~ 1 ~

NDICE

Pgina

I. Introduccin.. 2

II. Definicin de vector...... 3

-Elementos de un vector3

- Representacin geomtrica de un vector bidimensional.4

- Vector de posicin o radio vector5

III. Mdulo de un vector.....5

IV. Suma y diferencia de vectores..6

V. Producto escalar...9

VI. Producto vectorial12

VII. Proyeccin Ortogonal.13

VIII. Ejercicios resueltos14

-Ejercicios de vectores..15

-Ejercicios de Mdulo de un vector..15

-Ejercicios de Suma y diferencia de vectores16

-Ejercicios de Producto escalar.17

-Ejercicios de producto vectorial..18

-Ejercicios de Proyeccin ortogonal.19

IX. Referencias Bibliogrficas..20

~ 2 ~

I. INTRODUCCIN

Algunas cantidades fsicas, como tiempo, temperatura, masa y densidad se pueden

describir completamente con un nmero y una unidad. No obstante, en fsica muchas

otras cantidades importantes estn asociadas con una direccin y no pueden describirse

con un solo nmero. Un ejemplo sencillo es el movimiento de un avin: para describirlo

plenamente, debemos indicar no slo qu tan rpidamente se mueve, sino tambin hacia

dnde. Para ir de Chicago a Nueva York, un avin debe volar al este, no al sur. La

rapidez del avin combinada con su direccin constituye una cantidad llamada

velocidad. Otro ejemplo es la fuerza, que en fsica es un empuje o tirn aplicado a un

cuerpo. Para describir plenamente una fuerza hay que indicar no slo su intensidad, sino

tambin en qu direccin tira o empuja.

Cuando una cantidad fsica se describe con un solo nmero, decimos que es una

cantidad escalar. En cambio, una cantidad vectorial tiene tanto una magnitud (el

qu tanto) como una direccin en el espacio. Los clculos que combinan cantidades

escalares usan las operaciones aritmticas ordinarias. Por ejemplo, 6kg+3kg=9kg,

o . No obstante, combinar vectores requiere un conjunto de operaciones

diferente.

Para entender mejor los vectores y su combinacin, comencemos con la cantidad

vectorial ms sencilla, el desplazamiento, que es simplemente un cambio en la posicin

de un punto. (El punto podra representar una partcula o un cuerpo pequeo.) En

la figura 1.9a representamos el cambio de posicin del punto P1 al punto P2 con una

lnea que va de P1 a P2, con una punta de flecha en P2 para indicar la direccin. El

desplazamiento es una cantidad vectorial porque debemos decir no slo cunto se

mueve la partcula, sino tambin hacia dnde. Caminar 3 km al norte desde nuestra casa

no nos lleva al mismo sitio que caminar 3 km al sureste; ambos desplazamientos

tienen la misma magnitud, pero diferente direccin.

Desplazamiento como una cantidad vectorial: Un desplazamiento es siempre un

segmento recto dirigido desde el punto inicial hasta el punto final, aunque la trayectoria

sea curva. [1]

~ 3 ~

II. DEFINICIN DE VECTOR

Definicin: Un vector en el plano es un par ordenado de nmeros reales ,

donde x se llama la primera componente e y se llama la segunda componente.

Observaciones:

A los vectores bidimensionales se les representa por una letra minscula y

en la parte superior se coloca una flecha, es decir:

Al conjunto de los vectores bidimensionales denotaremos por , esto es,

{ }

Al vector cero simbolizaremos por

Si , entonces el opuesto del vector quedar definido por:

El vector fila, sus componentes se escriben una a continuacin de la otra:

El vector columna, sus componentes se escriben una debajo de la otra:

(

)

donde: es la primera componente.

es la segunda componente.

Elementos de un vector

Todo vector tiene los siguientes elementos:

a) Mdulo o Intensidad: Representa el valor de la cantidad fsica vectorial, est

representado por la longitud del vector, tomado o medido a cierta escala.

~ 4 ~

b) Direccin: Est representado por la recta que contiene al vector .se define como

el ngulo que hace dicho vector con una o ms rectas de referencia, segn sea el

caso en el plano o en el espacio.

c) Sentido: Indica la orientacin de un vector, grficamente est dado por la cabeza

de la flecha del vector. [2]

Representacin geomtrica de un vector bidimensional

Un vector bidimensional es representado mediante un segmento de

recta dirigido, cuyo punto inicial es cualquier punto del plano cartesiano y

el extremo final es el punto cuyas coordenadas son ), tal como se

muestra en la figura,

~ 5 ~

Vector de posicin o radio vector

Al vector cuyo punto inicial se encuentra en el punto de origen del sistema de

coordenadas y el extremo libre puede ubicarse en cualquier cuadrante del plano

cartesiano, se denomina vector de posicin o radio vector, as como se muestra en la

figura,

Observacin: Al vector lo representaremos por cualquier punto siendo su direccin

indefinida.

III. MDULO DE VECTOR

La longitud o mdulo de un vector es definido como la raz cuadrada de la suma de los

cuadrados de sus componentes, y es denotado por , esto es,

, donde

Su representacin grfica es,

0

~ 6 ~

Si es un vector posicin, su representacin grfica es:

0

Propiedades del mdulo de un vector

Se verifican las siguientes propiedades

(i). vector

(ii).

(iii). . | | vector,

(iv). (Desigualdad triangular)

IV. SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES

4.1) Suma de vectores

Dados los vectores y , el vector resultante suma se obtiene sumando sus

correspondientes componentes, esto es:

Si , entonces

Interpretacin geomtrica de la suma de vectores

En la interpretacin geomtrica de la suma de vectores consideramos los mtodos

siguientes:

1) Mtodo del Paralelogramo

Se dibujan las representaciones de los vectores y desde el mismo punto (se

hace coincidir los puntos terminal de e inicial de ) y se completa el

paralelogramo. La diagonal trazada desde el punto comn representa .

~ 7 ~

2) Mtodo del Tringulo

Los vectores y se grafican uno a continuacin, luego el vector resultante

se obtiene del punto inicial del vector con el punto final del vector .

3) Mtodo del Poligonal Vectorial

El resultante de la suma de varios vectores se obtiene llevando los vectores uno a

continuacin del otro haciendo coincidir el extremo de uno con el origen del otro,

para finalmente calcular la resultante uniendo el origen del primer vector con el

extremo del ltimo vector.

~ 8 ~

Propiedades de la suma de vectores

Para todo , y se verifica las siguientes propiedades:

(i) es un vector.

(ii) (Conmutatividad)

(iii) ( ) ( ) (Asociatividad)

(iv) vector, existe un nico vector tal que (Neutro aditivo)

(v) vector, existe un nico vector tal que (Inverso aditivo)

Las siguientes figuras ilustran grficamente las propiedades anteriores.

Mtodo del polgono

La suma es una operacin binaria (es decir, entre dos elementos, en este caso vectores),

sin embargo, en la grfica trazada al ilustrar la propiedad asociativa, podemos observar

un polgono que muestra en sus lados -seguidos uno de otro- a los vectores que estn

siendo sumados y a la resultante cerrando el polgono. La resultante aparece de la misma

manera que cuando se suman dos vectores grficamente, esto es, su origen parte de

dnde lo hace el primer vector y termina dnde termina el ltimo de los vectores

sumados. Puesto que la suma de vectores es adems conmutativa, esta forma de calcular

la suma de varios de manera grfica es til y vlida (al sumar los vectores en otro orden

se obtiene un polgono con distinta apariencia, aunque la resultante es igual).

La siguiente figura ilustra lo expuesto anteriormente.

~ 9 ~

4.2) Diferencia de vectores

Consideremos los vectores y . La diferencia de estos vectores se define de la

siguiente manera:

Si , entonces

Interpretacin geomtrica de la diferencia de vectores

A los vectores y lo representamos por los segmentos dirigidos y con la

condicin de tener el origen comn en el punto P, entonces la diferencia de y , ,

quedar representado por el segmento dirigido , puesto que

( )

~ 10 ~

V. Producto escalar

El producto escalar de dos vectores y se denota con . Por esta notacin, el

producto escalar tambin se denomina producto punto. Aun cuando y sean

vectores, la cantidad es un escalar.

Para definir el producto escalar dibujamos y con su cola en el mismo

punto (figura 1). El ngulo (la letra griega fi) puede tomar valores entre 0 y 180. La

figura 2 muestra la proyeccin del vector sobre la direccin de ; esta proyeccin es

la componente de paralela a y es igual a . (Podemos obtener componentes

en cualquier direccin conveniente, no slo en los ejes y )

Definimos como la magnitud de multiplicada por la componente de paralela a

.

(Definicin del producto escalar) (*)

j j oj

Tambin podemos definir como la magnitud de multiplicada por la componente

de paralela a como en la figura 3. As, ,

igual que en la ecuacin (*).

~ 11 ~

El producto escalar es una cantidad escalar, no un vector, y puede ser positivo, negativo

o cero. Si est entre 0 y 90, y el producto escalar es positivo (Figura 4).

Figura 4

Cuando est entre 90 y 180, , la componente de paralela a es negativa

y tambin es negativo (figura 5).

Figura 5

Por ltimo, cuando , (figura 6). El producto escalar de dos vectores

perpendiculares siempre es cero.

Figura 6

Para dos vectores y cualesquiera, . Esto implica que:

El producto escalar obedece la ley conmutativa de la multiplicacin; el orden de los dos

vectores no importa.[1]

~ 12 ~

VI. Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores y tambin llamado producto cruz, se denota

con . Como su nombre lo indica, el producto vectorial es un vector en s mismo.

Para definir el producto vectorial de dos vectores y otra vez dibujamos los

dos vectores con sus colas en el mismo punto.

(Regla de la mano derecha)

As, los dos vectores estn en un plano. Definimos el producto vectorial como una

cantidad vectorial perpendicular a este plano (es decir, perpendicular tanto a como a

) con una magnitud igual a .Esto es,

Si , entonces la magnitud del producto vectorial de y se define como

.. (**)

Medimos el ngulo de hacia tomando el ms pequeo de los dos ngulos

posibles, de manera que est entre 0 y 180. Por lo tanto, y en la

ecuacin (**) nunca es negativo, como debe ser toda magnitud de vector. Observe

tambin que cuando y son paralelos o antiparalelos, y . Es

decir, el producto vectorial de dos vectores paralelos o antiparalelos siempre es cero.

En particular, el producto vectorial de un vector consigo mismo es cero.

Para cualesquiera dos vectores y ,

.. (***)

~ 13 ~

Clculo del producto vectorial usando componentes

Si conocemos las componentes de y podremos calcular las componentes del

producto vectorial usando un procedimiento similar al del producto escalar. Primero

deducimos la tabla de multiplicacin de los vectores unitarios y que son

mutuamente perpendiculares. El producto cruz de cualquier vector consigo mismo es

cero, as que

El cero en negritas nos recuerda que cada producto es un vector cero; es decir, uno con

todas sus componentes iguales a cero y con direccin indefinida. Usando las ecuaciones

(**) y (***), y la regla de la mano derecha, tenemos

. (+)

Ahora expresamos y en trminos de sus componentes y los vectores unitarios

correspondientes, y expandimos la expresin del producto cruz:

Luego,

~ 14 ~

VII. Proyeccin ortogonal

Ahora usaremos los vectores y .

Geomtricamente lo que queremos es determinar el vector que se obtiene al proyectar

ortogonalmente el vector sobre el vector . Si denotamos a este vector con

entonces, de acuerdo con la figura, se debe cumplir que

y finalmente

Definicin (Proyeccin ortogonal de sobre )

Si con . Se llama proyeccin ortogonal de sobre al vector

|| ||

~ 15 ~

VIII. Ejercicios Resueltos *Vectores

1) Sea y . Graficar los vectores y en 3D.

Solucin

2) Un automvil se dirige hacia el Este a una velocidad 60 km/h y luego se dirige al

sur recorriendo a una velocidad de 80 km/h. Graficar los vectores velocidad del

automvil.

Solucin

*Mdulo de un vector

3) Sea el vector . Calcular el mdulo de .

Solucin

Aplicando definicin de mdulo de un vector, obtenemos

( )

~ 16 ~

4) Hallar la magnitud del vector de extremos A(1,3) y B(-2,7).

Solucin

Si es un vector que va de A a B, entonces

uego,

*Suma y diferencia de vectores

5) Sea , . Calcular .

Solucin

Aplicando definicin de suma de vectores, obtenemos:

6) Sea , . Calcular

Solucin

Aplicando definicin de diferencia de vectores, obtenemos:

~ 17 ~

*Producto Escalar

7) Sea , . Calcular .

Solucin

( ) =4

8) Obtenga el producto escalar de los dos vectores de la siguiente figura.

Las magnitudes de los vectores son A=4 y B=5.

Solucin

El ngulo entre los dos vectores es . As que,

cos

Como los ngulos de y se dan con respecto al eje , medidos hacia el eje

, se tiene que:

Las componentes son cero porque ambos vectores estn en el plano xy.

Por tanto, el producto escalar es:

~ 18 ~

*Producto vectorial

9) Sea , . Calcular

Solucin

10) Del ejercicio anterior, calcular .

Solucin

~ 19 ~

*Proyeccin ortogonal

11) Sea , . Calcular .

Solucin

12) , . Determinar un vector Calcular tal que

y que cumpla con: y .

Solucin

~ 20 ~

IX. Referencias Bibliogrficas

[1]-SEARS-ZEMANSKY, Fsica Universitaria. 12ava Edicin. Vol1.

[2]-http://ejemplosdevectores.blogspot.com.ar/

[3]-ANTON, H. Introduccin al lgebra Lineal". Limusa. 1985

[4]-GROSSMAN, S. lgebra Lineal". Ed. Iberoamricana

[5]-ESPINOZA, E. Matemtica Bsica.