[−R2L −1L1C
0 ]x[10]u
y{ ẋ=A xB uy=C xD uEquazioni di stato
x2
u
x= x1x2Polinomio caratteristico
2R2L 1
LC=0
Variabili di statocircuiti elettrici
u y
x1
ẋ =[−R2L −1L1C
0 ] x [10 ]u
y{ẋ =A x B uy =C x DuEquazioni di stato
x2
u
x = x 1x 2 Polinomio caratteristico
={−R2L R 2L 2
−4 1LC
−R2L
−R 2L 2−4 1LC
Variabili di statoAutomobile
m
u = Forza motrice y = velocità
Fa = forza di attrito
Variabili di statoAutomobile
u = Fmotrice y = velocità
Fattrito
= Ka v
Fm −Fa=m a=md vd t
Fm −k a v =md vd t
La velocità è variabile di stato
{Fm −k a x =m ẋy =x {ẋ =−k am x umy =x
prof
Variabili di statoAutomobile
La velocità è variabile di stato perché è legata all'energia cinetica
Variabili di stato motore elettrico
F=q v x B F=q d Ld t
x B=I d L x B
La forza è proporzionale alla corrente F=K F Is i n angolo compreso tra d l e B
Variabili di stato motore elettrico
=B S tagliata=B S spiras i n t
e =−d d t
=B S spirac o s t
e =K v c o s t
Variabili di stato motore elettrico
e≈K v
La tensione di “reazione” èlineare con la velocità angolare
e=K v [cos t ...cos tN ]
F=K F I [sin t1...sin tN ]
La coppia motrice totale è lineare con la corrente
Cm≈K m I
Con più spire si ha:
Variabili di stato motore elettrico
e≈K v=K v x2
Cm≈K m I=Km x1
CmCR
J Momento di inerziav
G e
x1
I è variabile di stato perchè è legata all'energia magnetica
è variabile di stato perchè è legata all'energia meccanica del sistema
Variabili di stato motore elettrico
e≈K v=K v x2
Cm≈K m I=Km x1
CmCR
J Momento di inerziav
G e
x1
LKV
Equilibrio meccanico
Cmotr i ce−Cattri to−C res i s t en t e= Jd d t
v G=R x 1Ld x1d t
e=R x 1Ld x1d t
K v x 2
Come F=m a
Variabili di stato motore elettrico
e≈K v=K v x2
Cm≈K m I=Km x1
CmCR
J Momento di inerziae
x1
LKV
Equilibrio meccanico
J ẋ2=K m x1−K A x2−Cr
L ẋ1=−R x1−K v x2vG ẋ1=−R
Lx1−
K vL
x21L
vG
ẋ2=K mJ
x1−K AJ
x2−1J
C r
vG
Variabili di stato motore elettrico
CmCR
u e
x1
ẋ 1=−R
Lx 1−
K vL
x 21L
v G
ẋ 2=K m
Jx 1−
K AJ
x 2−1J
C r
ẋ =[−RL −K vLK mJ
−K aJ] x [ 1L−1J]u x=[I L ] u=[vGC r]Con
Variabili di stato
{ẋ =A x B uy =C x D u
Sistemi di tipo estremamente diverso possono essere messi nella forma
I modi di evoluzione naturale del sistema possono essere trovati calcolando
Polinomio caratteristico
d e t I−A =0
Variabili di stato
Il polinomio caratteristico avrà sempre la seguente forma
22nn2=0
2R2L 1
LC=0
es. circuito RLCn Pulsazione di risonanza naturale Coefficiente di smorzamento
{ẋ =A x B uy =C x D u
Sistemi di tipo estremamente diverso possono essere messi nella forma
Variabili di stato
I modi di evoluzione naturale quindi sono
1,2=−n±n2−n2
Possono essere reali o complessi coniugati
{ẋ =A x B uy =C x D u
Sistemi di tipo estremamente diverso possono essere messi nella forma
Variabili di stato
ẋ =A x
Soluzione Omogenea (senza forzamento)
Soluzioni reali
x 1 o m=K 1 e1 tK 2 e
2 t
x 2 o m=K 3 e1 tK 4 e
2 t
I modi sono non oscillanti si smorzano esponenzialmente
Variabili di stato
ẋ =A x
Soluzione Omogenea (senza forzamento)
Soluzioni immaginarie
x1om=K1 e t cosd t K2 e
t sin d t
I modi sono oscillanti si smorzano esponenzialmente
Se è piccolo le oscillazioni durano molto tempo si smorzano lentamente e hanno un frequenza prossima a quella di risonanza del sistema.
1 , 2=± jd
x2om=K 3 e t cos d t K 4 e
t sin d t
Variabili di stato Forzamento sinusoidale
Alla risonanza ho un massimo nella risposta in frequenza
Il massimo è
∣M∣= 12
Per contenere questo valore devo aumentare lo smorzamento del sistema
Il pendolo
l ̈=−g sin
Piccole oscillazioni
l ̈=−g
Pulsazione caratteristica = glPeriodo di oscillazione T=2 lg
DiapasonIl suono di riferimento per l'intonazione di base degli strumenti musicali è la nota la3, la cui altezza deve corrispondere alla frequenza di 440 hertz (hz) , misurata alla temperatura ambiente di 20 gradi centigradi. (Legge 3 maggio 1989, n. 170)
Xilofono
File da visualizzare:
La Carmen di Bizet(http://www.youtube.com/watch?v=GPbYVA88uw)
Pianoforte
File da visualizzare:
Meccanica del pianoforte( http://www.rennerusa.com/flash/AniActionModel.swf)
Carosone(http://www.youtube.com/watch?v=lGLqx3zVcJ8)
Chitarra
File da visualizzare: Yngwie Malmsteen Beethoven`s 5th symphony
( http://www.youtube.com/watch?v=rrhdx5W8GFI)
Glassarmonica
File da visualizzare:
Hungarian dance n°5Brahms(http://www.youtube.com/watch?v=rBNYRx0i0Js)
Grattacielo
Effetti disastrosi della risonanza
Effetti disastrosi della risonanzaponte di Tacoma (Washington)
Lunghezza 1524 metri
Larghezza 12 metri
Aperto al traffico il 1 luglio 1940
Crollo 7 novembre 1940
File da visualizzare: ponte Tacoma (http://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs)
Effetti disastrosi della risonanza:Millenium Bridge
Riva sud del Tamigi.
Aperto: giugno del 2000
L'oscillazione laterale del ponte induceva i passanti a modificare la propria andatura fino a camminare tutti all'unisono.
L'oscillazione spostava il piano del ponte da destra a sinistra per 7 cm
Effetti disastrosi della risonanza:Bicchiere di cristallo
Per rompere il vetro comune 160170 dB
Cantante lirico può produrre suoni di livello massimo intorno ai 110 dB
Si può ottenere con l'altoparlante di uno stereo domestico, o uno strumento musicale come il clarinetto
Conclusione
● Le dinamiche del 2° ordine governano il comportamento di molti fenomeni fisici
● Gli effetti della risonanza possono essere disastrosi e vanno combattuti smorzando le dinamiche del 2° ordine che possono essere eccitabili nel sistema considerato
● Gli effetti della risonanza possono essere usati saggiamente a nostro vantaggio