VARIABILI DOPPIE: UN ESEMPIO Con riferimento agli esiti del lancio di due dadi da gioco, si considerino le

seguenti funzioni: Z1 = punteggio realizzabile con il primo dado: z1 = 1, 2, …, 6;

Z2 = punteggio realizzabile con il secondo dado: z2 = 1, 2, …, 6;

Y = punteggio somma: y := z1 + z2; y = 2, 3, …, 12;

X = differenza tra i punteggi dei due dadi in valore assoluto: x :=|z1 - z2|; x = 0, 1, 2, ..., 5.

Nella tabella seguente sono riportate all’interno delle celle i valori di probabilità per ciascuna coppia di valori (x,y) possibili riguardanti le due variabili (o numeri) aleatorie X e Y riportati rispettivamente nella prima colonna e prima riga.

PROBABILITA’ CONGIUNTA PROBABILITA’ MARGINALI

. yx

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tot.

0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6/36

1 2/36 2/36 2/36 2/36 2/36 10/36

2 2/36 2/36 2/36 2/36 8/36

3 2/36 2/36 2/36 6/36

4 2/36 2/36 4/36

5 2/36 2/36

Tot 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1

VARIABILI DOPPIE: PROPRIETA’

Si considerino: la v.a doppia (X,Y) con: f.p. congiunta p(x,y), (x,y) S(X,Y) = SXSY; f.r. congiunta F(x,y), (x,y) 2;

la v.a. marginale X con f.p. p1(x) e f.r. F1(x);

la v.a. marginale Y con f.p. p2(y) e f.r. F2(y);

le v.a. condizionate X|y, ySY, con f.p. p1|2(x|y) e f.r. F1|2(x|y);

le v.a. condizionate Y|x, xSX, con f.p. p2|1(y|x) e f.r. F2|1(y|x).

Per la v.a. X con f.r. marginale F1(x), valgono i seguenti risultati:

(1) EF1(X) = EF2

{EF1|2(X|Y)};

(2) VarF1(X) = EF2

{VarF1|2(X|Y)} + VarF2

{EF1|2(X|Y)}.

Risultati analoghi si ottengono per la v.a. Y con f.r. marginale F2(y).

MISURE DI DIPENDENZA PER VARIABILI DOPPIE CONTINUE: LA COVARIANZA

Si definisce covarianza tra le v.a. X e Y, denotata con Cov(X,Y), il seguente valore medio:

Cov(X,Y) := E{[x-E(X)][y-E(Y)]}.

Valgono: (1) Cov(X,Y) = Cov(Y,X);

(2) - Cov(X,Y) +;

(3) Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y);

(4) XY E(XY) = E(X)E(Y);

(5) XY Cov(X,Y) = 0;

(6) Cov(X,Y) = 0 XY.

MISURE DI DIPENDENZA PER VARIABILI DOPPIE CONTINUE: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE

Si definisce coefficiente di correlazione tra le v.a. X e Y, denotata con Corr(X,Y) o più brevemente con (X,Y), il seguente rapporto:

Corr(X,Y) := Cov(X,Y)/[var(X)var(Y)]1/2.

Valgono: (1) Corr(X,Y) = Corr(Y,X); (2) Corr{(a+bX),(c+dY)} = Corr(X,Y); (3) XY (X,Y) = 0. (4) (X,Y) = 0 XY.

Disuguaglianza di Schwarz: (5) [E(XY)]2 E(X2)E(Y2);

segue: (6) -1 Corr(X,Y) +1.

Si pone: 2(X,Y) =[(X,Y)]2.

Valgono inoltre:

con b>0, Corr{(a+bX),X} = 1;

con b<0, Corr{(a+bX),X} = -1.

MISURE DI DIPENDENZA PER VARIABILI DOPPIE CONTINUE: IL RAPPORTO DI CORRELAZIONE

Tenendo presente la scomposizione della varianza della v.a. X:

Var(X) = EF2{VarF1|2

(X|Y)} + VarF2{EF1|2

(X|Y)};

Si definisce rapporto di correlazione tra le v.a. X e Y, denotato con 2(X|Y), il seguente rapporto:

2(X|Y) := VarF2{EF1|2

(X|Y)} / Var(X).

Analogamente si ha:

2(Y|X) := VarF1{EF2|1

(Y|X)} / Var(Y).

Risultando in generale: 2(X|Y) 2(Y|X)

Risultano: (1) 0 2(Y|X) 1;

(2) 2(Y|X) = 0 EF2|1(Y|x) = EF2

(Y), xSX;

(3) 2(Y|X) = 1 VarF2|1(Y|x) = 0, xSX;

(4) 2(X,Y) min{2(Y|X), 2(X|Y) }; (5) XY 2(Y|X) = 2(X|Y) = 0. (6) [2(Y|X) = 2(X|Y) = 0] XY.

RISULTATI DELL’ESEMPIO CONSIDERATO Per le v.a. (X,Y) considerate nell’esempio introduttivo si ottengono i seguenti

risultati: v.a. Y|x, x = 0,1,…,5. x 0 1 2 3 4 5 E(Y|x) 7 7 7 7 7 7 Var(Y|x) 70/6 8 5 8/3 1 0

v.a. Y: E(Y) = 2(3.5) = 7; Var(Y) = 2(35/12) = 35/6. Var{E(Y|X)} = 0; 2(Y|X) = 0.

v.a. X|y, y = 2,3,…,12. y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 E(X|y) 0 1 4/3 2 2.4 3 2.4 2 4/3 1 0 Var(X|y) 0 0 8/9 1 2.24 8/3 2.24 1 8/9 0 0

v.a. X: E(X) = 35/18; Var(X) = 665/324; E{Var(X|Y)} = 38.8/27. 2(X|Y) = 1 - [(38.8/27)/(665/324)] = 0.29985. (X,Y) = 0.

DISTANZA TRA FUNZIONI DI RIPARTIZIONE

Date le due funzioni di ripartizione F(x,y) e G(x,y)=F1(x)F2(y), si può considerare la seguente distanza di ordine p (p 0):

dp(F,G): = [ |F(x,y)-G(x,y)|pdxdy]1/p.

Si osservi che per le f.r. F, G e H, risultano: (1) F = G dp(F,G) = 0;

(2) dp(F,G) = dp(G,F);

(3) dp(F,G) dp(F,H) + dp(H,G), f.r. H(x,y).

Per v.a. positive, risulta:

Cov(X,Y) = [F(x,y) - F1(x)F2(y)]dxdy.

0 0

ALCUNI RISULTATI OPERATIVI DI ALGEBRA DELLE V.A.

Valgono i seguenti risultati:

E(aX ± bY) = aE(X) bE(Y);

Var(aX ± bY) = a2Var(X) + b2Var(Y) ± 2abCov(X,Y).

Esempio. Media, varianza e correlazione nella scelta di un portafoglio: il criterio media-varianza.

Dati due portafogli Alfa e Beta con rendimenti aleatori riferiti a un determinato periodo rispettivamente X e Y, diremo che il rendimento aleatorio X e preferibile al rendimento aleatorio Y, scriveremo X Y, se:

E(X) E(Y); Var(X) Var(Y).